l a n c a n i c e
Post on 05-Jul-2018
216 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
1/27
1
L A N Č A N I C E
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
2/27
LAN^ANICE
Uvodne napomene
Gipka nit pri~vr{}ena na svojim krajevima za dva nepomi~na oslonca,naziva se lan~anica .
it, o kojoj je rije~ mo`e biti u`e, lanac, kabl i sli~no, pri ~emu sehorizontalni razmak oslonaca, tj. ta~aka ovje{enja naziva rasponlan~anice, dok ove mogu biti na razli~itim ili istim visinama u
odnosu na horizontalu, sl.1.
A B A
h f B
f
l
l
slika 1.
Za lan~anicu se uvode slijede}e pretpostavke:
ona ima vlastitu te`inu koja je u slu~aju homogene niti jednolikoraspodjeljena po jedinici du ìne njenog luka ;
ona je apsolutno gipka tj.savitljiva, {to zna~i da se ne suprotstavlja savijanju .
Na osnovu ove pretpostavke slijedi da je suma stati~kih momenata svihsila u bilo kojem presjeku lan~anice, s jedne ili druge njegove
strane,jednaka nuli;
ona je nerastegljiva pod uticajem zate`u}ih sila koje se javljaju u svimnjenim presjecima.
Ova pretpostavka prakti~ki zna~i da se zanemaruje pove}anje ukupnedu`ine neoptere}ene lan~anice, {to je prihvatljivo u prvoj aproksimacijianalize.
(pri znatnim optere}enjima ili, pak, velikim o~ekivanim temperaturnimoscilacijama uvedena pretpostavka je neodr`iva).
N
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
3/27
3
U uvodnoj definiciji je navedeno da su krajevi lan~anice pri~vr{}eni za nepomi~ne oslonce {to navodi na zaklju~ak da se u njima za bilo kojeoptere}enje javljaju kose reakcije za koje su, prema tome, unaprijed
poznate samo napadne ta~ke .Drugim rije~ima javljaju se po dvije nepoznate komponente reakcija - nasuprot tri raspolo`iva uslova ravnote`e.
Taj problem se, kako }e biti pokazano, neutrali{e zahvaljuju}i uvedenojpretpostavci o apsolutnoj savitljivosti u`eta na ~ijoj osnovi se uvijek mo`e postaviti dodatni uslov ravnote è - na identi~an na~in kako je toaplicirano kod trozglobnog luka.Lan~anicu treba, dakle, shvatiti kao ravni linijski nosa~ koji radi isklju~ivona zatezanje, pri ~emu se mo`e koristiti ili kao samostalni element ili - {to je ~e{}i slu~aj - kao glavni nosa~ tzv.vise}ih sistema.
Zbog male vlastite te`ine nosa~a i jednostavnosti izvedbe, u pore|enju sa gredi~nim nosa~ima, primjena lan~anica u sklopovima vise}ih sistema omogu}uje savladavanje vrlo velikih raspona, pri ~emu se ostvarujuveoma povoljni funkcionalni i estetski efekti.
Ovdje treba ukazati i na nedostatak takvih sistema koji se prvenstvenoogleda u veoma maloj krutosti {to izaziva potrebu primjene dodatnihkonstruktivnih mjera za njeno ostvarenje .
U konstrukcijama objekata visokogradnje lan~anice se koriste kao glavninosivi elementi za natkrivanje velikih prostora kao {to su sportskedvorane, bazeni, kongresne sale, sl.2.
S l i k a 2.
Veoma je ~esta primjena lan~anica kao glavnih nosa~a za prevo|enjeraznih instalacija (vodovoda, gasa, naftovoda…) preko raznih prepreka,sl.3.
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
4/27
4
S l i k a 3.
Neizostavno treba spomenuti i primjenu lan~anica kao glavnih nosa~a za vje{anje kolovoznih tabli tzv.vise}ih mostova {to omogu}ava savladavanje izuzetno velikih raspona (preko 1500 m, kao {to sunpr.mostovi u S.Francisku, Istanbulu, Bristolu itd., sl.4)
S l i k a 4.
U okvirima ovih op{tih razmatranja potrebno je ukazati na jo{ neke va`ne
karakteristike lan~anice, ~ije razumijevanje predstavlja uslov za shvatanjenjenog rada kao nose}eg elementa .
U tom pogledu u prvom redu treba imati u vidu njenu osobinu da zauzima razli~ite polo`aje, odnosno razne konfiguracije, u zavisnosti odkaraktera i rasporeda optere}enja koja prima i dalje prenosi. Pri tome seovo odnosi na istu lan~anicu sa nepromjenjenim horizontalnimrazmakom oslonaca, i istom visinskom razlikom (h).
