capitol ul 05
Post on 07-Jul-2018
221 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
1/28
Sorin VLASE 1
Capitolul 5
CENTRE DE GREUTATE (MASĂ)
5.1. Centrul de greutate (masă) al unui sistem de puncte materiale
Să considerăm un sistem de puncte materiale nPPP ,,, 21 K având vectorii de poziie nr r r
r
K
r r
,, 21 şi de greutăi respectiv
nGGG ,,, 21 K . Greutăile formând un sistem de fore paralele,rezultanta nGGGG +++= K21 poate fi aplicată în centrul forelor
paralele a cărui vector de poziie este dat de relaia:
∑
∑
=
==
n
i
i
n
i
ii
C
G
Gr
r
1
1
r
r
, (5.1)
inând seama că gmG iir
r
= se obine:
m
r m
m
r m
gm
gmr
r
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
C
∑
∑
∑
∑
∑ =
=
=
=
====
1
1
1
1
1
r r r
r
.
(5.2)deci centrul de greutate depinde de distribuia maselor situate înpunctele
iP de unde denumirea de centru de masă. Într-un sistem de
referină cartezian acesta va avea coordonatele:
m
zm
zm
ym
ym
xm
x
n
i
ii
C
n
i
ii
C
n
i
ii
C
∑∑∑===
===111 ;; (5.3)
5.2.Centrul de greutate (masă) al unui solid
În cazul unui corp continuu, îl vom considera divizat în volume
elementare care au masa im∆
. Vectorul de poziie al centrului degreutate este dat de:
Fig.5.1. Centrul de masă al
sistemelor de puncte
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
http://www.docudesk.com/http://www.docudesk.com/
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
2/28
2 MECANICĂ. STATICA
∑
∑
=
=
∆
∆
=n
i
i
n
i
ii
C
m
r m
r
1
1
r
r
.
Dacă facem ca elementele de masă să devină din ce în ce mai mici, lalimită, sumele reprezintă sumeRiemann, deci se va putea scrie:
m
dmr
dm
dmr
r D
D
D
C
∫
∫
∫==
r r
r
(5.4)
cu componentele:
m
zdm
zm
ydm
ym
xdm
x DC
D
C
D
C
∫∫∫=== ;; (5.5)
5.3. Momente statice
Se numeşte moment static şi se notează cu S r
mărimea:
∫ ∫∫∫
+
+
==
R R R R
k zdm j ydmi xdmdmr S r r r
r
r
(5.6)
cu componentele:
∫∫∫ === R
z
R
y
R
x zdmS ydmS xdmS ;; (5.7)
Atunci centrul de masă va avea expresia:
Fig.5.2. Centru de greutate al
rigidului
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
3/28
Sorin VLASE 3
m
S
m
dmr
r RC
r
r
r
==
∫ (5.8)
cu componentele:
m
S z
m
S y
m
S x z
C
y
C
x
C === ;; (5.9)
Momentele statice dau o măsură a distribuiei maselor în spaiu.
5.4. Formule pentru determinarea poziiei centrelor de greutate
În general, dacă rigidul are o densitate variabilă ρ(x,y,z) , inându-seseama de relaia dV dm ⋅= ρ unde dV reprezintă elementul de volum,va rezulta:
∫
∫
⋅
⋅⋅
=
D
D
C
dV
dV r
r ρ
ρ r
r
(5.10)
cu componentele:
∫
∫
∫
∫
∫
∫
⋅
=
⋅
=
⋅
=
D
D
C
D
D
C
D
D
C
dV
dV z
zdV
dV y
ydV
dV x
x ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
;; (5.11)
Dacă avem de-a face cu un corp omogen, deoarece ct = ρ , se obine:
V
dV r
V
dV r
r D DC
∫∫ ⋅=
⋅
⋅⋅
=
r r
r
ρ
ρ
(5.12)
cu componentele:
V
zdV
zV
ydV
yV
xdV
x DC D
C
D
C
∫∫∫=== ;; . (5.13)
În cazul în care avem de-a face cu plăci omogene de grosime constantă t(fig.5.3), se poate scrie dV = t dS şi atunci se obine:
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
4/28
4 MECANICĂ. STATICA
S
dS r
r DC
∫ ⋅=
r
r
(5.14)
cu componentele:
S
zdS
zS
ydS
yS
xdS
x DC
D
C
D
C
∫∫∫=== ;; (5.15)
Fig.5.3 Fig.5.4
În sfârşit, dacă se consideră o bară omogenă de seciune constantă S (fig.5.4), se poate scrie dV = S dL iar centrul de greutate va fi dat de:
L
dLr
r DC
∫=
r
r
(5.16)
cu componentele:
L
zdL
z L
ydL
y L
xdL
x DC
DC
DC ∫∫∫ === ;; (5.17)
5.5. Proprietăile centrelor de greutate (masă)
O serie de proprietăi care se demonstrează uşor uşurează calcululpoziiei centrului de greutate (masă).
