52227885 sirkuit euler
Post on 04-Jun-2018
237 Views
Preview:
TRANSCRIPT
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 1/33
Graf
• Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit
dan hubungan antara objek-objek tersebut.
• Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta
jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di
Provinsi Jawa Tengah.
• Sejarah Graf: masalah jembatan önigsberg !tahun "#$%&
Gambar 1. 'asalah Jembatan önigsberg
• Graf yang merepresentasikan jembatan önigsberg:
Simpul !vertex& menyatakan daratan
Sisi !edge& menyatakan jembatan
"
( r e b e sT e g a l
S l a w i
P e m a l a n g
P u r w o k e r t o
) i l a * a p
( a n j a r n e g a r a
+ o n o s o b o
e b u m e n
P u r w o r e j o
e n d a lS e m a r a n g
P e k a l o n g a n
P u r b a l i n g g a
' a g e l a n g
S a l a t i g a
l a t e n
S o l o
P u r w o d a d i
, e m a k u d u s
- e m b a n g
( l o r a
S u k o h a r j o
+ o n o g i r i
S r a g e n( o y o l a l i
r o y a
T e m a n g g u n g
C
A
B
D
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 2/33
• (isakah melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi
ke tempat semula
Definisi Graf
Graf G / !V 0 E &0 yang dalam hal ini: V / himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul !vertices&
/ 1 v" 0 v2 0 ... 0 vn 3
E / himpunan sisi !edges& yang menghubungkan sepasang
simpul
/ 1e" 0 e2 0 ... 0 en 3
G" G2 G$
Gambar 2. !a& graf sederhana0 !b& graf ganda0 dan !*& graf semu
Contoh 1. Pada Gambar 20 G" adalah graf dengan
V / 1 "0 20 $0 4 3
E / 1 !"0 2&0 !"0 $&0 !20 $&0 !20 4&0 !$0 4& 3
G2 adalah graf dengan
V / 1 "0 20 $0 4 3
E / 1 !"0 2&0 !20 $&0 !"0 $&0 !"0 $&0 !20 4&0 !$0 4&0 !$0 4& 3 / 1
e"0 e20 e$0 e40 e50 e%0 e#3
G$ adalah graf dengan
V / 1 "0 20 $0 4 3
E / 1 !"0 2&0 !20 $&0 !"0 $&0 !"0 $&0 !20 4&0 !$0 4&0 !$0 4&0 !$0 $& 3
2
1 1 1
2 3
4
2 3
4
2
4
3
e1
e2
e3
e4
e5
e6
e7
e1
e2
e3
e4
e5
e6
e7
e8
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 3/33
/ 1 e"0 e20 e$0 e40 e50 e%0 e#0 e63
• Pada G20 sisi e$ / !"0 $& dan sisi e4 / !"0 $& dinamakan sisi-
ganda !multiple edges atau paralel edges& karena kedua sisi
ini menghubungi dua buah simpul yang sama0 yaitu simpul "
dan simpul $.
• Pada G$0 sisi e6 / !$0 $& dinamakan gelang atau kalang !loop&
karena ia berawal dan berakhir pada simpul yang sama.
Jenis-Jenis Graf
• (erdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu
graf0 maka graf digolongkan menjadi dua jenis:
". Graf sederhana ! simple graph&.
Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda
dinamakan graf sederhana. G" pada Gambar 2 adalah
*ontoh graf sederhana
2. Graf tak-sederhana !unsimple-graph&.
Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan
graf tak-sederhana !unsimple graph&. G2 dan G$ pada
Gambar 2 adalah *ontoh graf tak-sederhana
• (erdasarkan jumlah simpul pada suatu graf0 maka se*ara
umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis:
". Graf berhingga !limited graph& Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya0 n0
berhingga.
2. Graf tak-berhingga !unlimited graph&
$
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 4/33
Graf yang jumlah simpulnya0 n0 tidak berhingga banyaknya
disebut graf tak-berhingga.
