diffraction theory - university of louisville
Post on 01-May-2022
0 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Diffraction Theory
1
2
3
đđ1
đđ2
đ¸đ¸ đđ, đĄđĄ = đ¸đ¸1 đđ, đĄđĄ
đ¸đ¸ đđ, đĄđĄ
đ¸đ¸ đđ, đĄđĄ = đ¸đ¸0,1đđ1đđđđ đđ đđ1â đđ đĄđĄ + đđ1 +
đ¸đ¸0,2
đđ2đđđđ đđ đđ2â đđ đĄđĄ + đđ2
+ đ¸đ¸2 đđ, đĄđĄ
đđ3
+đ¸đ¸0,3
đđ3đđđđ đđ đđ3 â đđ đĄđĄ + đđ3
đđ4
+ đ¸đ¸3 đđ, đĄđĄ + đ¸đ¸4 đđ, đĄđĄ
đđ5
+đ¸đ¸0,4
đđ4đđđđ đđ đđ4 âđđ đĄđĄ + đđ4
+ đ¸đ¸5 đđ, đĄđĄ
+đ¸đ¸0,5
đđ5đđđđ đđ đđ5 â đđ đĄđĄ + đđ5
= ďż˝đđ
đ¸đ¸đđ đđ, đĄđĄ
+âŻ
+ âŚ
= ďż˝đđ
đ¸đ¸0,đđ
đđđđđđđđ đđ đđđđ âđđ đĄđĄ + đđđđ
4
Huygens-Fresnel Principle
5
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ = ďż˝đđ
đ¸đ¸0,đđ
đđđđđđđđ đđ đđđđ â đđ đĄđĄ + đđđđ
= ďż˝đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đ¸đ¸0 đŚđŚ, đ§đ§đđ đŚđŚ, đ§đ§
đđđđ đđ đđ đŚđŚ, đ§đ§ â đđ đĄđĄ + đđ đŚđŚ, đ§đ§ đđđŚđŚ đđđ§đ§
đđ đŚđŚ, đ§đ§ = đ đ 2 + đđ â đŚđŚ 2 + đđ â đ§đ§ 2
đđ
đ đ
đđ
đđ
đ§đ§
đŚđŚ
đđ đŚđŚ, đ§đ§
ďż˝đđ
ďż˝đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đđđŚđŚ đđđ§đ§
6
đđ đŚđŚ, đ§đ§ â đ đ 1 +đđ2
2
Fresnel Approximationđđ đ đ đđđđđđđđ4
8⪠đđ
= đ đ 1 +đđ2
2âđđ4
8+đđ6
16â
5 đđ8
128+ âŻ
đđ đŚđŚ, đ§đ§ = đ đ 2 + đđ â đŚđŚ 2 + đđ â đ§đ§ 2 = đ đ 1 +đđ â đŚđŚ 2
đ đ 2+
đđ â đ§đ§ 2
đ đ 2 ⥠đ đ 1 + đđ2
đđ2 âĄđđ â đŚđŚ 2
đ đ 2+
đđ â đ§đ§ 2
đ đ 2
Fresnel Diffraction
= đ đ +đđ2 + đđ2
2 đ đ â
đđ đŚđŚ + đđ đ§đ§đ đ
+đŚđŚ2 + đ§đ§2
2 đ đ
= đ đ 1 +đđ â đŚđŚ 2
2 đ đ 2+
đđ â đ§đ§ 2
2 đ đ 2
7
đđđđđđđđ đŚđŚ2 + đ§đ§2
2 đ đ ⪠đđ
đđđđđđ đŚđŚ2 + đ§đ§2
đđ đ đ ⪠1
Fraunhofer Approximation
Fraunhofer Diffractionalso known as Far-Field Diffraction
đđ đŚđŚ, đ§đ§ â đ đ +đđ2 + đđ2
2 đ đ â
đđ đŚđŚ + đđ đ§đ§đ đ
+đŚđŚ2 + đ§đ§2
2 đ đ
Fresnel Approximationđđ đ đ đđđđđđđđ4
8⪠đđ
8
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ = ďż˝đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đ¸đ¸0 đŚđŚ, đ§đ§đđ đŚđŚ, đ§đ§
đđđđ đđ đđ đŚđŚ, đ§đ§ â đđ đĄđĄ + đđ đŚđŚ, đ§đ§ đđđŚđŚ đđđ§đ§
â ďż˝đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đ¸đ¸0 đŚđŚ, đ§đ§đ đ
đđđđ đđ đ đ â đđ đŚđŚ + đđ đ§đ§đ đ âđđ đĄđĄ + đđ đŚđŚ, đ§đ§ đđđŚđŚ đđđ§đ§
=đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ ďż˝
đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đ¸đ¸0 đŚđŚ, đ§đ§ đđđđ đđ đŚđŚ,đ§đ§ đđâ đđ đđ đđ đŚđŚ + đđ đ§đ§đ đ đđđŚđŚ đđđ§đ§
đđ đŚđŚ, đ§đ§ = đ đ 2 + đđ â đŚđŚ 2 + đđ â đ§đ§ 2
đ đ 2 ⥠đ đ 2 + đđ2 + đđ2
= đ đ 2 â 2 đđ đŚđŚ â 2 đđ đ§đ§ + đŚđŚ2 + đ§đ§2
= đ đ 1 +â2 đđ đŚđŚ â 2 đđ đ§đ§ + đŚđŚ2 + đ§đ§2
đ đ 2â đ đ â
đđ đŚđŚ + đđ đ§đ§đ đ
9
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ ďż˝
đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đ¸đ¸0 đŚđŚ, đ§đ§ đđđđ đđ đŚđŚ, đ§đ§ đđâ đđ đđ đđ đŚđŚ + đđ đ§đ§đ đ đđđŚđŚ đđđ§đ§
đđ
đ đ
đđ
đđ
đ§đ§
đŚđŚ
đ đ
Fraunhofer Diffraction
đ đ 2 ⥠đ đ 2 + đđ2 + đđ2
10
Illumination at the Aperture:
In the examples to follow, we will consider a flat wavefront at
normal incidence on the aperture
đ¸đ¸0 đŚđŚ, đ§đ§ đđđđ đđ đŚđŚ, đ§đ§ =đ¸đ¸0
0
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ ďż˝
đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đđâ đđ đđ đđ đŚđŚ + đđ đ§đ§đ đ đđđŚđŚ đđđ§đ§
Inside the aperture
Outside the aperture{
11
Apertures considered here:
1. Single Slit
2. Double Slit
3. Rectangular Aperture
4. Circular Aperture
12
1. Single Slit
đđđ đ
đđ
đđ
đ§đ§
đŚđŚ
đ đ
đ đ ⥠đđ2 + đ đ 2
đđ
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ ďż˝
â ďż˝đđ 2
+ ďż˝đđ 2
đđâ đđ đđ đđđ đ đŚđŚđđđŚđŚ
đđ
đ đ đđđ đ đđ =đđđ đ
đŚđŚ
đ§đ§
13
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ đđ đ đ đđđ đ đ đ
đđ đđ đđ2 đ đ
1. Single Slit, cont.
đźđź ⥠đ¸đ¸2
đźđź đđ,đđ = đźđź0 đ đ đđđ đ đ đ 2đđ đđ đđ
2 đ đ đźđź0 âĄđ¸đ¸0 2
2 đ đ 2đđ2
đđ = 50 Âľđđ
đđ = 0.6 Âľđđđ đ = 1 đđ
đđ đđđđ đđ2 đ đ
= đđ đđ
đđ = Âą1, Âą2, Âą3
đ đ â 1 đđ
đđđđ = đđđđ đ đ đđ
đ đ đđđ đ đđđđ =đđđđđ đ
= đđđđđđ
đđ(đđđđ)
đđ1
ďż˝đźđź đźđź0
zeros at geometrical shadow
đđâ1
with
đđ
đđ
14
Mathematica
15
2. Double Slit
đđ
đđ
đđ
đŚđŚ
ďż˝đđ 2 â ďż˝đđ 2
ďż˝đđ 2 + ďż˝đđ 2
ďż˝âđđ2 â ďż˝đđ 2
ďż˝âđđ2 + ďż˝đđ 2
đ§đ§
16
đđđ đ
đđ
đđ
đ§đ§
đŚđŚ
đ đ
đ đ ⥠đđ2 + đ đ 2
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ ďż˝
ďż˝âđđ2â ďż˝đđ 2
ďż˝âđđ2+ ďż˝đđ 2
đđâ đđ đđ đđđ đ đŚđŚđđđŚđŚ + ��đđ 2â ďż˝đđ 2
ďż˝đđ 2+ ďż˝đđ 2
đđâ đđ đđ đđđ đ đŚđŚđđđŚđŚ
đđ
đ đ đđđ đ đđ =đđđ đ
=đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ đđ đ đ đđđ đ đ đ
đđ đđ đđ2 đ đ
2 đ đ đđđ đ đđ đđ đđ
2 đ đ
17
