Allan DeviationAllan Deviation

J. Mauricio López R.

Time and Frequency Division

Centro Nacional de Metrología, CENAM

jlopez@cenam.mx

Real Clocks

There not exist the perfect clock, all the real clocks are unestable. The output frequency of a clock changes with time. A correct mathematical tool is needed to characterise the frequency instability of oscillators.

)2sin()( tAtV

A: amplitude: frequencyt: time

+A

-A

Mathematical model for ideal frequency signal

Quartz oscillators are a very common equipment to produce frequency signals but their frequency output could be more or less instable as function of many parameters

V(t) = V0 sen(20t)

V(t) =[V0 + (t)] sen[20t + (t)]

tiempo

tiempo

Mathematical model for real (instable) frequency signals

The Time – Frequency relation

Tf

1

Frequency

Period

Frecuencia estable (oscilador ideal)

Frecuencia inestable (Oscilador real)

Tiempo

(t)

Tiempo

(t)

V1-1

T1 T2 T3

1-1

T1 T2 T3

V(t) = V0 sin(20t)

V(t) =[V0 + (t)] sin[20t + (t)]

(t) = 20t

(t) = 20t + (t)

V(t) = salida del oscilador, V0 = Amplitud nominal pico-a-pico(t) = amplitud de ruido, 0 = frecuencia nominal(t) = Fase , (t) = ruido de fase

t d)t(d

21=

t d)t(d

21 = )t( 0

π

Φπ

V

The time – frequency relation

Ruido de amplitud

Inestabilidad en frecuencia

Ruido de fase

-V

olt

age

+0

Tiempo

Voltage de salida de un oscilador

V(t) =[V0 + (t)] sen[20t + (t)]

Precisión sin exactitud

Ni exactitud ni precisión

Exactitud sin precisión

Exacto y preciso

Tiempo TiempoTiempoTiempo

Estable de baja exactitud

Inestable de baja exactitud

Alta exactitud a largo tiempo e

inestable a corto tiempo

Alta estabilidad y alta exactitud

0

f fff

Exactitud y Estabilidad

5 10 15 20 25 Time / Days

Short term instability

f/f

(p

pm

)

30

25

20

15

10

Aging and short term stability

An example of noise in measurements

4-23

0.1 s average time3 X 10-11

0

-3 X 10-11

f

f

100 s

1.0 s average time3 X 10-11

0

-3 X 10-11

f

f

100 s

Frequency noiseFrequency noise

Las graficas muestran las fluctuaciones de la variable z(t), la cual puede ser, por ejemplo, la salida de un contador (f vs. t), o la medición de fase ([t] vs. t). Los gráficos muestran tanto la dependencia temporal como la dependencia en frecuencia; h es el coeficiente de amplitud.

Sz(f) = hf

= 0

= -1

= -2

= -3

name

White

Flicker

Randomwalk

Time dependence

Frequency noiseFrequency noise

22y 2

1σ iy

222

2y 2

1σ ix

Fase

iii yyy 1

iiii xxxx 122 2

Concepto de la Varianza de Allan

ii

i

xxy

1

Allan varianceAllan variance

1N

1i

2i1i

2y yy

1N21

σ

donde:donde:

Allan varianceAllan variance

Number of measurementsNumber of measurements

Frequency measurementFrequency measurement

2y

N

iy

mN

iimimiy xxx

mN

2

1

222

2 222

1

donde:donde:

Allan varianceAllan variance

Númber of measurementsNúmber of measurements

Time window = mTime window = m00

Phase measurementPhase measurement

2y

Nix

Allan varianceAllan variance

Barras de IncertidumbreBarras de Incertidumbre

Distribución Distribución 22

Para df < 100Para df < 100 2

2

2 )(y

ysdf

2ys

donde:donde:

Estimado de la Varianza de AllanEstimado de la Varianza de Allan

df Número de grados de libertadNúmero de grados de libertad

Varianza de Allan verdaderaVarianza de Allan verdadera2

y

Distribución X2

Barras de IncertidumbreBarras de Incertidumbre

Barras de IncertidumbreBarras de Incertidumbre

025,0975.0 2

22

2

2

dfsdfs y

yy

Tablas XTablas X22

Barra InferiorBarra InferiorBarra SuperiorBarra Superior

Tabla XTabla X22

Para df > 100Para df > 100

Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre

Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre

22 96,12

1025,0 h

Para df > 100Para df > 100

22 96,121

975,0 h

12 dfhdonde:donde:

Barra InferiorBarra Inferior

Barra Barra SuperiorSuperior

Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad

White Phase ModulationWhite Phase Modulation

Flicker Phase Flicker Phase ModulationModulation

White Frquency White Frquency ModulationModulation

mN

mNNdf

2

21

4

112ln

2

1lnexp

Nm

n

Ndf

54

422

2

132

2

m

m

N

N

m

Ndf

NBS Technical note 679NBS Technical note 679

Flicker Flicker Frequency Frequency ModulationModulation

Random-Walk Random-Walk Frequency Frequency ModulationModulation

234

5

19,43,2

22

2

mparamNm

Ndf

mparaNN

df

2

22

3

41312

N

mNmNm

Ndf

NBS Technical note 679NBS Technical note 679

Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad

Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una dependencia -1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuencia muestran una dependencia del tipo -1/2 (white frequency noise) para tiempos de promediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y -1 para tiempos menores del tiempo de ataque. Tipicamente los ’s para el ruido flicker son: 1 s para osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio.

y()-1

-1

0

Tipo de ruido:

Whitephase

Flickerphase

Whitefreq.

Flickerfreq.

Randomwalk freq.

-12 12

Time window dependence of the Time window dependence of the yy(())

Example of Allan deviation calculationExample of Allan deviation calculation

Example of Allan deviation calculationExample of Allan deviation calculation

ff

y

)(

tt

ff

Example of Allan deviation calculationExample of Allan deviation calculation

Allan DeviationAllan Deviation

J. Mauricio López R.

Time and Frequency Division

Centro Nacional de Metrología, CENAM

jlopez@cenam.mx