elasto-plasticitymms2.ensmp.fr/.../archives-transparents/jlc-plasticity.pdf · 2014-01-14 ·...
Post on 26-Dec-2019
5 Views
Preview:
TRANSCRIPT
ELASTO-PLASTICITY
Jean-Louis Chaboche
ONERA, 29 av. de la Division Leclerc92320 Châtillon, France
Jean-Louis.Chaboche@onera.fr
ATHENS Course MP06
Nonlinear Computational MechanicsMarch 16 to 20, 2009
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �
Comportements non linéaires
moteur fusée
A 380
essai au solde l’A 380
moteur avion civil
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �
ConstructionGénie Civil
Automobile
talus
collecteur d’échappement
arrachement
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �
Pièces soumises à des sollicitations thermomécaniques sévères
rocketengineaubes de
turbine
collecteurs d’échappement
chambres de combustion
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �
Structural analysis with non-linearities
� ������ ���� �����������
� ������
� ��� ���������
� ������� ���������
� ������������� �� ����
�!"#$!%&#��"'
$����"'�(��%)**)*
*)�+�%)�,�$)�&��)�
!"!,-*�*
� .� ��� � ���
� *��/���� � 0
�.����
�%���1����� �
�%���1��� ����� �
�$�����
� ������������ ������������������������
� ����������������������
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 2
Various scales in metallic materials and structures
�+)3
o
! 453µµµµ
3µµµµ
3�6�34�µµµµ
3�6�34�µµµµ
34�6�344�µµµµ
3�
� �������
.�����
.������
.�� ��� �
.�����
����������
��� ��� ��
��7����������
8�����������9
����� ��
����� � � ����
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity :
<<
σσσσ
������ ���� ��
�� ���� ���
��� �������
averaging
�;������������
����� ���
����7�����
��� ��� ���
�� ������������
���������/����
��7 ������
�� ����1�555
Continuum approximation
ττττ< �������
/���7���
σσσσ
εεεε&
���� �� �;�
�����������/�
+ ����)�����
���� �� �;� �����
��� 8�/� �����;
������� ����<<
,�� ,�+) ,� � ����
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity =
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 34
Notations>σσσσ
.��/��/�� 0
�5�σσσσ
% ������������ ��� �� ����� 0
*�� ������1 ���� � 0
&��� ��� �� ����� 0
intrinsic : indicial :σσσσ
$ ���; ���1 ���� � 0% >1�%
>>�σσσσεεεεσσσσ 0 >> εεεεσσσσ
1�>1�% εεεεεεεε0%
ϕ����
#������� �� 0������ ���1 0 3������������
≠≠≠≠====
====> 4
> 3>δδδδ
��; ���1 0 (((( ))))3333��
3⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ++++==== (((( ))))>1�>�1�
3>1�% δδδδδδδδδδδδδδδδ ++++====
����
⊗⊗⊗⊗==== >> �� ====7�% ⊗⊗⊗⊗==== 1�>>1� 7�% ====7�% ⊗⊗⊗⊗==== >�1>1� 7�% ====7�% ⊗⊗⊗⊗==== >1�>1� 7�% ====
�?
