alin - matrik elementer.pptx
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
1/95
Matriks-MatriksElementerAljabar Elementer
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
2/95
Nama Kelompok:Dwi Khoiron Nadhliyah
Habiebie Adriyansyah
Nurul Hasanah
Inez Annisa aaiz
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
3/95
Matriks Elementer
De!nisi :
"uatu matriks disebut matriks elementer#elementary matri$% jika matriks tersebutdapat diperoleh dari identitas den&anmelakukan operasi baris elementertun&&al'
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
4/95
Men&in&at kembali)
*perasi +aris Elementer
I' ,ertukaran dua baris
II' Kalikan suatu baris den&an bilan&anreal bukan nol
III' anti suatu baris den&an hasilpenjumlahannya den&an kelipatan daribaris lain
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
5/95
Matriks Elementer Jenis I' matriks elementer jenis I adalah
matriks yan& diperoleh den&an
mempertukarkan dua baris dariidentitas
*+E jenis I
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
6/95
.ontoh:
I / dilakukan *+E I #menukarkan barispertama den&an baris kedua0 menjadi)
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
7/95
A / + /
. / D /
1an& manakah yan& merupakan MatriksElementer jenis I 2
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
8/95
adalah matriks elementer jenis I0 karena
diperoleh den&an mempertukarkan keduabaris yan& pertama dari I' misalkan Aadalah matriks ' maka akan diperolehsuatu hubun&an'''
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
9/95
Matrik elementer jenis II Jenis II' Matrik elementer jenis II adalah
matriks yan& diperoleh den&an
men&alikan 3 baris dari I den&ankonstanta bukan nol'
*+E jenis II
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
10/95
.ontoh:
I / dilakukan *+E II #4%0 menjadi
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
11/95
1an& manakah yan& merupakan MatriksElementer jenis II 2
A / + /
. / D /
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
12/95
adalah matriks elementer jenis II0 karena
diperoleh den&an men&alikan baris 5 dariI den&an konstanta 4' misalkan A adalahmatriks ' maka akan diperoleh suatuhubun&an'''
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
13/95
Matriks Elementer 6enis III Jenis III' Matriks elementer jenis III
adalah matriks yan& diperoleh dari I
den&an menjumlahkan kelipatan darisuatu baris pada baris yan& lain
*+E jenis III
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
14/95
.ontoh:
I / dilakukan *+E III #4%0 menjadi
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
15/95
1an& manakah yan& merupakan MatriksElementer jenis III 2
A / + /
. / D /
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
16/95
adalah matriks elementer jenis III0 karena
diperoleh den&an menjumlahkan baris 5den&an kelipatan 4 dari baris 3' misalkanA adalah matriks ' maka akan diperolehsuatu hubun&an'''
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
17/95
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
18/95
1an& manakah yan& merupakan matrikselementer 222
a'
b'
7'
d'
YA
BUKAN
YA
YA
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
19/95
1an& manakah yan& merupakanmatriks elementer 222
e'
8'
BUKAN
YA
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
20/95
.ontoho A/ + /
A/
E/
AE / + /
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
21/95
9eorema 3''5' "etiap matriks elementer dapat dibalik0 dan
in;ersnya ju&a merupakan matriks elementer
In;ers tipe 3 : 6ika E adalah matriks elementer jenis I yan&
terbentuk dari I den&an mempertukarkanbaris ke-i dan baris ke-j maka E dapatditrans8ormasi menjadi I kembali den&an
mempertukarkan baris-baris yan& sama inila&i' 6adi0 EE / I sehin&&a E adalah in;ersdari matrik itu sendiri'
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
22/95
.ontoh:
I /
E
EE / /
6adi0
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
23/95
In;ers tipe 5: 6ika E adalah matriks elementer jenis II
yan& terbentuk oleh perkalian baris ke-i
dari I den&an skalar bukan nol α0 makaE dapat ditrans8ormasi menjadi I kembali den&an perkalian baris ke-i ataukolom ke-i den&an
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
24/95
7ontoh
I /
E dari I0baris ke-5 dikalikan 4
dari I0 baris ke-5 dikalikan
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
25/95
/
I
/
/ I
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
26/95
In;ers tipe 4:Misalkan E adalah matriks elementer jenis III yan& terbentuk dari I den&an
menjumlahkan m kali baris ke-i padabaris ke-j0 E dapat ditrans8ormasikankembali menjadi I den&an men&uran&im kali baris ke-i den&an baris ke-j atau
den&an men&uran&i m kali kolom ke-jdari kolom ke-i
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
27/95
.ontoh:
I /
E #
#
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
28/95
/
/ I
/ /
/ I
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
29/95
Eki;alen +aris
De!nisi:
6ika matriks + dapat diperoleh den&an melakukan
sejumlah urutan operasi baris elementer terhadapmatriks A0 maka kita dapat memperoleh kembalimatriks A dari + den&an melakukan in;ers dari
operasi-operasi baris elementer dalam urutanterbalik' Matriks-matriks yan& dapat diperoleh
dari satu sama lainnya melalui sejumlah urutanoperasi baris elementer dikatakan ekuivalenbaris #row e
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
30/95
"i8at Eki;alen +aris"i8at-si8at men&enai matriks-matriks yan&eki;alen baris:
6ika A eki;alen baris den&an +0 maka +eki;alen baris den&an A'
6ika A eki;alen baris den&an +0 dan +eki;alen baris den&an .0 maka A
eki;alen baris den&an .'
