algoritma google pagerank dan aplikasinya pada …

i

ALGORITMA GOOGLE PAGERANK DAN

APLIKASINYA PADA TWITTER

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Felicia Angela Saputra

NIM: 163114007

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

GOOGLE PAGERANK ALGORITHM AND

ITS APPLICATION ON TWITTER

Thesis

Presented as a Requirement

to Obtain a Bachelor of Science Degree

Mathematics Study Program

By:

Felicia Angela Saputra

NIM: 163114007

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2020


vi

MOTTO

“Always be a little kinder than necessary.”

(James M. Barrie)


vii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan kepada:

Allah Subhaanahu Wa Ta‟ala, tanpa rahmat-Nya saya tidak bisa menyelesaikan

skripsi ini.

Kedua orang tua saya Andy Saputra dan Ida Zuchriana, kakak dan adik saya

Florentina Melani dan Ferdinand Fahriansyah S. yang selalu membuat saya

tersenyum, serta memberikan dukungan dan semangat.


viii

ABSTRAK

Internet adalah suatu sistem global dari jaringan-jaringan komputer tanpa

kabel yang saling terhubung dan dapat digunakan untuk mencari informasi dari

berbagai sumber yang dapat diakses dari seluruh dunia. Untuk memudahkan

pengguna internet dalam mencari informasi tersebut diperlukan suatu alat, yaitu

mesin pencarian. Mesin pencarian adalah sebuah situs web yang digunakan untuk

mencari informasi di internet. Salah satu algoritma pada mesin pencarian adalah

algoritma Google PageRank yang memberikan setiap halaman pada situs web

sebuah peringkat berdasarkan tingkat kepentingan halaman tersebut. Algoritma ini

juga dapat mengurutkan peringkat halaman web tersebut sesuai dengan kata kunci

pencarian. Peringkat atau skor halaman web diperoleh dari koefisien pada nilai

stasioner rantai Markov sehingga akan dibahas tentang bagaimana penggunaan

matriks transisi peluang, sifat-sifat rantai Markov, pencarian nilai eigen dan nilai

stasioner yang bersesuaian.

Selain digunakan untuk menentukan peringkat halaman-halaman pada

situs web, algoritma Google PageRank juga dapat digunakan untuk mencari

tingkat popularitas suatu akun pada Twitter dengan hubungan mengikuti dan

diikuti. Dapat disimpulkan bahwa pada situs web, halaman yang penting adalah

halaman yang memiliki banyak tautan dari halaman yang penting juga, sama

halnya dengan Twitter yaitu akun yang tingkat popularitasnya tinggi adalah akun

yang banyak diikuti oleh akun yang populer atau akun yang memiliki banyak

pengikut juga.

Kata kunci: algoritma Google PageRank, rantai Markov, Teorema Frobenius,

popularitas akun Twitter.


ix

ABSTRACT

Internet is a global system of wireless computer networks that are

connected and can be used to look for information from various sources that

accessible from all over the world. A tool that can help internet users when they

are looking for information is a search engine. A search engine is a website which

used to look for information on the internet. One of the algorithms used in the

search engine is the Google PageRank algorithm that gives every page on the

website a rank or score based on the importance of the page. The ranking or the

score of every page on the web is the corresponding coefficient of the Markov

chain stationary regime. To obtain the stationary regime, first, we must discuss the

probability transition matrix, the properties of Markov chains, how to calculate

eigenvalue, and the associated eigenvector.

Besides being used to find a rank of the website pages, the Google

PageRank algorithm also can be used to find the popularity ranking of a Twitter

account with the following and followed relation. In conclusion, on the website,

the important page is a page that has a lot of links from important pages also, as

well as Twitter, a high popularity account is an account that is followed by

another popular account or an account that has a lot of followers.

Keywords: Google PageRank algorithm, Markov chain, Frobenius Theorem,

popularity of Twitter account.


xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i

HALAMAN PERSETUJUAN DOSEN PEMBIMBING .................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................... v

MOTTO ................................................................................................................ vi

HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... vii

ABSTRAK .......................................................................................................... viii

ABSTRACT .......................................................................................................... ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................. x

KATA PENGANTAR .......................................................................................... xi

DAFTAR ISI ....................................................................................................... xiii

BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 3

C. Batasan Masalah........................................................................................... 3

D. Tujuan Penulisan .......................................................................................... 3

E. Manfaat Penulisan ........................................................................................ 4

F. Metode Penulisan ......................................................................................... 4

G. Sistematika Penulisan .................................................................................. 4

BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................... 6

A. Graf .............................................................................................................. 6

B. Probabilitas ................................................................................................... 8

C. Probabilitas Bersyarat .................................................................................. 9

D. Situs Web ................................................................................................... 12

E. Nilai Eigen dan Vektor Eigen .................................................................... 16

F. Rantai Markov ............................................................................................ 18

G. Matriks Transisi Peluang............................................................................ 20

H. Sifat-Sifat Matriks Transisi Peluang .......................................................... 28


xiv

BAB III TEOREMA FROBENIUS ................................................................... 30

A. Pendahuluan ............................................................................................... 30

B. Teorema Frobenius..................................................................................... 32

BAB IV ALGORITMA GOOGLE PAGERANK .............................................. 37

A. Hipotesis ..................................................................................................... 37

B. Nilai Stasioner ............................................................................................ 37

C. Peringkat Halaman Web ............................................................................ 41

D. Algoritma PageRank yang Ditingkatkan ................................................... 45

E. Penerapan Algoritma Google PageRank pada Twitter .............................. 50

BAB V PENUTUP ............................................................................................... 62

A. Kesimpulan ................................................................................................ 62

B. Saran ........................................................................................................... 63

DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 64

LAMPIRAN ......................................................................................................... 65


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Internet adalah suatu sistem global dari jaringan-jaringan komputer tanpa

kabel yang saling terhubung. Internet membawa informasi yang sangat luas dari

berbagai sumber dan dapat diakses dari seluruh dunia, sehingga penggunaan

internet saat ini sangatlah populer di masyarakat. Dengan internet, kita dapat

berkomunikasi jarak jauh dengan sangat mudah dan mendapatkan semua

informasi yang kita inginkan. Untuk mencari informasi tersebut, diperlukan suatu

alat yang dapat membantu kita untuk menemukan informasi yang tepat dari

internet, yaitu mesin pencarian. Mesin pencarian adalah sebuah program pada web

yang digunakan untuk mencari informasi di internet. Teknologi mesin pencarian

ini mulai muncul pada tahun 1990.

Alat pertama yang digunakan untuk pencarian di internet adalah Archie.

Archie dibuat oleh Allan Emtage, Bill Heelan, dan J. Peter Deustch, mahasiswa di

Universitas McGill pada tahun 1990. Program Archie berisi daftar semua file

yang berada pada suatu situs FTP (File Transfer Protocol), sehingga membentuk

basis data yang dapat dicari dari nama-nama file tersebut. Archie tidak mendaftar

isi atau konten dari situs-situsnya karena jumlah datanya masih terbatas.

Pada tahun 1991, Mark McCahill menciptakan Gopher, yang terdiri dari

dua program pencarian, Veronica dan Jughead. Veronica (Very Easy Rodent-

Oriented Net-wide Index to Computerized Archives) menyediakan kata kunci

pencarian dari judul-judul file Gopher. Jughead (Jonzy’s Universal Gopher

Hierarchy Excavation and Display) adalah alat untuk mendapatkan informasi dari

server tertentu saja pada Gopher.

Pada tahun 1993, Oscar Nierstrasz menciptakan W3Catalog. W3Catalog

adalah mesin pencarian pertama yang dapat menyediakan pencarian pada suatu

katalog yang berisi sumber-sumber WWW. Pada Juni 1993, Matthew Gray,

menciptakan situs web robot pertama, yaitu Wanderer yang digunakan untuk


2

mengukur ukuran dari WWW. Selain itu juga digunakan untuk menghasilkan

sebuah daftar yang disebut „Wandex‟. Lalu pada November 1993, mesin

pencarian kedua muncul, yaitu Aliweb. Aliweb bukan situs web robot, tetapi bisa

mencantumkan halaman web, deskripsi halaman dan kata kunci pada mesin

pencarian.

Setelah itu, banyak mesin pencarian internet yang muncul dan menjadi

populer. Seperti Jump Station, Magellan, Excite, Lycos, Infoseek, Inktomi,

Northern Light, Alta Vista, dan lain-lain.

Lalu pada tahun 1998, Google menjadi sangat populer karena telah me-

matenkan algoritma yang disebut Google PageRank yang ditemukan oleh Sergey

Brin and Larry Page. Algoritma ini memberikan setiap halaman pada sebuah situs

web suatu peringkat berdasarkan tingkat kepentingan web tersebut. Selain itu,

algoritma ini dapat mengurutkan peringkat halaman web tersebut sesuai dengan

kata pencarian sehingga sangat memudahkan pengguna internet. Peringkat suatu

halaman web adalah probabilitas pengguna internet akan berada pada suatu

halaman tertentu. Jika ada tautan dari suatu halaman ke halaman , maka tautan

itu akan meningkatkan peringkat halaman . Semakin banyak tautan menuju ke

suatu halaman web, semakin tinggi juga probabilitas untuk berada di halaman

tersebut, sehingga peringkat halaman tersebut akan menjadi lebih tinggi. Misalkan

ada seorang pengguna internet yang mengikuti secara acak tautan dari satu

halaman ke halaman lain pada situs web, perjalanan acak oleh pengguna internet

ini dapat dimodelkan dengan Rantai Markov.

Misalkan ( ) ( ) adalah proses stokastik yang

nilainya berada pada himpunan halaman situs web * +. Kita menye-

but ( ) adalah rantai Markov jika peluang ( ) , hanya

bergantung pada nilai dari halaman web sebelumnya, yaitu , dan tidak

bergantung pada nilai halaman situs web sebelumnya . Kita

definisikan sebagai jumlah halaman situs web pada Rantai Markov

pada sistem ini direpresentasikan oleh Matriks Transisi Peluang (MTP).

Dari MTP tersebut dapat ditemukan minimal satu nilai eigen bernilai satu.

Dari nilai eigen itu, dapat ditemukan vektor eigen yang entri-entrinya tak negatif.


3

Sifat ini adalah sebuah akibat dari Teorema Frobenius. Vektor eigen ini disebut

juga nilai stasioner dari rantai Markov. Koefisien pada nilai stasioner tersebut

adalah skor atau nilai peringkat dari halaman situs web.

Pada tugas akhir ini, akan dibahas tentang algoritma yang dipakai untuk

menentukan peringkat pada mesin pencarian pada Google yaitu algoritma Google

PageRank. Selain itu, juga akan dibahas tentang bagaimana penggunaan matriks

transisi peluang, penggunaan sifat-sifat rantai Markov, pencarian nilai eigen dan

nilai stasioner yang bersesuaian untuk mendapatkan nilai peringkat suatu halaman.

Setelah itu, algoritma Google PageRank akan diaplikasikan untuk mencari nilai

atau peringkat popularitas suatu akun Twitter dengan menggunakan

hubungan/relasi follower.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam tugas akhir ini adalah:

1. Bagaimana cara kerja algoritma Google PageRank dalam menentukan

peringkat suatu halaman web?

2. Bagaimana penerapan algoritma Google PageRank pada pencarian

popularitas suatu akun pada Twitter?

C. Batasan Masalah

Penulisan tugas akhir ini hanya berfokus pada algoritma Google PageRank yang

paling dasar saja.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah:

1. Mengetahui bagaimana cara kerja algoritma Google PageRank untuk

menentukan peringkat suatu halaman web.

2. Mengetahui penerapan algoritma Google PageRank pada pencarian peringkat

popularitas suatu akun pada Twitter.