ϕϕϕϕϕϕϕϕ ====∂∂∂∂∂∂∂∂
��
��� ====�
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 33
Invariants
��/�������; �@����0
(((( )))) [[[[ ]]]] �A3
1>1>�
=�A3
��
�2��� BBBC� σσσσσσσσσσσσ========
σσσσ&��3 ====
[[[[ ]]]]�3�
���
��3 ������
�
3>>�
�����D BBC���C� σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ −−−−++++−−−−++++−−−−====================
�E/������0
F����33113 �30&�� σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ ====++++++++================
(((( )))) >>�
3�
�
3� BBB&�C σσσσσσσσσσσσ ========
(((( )))) 1>1>�
3�
�
3� BBBB&�C σσσσσσσσσσσσσσσσ ======== 3��&�B
�
3 σσσσσσσσσσσσ −−−−====
��/������������ ���������0
��/�����������E ��� ������D���0
���
���
�33
�11
�� ��&�3
εεεεεεεεεεεεεεεεεεεε ++++++++============ℑℑℑℑ����E�E�����4
��C��
�
�
>�>��
� εεεεεεεεεεεε ���� ========
ττττττττ �����
�
4
����==== �
� �������� E������
������������������������ �
��CBB��
�
�
>�>��
����
εεεεεεεεεεεε ========
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3�
Characteristic tests in tension
� F������� 0εεεε
σσσσ
εεεε
� %���� 0
� ����?�� � 0��
εεεε
σσσσ
σσσσ
�
�
� �
�
εεεε
�����
��� ����
σσσσ
εεεε
����?�� �
;�������
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3�
Multiaxial tests
����������������
����
����
����������������
====���
��
�
C%
C%
*$
σσσσ
�������
��������
%
$
�
$σσσσ1111
σσσσ2222
������������������������
����
����
������������������������
++++
====
*
$
�
���
��
�
��
��
���
σσσσ
traction –
compression –
internal
pressure
traction –
compression –
torsion
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3�
Notion of plastic strain
�� εεεεεεεεεεεε ++++====
����� ����� �
������ ������ ��0
G ���/���7�� H� ��G ������� H������
σσσσ
εεεε
�εεεε �εεεε
�εεεε �εεεε)
σσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3�
�� εεεεεεεεεεεε ++++====���� ������ 0
����
�% %
������
����?��
���� �����
�$
$
$
%
�� $$$ ====$��� ������ 0
�εεεε
σσσσ
εεεε
εεεε
�εεεε εεεε
Notion of plastic strain
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3�
Notion of hardening
;�������
σσσσ
εεεε
(�� ����� (�����
�������
������������
��8���������
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 32
Bauschinger effects
I����;���� � ���
σσσσ
εεεε
����������� ��
��8������� �������� �
������ ���/�
������
�
��
��8������� ����� ����� �
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3:
Rheological elementary models
εεεεσσσσ )====
εεεεηηηησσσσ �====
"3
εεεεηηηησσσσ �====
�� σσσσσσσσσσσσ ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−
�����
��������;� �
� ����������;� �
�����
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity 3=
Parallel and series assemblies
�σσσσ
�σσσσσσσσ)
�� εεεεεεεεεεεε ++++====
�εεεε �εεεε
F
�σσσσ σσσσ
�F� εεεεσσσσσσσσ ++++====εεεε
σσσσ
F�σσσσ
εεεε
σσσσ�σσσσ
�σσσσ−−−−
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �4
σσσσ
F
�σσσσ)
ηηηη
σσσσ) F
�σσσσ
ηηηη
/�� ������ � �������0
E���� � /�� ������
�����������
I��;� �����0
σσσσ)
F
�σσσσ���������������
�������� 0
;�������Viscosity effects
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �3
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
��������������
�� �� �� ����0�����/������
4 <<<<
4 ====
4 >>>>(((( ))))>!� σσσσ====
/���7����� �
�����7�
�;� ��� ���������
������
/ � �������� &����� 0������������� ;��� ����� ��������
4�555�1 �D ≤≤≤≤−−−−==== σσσσ/ � �����0
B0B�
�C���C ��D σσσσσσσσσσσσσσσσ ============σσσσσσσσ &�
�
3F ==== (((( )))) �A3
��
�2��� C� ====
Elastic limit criterion = yield criterion
(((( )))) (((( ))))�� B&��
3B0BB5
�
3C σσσσσσσσσσσσσσσσ ========
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
4�555�1 �D ≤≤≤≤−−−−==== σσσσ
/ � �����0
��/�� ��
�����
/ � ����
&�����
�σσσσ
3σσσσ �σσσσ
�
von Mises and Tresca
4�555�1*�� > ≤≤≤≤−−−−−−−−==== σσσσσσσσ
&����� 0
====>�����3
4 ==== (((( )))) 411�
�2�
����D
�����
��D ====−−−−−−−−−−−− σσσσσσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
