algebra de 4to de secundaria
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8/19/2019 Algebra de 4to de Secundaria
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
BOLETÍN DEÁLGEBRAExponentes/Ecuaciones exponenciales/Polinomios/Productos notables.
I.E.P. “SANTA MARÍA”I.E.P. “SANTA MARÍA”
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LEYES DE EXPONENTES ILEYES DE EXPONENTES I
BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
Son definiciones y teoremas que estudian a los
exponentes a través de operaciones de potenciación
y radicación.
POTENCIACIÓN
an = P a: base, a ∈ R
n: exponente n ∈ Z
P: potencia P ∈ R
Ejm.:
• 2 = !", la base es ###########
$l exponente es #############
la potencia es ##############
DEFINICIONES1. Exponente Natura
vecesn
n x.................x.xx = % x ∈ R ∧
n ∈ Z!
Ejm.:
•
b& = b . b . b . b . b
• =
'
!
•
()*+* =
2. Exponente Cero
x" = ! % x ∈ R - /
Ejm.:
•
= ! )' =
•
()*+ = ! ()'+ =
#. Exponente Ne$at%&o
nn x!x = % % x ∈ R -/ ∧ n ∈ Z!
Ejm.:
• 0
!
*
!*
''
=
•
()+)* =
• =
'
!
TEO'E(AS
I) *ASES I+,ALES1. (ut%p%-a-%n
am . an = am!n
Ejm.:
•
'/ . '2 = '0
•
xn!/ = xn . x/
•
*/ . *# =
•
xa!- =
2. D%&%%n
nmn
m
aa
a
= % a ≠
Ejm.:
•
''
*
*
*=
• *
x*x
x
xx =
•=
*
&
&
&
•
x2x1 =
II) EXPONENTES I+,ALES#. (ut%p%-a-%n
an . bn = (ab+n
Ejm.:
•
x/ y/1/ = (xy1+/
•
('b+# = '# . b#
•m
2
n2
p2
=
•
(*x+/ =
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/. D%&%%n
n
n
n
b
a
b
a
= % b ≠
Ejm.:
•
*
*
*
y
x
y
x
=
• 0
*
'
*
''
''
=
•=
'
x
• =
*
&
*
III) EXPONENTE DE EXPONENTE
{ } mnp P nm aa =)]([
•
(*2+# = *0 = 2'0
•
x2.2.3 = -(x2+2/3
•
-('2+#// =
•
x2.#.3 =
!.
Reducir:''
'
&.*&
0.'&.!&3 =
a+*! b+
'! c+
0!
d+&
!e+ 4.5.
'.
Simplificar:n
*nn
'
''4
=
a+ ' b+ * c+ !6*
d+ !6' e+ 4.5.
*.
7alcular: !*8'&*'9
=
a+ ! b+ ' c+ *
d+ e+ 4.5.
.
$fectuar:
*22&*
!8"
x.......x.x.x.x
x........x.x.x.x3 =
a+ x0" b+ x3/ c+ x34
d+ x0# e+ 4.5.
&.
Simplificar:
!!!
*!!
'!
!
*
!
'
!4
=
a+ '82 b+ '8! c+ '*&
d+ !'* e+ 4.5.
".
alle el exponente final de ;x
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
!.
Si: 'n = *m% reducir:
!m'*m
n'!nn'
*.'*
'.*''.&>
=
a+ *6 b+ 6* c+ "6&d+ '60 e+ 4.5.
!!.
Si:*
x
!x =
allar el valor de:
xx
!x
!
x
x
!x
x
!x?
a+ !8 b+ '! c+ !&d+ ' e+ 4.5.
!'.
7onociendo que: $@5A$@ $7%57
=
Reducir:$@7A5S =
a+ 5 b+ A c+ 7
d+ @ e+ 4.5.
!*.
Reducir:
mn'mnnm
n'm'mnnm
xx
xx$
=
a+ ! b+ x c+ x25m!nmn)
d+ xm!nmn e+ 4.5.
!.
Si: nn = !60. allar:
=
n'
&
n$
a+ '* b+ 8! c+ !68!
d+ ! e+ 4.5.
!&.
7alcular:'b'a
b'a'a
!".8
.'
P =
a+ ! b+ ' c+
d+ !6' e+ 4.5.
TA'EA DO(ICILIA'IA N6 1
!.
Reducir:
&."
'2.!.*"B
'=
a+ " b+ 0 c+ *d+ !& e+ 4.5.
'.
Simplificar:'n
!n'n*n
'
'''$
=
a+ !6' b+ *6' c+ &6'
d+ 6& e+ 4.5.
*. 7alcular:!
'0'25
=
a+ ! b+ ' c+ *
d+ e+ 4.5.
.