• (erdasarkan orientasi arah pada sisi0 maka se*ara umum graf
dibedakan atas 2 jenis:
". Graf tak-berarah !undirected graph&
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut
graf tak-berarah. Tiga buah graf pada Gambar 2 adalah
graf tak-berarah.
2. Graf berarah !directed graph atau digraph&
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebutsebagai graf berarah. ,ua buah graf pada Gambar $ adalah
graf berarah.
!a& G4 !b& G5
Gambar 3 !a& graf berarah0 !b& graf-ganda berarah
Tabel 1 Jenis-jenis graf 78S99
Jenis Sisi Sisi ganda
dibolehkan
Sisi gelang
dibolehkan
Graf sederhana
Graf ganda
Graf semu
Graf berarah
Graf-ganda berarah
Tak-berarah
Tak-berarah
Tak-berarah
(earah
(earah
Tidak
;a
;a
Tidak
;a
Tidak
Tidak
;a
;a
;a
4
1 1
2 3
4
2 3
4
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 5/33
Contoh Terapan Graf
". Rangkaian listrik .
!a& !b&
2. Isomer senyawa kimia karbon
metana !)<4& etana !)2<%& propana !)$<6&
$. Transaksi konkuren pada basis data terpusat
Transaksi T = menunggu transaksi T " dan T 2
Transaksi T 2 menunggu transaksi T "
Transaksi T " menunggu transaksi T $ Transaksi T $ menunggu transaksi T 2
5
AB
C
DEF
A
BC
E D
F
C
H
H
HH
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 6/33
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 7/33
eterangan:
a : = sen dimasukkan
b : 5 sen dimasukkanc : "= sen dimasukkan
d : "5 sen atau lebih dimasukkan
Terminologi Graf
G" G2 G$
Gambar 4. Graf yang digunakan untuk menjelaskan terminologi pada graf
1. Ketetanggaan ( Adjacent
,ua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung
langsung.
Tinjau graf G" : simpul " bertetangga dengan simpul 2 dan $0simpul " tidak bertetangga dengan simpul 4.
2. !ersisian ( Incidency
Hntuk sembarang sisi e / !v 0 vk & dikatakan
e bersisian dengan simpul v 0 atau
e bersisian dengan simpul vk
Tinjau graf G": sisi !20 $& bersisian dengan simpul 2 dan simpul $0sisi !20 4& bersisian dengan simpul 2 dan simpul 40
tetapi sisi !"0 2& tidak bersisian dengan simpul 4.
3. "imp#l Terpen$il ( Isolated Vertex
#
1
32
4
1
2
3
4
5
1
2
e1
e2
e3
e4
e53
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 8/33
"impul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang
bersisian dengannya.
Tinjau graf G": simpul 5 adalah simpul terpen*il.
4. Graf Kosong (null graph ata# empty graph
Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong ! # n&.
Graf # 5 :
%. Dera&at ( Degree
$eraat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan
simpul tersebut.
Iotasi: d !v&
Tinjau graf G":
d !"& / d !4& / 2d !2& / d !$& / $
Tinjau graf G$: d !5& / = simpul terpen*il
d !4& / " simpul anting-anting ! pendant vertex&
Tinjau graf G2: d !"& / $ bersisian dengan sisi ganda
d !2& / 4 bersisian dengan sisi gelang !loop&
Pada graf berarah0
d in!v& / derajat-masuk !in-degree&
/ jumlah busur yang masuk ke simpul v
d out!v& / derajat-keluar !out-degree&
6
1
2
3
4
5
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 9/33
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 10/33
Tinjau graf G$: d !"& @ d !2& @ d !$& @ d !4& @ d !5&
/ 2 @ 2 @ $ @ " @ = / 6
/ 2 × jumlah sisi / 2 × 4
Contoh 2. ,iketahui graf dengan lima buah simpul. ,apatkah kita
menggambar graf tersebut jika derajat masing-masing simpul
adalah:
!a& 20 $0 "0 "0 2
!b& 20 $0 $0 40 4
Penyelesaian:!a&tidak dapat0 karena jumlah derajat semua simpulnya ganjil
!2 @ $ @ " @ " @ 2 / 9&.
