2012-1-00539-mtif 2
Post on 07-Jul-2018
226 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
1/28
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Struktur Aljabar
2.1.1 Definisi Struktur Aljabar
Menurut Dr. Kusno Kromodihardjo (1988), yang dimaksud dengan suatu
struktur aljabar yaitu suatu himpunan tak hampa yang dilengkapi dengan suatu
komposisi biner atau lebih. Misalkan S adalah suatu himpunan yang dilengkapi
dengan dua komposisi biner + dan *, maka S menjadi satu struktur aljabar dan diberi
notasi (S, +, *).
2.1.2 Tabel Cayley
Dibutuhkan suatu alat yang konkret untuk mendefinisikan komposisi biner
dalam suatu himpunan khususnya himpunan terhingga yaitu Tabel Cayley. Dengan
tabel Cayley, komposisi biner dapat didefinisikan secara analitik (deskriptif) atau
secara geometrik. Tabel Cayley adalah daftar yang dirancang oleh Arthur Cayley
pada abad ke-19.
Tabel 2.1 Tabel Cayley untuk Operasi Penjumlahan Modulo 4
4+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
2/28
8
Dari tabel Cayley di atas, elemen yang dioperasikan adalah elemen di kolom
abu-abu kiri 0 1 2 dengan operasi 4+ elemen di baris abu-abu atas 0 1 2. Kolom
putih dan baris putih merupakan hasil biner antara masing-masing elemen pada
himpunan. Terlihat bahwa ,000 4 =+ ,110 4 =+ ,220 4 =+ ,101 4 =+ ,211 4 =+
021 4 =+ dan seterusnya.
Dalam sistem aljabar perlu diperhatikan bahwa operasi 4+ di atas belum
tentu berarti operasi penjumlahan yang lazim digunakan dalam aritmatika, namun
dapat berarti pengurangan, perkalian, atau lainnya sesuai dengan definisi yang
diberikan pengguna.
Tabel Cayley banyak digunakan dalam sistem aljabar karena penyusunannya
dapat menggambarkan sifat-sifat grup. Sebagai contoh, operasi penjumlahan modulo
4 dari himpunan A = {0,1,2} merupakan grup abelian (komutatif) dengan melihat
hasil bahwa hasil produk operasi pada Tabel 2.1 saling simetris terhadap sumbu
diagonal utama tabel.
2.1.3 Sifat-Sifat Operasi Aljabar
Menurut Connell (2004), operasi biner pada sistem aljabar memiliki sifat-
sifat yang digunakan untuk mengklasifikasikan sistem tersebut.
A. Operasi Biner (tertutup)
Misalkan ,..}8,6,4,2{= A yaitu bilangan asli genap dan dipandang operasi +,
yaitu operasi penjumlahan, maka operasi + merupakan operasi biner pada A
karena jumlah dua bilangan asli genap selalu merupakan bilangan asli genap
dalam A.
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
3/28
9
),( Aba ∈∀ a+b A∈ + tertutup
B. Operasi Asosiatif
Operasi biner * pada suatu himpunan A bersifat asosiatif jika dan hanya jika
untuk setiap Acba ∈,, berlaku (a*b)*c = a*(b*c).
),,( Acba ∈∀ (a*b)*c = a*(b*c) * asosiatif
C. Komutatif
Operasi biner * pada suatu himpunan A bersifat komutatif jika dan hanya jika
untuk setiap a,b∈ A berlaku sifat a*b = b*a.
),( Aba ∈∀ a*b = b*a * komutatif
D. Memiliki Elemen Identitas (Unsur Kesatuan)
Unsur kesatuan atau elemen identitas adalah suatu elemen yang jika
dioperasikan terhadap sembarang elemen tunggal dari sebuah himpunan akan
menghasilkan elemen itu sendiri.
Pada operasi biner *, suatu elemen e1∈ A disebut identitas (unkes) kiri jika
untuk semua elemen a∈ A berlaku e1*a = a. Sedangkan suatu elemen e2∈ A
disebut identitas (unkes) kanan jika untuk semua elemen a∈ A berlaku a*e2 = a.
Jika suatu elemen e∈ A merupakan identitas kiri dan sekaligus identitas kanan,
maka e disebut elemen identitas. Dalam simbol matematika:
e1∈ A adalah identitas kiri )( Aa∈∀ e1*a = a
e2∈ A adalah identitas kanan )( Aa∈∀ a*e2 = a
)( Aa∈∀ e*a = a*e = a * memiliki elemen identitas
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
4/28
10
E. Memiliki Invers
Invers suatu elemen adalah elemen yang jika dioperasikan terhadap elemen
pertama akan menghasilkan elemen identitas.
Pada operasi biner *, suatu elemen e1∈ A disebut invers kiri a jika untuk semua
elemen a∈ A berlaku e1*a = e. Sedangkan suatu elemen e2∈ A disebut invers
kanan a jika untuk semua elemen a∈ A berlaku a* e2 = e
Jika ada suatu anggota himpunan A yang merupakan invers kiri sekaligus invers
kanan elemen a, maka anggota tersebut disebut invers a (simbol a-1
). Dalam
simbol matematika:
a-1∈ A adalah invers kiri )( Aa∈∀ a-1*a = e
a-1∈ A adalah invers kanan )( Aa∈∀ a*a-1 = e
)( Aa∈∀ a-1*a = a* a-1 = e * memiliki invers dari a
2.1.4 Klasifikasi Struktur Aljabar Umum
Struktur suatu sistem aljabar dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa
kategori berdasarkan sifat-sifat pada setiap operasi sebagai berikut.
