kosmologiehomogenníhoizotropníhovesmírusirrah.troja.mff.cuni.cz/~mira/ashk/povetron-2014-02_3-.pdf ·...
Post on 22-Oct-2020
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
používattakovétogramatickéobludynebosiproněmámvymýšletvlastnínázvy,
atímzvětšovatitakjižobrovskýpočetnázvů?Někomumohounaháněthrůzu
mnohoslabičnéřeckélatinskénebokombinovanénázvyjako„p-krátkovariantní
aq-krátkontravariantnísouřadnicetenzorup+q-téhořáduÿ.Leckterávznešená
společnostbytispíšeodpustilamnohésprostéslovonežabyspoužívalvýrazy
jako„algoritmusÿ,„determinantÿnebo„asociativnostÿ,zejménavpřítomnosti
humanistů.
Monstra.Nejennázvy,lečimatematickéobjektysamé,nevoliurůznýchfajnovek
vzbuditimohou.Jsoutozejménamonstra,objekty,kterénesloužíkřešeníprak-
tickýchúloh,kterévšakpouzeblamujípředchůdceavarujízačátečníky,žebyse
mohlioctnoutnasilněnakloněnérovině,kdybysesnadtřebajenvmyšlenkách
odvážilivyhnoutkrkolomnémuteoretickémuúvodumoderněpojatéhovýkladu
některétřebaistarédisciplíny.Patřísemfunkcespojitá,postrádajícíderivaci
vkaždémbodě.Dálejetofunkcepotrhléhotanečníka(functionofdizzydancer).
Koneckonců,jetověcvkusu.Jedenčtenářčiposluchačbyradějiposlalautora
čipřednášejícíhoněkam,zatímcovtomjinýnajdezalíbení:Möbiůvpruh,Klei-
novaláhev.Anejenzalíbení.Vždyťbyzdemohlvzniknoutnámětprodetektivku
„SmrtvKleinovělahviÿneboproesej„EtikanaMöbiověpruhuÿ.
Past.Matematikajenebezpečnoupastínamajitelevýbornépaměti,ochuzené
sudičkamioobjevitelskouzvědavostaotouhuhledatsouvislosti.Atak,comůže
býtspočátkuvýhodou,sepozdějivymstí,kdyžsevětyaformule,množícese
mezisebou,začnounastudentahrnoutjakovodopádnebolavina.Očlépejena
tomlenoch,kterýsámpřijdenato,žejezbytečnépamatovatsivzorceproplochu
lichoběžníka,kdyžjejmůžepřefiknoutúhlopříčkouarozložitnadvatrojúhelníky,
sekterýmisiužporadí.Dokoncetojdedvěmazpůsoby.Takébymohlvynásobit
střednípříčkuvýškou.Důležitéježemusívždydostattotéž,byťtřebaijinak
napsané.
Neúprosná.Mnohémujenamatematiceprotivné,žejeneúprosná,žesetamnedá
nicokecatjakonapříkladvefilozofii,politicenebovpoetice.Žádné„Cochtěl
básníkříciÿ!Leckterýtakovýsepojednoucítíjakoboxer,kterýbymístoproti
živémusoupeřimělboxovatholýmarukamaprotibetonovémusloupu.Topřece
nenížádnálegrace!Dána-liaxiomatickásoustavaspolusodvozovacímipravidly,
jezbytečnohlasovatoplatnostinějakédomněnky.Jedinědůkazplatí.4
4Chtěljsemsiposoběpřečíst,cojsemvčeranaškrábal.Kuspapírustextemsežralamyš.
Takvida.Užimyšímvadí,copíši.Ajákdotovnocitakvzteklechroustal.Nejvícjívadila
poznámka,žemámdoporučitknihuDanielaGolemanaoemočníinteligenciaotevřítčeský
překladnastraně83.
30
Povětroň2/2014
∗
Kosmologiehomogenníhoizotropníhovesmíru
MiroslavBrož
Kosmologickýprincip
∗
Základnímvýchodiskempronášnejjednoduššímodelvesmírujepozorování,
ženavelkýchměřítkáchjevesmírizotropní.Vevšechsměrechvidímenapříklad
téměřstejnémnožstvígalaxií(vizobr.1)nebokosmickémikrovlnnépozadímá
nasměrutéměřnezávislouintenzitu.
Tatopozorovanáizotropieakoperníkovskýprincip,tojestvíra,ženejsmenani-
jakvýznačnémmístěvesmíru,znamenají,ževesmírjehomogenní(všudestejný).
NadruhoustranumusímezmínitKeplerův–Olbersůvparadox.Pokudbyvesmír
bylnekonečnýazároveňvěčný,hvězdyvněmrozmístěnéskoncentracínase
zářivýmvýkonu
L,byprodukovalycelkově
∫∞
0
L
4pr2
n4p
r2dr=
Ln
∫∞
0
dr=
∞,
(1)
alevnocijetma.Znamenátotedy,ževesmírmělnějakýpočátekanenístatický.
Obr.1—Velkoškálovástrukturavesmírupozorovanápřehlídkou2dF.
Einsteinovyrovnicepole
∗
Abychomvystihlivšechnypodstatnévlastnostivesmíru,musímepracovatse
zakřivenýmčtyřrozměrnýmčasoprostorem,Jdevlastněozobecněníobvykléhotří-
rozměrnéhoEuklidovaprostoru,vněmžvzdálenostimezibodyměřímejednoduše
∗Povětroň2/2014
3
-
pomocíPythagorovyvětyds2=(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2.Infinetezimálnívzdále-
nostmeziudálostmi(„bodyÿ)včasoprostorujepopisovánaobdobněmetrickým
tenzorem
g ik:
ds2=
g ikdx
i dxk=
g 00(dx0)2+g 01dx0dx1+...,
přičemžpřesopakujícíseindexy
iak=0...3podlesumačníhopravidlasčítáme.
Časoprostorjetotižvarieta,čilijelokálněplochý,obdobnějakopovrchZemě-
kouleviděnýzblízka.Proplochý(Minkowského)časoprostorbymaticeg i
kbyla
jednoduchá:
g ik≡
η ik=
−c2000
0100
0010
0001
,
alevobecnémpřípaděje
g ik(t,x
,y,z)zdejinénežg i
k(t
′ ,x′ ,y′ ,z′ )jinde.—potře-
bovalibychomzjistit4×4=16funkcíčasuasouřadnic(respektivejen10,kvůli
symetriig i
k=
g ki).
PrávěktomusloužíEinsteinovyrovnice(EFE),kterépopisujívztahmezikři-
vostíčasoprostoru(metrikoug i
k)a„obsahemÿvesmíru(tenzoremenergieahyb-
nostiTik),kterýjezdrojemgravitace:
Rik−1 2Rg i
k+Λg i
k=8p
G
c4Tik.
(2)
Přestožetytorovnicevypadají„hrozivěÿ,hnedvnásledujícíkapitolejevelmi
zjednodušíme,protoženášvesmírjepřecehomogenníaizotropní(v
g iknejsou
funkceprostorovýchsouřadnicanivýznačnésměry).
RiccihotenzorR
ikaRiccihoskálar
Rjsouprvníadruhéparciálníderivacemetrikypodle
souřadnic:
R=
gikR
ik,
Rik=
Rl ilk,
přičemžRiemannůvtenzor: Ri klm=
∂Γi km
∂xl
−∂Γi kl
∂xm+Γi nlΓn km
−Γi nmΓn kl
aChristoffelovysymboly:
Γi kl=1 2gim
(∂gm
k
∂xl+
∂gm
l
∂xk
−∂gkl
∂xm
)
.
