chaleur hyperbolique
Post on 01-Mar-2018
222 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Chaleur Hyperbolique
1/10
Rev G&J Therm (1997) 36, 826-835
0 Elsevier, Paris
Analyse de la conduction de la chaleur
aux temps ultra-courts dans un solide
par la thermodynamique irrkversible &endue
et la dynamique mokculaire
Sebastian Volz , Michel Lallemand *, Jean-Bernard Saulnier
Laboratoire detudes thermiques (LET), UMR 6608, ENSMA, 86960 Futuroscope cedex
(Recu le 17 mars 1997 ; accepte le 8 octobre 1997)
Abridged English version at the end of the text
Summary - Analysis of short time heat conduction in solids by extended irreversible thermodynamics and
molecular dynamics. Instantaneous heat propagation and thermodynamic local equilibrium cannot be assumed when
solving space and time microscale problems. Therefore, we reconsider the thermodynamics basis of the Fourier law in
order to obtain the new heat conduction models: the hyperbolic heat equation (EH) and the modified hyperbolic equation
(EHM). We have performed molecula r dynamics (DM) experiments which are indepe ndent of any thermodynamic mode l,
to test the macroscopic approaches. We show that the solutions of the EH and the EHM do not agree with the numerica l
experiments and that the MD results are strongly depend ent on the way from which the macroscopic conditions are
simulated in the microscopic point of view.
hyperbolic heat equations / conduction / microscale / Cattaneo-Vernotte equatio n / extended irreversible thermodynamics
Resume - Lhypothhse de la propagation instantanee de la chaleur, comme celle de Iequilibre thermodynamique local, ne
peuvent plus etre mainten ues si /es &he//es despace et de temps considerees sont microscopiques. Nous revisitons done
/es bases thermodynamiques de la loi de Fourier pour Ctablir les modeles de conduction de remplacement : hyperbolique
(EH) et hyperbo lique modi fie (EHM). Afin de tester ces approches macroscopiques, nous avons utilise une techniqu e de
simulation independante de tout a priori thermodynamique : la technique de la dynamique moleculaire (DM), permettant
de simuler des regimes thermiques transitoires. II a etC possible de montrer que les modtles hyperbolique et hyperbolique
modifi k n e satisfaisaient pas aux conclusions des experiences numerique s dont les rksultats se trouvent forrement lies a
la facon dont sent reproduites, au niveau microscopique, /es conditions l/mites macroscopiques.
equations hyperboliques de la chaleur / conduction / thermique / microkhelle / 6quatio n de Cattaneo-Vernotte / thermodynam ique
irreversible &endue
Nomenclature
CP
capaci te thermique massique a
pression constante
d epaisseur de f i lm.
E energie interne.
JS
densi te surfacique de f lux den-
tropic... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
kB
constante de Boltzmann
h l mass e de l atome. .
P
pression ._ ,. . . . .__...___ ....
Q
f lux de chaleur sar is dimension
4
flux de chaleur
IL
vecteur posi t ion de l atome i
s densi te volumique dentropie
J.kggK
m
J
W.mP2.K-
J.K-
kg
J.m -
W.m--
m
J.m-.K-
T
SV
:I-
densite volumiqu e dentropie
au sens classique.
temperature . . . . . . . . . . . . . . .
temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v i tesse de la chaleur
energie interne
energie interne au sens classi-
que.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v i tesse moyenne des phonons
vecteur vi tesse de l atome i
variation volumique saris di-
mension
volume elementaire
variable despace
Symboles grecs
* Correspondance et t i res-a-part.
w
diffusivi te thermique m2.s m
J.m- .K--
K
J.m-
m.s
m:s
m
826
-
7/25/2019 Chaleur Hyperbolique
2/10
Analyse de la conduction de la chaleur aux temps ultra-courts
0 temperature de non-Cquilibre
E unite denergie en DM.
23 Bnergie potentielle dinterac -
tion entre latome i et latome j
P
masse volumique . .
x conductivite thermique . .
A libre parcours moyen de pho-
nons .
P
potentiel chimique .
lr pression de non-equilibre . .
VI
unite de temps en DM .
u unite de distance en DM .
0s
source volumique dentropie . .
Exposants
*
variables dimensionnees dans
les unites DM
derivee temporelle
Caractkres
Gras vecteurs
Abrhiations
DM dynamique molecula ire
EP equation parabolique
K
J
kg.me3
W.m-.K-
J.mp3.Kf:
J.mm3
S
m
W.mp3.Kp1
EH equation hyperbolique de la conduction
EHM equation hyperbolique modifiee
TIE thennodynamique irreversible &endue
TPI thermodynamique des processus ii-reversibles
1 I INTRODUCTION
La loi de Fourier, etablie depuis plus de 170 ans,
decrit la reponse thermique dun solide conducteur
de la chaleur soumis a un gradient de temperature,
sous la forme dune rela tion algebrique lineaire
entre la cause - le gradient de temperature -, et
leffet - la densite de flux de chaleur - ; elle presente
un caractere local, et se traduit par lexpression :
q=-AgradT
(1)
Observons que la reponse ainsi definie setabli t
instantanement avec la mise en place du gradient,
qui constitue lexcita tion appliquee au solide Btudie.