A. Grupoid
Misalkan (A,*) adalah suatu struktur aljabar dan akan disebut grupoid jika
operasi * merupakan operasi biner (tertutup).
B. Semigrup
Misalkan (A,*) adalah suatu struktur aljabar. (A,*) disebut semigrup jika
memenuhi kondisi-kondisi:
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
5/28
11
1. (A,*) merupakan operasi biner (tertutup)
2. (A,*) merupakan operasi asosiatif
C. Monoid
Misalkan (A,*) adalah suatu struktur aljabar. (A,*) disebut monoid jika
memenuhi kondisi-kondisi:
1. (A,*) merupakan semigrup
2. (A,*) memiliki elemen identitas
D. Grup
Misal (A,*) adalah suatu struktur aljabar. (A,*) disebut grup bila memenuhi
kondisi-kondisi:
1. (A,*) merupakan monoid
2. Setiap elemen dalam A memiliki invers
2.1.5 Bentuk-Bentuk Grup Khusus
Kategori-kategori seperti yang telah dijelaskan sebelumnya merupakan
klasifikasi struktur aljabar secara umum. Kategori-kategori ini dapat dikelompokkan
lagi ke dalam kategori-kategori khusus berdasarkan sifat yang lebih spesifik.
Untuk grup sendiri terdapat beberapa jenis grup khusus yang dapat dilihat
dengan menganalisis sifat-sifat tambahan pada sistem aljabarnya. Bentuk-bentuk
khusus ini adalah sebagai berikut.
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
6/28
12
A. Grup Komutatif (Abelian)
Misalkan (A,*) adalah suatu grup G, maka G disebut grup komutatif atau
Abelian, jika Gba ∈∀ , berlaku baab = atau dapat dikatakan memenuhi kondisi-
kondisi:
1. (A,*) merupakan grup
2. (A,*) bersifat komutatif
Contoh:
Himpunan A = {0, 1, 2,3} dengan operasi penjumlahan modulo 4.
Tabel 2.2 Operasi Penjumlahan Modulo 4
4+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Dengan pembuktian sifat akan didapatkan bahwa (A, 4+ ) memenuhi sifat-sifat
grup abelian karena matriks pada tabel Cayley merupakan matrik yang simetris
terhadap diagonal utama.
B. Grup Siklik
Suatu grup G disebut siklik jika untuk sejumlah a∈G sedemikian hingga setiap
elemen x∈G dapat dinyatakan sebagai hasil operasi a dengan dirinya sendiri
sebanyak n kali (n berhingga). Elemen a yang bersifat seperti itu disebut sebagai
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
7/28
13
generator. Jika G grup siklik dibangun oleh a, maka ditulis G=(a), elemen-
elemen tersebut dapat ditulis sebagai ,...,,,, 21012 aaeaaa =−−
Contoh:
Himpunan A = {0, 1, 2} dengan operasi penjumlahan modulo 3.
Tabel 2.3 Operasi Penjumlahan Modulo 3
3+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
Dengan pembuktian sifat akan didapatkan bahwa (A, 3+ ) memenuhi sifat-sifat
grup siklik, yakni:
1. (A, 3+ ) bersifat biner (tertutup)
2.
(A, 3+ ) bersifat asosiatif
3. (A, 3+ ) memiliki elemen identitas e = 0
4. Setiap elemen dalam A memiliki invers (0-1 = 0, 1-1 = 2, 2-1 = 1)
Elemen 1 dan 2 pada himpunan A adalah generator untuk grup siklik.
0 = 1 3+ 1 3+ 1 n = 3 0 = 2 3+ 2 3+ 2 n = 3
1 = 1 3+ 1 3+ 1 3+ 1 n = 4 1 = 2 3+ 2 n = 2
2 = 1 3+
1 n = 2 2 = 2 3+
2 3+
2 3+
2 n = 4
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
8/28
14
C. Grup Periodik dan Aperiodik
Definisi C.1
(i) Tingkat a = minimum },|{ ea N aa x =∈ jika himpunan 0≠
(ii) Tingkat 0=a (tak hingga) jika himpunan = 0
Tingkat suatu unsur dari suatu grup adalah bilangan asli terkecil yang bila
dipangkatkan kepada unsur tersebut menghasilkan unsur kesatuan bila bilangan
itu ada seperti dijelaskan pada pterhinggernyataan (i). Pernyataan (ii)
menunjukkan bila tidak ada satu bilangan asli pun yang dipangkatkan pada suatu
unsur a menghasilkan unsur kesatuan maka dikatakan tingkat a tak hingga.
