29 area de superficie z=f(x,y)
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CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 1
ÁREA DE UNA SUPERFICIE
S: z = f (x, y)
Rosa Ñique Alvarez 1
CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO III
SUPERFICIE
Rosa Ñique Alvarez 2
S: z = f (x, y)
S : es una superficie definida en forma explícita
Ejemplo
Rosa Ñique Alvarez 3
22 xyz −=
Paraboloide
Paraboloide Hiperbólico (Silla de montar)
22 yxz +=
ÁREA DE UNA SUPERFICIE
Rosa Ñique Alvarez4
S: z = f (x, y)
∫∫=S
dSS )Area(
[ ] [ ] dAffSXYR
yx∫∫ ++= 1 )Area( 22
Rosa Ñique Alvarez 5
Diferencial de superficie
Rosa Ñique Alvarez 6
iT∆
iS∆
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CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 2
Rosa Ñique Alvarez 7
P = (x, y , f(x, y))
Q
Q=(x+Δx, y , f(x+ Δx, y))
R
R=(x, y+Δy , f(x, y + Δy))
Rosa Ñique Alvarez 8
P = (x, y , f(x, y)) Q=(x+Δx, y , f(x+ Δx, y))
a =PQ = Q – P = (Δx , 0, fx(x, y) Δx )
b =PR = R – P = (0, Δy, fy(x, y) Δy )
R = (x, y+Δy , f(x, y + Δy))
kyyxfjyi
kxyxfjix
y
x
rrr
rrr
∆+∆+=
∆++∆=
),(0
),(0
b
a
yyxfyxyxfx
kji
y
x
∆∆∆∆=
),(0),(0
rrr
ba x
Rosa Ñique Alvarez 9 Rosa Ñique Alvarez 10
( ) yxyxfyxf yx ∆∆−−= 1),,(),,(ba x
yyxfyxyxfx
y
x
∆∆∆∆=
),(0),(0
kjiba x
Area del paralelogramo ∆Ti
( ) ( )
( ) ( ) dAyxfyxfT
yxyxfyxfT
iiyiixi
iiyiixi
1),(),(
1),(),(
22
22
++==∆
∆∆++==∆
ba
ba
x
x
Rosa Ñique Alvarez 11
Aproximación de ∆Si
ii TS ∆≈∆
Rosa Ñique Alvarez 12
( ) ( ) dAyxfyxfT iiyiixi 1),(),( 22 ++=∆
( ) ( ) dAyxfyxfS iiyiixi 1),(),( 22 ++≈∆
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CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 3
Aproximación de ∆Si
( ) ( ) dAyxfyxfS iiyiix
n
i1),(),(deArea 22
10lim ++= ∑
=→∆
Rosa Ñique Alvarez 13
( ) ( ) iiiyiixi TdAyxfyxfS ∆=++≈∆ 1),(),( 22
DEFINICIONEl área de la superficie con ecuación z = f (x, y) ,(x, y) ε RXY, donde fx y fy son continuas en RXY, es
Observe que RXY esta contenido en el plano XY
[ ] [ ] dAyxfyxfSXYR
yx∫∫ ++= 1),(),( )Area( 22
Rosa Ñique Alvarez 14
NOTACIÓN
[ ] [ ] dAyxfyxfS
dSS
XYRyx
S
∫∫
∫∫
++=
=
1),(),()Area(
)Area(
22
Rosa Ñique Alvarez 15
Observe que RXY esta contenido en el plano XY
S: z = f (x, y) Cálculo del dS
),(: yxfzS =
( ) ( ) dAyxfyxfSd yx 1),(),( 22 ++=
Rosa Ñique Alvarez 16
Modelo explícito
EJEMPLO 1
Calcule el área de la parte superior de la esferax2 + y2 + z2 = 4 que se encuentra dentro delcilindro x2 + y2 = 2x.
∫∫=
S
dSSArea )(
Rosa Ñique Alvarez 17 Rosa Ñique Alvarez 18
Sx2+y2+z2=4
x2+y2=2x
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CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 4
Solución
2222
22222
4;
4
44:
yx
yzyx
xz
yxzzyxS
yx−−
−=
−−
−=
−−=→=++
Rosa Ñique Alvarez 19
Proyectando la superficie S: x2 + y2 + z2 = 4 sobre el plano XY
Solución
[ ] [ ]
( ) dAyx
dS
dAyxzyxzdS yx
22
22
42
1),(),(
+−=
++=
Rosa Ñique Alvarez 20
Proyectando la superficie S: x2 + y2 + z2 = 4 sobre el plano XY
Solución
[ ] [ ]
( ) dAyx
dS
dAyxzyxzdS yx
22
22
42
1),(),(
+−=
++=
Rosa Ñique Alvarez 21
Proyectando la superficie S: x2 + y2 + z2 = 4 sobre el plano XY
Solución: usando coordenadas polares
∫∫∫∫+−
==XYRS
dAyx
dSS)(4
22)(Area22
Rosa Ñique Alvarez 22
4: 222 =++ zyxS Porción de esfera
Descripción de la región R (primer cuadrante)
≤≤≤≤
2/0cos20
:πθ
θrRXY
Rosa Ñique Alvarez 23
Solución: usando coordenadas polares
∫ ∫
∫∫∫∫
−=
+−==
2/
0
cos2
02
22
422)(Area
)(422)(Area
π θ
θdrdrr
S
dAyx
dSSXYRS
Rosa Ñique Alvarez 24
θθ senryrx == ;cos
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CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 5
Solución: usando coordenadas polares
θ
θ
π θ
π θ
ddrr
rS
ddrr
rS
∫ ∫
∫ ∫
−=
−=
2/
0
cos2
02
2/
0
cos2
02
422)(Area
422)(Area
Rosa Ñique Alvarez 25
Solución: usando coordenadas polares
)2(4)(Area
422)(Area
2/
0
cos2
02
−=
−= ∫ ∫
π
θπ θ
S
ddrr
rS
Rosa Ñique Alvarez 26
EJEMPLO 2
Calcule el área de la parte superior delparaboloide hiperbólico (silla demontar) z = y2 - x2 que está entre loscilindros x2 + y2 = 1 , x2 + y2 = 4.