4Povětroň2/2014
∗
Botvinnik.Všetečkukonečněnapadne,žeanivšachovémklububynebylvítán
vetřelec,kterýbychtělvykládatoteoriigrafůjakožtozákladůproprogramování
tétohry,zejménaknihovnyzahájeníakoncovek.LedažebytobylBotvinnik.Ale
tenbymuselkvůlitomuvstátzhrobu.
Vzornážákyně.UčitelpeskujesvounejlepšížákyniA.V.:„Notojenadělení!Já
vždyckyříkámženě:‘Podívejse,covyšložákyniA.V.aopravpodletohoostatní
úlohy.’ATysespletešateďjeutěchdruhýchskorovšechnočerveněpřeškrtané,
itysprávnévýsledky,ovšemsvýjimkouTvépráceapracítěch,cotoodTebe
opsali!ÿ
Lupiči.Katkasechtělavyučitkadeřnicí.Jakévšakbylojejípřekvapení,když
zjistila,žepropřijetídoodbornéhoučilištějiočekávápřijímacízkouškazčeštiny
azmatematiky,vekterénazákladníškolenijaknevynikala.Nenípřílišnezdvo-
řilépřirovnávatčeštinářeamatematikyvtétopoziciklupičům,přepadajícím
poutníkynacestáchkvyššímvýdělkům?Alepročsepoutnícirozhodujípropouť
kvyššímvýdělkůmanepropouťkvyššímoudrosti?
Kuchařavektory.„Načjsoumiteďvmémřemeslevšechnytyaxiomy,theoremy
aformule,dokterýchnásnazákladcenutili?ÿSnažímsehodožrat:„Abysispodle
Pythagorovyvětydovedlspočítat,zdavařečkapadnenadnohrnce,zdasebude
opíratojehostěnunebozdabudevyčuhovat.ÿ„Takjidotohohrncemrsknu
auvidím.ÿProkoukl,žesizněhochcivystřelit,aleto,conásleduje,myslím
smrtelněvážně:„Receptnanějakýpokrmjevlastněvektor.Představsi,žemáš
vyzkoušenýnějakýreceptnajídlopro8osob,aležemášvařitjenpro5hostů.
Nenínicjednoduššího,nežtenstarýosvědčenývektorvynásobitskaláremrovným
pětiosminám.ÿTuseozvalajehokolegyněapřítelkyně:„Fuj,nechtohonebomě
přestanebavitvařitichutnatjíst!ÿAkuchtíkmědorazil:„Natakovévýpočty
nemámčas!Představsi,žedělámomáčku.Napustímvodudohrnce,postavím
naoheň,házímtamjednopodruhýmapořádochutnávám.Tošéfcení,žejsem
vždyckyvčashotovažetonezkazím!ÿKapituluji.
Názvosloví.Nedovedetesipředstavit,jakměštve,ženěkdo—ajásetodozvím,
kdo—nazvaljistoumnožinu„spočetnáÿ.Vždyťjenekonečná!Nenítovrtoch
pouzečeskéhonázvosloví(abzählbareMenge,countableset).Jetospíšecontra-
dictioinadiectočiliprotimluvvpřívlastku.Pohromouproty,kteřísinedovedou
představit,očemmluví,nebseotopatrněpolétanesnaží,můžebýtivěta:„Mez
stínuvrženéhojevrženýmstínemmezestínuvlastního.ÿVždyťtopřišloidoka-
baretu.Věta,věta!Některávětajenapůlstránky!Acosvýrazyjako„množina
Grundyhočíselnásledovníkůpevnězvolenéhouzluÿ.Chci-lisisněkýmpopoví-
datovyhrávajícístrategiideskovéhry,hranénaněkolikadeskáchnajednou,mám
∗Povětroň2/2014
29
-
Akademickýdrbneboli„akadrbÿ
KarelPopp
Pedagogikasdidaktikami
∗
Špalíky.„Cotoděláš?ÿ„Šmirglujutytokvádry.ÿ„Acotobude?ÿ„Stavebnice,
kterábudeučitalgebru.ÿ„Tosnadne,algebrajeabstraktnívěda.Tojepočítání
spísmeny.Tasčíslynemácodělat,natožstěmitošpalíky!ÿ
Týránídětí.Matematikuvymyslelimatematikové,jenproto,abybyločímtýrat
děti.Jinaktokničemunení.
Vyhubení.Jižvprvnímročníkuvyhubilimatematikovéspoustumýchkolegů.
Někteříznichbylitechnickyvelminadaní.∗Studentvyššíhoročníkutechniky.
Kombinace.DalšíročníkkombinaceMaVvužnebude.Matematikovévystříleli
naševýtvarníky.Kombinacesdějepisemnatomnebylalépe.
Osvobození.Veškoláchseučilo,žecelounaširepublikuosvobodilaRudáarmáda
ažeužvosmatřicátýmbylapřipravenapomociastálananašíspolečnýhranici.
Takjsemtoklukoviřek,jaktovopravdubylo.Tonebylotakzlý.Horšíbylyty
množiny.
Názor.Docent:„Nanázorsenesmímespoléhat.Názornásklame.Uvšechvšudy,
užjetoumyvadlozaseucpané!ÿStudentpopřednášce:„Jakjstepoznal,žejeto
umyvadloucpané,kdyžsenesmímepodleVásnanázorspoléhat?ÿCobytomu
řeklzastánceškolyBourbaki?AcoobdivovateléanásledovnícipaníMontessori?
Vznešenost.Naseminářzdidaktikymatematikypřijelučitelškoly,kterávěno-
valavelkoupéčivýucehudby.Jistývšetečkahobombardovalnávrhy,jakspojit
obojí:rozděleníhmatníkukytary,flagioletty,výpočetfrekvencetónůchromatické
stupnice,grafickéamechanickéznázorněníkřížkůabéčekrůznýchstupnic.Na-
konecdalvzácnýhostpřecejenvelicetaktněaskrytěnajevosvůjnázor,žebyse
vznešenáhudbataktozneuctila(besudeln).
Bridge.Nagymnáziuprobíhákurskaretníhrybridge.Instruktorrozdalučebnice.
Vzadujetabulkapravděpodobnostírozděleníkaret(všechnystejnébarvy,4od
jednébarvy,ostatníbarvypotřechkartách,
...).Týžvšetečkasiučebniciprolis-
tovalateďpřihlíží,jakžáciopřestávcehrají.Podotkne,žeješkoda,ževučebnici
neníaniformuleprovýpočetzmíněnýchpravděpodobností,natožjejichodvození.
„Tojedobře!ÿ,odseknouhráčiamastídál.
28
Povětroň2/2014
∗
Λoznačujekosmologickoukonstantu(číslo),
Ggravitačníkonstantu,crychlostsvětlavevakuu.
SložkamiTikmohoubýtobecněopětfunkcečasu,souřadnicneborychlostí,nicméněproideální
kapalinushustotou
ρatlakem
pplatí(vlokálníinerciálnísoustavě):
Ti k=
ρ0
00
0p/c2
00
00
p/c2
0
00
0p/c2
.
Zmatematickéhohlediskajdeosoustavu10(nezávislých)nelineárníchparciálníchdiferenciálních
rovnic.Nenířešitelnáanalyticky,ažnaněkolikspeciálníchpřípadů.