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ đđ đ đ đđđ đ đ đ
đđ đđ đđ2 đ đ
2 đ đ đđđ đ đđ đđ đđ
2 đ đ
đźđź đđ,đđ = 4 đźđź0 đ đ đđđ đ đ đ 2đđ đđ đđ
2 đ đ đ đ đđđ đ 2
đđ đđ đđ2 đ đ đźđź0 âĄ
đ¸đ¸0 2
2 đ đ 2đđ2
Mathematica
đđ
đđ
18
3. Rectangular Aperture
đđ
đđ
đŚđŚ
đ§đ§
19
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ ďż˝
đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đđâ đđ đđ đđ đŚđŚ + đđ đ§đ§đ đ đđđŚđŚ đđđ§đ§
=đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ ��âđđ2
ďż˝đđ 2
đđâ đđ đđ đđđ đ đŚđŚđđđŚđŚ ��âđđ2
ďż˝đđ 2
đđâ đđ đđ đđđ đ đ§đ§đđđ§đ§
=đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ đđ đ đ đđđ đ đ đ
đđ đđ đđ2 đ đ
đđ đ đ đđđ đ đ đ đđ đđ đđ
2 đ đ
20
đđ
đđ
đźđź đđ,đđ = đźđź0 đ đ đđđ đ đ đ 2đđ đđ đđ
2 đ đ đ đ đđđ đ đ đ 2
đđ đđ đđ2 đ đ
đźđź0 âĄđ¸đ¸0 2
2 đ đ 2đđ2 đđ2
21
Emission of Semiconductor Laser
22
4. Circular Aperture
đđđđđŚđŚ = đđ đ đ đđđ đ đđđđ
đ§đ§ = đđ đ đ đđđ đ đđđ§đ§
đŚđŚ
23
Observation Plane
ÎŚđđ = đđ đ đ đđđ đ ÎŚ
đđ
đđ = đđ đ đ đđđ đ ÎŚđđ
đđ
24
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ ďż˝
đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đđâ đđ đđ đđ đŚđŚ + đđ đ§đ§đ đ đđđŚđŚ đđđ§đ§
đđ đŚđŚ + đđ đ§đ§ = đđ đ đ đđđ đ ÎŚ đđ đ đ đđđ đ đđ + đđ đ đ đđđ đ ÎŚ đđ đ đ đđđ đ đđ
= đđ đđ đ đ đđđ đ đđ â ÎŚ
đđđŚđŚ đđđ§đ§ = đđ đđđđ đđđđ
đ¸đ¸ đđ,ÎŚ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ ďż˝0
đđ
đđ đđđđďż˝0
2đđ
đđđđ đđ â đđ đđ đđ đđ đđđđđđ đđ âÎŚđ đ
ÎŚ = 0Due to axial symmetry, we can choose:
= đđ đđ đ đ đđđ đ ÎŚ đđ đ đ đđđ đ đđ + đ đ đđđ đ ÎŚ đ đ đđđ đ đđ
25
đ¸đ¸ đđ,ÎŚ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ ďż˝0
đđ
đđ đđđđďż˝0
2đđ
đđđđ đđ â đđ đđ đđ đđ đđđđđđ đđđ đ
A couple of integrals to solve:
26
12 đđ
�0
2đđ
đđđđ đđđđ đđ đđđđđđ đđ ⥠đ˝đ˝0 đ˘đ˘ Bessel function of order zero
đ¸đ¸ đđ,ÎŚ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ ďż˝0
đđ
đđ đđđđďż˝0
2đđ
đđđđ đđ â đđ đđ đđ đđ đđđđđđ đđđ đ
27
đ¸đ¸ đđ,ÎŚ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ 2 đđďż˝
0
đđ
đđ đđđđ đ˝đ˝0 âđđ đđđ đ
đđ
đ˘đ˘ ⥠âđđ đđđ đ
đđ
=đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ 2 đđ
đ đ đđ đđ
2
�0
âđđ đđđ đ đđ
Îą đđÎą đ˝đ˝0 Îą
đźđź âĄâđđ đđđ đ