4

E. Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan tugas akhir ini adalah agar dapat memahami cara kerja

algoritma Google PageRank untuk mencari peringkat suatu halaman web dan

aplikasinya pada peringkat popularitas suatu akun pada Twitter.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam menyusun tugas akhir ini adalah studi

pustaka dengan membaca buku-buku, jurnal, dan skripsi, dan menggunakan

program MATLAB.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II LANDASAN TEORI

A. Graf

B. Probabilitas

C. Probabilitas Bersyarat

D. Situs Web

E. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

F. Rantai Markov

G. Matriks Transisi Peluang

H. Sifat-Sifat Matriks Transisi Peluang


5

BAB III TEOREMA FROBENIUS

A. Pendahuluan

B. Teorema Frobenius

BAB IV ALGORITMA GOOGLE PAGERANK

A. Hipotesis

B. Nilai Stasioner

C. Peringkat Halaman Web

D. Algoritma PageRank yang Ditingkatkan

E. Penerapan Algoritma Google PageRank pada Twitter

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

Daftar Pustaka

Lampiran


6

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Graf

Secara umum, sebuah graf terdiri dari himpunan simpul-simpul dan

himpunan sisi-sisi yang menghubungkan berbagai pasangan simpul-simpul. Graf

dapat digunakan untuk memodelkan bermacam-macam relasi dan proses pada

bidang fisika, biologi, ilmu sosial, dan sistem informasi.

Definisi 2.1.1

Sebuah graf terdiri dari 2 himpunan hingga: himpunan tak kosong ( ) berisi

simpul-simpul dan himpunan ( ) berisi sisi-sisi, dimana setiap sisi bersesuaian

dengan sebuah himpunan yang berisi satu atau dua simpul yang disebut endpoint.

Contoh 2.1.1

Gambar 2.1

Gambar 2.1 merepresentasikan sebuah graf dengan himpunan simpul

* +, dan himpunan sisi * +, dan korespondensi dari

sisi dan endpoint diberikan oleh tabel berikut

Sisi Endpoint

* +

* +

* +

* +

* +


7

Definisi 2.1.2

Sebuah graf berarah terdiri dari 2 himpunan hingga: himpunan tak kosong ( )

berisi simpul-simpul dan sebuah himpunan ( ) berisi sisi-sisi berarah, yang

bersesuaian dengan pasangan terurut dari simpul-simpul yang disebut endpoint.

Jika sisi bersesuaian dengan pasangan simpul-simpul ( ) , maka disebut

sebagai sisi (berarah) dari ke .

Contoh 2.1.2

Gambar 2.2

Gambar 2.2 merepresentasikan sebuah graf berarah dengan himpunan sisi berarah

* + yang bersesuaian dengan pasangan terurut simpul-simpul dari

himpunan simpul * +. Korespondensi dari sisi dan endpoint diberikan oleh

tabel berikut

Sisi Endpoint

* +

* +

* +

* +

Perhatikan bahwa setiap graf berarah bersesuaian dengan sebuah graf (tidak

berarah) yang diperoleh dengan mengabaikan arah dari sisi-sisinya.


8

B. Probabilitas

Dalam kehidupan sehari-hari, probabilitas sering kita temui untuk

mencoba memprediksi nilai kemungkinan sebuah kejadian dalam percobaan acak.

Kita memerlukan teori probabilitas untuk bisa melakukan prediksi dari hasil

pengamatan sebuah kejadian. Sebelum membahas teori probabilitas, kita perlu

mengetahui notasi dasar yang akan digunakan. Himpunan semua kemungkinan

hasil dari suatu eksperimen disebut ruang sampel, dilambangkan dengan .

Himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian, dilambangkan dengan huruf

kapital: , , ... . Jika elemen-elemen pada kejadian adalah , , dan , kita

dapat menuliskannya

* +.

Misalkan adalah ruang sampel pada suatu percobaan adalah himpunan hingga

dengan banyaknya anggota pada adalah ( ) , dan kejadian di dalam

memiliki ( ) anggota. Probabilitas terjadinya kejadian adalah

( ) ( )

( )

Untuk setiap kejadian , probabilitas ( ) dari selalu memenuhi:

Aksioma 1: ( )

Aksioma 2: ( )

Aksioma 3: Jika , , , adalah sebuah barisan kejadian yang saling asing

di (yakni jika ), maka

(⋃

) ∑ ( )

Contoh 2.2

Sebuah dadu seimbang dilambungkan sebanyak satu kali. Kita memperoleh ruang

sampel * + dengan ( ) Apabila adalah kejadian

munculnya bilangan prima, maka * + dengan ( ) . Probabilitas

kejadian adalah

( ) ( )

( )


9

C. Probabilitas Bersyarat

Probabilitas dari suatu kejadian terkadang akan bergantung pada kejadian

lain yang telah terjadi. Misalkan, nelayan di Semarang ingin mengetahui

probabilitas hari hujan dengan mempertimbangkan kejadian atau cuaca hari-hari

yang telah terjadi. Sekarang kita ingin menghitung probabilitas besok hujan,

dengan mempertimbangkan kejadian di mana sudah 2 hari berturut-turut hujan.

Nelayan tersebut dapat menyimpulkan bahwa probabilitas bersyarat hari hujan

akan lebih besar dari pada probabilitas tak bersyarat hari hujan.

Definisi 2.3.1

Probabilitas bersyarat dari suatu kejadian dengan syarat kejadian adalah

( | ) ( )

( )

asalkan ( ) .

Contoh 2.3.1

Sebuah dadu seimbang dilambungkan sebanyak satu kali. Misalkan adalah

kejadian munculnya angka 1 dan adalah kejadian munculnya angka ganjil. Kita

akan mencari probabilitas dari jika diketahui sebelumnya kejadian terjadi dari

ruang sampel * + Kejadian memerlukan pengamatan pada

munculnya angka 1 dan angka ganjil. Karena , maka , dan

( ) ( ) ( ) ( )⁄ Kita hitung probabilitas kejadian ,

( ) ( ) ( )⁄ , dan menggunakan Definisi 2.3.1,

( | ) ( )

( )

⁄

⁄

Definisi 2.3.2

Kejadian dan dikatakan saling bebas (independent) jika dan hanya jika

memenuhi salah satu dari:

( | ) ( ) atau

( | ) ( ) atau

( ) ( ) ( )


10

Contoh 2.3.2

Dalam percobaan melambungkan sebuah dadu seimbang satu kali diketahui:

: Kejadian munculnya angka ganjil,

: Kejadian munculnya angka genap, dan

: Kejadian munculnya angka 1 atau 2.

Tentukan:

a. Apakah dan adalah kejadian yang saling bebas?

b. Apakah dan adalah kejadian yang saling bebas?

Jawaban:

a. Untuk menentukan apakah dan saling bebas, kita perlu mengetahui

apakah mereka memenuhi kondisi pertama pada Definisi 2.3.2. Pada

contoh ini, ( ) ⁄ , ( ) ⁄ , ( ) ⁄ ⁄ Karena

, maka ( ) , dan jelas bahwa

( | ) ( )

( )

⁄

( )

Karena memenuhi ( | ) ( ) , maka kejadian dan adalah

kejadian tidak saling bebas.

b. Untuk menentukan apakah dan saling bebas, kita perlu mengetahui

apakah mereka memenuhi kondisi pertama pada Definisi 2.3.2. Karena

* +, maka ( ) ⁄ ,

( | ) ( )

( )

⁄

⁄

( )

Karena ( | ) ( ) , maka kejadian dan adalah kejadian saling

bebas.

Definisi 2.3.3

Variabel random adalah sebuah fungsi yang memetakan setiap anggota dalam

ruang sampel ke himpunan bilangan real.

Terdapat 2 jenis variabel random, yaitu variabel random diskret dan variabel

random kontinu. Sebagai contoh, kejadian hasil pemilihan dari voting, dengan

variabel random banyaknya pemilih yang memilih kandidat tertentu.


11

Banyaknya pemilih yang memilih kandidat tertentu ini pasti nol atau bilangan

bulat antara 1 dan total sampelnya. Sebuah variabel random disebut diskret jika

anggotanya berhingga atau tak berhingga yang terbilang dan nilainya berbeda.

Contoh lain dari variabel random ini adalah jumlah dari televisi yang rusak pada

pengiriman 100 televisi. Suatu variabel random juga dapat digunakan untuk

mengidentifikasi kejadian-kejadian numerik.

Contoh 2.3.3

Sebuah koin dilemparkan sebanyak 2 kali.

Misalkan adalah variabel random diskret yang mengidentifikasi kejadian-

kejadian munculnya gambar dari 2 kali pelemparan koin. Dari dua kali

pelemparan koin, kemungkinan kejadiannya adalah kejadian tidak muncul gambar,

kejadian muncul 1 gambar, dan kejadian munculnya 2 gambar. Kita misalkan

adalah banyaknya gambar yang muncul. adalah variabel random, tetapi nilai

spesifik tidak random. ( ) adalah himpunan ruang sampel saat nilainya

dari variabel random . ( ) adalah probabilitas saat bernilai . Sehingga

kita peroleh:

0 1 2

( )

Sekarang kita amati curah hujan setiap hari pada titik geografis yang sudah

ditentukan. Dengan alat pengukuran dengan akurasi yang tinggi, nilai curah hujan

berada di antara 0 dan 5 inci. Hasilnya, setiap bilangan yang tak terbilang pada

interval ( ) merepresentasikan kemungkinan nilai curah hujan yang berbeda

setiap harinya. Sebuah variabel random yang dapat merepresentasikan nilai pada

suatu interval dikatakan kontinu. Contoh lainnya adalah ketika seseorang ingin

G

A

G

A

A

G ⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄


12

mengetahui kedalaman danau pada posisi tertentu, sehingga variabel random

adalah level kedalaman danau pada suatu posisi acak. adalah variabel random

kontinu dengan interval kemungkinan kedalaman minimum sampai kedalaman

maksimum danau tersebut. Variabel random lain seperti tinggi, berat, besar suhu

juga merupakan variabel random kontinu.

D. Situs Web

Situs web (website) adalah sistem untuk menciptakan, mengatur, dan

mentautkan dokumen-dokumen agar dapat diakses dengan mudah. Situs web

diciptakan oleh Tim Berners-Lee pada tahun 1990. Situs web juga merupakan

salah satu perkembangan yang luar biasa selama beberapa dekade terakhir yang

akan terus menjadi pengaruh pada pemberi dan penerima informasi di masa yang

akan datang.

Situs web terdiri dari jutaan halaman-halaman yang berbeda, dan juga

terdapat banyak tautan di antara mereka. Situs web dapat kita modelkan sebagai

graf berarah, dimana halamannya adalah simpul, dan tautan di antara halaman

tersebut adalah sisi berarah yang menghubungkan simpul-simpul tersebut.

Gambar 2.3 adalah sebuah ilustrasi situs web memiliki lima halaman ( , ,

, , dan ).

Gambar 2.3

Sebuah situs web dengan lima halaman dan tautannya

Garis berarah di antara titik-titiknya memiliki arti bahwa:

satu-satunya tautan dari halaman adalah menuju ke halaman ,

halaman memiliki tautan ke halaman dan ,

A

B

D

C E


13

halaman memiliki tautan ke halaman , , dan ,

satu-satunya tautan dari halaman adalah menuju ke halaman , dan

halaman memiliki tautan ke halaman , , dan .

Peringkat dari suatu halaman adalah suatu nilai tingkat kepentingan

halaman tersebut, yakni suatu halaman akan menjadi semakin penting apabila

terdapat banyak tautan dari halaman-halaman yang memiliki banyak tautan.

Semakin banyak tautan menuju ke suatu halaman, semakin tinggi juga

probabilitas untuk berada di halaman tersebut, sehingga peringkat halaman

tersebut akan menjadi lebih tinggi. Untuk menentukan peringkat dari kelima

halaman, kita akan menggunakan versi sederhana dari algoritma PageRank. Pada

tahun 1998, Google pertama kali diciptakan oleh Larry Page dan Sergey Brin.

