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TEMA : VECTORES EN R2 y R3

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Laureate International Universities*

TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112MA112

EPE-SISTEMASEPE-SISTEMAS

UPC

UNIDAD 3

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Habilidades:

1. Define un vector geométricamente.

2. Reconoce un vector en el plano y el espacio.

3. Realiza operaciones con vectores.

4. Descompone un vector en términos de sus componentes rectangulares.

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V

V

Definamos el vector como un segmento de recta dirigido.

Sean P y Q dos puntos del espacio. El segmento de recta dirigido PQ, es el segmento de recta que va del punto inicial P al punto final Q.

P

Q

Definición 1: (Definición geométrica de un vector)

VECTORES

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A

B

R = A+B

B

R = A+B

A

Método del triángulo

OPERACIONES CON VECTORES

Adición de vectoresAdición de vectores

x

z

y

Método del

paralelogramo.

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Definición 2:Definición 2: ( (Definición algebraica de un vectorDefinición algebraica de un vector))

Un vector v en el plano XY es un par ordenado de números reales (a,b), donde a y b se llaman componentes del vector.

(a,b) v= (a,b) se llama vector de posición, cuyo punto inicial es el origen (0,0)

y

x

VECTORES EN EL PLANO (R2)

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Dirección del vector (a,b): ángulo medido en radianes, que forma el vector con el semieje positivo de las X (abscisas).

22 bav

0a ,a

btan

Magnitud de un vector: Se denota por v

20

v= (a,b)con:

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VECTOR EN R3

23

22

21 aaaa

p(a1,a2,a3)z

x

y

a

a1

a2

a3

módulo de a :

vector a = (a1,a2,a3) de R3

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Vector Tridimensional Operaciones básicas

a

b

ba

a

at

),,( 321 tatataat

),,( 332211 babababa

Producto de un escalar con un vector

Suma de dos vectores

Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido 332211 ,, babababa

9)1,0,0()0,1,0()0,0,1( kyj,i

Vectores unitarios:

Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.

Nota: En R3 existen tres vectores que nos permiten representar cualquier otro vector como una combinación lineal de ellos. Se les llaman vectores vectores canónicoscanónicos y se representan por

aaaa

aa

ua ),,( 3211u

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VECTORES UNITARIOS i, j, k

x

z

y

i

jk

Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente.

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Paralelismo de vectores

Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo:

Definición

),,( 321 aaau ),,( 321 bbbv Dado:

vu // kba

ba

ba

3

3

2

2

1

1

vku

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PRODUCTO ESCALAR

cosvuvu

u

v

Donde: ºº 1800 rad0 o

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1. El producto escalar de dos vectores es

un número real.

OBSERVACIONES:

2. Si los vectores son perpendiculares el producto escalar es cero y viceversa.

3. a . a = a 2

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Producto escalar en términos de componentes.

Se define:

• En R2, sean:)b;a(v)b;a(u 2211 ;

2121 bbaavu

Se define:

• En R3, sean:)c;b;a(v;)c;b;a(u 222111

212121 ccbbaavu

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Sean y dos vectores cualesquiera que forman un ángulo . El producto vectorial se define como un vector que tiene:

u

v

vu

Magnitud:

Dirección: Perpendicular al plano que forman

senvu

vyu

PRODUCTO VECTORIAL

NOTA: Este producto sólo se da para vectores en R3

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Regla de la mano derecha

u

vvu

uv

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PRODUCTO VECTORIAL EN TÉRMINOS PRODUCTO VECTORIAL EN TÉRMINOS DE LAS COMPONENTES.DE LAS COMPONENTES.

)baba,caca,cbcb(vu 122121121221

)c;b;a(vy)c;b;a(uSean 222111

Se define al Producto Vectorialcomo:

vu

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OJO

Existe un recurso nemotécnico para recordar la fórmula del producto vectorial, el cual emplea la notación de determinante:

kji22

11

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

cb

cbvu

222

111

cba

cba

kji Es decir puede desarrollarse como un determinante

Observe que la primera fila contiene vectores y no números reales