Le domaine de validite de la loi de Fourier est
tres large et savere aujourdhui encore tout a fait
suffisant dans la plupart des problemes usuels de
lingenieur. I1 apparait cependant des situations
nouvelles, notamment avec les nano-fabrications et
les technologies photoniques, ou les densites de
flux intenses mises en jeu comme la faiblesse des
echelles despace ou de temps amenent a revisi ter
les bases physiques qui conduisent a letablisse-
ment de la loi de Fourier et a reformuler la rela-
tion flux instantanelgradient, adaptee aux micro-
Bchelles spatiales et temporelles. Ceci implique de
reconsiderer :
- les definitions de flux et de force au sens
donsager (cf equation (14)) ;
- le caractere instantane de cette loi dans le
cas ou lon etudie la reponse d echantillons sur des
durees tres courtes (de lordre de la nano-seconde ou
en dessous, pour preciser ici ces Bchelles de temps
dites courtes) ; en effet la nature microscopique des
agents porteurs denergie que sont les excitations
Blementaires du reseau - les phonons - et les
electrons ne per-met pas de concevo ir leur transport
comme seffectuant a vitesse non finie, ce qui
entrainerait lapparition dun flux en tout point
dun milieu immediatement apres lapplica tion dun
gradient de temperature entre ses faces ;
- lhypothese, sous-jacente a la loi de Fourier,
dun equilibre thermodynamique local, admettant
lexistence de sous-systemes macroscopiques dans
lesquels les grandeurs d&at sont uniformes mais
evoluent dans le temps ; cette hypothese devient en
effet difficilement acceptable lorsque on sinteresse
a des perturbations thermiques apparaissant sur
des dimensions de lordre de quelques dizaines de
distances interatomiques, cest-a -dire de lordre des
libres parcours moyens des porteurs denergie.
Les exemples justifiant la necessite de preciser
les domaines de non-validite de la loi de Fourier
ne manquent pas. Mentionnons tout dabord le
comportement thermique de solides soumis a de
tres breves impu lsions laser de durees inferieures
a la picoseconde (Chen, 19951, celui des compo-
sants optoelectroniques du laser lui-meme qui sont
sieges dimpulsions electriques ultracourtes aux-
quelles sont associees des impulsions thermiques
(Majumdar, 1993), ou encore le traitement ther-
mique des materiaux inertes et de la biomatiere,
traitement dont lefficacite depend de la bonne
connaissance de la profondeur de penetration de
lenergie (Tien et Chen, 1994). Relevent de la meme
problematique la reponse dun solide soumis a une
source de chaleur en mouvement tres rapide, situa-
tion donnant naissance a des
-
7/25/2019 Chaleur Hyperbolique
3/10
S Volz, M Lallemand, JB Saulnier
relier flux et gradient. Nous examinerons ensuite
la dkmarche macroscopique de la thermodynami-
que des phkomknes irrkversibles (TPI) qui &a-
blit une compatibilitb avec la loi de Fourier. Puis
nous verrons comment une thborie plus rkcente, la
thermodynamique irreversible Btendue (TIE) , peut
conduire B la loi proposke par Vernotte et Cattaneo
sans rkfkrence & lhypothkse de lbquilibre ther-
modynamique local. Enfin, g r&ce aux expkriences
num6riques de simulation effectuGes au niveau mi-
croscopique sur un solide de Lennard-Jones par
la technique de la dynamique molkcu laire (DM),
nous disposerons dinformations indkpendantes de
toute thkorie thermodynamique, qui nous permet-
tront de confronter les rbsultats des diverses ap-
proches phknomknologiques sur le cas simple du
mur conducteur semi-infini soumis & un Echelon de
tempkature sur lune de ses faces.
2. LAPPROCHE DE VERNOTTE
Vernotte est parti du fait que la loi de Fourier
impose une vitesse infinie de la propagation de
la chaleur, ce qui est physiquement inacceptable.
Ceci est bien illustrk par lexemple classique dun
mur semi-infini de diffusivitb o, initialement &
la temperature T,, et soumis k un Echelon de
temperature T, sur sa face (z = 0), dont le champ
de temperature T(z, t) est don& par lexpression :
(2)
avecAT=T,-T,.
Ainsi, quelle que soit la position dobservation 2,
il apparait quasi-instantankment un signal thermi-
que, ce qui est inadmissible. Vernotte supposa alors
quil existe un retard T entre leffet (le flux), et la
cause (le gradient), de telle sorte que la relation
flux/gradient peut skc rire :
q(t + 7) = -A grad T
(3)
laquelle, laide dun d&eloppement de Taylo r
tronque au premier ordre, conduit A lexpression :
as
q(t) + 7x = -XgradT
(4)
On peut dkj& voir dans cette Bcriture que
la rbponse & cette excitation est assimilable 51
celle dun systGme du premier ordre, et que son
Btablissement perd aussi le caract&re instantan
denonce pr&kdemment. Cette formulation peut
Bgalement sbcr ire sous la forme dune loi de
relaxation simple :
aq
-q
- XgradT
at= 7-
(5)
T fig-want un temps caractkristique qui reste alors
B identifier.
D&s lors, en combinant (4) avec 16quation de
conservation de lkertie, on aboutit A lkuation
hyperbolique de la cha&& (EH) :
dT dT
r atn + x = ndiv(gradT)
CI
reprksente la diffusivitk thermique
i )
x
a=-- .