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
5/28
Sorin VLASE 5
• dacă toate masele punctelor se multiplică cu acelaşi scalar, poziiacentrului nu se schimbă (un corp omogen are acelaşi centru degreutate indiferent de matrialul din care este confecionat).
• dacă toate punctele unui sistem material se află pe o dreaptă sau într-un plan, centrul de masă este situat pe acea dreaptă sau în acelplan.
• dacă un sistem material are un plan de simetrie, centrul de masă seaflă în acel plan de simetrie.
• dacă un sistem de puncte admite o axă de simetrie, centrul de masă se află pe acea axă de simetrie.
• dacă un sistem de puncte materiale admite un centru de simetrie,
acesta va fi centrul de masă (exemplu: sfera are centrul de masă încentrul ei).• centrul de greutate (masă), fiind centrul unor fore paralele se
bucură de toate proprietăile enunate pentru acesta, inclusiv deaceea că nu depinde de sistemul de coordonate ales ci doar dedistribuia relativă a punctelor materiale componente.
5.6. Calculul poziiei centrelor de greutate (masă)
Bar ă. Pentru o bară dreaptă, cu seciune constantă, alcătuită dintr-unmaterial omogen, din considerentele de simetrie enunate mai sus,centrulde masă se va găsi în centrul ei.Triunghi. Un triunghi poate fi conceput ca fiind alcătuit din bare degrosime infinitezimală (fig.5.5). Pentrufiecare astfel de bară centrul de greutatese va afla la mijlocul ei. Dacă unimtoate aceste puncte se obine medianatriunghiului. Rezultă că centrul degreutate al triunghiului trebuie să segăsească pe mediana lui. Raionamentulpoate fi aplicat şi pentru celelalte două laturi ale triunghiului. Va rezulta că centrul de masă se găseste la interseciamedianelor. Din geometria analitică se ştie că pentru a determinacoordonatele acestui punct putem folosi relaiile:
Fig.5.5. Centrul de greutate se
a lă e mediană
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
6/28
6 MECANICĂ. STATICA
3
;3
321
321
y y y y
x x x x
C
C
++
=
++=
unde i x şi i y reprezintă coordonatele vârfului i altriunghiului.
Se cunoaşte că intersecia medianelor se află la o treime de bază şi două
treimi de vârf. Putem folosi acestă observaie pentru a determina poziiacentrului de masă pentru un triunghi dreptunghic. Astfel dacă împărimcele două catete în trei pări şi ducem paralele la ele prin punctele caredetermina prima treime a fiecărei catete, atunci punctul de intersecie alcelor două paralele ne va da centrul de masă (fig.5.6).
Dreptunghi. Pentru dreptunghi (şi paralelogram), datorită simetriei,centrul de masă se va găsi în
centrul de simetrie deci laintersecia diagonalelor(fig.5.7). Dacă dreptunghiul(paralelogramul) are oorientare oarecare în spaiu,iar ),( ii y x sunt coordonate-le vârfurilor, luate într-oordine de parcurgere orară
sau antiorară, atunci coordonatele centrului de greutate sunt date deformulele:
.22
;22
4231
4231
y y y y y
x x x x x
C
C
+=
+=
+=
+=
Arc de cerc. Pentru un arc de cerc dinfig.5.8, datorită simetriei, avem
Fig.5.6. Centrul de greutate al
triunghiului
Fig.5.7. Centrul de greutate al dreptunghiului
Fig.5.8. Centrul de greutate al
arcului de cerc
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
7/28
Sorin VLASE 7
0=C x . Rămâne de calculat C y . Avem:
L
ydL
yC
∫=
Se observă că avem relaiile: θ cos R y = ; θ Rd dl = . Unghiul θ are ovariaie de la - α până la α, deci putem scrie:
α
α
θ
θ θ
α
α
α
α sincos
R
Rd
d R
yC ==
∫
∫
−
−
În cazul când avem de calculat centrul de masă a unei jumătăi dincircumferina unui cerc (fig.5.9), în formula anterioară facem α = π /2 şi se obine:
π π
π R
R yC
2
2
2sin
==
Dacă avem unsfert de
circumferină,atunci alegândsistemul de axeca în fig.5.9.b
putem scrieC C
y x = .Coordonata
C Y
a centrului degreutate faă de
o axă OY care este prima bisectoare va fi:
π π
π R
RY C
22
4
4sin
==
Fig.5.9. Centrul de greutate pentru jumătate,respectiv un sfert de circumferin ă
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
8/28
8 MECANICĂ. STATICA
iar coordonatele centrului de masă sunt:
π
π RY y x
C C C
2
4cos ===
Sector de cerc. Pentru coordonateC
x a centrului de masă, din cauzasimetriei se va putea scrie(fig.5.10):
C x = 0. Pentru
C y se va utilize
formula:
∫∫
=
dA
ydA y
C .
