ali karimpour associate professor ferdowsi university of mashhad advanced control reference:...

Ali Karimpour

Associate Professor

Ferdowsi University of Mashhad

ADVANCEDADVANCED CONTROL CONTROL

Reference:Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.

lecture 2

Dr. Ali Karimpour Oct 2013

2

Lecture 2

Basic Idea of Basic Idea of Linear Algebra-Part ILinear Algebra-Part I

Topics to be covered include:

Basis, Representation, and Orthonormalization.

Linear Algebraic Equations.

Similarity Transformation.

Diagonal and Jordan Form.

lecture 2


3

آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید

Rn-بعدی n فضای خطی حقیقی •

استقالل خطی و وابستگی خطی•

پایه های یک فضای خطی و نرم•

بردارهای متعامد و متعامد نرمال•

معادالت جبری خطی•

فضای رنج، فضای پوچ، رتبه و پوچی•

تبدیالت همانندی•

بردار ویژه و بردار ویژه توسعه یافته•

فرم کانونی، فرم قطری، فرم مودال و فرم جردن•

• n-dimensional Real Vector Space Rn

• Linearly Dependent and Linearly Independent

• Basis of a Linear Space and Norm

• Orthogonal Vectors and Orthonormal Vectors

• Linear Algebraic Equations

• Range Space, Null Space, Rank and Nullity

• Similarity Transfomation

• Eigenvectors and Generalized Eigenvector

• Canonical Form, Diagonal Form, Modal Form and Jordan Form

ارتباط دترمینال و مقادیر ویژه، خاصیت نیل پوتنت•• Determinant and Eigenvalues and nilpotent property

lecture 2


4

n-dimensional real vector space Rn

Rx

x

x

x

i

n

2

1

x

Rn-بعدی nاعضای فضای خطی حقیقی

Rn-بعدی nخاصیت مهم فضای خطی حقیقی

nn RRandR 2121 ,, xxxx بعنوان مثال

3

1

1

1x

0

5.2

5.0

2x 321

21

17

5

47 R

xx

lecture 2


5


-بعدی nوابستگی خطی در فضای خطی حقیقی Rn

وابسته خطی Rn در فضای x1، x2، .... xm: مجموعه بردارهای 1-2تعریف نه تماما صفراگر مجموعه اند

1، 2، ....، m یافت شود که

0....2211

mm

xxx اگر رابطه فوق تنها برای برقرار

باشد در اینصورت بردارهای داده شده

می باشند.مستقل خطی

0....21

m

lecture 2


6


: آیا بردارهای زیر مستقل خطی اند؟ چرا؟1-2مثال


2

0

1

0

1

0

2

0

1

0

1

0

0

0

0

وجود بردار صفر در هر مجموعه بردار ........نکته:

lecture 2


7


خاصیت جالب بردارهای وابسته خطی

0...2211 nnxxx

اگر بردارها وابسته باشند قطعا یک ضریب مخالف صفر است لذا:

ni

n

iii xxxx

...22

11

lecture 2


8


حداکثر تعداد بردارهای مستقل در نکته مهم: است. n برابر Rnفضای


0

11

x

: اگر بردارهای زیر مستقل خطی نیستند یکی را بر 4-2مثال حسب مابقی نمایش دهید.

1

52

x

3

23

x

0

11

x

1

52

x

3

23

x

lecture 2


9


Rn پایه های یک فضای خطی پایه نامیده می Rn: یک مجموعه بردار مستقل خطی در 2-2تعریف

را بتوان Rnشود اگر هر بردار

بصورت منحصر بفردی توسط پایه ها نمایش داد.

می باشد؟ R2: آیا بردارهای مقابل پایه های فضای 5-2مثال چرا؟

0

1

1

5

می باشد؟ R2آیا بردارهای مقابل پایه های فضای : 6-2مثال چرا؟

0

1

1

0

پایه های یک فضای برداری ...............نکته:

می باشد. چرا؟Rn پایه های Rn بردار مستقل خطی در n: هر نکته

lecture 2


10

Norms

RR n:.