p c,,
11 est possible de montrer que lkqua-
tion (6) :
a) se ram&ne ?I lkquation parabolique (EP)
classique lorsque le temps t >> 7 (cest-&-dire
lorsque le signal thermique est principalement
constituk de modes diffusifs , de frequences faibles,
nettement infkieures & celle associee A 7-l) :
aT
z = o div(grad T)
(7w)
b) induit aux temps courts (t < 7) une propa-
gation de la chaleur sous forme donde, de vitesse
u = (U/T) ./ En effet, dans ce domaine de temps, la
contribution des basses fi+quences au signal ther-
mique devient nbgligeable et lbquation (6) se reduit,
pour les temps les plus faibles, B 16quation donde
rkversible suivante :
a2T
-x
2 div(grad T)
at2 r
En guise dillustration, la figure 1 montre la dis-
tribution spatiale (la grandeur X = r/2 r U est indi-
quke en absc isses ) des temperatures dans un mur
semi-infini soumis B un kchelon de tempkature,
obtenue par les modkles parabolique (P) et hyper-
bolique (H) h diffkrents instants (~0 =
t/2
7 =
0,s
et
0.8
I-
0.6
4
h
k
t
0.4
0.2
0
0 2 4 6 8 10
X=x/?U1
Fig 1. Comparaison ti
des temps diffirents
(IQ = t/27 = 0,5 et IQ = 8) des distributions spatiales
obtenues par /es modtiles EP et EH de la tempkature duns
un mur semi-infini soumis ti un echelon de temp&ature
(la grandeur X = x/2 T U est indiqke en abscisse).
Fig 1. Comparison of the space temperature distribution
at several times (~0 = t/2, 7 = 0.5 et uILg = t/27 = 0,5)
for a semi-in finite slab subjected to a temperature step,
according to models EP and EH (the quantity X = x/2 T U
is plotted in the x-coordinate).
828
-
7/25/2019 Chaleur Hyperbolique
4/10
Analyse de la conduction de la chaleur aux temps ultra-courts
2~0 8). On note lextreme difference des predictions
des dew modeles aux temps courts.
Concernant les Bche lles despace, un examen
simple de lequation (6) permet de cerner le domaine
de validite de la loi de Fourier (Fl ik et al, 1992).
Considerons en effet un mur d epaisseur d, oti lon
peut definir le temps caracteristique de diffusion
Atdi ff par : Atd,ff = d2/a. Lequation parabolique
ne sera done valable que lorsque Atd,ff verifiera
Iinegalite A&f >> r, qui secrit encore :
d >> (a#
(84
lorsque la quantite Atd,ff est remplacee par son
expression.
Introduisons maintenant le libre parcours moyen
A des porteurs de chaleur (supposes ici de type
phonon uniquement), defini par A = r vp, oti up
est la vitesse de propagation du son. Dapres la
relation de la theorie cinetique, la conductivite
thermique A est reliee a la vitesse wp et au
temps r par lexpression X = f pC, uz r, de sorte
que la diffusiv ite thermique N peut se reecrire sous
la forme cy= & 3 uup . Lorsque la diffusivite
est remplacee par sa nouvelle expression dans
linega lite (8a), on obtient la condition spatiale de
validite de lequation parabolique : d > > L.
En resume. la loi de Fourier sera done aunli-
cable sans restriction lorsque
suivantes seront reunies :
t>>7
et
d>>$
les dew condi&s
(8b)
(8~)
Dans le cas ou la relation (8b) nest pas verifiee,
les Bchanges de chaleur seront gouvernes par la
relation de dependance temporelle des flux (51, et
lorsque linegalite (8~) nest pas satisfaite, nous
aurons affaire a un transport de phonons de
type balistique d&-it par lequation de Boltzmann
(Majumdar, 1993).
3. L~~QUATION DE FOURIER
DANS LE CADRE DE LA
TPI
Soit p la pression, s et u lentropie et 1energie
interne par unite de masse, ck et pk les titres mas-
siques et potentiels chimiques associes a lespece k .
A lbqu ilibre thermodynamique, la relation de Gibbs
sh-it :
Tds=du+pdv-xpdc
(9)
&T-l =
as
( 1,
u
est la temperature. Lequation (91
se ramene, dani le cas dun systeme a volume
constant et a une seule espece, a :
Tds = du
(10)
La thermodynamique des processus irreversi-
bles (TPI ) est une description, en termes de mi-
lieux continus, des phenomenes thermodynamiques
hors-bquilib re. Ell e repose sur lhypothese que, loca-
lement, dans tout volume elementaire (macroscopi-
que) 6V, la relation de Gibbs (9) est satisfaite, ce
qui per-met notamment de definir une tempera-
ture locale et une equation detat independante des
gradients ; cela suppose du point de vue microsco -
pique que les effets de colli sion au sein du volume
consider-e compensent les effets de gradients (Glans-
dorff et Prigogine, 1971).
Dans le cadre de lhypothese de lequ ilibre
thermodynamique local (ETL), le taux de variation
de lentropie secrit :
pS=-divJ,+~,~
(11)
ou us > 0 apparait comme le taux de creation den-
tropie interne et J , le flux surfacique dentropie
&hang& p represente ici la masse volumique et
le point marque la derivee temporelle de transport.
Compte tenu de lequation de conservation de lener-
gie (en ne considerant toujours que les phenomenes
thermiques) :
il vient :
pti = -divq
(12)
doti, apres identification :
(13)
(14)
et
Js= ;
( >
(15)
Lecriture de us =
c
JyXy(y= l , . . . ,n) seg&&-
ralise, dans le cas dun systeme oti sexercent
n flux dissipatifs, sous une forme bilineaire par
rapport aux flux (telle Jq = q) et aux fo rces (par
exemple X4 = grad(l/T)). Les flux constituent des
quantites qui, contrairement aux forces (qui sont
des fonctions des variables d&at), demeurent
inconnues. Un developpement de Jq autour de
sa valeur dequilibre, Jz, = 0, permet decrire le
developpement lineaire suivant :
J4 z Lqq X4
(16)
et son identification avec la loi de Fourier (1)
conduit a prendre le coefficient phenomenologique :
Lq4 = X
T2.
La TPI admet done une relation lineaire
entre le flux de chaleur et le gradient de tempera-
ture, couramment connue comme &ant la loi de
Fourier.