(((( )))) 4�555�1�� ����D ≤≤≤≤−−−−==== σσσσφφφφ
.���1����3=�=�0
7��8��� / � �������� &�����
��/�� ��
�����
/ � ����
&�����
�σσσσ
3σσσσ �σσσσ
�
von Mises, Tresca and Edelman-Drucker
(((( )))) 411�
�21��1
����D
������
���D ≤≤≤≤����
����
��������
���� −−−−++++−−−−−−−−−−−−==== σσσσσσσσ
)����� � .���1����3=�=�0
������ �������� ��J�4�����������/ � �������������J�3���������&�����
(((( )))) 4�555�1�� ����D ≤≤≤≤−−−−==== σσσσφφφφ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
Edelman-Drucker
������ ��������
��J�4�����������/ � ����������
��J�3����������&�����
�����������������
��������������������
(((( )))) 411�
�21��1
����D
������
���D ≤≤≤≤����
����
��������
���� −−−−++++−−−−−−−−−−−−==== σσσσσσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
�������� �
;��� ����� ��������
4�555�1��&� �D ≤≤≤≤−−−−++++==== σσσσαααασσσσ
.���1���� (����� 0
��&� σσσσ
�Dσσσσ
��/�� ��
�����
/ � �
���
�σσσσ
3σσσσ
�σσσσ�
Drucker – Prager
��&� σσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �2
K����� � � ��C�
�����������
��4L%
3
�3
�3
3
�
�
σσσσσσσσ
�3 σσσσσσσσ
/ � ����
F��
���� �����
� ����� ��������
�� 4��������=4L
F��M������� � 0
4�555�10F0 ≤≤≤≤−−−−==== σσσσσσσσ
F J�������1 ���� �
�� ��� ���;� ������
������������� ��
Anisotropic criteria
��; �� ��
F����3=�3
���0F0�F ====
G � / ��� H�����
�� J����/�� �� �� >��� � 0
1�>>1�>�1�>1�
�
3��
�
3� δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ −−−−++++====
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �:
.���1����3=�=��0
(((( )))) (((( )))) ��
� ≤≤≤≤−−−−−−−−==== �555�1C�C
I������%�N��� ��44���0
(((( )))) ��
� ≤≤≤≤−−−−−−−−==== �555�1C�C
An isotropic non-symmetric criterion
������
������� 4� ====σσσσ
�σσσσ
3σσσσ
-300
-200
-100
0
100
200
300
-300 -200 -100 0 100 200 300
Barlat-Cazacu
Drucker
von Mises
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �=
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �4
� ������ �� ����� �
� � �������� ���� � ��� �
� � ����� ����
� ;������� ����
� � �������� � ��� �
Rate-independent incremental plasticity theory
Context of theory:
Main ingredients :
� ������ ���� ���������
� �� � ���� ���������
� � 8��� ������ �����������
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �3
Hardening
;�������
σσσσ
εεεε
(�� ����� (�����
�������
������������
��8���������
����
������
���;�
������������ 0 σσσσ�
combination of :isotropic hardeningkinematic hardeningothers…
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
initial
��
�σσσσ
3σσσσ �σσσσ
����� ====
Isotropic hardening
�
��
�
��
��(
δ δ δ δ �(�
δ �(M�M�
σσσσ
�εεεε
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
�
�
�%O εεεε==== (�������3=�=
Kinematic hardening (linear)
O
initial
�σσσσ
3σσσσ �σσσσ
�
σσσσ
�εεεε
O
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
4 <<<<
4 ====
������
� � ��� 8�� ����������������� ��������
σσσσ∂∂∂∂∂∂∂∂====
�
40
<<<<∂∂∂∂∂∂∂∂ σσσσσσσσ
�
σσσσ
������
σσσσ�
4 <<<< �
40
≥≥≥≥∂∂∂∂∂∂∂∂ σσσσσσσσ
����4 ==== ������� � 8
4 >>>>
� ������� ����
Loading-unloading condition
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
&;� � 8�� �;� ������ ����������� � ��� ����� 8�; �;� ������
������������ ������� � ������ �;�� �;� � 8�� � �����
8�; ��� �;�� ����7�������������� �
40� ≥≥≥≥−−−− εεεεσσσσσσσσ �
4 ====
�εεεε�
σσσσ
Principle of maximal plastic work
Pσσσσ σσσσ�
σσσσ�εεεε�
Pσσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
% ��������8�; �;� ��?��.����� ��(������
� � λλλλσσσσ
λλλλεεεε ��� ====∂∂∂∂∂∂∂∂
====
����� �;� ����� � � �/�?��
����� ����� �����7��������������� ���;� ����� � �
���������� �;� ;��� ����� ���������0
������
�������
Concequency : Normality rule
4C
&�C
&� �� ====������������
������������
∂∂∂∂∂∂∂∂====��������
����
������������
∂∂∂∂∂∂∂∂
σσσσσσσσ
4 <<<<
4 ====
������
σσσσ∂∂∂∂∂∂∂∂====
�σσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �2
��� ����� 8�; �;� ;������� �������������� �;� ��������������
4!0!
