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Optimización matemática
Algoritmo de Búsqueda TabúAlgoritmo de Búsqueda Tabú
Por:Por:
Antonio H. Escobar ZuluagaAntonio H. Escobar Zuluaga
Universidad Tecnológica de Pereira - ColombiaUniversidad Tecnológica de Pereira - Colombia
20142014
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Algoritmo de Búsqueda Tabú: Origen
• En 1986, Fred Glover propone el método de Búsqueda Tabú como una metaheurística que gerencia a una heurística.
Glover, F. (1986) “Future Paths for Integer Programming and Links to Artificial Intelligence,”Computer and Operations Research, vol. 13, no. 5, pp. 533-549.
• En 1989, Glover presenta una descripción completa del método.
Glover, F. (1989a) “Tabu Search – Part I,” INFORMS Journal on Computing, vol. 1, no. 3, pp. 190-206.Glover, F. (1989b) “Tabu Search – Part II,” INFORMS Journal on Computing, vol. 2, no. 1, pp. 4-32.
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Algoritmo de Búsqueda Tabú:
• Es una metaheurística que guía un proceso de búsqueda local con el propósito de explorar el espacio de soluciones más alla de subespacios con óptimos locales, aplicando mecanismos que evitan regresar a subespacios ya visitados.
• Es una combinación de exploración sensible y memoria adaptativa.
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Características:
• No utiliza población, en cada ciclo opera sobre una solución. Es un algoritmo de trayectoria.• Requiere de una función de adaptación para el manejo de la infactibilidad. • Combina exploración con explotación.• Utiliza el concepto de vecindad, la cual puede ser potenciada con sensibilidad.• Al igual que GRASP opera sobre los atributos para explorar la vecindad.• A diferencia de otras metaheurísticas usa el concepto de memoria de corto y largo plazo para evitar regresar a regiones ya visitadas.
Algoritmo de Búsqueda Tabú
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Algoritmo de Búsqueda Tabú:
Fin
Procedimiento heurístico
Modificación de reglas para
diversificación o intensificación
Generar solución iniciale inicializar memorias
Determinarvecindad
Seleccionar elmejor vecino
Aplicar mecanismosespecializados
• Lista de candidatos• Criterio de aspiración • Soluciones élite
• Reinicio• Oscilación estratégica• Encadenamiento de
trayectorias
Actualizar memorias
Actualizar incumbente
Cumple criterio de parada?
nosi
memoria adaptativa
expl
orac
ión
sen
sibl
e
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Algoritmo de Búsqueda Tabú: Inicio
Usa algoritmos heurísticos constructivos para generar la solución inicial o utiliza
soluciones élite encontradas en ciclos Tabú anteriores.
Soluciones éliteo
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Algoritmo de Búsqueda Tabú:
xj+1
xj
Atributo:
•Un componente del vector solución.•Información parcial relacionada con un elemento del espacio de búsqueda.Un atributo permite caracterizar la vecindad.
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Algoritmo de Búsqueda Tabú:
Ejemplo de Atributo:
En el problema de las n reinas, un atributo está representado por el intercambio de las columnas de dos reinas. En el ejemplo, la reina 3 y la reina 6 intercambian sus columnas:
número de la reina
columna
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Algoritmo de Búsqueda Tabú:
número de la reina
Columna que ocupa la reina i
número de la reina
columna
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Algoritmo de Búsqueda Tabú:
Vecindad:
Para una solución k, en el problema de las n reinas, y usando como atributo intercambiar dos reinas, se tienen vecinos (21 vecinos para 7 reinas).
Xk
Xk-1
movimiento simple o transición
hacia el mejor vecino
N*(X): subespacio de vecinos
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Algoritmo de Búsqueda Tabú:
Soluciones vecinas: 21 soluciones Ejemplo:
número de colisiones = 4
reinas que intercambian sus columnas
incremento del número de colisionesrespecto a la solución actual
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Algoritmo de Búsqueda Tabú:
Estructura de la memoria tabú:
El intercambio de columnas entre las reinas 1 y 7
queda prohibido durante laspróximas 3 iteraciones.
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Algoritmo de Búsqueda Tabú:
Transición:
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Algoritmo de Búsqueda Tabú:
Estructura de la memoria tabú:
El intercambio de columnas entre las reinas 1 y 7
queda prohibido durante laspróximas 2 iteraciones.
El intercambio de columnas entre las reinas 2 y 4
queda prohibido durante laspróximas 3 iteraciones.
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Algoritmo de Búsqueda Tabú:
Criterio de aspiración:
Es un criterio que permite aceptar soluciones vecinas a pesar de tener atributos prohibidos con el propósito de avanzar hacia vecinos de buena calidad.