829
-
7/25/2019 Chaleur Hyperbolique
5/10
5 Volz, M Lallemand, JB Saulnier
4
I LAPPORT DE LA THERMO-
DYNAMIQUE IRRhERSIBLE
ETENDUE
et pour lesquelles les termes de second ordre O(q.q)
sont negligeables.
En derivant lexpression (17) par rapport au
temps il vient :
Cest essentiellement dans le but dapporter a la
description thermodynamique des regimes de non-
equilibre un fondement saffranchissant de lhy -
pothese de lequil ibre thermodynamique local que
les batisseurs de la thermodynamique des proces-
sus u-reversibles Btendue (T IE) ont admis que len-
tropie est., non plus seulement fonction des varia-
bles independantes (T, p) ou (u, v), mais egalement
des flux dissipatifs, de sorte que lentropie secrit
S(u,w,q ,PV) oii P est le tenseur de pression vis-
queuse (Jou et al, 1993). La TIE constitue ainsi
une theorie mesoscopique dont le terrain dinvesti-
gation setend en de@ de la limite que represente
le volume Blementaire 6V, dans un domaine spatial
caracte rise par des dimensions de lordre de quel-
ques libres parcours moyens des phonons. Dans ces
conditions, la distribution des porteurs thermiques
peut seloigner de celle de lequilibre, puisque le
nombre des colli sions se reduit. La thermodyna-
mique &endue semble done pouvoir donner acces
aux petites Bchelles despace et de temps, pour les-
quelles lhypothese de lequ ilibre thermodynamique
local nest plus valable.
S=TPLti+2.q.Q
(20)
qui, associee a lequation de conservation de lener-
gie pti = -divq, conduit a identifier cette fois-ci la
production dentropie a :
u,s =q (grad( ) +2n$) (21)
Afln dassurer la linearite entre les flux et les
forces, et Bgalement de satisfa ire a la positi vite de
du taux de creation dentropie us, on est conduit a
Btablir la relation suivante :
grad $
( 1
+y=xq avecX>O
(22)
qui se ram&e a la relation (3) si lon pose :
)iE (XT)-
(23a)
et
--7
u=ZpXT
(23b)
en imposant a lequation de la chaleur la forme
hyperbolique (6).
4.1. LA TIE ET LA LOI DE VERNOTTE
4.2.
MODIFICATION DE L~QUATION
HYPERBOLIQUE
Dans un solide soumis a une transformation
isochore, la TIE propose la definition de lentropie
suivante :
s(w 21, ) = SPq(lL, 1)+ a q2
(17)
\
On peut auss i songer a etendre a lenergie interne la
dependance a legard des flux. Dans ces conditions
on part des deux equations couplees (Coleman et al,
1982 & 1986) :
ou sgq est lexpression de lentropie a lequilibre lo-
cal. A noter quen toute generalite le parametre u
peut i%re dependant de la temperature, mais, afin
de simp lifier lexpose, nous le supposerons indepen-
dant de celle -ci. Les grandeurs d&at classiques,
pression et temperature, ne pouvant 6tre utilisees
sans lhypothese de lbquil ibre thermodynamique lo-
cal, il nous faut done r&k -ire la temperature 0 et la
pression r de non-equilibre et selon les expressions :
s(u, w.q) = so + a q2
(24)
u=UO+bq2
(25)
ou b est egalement suppose independant de la
temperature. Cette extension amene aux equations
phenomenologique (5) et de conservation (dans le
cas monodimensionnel) :
et
En suivant les fondateurs de la
TIE, nous
pouvons nous limiter a des situations
du premier
ordre qui font apparaitre le developpement des
grandeurs 0 et R autour de leur valeur dequilibre
respective T et p :
(184
(18b)
8-l = T-(u, u) + O(q.q)
fT7r(u, II, q) = T-lp(u, 71) + O(q.q)
l3T
aq.72
pC,sdt+2bq.cj+x=0
(26)
On designe lequation (26) par lappellation dqua-
tion hyperbolique modifike (EHM). La comparaison
analytique fournie par ces trois modeles (EP, EH
et EHM), qui a ete realisee par Bai et Lavine
(1993), permet de montrer que IEHM conduit non
seulement a une vitesse finie de la chaleur, mais
assure aussi au systeme un comportement thermi-
que conforme au second principe, ce qui nest pas le
cas de lEH . Lanalyse de ces auteurs sappuie tout
a la fois sur lequation (26) et sur une revision des
conditions thermiques aux limites applicables aux
nano/micro-objets.
830
-
7/25/2019 Chaleur Hyperbolique
6/10
Analyse de la conduction de la chaleur aux temps ultra-courts
4.3. CONDITION DE SAUTS DE TEMPERATUR E
AUX LIMITES
Aux nanolmicro-echelles, lorsque lhypothese du mi-
lieu continu perd sa validite , de nouvelles conditions
aux limites thermiques issues de la theorie cineti-
que doivent se substituer a la description macro-
scopique standard. Bai et Lavine (1993) ont discute
de plusieurs possib ilites, et notamment du modele
de transfert radiatif de phonons, du modele des
gaz rarefies, ainsi que du modele de resistance de
Kapitza.
Le modele issu de lequation de transfert des
phonons sapparente a celui de la theorie de
lequilibre radiatif des photons ; ses conclusions sont
familie res en transfert par rayonnement pur au sein
des milieux absorbants-emettants. Ainsi, pour un
mur conductif horde de dew frontieres isothermes,
apparait un saut de temperature separant celle
de la frontier-e de celle dun point immediatement
voisin du milieu. On retrouve a la limite de Casimir
(Casim ir, 1938) des transferts de chaleur dus aux
Cchanges a distance de phonons Bmis par des
interfaces de temperatures differentes (transport
balistique).