0 xifonly and if 0x andR x,0x Positivity 1 n

R and x,xy Homogeneit 2 nRx

Ry x,,yx inequality Triangle 3 n yx

به Rn برای سنجش اندازه یک بردار در یک فضای خطی نیاز داریم.نرممفهوم

یک عدد حقیقی Rn نرم تابعی است که به هر عضو یک فضای خطی غیر منفی نسبت می دهد.

نرم بایستی دارای خواص زیر باشد.

lecture 2


11

Norm of vectors

iiax

1 For p=1 we have 1-norm

2/12

2

iiaxFor p=2 we have 2-norm or euclidian norm

ii

ax max For p=∞ we have ∞-norm

1

1

pax

pp

iip

p-norm is:

lecture 2


12

Norm of vectors

2

1-

1

Let x

2)2,1,1max(x

6211xThen

4)211(x

222

2

1

1x2

1x 1

1x

lecture 2


13

Orthogonal and Orthonormal Vectors

بردارهای متعامد و متعامد یکهنامیده می شود اگر نرم دو آن نرمال یا یکه : یک بردار 3-2تعریف

بردار برابر یک باشد.

: کدام یک از بردارهای مقابل یکه است؟7-2مثال

0

11

x

1

52

x

آیا بردارهای مقابل متعامدند؟: 8-2مثال

6.0

8.01

x

8.0

6.02

x

6.0

8.03

x

x1 نامیده می شود اگر متعامد x2 و x1: دو بردار 4-2تعریف Tx2=0

x1نامیده می شود اگر متعامد یکه x2 و x1: دو بردار 5-2تعریف Tx2=0 و

هر دو بردار یکه باشند.

lecture 2


14

Orthonormal lizationساخت مجموعه بردار متعامد یکه از مجموعه بردار

مستقل خطی )رویه اشمیت(

11111 /, uuqeu

12122 )( qeqeu

222 / uuq

23213133 )()( qeqqeqeu

333 / uuq

lecture 2


15

Orthonormal lization

بردارهای متعامد متناظر با بردارهای زیر را بیابید.: 9-2مثال

2

1

6

2

lecture 2


16

Linear Algebraic Equation

مفهوم ضرب یک ماتریس در یک بردار:

5

1

3

5

0

1

0

3

4

2

1

2

5

3

2

504

112

301

xA

یعنی چگونگی ترکیب x در بردار Aضرب ماتریس معین می x را المانهای بردار Aچگونگی ترکیب ستونهای Aستونهای

کند.

مفهوم ضرب یک بردار در یک ماتریس:

24236312242

63132

ATz

یعنی چگونگی A در ماتریس zضرب ترانهاده بردار معین می z را المانهای بردار Aچگونگی ترکیب سطرهای Aترکیب سطرهای

کند.

lecture 2


17


در این بخش به مطالعه رابطه زیر می پردازیم

yx Amn

mnnm RRAorA :: 11 yx

: Aفضای رنج ماتریس

حداکثر تعداد بردار مستقل خطی در فضای رنج ماتریس A را رتبه A.نامند

: Aفضای پوچ ماتریس

حداکثر تعداد بردار مستقل خطی در فضای پوچ ماتریس A را پوچی A.نامند

)(A

)(AN

lecture 2


18


را تعیین کنید.Aالف( پنج عضو فضای رنج ماتریس

ماتریس مقابل را در نظر بگیرید.: 10-2مثال

را تعیین کنید.Aب( رتبه ماتریس

را تعیین کنید.Aج( پنج عضو فضای پوچ ماتریس

را تعیین کنید.Aد( پوچی ماتریس

0202

4321

2110

A

0

0

0

2

1

0

0

2

1

2

3

1

4

10

4

است.2 برابر Aرتبه ماتریس

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

2

0

0

10

10

10

1

1

3

1

است.2 برابر Aپوچی ماتریس

lecture 2


19


، بعد فضای رنج و یا حداکثر تعداد ستون مستقل Aرتبه ماتریس می باشد.Aماتریس

، بعد فضای رنج و یا حداکثر تعداد سطر مستقل Aرتبه ماتریس نکته مهم: می باشد.Aماتریس

پس:

حداکثر تعداد ستون =A حداکثر تعداد سطر مستقل ماتریس Aمستقل ماتریس

باشد. mn یک ماتریس Aفرض کنید نکته مهم:

nANA )()(

باشد. mn یک ماتریس Aفرض کنید نکته مهم:

