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Contenido
ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Esta propuesta es sufragada con fondos federales Tıtulo II-B,“Mathematics and Science Partnerships” del Departamento
de Educacion de Puerto Rico.
Demostraciones de Teoremas deTriangulos - Primera Parte
Prof. Carlos A. Rivera-Morales
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Tabla de Contenido
ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Objetivos:
Discutiremos:
Algunos conceptos basicos
postulado; axiomademostracion matematicateorema
algunos metodos de demostraciones matematicas
directopor contraposicionpor reduccion al absurdocontraejemplo
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Objetivos:
Discutiremos:
Algunos conceptos basicos
postulado; axiomademostracion matematicateorema
algunos metodos de demostraciones matematicas
directopor contraposicionpor reduccion al absurdocontraejemplo
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Objetivos:
Discutiremos:
Algunos conceptos basicos
postulado; axioma
demostracion matematicateorema
algunos metodos de demostraciones matematicas
directopor contraposicionpor reduccion al absurdocontraejemplo
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Objetivos:
Discutiremos:
Algunos conceptos basicos
postulado; axiomademostracion matematica
teorema
algunos metodos de demostraciones matematicas
directopor contraposicionpor reduccion al absurdocontraejemplo
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Objetivos:
Discutiremos:
Algunos conceptos basicos
postulado; axiomademostracion matematicateorema
algunos metodos de demostraciones matematicas
directopor contraposicionpor reduccion al absurdocontraejemplo
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Objetivos:
Discutiremos:
Algunos conceptos basicos
postulado; axiomademostracion matematicateorema
algunos metodos de demostraciones matematicas
directopor contraposicionpor reduccion al absurdocontraejemplo
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Objetivos:
Discutiremos:
Algunos conceptos basicos
postulado; axiomademostracion matematicateorema
algunos metodos de demostraciones matematicas
directo
por contraposicionpor reduccion al absurdocontraejemplo
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Objetivos:
Discutiremos:
Algunos conceptos basicos
postulado; axiomademostracion matematicateorema
algunos metodos de demostraciones matematicas
directopor contraposicion
por reduccion al absurdocontraejemplo
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Objetivos:
Discutiremos:
Algunos conceptos basicos
postulado; axiomademostracion matematicateorema
algunos metodos de demostraciones matematicas
directopor contraposicionpor reduccion al absurdo
contraejemplo
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Objetivos:
Discutiremos:
Algunos conceptos basicos
postulado; axiomademostracion matematicateorema
algunos metodos de demostraciones matematicas
directopor contraposicionpor reduccion al absurdocontraejemplo
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Objetivos:
Discutiremos:
Algunos conceptos basicos
postulado; axiomademostracion matematicateorema
algunos metodos de demostraciones matematicas
directopor contraposicionpor reduccion al absurdocontraejemplo
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Postulado:
Definicion: En matematicas, un postulado es una afirmacion(enunciado o proposicion) que se acepta como verdadera y quesirve como base para construir matematica.
Notas:
1 Como un postulado se considera verdadero, no se tiene quedemostrar que lo es.
2 Los postulados son utilizados en matematicas paradesarrollar nuevas teorıas o nuevas areas de la matematica.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Postulado:
Definicion: En matematicas, un postulado es una afirmacion(enunciado o proposicion) que se acepta como verdadera y quesirve como base para construir matematica.
Notas:
1 Como un postulado se considera verdadero, no se tiene quedemostrar que lo es.
2 Los postulados son utilizados en matematicas paradesarrollar nuevas teorıas o nuevas areas de la matematica.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Postulado:
Definicion: En matematicas, un postulado es una afirmacion(enunciado o proposicion) que se acepta como verdadera y quesirve como base para construir matematica.