Le modele de gaz rarefie correspond a limpact
dun gaz sur une paroi, suite auquel certaines
molecules, apres reflexion, repartent avec leur
temperature initiale , alors que dautres peuvent
quitter la paroi avec la temperature de celle -ci
(phenomene daccommodation).
Le modele de Kapitza est associe a une in-
terpretation en termes de phonons de la resis-
tance thermique aux interfaces solides . 11 corres-
pond au fait quune interface possede la possib ilite
de transmettre les phonons incidents, et ce par deux
mecanismes, avec ou saris diffusion, des phonons,
dependant des proprietes acoustiques des milieux
en contact.
Ces trois aspects du transfer-t thermique aux
limites ont un point commun, celui de prevoir aux
interfaces lexistence de sauts de temperature et de
flux, et determinent des solutions de lequation (26)
possedant un sens physique, en particu lier saris
temperatures inferieures au zero absolu.
Si lon souhaite apprecier la validite des divers
modeles, il semble difficile dutiliser des elements
des theories thermodynamiques pour les equations
gouvernant le transfer-t, qui ne peuvent Btre que
dordre empirique et macroscopique, et des theo-
ries cinetiques pour les conditions aux limites. 11
convient done de se referer a un niveau descrip tif
en amont de celui de la thermodynamique. Dans ce
but nous nous proposons de co&-onter les predic-
tions de ces trois equations de la chaleur a celles
obtenues par la technique de la dynamique molecu-
laire du non-equilibre. Les experiences numeriques
quelle per-met deffectuer dans des milieux sim-
ples simulent, en effet, des transferts de chaleur
repondant a des contraintes thermiques bien deter-
minces, et ses resultats restent encore les seuls qui
peuvent Qtre compares aux solutions fournies par
les modeles continus pour des conditions initiales
et aux limites identiques.
5 I DYNAMIQUE MOLiCULAIRE
ET MODtLES MACROSCOPIQUES
5.1. LA TECHNIQUE DE LA DYNAMIQUE
MOLkULAIRE
La technique de la dynamique moleculaire consiste
a determiner au tours du temps, a laide des Bqua-
tions de la mecanique hamiltonienne, la position
r, et la vitesse vi de chacun des atomes dun
systeme de N particules constituant lechantillon
solide Btudie et interagissant selon une loi de force
realiste. En permettant, dans le cas de lequilib re, la
determination des grandeurs thermodynamiques,
et dans des situations de nondquilibre, celle de
champs de temperature et de flux de chaleur, elle
constitue une approche purement mecanique des
sciences thermiques (Volz, 1996). Nous lavons mise
en ceuvre dans le cas mur fini (de volume constant)
constitue par un cristal dargon de masse volumique
p = 2 380 kg.mP3 et de temperature initiale dequi-
libre T = 72 K, soumis a un echelon de temperature
sur lune de ses faces.
La temperature dun sous-ensemble quelconque
de N particules de masse M se deduit alors du
theoreme dequipartition de lenergie sous la forme :
N 1
;(N- l)k.~T=x ,Mv,z
(27)
t=l
ou kg est la constante de Boltzmann. Lenergie
interne E du systeme secrit simplement comme
la somme de lenergie cinetique et de lenergie
potentielle :
(rzj) figurant 16nergie potentielle dinteraction
entre les particules i et j.
Dans lexemple traite ci-apres nous considere-
rons une assemblee de N = 6 000 atomes dargon
disposes dans une structure tridimensionnelle et
interagissant selon un potentiel de paire additif de
Lennard-Jones (6-12) :
d(Q) = 4E [ ($- ($1 (29)
(oti &/kB = 119,8 K et CT 0,3405 nm), au sein dun
reseau de structure cubique face centree parfait.
831
-
7/25/2019 Chaleur Hyperbolique
7/10
S Volz, M Lallemand, JB Saulnier
5.2. LEXP~RIENCE DE LAPPLICATION
DE L iCHELON DE TEMPkRA TURE
On considtire un solide cristallin isolC par deux pa-
rois adiabatiques (les atomes des plans extrgmes
sont fix&). Afin de simuler lexp&ience consis-
tant B appliquer un Echelon de tempkrature sur
la face dun solide, le cristal est divid en deux
sous-syst&mes - par dew plans (001) - contenant
chacun le m&me nombre de particules et initia le-
ment temperatures uniformes contr816es par la
technique des thermostats de No&-Hoover (No&,
1984 ; Hoover, 1985). Leurs temperatures rbduites
sont
T
=
T
ICB/E=
0,55
pour lun et
T* = 0.89
pour lautre. Au temps rbduit t = 20 (en unit&
Ma II2
7-n=
C-1
= 2,16 ps), laction des deux ther-
E
mostats est interrompue, afin de laisser les dew
sous-syst8mes atteindre leur tempkrature hors
contrainte des thermostats. Au temps t* = 2ti les
deux sous-systtimes sont ensuite mis en contact,
en remettant en interaction avec leur voisines les
particules , jusque-lh immobiles, qui constituaient la
front&e de skparation. Cest cette derni&re op6ra-
tion, et la relaxation thermique qui sensuit , qui
est assimilee & laction dun Echelon de tempkrature
appliquk 21 a surface dun des dew Bchantillons.