En ejemplo de la n reinas, puede aplicarse aspiración si:
•Un movimiento prohibido permite reducir el número de colisiones en k colisiones.•Si el número de colisiones es menor que las obtenidas en las últimas m iteraciones.•Si se mejora la incumbente.
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Algoritmo de Búsqueda Tabú modificado:
Reducción de la vecindad:
Es un aspecto crítico en problemas de gran tamaño y complejidad. Para 1000 reinas se tienen 499500 vecinos para cada solución parcial.
Debe reducirse el número de vecinos preservando, en lo posible, los mejores vecinos.
XkN*(X): subespacio de vecinos
N**(X): subespacio reducido de vecinos
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Algoritmo de Búsqueda Tabú modificado:
Formas de reducir la vecindad:
1.Usando una heurística o un conjunto de heurísticas que genere una lista reducida de candidatos.2.Usando un microgenético o un GRASP.3.Redefiniendo los atributos (Ej: c/reina solo intercambia su columna con algunas reinas).4.Redefiniendo el concepto de memoria.
XkN*(X): subespacio de vecinos
N**(X): subespacio reducido de vecinos
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Algoritmo de Búsqueda Tabú modificado:
Intensificación:
Consiste en regresar a subespacios de alta calidad visitados en el pasado para realizar una exploración más exhaustiva.
región de alta calidad
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Algoritmo de Búsqueda Tabú modificado:
diversificación y Memoria de largo plazo:
En el ejemplo de las n reinas contiene la información histórica del número de veces que el mismo par de reinas han sido intercambiadas.
Memoria basada enfrecuencia
Memoria basada en hechos recientes
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Algoritmo de Búsqueda Tabú modificado:
Diversificación y Memoria de largo plazo:
Esta información puede utilizarse para diversificar, penalizando el intercambio de columnas entre reinas con una alta frecuencia de intercambios o privilegiando intercambios que no han ocurrido.
Memoria basada enfrecuencia
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Algoritmo de Búsqueda Tabú modificado:
Encadenamiento de trayectorias:
Consiste en retomar soluciones de buena calidad encontradas durante el proceso, y que fueron almacenadas en una lista de soluciones élite, para conducir el proceso por trayectorias inexploradas que conectan estas soluciones.
soluciones élite
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Algoritmo de Búsqueda Tabú modificado:
Encadenamiento de trayectorias:
solución dereferencia
Trayectoria originalTrayectoria encadenada
solución guía
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Algoritmo de Búsqueda Tabú modificado:
Reinicio:
Consiste en retomar soluciones de buena calidad encontradas durante el proceso, y que fueron almacenadas en una lista de soluciones élite, para comenzar de nuevo desde cero el algoritmo.
soluciones élite
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Algoritmo de Búsqueda Tabú modificado:
Oscilación estratégica:
Es un mecanismo que se aplica cuando el algoritmo normalmente se detendría. Consiste en:
•Cambiar atributos.•Modificar la definición de vecindad N(X).•Permitir soluciones únicamente factibles y, cuando el método se agota, permitir entrar en la región infactible y permanecer allí para luego retornar a la región factible.
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Algoritmo de Búsqueda Tabú modificado:
Oscilación estratégica:
Únicamente infactibles
Únicamente factibles
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Algoritmo de Búsqueda Tabú modificado:
Criterio de parada:
•Por máximo número de iteraciones.•Por máximo número de diversificaciones.•Cuando se han analizado todas las configuraciones almacenadas en un vector de trabajo.
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Optimización matemática
Algoritmo Simulated AnnealingAlgoritmo Simulated Annealing
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Algoritmo Simulated Annealing o
Recocido Simulado:
• Se fundamenta en el proceso físico de calentamiento de un sólido seguido de un enfriamiento para lograr una estructura cristalina perfecta.
• El calentamiento ocurre a temperaturas altas.• El enfriamiento debe realizarse lentamente.• La temperatura de calentamiento debe ser lo
suficientemente alta para asegurar el estado aleatorio y el enfriamiento lo suficientemente lento para asegurar el equilibrio térmico en cada temperatura. De esta forma los átomos asumirán la configuración correspondiente a minima energía global (cristal perfecto).
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Algoritmo Simulated Annealing o
Recocido Simulado:
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Características:
• No utiliza población, en cada ciclo opera sobre una solución. Es un algoritmo de trayectoria.• Requiere de una función de adaptación para el manejo de la infactibilidad. • Combina exploración con explotación.• Utiliza el concepto de vecindad, la cual puede ser potenciada con sensibilidad.• Al igual que GRASP y Tabu Search opera sobre los atributos para explorar la vecindad.• A diferencia de Tabu Search, selecciona un vecino aleatoriamente y no posee mecanismos para evitar regresar a regiones ya visitadas.
