3. hampiran numerik ian persamaan tak linear
Post on 30-May-2018
229 Views
Preview:
TRANSCRIPT
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 1/26
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 2/26
Hampiran Numerik Penyelesaian
Persamaan Tak LinearPertemuan 3
Matakuliah : METODE NUMERIK I
Tahun : 2008
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 3/26
Bina Nusantara
Persamaan Tak Linier adalah persamaan yang
mengandung variabel berpangkat lebih dari satu
dan/atau yang mengandung fungsi-fungsi transenden
PERSAMAAN TAK LINIER (N0N LINEAR)
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 4/26
Bina Nusantara
PERSAMAAN TAK LINIER (N0N LINEAR)
Contoh:
0...)( 3
3
2
21
0
0
0 =+++++== ∑=
n
n
n
k
k
k xa xa xa xa xa xa x f 1.
02)( 2=+−= xe x f x
2.
0sin)( =+−=
−
x xe x f x
3.
Persamaan Tak Linier adalah persamaan yangmengandung variabel berpangkat lebih dari satu
dan/atau yang mengandung fungsi-fungsi transenden
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 5/26
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 6/26
Bina Nusantara
Bracketing Methods vs Open Methods
Bracketing Methods:
- Memerlukan paling sedikit dua nilai akar sebagaidugaan awal
-Akar dugaan mengapit akar persamaan yang dicari- Lebih mudah memenuhi asumsinya dibanding openmethods
Open Methods
- Umumnya hanya perlu satu nilai dugaan awal- Lebih efisien dibanding Bracketing Methods, tetapi
metode ini tidak selalu convergen
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 7/26
Bina Nusantara
f(x)
x
xl
xu xr xr xr
Terdapat akar banyak dan
ganjil.
f(x)
x xu
xl xr
Bila f(xu ) dan f(xl ) berlainan tanda
maka pasti akar, xr , diantara xu
dan xl .
i.e. xl < xr < xu.
Hal yang perlu diperhatikan dalammenggunkan Bracketing Methods
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 8/26
Bina Nusantara
f(x)
x xl xu
xr xr
f(x)
x
xl xu
Bila f(xu ) dan f(xl ) mempunyai
tanda yang sama, maka kemungkinan
tidak
terdapa akar diantara xl and xu.
Kemungkinan terdapat
akar genap diantara x l and x
u .
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 9/26
Bina Nusantara
f(x
)
x
Terdapat
akar
ganda
f(x
)
x
Bila fungsi tangensial terhadap
sumbu
X,maka terdapat akar ganda
(multiple)
Fungsidiskontinuitas
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 10/26
Bina Nusantara
Metode BisectionLangkah-langkah menentuakan akar suatu persamaan
menggunakan metode Bisection
1. Pilih batas bawah dan batas atas interval (a and b) yangdiperkirakan memuat akar
2. Pilih a < b, sehiungga a dan b berada pada jangkauan fungsi3. Periksa apakah terdapat akar antara a and b atau
(f(a)*f(b) < 0)4. Hitung nilai tengah a dan b {Nilai tengah (Nt) = (a+b)/2}5. Jika f(Nt)*f(a) < 0 maka akar berada antar nilai tengah dan a
(ubah b=Nt), sebaliknya (ubah a=Nt)6. Jika f(Nt) lebih besar dari epsilon ( ε) kembali ke langkah 4,lainnya, nyatakan Nilai tengah sebagai akar
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 11/26
Bina Nusantara
Relatif error:
Absolut Error:
%100.
1
1
+
+−
=
n
nn
r
x
x xε
%100.
1
1
+
+−
=
n
nn
r
x
x xε
1.+
−= nnr x x Abs ε
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 12/26
Bina Nusantara
Metoda Bisection
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 13/26
Bina Nusantara
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 14/26
Bina Nusantara
Contoh: Tentukan Akar dari x6-6=0 pada
interval [1,2]n an bn Nt=(a+b)/
2
f(Nilaitengah)
│Ntn+1 -Ntn│
0 1 2 1.5 5.390625
1 1 1.5 1.25 -2.1853 0.25
2 1.25 1.5 1.375 0.7580 -0.125
3 1.25 1.375 1.3125 -0.8879 0.0625
4 1.3125 1.375 1.34375 -0.11277 -0.03125
5 1.34375 1.375 1.35938 0.31009 -0.015636 1.34375 1.35938 1.35156 0.09560 0.00781
7 1.34375 1.35156 1.34766 -0.00934 0.00391
8 1.34766 1.35156 1.34961 0.04294 -0.00195
9 1.34766 1.34961 1.34863 0.01676 0.00098
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 15/26
Bina Nusantara
Metoda Posisi SalahMetoda posisi salah (Regula Falsi) tetap
menggunakan dua titik perkiraan awal seperti pada
metoda bagi dua yaitu a0 dan b0 dengan syaratf(a0).f(b0) < 0. Metoda Regula Falsi dibuat untuk
mempecepat konvergensi iterasi pada metoda bagi
dua yaitu dengan melibatkan f(a) dan f(b)Rumus iterasi Regula Falsi:
n=0,1,2,3,…)(
) )()((
)(n
nn
nnnr b f
a f b f
abb X
−
−
−=
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 16/26
Bina Nusantara
n a b f(a) f(b) f(xr ) Xr ((Xr -Xr+1 )/Xr+1 )*100
0 1 3 0.5 -0.1 -0.10968 3.1
1 1 3.1 0.5 -0.10968 -0.06939 2.7222213.87756
2 1 2.7222 0.5 -0.06939 -0.04177 2.51235 8.35379
3 1 2.5123 0.5 -0.04177 -0.02434 2.39575 4.86687
4 1 2.3957 0.5 -0.02433 -0.01390 2.33097 2.77897
5 1 2.331 0.5 -0.01389 -0.00784 2.29498 1.56807
… … … … … … … …
… … … … … … … …
24 1 2.25 0.5 -2E-07 -1.12916E-07 2.25000
25 1 2.25 0.5 -1.1E-07 -6.27312E-08 2.25 (akar ) 0.00004
Contoh:
Menggunakan Metode False-Position tentukan akar dari f(x)=(0,9-0,4X)/X pada
interval [1, 3]
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 17/26
Bina Nusantara
Metode Terbuka
Metoda titik tetap
Akar dari f(x)=0 ditentukan dengan Iterasixn+1 =g(x), untuk n=0,1,2,3,…
atau xn+1 =xn + f(xn), untuk n=0,1,2,3,…
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 18/26
Bina Nusantara
Contoh:f(x) = 1 – x – x^3=0
3
2
^nx-1
nx
1nx
+
=+
0
0 x =Jawab :
2
30-10 x1
+=
0 .5 =
00
2
3.5-1.5 x2
+=
0 .6875=
6875. 2
30.6875-10 x3 +=
0 .6813 =
6813.
