algebra de boole
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Se denomina así en honor a George Boole(2 de
noviembre de 1815 a 8 de diciembre de
1864), matemático inglés autodidacta, que fue el
primero en definirla como parte de un sistema
lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The
Mathematical Analysis of Logic,1 publicado en
1847, en respuesta a una controversia en curso
entre Augustus De Morgan y Sir William Hamilton. El
álgebra de Boole fue un intento de utilizar
las técnicas algebraicas para tratar expresiones de
la lógica proposicional. Más tarde como un libro más
importante: The Laws of Thought,2 publicado en
1854.
En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de
forma generalizada en el ámbito del diseño
electrónico. Clauden Shannon fue el primero en
aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación
eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede
aplicar a dos campos:
Al análisis, porque es una forma concreta de
describir como funcionan los circuitos.
Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos
dicha álgebra, para poder desarrollar una
implementación de la función.
El álgebra de Boole o
también llamada álgebra
booleana, en informática
y matemática, es una
estructura algebraica que
esquematiza las
operaciones lógicas
Y, O, NO y
SI(AND, OR, NOT, IF), así
como el conjunto de
operaciones
unión, intersección y
complemento.
Llamaremos complemento:
En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B, le asigna un b de B.
Para todo elemento a en B, se cumple que existe un único b en B, tal que b es el complemento de a.
Llamaremos suma:
por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado(a, b)de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.
Llamaremos producto:
Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b.
Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica, según el caso concreto de que se trate, la simbología y los nombres de las operaciones pueden variar.
1a: La ley asociativa de la suma:
1b: La ley asociativa del producto:
2a: Existencia del elemento neutro para la suma:
2b: Existencia del elemento neutro para el producto:
3a: La ley conmutativa de la suma:
3b: La ley conmutativa del producto:
4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:
4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:
5a: Existe elemento complemento para la suma:
5b: Existe elemento complemento para el producto:
Ley de idempotencia para la suma:
Ley de idempotencia para el producto:
Ley de absorción para la suma:
Ley de absorción para el producto:
Ley de identidad para la suma:
Ley de identidad para el producto:
Ley de involución:
Ley del complemento:
Leyes de Morgan:
Sea:
un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que a antecede a b y lo denotamos:
si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
1.-
2.-
3.-
4.-
Estas cuatro condiciones se
consideran equivalentes y el
cumplimiento de una de
ellas implica necesariamente
el cumplimiento de las
demás.
Definiendo un conjunto o
parcialmente ordenado
Es la que devuelve un
valor sin necesidad de
argumentos, podemos
ver Tautología y Contradic
ción.
La tautología presenta el
valor verdadero sin
necesidad de argumentos
o independientemente de
las variables sobre la que
se calcule. En teoría de
conjuntos corresponde al
conjunto universal.
Una Operación unaria es la que solo necesita un argumento para presentar un resultado, podemos ver dos operaciones unarias: identidad y negación.
La operación identidad de una Proposición
presenta el valor de la variación.
Esta operación se puede hacer con el dispositivo electrónico Bufferamplificador.
La operación binaria es la que necesita dos argumentos, de hecho es la forma más generalizada de operación, normalmente cuando nos referimos a operaciones, nos referimos a operaciones binarias, en el álgebra de Boole podemos ver las siguientes operaciones binarias:
La conjunciónlógica presenta resultado verdadero solo cuando sus dos argumentos son verdaderos.
Al evaluar una expresión booleana, deben realizarse las operaciones de acuerdo con su nivel jerárquico, realizando primero la de mayor jerarquía. Si existen paréntesis, deben resolverse primero los más internos y trabajar hacia fuera. En ausencia de paréntesis, la jerarquía de las operaciones es, de mayor a menor, la siguiente:
1.-
2.-
3.-