Notas:
1 Como un postulado se considera verdadero, no se tiene quedemostrar que lo es.
2 Los postulados son utilizados en matematicas paradesarrollar nuevas teorıas o nuevas areas de la matematica.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Postulado:
Definicion: En matematicas, un postulado es una afirmacion(enunciado o proposicion) que se acepta como verdadera y quesirve como base para construir matematica.
Notas:
1 Como un postulado se considera verdadero, no se tiene quedemostrar que lo es.
2 Los postulados son utilizados en matematicas paradesarrollar nuevas teorıas o nuevas areas de la matematica.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Postulado:
Definicion: En matematicas, un postulado es una afirmacion(enunciado o proposicion) que se acepta como verdadera y quesirve como base para construir matematica.
Notas:
1 Como un postulado se considera verdadero, no se tiene quedemostrar que lo es.
2 Los postulados son utilizados en matematicas paradesarrollar nuevas teorıas o nuevas areas de la matematica.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplos: Posiblemente, los postulados mas celebres enmatematica son los Postulados de Euclides,
que forman labase de toda la Geometrıa Clasica.
1 Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los une.
2 Se puede prolongar cualquier segmento para que forme unarecta en su misma direccion.
3 Se puede trazar una circunferencia con su centro encualquier punto y con cualquier radio.
4 Todos los angulos rectos son congruentes.
5 Por un punto externo a una recta pasa una unica rectaparalela a esta. (Postulado de las paralelas)
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplos: Posiblemente, los postulados mas celebres enmatematica son los Postulados de Euclides, que forman labase de toda la Geometrıa Clasica.
1 Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los une.
2 Se puede prolongar cualquier segmento para que forme unarecta en su misma direccion.
3 Se puede trazar una circunferencia con su centro encualquier punto y con cualquier radio.
4 Todos los angulos rectos son congruentes.
5 Por un punto externo a una recta pasa una unica rectaparalela a esta. (Postulado de las paralelas)
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplos: Posiblemente, los postulados mas celebres enmatematica son los Postulados de Euclides, que forman labase de toda la Geometrıa Clasica.
1 Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los une.
2 Se puede prolongar cualquier segmento para que forme unarecta en su misma direccion.
3 Se puede trazar una circunferencia con su centro encualquier punto y con cualquier radio.
4 Todos los angulos rectos son congruentes.
5 Por un punto externo a una recta pasa una unica rectaparalela a esta. (Postulado de las paralelas)
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplos: Posiblemente, los postulados mas celebres enmatematica son los Postulados de Euclides, que forman labase de toda la Geometrıa Clasica.
1 Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los une.
2 Se puede prolongar cualquier segmento para que forme unarecta en su misma direccion.
3 Se puede trazar una circunferencia con su centro encualquier punto y con cualquier radio.
4 Todos los angulos rectos son congruentes.
5 Por un punto externo a una recta pasa una unica rectaparalela a esta. (Postulado de las paralelas)
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplos: Posiblemente, los postulados mas celebres enmatematica son los Postulados de Euclides, que forman labase de toda la Geometrıa Clasica.
1 Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los une.
2 Se puede prolongar cualquier segmento para que forme unarecta en su misma direccion.
3 Se puede trazar una circunferencia con su centro encualquier punto y con cualquier radio.
4 Todos los angulos rectos son congruentes.
5 Por un punto externo a una recta pasa una unica rectaparalela a esta. (Postulado de las paralelas)
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplos: Posiblemente, los postulados mas celebres enmatematica son los Postulados de Euclides, que forman labase de toda la Geometrıa Clasica.
1 Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los une.
2 Se puede prolongar cualquier segmento para que forme unarecta en su misma direccion.
3 Se puede trazar una circunferencia con su centro encualquier punto y con cualquier radio.
4 Todos los angulos rectos son congruentes.
5 Por un punto externo a una recta pasa una unica rectaparalela a esta. (Postulado de las paralelas)
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplos: Posiblemente, los postulados mas celebres enmatematica son los Postulados de Euclides, que forman labase de toda la Geometrıa Clasica.
1 Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los une.