},min{)( nmA

lecture 2


20


: 1-2قضیه با xیک جواب m1 با ابعاد y و بردار mn با ابعاد A- برای ماتریس 1

در معادلهn1ابعاد

Ax=y

باشد یعنیA در فضای رنج yوجود دارد اگر و فقط اگر

(A)=([A y])

یک m1 با ابعاد yهر بردار برای mn با ابعاد A- برای ماتریس 2 در معادلهn1 با ابعاد xجواب

Ax=y

باشد. )رتبه کامل سطری(m دارای رتبه Aوجود دارد اگر و فقط اگر

lecture 2


21


xp ، فرض کنید m1 با ابعاد y و بردار mn با ابعاد Aبرای ماتریس تمام جوابها بصورت پارامتری: 2-2قضیه یک جواب معادله

Ax=y

(k=n-(A)) باشد k برابر Aباشد و فرض کنید پوچی

kkpnnnxx ...

2211

ها بردارهای مستقل فضای پوچ می باشد. ni ها دلخواه بوده و iکه

xp در اینصورت جواب داده شده (k=0) باشد n دارای رتبه Aاگر منحصر بفرد است.

در اینصورت تمام جوابهای (k>0) باشد n دارای رتبه کمتر از Aاگر معادله

Ax=y

از رابطه زیر بدست می آید.

lecture 2


22


برای سیستم مقابل مطلوبست کلیه جوابها: 11-2مثال

0

8

4

0202

4321

2110

x

واضح است که یک جواب معادله فوق عبارتست از:

2

0

0

0

px

و تمامی جوابهای معادله فوق عبارتست از:

1

0

2

0

0

1

1

1

2

0

0

0

21 x

lecture 2


23


و معادله زیر را در نظر Aماتریس مربعی : 3-2قضیه بگیرید.

Ax=y

دارای جواب غیر صفر است اگر و Ax=0- معادله همگن 2 منفردAفقط اگر

است. Aباشد. تعداد جوابهای مستقل خطی برابر با پوچی

غیر منفرد باشد در اینصورت معادله یک جواب A- اگر 1منحصر بفرد داشته و

بدست می آید. A-1yجواب از رابطه

lecture 2


24

Similarity Transformation

بردار مستقل خطی را در نظر n و nn با ابعاد Aماتریس بگیرید:

تبدیل همانندی بوده و بصورت زیر محاسبه می شود. AA

lecture 2


25


,

1

1

0

0

1

1

,

0

1

0

102

311

201

321

qandqqA

بر حسب پایه Aمطلوبست تبدیل همانندی ماتریس : 12-2مثال های داده شده

0

1

0

1Aq

0

0

1

A

2

0

1

2Aq

20

10

31

A

1

2

2

3Aq

120

210

131

A

lecture 2


26


,

1

0

0

0

1

0

,

0

0

1

102

311

201

321

qandqqA

بر حسب پایه Aمطلوبست تبدیل همانندی ماتریس : 13-2مثال های داده شده

2

1

1

1Aq

2

1

1

A

0

1

0

2Aq

02

11

01

A

1

3

2

3Aq

102

311

201

A

lecture 2


27


AqqqqqqA nnˆ

2121

AQAQ ˆ

1ˆ QAQA AQQA 1ˆ

lecture 2


28


1

0

0

134

012

123

bA

,b, Ab بر حسب پایه های Aتبدیل همانندی ماتریس : 14-2مثال A2b

AbAq 1

0

1

0

A

bAAq 22

10

01

00

A

13

10

5

3Aq

510

1501

1700

A

bAqAbqbq 2321 ,,

lecture 2


29


)ˆdet()( AI nnnnn

1

22

11 ....)(

121

1000

0100

0010

ˆ

nn

A

000

100

010

001

ˆ

1

2

1

n

n

A

010

0010

0001ˆ

121

nn

A

lecture 2


30

Diagonal Form

بعنوان پایه ها انتخاب شود. البته Aکافیست بردارهای ویژه ماتریس اگر مقادیر ویژه تکراری نباشد.

lecture 2


31

Diagonal Form تکراری Aاگر مقادیر ویژه

نبودهو بردارهای ویژه ماتریس

A بعنوان پایه ها انتخاب شود.

