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Algunas distribuciones teóricas discretas
Clase Nº 6
Mg. Stella Figueroa
2do C.2018
Variable estadística –Variable Aleatoria
¿Cuál es la relación entre una variable estadística y su variable aleatoria
asociada?
• Variable estadística • Variable aleatoria
xi fr
1 0,183
2 0,1961
3 0,1765
4 0,1242
5 0,1765
6 0,1438
xi P(Xi)
1 1/6= 0,1667
2 1/6= 0,1667
3 1/6= 0,1667
4 1/6= 0,1667
5 1/6= 0,1667
6 1/6= 0,1667Resultados
de una
muestra de
tamaño 153
Resultados de todas las
muestras posibles de la
población
Variable aleatoria
Es toda función X que asigna a c/u de los elementos del espacio
muestral, un número Real.
SRx
s X(s)Si el recorrido o
Imagen de la variable
es discreto, la variable
es discreta.
Si la Imagen de la
variable es un
continuo, la variable
es continua
Rx es el recorrido o Imagen
de la variable. Son los
posibles valores de X
Definición de Variable Aleatoria Discreta
i
1
a) p (x ) 0 i
b) p(x ) 1
i
i
Una variable aleatoria X es discreta, si a cada valor posible xi
que toma la variable se le puede asociar un número real p(xi )=
P (X=xi) llamado probabilidad de xi, que satisface las siguientes
condiciones:
La función p definida se llama función de probabilidad de X
El conjunto de pares (xi , p(xi)) es la distribución de
probabilidades de X.
Ejemplo de la ingeniería
En el contexto de las telecomunicaciones, cualquier señal debe
considerarse aleatoria, ya que por muchas razones, no existen
garantías de que la señal enviada sea exactamente igual a la señal
recibida.
1. De acuerdo a esta información. ¿Cuál/es podría/n ser el/los
experimento/s aleatorio/s ?
2. Considerar un solo experimento aleatorio y determinar sus
resultados posibles.
Variable de Bernoulli
Xi P(xi)
1 0.4
0 0.6
• Toma dos valores posibles :
• X1 = 1 Es el éxito (resultado esperado del
experimento) X2 = 0 Fracaso (resultado no esperado)
Se transmite una señal y se observa si se recibe erróneamente.
La probabilidad de que se reciba errónea es p = 0.4.
Escriba la distribución de probabilidades de la variable aleatoria
asociada a este experimento.
Experimentos aleatorios independientes o pruebas repetidas independientes
Se transmiten 3 señales y se observa el estado de su llegada.
¿Cuál es el espacio muestral asociado?
Se define la variable aleatoria X: “ número de señales
erróneas recibidas en las tres transmisiones”
1. Determine Rx (conjunto de valores que toma la variable)
2. Analice si las pruebas repetidas son independientes.
3. ¿Son mutuamente excluyentes los sucesos (c, e, e) y
(e,e,c)?
Actividades
a) Calcule la probabilidad de que se reciban exactamente 2
transmisiones erróneas de las tres efectuadas.
b) Encuentre la distribución de probabilidades de la
variable X: “ nº de señales erróneas recibidas en los tres
lanzamientos”.
c) Represente gráficamente
El modelo Binomial
• Una variable binomial puede considerarse como la suma de n variables
independientes de Bernoulli.
• El resultado de cada prueba es una variable de Bernoulli; es decir, puede
resultar un éxito o un fracaso, con probabilidades p y 1-p respectivamente.
Definición : X es una variable
aleatoria binomial con parámetros n
y p si su distribución de
probabilidades está dada por:
X b(n,p)
P(x=k)= . 1n kk
np p
k
Demostrar que la variable aleatoria binomial es una legítima distribución de probabilidad
0 0
P(x=k) . . 1n n
n kk
k k
np p
k
1-p 1
n
p
Para identificar el modelo binomial:
• Se efectúan n pruebas repetidas independientes y se
cuenta el número de éxitos obtenidos.
• El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso
éxito o su contrario.
•La probabilidad de éxito es p, constante en cada prueba.
Por binomio de Newton
Características numéricas
En Estadística En Probabilidad
Esperanza y varianza de una
variable de Bernoulli y binomial
a) Calcular la Esperanza y la Varianza de la variable
de Bernoulli
b) Demostrar que si x es binomial entonces
E(x)= np y V(x) = n.p.(1-p)
c) ¿Cuál es el número esperado de transmisiones
erróneas de las 3 enviadas?
Problema
Si aumentamos a 10 el número de señales transmitidas del
problema anterior.
1. ¿Cuál es el número esperado de transmisiones erróneas
recibidas? ¿ Y para n=50 y n =100?
2. Verificar estos resultados simulando los experimentos en
Geogebra. Tabular y graficar.
