fractales en agricultura
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Departamento de Matemtica Aplicada a la Agronoma
Escuela Tcnica Superior de Ingenieros Agrnomos
TESIS DOCTORAL
Aplicacin de tcnicas de anlisis multifractal
a distribuciones de tamao volumen de partculas de suelo
obtenidas mediante anlisis por difraccin de lser
Autora: M^ Elosa Montero Pascual
Ingeniera Agrnoma
Director: Miguel ngel Martn Martn
Doctor en Ciencias Matemticas
2 3
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UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID
Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad Politcnica
de Madrid el da de de
2003.
Presidente D
Vocal D
Vocal D
Vocal D
Secretario D
Suplente D
Suplente D
Realizado el acto de defensa y lectura de la tesis el da de de2003
en la E.T.S.I./Facultad
Calificacin:
EL PRESIDENTE
LOS VOCALES
EL SECRETARIO
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mis familias
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El cientfico no estudia la naturaleza porque es til
sino porq ue le cautiva y le cautiva porque es bella.
Si la naturaleza no fuera hermosa
no valdra la pena conocerla
y si no valiera la pena conocer la naturaleza
tampoco valdra la pena vivir.
Por supues to no me refiero aqu
a la belleza que estimula los sentidos
la de las cualidades y las apariencias;
no es que la desdee en absoluto
sino que sta nada tiene que hacer con la ciencia.
Me refiero a la belleza ms profunda
la que procede del orden armonioso de las partes
y que puede captar una inteligencia pura.
Henri Poincar
VII
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A g r a d e c i m i e n t o s
Quiero expresar mi ag radec imien to a las s igu ien tes per sonas e in s t i tuc iones :
A M ig u e l n g e l M a r t n p o r c o m p a r t i r y t r a n s m i t i r m e s u p a s i n p o r l a s m a te m t i c a s
duran te todos es tos aos , adems de se r una r e fe renc ia para m en la ta r ea de ensear .
A F . Jav ie r Can iego , Fernando San Jos y F . Jav ie r Taguas po r ab r i rme camino y se r
un verdadero equ ipo de t r aba jo .
A Juan Jos Ibez y Jess Pastor por todo su apoyo y ayuda en la real izacin de la
par te exper imen ta l de es te t r aba jo en e l Cen t ro de C ienc ias Med ioambien ta les de l Conse jo
Super ior de Invest igaciones Cient f icas en Madr id .
A Anton io Lpez , Concepc in Gonz lez y Glo r ia Lpez po r su co laborac in y ayuda
en todo lo relacionado con las muestras de suelo anal izadas en es te es tudio .
A J o s M a r a M a r t n G a r c a p o r e s c u c h a r m e p a c i e n t e m e n te , c o m p a r t i r g e n e r o s a m e n te
sus conoc imien tos y ayudarme ms a l l de lo que se pod a ped i r .
A mi gente mis pad res y mis her m ano s; Al be r to , I sabel , Mon tse, Nieves; Alicia , G ua -
da lupe , Ju l ia , Lu ismi , Migue l ; Mar ia , M. Carmen , Merche y Mnica) po r sos tenerme de una
u o tra manera en los momentos de mayor d if icu l tad . Gracias por es tar ah y ser como sois .
A Carmen y Rosa , qu ienes me impu lsaron desde e l comienzo para que es te t r aba jo
e s t h o y t e r m in a d o .
X
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ndice Genera l
A g r a d e c i m i e n t o s i x
nd ice Gen era l XI
R e s u m e n 1
A b s t r a c t 3
I I n t r o d u c c i n y F u n d a m e n t o s 5
1
In trod ucc i n y Ob je t ivos 7
1.1. Distribucin del tam ao de partculas 9
1.2. Com plejidad y geom etra fractal 9
1.3. Fra cta les en la edafologa 10
1.4. Ob jetivo s 12
1.5. Organ izacin del tra ba jo 13
2.
C o n c e p t o s B s ic o s
de
Eda fo log a 15
2.1. El suelo 16
2.1.1. Edafogn esis de un suelo 18
2.1.2. El suelo: un sistem a disperso y polifsico 19
2.2.
Pro pied ade s fsicas del suelo 20
2.2.1. Granu lome tra 20
2.2.2. Fracciones granu lom tricas 21
2.2.3. Caracterizacin del tam ao de las partcu las 23
2.2.4. Relaciones masa volum en 25
2.2.5.
Superficie especfica 26
2.2.6. Es tru ctu ra y agregacin 27
XI
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XII
2.3.
El agu a del suelo 29
2.3 .1 .
E sta do energtico del agu a en el suelo . . 30
2.3.2 . El potencial capilar y las curvas caractersticas de hum edad 31
2.3 .3 .
Valores caractersticos 32
2.3.4. Perm eabilidad 32
2.4. La atmsfera del suelo 32
2.5. La degrad acin y erosin del suelo 34
2.5 .1 .
Erosin hdrica 35
2.5 .2. Erosin elica : 36
3
Co nce pto s B s i cos de Teor a de l a M ed ida y An l i s i s M ul t i frac ta l 39
3.1 .
Ele m ento s bsicos de teor a de la riiedida . . . . . 40
3.1 .1 .
M edidas y distribuciones de m asa 40
3.1 .2. Con juntos y me dida de Borel . . 41
3.1.3 . M edida Lebesgue enS y K . . . 42
3.1.4. M edida y dimensin de Hausdorff 43
3.1.5 .
Den sidades 44
3.2. M edidas multifractales ; 45
3.3.
Modelos generadores de me didas mu ltifractales 47
3.3 .1 .
M edida binomial 48
3.3 .2. M edida invariante asociada a un Sistem a de Funciones Itera das (SFI) 49
3.3.3 . Med ida multinomial 52
3.3 .4. Cciscadas mu ltiplicativas aleato rias 53
3.4. Anlisis mu ltifractal. Dimensiones de informacin 53
3.4.1-.
En tropa y dimensin de entropa 53
3.4.2 . Dim ensiones de Rnyi 54
3.5. M todo s prctico s de anlisis mu ltifractal 57
3.5 .1 .
M todo de los histogramas 57
3.5.2. M todo de los mom entos 58
3.5.3 . M todo directo de Chiiabra y Jensen 59
4 .
A n t e c e d e n t e s 6 1
4.1. Mo delos clsicos de la distribucin de partc ulas . 62
4.2. Mo delos fractales de distribucin de par tcula s 65
4.2.1 .
La dimensin fractal de fragmen tacin 66
4.2.2 .
Los modelos fractales y las propiedades hidrul icas del suelo . . . . . 69
4.3. Mo delos multifractales . . . 76
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XIII
4.3 .1 .
Modelo de M artn y Tagua s 1998) 76
4.3.2. Anlisis mu ltifractal de distribuciones de tam ao s de poros 80
4.3.3 .
Aplicacin del anlisis mu ltifractal a las distribuciones del tam a o de
partc ulas prim arias y agregados 81
4.4. Ar tculos seleccionados por su inters 82
4.4 .1 .
Beuselinck, Govers y Poese n 1999) 82
4.4.2. Filgueira, Fournier, Sarli, Arag n y Raw ls 1999) 84
4.4.3 .
Kra vchenk o, Boa st y Bullock 1999) 86
4.4.4 . Caniego, M artn y San Jos 2001) 89
I I H erra m ienta s y Desa rro l lo 9 3
5 M at e r i a le s y M t od os 95
5.1 .
Cara ctersticas de las mu estras de suelo estud iada s 95
5.2. T cnica de anlisis por difraccin de lser 103
5 .2 .1 .
Prin cip ios de la difraccin de lser 104
5.2.2. M od os de anlisis po r difraccin de lser 105
5.3.
An lisis m ultifracta l de las distribuc iones 107
5.3.1 . C onstruccin de la medida pa ra m todos en escala lognormal 107
5.3.2. Descripcin de los m todos de anlisis mu ltifractal 111
5.3.3.
Ejemplo de anlisis mu ltifractal de un a m uestra 114
I I I R esu l ta d o s y Co n c lus io nes 1 1 9
6 Re sul ta dos y Di scu s in 121
6.1.
M todo Clsico 123
6.1.1.
Resum en de los resultados del m todo
lsico
128
6.2. M todo en escala lognormal con Intervalo Fijo 131
6.2.1. Resum en de los resultados del m todo Intervalo Fijo 143
6.3.
M todo en escala lognormal con Int. Variable 147
6.3.1.
Resum en de los resultados del m todo
Intervalo Variable
152
6.4. Perfiles SG-4 y C-4 153
6.4.1.
Re sultado s del anlisis en
Hmedo
153
6.4.2. Res ultados del anlisis en
Seco
158
7. Co nc lus ion es 163
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XIV
nd ice de Tab las 166
n d i c e d e F i g u r a s 1 7 6
Bibliografa 180
IV An exo s 199
A An l is i s por Difracc in de Lser 201
A l Anlisis en mo do Seco 202
A 2 Anlisis en modo Hm edo 208
B
M t o d o C l s i c o 2 1 5
B l
Dim ensiones de Rnyi en Seco 216
B 2 Dimensiones de Rnyi en H med o 231
B 3
Exp one ntes de Hlder en Seco 246
B 4 E x p o n e n t e s d e H o l d e r e n H m e d o 2 6 1
C M to do en Esca la Lognorm al con In terva lo Fi jo 277
C l Dimen siones de Rnyi en Seco 278
C 2 Dimensiones de Rnyi en Hm edo 293
C 3 Ex pon ente s de Holder en Seco 308
C 4 Expo nentes de Holder en Hm edo 323
C 5 Grficos 338
D M to do en Esca la Lognorm al con In terva lo Var iab le 353
D l Dimen siones de Rnyi en Seco 354
D 2
Dimen siones de Rnyi en H med o 369
D 3 Ex pon ente s de Holder en Seco 384
D 4 Expo nentes de Holder en Hm edo 399
D 5 Grficos 414
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R e s u m e n
La caracterizacin de la distribucin del tamao de las partculas del suelo es un
problema edafolgico de gran importancia. Se trata de un primer paso de cara a su posterior
modelizacin y su relacin con importantes fenmenos del suelo.