đđ đđ đđđđ =đ đ đđ đđ
2
Îą đđÎą
28
�0
đźđź
đźđź đ˝đ˝0 đźđź đđđźđź ⥠đźđź đ˝đ˝1 đźđź
29
đ¸đ¸ đđ,ÎŚ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ 2 đđ
đ đ đđ đđ
2
�0
âđđ đđđ đ đđ
Îą đđÎą đ˝đ˝0 Îą
=đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ 2 đđ
đ đ đđ đđ
2 âđđ đđ đđđ đ
đ˝đ˝1âđđ đđ đđđ đ
=đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ đđ đđ2
2 đ˝đ˝1đđ đđ đđđ đ
đđ đđ đđđ đ
30
đźđź đđ,ÎŚ = đźđź02 đ˝đ˝1
đđ đđ đđđ đ
đđ đđ đđđ đ
2
đźđź0 âĄđ¸đ¸0 2
2 đ đ 2đđ đđ2 2
đđ đđ đđđ đ
ďż˝đźđź đźđź0
31
zeros at đđ đđ đđđ đ
= 3.832, 7.016, 10.173, âŚ
đđ đđ đđ1đ đ
= 3.832
đđ1đ đ
= đ đ đđđ đ đđ1 = 3.832đđ
2 đđ đđ= 1.22
đđ2 đđ
first zero at
Light is essentially confined inside the cone: đđđđđđ đđ1 < đđ.đđđđ đđ
đđ đđ
32
Circular Aperture
đ§đ§
đŚđŚ
đ đ
đŚđŚ
đđ
đđ
đđ
đ đ đđđ đ đđ1 =đđ1đ đ
= 1.22đđ
2 đđ
đ đ 2đđ
Airyâspattern
đđđđ1
đđ1đđ1
33
đ§đ§
đŚđŚ
2đđ
đ đ
đ đ
đđ1} = 0
34
đŚđŚ
2đđ
đđ1đđ1
đ đ đđđ đ đđ1 = 1.22đđ
2 đđ
tan đđ1 =đđ1đđ
đđ1
đđ1 â 1.22đđ đđ2 đđ
đđ
Smallest spot size:đđ1 â 1.22
đđ đđđˇđˇđđđđđđđđ
đˇđˇđđđđđđđđ
= 1.22đđđđ đđđ đ đˇđˇđđđđđđđđ
đ đ
Smallest angular width:đđ1đđ
= 1.22đđđđ
đ đ đˇđˇđđđđđđđđ
35
Diameter of primary mirror 2.4 m
Wavelength 0.55 Âľm
Angular width 0.28 Ă 10-6 rad
36
đĄđĄđđđ đ đđđđđđđđ âĄđˇđˇđđđđđđđđ2 đđ
đˇđˇđđđđđđđđ
đđđđđđđđ
đđđđ ⥠đ đ đ đ đđđ đ đđđđđđđđ â đ đ đˇđˇđđđđđđđđ
2 đđ
đđ
đđ#
=đđ
đˇđˇđđđđđđđđ
37
Numerical Aperture
đđđđ ⥠đ đ đ đ đđđ đ đđđđđđđđ
38
đđ1 = 1.22đđđđ
2 đđđđ
Smallest spot size from a lens
đŚđŚ
2đđ = đˇđˇđđđđđđđđ
đđ1đđ1
đđ1
đđ
đˇđˇđđđđđđđđ
đ đ
đđ1 = 1.22đđđđ đđđ đ đˇđˇđđđđđđđđ
đđđđ ⥠đ đ đ đ đđđ đ đđđđđđđđ â đ đ đˇđˇđđđđđđđđ
2 đđ
39
Rayleigh Criteria for Resolution
Barely resolved
Resolved
Not resolved
40
đđ1 = 1.22đđđđ
2 đđđđ
đđđđ = 0.55 đđđđ
3.36 đđđđ 1.34 đđđđ 0.52 đđđđ 0.27 đđđđ
Examples of Diffraction Limit of Objective Lenses
41
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ ďż˝
đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đ¸đ¸0 đŚđŚ, đ§đ§ đđđđ đđ đŚđŚ, đ§đ§ đđâ đđ đđ đđ đŚđŚ + đđ đ§đ§đ đ đđđŚđŚ đđđ§đ§
đđ
đ đ
đđ
đđ
đ§đ§
đŚđŚ
đ đ
đ đ ⥠đđ2 + đđ2 + đ đ 2
Fraunhofer Diffraction
đđđđđđ đŚđŚ2 + đ§đ§2
đđ đ đ ⪠1
đđđđđđ đđ â đŚđŚ 2 + đđ â đ§đ§ 2
đđ đ đ ⪠1
42