$fectuar:02&*
!8"'
x.x.x.x.x
x.x.x.x.x3 =
a+ x3 b+ x c+ 'x
d+ x1" e+ 4.5.
&.
Simplificar:
'*
!
'
!!
*
!
+!('
!
*
!5
=
a+ !& b+ ' c+ '&
d+ * e+ 4.5.
".Simplificar:
cbaacb
cba
+b(+a(
+ab(B
=
a+ !6ab b+ b6a c+ ab
d+ a6b e+ 4.5.
2.
Si: xx = *
7alcular: !xxxR
=
a+ * b+ 0 c+ '2d+ !6* e+ 4.5.
8.
Si:
'
!a&b ba
=
7alcular: !bab
=
a+ ! b+ ' c+ '&
d+ * e+ 4.5.
0.7alcular:
*"*
'&&'0.&.&>
a+ " b+ / c+
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EC,ACIONES EXPONENCIALESEC,ACIONES EXPONENCIALES
BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
d+ e+ 4.5.
!.
Si: *x = 27% reducir:
yx y
x! y!x
2.**.22
*2*7
=
a+ b+ ! c+ '
d+ * e+ 4.5.
!!.
Si: ab = b8 = '
allar el equivalente de: ababab$ =
a+ !" b+ !"a c+
d+ a e+ 4.5.
!'.Si se cumple que: '22 C !' = !'a
7alcular: a++'(('3 &.''''
a+ ! b+ a c+ a2
d+ )!" e+ 4.5.
!*.
Si: !x *x =
entonces x!xx
es equivalente a:
a+ *x1
b+ '21
c+ *19#
d+ *1 e+ 4.5.
!.
7alcular:*x''x'!x'
!x'x*x
'''
5
=
a+ 0" b+ " c+ *6'
d+ 8 e+ 4.5.
!&.
Si: xx = ' entonces:'xx'x xxS
es iDual a:
a+ 8! b+ "x c+ !'
d+ +*('x e+ 4.5.
Son aquellas en las que la incóDnita esta
como exponente y también como base yexponente a la ve1.
Ejm.:
•
*x C *x!1 C *x!2 = *0
•
xx =
P'OPIEDAD
1. Si: am = an →
m = n % a≠
, !, )!
Ejempo:Resolver: '&x1 = !'&2x
@espués de expresar '& y !'& como
potencias de &, tenemos:
(&2+x1 = (+2x
$fectuando operaciones en losexponentes:
&2x2 = &0#x
Aases iDuales, exponentes iDuales:
'x ' = " *x
Resolvemos y obtenemos que:
&
8x =
2. Si: xx = aa → x = a
Ejempo:Resolver: xx =
$xpresar el exponente neDativo y el como potencia de ':
'x '
x
!=
$fectuando operaciones:
'x
'
!x =
$l '
2
también se puede expresar ()'+
2
:'
x
+'(
!x
=
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
Por exponente neDativo:
xx = ()'+52)
Por analoDEa:
x = )'
#. ax = bx ⇒
a = b ⇔ a F ∧ b F
5demGs: Si: x = ⇒ a ≠ b
Ejempo:Resolver:
(&n+x = (n C '+x
@e la ecuación se deduce:&n = n C '
$fectuando operaciones:
'
!n =
!".
allar ;x< en: x'&*x& '' =
a+ ! b+ * c+ )*d+ e+ 4.5.
!2.
Resolver: 8!/x1 = 0x!3
a+ ! b+ ' c+ d+ & e+ 4.5.
!8.
allar ;x< en: * x0x* '8 =
a+ ' b+ c+ *d+ )! e+ 4.5.
!0. Resolver:
veces+'n(vecesn
........8........8.8.8
=
a+ b+ ' c+ 8d+ )8 e+ 4.5.
'.
Resolver: 'x . '#x3 . '3x = '3
a+ ! b+ ' c+ !060d+ * e+ 4.5.
'!.
Resolver: 'x!3 C 'x!/ C 'x!# = '8
a+ )' b+ )! c+ !d+ ' e+ 4.5.
''.
Resolver: *x1 C *x2 = !8
a+ * b+ & c+ 0d+ 2 e+ 4.5.
'*.
Resolver: *x0
x =
a+ '6* b+ ' c+ *6'd+ e+ 4.5.
'.
allar ;x< en: nnx n+nx( =
a+ nn1 b+ nn!1 c+ n
d+ nn e+ 4.5.
'&.
Resolver:x '
'
xx=
a+ ' b+ c+ '
d+ )' e+ 4.5.
'".
Resolver: "!8x *x =
a+ ' b+ ' c+ *
d+ " * e+ 4.5.
'2.