Algoritmo Simulated Annealing
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Algoritmo Simulated Annealing:
Selecciona un vecino aleatoriamente.
•Si el vecino es de mejor calidad acepta el movimiento.•Si el vecino es de peor calidad lo acepta de acuerdo a una probabilidad. Si no lo acepta, selecciona otro vecino.
* No realiza una búsqueda intensiva en la vecindad
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• Si la temperatura Tk es alta, el número de búsquedas Nk es menor y la probabilidad de aceptar soluciones de mala calidad es mayor.
• Si la temperatura Tk es baja, el número de búsquedas Nk es mayor y la probabilidad de aceptar soluciones de mala calidad es menor.
1 2
3
4
N
Algoritmo Simulated Annealing:
Longitud de la cadena = Nk
Temperatura = Tk
Parámetros:
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Probabilidad de aceptación de un vecino de mala calidad:
La probabilidad de aceptación sigue una función exponencial decreciente cuyo valor máximo es 1 y su valor mínimo tiende a 0.
Para el problema de minimización:
f(j): función objetivo de la solución vecina.f(i): función objetivo de la solución actual.T: temperatura actual.PT: probabilidad de aceptación.
Algoritmo Simulated Annealing:
1 2
3
4
N
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Probabilidad de aceptación de un vecino de mala calidad:
f(j): función objetivo de la solución vecina.f(i): función objetivo de la solución actual.T: temperatura actual.PT: probabilidad de aceptación.
Algoritmo Simulated Annealing:
nivel de empeoramiento
probabilidad deaceptación
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Programa de enfriamiento:
Es determinado por los siguientes 5 parámetros:
1. La temperatura inicial To y la longitud inicial de la cadena No.
2.La tasa de crecimiento de la longitud de la cadena respecto a la longitud anterior: Nk+1 = Nk ; con ≥ 1.
3.La tasa de enfriamiento de la temperatura: Tk+1 = f ( Tk ) •Temperatura final TF que teóricamente es cero pero que realmente se establece en un valor TF > 0. Algunas propuestas sugieren procesar de 6 a 50 niveles de temperatura o continuar hasta que no haya un número mínimo de aceptaciones.
Algoritmo Simulated Annealing:
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Cálculo de la temperatura inicial To (método 1):
1.Definir la cantidad de experimentos: y la tasa de aceptación de soluciones de mala calidad: X. Si se desea X = 85%, entonces X=0.85
•Seleccionar aleatoriamente un vecino.
•Calcular la temperatura inicial como:
es el incremento medio del costo de las soluciones que están en
mejor calidad
peor calidad
Algoritmo Simulated Annealing:
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Cálculo de la temperatura inicial To (método 2):
Donde Φ es la probabilidad (entre 0 y 1) deseable para que sea aceptada una solución de mala calidad cuando dicha solución es μ veces peor que la solución inicial F(Xo).
Ejemplo: Si la solución inicial es F(Xo) = 2300 y se desea aceptar una solución de peor calidad 1% inferior (μ = 0.01) con una probabilidad del 13%(Φ = 0.13), entonces:
Algoritmo Simulated Annealing:
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Cálculo de la temperatura Tk :
Existen varios criterios para determinar la tasa de disminución de la temperatura:
2.Tasa constante: Tk+1 = β Tk ; con β en el intervalo [0.5 , 0.99].
3.Tasa variable, propuesta 1:
Algoritmo Simulated Annealing:
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Cálculo de la temperatura Tk :
3. Tasa variable, propuesta 2:
Algoritmo Simulated Annealing:
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Algoritmo Simulated Annealing:
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Algoritmo Simulated Annealing:
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Algoritmo Simulated Annealing:
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Algoritmo Simulated Annealing:
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Optimización matemática
Algoritmo Scatter SearchAlgoritmo Scatter Searchoo
Búsqueda DispersaBúsqueda Dispersa
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Algoritmo Scatter Search o
Búsqueda Dispersa:
•Es una técnica de búsqueda sistemática que usa un conjunto limitado de soluciones denominadas soluciones de referencia.
•Combina procedimientos metaheurísticos y procedimientos heurísticos.
•Es una técnica evolutiva.
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• Utiliza población. • Requiere de una función de adaptación para el manejo de la infactibilidad. • Utiliza dos conjuntos de soluciones: el de soluciones de buena calidad y el de soluciones diversas.• Aplica selección y combinación de soluciones.• Al igual que GRASP, Tabu Search y Simulated Annealing opera sobre atributos para explorar la vecindad.• Aplica una etapa de mejoramiento basada en heurísticas.
