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Allan Deviation J. Mauricio López R. Time and Frequency Division Centro Nacional de Metrología, CENAM [email protected]

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Page 1: Allan Deviation J. Mauricio López R. Time and Frequency Division Centro Nacional de Metrología, CENAM jlopez@cenam.mx

Allan DeviationAllan Deviation

J. Mauricio López R.

Time and Frequency Division

Centro Nacional de Metrología, CENAM

[email protected]

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Real Clocks

There not exist the perfect clock, all the real clocks are unestable. The output frequency of a clock changes with time. A correct mathematical tool is needed to characterise the frequency instability of oscillators.

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)2sin()( tAtV

A: amplitude: frequencyt: time

+A

-A

Mathematical model for ideal frequency signal

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Quartz oscillators are a very common equipment to produce frequency signals but their frequency output could be more or less instable as function of many parameters

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V(t) = V0 sen(20t)

V(t) =[V0 + (t)] sen[20t + (t)]

tiempo

tiempo

Mathematical model for real (instable) frequency signals

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The Time – Frequency relation

Tf

1

Frequency

Period

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Frecuencia estable (oscilador ideal)

Frecuencia inestable (Oscilador real)

Tiempo

(t)

Tiempo

(t)

V1-1

T1 T2 T3

1-1

T1 T2 T3

V(t) = V0 sin(20t)

V(t) =[V0 + (t)] sin[20t + (t)]

(t) = 20t

(t) = 20t + (t)

V(t) = salida del oscilador, V0 = Amplitud nominal pico-a-pico(t) = amplitud de ruido, 0 = frecuencia nominal(t) = Fase , (t) = ruido de fase

t d)t(d

21=

t d)t(d

21 = )t( 0

π

Φπ

V

The time – frequency relation

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Ruido de amplitud

Inestabilidad en frecuencia

Ruido de fase

-V

olt

age

+0

Tiempo

Voltage de salida de un oscilador

V(t) =[V0 + (t)] sen[20t + (t)]

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Precisión sin exactitud

Ni exactitud ni precisión

Exactitud sin precisión

Exacto y preciso

Tiempo TiempoTiempoTiempo

Estable de baja exactitud

Inestable de baja exactitud

Alta exactitud a largo tiempo e

inestable a corto tiempo

Alta estabilidad y alta exactitud

0

f fff

Exactitud y Estabilidad

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5 10 15 20 25 Time / Days

Short term instability

f/f

(p

pm

)

30

25

20

15

10

Aging and short term stability

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An example of noise in measurements

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4-23

0.1 s average time3 X 10-11

0

-3 X 10-11

f

f

100 s

1.0 s average time3 X 10-11

0

-3 X 10-11

f

f

100 s

Frequency noiseFrequency noise

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Las graficas muestran las fluctuaciones de la variable z(t), la cual puede ser, por ejemplo, la salida de un contador (f vs. t), o la medición de fase ([t] vs. t). Los gráficos muestran tanto la dependencia temporal como la dependencia en frecuencia; h es el coeficiente de amplitud.

Sz(f) = hf

= 0

= -1

= -2

= -3

name

White

Flicker

Randomwalk

Time dependence

Frequency noiseFrequency noise

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22y 2

1σ iy

222

2y 2

1σ ix

Fase

iii yyy 1

iiii xxxx 122 2

Concepto de la Varianza de Allan

ii

i

xxy

1

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Allan varianceAllan variance

1N

1i

2i1i

2y yy

1N21

σ

donde:donde:

Allan varianceAllan variance

Number of measurementsNumber of measurements

Frequency measurementFrequency measurement

2y

N

iy

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mN

iimimiy xxx

mN

2

1

222

2 222

1

donde:donde:

Allan varianceAllan variance

Númber of measurementsNúmber of measurements

Time window = mTime window = m00

Phase measurementPhase measurement

2y

Nix

Allan varianceAllan variance

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Barras de IncertidumbreBarras de Incertidumbre

Distribución Distribución 22

Para df < 100Para df < 100 2

2

2 )(y

ysdf

2ys

donde:donde:

Estimado de la Varianza de AllanEstimado de la Varianza de Allan

df Número de grados de libertadNúmero de grados de libertad

Varianza de Allan verdaderaVarianza de Allan verdadera2

y

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Distribución X2

Barras de IncertidumbreBarras de Incertidumbre

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Barras de IncertidumbreBarras de Incertidumbre

025,0975.0 2

22

2

2

dfsdfs y

yy

Tablas XTablas X22

Barra InferiorBarra InferiorBarra SuperiorBarra Superior

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Tabla XTabla X22

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Para df > 100Para df > 100

Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre

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Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre

22 96,12

1025,0 h

Para df > 100Para df > 100

22 96,121

975,0 h

12 dfhdonde:donde:

Barra InferiorBarra Inferior

Barra Barra SuperiorSuperior

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Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad

White Phase ModulationWhite Phase Modulation

Flicker Phase Flicker Phase ModulationModulation

White Frquency White Frquency ModulationModulation

mN

mNNdf

2

21

4

112ln

2

1lnexp

Nm

n

Ndf

54

422

2

132

2

m

m

N

N

m

Ndf

NBS Technical note 679NBS Technical note 679

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Flicker Flicker Frequency Frequency ModulationModulation

Random-Walk Random-Walk Frequency Frequency ModulationModulation

234

5

19,43,2

22

2

mparamNm

Ndf

mparaNN

df

2

22

3

41312

N

mNmNm

Ndf

NBS Technical note 679NBS Technical note 679

Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad

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Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una dependencia -1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuencia muestran una dependencia del tipo -1/2 (white frequency noise) para tiempos de promediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y -1 para tiempos menores del tiempo de ataque. Tipicamente los ’s para el ruido flicker son: 1 s para osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio.

y()-1

-1

0

Tipo de ruido:

Whitephase

Flickerphase

Whitefreq.

Flickerfreq.

Randomwalk freq.

-12 12

Time window dependence of the Time window dependence of the yy(())

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Example of Allan deviation calculationExample of Allan deviation calculation

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Example of Allan deviation calculationExample of Allan deviation calculation

Page 28: Allan Deviation J. Mauricio López R. Time and Frequency Division Centro Nacional de Metrología, CENAM jlopez@cenam.mx

ff

y

)(

tt

ff

Example of Allan deviation calculationExample of Allan deviation calculation

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Allan DeviationAllan Deviation

J. Mauricio López R.

Time and Frequency Division

Centro Nacional de Metrología, CENAM

[email protected]