FLRWmetrika
∗
Přihledáníhomogennímetrikysipoložmesiotázku,lzepopsatkřivostjedním
číslem?Vezměmejakopříkladpovrchkouleopoloměru
R,nanížvyznačíme
kružniciopoloměrur.Narovnéplošebychomočekávaliobvodo očekávaný=2p
r,alezdebychomnaměřili:
o změřený=2p
Rsinϑ=2p
Rsinr R
. =2p
R
[r R−1 3!
(r R
)3
+...]
.
Křivostjepakdefinovánapomocítěchtoobvodůjako:
K≡3 plim r→0
o očekávaný−o změřený
r3,
(3)
cožprovýšeuvedenoukoulidává: Kkoule=1 R2.
Nynípřejděmekměřenívzdáleností.Vedvourozměrnéeuklidovskégeometrii
avpolárníchsouřadnicíchbychomměliprostě(ds)2=(dr)2+(rdφ)2
.Avšakna
kulovéplošeje(vizobr.2): (ds)2=(Rdϑ)2+(rdφ)2
,
kde
Rdϑ=dr cosϑ=
dr√R2−r2
R
=dr
√
1−
r2
R2
=dr
√1−Kr2
.
Zobecněnínatřírozměrnýprostorprovedemezáměnou
rdφza
rdθarsinθdφ.
∗Povětroň2/2014
5
-
Obr.2—Geometrienaplošeanakouli.Převzatoz[2]
Nyníjsmeteoretickypřipraveninapsatobecnoumetrikuprozakřivenýčaso-
prostor:
ds2=
−c2dt2+a(t)2[dr2
1−Kr2+r2(dθ2+sin2θdφ2)]
,(4)
kterásenazýváFridmannova–Lemâitrova–Robertsonova–Walkerova,nebolizkrá-
ceněFLRW.Kromě(zatímneznámé)křivosti
Kjsmedonídoplnilii(zatím
neznámou)funkcičasu
a(t),zvanouexpanzníparametr,ježumožnípopisovat
rozpínánínebosmršťovánívesmíru.Pochopitelněvmetricenejsoužádnéfunkce
prostorovýchsouřadnic,protoženášvesmírjevšudestejný.Vmaticovémzápisu
je:
g ik=
−c2
00
00
a(t)2
1−K
r2
00
00
a(t)2r2dθ2
00
00
a(t)2r2sin2θdφ2
.
(5)
Expanzníparametrlzelibovolněškálovat,nicméněpropřehlednostsevolíob-
vyklea(t0)=1dnes,pakKjekřivost,aneboK=
−1,0nebo+1,paka(t)je
křivost.
Fridmannovyrce
∗
DosazenímFLRWmetriky(5)doEinsteinovýchrovnic(2)získámerovnice
proexpanzníparametra(t)akřivostK.Namístoručníhovýpočtupoužijeme
algebraickýmanipulátorReduce(mat()deklarujematiciadf()provádíderivaci
funkcepodleparametru):
%%oznacenisouradnic(x^0,x^1,x^2,x^3)<=>(t,r,theta,phi)
matrixcoords(1,4);
coords:=mat((t,r,theta,phi));
6Povětroň2/2014
∗
Obr.19—Katedrosaikšte,Vilnius,Litva(LVXX01).
NabohatězdobenéfasádědomuvMnichově,vuliciSendlingersenašlomísto
prosvisléslunečníhodinyzroku1734.Vnašisoutěžisinašlymístonatřetípříčce.
NačíselníkujsouvyznačenyhodinyVI–XII–IIajakoukazateljepoužitpolos.
Obr.20—München,SendlingerStrase34,Německo(DEBA85).
∗Povětroň2/2014
27
-
Velmineobvykléatakézajímavéřešeníslunečníchhodinmůžemespatřitna
BaleárechvpřístavnímměstěPortAlcúdia.Sezískanýmidvanáctibodyseumís-
tilynaprvnímmístěmezizahraničnímihodinami.Jednáseosvisléjižnísluneční
hodiny,jejichžčíselníkjevynesennaválcovéploše.Kroměhodinovýchčarod6.do
18.hodinyjsouzdevynesenéidatovéčáry.Jakoukazateljepoužitatrojúhelníková
kulisa.Zapozornostzdestojíhlavnětvaryjednotlivýchdatovýchahodinových
čar,vytvořenéprojekcíčíselníkunaválcovouplochu.
Obr.18—Baleares,PortAlcúdia,Španělsko(ESBA8).
NadruhépříčceseumístilyvelicepěkněprovedenéslunečníhodinynaJJV
stěněbudovyvelkovévodskéhopalácenaKatedrálnímnáměstíveVilniusu,které
vsoučasnostisloužíjakomuzeum—ZemutinesPiliesMuziejus.Římskýmičísli-
cemiVI–XII–IV,umístěnýminastuze,jsouvyznačenéhodinyatečkaminajejím
lemupůlkyhodin.Číselníkjedoplněnrovněždatovýmičaramisvyznačením
znakůzvěrokruhu.Uhodinjepoužitkolmýukazatelsnodem.Vtakovémpřípadě
nenípataukazatelevprůsečíkuhodinovýchčar.Přiodečítáníčasuseřídíme
polohoustínunodunaplošečíselníku.
26
Povětroň2/2014
∗
procedurex(i);coords(1,i+1);
%maticeseindexujiod1,nikoliod0!
%%FLRWmetrikag_ik
a(t);Y;
%obecnafcet
g:=mat(
(-c^2,0
,0,0
),
(0,(a(t))^2/(1-K*r^2),0,0
),
(0,0
,(a(t))^2r^2,0
),
(0,0
,0,(a(t))^2r^2sin(theta)^2)
);
g_:=1/g;
%kontravariantnimetrikag^ik<=>inverznimatice
%%Christoffelovysymboly
procedureChristoffel(i,k,l);begin
scalarCh;
Ch:=0;
form:=0:3dobegin
%opetindexaceg_ik,g^ikod1
Ch:=Ch+1/2*g_(i+1,m+1)*
(df(g(m+1,k+1),x(l))+df(g(m+1,l+1),x(k))-df(g(k+1,l+1),x(m)))
end;
returntrigsimp(Ch);
%zjednodusigoniometrickefce
end;
fori:=0:3dobegin
fork:=0:3dobegin
forl:=0:3dobegin
Gamma(i,k,l):=Christoffel(i,k,l);
%ulozenidopolesetriCPUtime
if(Gamma(i,k,l)neq0)thenbegin
write"Gamma^",i,"_",k,l,"=",Gamma(i,k,l);
end;
end;
end;
end;
%%Riemannuvtenzor
procedureRiemann(i,k,l,m);begin
scalarRi,n;
Ri:=df(Gamma(i,k,m),x(l))-df(Gamma(i,k,l),x(m));
forn:=0:3dobegin
Ri:=Ri+Gamma(i,n,l)*Gamma(n,k,m)-Gamma(i,n,m)*Gamma(n,k,l);
end;
returntrigsimp(Ri);
end;
fori:=0:3dobegin
fork:=0:3dobegin
forl:=0:3dobegin
form:=0:3dobegin
Ri:=Riemann(i,k,l,m);
∗Povětroň2/2014
7
-
if(Rineq0)thenbegin
write"R^",i,"_",k,l,m,"=",Ri;
end;
end;
end;
end;
end;
%%Riccihotenzor
procedureRicci(i,k);begin
scalarRc,l;
Rc:=0;
forl:=0:3dobegin
Rc:=Rc+Riemann(l,i,l,k);
end;
returntrigsimp(Rc);
end;
matrixR_ik(4,4);
fori:=0:3dobegin
fork:=0:3dobegin
R_ik(i+1,k+1):=Ricci(i,k);
write"R_",i,k,"=",R_ik(i+1,k+1);
end;
end;
%%Riccihoskalar
procedureR();begin
scalarR,i,k;
R:=0;
fori:=0:3dobegin
fork:=0:3dobegin
R:=R+g_(i+1,k+1)*R_ik(i+1,k+1);
end;
end;
returntrigsimp(R);
end;
write"R=",R();
%%tenzorenergieahybnostiT^i_kprotekutinu
T__ik:=mat(
(rho*c^2,0,0,0),
(0,p,0,0),
(0,0,p,0),
(0,0,0,p)
);
T_ik:=g*T__ik;
%kovariantniT_ik
8Povětroň2/2014
∗
PracovnírozsahhodinjeVI–XII–IV,sdělenímpocelýchhodinách,kteréjsou
vyznačenyřímskýmičísliceminastuze.Jakoukazatelsloužípolos;azimuthodin
je−16
◦.JejichautoremjeAdolfPoduška.S20získanýmibodysedostalyna
prvnímísto.