En el presente estudio se aborda la aplicacin de diversas tcnicas de anlisis multi-
fractal a distribuciones de tamaos de partculas que han sido obtenidas a partir del anlisis
por difraccin de lser de muestras de suelo. Con ello se pretende comprobar la naturaleza
multifractal de este tipo de distribuciones y determinar las ventajas e inconvenientes de ca
da tcnica. Este aspecto es esencial para la caracterizacin y posterior simulacin de estas
distribuciones mediante modelos matemticos de naturaleza multifractal.
Dado el carcter interdisciplinar del estudio se ha procedido a exponer los conceptos
edafolgicos y matemticos bsicos para entender el problema estudiado. Asimismo se ha
realizado una revisin de las diversas aproximaciones de que ha sido objeto el problema a lo
largo del siglo XX, especialmente en las dos ltimas dcadas, etapa en la que la geometra
fractal ha sido aplicada con gran frecuencia.
En el trabajo aqu presentado se han aplicado tres tcnicas de anlisis multifractal a
dos tipos de distribuciones obtenidas al analizar setenta muestras de suelos por difraccin
de lser.
La totalidad de los resultados obtenidos se encuentran recogidos en la parte denomina
da Anexos CD -Rom adjunto). La mayora de estos resultados ha sido expue sta en
Resultados
y onclusiones
donde se ha procedido a discutir los aspectos ms relevantes de cada tcnica
y, en pa rtic ula r, los resu ltado s de dos perfiles especficos SG-4 y C-4).
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A b s t r a c t
Characterization of soil particle size distributions is a pedological problem of great
importance. This is the first step in order to achieve its posterior modlling and simlate its
relation with other important phenomena of soils.
The purpose of this work is the appUcation of diferent multifractal analysis techniques
to pa rticle size distributio ns obtain ed thro ug h lser diffraction analysis of soil samples. Doing
so , it is intended to test the multifractal nature of such distributions and to determine
the advantages or disadvantages of each technique. This is a key move to characterize and
simlate these distributions by means of mathematical models of multifractal nature.
Due to t he interdisciplinary ch aracter of this study, basic pedological and math ema tical
concepts have been exposed. In addition, a review about the diferent approximations made
to the problem along the 20th Century has been realized, paying special attention to the last
two decades. During those years fractal geometry was intensively apphed to soil particle size
distr ibutions.
Seventy soil samples were analyzed by lser diffraction technique. Total results obtai
ned from the application of three multifractal analysis techniques to both kinds of distribu
tions achieved from lser diffraction analysis have been coUected in the part named nexos
Appendixes) attached CD -Rom ).
Most results have been exposed and discussed in Resultados y Conclusiones Results
and Conclusions). In this part most relevant aspects of each technique have been discussed
payin g special atten tio n, as a prectical exam ple, to two specific profiles SG-4 and C -4).
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Par te I
Introduccin y un dam entos
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Cap tu lo 1
In t roduccin y Obje t ivos
La ciencia es la progresiva aproximacin del homb re al mundo real.
Max Planck
El concepto de
suelo
ha sufrido una importante evolucin en el ltimo siglo. Lo que
hace dcadas se consideraba como un sistema esttico, pas a ser entendido como un sistema
dinmico y en constante evolucin. Desde 1945 la evaluacin de la calidad del suelo ha
tenido una gran importancia en los programas de la Organizacin de las Naciones Unidas
para la Agricultura y la Alimentacin (FAO) y en las ltimas dcadas del siglo XX se ha
dado una revolucin en la forma de entender y estudiar el suelo, considerando que su calidad
y salud determina el mantenimiento de la agricultura, la calidad del medio ambiente y,
consecuentemente, la salud vegetal, animal y humana [77].
As, en 1976 la PAO publicaba el resultado de un proyecto conjunto denominado
Framework for Land Evaluation
[60], a partir del cual se realizaron numerosos trabajos
para su aplicacin en forestacin, agricultura de secano, de regado, y pastoreo extensivo
[61,
62, 63, 64]. Durante estos aos, conceptos, principios y definiciones de
suelo, tipos de
utilizacin, cualidades y procedimientos de evaluacin fueron desarrollndose, de forma que
el trmino calidad del suelo en el sentido de salud del suelo fue ganando peso poco a poco.
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8 - Introduccin y Objetivos
Un segundo hito en la historia reciente fue el lanzamiento en 1987 de la
Evaluacin
Global de la Degradacin del Suelo
por el Programa de las Naciones Unidas para el Medio
Ambiente (PNUMA) en colaboracin con la International Society of Soil Science (ISSS)
y la FAO [150]. El concepto de desarrollo sostenible, que fue iniciado por la Bruntland
Commission [163] y posteriormente ampliado por la Agenda 21 [161] de la Conferencia de
las Naciones Unidas sobre Medio Ambiente y Desarrollo [162], ha sido una fuerza motriz en
la investigacin y el desarrollo ms reciente [111]. En 1992 J. Haberern [77] deca:
Una reciente llamada a desarrollar un ndice de salud del suelo ha sido esti
mulada por la percepcin de que la salud y el bienestar de la humanidad estn
asociados con la calidad y la salud de los suelos.
La calidad del suelo fue definida po r Larso n y Pie rce en 1991 [96] como la cap acid ad
de un suelo para funcionar, tanto dentro de las fronteras de su ecosistema (...) como con el
medio ambiente externo a ese ecosistema .
La evaluacin de la calidad del suelo y la identificacin de propied ades clave que pu eda n
servir como indicadores de su funcin presentan grandes dificultades debido a los muchos
aspectos que definen la calidad y a los mltiples factores fsicos, qumicos y biolgicos que
controlan los procesos biogeoqumicos y su variacin en el tiempo, espacio e intensidad [50].
Gra n pa rte de la discusin actua l en este tem a se encuentra centra da en las propiedades
y atributos del suelo que deben ser considerados a la hora de definir los indicadores bsicos
de su calidad [111].
En tre los atribu tos y las propiedades que m encionab an Do ran y Pa rkin en 1994 [50], se
encuentra
la distribucin del tamao de las partculas.
Las principales razones de este inters
son el elevado nmero de propiedades en las que influyen y la susceptibilidad que tienen a
ser modificadas por procesos de erosin o degradacin. Al estudio y caracterizacin de este
tipo de distribuciones mediante tcnicas matemticas de origen fractal hemos dedicado el
trabajo aqu presentado.
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1 1 Distribucin del tamao de partculas
1 .1 . D is t ribucin de l ta m a o de pa r t cu la s
El estudio y caracterizacin de la distribucin del tamao de partculas en el suelo ha
sido y es un problema de gran inters tanto para edaflogos como para matemticos.
Los intereses de ambas comunidades cientficais se dan cita en la bsqueda de modelos
matemticos que ayuden a describir y caracterizar las distribuciones obtenidas empricamen-
te , as como en la simulacin de fenmenos del suelo que estn estrechamente relacionados
con la distribucin de las partcu las movim iento del agu a en el suelo, por ejemplo).
Para el estudio edafolgico de las distribuciones de partculas habitualmente se recurre
a mtodos como el anlisis textural por el mtodo de la pipeta o la separacin por columnas
de tamices de fracciones de tamaos de agregados en intervalos que pueden encontrarse entre
0,25 y 28 mm [38, 72, 88, 169]. La limitacin de estos mtodos de anlisis se centra en el
reducido nmero de fracciones de tam ao s que prop orcion an generalm ente inferior a diez).
Sin embargo, en los ltimos aos se est extendiendo el uso de aparatos basados en la
tcnica de la difraccin de lser [23, 24, 30,1 16,1 64] por su gran pote ncia hda d pa ra el estudio
de las distribuciones de partculas [167], ya que posibili ta su medicin en un ampho rango
de escalas desde centsimas de miera 0,05 /im) hast a milm etros 3500 |xm) ) obtenindose
un mayor nmero de fracciones.
Este mayor nmero de fracciones posibilita la caracterizacin de las distribuciones
obtenidas mediante la aplicacin de tcnicas matemticas de origen fractal que requieren un
elevado nmero de datos. A este fin se ha dedicado el trabajo aqu presentado.
1.2. C om plejidad y ge om etra fractal
A com ienzos del siglo XX eran conocidos ciertos conjuntos con propieda des parad jicas
que se escapaban de los conocimientos de la geometra euchdea clsica: conjunto de Cantor,
curva de Koch, curva de Peano... Estos conjuntos eran llamados
monstruos geomtricos
y
permanecieron durante muchos aos calificados como tales mientras se desarrollaban los
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1 0
Introduccin y Objetivos
elementos de la
teora geomtrica de la medida
necesarios para su comprensin y estudio.
A principios de la dcada de 1980 Mandelbrot acu el trmino fractal para este t ipo
de conjuntos matemticos publicando su famoso libro
The fractal geom etry of natura [100].
En esta obra propona la modelizacin de un gran nmero de fenmenos y formas de la
naturaleza mediante el uso de ideas y conceptos de la teora geomtrica de la medida, la
cual, a partir de ese momento, comenz a denominarse
geometra fractal.
La teora de los sistemas dinmicos aport a la ciencia las nociones de comportamiento
catico
y
complejidad
durante la segunda mitad del siglo XX. Algunos de los fenmenos que
por entonces eran catalogados como aleatorios pasaron a ser considerados complejos y a ser
explicados como el resultado de la repeticin sucesiva de leyes simples y deterministas, dando
lugar al denominado caos determinista. Halsey et al. [78] intr od uje ron en 1986 el formalismo
termodinmica
con el objetivo de aplicar los m todo s de la mecnica e stadstic a al estudio
de las distribuciones complejas. As, fenmenos como los de la turbulencia en fluidos y de
los agregados por percolacin o por difusin limitada, comenzaron a ser interpretados desde
una nueva perspectiva.
Ambos campos, geometra fractal y formalismo termodinmico, interaccionaron y re-
sultaron ser complementarios en la tarea de caracterizar distribuciones complejas, dando
lugar al
anlisis multifractal
[18, 58, 59]. Es te m tod o d e anlisis comenz entonces a ser
aplicado a medidas empricas que presentaran caractersticas similares a las de las distribu-
ciones complejas.