Alegem elementul de arie unsector de cerc cu deschidereainfinitezimală θ d . Aria acestuisector (asimilabil cu un
triunghi) va fi: θ Rd RdA ⋅=2
1
iar coordonata centrului de masă θ cos32
⋅= R yC . Unghiul θ are ovariaie de la -α până la α. Atunci:
α
α
θ
θ θ
α
α
α
α sin
3
2
2
1
2
1cos
3
2
2
2
R
d R
d R R
yC =
⋅
=
∫
∫
−
−
În cazul când avem de calculat centrul de masă a unei jumătăi dindiscul din fig.5.11.a, în formula anterioară facem
2
π α = şi se obine:
π π
π
3
4
2
2sin
3
2 R R y
C == .
Fig.5.10. Centrul de greutate al
sectorului de cerc
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
9/28
Sorin VLASE 9
Dacă avemun sfert decircumferină atuncialegândsistemul deaxe ca înfig.5.11.bputemscrie
C C Y X = .
Coordonata
C Y acentrului de greutate faă de o axă OY care este prima bisectoare va fi:
π π
π
3
24
4
4sin
3
2 R RY
C == ,
iar coordonatele centrului de masă sunt:
π
π
3
4
4cos
RY y x
C C C === .
Sfert de elipsă. Pentrucalculul centrului degreutate ale sfertului dinelipsă de semiaxe a şi b
este convenabil a folosicoordonatele polaregeneralizate. Decif ăcând schimbarea decoordonate:
θ ρ θ ρ sin;cos b ya == ,elementul de arie dA poate fi scris:
.θ ρ ρ θ ρ d d bad Jd dydxdA ⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅=
Fig.5.11. Centrul de greutate pentru
jumătate, respectiv un sfert de disc
Fig. 5.12. Transformarea domeniului prin
utilizarea coordonatelor polare
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
10/28
10 MECANICĂ. STATICA
Sfertul de elipsă definit de ecuaiile:
0,0
,12
2
2
2
>>
=+
y x
b
y
a
x
devine: ρ = 1 , ]2
,0[ π
θ ∈ ,
iar coordonatele centrului de masă vor fi date de:
==
∫∫
dA
xdA x
C =
∫∫∫∫
θ ρ ρ
θ ρ ρ θ ρ
d d ab
d d aba cos=
∫ ∫
∫ ∫
1
0
2
0
1
0
2
0
2
d
dcos
π
π
θ ρ ρ
θ θ ρ ρ
d
d
aπ 3
4a
şi în mod analog:π 3
4b yC = .
Calota sferică. Din cauza simetriei seobine imediat: 0==
C C y x . Mai
departe avem:
∫∫=
dA
zdA z
C .
Se va alege elementul de arie ca înfigură, deci care ar putea fi asimilată cu o fâşie de lungime 2π r şi grosime dL deci de arie: dA = 2 π r dL . Dacă se notează unghiul care determină elementul de arie cu θ şi
variaia lui cu d θ , atunci se obine:
,sin2,cos
,sin,2 θ θ π θ
θ θ
d RdA R z
Rr d RdL
==
=⋅=
unde R este raza calotei sferice. Se obine:
Fig.5.13. Centrul de greutate al
calotei s erice
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
11/28
Sorin VLASE 11
=
−
−==
∫
∫α
α
α
α
θ
θ
θ θ π
θ θ π θ
0
0
0
2
0
2
2cos
2cos
4sin2
sin2cos R
d R
d R R
zC
2cos
2sin4
sin
cos1
2cos1
42
2
2 θ
α
α
α
α R
R R==
−
−=
Dacă se consideră o jumătate din suprafaa unei sfere, se obine:
22cos2
R R zC ==
π .
Semisfera plină. Să considerăm o semisferă de rază egală cu R . Dinconsiderente de simetrie rezultă imediat: 0==
C C y x (centrul de masă
se va găsi pe axa Oz) . Se alege elementul de volum ca în fig. 5.14, lacota z .El poate fi asimilat cu un cilindru derază egală cu 22 z Rr −= şi grosimedz . Centrul de masă va fi determinat curelaia:
R
dz z R
dz z R z
dzr
dzr z
V
zdV z
R
R
C 8
3
)(
)(
0
22
0
22
2
2
=
−
−
===
∫
∫
∫∫∫π
π
Optime de elipsoid . Dacă se alegcoordonatele sferice:
θ ρ
ϕ θ ρ
ϕ θ
cos
;sinsin
;cossin
c z
b y
a x
=
=
=
inând seama de formula Jacobianului înacest caz:
Fig.5.14. Centrul de greutate al
semisferei
Fig.5.15.Centrul de greutate al
optimii de elipsoid
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
12/28
12 MECANICĂ. STATICA
ϕ θ ρ θ ρ d d d dV ⋅⋅⋅= sin2 ,integrala triplă se transformă în trei integrale simple, obinându-se înfinal:
.8
3;
8
3;
8
3c zb ya x C C C ===
Con circular drept. Con. Să consideră un con circular drept cu razacercului de bază R şi cu înălimea H. Din considerente de simetrie
0== C C y x . Pentru calculul lui C z se alege un element de volum dV la înălimea z ca în fig. 5.16 , asimilabil cu un cilidru de rază r şi
înălime dz. Avem, din asemănare:
H
z H
R
r −=
de unde:
)( z H H
Rr −= .