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
31/95
Contoh:
9unjukkan bahwa A dan + adalah ekui;alenbaris0 dan tentukanlah urutan operasi bariselementer yan& men&hasilkan + dari A
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
32/95
Penyelesaian:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
33/95
9eorema 3''4 9eorema 3''4 ,ernyataan-pernyataan yan&Ekui;alen
6ika A adalah matriks n $ n0 maka persamaan =persamaan berikut adalah ekui;alen0 yaitu0semuanya benar atau semuanya salah'
#a% A dapat dibalik
#b% A$ / > hanya memiliki solusi tri;ial
#7% bentuk eselon baris tereduksi adalah#d% A dapat dinyatakan seba&ai hasilkali darimatriks-matriks elementer
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
34/95
Metode untuk Men∈ersiMatriks
?ntuk men7ari in;ers dari matriks A yan&dapat dibalik0 kita harus men7ari suatu
urutan operasi baris elementer yan&mereduksi A menjadi identitas danmelakukan urutan operasi yan& samaterhadap untuk memperoleh '
@akukan *+E hin&&a memperoleh:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
35/95
.ontoh: 9entukan in;ers dari
,enyelesaian:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
36/95
#-5%
#-%
#5%
#-%
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
37/95
6adi0
#4%
#-4%
#-5%
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
38/95
Matriks yan& tidak punyain;ers
6ika matriks A0 tidak dapat dibalik0 makamatriks tersebut tidak dapat direduksi menjadi
melalui operasi-operasi baris elementer'Den&an kata lain0 bentuk eselon baristereduksi dari A memiliki palin& tidak satubaris bilan&an nol'
Maka dapat disimpulkan bahwa matriks
tersebut tidak dapat dibalik dan perhitun&andapat dihentikan'
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
39/95
.ontoh:
,enyelesaian:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
40/95
6adi0 A tidak dapat dibalik
#-5%
#%
#%
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
41/95
Determinan
Determinan dari suatu matriksberorde 0 dinyatakanseba&ai 0 adalah suatu skalar yan& diasosiasikan
den&an matriks danDide!nisikan se7ara indukti8 seba&ai :
dimana,
Adalah ko8aktor-ko8aktor yan& diasosiasikan den&anentri-entri dalam baris pertama dari A'
De!nisi Determinan :
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
42/95
"ebelumnya0 mari kita men&enal
Ko8aktor dan Minor
Defnisi :
6ika adalah suatu matriks bujursan&kar
maka minor dari entri dinyatakanseba&ai dan dide!nisikan seba&aideterminan dari submatriks yan& tersisasetelah baris ke dan kolom ke dihilan&kan
dari ' +ilan&an dinyatakan seba&ai disebutseba&ai Koaktor dari entri !