1.3. Frac tale s en la edafologa
Algunas propiedades del suelo, como es el caso de los tamaos de las partculas, mues-
tran cierto grado de heterogeneidad y una
ausencia de escala caracterstica
en la que realizar
su estudio. Resulta entonces obligado colocar objetos de tam a o conocido cuando se quiere
tomar una fotografa del suelo para tener una referencia. Esto es debido a que se pueden en-
contrar mezcladas partculas con dimetros del orden de fracciones de miera o de milmetros,
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1.3 Fractales en la edafologa . 11
de la misma manera que en los poros de un suelo hay una gran variedad de tamaos. A su
vez puede acontecer la invariabilidad respecto de la escala [156 157] fenm eno por el cua l
una caracterstica de un suelo puede presentar propiedades semejantes al cambiar la escala
en la que se realiza el estudio.
Los conjuntos y distribuciones fractales tamb in pre sen tan estas propiedades lo cual
explica que la idea de Mandelbrot tuviera una buena acogida en la comunidad cientfica
edafolgica y diera lugar a una gran cantidad de trabajos que relacionan las ciencias del suelo
y la geom etra fractal. Desde entonces la geom etra fractal ha sido utilizada pa ra explicar
los procesos de retencin y movim iento del agu a [42 139 160] estud iar la heterogeneidad y
conectivdad de la red porosa en la difusin de gases [43] caracterizar depsitos minerales
[2
35] simular la estr uctu ra y la fragmentacin del suelo [129 130] y caracterizar su variacin
espacial [66 92] entre otras muchas aplicaciones.
De la misma manera los parmetros fractales tambin han sido empleados en la des
cripcin estadstica de las distribuciones de los tamaos de partculas del suelo basndose en
el comportamiento de invarianza de escala de algunas de sus propiedades. Se han encontra
do leyes de Pareto en la distribucin del nmero acumulado de agregados mayores que un
determinado tamao o leyes potenciales en la funcin de distribucin de la masa acumulada
de partculas de tamao caracterstico inferior a un cierto valor X. Ta nto las leyes de Pa ret o
como las leyes potenciales encontradas pueden ser consideradas como escalamientos globales
representando sus exponentes una estimacin grosera de la dependencia de escala que tiene
lugar en el nm ero o m asa acumu lados respecto a la escala de m edida.
Una observacin ms minuciosa de la distribucin de masa en distintas zonas de los
intervalos de tamaos revelara la presencia de regiones con ms o menos masa. Este compor-
tamiento heterogneo est presente en la mayora de las medidas empricas de la naturaleza
exhibiendo el llamado comportamiento multifractal [101].
En el caso de las distribuciones del tam a o de las par tcula s recientemente se han
empleado tcnicas de la geometra fractal basadas en el uso de los Sistemas de Funciones
Iteradas {SFI para estudiar la naturaleza multifractal de estas distribuciones y caracteri-
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12 - Introduccin y Objetivos
zarlas [108, 109, 153]. Este mtodo ha resultado ser muy eficaz cuando el nmero de datos
de la distribucin es bajo.
Sin embargo, cuando se dispone de un mayor nmero de datos, este estudio y carac
terizacin puede ser realizado aplicando tcnicas basadas en el
anlisis multifractal
[31, 32,
75, 92, 106, 114], para lo cual se ha desarrollado el presente trabajo.
1.4. Objetivos
La caracterizacin d elasdistribuciones de tam ao s de p artculas del suelo es un p roble
ma matemtico de gran importancia. La comprobacin de la posible naturaleza multifractal
de estas distribuciones, la modelizacin y simulacin de su influencia en algunas propiedades
fsicas y fenmenos del suelo, as como la deteccin de cambios que puedan darse en las
distribuciones como consecuencia de la gestin del suelo, son importantes cuestiones edafo-
lgicas que dependen directamente del problema de la caracterizacin de las distribuciones
aqu planteado.
Por estas razones, el objetivo generaldel presente trab ajo es la exploracin y valoracin
de la aplicacin de tcnicas de anlisis multifractal a datos de distribuciones de tamao s de
partculas de suelo obtenidos mediante difraccin de lser
De este objetivo general derivan otros
objetivos especficos:
Com probacin de la naturaleza m ultifractal de las distribuciones de tam ao s de part
culas de suelos.
Caracterizacin de las distribuciones de tamaos de partculas mediante parmetros
mu ltifractales dimensiones de Rnyi y expo nentes de Ho lder).
De term inac in de las ventajes e inconvenientes de cad a tcnica de anlisis mu ltifractal
aplicada.
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1.5 Orga nizacin del trabajo 13
1 .5 . O rga n iza c in de l t r a b a jo
El presente trabajo se ha dividido en cuatro partes: Introduccin y Fundamentos ,
Herram ientas y Desarro llo , Resultados y Conc lusiones y Anexos .
En la primera parte se desarrolla la introduccin y los conceptos fundamentales para
la comprensin del problema objeto de estudio.
El captulo 1 se ha ded icado a la presentacin gene ral del problem a interdisciplinar
objeto de estudio y su origen.
En el captulo 2 se explican aquellos conceptos del mbito de la edafologa que estn
relacionados con el problema de la caracterizacin de las distribuciones de partculas en los
suelos y con otras propiedades fsicas importantes que influyen en los procesos del suelo que
afectan principalmente a los cultivos.
El captulo 3 presenta los conceptos bsicos y elementales de la teora de la medida
y del anlisis multifractal. Se presta especial atencin a los conocimientos que soportan
tericamente el anlisis multifractal y que permiten interpretar los parmetros multifractales
obtenidos.
El captulo 4 resume de forma global la evolucin que ha seguido el estudio y caracte-
rizacin de la distribucin del tamao de partculas. Adems se han seleccionado los trabajos
ms representativos que han aparecido en la lnea de investigacin del presente trabajo y que
pueden ayudar a entender su origen y/o metodologa. Se ha intentado realizar la presentacin
de estos trabajos siendo fiel a lo expuesto por los autores de los mismos.
La segunda parte, Herramientas y Desarrollo , incluye el captulo 5 que est dedica-
do a describir los materiales y mtodos de anlisis utilizados a lo largo del trabajo. En este
captulo se describen las caractersticas de las muestras de suelo analizadas y las tcnicas em-
plead as en su caracterizacin difraccin de lser en los mo dos
Seco y Hmedo,
y las tcnicas
de anlisis multifractal: mtodos Clsico, Intervalo Fijo e Intervalo Variable). Tambin se
presenta en la seccin 5.3.1 la metodologa de construccin de la medida desarrollada para
aplicar las tcnicas de anlisis multifractal en escala lognormal que son objeto de estudio.
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14 - Introduccin y Objetivos
La tercera parte del trabajo,
Resultados y Conclusiones ,
incluye la descripcin y
discusin en el captulo 6 de los resultados obtenidos al aplicar las tcnicas multifractales
a las distribuciones de partculas. Al final del captulo, en la seccin 6.4, se presta especial
atencin a dos casos particulares de suelos. Finalmente, en el captulo 7 se presentan las
conclusiones finales derivadas del trabajo.
Debido al elevado nmero de muestras estudiadas y las distintas tcnicas de anlisis
em pleadas dos m odos de anlisis de difraccin de lser y tres tcnicas de anlisis m ultifrac-
ta l ) ,
los resultados numricos obtenidos se han recogido en una cuarta parte denominada
.
Anexos
incluida en el CD-Rom que se adjunta. sta se encuentra dividida a su vez en
cua tro cap tulos que recogen los resu ltados del anlisis po r difraccin de lser Anexo A)
y del anlisis multifractal por los mtodos Clsico Anexo B) , Intervalo Fijo Anexo C) e
Intervalo Variable Anexo D ).
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Captulo 2
Conceptos Bsicos de Edafologa
No hay nada en toda lan tur lez que sea
ms importante omerezc ms atencinqueel suelo.
Verdaderamente es elsueloel que a limenta yprovee
a toda la naturaleza toda la cre cin depende del suelo
que es el cimiento definitivo de nuestra existencia.
Friedrich A. Falon
^
En el presente captulo vamos a desarrollar algunos de los aspectos relacionados con
la edafologa .que consideramos necesarios para comprender la naturaleza de este trabajo.
Hemos atendido especialmente a los aspectos relacionados con la denominada fsica del suelo
y, en concreto, con la distribucin del tamao de partculas, con una presentacin global de
las caractersticas ms importantes. Al hacerlo nos hemos sentido reflejados en las palabras
de Dexter [48]:
No resulta fcil definir exactamente qu son las propiedades fsicas en con-
traste con las propiedades qumicas o biolgicas. No hay una frontera clara entre
estas diferentes disciplinas. Las fronteras imp uestas resu ltan a menudo artificiales
^ Texto publicado en 1862
-
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1 6 - Conceptos sicos de Edafologa
y son, en el mejor de los casos, una conveniencia adminis t rat iva. Estas d i ferentes
discip l inas no pueden ser coninmente ident i f icadas en el mundo real s lo con
con jun tos d i scre tos de f enmenos o p rob lem as . To do lo que po de m os dec i r es que
la f sica del suelo viene a ser lo que hacen los f sicos cuando estudian el suelo, la
qumica del suelo v iene a ser lo que hacen los qumicos cuando estudian el suelo ,
y la b io loga del suelo v iene a ser lo que hacen los b ilogos cuando estudian el
sue lo . Los f enmenos y p rob lem as de los sue los r ea l es r equ ieren no rma lme n te m s
d e u n o d e e s o s co m p o n en t e s p a r a s u e s t u d i o ad ecu ad o .
A lo l a rgo de l p resen te cap tu lo , expondremos los concep tos t e r i cos r e l ac ionados con
algunas de l as p rop iedades que resu l t an de mayor i n t e rs por l a i n f luencia que t i enen en e l
co m p o r t am i en t o d e u n s u e l o . Es t a s p r o p i ed ad es s o n la d i s tr i b u c i n d e l t am a o d e p a r t cu l a s ,
las relaciones masa-volumen, la superf icie espec f ica y la es t ructura.
Tambin ded icaremos par t e de l cap tu lo a l a f ase l qu ida y gaseosa , cons iderando l a
impor t anc i a que t i enen en l a func in de l sue lo como sopor t e de l a v ida vegeta l , y a l p roceso
de la erosin.
2 . 1 .
E l suelo
El t r m i n o suelo se ref iere a la capa externa de la superf icie ter rest re que es t ransfor
mada por el cl ima y los procesos f s icos , qumicos y b iolgicos que en el la ocurren [81] . La
des in t eg rac in y descompos ic in de l a roca madre med ian te p rocesos f s i cos y qu micos dan
lugar a la fase in icial del suelo , que poster iormente evoluciona en mayor o menor medida
inf lu ido por la act iv idad micro y macroscpica que en l se d. Se t rata , por tanto , de un
proceso abierto y dinmico^ co ns tan tem en te inf lu ido po r los factore s cl imt icos y b iolgicos
que se dan a sus a l r ededor y en permanen te evo luc in y cambio .