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
5/27
5
Neki specifi~ni slu~ajevi prikazani su na slici 5
a ) b )l
l
h
hF 3
F 2 q(s)F 1
x
y c ) d )
Optere}enje po jedinci du`ine luka (s) Optere}enje po jedinici du`ine horizontalne projekcije (x)
h
h
y = f (x)q(s) x
q(x) y=f 1(x)
S l i k a 5.Posljedica te osobine jeste da je potrebno, bez obzira na nepromjenjivost raspona i visinske razlike oslonaca, za svaki slu~aj optere}enja posebnoutvr|ivati konfiguraciju, tj.jedna~inu lan~anice.Pore|enja radi, kod krutih nosa~a, npr.sistema okvira, to nije potrebno, sl 6. pa prema tome, princip superpozicije za lan~anice nije primjenjiv (u analiti~kom/algebarskom obliku).
F 1 F 2 l
h
h q 1q 2
lS l i k a 6
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
6/27
6
Naredna osobina lan~anice koju treba uzimati u obzir jeste ~injenica da ona za vertikalno optere}enje uvijek ima horizontalne reakcije usmjereneprema vani, dakle, obrnuto u odnosu na lu~ne nosa~e, sl. 7.
Pri tome su, dakle za vertikalno optere}enje, te reakcije me|usobno jednake i, istovremeno jednake horizontalnoj projekciji (S ix) sile zatezanja
u bilo kojem presjeku lan~anice:
A x =B x =Six =H= const.
Bx=HF 1 F 2 A y
A x=H H
Bx A x F ix=H
B y A y l F 1 F 2
S l i k a 7.
I napokon, da bi se lan~anica mogla tretirati kao ravni stati~ki odre|enisistem potrebno je da se ona zadaje putem tri podatka .
Pored dva osnovna : raspona (l) i eventualne visinske razlike oslonaca (h)- pri ~emu je slu~aj h=0 tako|e podatak koji samo ukazuje da su oslonci na istoj visini -kao tre}i dodatni podatak naj~e{}e se unaprijed fiksira polo`aj (ordinata) jedne ta~ke optere}ene lan~anice.
Naravno, to mo`e biti i neki drugi podatak : npr.ugao pravca jedne(ukupne) reakcije itd.
Imaju}i u vidu ~injenicu da na ravnote`ni oblik obje{ene nitiprevashodno uti~e karakter optere}enja, stati~ka analiza lan~anica semo`e izvoditi prema slijede}oj globalnoj podjeli :
1.lan~anice sa poligonalnom konfiguracijom;
2.lan~anice ~ija je konfiguracija kontinuirana krivulja: y=f(x)
U skladu sa ovom sistematizacijom nije te{ko zaklju~iti da u prvomslu~aju (sl.8a.) lan~anica u ravnote`nom polo`aju ima oblik veri`nog poligona, dok je u drugom(sl.8b) to kontinuirana krivulja, kao grani~nislu~aj veri`nog poligona.
Preciznije re~eno ta stanja su posljedica djeluju}ih optere}enja:u prvom slu~aju optere}enja su koncentrisane sile, a u drugomkontinuirano raspodjeljena optere}enja po cijeloj lan~anici, bilo pohorizontalnoj projekciji, bilo po luku lan~anice .
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
7/27
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
8/27
8
Neka su to:
-raspon (l) lan~anice, tj. horizontalni razmak mjesta (A i B) pri~vr{}enja ;
-visinska razlika (h) tih mjesta ;
-ordinata( Y k ) jednog tjemena poligona (k)Ishodi{te koordinatnog sistema smje{teno je u centar jednog(ovdje A) oslonca,sa + y osom usmjerenom prema dole, sl. 10.
Stati~ka analiza se odnosi na :definisanje ravnote`nog polo`aja lan~anice, tj.ordinata ( Y i ) ta~aka - tjemena poligona u kojima su prilo`ene date sile, odnosno uglovi ( i)nagiba pojedinih segmenata poligona ;odre|ivanje sila u pojedinim segmentima lan~anog poligona ;utvr|ivanje ukupne du`ine poligona, tj. lan~anice (L)
Sile u pojedinim segmentima zategnutog u`eta ozna~ava}e se sa S, a ukupne oslona~ke reakcije sa S A i S B . Ostale oznake vidljive su na prate}imslikama.
Lan~anice, kao i lukovi, imaju osobinu da su reakcije u osloncima kose ipri vertikalnom optere}enju.
Nije se te{ko uvjeriti u ovu tvrdnju ve} i na osnovu uvida u ravnote`u trisile (sl. 10 c) pod pretpostavkom da su uglovi ( A i B) nagiba pravaca reakcija poznati.
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
9/27
9
Zbog toga se reakcije u osloncima odre|uju preko svojih, vertikalnih ihorizontalnih komponenata, u cjelosti na analogan na~in kako se toprovodi kod trozglobnog luka. (treba napomenuti da postoji, kao i u timslu~ajevima, i drugi na~ini, ali se ovaj navodi zbog kontinuiteta ).
Dakle, na osnovu dva uslova ravnote`e za cijeli sistem:
0 B M i 0lK M (2)gdje je MK L zapravo, moment savijanja svih sila sa lijeve strane tjemena (k) lan~anog poligona ~ija je ordinata (y K ) unaprijed poznata dobivaju sedvije jedna~ine sa dvije nepoznanice .
To su intenziteti horizontalne (A x) i vertikalne (A y ) komponente ukupnereakcije (S A ) u osloncu A.