Sekitar tahun 2000, mesin pencarian Google menjadi terkenal karena

perusahaannya mencapai hasil yang lebih baik setelah menerapkan inovasi yang

dinamakan algoritma PageRank. Algoritma PageRank adalah algoritma yang

digunakan untuk memberi peringkat pada halaman-halaman pada situs web

berdasarkan tingkat kepentingan halaman tersebut. Algoritma ini mengurutkan

halaman-halaman pada suatu web berdasarkan skor PageRank dan tautan dari

halaman-halaman yang lain. Misalkan, seorang pengguna internet menjelajahi

situs web tersebut dengan cara memilih tautan-tautannya secara acak. Ketika dia

hanya memiliki satu pilihan halaman (sebagai contoh, jika dia berada di halaman

), maka dia akan mengikuti tautan tersebut (menuju ke halaman pada contoh

ini). Jika dia berada pada halaman , dia akan mengikuti tautan ke halaman , ,

atau . Jika dia berada di suatu halaman tertentu dengan tiga tautan yang tersedia,

maka dia akan memilih secara acak dari ketiga tautan yang ada.

Jika pengguna internet mulai dari halaman , maka halamannya memiliki

tiga tautan ke luar; sehingga pengguna internet hanya bisa menuju ke salah satu

dari tiga halaman , , .


14

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Mulai langkah 1 langkah 2

Gambar 2.4

Dua langkah pertama dari pengguna internet yang berawal dari halaman .

Gambar 2.4 mengilustrasikan dua langkah yang dapat diambil seorang pengguna

internet bila memulai dari halaman . Jadi, pada langkah pertama, dia bisa

menuju ke halaman dengan probabilitas

, ke halaman dengan probabilitas

,

dan ke halaman dengan probabilitas

. Ini ditunjukkan pada kolom tengah pada

Gambar 2.4, yang mengindikasikan tiga hubungan berikut

( )

( )

( )

Demikian pula,

( ) dan ( )

yang berarti setelah langkah pertama, pengguna internet tidak akan bisa berada

pada halaman atau , karena tidak ada tautan yang dapat membawanya ke sana.

Selanjutnya, karena dia harus berada dalam situs web tersebut, mereka memenuhi


15

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Hasil dari langkah pertama cukup sederhana dan dapat diprediksi. Namun, setelah

dua langkah, hubungan dari tautan-tautannya mulai kompleks. Kolom ketiga dari

gambar 2.4 menunjukkan kemungkinan lintasan setelah dua langkah. Jika

pengguna internet berada pada setelah langkah pertama, maka pada langkah ke

dua dia pasti menuju ke halaman . Karena dia sebelumnya berada pada halaman

dengan probabilitas

, maka lintasan ini memiliki probabilitas

untuk

menuju ke halaman pada langkah kedua. Namun, ( ) tidak bernilai

, karena

ada lintasan independen lain yang dapat menuju ke halaman : . Jika

pengguna internet berada pada halaman setelah langkah pertama, dia dapat

memilih (dengan probabilitas sama) dari tiga tautan yang menuju ke halaman , ,

dan . Setiap lintasan tersebut memberikan nilai

ke setiap probabilitas

( ) , ( ) , dan ( ) setelah langkah kedua. Walaupun ada lebih banyak

kemungkinan dan probabilitasnya semakin rumit, tetapi hasil akhirnya termasuk

sederhana. Setelah dua langkah, pengguna internet sampai pada sebuah halaman

dengan probabilitas sebagai berikut:

( )

( )

( )

( )

( )

Kita dapat lihat bahwa nilai-nilai probabilitas tersebut memenuhi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )


16

E. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 2.5.1

Jika adalah matriks berukuran , maka vektor tak nol disebut

vektor eigen dari jika adalah adalah kelipatan skalar dari , yakni

untuk suatu . Skalar disebut nilai eigen dari dan disebut vektor eigen

yang bersesuaian dengan .

Contoh 2.5.1

Diberikan matriks 0

1 . Vektor 0 1 adalah vektor eigen dari

matriks , karena

0

1 0 1 0

1

dengan adalah nilai eigen dari matriks .

Untuk menentukan nilai eigen dari matriks berukuran , kita dapat tulis

kembali persamaan sebagai

atau

( ) (2.1)

Agar menjadi suatu nilai eigen, harus terdapat solusi tak nol dari persamaan

(2.1). Persamaan (2.1) memiliki solusi tak nol jika dan hanya jika

( )

Definisi 2.5.2

Persamaan ( ) disebut persamaan karakteristik dari dengan

skalar yang memenuhi persamaan tersebut adalah nilai eigen dari . Ketika

dijabarkan, determinan dari ( ) selalu berupa polinomial dalam

variabel yang disebut polinomial karakteristik dari .


17

Dapat dilihat bahwa jika adalah matriks berukuran , maka polinomial

karakteristik dari memiliki derajat dan koefisien dari adalah 1, yaitu

bentuk dari polinomial karakteristik ( ) dari matriks adalah

( ) ( )

Dari teorema fundamental aljabar, persamaan karakteristik

memiliki paling banyak solusi yang berbeda. Jadi, sebuah matriks

memiliki paling banyak nilai eigen yang berbeda.

Contoh 2.5.2

Diberikan matriks

[

]

Polinomial karakteristik dari adalah

( ) [

]

( )

Nilai eigen dari memenuhi persamaan karakteristik

dan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah

( )( )

Jadi nilai eigen dari adalah

√ √


18

F. Rantai Markov

Sebuah proses stokastik waktu diskret ( ) adalah keluarga variabel

random dengan indeks * + . Kita asumsikan setiap nilai

dari variabel random berada di suatu himpunan hingga . Pada Gambar 2.3,

adalah himpunan dari halaman-halaman pada situs web: * + .

Untuk setiap langkah * +, posisi dari pengguna internet adalah .

Dalam proses stokastik ini, kita telah menentukan kemungkinan probabilitas dari

dan dengan asumsi bahwa titik awalnya dari halaman . Ini dapat disebut

probabilitas bersyarat ( | ), yang memberikan probabilitas kejadian terjadi

dengan diketahuinya kejadian terjadi. Contohnya, ( | ) adalah

probabilitas bahwa pengguna internet berada pada halaman pada langkah

pertama apabila mula-mula (langkah 0) berada di halaman . Jadi

( | )

( | )

( | )

( | ) ( | )

dan

( | )

( | )

( | )

( | )

( | ) .

Perjalanan acak oleh pengguna internet ini mendefinisikan sifat dari sebuah proses

stokastik khusus yang disebut rantai Markov.

Definisi 2.6.1

Misalkan ( ) ( ) adalah proses stokastik waktu diskret

yang nilainya berada pada himpunan hingga * + . Kita sebut

( ) adalah rantai Markov jika probabilitas ( ) , hanya

bergantung pada probabilitas dari proses sebelumnya, yaitu ( ), dan tidak

bergantung pada probabilitas yang lebih lama ( ) ( ) . Dengan kata

lain, berlaku

( | ) ( | )

untuk setiap dan .


19

Pada contoh pengguna internet, variabel randomnya adalah posisi

setelah langkah ke . Dari perhitungan sebelumnya, kita tahu bahwa saat

menghitung probabilitas setelah langkah pertama, ( ) kita hanya

menggunakan titik mulainya. Demikian pula untuk menghitung probabilitas

setelah langkah kedua ( ), kita hanya menggunakan probabilitas dari langkah

pertama. Sifat untuk menghitung ( ) dengan hanya menggunakan informasi

dari ( ) adalah sifat utama dari rantai Markov.

Misalkan kita ingin mencegah pengguna internet agar tidak langsung

kembali ke halaman sebelumnya. Sebagai contoh, setelah langkah pertama,

pengguna internet kita sampai pada halaman , , dan dengan probabilitas yang

sama. Dia tidak dapat kembali ke halaman dari halaman , tapi memungkinkan

dia untuk ke halaman dari halaman dan . Dari aturan baru ini, pengguna

internet hanya memiliki satu pilihan setelah sampai pada halaman dari halaman

(dia hanya dapat menuju ke halaman ), dan akan mengurangi pilihan pada saat

sampai ke halaman (hanya bisa ke halaman atau ). Dengan mencegah

pengguna internet untuk menuju ke tautan yang berhubungan dengan halaman

sebelumnya, kita menghilangkan sifat dari Markov, yaitu prosesnya memiliki

ingatan (memori). Faktanya, untuk menentukan probabilitas dari ( ) kita tidak

hanya perlu mengetahui probabilitas saat langkah pertama tetapi juga halaman

dimana pengguna internet tersebut memulai (langkah nol). Aturan yang kita

definisikan, bersifat spesial karena rantai Markov tidak memiliki ingatan terhadap

keadaan yang lalu, dan keadaan yang akan datang ditentukan dari keadaan

sekarang.


20

G. Matriks Transisi Peluang

Sebuah matriks yang merangkum nilai probabilitas semua perubahan keadaan dari

rantai Markov disebut matriks transisi peluang (MTP). Matriks transisi peluang

biasa disimbolkan dengan .

Definisi 2.7

Diberikan ( ) adalah rantai Markov yang nilainya berada pada himpunan

keadaan hingga * +. Matriks transisi peluang dari rantai Markov

adalah matriks yang komponen baris ke- kolom ke- diberikan oleh

( | ) untuk (2.2)

Sebuah matriks adalah matriks transisi rantai Markov jika memenuhi

, - untuk semua dan ∑ untuk semua (2.3)

Pada matriks transisi peluang kolom pada matriks merepresentasikan

keadaan sekarang atau keadaan sedangkan baris pada matriks

merepresentasikan keadaan yang dituju atau keadaan Matriks transisi peluang

dapat diilustrasikan sebagai berikut:

(keadaan sekarang)

( )

⏞

} (keadaan yang dituju)

Jumlahan kolom sama dengan 1

Contoh 2.7.1

Kita ambil contoh permainan monopoli sederhana dengan aturan pemain bergerak

mengelilingi kotak dengan cara melambungkan sebuah dadu seimbang. Kita

ilustrasikan sebagai berikut


21

4 5 6 7

3 8

2 9

1 12 11 10

Gambar 2.5

Kita misalkan terlebih dahulu:

Nomor kotak di mana pemain berada setelah langkah

1

( ) ( ) barisan variabel random dengan dengan

* + adalah ruang sampel yang berasal dari pelambungan sebuah

dadu dan ruang keadaan * +. Misalkan

Untuk pelambungan pertama dadu muncul angka 2:

Untuk pelambungan kedua dadu muncul angka 1:

Untuk pelambungan ketiga dadu muncul angka 5:

Dari empat posisi awal pemain, akan ditentukan probabilitas , dengan

* +.

Menggunakan Definisi 2.6.1, hanya dipengaruhi oleh keadaan sebelumnya,

yaitu dan tidak dipengaruhi oleh , sehingga

( | ) ( | )

untuk * +.

Mulai


22

Matriks transisi peluang dari permainan monopoli sederhana di atas adalah

061616161616100000

006161616161610000

000616161616161000

000061616161616100

000006161616161610

000000616161616161

610000006161616161

616100000061616161

616161000000616161

616161610000006161

616161616100000061

616161616161000000

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Contoh 2.7.2

Cuaca di suatu kota dapat berupa salah satu dari tiga keadaan, yaitu cerah,

berawan, dan hujan. Dari data-data empiris dapat disusun sebuah matriks transisi

peluang yang merepresentasikan rantai Markov dari perubahan cuaca di kota

tersebut:

Cerah Berawan Hujan

(

) Cerah

Berawan

Hujan

Dari model di atas, dapat kita lihat bahwa apapun keadaan cuaca pada hari ini, ada

kemungkinan sekurang-kurangnya 60% bahwa besok akan hujan.