2 Se puede prolongar cualquier segmento para que forme unarecta en su misma direccion.
3 Se puede trazar una circunferencia con su centro encualquier punto y con cualquier radio.
4 Todos los angulos rectos son congruentes.
5 Por un punto externo a una recta pasa una unica rectaparalela a esta. (Postulado de las paralelas)
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Axioma:
Definicion: Un axioma es una afirmacion (enunciado oproposicion) que se considera evidente y, por lo tanto, se aceptasin requerir demostracion previa.
Nota:
Los axiomas tambien son utilizados en matematicas paradesarrollar nuevas teorıas o nuevas areas de la matematica.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Axioma:
Definicion: Un axioma es una afirmacion (enunciado oproposicion) que se considera evidente y, por lo tanto, se aceptasin requerir demostracion previa.
Nota:
Los axiomas tambien son utilizados en matematicas paradesarrollar nuevas teorıas o nuevas areas de la matematica.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Axioma:
Definicion: Un axioma es una afirmacion (enunciado oproposicion) que se considera evidente y, por lo tanto, se aceptasin requerir demostracion previa.
Nota:
Los axiomas tambien son utilizados en matematicas paradesarrollar nuevas teorıas o nuevas areas de la matematica.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
Contenido
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Axioma:
Definicion: Un axioma es una afirmacion (enunciado oproposicion) que se considera evidente y, por lo tanto, se aceptasin requerir demostracion previa.
Nota:
Los axiomas tambien son utilizados en matematicas paradesarrollar nuevas teorıas o nuevas areas de la matematica.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplos de Axiomas:
1 El todo es mayor que sus partes.
2 Si dos cantidades son iguales a una tercera, entonces soniguales entre sı.
3 En el plano euclidiano, la distancia mas corta entre dospuntos es el segmento de lınea que los une.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplos de Axiomas:
1 El todo es mayor que sus partes.
2 Si dos cantidades son iguales a una tercera, entonces soniguales entre sı.
3 En el plano euclidiano, la distancia mas corta entre dospuntos es el segmento de lınea que los une.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplos de Axiomas:
1 El todo es mayor que sus partes.
2 Si dos cantidades son iguales a una tercera, entonces soniguales entre sı.
3 En el plano euclidiano, la distancia mas corta entre dospuntos es el segmento de lınea que los une.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplos de Axiomas:
1 El todo es mayor que sus partes.
2 Si dos cantidades son iguales a una tercera, entonces soniguales entre sı.
3 En el plano euclidiano, la distancia mas corta entre dospuntos es el segmento de lınea que los une.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Demostraciones Matematicas:
Definicion: Una demostracion matematica o prueba esun argumento deductivo valido para una afirmacion partiendode definiciones, hipotesis y propiedades conocidas hasta llegar ala conclusion.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Demostraciones Matematicas:
Definicion: Una demostracion matematica o prueba esun argumento deductivo valido para una afirmacion
partiendode definiciones, hipotesis y propiedades conocidas hasta llegar ala conclusion.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Demostraciones Matematicas:
Definicion: Una demostracion matematica o prueba esun argumento deductivo valido para una afirmacion partiendode definiciones, hipotesis y propiedades conocidas hasta llegar ala conclusion.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Notas:
1 Un argumento deductivo valido es aquel cuyaconclusion deriva de manera necesaria de las premisas (osupuestos).
2 En un argumento deductivo valido la conclusion no afirmanada que no este ya dicho, aunque quizas de maneraimplıcita, en las premisas; ası, lo que hace es solo hacerexplıcito algo ya afirmado en ellas.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Notas:
1 Un argumento deductivo valido
es aquel cuyaconclusion deriva de manera necesaria de las premisas (osupuestos).
