algaida_bac_1_ccnn_problemas_resueltos_complejos_geometria

5/13/2018 ALGAIDA_BAC_1_CCNN_Problemas_Resueltos_Complejos_Geometria - slidepdf.com

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NDICE

CAPiTULO 1: TRIGONOMETRiA

1.1. RAZONES TRlGONOMETRlCAS ,.. " .. , ,., .. , , ,' """ .. ,"', , .

5

1.2. RAZONES DE CIERTOS A.NGULOS .. ,. , , , •• " , • , • • • •• • •••• , ••••••••••••••••••••••• , ••••• u ~ ~~~ •• ... "

5

8

1.3. RFLACIONE~ ENTRE . R . .-\ZONES TRlGONOMETRlCAS " ,.... 9

1.4. ECU1\CIONES 11lIGONOME1TUCAS __ _._. _ " ,,,_.............................. 14

1.5, SISTEMAS DE ECUAC10NES TRIGONOMETRICAS, ,.,..,.,.,"..... ",..,.. ""',., ....... " ....... 15

EJEHCICIOS 'FINALES .. ,.,., .. " ,"'.",.,' ...•.... , , , ,.. " 17

CAPiTULO ,2 : RESOlUCION DE TRIANGUlOS 22

2,L RESOLUCION DE TRlANGULOSRECTANGULOS.,." " "".""."." .."".""" ..,,, 22

2.2. RESOLUCIGN DE TRlANGULOS CUAlESQUIEAA " "." "." 24

2.3, RESOLUCTGN DE PHOBLEl'v1A_S.__ _ ___ , , _,."".""",.," ,., 28

EJEHCICrOS FINALES -- , " - "" " " , ,31

CAPITULO 3: VECTORES 34

3.1.

3,2.

3-3.

VECTORES. OPERACIONES CON VECTORES , ".".,""""', ,', .. '.,", _ , 34 ,./

SISTEII1A DE REFERENCIA EN EL PLANO"", , ,,,,, ,,.,,..,,,,,,, _ 37

PRODUCTO ESCALAHDE VECTOHES " " ", 40EJERCICIOS FINALES ,., " ,.,. 45

CAPiTULO 4: E CUACION DE lA RECTA 49

4.1. ECUAC10NRS DE LA . RECTA , " ,.. " 49

4.2. POSICION RELATIVA DE DOS RRCTAS ,., ,.. " , 54

4 ,3. AI\T GULOS." .., , , ", ,.•. " .., " ,' , , '"." .. ,.................... 56

4.4. QISTANCIAS ,, ,' "" "", ' , _ ' ,.. "........ 6 1

4.5, LUGAHES GEOMETIUCOS _ , __ , , " 65

FJERCICIOS FINALES - "." ,.. """ ,,, .. ,,,,,.,,,,,, _.. 68 /

CAPiTULO 5: NUM EROS COM PlE JO S 75

5.1. NUMEROS COMl)LEJOS _,,, , , 75"

5.2. OPERACIONES CON NUMEHOS COMPLEJOS " " "" "',." ,, 77

5.3. COMPT.EJOS EN FOR1v1A POLAR.~ " " "."' 81

5.4, HADICACION DE NTJMEROS COMPLEJOS , , .. _.. _ 85

5.5. TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS"J_ ' "' " ".,'" , 88~

EJEHCICIOS FINALES, " .. , " ;, _ , .. , 90



- ~

TRIGONOMETRIA

1.1. RAZONES TRIGONOMETRICAS

o EI r adian

El radian (mel) es la unidad de singulo piano correspondiente al angulo central forrnado par

L1U urco ruya longirud es igual que la del radio delcirculo. La rnedida, en radianes, de un an-gulo tie express como la razon del arco forrnado pm el angulo, can su vertice en el centro de

un circulo, y el radio de dicho circulo.

Como ia longitud de una circunferencia de radio r esta chela par C = 2nr, entonces se cum-

pie que Zrt radianes = 360 grades. Dividiendo 560 entre 21I, se obnene la rnedida, en grados,

del radian, ')7° 17' 4 , 8 ' 1 . Al redondear, resulta:

J rad ""57,3°

]0 =0,01745 rad

D Definiciones

Si El es un ;ingulo agudo de un trlangulo recrangulo, las definicion Ii de las razones trigone-

metricas son:

• sen 8 =opuesto C{

-

hipoteuusa b

co.' : t) =adyacente h

hipotenusa c

• 1 , 1 5 e =o~ucsto a

adyacente h

cotg e =adyacente II

opuesto a

• sec e " " hipotenusa c=-

adyaccnte b

• wsee e =hipotenusa c

--opuesto i;4

B

a

oAL---~--------7b------------~C

Sus valores vicnen dados en la tabla adjunta.