2
30.6813-10
x4
+=
0.6825 =
6825.
2
30.6825-10
x5
+=
0 .6823=
00
2
3 .6823-1.6823 x6
+=
0 .6823 =
Jadi akar pendekatan adalah .68230
Rumus iterasi diperolehdengan x=x +f(x) yaitu:1-2x-x 3̂ = -x, kemudiandiubah menjadi:
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 19/26
Bina Nusantara
Metode Newton-RaphsonAsumsi:• f(x) Kontinu dan dapat dapat
diturunkan (differetiable) pada [a, b]• Nilai akar dugaan awal (x0) beradapada interval [a, b] dapat ditetntukan
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 20/26
Bina Nusantara
Grafik
f( x
)
f ’( xi
)
x
i
xi+
1
)('
)(
)('
)(
)()('
1
1
1
i
i
ii
i
i
ii
ii
i
i
x f
x f x x
x f
x f x x
x x
x f x f
−=
=−
−
=
+
+
+
Metode Newton-Raphson
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 21/26
Bina Nusantara
Langkah-langkah Menentukan Akar Menentukan akar suatu fungsi/persamaan tidak
linear dengan metode Newton-Raphson:1) Andaikan x i sebagai akar dugaan awal
2) Tentukan x i+1 dengan
3) Andaikan xi= xi+1 ulangi langkah 2 dan 3 hinggahasilnya cukup akurat,
misalnya bila , ε =bilangan bulat positif kecil
)('
)(1
i
iii
X f
X f X X −=
+
ε <
−
+
+
1
1
n
nn
x
x x
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 22/26
Bina Nusantara
Contoh: Hitung akar dari f(x) = x3 – 15
f’(x) = 3x2
Andaikan X1= 3
maka X2= 3-{[3(3)3-15]/[3.(3)2]} = 2,55555556
X3 = 2,5556 - {[3(2,5556)3-15]/[3.(2,5556)2]}
= 2.46929917X4 = 2,46621207 (merupakan Akar Pendekatan)
)('
)(1
i
iii
X f
X f X X −=
+
Relatif error= 0.000156%
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 23/26
Bina Nusantara
Metode ScantAsumsi:• f(x) Kontinu pada [a, b]
• Interval pemuat [xo, x1] diketahui
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 24/26
Bina Nusantara
Langkah Penyelesaian• Membangun barisan titik potong xn+1 antara sumbu
–x dengan garis lurus yang melewati titik (xn-1, f(xn-
1)) dan titik (xn+1, f(xn+1))
• Membangkitkan barisan akar pendekatan{xn:n≥2} secara iteratif menggunakan formula
)()()(
1
1
1−
−
+
−
−−=
nn
nn
nnn x f x f
x x x f x x
x1
x0 x2 x3
f(x)
x
yGrafik
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 25/26
Bina Nusantara
Contoh: Cari akar riel dari x6-x-1=0 pada
[1,2] n xn f(xn) |((xn-xn-1 )/xn)x100|
0 2 61
1 1 -1 100.00
2 1.016129 -0.915367714 1.59
3 1.190578 0.657465697 14.65
4 1.117656 -0.168491168 6.52
5 1.132532 -0.022437286 1.316 1.134817 0.000953564 0.20
7 1.134724 -5.06617E-06 0.01
8 1.134724 (akar) -1.13476E-09 0.00
8/14/2019 3. Hampiran Numerik ian Persamaan Tak Linear
http://slidepdf.com/reader/full/3-hampiran-numerik-ian-persamaan-tak-linear 26/26
Bina Nusantara
Soal Latihan
1. Tentukan akar dari:f(x)=6X3 -5X2 +7X-2 nilai dugaan awal a=0 dan b=1 untuk (εr <
0,01%)
Menggunakan Metode Bisection dan Metode False-Position,
2. Tentukan akar dari f(x)= Sin x = X2, bila x dalam radian,pada [1/2, 1] untuk menggunakan Metode Newton-Raphson (εr <
0,1%)
3. Tentukan akar dari f(x)= X4
-8X3
+ X2
-2x +1, menggunakanMetode Titik Tetap, batas toleransi kesalahan (εr < 1,0%)
top related