Tingkat (atau ordo) dari a diberi notasi ).(at Bila ada suatu bilangan asli
,ean n =∋ dapat dikatakan tingkat dari a atau tingkat a terhingga. Bila tidak
demikian maka dikatakan tingkat a tak hingga. (Kusno, 1988)
Definisi C.2 (Aperiodik, Periodik, Campuran)
Suatu grup G dinamakan periodik atau berkala jika tingkat setiap unsurnya
terhingga dan dinamakan aperiodik jika setiap unsurnya selain unsur kesatuan
mempunyai tingkat tak hingga. Akan dinamakan campuran jika sedikitnya
mempunyai satu unsur dengan tingkat tak hingga dan satu unsur e≠ dengan
tingkat terhingga.
Akibat definisi di atas, terbentuk 2 pernyataan
(i)
Setiap grup terhingga adalah periodik
(ii) Jika suatu grup aperiodik atau campuran maka grup tersebut tak hingga
Berhadapan dengan itu, grup tak hingga tidak mesti aperiodik. Bisa saja
aperiodik, bisa campuran, dan bisa pula periodik. Jadi tak hingga hanya
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
9/28
15
merupakan syarat perlu agar suatu grup aperiodik atau campuran. Istilah
aperiodik tidak berarti tidak periodik, bukan ingkaran dari periodik. Tidak
periodik berarti bisa aperiodik tetapi bisa pula campuran. Sebaliknya, tidak
aperiodik tidak mesti periodik, bisa periodik dan bisa pula campuran. Oleh
karenanya istilah aperiodik tidak dapat diganti dengan tak berkala. (Kusno, 1988)
Contoh:
Pandangan grup ),( S R + yaitu grup dari semua bilangan nyata terhadap
penambahan sehari-hari. Unsur kesatuannya 0 dan notasi operasinya +.
Disini notasin
a artinya: aaaa +++ .... sebanyak n-suku. Jelas bahwa
R x∈∀ dengan ,0)(,0 =≠ xt X sedangkan 1)0( =t karena 0 unsur kesatuannya.
D. Subgrup Normal
Definisi D.1 (Koset)
Di dalam suatu grup G terdapat subgrup H untuk Gba ∈, , dikatakan bahwa a
kongruen dengan b modulo H dan ditulis ba ≡ mod H, bila dan hanya bila
∈−1ab H. Relasi ba ≡ mod H adalah suatu relasi ekuivalen pada G. Kelas
ekuivalen yang memuat a dapat ditulis sebagai bentuk },{ H hah Ha ∈= disebut
koset kanan terhadap subgrup H. Sedangkan },{ H hah Ha ∈= disebut koset kiri
terhadap subgrup H. Unsur a disebut generator dari koset tersebut. Dengan
demikian, di dalam grup G untuk setiap subgrup H dari G terdapat himpunan
koset kanan }|{ Ga HaK ∈= dan himpunan koset kiri }.|{ GaaH L ∈=
Catatan : (i) Banyak koset kanan dan koset kiri di grup G terhadap suatu
subgrup H selalu sama dinamakan indeks subgrup H di G yang
dinotasikan dengan [G:H]
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
10/28
16
(ii) Himpunan koset kanan (kiri) membentuk partisi di G, yaitu
untuk setiap Gba ∈, berlaku Hb Ha = atau Ø=∩ Hb Ha untuk
.G HaGa
=∈
U
Definisi D.2 (Subgrup)
Himpunan bagian dari suatu grup yang merupakan grup terhadap operasi yang
sama, yaitu operasi yang ada dalam grup tersebut dinamakan subgrup. Berikut
adalah beberapa teorema mengenai subgrup.
Teorema D.1 : Misalkan G adalah sebuah grup dan S suatu himpunan bagian
dari G. S dinamakan suatu subgrup dari G jika S merupakan
suatu grup terhadap operasi yang ada dalam G.
Teorema D.2 : G sebuah grup dan S suatu himpunan bagian dari G yang tak
kosong, maka S merupakan suatu grup dari G jika dan hanya
jika (i) x dan S y∈
(ii) S xS x ∈→∈ −1
Teorema D.3 : G suatu grup dan GS ⊆ dengan .0≠S S suatu subgrup dari G
jika dan hanya jika S y x ∈∀ , berlaku .1 S xy ∈−
Dari ketiga teorema di atas, jika S adalah subgrup dari G maka dapat dinotasikan
.G H ≤ Jika H adalah proper subgrup dari G, yaitu ,G H ≠ maka dituliskan
.G H <
Definisi D.3 (Subgrup Normal)
Misalkan H adalah suatu subgrup dari grup G, subgrup H dikatakan subgrup
normal dari G bila HggH = untuk semua Gg∈ maka dapat dibuktikan bahwa
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
11/28
17
setiap koset kiri dari H dalam G sama dengan koset kanan dari H dalam G.
Berikut adalah teorema yang berlaku pada subgrup normal.
(i) Subgrup H adalah normal di grup G
(ii) Untuk semua ,Gg∈ H Hgg ⊂−1
(iii) Untuk semua ,Gg∈ H Hgg =−1
Contoh:
Misalkan { }6,5,4,3,2,1=G adalah suatu grup dan { }6,1= H adalah merupakan
subgrup dari G dengan operasi .7× Berikut tabel Cayley dari kedua himpunan.