Pozornostsizasloužilytakéslunečníhodinyumístěnénavěžinadvchodemdo
kaplevDolanechapodleohlasůzískaly8bodů,atímdruhémísto.Jednáseove-
licepěknéprovedeníslunečníchhodinnastěněorientovanépřibližněkvýchodu.
Tétoorientacinasvědčujítakétéměřrovnoběžnéhodinovéčáry.Zesnímkunení
patrno,jakýukazateljezdepoužit.Vtomtopřípadějemožnopoužítukazatel
kolmýnebovetvaruskoby.
Obr.16—DolanyuKlatova(KD57).
NatřetímmístěsesešestibodyumístilysvisléslunečníhodinyzPrusinovic.
Hodinyjsougnómonickybohaté.Zazmínkuzdestojípřesnévyneseníhyperbol.
Velicečastojsoutotižtytodatovéčárylomenénebopřehnanězakřivené.Jednot-
livédatovéčáryjsouoznačenésymbolyzvěrokruhu.Vhorníčástijsouohraničené
přímkouhorizontu.HodinovýrozsahjeVIII–XII–XVIIsdělenímpojednéhodině.
Jakoukazateljepoužitzkrácenýpolos,kterýukazujedatumkoncemsvéhostínu.
AutoremhodinjeVilémLev.
Obr.17—Prusinovice,Přerovská125(KM32).
∗Povětroň2/2014
25
-
Obr.14—ZávěrečnýpohlednaŽebrák.
Slunečníhodinyprvníhokvartáluroku2014
JaromírCiesla
Zaprvníkvartálroku2014přibylodokataloguslunečníchhodin45nových
záznamů.Ztohotopočtujich33pocházízezahraničí.
JižzdálkyjsoudobřevidětsvisléslunečníhodinynafasáděObecníhoúřaduve
StaréVráži.Vestředučíselníkusenacházíznakobce.Veznakuobcejesvatovác-
lavskáorlicejakosymbolzasvěcenímístníkapličkySvatémuVáclavovi.Použitá
červenáabílábarvajesymbolemčeskéstátnostiaklínvetvaruVznačíVráž.
Podlepozadí,nakterémjeznakumístěn(královskýplášťskorunou),bysedalo
usuzovat,žesejednáokrálovskésídlo.
Obr.15—HodinyveStaréVráži(ev.č.PI70).
24
Povětroň2/2014
∗
%%Einsteinovyrcepole
write"EFE:",R_ik-1/2*R()*g-Lambda_*g,"=",(8*pi*capG/c^4)*T_ik;
bye; Výslednásložka00EinsteinovýchrovnicsenazýváFridmannovarovnice:
ȧ2+Kc2=8p
G 3
(
ρ+
≡ρΛ
︷︸︸︷
Λc2
8pG
)
a2.
(6)
ZestopyEFEvycházíještědruháFridmannovarovnice:
ä+
ȧ2+
Kc2=
−4p
G 3
(
ρ+3p c2+Λc2
2pG
)
a2.
Zapředpokladuplatnostirovnicekontinuity:
d(ρa3)
dt=
−p c2d(a3)
dt
lzeodvoditijinýužívanýtvarFridmannovyrovnice(6);nejprvejinásobímea:
ȧ2a+
Kc2a=8p
G 3ρa3,
pakderivujemepodlečasu:
2ȧäa+
ȧ2ȧ+
−ȧ2+8
pG 3ρa2
︷︸︸︷
Kc2
ȧ=8p
G 3
−p c2
d(a3)
dt
︷︸︸︷
d(ρa3)
dt
,
odkudihnedplynerovniceprozrychlení:
ä=
−4p
G 3
(
ρ+3p c2
)
a.
Abychommohlivypočítatkonkrétníprůběh
a(t),potažmoρ(t),musímeznát
ještěstavovérovnice,respektivezávislosti
ρ(a)prorůznésubstance,cožshrnuje
následujícítabulka:
hmota(prach):
pm=0
ρm=
ρm0a−3
(7)
záření,neutrina:
prel=1 3ρrelc2
ρrel=
ρrel0a−4
(8)
Λ(temnáenergie):
pΛ=
−ρΛc2
ρΛ=
ρΛ0=konst.
(9)
∗Povětroň2/2014
9
-
Hmota(aťužveforměhvězd/galaxiínebojakotemnáhmota),jestrhávaná
rozpínajícímseprostoremajejíhustotapřirozeněklesájako1/
a3.Profotonyse
všakkroměpoklesujejichkoncentraceuplatňujeještěprodlužovánívlnovédélky,
kteréovlivňujeenergiipodlevztahu
E=
hc/λ,takževýslednáúměraje1/
a4.
Hustotaodpovídajícíkosmologickékonstantěnaopakzůstávákonstantní;pokud
jipřevedemenapravoustranuEFEhovořímetéžotemnéenergii.
Propopisrozpínánísekroměexpanzníhoparametru
a(t)používátakéHubbleův
parametr:
H(t)≡
ȧ a.
(10)
Prodnešek(zblízkýchobjektů)jezměřenahodnotaH0
. =71km
·s−1·Mpc−1,
což„numerologickyÿzhrubaodpovídárychlostivzdalováníMěsíceodZemě.Dále
zavedemedeceleračníparametr:
q(t)
≡−äa ȧ2
(11)
proposouzenítoho,kdyserozpínánízpomaluje(q
>0)akdyzrychluje(q
<0).
Měřitelnouveličinoujerudýposuv(angl.redshift),jehodefiniceavztahka(t)je:
z≡
λdnespozorované−λemitované
λemitované
,1+z=
a0 a.