Identi~nim postupkom, iz uslova ravnote`e:
0 B M i 0d K M (3)dobi}e se i komponente B x i B y ukupne reakcije (S B) u osloncu B.
Preostali uslovi ravnote`e cijelog sistema :
0 X i 0Y (4)treba da potvrde, ili opvrgnu, da ravnote à zaista postoji. Prvi od dva uslova (4) ukazuje na va`an podatak da je :
A X=Bx=H(5)
I on vrijedi za sve lan~anice, bez obzira na njihov oblik, ako jeoptere}enje vertikalno.
Na osnovu poznatih komponenti, ukupne veli~ine reakcija tada se jednostavno dobiju prema:
22 y x A A AS 22 y x B B BS (6)
a odgovaraju}i pravci njihovog djelovanja ( A i B) iz:
x
y A A
Atg θ
x
y B B
Btg θ (7)
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
10/27
10
Ovdje treba primjetiti da su ti pravci identi~ni sa pravcima krajnjihsegmenata lan~anog poligona, ~ime su odmah odre|eni njihovi uglovinagiba prema horizontali .
Atg X Y 11 ; htg X lY Bnn )( (8)
Ovo, dalje, zna~i da se sada mogu odrediti ordinate prvog i posljednjeg tjemena poligona.
Daljni tok analize polazi od proizvoljnog presjeka lan~anice i razmatranja dva uslova ravnote`e tipa(4), lijevog ili desnog dijela presje~enog u`eta.
U ovom slu~aju presjek je u~injen desno od tjemena (k) - sl.10.b, teizdvojen dio od oslonca A do tog tjemena.
U tom slu~aju slijedi :
:0 X 0cos H S k K
odakle je :k
K H
S cos
k k S
H cos (9)
:0Y 0sin1
k k k
iiY S F A
Nakon uvr{tavanja izraza (9) u posljednju jedna~inu, dobiva se ugaonagiba presje~enog segmenta, pa time i sile u njemu, u obliku :
H
F A tg
k
iiY
k 1
) _((10)
Poznavaju}i ove dvije veli~ine(S k i k ), uz ordinatu y K , na osnovugeometrijskih odnosa i uslova ravnote`e, mogu se jednostavno odreditisile u svim segmentima, kao i polo`aji(ordinate) tjemena lan~anog poligona.
Pri tome treba analizu sprovoditi lijevo i desno, sukcesivno do oslonca.
Naravno, sve {to je utvr|eno za ravnote`u lijevog odsje~enog dijela,vrijedi i za desni dio.
Tre}i uslov ravnote`e: )0(0 B A M ili M , izdvojenog dijela lan~anice, uputno je koristiti za provjeru uspostavljene ravnote`e.
U razmatranom slu~aju, za lijevi dio lan~anice, ta jedna~ina ima oblik :
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
11/27
11
:0 A M 0cossin1
i k
ii k k k k k k x F yS xS (11)
Treba posebno obratiti pa`nju na izraz (9), jer se identi~na veza dobiva za bilo koji presjek, tj. op}enito va`i :
ii
H S cos
Na osnovu toga mogu se utvrditi va`ni zaklju~ci:
horizontalna projekcija sile u bilo kojem segmentu uvijek je jednaka horizontalnoj komponenti (H) reakcije pa je, prema tome,to konstantna veli~ina;
intenzitet ukupne sile u bilo kojem segmentu bitno zavisi od nagibatog segmenta ( i ) u odnosu na horizontalu;
to ,dalje, zna~i da se najve}a sila pojavljuje u segmentu koji ima najve}i nagib (s pove}anjem nagiba, kosinus pada), i obrnuto.
Dakle, ako postoji u poligonu horizontalni segment(cos =1) sila u njemu jednaka je horizontalnoj reakciji H.
Naprijed je izlo`en na~in stati~ke analize poligonalne lan~anice sa osloncima na razli~itim nivoima.
Ukoliko su pak oslonci na istim nivoima(h=0), analiza se o~ekivanopojednostavljuje, jer se vertikalne komponente reakcija (A Y i B Y ) moguodmah odrediti iz uslova ravnote`e:
:0 B M Y iiY Al X F
A 0 ; ii X l X
:0 A M Y iiY Bl X F
B 0 (12)
koje su o~igledno identi~ne reakcijama proste grede ( 00 x yiA A ) istog raspona (l) uz isti raspored i intenzitet vertikalnih sila F i , sl. 12.b.
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
12/27
12
A y B y A B
A x=H B x =H x
y 1 y K y n
y F 1 F K F n
x1 l - x1XK F 1 F K F N
M1 0 MK 0
Slika 12.Kako se i u ovom slu~aju tretira samo uticaj vertikalnog optere}enja,horizontalne komponente reakcija u oba oslonca moraju biti me|usobno
jednake :
A x=Bx=H
I odre|uje se na osnovu poznavanja bilo koje ordinate jednog odtjemena uravnote`enog poligona .