Resolver: * &*'x &x =
EJERCICIOS DE APLICACIÓNEJERCICIOS DE APLICACIÓN
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
a+ !& & b+ & !& c+ & &d+ !& !& e+ 4.5.
'8.
Resolver:'x
x''=
7alcular: x x$ =
a+ !6 b+ )!6 c+ !6'd+ )!6' e+ 4.5.
'0.
Resolver: x C ' = "x/x
a+ b+ 26' c+ *6'
d+ ' e+ 4.5.
*.
Resolver:'xx
x
!*
x'
a+ !6 b+ !6* c+ !6'd+ !6!" e+ 4.5.
TA'EA DO(ICILIA'IA
!".
allar ;x< en:'x 0'2 =
a+ ' b+ c+ "d+ 8 e+ 4.5.
!2.
Resolver: !'&x# = '&2x!1
a+ )' b+ )* c+ )!d+ )!! e+ 4.5.
!8.
allar ;n< si:'2 nn bb.b =
a+ !' b+ ' c+ *"
d+ ! e+ 4.5.
!0.
allar ;x< en: !x'2x0*
!'&&
=
a+ ! b+ ' c+ *d+ e+ 4.5.
'.
Resolver: *2x1 . *x2 . *#x!4 = '2
a+ )!6' b+ )!6* c+ )!6"
d+ !6& e+ 4.5.
'!.Resolver: *
x!/
C *x!2
C *x
= '2*
a+ ! b+ ' c+ *d+ e+ 4.5.
''.
Resolver: ('x+x = '12
a+ ! b+ ' c+ *d+ e+ 4.5.
'*.
Si: x x1 = '
7alcular el valor de: 4 = ('x+2x
a+ & b+ &6' c+ (&6'+392
d+ &3 e+ 4.5.
'.
7alcular el valor de ;x< en:&,
x'&"=
a+ *6' b+ '6* c+ )'6*
d+ '6& e+ 4.5.
'&.
allar ;x< en: '"x 'x =
a+ ' b+ ' c+ ''
d+ '* e+ 4.5.
'".Si:
8!xx8!8!
=
allar: x x3 =
a+ * b+ !6* c+ !60d+ !68! e+ 4.5.
'2.
allar (x . y+0 si:!8'.*
' y y*xx
=
a+ * b+ 2' c+ *"d+ 8 e+ 4.5.
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LEYES DE EXPONENTES IILEYES DE EXPONENTES II
BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
'8.
allar la suma de valores de ;n
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
•'\ =
•"/9# =
TEO'E(AS
I) 'A;< DE ,NA (,LTIPLICACIÓNINDICADA
nnn y.xxy =
Ejm.:
•*** *.'*.' =
• =**'&.&
• =*'.8
II) 'A;< DE ,NA DI=ISIÓN
n
nn
y
x
y
x= % y ≠
Ejm.:
•*'2
*
8!
*
8! ***
*
=
•=
x'
!
•=
*
*
!"
'
III)'A;< DE 'A;<
p.n.mm n pxx =
Ejm.:
•!' & "
'' =
• =*
*
• =&
'!
CASOS ESPECIALES
p.n.m tp.sp.n.rm n p tsr 1. y.x1. y.x =
Ejm.:
• cbaS =
p.n.m cp+ban(m n p cba xxxx =
Ejm.:
• =* * *
''' xxx
• =xxx
mnp cp+ban(m n p cba xxxx =
Ejm.:
• =* & " 2' xxx
• xxx
1.Reducir: & ** ' a.a.a4
=
a+ !' 2a b+ a/0912c+
!' !!* aa
d+ a11
e+ 4.5.
'. Reducir:
8
2' *' *' '' *'*
2
22*22.'23
a+ b+ ! c+ '
d+ e+ 4.5.
3. Reducir: a aa
'!'!R
=
a+ ! b+ ' c+ *
d+ e+ 4.5.
E>E'CICIOS DE APLICACIÓNE>E'CICIOS DE APLICACIÓN
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
4.7alcular:
ba ba
ba b'ba a'
2
2'!2S
=
a+ ! b+ ! c+ *,&
d+ 2 e+ 4.5.
5.7alcular: *
!
&
*
*
!
+*'("B
a+ b+ ! c+ '
d+ * e+ 4.5.
6.7alcular: * * & 2*' ''''I
=
a+ * ' b+*8 c+
*
d+ * '' e+ 4.5.
7.$fectuar:
!
*
factores
factores&
***
x
x
x..........x.x
x..........x.x5
÷
a+ x0 b+ x c+ x
d+ x/ e+ 4.5.
8.7alcular: n
nn
nn
*2
*2S
=
a+ 2 b+ * c+ '!
d+ !62 e+ 4.5.