(12)
Zdůvodů,kterébudouzřejmézáhy,zavedemekritickouhustotujako:
ρc=3H
2
8pG
.(13)
ProvýpočetníúčelyFridmannovurovnici(6)upravímesvyužitímstavových
rovnic:
ȧ2+Kc2=
=H2 0
ρc0
︷︸︸︷
8pG 3
(ρm0
a3+
ρrel0
a4+ρΛ0
)
a2,
definujemebezrozměrnéveličinyΩjako:
Ω≡
ρ ρc,
pak
ȧ2+Kc2=
H2 0
(Ωm0
a+Ωrel0
a2+ΩΛ0a2
)
10
Povětroň2/2014
∗
Obr.13—DalekohledNewton350mm.
dnes.Jsouzdepořádanézajímavéakce,kterýmisesdruženípozitivnězviditelňuje
vočíchveřejnosti.Mezioblíbenéakcepatřípodzimnídrakiády,účastinamuzej-
níchnocích,veřejnápozorovánízhraduTočník,výšlapypostopáchmeteoritu,
přednáškyvmuzeuadalší.Aktuálníinformaceoaktivitěhvězdárnylzenaléztna
přehledněvedenýchwebovýchstránkách〈http://www.hvezdarnazebrak.cz〉.
Napozemkuhvězdárnysenacházímeteorologickástanicesledujícípočasí.Na-
měřenádatajsoupřenášenáprostřednictvíminternetu.Nabudovějeumístěna
webovákamera,kterápřenášíonlinepohlednaměstoŽebrák.
Hlavnímplánemhvězdárnydobudoucnajepřístavbahvězdárnyadokoncevy-
budováníplanetária.Prvnízdárnékrokymájižhvězdárnazasebou.Vespolupráci
sarch.JosefemPánkembylvypracovánprojekt,kterýprošelpřipomínkovýmří-
zením.Vdohlednédoběbytakzdemohlovzniknoutpřírodovědnéainformační
centrum,kterébyposkytlodostatečnéprostoryprodůstojnoupopularizacivědy
jakozdrojvzdělávání,poučeníazábavynaBerounsku.
Závěremděkujimémuprůvodci,kterýmbylVáclavKeberle.
∗Povětroň2/2014
23
-
Obr.11—Přednáškovámístnost.
Obr.12—Schodypodkopuli.
Vpřízemíbudovyopůdorysuasi6
×6msenacházímalápřednáškovámístnost
pro16lidí,vybavenámoderníaudiovizuálnítechnikou.Podřevěnémschodišti
sevstupujedoprostorukopule,kterámáprůměr5,5m.Zdesenacházíhlavní
dalekohledhvězdárny,kterýmjeNewtonsprůměremhlavníhozrcadla350mm
oohniskovévzdálenosti2150mm.Jelikožbylakvalitapůvodníhozrcadlanevy-
hovující,bylonejdřívevroce2005přebroušenoanakonecvroce2007vyměněno
zanové.Dalekohledjeusazenvparalaktickévidlicovémontáži,ukterésekon-
struktéřinechaliinspirovatvtédoběnejvětšímdalekohledemnasvětě,ataksvou
stavbounápadněpřipomínávelkýpětimetrovýdalekohlednahořeMt.Palomar
vUSA.Ovšemvmnohemmenšímměřítku.
Pohondalekohledubyldoplněnelektronikou,čilinedělávelkétěžkostizaměření
napozorovanýobjektataképlynulésledovánípoobloze.Součástídalekohledu
bylaifotokomora,kterásenynírekonstruuje.Plánujesezakoupeníslunečního
dalekohledu.
Propozorováníjepoužívánoiněkolikpřenosnýchdalekohledů,knimžpatří
refraktorMeadenaazimutálnímontážisautomatickýmnaváděnímazrcadlový
Newton150mmnaněmecképaralaktickémontáži.
Nahvězdárněsepravidelněkonajíastronomicképřednáškyapozorovánípro
veřejnost,scházísezdeastronomickýkroužekajevydávánzpravodajAstronomie
22
Povětroň2/2014
∗
ačlen
Kc2vyloučímepomocítéžerovnice,alenapsanépročast=
t 0,kdyje
a0=1,
ȧ0=
H0a0=
H0:
H2 0+Kc2=
H2 0(Ωm0+Ωrel0+ΩΛ0),
čili:
ȧ2=
H2 0
(Ωm0
a+Ωrel0
a2+ΩΛ0a2+1−Ωm0−Ωrel0−ΩΛ0
)
,(14)
cožjeobyčejnádiferenciálnírovnice1.řáduproa(t),kteroumůžemesnadnořešit
numericky(vizpodstatnoučástkóduprogramufridmannveFortranu77):
cpocatecnipodminky
t=0.d0
a=a_0
tout=t
chlavnicyklus
dowhile((t.lt.tstop).and.(a.gt.0d0))
cstavoverovniceprohmotu(prach),zareniavakuum=>skalovanihustot
Omega_m=Omega_m0/a
Omega_rel=Omega_rel0/a**2
Omega_lambda=Omega_lambda0*a**2
crudyposuv
z=a_0/a-1.d0
cstandardnivystup
if(t.ge.tout)then
write(*,*)(t_0+sign*t)/Gyr,a,z,Omega_m,Omega_rel,
:Omega_lambda
tout=t+dtout
endif
cFridmannovarovnice
da_dt=sqrt(H_0**2*(Omega_m+Omega_rel+Omega_lambda
:+1.d0-Omega_m0-Omega_rel0-Omega_lambda0))
cjednoduchyEuleruvintegrator
a=a+da_dt*dt*sign
t=t+dt
enddo
Některéhypotetickévesmírypochopímeibezprogramu:
1.proprázdnývesmír(T
ik=0,bezΛ)vycházíȧ2=0,
a=konst.,H=0,
K=0,
čilijevněmstatickýMinkowskéhoplochýčasoprostor(g
µν=
η µν).
2.deSitterůvvesmír(T
ik=0,pouzeΛ>0)sevyznačujeexponenciálnímrozpí-
náním
a(t)∝expχt.
∗Povětroň2/2014
11
-
3.proprachaplynexistujekritickáhustotaρc(viz(13));je-li
ρ=
ρc⇒
K=0,tzn.vesmírjeplochý;
ρ>
ρc⇒
K>0,jeuzavřený,mákulovougeometrii;
ρ<
ρc⇒
K<0,jeotevřený,geometriejehyperbolická.
Propodkritickýhmotouvyplněnývesmírplatíúměraa∝
t2/3.
4.vesmírvyplněnýzářenímserozpínájako
a∝
t1/2
5.nášpozorovanývesmírmápočátečnípodmínky(včase
t=
t 0)přibližněΩm0=
0,27,Ωrel0=8,24
·10−5,ΩΛ0=0,73.Naobr.3a4vidímejehovývojspočtený
výšeuvedenýmprogramem.MůžemeznějodečístokamžikVelkéhotřesku
t BB=
−13
,7Gyr,kdyje
a=0,začátekzrychlovánívčase
t=
−6,7Gyr,nebo
trváníéryzáření(ρrel>
ρm)asi55000rokůodVelkéhotřesku
Vdalšíkapitolevysvětlíme,zčehoseodvozujívýšeuvedenéhodnotyΩ.
Jakseměřívesmír?
∗
Parametrynašehovesmírujsouomezenépředevšímdvěmapozorováními:i)mě-
řenímfluktuacíkosmickéhomikrovlnnéhozáření(CMB);ii)fotometriíaspek-
troskopiísupernovtypuIa.