!b& dapat0 karena jumlah derajat semua simpulnya genap
!2 @ $ @ $ @ 4 @ 4 / "%&.
. 'intasan ( Path
'intasan yang panjangnya n dari simpul awal v= ke simpul tujuan
vn di dalam graf G ialah barisan berselang-seling simpul-simpuldan sisi-sisi yang berbentuk v=0 e"0 v"0 e20 v20... 0 vn "0 en0 vn
sedemikian sehingga e" / !v=0 v"&0 e2 / !v"0 v2&0 ... 0 en / !vn-"0 vn&
adalah sisi-sisi dari graf G.
"=
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 11/33
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 12/33
Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tidak berarahnya
terhubung !graf tidak berarah dari G diperoleh dengan
menghilangkan arahnya&.
,ua simpul0 u dan v0 pada graf berarah G disebut terh#b#ng k#at! strongly connected & jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan
juga lintasan berarah dari v ke u.
Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tidak
berarahnya0 maka u dan v dikatakan terh#b#ng lemah !weakly
coonected &.
Graf berarah G disebut graf terh#b#ng k#at ! strongly connected
graph& apabila untuk setiap pasang simpul sembarang u dan v di G0terhubung kuat. alau tidak0 G disebut graf terh#b#ng lemah.
graf berarah terhubung lemah graf berarah terhubung kuat
+. ,pagraf ( Subgraph dan Komplemen ,pagraf
'isalkan G / !V 0 E & adalah sebuah graf. G" / !V "0 E "& adalah
#pagraf ! subgraph& dari G jika V " ⊆ V dan E " ⊆ E .
Komplemen dari upagraf G" terhadap graf G adalah graf G2 / !V 20 E 2& sedemikian sehingga E 2 / E - E " dan V 2 adalah himpunan
simpul yang anggota-anggota E 2 bersisian dengannya.
"2
1
2
3 4
1
2 3
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 13/33
!a& Graf G" !b& Sebuah upagraf !*& komplemen dari upagraf !b&
Komponen graf !connected component & adalah jumlah maksimum
upagraf terhubung dalam graf G.
Graf G di bawah ini mempunyai 4 buah komponen.
Pada graf berarah0 komponen terhubung kuat ! strongly connected
component & adalah jumlah maksimum upagraf yang terhubung
kuat.
Graf di bawah ini mempunyai 2 buah komponen terhubung kuat:
"$
1
2
3
4 5
6
1
6
5
31
2
3
52
1
2 3 4
5
6 7
8
9
1 0
1 1
1 2
1 3
2 3
4
5
1
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 14/33
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 15/33
Gra! berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga
!bobot&.
!eberapa Graf "ederhana Kh#s#s
a. Graf 'engkap (Complete Graph
Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi
ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan
dengan & n. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul
adalah n!n "&K2.
& " & 2 & $ & 4 & 5 & %
b. Graf 'ingkaran
Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua.
Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan % n.
"5
a
b
c d
e
1 0 1 2
8
1 5 91 1
1 4
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 16/33
$. Graf Terat#r ( egular Graphs
Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf
terat#r. Lpabila derajat setiap simpul adalah r 0 maka graf tersebut disebut
sebagai graf teratur derajat r . Jumlah sisi pada graf teratur adalah nr K2.
d. Graf !ipartite ( !ipartite Graph
Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan
bagian V " dan V 20 sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan
sebuah simpul di V " ke sebuah simpul di V 2 disebut graf bipartit dan
dinyatakan sebagai G!V "0 V 2&.