Ako je ta ordinata npr. Y K , tada iz uslova ravnote`e dijela lan~anice lijevo
od presjeka slijedi :
:0lk M 0)(1
k
iiik yk X F X AY H (13)
Izraz u zagradi prednje jedna~ine predstavlja moment savijanja(uporeditisl.12.c.) na odgovaraju}oj prostoj gredi u istom presjeku (X k ):
M 0K = k
i
iiK y X F X A1
(14)
{to zna~i da se iz relacije(13)horizontalna reakcija mo`e odrediti prema:
k
k
y
M H
0
(15)
Vrijedi, naravno i obrnuto, ako je poznata sila H, onda se bilo koja ordinata uravnote`enog poligona mo`e odrediti iz :
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
13/27
13
H
M y k k
0
(16)
Silu, u bilo kojem segmentu poligona mogu}e je na}i promatranjem opet ravnote`e jednog njegovog dijela, lijevo ili desno, svejedno, od presjeka kroz segment u kojem se ona tra`i :
Tada je na temelju uslova 0 X :
ii
H S
cos(17)
Ugao nagiba i-tog segmenta poligona, analogno izrazu (10), definisan jerelacijom:
H
T
H
F Atg i
k
iiY
K
01
) _((18)
gdje je sa T 0i ozna~ena transverzalna sila na prostoj gredi (A 0 y =A y ) u polju
koje odgovara segmentu ~iji se nagib tra`i .
Svi dobiveni rezultati mogu se, jasno, provjeriti promatranjemravnote`e(
0,0 Y X ) pojedina~nih ~vorova (tjemena) poligona.
L.1.2. Lan~anica sa konfiguracijom kontinuirane krivulje
Kada je obje{eno u`e optere}eno neprekidno bilo po svom luku, bilo posvojoj horizontalnoj projekciji ima}e oblik kontinuirane krivulje koja seop}enito opisuje jedna~inom tipa y=f(x) .
Konkretan oblik te jedna~ine bitno zavisi od zakona raspodjeleoptere}enja, ali i izbora koordinatnog po~etka sistema u kojem se analiza sprovodi.
Bez obzira na pomenute zavisnosti, dakle za proizvoljni oblik kontinuirane krivulje, pravac sile zatezanja u bilo kojem presjekuoptere}enog u`eta, uvijek koincidira sa pravcem tangente na krivu u tompresjeku .Prema tome, poznavanje konkretnog oblika jedna~ine lan~anice, za svakuvarijantu optere}enja, predstavlja preduslov za definisanje njenekonfiguracije i odre|ivanje sila u pojedinim presjecima.
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
14/27
14
Kao i kod poligonalnog oblika, i u ovim slu~ajevima, rje{enja su mogu}a ako su unaprijed poznata tri podatka .
Naj~e{}e su to : me|usobni polo`aj oslonaca (l , h) i jedna ordinata lan~anice .
Naravno, postoje i druge mogu}nosti, tj. kombinacije, ali tri se pomenutesmatraju osnovnim ulaznim elementima.
Ovdje }e se u nastavku analizirati uticaji isklju~ivo vertikalnihkontinuirano raspodjeljenih optere}enja koja se op}enito mogu opisatizavisno{}u q=q(x).
Tako npr. ako je optere}enje raspodjeljeno jednoliko (uniformno) pohorizontalnoj projekciji lan~anice, tj. du` ose x, tada prednja zavisnost prelazi u q=const. {to, dakle, predstavlja samo jedan specijalni slu~aj .
Zbog toga je potrebno prvo upoznati op{ti oblik jedna~ine lan~anice za proizvoljno raspodjeljeno vertikalno, kontinuirano optere}enje, iz kojeg
je onda jednostavno pre}i na specijalne slu~ajeve.
Op{ti oblik jedna~ine lan~anice
Neka je, dakle, lan~anica optere}ena proizvoljnim optere}enjem q(x), te je potrebno odrediti njenu jedna~inu.
Ishodi{te koordinatnog sistema i smjerovi osa nazna~eni su na sl.14.a.q=q(x)
a) dx/2b)
A S A x S y Q
a S x
dy b S x+dS xB
dx S y +dS y S b
dx y slika 14
Na sl.14.b, prikazan je, uve}ano, izdvojeni elementarni dio a-b luka lan~anice na koji djeluju tri sile : sila zatezanja S u jednom presjeku (a),sila (S+dS) na drugom kraju elementa (b), te pripadaju}a vertikalna sila Q=q(x)•dx za koju se mo`e opravdano smatrati da djeluje u polovicihorizontalne projekcije (dx/2) luka ds ab.Prve dvije sile predstavljene su svojim projekcijama na ose x i y, pri ~emusu sa dS x i dS y ozna~eni prira{taji sile S u krajnjem presjeku (b) luka ds.
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
15/27
15
Izdvojeni element, odnosno ove tri sile moraju se nalaziti u ravnote`i, ako je u ravnote`i cijela lan~anica, {to zna~i da se mogu na njega apliciratiosnovni uslovi :
1. :0 X -Sx + (S x+ dS x) =0 odakle odmah slijedi da je:
dS x =0, tj. S x =const.=H (19)
Kako je izdvajanje elemenata izvr{eno proizvoljno, dakle na bilo kojemmjestu lan~anice, do istog rezultata bi se do{lo za svaki element, pa semo`e izvesti va`an zaklju~ak da je horizontalna projekcija (S x) silezatezanja u bilo kojem presjeku lan~anice uvijek ista, konstantna veli~ina .