9.Simplificar: 'n
'n'n
'n'n
!&'&
"!B
=
a+ ,' b+ , c+ ,"
d+ ,8 e+ 4.5.
(ONO(IO$s un término alDebraico de exponentes enteros y
positivos para todas sus variables.Ejm.: x* y 3onomio
x& y*1& 3onomio
x y*1" 3onomio
x'6y* 4o es
x y!6' 4o es
*'" 1 yx 4o
es
Ejm.:) x& y"
POLINO(IO
$s una suma limitada de monomios no emejante.Ejm.: "x y' &x' C *xy* C y
Polinomio de monomios *x' y*1 &x* y& C *y
Polinomio de * monomios
'xy &xy'
1
Polinomio de ' monomios
Nota: $l Drado es una caracterEstica de lospolinomios y monomios y esta relacionado con los
exponentes de las variables.
+'ADOS
+ra?o 'eat%&o ?e un (onom%o: $sta dado por elexponente de la variable indicada.
3(x, y, 1+ = x' y1&
JR(x+ = 'JR(y+ = JR(1+ = &
4(x, y, 1+ = '*x* y'1
JR(x+ =###############
JR(y+ =###############
JR(1+ =###############
+ra?o A8outo ?e un (onom%o 5+.A.): $stadado por la suma de los exponentes de lasvariables.
3(x, y, 1+ = *'x y&12
J.5. = C & C 2 = !"
4(x, y, 1+ = "x& y"18
J.5. =################
+ra?o 'eat%&o ?e un Po%nom%o: $stado dadopor el mayor exponente de la variable referida.
Ejm.:
P(x, y+ = 'x y' C "x* y& C 2x2
JR(x+ = 2 % JR(y+ = &
K(x, y+ = "x y& 'x& y* y"
JR(x+ = % JR(y+ =
Sabias que un
trmino
al!ebraico consta
Parte Parte
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
+ra?o A8outo ?e un Po%nom%o: $sta dado porel monomio de mayor Drado.
P(x, y+ = !
"
2
&'
&
'* yx" yx' yx
J. 5. (P+ = !
K(x, y+ = 8"*' y yx" yx
J. 5. (K+ = #########
Nota: Ln polinomio mónico esaquel donde su coeficiente
principal es uno.
I+,ALDAD DE POLINO(IOS
Se dice que ' polinomios son iDuales o idénticos (≡
+cuando ambos resultan con el mismo valor asumidos
por sus variables.
Ejm.:x* ' ≡ (x ) !+(x' C x C !+ ) !
5mbos polinomios son idénticos porque siempre
tendrGn los mismos valores numéricos.
x = '
Reempla1ando:'* ' = (' ) !+('' C ' C !+ !
" = "
POLINO(IOS ESPECIALESSon aquellos que presentan ciertas caracterEsticasparticulares relacionadas a los exponentes de las
variables o a los coeficientes de las mismas. >os mGs
importantes son:1. Po%nom%o Or?ena?o
$s aquel donde los exponentes de la variable van
aumentando o disminuyendo.
Ejm.:P(x, y+ = x!" 'x! C x' C !
Polinomio Mrdenado @escendente
K(x, y+ = ' C x
C &x2
C x!
Polinomio Mrdenado 5scendente
2. Po%nom%o Competo$s aquel donde aparecen todos los exponentes de
la variable, desde el mayor, Nasta el término
independiente.
Ejm.:
P(x+ = "x
'
C 'x C *x
*
C & términos
K(x+ = ' C x C *x' C &x* C x
& términos
Prop%e?a?: $n todo polinomio completo secumple:
O Bérminos = Jrado C !
Sea:P(x+ = 'x' C &x C !
Biene * términos
* = ' C !
Nota: $l término independiente esun término de Drado cero asE:
= x
#. Po%nom%o @omo$neo$s aquel donde todos sus términos tienen el
mismo Drado absoluto.
Ejm.:
P(x, y+ = '
'
''
' yxyx"
K(x, y+ =
"
"
"
**
"
'
y yx* yx'
/. Po%nom%o I?nt%-amente Nuo$s aquel donde para cualquier valor asiDnado a su
variable, el resultado es siempre cero.
P(x+ ≡ x* C x' C x C
P(x+ ≡
parte constante.
Sabias que la
palabra !rado
pro"iene del
matem&tico
%iete # que este
era militar.
-
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
*!.
$l valor de ;n< si:
n!'
!n n+x(
x
xP
=
$s de to Jrado.
a+ ! b+ ' c+ *
d+ e+ &
*'.
7alcular el valor de ;n
-
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
.
Si el polinomio se anula para mas de ' valores
asiDnados a su variable.