V " V 2
Graf G di bawah ini adalah graf bipartit0 karena simpul-simpunya dapat
dibagi menjadi V " / 1a0 b0 d 3 dan V 2 / 1c0 e0 ! 0 g 3
G
"%
a b
c
d e
f
g
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 17/33
graf persoalan utilitas0 topologi bintang
epresentasi Graf
1. 0atriks Ketetanggaan (adjacency matrix
' / 7ai0
"0 jika simpul i dan bertetangga
ai / 1
=0 jika simpul i dan tidak bertetangga
)ontoh:
4$2" 54$2"
4$2"
"#
H 2
H 3
W G E
1
32
4
1
23
4
5
1
2 3
4
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 18/33
4
$
2
"
=""=
"=""
""="
=""=
=====
=="==
="=""
=="="
==""=
5
4
$
2
"
4
$
2
"
=""=
==="
""="
=="=
!a& !b& !*&
4$2"
4
$
2
"
=2"=
2""2
""="
=2"=
,erajat tiap simpul i:!a& Hntuk graf tak-berarah0
d !vi& / ∑=
n
ia
"
!b& Hntuk graf berarah0
d in !v & / jumlah nilai pada kolom / ∑=
n
i
ia
"
d out !vi& / jumlah nilai pada baris i / ∑=
n
ia"
"6
1
2
4
3
e1
e2
e3
e4
e5
e6
e7
e 8
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 19/33
a b c d e
∞∞
∞∞
∞∞∞
∞
∞∞∞
"56"=
"5"4""
"49
6""9"2
"="2
e
d
c
b
a
2. 0atriks !ersisian (incidency matrix
' / 7ai0
"0 jika simpul i bersisian dengan sisi
ai / 1
=0 jika simpul i tidak bersisian dengan sisi
"9
a
b
c d
e
1 0 1 2
8
1 5 91 1
1 4
1 2
3
4
e1
e2
e3
e4
e5
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 20/33
e" e2 e$ e4 e5
4
$
2
"
"====
"""==
=="""
="=""
3. "enarai Ketetanggaan (adjacency list
Simpul
Simpul Tetangga Simpul Simpul Tetangga Simpul Simpul Terminal
" 20 $ " 20 $ " 2
2 "0 $0 4 2 "0 $ 2 "0 $0 4
$ "0 20 4 $ "0 20 4 $ "
4 20 $ 4 $ 4 20 $
5 -
!a& !b& !*&
Graf somorfik ( Isomorphic Graph
• ,ua buah graf yang sama tetapi se*ara geometri berbeda disebut grafyang saling isomorfik .
• ,ua buah graf0 G" dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat
korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-
sisi keduaya sedemikian sehingga hubungan kebersisian tetap terjaga.
2=
1
32
4
1
23
4
5
1
2 3
4
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 21/33
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 22/33
Gambar .3 Graf !a& dan graf !b& isomorfik 7,M8#4
ed cba ( vw y x
'G" /
e
d
c
b
a
="===
"="="
="=""
=="="
="""=
'G2 /
(
v
w
y
x
="===
"="="
="=""
=="="
="""=
!a&
!b&
Gambar .3+ !a& ,ua buah graf isomorfik0 !b& tiga buah graf isomorfik
,ari definisi graf isomorfik dapat dikemukakan bahwa dua buah graf
isomorfik memenuhi ketiga syarat berikut 7,M8#4:
". 'empunyai jumlah simpul yang sama.
2. 'empunyai jumlah sisi yang sama
$. 'empunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu
Iamun0 ketiga syarat ini ternyata belum *ukup menjamin. Pemeriksaan
se*ara visual perlu dilakukan.
22
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 23/33
!a& !b&
Graf )lanar ( Planar Graph dan Graf !idang ( Plane Graph
Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak salingmemotong disebut sebagai graf planar0 jika tidak0 ia disebut graf tak-
planar.
Gambar .4/ & 4 adalah graf planar
2$
x
u
v
w
y
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 24/33
Gambar .41 & 5 bukan graf planar
Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling
berpotongan disebut graf bidang ! plane graph&.
!a& !b& !*&
Gambar .42 Tiga buah graf planar. Graf !b& dan !*& adalah graf bidang
Contoh .2. Persoalan utilitas !utility problem&
!a& !b&
Gambar .43 !a& Graf persoalan utilitas ! & $0$&0 !b& graf persoalan utilitas
bukan graf planar.