0
>
>
====∂∂∂∂∂∂∂∂
++++∂∂∂∂∂∂∂∂
==== ��� σσσσσσσσ
4 ====�
Consistency condition
4 <<<<������
σσσσσσσσ�
(((( )))) 4!� > ====σσσσ
(((( )))) 4�!!�� >> ====++++++++ σσσσσσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �:
Combination of the different rules
� ����� 0 � � λλλλσσσσ
λλλλεεεε ��� ====∂∂∂∂∂∂∂∂
====
;������� 0 (((( ))))>11 +�F+ σσσσλλλλ�� ====
� �������� 0 4+
F0�+
+
0
1
11
1
====∂∂∂∂∂∂∂∂
++++====∂∂∂∂∂∂∂∂
++++∂∂∂∂∂∂∂∂
==== λλλλσσσσσσσσσσσσ
�����
σσσσσσσσ
σσσσλλλλ �
�
� 0�;
3
+
F
0
�
1
1
====
∂∂∂∂∂∂∂∂
−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂
====1
�+
1F;
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====
� ������ �� � ��� ����� � ����� 0
�0�� �F;
3
�
� σσσσεεεε �� ====
� ;������� 8�; �� ������� � 8
������������
<<<<≥≥≥≥
====4 4
4 3� �F
�?�F?? ====
;������� ������� �����
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �=
4 ====
σσσσ∂∂∂∂∂∂∂∂====
�
σσσσ
4 <<<<������
4 ====
σσσσ∂∂∂∂∂∂∂∂==== �
σσσσ
4 <<<<������
4� ====�
� λλλλεεεε �� ====
�� λλλλσσσσ
λλλλεεεε ��� ====∂∂∂∂∂∂∂∂
====
Associated plasticity : Non-Associated plasticity :
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �4
Non-associated plasticity : example of soils mechanics
.���1���(�����
����� �
(((( )))) 4+� 1 ≤≤≤≤σσσσ)����� � �� 0
� ������� �3�� ��������� � 8
(((( )))) 4&�� ====εεεε�
�7���/�� ���� ��� �� 0
7���0�
�εεεε�σσσσ∂∂∂∂
∂∂∂∂
4
�C
σσσσ&��3 ====
1
�J�4
��J�4
(������ � 8� ������ 0 (((( )))) 4+�� 1 ====σσσσ
σσσσλλλλλλλλεεεε
∂∂∂∂∂∂∂∂
========�
�� ��� 4 ==== 40
≥≥≥≥
∂∂∂∂∂∂∂∂ σσσσσσσσ
� ���
4� ====εεεε� 4 <<<< 40
<<<<
∂∂∂∂∂∂∂∂ σσσσσσσσ
� �
F������� ����� 0 � ���? 7�;�/ ��� 5�5�5555+1 ====�
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �3
Elasto-plastic tangent operator (non-associated flow)
� 8����� ��0
� ����� ��;� ������ � �� 0
(((( ))))�0 εεεεεεεεσσσσ −−−−ΛΛΛΛ====F 1�M����80
εεεελλλλ �� 00;
3ΛΛΛΛ======== �00;; � ΛΛΛΛ++++====
������ ����� ����� �������� 0
�0;
3
�
� σσσσεεεε �� ====
;������� �����
σσσσ∂∂∂∂∂∂∂∂====
σσσσ∂∂∂∂∂∂∂∂====�
�
(((( )))) ====−−−−−−−−ΛΛΛΛ====∂∂∂∂∂∂∂∂
++++∂∂∂∂∂∂∂∂
==== λλλλεεεεεεεελλλλσσσσσσσσ
�������
�
1
1 ;00+
F0
4;�0000 � ====−−−−ΛΛΛΛ−−−−ΛΛΛΛ==== λλλλλλλλεεεε ���
% �������� 0
(((( )))) (((( ))))εεεεεεεελλλλεεεεεεεεεεεεσσσσ ������� 0,0�0,;
30�000
� −−−−ΛΛΛΛ====ΛΛΛΛ−−−−ΛΛΛΛ====−−−−ΛΛΛΛ====
(((( )))) εεεεεεεε �� 00�0;
30 ΛΛΛΛΛΛΛΛ−−−−ΛΛΛΛ==== ⊗⊗⊗⊗
εεεεσσσσ �� 0�
==== (((( )))) ΛΛΛΛΛΛΛΛ−−−−ΛΛΛΛ==== ⊗⊗⊗⊗ 0�0;
3
� � ====
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