23

Contoh 2.7.3

Kita perhatikan kembali Gambar 2.3

Gambar 2.3

Sebuah situs web dengan lima halaman dan tautannya

Untuk menentukan matriks transisi peluangnya, kita tentukan terlebih dahulu

variabel random Kita asumsikan setiap nilai dari variabel random berada di

suatu himpunan hingga . Pada Gambar 2.3, adalah himpunan dari halaman-

halaman pada situs web: * +. Untuk setiap langkah * +,

posisi dari pengguna internet adalah Elemen dari matriks transisi

menunjukkan probabilitas untuk sampai ke halaman ketika dia berasal dari

halaman . Aturan kita mengakibatkan pengguna internet untuk memilih

dengan probabilitas yang sama dari semua tautan yang tersedia. Jadi, jika halaman

memiliki tautan, maka kolom dari akan berisi

pada baris yang sesuai

dengan tautan halaman tersebut, dan 0 pada baris sisanya. Matriks transisi

untuk rantai Markov yang menggambarkan situs web sederhana pada gambar 2.3

adalah sebagai berikut

⏞

003100

310000

3100

210

310

3101

0131

210

}

A

B

D

C E


24

Kolom-kolom pada menunjukkan halaman tujuan yang memungkinkan; dari

halaman , pengguna internet dapat melanjutkan ke halaman , , dan .

Demikian pula dengan entri-entri tak nol pada baris menunjukkan kemungkinan

halaman asalnya: satu-satunya entri tak nol pada baris ke empat menunjukkan

bahwa kita dapat sampai ke halaman hanya dari halaman .

Apa arti dari kendala pada persamaan (2.3)? Untuk mengklarifikasi, kita dapat

tulis kembali matriks transisi pada (2.2):

∑ ∑ ( | )

yang dapat dibaca sebagai berikut: jika pada langkah sistem berada pada

keadaan (pada halaman ), maka probabilitas sistem berada pada sebarang

kemungkinan keadaan pada langkah adalah 1. Atau lebih sederhananya, ini

berarti bahwa seorang pengguna internet pada suatu halaman tertentu pada

langkah harus sampai pada halaman yang masih berada di situs web

tersebut saat langkah ke .

Seperti sebelumnya kita asumsikan pengguna internet memulai pada

halaman . Jadi, kita mempunyai

(

( )

( )

( )

( )

( ))

(

)

Vektor probabilitas setelah langkah pertama diperoleh dari , karena

itu

(

( )

( )

( )

( )

( ))

0031

00

31

0000

31

0021

0

31

031

01

0131

21

0

(

)

310

0

3131


25

sama seperti yang telah kita hitung sebelumnya. Dengan cara yang sama, terapkan

matriks transisi untuk menghasilkan ; maka vektor probabilitas setelah

dua langkah adalah

(

( )

( )

( )

( )

( ))

0031

00

31

0000

31

0021

0

31

031

01

0131

21

0

310

0

3131

0

9

118

59

46

1

Cara yang sama dapat kita ikuti untuk menghitung vektor probabilitas setelah

berapapun langkah yang telah kita tempuh: , atau

( ) ⏟

Contoh 2.7.4

Akan kita temukan matriks transisi yang merepresentasikan situs web berikut

Gambar 2.6

Matriks transisi rantai Markov yang bersesuaian adalah

0

000

000

100

21

21

21

21

21

21

P

A

A

Z

B

B C

C


26

Asumsikan bahwa pada langkah ke- , probabilitas untuk menuju ke setiap

halaman sama: ( ) ( ) ( ) ( ) .

Berapa probabilitas untuk berada pada halaman pada langkah ?

(

( )

( )

( )

( ))

41414141

Untuk menemukan vektor probabilitas pada langkah , akan kita hitung

41

41

41

41

21

21

21

21

21

21

1

0

000

000

100

np

(

( )

( )

( )

( ))

83818183

Jadi, probabilitas untuk berada pada halaman pada langkah ke adalah .

Contoh 2.7.5

Terdapat sebuah web sebagai berikut

Gambar 2.7

A

C

B

D


27

Matriks transisi rantai Markov yang bersesuaian dengan situs web tersebut adalah

000

10

00

00

31

31

21

21

21

21

31

P

Jika kita mulai dari halaman , maka berapakah probabilitas kita akan berada

pada halaman setelah 2 langkah?

(

( )

( )

( )

( ))

(

)

Untuk menemukan vektor probabilitas setelah 2 langkah, akan kita hitung

0

0

1

0

000

10

00

00

000

10

00

00

31

31

21

21

21

21

31

31

31

21

21

21

21

31

2p

0

0

1

0

00

0

61

61

125

63

61

21

41

62

41

21

61

31

125

0

63

62

61

Jadi, probabilitas kita akan berada pada halaman setelah 2 langkah adalah .


28

H. Sifat-Sifat Matriks Transisi Peluang

Sifat pertama yang akan dibahas dapat dilihat dari mengambil beberapa

pangkat dari matriks transisi : , , , dan (dihitung menggunakan

MATLAB) adalah

(

)

(

)

(

)

(

)

dan

(

)

Kita amati bahwa konvergen ke sebuah matriks yang vektor kolomnya identik

saat semakin besar.

Ini adalah salah satu sifat dari matriks transisi rantai Markov, yaitu suatu

perpangkatan matriks transisi rantai Markov sebanyak akan konvergen ke

sebuah matriks yang kolom-kolomnya identik saat .

Sifat 2.8.1

Matriks transisi dari rantai Markov mempunyai paling sedikit satu nilai eigen

yang bernilai satu.


29

Bukti:

Kita ingat kembali bahwa nilai eigen dari sebuah matriks selalu sama dengan nilai

eigen dari transpose matriks tersebut. Ini adalah hasil dari fakta bahwa kedua

matriks tersebut memiliki karakteristik polinomial yang sama

( ) det( ) det( ) det( ) = ( ),

dan determinan dari suatu matriks sama dengan determinan transposenya. Cukup

sederhana untuk menemukan vektor eigen dari . Misalkan ( ) .

Maka, . Dengan menjabarkan perkalian matriksnya ternyata kita dapat

lihat bahwa

( ) ∑, -

∑

Sifat 2.8.2

Jika adalah sebuah nilai eigen dari sebuah matriks transisi peluang berukuran

maka | | Selanjutnya, ada sebuah vektor eigen yang berkorespondensi

dengan nilai eigen dengan semua elemennya non negatif.

Sifat ini adalah hasil langsung dari Teorema Frobenius. Walaupun bukti teorema

ini berdasarkan dari aljabar linear elementer dan analisis, tetapi buktinya tidaklah

sederhana. Kita akan membahasnya pada bab III.


30

BAB III

TEOREMA FROBENIUS

A. Pendahuluan

Diberikan himpunan . Sebuah relasi pada suatu himpunan dikatakan:

refleksif jika

( )

simetrik jika

( )

asimetrik jika

( )

antisimetrik jika

(( dan ) )

transitif jika

(( dan ) )

preorder jika refleksif dan transitif;

terurut parsial jika adalah preorder antisimetrik.

Jika terurut parsial pada suatu himpunan , kita sebut pasangan ( ) sebuah

himpunan terurut parsial.

Definisi 3.1.1

Misalkan adalah subhimpunan tak kosong dari himpunan terurut parsial

Elemen kita sebut batas atas dari , jika untuk semua . Jika

terdapat batas atas dari S, maka kita sebut S terbatas ke atas. Elemen kita

sebut batas atas terkecil atau supremum dari jika dua kondisi berikut terpenuhi:

adalah batas atas dari , dan

jika adalah batas atas dari , maka .

Perhatikan bahwa S paling sedikit memiliki satu supremum. Jika terdapat suatu

supremum dari S, kita notasikan dengan sup S atau dapat kita notasikan juga

dengan


31

jika * + adalah himpunan berhingga, dan dengan

⋁

jika * + adalah himpunan terhitung.

Teorema 3.1.2 (Heine Borel)

Subhimpunan di dalam dikatakan kompak jika dan hanya jika tertutup dan

terbatas di dalam .

Definisi 3.1.3

Simpleks- atau simpleks berdimensi adalah sebuah objek berdimensi yang

terbentuk dari proyeksi titik-titik ( ) tak negatif dari suatu vektor yang

saling bebas pada suatu oktan. Dapat ditulis sebagai berikut

Simpleks- * ( ) +

Contoh 3.1

Simpleks-1 atau simpleks berdimensi 1 berupa garis. Simpleks-2 atau simpleks

berdimensi 2 berupa segitiga. Simpleks-3 berupa piramida segitiga.

(a) (b) (c)

Gambar 3.1

(a) Simpleks-1, (b) Simpleks-2, (c) Simpleks-3


32

B. Teorema Frobenius

Untuk menggambarkan dan mendemonstrasikan teorema Frobenius, kita perlu

memahami matriks dengan elemen tak negatif (positif atau nol). Kita bagi menjadi

3 kasus. Jika adalah matriks , maka kita notasikan

jika untuk semua ;

jika dan ada setidaknya satu dari positif;

jika untuk semua .

Kita akan gunakan notasi yang sama untuk vektor-vektor . Notasi

berarti . Kita akan tunjukkan beberapa contoh penggunaan

pertidaksamaan tersebut. Yang pertama, jika dan , maka ,

yang berdasarkan fakta bahwa karena dan , maka perkalian

matriks ( ) hanya terdiri dari jumlahan elemen-elemen tak negatif. Karena

itu, entri-entri dari vektor ( ) adalah tak negatif, sehingga

. Contoh yang kedua adalah jika dan , maka .

Karena dan , maka perkalian matriks ( ) hanya terdiri dari

jumlahan elemen-elemen positif. Karena itu entri-entri dari vektor ( )

adalah positif, sehingga .

Gambar 3.2 Tiga sudut pandang dari simpleks dari vektor ( ) Bidang

direpresentasikan dengan persegi putih, sedangkan simpleks

berdimensi 2 ( ) direpresentasikan dengan segitiga abu-abu.

c

b

a

c

b a

a

b

c


33

Untuk menotasikan himpunan titik-titik yang memenuhi sifat

berikut: terdapat sebuah vektor ( ) sedemikian sehingga

∑

(3.1)

Sebagai contoh, jika , dengan kondisi , maka titik ( ) berada

di oktan dimana titik-titiknya memiliki koordinat tak negatif. Pada saat yang sama,

kendala menggambarkan sebuah bidang datar. Jadi, titik dibatasi

pada perpotongan antara dua himpunan ini, seperti yang ditunjukkan pada

Gambar 3.2. Pada gambar ini, oktannya digambarkan dengan 3 sumbu, dan

bidangnya digambarkan dengan persegi putih. Titik potong dari keduanya

digambarkan dengan segitiga abu-abu. Pada kasus dimensi berhingga , objek

yang terbentuk disebut simpleks- . Sifat yang paling penting dari simpleks yaitu

himpunan kompak, yakni tertutup dan terbatas. Untuk setiap titik pada simpleks,

kita dapat menghitung yang memenuhi . Jadi, kita dapat menemukan

, sehingga . ( juga dapat terjadi, sebagai contoh jika .

/

dan . /, maka .

/ .

/ dapat terpenuhi hanya ketika .)

Proposisi 3.2.1

Apabila , maka . Lebih lanjut, jika , maka .

Bukti:

Kita misalkan bahwa , adalah elemen terbesar dari matriks .

Maka untuk setiap yang memenuhi ∑ dan , berlaku

( ) ∑ ∑

Karena setidaknya harus ada satu entri dari , kita sebut , harus memenuhi

, maka dari kondisi mengharuskan ( )

.

Karena berlaku untuk semua , maka . Misalkan bahwa

, dan adalah elemen terkecil dari . Maka untuk


34

.

/ , berlaku ( ) ∑

( )

( ) , sehingga

( ) dan .

Teorema 3.2.1 (Frobenius)

Misalkan dan .

(a) adalah nilai eigen dari dan memungkinkan kita untuk memilih vektor

eigen yang bersesuaian sehingga ;

(b) Jika adalah nilai eigen lain dari , maka | | .

Bukti:

Akan kita buktikan pernyataan (a) dalam dua tahap, (a1) dan (a2).

(a1) Jika , maka terdapat sedemikian sehingga .