0" 300 !II']" 6 0 0 900

0] -{ 2 "3 ]en .y - -

2 2 2

1f3 '/2 1

0osx - -

2 2 2

~-~g s 0

31 00

3,

~~{3

. ,mf[J.x' w 1 0

3



EJEMPLOS

•1. Halla las razones trigonometdcas del ,angulo agudo de lU1 rriangulo rectangulo

sabiendo que su hipotenusa mide 10 em, su cateto adyaccnte, 6 C1R, Y 51.1 cateto•opuesto, 8 em,

Resoluci6n

Como b = 6 , C I = 8 Y c = 10, entonces.

sen 0 ,_ !!:_ ~ ~ = 0 8b 10 '

case = b =_.2_=06c 10 '

I"0 = E_ = ~ = ] 33,-, b 6'

G 10 -cosec e = - = - = 1.2")CI 8

cos a =sen ~ = J ? . . . =.i = 08C 5 '

c

3

sec e = l; = 1Q = I 66b 6 '

8 h 6 o 7-o tg = - = - = ")< a 8 '

2. Calcula seno, coseno, tangerree y cot.angente de los angulos agudos ,que forman la

diagonal de un rectangulo de 4 cm de base y 3 em de altura.

Resolucion

POI' el reorema de Pitagoras.

Como b = 4, (; 1 = 3 Y C '" 5, resulta:

se n u" C Ds ~ = !!:_ = 1 . . = 06c 5 '

te e x '" colo n = E_ = 3 =0 75'" '" f-' b 4 ,-

P b 4 132cote a = tg = - '" - = .5· a 3 ,._

E JERC IC IOS PROPUESTOS

1. Halla las fazones trigonornetricas del angulo

agudo de LID triangulo rectangulo sabiendo que

su hipotenusa mide 13 C111, su cateto adyaceruc,

12 em, Y su catero opuesto, ') em,

3. Calcula el seno. eJ coseno, la tangente y la eo-

tangente de los angulos agudos que formtl la al-

lura de un triangulo isosceles de 8 cm de base Y

3 em de altura.

2. Una escalera de 8,25 m de Iongirud apoyada en

una pared alcanza 6 m de altura. ;.Cual es el an-

gulo fannado por 13 pared y I a E sc a le ra ?

4. Calcula losangulos de un triangulo rectangulo

sabiendo que la medida de su base es de 6 em y

J a de su altura, de 6 em.



l ' .2 . RAZONES DE C IER IO SANGULO S

o Angu los comp lementa r io . s

Dos fmgulos son complementarios : : ; i suntan 90°. Se denotan por a. y 90° - o, La relacion entre

dichos angulos es:

sen (900 - (1,) = co: o .

• cos C 9 C F - a.) = sen a

• tg (900 - 0.) = coig IT

• cou ; (90" - a) = if, a

• sec (90" - a) = cosec (X

cosec (90° - 0) = sec e x

a Angu los sup lementa r ios

Dos angulos son suplementarios si suman18Qo,

Se denotan porlX

Y 180° -a.

La relacion entredichosangulos es:

• sen (1800- a) = sen < X

• cos (]80° - a) = -cos a

• tg 0800

- a) =- -lg (J,

• cotg (]80° - a) '"' cotg a

• sec OSoo - a) = -sec a .

• cosec (1800 - a) = cosec a

E J Angu lo s q ue d if ie re n 1800

Dos angulos que difieren 1800 se denotan por 4 y 180" + u, La relacion entre dichos angulos es:

• sen (1800 + oj = -sen 0..