Algoritmo Scatter Search o
Búsqueda Dispersa – características:
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Algoritmo Scatter Search o
Búsqueda Dispersa – componentes:generación-diversificación
selección
combinación
mejoramiento
actualización
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Mecanismo de Generación-Diversificación:
Su función es generar un conjunto de soluciones diversas y de buena calidad. Sus características principales son:
•Se aplica antes de iniciar el proceso iterativo y en ocasiones dentro del proceso iterativo.
•Permite construir un conjunto P de soluciones, a partir del cual se construye un subconjunto de soluciones de referencia b.
•Las soluciones en P pueden construirse determinística o aleatoriamente.
•Las soluciones en P pueden ser factibles o infactibles.
Algoritmo Scatter Search o
Búsqueda Dispersa – componentes:
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Mecanismo de Generación-Diversificación:
• Puede incluir una rutina de mejoramiento.
•Se sugiere un tamaño de P del orden de 100 soluciones.
Algoritmo Scatter Search o
Búsqueda Dispersa – componentes:
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Mecanismo de Generación-Diversificación:
•El conjunto de referencia b debe cumplir: , si P tiene tamaño 100, b debe tener un tamaño entre 5 y 10.
•Las soluciones de mejor calidad se almacenan en b1 y las más diversas en b2.
Algoritmo Scatter Search o
Búsqueda Dispersa – componentes:
menor distancia respecto a b1
mayor distancia respecto a b1
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Mecanismo de Selección:
•Selecciona parejas o ternas de soluciones para combinar.
•En lo posible deben seleccionarse el 80% de todas las posibles combinaciones entre pares de soluciones y algunas ternas. Puede usarse sensibilidad o aleatoriedad.
Algoritmo Scatter Search o
Búsqueda Dispersa – componentes:
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Mecanismo de Combinación:
•Combina dos o más soluciones del conjunto de referencia b con el propósito de generar soluciones intermedias o centroides.
•Puede incluir combinaciones convexas, no convexas o especiales.
•La cantidad de soluciones que se obtienen del mismo par o terna de soluciones depende de la calidad de estas (explotación).
Algoritmo Scatter Search o
Búsqueda Dispersa – componentes:
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Mecanismo de Combinación:
•Combinar soluciones es equivalente a intensificar.
•En el proceso de combinación deben seleccionarse adecuadamente los pesos de las soluciones que se combinan.
•Puede exigirse factibilidad o permitir infactibilidad en las soluciones resultantes.
Algoritmo Scatter Search o
Búsqueda Dispersa – componentes:
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Mecanismo de Mejoramiento:
•Utiliza búsqueda local para mejorar la calidad de las soluciones resultantes del proceso de combinación.
•El proceso de mejoramiento puede ser aleatorio o puede aplicar indicadores de sensibilidad y técnicas heurísticas, e inclusive técnicas exactas.
•Puede exigirse factibilidad o permitir infactibilidad en las soluciones resultantes.
Algoritmo Scatter Search o
Búsqueda Dispersa – componentes:
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Mecanismo de Mejoramiento:
•Debe permitir generar múltiples instancias a partir de una solución. Puede apoyarse en conceptos de vecindad.
•Algunas implementaciones no aplican este mecanismo.
Algoritmo Scatter Search o
Búsqueda Dispersa – componentes:
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Mecanismo de Actualización del conjunto de referencia:
•Consiste en extraer las soluciones de mejor calidad y las más diversas del conjunto de soluciones resultantes del proceso de combinación y mejoramiento para determinar si pueden reemplazar soluciones del conjunto de referencia b.
•Compara cada solución combinada y mejorada con las soluciones de b1 y la reemplaza por la peor solución de b1 si la nueva solución es de mejor calidad.
Algoritmo Scatter Search o
Búsqueda Dispersa – componentes:
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Mecanismo de Actualización del conjunto de referencia:
•Compara cada solución combinada y mejorada que no entra a b1 y la reemplaza por la solución menos diversa de b2 si la nueva solución es más diversa respecto al nuevo conjunto b1, respecto a la solución menos diversa existente en b2.
Algoritmo Scatter Search o
Búsqueda Dispersa – componentes:
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Mecanismo de Actualización del conjunto de referencia:
•El conjunto de referencia conserva un tamaño b constante, pero el valor y la diversidad de las soluciones va mejorando a lo largo del proceso de búsqueda.
•Si ninguna solución es reemplazada después de algunos ciclos, puede darse por finalizado el proceso o puede reiniciarse a partir de un nuevo conjunto P.
Algoritmo Scatter Search o
Búsqueda Dispersa – componentes:
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Algoritmo Scatter Search:
Algoritmo Scatter Search o
Búsqueda Dispersa – componentes: