cálculo diferencial e integral de una variable 1 funciones reales de varias variables

Cálculo diferencial e integral de una variable

11

Funciones Reales de

Varias Variables

Cálculo diferencial e integral de una variable

22

Contenidos

• Habilidades• Función de dos variables.• Gráfica de una función real de dos variables.• Curvas de nivel.• Límite.• Continuidad.• Derivadas Parciales.

ir

irir

ir

ir

ir

ir

Cálculo diferencial e integral de una variable

33

Habilidades

• Define el concepto de función real de dos y tres variables.

• Determina el dominio de una función real y lo representa gráficamente.

• Traza la gráfica de una función real de dos variables reales.

• Relaciona la regla de correspondencia de una función con su gráfica.

• Determina las curvas (superficies) de nivel de una función real de dos (tres) variables.

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Habilidades

inicio

• Calcula el límite de una función.• Determina la no existencia del límite de una

función real de dos variables reales.• Establece la continuidad de una función real

en un punto.• Define el concepto de derivada parcial.• Calcula derivadas parciales.• Interpreta geométricamente el concepto de

derivada parcial.• Calcula derivadas parciales de segundo orden.• Verifica que una función dada es solución de

una ecuación en derivadas parciales.

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Funciones de Varias Variables.

Definición: Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x,y).

El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir Dyxyxf ),/(),(

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66

Ejemplos.

1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafíquelos.

2a) f ( x , y ) y x

2 2 4b) f x , y ln x y

1Ln( x y)c) f ( x , y )

y x

2. Evalué la función del inciso (a) en f(0,0) ,f(1,1) y f(2,-1), en caso sea posible. Justifique su respuesta.

inicio

Cálculo diferencial e integral de una variable

77

Gráfica de una función de dos variables.

Definición: Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z) de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) está en D.

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88

Ejemplo

inicio

2. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y la imagen.

2 24a) f ( x , y ) y x

2 29b) z x y

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99

Curvas de nivel.

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1010

x

O

Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es una constante (que pertenece a la imagen de f).

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1111

Ejemplos

2 2a) f ( x , y ) x y

2 2b) f ( x , y ) x y

3. Trace la gráfica y las curvas de nivel de:

4. Una lamina de metal plana está situada en un plano XY y la temperaturaT (en grados centígrados) en el punto (x, y) es inversamente proporcionala la distancia del punto (x, y) al origen.a) Describa las isotermas b) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 ; 3) es 40 grados centígrados, encuentre una ecuación de la isoterma correspondiente a la temperatura de 20 grados centígrados.

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1212

Ejemplos

5. Describa y trace las superficies de nivel de la función:

2 22f ( x , y , z ) x y z

inicio

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1313

-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1-1 0,455 0,759 0,829 0,842 0,829 0,759 0,455

-0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759-0,2 0,829 0,989 0,999 1,000 0,999 0,986 0,8290 0,841 0,990 1,000 1,000 0,990 0,841

0,2 0,829 0,986 0,999 1,000 0,999 0,986 0,8290,5 0,876 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,7591 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455

TABLA1 Valores de f(x,y)

-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1-1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000

-0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600-0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,9230 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000

0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,9230,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,6001 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000

TABLA 2 Valores de f (x ,y )

Límites

2 2

2 21

sen x yf ( x , y )

x y

2 2

2 22

x yg( x, y )

x y

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1414

Límites Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces decimos que el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b) es L y escribimos

tal que siempre que

y

0,0 f x , y L

x, y D 2 20 x a y b

x ,y a,blim f x, y L

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1515

Interpretación geométrica de los límites

X

Z

L

L L

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1616

Determina la no existencia del límite de una función real.

Definición: Si cuando por una trayectoria C1 y cuando por otra trayectoria C2,, donde , entonces

no existe.

1f x , y L

1 2L L

x ,y a,blim f x, y

x, y a, b 2f x , y L x, y a, b

a

b

y

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1717

Ejemplos

inicio

6. Muestre que no existe 2 40 0x ,y ,

xylim

x y

7. Muestre que no existe 2 20 0x ,y ,

xylim

x y

5. Muestre que no existe

2 2

2 20 0x ,y ,

x ylim

x y

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1818

Continuidad

Definición: Una función f de dos variables, se denomina continua en (a,b) si

Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto (a,b) de D

bayxf

bayx,,lim

,,

Nota:

Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio

2 2

1 2

2 2

2 21 0

x ,y ,

x ,y ,

lim x xy y

x ylim

x y

inicio

Cálculo diferencial e integral de una variable

1919

Derivadas parciales.

Sea z=f(x,y), definida en el dominio D del plano XY y sea (x0 ,y0) un punto de D. La función f(x, y0) depende solamente de x y está definida alrededor de x0.

Si la derivada existe, el valor de la derivada es llamado derivada parcial de f(x,y),con respecto a x en el punto (x0,y0) y se denota por

00 ,

00 ,yxx

zóyx

x

f

Cálculo diferencial e integral de una variable

2020

Definición de derivada parcial con respecto a x.

0 0 0 00 0 0x

f x x, y f x , yfx , y lim

x x

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2121

Del mismo modo, la derivada de f con respecto a y en (a,b) , denotada por fy(x0 ,y0), se obtiene dejando x fija (x=x0).

0 0 0 00 0 0 0 0y y

f x , y y f x , yff x , y x , y lim

y y

Definición de derivada parcial con respecto a y.

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2222

Ejemplos

1. Si f(x,y)=4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy (1,1), e interprete estos números como pendientes.

3 2 2a) f ( x , y ) ( x y )

2yb) f ( x , y ) xe ysenx

3 2xc) f ( x , y , z ) xe z xz ln(yz)

2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f

Cálculo diferencial e integral de una variable

2323

Derivadas parciales respecto a x y a y.

Fin