druga zada ca, matemati cki softver helena pelin july 8, 2015 · gaussova krivulja ili normalna...
Post on 31-Jan-2020
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Normalna distribucijaDruga zadaca, Matematicki softver
Helena Pelin
July 8, 2015
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 1 / 22
Sadrzaj
1 Uvod
2 Centralni granicni teorem
3 Procjene parametaraMetoda maksimalne vjerodostojnosti
4 Pouzdani intervaliAproksimativni pouzdani intervali
5 Testiranje statistickih hipotezaPrimjer
Sagetex
6 Visedimenzionalna normalna distribucijaBivarijantna normalna distribucija
7 Primjena normalne distribucije
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 2 / 22
Uvod
Definicija
Definicija
Slucajna varijabla ima normalnu distribuciju sa parametrima µ i σ2 ako jojje funkcija gustoce:
f (x) =1
σ√
2πe−
(x−µ)2
2σ2
. Pisemo X ∼ N (µ, σ2).
E[X ] =
∫ +∞
−∞xf (x)dx =
∫ ∞−∞
x1
σ√
2πe−
(x−µ)2
2σ2 dx = . . . = µ
Var [X ] = E [X 2]− (E [X ])2 = . . . = σ2
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 3 / 22
Uvod
Graf jedinicne normalne distribucije X ∼ N (0, 1)
Jedinicna normalna distribucija imaocekivanje 0, a varijancu 1. Dakle,njena funkcija distribucije je:
f (x) = 1√2πe−
x2
2 .
−2 0 2
0
0.2
0.4
Slika: Standardna normalna distribucija,(tikzpicture)
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 4 / 22
Centralni granicni teorem
Centralni granicni teorem
Teorem
Centralni granicni teorem: Neka je X1,X2, . . . ,Xn niz n.j.d slucajnihvarijabli s konacnim ocekivanjem µ i konacnom varijancom σ2 > 0.Nadalje, neka je Xn := X1+X2+...+Xn
n za sve prirodne brojeve n. Tada zasve a < b vrijedi:
limx→∞
P(a ≤ X n − µ
σ
√n ≤ b
)= φ(b)− φ(a),
gdje je φ(x) funkcija distribucije jedinicne normalne razdiobe.
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 5 / 22
Procjene parametara Metoda maksimalne vjerodostojnosti
MLE od θ = (µ, σ2) normalnog modela N(µ, σ2)
Stavimo θ1 = µ, θ2 = σ2.
Funkcija vjerodostojnosti
L(θ1, θ2) =n∏
i=1
f (xi |θ1, θ2)
=n∏
i=1
1
σ2
√2π
e− (xi−θ1)2
2θ2
= cθn22 e− 1
2θ2
∑ni=1(xi−θ1)2
Funkcija log-vjerodostojnosti
l(θ1,θ2) = ln(θn22 e− 1
2θ2
∑ni=1(xi−θ1)2
)
= −n
2lnθ2 −
1
2θ2
n∑i=1
(xi − θ1)2
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 6 / 22
Procjene parametara Metoda maksimalne vjerodostojnosti
∂l
∂θ1=
1
θ1
n∑i=1
(xi − θ1) = 0 ⇐⇒ θ1 =
∑ni=1 xin
∂l
∂θ2= − n
2θ2+
1
2θ22
n∑i=1
(xi − θ1)2 = 0 ⇐⇒ θ2 =
∑ni=1(xi − θ1)2
n
Dakle, θ1 = x , θ2 = n−1n s2.
Hesseova matrica: Hl(θ1, θ2) =
[− nθ2
0
0 −n2
1θ2
2
]je negativno definitna, pa
slijedi da je X n MLE za µ, a MLE za σ2 je n−1n S2
n .
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 7 / 22
Pouzdani intervali
Pouzdani intervali za parametre normalne razdiobe
Definicija
Neka su Ln = ln(X1, . . . ,Xn) i Dn = dn(X1, . . . ,Xn) statistike slucajnoguzorka X1, . . . ,Xn. Za [Ln,Dn] kazemo da je (1− α)100% pouzdaninterval za parametar τ ako vrijedi:P(Ln ≤ τ ≤ Dn) ≥ 1− α.
X n − µσ
√n ∼ N(0, 1) (1)
(n − 1)S2n
σ2∼ χ2(n − 1) (2)
X − µSn
√n ∼ t(n − 1) (3)
n∑i=1
(Xi − µ)2
σ2∼ χ2(n) (4)
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 8 / 22
Pouzdani intervali Aproksimativni pouzdani intervali
Aproksimativni pouzdani intervali
Definicija
Niz statstika {Zn, n ∈ N} je asimptotski normalan ako konvergira podistribuciji slucajnoj varijabli Z ∼ N(0, 1), odnosno ako je
limn→∞
P(Zn ≤ x) = φ(x), ∀x ∈ R
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 9 / 22
Pouzdani intervali Aproksimativni pouzdani intervali
Napomena
Neka je X1, . . . ,Xn slucajni uzorak s konacnim ocekivanjem EX1 = µ ivarijancom σ2 = VarX1, te neka je Sn = X1 + . . .+ Xn. Tada po CGT-uvrijedi:
Sn − ESn√VarSn
∼ AN(0, 1),
odakle slijedi
Xn − µσ
√n ∼ AN(0, 1) (5)
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 10 / 22
Testiranje statistickih hipoteza
Testiranje statistickih hipoteza
Definicija
Statisticka hipoteza je pretpostavka o populacijskoj razdiobi promatranevarijable. Osnovna hipoteza koja se testira zove se nulhipoteza i oznacavasa H0.