Sisi-sisi pada graf planar membagi bidang menjadi beberapa wilayah
!region& atau muka ! !ace&. Jumlah wilayah pada graf planar dapat dihitung
dengan mudah.
24
H 2
H 3
W G E
H 2
H 3
W G E
H 1
H 1
R1
R2
R3
R5
R4
R6
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 25/33
Gambar .44 Graf planar yang terdiri atas 4 wilayah
#m#s #ler
n ) e * ! / 2 !%.5&
yang dalam hal ini0
! + jumlah wilayah
e / jumlah sisi
n / jumlah simpul
Contoh .2*. Pada Gambar %.440 e / "" dan n / #0 maka ! / "" # @ 2 / %.
Pada graf planar sederhana terhubung dengan ! wilayah0 n buah simpul0 dan
e buah sisi !dengan e B 2& selalu berlaku ketidaksamaan berikut:
e ≥ $ ! K2
dan
e ≤ $n %
Contoh .2+. Pada Gambar %.44 di atas0 % ≥ $!4&K2 dan % ≤ $!4& 2.
etidaksaamaan
e ≤ $n %
tidak berlaku untuk graf & $0$
karena
e / 90 n / %
9 ≤ !$&!%& % / "2!jadi0 e ≤ $n %&
25
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 26/33
padahal graf & $0$ bukan graf planar>
(uat asumsi baru: setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh paling sedikit
empat buah sisi0
,ari penurunan rumus diperoleh
e ≤ 2n - 4
Contoh .2. Graf & $0$ pada Gambar %.4$!a& memenuhi ketidaksamaan e ≤
2n %0 karena
e / 90 n / %9 ≤ !2&!%& 4 / 6 !salah&
yang berarti & $0$ bukan graf planar.
Teorema K#ratoski
(erguna untuk menentukan dengan tegas keplanaran suat graf.
2%
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 27/33
!a& !b& !*&
Gambar .4% !a& Graf uratowski pertama
!b& dan !*& Graf uratowski kedua !keduanya
isomorfik&
Sifat graf uratowski adalah:
". edua graf uratowski adalah graf teratur.
2. edua graf uratowski adalah graf tidak-planar
$. Penghapusan sisi atau simpul dari graf uratowski menyebabkannya
menjadi graf planar.
4. Graf uratowski pertama adalah graf tidak-planar dengan jumlah simpul
minimum0 dan graf uratowski kedua adalah graf tidak-planar dengan
jumlah sisi minimum.
T05 K#ratoski. Graf G bersifat planar jika dan hanya jika ia tidak
mengandung upagraf yang sama dengan salah satu graf uratowski atau
homeomorfik !homeomorphic& dengan salah satu dari keduanya.
G" G2 G$
Gambar .4 Tiga buah graf yang homemorfik satu sama lain.
Contoh .3/. Sekarang kita menggunakan Teorema uratowski untuk
memeriksa keplanaran graf. Graf G pada Gambar %.4# bukan graf planar
karena ia mengandung upagraf !G"& yang sama dengan & $0$.
2#
v
x
y
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 28/33
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 29/33
Sirkuit Muler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali..
Graf yang mempunyai sirkuit Muler disebut graf #ler ! Eulerian graph&.
Graf yang mempunyai lintasan Muler dinamakan juga graf semi-#ler
! semi-Eulerian graph&.
Contoh .31. Fintasan Muler pada graf Gambar %.42!a& : $0 "0 20 $0 40 "
Fintasan Muler pada graf Gambar 5.42!b& : "0 20 40 %0 20 $0 %0 50 "0 $
Sirkuit Muler pada graf Gambar %.42!*& : "0 20 $0 40 #0 $0 50 #0 %0 50 20 %0 "
Sirkuit Muler pada graf Gambar %.42!d& : a0 c0 ! 0 e0 c0 b0 d 0 e0 a0 d 0 ! 0 b0 a
Graf !e& dan !f& tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Muler
Gambar .42 !a& dan !b& graf semi-Muler
!*& dan !d& graf Muler
!e& dan !f& bukan graf semi-Muler atau graf Muler
T05 .2. Graf tidak berarah memiliki lintasan Muler jika dan hanya
jika terhubung dan memiliki dua buah simpul berderajat ganjil atau tidak ada
simpul berderajat ganjil sama sekali.