Tabel 2.4 Operasi Perkalian Modulo 7
Tabel 2.5 Operasi Penjumlahan Modulo 7
7× 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 1 3 5
3 3 6 2 5 1 4
4 4 1 5 2 6 3
5 5 3 1 6 4 2
6 6 5 4 3 2 1
7× 1 2
1 1 2
2 2 1
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
12/28
18
Invers dari G
Terbukti bahwa H subgrup dari G atau dapat dinotasikan dengan .G H <
Pembuktian selanjutnya:
Terbukti bahwa H subgrup normal dari G sesuai dengan teorema di atas.
Dinotasikan dengan .G H <
E. Grup Faktor (Grup Kuosien)
Definisi E.1 (Lagrange)
Bila G adalah suatu grup terhingga dan H subgrup dari G, maka [ ] H G H G :/ =
yaitu order dari subgrup H membagi order dari G.
Bukti:
Misalkan n adalah order dari G dan k adalah order dari H. Maka setiap koset
kanan dari H dalam G mempunyai order sebanyak k juga. Misal r adalah banyak
koset kanan yang berlainan dari H dalam G. Koset kanan dari H dalam G
membentuk partisi dari G, sehingga G dapat ditulis sebagai gabungan dari koset-
koset yang lepas (disjoint) yaitu ....321 H a H a H a H aG r ∪∪∪∪=
H H H H
H H
H H
H H
H H
771
77
77
1
77
771
77
771
77
771
77
771
77
66663555
2444
5333
4222
1111
××=××
××=××
××=××
××=××
××=××
××=××
−
−
−
−
−
−
H H
H
H
H
H
=
=
=
=
=
=
6635
24
53
42
11
1
1
1
1
1
1
==
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
13/28
19
Oleh karena koset kanan merupakan partisi dari G maka
||...|||| 21 H a H a H aG r +++=
Diperoleh kr n = sehingga k membagi n.
Definisi E.2 (Grup Faktor)
Misalkan N adalah subgrup normal dari grup G, maka himpunan semua koset
kanan dari N dalam G (dinotasikan dengan )/ N G terhadap operasi perkalian
himpunan merupakan suatu grup dan N G / disebut grup faktor.
},|{/ GaaN N G ∈= didefinisikan operasi pada ,/ N G abbN aN =. dengan
unsur aN disebut koset-koset dari N. (Fraleigh, 1997)
Teorema : Himpunan N G / adalah grup dan disebut grup faktor di bawah
operasi perkalian.
Operasi perkaliannya didefinisikan N abbN a .. =
Bukti :
- Menurut definisi operasi, pada N G / tertutup di bawah operasi perkalian
asosiatif )..())(())((.)()..( cN bN aN N bcaN N cabcN N abcN bN aN ====
- Unsur identitas adalah koset N sebab aN N aeaNeN N aN === )(. dan
.)(. aN N ea N eN aN N ====
- Invers dari aN adalah N a 1− sebab N eN N aa N aaN === −− )(. 11
Terbukti bahwa N G / adalah grup.
kr k k k
H H H
=+++=
+++=
...
...
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
14/28
20
Contoh:
Misalkan }6,5,4,3,2,1{=G adalah suatu grup dan { }6,1= H adalah merupakan
subgrup dari G, dengan operasi .7× (Contoh soal ini sama seperti contoh soal
pada subgrup normal. Digunakan tabel Cayley yang sama)
Koset kiri = koset kanan
Sehingga tampak seperti tabel berikut.
Tabel 2.6 Operasi Perkalian
Maka terbentuk grup
factor atau kuosien dengan yang bersifat tertutup, asosiatif, memiliki unkes
1 7× H, dan memiliki invers
* 1 7× H 2 7× H 3 7× H
1 7× H 1 7× H 2 7× H 3 7× H
2 7× H 2 7× H 3 7× H 1 7× H
3 7× H 3 7× H 1 7× H 2 7× H
}4,3{}6,1{33
}5,2{}6,1{22
}6,1{}6,1{11
777
777
777
=×=××
=×=××
=×=××
H
H
H
)3()2()1( 777 H H H G ×∪×∪×=
}6,1{}6,1{44)2(*)2( 777777 ××=××=×× H H H H
H 7777 3}6,1{3}3,4{}6,1{4}1,6,6,1{4 ×=×==×=×=
H H H H H
H H H H H
777777
77777
2}6,1{22)3(*)3(
}1,6{}6,1{66)3(*)2(
×=×=××=××
==×=××=××
H H
H H
H H
71
7
71
7
71
7
2)3(
3)2(
1)1(
×=×
×=×
×=×
−
−
−
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
15/28
21
F. Homomorfisma Grup
Homomorfisma grup merupakan suatu pemetaan pada grup yang memenuhi
sifat-sifat tertentu. Berikut akan dibahas homomorfisma grup beserta sifat-
sifatnya.