Změřenéintenzitykosmickéhomikrovlnnéhozářenísevypočítáváprostorové
spektrumfluktuací(přičemžseodečtedipólnísložkaarušeníMléčnoudráhou)
atasefitujekosmologickýmimodely(vizobr.5).Nenítojednoduchýhomogenní
model,tobychompochopitelněnedostaližádnéfluktuaceCMB.1,2
LuminozitnívzdálenostisupernovIajsouurčovanénezávislepomocícefeid
neboTullyho–Fisherovýmvztahemaporovnávajísesrudýmposuvemmateř-
skýchgalaxií(vizobr.6).3
1Totozářenívznikloasi380000rokůpoVelkémtřesku,kdyždošlokrekombinaci,čilizáření
seodděliloodlátkyavesmírsestalprůhledný.Jednásevlastněonejvzdálenějšíobjekt,který
můžemepozorovat.Pozor,nenímožnétvrdit,ževzdálenostCMBje13,7Gly!Vokamžiku,
kdydošlokemisifotonů,bylzdrojodnás(budoucíZemě)vzdálenjen40Mly.Totozáření
pakcestovalo13,7Gyrskrzrozpínajícíseprostor,takžesouhybnávzdálenostněkdejšíhozdroje
(dnesnějakégalaxie)odsoučasnéZeměje48,5Gly.
2Tvarprostorovéhospektrasevysvětlujeakustickýmioscilacemivplazmatutvořenémbary-
onyafotony.Největšíamplitudaokoloℓ≃200,čemužodpovídáúhelnaobloze
ϕ=180◦
/ℓ≃1◦,
seprotonazýváakustickývrchol.Dalšímijevy,kteréfotonyCMBovlivňují,jsoudifúznítlu-
mení(téžSilkovo;jdeovyrovnávánífluktuacíhustotyfotonyběhemrekombinace),Sunyaevův–
Zéldovičůvjev(tj.změnatvaruspektraCMBrozptylemnaenergetickýchelektronech),Sachsův–
Wolfůvjev(gravitačnírudýnebomodrýposuvfotonůCMB).
3Kextinkcizářenídocházízejménavhostitelskégalaxii,nikolivmezigalaktickémprostoru,
protojsourůzněvzdálenésupernovyzeslabenystejně.Ostatněsenepozorujeanivýraznézčer-
venáníspektervzdálenýchsupernov.
12
Povětroň2/2014
∗
Významnýmdatembyl24.říjenroku1824.Tendenbylkolemosméhodiny
zaznamenánletmeteoru.Tentojevbyldoprovázenhlasitýmizvukovýmiefekty.
Krátcepředdopademsemeteoroidrozpadlnaněkolikúlomků,kterédopadly
voblastimeziŽebrákemaPraskolesy.
Událostvyvolalaznačnýzájemmeziobčany,ataknenídivu,žekrátcepo
pádubylynalezenyhneddvanejvětšíúlomkykamennéhometeoritu(chondritu)
ocelkovéhmotnosti1873g.JejichnálezcembylžebráckýobčanF.Kolben.Oba
nalezenékusyodkoupilhraběEugenzVrbna.Jedenznichdarovaldosbírek
VlastivědnéhomuzeavPraze.Dnesmůžemetentokusohmotnosti861gspatřit
vesbírkáchNárodníhomuzea.DalšíkusysenacházejívesbírkáchMuzeapřírodní
historieveVídniavBudapešti.Množstvídrobnýchúlomkůohmotnostech1až
14gjepakrozesetovesbírkáchmuzeípocelémsvětě.
Přibližněpadesátletpotétoudálostisezdezačínáscházetskupinazájemců
oastronomii.Počasepřišlisnávrhemnastavbuhvězdárny,kterýsenakonec,
ikdyžjenvpolovičnímrozsahu,podařiloprosadit.Stavbahvězdárnynasnadno
dostupnémmístěnakopcinadměstemprobíhalavakci„Zÿzaúčastičlenůast-
ronomickéhokroužkupřiZKTOSaobčanůměsta.
Obr.10—Modelplánovanéhvězdárny.
Hvězdárnabylaslavnostněotevřenavroce1954.Nahvězdárněsescházelast-
ronomickýkroužek,bylaprováděnaastronomickápozorování,např.proměnných
hvězdaslunečníchskvrn.Poněkolikaletechaktivníhopůsobenívšakjejíčinnost
postupněupadá,ažnakonecdocházíkuzavřeníhvězdárny.
Začátkem21.stoletísinevyužitéhvězdárnyvšímáskupinaastronomůama-
térů,kteréjejístavnenílhostejný.Ztohodůvoduzakládajívroce2004Sdružení
HvězdárnaŽebrák,kteréseaktivnězapojujedokulturníhoděníměsta.Svojíčin-
nostísetěšínejenvelkémuzájmuobčanů,aleivýznamnýchosobností,kterétuto
hvězdárnunavštívily.
∗Povětroň2/2014
21
-
[5]SupernovaCosmologyProject[online].[cit.2012-01-27].〈http://supernova.lbl.gov/〉.
[6]WeinbergS.Cosmology.Oxford:OxfordUniversityPress,2008.ISBN0198526822.
[7]Wright,E.CosmologyCalculator.[online][cit.2012-01-31].
〈http://www.astro.ucla.edu/~wright/CosmoCalc.html〉.
HvězdárnaŽebrák
JaromírCiesla
Nakoncidubna2014jsemnavštíviljednuzmalýchadneszaseživýchhvězdá-
ren,hvězdárnuvŽebráku.Jelikožjsemprojíždělkolemmimonávštěvnídobu,
obrátiljsemsevpředstihunačlenySdruženíHvězdárnaŽebrák.Obratemmi
bylanabídnutamožnostprohlídkyhvězdárnyvevhodnémčase.
Obr.9—HvězdárnaŽebrák.
Kroměhvězdárnysamotnéjezajímaváihistoriemísta,kdesenacházíkrálovské
komorníměstoŽebrák.PrvnípísemnézprávyoŽebrákupocházejízroku1280,
avšakarcheologickévykopávkydokládajíosídleníjižpředsedmitisícilety,kdyse
zdenacházelarozsáhláosada.Jedocelamožné,žejižtehdysezdenašlijedinci,
kterýmjasnáoblohaposetátisícihvězdaminedalavnocispát.
OsadaŽebrákbylazaloženaasive12.stoletíaodstoletí13.bylarušným
tržištěmnaobchodnícestěmeziPrahouaPlzní.Vroce1396bylaobecŽebrák
povýšenadekretemkráleVáclavaIV.naměsto.Dominantouměstajezřícenina
hraduTočník,kterýbylzaloženvroce1390králemVáclavemIV.Kousekpodním
senacházejízbytkyhraduŽebrák,kterýbylpostavenkolemroku1280Oldřichem
ZajícemzValdeka.Hradjeodroku1552opuštěnadodnešnídobysezněj
dochovalapouzeválcovávěž,zekteréjepěknávyhlídka.