∫∫=
S
dSSArea )(
Rosa Ñique Alvarez 27
Solución: S: z = y2 - x2
( ) ( )( ) ( ) AdyxdS
AdzzdS yx
122
122
22
++−=
++=
Rosa Ñique Alvarez 28
( ) AdyxdS 14 22 ++=
Proyectando la superficie S sobre el plano XY
Solución
4/π4/3π
R
1
≤≤
≤≤
43
4
21π
θπ
rRXY
Rosa Ñique Alvarez 29
Solución
( )
[ ] 42,1555171712)(Area
142)(Area
142)(Area
4/3
4/
2
1
2
22
=−=
+=
++==
∫ ∫
∫∫∫∫
π
θπ
π
S
ddrrrS
dAyxdSSXYRS
Rosa Ñique Alvarez 30
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CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 6
La región R contenida en el plano YZ
),(: zyfxS =
( ) ( ) dAzyfzyfSd zy 1),(),( 22 ++=
Rosa Ñique Alvarez 31
ÁREA DE SUPERFICIE
Rosa Ñique Alvarez 32
[ ] [ ] dAzyfzyfS
dSS
YZRzy
S
∫∫
∫∫
++=
=
1),(),( )Area(
)Area(
22
),(: zyfxS = EXPLÍCITO
La región R contenida en el plano XZ
),(: zxfyS =
( ) ( ) dAzxfzxfSd zx 1),(),( 22 ++=
Rosa Ñique Alvarez 33
AREA DE SUPERFICIE
Rosa Ñique Alvarez 34
[ ] [ ] dAzxfzxfS
dSS
XZRzx
S
∫∫
∫∫
++=
=
1),(),( )Area(
)Area(
22
),(: zxfyS = EXPLÍCITO
EJEMPLO 3
Calcular el área de la superficie cilíndricax2 + (y - 2)2 = 4 comprendida entre elparaboloide x2 + y2 + z = 16 y el planoz = 16.
∫∫=
S
SdSArea )(
Rosa Ñique Alvarez 35 Rosa Ñique Alvarez 36
S
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CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 7
Solución S: x2 + (y - 2)2 = 4, cilindro
Proyectado la porción de S en el plano YZ
Rosa Ñique Alvarez 37
( )
( ) ( )( )
dAy
dAxxdS
yxS
zy 222
2
2421
24:
−−=++=
−−=
Solución: proyectar S dos veces sobre RYZ
∫∫∫∫−−
==YZRS
dAy
dSS2)2(4
22)(Area
Rosa Ñique Alvarez 38
( )224: −−= yxS
Intersección de las superficies
El Cilindro: x2 + (y - 2)2 = 4 y Paraboloide: x 2 + y2 + z =16 se interceptan en la curva
cuando z = 16 - 4y
−=π≤≤+=
=
sentztsenty
txC
882022
cos2:
Rosa Ñique Alvarez 39
Gráfica de la curva C
-2-1
01
2
01
23
40
2
4
6
8
10
12
14
16
xy
z
Rosa Ñique Alvarez 40
Solución: proyectando S en el plano YZ
yz 416 −=
R
4
16
Y
Z
≤≤−≤≤
1641640
zyy
RYZ
Rosa Ñique Alvarez 41
( )224: −−= yxS
Solución: proyectar dos veces sobre RYZ.
dydzy
S
dAy
dSS
y
RS YZ
2
4
0
16
416
2
)2(422)(Area
)2(422)(Area
−−=
−−==
∫ ∫
∫∫∫∫
−
Rosa Ñique Alvarez 42
≤≤−≤≤
1641640
zyy
RYZ
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CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 8
Solución: proyectar dos veces sobre RYZ.
π32)(Area
)2(422)(Area
2
4
0
16
416
=
−−= ∫ ∫
−
S
dydzy
Sy
Rosa Ñique Alvarez 43
EJEMPLO 4
Calcule el área de la superficie del primeroctante cortada en el cilindro x 2 + y 2 = 9 porel plano x = z.
∫∫=
S
dSSArea )(
Rosa Ñique Alvarez 44
Rosa Ñique Alvarez 45
x2+y2=9 S
X
Y
ZSolución S: x 2 + y 2 = 9
Proyectado la porción de S en el plano XZ
Rosa Ñique Alvarez 46
( ) ( ) dAx
dAyydS
xyS
zx 2
22
2
931
9:
−=++=
−=
Solución
dAx
dSSAreaXZRS∫∫∫∫
−==
293)(
Rosa Ñique Alvarez 47
29: xyS −=
Solución: proyectando S sobre el plano XZ
z = x
3X
Z
R
≤≤≤≤
xzx
RXZ 030
Rosa Ñique Alvarez 48
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CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 9
Solución
∫ ∫
∫∫∫∫
−=
−==
3
0 02
2
93)(
93)(
x
RS
xdzdx
SArea
dAx
dSSAreaXZ
Rosa Ñique Alvarez 49
≤≤≤≤
xzx
RXZ 030 Solución
9)(
93)(
3
0 02
=
−= ∫ ∫
SArea
xdzdx
SAreax
Rosa Ñique Alvarez 50
EJEMPLO 5
Calcule el área de la parte superior del cono z2 = x2 + y2 que se encuentra dentro del cilindro x2 + y2 = 2 x.
∫∫=
S
dSSArea )(
Rosa Ñique Alvarez 51
SUGERENCIA: PROYECTANDO EN EL PLANO XZ
Rosa Ñique Alvarez 52
z2=x2+y2
x2+y2=2x
S
Solución S: z2 = x 2 + y 2 CONO
Proyectado dos veces la porción de S en el plano XZ
Rosa Ñique Alvarez 53
( ) ( ) dAxzzdAyydS
xzyS
zx 22
22
22
21
:
−=++=
−=
Solución: Proyectando S dos veces sobre el plano XZ
AdxzzdSSArea
XZRS∫∫∫∫
−==
22
22)(
Rosa Ñique Alvarez 54
22: xzyS −=
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CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 10
Intersección de Superficies
La intersección del Cono: z2 = x2 + y2 y Cilindro:
x2 + y2 = 2 x ocurre cuando la variable
xz 2=
Rosa Ñique Alvarez 55
z = x
xz
2=
2X
Z
R
≤≤
≤≤
xzxx
RXZ 2
20
Rosa Ñique Alvarez 56
Solución: Proyectando S dos veces sobre el plano XZ
22: xzyS −=
Solución: Proyectando S dos veces sobre el plano XZ
∫ ∫
∫∫∫∫
−=
−==
2
0
2
22
22
22)(
22)(
x
x
RS
dxdzxzzSArea
AdxzzdSSArea
XZ
Rosa Ñique Alvarez 57
≤≤
≤≤
xzxx
RXZ 2
20
π2)(
22)(2
0
2
22
=
−= ∫ ∫
SArea
dxdzxzzSArea
x
x
Rosa Ñique Alvarez 58
Solución: Proyectando S dos veces sobre el plano XZ
EJEMPLO 6
Calcule el área de la parte superior del cono z2 = x2 + y2 que se encuentra dentro del cilindro x2 + y2 = 2 x.
∫∫=
S
dSSArea )(
Rosa Ñique Alvarez 59
SUGERENCIA: PROYECTANDO EN EL PLANO XY
Solución: proyectando en el plano XY
Rosa Ñique Alvarez 60
z2=x2+y2
x2+y2=2xS
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CALCULO VECTORIAL
ROSA ÑIQUE ALVAREZ 11
Solución S: z2 = x 2 + y 2
Proyectado dos veces la porción de S en el plano XY
Rosa Ñique Alvarez 61
( ) ( ) dAdAzzdS
yxzS
yx 21
:
22
22
=++=
+=
Solución
Rosa Ñique Alvarez 62
∫∫∫∫ ==XYRS
dAdSSArea 22)(
Solución: en el primer cuadrante
Rosa Ñique Alvarez 63
≤≤≤≤
2/0cos20
:πθ
θrRXY
Solución
Rosa Ñique Alvarez 64
∫ ∫
∫∫∫∫
=
==
2
0
cos2
0
22)(
22)(
πθ
θddrrSArea
dAdSSAreaXYRS
≤≤≤≤
2/0cos20
:πθ
θrRXY
Rosa Ñique Alvarez 65
π
θ
πθ
2)(
22)(2
0
cos2
0
=
= ∫ ∫
SArea
ddrrSArea
Solución: proyectando en el plano XYConclusiones: Ejemplo 5 y 6
Rosa Ñique Alvarez 66
∫ ∫∫∫ =−
==2
0
2
22222)(
x
xS
dxdzxzzdSSArea π
πθ
πθ
222)(2
0
cos2
0
=== ∫ ∫∫∫ ddrrdSSAreaS
Proyectando S:
Proyectando S:
22 xzy −= sobre el plano XZ
sobre el plano XY22 yxz +=
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