Untuk membuktikan pernyataan pertama, kita misalkan sebuah baris

* + dari elemen-elemen yang konvergen ke , dan vektor-

vektor ( ) yang bersesuaian memenuhi (3.1):

∑ ( )

( ) ( ) ( )

Karena himpunan titik-titik ( ) adalah simpleks kompak, maka terdiri dari

titik akumulasi, dan dapat kita pilih sebuah subbarisan { ( )} dengan

, yang konvergen ke titik ini. Misalkan adalah limit dari

subbarisan:

( )

Perhatikan bahwa sendiri berada pada simpleks sehingga memenuhi

∑

dan . Akhirnya, karena ( ( ) ( )) , maka

. Selanjutnya, kita akan tunjukkan bahwa

.

Misalkan bahwa . Karena , dengan mengalikan kedua

bagian dari dengan dan mendefinisikan , kita

mendapatkan . Karena pertidaksamaan ini berlaku untuk semua

elemen, terdapat sebuah sedemikian sehingga ( ) .

Dengan menormalisasi , sehingga kita peroleh ∑

, kita dapat


35

menyimpulkan bahwa dan bahwa tidak dapat menjadi

supremum. Kontradiksi dengan Proposisi 3.1. Jadi, terbukti bahwa

. Karena dan , maka . Dengan kata lain,

, dan akhirnya karena .

(a2) Jika , maka terdapat sedemikian sehingga .

Misalkan sebuah matriks berukuran yang semua elemen-elemennya

adalah 1. Kita amati bahwa jika , maka ( ) ∑ untuk

semua , sehingga . Jika , maka ( ) untuk semua

, dan (a1) bisa diaplikasikan kepada matriks ini. Misalkan

dan akan menjadi dan ∑ . Jika ( ) ,

maka berlaku

( ) ( ) ( ) ( )

sehingga fungsi ( ) yang diprediksi dengan mengaplikasikan (a1) ke

matriks ( ) adalah fungsi naik dari . Lebih jelasnya, ( ) adalah

yang bersesuaian dengan matriks . Bentuk sebuah barisan positif *

+ yang konvergen ke 0. Dengan (a1), kita dapat mencari ( ) yang

memenuhi ( ) ( ) ( ) ( ) , dimana ( ) dan

∑ ( ) . Karena semua vektor-vektor tersebut berada pada simpleks,

terdapat sebuah subbarisan { } , dimana (

) konvergen ke sebuah

akumulasi titik . Vektor ini harus memenuhi dan ∑

.

Misalkan adalah limit dari ( ). Karena baris menurun dan ( )

adalah fungsi naik, maka ( ) . Karena dan

( ) (

) ( ) (

), kita ambil limit dari kedua bagian dan

menghasilkan , dan dari definisi , maka menjadi .

Karena , memenuhi bukti (a).

(b) Misalkan adalah nilai eigen lain dari dan adalah vektor eigen tak

nol yang bersesuaian dengan nilai eigen . Maka , dengan kata lain

( ) ∑


36

Dengan menentukan panjang dari kedua sisi, kita peroleh

| || | | ∑

| ∑ | |

sehingga

| | | || |

ketika | | (| | | | | |).

Vektor eigen | | harus dinormalisasi terlebih dahulu. Normalisasi berfungsi

untuk mengatur atau mengontrol elemen-elemen pada | | Ada banyak cara

untuk menormalisasi | | cara yang digunakan adalah dengan menormalisasi

| | sehingga ∑ . Setelah itu dapat pastikan bahwa | | yang telah

dinormalisasi berada pada simpleks, sedemikian sehingga | | . Karena

itu, dari definisi , dapat kita simpulkan bahwa | | .

Akibat 3.2.3

Jika adalah matriks transisi rantai Markov, maka .

Bukti:

Kita misalkan . Maka ∑ untuk semua . Karena , kita dapat

katakan bahwa . Dari bagian (a) teorema Frobenius, terdapat nilai eigen

dan vektor eigen yang bersesuaian (dimana dan ∑

) sehingga

. Karena , elemen terbesar dari , kita sebut

yang bernilai

positif dan memenuhi

( ) ∑

∑

Dapat kita simpulkan bahwa . Sifat 2.8.1 menunjukkan bahwa 1 adalah

nilai eigen dari (dan juga dari ) maka , sehingga terbukti bahwa .

Sifat 2.8.2 muncul dari teorema 3.2.2 (Frobenius) dan akibat 3.2.3.


37

BAB IV

ALGORITMA GOOGLE PAGERANK

A. Hipotesis

Sebelum kita melanjutkan, kita nyatakan tiga hipotesis yang akan kita asumsikan

dari sekarang.

i. Ada tepat satu nilai eigen di mana | | , dan karena itu dari Sifat 2.8.1,

nilai eigennya 1.

ii. Subruang eigen yang bersangkutan dengan nilai eigen pada hipotesis i

berdimensi 1.

iii. Matriks transisi adalah matriks yang dapat didiagonalisasi, yang berarti

vektor eigennya membentuk basis.

Hipotesis pertama dan kedua tidak selalu benar untuk semua matriks transisi

peluang. Namun, hipotesis tersebut masih masuk akal untuk matriks transisi

peluang yang dihasilkan dari situs web yang luas.

B. Nilai Stasioner

Nilai stasioner akan kita gunakan untuk menentukan peringkat suatu halaman

pada situs web.

Teorema 4.2

1. Jika matriks transisi peluang dari rantai Markov memenuhi tiga hipotesis di

atas, maka ada vektor dimana ( ) , memenuhi

∑ ∑

Kita akan sebut vektor sebagai nilai stasioner dari rantai Markov. Dengan

kata lain, nilai stasioner dari rantai Markov adalah vektor probabilitas

sehingga .

2. Terlepas dari titik awal ( ) (dimana ∑

) , distribusi

probabilitas ( ) akan konvergen ke nilai stasioner untuk .


38

Bukti:

Poin pertama hanya mengulangi fakta bahwa memiliki sebuah vektor eigen

dengan nilai eigen 1 yang penjumlahan komponennya sama dengan 1. Persamaan

yang mendefinisikan nilai stasioner adalah . Dengan kata lain, adalah

vektor eigen dari yang bersesuaian dengan nilai eigen 1. Sifat dari poin kedua

memberitahu kita bahwa terdiri dari entri-entri tak negatif. Karena vektor eigen

selalu tak nol, jumlahan dari entri-entrinya pasti juga tak nol. Dengan

menormalisasi vektor ini, kita dapat memastikan bahwa ∑ .

Untuk menunjukkan poin kedua, kita tulis kembali vektor keadaan awal dalam

bentuk basis yang dibentuk dari vektor eigen-vektor eigen dari P. Kita urutkan

nilai eigen dari P sebagai berikut: | | | | | |. Hipotesis i

dan ii menunjukkan bahwa pertidaksamaan pertama pada urutan tersebut benar

(yaitu nilai mutlak dari pasti lebih besar dari ), sementara hipotesis iii

memastikan kita bahwa vektor eigen dari membentuk suatu basis untuk ruang

dimensi . Misalkan adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen

. Selanjutnya, asumsikan bahwa telah dinormalisasi sehingga .

Himpunan * + membentuk sebuah basis, sehingga kita dapat tulis

∑

dimana adalah koefisien dari pada basis ini.

Kita akan tunjukkan bahwa koefisien selalu bernilai 1. Untuk ini, kita akan

menggunakan vektor (1, 1, …, 1) . Jika adalah eigen vektor dari dengan

nilai eigen (yaitu ), maka perkalian matriks dapat

disederhanakan menjadi 2 bentuk, yaitu

( )

dan yang kedua,

( )


39

Kedua persamaan tersebut haruslah sama dari sifat asosiatif perkalian matriks.

Untuk , nilai eigen tidak bernilai 1, dan persamaan tersebut hanya berlaku

bila , yang dijabarkan sebagai

∑( )

dengan ( ) merepresentasikan koordinat ke- dari vektor . Kondisi ini

menunjukkan bahwa jumlahan dari vektor koordinat , pasti nol. Jika kita

jumlahkan komponen dari , hasilnya adalah 1 dari hipotesis (∑

). Jadi

∑

∑∑ ( )

∑ ∑( )

∑( )

∑( )

∑( )

Jumlahan dari vektor koordinat bernilai kecuali untuk , sehingga

∑( )

∑( )

Dengan asumsi vektor eigen telah dinormalisasi menjadi , sehinga

∑

Menggunakan sifat 4.2 (1) sehingga

Untuk mendapatkan perilaku setelah langkah ke- , terapkan perkalian matriks

transisi peluang sebanyak kali, dimulai dari keadaan awal


40

∑

∑

∑

Karena ,

sehingga

∑

Karena

, sehingga

∑

sudah dinormalisasi,

sehingga menjadi

∑

Jumlahan pada sisi sebelah kanan adalah jumlahan dari vektor-vektor yang

koefisiennya berkurang atau mengecil secara eksponensial seperti . (Ingat

bahwa semua memiliki norma yang kurang dari 1). Jumlahan ini

berhingga, sehingga barisan akan konvergen ke 0 apabila . Jadi,

, ketika .

Sifat-sifat dari rantai Markov bisa diinterpretasikan dengan mengatakan bahwa

jika pengguna internet melanjutkan untuk menjelajahi situs web tersebut lebih

∑

∑

Jadi, jarak Euclid antara keadaan langkah ke- , , dan adalah

‖ ‖ ‖∑

‖


41

lama, maka dia akan berada pada suatu halaman dengan probabilitas yang

mendekati nilai stasioner di mana adalah eigen vektor yang sudah

dinormalisasi dan bersesuaian dengan nilai eigen 1.

C. Peringkat Halaman Web

Sekarang kita dapat membuat hubungan antara vektor nilai stasioner dan urutan

peringkat PageRank untuk halaman-halaman pada web.

Definisi 4.3

Skor untuk halaman ke pada algoritma PageRank (yang disederhanakan) adalah

koefisien yang bersesuaian dengan vektor Kita dapat mengurutkan halaman

tersebut berdasarkan skor PageRank-nya, dari yang terbesar ke yang terkecil.

Contoh 4.3.1

Sekarang dari situs web dengan lima halaman (Contoh 2.7.3, halaman 23) dapat

kita peroleh hasil skor untuk setiap halamannya. Dari Hipotesis (i), kita asumsikan

bahwa matriks transisi peluang rantai Markov memiliki tepat satu nilai eigen yaitu

. Sekarang kita harus mencari vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai

eigen dan memenuhi persamaan . Kita peroleh sistem persamaan

linear berikut

}

Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear di atas, dapat kita peroleh vektor

eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen , yaitu ( ). Ketika

dinormalisasi, akan kita peroleh nilai stasioner


42

.

3

1

9

16

12

Ini menunjukkan bahwa dalam perjalanan yang cukup lama, pengguna internet

akan paling sering mengunjungi halaman , dengan 16 dari 41 langkah untuk

menuju ke sana. Dengan cara yang sama, pengguna internet akan mengabaikan

halaman karena hanya dapat mengunjungi halaman sebanyak satu kali dari

41 langkah rata-rata.

Bagaimana urutan peringkat akhir untuk halaman-halaman tersebut?

Halaman memiliki peringkat 1, yang berarti halaman adalah halaman yang

paling penting. Halaman memiliki peringkat 2, diikuti oleh halaman , , dan

yang terakhir, yang paling tidak penting, yaitu halaman .

Ada cara lain untuk menginterpretasikan skor PageRank, yaitu setiap

halaman memberikan skor PageRank ke semua halaman yang bertautan.

Perhatikan kembali vektor .

/ . Halaman hanya memiliki

satu tautan dari halaman . Karena memiliki skor

dan ketiga tautan tersebut

harus membagi rata nilai skor tersebut, maka skor akhir halaman adalah

sepertiga skor , yaitu

. Tiga halaman memiliki tautan ke halaman , yaitu

halaman , , dan , yang masing-masing memiliki skor

. Halaman

hanya memiliki satu tautan keluar, sedangkan halaman dan memiliki tiga

tautan keluar. Jadi, skor untuk halaman adalah

( )


43

Contoh 4.3.2

Akan kita tentukan nilai stasioner dari rantai Markov dengan MTP di bawah ini

.