Obvolution de la temperature de chaque partie
sera obtenue en calculant T*(z*. t*) par (27) sur
une tranche de 100 atomes pendant un interva lle
de temps de O,O2 TO. La figure 2 illust re, dans une
reprbsentation temps-espace (2*,
t),
les r&ultats
obtenus pour le champ de tempbrature, les deux
r&ervoirs isothermes ayant une rangee datomes
commune en Z* = 28. On note sur cette figure la
quasi-isothermicitk de la zone mkdiane &
T* = 0,?2,
20 0.9 0.8
0.9
0.9 ., .I'0 *;
0.9
C.8 0.9
0.9 0.7
0 / ,,
20 25 30 35
40
t*
Fig 2. lsothermes T* duns le plan (x*, t*). Duns Iinterv alle
de temps [t = 20, t* = 261 /es deux sous-systt mes
demeurent en equilibre ti deux tempkatures diffirentes
(T* = 0,89 et T* = 0,55) puis d /instant t+ = 26, la
cloison de kpararion est retirke.
Fig 2. Isotherms in (x*, t) coordinates. In the time interval
[t = 20, t* = 261, the two subsystems are in equilibrium
at two different temperatures (T* = 0.89 and T* = 0.55).
At time
t*
= 26, the separating wall is removed.
justifiant notre mbthode de simulation de lapp lica-
tion dun Echelon de temperature sur la face dun
mur.
Cependant, afin de pouvoir comparer les solu-
tions continues et les rhsultats de simulation, il
est nbcessaire de connaitre les propri&s thermo-
physiques du solide, B savoir sa conductivite ther-
mique X, sa capacitC thermique massique C,, le
temps de relaxation de Vernotte T et ce, dans les
conditions CtudiBes. Des experiences de dynamique
mol&ulaire prCalables effect&es dans les condi-
tions dhquilibre thermodynamique ont d6montr6
legalit6 entre le temps de relaxation moyen des
phonons calcu lC au sens de 16quation de Bol tz-
mann (Vo lz et al, 1996) et le temps de relaxation 7
du flux de chaleur (cf kquation (5)), et ont permis de
dCterminer la valeur de la conductivite thermique X
dans des conditions thermodynamiques proches de
celles de lexp&ience. Ainsi, & T = 66 K, les valeurs
suivantes ont BtC trouvees (a = 0,3405 nm) :
x = 357 k~/UT(, C,. = 2,8 ko/M
7 = 1,ll 7-c,
soit, en unit6 internationales :
X = 6,71 W.m~-.KP C,. = 582 J.kg-.K-
T = 2,4Ops
correspondant, pour p = 2 380 kg.rn-j, B une valeur
de la diffus ivitk a = 4.1.10- m2.se1.
5.3. COMPARAISON DES R~SULTATS
Sur la
figure
3 ont BtC rassemblees les Bvolutions
temporelles de 16nergie totale
E
calculee & partir
8 0 0 7
-
-2-L _iu_.L
0 0.5
1
1.5 2 2.5 3 3.5 4
t*
Fig 3. %olution temporelle de Idnergie interne dun mur
semi-in fini soumis d un tchelon de tempkrature, sirnuke d
laide du modkle de la dynamique moltculaire. Lknergie
interne calculke en terme de variables microscopiques
(trait p lein) et d parrir de la temp&at ure (trait inrerrompu)
a iti rep&e&e pour un ichelon de temperature de faible
amplitude (AT = 0,14, traits fins) ef de forte amplitude
(AT* = 1,46).
Fig 3. Time dependent internal energy of a semi-infinite
wall submitted to a temperature step computed by
molecula r dynamics. The interna l energy calculated in
terms of the microscopic variables (solid) and as a function
of temperature (dashed) was represented in the case of
a temperature step of high (AT* = 1.46, thick) and low
(AT* = 0.14, thin) amplitudes.
832
-
7/25/2019 Chaleur Hyperbolique
8/10
Analyse de la conduction de la chaleur aux temps ultra-courts
de la relation (29) dune part, et du terme p V CV T
(V &ant le volume de lechantillon simule et T(t)
la moyenne spatiale de la temperature dans tout
lechantillon) correspondant a lenergie interne dans
le cas de valeurs Blevee (AT* = 1,46) et faible
(AT* = 0,14) de la difference de temperature entre
les deux reservoi rs dautre part. Ces profils ont
ete obtenus a laide de simulations de la dynamique
moleculaire . On peut constater que les dew signaux
sont quasiment superposes, ce qui nous amene a
conclure quant a legalite de ces deux grandeurs et
a linu tilite de la redefinition de lenergie interne
-
cf equation (25).
11 est opportun de comparer les reponses des
modeles continus a celles obtenues par la technique
de la dynamique molecula ire du non-bquilibre que
lon vient de d&ire, et ceci dans le cas dbtude
consider& cest-a-dire celui dun systeme constitue
dun solide homogene, initialement isotherme, sou-
mis a un echelon de temperature.
Une solution analytique a lequation de conser-
vation de lenergie - &rite sous sa forme hyperbo-
lique (6) - lorsque une variation de temperature
TO+ AT est imposee sur la surface du mur homo-
gene semi- infini (initialement a la temperature To)
peut etre obtenue en utilisant la transformation de
Laplace. Elle conduit a la solution en temperature
T H suivante (Baumeister et Hamil l, 1971) :
t
uo = 27 - To
AT = H(uo -X)
ul
Cx + X
i J
e?
11 (A--q
0
&Fze
d2L
1
(30)
ou Ii est la fonction de Bess el dordre un, H la
fonction de Heaviside et U la vitesse de la chaleur :
U=
d-
5. La solution du mur semi-inf ini est ici
retenuelar le front du signal hyperbolique natteint
pas la face arriere (dans la duke de lexperience de
DM t = 3,6 7, le signal atteint labscisse z = 2,08 A).
Quant a la solution du probleme parabolique pour
le mur fini, elle a Bte obtenue par Carslaw et Jaeger
(1993).