Definisi F.1 (Homomorfisma)
Diketahui (G,*) dan ),'( •G merupakan grup. Pemetaan ': GG → disebut
homomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap Gba ∈, berlaku
).()()*( baba ϕ ϕ ϕ •=
Definisi F.2
- Suatu homomorfisma yang injektif disebut monomorfisma
- Suatu homomorfisma yang surjektif disebut epimorfisma
- Suatu homomorfisma yang bijektif disebut isomorfisma
Definisi F.3
Suatu homorfisma dari suatu grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu
endomorfisma dan suatu endomorfisma yang dibjektif dinamakan automorfisma.
Contoh:
Ambil grup ),(1 s x RG += yaitu grup multiplikatif dari himpunan semua bilangan
nyata positif dan grup ),(2 s x RG += yaitu grup aditif dari himpunan semua
bilangan nyata.
Bangun pemetaan 21: GG → ρ sebagai berikut: x x log)( = ρ
maka +=∈∀ RG y x 1, akan berlaku
).()(loglog)log()( y x y x xy xy ρ ρ ρ +=+== Ini berarti bahwa ρ suatu
homomorfisma; selanjutnya ρ injektif dan surjektif,
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
16/28
22
sebab ;loglog)()( y x y x y x =⇒=⇒= ρ ρ selain itu 12' G xG x ∈∃∈∀ sedemikian
hingga ')( x x = ρ yaitu bila diambil .10 x x = Jadi ρ suatu isomorfisma.
Lemma F.1
Diketahui G, G’ grup dan ': GG →ϕ merupakan homomorfisma grup, maka
keempat sifat berikut berlaku:
(i) Jika e merupakan elemen identitas di G, maka )(eϕ merupkan elemen
identitas 'e di G’.
(ii) Jika Ga∈ maka 11 )()( −− = aa ϕ ϕ
(iii) Jika H merupakan subgrup pada G, maka )( H ϕ merupakan subgrup pada
G’.
(iv) Jika K’ merupakan subgrup pada G’, maka )'(1 K −ϕ merupakan subgrup
pada G.
Definisi F.4 (Kernel)
Diketahui G, G’ grup dan ': GG →ϕ homomorfisma grup. Himpunan
}')(|{ eaGa =∈ ϕ dinamakan kernel ϕ dari dan dinotasikan ker ).(ϕ
Lemma F.2
Diketahui G, G’ grup dan ': GG →ϕ merupakan homomorfisma grup. Pemetaan
ϕ merupakan pemetaan injektif jika dan hanya jika ker }.{)( e=ϕ
Bukti (⇒ ) Menurut Lemma G.1 (i) berakitab ')( ee =ϕ dan karena
ϕ merupakan pemetaan injektif maka hanya elemen e di G yang
dipetakan ke elemen e’ di G’. Jadi ker }.{)( e=ϕ
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
17/28
23
(⇐ ) Diandaikan pemetaanϕ bukan pemetaan injektif, yaitu terdapat
Gba ∈, dengan ba ≠ dan ).()( ba ϕ ϕ = Karena )()( ba ϕ ϕ = maka
.)()( 11 −− = eba ϕ ϕ
Menurut Lemma G.1 (ii) diperoleh
'.)()()()()( 111 eabbaba === −−− ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Karena diketahui
ker }{)( e=ϕ akibatnya eab =−1 dan dengan kata lain .ba =
Muncul kontradiksi dengan pengandaian bahwa .ba ≠ Jadi,
pengandaian diingkar dan terbukti ϕ merupakan pemetaan injektif.
Definisi F.5 (Monomorfisma)
Diketahui G, G’ grup dan ': GG →ϕ merupakan homomorfisma grup. Pemetaan
ϕ disebut monomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ suatu pemetaan satu-satu
dari G ke G’. Dengan kata lain, jika (y))( ϕ ϕ = x maka y x = untuk ., G y x ∈
Definisi F.6 (Epimorfisma)
Diketahui G, G’ grup dan ': GG →ϕ merupakan homomorfisma grup. Pemetaan
ϕ disebut epimorfisma grup apabila setiap 'Gg∈ ada Gg∈ sehingga '.)( gg =ϕ
Dengan kata lain, setiap elemen G’ mempunyai kawan elemen G. Dapat pula
dikatakan bahwa homomorfisma ϕ dari G onto G atau disingkat homomorfisma
ϕ onto.
Definisi F.7 (Isomorfisma)
Diketahui G, G’ grup dan ': GG →ϕ merupakan homomorfisma grup. Pemetaan
ϕ disebut isomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ merupakan pemetaan injektif
(satu-satu). Grup G dan G’ dikatakan isomorphic jika ada isomorfisma ϕ dari G
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
18/28
24
ke G’ dan dinotasikan dengan '.GG ≅ Langkah-langkah untuk menunjukkan
grup G dan G’ isomorphic adalah:
1. Definisikan fungsi ϕ dari G ke G’.
2. Tunjukkan bahwa ϕ fungsi satu-satu dan pada.
3. Tunjukkan bahwa ϕ homomorfisma.
Sedangkan untuk menunjukkan dua grup G dan G’ tidak isomorphic, pada
prinsipnya adalah menunjukkan bahwa tidak ada homomorfisma yang bersifat
satu-satu dan pada dari G ke G’. Namun tidak mungkin dicoba setiap
kemungkinan yang ada, kecuali jika pemetaan satu-satu memang tidak dapat
dibuat. Cara praktis untuk menunjukkan dua grup G dan G’ tidak isomorphic
adalah dengan mendapatkan sifat aljabar yang tidak dipenuhi kedua grup.