20
Povětroň2/2014
∗
0
0.5 1
1.5
-15
-10
-5 0
5
a(t)
t / G
yr
Ωm
0
ΩΛ
0
Ωre
l ≈ 0
(em
pty
)
0
0.5 1
1.5
-15
-10
-5 0
5
a(t)
t / G
yr
Ωm
= 0
.5 (
open)
0
0.5 1
1.5
-15
-10
-5 0
5
a(t)
t / G
yr
Ωm
= 1
.0 (
critical)
0
0.5 1
1.5
-15
-10
-5 0
5
a(t)
t / G
yr
ΩΛ =
0.5
0
0.5 1
1.5
-15
-10
-5 0
5
a(t)
t / G
yr
Ωm
= 0
.5,
ΩΛ =
0.5
0
0.5 1
1.5
-15
-10
-5 0
5
a(t)
t / G
yr
Ωm
= 1
.0,
ΩΛ =
0.5
0
0.5 1
1.5
-15
-10
-5 0
5
a(t)
t / G
yr
ΩΛ =
1.0
0
0.5 1
1.5
-15
-10
-5 0
5
a(t)
t / G
yr
Ωm
= 0
.5,
ΩΛ =
1.0
0
0.5 1
1.5
-15
-10
-5 0
5
a(t)
t / G
yr
Ωm
= 1
.0,
ΩΛ =
1.0
0
0.5 1
1.5
-15
-10
-5 0
5
a(t)
t / G
yr
Ωm
= 2
.0 (
clo
sed)
0
0.5 1
1.5
-15
-10
-5 0
5
a(t)
t / G
yr
Ωre
l = 1
.0 (
radia
tion)
0
0.5 1
1.5
-15
-10
-5 0
5
a(t)
t / G
yr
Ωm
= 0
.73
ΩΛ =
0.2
7(o
bserv
ed)
t BB =
-13.7
Gyr
t 0
q =
0
Obr.3—Vývojexpanzníhoparametru
a(t)prorůznéhodnotyΩm0,ΩΛ0,Ωrel0.Hodnota
HubbleovaparametrujevevšechpřípadechH0=70
,9km
·s−1·Mpc−1.
10
-6
10
-4
10
-21
10
2
10
4
10
6 -1
4-1
2-1
0-8
-6-4
-2 0
Ωm0/a, Ωrel0/a2, ΩΛ0a
2t
/ G
yr
t BB
t 0
ΩΛ
Ωm
Ωre
l
t − t
BB /
Gyr
ΩΛ
Ωm
Ωre
l
0 0
.00
05
0.0
01
matter
era
radiation era
Obr.4—ČasovézávislostirelativníchhustotΩ
′=
ρρc0pronášpozorovanývesmír.Rozlišujeme
přitompříspěvkyodkosmologickékonstanty,temnéhmoty+baryonůaodzáření.Nadetailu
vpravojepatrnéobdobíodVelkéhotřeskudo1Myr.
∗Povětroň2/2014
13
-
LuminozitnívzdálenostdLjedefinovánajako:
d2 L≡
L
4pF
,(15)
kdeLoznačujeluminozituzdrojeaFměřenýtok.Předpokládejme,žezdrojjevpočátkusou-
hybnésouřadnicovésoustavyaemitujefotonydosféryopoloměrur.Plochasféryje4p[a(t)r]2
(ikdyža(t)rnenípoloměrpři
K6=0).
Tokjevšakkroměobvykléhozákonačtvercůovlivněndalšímidvěmajevy:i)fotonymají
kvůliexpanzimenšíenergiiE
γ=
hcλ,λ∝
a(t);ii)fotonykvůlidilatacičasupřicházejísvětšími
„přestávkamiÿ.Obaseprojevífaktorem1/(1+
z):
F=
L
4pr2
1
1+
z
1
1+
z,
cožpodosazenído(15)dávávztah:
dL=
r(1+
z).
(16)
Souhybnésouřadnicerlze(bezdůkazu)vypočítatjako:
r(z)=
c H0S(z),
(17)
kdefunkce:
S(z)=
I(z)proΩ0=1,
=1
√Ω0−1sin[
I(z)√Ω0−1]
proΩ0>1,
=1
√1−Ω0sinh[
I(z)√1−Ω0
]
proΩ0<1,
(18)
aintegrál:
I(z)=
H0
∫z
0
dz′
H(z
′),
(19)
kterýlzepočítatnumerickyzvýstupuprogramufridman.
ParametryvesmíruajejichnejistotyodvozenézdatWMAP,SNIaaSDSS
(Spergelaj.2006)jsouuvedenyvtab.1.
Vsoučasnostijekritickáhustotarovnaρc0=3H2 0
8pG
. =10
−26kg
·m−3≃6protonů·
m−3,alenejsoutoprotony!Většinuobsahuvesmírutvoříkosmologickákonstanta
aliastemnáenergie,zbytektemnáhmotaa„zanedbatelnouÿmenšinu(4%)ba-
ryony.Oleptonech,fotonechneboneutrinechaninemluvě.Natitulnímobrázku
vidíme,jakdůležitéjepozorovánírůznýmimetodami,protožekaždámájinéne-
jistoty,přičemžvýšeuvedenépřesnéhodnotyΩjsouvjejichprůsečíku.
14
Povětroň2/2014
∗
Mějmejednuvirtuálníčásticiohmotnosti
m≃∆
Ec2vboxuorozměruL
≃∆x.Jejíživotní
dobaplynezHeisenbergovaprincipuneurčitosti:
∆t≃
h̄
∆E
≃h̄
mc2
.
Protoženejistotahybnosti∆p≥0ihybnostp≥0,musíminimálníhodnotahybnostibýtřádu
pmin
≃∆p.Zprincipuneurčitostivímezároveň,že:
∆p≃
h̄ ∆x,
takžerychlostčásticevyjádřímejako:
v≃
pmin
m≃
h̄
mL
.
Největšívzdálenost,kteroučásticemůžeproletět,abynevyletělazboxu,je
L=
v∆t.Podosa-
zení:
L=
h̄
mL
h̄
mc2
,L2=
h̄2
m2c2
,L
≃h̄ mc.
Abychomvytvořilipárvirtuálníchčástic,musíhustotaenergievakuabýt:
uvac≃2m
c2
L3
≃2m4c5
h̄3
.
Největšíhmotnost,kterápřicházívúvahu,jePlanckovahmotnost:
mp=
√
h̄c G≃1019GeV
,
odkudplyne:
uvac≃2m4 pc5
h̄3
≃2c7
G2h̄
≃10114J·m
−3.
Přesnějšíteoriedáváuvac≃10111J·m
−3.Tojevpříkrémrozporusměřenouhodnotou:
uΛ=
ρΛc2=
ρcΩΛc2=6,22
·10−10J·m
−3.
Nelzevyloučitmožnost,ževevesmíruexistujenějakédalšískalárnípole,jako
jezmiňovanákvintesence.
[1]CarrolS.M.ANo-NonsenseIntroductiontoGeneralRelativity[online].[cit.2010-03-
08].〈http://preposterousuniverse.com/grnotes/grtinypdf.pdf〉.
[2]CarrolB.W.,OstlieD.A.AnIntroductiontoModernAstrophysics.SanFrancisco:
Pearson,AddisonWesley,2007.ISBN0321442849.
[3]NolletK.M.,BurletS.Estimatingreactionratesanduncertaintiesforprimordial
nucleosynthesisPhys.Rev.D,61,123505,2000.
[4]Reduce.[online][cit.2010-03-08].〈http://www.reduce-algebra.com/〉.
∗Povětroň2/2014
19
-
Oblakahorkéhomezigalaktickéhoplynuzářícíhovrentgenovémoboru,která
sepozorujívkupáchgalaxií,sevyznačujívelkourychlostíemitujícíchčástic,jež
přesahujerychlostúnikovou(počítanouzesvítícílátky).Protožeplynnavzdory
tomupozorujeme,musíbýtkupycelkověasi10kráthmotnějšínežsvítícílátka.
Temnouhmotounemohoubýtstelárníčernédíry,tybylyvyvrácenynegativním
pozorovánímgravitačníchčočekveVelkémMagellanověmračnu.