In summary, far-field diffraction:
1. Single Slit
2. Double Slit
3. Rectangular Aperture
4. Circular Aperture
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ đđ đ đ đđđ đ đ đ
đđ đđ đđ2 đ đ
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ đđ đ đ đđđ đ đ đ
đđ đđ đđ2 đ đ
2 đ đ đđđ đ đđ đđ đđ
2 đ đ
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ đđ đ đ đđđ đ đ đ
đđ đđ đđ2 đ đ
đđ đ đ đđđ đ đ đ đđ đđ đđ
2 đ đ
đ¸đ¸ đđ,ÎŚ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ đđ đđ2
2 đ˝đ˝1đđ đđ đđđ đ
đđ đđ đđđ đ
43
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ ďż˝
đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đ¸đ¸0 đŚđŚ, đ§đ§ đđđđ đđ đŚđŚ, đ§đ§ đđâ đđ đđ đđ đŚđŚ + đđ đ§đ§đ đ đđđŚđŚ đđđ§đ§
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ ďż˝ââ
+â
đđ đŚđŚ, đ§đ§ đđâ đđ đđđŚđŚ đŚđŚ +đđđ§đ§ đ§đ§ đđđŚđŚ đđđ§đ§
đđ đŚđŚ, đ§đ§ âĄđ¸đ¸0 đŚđŚ, đ§đ§ đđđđ đđ đŚđŚ, đ§đ§
0
inside apertureopaque obstruction
đđđŚđŚ âĄđđ đđđ đ
Fraunhofer Diffraction as a Fourier Transformation
đđđ§đ§ âĄđđ đđđ đ
{
44
Diffraction Gratings
45
Multiple Slits
đđ
đđ
đŚđŚ
đđ âđđ2
đđ +đđ2
đ§đ§
đľđľ (infinitely long) slits of width đđ separated by distance đđ
+đđ2
âđđ2
đđ â 1 đđ âđđ2
đđ â 1 đđ +đđ2
46
đđđ đ
đđ
đđ
đ§đ§
đŚđŚ
đ đ
đ đ ⥠đđ2 + đ đ 2
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ
=đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ ďż˝
â đđ2
+ đđ2
+ ďż˝
đđ â đđ2
đđ + đđ2
+ ďż˝
2 đđ â đđ2
2 đđ + đđ2
+ ⯠+ �
đđâ1 đđ â đđ2
đđâ1 đđ + đđ2
đđâ đđ đđ đđđ đ đŚđŚ đđđŚđŚ
đđ
đ đ đđđ đ đđ =đđđ đ
47
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ đđ đ đ đđđ đ đ đ
đđ đđ đđ2 đ đ
ďż˝đđ= 0
đđâ1
đđâ đđ đđ đđ đđđ đ đđ
=đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ đđ đ đ đđđ đ đ đ
đđ đđ đđ2 đ đ
1 â đđâđđ đđđđ đđ đđđ đ
1 â đđâđđđđ đđ đđđ đ
=đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ đđ đ đ đđđ đ đ đ
đđ đđ đđ2 đ đ
đđâđđ đđđđ đđ đđ2 đ đ
đđâđđđđ đđ đđ2 đ đ
đđ+đđ đđđđ đđ đđ2 đ đ â đđâđđ đđ
đđ đđ đđ2 đ đ
đđ+đđđđ đđ đđ2 đ đ â đđâđđ
đđ đđ đđ2 đ đ
=đ¸đ¸0 đđđđ đđ đ đ âđđ đĄđĄ
đ đ đđ đ đ đđđ đ đ đ
đđ đđ đđ2 đ đ
đđâđđ đđđđ đđ đđ2 đ đ
đđâđđđđ đđ đđ2 đ đ
sin đđ đđ đđ đđ2 đ đ
sin đđ đđ đđ2 đ đ
48
đźđź đđ,đđ = đźđź0 đ đ đđđ đ đ đ 2đđ đđ đđ