S am pa t Ga va nde [71] lo def in a as en 1972:
Considerando el suelo desde el punto de v is ta f s ico , se puede def in i r como un
s i s t ema de g ran comple j idad , he t e rogneo , d i sper so y t r i f s i co ( s l ido , l qu ido y
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2.1 El suelo 1 7
gaseoso) . E l s i s t ema sue lo a s de fin ido m ues t ra , como ca ra c te r s t i ca fundam enta l ,
un d inamismo in tens ivo , de te rminado por los e fec tos que provocan agen tes t a l e s
como la t em pe ra tur a , l a luz , l a p res in to t a l , e l agu a , los so lu tos y los o rgan i sm os .
Unos aos ms tarde , en 1999, Kel t ing e t a l . [87] se refer an a l suelo en los s iguientes
t r m i n o s :
El suelo es un complejo cuerpo vivo de mi l lares de procesos qumicos, f s icos
y b io lg icos in t e rac tuando y que e s t n en cons tan te cambio , he te rogneo en su
na tura leza , y a menudo escur r id izo en su medic in .
Dinamismo y com plejidad
fue ron prob able me nte los t rm ino s m s repe t idos a l hab la r
sob re e l suelo y su ca l idad en e l s im pos ium Defining Soi l Q ua l i ty for a Sus ta ina ble E nvi-
ro nm en t org aniz ado po r la Soil Science Socie ty of Am eric a en 1992. D ora n y Pa rk in [50]
a f i rmaban:
( . . . ) una conferencia internacional sobre la evaluacin y control de la ca l idad
del suelo consta t que def ini r y evaluar la ca l idad y sa lud del suelo es compl icado
por la necesidad de considerar las ml t iples funciones del suelo e integrar los
at ri b ut o s fsicos, qum icos y biolgicos del suelo que definen su funcin [121, 141].
( . . . ) El suelo es un cuerpo dinmico, vivo, na tura l , que juega muchos roles en los
ecos i s t emas t e r re s t re s . Los componentes de l sue lo inc luyen ma te r i a l e s mine ra le s
inorgn icos (pa r t cu las de a rena , l imo y a rc i l l a ) , ma te r i a o rgn ica , agua , gases , y
organismos vivos ta les como lornbrices de t ie rra , insectos, bacter ias , hongos, a lgas
y nem ato do s . H ay un cont inuo in te rcam bio de mo lcu las e iones en t re l a s fa ses
sl ida , l quida y gaseosa que estn media t izadas por procesos f s icos, qumicos y
biolgicos.
Muchos autores y asociac iones dedicados a l estudio del suelo coinciden en af i rmar que
el suelo es un medio ms complejo que el aire o el agua, l legando incluso a definirlo como el
sis tema ms complejo conocido por la c iencia [111].
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18 -
Concep tos Bsicos de Edafologa
2 1 1 Edafognes i s de un sue lo
El suelo est formado por capas de distinta profundidad que son denominadas ha-
bitualmente
horizontes
y el conjunto de horizontes estudiados en profundidad se denomina
p rfil
La capa superficial, horizonte A, es la zona de mayor actividad biolgica, generalmente
se encuentra enriquecida con materia orgnica y es de color ms oscuro que los horizontes
in fe r iores . Se en t i ende por hor izonte B aque l formado por mate r i a les migra tor ios de capas
super iores que se han acumulado en una zona in te rmedia de l pe r f i l . Por l t imo, cuando e l
sue lo es e l resu l t ado de l a degradac in y t rans formac in de l a roca madre , e l hor izonte C
es t formado p or m ate r i a l p roveniente de es ta f ragme ntac in . En o t ros casos e l hor izon te C
puede es tar formado por sedimentos de or igen aluvial , el ico o glacia l .
El proceso t pico de formiacin de un suelo edafognesis) po dr a resum irse de l a s i
gu i e n t e ma ne ra :
Comienza con la degradacin fsica de la roca madre, formando as el material de
procedencia del suelo.
Una progres iva acumulacin de res tos orgnicos en la superf ic ie conduce a l desarrol lo
de un hor izonte A, en e l que l a mate r i a orgnica puede cementa r en mayor o menor
g ra do .
La transformacin qumica de los restos orgnicos acumulados por hidratacin, oxi
dacin, reduccin...), su disolucin y reprecipitacin puede dar lugar a la formacin de
arcillas.
Par te d l as pa r t cu las de a rc i l l a formadas pueden migra r jun to a o t ras pa r t cu las
t ranspor tab les , por e jemplo sa les so lubles , hac ia reg iones ms profundas y acumularse
en una zo na in te rme dia , ho r izonte B , s i tu ad a en t re e l hor izo nte A y el m s profundo
hor izonte C formado por mate r i a l de l a roca madre .
M edia nte proce sos de es te t ipo , e l pe rf il en conju nto c om ienza a profundiza r a l t ra ns
formarse gradua lmente l a pa r t e super ior de l hor izonte C , has ta que con e l t i empo se
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2.1 El suelo
^ 19
da u n esta do casi estable en el que los procesos de forma cin y los procesos de erosin
del suelo se encuentran prcticamente en equilibrio estacionario.
2.1.2. El suelo: un siste m a disp erso y polifsico
El suelo es un medio heterogneo polifsico disperso y poroso. Se encue ntra consti-
tui do po r tres fases de na tur ale za d isti nta : la fase slida la fase lquida y la fase gaseosa.
Fase slida: constituye la llamada
m atriz del suelo.
Incluye las partculas del suelo
que varan en su composicin qumica y mineralgica as como en su tam ao forma
y orientacin. Tambin incluye materiales orgnicos que se encuentran unidos a las
partculas minerales y que a su vez pueden provocar que las partculas se unan entre
s.
Fase lquida: es el agua del suelo y siempre tien e sustan cias disueltas en l. Llena parcial
o totalmente el espacio libre que hay entre las partculas slidas y se mueve con mayor
o menor libertad en el suelo.
Fase gaseosa: es la llam ada atmsfera del suelo. Com parte con la fase lquida los huecos
que hay entre las partculas slidas del suelo.
La organizacin de la fase slida del suelo determina las caractersticas geomtricas
del espacio poroso en el que se retienen y se mueven el agua y el aire. Estas caractersticas
influyen a su vez en las prop iedad es fsicas qum icas y biolgicas del suelo. Es necesario por
tan to cara cteriza r la organizacin de la fase slida esto es de las par tcu las que constituyen
la matriz del suelo.
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20 Conceptos sicos de Edafologa
2 .2 . P r o p ie da d es fs icas de l s ue lo
En opinin de Dexter y Young [49]:
La fsica del suelo tiene que ver con el estado energtico de las diferentes
fases (slida, lquida y gaseosa) del sistem a del suelo y busca cuantificar los flujos
de estas fases que son producidas por gradientes de energa. El estudio del estado
energtico y el flujo del agua en relacin con la heterogeneidad espacial de las
diferentes fases es crucial en la fsica del suelo. No rm alm ente el trm ino est ru ctu ra
del suelo es empleado para hacer referencia a esta heterogeneidad. Sin embargo,
la fsica del suelo tiene que ver con much o m s qu e con el agua. Los flujos de calor
y gas a travs de la superficie del suelo y dentro del suelo tambin son tenidos en
cuenta. La mecnica es la rama ms antigua de la fsica y en el caso de la mecnica
del suelo tiene que ver con cmo cambia de tamao, forma y heterogeneidad el
sistema del suelo en respuesta a diferentes potenciales mec nicos imp uestos.
La composicin mineral y el tamao de las partculas de la fraccin slida de un suelo
son dos caractersticas que influyen de forma decisiva en su comportamiento en cuestiones
como su interaccin con fluidos y solutos, compresibilidad, resistencia y rgimen trmico.
En general, es posible separar las partculas en grupos segn sus tamaos y caracte-
rizarlo en base a las proporciones relativas de dichos grupos, que pueden diferir tanto en la
composicin mineral como en el tamao de las partculas.
2 .2 . 1 . Granu lometr a
La clasiflcacin de las partculas del suelo en funcin de su tamao (dimetro) parte
de la condicin de considerar que las partculas son esfricas, reduccin en la que se basan los
mtodos empleados en granulometra (separacin por tamices, mtodo de la pipeta, mtodo
de Bouyucos, etc.) y que en realidad resulta ser incorrecta en la mayora de los casos. As,
resulta necesario definir elvolumen equiv lenteo dimetro p rentede las partcu las mayores
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2 2 Propiedades fsicas del suelo
2 1
DENOMINACIN
Elementos gruesos:
- Bloques
- Cantos
- Grava gruesa
- Grava media
- Gravilla
Tierra fina:
DIMETRO APARENTE
>25 cm
6 a 25 cm
2 a 6 cm
0,6 a 2 cm
0,2 a 0,6 cm
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2 2 -
Conceptos sicos de Edafologa
cul iares :
Arena : Segn sea cons iderada una u o t r a c l as i f i cac in , e l i n t e rva lo de t amaos de l as
are na s es 50-2000 yum USD A) o 20-2000 yum ISSS ) . E st a fraccin es f re cuen tem ente
d i v i d i d a e n s u b fr a c ci o n es d e n o m i n a d a s : A r e n a m u y g r u e s a , A r e n a g r u e s a , A r e n a m e d i a ,
A ren a fina y Ar en a muy f ina. Los g rano s de a re na no rm alm en te son de cuarzo , aun que
t am bi n pue den se r de f e ldespa to , mica y, ocas iona lm en te , o t ro s minera l es pesa dos .
En l a mayor a de l o s casos , l o s g ranos de a rena t i enen d imens iones cas i un i fo rmes y
se ap rox iman en g ran med ida a l a fo rm.a es f r i ca . Pueden p resen t a r ca ras co r t an t es y
e l evada du reza , l o cua l exp l i ca su ab ras iv idad .