Treba se podsjetiti na istu konstataciju utvr|enu za poligonalnelan~anice.
2. :0Y -S y +q(x)•dx + (S y + dS y ) =0 odakle je:
)( xqdx
dS y (20)
3. :0b M 02 dxqdxdxS dyS y x odakle je
tgS
S
dxdy
x
y , tj. u vezi sa (19)
H
S
dxdy y
Ako se posljednji izraz diferencira jo{ jednom po apscisi (x) (H=const.),slijedi :
H dx
dS
dx yd y2
2
, te uzimaju}i u obzir vezu (20),
dobiva se op{ti oblik diferencijalne jedna~ine (2.reda) lan~aniceoptere}ene proizvoljnim kontinuiranim optere}enjem :
H xq
dx y d )(2
2
(21)
Prema tome, ako je poznat zakon raspodjele optere}enja q(x) svakorje{enje koje zadovoljava prednju diferencijalnu jedna~inu, uz po{tovanjerubnih uslova, predstavlja}e jedna~inu lan~anice, za taj zakon raspodjele.
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
16/27
16
L 1.2.2.Paraboli~na lan~anica
Kada je lan~anica optere}ena kontinuirano po jedinici du`ine svojehorizontalne projekcije, tj. kada je zakon raspodjele vertikalnog kontinuiranog optere}enja :
q(x)=const.,
tada lan~anica ima oblik kvadratne parabole, sl.15, sa tjemenom unajni`oj ta~ki (C).
xl
l/2f
c
x c y
slika 15.
Zbog uniformne raspodjele optere}enja diferencijalna jedna~ina sada ima oblik :
H q
y (22)
Za koordinatni sistem sa ishodi{tem u vi{em, lijevom, osloncu (A) rubniuslovi jesu :
za x=0 y=0za x=l y=h
Pa se nakon dvije integracije jedna~ine (22) i odre|ivanja konstanti,dobiva jedna~ina ove parabole u obliku :
xlh
xl H
qx y )(
2(23)
Pravci sila u lan~anici u bilo kojem presjeku (x) odre|eni suodgovaraju}im nagibima tangenti na krivu , i dobiju se diferenciranjemprednje jedna~ine po apscisi :
lh
H
qx
H
ql ytg
2’
Tangenta na krivu je horizontalna u njenoj najni`oj ta~ki i njen polo`aj(XC) mo`e se odrediti iz relacije (24) za Y’=0, pa slijedi :
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
17/27
17
ql Hhl
xC 2(25)
Treba primjeti, da u slu~aju kada je desni oslonac (B) vi{i od lijevog (A)postaje
Y B= - h , i u relacijama (23), (24), (25) uz posljednji ~lan dolazi negativanpredznak .Nagibi tangenti na osloncima, tj. pravci reakcija odre|uju se iz (24)postavljanjem da je x=0, odnosno x=l, pa slijedi :
lh
H ql
ytg A 2’ i
lh
H ql
tg B 2
Du`ina lan~anice (L) mo`e se odrediti polaze}i od poznatog izraza za elementarnu du`inu luka (dL) prema kojem je :
dxdxdy
dL2
1
(27)
i nakon predstavljanja jedna~ine paraboli~ne lan~anice(23) u obliku :
xtg xl xl
f y )(42 , (28)
Tada se kona~na du`ina lan~anice mo`e izra~unati prema :
22
2381 tgl
l f
L (30)
Treba napomenuti da je dobiveni izraz(30) aproksimativan, me|utim ondaje rezultate sa, za prakti~ne potrebe, zadovoljavaju}om ta~no{}u.
U specijalnom slu~aju, kada je h=0 ( =0) dobiva se simetri~na paraboli~na lan~anica, sl.16., ~ija jedna~ina u istom koordinatnomsistemu ima oblik:
xl H
qx y
2(23a)
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
18/27
18
Za poznatu strelu (f) lan~anice upolovini raspona, ili odnos f/l,horizontalna sila (H), pa time i
horizontalne komponente reakcija,mo`e se odmah odrediti uvode}i jedna~inu (23a ) :Za x=l/2 je y=f, pa slijedi :
f ql
H 8
2
(31)
Slika 16Vertikalne komponente reakcija su identi~ne reakcijama odgovaraju}eproste grede :
A y = B y = 2ql
,
Te ukupne reakcije iznose :
S A =S B= 22222
16882
f l f
ql f
qlql
(32)
Nagib tangente, tj. pravac sile, u proizvoljnom presjeku dobiva se iz(23a),pa slijedi :
xl
H q
tgdxdy
2(33)
Du`ina simetri~ne lan~anice dobiva se direktno iz(30) za =0
l f
l L2
38
(30a)
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
19/27
19
L 1.2.3. Prirodna ( obi~na ) lan~anica
Naredni oblik kontinuiranog optere}enja koji se ovdje analizira jestevlastita te`ina lan~anice .