041

61

21

21

21

41

21

31

P

Dari hipotesis, sudah kita asumsikan bahwa matriks transisi rantai Markov

memiliki satu nilai eigen bernilai 1. Sehingga akan kita cari vektor eigen yang

bersesuaian dengan nilai eigen dan memenuhi persamaan .

Kita peroleh sistem persamaan linear sebagai berikut

}

Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear di atas, kita memperoleh vektor

eigen yang memenuhi nilai eigen , yaitu ( ) . Jadi, nilai

stasionernya adalah

4

22

18

Contoh 4.3.3

Dari Contoh 2.7.4 (halaman 24) telah kita peroleh matriks transisi rantai Markov

sebagai berikut

0

000

000

100

21

21

21

21

21

21

P


44

Sudah diasumsikan bahwa matriks transisi rantai Markov memiliki tepat satu nilai

eigen bernilai 1. Sehingga akan kita cari vektor eigen yang bersesuaian dengan

nilai eigen dan memenuhi .

Kita peroleh sistem persamaan linear sebagai berikut

}

Dapat kita selesaikan sistem persamaan linear di atas, sehingga kita memperoleh

vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen 1 adalah ( ). Jadi nilai

stasionernya adalah

10

6

2

12

Jadi, peringkat pertama adalah halaman dengan skor

, dilanjutkan halaman

dengan skor

, halaman dengan skor

, dan yang terakhir adalah halaman

dengan skor

. Pengguna internet akan paling sering mengunjungi halaman dan

jarang mengunjungi halaman .

Contoh 4.3.4

Dari rantai Markov pada Contoh 2.7.5, kita mempunyai matriks transisi peluang

000

10

00

00

31

31

21

21

21

21

31

P

Karena adalah matriks transisi rantai Markov, maka memiliki satu nilai eigen

. Akan kita cari vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen

dan memenuhi . Kita peroleh sistem persamaan linear berikut


45

}

Kita selesaikan persamaan linear di atas, dan diperoleh vektor eigen yang

bersesuaian dengan adalah ( ). Jadi nilai stasionernya adalah

3

10

9

8

Jadi, peringkat pertama adalah halaman dengan skor

, dilanjutkan peringkat

kedua yaitu halaman dengan skor

, lalu halaman dengan skor

, dan yang

terakhir adalah halaman dengan skor

.

Mengapa urutan yang diperoleh dari skor PageRank memiliki urutan yang

masuk akal untuk halaman yang ada di situs web? Sebagian besar karena urutan

tersebut mempercayakan pengguna itu sendiri untuk membuat keputusan tentang

halaman mana yang lebih baik. Sebuah halaman penting yang memiliki tautan ke

beberapa halaman lain dapat “menyebarkan” kepentingannya kepada halaman lain.

Jadi, pengguna menunjukkan kepercayaan diri mereka dengan mentautkan

halamannya ke halaman tertentu, sehingga mereka dapat menyebarkan bagian dari

skor mereka ke halaman-halaman tersebut pada algoritma PageRank. Fenomena

ini disebut “kepercayaan kolaboratif” oleh penemu PageRank.

D. Algoritma PageRank yang Ditingkatkan

Algoritma sebelumnya tidak dapat digunakan apa adanya. Terdapat dua kesulitan

yang harus kita selesaikan.

Yang pertama adalah keberadaan halaman-halaman yang tidak memiliki

tautan keluar. Ketiadaan tautan tersebut mungkin dikarenakan web Google belum


46

mengindeks tujuan dari tautan-tautan tersebut, atau karena memang halaman

tersebut tidak memiliki tautan. Jadi, pengguna internet yang sampai pada halaman

ini akan selamanya berada di sana. Satu cara untuk menghindari masalah ini

adalah dengan mengabaikan dan menghapus halaman-halaman ini (dan semua

tautan-tautan yang menuju ke halaman-halaman ini) dari situs web. Dengan begitu

nilai stasionernya dapat dihitung. Setelah diperoleh, dapat ditemukan skor untuk

halaman-halaman ini dengan “menyebarkan” kepentingan dari semua halaman

yang memiliki tautan ke mereka, seperti yang telah dibahas sebelumnya:

∑

dimana adalah jumlah dari tautan yang dikeluarkan oleh halaman ke- yang

menuju ke halaman buntu, dan adalah tingkat kepentingan halaman ke- yang

sudah dihitung. Masalah selanjutnya menunjukkan bahwa pendekatan dengan

mengabaikan atau menghapus halaman-halaman ini hanya memberikan solusi

parsial. Solusi parsial di sini berarti solusi yang hanya mengandung beberapa

halaman-halaman saja atau solusi yang tidak mengandung semua halaman-

halaman pada situs web. Kesulitan yang kedua menyerupai kesulitan yang

pertama, tetapi kesulitan kedua tidak terlalu mudah untuk diperbaiki.

Contoh 4.4.1

Sebuah contoh digambarkan sebagai berikut.

Gambar 4.1

Sebuah situs web dengan tujuh halaman.

A

B

D

C E

F G


47

Web ini mempunyai lima halaman dari contoh awal, ditambah dengan dua

halaman yang terhubung ke web awal dengan tautan tunggal dari halaman . Kita

tahu bahwa kita hanya dapat menuju ke halaman hanya dari halaman

sehingga pengguna internet tidak menghabiskan banyak waktu pada halaman

namun tetap mengunjungi halaman tersebut dengan menghabiskan

waktunya di

sana. Pada situs web dengan tujuh halaman ini, setiap kali pengguna internet

mengunjungi halaman , dia dapat memilih untuk menuju ke halaman atau ke

halaman . Jika dia memilih untuk menuju ke halaman , maka dia tidak akan

pernah bisa kembali ke halaman , , , , atau . Matriks transisi rantai

Markov untuk situs web di atas adalah

0100000

100000

000000

000000

00000

00001

0000

21

31

31

31

21

31

31

21

31

21

Dengan cara yang sama, dapat diperoleh nilai stasioner untuk web baru ini, yaitu

1

1

0

0

0

0

0

Dengan kata lain, halaman dan “menyerap” seluruh kepentingan yang

harusnya dibagi di antara halaman lain. (Perhatikan bahwa pada contoh ini, (-1)

juga adalah nilai eigen dari , yang berarti bahwa tidak lagi mendekati matriks

kolom saat .) Dalam konteks rantai Markov secara umum, dan


48

disebut keadaan menyerap (absorbing state) dan ditandai dengan elemen 1 pada

kolom yang bersesuaian pada MTP.

Dapatkah kita selesaikan seperti sebelumnya, yaitu dengan menghapus

halaman yang bersangkutan dari web? Ini bukanlah pendekatan yang paling baik,

karena pada dunia nyata, bagian-bagian pada graf yang berperilaku seperti itu

dapat terdiri dari ribuan halaman yang juga harus diberi peringkat. Kita dapat

bayangkan apabila pengguna internet terperangkap di perulangan (

), maka dia akan bosan dan memilih untuk mengunjungi bagian lain pada

web secara acak. Jadi, penemu dari algoritma PageRank menyarankan untuk

menambahkan matriks ke yang merepresentasikan “perasaan” dari pengguna

internet. Matriks akan menjadi matriks transisi dan matriks transisi final yang

digunakan untuk perhitungan akan menjadi

( ) , -

Perhatikan bahwa sendiri adalah matriks transisi yang koefisien dari setiap

kolom pada masih berjumlah 1. Keseimbangan antara “perasaan” dari

pengguna internet (direpresentasikan dengan matriks ) dan struktur web itu

sendiri (direpresentasikan dengan matriks ) dapat diukur dengan parameter .

Ketika , perasaan pengguna internet diabaikan, dan dapat menyebabkan

halaman-halaman tertentu menyerap semua kepentingan halaman. Demikian pula

ketika , maka perasaan pengguna internet mendominasi, dan cara pengguna

internet mengunjungi halaman sama sekali tidak ada hubungannya dengan

struktur web itu sendiri.

Tetapi bagaimana Google dapat menebak perasaan dari pengguna internet?

Dengan kata lain, bagaimana mereka memilih matriks ? Pada algoritma

PageRank, matriks ditentukan dengan cara yang paling demokratis. Mereka

memberikan setiap halaman pada web sebuah transisi dengan probabilitas yang

sama. Jika web tersebut terdiri halaman, maka setiap elemen pada matriks

akan menjadi

. Ini berarti bahwa jika pengguna internet terperangkap pada

pasangan halaman ( ) dari Gambar 4.1, maka dia memiliki probabilitas

( ) untuk melarikan diri pada setiap langkah. Penemu algoritma


49

PageRank menyarankan nilai dari , memaksa pengguna internet untuk

mengabaikan tautan-tautan pada halaman dan dapat memilih destinasi selanjutnya

dengan “perasaan”nya kurang lebih hanya 0.15 atau ⁄ atau hanya 3 kali dari

20 kali pemilihan.

Variasi pada algoritma dengan matriks dan parameter adalah

algoritma final yang disebut oleh penemu dengan PageRank.

Algoritma PageRank pertama kali ditemukan oleh Sergey Brin dan Larry

Page, kedua penemu tersebut mendirikan perusahaan Google pada 1998 ketika

mereka berdua masih berusia dua puluhan. Sejak saat itu, Google dibuka untuk

umum dan diperdagangkan secara terbuka di pasar saham. Sehingga akan sulit

untuk mengetahui perubahan dan perkembangan apa saja yang telah dilakukan

pada algoritmanya. PageRank adalah satu dari algoritma untuk memberi peringkat

pada halaman-halaman web, tetapi bukan berarti satu-satunya, atau banyak

perubahan-perubahan kecil yang mungkin telah dibawa ke algoritma asli. Google

mengklaim bahwa terdapat sekitar 10 miliar halaman web, jadi kita dapat

membayangkan bahwa jumlah baris pada matriks juga berukuran 10 miliar.

Jadi, untuk menentukan peringkat dari setiap halaman ini kita perlu menemukan

vektor eigen dari sebuah matriks , dengan . Tetapi

untuk menyelesaikan persamaan (atau lebih tepatnya ), dengan

adalah matriks tidaklah mudah. Faktanya, menurut C. Moler, pendiri

dari MATLAB, itu menjadi satu dari masalah matriks terbesar yang pernah

dikerjakan oleh komputer. Ini mungkin dapat diselesaikan selama berbulan-bulan.

Algoritma apa yang dipakai? Apakah dengan mereduksi baris pada matriks

( ) ? Atau menemukan dengan aplikasi perulangan dari pada

kondisi awal (metode kuasa)? Atau dengan algoritma mentargetkan terlebih

dahulu subhimpunan halaman-halaman pada web yang terhubung dengan banyak

tautan (metode pengumpulan)? Detail eksak dari algoritma PageRank yang

ditingkatkan dan komputasinya masih dirahasiakan sejak terbentuknya Google.


50

E. Penerapan algoritma Google PageRank pada Twitter

Twitter adalah suatu sosial media yang memberikan layanan bagi

penggunanya untuk berkomunikasi dengan teman dan keluarga melalui pesan

singkat yang disebut dengan Tweet.

Gambar 4.5.1

Logo Twitter. Sumber: Situs resmi Twitter. Diakses melalui

https://about.twitter.com/en_gb/company/brand-resources.html, 7 September 2020

Pengguna dapat membagikan pesan (Tweet) yang dapat dilihat atau dibaca oleh

follower atau pengikut yang dimiliki pengguna. Pesan tersebut juga dapat dicari di

pencarian Twitter. Pengguna juga dapat mengikuti (follow) akun tertentu agar

dapat melihat pesan yang dibagikan akun tersebut. Mengikuti suatu akun pada

Twitter berarti pengguna dapat melihat Tweet dari akun yang diikuti sebagai

pengikut. Jika seseorang mengikuti suatu akun, maka akan muncul pada daftar

pengikut akun tersebut.

Gambar 4.5.1

Sumber: https://twitter.com/Twitter, diakses 7 September 2020


https://about.twitter.com/en_gb/company/brand-resources.html

https://twitter.com/Twitter

51

Gambar 4.5.2 menunjukkan tampilan suatu profil akun Twitter, jika ingin

mengikuti akun tersebut maka dapat menekan tombol “Follow”. Jumlah pengikut

dan akun yang diikuti dapat dilihat di paling bawah profil.

