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Cap

Distribuciones de

probabilidad

discreta

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3 6

Distribuciones

de probabilidad

discreta

6

• Una variable aleatoria (v.a.) es un número real asociado al resultado de un experimento aleatorio

• Su valor se determina al azar.

• Variables aleatorias de denotan como X.

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Variables aleatorias

Supongamos un experimento aleatorio consiste en lanzar dos dados al aire. Bajo este experimento los siguientes serían variables aleatorias: 1. Sea X la v.a. suma de los valores de los dados donde

X puede tomar valores x= 2, 3, 4,...,12. 2. Sea Y la v.a número de pares en los dados donde Y

puede tomar los valores y = 0, 1, 2. 3. Sea Z la v.a número de impares en los dados donde

Z puede tomar los valores z=0,1,2.

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EJEMPLO Variables aleatorias

Una variable aleatoria discreta tiene una cantidad finita de valores o el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable es un conjunto numerable. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo. Los valores de una variable aleatoria discreta se pueden representar en una recta numérica como puntos separados por un espacio.

6-4

Variables aleatorias discretas

Una variable aleatoria continua tiene un número infinito de valores.

Puede tomar todos los valores de un intervalo.

Suelen estar asociados al resultado de medir.

Los valores de una variable aleatoria continua se pueden representar en una recta numérica de una manera ininterrumpida.

6-5

Variables aleatorias continuas

Determinar si las siguientes variables aleatorias son discretas o continuas. Nombrar los posibles valores para la variable aleatoria.

a) El número de bombillas que se funden en una habitación de 10 bombillas de luz durante el próximo año.

b) nº de preguntas en una clase de una hora .

c) El tiempo transcurrido entre llamadas al 911.

d) cantidad de agua consumida en un mes

EJEMPLO Distinguir entre variables aleatorias discretas y

contínuas

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Variable aleatoria:

Y = nº de caras al lanzar tres veces una moneda

Posibles valores de Y: 0, 1, 2 , 3

Si se lanza una moneda 3 veces los posibles resultados son: E={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}

La variable aleatoria Y: - Toma valor 0 cuando ocurre el suceso XXX - Toma valor 1 cuando ocurre XXC,XCX ó CXX - Toma valor 2 cuando ocurr CCX,CXC ó XCC - Toma valor 3 cuando CCC

6-7

Variables aleatorias - ejemplo

Una distribución de probabilidad proporciona los valores posibles de la variable aleatoria X y sus correspondientes probabilidades.

Una distribución de probabilidad se puede dar en forma de una tabla, como gráfica o fórmula matemática.

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Distribuciones de probabilidad

La tabla a la derecha

muestra la distribución de

probabilidad de la variable

aleatoria X, donde X

representa el número de

DVDs que una persona

alquila de una tienda de

videos en una sola visita.

x P(x)

0 0.06

1 0.58

2 0.22

3 0.10

4 0.03

5 0.01

EJEMPLO Una distribución de probabilidad discreta

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EJEMPLO Identificar una distribución de probabilidad

x P(x)

0 0.16

1 0.18

2 0.22

3 0.10

4 0.30

5 0.01

¿Presenta la siguiente tabla una distribución de probabilidad? Justifique su respuesta.

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x P(x)

0 0.16

1 0.18

2 0.22

3 0.10

4 0.30

5 -0.01

¿Presenta la siguiente tabla una distribución de probabilidad? Justifique su respuesta.

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EJEMPLO Identificar una distribución de probabilidad

EXAMPLE Identifying Probability Distributions

X P(x)

0 0.16

1 0.18

2 0.22

3 0.10

4 0.30

5 0.04

¿Presenta la siguiente tabla una distribución de probabilidad? Justifique su respuesta.

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Un histograma de probabilidades es un histograma en el que el eje horizontal corresponde a los valores de la variable aleatoria y el eje vertical representa la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria.

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Histograma de probabilidades

Dibuje una distribución del histograma de probabilidades del experimento de la derecha, que representa el número de DVDs que una persona alquila en una sola visita a una tienda de videos.

EJEMPLO Dibujar un histograma de probabilidades

x P(x)

0 0.06

1 0.58

2 0.22

3 0.10

4 0.03

5 0.01

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Dibuje una distribución del histograma de probabilidades del experimento lanzar una moneda 3 veces.

S ={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX} X = nº de caras al lanzar una moneda tres veces

EJEMPLO Dibujar un histograma de probabilidades

x P(x)

0

1

2

3

6-15

1

8= 0.125

1

8= 0.125

3

8= 0.375

3

8= 0.375

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Media de una variable aleatoria discreta

La media de una variable aleatoria discreta está dado por la siguiente fórmula

𝜇𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑃 𝑥

donde x es el valor de la variable aleatoria y P(x) es la probabilidad de observar el valor x.