La figure 4 represente lisotherme T = 72 K
(T* = 0,601 dans le plan spatio-temporel (X,~LO =
A), obtenue selon les approches macroscopiques
paraboliques pour le mur fini (Pl) et semi-infini
(P2, don&e par la solution (211, selon lapproche
hyperbolique (H), ainsi qua partir des resultats de
la dynamique molecula ire (rep&-es DM). A noter
que :
- le modele EH ne permet une representation
de cette isotherme qua partir du moment ou
lamplitude du front de discontinuite thermique
atteint cette temperature @g 3) ;
- les isothermes (P l) dune part et (H) dautre
part semblent diverger pour les temps longs, car
le front du signal hyperbolique natteint pas la
face arriere dans le temps imparti h lexperience ;
dans ces conditions, la face arriere, qui occasionne
1.4
1.2
1
Q 0.8
2
2
&
0.6
0.4
f,,q ,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,I,, L
0
0.2 0.4 0.6 0.6 1 1.2 1.4 1.6 1.6
t/27
Fig 4. lsotherme T = 72 K duns le plan (x,uo) se/on IE P
(PI mur semi-infini ; P2 mur fini), IEHC (H) et Iexptrience
de /a figure 2 (MD).
Fig 4. Isotherm T = 72 K in the (x*, uo) plane according
to the oarabolic eauation (Pl semi-infinite wall : P2 finite
wall), tb the condktive hyperbolic equation (Hj and the
experiment of figure 2 (MD).
une accumulation denergie thermique dans le cas
du signal parabolique, ninfluence pas la reponse
hyperbolique ;
-
une difference nette de comportement distin -
gue pour les temps inferieurs a quelques valeurs
de 7 les resultats de la dynamique molecula ire de
ceux des modeles continus ; il convient cependant
de se rememorer que dans ce domaine temporel, les
distances de propagation thermique mises en jeu
sont tres faibles (z est compris entre 0 et 1,15 A),
de sorte quaux petites Bchelles spatiales, la validite
de lhypothese de milieu continu, et par consequent
celle des equations parabolique et hyperbolique,
nest plus assuree. Par ailleurs, la relative bonne
convergence des isothermes (PZ) , (H) et (MD) tend
a montrer que la reponse thermique predite par
la dynamique molecula ire reste independante de
lexistence de la face arriere du mur dans la duke
observee.
Ainsi, par linter-comparaison des resultats
modeles/exp&iences, il apparait quaux temps
ultra-courts aucun modele continu nest satisfai-
sant. Ces divergences peuvent trouver leur explica-
tion dans le fait que les modeles macroscopiques ne
prennent pas en compte le comportement thermique
aux conditions limites, qui depend principalement
dune physique des petites Bchelles despace. Ce
point de vue, amen6 par lanalyse de Bai et La-
vine (1993), est appuye par les resultats obtenus
en dynamique moleculaire, puisque ces derniers va-
rient selon la faGon particulie re dont les conditions
aux limites sont physiquement imposees du point
de vue microscopique (Volz, 1996).
De sorte que pour ces Bche lles spatio-temporelles
extremes de transfer-t par conduction entre deux
sous-microsystemes de taille
d
x A aux temps t < r,
la comparaison des modeles de transfer% de cha-
leur avec lexperimentation necessite soit la prise
en compte dans les modeles des processus micro-
scopiques reels dinteraction a linterface des sous-
833
-
7/25/2019 Chaleur Hyperbolique
9/10
S Volz, M Lallemand, JB Saulnier
systemes thermiques consider&, soit la realisation
dexperiences ou sont assurees les conditions limites
et initia les theoriques des modeles macroscopiques.
6
I CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
Bien quon ait demontre la coherence existant
entre la loi de Fourier - conduisant a lequation
parabolique de la chaleur (EP ) - et la theorie de la
TPI, les insuffisances de cette description classique,
en particu lier pour ce qui concerne lanalyse des
petites Bche lles de temps et despace, nous ont
amen& a prendre en compte une ecriture plus
complete faisant intervenir dans un premier temps
la dependance quadratique de lentropie au flux
de chaleur (TIE), puis y ajoutant la dependance
a lenergie interne dans un second temps. Ce
dernier modele conduit alors & une equation de
bilan hyperbolique dite modifiee (EHM).
Le formalisme de la TIE, qui saffranchit de
lhypothese de lequ ilibre thermodynamique local
et qui est, de plus, compatible avec lequation
de Vernotte, a permis de proposer une solution
au paradoxe de la propagation instantanee de
la chaleur, mais aboutit cependant a un second
paradoxe, puisque certaines situations sopposent
aux prescript ions du second principe (Ba i et Lavine,
1993).
Afm de departager les modeles, la confronta-
tion avec lexperimentation devrait jouer un role
determinant. Cependant, celle-ci fait intervenir des
echelles de temps et despace a ce point reduites quil
est encore trop diffi cile de mesurer une tempera-
ture ou un flux de chaleur dans ces conditions.
Neanmoins les recherches actives de Goodson et
Ashegh i (1996) en thermometric h champ proche et
de Majumdar et al (1992) en imagerie par micro -
scopie a force atomique ouvrent des voies experi-
mentales prometteuses pour la thermique des nano-
structures.
La voie de la simulation directe, telle celle uti-
lisant la technique de la dynamique molecula ire,
sest averee ici interessante en permettant dbcar-
ter les hypotheses menant a lequation hyperbo-
lique modifiee et de contester les resultats issus
de lequation hyperbolique simple. En outre elle a
connu quelques succes dans lapproche des trans-
ferts aux temps courts en donnant acces aux valeurs
du temps de relaxation du flux de chaleur. Elle ne
semble cependant pas encore etre en mesure de
permettre de trancher quant a la phenomenologie
a retenir.