Putem calcula acum:
4
)(3
3
31
320
22
2
2
2
H
H R
dz z H z R
H R
dzr z
H R
zdV
z
R
C
=
−
=
=⋅
⋅
==
∫
∫∫π
π
π
deci centrul de masă se va găsi la o pătrime din înălimea de bază.
Rezultatul rămâne valabil şi dacă conul nu este circular sau drept.
Piramida regulat ă dreapt ă. Piramida. Pentru o piramidă, aplicându-seaceleaşi raionamente ca în cazul conului se va obine acelaşi rezultat:
4
H zC = .
Fig.5.16. Centrul de
greutate al conului
circular drept
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
13/28
Sorin VLASE 13
Suprafa a laterală a unui con. Putem concepesuprafaa laterală a conului alcătuită dinsuprafee triunghiulare infinitezimale. Pentruun triunghi
oarecarecentrul degreutate se vagăsi la otreime de
bază şi două treimi de vârf, decidistantana de la acesta până la planulbazei va fi o treime din înălime.
Centrele de greutate ale tuturortriunghiurilor infinitezimale se va găsi într-un plan aflat la distana de H/3 debază deci va rezulta că şi centrul degreutate al întregii suprafaă se va găsi
în acest plan, adică 3
H z
C = .
Suprafa a laterală a unei piramide. Printr-un raionament similar rezultă
3 H
zC = .
5.7. Teoremele lui Pappus-GuldinCele două teoreme permit în unelecazuri uşurarea calculului unorcentre de greutate (masă). Calcululcentrelor de masă presupuncalculul unor integrale iar celedouă teoreme permit înlocuireacalculului unor integrale curezultate deja cunoscute. Să considerăm mai întâi un arc decurbă plană (C) (fig.5.19)Teoremă. Aria suprefeei generată prin rotirea completă a arcului decurbă în jurul unei axe din planul
său (pe care nu o intersectează)
Fig.5.17. Centrul de
greutate al piramidei
Fig.5.18. Centrul de greutate
al su ra e ei laterale a conului
Fig.5.19.Prima teoremă
Pappus-Guldin
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
14/28
14 MECANICĂ. STATICA
este egală cu lungimea arcului de curbă înmulită cu lungimea cerculuidescris de centrul de greutate al curbei. Demonstra ie. Elementul de arc ds generează prin rotaie o suprafaă care este egală, într-o aproximatie de ordinul întâi, cu produsul dintrelungimea cercului descris de coordonata y şi grosimea suprafeei ds:
ds ydA π 2= . (5.18)Întrega suprafaă va fi obinută prin însumarea tuturor suprafeelorelementare dA :
∫ ∫== L L
ydLdA A π 2 (5.19)
inând seama de formulele de definiie ale centrelor de greutate, seobine:
∫ = L
L yds ξ (5.20)
unde ξ este distana centrului de greutate la dreapta în jurul căreia seface rotaia. Rezultă:
L A ξ π 2= (5.21)
Să considerăm acum o suprafaă plană.
Teoremă. Volumul generat prinrotirea completă a suprafeei în jurul unei axe din planul său (pecare nu o intersectează) este egalcu aria suprafeei respective înmulită cu lungimea cerculuidescris de centrul de greutate al
suprafeei.
Demonstra ie. Elementul de arie dA generează prin rotaie un volumcare este egal, într-o aproximatie de ordinul întâi cu produsul dintrelungimea cercului descris de coordonata centrului suprafeei y şimărimea suprafeei ds:
dA ydV π 2= (5.22)Întregul volum va fi obinut prin însumarea tuturor volumelorelementare dV :
Fig.5.20. A doua teoremă Pappus-Guldin
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
15/28
Sorin VLASE 15
∫∫ ==S S
dA ydV V π 2 . (5.23)
inând seama de formulele de definiie ale centrelor de greutate, seobine:
∫ =S
A ydA ξ (5.24)
unde ξ este distana centrului de greutate al suprafeei la dreapta în jurulcăreia se face rotaia. Rezultă:
AV πξ 2= (5.25)
Aplica ie. 1. Dacă se consideră suprafaa generată prin rotaia unuisemicerc în jurul diametrului (fig.5.21), se va obine o sferă de suprafaă
24 RS π = . Lungimea semicercului este R L π = .Aplicând prima teoremă se va obine poziia centrului de masă pentrulinia materială omogenă în formă de semicerc:
242
2
R R y
S L y
C
C
π π π
π
=
=
π
R yC
2=
Aplica ie. 2. Dacă se consideră volumul generatprin rotaia unei jumătăi de cerc în jurul diametrului(fig.5.22), se va
obine o sferă devolum
3
4 3 RV
π = .