Limo : E l i n t e rva lo de t am a os co r respon d ien t e a es t a fr acc in es 2 -50 / im USD A) o 2 -
20 yum ISSS) . Los g ran os de l imo se pare cen ba s t a n t e a lo s g rano s de a ren a minera lg i ca
y f s icam en te . Su m enor t am a o y l a cons igu i en t e mayor superf i ci e po r un id ad de
m asa) y e l hecho de que f r ecuen tem en te es t n r ecu b ie r to s de par t c u l as de a rc il la , ha cen
que en c i e r t a me d id a se co m po r t en con cara c t e r s t i cas f is icoqumicas parec idas a las de
l as a rc il l as . Un p redom in io de par t c u l as de l imo en un sue lo le da c i e r t as ca rac t e r s t i cas
des favorab l es i nes t ab i l i dad es t ru c tu ra l , ape lm aza m ien to , f ac i li dad pa ra fo rmar cos t r a
super f i c i a l , acumulac in de agua , e t c . ) ya que no f avorecen l a fo rmacin de par t cu l as
sec und ar i as ag rega dos) . Po r o t ro l ado , su peq ue o t a m a o pue de f avorecer l a oc lus in
de l o s po ros de l a mat r i z de l sue lo , r educ i endo su permeab i l i dad y aerac in .
Arc i l l a : Es t a f r acc in co r responde a l as par t cu l as minera l es cuyo d i met ro aparen t e
es i n fe rio r a 2 yum USD A e ISSS) . Es t a s par t cu l a s p rese n t a n gene ra lm en te fo rma de
l m ina o de agu ja y sue l en per t enec er a l g rup o de lo s a lum inos i l i ca tos . Son m inera l es se
cundar ios formados en el propio proceso de evolucin del suelo a par t i r de los minerales
p r imar ios de l a roca madre . S in embargo , en a lgunos casos l a f r acc in de a rc i l l a puede
inc lu i r par t cu l as de o t ros minera l es , t a l es como x idos de h i e r ro o carbona to ca l c i co .
Las arci l las t i enen superf ic ie espec f ica y carga elct r ica superf ic ial e levadas , lo cual se
t r a du ce en u na ac t i v ida d fis icoqumica e l evada de g ra n im pa c to en e l com por t am ien to
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2 2 Propiedades fsicas del suelo 2 3
del sue lo . Las a rc i l las re t ienen en su est ruc tura gran cant idad de agua , inf luyendo en
los procesos de hidra tac in y deshidra tac in de l sue lo con los consiguientes cambios de
vo lumen de l sue lo . Adems , sue l en t ene r ca rga nega t iva y cuando se h id ra t an fo rman
una doble capa e lec t rost t ica con iones in tercambiables en la soluc in de l sue lo .
2.2.3.
Caracterizacin del ta m a o de las partc ulas
La ca rac t e r i zac in de l t amao de l a s pa r t cu l a s de un sue lo puede rea l i za r se de dos
formas: mediante la c las i f icac in textura l de l sue lo o a t ravs de las curvas de la d is t r ibucin
de l t amao de l a s pa r t cu l a s .
T e x t u r a
E l t r m i n o textura hace referencia a l in te rva lo de ta m a os de par t c ula s de un sue lo , es
dec i r , lo ca li fica en funcin de la pro por c in de par t cu las gr and es, m ed ian as o peq ue as que
pueda t ene r . Es una ca rac t e r s t i ca na tu ra l y pe rmanen te y , por e l l o , una de l a s ms u t i l i zadas
para carac ter izar sus propiedades f s icas . A par t i r de la composic in granulomtr ica de los
suelos , se in tent agrupar los sue los con propiedades f s icas y comportamiento hidrul ico
pa rec idos en un nmero reduc ido de c l a se s t ex tu ra l e s .
Las d i s t i n t a s c l a ses t ex tu r a l e s c reada s han s ido repre se n tad as en los l l amado s tringulos
o diagramas texturales que corre spo nde n a las d i ferentes clas if icac iones gra nulo m tr icas . En
el t r ingulo textura l de la c las i f icac in USDA podemos ident i f icar doce c lases textura les , ta l
y como puede observarse en la figura 2.L El nombre de cada clase pretende expresar qu
fraccin granulomtrica es la ms influyente en el comportamiento que caracterice al suelo
clasificado. Dentro del nombre de una clase tex tural aparecer el trmino
arcilloso
cuando el
suelo presente un mnimo de2 de arcilla, el trmino limosocuando ste tenga al menos
un 40 de limo, y
arenoso
cuando el porcentaje de la fraccin arena alcance o supere el
44 . El trmino franco hace referencia a un 'equilibrio' en las proporciones, que aporta la
mayor parte de las cualidades de los tres tipos anteriores sin presentar sus defectos. Esta
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4
Conceptos Bsicos de Edafologa
Figura
2 .1 :
Tringulo de texturas segn la clasificacin USDA
tex tur a corresponde al estado ptim o pa ra el cultivo agrcola: 20-25 de arcilla, 30-35 de
limo y 40-50 de arena.
urvas de d i s tr ibuc in de l tamao de par t cu las
Cualquier intento de clasificar un suelo dividiendo el intervalo de tamaos de partculas
en fracciones para posteriormente agruparlos en clases es doblemente artificial. Aunque esta
prctica est ampliamente extendida, la disparidad de clasificaciones y su artificialidad im
piden que cubra las expectativas volcadas sobre la clasificacin de texturas. Por ello, parece
ms adecuado medir y presentar la distribucin del tamao de partculas mediante las de
nominadas
curvas de la distribucin del tama o de partculas
las cuales son frecuentemente
utilizadas en el mbito de la ingeniera del suelo [81].
En el eje de ordenadas se representa el porcentaje de partculas del suelo cuyo dimetro
(aparente) es inferior al dimetro representado en abolsas. El eje de abcisas sigue una escala
logartmica para poder abarcar varios rdenes de magnitud del tamao de partculas dando
el suficiente espacio para representar la zona de las partculas ms pequeas. De esta forma
se repre senta u na distribucin acum ulada (vase la figura 5.4). Tambin po dra represe ntarse
-
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2.2 Propiedades fsicas del suelo . 25
grficamente mediante un histograma de frecuencias para el tamao de partculas, en el que
el pico de la curva muestra el tamao de partcula ms relevante.
La informacin que se puede obtener con estas representaciones acumuladas de la
distribucin del tamao de partculas incluye, entre otras cuestiones, el dimetro de la mayor
par tcula en la coleccin de partcu las, o el pa tr n de clases, es decir, se puede ver si un suelo
est compuesto de distintos grupos de partculas, cada uno de un tamao uniforme, o si se
trata de una distribucin de tamaos ms o menos uniforme y continua.
Un suelo con predominio de un a o varias clases de tama os , pr esenta r u na curva tipo
escalera con unos pocos escalones correspondientes a las cleises ms predominantes. Estos
suelos sern denominados
pobremente distribuidos.
Los suelos que presenten curvas suaves
sin grandes desniveles visibles sern denominados bien distribuidos.
2 . 2 .4 . R e l a c i o n e s m a s a v o l u m e n
Las relaciones entre las tres fases del suelo dan lugar a una serie de relaciones masa-
volumen empleadas habitualmente para caracterizar su estado fsico.
Volumen slido: K {rv?)-Es la suma del volumen de los com ponen tes inorgnicos,
Vi,
y del volumen de los componentes orgnicos, K, que forman la matriz del suelo.
V, = Vi + K (2.1)
Masa slida:
Mg {kg).
Es la suma de la masa de los componentes inorgnicos,
Mi,
y
de la masa de los componentes orgnicos,
MQ ,
que forman la matriz del suelo.
Ms=^Mi + Mo (2.2)
Volumen de huecos:Vy m^). Es la suma del volumen ocupado por la fase lquida, Vw,
y
del volumen ocupado por la fase gaseosa,
Va,
del suelo.
V, = V^ + a (2.3)
Volumen total: Vt (m^). Es la suma del volumen slido y del volumen de huecos.
Vt = s+
^
(2.4)
-
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2 6 - Conceptos Bsicos de Edafologa
nd ice de poros :e
{m^/m^).
Es lar e l ac in en t re elv o l u m e n dehuecosy el v o l u m e n
sl ido.
a= | 2.5)
Densidad rea l :
Ps {kg/w?).
Es la den sida d de la fase sl ida o den sida d de las pa r t c ula s .
Ps- TT 2-6)
E nunh o r i z o n t e d a d opsp u e d e c o n s id e r a r se p r c t i c a m e n t e c o n s t a n t e en elt i em p o ,yaque
depende de l a composic in mine ra lg ica de l a s pa r t cu lasye s inde pen dien te de l a e s t ruc tura .
Va r a en t re 2 6
y
2 7
y
en ge nera l se ut i l iza e l va lor m edio 2 65 .
D e n s i d a d a p a r e n t e :
pa kg/m^).
Es lar e l ac indem a sa s l id a p o r v o l u m e n t o t a l .Se
puede d i s t ingui r en t re dens idad apa ren te en seco :
Pa==^ 2.7)
y d e n s i d a d a p a r e n t e e n h m e d o :
Ms
+
^
w=
y^
2.8)
In form a sobre e l g ra do de com pac ta c in de un hor i zon teye s t d i re c tam ente re l ac ionado con
la e s t ruc tura . Toma va lores en t re1 y 2.
Volumen espec f ico: Ve m^/kg). E s
el
vo lum en to ta l po r un id ad de ma sa s l ida .
= 2.9)
P o r o s i d a d :
t m^/m^).
E slar e l ac in en t re e l vo lu me n de huecosye l vo lum en to ta l .
Vy Vy e
^ VrKTVs TT e
(2.10)
2.2.5.
Superficie especfica
Se define la supe rficie especfica com o lar e l ac in en t r e el re a superf ic ia l qu e t iene
u n a p a r t c u l ay sum a s a {rn^/g). La i m p o r t a n c i a de lasuperf ic ie especf ica est b as ad aen
l a cor re l ac in que presen ta con impor tan tes fenmenos de l sue lo , t a l e s como eli n t e r c a m b i o
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2.2 Propiedades fsicas del suelo 2 7
ca t in ico , l a re t enc in y l ibe rac in de produc tos qu micos (nu t r i en tes o con taminantes) ,
la hidra tac in y re tencin del agua, y c ier tas propiedades f s icas como la plast ic idad o la
cohesin.