Temnáhmotamusíbýtnebaryonická,protožejinakbynukleosyntézapoVel-
kémtřeskuproběhlaodlišně,bylabypřekonánaberyliovábariéraavznikloby
mnohoprimordiálníhoželeza(vizobr.8).Nesmíaniinteragovatelektromagne-
ticky,protožebyseprozradilanějakýmzářením.
Protoseuvažujeohmotnýchneutrálníchelementárníchčásticíchinteragujících
pouzeslaběagravitačně.Mimojinébylynavrhoványaxionyneboneutralina
(superpartneřineutrinvsupersymetrickýchteoriích),nicménězatímneexistuje
experimentálnípotvrzenítěchtohypotéz.
Obr.8—Schematickéznázorněníjadernýchreakcí,kteréseuplatňovalyběhemnukleosyntézy
poVelkémtřesku.Převzatoz[3].
Cojezdrojemtemnéenergie?
∗
Nejjednoduššímvysvětlenímbymohlobýt,ževEinsteinovýchrovnicíchprostě
musíbýtuvedenakosmologickákonstantaΛ,nicméněneníuspokojivé,kdyžne-
mámeteoriivysvětlujícíjejívelikost.
Přirozenýmvysvětlenímbybylaenergievakua,nanežvkvantovémechanice
nahlížímejakonaprostorplnývirtuálníchčástic.Problémje,žezkvantovéteorie
vycházío120řádůvětšíhodnotanežpozorovanáρΛ!Těžkopaktakovéinterpre-
tacivěřit.
18
Povětroň2/2014
∗
Obr.5—Vlevofluktuaceintenzitymikrovlnnéhozářeníznázorněnébarevnouškálounamapě
oblohy.Vpravoodpovídajícíprostorovéspektrum,čilizávislostamplitudynaprostorovéfrek-
venci(multipólovémmomentu
ℓ).Největšíamplituduvykazujífluktuacesúhlovýmrozměrem
okolo1◦.
Obr.6—Vztahmezimodulemvzdálenostiarudýmposuvemprovelkývzoreksupernov
typuIa.Převzatoz[5].
PozorujemetedyΩ=ΩΛ+ΩCDM+Ωbaryonů+(nepatrnépříspěvkye−,γ,ν)=
(1,00±0,04),čiliplochývesmírjevsouladuspozorováním.Uvědommesiale,že
vprincipunelzenikdyprokázatpřesnouplochost!
Poznamenejme,žeΛpřispívásvouhustotoukezpomalovánírozpínání(avyrov-
návájehokřivostnanulu),alezároveňsvýmzápornýmtlakemrozpínánízrych-
luje.Existujísamozřejměijinéhypotézy,hovořísenapříkladokvintesenci,která
máodlišnoustavovourovnici,proměnnouvčase.Parametrykosmologickéhomo-
delubysepakdojistémíryzměnily.
∗Povětroň2/2014
15
-
H0
=70
,9+2,4
−3,2km
·s−1·Mpc−1Hubbleůvparametr
ρ0
=0,94+0,06
−0,09·10−26kg
·m−3kritickáhustota
Ωb
=0,0444+0,0042
−0,0035
hustotabaryonů
ΩCDM+b=0,266+0,025
−0,040
hustotatemnéhmoty+baryonů
ΩΛ
=0,732+0,040
−0,025
hustotatemnéenergie
z ion
=10
,5+2,6
−2,9
rudýposuvreionizace
τ=0,079+0,029
−0,032
optickáhloubkareionizace
t 0=13
,73+0,13
−0,17Gyr
stářívesmíru
Tab.1—ParametryvesmíruajejichnejistotyodvozenézdatWMAP,SNIaaSDSS(Spergel
aj.2006).
Teplotazáření
∗
Spektrumkosmickéhopozaďovéhozářeníjeplanckovské,cožsvědčíotom,že
zářeníje(bylo)vtermodynamickérovnováze.Zarovnovážnéhostavumámeovšem
podleStefanova–Boltzmannovazákonahustotuenergiezářenírovnu:
u=
σ 4cT4.
(20)
Prozářenízároveňplatíkosmologickéškálováníρrel=
ρrel0a−4,tudíž:
σ 4cT4=
σ 4cT4 0a−4,
odkudsnadnovyjádřímezávislostteplotynaexpanznímparametru:
T(t)=
T0
a(t).
(21)
Dosadíme-lipozorovanouhodnotuT0=2,7K,můžemeodhadovatteplotuzáření
vminulosti(vizobr.7).Véřezáření(ipředrekombinací)navíclzepředpokládat,
žeilátkabylavrovnovázesezářením,čilimělastejnouteplotu.
Zásadnímpoznatkemje,ženukleosyntézavehvězdáchneníschopnavysvětlit
pozorovanývelkýobsahheliavevesíru(Y
≃0,25),vzhledemkrelativněmalému
obsahuuhlíkunebokyslíku(Z
≃0,02).Syntézaheliapřitomvyžadujeteploty
řádově
T≃109K,abymohlabýtpřekonánacoulombickábariéra(spomocítu-
nelovéhojevu).
16
Povětroň2/2014
∗
Budeme-litedypředpokládat,že„nadbytečnéÿheliumbylsyntetizovánovhor-
kémranémvesmíru,vtudobumuselobýta(t)=
T0 Ta0≃3·10−9.Zprůběhua(t)
pakvyplývá,ženukleosyntézamuselaprobíhatvprvníchminutáchpoVelkém
třesku,alenedříve,protožebydocházelokfotodisintegracijader.
Atomyvzniklyažmnohempozději,kdyžteplotazářeníaodpovídajícíenergie
fotonůbylanižšínežionizačníenergieatomů.Výpočetmůžemeprovéstpomocí
Sahovyrovnice:
X2
1−X
ne=
(2p
mekT
h2
)3 2
exp(
−χ kT
)
,(22)
kdeX
≡ne noznačujeionizačnístupeň,nekoncentracielektronů(odvozenou
zρb=
ρb0a−3),
mehmotnostelektronu,
kBoltzmannovukonstantu,
hPlanc-
kovukonstantuaχionizačníenergiiatomu.Období,kdyprobíhalarekombinace,
vycházípřibližněod210000roků(X=0,99)do420000roků(X=10
−3)po
Velkémtřesku.
T / K
X
t − t
BB /
yr
t − t
BB /
s
2.7
K
tem
pe
ratu
re
ion
isa
tio
nle
ve
l
1
100
10
4
10
6
10
8
10
10 1
0-6
10
-41
0-2
11
00
10
41
06
10
81
01
000.5
1.0
100
10
00
01
06
10
81
01
01
01
21
01
41
01
6
nucleosynthesis
recombination
Obr.7—TeplotazářenívzávislostinačaseastupeňionizacevypočtenýdleSahovyrovnice.
Úvahyoprůběhuteplotyvevelmiranémobdobí(T
>1010K)jsousložitější,
protožedocházíkfázovýmpřechodům(např.anihilacipárů,odděleníneutrin)
nebojerychlostexpanzetakvelká,žeprocesyprobíhajínerovnovážně.
Cojezdrojemtemnéhmoty?
∗
Proexistencitemnéhmotysvědčípozorovánínezávislánajakýchkolikosmo-
logickýchmodelech.Jdezejménaonekeplerovskourotacivnějšíchčástígalaxií
(plochárotačníkřivka
v(r)),způsobenáhalemnesvítícíhmoty.
∗Povětroň2/2014
17
top related