Aria jumătăii de sferă este2
2 RS π = .
Aplicând a doua teoremă se va obinepoziia centrului de masă pentru o jumătate de cerc:
V S yC =π 2 sau:
Fig.5.21 Fig.5.22
Fig.5.23. Calcululvolumului torului
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
16/28
16 MECANICĂ. STATICA
32
3
4
22 R
R y
C π π
π =
Rezultă:
π 3
4 R y
C = .
Aplica ie. 3. Folosind teoremele anterioare se poate calcula cu uşurină suprafaa laterală şi volumul torului (fig.5.23), (corpul obinut prinrotaia unui disc în jurul unei axe din planul său).Dacă se notează cu R raza discului iar cu a distana dintre centrulacestuia şi axa în jurul căreia se va face rotaia, aplicând prima teoremă se obine:
S Ra =π π 22
sau: RaS 24π = .
Aplicând cea de-a doua teoremă, se va obine:
V Ra =22 π π deci 222 RaV π = .
5.8. Centrul de masă al figurilor compuse
Să considerăm un corp care poate fi considerat ca fiind compus dindouă corpuri R1 şi R2 (fig.5.24.a). Ne propunem să determinăm legăturadintre poziia centrului de greutate pentru întregul corp şi poziiilecentrelor de greutate ale corpurilor componente. Scriind expresiacentrului de greutate pentru întregul corp şi inând seama de proprietăilede aditivitate ale integralei, se obine:
a) b)
Fig.5.24. Centrul de masă al figurilor compuse
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
17/28
Sorin VLASE 17
21
2211
21
21
mm
r mr m
dmdm
dmr dmr
dm
dmr
r
R R
R R
R
R
C +
+=
+
+
==
∫∫
∫∫
∫
∫ r r r r
r
r
(5.26)
Am folosit relaiile:
2
2
1
121 ;m
dmr
r m
dmr
r R R
∫∫==
r
r
r
r
de unde:
2211
21
; r mdmr r mdmr R R
== ∫∫ r r
(5.27)
Pe componente, se va putea scrie:
21
2211
21
2211
21
2211 ;;mm
zm zm z
mm
ym ym y
mm
xm xm x
C C C +
+=
+
+=
+
+= (5.28)
În cazul în care avem de-a face cu n corpuri, formulele vor deveni:
m
r mr mr mr nn
C
r
K
r r
r +++=
2211 , (5.29)
sau, pe componente:
;12211m
xm
m
xm xm xm x
n
i
ii
nn
C
∑=
=+++
= K
;12211m
ym
m
ym ym ym y
n
i
ii
nn
C
∑=
=+++
= K
(5.30)
m
zm
m
zm zm zm z
n
i
ii
nn
C
∑=
=+++
=12211 K
rezultatele putând fi demonstrate prin inducie matematică.Dacă avem de-a face cu corpuri omogene, densitatea, fiind
constantă, poate fi simplificată şi vom avea formulele:
;12211V
V x
V
V xV xV x x
n
i
ii
nn
C
∑=
=+++
= K
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
18/28
18 MECANICĂ. STATICA
V
V y
V
V yV yV y y
n
i
ii
nn
C
∑=
=+++
=12211 K ; (5.31)
V
V z
V
V zV zV z z
n
i
ii
nn
C ∑==+++= 12211 K .
În cazul în care avem plăci plane cu aceeaşi grosime, rezultă formulele:
;12211
A
A x
A
A x A x A x x
n
i
ii
nn
C
∑=
=+++
= K
A
A y
A
A y A y A y y
n
i
ii
nn
C
∑=
=+++
=12211 K ; (5.32)
A
A z
A
A z A z A z z
n
i
ii
nn
C
∑=
=+++
=12211 K .