Ako je lan~anica homogena, tada njena vlastita te`ina djeluje kaokontinuirano optere}enje uniformno raspodjeljeno po horizontalnojprojekciji .
Treba, me|utim, ista}i da je takva aproksimacija prihvatljiva uslu~ajevima tzv. jako zategnutih lan~anica kod kojih je, za razliku odopu{tenih, odnos strele (f) i raspona (l) veoma mali(reda veli~ine :f/l=1/40).
Lan~anice, o kojima je ovdje rije~, imaju konfiguraciju koja je uslovljena
djelovanjem samo vlastite te`ine, te se nazivaju prirodne ili obi~nelan~anice, sl.18 .
Navedeni na~in djelovanja takvog optere}enja izaziva odre|enepote{ko}e pri njihovoj analizi, {to se mo`e zaklju~iti ve} i na osnovu,primjerice, namjere da se odrede reakcije u osloncima.
y S A l
A
hB dL
S BxK K g
dy
a q(x)
O y K x
Slika 18.dx
U tom slu~aju, bez obzira {to je poznat me|usobni polo`aj oslonaca (l ih), reakcije se ne mogu odrediti na na~in kako je to pokazano uprethodnim slu~ajevima, i pored poznavanja dodatnog uslova :koordinata jedne ta~ke lan~anice.
Kada su oslonci na razli~itim visinama, krak vanjskih sila (od optere}enja)nije definisan, jer zamjenjuju}a vertikalna sila djeluje u te`i{tu
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
20/27
20
odgovaraju}eg luka lan~anice, a taj podatak je uslovljen poznavanjemnjene jedna~ine.
Isti problem nastaje i kada su oslonci na istim nivoima pri postavljanju jedna~ina za odre|ivanje horizontalnih reakcija.Navedena, a i ostale pote{ko}e izbjegavaju se postavljanjem
koordinatnog sistema tako da vertikalna os (y) prolazi kroz najni`u ta~ku(C) lan~anice, dok je horizontalna (x) paralelna sa tangentom u toj ta~ki.Pri takvoj postavci, polo`aj koordinatnog po~etka nalazi se na unaprijednepoznatom vertikalnom odstojanju ( a) od najni`e ta~ke lan~anice .Drugim rije~ima, polo`aj najni`e ta~ke je onda definisan ako je poznatoto odstojanje , koje se naziva parametar prirodne lan~anice.
Za ovako odabrani koordinatni sistem, jedna~ina prirodne lan~anicemo`e se definisati na slijede}i na~in .
Na elementarni dio luka dL izdvojen iz lan~anice optere}ene kontinuiranopo njenom luku djeluje zamjenjuju}a vertikalna sila (g dL) gdje je g - vlastita te`ina promatrane lan~anice.
Ekvivalent toj sili jeste veli~ina dx xq )( koja djeluje na horizontalnuprojekciju (dx) elementarnog dijela dL, pa slijedi :
(g dL)=q(x) dx , odakle jedxdL
g xq )( (34)
Na taj na~in optere}enje po luku lan~anice je svedeno na optere}enje ponjenoj horizontalnoj projekciji, te se prednji izraz mo`e unijeti u op{tioblik jedna~ine lan~anice (21) dobiven za proizvoljno kontinuiranooptere}enje q(x):
dxdL
H g
y (35)
To je diferencijalna jedna~ina(2. reda) prirodne lan~anice u nazna~enomkoordinatnom sistemu, sl.18, kojoj je pozitivni predznak na desnoj straniusagla{en sa oblikom krivulje (za konkavne funkcije u takvom sistemu je
y''>0).
Kada se izraz (27) za elementarni dio luka dL unese u ovu jedna~inudobiva se :
dx ydx H
g y 211 (36)
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
21/27
21
Uvode}i odnos kojim je definisan parametar lan~anice:
p = a =g
H (37)
i koji je konstantna veli~ina za konkretnu lan~anicu (ima dimenzijedu`ine). Nakon prve integracije jedna~ine (36), za rubne uslove –
za x = 0 : y' = 0, te je c 1 =0, slijedi :
a x
sh y’ (38)
Integracijom ovog izraza (za x = 0 : y = a ,te je i c 2 = 0)dobiva se rje{enjepolazne jedna~ine (35) u obliku :
a x
cha y 1 (39)
koja predstavlja jedna~inu prirodne lan~anice u ovom koordinatnomsistemu .
Na temelju ovog izraza mo`e se zaklju~iti da homogeno u`e, pri~vr{}eno
za dva nepomi~na oslonca, zauzima oblik hiperbolnog kosinusa, koji jesimetri~na funkcija u odnosu na os y. Zbog toga se ~esto ovakvelan~anice nazivaju hiperboli~ne .