2 En un argumento deductivo valido la conclusion no afirmanada que no este ya dicho, aunque quizas de maneraimplıcita, en las premisas; ası, lo que hace es solo hacerexplıcito algo ya afirmado en ellas.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Notas:
1 Un argumento deductivo valido es aquel cuyaconclusion deriva de manera necesaria de las premisas (osupuestos).
2 En un argumento deductivo valido la conclusion no afirmanada que no este ya dicho, aunque quizas de maneraimplıcita, en las premisas; ası, lo que hace es solo hacerexplıcito algo ya afirmado en ellas.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Notas:
1 Un argumento deductivo valido es aquel cuyaconclusion deriva de manera necesaria de las premisas (osupuestos).
2 En un argumento deductivo valido la conclusion no afirmanada que no este ya dicho, aunque quizas de maneraimplıcita, en las premisas;
ası, lo que hace es solo hacerexplıcito algo ya afirmado en ellas.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Notas:
1 Un argumento deductivo valido es aquel cuyaconclusion deriva de manera necesaria de las premisas (osupuestos).
2 En un argumento deductivo valido la conclusion no afirmanada que no este ya dicho, aunque quizas de maneraimplıcita, en las premisas; ası, lo que hace es solo hacerexplıcito algo ya afirmado en ellas.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplo de un Argumento Deductivo Valido:
Hipotesis:
1 Todo hombre es mortal.
2 Socrates es hombre.
Conclusion:
Socrates es mortal.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplo de un Argumento Deductivo Valido:
Hipotesis:
1 Todo hombre es mortal.
2 Socrates es hombre.
Conclusion:
Socrates es mortal.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Ejemplo de un Argumento Deductivo Valido:
Hipotesis:
1 Todo hombre es mortal.
2 Socrates es hombre.
Conclusion:
Socrates es mortal.
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplo de un Argumento Deductivo Valido:
Hipotesis:
1 Todo hombre es mortal.
2 Socrates es hombre.
Conclusion:
Socrates es mortal.
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplo de un Argumento Deductivo Valido:
Hipotesis:
1 Todo hombre es mortal.
2 Socrates es hombre.
Conclusion:
Socrates es mortal.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplo de un Argumento Deductivo Valido:
Hipotesis:
1 Todo hombre es mortal.
2 Socrates es hombre.
Conclusion:
Socrates es mortal.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Demostracion Directa:
Definicion: La demostracion directa consiste en demostrarque A⇒ B (A implica B) partiendo de A y deduciendoproposiciones hasta llegar a B.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostracion Directa:
Definicion: La demostracion directa consiste en demostrarque A⇒ B (A implica B)
partiendo de A y deduciendoproposiciones hasta llegar a B.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Demostracion Directa:
Definicion: La demostracion directa consiste en demostrarque A⇒ B (A implica B) partiendo de A y deduciendoproposiciones hasta llegar a B.
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejercicio 1: Demostrar que el cuadrado de un numero enteropar, tambien es un numero par.
Nota: Si probamos con el 2, con el 4 o con el 6, vemos que suscuadrados respectivos, 4, 16 y 36 son pares. Pero esto noconstituye una demostracion porque tenemos que demostrarlopara todos los numeros pares.
Ejercicio 2: En el conjunto de los numeros enteros, demostrarque si m y n son multiplos de p, entonces m+n y m-n tambienson multiplos de p.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejercicio 1: Demostrar que el cuadrado de un numero enteropar, tambien es un numero par.
Nota: Si probamos con el 2, con el 4 o con el 6, vemos que suscuadrados respectivos, 4, 16 y 36 son pares. Pero esto noconstituye una demostracion porque tenemos que demostrarlopara todos los numeros pares.
Ejercicio 2: En el conjunto de los numeros enteros, demostrarque si m y n son multiplos de p, entonces m+n y m-n tambienson multiplos de p.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejercicio 1: Demostrar que el cuadrado de un numero enteropar, tambien es un numero par.