� ����� 0
� �������� 0
��������
εεεελλλλ �� 0��
�====
1�1�1�>1�> ��� εεεεµµµµεεεε �� ====ΛΛΛΛ
Perfectly plastic behavior (associated plasticity)
� � λλλλσσσσ
λλλλεεεε ��� ====∂∂∂∂∂∂∂∂
====
40�0
========∂∂∂∂∂∂∂∂
==== σσσσσσσσσσσσ
���
���������� ��������� ������������������������������������ ��������������� �����
������� ���������� �������������������������������
4�00�00���00�0�� ====ΛΛΛΛ−−−−ΛΛΛΛ====−−−−ΛΛΛΛ==== λλλλεεεεεεεεεεεεσσσσ �����
� �� �� �������� ��� / � ���������� � 0 �� >1�>�11�>>1� δδδδδδδδδδδδδδδδµµµµδδδδλδλδλδλδ ++++++++====ΛΛΛΛ
µµµµ��� 1�>1�> ====ΛΛΛΛ
�00�
00�
ΛΛΛΛ
ΛΛΛΛ====
εεεελλλλ
��
�D
>>
�
�
��
σσσσ====
���C σσσσσσσσ −−−−====
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
�� �;��������
������������
����
����
������������
−−−−−−−−====
�3
�3
3
�
��
σσσσ
Flow direction associated with von Mises criterion
σσσσσσσσ
σσσσ ∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂====
∂∂∂∂∂∂∂∂
====�
0�
�
�D
σσσσσσσσ ====�D
�D
>>
�
�
��
σσσσ====
��D σσσσσσσσ −−−−====
>
1�
1�
�D>
�
��
σσσσσσσσ
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂====
(((( )))) 1�>>1�>�1�>1�
>
1�
�
3
�
3�
�δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ
σσσσ++++++++========
∂∂∂∂∂∂∂∂
�D
�
�
��
σσσσ====
��������� ���� �� ����� ��3�0
��
�3
�3
3
� σσσσ����������������
����
����
������������
−−−−−−−−====
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
initial
��
�σσσσ
3σσσσ �σσσσ
����� ====
Isotropic hardening
�
��
�
��
��(
δ δ δ δ �(�
δ �(M�M�
σσσσ
�εεεε
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
Incremental Prandtl-Reuss plasticity/ � �������<���� �� �� ;������� <������ ����� ��������
����� ====
���������� ������������ 0
4�&�1� �D ≤≤≤≤−−−−−−−−==== σσσσ
� �������� 0 4&�&�B1����B�0� ====−−−−−−−−==== ���� σσσσ
�D
�D �
�
� �
σσσσσσσσσσσσ
σσσσ====
∂∂∂∂
∂∂∂∂====
∂∂∂∂∂∂∂∂
====
�&�&�B10�� �F���B�
3� ��� −−−−==== σσσσεεεε
��������������������
λλλλεεεεεεεε ���� ======== ��0
�
��
&�&�B10�� �F���B�
3��� −−−−==== σσσσλλλλ
�� εεεεεεεεεεεε ��� ++++====
3��&�))
3� σσσσννννσσσσ
ννννεεεε ��� −−−−++++
====1
����� ====
�Dσσσσ
�
���B�;� ====33σσσσ====
�33εεεε====
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �2
Ramberg-Osgood or Hollomon equation of tensile curve
����� ������� � 80
4�&�1� �D ====−−−−−−−−==== σσσσ
3�D �Q1 ++++====σσσσ
3�Q1 εεεεσσσσ ++++====
============−−−−
3
� �
Q���B�;
3�D
Q
1
Q−−−−
������������
������������
−−−−====
σσσσ
�������;������� ����� 0
σσσσ
3�4
�44�����
��4
344
�44
45� 35�354
�εεεε�
�(�
4
����� ====
1
����
�3�,��� �4L%
���������� 0
�(�3�:1 ====��5� ====
�(����Q ====
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �:
Isotropic hardening and cyclic loading
σσσσ
εεεε
����������������
����������������
� � �������� ���/�
��� �����������
�����������������
������������� ����������������������
����������� ������� �
���7���� ��7�������� ������� �
��������� ����������������������
���7���� ��7����G ��� ����� ������ H����� ���� ���
�����������������
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �=
Prandtl-Reuss plasticity at variable temperature
σσσσ
)?���� 0��� ����������������� �������� ���������� 0
�&�1
1
������
&
�&�1�D ====σσσσ
������
���&�1 ++++
4�&�1� �D ≤≤≤≤−−−−−−−−==== σσσσ �&�&�B10�� �F���B�
3� ��� −−−−==== σσσσεεεε
��������������������
� ����
��� �
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �4
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �3
�
�
�%O εεεε==== (�������3=�=
Kinematic hardening (linear)
O
initial
�σσσσ
3σσσσ �σσσσ
�
σσσσ
�εεεε
O
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
�44��(�
�σσσσ
3σσσσ
�44��(�
�� �
� ����
����
�σσσσ
3σσσσ
344��(�
3
�
��� � � �����
����
+� %�3�
3
�
3 −−−−−−−− � 3%���
3 −−−−
������������������� ��������!�"�������������� � ��� � �����5��3=:�
Example of kinematic hardening in some stainless steels
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
Incremental plasticity with Linear Kinematic Hardening/ � �������<���1����� ;������� <������ ����� ��������
�%
�
�O εεεε====
���������� ������������ 0
4�&�1�O�C ≤≤≤≤−−−−−−−−==== σσσσ
� �������� 0
4&�&�B1%�
�0�
� ====−−−−−−−−==== ���� εεεεσσσσ
�O�C
BO�
�
� �
−−−−−−−−
====∂∂∂∂∂∂∂∂
====σσσσσσσσ
�&�&�B10�� �F%
3� ��� −−−−==== σσσσεεεε
��������������������
&�&�B10�� �F%
3��� −−−−==== σσσσλλλλ
���
�� ====εεεε
1
4
33σσσσ
�33εεεε
1�3333�
�%OO εεεε========
λλλλεεεεεεεε ���� ======== ��0
�
��
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
Thermodynamic approach – Internal variables
���
�
�
�
�!00 ααααεεεεσσσσαααα
ααααψψψψρρρρεεεε
εεεεψψψψρρρρψψψψρρρρ ����� ++++====
∂∂∂∂∂∂∂∂
++++∂∂∂∂∂∂∂∂
====
� � � �� ������/���7����� 7���/�7��������������;�� ���� �� ��� ������
������������ �����������������������
� �;� �� �� � ������� /���7���� �� 8� � �;� �?���� �� � � ��
������ � ������
��� �� ααααεεεερψρψρψρψρψρψρψρψ ====
� /���� �� ������� �;� �� ��� ������ ����� �;� �� ��� � �� ���� 0
ψψψψ
ψψψψ
�
��!