2 đ đ
đ đ đđđ đ 2 đđ đđ đđ đđ2 đ đ
đ đ đđđ đ 2 đđ đđ đđ2 đ đ
đźđź0 âĄđ¸đ¸0 2
2 đ đ 2đđ2
Intensity Pattern
Mathematica
đđ = 1
đđ = 4
đđ = 1
đ đ = 1
49
đ đ đđđ đ đ đ 2đđ đđ đđ
2 đ đ â 1
đźđź đđ,đđ â đźđź0đ đ đđđ đ 2 đđ đđ đđ đđ2 đ đ
đ đ đđđ đ 2 đđ đđ đđ2 đ đ
Small Width Approximation:
đđ = 0.1
đđ = 4
đđ = 1
đ đ = 1
50
đđ đđ đđ2 đ đ
= đđ đđ đźđź đđ,đđ, đĄđĄ = đđ2 đźđź0
Maxima (intensity peaks)
đđ = 0, Âą1, Âą2, âŚ
đđ đ đ đđđ đ đđđđ = đđ đđgrating equation
grating order
51
đđđđ đđ đđ
2 đ đ = đđ đđ
đđ = 1, 2, 3, ⌠, (đđ â 1)
Minima (zero intensity)
đđ đđ đđ2 đ đ
=đđđđđđ
đđ = 0.1
đđ = 4
đđ = 1
đ đ = 10 <
đđ đđ đđ2 đ đ
< đđ
đđ = 0 đđ = 1
10â1 đđ2â2
đźđź đđ,đđ â đźđź0đ đ đđđ đ 2 đđ đđ đđ đđ2 đ đ
đ đ đđđ đ 2 đđ đđ đđ2 đ đ
52
Angular Width
đđ đđ đ đ đđđ đ đđđđ + âđđ2
2= đđ đđ +
1đđđđ
đđ đđ đđ2 đ đ
=đđ đđ đ đ đđđ đ đđ
2
âđđ =2 đđ
đđ đđ đ đ đđđ đ đđđđ
đđ đđ đ đ đđđ đ đđđđ đ đ đđđ đ âđđ2
2â
1đđđđ
đđ
53
Spectral Resolution
đđ đ đ đđđ đ đđđđ = đđ đđ
đđ đ đ đđđ đ đđđđ đđđđ = đđ đđđđ
âđđđđđđđđ =đđ
đđ đđ
đđđđ âĄâđđ2
=đđ
đđ đđ đ đ đđđ đ đđđđđđđđ ⥠âđđđđđđđđ
54
Free Spectral Range
đđ đ đ đđđ đ đđ = đđ + 1 đđ = đđ đđ + âđđđšđšđšđšđ đ
âđđđšđšđšđšđ đ =đđđđ
55
Oblique Incidence
Normal Incidence
đđ đ đ đđđ đ đđ â đđ đ đ đđđ đ đđđđđđđđ = đđ đđ
đđ đ đ đđđ đ đđđđ â đ đ đđđ đ đđđđđđđđ = đđ đđ
đđ đ đ đđđ đ đđđđ = đđ đđ
56
Fresnel Diffraction
Going beyond the Fraunhofer (far-field) approximation
or
getting closer to the aperture
57
đđ đŚđŚ, đ§đ§ = đ đ 2 + đđ â đŚđŚ 2 + đđ â đ§đ§ 2
đđ
đ đ
đđ
đđ
đ§đ§
đŚđŚ
đđ đŚđŚ, đ§đ§ â đ đ +1
2 đ đ đđ â đŚđŚ 2 +
12 đ đ
đđ â đ§đ§ 2
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ = ďż˝đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đ¸đ¸0 đŚđŚ, đ§đ§đđ đŚđŚ, đ§đ§
đđđđ đđ đđ đŚđŚ, đ§đ§ â đđ đĄđĄ + đđ đŚđŚ, đ§đ§ đđđŚđŚ đđđ§đ§
= đ đ 1 +đđ â đŚđŚ 2
đ đ 2+
đđ â đ§đ§ 2
đ đ 2
đđ đ đ đđđđđđ đđ â đŚđŚ 2 + đđ â đ§đ§ 2 2
đ đ 4⪠đđ
58
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đđđđ đđ đđ â đđ đĄđĄ
đ đ ďż˝
đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đ¸đ¸0 đŚđŚ, đ§đ§ đđđđ đđ đŚđŚ, đ§đ§ đđđđđđ2 đđ đđâđŚđŚ 2+ đđâđ§đ§ 2
đđđŚđŚ đđđ§đ§
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đđ â đđ đĄđĄ
đ đ ďż˝
đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đđđđđđđđ đđ đđâđŚđŚ 2+ đđâđ§đ§ 2
đđđŚđŚ đđđ§đ§
đ¸đ¸0 đŚđŚ, đ§đ§ đđđđ đđ đŚđŚ, đ§đ§ =đ¸đ¸0
0
Inside the aperture
Outside the aperture{
Flat Wavefront Illumination
59
đžđž âĄ2đđ đ đ
đđ â đŚđŚ
đđđŚđŚ = âđđ đ đ 2
đđđžđž
đżđż âĄ2đđ đ đ
đđ â đ§đ§
đđđ§đ§ = âđđ đ đ 2
đđđżđż
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đ¸đ¸0 đđđđ đđ đđ â đđ đĄđĄ
đ đ ďż˝
đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đđđđđđđđ đđ đđâđŚđŚ 2+ đđâđ§đ§ 2
đđđŚđŚ đđđ§đ§
=đ¸đ¸0 đđđđ đđ đđ â đđ đĄđĄ
đ đ đđ đ đ 2
ďż˝đđđđđđđđđĄđĄđđđđđđ
đđđđđđ2 đžđž2+ đżđż2 đđđžđž đđđżđż
=đđ đ¸đ¸0 đđđđ đđ đđ â đđ đĄđĄ
2ďż˝đžđž1
đžđž2
đđđđđđ2 đžđž
2đđđžđž ďż˝
đżđż1
đżđż2
đđđđđđ2 đżđż
2đđđżđż
60
ďż˝đžđž1
đžđž2
đđđđđđ2 đžđž
2đđđžđž = ďż˝
đžđž1
đžđž2
cosđđ2đžđž2 đđđžđž + đđ ďż˝
đžđž1
đžđž2
sinđđ2đžđž2 đđđžđž
= đđ đžđž2 â đđ đžđž1 + đđ đŽđŽ đžđž2 â đŽđŽ đžđž1
ďż˝đżđż1
đżđż2
đđđđđđ2 đżđż
2đđđżđż = ďż˝
đżđż1
đżđż2
cosđđ2đżđż2 đđđżđż + đđ ďż˝
đżđż1
đżđż2
sinđđ2đżđż2 đđđżđż
= đđ đżđż2 â đđ đżđż1 + đđ đŽđŽ đżđż2 â đŽđŽ đżđż1
đđ đđ ⥠�0
đđ
cosđđ2đđ2 đđđđ đŽđŽ đđ ⥠�
0
đđ
sinđđ2đđ2 đđđđ
61
Ă đđ đžđž2 â đđ đžđž1 + đđ đŽđŽ đžđž2 â đŽđŽ đžđž1
Ă đđ đżđż2 â đđ đżđż1 + đđ đŽđŽ đżđż2 â đŽđŽ đżđż1
đ¸đ¸ đđ,đđ, đĄđĄ =đđ đ¸đ¸0 đđđđ đđ đđ â đđ đĄđĄ
2
đźđź đđ,đđ =đźđź04 Ă đđ đžđž2 â đđ đžđž1 2 + đŽđŽ đžđž2 â đŽđŽ đžđž1 2
Ă đđ đżđż2 â đđ đżđż1 2 + đŽđŽ đżđż2 â đŽđŽ đżđż1 2
62
đđ đđ ⥠�0
đđ
cosđđ2đđâ˛2 đđđđđĽ
đŽđŽ đđ ⥠�0
đđ
sinđđ2đđđĽ2 đđđđđĽ
đđ đđ
đŽđŽ đđ
đđ
đđ
đđ
đđ đđđŽđŽ đđ
63
đđ đđ ⥠�0
đđ
cosđđ2đđ2 đđđđ
đŽđŽ đđ ⥠�0
đđ
sinđđ2đđ2 đđđđ
đđđđ đđ = cosđđ2đđ2 đđđđ
đđđŽđŽ đđ = sinđđ2đđ2 đđđđ
đŽđŽ đđ
đđ đđ
đđđđ 2 + đđđŽđŽ 2 = đđđđ 2
đđđđđđđŽđŽđđđđ
64
Applications of Fresnel Diffraction1.No obstruction
2.Straight edge
3. Single slit
4. Rectangular aperture
5. Opaque circular disk
65
đźđź đđ,đđ =đźđź04 Ă đđ đžđž2 â đđ đžđž1 2 + đŽđŽ đžđž2 â đŽđŽ đžđž1 2
Ă đđ đżđż2 â đđ đżđż1 2 + đŽđŽ đżđż2 â đŽđŽ đżđż1 2
1. No Obstruction
đžđž âĄ2đđ đ đ
đđ â đŚđŚ
đżđż âĄ2đđ đ đ
đđ â đ§đ§
đŚđŚ
đ§đ§
đžđž2 = ââ
đžđž1 = +âđżđż2 = ââ đżđż1 = +â
=đźđź04
Ă â0.5 â 0.5 2 + â0.5 â 0.5 2 Ă â0.5 â 0.5 2 + â0.5 â 0.5 2
= đźđź0 No surprises here, just the obvious result !!