P(x+ = (ab C ac ) *+x' C (ac C bc ) "+x C (ab C bc ) 0+
allar: 4 = abc(a C b+(a C c+(b C c+
a+ !" b+ !"* c+ !"!
d+ !"' e+ !"
&.
Si 9(x+ es completo y ordenado. allar: ;a C n< si
tiene ('n C 8+ términos.
9(x+ = xn)* C xn)' C xn)! C C xaC
a+ !' b+ ! c+ !"
d+ !8 e+ '
TA'EA DO(ICILIA'IA N6 /
*!.
Si el monomio:
* 'm
'm
x
xxP
=
$s de tercer Drado, entonces el valor de ;m< es:
a+ !' b+ !& c+ ''
d+ ' e+ '&
*'.
Si:
n'
n*'n
+x(
x+x(
$s de to Jrado. allar: ;n<
a+ " b+ ) c+
d+ * e+ '
**.
$n el siDuiente polinomio:
P(x, y+ = mx*m C x*m)! y&mC' C y&m)"
Se cumple que: J.R.(y+ = '(J. R(x++
7alcular el Drado absoluto del polinomio.
a+ !* b+ !2 c+ !
d+ ! e+ 8
*.
@el polinomio:
P(x, y+ = *&xnC* ym)'1")n C xnC' ym)*
Se cumple: J.5. (P+ = !!
J.R.(x+ J.R.(+ = &
>ueDo: ;'m C n< es:
a+ & b+ ! c+ !&d+ '& e+ !'
*&.
Indicar el Drado del polinomio:
a!!!
aa!'
a&a
+ y,x( x yx yxP
a+ " b+ 8 c+ 2d+ * e+
*".
@ado el monomio:
3(x, y, 1+ = &xa yb1c
7alcular abc, si al sumar los J.R. de ' en ' seobtiene !, 2 y !! respectivamente.
a+ '" b+ &' c+ !8
d+ 8 e+ !
*2.
$n el polinomio completo y ordenado en forma
descendente:
P(x+ = xaCb)" C (a ) b+x C *xa)b
7alcular: ;ab<
a+ !" b+ 8 c+ !'
d+ ! e+
*8.
Si el polinomio:
8''ab2ba+1, y,x( +1 y( yxxP
$s NomoDéneo. 7alcular:
ba
"ba ''
a+ 2!60 b+ && c+ !
d+ & e+ 8
*0.
Si el polinomio:
P(x+ = (a)'bC*+x& C (b)'c)!+x C (c)'aC'+x2
Se anula para cualquier valor de las variables.7alcular: (a C b C c+'
a+ b+ 8! c+ !"
d+ '! e+ *"
.
Si los polinomios:
P(x, y+ = xa ybC! C xc yd)*
K(x, y+ = xaC! yb C x)a y*)b
Son idénticas, calcular: (a C b C c C d+
a+ 8 b+ 0 c+ !d+ !! e+ !'
!.
$n el polinomio NomoDéneo:
P(x, y, 1+ = &xmCn 2xn y'm)* C 8xm y'n1n)! C !!1*n)2
-
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P'OD,CTOS NOTA*LESP'OD,CTOS NOTA*LES
BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
7alcular: (m ) n+m
a+ !" b+ )!" c+ 0
d+ )8 e+ )
'.
$n el polinomio completo y ordenado en forma
creciente. 7alcular la suma de coeficientes.P(x+ = mymCn C nym)! pyp)t C tyt
a+ )' b+ * c+
d+ & e+ 2
*.
allar: (a C b+c
xx'
*"cx+*b(x+'a( *&
'*b&a
≡
a+ !6 b+ c+ !
d+ ' e+ ''
.
allar el Drado de NomoDeneidad de :
P(x, y+ = 8xaCb yb C *bxaCb ybC
Si: JR(x+ es menor en ' unidades que J.R.(y+a+ !8 b+ ' c+ ''
d+ ' e+ '"
&.
$n un polinomio completo y ordenado de Drado n
y de una sola variable se suprimen los términos
que contienen exponentes impares. T7uGl es el
nHmero de términos que tiene el polinomio
resultanteU
a+ 'n C ' b+ 'n ' c+ 'n C !
d+ 'n ! e+ 'n
Son los resultados de multiplicar dos o mGs polinomios,en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad
distributiva.