Calcular la media de la distribución de probabilidad a la derecha, que representa el número de películas que una persona alquila en una tienda de vídeo durante una sola visita.

EJEMPLO Calcular la media de una variable discreta aleatoria

x P(x)

0 0.06

1 0.58

2 0.22

3 0.10

4 0.03

5 0.01

( )X x P x

0(0.06) 1(0.58) 2(0.22) 3(0.10) 4(0.03) 5(0.01)

1.49

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Interpretación de la media de una

variable aleatoria discreta

Sea X una variable aleatoria discreta y 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 los valores de X para n experimentos.

Entonces, 𝑥 =𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛

𝑛 y

la diferencia entre 𝑥 𝑦 𝜇 se aproxima a 0 a medida que n aumenta.

Los siguientes datos representan el número de DVDs alquilados por 100 clientes seleccionados al azar en una sola visita . Calcule la media del número de DVDs alquilados.

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49.1100

... 10021

xxx

X

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A medida que el número de repeticiones del experimento aumentan, la media del número de alquileres se aproxima a la media de la distribución de probabilidad.

6-21 Repeticiones

Media aumentando el número de repeticiones

Debido a que la media de una variable aleatoria discreta representa lo que esperamos que ocurra a largo plazo, también se llama el valor esperado, E (X), de la variable aleatoria.

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Valor esperado

La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta será:

E x m x p x p x p x px k k i i

i

k

( ) ...

1 1 2 2

1

EJEMPLO Calcular el valor esperado para una variable aleatora discreta

Una póliza de seguro de vida a término pagará al beneficiario una suma

determinada de dinero en caso de fallecimiento del titular de la póliza.

Estas pólizas tienen primas que se deben pagar anualmente.

Supongamos que una compañía de seguros de vida vende un año de

póliza de seguro de vida por $250,000 a una mujer de 49 años de edad

por $ 530. Según el Instituto Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N

º 28, la probabilidad de que la mujer va a sobrevivir el año es de

0.99791. Calcule el valor esperado de esta póliza a la compañía de seguros

x P(x)

Sobrevive

No sobrevive

E(X) =

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La varianza de una variable aleatoria discreta está dada por la fórmula:

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Varianza y desviación estándar para v.a.

La desviación estándar :

x P(x)

0 0.06

1 0.58

2 0.22

3 0.10

4 0.03

5 0.01

Xx 2

Xx 2

( )Xx P x

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EJEMPLO Calcular 𝜎 𝑦 𝜎2 para una variable aleatoria discreta

Calcular la varianza y la desviación estándar de la distribución de probabilidad a la derecha, que representa el número de películas que una persona alquila en una tienda de vídeo durante una sola visita.

x P(x)

0 0.06

1 0.58

2 0.22

3 0.1

4 0.03

5 0.01

-1.5

-0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

2.2201

0.2401

0.2601

2.2801

6.3001

12.3201

0.133206

0.139258

0.057222

0.22801

0.189003

0.123201

Sección 6.2 La distribución de probabilidad para una variable aleatoria binomial

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Criterios para un experimento de probabilidad binomial

Un experimento se dice que es un experimento binomial si

1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces.

Cada repetición del experimento se llama un ensayo.

2. Los ensayos son independientes.

Esto significa que el resultado de un ensayo no afectará a los resultados de los otros ensayos.

3. Para cada ensayo, hay dos resultados mutuamente excluyentes (o disjuntos), el éxito o el fracaso.

4. La probabilidad de éxito es fijo para cada ensayo del experimento.

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Notación usada en la distribución de probabilidad binomial

• Número de ensayos independientes del experimento se denota n

• Nombramos p la probabilidad de éxito en el experimento y 1 – p, la probabilidad de fracaso.

• Si X es una variable aleatoria binomial que denota el número de éxitos en n pruebas independientes de un experimento binomial, entonces 0 < x < n.

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(a) Un jugador tira un dado justo de seis caras 10 veces. X es el número de veces que sale el 7.

EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no

6-29

Solución: Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento

binomial se cumplen en este experimento.

1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces.

2. Los ensayos son independientes.

3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento

4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante.

EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no

6-30

Solución:

1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces.

2. Los ensayos son independientes.

3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento.

4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante.

(b) En una clase de 30 estudiantes, 55% son mujeres. El instructor selecciona al azar a 4 estudiantes. Se registra el número X de mujeres que fueron seleccionadas.

(c) Tomando en cuenta las 11 líneas aéreas más grandes en Estados Unidos, se determina que existe una probabilidad de 84.7% de que un vuelo salga a tiempo. Para determinar las razones para atrasos, un oficial de la FAA elige vuelos aleatoriamente hasta que encuentra 10 vuelos que NO estuvieron a tiempo. X representa el número total de vuelos que tuvo que seleccionar.

EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no

6-31

Solución: Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento

binomial se cumplen en este experimento.

1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces.

2. Los ensayos son independientes.

3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento.

4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante.

De acuerdo con el

Informe al Consumidor

de Air Travel, sus

aviones más grandes

lograron un 79.0% de

vuelos a tiempo en Mayo

de 2008. Suponer que

se seleccionan 4 vuelos

al azar en mayo del 2008

y X es el número de

vuelos que estuvieron a

tiempo. Construya una

distribución de

probabilidad para la

variable aleatoria X

usando un diagrama de

árbol.

EJEMPLO: Construir una distribución de probabilidad para un experimento binomial usando un arbol de decisión

6-32

1ER

ENSAYO

2ND

ENSAYO

3ER

ENSAYO

4TO

ENSAYO RESULTADO No. de éxitos

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La distribución de probabilidad binomial

La probabilidad de obtener x número de

éxitos en n ensayos independientes en un

experimento de probabilidad binomial es

𝑃 𝑥 = 𝐶𝑥𝑝𝑥

𝑛 1 − 𝑝 𝑛−𝑥

donde x=0, 1, 2, …, n y p es la

probabilidad de éxito.

EJEMPLO Usar la probabilidad binomial

Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen al

menos 3 automóviles.

(a)En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál

es la probabilidad de que exactamente 5 tienen al menos 3

autos?

6-34

n = 20, x = 5, p = 0.35 𝑃 𝑥 = 𝐶𝑥𝑝𝑥

𝑛 1 − 𝑝 𝑛−𝑥

EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación)

Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o

más automóviles.

(b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál es

la probabilidad de que menos de 4 tienen tres o más coches? ?

6-35

EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación)

Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3

o más automóviles.

(b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, cuál

es la probabilidad de que al menos 4 tienen tres o más coches?

6-36

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Media y desviación estándar de una variable

Un experimento de probabilidad binomial,

con n ensayos independientes y una

probabilidad de éxito de p, tiene una

media y una desviación estándar dada por

las siguientes fórmulas

𝜇𝑥 = 𝑛𝑝 𝑦 𝜎𝑥 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) .

Según informes de una compañía de automóviles, el 35% de los hogares tienen al menos 3 automóviles. En una muestra aleatoria simple de 400 hogares que tienen autos, determine la media y la desviación estándar de los hogares que tendrán al menos 3 autos.

EJEMPLO Hallar la media y la desviación estándar de una variable aleatorio binomial

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(a) Construir un histograma de la probabilidad binomial con n = 8 y p = 0.15.

EXAMPLE Constructing Binomial Probability Histograms

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Para construir un

histograma de

probabilidad binomial,

primero obtenemos la

distribuciónón. Luego,

construimos el

histograma de la

probabilidad de la

distribución.

X P(X)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tablas de distribuciones binomiales

(b) Construir un histograma de la probabilidad binomial con n = 8 y p = 0.5

EXAMPLE Constructing Binomial Probability Histograms

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(c) Construir un histograma de la probabilidad binomial con n = 8 y p = 0.8

EXAMPLE Constructing Binomial Probability Histograms

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X P(X)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Construir un histograma de la probabilidad

binomial con n = 25 y p = 0.8

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Construir un histograma de la probabilidad

binomial con n = 50 y p = 0.8

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3-45

La Regla Empírica

• Para una probabilidad fija de éxito, p, a medida que el número de ensayos, n, aumenta en un experimento binomial, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X se convierte en forma de campana.

• Como regla general, si np(1 - p)>= 10, entonces la distribución de probabilidad será, aproximadamente, de forma de campana.

• Este resultado nos permite utilizar la Regla Empírica para identificar observaciones raras.

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La Regla Empírica

De acuerdo con el Experian Automotive, el 35% de los hogares con

automóviles tienen tres o más coches. Un investigador cree que este

porcentaje es mayor que el porcentaje reportado por Experian Automotive.

Se tomó una muestra simple aleatoria de 400 hogares con automóviles y

se encontró que 162 tenían tres o más coches. ¿Es este resultado

inusual?

EJEMPLO El uso de la media, desviación estándar y regla empírica para detectar resultados inusuales en un experimento binomial

6-47

Depakote es un medicamento cuyo propósito es reducir el dolor asociado con

los dolores de cabeza de migraña. En ensayos clínicos y estudios

prolongados de Depakote, 2% de los pacientes en el estudio experimentaron

aumento de peso como efecto secundario. ¿Sería raro observar 16

pacientes que experimenten aumento de peso en una muestra aleatoria de

600 pacientes que toman el medicamento? ¿Por qué?

EJEMPLO Usar la regla empírica para detectar resultados inusuales en un experimento binomial

6-48