Nota: Si probamos con el 2, con el 4 o con el 6, vemos que suscuadrados respectivos, 4, 16 y 36 son pares. Pero esto noconstituye una demostracion porque tenemos que demostrarlopara todos los numeros pares.
Ejercicio 2: En el conjunto de los numeros enteros, demostrarque si m y n son multiplos de p, entonces m+n y m-n tambienson multiplos de p.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Demostracion por Contraposicion:
Definicion: La demostracion por contraposicion consiste endemostrar que (no B) ⇒ (no A), que es el enunciadocontrapositivo o contrarecıproco del enunciado A⇒ B.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostracion por Contraposicion:
Definicion: La demostracion por contraposicion consiste endemostrar que (no B) ⇒ (no A),
que es el enunciadocontrapositivo o contrarecıproco del enunciado A⇒ B.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Demostracion por Contraposicion:
Definicion: La demostracion por contraposicion consiste endemostrar que (no B) ⇒ (no A), que es el enunciadocontrapositivo o contrarecıproco del enunciado A⇒ B.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Demostracion por Contraposicion:
Definicion: La demostracion por contraposicion consiste endemostrar que (no B) ⇒ (no A), que es el enunciadocontrapositivo o contrarecıproco del enunciado A⇒ B.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejercicio: Construya el contrapositivo o contrarecıproco de lossiguientes enunciados:
1 Si un animal es gato, entoces es felino.
2 Si un numero entero es impar, entonces no es divisible pordos.
3 Si un triangulo es equilatero, entoces es isosceles.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejercicio: Construya el contrapositivo o contrarecıproco de lossiguientes enunciados:
1 Si un animal es gato, entoces es felino.
2 Si un numero entero es impar, entonces no es divisible pordos.
3 Si un triangulo es equilatero, entoces es isosceles.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejercicio: Construya el contrapositivo o contrarecıproco de lossiguientes enunciados:
1 Si un animal es gato, entoces es felino.
2 Si un numero entero es impar, entonces no es divisible pordos.
3 Si un triangulo es equilatero, entoces es isosceles.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejercicio: Construya el contrapositivo o contrarecıproco de lossiguientes enunciados:
1 Si un animal es gato, entoces es felino.
2 Si un numero entero es impar, entonces no es divisible pordos.
3 Si un triangulo es equilatero, entoces es isosceles.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Notas:
1 Un enunciado y su contrapositivo tienen la propiedad deser equivalentes, es decir, si uno es verdadero, tambien lo esel otro y si el primero es falso tambien es falso el segundo.
2 Este mecanismo es aconsejable cuando no sabemos comotrabajar a partir de la hipotesis A y, en cambio, la negacionde B proporciona un buen punto de partida.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Notas:
1 Un enunciado y su contrapositivo tienen la propiedad deser equivalentes, es decir, si uno es verdadero, tambien lo esel otro y si el primero es falso tambien es falso el segundo.
2 Este mecanismo es aconsejable cuando no sabemos comotrabajar a partir de la hipotesis A y, en cambio, la negacionde B proporciona un buen punto de partida.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Notas:
1 Un enunciado y su contrapositivo tienen la propiedad deser equivalentes, es decir, si uno es verdadero, tambien lo esel otro y si el primero es falso tambien es falso el segundo.
2 Este mecanismo es aconsejable cuando no sabemos comotrabajar a partir de la hipotesis A y, en cambio, la negacionde B proporciona un buen punto de partida.
Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales
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ObjetivosPostulados; AxiomasDemostraciones MatematicasMetodos de Demostraciones
Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejercicio 1: Demostrar que si n2 es un numero natural par,entonces n es par.
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejercicio 1: Demostrar que si n2 es un numero natural par,entonces n es par.
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Demostracion por Reduccion al Absurdo:
Definicion: Una demostracion por reduccion al absurdoconsiste en lo siguiente: se quiere demostrar que A⇒ B y paraello se demuestra que, suponiendo que son ciertas A y (no B),se llega a una contradiccion. Entonces resulta que la suposicion(no B) era falsa y, por tanto, B es verdadera.