La superf ic ie espec f ica depende pr incipalmente del tamao de la par t cula y de su
forma. Las par t culas que se aproximan a un cubo o a una esfera t ienen menor superf ic ie
espec f ica que las a largadas o aplanadas. As , las par t culas de arc i l la , adems de tener
mucha super f i c i e e spec f i ca por su pequeo t amao , se ca rac te r i zan por su fo rma ap lanada .
Mien t ras que l a a rena presen ta va lores normalmente in fe r io res a 1 m?/g, la arc i l la pu ede
alcanzar valores del orden de centenas.
2 . 2 . 6 . E s t r u c t u r a y a g r e g a c i n
L a agregacin del suelo es e l proceso por e l cual las par t culas pr imarias se unen for
m a n d o p a r t c u l a s s e c u n d a r i a s {agregados , no rm alm ente med ian te fue rzas na tu ra le s y sus
t anc ias p rocedentes de exhudados de ra ces y de l a ac t iv idad mic rob iana [151]. Por ot ro lado,
la fragmentacin del suelo es e l proceso opu esto , en e l cua l las pa r t cu las secu nd arias son
de st ru ida s en fragmentos o piezas. As, los f ragm entos del suelo son def inidos po r Ars ha d e t
a l.
[6] como e l re su l t ado de l a rup tura de una masa de sue lo a t ravs de p lanos na tura le s
de fragi l idad. En la prct ica e l t rmino agregado es comnmente u t i l i zado pa ra desc r ib i r
l a s un idades e s t ruc tura le s que resultan de la fragmentacin de la matriz del suelo mediante
esfuerzo mecnico,
tan to en e l l abo ra tor io como en e l cam po .
E l t r m i n o estructura apa rece genera lme nte a soc iado a l a d i s t r ibuc i n de l as pa r t cu las
pr inaa r i a s y secundar i a s cuando se t ra t a de ca rac te r i za r l a ma t r i z de un sue lo . Es s t e un
aspec to de gran impor tanc ia en cua lqu ie r sue lo de cu l t ivo , como a f i rmaba Yoder en 1937
[168]:
Cualquiera que est concienciado con la conservacin del suelo y a l mismo
t iempo famil iar izado con la est recha re lac in ent re la labranza y la a l ta ero-
s ionabi l idad , e s t p repa rado pa ra comprender que l a pos ib i l idad de me jora r su
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28 Conceptos Bsicos de Edafologa
estructura debera ser investigada en toda su extensin.
Pero tambin resulta difcil de definir ya que, en realidad, el trmino no es del todo
objetivo, expresando ms un concepto cualitativo que cuantitativo. As, podemos encontrar
definiciones de la estructura de un suelo como la de Hillel [81]:
la disposicin y organiza-
cin de las partculas primarias y secundarias) del suelo;
o la de Dexter y Young [49]:
la
heterogeneidad e spacial de sus distintas fases.
Adems, la estructura del suelo es variable en el tiempo y en el espacio, resultado de su
gran sensibilidad a los factores climticos y biolgicos o a los sistemas de produ ccin agrcola.
De hecho no hay una manera de medir la estructura de un suelo aceptada umversalmente,
lo cual supone una dificultad en la tarea de caracterizar la matriz slida de un suelo.
Aunque la caracterizacin de la estructura podra realizarse a travs del anlisis de
imgenes, la obtencin de las distribuciones de agregados por fragmentacin en laboratorio
resulta ms fcil de conseguir. Adems hay una correlacin positiva entre los tamaos de los
agregados obtenidos por anlisis de imgenes y los obtenidos por procesos de fragmentacin
del suelo [8, 143].
Por estas razones las distribuciones de agregados obtenidas mediante la fragnaentacin
de un suelo sometido a fuerzas mecnicas son a menudo estudiad as p ara caracterizar indirec
tamente su estructura. Para una revisin completa y detallada sobre la estructura del suelo
y la distribucin de agregados vase el trabajo de Daz-Zorita et al. [45].
i s t r ibuc in de l tamao de agregados
Describamos arriba la influencia que la distribucin del tamao de agregados tiene
sobre un elevado nmero de factores de inters agronmico.
Sin embargo, el estudio de la distribucin del tamao de agregados presenta una di
ficultad importante que debe ser tenida en cuenta a la hora de disear un experimento: la
separacin y clasificacin de los agregados por tamaos conlleva necesariamente la ruptura
y destruccin de la estructura original por medios artificiales ms o menos agresivos. Los
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2.3 El agua del suelo
29
elementos a tener en cuenta, entre otros, sern por tanto la escala en la que se quiere medir
los agregados y los medios mecnicos empleados para romper y separar los agregados.
En 1962 Chepil [38] present un aparato diseado para la separacin de agregados
secos que consista en catorce tamices anidados de diferente luz de malla. Unos aos ms
tarde, en 1965, Kemper y Chepil [88] publicaban una revisin de los mtodos de separacin
y clasificacin de agregados. En la actualidad la separacin de fracciones de agregados por
tamaos se realiza siguiendo el mtodo diseado por Chepil.
2.3.
El agu a del suelo
La gran importancia del agua en el suelo est relacionada con dos fenmenos: (i)
interviene en la nutricin de las plantas como soporte y vehculo de los nutrientes que stas
necesitan y (ii) es uno de los principales factores que intervienen en la formacin de un suelo.
El agua del suelo puede proceder de una precipitacin o de una capa de agua sub-
terrnea. Considerando que la precipitacin es la principal fuente de agua para un suelo, nos
centraremos en los movimientos y tipos de agua que se pueden encontrar a partir de ella.
A gua d e escorren ta: se identifica a s al agu a que corre superficialmente o en el interior
de los horizontes superficiales en direccin paralela a la superficie. La escorrenta sola-
me nte afecta a las superficies en pendiente som etidas a lluvias violentas. La escorrenta
hipod rm ica (en el interior de los horizo ntes superio res) es la caus a princ ipal del
empobrecimiento debido al arrastre lateral de las partculas ms finas.
Agua gravitacional: se infiltra en el interior de los horizontes gracias a la fuerza de
gravedad a travs de los poros gruesos (>10
im
siguiendo, generalmente, trayectorias
verticales. Se divide en dos:
De flujo rpido:
circula por los poros ms grandes (>50
jL-rn
durante la primeras
horas posteriores a la precipitacin.
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30
Conceptos Bsicos de Edafologa
De flujo lento: desciende lentam ente p or los poros de dim etro e ntre 10 y 50 im^
llegando a durar el proceso incluso varias semanas.
Si el suelo es perm eable, el agu a gravitacion al alim enta el drena je profundo.
Ag ua r etenid a: es reten ida por el suelo dura nte el proceso de infiltracin de las lluvias,
ocupando los poros medios y finos (
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2.S El agua del suelo 31
El potencial total es la suma de distintos potenciales:
^ = V m + ^g + P+
VTT
+ V f (2-11)
donde ipmes el potencial m atricial (tambin denom inado capilar), ijj es el gravitatorio, -0^
es el de presin,
ij ^
es el osmtico y
I I Q
es el potencial de presin-env oltura.
2.3.2. El potenc ial capilar y las curvas cara cterstica s de hum edad
El potencial capilar describe la fuerza de succin del suelo para el agua y se expresa
en atmsferas o en centmetros de agua. El suelo retiene el agua con energa variable: en el
caso del agua capilar absorbible lo hace con menos fuerza que en el caso del agua capilar no
absorbible. Esta fuerza de retencin depende de la cantidad de agua retenida (cuanto menor
es la cantidad de agua que hay en un suelo, mayor es la fuerza de succin ejercida) y de
la superficie d e Icis pa rtcu las slidas ( au m en ta con la superficie especfica). Por o tro lado,
la fuerza de retencin del suelo y la facilidad relativa de remocin del agua en la zona de
crecimiento de las plantas, estn en relacin con la granulometra y la distribucin de los
agregados finos llamada microestructura [71],
El potencial capilar puede variar mucho en funcin de la granulometra del suelo con
siderado. Para evitar los inconvenientes que esto puede representar, se expresa por medio del
pF :
el logaritmo del potencial capilar. Las curvas caractersticas de humedad son la represen
tacin del pF frente a la humedad del suelo, partiendo del estado de saturacin para llegar a
valores reducidos de humedad mediante desecacin. El proceso contrario (humectacin) dar
lugar a una curva distinta por el fenmeno de histresis. La influencia de la microestructura
se manifiesta en la forma de las curvas de retencin de humedad. La estructura ms desea
ble es aquella en la que disminuciones iguales del potencial (aumento de succin) liberan
cantidades casi iguales de agua [71].
La zona de la curva correspondiente a pF altos es interesante en relacin a las pro
piedades de drenaje del suelo. Por ello ha sido objeto de estudio en modelos diseados para
predecir estas curvas a partir de la distribucin del tamao de partculas [7].
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32 - Concep tos Bsicos de Edafologa
2.3.3 . Valores carac ter s t i cos
Hay dos valores que resultan de especial inters al considerar el contenido de agua de
un suelo:
La capacidad de cam po c): es la m xim a cantidad de agua retenida por el suelo ca
pilar ms ligada). Se mide en el campo, tres das despus de las lluvias y con el suelo
protegido contra la evaporacin.
El pun to de m arch itam iento /) : es el valor lmite del ag ua ligada, es decir, el agua que
no es absorbible por las plantas.
La diferencia entre los dos valores c /) es la den om inad a agua til que es la cantidad
de agua almacenada por el suelo despus de un periodo de lluvias. El agua til es baja para
las arenas, mayor en las arcillas y mxima para los limos.
2 . 3 . 4 . P e r m e a b i l i d a d
La permeabilidad [k ] de un suelo se define como la velocidad de infiltracin del agua
de gravitacin, expresada en cm/hora. Est relacionada con los movimientos descendentes
del agua de gravitacin que se infiltra despus de las lluvias.
La permeabilidad depende, por orden de importancia, de la estructura y de la granulo-
metra, ya que stas condicionan la porosidad no capilar, es decir, la distribucin de los poros
gruesos por los que circula el agua gravitacional. Para que un suelo escurra rpidamente y,
por lo ta nto , est bien aireado, es necesario que la porosidad no capilar sobrepase el
10
del
volumen global.
2 .4 . L a a tm s fe r a de l sue lo
Los gases que forman la atmsfera del suelo pueden encontrarse como gas libre o como
gas disuelto. Entre los gases que pueden componerla, los ms importantes desde el punto
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2 4 La atmsfera del suelo
3 3
de vista agronmieo son: el oxgeno, que influye en la respiracin de las plantas y de los
microorganismos aerobios, y el dixido de carbono, producto de la actividad respiratoria y
necesario para que los organismos auttrofos realicen sus sntesis orgnicas.