R kF eR EN C ES
Bai C, Lavine AS (1993) Thermal boundary conditions for
hyperbolic heat conduction. In:
Heat
Transfer on the
Microscale, ASME, HTD, voi 253, 37-44
Baumeis ter KJ, Ham ill TD (1971) Hyperbolic heat conduc-
tion equation - a solution for the semi-infinite body
problem. J Heat Trans-TASME 93, 126-l 28
Carslaw HS, Jaeger JC (1993) Conduct ion ofHeat in Solids .
Oxford Science Publishers
Casimir HBG (1938)Note on the conduction of heat in
crystal. Physica 5, 495-500
Cattaneo C (1958) A form of heat conduction equation
which eliminates the paradox of instantaneous propa-
gation. CR Acad Sci 247, 431-433
Chen C (1995) Heat transfer in micro- and nanoscale
photonic devices. Annu Rev Heat Transfer VII
Coleman BD et al (1982) On the thermodynamics of
second sound in dielectric crystal. Arch Ration Mec h
An 80, 132-l 58
Coleman BD et al (1986) Stability of equilibrium for a non-
linear hyperbolic system describing heat propaga tion
by second sound in solids. Arch R ation Mech An 94,
267-289
Flik MI, Choi BI, Coodson KE (1992) Heat transfer regimes
in microstructures. J Heat Trans-T ASM E 1 14, 666-674
Glansdorff P, Prigo gine I (1971) Structure stab/it& et
fluctuations. Masson, Paris
Coodson KE, Asheghi M (1996) Near-field optical ther-
mometry. In : US-Japan Joint Meeting on Molecular
and Microscale Transport Phenomena, Santa Barbara,
California
Hoover WC (1985) Phys Rev A 31, 1965
Jou D, Casas-Vazquez J, Lebon C (1993) Extended irre-
versible thermodynamics. Springer-V erlag, Berlin
Majumdar A (1993) Microscale heat conduction in dielec-
tric thin films. J Heat Trans-TASME 1 15, 7-16
Majumdar A, Carrejo JP, Lal J (1992) Thermal imaging
using the atomic force microscope. App l Phys Lett 62,
2501-2503
Nose S (1984) MO/ Phys 52, 255
Ozisik MN, Tzou DY (1992) On the wave theory in heat
conduction. In : Fundamental Issues in Small Scale Heat
Transfert, ASME, HTD, vol 227
Tien CL, Chen C (1994) Challen ges in microscale conduc-
tive and radiative heat transfer. J Heat Trans-T ASM E
1 16, 799-807
Tzou DY (1990) The thermal shock wave induced by a
moving front. Int J Heat Mass Tran 3 3, 877-885
Tzou DY (1995) A unified field approach for heat
conduction from macro- to microscales. J Heat Trans-
TASME 117, 8-16
Vernotte P (1958) Les paradoxes de la theorie continue de
Iequation de la chaleur. CR Acad Sci 246, 3 154-3 155
Volz S (1996) Transfert de chaleur aux temps ultra-courts
par la technique de la dynamique moleculaire. These
de doctorat, Universite de Poitiers
Volz 5, Saulnier JB, Lallemand M, Perrin B, Depondt P,
Mareschal M (1996) Transient Fouriers law deviatio n
by molecula r dynamics in solid argon. Phys Rev 61 54,
340-347
834
-
7/25/2019 Chaleur Hyperbolique
10/10
Analyse de la conduction de la chaleur aux temps ultra-courts
ABRIDGED ENGLISH VERSION
Analysis
of
short time heat conduction in solids by extended
irreversible thermodynamics and molecular dynamics
Interests towards time and space microscale heat
transfer have increased continuously since the mi-
niaturisation of chips (semi-conductor technology);
the improvement of data storage capac ities and op-
toelectron ic device use and fabrication has become
an industrial challenge.
In thermal engineering, the Cattaneo-Vernotte
relation and the associated energy equation, the
Conductive Hyperbolic Equation (CHE), are com-
monly accepted as the correct model desc ribing short
time heat transfers. But no experimental proof of any
sort has already been presented to fund such an em-
pirical and macroscopic model.
We explore first the thermodynamical hypothesis
responsible for the evident defects of the Fourier
Law: the instantaneous heat propagation and the
local thermodynamic equilibrium (LTE) hypothesis.
Accord ing to the Extended Irreversible Thermody-
namics (EIT) (Jou et al, 1993), one postulates that
entropy depends not only on two state variables but
also on the heat flux. The derived constitutive equa-
tion appears to be in agreement with the CV model.
In those conditions, the heat veloc ity remains finite
and the LTE assumption is not necessary. Following
Coleman and a l (1982 & 1986), we also use an inter-
nal energy definition including the temperature and
the heat flux. A new energy equation is obtained: the
Modified Hyperbolic Equation (MHE).
In order to give the MHE and the CHE a micro-
scopic basis, we performed a numerical experiment
using the molecular dynamics (MD) technique. The
experiment consists of dividing an isolated argon
sample into two subsystems set to two different
equilibrium temperatures. When removing the sepa-
rating plane, we consider that at the beginning, the
area of lowest temperature can be assimilated to a
wall submitted to a temperature step.
It was shown that:
i) the internal energy is accurately estimated
thanks to its clas sica l definition; therefore the MHE
model seems to be incorrectly funded;
ii) none of the MD results can reproduce the
predictions of the CHE;
iii) the microscopic simulation of the macroscopic
boundary conditions seem to largely determine
the ulterior heat propagation behaviour; therefore
we think that a better understanding of the real
microscopic heat processes at the interfaces should
be studied.
835
top related