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Demostracion por Reduccion al Absurdo:
Definicion: Una demostracion por reduccion al absurdoconsiste en lo siguiente:
se quiere demostrar que A⇒ B y paraello se demuestra que, suponiendo que son ciertas A y (no B),se llega a una contradiccion. Entonces resulta que la suposicion(no B) era falsa y, por tanto, B es verdadera.
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Demostracion por Reduccion al Absurdo:
Definicion: Una demostracion por reduccion al absurdoconsiste en lo siguiente: se quiere demostrar que A⇒ B y paraello se demuestra que, suponiendo que son ciertas A y (no B),se llega a una contradiccion.
Entonces resulta que la suposicion(no B) era falsa y, por tanto, B es verdadera.
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Demostracion por Reduccion al Absurdo:
Definicion: Una demostracion por reduccion al absurdoconsiste en lo siguiente: se quiere demostrar que A⇒ B y paraello se demuestra que, suponiendo que son ciertas A y (no B),se llega a una contradiccion. Entonces resulta que la suposicion(no B) era falsa y, por tanto, B es verdadera.
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Demostracion por Reduccion al Absurdo:
Definicion: Una demostracion por reduccion al absurdoconsiste en lo siguiente: se quiere demostrar que A⇒ B y paraello se demuestra que, suponiendo que son ciertas A y (no B),se llega a una contradiccion. Entonces resulta que la suposicion(no B) era falsa y, por tanto, B es verdadera.
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.
Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito. Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.Sea p = p1p2...pn + 1. Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo. Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas. Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion. Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.
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Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito.
Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.Sea p = p1p2...pn + 1. Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo. Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas. Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion. Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.
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Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito. Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.
Sea p = p1p2...pn + 1. Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo. Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas. Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion. Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.
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Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito. Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.Sea p = p1p2...pn + 1.
Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo. Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas. Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion. Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.
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Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito. Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.Sea p = p1p2...pn + 1. Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo.
Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas. Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion. Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.
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Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito. Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.Sea p = p1p2...pn + 1. Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo. Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas.
Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion. Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.
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Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito. Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.Sea p = p1p2...pn + 1. Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo. Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas. Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion.
Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.
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Ejemplo 1: Demostrar que hay una cantidad infinita denumeros primos.Demostracion: Supongamos que el conjunto de numerosprimos es finito. Sean p1, p2, ..., pn todos los numeros primos.Sea p = p1p2...pn + 1. Por lo tanto, p no es divisible por ningunnumero primo. Sin embargo, por el Teorema Fundamental de laAritmetica, todo numero entero positivo puede ser expresadocomo un producto de primos elevados a potencias enteraspositivas. Por lo tanto, p debe ser necesariamente divisible poralgun numero primo, lo cual es una contradiccion. Conclusion:el conjunto de numeros primos es infinito.
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Demostraciones de Teoremas de Triangulos
Demostracion por Contraejemplo:
Definicion: Una demostracion por contraejemplo es unadonde la validez de una propiedad se refuta dando un ejemploen el que no se cumple dicha propiedad. De esa manera sedemuestra que la propiedad en cuestion, en general, es falsa.
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Demostracion por Contraejemplo:
Definicion: Una demostracion por contraejemplo es unadonde la validez de una propiedad se refuta dando un ejemploen el que no se cumple dicha propiedad.
De esa manera sedemuestra que la propiedad en cuestion, en general, es falsa.
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Definicion: Una demostracion por contraejemplo es unadonde la validez de una propiedad se refuta dando un ejemploen el que no se cumple dicha propiedad. De esa manera sedemuestra que la propiedad en cuestion, en general, es falsa.
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Definicion: Una demostracion por contraejemplo es unadonde la validez de una propiedad se refuta dando un ejemploen el que no se cumple dicha propiedad. De esa manera sedemuestra que la propiedad en cuestion, en general, es falsa.
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