T'INO(IO C,AD'ADO PE'FECTO
(a C b+' ≡ a' C 'ab C b'
(a ) b+' ≡ a' ) 'ab C b'
CO'OLA'IO:
IDENTIDADES DE LE+END'E
(a C b+' C (a ) b+' = '(a' C b'+
(a C b'+ (a ) b+' = ab
Ejm.:
(x C *+' C (x ) *+' =
(x C '+'
(x ) '+'
=
('x C y+' C ('x ) y+' =
='' +'*(+'*(
Importante:(x ) y+' ≡ (y ) x+'
@esarrollando:
x' 'xy C y' ≡ y' 'yx C x'
'e?u-%r:
r+qp(
+rqp(+rqp(4
''
=
So.Por >eDendre:
(p C q C r+'
(p C q ) r+'
= (p C q+r
r+qp(
r+qp(4 =
=
4 = '
DIFE'ENCIA DE C,AD'ADOS
(a C b+ (a ) b+ = a' b'
(x C *+ (x ) *+ =
(x C + ( ) x+ =
(x' C &+ (x' ) &+ =
(m C n C p+ (m C n ) p+ =
O8er&a-%n:
(x C y+'
≠ x'
C y'
Siendo x, y no nulos.
-
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
Ca-uar:" . 2 . *
So.
aciendo: x = &
>a operación se convierte en:
(x C !+(x ) !+ (x C '+(x ) '+
5plicando productos notables:
x' ! (x' ) +
Reduciendo términos semeVantes:
)! C = *
P'OD,CTOS DE DOS *INO(IOS CON TB'(INOCO(N
(x C a+(x C b+ ≡ x' C (a C b+x C ab
(x C *+ (x C + ≡
(x ) + (x &+ ≡
(x C '+ (x ) + ≡
(x' C &+ (x' ) *+ ≡
Si:x' C x * = . 7alcule:
(x' ) !+ (x C '+ (x ) *+ (x' C x+
So.:@e: x' C x * = ⇒ x' C x = *
$ntonces :
(x' ) !+ (x C'+ (x ) *+ (x' C x+
(x C !+ (x ) !+ (x C '+ (x ) *+ (x C + x
(,LTIPLICANDO EN FO'(A CON=ENIENTE(x' C x+(x' C x ) '+(x' C x ) !'+
Reempla1ando:
(*+ (* ) '+ (* ) !'+ = )'2
DESA''OLLO DE ,N T'INO(IO AL C,AD'ADO
(a C b C c+' = a' C b' C c' C 'ab C 'ac C 'bc
(x C y C *+' ≡ ##########################
####################################
(a C b ) '+' ≡ ##########################
####################################
".
$fectuar:
$ = (x C 'y+' (x 'y+' xy
a+ xy b+ *xy c+ xy
d+ "xy e+ 0xy
2.
Reducir:
R = (a C b+' (b ) a+' C (a 'b+' a' b'
a+ b+ a c+ b
d+ 'ab e+ ab
8.
$l valor de:
'
+'&'&(4
a+ " b+ 8 c+ !
d+ !' e+ !
0.
$fectuar:
+!'+(!'(
+!*+(!*(+!&+(!&(P
=
a+ * b+ c+ &
d+ " e+ 2
&.
$fectuar:
R = (x C n+(x ) n+(x' C n'+(x C n+(x8 C n8+ C n!"
a+ x!' b+ n!" c+ x!"
d+ x!" C n!"e+ !
&!.
Si: yx
y
!
x
!
7alcular:'
'''
x
+ yx(
yx
xy
xy
yx$
=
EJERCICIOS DE APLICACIÓNEJERCICIOS DE APLICACIÓN
-
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
a+'
8x
b+'
x
c+'
yx
d+'
y*x e+ !
&'.>ueDo de efectuar:
$ = (x C !+(x C '+ C (x C *+(x C + 'x(x C &+
Se obtiene:
a+ !& b+ ! c+ !*
d+ !' e+ !!
&*.
>ueDo de efectuar:
5 = (x'
C x C +(x'
C x C &+ (x'
C x C *+(x'
C x C "+Indicar lo correcto:
a+ *!5 =
d+ 5' C ! = &
b+ !5 < e+ 5 es impar
c+ *25*
=
&.
Si: m = 'a C 'b C 'c
7alcular:
''''
''''
cbam
+cm(+bm(+am(m$
=
a+ a C b C c b+ ! c+ a' C b' C c'
d+ abc e+ )!
&&.
allar el valor numérico de:
!+'x+(x($
Para: x = '
a+ '! b+ '' c+ '*
d+ ' e+ '&
&".
Si: (x C y+' = xy
7alcular el valor de:
yx
xy yx4 '...'...
a+ x6' b+ x c+ 'x
d+ x6* e+ & C x6'
&2.Reducir:
(x C !+(x ) '+(x C *+(x C "+ W(x' C x+' 0x(x C +X
a+ *" b+ )*" c+ *
d+ )* e+ )8
&8.
$fectuar:
* "** "* nmmm.nmmmP
a+ m b+ n c+ m'
d+ n' e+ !
&0.
Si: (a C b C c C d+' = (a C b+(c C d+
7alcular: +ba(* dc'2S
=
a+ ! b+ ' c+ * *
d+ * e+ * '
".