Gambar 4.5.3

Sumber: https://twitter.com/Twitter/status/1301915811720974337, diakses 7

September 2020

Gambar 4.5.3 menunjukkan salah satu pesan (Tweet) yang dibagikan oleh akun

Twitter. Tweet tersebut dapat di-like (disukai), di-retweet (di tweet kembali), di-

reply (dibalas), dan dibagikan.

Pada situs web, algoritma Google PageRank digunakan untuk memberikan

skor atau peringkat dari halaman-halaman yang ada pada situs web tersebut. Suatu

halaman pada situs web akan menjadi semakin penting apabila halaman tersebut

memiliki lebih banyak tautan dari halaman penting lain. Semakin penting suatu

halaman, semakin tinggi juga skor dan peringkat halaman tersebut. Namun pada

Twitter, algoritma Google PageRank akan kita terapkan untuk mencari peringkat

popularitas suatu akun tertentu. Kita akan gunakan hubungan mengikuti (follow)

dan diikuti (followed) pada Twitter untuk menentukan tingkat popularitas suatu

akun. Kita definisikan terlebih dahulu, akun yang populer adalah akun yang

diikuti oleh akun yang memiliki banyak pengikut. Jika semakin banyak suatu

akun diikuti oleh akun yang populer, maka tingkat popularitas akun tersebut akan

semakin tinggi. Walaupun suatu akun memiliki banyak pengikut, tetapi apabila


https://twitter.com/Twitter/status/1301915811720974337

52

pengikutnya tidak terlalu populer maka tingkat popularitasnya juga tidak terlalu

tinggi.

Contoh 4.5.1

Kita ambil contoh 10 akun Twitter, sebagai berikut:

Akun Mengikuti Pengikut Jumlah Pengikut

1 6, 7, 8, 9, 10 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 9

2 1, 3, 5, 7, 9 5, 6, 7, 8, 9, 10 6

3 1, 4, 5, 7, 9 2 1

4 1, 7, 9 3, 5 2

5 1, 2, 4, 6, 8, 9, 10 2, 3 2

6 1, 2, 7, 9 1, 5 2

7 1, 2, 9 1, 2, 3, 4, 6, 10 6

8 1, 2, 9 1, 5 2

9 1, 2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 9

10 1, 2, 7, 9 1, 5 2

Dari tabel di atas, dapat kita bentuk matriks transisi peluang untuk rantai Markov

yang bersesuaian yaitu:

000007

10005

14

103

1

3

1

4

1

7

1

3

1

5

1

5

1

5

1

000007

10005

14

10004

103

1

5

1

5

1

5

1

000007

10005

1

00000005

1

5

10

000007

105

100

000000005

10

4

1

2

1

3

1

3

1

4

1

7

10000

4

1

2

1

3

1

3

1

4

1

7

1

3

1

5

1

5

10


53

Dari Hipotesis (i), sudah kita asumsikan bahwa matriks transisi peluang rantai

Markov memiliki tepat satu nilai eigen yaitu . Sekarang kita harus mencari

vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dan memenuhi persamaan

. Kita peroleh sistem persamaan linear berikut

}

Dapat kita selesaikan sistem persamaan linear di atas, sehingga kita memperoleh

vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen 1 adalah

(

).


54

Jadi nilai stasionernya adalah

287302.0

011640.1

287302.0

66143.0

287302.0

24.0

074286.0

2.0

1

26508.1

0541.0

1904.0

0541.0

1245.0

0541.0

0452.0

0139.0

0376.0

1882.0

2380.0

Tabel hasil perhitungan skor setiap akun adalah:

Peringkat Akun Skor

1 1 0.2380

2 9 0.1904

3 2 0.1882

4 7 0.1245

5 6, 8, 10 0.0541

8 5 0.0452

9 3 0.0376

10 4 0.0139

Peringkat terakhir adalah akun 4 dengan skor 0.014, akun 4 berada pada

peringkat ke sepuluh karena akun 4 hanya diikuti oleh akun 3 (dengan 1 pengikut)

dan akun 5 (dengan 2 pengikut) saja. Peringkat ke sembilan adalah akun 3 dengan

skor 0.0376, dikarenakan akun 3 hanya diikuti oleh akun 2 (dengan 6 pengikut).

Peringkat ke delapan adalah akun 5 dengan skor 0.0452, dikarenakan akun 5

hanya diikuti oleh akun 2 dan 3 (dengan total pengikut 7). Peringkat ke lima

adalah akun 6, 8 dan 10 dengan skor masing-masing 0.0541, karena ketiga akun

tersebut hanya diikuti oleh akun 1 dan 5 (dengan total pengikut 11). Peringkat ke


55

empat adalah akun 7 dengan skor 0.1245, karena akun 7 diikuti oleh akun 1, 2, 3,

4, 6, dan 10 (dengan total pengikut 22). Peringkat ke tiga adalah akun 2 dengan

skor 0.1882, karena akun 2 diikuti oleh akun 5, 6, 7, 8, 9, dan 10 (dengan total

pengikut 23). Peringkat ke dua adalah akun 9 dengan skor 0.1904, karena akun 9

diikuti oleh akun 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 10 (dengan total pengikut 32). Peringkat

pertama adalah akun 1 dengan skor 0.2380, karena akun 1 diikuti oleh akun 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9, dan 10 (dengan total pengikut 32). Akun 9 dan akun 1 sama-sama

memiliki total pengikut 32, tetapi skor akun 1 lebih tinggi daripada akun 9.

Alasannya adalah karena akun 1 mengikuti 5 akun, yaitu akun 6, 7, 8, 9, dan 10,

dan ke lima akun tersebut juga mengikuti akun 1. Sehingga setiap suatu akun ada

pada akun 6, 7, 8, 9, dan 10 ada kemungkinan mereka akan melihat atau menuju

ke akun 1. Sedangkan akun 9 hanya mengikuti 2 akun, yaitu akun 1 dan 2,

sehingga walaupun akun 1 dan 2 mengikuti akun 9, tetapi apabila dibandingkan

dengan akun 1, akun 9 tetap memiliki lebih sedikit kemungkinan untuk dituju.

Contoh 4.5.2

Kita ambil contoh 25 akun sebagai berikut:

Akun Mengikuti Pengikut Jumlah

Pengikut

1 5 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 12, 13, 14, 15,

16, 17, 18, 19, 20,

21, 22, 23

20

2 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10

11, 12, 13, 14, 15,

16, 17, 18, 19, 20,

21, 22, 23, 24, 25

15

3 4, 5, 6, 7, 9 2, 17, 18, 19, 20,

21, 22, 23, 24, 25

10

4 1 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 12, 13, 14, 15,

16, 17, 18

15


56

5 11, 25 1, 2, 3, 12, 13, 14,

15, 16, 17, 18, 19

11

6, 9 1, 4 2, 3 2

7 1, 20, 21, 22, 23 2, 3 2

8, 10 1, 4 2 1

11 1, 2, 4, 24 5 1

12, 13, 14,

15, 16

1, 2, 4, 5 24 1

17, 18 1, 2, 3, 4, 5 19 1

19 1, 2, 3, 5, 17, 18 25 1

20, 21, 22,

23

1, 2, 3 7 1

24 2, 3, 12, 13, 14,

15, 16

11 1

25 2, 3, 19 5 1


57

Dari tabel di atas, dapat kita temukan matriks transisi peluangnya yaitu:

000000000000000000000000

000000000000000000000000

000000000000000000000000

000000000000000000000000

000000000000000000000000

000000000000000000000000

000000000000000000000000

000000000000000000000000

000000000000000000000000

000000000000000000000000

000000000000000000000000

000000000000000000000000

000000000000000000000000

000000000000000000000000

000000000000000000000000

000000000000000000000000

00000000000000000000000

000000000000000000000000

00000000000000000000000

00000000000000000000000

000000000000001

00000000000

000000000000000

0000000000

000100

21

41

51515151

31

6161

7171717171

21

91

51

9191

51

91

51

91

61

51

51

41

41

41

41

41

51

91

51

51

41

41

41

41

41

41

21

21

21

21

51

91

31

71

31

31

31

31

61

51

51

91

31

71

31

31

31

31

61

51

51

41

41

41

41

41

41

31

31

31

31

61

51

51

41

41

41

41

41

41

21

21

21

51

21

91

Dari Hipotesis (i), sudah kita asumsikan bahwa matriks transisi peluang rantai

Markov memiliki tepat satu nilai eigen yaitu . Sekarang kita harus mencari

vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dan memenuhi persamaan

. Kita peroleh sistem persamaan linear berikut

(1)

( )

(∑

)

( )

(∑

)

(2)

(∑

)

( )

(∑

)


58

(3)

( )

(∑

)

(4)

( )

(∑

)

( )

(5)

(∑

)

( )

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)


59

Dengan bantuan MATLAB dapat kita peroleh nilai stasioner:

0.1030

0.0257

0.0043

0.0043

0.0043

0.0043

0.0343

0.0057

0.0057

0.0037

0.0037

0.0037

0.0037

0.0037

0.1030

0.0091

0.0213

0.0091

0.0213

0.0213

0.2059

0.0843

0.0608

0.0820

0.1721

Tabel hasil perhitungan skor setiap akun adalah:

Peringkat Akun Skor

1 5 0.2059

2 1 0.1721

3 11, 25 0.1030

5 4 0.0843

6 2 0.0820

7 3 0.0608

8 19 0.0343

9 24 0.0257

10 6, 7, 9 0.0213

13 8, 10 0.0091

15 17, 18 0.0057


60

17 20, 21, 22,

23

0.0043

21 12, 13, 14,

15, 16

0.0037

Peringkat terakhir adalah akun 12, 13, 14, 15, dan 16 dengan skor 0.0037

dengan pengikut masing-masingnya adalah 1. Peringkat ke tujuh belas adalah

akun 20, 21, 22, dan 23 dengan skor 0.0043 dengan total pengikut masing-

masingnya adalah 1. Peringkat ke lima belas adalah akun 17 dan 18 dengan skor

0.0057 dengan masing-masing pengikut adalah 1. Peringkat ke tiga belas adalah

akun 8 dan 10 dengan skor 0.0091. Peringkat ke sepuluh adalah akun 6, 7 dan 9

dengan skor 0.0213. Peringkat ke sembilan adalah akun 24 dengan skor 0.0257.

Peringkat ke delapan adalah akun 19 dengan skor 0.0343. Peringkat ke tujuh

adalah akun 3 dengan skor 0.0608 dengan 10 pengikut. Peringkat ke enam adalah

akun 2 dengan skor 0.0820 dengan total 15 pengikut. Peringkat ke lima adalah

akun 4 dengan skor 0.0843 yang memiliki 15 pengikut. Peringkat ketiga adalah

akun 11 dan 25 dengan skor 0.1030. Peringkat kedua adalah akun 1 dengan skor

0.1721 dengan 20 pengikut, tetapi walaupun pengikutnya paling banyak tetapi

akun 1 hanya berada pada peringkat 2. Alasannya adalah karena akun 1 hanya

mengikuti akun 5, sedangkan akun 5 hanya mengikuti akun 11 dan 25, yang juga

mengikuti akun 1. Peringkat pertama adalah akun 5 dengan skor 0.2059 dengan

total 11 pengikut, tetapi alasan mengapa tingkat popularitas akun 5 lebih tinggi

dari pada akun 1 adalah karena akun 5 mengikuti akun 11 dan 25 yang mengikuti

akun-akun yang juga mengikuti akun 5.