• fg (1800

+ oj= tg (l

• cotg (1800 + a) = cotg a

• sec (1800 + a) = -sec o~

• cos (1800 + a) = -cos a

• cosec 0800

+ a) = -cosec a

a Angulos que dif ieren 90°

Dos angulos que difieren 90° se denotan par a y 90° + a. La relacion entre dichos angulos es

• sen (900 + 0.) = cos a

• cos (900 + CI.) = -sen u

• tg (900 + a) = <ots a

• cotg (900 + a) = -tg a

• sec (900 + a) = -cosec 0:

• cosec (900 + cd =; sec a



~ Angulo s opues tos

Dos angulos son opuestos si suman 360". Se den9lan por 0.Y360" - a. La relacion entre dichos

5ngulos es:

• sen C-a) =-sen a

cos (-Ct.) = cos e x .

I. g (-0.) = -It; a,

• cOlg (-a) ~-cou; a.

• sec (-a') = se c 0 :.

• cosec (-Ct.) = -cosec Ct .

EJEMPLOS

1. Halla los valores de las razones trigonometricas del augulo de 60° a partir de las delangnfo de 30°.

ResoJucion

- - ! 3• sen 60" = cos (90" - 30°) = cos 300 "" _"

. 2

. . ~• tg 60° = sen (90" - 300) = cotg 300 ,_ " Ii 3

• cotg f iO o = If!, 900 - 30" ) = 19 30 ° =12, Calcula Ios valores de las razones trigonometrtcas del angulo de 150" apartir de las

del angmlo de 300•

l{esaluciol1i

• tg 150" =tg (1800 - 30°) = -t;q 30" =

-1• coll!, ISO" = colg 0 80 " - 30 °) = -(ot/!, :50° = - {3

3 , Balla los valores de las razones trigonometricas del angulo de 21.0" a partir de las del

angulo de 30",

Resoluci6n

•• IHI 210" =sen 0800 + 30°) = -sen 3D" =_l. 2

• C O , , ; 2"10" = co s (180° + 30°) = -cos 30 ° =- " I f

'/3• Ig 2 I (lO = tg (l!W' + 30°") = tg 30 D =3

• cu /R 2100" = c r g 0800 + 30°) = cotg 30 ° =f3



4. Halla los valores de las razones trigonometr-icas del angulo de 1200 a partir de las delangolo de 300. .

lkSQl 1I cion

• sen 1200 = sen (90° + ~ OO ) :. cos 30" = ~- .. 2

• Ig 120b = Ig (909 + 30Q) = -coig 300. = -",[3

S . Halla los,valores de las razones trigrmometricas del angulo de~O" apartir de las delangulo de 31)".

Rcsolu,::i6n

. 1• sen (-jOO) = -sen 3Uo " " --

2

. { ; ;• cus (-30°) = cos ")0°= _ ... ... 2

• tg (-30°) = -tg 300 = _ - f 3 .3

• cotg (-30°) = - =cotg 30° "" -"'3

EJE iRCIC IOS PROPUESTOS

1. Halla 10:> valores de Las razones trigonornetricas

del angulo de 30Q a partir de las del angulo .de 60°,

4. Calcula los valores de las razones trigonornetri ..

cas del ang\.llo de 1500a partir de las del angu-10 de 60°, .

2. Calcula los valores de las mZOn~J~ trigonometricas

del angulo de 120° Q partir de las del angulode 60°.

5. Calcula los valores de las razones trigonometrt-

cas del a n . & ' 1 . 1 t o de -60.0a partir de las del angu-

1 0 de 60",

3. Halla los valores de las razones trigonornerricas del

angulo de 2400 < 1 partir de las del ,int,'llio de 60°.

1.3. RE1ACIONES ENTRE RAZONES lRIGONOMETRICAS

Dldentidades

Las siguienres idcmidades mnestran las relaciones entre las diversas Iunciones trigonomerricas

que se curnplen para cualquier angulo o:

• sen ~a + cos!. a - = ]

• 1 + ctg2c t = cosec? Ii

• 1 + tg'l a = sec? f1 _

B Rezones t rigonometri cas de 10 sumo

sen (x + y) = sen :Y . cos y + cos x : sen-y

• cos e x + )I) = aJs x . cos y - scm x ' sen Ji

ig x + t~Y• Ig (.x + )') = ------

. l-~R ,:x:,tgJ '



D Razones trigonomefTicas d e Ie d ife re n cia

• sen (x - y) = sen x ' cos'y - cosx . sen y

• cos (x - y) = cosx . cosy + sen x -sen y

tgx-tgy• tg (x - ')I) = -----, . . 1+ ( f J , x ' Ig Y

• sen (2x) = 2 sen x ' cos x

• cos (2x) = cos2 X - setr: x

Zlgx• tg (2x) '" ?