ααααψψψψρρρρ
εεεεψψψψρρρρσσσσ
∂∂∂∂∂∂∂∂
====∂∂∂∂∂∂∂∂
====
� 8� �������;�� �;��� ������/���7���������� ���� � ���������� �;�
8; �� ���� ;�� ��
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
Definition of intrinsic dissipation
(((( )))) (((( ))))�����
!0000 ααααεεεεσσσσεεεεσσσσεεεεσσσσψψψψεεεεσσσσ ������� ++++−−−−++++====−−−−====ΦΦΦΦ
(((( )))) (((( ))))��
� �N!�K ααααεεεεσσσσ −−−−========
� �������� ������ ��� �;� � ������ 7��8��� �;� ��� ����� ��;�����
������ ��� �;� ��� ����� �� ��� ������
� �� � �������� ���;��� �������� � ������
� �7/ ���� �;��� � � ������ ��������� ������ 7�;�/ ��
� &;� '������N�� *��������� ������������������� ������������ ������ 0
� ���� � (��� ��C�� R������ N�� ��3
�;�������� � C����3 ���S��
K
ΦΦΦΦ�
NK!0 ���
���� ====−−−−====ΦΦΦΦ ααααεεεεσσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �2
� ������0��?����������8 �1 ������� ����� ������������� 0
F���0����� � ������� �;� �?��
�?��� ����� �;� � �������
Plastic flow – Generalised normality
�0 εεεεσσσσ �� ====ΦΦΦΦ
NK!0 ���
���� ====−−−−====ΦΦΦΦ ααααεεεεσσσσ
� )?���� �� �?�������� ��������� R������� �������� 8����
8� ��� � ��?����;� ������ ������ ��0
� S� ;�/��� ��?���������������� �;� � ������� R�8� ������0
� � λλλλσσσσ
λλλλεεεε ��� ====∂∂∂∂∂∂∂∂
====K
N
∂∂∂∂∂∂∂∂
==== λλλλ��
NK �
/���;�� ���σσσσ∂∂∂∂∂∂∂∂$
�0 εεεεσσσσ �
�!$ ∂∂∂∂∂∂∂∂
(((( )))) (((( ))))����
� !� !0!�$ σσσσλλλλααααεεεεσσσσσσσσ ��� −−−−−−−−====
4�!�� � ≤≤≤≤σσσσ
4�!�� � ≤≤≤≤σσσσ
� ��
�!
∂∂∂∂∂∂∂∂
−−−−==== λλλλαααα ��
� " ����� ��������� � 8��� ��;������� �/ ��� � 0
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �:
Example : linear kinematic hardening in 1D
������F
�
3)
�
3��� εεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ++++====
� ������������ � 8����
� ������ ��� �;� ������ ��� �� ���;� ����� ����8�;
� ������/���7������������������� �;� ����� ������� �F��
� ������ ������ ��J���� ����� ������ T �� ��� ������ 0�
�εεεε
4O�O�� � ====−−−−−−−−==== σσσσσσσσσσσσ�O��
� −−−−==== σσσσεεεε �����
�εεεε
(((( )))) (((( )))) ������OO εεεεεεεεσσσσεεεεεεεεσσσσεεεεσσσσεεεεσσσσψψψψεεεεσσσσ ��������� −−−−====++++−−−−++++====−−−−====ΦΦΦΦ
(((( )))) ��OO �� ���� σσσσσσσσεεεεσσσσ ====−−−−====−−−−====ΦΦΦΦ
� *� ��� ������ � �������� 8�; ��/������������ � 8��F�54 εεεε
σσσσ)
F
�σσσσ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �=
Example : linear isotropic hardening in 1D
������F
�
3)
�
3��� εεεεεεεεεεεεεεεεψψψψ ++++====� $��� ������ 8����
� ������� ������ ��J���� ����� ������ T �� ��� ������ 0�
(((( )))) ����� �� �������� σσσσσσσσεεεεσσσσεεεεσσσσψψψψεεεεσσσσ ====−−−−====−−−−−−−−====−−−−====ΦΦΦΦ
�
�)εεεε
εεεεψψψψσσσσ ====
∂∂∂∂∂∂∂∂
====
� &;� ������� /���7���������� ����� ��� ����� ������������ ��αααα � �!