Si: !xCy C !x)y = m
!'x = n
7alcular: B = !xCy C !x)y
a+ m' C 'n b+ m' ) 'n c+ m' ) n
d+ m' C n e+ m ) n
TA'EA DO(ICILIA'IA N6 3
".
$fectuar:
R = (*x' 'y*+' C (*y* C 'x'+' !*(x y"+
a+ !'x* y* b+ )!'x' y* c+
d+ '"y
"
e+ !
2.
$fectuar:
$ = (x C y ) '+' C (x C y C *+' '(x C y+' ) !*
a+ )(x C y+ b+ "(x C y+ c+ '(x C y+
d+ ) e+ x'
8.
$fectuar:
*&'**
'**'&*'*&
yx'+''(
+''(+x' y*(+ y*x'(S
-
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
a+ 'x& y* b+ !" c+ 'x& y* C !"
d+ !" 'x& y* e+ !'x' y* C 8
0.
Si: x C y = &% xy = '% x F y
allar:
!2 yx yxB ''
a+ !2 b+ * c+ !2
d+ '! e+ )'!
&.
Si: x C y = '% x' C y' = *% x F y
allar:
P = x y C x C y ) 8
a+ 8 b+ '' c+
'
d+ ) e+ 4.5.
&!.
allar ;m< m ∈
-
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
C,*O DE ,N *INO(IO
(a C b+* ≡ a* C *a'b C *ab' C b*
∨ 9orma @esarrollada
(a C b+* ≡ a* C b'b C *ab' C b*
∨ 9orma 5breviada
(a ) b+* ≡ a* ) *a'b C *ab' C b*
∨ 9orma @esarrollada
(a ) b+* ≡ a* b* *ab(a b+
9orma 5breviada
Ejm.:• Si: x C y = "
xy = 2
allar: 4 = x* C y *
So.:Recordando el producto notable.
(x C y+* = x* C y* C *xy(x C y+
Reempla1ando:
"* = x* C y* C *(2+("+
@espeVando:
x* C y* = "* *(2+("+
x* C y* = 0
Ejm.:
• Si: x
!x
**
=
7alcular:x
!xP
So.:Recordando:
x
!x
x
!+x(*
x
!x
x
!x
**
*
Reempla1ando:
P* = *(P+
@espeVando:
P* C *P =
P(P' C *+ =
P = !
S,(A Y DIFE'ENCIA DE C,*OS
(a C b+ (a' ab C b'+ = a* C b*
(a ) b+ (a' C ab C b'+ = a* b*
• (x C !+ (x' x C !+ ≡
• (x C *+ (x' *x C 0+ ≡
•≡
+!*0(+!*( ***
• ('x ) *+ (x' C "x C 0+ ≡
IDENTIDAD DE A'+AND
(x' C xy C y'+ (x' xy C y'+ ≡ x C x' y' C y
7aso Particular:
(x' C x C !+ (x' x C !+ ≡ x C x' C !
C,*O DE ,N T'INO(IO• (a C b C c+* ≡ a* C b* C c* C *(a C b+ (a C c+(b C c+
• (a C b C c+* ≡ a* C b* C c* C *(a C b C c+
(ab C bc C ac+ *abc
I+,ALDADES CONDICIONALESSi: a C b C c = Se cumple:
a' C b' C c' ≡ )'(ab C ac C bc+
a* C b* C c* ≡ *abc
Si quieres saber mGs
entonces aplica tu
inDenio.
• Si: a' C b' C c' ≡ ab C ac C bc
@onde: a, b, c ∈ 'Se demuestra que:
a = b = c
-
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
Cao Epe-%a:
Si:
a' C b' C c' C .. n' =
SerG posible si:
a = b = c = = n =
"!.
Si: a C b = &
ab = '
7alcular: a* C b*
a+ 8* b+ " c+ 28
d+ 8! e+ 0&
"'.
Si:&
x
!x =
7alcular:
*''*
x
!
x
!xx$
a+ !** b+ !'! c+ 80
d+ 2" e+ 08
"*.
$fectuar:
P = (x C !+(x' x C !+ (x ) !+(x' C x C !+
a+ x* b+ ' c+ 'x*
d+ & e+ '2
".
Reducir:
(x C *+(x' *x C 0+ C (x' C *x C 0+(x ) *+
a+ x* b+ !8 c+ 'x*
d+ & e+ '2
"&.
$fectuar:
3)253549()57(
33333+++−=
RIndique lo correcto:
a+ R C ! = b+ ' R Y * c+ R ∈ N
d+ R' C ! = * e+ R ! = 2
"".
Si: **!'!'x
allar: 3 = x* C *x C 8
a+ ! b+ !' c+ !
d+ !" e+ !8
"2.