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
43/95
.ontoh minor
Minor dari entri adalah:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
44/95
Minor dari entri adalah:
Minor dari entri adalah:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
45/95
"udah paham kan0 jika disuruh men7ariminor-minor yan& lain222
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
46/95
.ontoh Ko8aktor
Kofaktor dari entri adalah:
C11= (-1)1+1 M11 = +M11
Kofaktor dari entri adalah:
C12 = (-1)1+2 M12 = -M12
Kofaktor dari entri adalah:
C13 = (-1)1+3
M13 = +M13 Kofaktor dari entri adalah:
C21 = (-1)2+1 M21 = -M21
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
47/95
Kofaktor dari entri adalah:
C22 = (-1)2+2 M22 = +M22
Kofaktor dari entri adalah:
C23 = (-1)2+3 M23 = -M23
Kofaktor dari entri adalah:C31 = (-1)
3+1 M31 = +M31
Kofaktor dari entri adalah:
C32 = (-1)3+2 M32 = -M32
Kofaktor dari entri adalah:
C33 = (-1)3+3 M33 = +M33
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
48/95
.ara 7epat menentukan tanda atau = yan&di&unakan0 adalah den&an melihat susunanBpapan 7aturC berikut:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
49/95
Ekspansi Ko8aktordet"A# $ "#"# % "#
dapat ditulis dalam bentuk minor dan ko8aktor
seba&ai:
det"A# $ % %
$ % %
Ini adalah eks&ansi koaktor se&an'an(
baris &ertama dari A
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
50/95
Contoh ):*ks&ansi Koaktor +e&an'an( Baris Pertama
Misalkan ' Hitun&lah den&an men&&unakan ekspansiko8aktor sepanjan& baris pertama'
Penyelesaian:
det"A# $ % %
/
/
/-3
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
51/95
,eorema -!.!) *ks&ansi Koaktor
Determinan dari matriks A, , dapat dihitung denganmengalikan entri-entri pada sebarang baris (ataukolom) dengan kofaktor-kofaktor dan menjumlahkanhasilkali-hasilkali yang diperoleh dimana untuk
setiap 0
det"A# $
#ekspansi ko8aktor sepanjan& kolom %
dan
det"A# $
#ekspansi ko8aktor sepanjan& baris %
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
52/95
Contoh - : *ks&ansi Koaktor+e&an'an( Kolom Pertama
Misalkan ' Hitun&lah det#A% den&an men&&unakanekspansi ko8aktor sepanjan& kolom pertama dari A'
Penyelesaian:
det"A# $ % %
/
/-3
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
53/95
,eorema -!-!)
Misalkan A adalah suatu matriks
bujursan&kara% 6ika memiliki satu baris atau satu kolom
bilan&an nol0 maka
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
54/95
Pen'elasan "a#:
Maka matriks-matriks di atas memiliki det/>
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
55/95
Pen'elasan "b#:
Misal diketahui maka 0 "ehin&&a
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
56/95
Contoh:
diketahui 0 maka buktikan bahwa
6awab:
,ada 7ontoh sebelumnya telah dihitun&bahwa -3
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
57/95
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor baris
pertama, diperoleh:
$
$ /)
Jadi terbukti bah0a
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
58/95
,eorema -!-!-
6ika adalah suatu matriks se&iti&a #se&iti&a atas0
se&iti&a bawah0 atau dia&onal%0 makaadalah hasil
kali dari elemen-elemen pada dia&onal utama
matriks tersebut'
Misal diketahui maka
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
59/95
Contoh:
Tentukan determinan dari A
,enyelesaian:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
60/95
,eorema -!-!1
Misalkan A adalah suatu matriks 'a% 6ika + adalah matriks yan& diperoleh ketika
satu baris atau satu kolom dari A dikalikanden&an suatu skalar k0 maka
b% 6ika + adalah matriks yan& diperoleh ketikadua baris atau dua kolom dari Adipertukarkan0 maka
7% 6ika + adalah matriks yan& diperoleh ketikakelipatan dari satu baris A ditambahkan ke
baris lainnya atau ketika kelipatan darisatu kolom ditambahkan ke kolom yan&lain0 maka
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
61/95
Pen'elasan "a#
Misal diketahui :
.
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
62/95
Maka:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
63/95
Pen'elasan "b#
Misal diketahui
.
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
64/95
Maka:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
65/95
Pen'elasan "2#Misal diketahui :
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
66/95
Maka:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
67/95
Hitun&lah det#A% dimana
Penyelesaian:
Kita akan mereduksi A menjadi bentukeselon baris #yaitu se&iti&a atas% danmenerapkan teorema 5'5'4
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
68/95
yaitu 4
dikeluarkan dari
determinan
yaitu -dikeluarkan dari
determinan
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
69/95
,eorema -!-!.