� -��� ����� � 8���� 4O�O�� � ====−−−−−−−−==== σσσσσσσσσσσσ
� *� ��� ������ ���� � 7� �������� ��������� � � ������ ����������F�54 �
�F�
� ====∂∂∂∂∂∂∂∂
====ψψψψ
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �4
Hardening state variables consistent with GSM
� -��� ����� � 8�; � 7��� 1����� <�� �� �� ;�������
� ��� ����������/���7������� ����� 8�; ���
4�O���O�� � ====−−−−−−−−−−−−==== σσσσσσσσσσσσ
��
�
O
εεεε
σσσσλλλλλλλλαααα ���� ====
∂∂∂∂∂∂∂∂
====∂∂∂∂∂∂∂∂
−−−−====� Q����� ;������� 0
� �� �� �� ;������� 0
� ���������/���7���� ��1����� ;������� �����������/��� � �����������
��
� ���� ========
∂∂∂∂∂∂∂∂
−−−−==== λλλλλλλλ
�εεεε
Oαααα
�αααα
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �3
� GENERAL INTRODUCTION
� ELEMENTARY NOTIONS
� ELASTIC LIMIT CRITERIA
� FORMULATION OF RATE INDEPENDENT PLASTICITY
� PRANDT-REUSS INCREMENTAL PLASTICITY
� PRAGER’S LINEAR KINEMATIC HARDENING
� NOTION OF GENERALIZED STANDARD MODELS
� NON-LINEAR KINEMATIC HARDENING
Introduction and Elasto-plasticity
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
Non-Linear Kinematic Hardening
ααααααααψψψψ 0%�
3� ====
O
σσσσ
�εεεε
� ������� ���/��
�.�
��� ααααεεεεαααα −−−−====αααααααα
ψψψψ%
�
�O
� ====∂∂∂∂
∂∂∂∂====
���������� D������� 0
�� ������� ���/��
σσσσ
�εεεε
(((( ))))�� 0% ααααααααψψψψ ====O ���� � �� ����� �
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
!���� ���$������1��3=��
�O.%O�
�
���� −−−−==== εεεε
;�������
�(������
�����
��� /���
���� ��� ����� � �� ��� � ������� � 0
�� O.%O εεεεεεεε ��� −−−−====
(((( ))))(((( ))))�
�.�?�.
%O
.
%O εεεεεεεενννννννν −−−−−−−−����
����
��������
−−−−++++====
Non-Linear Kinematic Hardening
��0
�
�� εεεεεεεε ��� ====
O
σσσσ
�εεεε
%A.
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
���7���� ������0
(((( ))))(((( ))))�
�.�?�.
%O
.
%O εεεεεεεενννννννν −−−−−−−−����
����
��������
−−−−++++====
������������
������������
∆∆∆∆====
�.&��;
.
%O
�
εεεε
1�
O
�++++==== ∆∆∆∆σσσσ∆∆∆∆
���������0
Non-Linear Kinematic Hardening
O
σσσσ
�εεεε
%A.
O
σσσσ∆∆∆∆
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
�U��A�εεεε∆∆∆∆
�
σσσσ∆∆∆∆
"���"�%�=4
&!�+
+��2=��% 7���!���
���"%.�3�
Cyclic curves : Non-Linear Kinematic Hardening
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity ��
����������������
−−−−==== −−−− ��444
3 �3�4Oεεεε
����������������
−−−−==== −−−− ��44
� �3344Oεεεε
O�J���44�ε ε ε ε �
O�J�O3<�O�
<�O�
1�J�344
σσσσσσσσ
344
�44
�44
434 � �εεεε
34��44) �
==== )�����J���44
∞∞∞∞
����====
OO
�O.%O �
�
�
��� −−−−==== εεεε
Multi - Kinematic Hardening %;�7 �;� � � ���������3=:3
ATHENS – Course MP06 – 16 – 20 March 2009 Elasto-plasticity �2
General anisotropic hardening
(((( )))) (((( )))) 4�&�1�O0�0O ≤≤≤≤−−−−−−−−−−−−−−−−==== σσσσσσσσ O
�� �� �� ;������� 0
������� ���
Q����� ;������� 0
��������� ��
!�� �� �� ;������� 0
�� ��� ��
.�� �� ��� ;������� 5�5�5
���; ���1 ���� ��
O
�
� O �
��� �� �� 0�� ��� �1������ �� ��
��� �� ���
B33σσσσ
B��σσσσ
B��σσσσ
4
top related