2.2 Interaksi Manusia dan Komputer
Definisi dari interaksi manusia dan komputer adalah disiplin ilmu yang
menekankan pada aspek desain, evaluasi, dan implementasi dari sistem komputer
interaktif untuk kegunaan manusia dengan mempertimbangkan fenomena-fenomena
disekitar manusia itu sendiri. Dalam interaksi manusia dan komputer itu sendiri interface
berperan penting sebagai penghubung antara kedua sistem. Oleh karena itu dibutuhkan
user interface untuk memudahkan pengguna mengetahui apa yang terjadi pada sistem
yang digunakannya.
Beberapa aspek utama dalam perancangan sebuah interface adalah :
1. Metodologi dan proses perancangan interface
2. Metode implementasi interface
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
19/28
25
3. Metode evaluasi dan perbandingan interface.
4. Pengembangan new interface.
5. Mengembangkan sebuah deskripsi dan prediksi atau teori dari sebuah new
interface.
Berikut adalah 8 aturan emas dalam merancang desain interface yang dikemukakan oleh
Shneiderman, seorang profesor dalam bidang Interaksi Manusia dan Komputer:
1. Konsistensi
2. Memungkinkan pengguna (yang sudah ahli) untuk menggunakan shortcut.
3. Memberikan umpan balik yang informatif. Misalnya muncul suatu notification
ketika terjadi kesalahan saat melakukan masukan.
4. Merancang dialog untuk menghasilkan suatu penutupan yaitu berupa umpan
balik yang informatif akan meberikan indikasi bahwa cara yang dilakukan sudah
benar dan dapat mempersiapkan kelompok tindakan berikutnya.
5. Memberikan penanganan kesalahan yang sederhana jika terjadi kesalahan, sistem
dapat mendeteksi kesalahan dengan cepat dan memberikan mekanisme yang
sedehana dan mudah dipahami untuk penanganan kesalahan.
6. Mudah kembali ke tindakan sebelumnya.
7. Mendukung tempat pengendali internal (internal locus of control) sehingga
pengguna menjadi inisiator daripada responden.
8. Mengurangi beban ingatan jangka pendek.
2.3 Bahasa Pemrograman Java
2.3.1 Latar Belakang Java
Java adalah sebuah teknologi yang diperkenalkan oleh Sun Microsystems
pada pertengahan tahun 1990an. Awalnya Java diciptakan pada tahun 1995 oleh
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
20/28
26
Patrick Naughton, Mike Sheridan, James Gosling, dan Bill Joy beserta programmer
dari Sun Microsystems. Nama Java terinspirasi ketika mereka sedang menikmati
secangkir kopi tubruk yang berasal dari Pulau Jawa. Akhirnya disepakati untuk
memberikan nama bahasa pemrograman tersebut dengan nama Java. Menurut
definisi dari Sun Microsystems, Java adalah nama untuk sekumpulan teknologi
untuk membuat dan menjalankan perangkat lunak pada komputer standalone atau
pun pada lingkungan jaringan.
2.3.2 Teknologi Java
Kebanyakan orang menyebut Java sebagai sebuah teknologi dibandingkan
bahasa pemrograman karena Java lebih lengkap dibandingkan sebuah bahasa
pemrograman konvensional. Berikut ulasan lengkap mengenai teknologi Java.
• Sebuah Bahasa Pemrograman
Sebagai sebuah bahasa pemrograman, Java dapat membuat seluruh bentuk
aplikasi, desktop, website, dan lainnya sebagaimana dibuat dengan menggunakan
bahasa pemrograman konvensional lain.
Java adalah bahasa pemrograman yang berorientasi objek (OOP) dan dapat
dijalankan pada berbagai platform sistem operasi. Perkembangan Java tidak
hanya terfokus pada satu sistem operasi, tetapi dikembangkan untuk berbagai
sistem operasi dan bersifat open source.
• Sebuah Development Environment
Sebagai sebuah peralatan pembangunan, teknologi Java menyediakan banyak
tools seperti compiler, interpreter, penyusun dokumentasi, paket kelas, dan
sebagainya.
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
21/28
27
• Sebuah Aplikasi
Aplikasi dengan teknologi Java secara umum adalah aplikasi serba guna yang
dapat dijalankan pada seluruh mesin yang memiliki Java Runtime Environment
(JRE)
• Sebuah Deployment Environment
Terdapat dua komponen utama dari Deployment Environment. Yang pertama
adalah JRE, yang terdapat pada paket Java Development Kit (JDK), mengandung
kelas-kelas untuk semua paket teknologi Java yang meliputi kelas dasar dari
Java, komponen GUI, dan sebagainya. Komponen yang lain terdapat pada
Website Browser. Hampir seluruh Website Browser komersial menyediakan
interpreter dan runtime environment dari teknologi Java.
2.3.3 Karakteristik Java
Berdasarkan white paper resmi dari Sun Microsystems, Java memiliki
karakteristik sebagai berikut.