66
đźđź đđ,đđ =đźđź04
Ă đđ đžđž2 â đđ đžđž1 2 + đŽđŽ đžđž2 â đŽđŽ đžđž1 2
Ă đđ đżđż2 â đđ đżđż1 2 + đŽđŽ đżđż2 â đŽđŽ đżđż1 2
đžđž âĄ2đđ đ đ
đđ â đŚđŚ
đżđż âĄ2đđ đ đ
đđ â đ§đ§
đŚđŚ
đ§đ§đžđž2 = 2
đđ đđđđ
đžđž1 = +âđżđż2 = ââ đżđż1 = +â
=đźđź04
Ă đđ2đđ đ đ
đđ â 0.5
2
+ đŽđŽ2đđ đ đ
đđ â 0.5
2
Ă 2
2. Straight Edge
67
đŽđŽ đđ
đđ đđđđ = 0
đđ > 0
đđ < 0 đźđź đđ,đđ, đĄđĄ /đźđź0
đđ
đđ đ đ = 2
đźđź đđ,đđ =đźđź02
Ă đđ2đđ đ đ
đđ â 0.5
2
+ đŽđŽ2đđ đ đ
đđ â 0.5
2
68
69
đźđź đđ,đđ =đźđź04
Ă đđ đžđž2 â đđ đžđž1 2 + đŽđŽ đžđž2 â đŽđŽ đžđž1 2
Ă đđ đżđż2 â đđ đżđż1 2 + đŽđŽ đżđż2 â đŽđŽ đżđż1 2
đžđž âĄ2đđ đ đ
đđ â đŚđŚ
đżđż âĄ2đđ đ đ
đđ â đ§đ§
đŚđŚ
đ§đ§đžđž2 =
2đđ đ đ
đđ â đđ2
đžđž1 =2đđ đ đ
đđ + đđ2đżđż2 = ââ đżđż1 = +â
=đźđź04
Ă đđ2đđ đ đ
đđ â đđ2 â đđ
2đđ đ đ
đđ + đđ2
2
+ đŽđŽ2đđ đ đ
đđ â đđ2 â đŽđŽ
2đđ đ đ
đđ + đđ2
2
Ă 2
3. Single Slit
đđ
70
đŽđŽ đđ
đđ đđđđ = 0
đđ > 0
đđ < 0
đźđź đđ,đđ =đźđź02
Ă đđ2đđ đ đ
đđ â đđ2 â đđ
2đđ đ đ
đđ + đđ2
2
+ đŽđŽ2đđ đ đ
đđ â đđ2 â đŽđŽ
2đđ đ đ
đđ + đđ2
2
đžđž1 â đžđž2 =2đđ đ đ
đđ
đžđž1 + đžđž22
=2đđ đ đ
đđ
71
đđ = 10 đđ
đđ
đđđšđš âĄđđ2
4 đđ đ đ
đđđšđš = 10
đđđšđš = 1
đđđšđš = 0.5
đđđšđš = 0.1
đđ = 1
đ đ = 2.5 đđ
đ đ = 25 đđ
đ đ = 50 đđ
đ đ = 250 đđ
Near field
Far field
Fresnel number
72
Mathematica
73
4. Rectangular Aperture
74
5. Circular Objects
Poisson (Arago) spot
top related