Simulación con GeoGebra para n = 10 y p = 0,4
Valores que toma
la variable estadística “número de
señales erróneas de las 10
transmitidas” y su distribución de
frecuencias relativas
Simulación con GeoGebra para n = 50 y p = 0,4
Valores que toma
la variable estadística “número
de señales erróneas de las 50
transmitidas” y su distribución
de frecuencias relativas
Simulación con GeoGebra para n = 100 y p = 0,4
Valores que toma
la variable estadística “número de señales
erróneas de las 100 transmitidas con p = 0,4” ,su
distribución de frecuencias relativas
Para analizar con GeoGebra
Si se disminuye la probabilidad p de que la señal
llegue errónea y se aumenta el número n de
pruebas repetidas independientes. ¿Qué ocurre con
los valores que toma la variable estadística X ?
Simulación con GeoGebra para n = 100 y
p= 0,01
Valores que toma esta
variable estadística
X “ número de señales
erróneas en 100
transmisiones
independientes con
p=0,01”
¿Por qué esta variable
corresponde a la “ley de
sucesos raros”?
Límite de la distribución binomial
Si para n= 1,2,3 ….. la relación λ =n.p es cierta para alguna constante λ > 0, entonces :
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y p y función de probabilidad
,( ) . .(1 )k n k
n kp X k C p p
.
lim ( ) 0,1,2,.......!
k
n
ep X k k
k
Observaciones :El número de ocurrencias (número de errores en este caso) puede ser cualquier entero no negativo k = 0, 1, 2, 3, ……. El valor esperado λ = n.p es un valor positivo.
Distribución de Poisson
.( ) 0, 0,1,2,3,......
!
k ep X k k
k
Definición:
Dado un intervalo de números reales, con un número aleatorio
de ocurrencias en dicho intervalo. Si el número promedio de
ocurrencias en el intervalo es λ > 0, la variable aleatoria X :
“número de ocurrencias en el intervalo”, tiene una distribución
de Poisson con parámetro λ y la función de probabilidad de X
es:
(1781-1840) Matemático, astrónomo y físico francés.
Distribuciones de Poisson obtenidas para distintos valores esperados
λ=1
λ=10λ=8
λ=5
En la práctica, puede usarse la aproximación si n ≥50 y n.p ≤ 5
La distribución de Poisson es una
legítima distribución de probabilidades
0 0 0
( ) . . 1! !
k k
k k k
eP x k e e e
k k
Dado un intervalo de números reales, con un número aleatorio deocurrencias en dicho intervalo. Si éste puede dividirse en subintervalos losuficientemente pequeños tales que:
1) La probabilidad de más de una ocurrencia en el subintervalo escero.
2) La probabilidad de una ocurrencia en un subintervalo es la mismapara todos los subintervalos y es proporcional a la longitud deéstos.
3) El número de ocurrencias en cada subintervalo es independientedel de los otros subintervalos.
Experimento aleatorio como
“proceso de Poisson”
Problema
Las fallas de un alambre de longitud L, se presentan de manera
aleatoria. Si X cuenta el número de fallas de este alambre y si el
número promedio de fallas es λ=2,3 por m de longitud.
a) ¿Esta variable sigue una distribución de Poisson?
b) Calcular la probabilidad de encontrar al menos 1 falla en medio
metro del alambre.
c) ¿Cuál es el valor esperado y la varianza en la distribución de
Poisson?
Problema
La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no
cumplen con los requerimientos del cliente.
Se toman 4 partes al azar, sin sustitución, de la producción del
día y se define la siguiente variable aleatoria
X: “ número de partes que no cumplen con los requerimientos
del cliente.”
Calcular la probabilidad de que 2 partes no cumplan
con los requerimientos.
Contamos con: N = tamaño de la población.
k elementos poseen cierta
característica (no cumplir
con los requerimientos)
N-k elementos no poseen
cierta característica
n-x es el número de
elementos del tipo de N-k
x es el nº de elementos de
ciertas características en n
extracciones sin reposición
Variable aleatoria Hipergeométrica
Variable aleatoria Hipergeométrica
• Surge de n pruebas repetidas no independientes.
• El resultado de cada prueba es dicotómico: A o su contrario.
•La probabilidad del suceso A no es constante, varía en cada
prueba porque no hay reposición
Definición: X es una variable aleatoria hipergeométrica
con parámetros N, n y k, si su distribución de
probabilidades está dada por:
P(X=x)
N k k
n x x
N
n
Cuestionario
Enuncia las características que permiten reconocer a cada una de estas
variables:
1. variable de Bernoulli
2. Binomial
3. De Poisson
4. Hipergeométrica
5. Encuentra la relación entre ellas.
6. Deduce la esperanza y la varianza de una variable binomial.
7. ¿Cuál es la esperanza y varianza en Poisson?
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