Cuando la estructura del suelo es favorable y ste presenta una fuerte porosidad,
la dinmica de intercambio de gases entre los gases libres y los gases disueltos se da con
normalidad. En caso contrario, la respiracin de las plantas y de los microorganismos puede
verse afectada.
En un suelo bien aireado la atmsfera contiene un porcentaje de oxgeno ligeramente
inferior al de la atmsfera exterior (20
aproxima dam ente) y mucho ms dixido de carbono,
alrededor del doble, pudiendo llegar hasta el 1-3
en suelos con gran actividad biolgica.
En los horizontes ms profundos que no tengan buena estructura el intercambio gaseoso
se realizar de forma ms aleatoria, el contenido de oxgeno gaseoso puede descender de
forma importante y aumentar el de dixido de carbono, pudiendo llegar hasta el
5 .
En
estos horizontes, la respiracin de las races se realiza empleando otras formas de oxgeno
presentes en el suelo. Esto puede ocurrir tambin cuando el suelo se encuentra saturado, caso
en el que las plantas recurren al oxgeno disuelto, aunque para ello deben darse una serie de
condiciones, como que el agua sea fra y se renueve rpidamente.
Los poros gruesos, que son los primeros en vaciarse de agua, facilitan la circulacin
del oxgeno libre en el suelo. Los poros medios y finos contienen el agua capilar, la cual es
tambin necesaria para las plantas, dificultando la circulacin del oxgeno. La difusin de los
gases es m uy peque a cuando la porosida d llena de aire es inferior al 10 , probablem ente
porque los poros no son continuos. El tamao de los poros y las condiciones de drenaje
determinan la porosidad llena de aire, al igual que el encogimiento y el hinchamiento del
suelo. Si el suelo contiene una cantidad apreciable de agregados relativamente estables de
tam ao m oderad o, entre 1 y 5 mm de d im etro, por lo general tend r los suficientes poros
grandes para tener una aeracin adecuada, siempre que el drenaje sea bueno. Si no es as,
los poros grandes estarn llenos de agua en lugar de gases Ubres, provocando una aeracin
reducida [71].
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34 - Conceptos Bsicos de Edafologa
2 . 5 .
L a de g ra da c i n y e ro s in de l s ue lo
En 1974 la FAO y el PNUMA celebraron en Roma una Consulta de Expertos sobre
Degradacin de los Suelos. A raz de ese encuentro y de las recomendaciones que en l
se realizaron, el PNUMA, la FAO y la Unesco iniciaron en 1975 el proyecto denominado
Evaluacin M und ial de la Degradac in de los Suelos - Fase I con el objetivo de crear un a
metodologa para evaluar la degradacin de los suelos y comenzar esta evaluacin en escala
global (vase las referencias [140, 65]). En ella se defina la
degradacin
de los suelos como
un proceso que rebaja la capacidad actual y potencial del suelo para producir (cuantitativa
y cualitativamente) bienes o servicios , reconocindose entre los procesos de degradacin la
erosin hdrica y la erosin clica [65].
Por erosin entendemos el proceso de desalojamiento y transporte de partculas del
suelo realizado por sus dos agentes ms importantes: el
agua y
el
viento.
Es difcil saber
cul de ellos es el agente predominante en cada lugar n particular, aunque en general la
erosin elica suele asociarse a procesos de larga duracin, mientras que la erosin hdrica
suele ir asociada a procesos rpidos. Hasta principios del siglo XX se pensaba que el agua
era el principal agente erosivo, lo cual provoc que durante mucho tienapo el estudio del
efecto del viento tuviera poca prioridad. En ese sentido, el Prairie State Forestry Project
desarrollado hacia 1935 en los EE.UU. marc un punto de inflexin en lo referente a polticas
de investigacin [21].
En 1926 Bennett [20] fue el primero en reconocer la variabilidad de las propiedades
resistentes a la erosin de los suelos, denominada una dcada despus erosionabilidad del
suelo por Cook [40]. En su estudio, Bennett nombr las propiedades del suelo que a su juicio
eran ms importantes en relacin a su erosionabilidad: textura, estructura, materia orgnica
y composicin qumica.
En 1940 Zinng [170] public la primera ecuacin propuesta para calcular la prdida
de suelo en el campo. Wischmeier y Smith presentaron en 1965 [166] la
Ecuacin Universal
de Prdida de Suelos EUP S),
conocida tam bin p or sus siglas en ingls:
USLE.
La
EUPS
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2.5 La degradacin y erosin del suelo. 3 5
cuant i f ica la prdida del suelo {A , kg/m?s, a t ravs del pr od uc to de se is fac tores que re-
presentaxL: la erosividad por precipitacin pluvial (i2), la erosionabil idad del suelo {K , la
longi tud de la pendiente (L) , la inc l inacin de la pendiente (5) , los mtodos de manejo de
cosechas (C) , y los mtodos de control de la erosin (P) .
A = [ ,22A-R-K-L-S-C-P (2.12)
El fac tor de erosionabi l idad del suelo, K, es un a desc r ipc in cuan t i t a t iva de l a e ro
s ionabi l idad inhe ren te de un sue lo de te rminado . A pa r t i r de los t raba jos de Wischmeie r y
Mannering, 1969 [165] y de Wischmeier et al . (1971) la fraccin l imosa se ampli para incluir
en ella la clasificacin de las arenas muy finas y mejor el valor de prediccin tanto para
a renas como pa ra l imos . E l p roduc to de l porcen ta je de l imos y e l porcen ta je a rena - l imos de
u n suelo explic ento nce s el 85 de la variac in en los valore s de K observados en los suelos
ana l i zados .
P robablemente se t ra t e de l m todo de eva luac in ms empleado en l a ac tua l idad ,
au nq ue p resen ta a lgn pu nto db i l , como es e l hecho de no pe rm i t i r n in g n t ipo de in te racc in
no l ineal ent r e los fac tores [90]. Rec ientem ente ha s ido revisad a pa sa nd o a ser refer ida com o
E U P S R ( R U S L E ) [136].
Desde entonces, la preocupacin por encontrar ndices, indicadores, parmetros, mo
delos y propiedades asociados a la calidad y salud de un suelo no ha hecho ms que crecer.
En las referencias [3, .90, 155] puede encontrarse una ampha revisin de los mtodos de
evaluacin e ndices de erosionabilidad desarrollados durante el pasado siglo.
2 5 1 E r o s i n h d r i c a
La erosin y degradacin del suelo son procesos multifactoriales entre los cuales se en
cuentran de forma dominante la lluvia, la topografa y la cubierta vegetal, de tal manera que
su alteracin o eliminacin puede ser el desencadenante de otros procesos fsicos y qumicos
[27,
47].
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3 6
Conceptos sicos de Edafologa
Las cost ras superf ic iales son capas de menos de 2 3 mm de espesor que se caracter izan
por t ener una mayor dens idad , una p resenc i a de po ros ms pequeos y unas p rop i edades de
t ran sm isi n h idr ul ic a infer iores en 2 3 rde nes a las del suelo suby ace nte [86]. De ah que
la forma cin d e co st ra ha ya s ido se ala da co m o la pr incipa l caus a de la escorren t a [1 , 118]
y erosin de un suelo
[113].
La susceptibidad del suelo a formar costra depende de numerosas propiedades fsicas
y qumicas. Su textura, especialmente el contenido de arcilla, es uno de esos factores, de
forma que cuanto mayor es el contenido de arcilla, mayor es la cantidad de agregados que
permanecen estables durante una precipitacin [22]. As, Ben-Hur et al. [19] encontraron que
los suelos de textu ra m edia cerca de20 arcilla) eran los ms proclives a la formacin de
costra.
La es tabi l idad de los agregados t iene una funcin esencial en la capacidad de retencin
hdr ica, en la d in m ica h idrolgica , en la form acin d e cost ra s y en la erosin por salp icad ura
[26, 47 , 54 , 83 , 142, 145] . Me yer [112] af i rm aba qu e un su elo se eros iona en la m ed ida en
que l as un idades es t ruc tu ra l es , como los ag regados , sean i ncapaces de sopor t a r l as fuerzas
del impacto de las gotas de l luvia o de la corr iente superf ic ial . Si los agregados se muest ran
ines t ab l es du r an t e u n p roceso de l l uv ia o r iego par t e de lo s po ro s pued en se r t apo na do s p o r
par t cu las del suelo , favoreciendo en tonce s la esc orren t a [41 , 168] . Po r o t ro lado , la granulo -
met r a tambin inf luye en los procesos de erosin; Morgan [115] ident i f ica las f racciones de
l imo grueso 20-50
JLTJI
y are na f ina 50-100 / im) c om o las f racciones m eno s res i s tentes a los
p r o c e s o s d e d e s p r e n d i m i e n t o y t r a n s p o r t e .
2 5 2
E r o s i n e l i c a
El viento est provocado por un gradiente en la densidad del aire generado por dife
rencias en las presiones y/o temperaturas de la atmsfera. La capacidad erosiva del viento
crece exponencialmente con su velocidad, como en el caso del agua, pero no est afectada por
la fuerza de la gravedad. Sin embargo, es importante la extensin de terreno sin obstculos
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2 5 La degradacin y erosin del suelo 3 7
en la que el v ien to puede i r gan and o mo me nto e inc re me nta r as su potenc ia e ros iva pues to
que
ad em s de a lcan zar suf iciente velocidad deb e llegar a ser lo que se den om ina un viento
eficiente cap az de gen erar un mo vim iento vis ible de las pa r t c ula s que se enc uen tren a nivel
del suelo. Adems de la velocidad hay dos t ipos de causas de la eros in el ica: las inherentes
a las propiedades del suelo y las asociadas a la cobertura vegetal [21 104] .
En t re l a s inherentes a la s propieda des de l sue lo se enc uen t ra l a t ex tu ra ya que l a
eros in el ica es t di r ect am en te inf luida po r e l ta m a o la forma la den s ida d y la es tab i l ida d
m ecn ica de las un ida de s es t ruc tura les de la superf ic ie del suelo. As los suelos de te xt ur a f ina
son part icularmente suscept ibles de sufr i r eros in el ica
[149].