29
12
3 4
1 2
3
4
5 6
1
2 3
4
5
6 7
a
b
e
d
c
f
ba
c d
1 2
3
4 5 e
! a & ! b & ! * &
! d & ! e & ! f &
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 30/33
T05 .3. Graf tidak berarah G adalah graf Muler !memiliki sirkuit
Muler& jika dan hanya jika setiap simpul berderajat genap.
!)atatlah bahwa graf yang memiliki sirkuit Muler pasti mempunyai lintasan Muler0 tetapi tidak sebaliknya&
T05 .4. Graf berarah G memiliki sirkuit Muler jika dan hanya jikaG terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar
sama. G memiliki lintasan Muler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap
simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama ke*uali dua simpul0
yang pertama memiliki derajat-keluar satu lebih besar derajat-masuk0 dan
yang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih besar dari derajat-keluar.
Gambar .43 !a& Graf berarah Muler !a0 g 0 c0 b0 g 0 e0 d 0 ! 0 a&
!b& Graf berarah semi-Muler !d 0 a0 b0 d 0 c0 b&
!*& Graf berarah bukan Muler maupun semi-Muler
Gambar .44 (ulan sabit 'uhammad
'intasan dan "irk#it 6amilton
$=
a
b
c
d e
f g
a b
c d
a b
c d
! a & ! b & ! * &
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 31/33
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 32/33
derajat tiap simpul paling sedikit nK2 !yaitu0 d !v& ≥ nK2 untuk setiap simpul v
di G&.
T05 .. Setiap graf lengkap adalah graf <amilton.
T05 .*. ,i dalam graf lengkap G dengan n buah simpul !n ≥ $&0
terdapat !n - "&>K2 buah sirkuit <amilton.
T05 .+. ,i dalam graf lengkap G dengan n buah simpul !n ≥ $ dan
n ganjil&0 terdapat !n - "&K2 buah sirkuit <amilton yang saling lepas !tidak
ada sisi yang beririsan&. Jika n genap dan n ≥ 40 maka di dalam G terdapat
!n - 2&K2 buah sirkuit <amilton yang saling lepas.
Contoh .33. !Persoalan pengaturan tempat duduk&. Sembilan anggota
sebuah klub bertemu tiap hari untuk makan siang pada sebuah meja bundar.
'ereka memutuskan duduk sedemikian sehingga setiap anggota mempunyai
tetangga duduk berbeda pada setiap makan siang. (erapa hari pengaturan
tersebut dapat dilaksanakan
Jumlah pengaturan tempat duduk yang berbeda adalah !9 - "&K2 / 4.
Gambar .4* Graf yang merepresentasikan persoalan pengaturan tempat
duduk.
$2
1
2
3
5
6
7
8
9
8/13/2019 52227885 Sirkuit Euler
http://slidepdf.com/reader/full/52227885-sirkuit-euler 33/33
(eberapa graf dapat mengandung sirkuit Muler dan sirkuit <amilton sekaligus0 mengandung sirkuit Muler
tetapi tidak mengandung sirkuit <amilton0 mengandung sirkuit Muler dan lintasan <amilton0 mengandung
lintsan Muler maupun lintasan <amilton0 tidak mengandung lintasan Muler namun mengandung sirkuit
<amilton0 dan sebagainya. Graf pada Gambar !a& mengandung sirkuit <amilton maunpun sirkuit Muler0
sedangkan graf pada Gambar %.46!b& mengandung sirkuit <amilton dan lintasan Muler !periksa>&.
!a& !b&
Gambar .4+ !a& Graf <amilton sekaligus graf Muler
!b& Graf <amilton sekaligus graf semi-Muler
6
5
4
1
3
2
5
1 2
34
top related