در اینصورت:

چگونگی محاسبه مقادیر :Aویژه

0)( AIدر صورت تکراری نبودن مقادیر

:Aویژه

nnnnn ...,,,0...)( 211

11

چگونگی محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام :Aاز مقادیر ویژه

0

0)(

i

ii

v

vIA

lecture 2


32

v1, v2, …, vn بر حسب پایه های Aتبدیل همانندی ماتریس

111 vAv

0

0ˆ

1

A

222 vAv

00

0

0

ˆ 2

1

A

n

A

00

00

00

ˆ 2

1

Diagonal Form

lecture 2


33

110

201

000

A

و تبدیلی که Aدر صورت امکان فرم قطری ماتریس : 15-2مثال را Aماتریس

بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید.ابتدا محاسبه مقادیر ویژه

A:)1)(2()( AIحال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از

:Aمقادیر ویژه

12,0 321 and

0

110

201

000

)(,0 1111

vvIA

1

1

2

1v

0

110

221

002

)(,2 2222

vvIA

1

1

0

2v

0

210

211

001

)(,1 3333

vvIA

1

2

0

3v

111

211

002

][ 321 vvvQ

100

020

000ˆ 1AQQA

Diagonal Form

lecture 2


34

010

1340

111

A

و تبدیلی که Aدرصورت امکان فرم قطری ماتریس : 16-2مثال Aماتریس

را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید.ابتدا محاسبه مقادیر ویژه

A:)134)(1()( 2 AIحال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از


j32,,1 321

0

110

1350

110

)(,11111

vvIA

0

0

2

1v

0

3210

13320

1133

)(,32 2222

v

j

j

j

vIAj

1

32

1

2 jv

110

32320

112

][ 321 jjQ

j

jAQQA

3200

0320

001ˆ 1

Diagonal Form

1

32

1*

23 jvv

lecture 2


35

010

1340

111

A

را بفرم A و تبدیلی که ماتریس Aفرم مودال ماتریس : 17-2مثال مودال

تبدیل می کند تعیین کنید.ابتدا محاسبه مقادیر ویژه

A:)134)(1()( 2 AIحال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از


j32,,1 321

0

110

1330

110

)(,1 1111

vvIA

0

0

2

1v

0

3210

13320

1133

)(,32 2222

v

j

j

j

vIAj

1

32

1

2 jv

010

320

012

][321

vvvQ

230

320

001ˆ 1AQQA

Modal Form

0

3

0

,

1

2

1

32 vv

lecture 2


36

Jordan Form تکراری Aاگر مقادیر ویژه

نبودهو بردارهای ویژه ماتریس

A بعنوان پایه ها انتخاب شود.

در اینصورت:

Aاگر مقادیر ویژه تکراری باشد، در

اینصورت:

lecture 2


37

400

110

1201

A

و تبدیلی که Aدر صورت امکان فرم قطری ماتریس : 18-2مثال Aماتریس

را بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید.

Jordan Form

ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A:)4()1()( 2 AI

حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از :Aمقادیر ویژه

11,4 321 and

0

000

130

1203

)(,4 1111

vvIA

3

1

12

1v

0

0

1

2v

003

101

0112

][ 321 vvvQ

100

010

004ˆ 1AQQA

0

300

100

1200

)(,12222

vvIA

0

1

0

3v

lecture 2


38

400

410

321

A

و تبدیلی که Aدر صورت امکان فرم قطری ماتریس : 19-2مثال راAماتریس

بفرم قطری تبدیل می کند را تعیین کنید.