I+ tg- .x

aRazones t r igonometr icas d el 6n gulo d ob le

x+y• cos x - cos V =-Zsen --'-

- 2

:x ; - )!sen --"-- 2

(IRezones t r igonometr icas d e l a n gu lo mitad

( x )~l-COSX• sen 2= ±, 2

( x ) ~l + c o s x• cos - = ±

2 2

1 - cos x

1+ cos x

~ Trans fo rmac iones de suma e n p ro du cto

x+ y x- y• sen x + sen JI = Zsen. ---- , co, --

. 2' 2

x + V x- Y• sen x - sen y = 2eos --'-- . sen --'-

2 2

x+V x-y• cos x 4- COS }i = 2 eas -- .- , c os --

" 2 2

fl Transformociones de producto en suma

1• sen x . (;osy = -lsen: (x + y) + sen (;x - y) J2 . .

1• C os x ' sen y = t[sen (x + y) - sen (x - y)]

1 ' -• cos x ' cOs y = 2 [cos (x + y) + cos e x - y)]

1• sen: x - sen .y = - 2 [cos (x + - y) - cos e x - _ ) I ) ]

Aplicarnos la formula tundamenral de la trigonometria:

sen? e x + cos1 a = 1~ sen? IX = i-cos1 a

se n e x = .Jl - cos? a = .JI - (0,6)2 = - - J l - 0,36 = - - 1 0 ,6 1 ~ O , K

E J E M P L O S

1. Calcula sen a si cos IX = 0 ,6 .

!l~luci6n



2. Halla sc m 165'" en funcion de cos 3300.

Rt',<;(i~uci6o

Calculamos co s 330" aplicando hi formula del coseno de una surna:

cos 330" '" COs (2.700 + flOO) = cus 27 00 . (;Os 60° - sen 270" . sen 60" =

'"-(-1)' ' I f ' "10,8

A continuacion, calcularnos sen 1659 utilizando las formulas del angulo mitadi

1·6~0 . (330"') ~1- co::,' 3300

~l- O,S ~'2en .) = sen -.-~ = = '" .. -

2 2 2 2

3. Si sec a = o J 5 y 0 5 a, S 9{)"', calcula tg 2 . Q ' . • .

Re.soiLl{ 'iOil

Aplicarnos Ia formula de If!, a en runci6n de co s 0.: 0 Sec 0 .:

tf{2 0. + 1 = se c2 0. => tg 2 a '" sec? o : - 1

IX a = 052C2 a - 1 = . y - v 5 T - 1 = \ 1 5 - "I ={4 =2

A continuaciorr, calcularnos Ig 2:a utilizando las formulas del angulo doble:

) _ 2 1 f } , afg _tt. - i.

1 - tg a

4. Si cos 66° = 0,4, calcula sell 111°.

Resoluti6n

En primer lugar cnlculamos sen 66c:

sen a = 0} - cos2 IX "" 01 - (04)2 '" ,)1 - 0 Hl = - . , f o 84 = 0 ')1t ,j ,

Calcularuos sen 1110 aplicando In formula del coscno de una surna:

= 0,7 . 0,4 -l- 0,7 0,91 = 0,28 + 0',63 = 0,91

S. Demuestra Ia siguiente identidad:

sen 3x

semxcos 3x "'"cos.x

Resolud6n

Reducimos a cormin denorninador 1:1expresion:

sen .3x

sen ~y

cos 3.x

cos x

sell 3x - cos x - 'cos 3 ,X - sen x----~--~------~-------- = 2

sen x' cos x

Aplicarnos las f6rmulas de transforrnacion de surna en producto:

sen.3x . cosx - cos :~x.sen x ~ sen Qx - x) = Se1~ 2. x

sen x . cos x se n x: cos X, sen x " cos x

Aplicando las formulas del angulo doble, results: ~2 5 1 3 1 ' 1 :x . cos _ < f

sen x : cos x=2

"e > so;:,~ - - v 1':so",~~ 'o\: eoo

·~pupp-u.a-PI)lua~ls U'( -u-.Q,~nUJ"a '9



6. Demnestra 1a siguiente identidad,

cos 3« . = 4cos?- a - 3cos a

I

= co~<;3a - sen2 a ' cos a - 2sen2 a . cos3 t-l - 3sen2 {I . co s a = =

Resolud6n

Utilizarnos la f6rmula del coseno de una suma:

cos _(l = cos 20 + a = cos 2a . cos C I - sen 2a . sen a

A continuation, utilizamos LaFormula del cosenodel :'iAJgt_Liooble y operarnos en ]a expre-

sion obtenida:

cos 3a = cosz a - Se1 11a . cos a - Zsen a . cos a - sen C J " "