iar dacă avem de-a face cu o linie materială omogenă:
;12211 L
L x
L
L x L x L x x
n
i
ii
nn
C
∑==
+++=
K
L
L y
L
L y L y L y y
n
i
ii
nn
C
∑=
=+++
=12211 K (5.33)
L
L z
L
L z L z L z z
n
i
ii
nn
C
∑=
=+++
=12211 K
În cazul în care corpul R poate fi considerat ca fiind alcătuit dintr-un sistem R1 din care lipseşte al doilea R2 (fig.5.24.b), inând seama deaceeaşi proprietate de aditivitate a integralei, se poate scrie:
21
2211
21
21
mm
r mr m
dmdm
dmr dmr
dm
dmr
r
R R
R R
R
R
C −
−=
−
−
==
∫∫
∫∫
∫
∫ r r r r
r
r
(5.34)
sau, pe componente:
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
19/28
Sorin VLASE 19
21
2211
21
2211
21
2211 ;;mm
zm zm z
mm
ym ym y
mm
xm xm x
C C C −
−=
−
−=
−
−= (5.35)
Aplicaii: 1. Să se determine centrul de greutate al unei figuri alcătuită din trei linii materiale omogene, în formă de jumătate de cerc, ca în fig.5.25.Soluie: Efectuăm calculul tabelar:
;06
0
1
1===
∑
∑
=
=
a L
L x
xn
i
i
n
i
ii
C π
π π
a
a
a
L
L y
yn
i
i
n
i
ii
C
2
6
12 2
1
1===
∑
∑
=
= .
2. Să se determine centrul de greutate plăcii plane omogene din fig.5.26.
Corpul
xi yi Li xiLi yiLi
1 0 π
a6 aπ 3 0 218a
2 a π a4
− aπ 2 22 aπ 28a−
3 -2a π a2
aπ 22 aπ − 22a Σ X X aπ 6 0 212a
N
r.
xi yi Ai xiAi yiAi
1 0 π 38a
22 aπ 03
16 3a
2 a π 34a
− 2
2aπ
2
3aπ 3
2 3a−
3 -a π 34a
2
2aπ
−
2
3aπ
3
2 3a−
Σ X X 22 aπ 3aπ 34a
Fig.5.25
Fig.5.26
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
20/28
20 MECANICĂ. STATICA
;22 2
3
1
1 a
a
a
A
A x
xn
i
i
n
i
ii
C ===
∑
∑
=
=
π
π
π π
a
a
a
A
A y
yn
i
i
n
i
ii
C
2
2
42
3
1
1===
∑
∑
=
=
3. Să se determine poziia centrului de greutate pentru corpul compusdin plăci omogene din fig.5.27.
Soluie: Corpul poate fi consideratca fiind compus din triunghiulAOC, triunghiul AOB, semicerculde diametru OC şi jumătatea desuprafaă cilindrică definită depunctele OBCD. Centrele de masă ale celor patru plaăci vor avea
coordonatele: ),3
2,0(1 a
aC ;
),0,2(2 aaC (pentru triunghidreptunghic centrul de masă se vagăsi ducând paralele la catete, la distana de o treime din cateta
perpendiculară) )34
,,0(3 π
aaC − (pentru jumătate din disc am folosit
formula 4R/3π); )2
,,3(4π
aaaC − (pentru jumătatea de suprafaă cilindrică,
dacă este privită din faă are aspectul unei linii materiale omogene înformă de jumătate de circumferină, pentru care se aplică formula 2R/ π ).Facem calculul tabelar.
Nr.