Ako je L neka kona~na du ìna luka (L), a d( L) prira{taj te du`ine, tada se du`ina kona~nog dijela luka mo`e odrediti integracijom poznate veze
d( L)=dx 2 +dy 2= dx y 2’1 :
L= x
dx y0
2’1 (40)
1 Saglasno definiciji hiperbolnog kosinusa ova jedna~ina se mo`e napisati i u obliku :
Y=
a
x
a
x
eea2
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
22/27
22
Nakon uno{enja u prednju jedna~inu ve} ustanovljene veze (38), teuzimaju}i u obzir da je ch 2 u=1+ sh 2 u , dobiva se kona~no :
L=a
a x
sh (41)
Prema tome ,du`ina luka lan~anice mjerena od njenog tjemena (C) doproizvoljne ta~ke (K), sl.19, odre|uje se na osnovu relacije(41), kada se uovu unese da je x=x K , uz poznati parametar (a) .Dobiveni izraz (41) za du`inu luka mo`e se transformisati i prikazati ufunkciji ordinate proizvoljne ta~ke (y K ) tako da se nakon kvadriranja unese veza: y' 2 =ch 2(x/a) -1, pa se kona~no dobije u obliku :
L 2 =y 2 K - a 2 (42)
Ostali odnosi u prirodnoj lan~anici ustanovljuju se na temeljurazmatranja ravnote`e izdvojenog dijela lan~anice, sl.19 u presjecima kroz najni`u (c ) i proizvoljnu ta~ku (K).
a) b)XK SK
K SK Q
H c Y K Q H
Slika 19.
Na taj dio djeluju tri sile (Q=g L , S K i H), koje moraju biti u ravnote ì, teformiraju zatvoreni poligon sila, sl. 19.b.
Uzimaju}i u obzir da je iz (37) H=a g, na osnovu tog poligona proisti~eveza:
2222 a Lg H QS K (43)
Istovremeno, ovaj izraz za silu u presjeku mo`e se izraziti u funkcijiordinate (y K ) ako se u njega unese relacija (42), pa se tada dobija:
SK =g y K (44)
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
23/27
23
Prema tome, sila u prizvoljnom presjeku prirodne lan~anice jednaka jeproizvodu izme|u intenziteta optere}enja(g), tj. vlastite te`ine, i ordinatetog presjeka.
Ispostavlja se tako da je osnovni problem odre|ivanja parametra (a)prirodne lan~anice.
U primjenama, zavisno od raspolo`ivih podataka, a s ciljem odre|ivanja te veli~ine iskrsavaju te{ko}e koje primarno proisti~u iz prirodehiperbolnog kosinusa.Prora~un, u pravilu, otpo~inje postavljanjem jedna~ina (39) lana~nice za oslona~ke ta~ke na temelju zadatih podataka .
Tako dobivene jedna~ine jesu transcedentne i rje{avaju se postupnimpribli`avanjem izraza na lijevoj i desnoj strani, sve dok se ne postigne
jednakost.
U tu svrhu mogu se koristiti razni postupci, me|utim, bez obzira na postupak, osnovni problem je izbor polazne veli~ine parametra lan~anice.
U tom pogledu pokazuje se kao veoma upotrebljiva jedna aproksimacija hiperbole sa kvadratnom parabolom, istog parametra. Naime, u tehni~kojpraksi vrlo ~esto se projektuju ve} pominjane jako zategnute lan~anice sa malom stinjeno{}u, tj. malim odnosom strele (f) i raspona(l), lan~anice.
Jedna~ina ove parabole ima oblik :
Y=a+a
x2
2(45)
a dobivena je razvijanjem funkcije ch(a x
) u red, i zadr`avanjem na samo
prva dva ~lana tog reda:
Ch z =1+ ...!4!2
42 z zz=x/a
Parabola odre|ena jedna~inom (45) le`i ispod hiperbole odre|ene jedna~inom (39), sl.20., sa istim parametrom (a).
Y
Y=a ch(x)
Y=a+x 2 /2 a
a X
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
24/27
24
slika 20.
Ovdje postoje dvije mogu}nosti. Obje su, naravno, aproksimacije:
da se, nakon odre|ivanja parametra (a) u jedna~ini (45), postupak
sprovodi u skladu sa rezultatima, tj. relacijama za prirodnu lan~anicu, jer stvarna i dalje ostaje teorijski optere}ena po svom luku ;da se prora~un sprovodi za parabolu ~ija je jedna~ina
y=g x2 /2 H, (46)
ako je poznat unaprijed polo`aj najni`e ta~ke lan~anice ( C ).
Prednja jedna~ina se odnosi za koordinatni sistem sa po~etkom unajni`oj ta~ki (a=0 ), a zbog zategnutosti lan~anice mo`e se
aproksimativno smatrati da optere}enje djeluje po njenoj horizontalnojprojekciji, tj. da je q=g.
Ina~e,pri aproksimaciji hiperbole sa parabolom (45), kao {to je vidljivo izsl.20, treba o~ekivati ve}a odstupanja nani`e, u odnosu na ta~nerezultate, u podru~jima ve}ih apscisa (x).
Ovdje treba navesti, veoma povoljnu mogu}nost da je poznat unaprijedpolo`aj najni`e ta~ke ( C ) ovako optere}ene lan~anice, npr. njenohorizontalno rastojanje( XC) i odgovaraju}i provjes (f), sl.21.
CSl.21.