1.
Sederhana karena menggunakan sintaks mirip C++
2. Berorientasi objek yang membuat program dapat dibuat secara modular dan
dapat dipergunakan kembali.
3. Java dibuat sehingga aplikasi terdistribusi secara mudah dengan adanya libraries
networking yang terintegrasi.
4. Java dijalankan menggunakan interpreter yaitu Java Virtual Machine (JVM)
sehingga source code Java yang telah dikompilasi menjadi Java bytecodes yang
dapat dijalankan pada platform yang berbeda-beda.
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
22/28
28
5. Compiler Java mempunyai kemampuan mendeteksi error secara lebih teliti
dibandingkan pemrograman lain. Selain itu , Java mempunyai Runtime Exception
Handling untuk membantu mengatasi error pada pemrograman.
6.
Java memiliki beberapa mekanisme keamanan untuk menjaga aplikasi tidak
digunakan untuk merusak sistem komputer yang menjalankan aplikasi tersebut.
7. Program Java merupakan platform independent. Program cukup mempunyai satu
buah versi yang dapat dijalankan pada platform berbeda dengan Java Virtual
Machine (JVM).
8. Source code maupun program Java dapat dengan mudah dibawa ke platform
yang berbeda-beda tanpa harus dikompilasi ulang.
9. Performance Java meskipun kurang tinggi namun dapat ditingkatkan
menggunakan kompilasi Java lain seperti buatan Inprise, Microsoft, atau
Symantec yang menggunakan Just In Time Compilers (JIT).
10. Java mempunyai kemampuan untuk membuat suatu program yang dapat
melakukan beberapa pekerjaan secara sekaligus dan simultan.
11. Java didesain sehingga dapat dijalankan pada lingkungan yang dinamis.
Perubahan pada suatu kelas dengan menambahkan properties ataupun metode dapat
dilakukan tanpa menganggu program yang menggunakan kelas tersebut.
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
23/28
29
2.3.4 Fase Pemrograman Java
Gambar 2.1 Aliran Proses Kompilasi dan Eksekusi
Langkah pertama dalam pembuatan sebuah program berbasis Java adalah
menuliskan kode program pada text editor . Contoh text editor yang dapat digunakan
antara lain: notepad, vi, emacs dan lain sebagainya. Kode program yang dibuat
kemudian tersimpan dalam sebuah berkas berekstensi .java.
Setelah membuat dan menyimpan kode program, kompilasi file yang berisi kode
program tersebut dengan menggunakan Java Compiler . Hasilnya adalah berupa
berkas bytecode dengan ekstensi .class.
Berkas yang mengandung bytecode tersebut kemudian akan dikonversikan oleh Java
Interpreter menjadi bahasa mesin sesuai dengan jenis dan platform yang digunakan.
Table 2.7 Fase Pemrograman Java
Proses Tool Hasil
Menulis kode program
Text Editor Berkas berekstensi .Java
Kompilasi Program Java compiler Berkas berekstensi .class(Java bytecodes)
Menjalankan program
Java Interpreter Program output
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
24/28
30
2.4 Rekayasa Piranti Lunak
Rekayasa Piranti Lunak (RPL) adalah suatu disiplin ilmu yang membahas semua
aspek produksi perangkat lunak, mulai dari tahap awal yaitu analisa kebutuhan
pengguna, menentukan spesifikasi dari kebutuhan pengguna, disain, pengkodean,
pengujian sampai pemeliharaan sistem setelah digunakan. RPL tidak hanya berhubungan
dengan cara pembuatan program komputer. Pernyataan ”semua aspek produksi” pada
pengertian di atas, mempunyai arti semua hal yang berhubungan dengan proses produksi
seperti manajemen proyek, penentuan personil, anggaran biaya, metode, jadwal, kualitas
sampai dengan pelatihan pengguna merupakan bagian dari RPL.
2.4.1 Ruang Lingkup
Sesuai dengan definisi yang telah disampaikan sebelumnya, maka ruang
lingkup RPL dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 2.2 Ruang Lingkup RPL (Abran et.al., 2004)
- Software Requirements berhubungan dengan spesifikasi kebutuhan dan
persyaratan perangkat lunak
- Software Design mencakup proses penampilan arsitektur, komponen, antar muka,
dan karakteristik lain dari perangkat lunak
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
25/28
31
- Software Construction berhubungan dengan detil pengembangan perangkat lunak,
termasuk algoritma, pengkodean, pengujian dan pencarian kesalahan
- Software Testing meliputi pengujian pada keseluruhan perilaku perangkat lunak
- Software Maintenance mencakup upaya-upaya perawatan ketika perangkat lunak
telah dioperasikan
- Software Configuration Management berhubungan dengan usaha perubahan
konfigurasi perangkat lunak untuk memenuhi kebutuhan tertentu
- Software Engineering Management berkaitan dengan pengelolaan dan
pengukuran RPL, termasuk perencanaan proyek perangkat lunak
- Software Engineering Tools and Methods mencakup kajian teoritis tentang alat
bantu dan metode RPL
- Software Engineering Process berhubungan dengan definisi, implementasi
pengukuran, pengelolaan, perubahan dan perbaikan proses RPL
- Software Quality menitik beratkan pada kualitas dan daur hidup perangkat lunak
2.4.2 Metode Rekayasa Perangkat Lunak
Pada rekayasa perangkat lunak, banyak model yang telah dikembangkan
untuk membantu proses pengembangan perangkat lunak. Model-model ini pada
umumnya mengacu pada model proses pengembangan sistem yang disebut System
Development Life Cycle (SDLC) seperti terlihat pada gambar berikut ini.