Jordan Form

ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A:)4()1()( 2 AI


11,4 321 and

0

000

430

323

)(,4 1111

vvIA

3

4

3/17

1v

0

0

1

2v ?3 v0

300

400

320

)(,12222

vvIA

می رسیم فرم جردن امکان قطری سازی نیست پس به و لذا برای این فرم:

به بردار ویژه توسعه یافته نیاز داریم

lecture 2


39

Diagonal Form

چگونگی محاسبه مقادیر )(A:0ویژه AI

چگونگی محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام :Aاز مقادیر ویژه

0

0)(

i

ii

v

vIA

0)(

0)( 2

ii

ii

vIA

vIA

0)(

0)(2

3

ii

ii

vIA

vIA

چگونگی محاسبه بردار ویژه توسعه یافته مرتبه 2

چگونگی محاسبه بردار ویژه توسعه یافته مرتبه 3

ii vv 2 21)(

iiivIAv

ii vv 3 32)(

iiivIAv 21

)(iii

vIAv

lecture 2


40

400

410

321

A

را A و تبدیلی که ماتریس Aفرم قطری یا جردن ماتریس : 19-2مثال بفرم قطری

یا جردن تبدیل می کند را تعیین کنید.

Jordan Form

ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A:)4()1()( 2 AI حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از


11,4 321 and

0

000

430

323

)(,4 1111

vvIA

3

4

3/17

1v

0

0

1

2v ?3 v0

300

400

320

)(,1 2222

vvIA

0

300

400

320

)(0

900

1200

1700

)(,1 222222

22

vvIAvvIA

0

1

0

22v

lecture 2


41

400

410

321

A

را A و تبدیلی که ماتریس Aفرم قطری با جردن ماتریس : 19-2مثال بفرم قطری

یا جردن تبدیل می کند را تعیین کنید.

Jordan Form

ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A:)4()1()( 2 AI حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از


11,4 321 and

0

000

430

323

)(,4 1111

vvIA

3

4

3/17

1v

0

300

400

320

)(0

900

1200

1700

)(,122222

2

22

vvIAvvIA

0

1

0

223vv

0

1

0

3v

0

0

2

)(322

vIAv

003

104

023/17

][ 321 vvvQ

100

110

004ˆ 1AQQA

lecture 2


42

205.05.0

025.02.0

0020

0002

A

را بفرم A و تبدیلی که ماتریس Aفرم قطری ماتریس : 20-2مثال قطری

تبدیل می کند را تعیین کنید.