Segn Chepil [37] la resistencia
a la eros in del viento es t re lacionada con el porcentaje de unidades es t ructurales del suelo
seco con d im et ro mayor que 0 84 m m .
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3 8
Conceptos sicos de Edafologa
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Captulo 3
Conceptos Bsicos de Teora de la
Medida y Anlisis Multifractal
Cuan do las proposiciones matem ticas se refieren a la realidad no son ciertas;
cuando son ciertas no hacen referencia a la realidad.
A l b e r t E i n s t e i n
El estudio y caracterizacin de algunas distribuciones empricas puede ser realizado
a partir de los conocimientos desarrollados en las reas de la teora de la medida y de la
geometra fractal. Esta tarea requiere comprender qu es una medida y ciertos aspectos de
la teor a de la medida seccin 3.1), conocer las med idas m ultifractales y algunos de los
mo delos tericos que las gen eran secciones 3.2 y 3.3) y, finalmente, estab lecer los m tod os
que actualmente se emplean en el anlisis y caracterizacin de las medidas multifractales
secciones 3.4 y 3.5).
En el presen te cap tulo exponemos las bases tericas necesarias pa ra afrontar el anlisis
multifractal de distribuciones de partculas primarias y agregados del suelo mediante, que es
el objetivo general del trabajo. Para ms detalles sobre los conceptos expuestos consltense
las referencias [56, 58, 76].
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4 0
Conceptos Bsicos de Teora de la Medida y Anlisis Multifractal
3 . 1 . E l e m e n t o s b s i c o s d e t e o r a d e l a m e d i d a
3.1.1.
M edidas y distribuciones de masa
De f i n i c i n
Una medida sobre X G ^^ es una aplicacin /j, que asigna un nmero no
negativo a cada subconjunto de X de tal forma que:
1 . M0)
= o
2. jj, es montona: si A
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3.1 Elementos bsicos de teora de la medida 4 1
3.1.2.
Conjuntos y medida de Borel
Definicin
2
Sea T una familia de subconjuntos de
que verifica:
S R ^ e ^
2 Para Ek
T, con k
1,2,...,
entonces
ur=i?fce T. (3.2)
3
Si M eT entonces
SR \M
e T.
Se dice que 7 es una a-lgebra de
3?
y el par
(IR ,
J^) se llama espacio medible.
La interseccin de cualquier familia de (T-lgebras de ? es, a su vez, ot ra cr-lgebra de
3? .
La interseccin de todas las
(T- lgebras
de 3? que cont ienen a un a familia de subconjuntos
de 5 ' se llama cr-lgebra engendrada por dicha familia y adems es la mnima cr-lgebra que
la contiene.
Definicin La a-lgebra de 5R engendrada por la familia de los conjuntos abiertos se
llama a-lgebra de Borel y sus elementos son denominados conjuntos de Borel.
Definicin 4 Se dice que n es una medida de Borel en X cU ' si los subconjuntos de Borel
de X son n-medibles.
Una medida de Borel J Les denominada
regular de Borel
si cada subconjun to de
X
est
incluido en un conjunto de Borel de la misma medida.
Cuando en adelante se hable de medida significar medida regular de Borel .
Una medida
j, en X es
denominada
finita
si
iJ'{X)
< oo.
Si /i(A) < 00 para todo conjunto acotado A entonces se dice localmente finita.
Se dice que /i es una medida de probabilidad si
^{X) =
1.
-
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4 2
Conceptos Bsico de Teora de la Medida
y
Anlisis Mu ltifractal
r opo s i c i n
Sea /i una m edida de Borel ocalmen te finita en 3 ysea B{x, e) una bola
de centrox
E y radio e definida como B{x,e) = {y
W^\|y- a:|
-
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3.1 Elementos bsicos de teora de la medida
4 3
Co ns ider an do esta s def inic iones, se pue de dedu cir que las m edid as L \ L^ y L^ son las
m e d i d a s c o n o c i d a s t r a d i c i o n a l m e n t e c o m o
longitud^ rea
y
volumen
de un conjun to .
3 1 4
M e d i d a y d i m e n s i n d e H a u s d o rf F
Sean
x, y
dos puntos de3R ,con
x=
( x i, .. ., x^), y = (yi, ...,? /) . Se define ladistancia
eucUdea o mtricaen J entre los puntos a:,ycomo:
d{x,y)
Y.{xi - Vi) (3.8)
Sea
D
un co njun to n o vaco en el espacio n-d im en sio nal eucl deo 3f? . Den om ina m os
dimetro
del con junto
D
a
I
D
1= sup{< (x,y) I x, y e -D}
es decir, la mayor distancia a la que se encuentran cualquier par de puntos de D .
Si {Di}es una coleccin numerable de conjuntos de dimetro menor que5que cubren
un conjunto
F,
es decir, tal que
F
C U^^A con
-
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4 4 Conceptos Bsicos de Teora de laMedida y Anlisis Multifractal
El valor s es n i c o ,
de tal
m a n e r a q u e t o m a d a o t r a c a n t i d a d
7^
s, se
verifica qu e
si
t < se n t o n c e sH {F)= 00,y si > s e n t o n c e sH^{F) =0. Sedice qu e ses ladimensin de
Hausdo rff del conjunto F (s =dimuiF))
y
pue de to m ar cau lqu ie r va lor rea l pos i t ivo .
Los l l am ado s con jun tos frac tal e s t i enen t p i cam ente d im ens in
de
Hausdo rff no e nte
ra ,
de
forma que
la
m e d i d a s - d i m e n s io n a l c o r r e sp o n d i e n t e r e su l t a
ser la
a d e c u a d a p a r a
su
medicin.
Si s
es un
n m e r o e n t e r o
y F es un
conjun to m edib le Lebesgue , en tonces H (F)
es
p r o p o r c i o n a l
a la
m e d i d a
de
Lebesgue 5-d imens iona l :
H^{F) =
CsL^{F), s i endo
el
factor
de
p r o p o r c i o n a l i d a d u n a c o n s t a n t e Cg q u e d e p e n d ede s.
3.1 .5 .
D e n s i d a d e s
Sea
un
conju n to s -d imens iona l ,
es
deci r ,
un
c o n j u n t o
de
Bo r e l E Z^
con
m e d i d a
O
-
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8.2 Medidas multifractales
. 45
pa ra f -c as i tod o a; [59].
P r o p o s i c i n
2
5ea un conjunto s-dimensional en 3? . Entonces
1.
R {E, x)
=D\E, X )=O
]?ora i -ca5 todo
x E
8.
2-
< D\E, X)
{x),cP{y))i, 02)
, 0iv}) con sus
respectivas razones de contractividad r i, r 2 , . . -, rjv {u i,^2,
-
,
4>N\PI,P2,
-
TPN}
es denominado Sistema de Funciones Ite
radas
(SFI) [16]. M ediante las semejanzas 0j y las probabilidades
Pi,
un SFI determina el
modo en el que una distribucin fractal reproduce su estructura a diferentes escalas [153].
-
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50 Conceptos Bsicos, de Teora de la Medida y Anlisis Multifractal
Si Ties la razn de co ntractividad de (pi, entonces la razn de contractividad del SFI
es r = m x { r i , r 2 , . . . , r i v } . .
En estas condiciones, se verifica el siguiente teorema:
1. Hay un nico conjunto E que verifique que es igual a la unin de copias semejantes
0i(^) para = 1 ,2 , . . . ,A ^:
E = U^ME) (3.22)
E
es denominado el
conjunto autosemejante
asociado a las semejanzas
(>i,
^2 , ,N
2.
Hay un a nica distribucin de probab ilidad /i tal que su sopo rte sea E, es decir, que
verifique que fj,{E) =
ij,[W^)
= 1, y para todo intervalo I CW .
M/) = E P .
M (0- ( I )) (3.23)
i = l
do nde 0^ es la funcin recproca de 0.
Se dice entonces que fi es la medida invariante del SFI y que es singular (vanse m s
detalles en las referencias [57, 82]).
Consideremos, por ejemplo, una masa unidad (m = 1) distribuida sobre el intervalo
/ = [0,1] con el SFI siguiente: S {^,(f)o,(f)i]mo,mi}, con (j)o{x) = | , 0 i (x ) =
+ \-
Adems se verifica que mQ^rrii,
(UIQ
+m i) = 1, y r = 5.
Usando la siguiente notacin:
(j)i{I) = li ; 0 j( / i ) = lij
tenemos que se verifican las siguientes ecuaciones:
5 ( / ) = 4 ( / ) U 0 i ( ) = / o U / i
S^il) = Mo U / i ) U M^o U / i ) = looU Iw U /oi U L
-
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3.3 Modelos generadores demedidas multifractales
51
/ )
Ui ... ij^s{o i}/i . .. ife
La ecuacin 3.22) implicaque / es elsoportede fx
y puesto
que
0 r i / ^ . ) n /
= 0
si i^j
se puede deducir
a
part i r
de la
ecuac in 3.23)
que
M-^j)
= mj , j =
0 ,1 .
Si4>j{Ii = lij, entonces, aplicando
de
nuevo
la
ecuacin 3.23),
se
tiene
// /y ) = m -rrij,
ecuacin
que se
verifica porque
la
medida
del
solapamiento
es
cero.
En general, podemos afirmarque
verificndose la igualdad cuandoelconjunto seatotalm ente inconexo.
La ecuacin 3.23) gar antiza ,
por
t an to ,
que la
distribucin
//
replica
su
estructura
a
cualquier escala, dicindose entoncesqueies unadistribucin omedida de probabilidad
autosemejante
que
presenta
un
elevado grado
de
irregularidad.
En el caso particular de quePi = ri la medida fj,es la distribucin uniforme en el
intervalo
/ .
-
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5 2
Conceptos Bsicos de Teora de la M edida y nlisis M ultifractl
0,10
-
0,08 -
0,06
0,04-
0 , 0 2
0,00
*
0,0
0,1
0,2
( a )
0,4 0,5
0,6 0,7 0,9
1,0
Figura 3.3: a) Distribucin trinomial en la etapa k=4; b) La misma distribucin trinomial
generada con aleatoriedad.
3 3 3 M e d i d a m u l t i n o m i a l
Cuando el nmero de fragmentos en los que se divide el soporte es 6 > 2, el modelo
genera una medida multinomial (vase la figiura 3.3) que es la generaliz
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