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
26/28
32
Gambar 2.3 System Development Life Cycle (SDLC)
SDLC merupakan serangkaian kegiatan yang dilakukan selama masa pengembangan
software. Pemakaian metode SDLC yang cocok ditentukan oleh beberapa aspek
seperti jenis bahasa pemrograman yang digunakan atau kompleksitas aplikasi.
Berikut adalah beberapa hal yang perlu diperhatikan selama proses pengembangan
sistem.
• Kebutuhan terhadap definisi masalah yang jelas. Input utama dari setiap model
pengembangan perangkat lunak adalah pendefinisian masalah yang jelas.
Semakin jelas akan semakin baik karena akan memudahkan dalam penyelesaian
masalah.
• Tahapan-tahapan pengembangan yang teratur. Meskipun model-model
pengembangan perangkat lunak memiliki pola yang berbeda-beda, biasanya
model-model tersebut mengikuti pola umum analysist – design – coding –
testing - maintenance
• Stakeholder berperan sangat penting dalam keseluruhan tahapan pengembangan.
Stakeholder dalam rekayasa perangkat lunak dapat berupa pengguna, pemilik,
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
27/28
33
pengembang, pemrogram dan orang-orang yang terlibat dalam rekayasa
perangkat lunak tersebut.
• Dokumentasi merupakan bagian penting dari pengembangan perangkat lunak.
Masing-masing tahapan dalam model biasanya menghasilkan sejumlah tulisan,
diagram, gambar atau bentuk-bentuk lain yang harus didokumentasi dan
merupakan bagian tak terpisahkan dari perangkat lunak yang dihasilkan.
2.4.3 Tahapan Rekayasa Perangkat Lunak
Meskipun dalam pendekatan berbeda-beda, namun model-model pendekatan
memiliki kesamaan, yaitu menggunakan pola tahapan analysist – design –
coding(construction) – testing – maintenance.
1. Analisis sistem adalah sebuah teknik pemecahan masalah yang menguraikan
sebuah sistem menjadi komponen-komponennya dengan tujuan mempelajari
seberapa bagus dan baik komponen-komponen tersebut bekerja dan berinteraksi
untuk meraih tujuan.
Analisis mungkin adalah bagian terpenting dari proses rekayasa perangkat lunak
karena semua proses lanjutan akan sangat bergantung pada baik atat tidaknya
hasil analisis.
2. Disain perangkat lunak adalah tugas, tahapan atau aktivitas yang difokuskan
pada spesifikasi detil dari solusi berbasis komputer.
Disain perangkat lunak sering juga disebut sebagai physical design. Jika tahapan
analisis sistem menekankan pada masalah bisnis (business rule), maka
sebaliknya disain perangkat lunak fokus pada sisi teknis dan implementasi
sebuah perangkat lunak.
-
8/19/2019 2012-1-00539-mtif 2
28/28
34
Output utama dari tahapan disain perangkat lunak adalah spesifikasi disain.
Spesifikasi ini meliputi spesifikasi disain umum yang akan disampaikan kepada
stakeholder sistem dan spesifikasi disain rinci yang akan digunakan pada tahap
implementasi. Spesifikasi disain umum hanya berisi gambaran umum agar
stakeholder sistem mengerti akan seperti apa perangkat lunak yang akan
dibangun. Spesifikasi disain rinci atau kadang disebut disain arsitektur rinci
perangkat lunak diperlukan untuk merancang sistem sehingga memiliki
konstruksi yang baik, proses pengolahan data yang tepat dan akurat, bernilai,
memiliki aspek user friendly dan memiliki dasar-dasar untuk pengembangan
selanjutnya.
Desain arsitektur ini terdiri dari desain database, desain proses, desain user
interface yang mencakup desain input, output form dan report , desain
hardware, software dan jaringan. Desain proses merupakan kelanjutan dari
pemodelan proses yang dilakukan pada tahapan analisis.
3. Konstruksi adalah tahapan menerjemahkan hasil disain logis dan fisik ke dalam
kode-kode program komputer.
4. Pengujian sistem melibatkan semua kelompok pengguna yang telah
direncanakan pada tahap sebelumnya. Pengujian tingkat penerimaan terhadap
perangkat lunak akan berakhir ketika dirasa semua kelompok pengguna
menyatakan bisa menerima perangkat lunak tersebut berdasarkan kriteria-kriteria
yang telah ditetapkan.
5. Perawatan dan Konfigurasi. Ketika sebuah perangkat lunak telah dianggap layak
untuk dijalankan, maka tahapan baru menjadi muncul yaitu perawatan perangkat
lunak.
top related