Hasil perhitungan dari Contoh 4.5.1 dan Contoh 4.5.2 menunjukkan

bahwa akun yang memiliki jumlah pengikut yang banyak belum tentu memiliki

tingkat popularitas atau skor popularitas yang tinggi. Dari Contoh 4.5.1, akun 1

memiliki tingkat popularitas yang lebih tinggi dari pada akun 9 karena akun 1

mengikuti akun 6, 7, 8, 9, dan 10 yang juga mengikuti akun 1 sehingga

kemungkinan untuk menuju ke akun 1 akan lebih tinggi. Sedangkan dari Contoh


61

4.5.2, akun 5 dengan 15 pengikut tingkat popularitasnya lebih tinggi dari pada

akun 1 dengan jumlah pengikut 20. Alasannya adalah karena akun 1 hanya

mengikuti 1 akun yaitu akun 5, sedangkan akun 5 mengikuti akun 11 dan 25 yang

keduanya mengikuti akun 1, sehingga kemungkinan untuk menuju ke akun 5 akan

semakin tinggi. Dari kedua contoh di atas, akun yang memiliki tingkat popularitas

yang tinggi adalah akun yang diikuti oleh akun yang memiliki pengikut yang

banyak juga.

Hasil dari penerapan algoritma Google PageRank untuk mencari tingkat

popularitas suatu akun pada Twitter dengan hubungan mengikuti dan diikuti

hampir sama dengan penerapannya pada situs web. Pada situs web, halaman yang

penting adalah halaman yang memiliki banyak tautan dari halaman yang penting

juga, sama halnya pada Twitter yaitu akun yang tingkat popularitasnya tinggi

adalah akun yang banyak diikuti oleh akun yang populer. Akun populer sendiri

adalah akun yang memiliki banyak pengikut.


62

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Algoritma Google PageRank adalah algoritma yang digunakan untuk

memberi peringkat pada halaman-halaman pada situs web berdasarkan tingkat

kepentingan halaman tersebut. Algoritma ini mengurutkan halaman-halaman pada

suatu web berdasarkan skor PageRank atau nilai stasioner yang diperoleh dari

tautan halaman-halaman pada situs web. Tautan-tautan halaman pada situs web

dapat digambarkan dengan matriks transisi rantai Markov. Matriks transisi rantai

Markov tersebut memiliki tepat satu nilai eigen, yaitu dan dapat ditemukan

sebuah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut. Skor PageRank

untuk setiap halaman adalah koefisien nilai stasioner yang bersesuaian dengan

vektor eigen yang telah dinormalisasi. Peringkat pada halaman-halaman situs web

diurutkan dari skor PageRank atau nilai stasioner yang terbesar ke yang terkecil.

Pada algoritma Google PageRank yang paling dasar ini, terdapat dua

kesulitan. Yang pertama adalah keberadaan halaman-halaman yang tidak memiliki

tautan keluar dan dapat diselesaikan dengan menghapus halaman-halaman

tersebut namun hanya memberikan solusi parsial. Yang kedua adalah apabila

terdapat tautan tunggal dari suatu halaman ke suatu pasangan halaman. Seperti

pada Contoh 4.4.1 (halaman 46), pasangan halaman dan menyerap seluruh

kepentingan yang harusnya dibagi ke halaman lain (keadaan menyerap). Masalah

ini dapat diselesaikan dengan menambahkan matriks ke yang

merepresentasikan perasaan dari pengguna internet dengan setiap elemen pada

matriks adalah

dan adalah jumlah halaman pada situs web tersebut.

Sehingga matriks transisi final yang digunakan untuk perhitungan adalah

( ) , -

Parameter berarti perasaan pengguna internet diabaikan, sedangkan

berarti perasaan pengguna internet mendominasi.


63

Selain digunakan untuk menentukan peringkat halaman-halaman pada

situs web, algoritma Google PageRank juga dapat digunakan untuk mencari

tingkat popularitas suatu akun pada Twitter dengan hubungan mengikuti dan

diikuti. Dapat disimpulkan bahwa pada situs web, halaman yang penting adalah

halaman yang memiliki banyak tautan dari halaman yang penting juga, sama

halnya dengan Twitter yaitu akun yang tingkat popularitasnya tinggi adala h akun

yang banyak diikuti oleh akun yang populer atau akun yang memiliki banyak

pengikut juga.

B. Saran

Tugas akhir ini hanya berfokus pada algoritma Google PageRank yang paling

dasar saja, sehingga masih banyak hal yang bisa dibahas lebih dalam pada

algoritma Google PageRank yang ditingkatkan. Selain itu tidak hanya tingkat

popularitas suatu akun pada Twitter dengan hubungan mengikuti dan diikuti,

namun masih banyak penerapan algoritma Google PageRank lain. Berikut ini

adalah beberapa saran bagi penulis yang ingin melanjutkan tugas akhir ini:

1. Penggunaan algoritma Google PageRank untuk mencari tingkat popularitas

suatu akun dengan hubungan menandai suatu akun tertentu pada tweet (men-

tag suatu akun).

2. Pembahasan lebih dalam tentang matriks pada algoritma Google PageRank

yang ditingkatkan dan penerapannya.

3. Dalam menentukan peringkat setiap halaman pada web dengan jumlah

halaman yang sangat besar, banyak metode yang dapat dibahas, seperti

metode kuasa, metode pengumpulan, metode dengan mereduksi baris pada

matriks ( ).


64

DAFTAR PUSTAKA

A.D-A. (2017). Popularity of Twitter Accounts: PageRank on a Social Network.

https://people.scs.carleton.ca/~maheswa/courses/3801/Projects17/Popularit

y-Twitter-Report.pdf. Diakses tanggal 1 Maret 2019.

Anton, H., Rorres, C. (2005). Elementary Linear Algebra with Applications. New

York: John Wiley & Sons, Inc.

Bridges, D. S. (1998). Foundations of Real and Abstract Analysis. New York:

Springer-Verlag New York, Inc.

Bronson, R., Costa, G. B. (2007). Linear Algebra. Massachusetts: Elsevier Inc.

Epp, S. S. (2011). Discrete Mathematics with Applications. Boston: Brooks/Cole

Cengage Learning

Langville, A. N., and Meyer, C. D. (2006). Google’s PageRank and Beyond: The

Science of Search Engine Rankings. New Jersey: Princeton University

Press.

Mendenhall, W., Wackerly, D. D., and Scheaffer, R. L. (2008). Mathematical

Statistics with Applications. Belmont: Thomson Learning, Inc.

Roberts, E., and Schroeder, K. (2016). The Google PageRank Algorithm.

https://web.stanford.edu/class/cs54n/handouts/24-

GooglePageRankAlgorithm.pdf. Diakses tanggal 27 Februari 2019.

Rousseau, C., and Saint-Aubin, Y. (2008). Mathematics and Technology. New

York: Springer Science+Business Media, LLC.

Seymour, T., Frantsvog, D., and Kumar, S. (2011). History of Search Engine.

International Journal of Management & Information Systems, 15(4): 47-

58.

Tomer, C. (2014). The World Wide Web. In: Encyclopedia of Library and

Information Science.


https://people.scs.carleton.ca/~maheswa/courses/3801/Projects17/Popularity-Twitter-Report.pdf

https://people.scs.carleton.ca/~maheswa/courses/3801/Projects17/Popularity-Twitter-Report.pdf

https://web.stanford.edu/class/cs54n/handouts/24-GooglePageRankAlgorithm.pdf

https://web.stanford.edu/class/cs54n/handouts/24-GooglePageRankAlgorithm.pdf

65

LAMPIRAN

Contoh 4.5.1

>> j=[1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 10 10

10 10];

>> i=[6 7 8 9 10 1 3 5 7 9 1 4 5 7 9 1 7 9 1 2 4 6 8 9 10 1 2 7 9 1 2 9 1 2 9 1 2 1 2

7 9];

>> n=10;

>> G=sparse(i,j,1,n,n);

>> c=full(sum(G));

>> D=spdiags(1./c',0,n,n);

>> PCOBA=G*D;

>> N=full(PCOBA)

N =

0 0.2000 0.2000 0.3333 0.1429 0.2500 0.3333 0.3333 0.5000 0.2500

0 0 0 0 0.1429 0.2500 0.3333 0.3333 0.5000 0.2500

0 0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0.2000 0 0.1429 0 0 0 0 0

0 0.2000 0.2000 0 0 0 0 0 0 0

0.2000 0 0 0 0.1429 0 0 0 0 0

0.2000 0.2000 0.2000 0.3333 0 0.2500 0 0 0 0.2500

0.2000 0 0 0 0.1429 0 0 0 0 0

0.2000 0.2000 0.2000 0.3333 0.1429 0.2500 0.3333 0.3333 0 0.2500

0.2000 0 0 0 0.1429 0 0 0 0 0

>> [V,D]=eigs(N);

>> eigenvalue=D(1,1)

eigenvalue =

1.0000


66

>> eigenvector=V(:,1)

eigenvector =

-0.6022

-0.4761

-0.0952

-0.0354

-0.1143

-0.1368

-0.3149

-0.1368

-0.4817

-0.1368

>> nilaistasioner=eigenvector/(sum(eigenvector))

nilaistasioner =

0.2380

0.1882

0.0376

0.0140

0.0452

0.0541

0.1245

0.0541

0.1904

0.0541


67

Contoh 4.5.2

>> j=[1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 5 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 11 11 12

12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 15 16 16 16 16 17 17 17 17 17 18 18

18 18 18 19 19 19 19 19 19 20 20 20 21 21 21 22 22 22 23 23 23 24 24 24 24 24

24 24 25 25 25];

>> i=[5 1 3 4 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 9 1 11 25 1 4 1 20 21 22 23 1 4 1 4 1 4 1 2 4 24

1 2 4 5 1 2 4 5 1 2 4 5 1 2 4 5 1 2 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 5 17 18 1 2 3 1 2 3 1

2 3 1 2 3 2 3 12 13 14 15 16 2 3 19];

>> n=25;

>> G=sparse(i,j,1,n,n);

>> c=full(sum(G));

>> D=spdiags(1./c',0,n,n);

>> PCOBA=G*D;

>> N=full(PCOBA)

N =

Columns 1 through 10

0 0.1111 0 1.0000 0 0.5000 0.2000 0.5000 0.5000 0.5000

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.1111 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.1111 0.2000 0 0 0.5000 0 0.5000 0.5000 0.5000

1.0000 0.1111 0.2000 0 0 0 0 0 0 0

0 0.1111 0.2000 0 0 0 0 0 0 0

0 0.1111 0.2000 0 0 0 0 0 0 0

0 0.1111 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.1111 0.2000 0 0 0 0 0 0 0

0 0.1111 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0.5000 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


68

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0.2000 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0.2000 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0.2000 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0.2000 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0.5000 0 0 0 0 0


0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2000 0.2000 0.1667 0.3333

0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2000 0.2000 0.1667 0.3333

0 0 0 0 0 0 0.2000 0.2000 0.1667 0.3333

0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2000 0.2000 0 0

0 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2000 0.2000 0.1667 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0.1667 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0.1667 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.2500 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


69


0.3333 0.3333 0.3333 0 0

0.3333 0.3333 0.3333 0.1429 0.3333

0.3333 0.3333 0.3333 0.1429 0.3333

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0.1429 0

0 0 0 0.1429 0

0 0 0 0.1429 0

0 0 0 0.1429 0

0 0 0 0.1429 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0.3333

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

>> [V,D]=eigs(N);

>> eigenvalue=D(1,1)

eigenvalue =

1.0000

>> eigenvector=V(:,1)


70

eigenvector =

-0.5089

-0.2426

-0.1798

-0.2493

-0.6091

-0.0629

-0.0629

-0.0270

-0.0629

-0.0270

-0.3045

-0.0109

-0.0109

-0.0109

-0.0109

-0.0109

-0.0169

-0.0169

-0.1015

-0.0126

-0.0126

-0.0126

-0.0126

-0.0761

-0.3045


71

>> nilaistasioner=eigenvector/(sum(eigenvector))

nilaistasioner =

0.1721

0.0820

0.0608

0.0843

0.2059

0.0213

0.0213

0.0091

0.0213

0.0091

0.1030

0.0037

0.0037

0.0037

0.0037

0.0037

0.0057

0.0057

0.0343

0.0043

0.0043

0.0043

0.0043

0.0257

0.1030


algoritma google pagerank dan aplikasinya pada …

Documents