corp xi yi zi Ai xiAi yiAi ziAi
1 0 32a
a 3a2 0 2a3 3a3
2 2a 0 a 9a2 18a3 0 9a3
3 0 a π 34a
− 2
2aπ
0 2
3aπ
3
2 3a−
4 3a a π a2
− 26 aπ 318 aπ 36 aπ -12a3
Σ X X X2
2
1312 a
+
π
)1(18 3 π +a
3
2
132 a
+
π
32 3a
−
Fig.5.27
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
21/28
Sorin VLASE 21
;2294,2
2
1312
)1(18
2
1312
)1(18
2
3
1
1 aa
a
a
A
A x
xn
i
i
n
i
ii
C =
+
+=
+
+==
∑
∑
=
=
π
π
π
π
;0032,0
2
1312
2
132
2
1312
2
132
2
3
1
1 a
a
a
a
A
A y
yn
i
i
n
i
ii
C =
+
+
=
+
+
==
∑
∑
=
=
π
π
π
;0206,0
213123
2
21312
3
2
2
3
1
1 aa
a
a
A
A z
zn
i
i
n
i
ii
C −=
+
−=
+
−
==
∑
∑
=
=
π π
4. Să se determine centrul de greutate al corpului alcătuit din plăciomogene ca în fig. 5.28.
Soluie: Sistemul poate fi descompus în pările sale constitutive ca înfig.5.29. Calculul este condus tabelar:
;3333,03
2
32
2
3
1
1 aa
a
a
A
A x
xn
i
i
n
i
ii
C ====
∑
∑
=
=
;2747,09
7
63
6
7
42
23
6
7
42
33
1
1 aa
a
a
aa
A
A y
yn
i
i
n
i
ii
C =
+−=
+−
=
+−
==
∑
∑
=
= π
π π
;3805,03
2
33
22
2
34
2
33
1
1 aaa
a
aa
A
A z
zn
i
i
n
i
ii
C −=
+−=
+−
=
+−
==
∑
∑
=
= π
π π
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
22/28
22 MECANICĂ. STATICA
Nr.corp
xi yi zi Ai xiAi yiAi ziAi
13
a 0 3
a 2
2a 6
3a 0 6
3a
2π 3
4a π 3
4a 0 4
2aπ
3
3a
3
3a
03
0 2a
2
a 2
a 0 2
3a
2
3a
40 π 3
4aa −
π 3
4aa − -
4
2aπ
0 34
33aa
+−π
34
33aa
+−π
Σ X X X 23 2a
2
3a
6
7
4
33aa
+−π 3
3
4a
a+−
π
5. Să se determine ce înălime H trebuiesă aibă un con aşezat peste o semisferă de rază R ca în fig. 5.30 astfel încât să rămână în echilibru indiferent cum îl
aşezăm pe o suprafaă orizontală.
Soluie: Figura este alcătuită dintr-uncon de rază R şi înălime H şi osemisferă de rază R. Pentru ca figura să rămână în echilibru oricum am aşeza-ocu semisfera pe planul orizontal estenecesar ca centrul de greutate să fie în
centrul semisferii ( z c= 0 ).Pentru semisferă avem:
Fig.5.28. Fig.5.29.
Fig.5.30
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
23/28
Sorin VLASE 23
3
4
2
1;
8
3 311
RV
R z
π =−=
iar pentru con:
3;
4
2
22
H RV
H z
π ==
de unde rezultă:
=+
+=
21
2211
V V
V zV z z
C
( )( ) H R
H R
R
R
H R R
H R H R R
+
+−=
+
+−
=2
3
4
33
4
2
1343
421
83 22
2
2
23
23
π
π
π π
π π
Condiia ca z c= 0 conduce la :
0322
=+− H R de unde:
3 R H =
6. Să se determine ce înălime H trebuie să aibă o piramidă aşezată peste unsemicilindru de rază R şi înălime 2R ca în
fig. 5.31 astfel încât să rămână în echilibru indiferent de unghiul subcare îl aşezăm pe o suprafaă orizontală.
32
11 2
2;
3
4 R
R RV
R z π
π
π ==−=
3
4;
4
2
22
H RV
H z ==
Fig.5.31
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
24/28
24 MECANICĂ. STATICA
( )( )
043
4
3
43
4
43
422
23
23
21
2211=
+
+−=
+
+−
=+
+=
H R
H R
H R R
H R H R
R
V V
V zV z z
C π
π
π π
R H 2=
7. Să se determine centrul de masă al vasului din fig.5.32. Să sedetermine centrul de masă al vasului plin, dacă se umple cu un lichidastfel încât raportul dintre greutatea lichidului şi a vasului gol este de 3.
Soluie: Datorită simetriei centrul de masă se va găsi în planul Oyz. Încazul vasului gol, corpul 1 este o jumătate dintr-o calotă semisferică.Pentru acesta se cunoaşte poziia centrului de masă zc=R/2 . Dacă seconsideră că acesta provine din două jumătăi care au centrul la înălimea z1 (fig.5.33) rezultă că trebuie să avem relaia:
222
221
11 R z
V V
V z
V z
zC
==
+
+
=
deci centrul de masă are aceeaşi cotă ca şi calota semisferică. După axay valoarea ordonatei va fi aceeaşi, datorită simetriei figurii. Deci, pefigura 5.32, avem:
Fig.5.32
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
25/28
Sorin VLASE 25
Fig.5.33
221
11
44
1
;2
;2
R R A
R z R y
π π ==
−=−=
În ceea ce priveştesuprafaa semicilindrică,
este evident că centrulde masă va trebui să segăsească pe verticalacare trece prin interseciadiagonalelor seciuniidreptunghiulare princilindru. Privită din faă suprafaa semicilindrică
va arăta ca un arc de cerc, deci centrul de greutate se ga găsi la distana2R/ π de centrul cercului (fig.5.34).Rezultă că vom avea următoarele relaii:
;2
;2 22π
R z R y −==
22 4422
1 R R R A π π =⋅=
Suprafaa conică poate fi considerată ca fiind obinută prin alăturarea
unor arce de cerc cu raze din ce în ce mai mici. Pentru fiecare arc decerc centrul de greutate se va găsi la distana de 2r/ π de axa conului
5Fig.5.35
Fi .5.34
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
26/28
26 MECANICĂ. STATICA
unde r este raza semicercului respectiv. Mulimea tuturor aceste centreva fi o dreaptă care trece prin vârful conului şi prin punctul de cotă 2R/ π aflat la baza conului (fig.5.35). De asemenea conul poate fi considerat cafiind obinut prin alăturarea unor triunghiuri cu vârful în vârful conuluişi baza pe baza conului. Aceste triunghiuri au centrul de greutate situatla o treime de bază şi două treimi de vârf. De aici rezultă că centrul degreutate al suprafeei laterale a semiconului se va găsi într-un planparalel cu baza, situat la o distană de o treime din înălimea conului faă de planul bazei. Intersecia dintre acest plan şi dreapta centrelor degreutate stabilită anterior va da coordonatele centrului de masă pentruaceastă suprafaă:
2
17
2
1;2
3;3
16 2
333
RG R A
R z R y
π π π =⋅=−==
Se obine:
R
R
R R R
R R R R R
R
A
A y
y yn
i
i
n
i
ii
I C 52,2
2
1741
)2
1758
2
1(
2
174
2
17
3
1642
22
22
222
1
1=
++
++−
=
++
++−
===
∑
∑
=
=
π π π
π π π
R
R
R R R
R R R
R R
R
A
A z
z zn
i
i
n
i
ii
I C 4425,0
2
1741
)4
1738
2
1(
2
174
2
17
2
34
2
22
22
222
1
1−=
++
++
−=
++
++
−===
∑
∑
=
= π π
π π π
π
π π
π π
Dacă tot corpul este plin, atunci corpul 1 este o jumătate dintr-osemisferă. Pentru acesta se cunoaşte poziia centrului de masă zc=3R/8.Dacă se consideră că acesta provine din două sferturi de sferă care aucentrul la înălimea z1 (fig.5.33) rezultă că trebuie să avem relaia:
8
3
22
221
11 R z
V V
V z
V z
zC ==
+
+
=
După axa y valoarea ordonatei va fi aceeaşi, datorită simetriei figurii.
Deci, pe figura 334
4
1;8
3;8
3 33
111
R R
V
R
z
R
y
π π ==−=−=
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
27/28
Sorin VLASE 27
În ceea cepriveşte vo-lumul semi-cilindric, lafel ca şipentru supra-faa semici-lindrică, cen-trul de masă va trebui să se găsească pe verticala care treceprin intersecia
diagonalelor seciuniidreptunghiulare princilindru. Privită dinfaă suprafaa semici-lindrică va arăta ca unsemicerc, deci centrul de greutate se va găsi la distana 4R/3π de centrulcercului (fig.5.37).Rezultă că vom avea următoarele relaii:
;3
4;2 22
π
R z R y −==
322 242
1 R R RV π π =⋅=
Volumul jumătăii decon poate fi consideratca fiind obinută prin
alăturarea unor semi-cercuri cu raze din ce în ce mai mici. Pentru fiecare semicerc centrul degreutate se va găsi la distana de 4r/3 π de axa conului unde r este razasemicercului respectiv. Mulimea tuturor aceste centre va fi o dreaptă care trece prin vârful conului şi prin punctul de cotă 4R/3 π aflat la bazaconului (fig.5.38). Jumătatea de con are centrul de greutate situat la opătrime de bază şi trei pătrimi de vârf. De aici rezultă că centrul degreutate al suprafeei laterale a semiconului se va găsi într-un plan
paralel cu baza, situat la o distană de o pătrime din înălimea conuluifaă de planul bazei. Intersecia dintre acest plan şi dreapta centrelor de
Fig.5.36
Fig.5.37
Fig.5.38
PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com
-
8/18/2019 Capitol Ul 05
28/28
28 MECANICĂ. STATICA
greutate stabilită anterior va da coordonatele centrului de masă pentruaceastă suprafaă:
32
333 22
1
;;5 R H RV R
z R y π π π =⋅=−==
Rezultă atunci pentru coordonatele centrului de greutate al figurii pline:
R
R
R R R
R R R R R R
V
V y
y yn
i
i
n
i
ii
II C 20,3
223
1
)1048
1(
223
252238
3
333
333
1
1=
++
++−
=
++
⋅++−
===
∑
∑
=
=
π π π
π π π
şi:
R
R
R R R
R R
R R R R
V
V z
z zn
i
i
n
i
ii
II C 37,0
43
1
)2
3
8
8
1(
223
223
4
38
3
333
333
1
1−=
+
++
−=
++
++
−===
∑
∑
=
= π π
π π π
π π
π π
π
Centrul de greutate al vasului plin cu lichid se obine cu formula:
R y y
GG
G yG y
GG
G yG y y II I
I I
I II I I
II I
II II I I
C 03,3
43
33
=+
=+
+=
+
+=
R z z
GG
G zG z
GG
G zG z z II I
I I
I II I I
II I
II II I I
C 39,0
4
3
3
3=
+=
+
+=
+
+=
Problemă propusă: Să se determine centrul de greutate al perimetrului
unui triunghi.
top related