Definicija
Razina znacajnosti testa α je vjerojatnost odbacivanja H0 ako je onaistinita. α zovemo i pogreska prve vrste.
Definicija
p vrijednost je vjerojatnost pogreske prve vrste u odnosu na kriticnopodrucje kojemu je opazena vrijednost testne statistike granicna vrijednost.
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 11 / 22
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prve i druge vrste
Table: Kada cinimo pogresku I., a kada pogresku II.vrste
H0 tocna H1 tocnaOdbaci H0 Pogreska I.vrste Dobra odlukaPrihvati H0 Dobra odluka Pogreska II.vrste
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 12 / 22
Testiranje statistickih hipoteza Primjer
Primjer
Mjerenjem mase 20 istovrsnih cokoladica dobiveni su sljedeci rezultati
Tezina cokolada u gramima
97 99 98 96 98101 98 95 97 9998 96 97 98 98
100 99 97 101 98
Pretpostavimo da se mase cokolade podvrgavaju normalnoj razdiobi. Akona omotu cokolade pise da je njena masa 100g, mozemo li to zakljuciti narazini znacajnosti 5%?
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 13 / 22
Testiranje statistickih hipoteza Primjer
Testiramo hipoteze:
H0 : µ = 100
H1 : µ < 100
Populacija je normalna s nepoznatom standardnom devijacijom, paprovodimo t-test i koristimo formulu 3, odnosno testna statistika je:
T =Xn − µSn
√n
H0∼ t(n − 1)
Uzorak je velicine n = 20, a nivo znacajnosti α = 0.05. Iz tabliceStudentove t-razdiobe citamo t0.05(19) = 1.729.
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 14 / 22
Testiranje statistickih hipoteza Primjer
Slika kriticnog podrucja uz pomoc sagetexa
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
0.05
−t0.05(19)
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 15 / 22
Testiranje statistickih hipoteza Primjer
Daljni racun uz pomoc sagetexa
Sage ce nam izracunati aritmeticku sredinu i standardnu devijaciju gornjeguzorka:x = 98, s = 1.55597321043 =⇒ t = −5.7 < −1.729 = t0.05(19).Odbacujemo H0 u korist alternative.
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 16 / 22
Visedimenzionalna normalna distribucija
Visedimenzionalna normalna distribucija
Definicija
Neka su X1, . . . ,Xn n.j.d. s.v. s jedinicnom normalnom distribucijom.Slucajni vektor X = (X1,X2, . . . ,Xn)T zove se standardni normalni slucajnivektor.
Gustoca standardnog normalnog slucajnog vektora:
fX(x) = f(x)(x1, . . . , xn) =n∏
i=1
fXi(xi )
= (2π)−n2 e−
12
∑ni=1 x
2i
= (2π)−n2 e−
12|x2|
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 17 / 22
Visedimenzionalna normalna distribucija
Definicija
Kazemo da je X m-dimenzionalni normalni slucajni vektor s matematickimocekivanjem µ i kovarijacijskom matricom Σ ako postoje neslucajnamatrica A tipa (m, n) i standardni normalni n-dimenzionalni s.ve. Y takvida je
X D= AY + µ, Σ = AAT .
Pisemo: X ∼ Nm(µ,Σ).
Teorem
Ako je X ∼ Nm(µ,Σ),Σ = AAT i A regularna matrica, tada je Xneprekidan s.ve. s gustocom
f (x) = (det Σ)−12 (2π)−
m2 e−
12
(Σ−1(x−µ),x−µ), x ∈ Rm
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 18 / 22
Visedimenzionalna normalna distribucija Bivarijantna normalna distribucija
Bivarijantna normalna distribucija
Definicija
Slucajne varijable X ∼ N(µx , σ2x) i Y ∼ N(µy , σ
2y ) imaju bivarijantnu
normalnu distribuciju sa parametrima µx , σ2x , µy , σ
2y i koeficijentom
korelacije ρ(X ,Y ) = ρ ako im je zajednicka funkcija gustoce:
fXY (x , y) =1
2πσxσy√
1− ρ2exp{− 1
2(1− ρ2)
[(x − µxσx
)2+
+(y − µy
σy
)2− 2ρ
(x − µx)(y − µy )
σxσy
]},
(6)
gdje su µx , µy ∈ R, σx , σy > 0, ρ ∈< −1, 1 > konstante.
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 19 / 22
Visedimenzionalna normalna distribucija Bivarijantna normalna distribucija
Graf
Graf bivarijantne normalne distribucije, formula 6.
−2 02
46 −5
00
0.5
1
µ
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 20 / 22
Primjena normalne distribucije
Primjene normalne distribucije
Gaussova krivulja ili normalnadistribucija se koristi u raznimprirodnim znanostima, kao i uznanostima koje se baveproucavanjem ponasanja. Mnostvorezultata psiholoskih testova i fizickihfenomena, slijede normalnudistribuciju. Gaussova krivulja jeuobicajeni model za prikaz varijacija.Ona govori o prirodi nasumicnosti, apredstavlja Gaussovu ili normalnuraspodjelu.
Slika: CarlFriedrich Gauss,1777.-1855.
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 21 / 22
Primjena normalne distribucije
I za kraj...
Helena Pelin Normalna distribucija July 8, 2015 22 / 22
top related