7alcular el valor numérico de:
5 = (a ) b+W(a C b+' C 'ab C (a ) b+'X C 'b*
Si: * ** !'b yK
a+ ' b+ c+ 8
d+ !" e+ !'
"8.
Si:cba
***=
$ntonces el valor de*
*
cba>
=
es:
a+ (abc+' b+ * abc c+ (abc+*
d+ abc* e+ abc
"0.
Si: x = a b
y = b ) c
1 = c ) a
7alcular:
=
y1x1xy
xy1
1 yx
1 yx3
***
'''
a+ )" b+ *6 c+ )'6*d+ *6' e+ !
2.
Sabiendo que: a% b% c ∈ '
(a ) b+' C (b ) c+' C (a ) c+' =
7alcular:
&
&&&
+cba(
cba3
=
a+ ! b+ * c+ !6*
d+ ' e+ !6'
EJERCICIOS DE APLICACIÓNEJERCICIOS DE APLICACIÓN
-
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
2!.
Simplificar:
+1x+(1 y+( yx(
+x1(+1 y(+ yx($
***
=
a+ )* b+ * c+ !d+ )! e+
2'.
Si: x* = ! y ademGs x ≠ !
7alcular:
!x
xx$
"
8
=
a+ ! b+ ' c+ !6'
d+ )!6' e+ )'
2*.
Siendo x% y ∈ ' que verifican:
x' C y' C ! = "x C 'y
7alcular: xy
a+ ' b+ * c+
d+ & e+ "
2.
Sabiendo que: x* C y* = xy
7alcular:* "" +xy'( yx'+ yx(xyP
a+ ! b+ ' c+ *
d+ e+ &
2&.
Reducir:
9 = (a C b ) c+* C (a b C c+* C "a(a C b ) c+(a b C c+
a+ 8a* b+ 8b* c+ 8c*
d+ *abc e+
TA'EA DO(ICILIA'IA N6 0
"!.
Si: x y = *
xy = &
allar: $ = x* y*
a+ !8 b+ )!8 c+ )2'
d+ 2' e+ '2
"'.
Si: x C y = '
x' C y' = * % x F y
allar: $ = x* y*
a+ & b+ * c+ )&
d+ )* e+'
'2
"*.
Simplificar:
3 = (a C b C c+*
*(a C b+(a C b C c+c (a C b+*
a+ a* b+ b* c+ c*
d+ e+ *abc
".
7alcular:
+!&'&+(!&(4 ***
a+ b+ ! c+ '
d+ * e+
"&.3ultiplicar:
P = (x" 'x* C !+('x* C !+
a+ 8x* C ! b+ 8x* ! c+ 8x0 C !
d+ 0x0 )! e+ 4.5.
"".
Si: x C y = )1
Simplificar:
xy1
1 yxZ
***
=
a+ ! b+ ' c+ *
d+ e+ &
"2.
Siendo:!!!xy
**
*'' !! yx
7alcular el valor de:
S = (x ) y+ (x C y+
a+ b+ 88 c+ &
-
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BOLETÍN DE ÁLGEBRA I.E.P. “SANTA MARÍA”
d+ )! e+ )88
"8.
allar el valor numérico de:
!'
+ca(+cb(+ba(3
'''
=
Si se sabe que:
*cbba =
a+ b+ !6& c+ *6'
d+ *6& e+ 6*
"0.
Si: ab = !. $l valor de:
!b
!ab
!a
!baS
'
'
'
'
=
a, b ∈ '
a+ b+ ! c+ '
d+ * e+
2.
Si se sabe que:
x' C y' C 1' = xy C x1 C y1
7alcular el valor de:
0!!!
!
1 yx
+1 yx(3
=
a+ b+ * c+ !
d+ & e+ '
2!.
Siendo: x C y C 01 =
SeDHn ello reducir:
x1
+x1*(
y1
+1* y'(
xy
+ y'x(4
'''
=
a+ ' b+ )*" c+abc
''
d+ *! e+ '*abc
2'.
Si: ***'*'x
7alcular:
x*xR *
a+ ! b+ ' c+ *
d+ e+ &
2*.
Si: (a C b+' C ! = (a C !+ (b C !+
7alcular:
'*
'*
bb
aa$
=
a+ !6' b+ ' c+ )!
d+ * e+ !
2.Si: 'x)! = ' x
7alcular:
4 = x0 (x C x' C !+(x" C x* C !+
a+ )! b+ ! c+ '
d+ )' e+ *
2&.
Si: a C b C c = !
a' C b' C c' = 'a* C b* C c* = *
7alcular: a C b C c
a+ *6 b+ &6' c+ '6&
d+ !26 e+ '&6"