Jordan Form

ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A:4)2()( AI


24321

0

005.05.0

005.02.0

0000

0000

)(,2 1111

vvIA 224 kNullity

دو حالت ممکن است رخ 2حال با توجه به پوچی دهد: یافتن دو بردار ویژه توسعه •

][2یافته مرتبه 4321 qqqqQ یافتن یک بردار ویژه توسعه •

][3یافته مرتبه 4321 qqqqQ

lecture 2


43

205.05.0

025.02.0

0020

0002

A



Jordan Form


0

005.05.0

005.02.0

0000

0000

)(,2 1111

vvIA 224 kNullity

0000

0000

0000

0000

)(

0000

0000

0000

0000

)(

005.05.0

005.02.0

0000

0000

)( 3

1

2

11IAIAIA

یافتن بردار ویژه توسعه •یافته

0

1

1

0

0

0

2

3

42 vv

نداریم ولی دو 3بردار ویژه توسعه یافته مرتبه داریم2مرتبه

lecture 2


44

205.05.0

025.02.0

0020

0002

A



Jordan Form


یافتن بردار ویژه توسعه •2یافته مرتبه

0

1

1

0

0

0

2

3

42 vv

5.0

5.0

0

0

)(

5.0

4.0

0

0

)( 413211 vIAvvIAv

2000

1200

0020

0012

ˆ 1AQQA

05.005.0

15.004.0

1020

0030

][ 4321 qqqqQ

تعداد بلوکمتناظر

-2با =؟

lecture 2


45



Jordan Form

ابتدا محاسبه مقادیر ویژه A:4)2()( AI حال محاسبه بردار ویژه متناظر با هر کدام از


24321

224 kNullity

دو حالت ممکن است رخ 2حال با توجه به پوچی دهد: یافتن دو بردار ویژه توسعه •

][2یافته مرتبه 4321 qqqqQ یافتن یک بردار ویژه توسعه •

][3یافته مرتبه 4321 qqqqQ

2000

0200

0120

41112

A

0

0000

0000

0100

41110

)(,2 1111

vvIA

lecture 2


46

2000

0200

0120

41112

A



Jordan Form


0

0000

0000

0100

41110

)(,2 1111

vvIA 224 kNullity

0000

0000

0000

0000

)(

0000

0000

0000

0100

)(

0000

0000

0100

41110

)( 31

211 IAIAIA

یافتن بردار ویژه توسعه •3 یا 2یافته مرتبه

یک بردار ویژه توسعه یافته • داریم3مرتبه

0

5

0

0

3q

lecture 2


47

2000

0200

0120

41112

A



Jordan Form


یک بردار ویژه توسعه یافته • داریم3مرتبه

0

5

0

0

3q

0

0

5

55

)( 312 qIAq

0

0

0

5

)( 211 qIAq

حال برای محاسیه آخرین بردار ویژه، این بردار باید از سایر بردارها پس:q4=0(A-1I)مستقل یاشد و

1

0

4

0

4q0

0000

0000

0100

41110

)( 441

qqIA

2000

0200

0120

0012

ˆ 1AQQA

تعداد بلوکمتناظر

-2با =؟

lecture 2


48

Determinant and Eigenvalues

AQQA 1ˆ

و فرم جردن آن:A رابطه ماتریس

AQAQQAQA ˆˆˆ 11

و دترمینال فرم جردن آن:A دترمینال ماتریس

و مقادیر ویژه آن:A دترمینال ماتریس

1ˆ QAQA

i

n

iA

1

lecture 2


49

Nilpotent Property

خاصیت نیل پوتنت در مورد بلوک های جردن:

0000

1000

0100

0010

IJ

2000

1200

0120

0012

J

بلوک جردن مقابل را در نظر بگیرید:

0000

0000

1000

0100

2IJ

0000

0000

0000

1000

3IJ

0000

0000

0000

0000

4IJ

lecture 2


50

Exercisesتمرینها

بردارهای متعامد متناظر با بردارهای زیر را بیابید.: 1-2تمرین

2

0

2

,

1

2

0

,

2

1

0

و نرم بینهایت بردارهای 2 و نرم 1مطلوبست نرم : 2-2تمرین زیر:

1

2,

2

1

0

ba

مطلوبست پوچی و رتبه ماتریسهای زیر:: 3-2تمرین

1000

2210

4321

011

023

114

100

000

010

321 AAA

lecture 2


51


مطلوبست پایه های فضای رنج و پایه های فضای : 4-2تمرین پوچ ماتریسهای زیر:

1000

2210

4321

011

023

114

100

000

010

321 AAA

معادله جبری زیر را در نظر بگیرید:: 5-2تمرین

yx

1

0

1

21

33

12

برای معادالت فوق وجود دارد؟ آیا جواب منحصر بفرد xآیا یک جواب جواب وجود دارد؟’y=[1 1 1]است؟ آیا برای

کلیه جوابهای معادله جبری زیر را بیابید.: 6-2تمرین

1

2

3

1000

2210

4321

x

lecture 2


52


،b بر حسب پایه های Aمطلوبست تبدیل همانندی : 7-2تمرین Ab، A2b و A3b.

را بفرم A و تبدیلی که ماتریس Aفرم قطری ماتریس : 8-2تمرین قطری تبدیل می کند را تعیین کنید.

300

020

1041

A را بفرم A و تبدیلی که ماتریس Aفرم قطری ماتریس : 9-2تمرین

قطری تبدیل می کند را تعیین کنید.

342

100

010

A

1

1

0

0

2000

1200

0120

0012

bA

lecture 2


53


مطلوبست دترمینال ماتریسهای زیر بدون انجام : 10-2تمرین محاسبه

300

020

001

2A

2000

1200

0120

0012

1A

300

020

012

4A

3000

1300

0020

0012

3A

lecture 2


54

Answers to selected problems ، 1 و پوچی بترتیب 3 و 3 ، 2: رتبه ها بترتیب 3-2جواب

1 و 0

و بدون جواب x=[1 1]T: یک جواب منحصر بفرد 5-2جواب داده شدهyبرای

: 7-2جواب

7100

18010

20001

8000

A

ali karimpour associate professor ferdowsi university of mashhad advanced control reference:...

Documents

n r n r n

norms r n

n k0 ax

linear space

r nslide

orthonormal lization

nilpotent property slide

norm pnorm