Misalkan E adalah suatu matriks elementer '
a% 6ika adalah hasil perkalian suatu barisdari den&an 0 maka
b% 6ika adalah hasil pertukaran dua barisdari den&an 0 maka
7% 6ika adalah hasil penjumlahan kelipatansatu baris dari ke baris lainnya0 maka
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
70/95
Contoh:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
71/95
,eorema -!-!3
6ika A adalah suatu matriks bujursan&karden&an dua baris atau dua kolom yan&proporsional0 maka
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
72/95
Contoh:
Hitun& determinan dari
,enyelesaian:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
73/95
+iat 4 +iat
Determinanmisalkan A dan + adalah matriks-matriksdan k adalah skalar sebaran&' Kita mulai
den&an mempertimban&kan hubun&anyan& mun&kin antara 0 dan
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
74/95
Karena 8aktor bersama dari baris
manapun dari suatu matriks dapatdikeluarkan melewati tanda determinan 0dan karena tiap baris dari baris padamemiliki 8aktor bersama maka kita
peroleh
.ontoh:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
75/95
,erhatikan 7ontoh berikut0 sebelum membahassi8at determinan yan& lain:
Misal:
Maka:
6adi0
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
76/95
9eorema 5'4'3Misalkan A0 +0 dan . adalah matriks-matriks yan& berbeda hanya pada satu
baris0 misalnya baris ke r0 dan asumsikanbahw baris ke-r dari . dapat diperolehden&an menjumlahkan entri-entri yan&bersesuaian pada baris ke-r dari A dan +'maka
Hasil yan& sama berlaku untuk kolom
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
77/95
.ontohDiketahui:
, hitung det(A)!det(")
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
78/95
@emma 5'4'5 6ika + adalah suatu matriks dan E adalahsuatu matriks elementer 0 maka
det#E+%/det#E% det#+%
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
79/95
9eorema 5'4'5"uatu Matriks bujursan&kar A dapatdibalik0 jika dan hanya jika
.ontoh:
6adi A tidak punya in;ers
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
80/95
9eorema 5'4' 6ika A dan + adalah matriks = matriksbujursan&kar den&an ukuran yan& sama0
maka
det#A+%/ det#A% det#+%
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
81/95
.ontoh:
Maka:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
82/95
,eorema -!1!3
6ika A dapat dibalik0 maka
+ukti:
Karena
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
83/95
Defnisi Ad'oin
Jika A adalah sebarang matriks dan adalah kofaktor
dari maka matriks
!isebut matriks kofaktor dari " Tran#os dari matrik
ini disebut ad$oin dan din%atakan dengan "
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
84/95
Contoh: 9entukan adjoin dari matriks
Penyelesaian:
Men7ari Ko8aktor dari A adalah den&an
men&&unakan rumus:
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
85/95
//
/
/
//
//
/
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
86/95
"ehin&&a matriks ko8aktornya adalah
dan adjoinnya adalah
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
87/95
Men7ari In;ers Matriks Den&an Adjoin
6ika A adalah suatu matriks yan& dapatdibalik maka :
= ad$ (A)
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
88/95
Bukti:3' 9unjukkan bahwa :
A ad$(A) =
*ntri &ada baris ke dan kolom ke dari hasil kaliadalah
)))' #F%
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
89/95
6ika 0 maka adalah ekspansi ko8aktor dari sepanjan& barisdari dan jika 0 maka semua dan ko8aktor-ko8aktornya berasaldari baris-baris yan& berbeda dari ' "ehin&&a nilai dari
adalah nol' *leh karena itu0
Karena A dapat dapat dibalik0 ' Karena itu0 persamaan #FF%
dapat ditulis la&i seba&ai atau A
Den&an men&alikan kedua sisi di sebelah kiri0 den&anmen&hasilkan
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
90/95
Contoh:
9entukan in;ers dari matriks
Penyelesaian:
telah dikerjakan sebelumnya bahwa
"ehin&&a =
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
91/95
Aturan Cramer
6ika merupakan suatu sistem n persamaan linierdalam peubah sedemikian sehin&&a0 makasistem tersebut mempunyai suatu penyelesaianyan& unik '
Den&an adalah matriks yan& diperoleh den&anmen&&antikan entri-entri pada kolom dariden&an
entri-entri pada matrik
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
92/95
Bukti:
6ika0 maka A dapat dibalik dan0 sesuai den&anteorema 3'G'50 adalah solusi unik dari ' Karenaitu0 den&an teorema 5''50 kita memperoleh
den&an men&alikan matriks-matriks tersebutkita memperoleh
maka entri pada baris dari adalah
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
93/95
sekarang misalkan
&arena #erbedaan dengan han%a #ada kolom maka kofaktor-
kofaktor dari entri #ada adalah sama dengan kofaktor-kofaktor
dari entri-entri %ang bersesuain #ada kolom dari " 'leh karenaitu eks#ansi kofaktor dari se#an$ang kolom adalah
!engan mensubstitusikan hasil ini kedalam (11) kita
mem#eroleh
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
94/95
unakan aturan .ramer untuk menyelesaikan
Penyelesaian:
Dari ",@ di atas didapati :
A /
A5 / 0
-
8/17/2019 alin - matrik elementer.pptx
95/95
*leh karena itu0
/
/
/