U tom slu~aju, ako se ishodi{te koordinatnog sistema smjesti u tjeme (C)parabole, njena odgovaraju}a jedna~ina se dobije jednostavno iz uslova ravnote`e dijela lan~anice (na prednjoj slici deblje izvu~eno) lijevo, (ilidesno) od tjemena:
M A =0:
C C y H
xq2
2
;lh
f tg x f y C C
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
25/27
25
PRIMJER 1:
Homogeno u`e du`ine L=100,00 m pri~vr{}eno je za dva nepomi~na oslonca na istoj visini , sa poznatom strelom f=10.0 m.
Ako je maximalni intenzitet sile koju ovo u`e mo`e da primi S max. =3250,0N , odrediti raspon i vlastitu te`inu lan~anice.
Ovdje se radi o~igledno o prirodnoj(obi~noj ) lan~anici, jer je optere}ena samo svojom vlastitom te`inom (g) koja je
jednoliko raspodjeljena po jedinici du`inenjenog luka .
1. Odre|ivanje parametra lan~anice (a) :Ovaj podatak mo`e se dobiti iz relacije (42) koja, na osnovu datihelemenata,primjenjena na jedan oslonac (npr, B) ima oblik:
222 a L y za X B=1/2 je Y B=Y max. =(a+f)=(a+10.0)
m L L 0.502/
(a+10.0) 2 =50.0 2+a 2 , odakle je a=120.0 m
2. raspon (l) lan~anice mo`e se odrediti na temelju op{teg oblika jedna~ine (39) prirodne lan~anice, kada se ova primjeni na jednu ta~ku(npr, B):
,0.130)0.10(
)2/(/.,.........2/...),........(
maY
alchaY l X a
xachY
B
B B B
B l/2a=l/240=n
130.0/120.0=ch(l/240)=ch(n) ; ch(n)=1.0833
Na osnovu tablica ( za kosinus hiperbolni )ili postupnimpribli`avanjem,dobiva se:
n=0.405 , tj. iz l/240=0.405 je l=97.20 m
3. vlastita te`ina,tj. optere}enje lan~anice, slijedi direktno iz relacije (44)koja vrijedi za svaki y, pa i y max. = y A = y B=130.0 m:
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
26/27
26
Dakle ,iz S max =g y max. slijedi : g= S max. / y max. =25.0 N/m
Ostale veli~ine:
A y = B y =Q/2=1250.0 N H=g*a=3000.0 N
tg Θ A= tg Θ B=A y /H=0.417 Θ A=Θ B=22.62 o
PRIMJER 2
Za dva nepomi~na oslonca koji se nalaze na horizontalnom razmaku l=14.0 m,sa visinskom razlikom h=1.0 m, pri~vr{}eno je nerastegljivo u`e, zanemarljivevlastite te`ine , optere}eno sistemom vertikalnih sila na datim me|usobnimrastojanjima - kako je to prikazano na slici 23. Ako je maximalni provjes upolovini raspona y=3.0 definisati konfiguraciju zategnutog u`eta, kao i veli~inesila u njegovim segmentima.
A x=H A y A B y
B Bx =H xS 1 y 1 y 2 y 3
y S sF 1 F 3
3.07.0m F 2
4.0 3.0
Zadano je :
F 1 = F 2 =600.0 NSlika 23.
F 3 =400.0 N
F i=1600.0 N
x1 =3.0 m
x2=7.0 m , y 2 =3.0 m
x3 =11.0 m
Lijevi oslonac:
MB=0: H*1.0 -A y *14.0 +F 1 *11.0 + F 2 *7.0+ F 3 *3.0=0
M2 l=0: H*3.0 -A y *7.0 +F 1 *4.0 =0
Iz ove dvije jedna~ine slijedi : A y = 960.0 N
-
8/15/2019 l a n c a n i c e
27/27
H=1440.0 N= A x
Ukupna reakcija u osloncu : SA=1730.66 N=S 1
Ugao nagiba prvog segmenta : A y /H =tg Θ A=-0.666=- tg Θ 1
Ordinata tjemena l, y 1=2.00 m
Desni oslonac:
Ma =0: H*1.0 -B y *14.0 -F 3 *11.0 - F 2 *7.0- F 1 *3.0=0
M2 d=0: -H*2.0 +B y *7.0 -F 3 *4.0 =0
Iz ovih jedna~ina slijedi : B y =640.0 N
H=1440.0 N= B x
Pa je ukupna reakcija u osloncu : SB=1575.82 N=S 4
Odgovaraju}i ugao nagiba : tg Θ B=0.444=+ tg Θ 4
Na osnovu ~ega je ordinata: y 3=1.34+1.00 =2.34 m
Uglovi nagiba drugog i tre}eg segmenta (10):
-(A y -F 1)/H =tg Θ 2=0.250
Nagib tre}eg segmenta:
-(A y -F 1- F 2)/H =tg Θ 3=0.166
Sile u drugom i tre}em segmentu (9):
S2=H/cos Θ 2=1484.54 N
S3=H/cos Θ 3=1460.44 N
Za cijeli sistem je:
y=0: A y + B y -F 1 -F 2 -F 3 =0
960.0+640.0-600.0-600.0-400.0=0
x=0: -A x + B x =0
-1440.0+1440.0=0
top related