') J1 + tw o X - 2 tp,- x

1- tlJ,] X

3 tg x - tW).x1- 3lg2 X

= CO S3 a - 3( J - cos1 a) . cos a = cos3 CI - 3cos C J + 3cos3 a =

= I.j,cosja - 3cos a

7. Encuenrra una formula para calcular-a) cos 3x

b) tg3x

Remluci6n

a) Apllcarnos la formula del coseno de u na Burna:

cos 3x ee cos (2x + ,x) = cos 2x . cos x - 'en 2x . sen x

A continuaclon utilizarnos las formulas del ~ngulo doble:

cos 3x = (cos2 X - sen2 x) . cos X - (2sen x . co x)· sen .x =

= cos3 X - 5e11.2 x . cos X - 2sen'2 .X ' cos x'" C()S3 X - 3sen2 x ' cos:x;

POl' 10 tanto:

cos 3,x = cos" x - 3sen? x - cos x

b Aplicarnos la formula de la iangente de una suma:

. l{!,2.x+tgxtg 3x = 19(2x + x) = _"'-'-----

l-lg2:x:' tg x

A continuacion, utilizamos las formulas del angulo doble:

2 tu xb + - tg x

1 - tg2

xtg 3x = --=---------"''------2tg rc

1- '!fj,x1- Ig2 x

2t,gx+ Igx-tg-":I.:

1- tp,2 X

Par 10 tanto: tg 3 ,X = 3 1 , t ; x - Igj x1 - 3tg2 X

8. Simplifica esta expresioru

ResolL! ci()ll

Aplicamos las formulas del seno de una suma:

sen ( 2 X - ; ) = sen 2 ? C . CO!;(~) - cos 2 x . scm (; ) = -cos 2 x



9. Calcnla 2eos 75" . cos 15° transformandolo pzevaamente en surna,

l\csol uciQn

Aplicando la transforrnacionde productos en sumas:

Zcos 75° . cos 15° = 2 . . . ! . !cos U 5° + 7':;0) + GO S (15° - 75°1] = cos 90 ° + cos (-60°)2 . "

COJU10 (;05 (-600

) = cos 600

,

obtenemos fmalmente:

] 12cos 75'" . cos 15" = cos 90" + cos (-60°) = IJ,. 1 = 2

1O. Transforma en suma Ia siguienteex:presi6n:

cos (-2.x ...)1) • cos (2x - 3y)

Resolll c :i on

Lltilizando las f6nnula,s de transformacion de producios en surna:

cos (-2x + y) . cos (2x - 3 . 1 ' ) = ~ [cos (-2x + Y + 2x - 3y) + cos (-2x + Y - D:,' + 3y)J =

= ~ lcos (-2;1) + CQS (-4x + 4J,')]2 . - .

Utilizando la formula del coseno de una surna y el valor de las razones tngonornetricas del

f'mgLllo opuesio:

cos (-2.x + .)1) . cos (2 .x : - 3y") = 1 . . . [c()S 2V + cos (-4.;..) . cos 4y + sen (-4x! . sen 4yj =2' " .

J= _:_eos 2V + cos 4 x . cos 4 y - sen 4 x . s en 4 1 } ]2' . J

1. Dernuestra que: 8. Ca iC } .11a l as razones trigonometricas de -()OOo.

2sen a - sen 20.

Zsen a. + sen 20. 9. Sabiendo que tg a = ~ , halla las tangentes de:

12. Dernuestra que: tg a + cotg o. = -----~cos 0. . se n 0.

(900 - oJ, (900 + o.), (1800. - a), (180" + a),

(2700 ~ o.), (270° + u), - a

3. Dcmuestra que:

ff!, U+ cotf], C t . .

sec a + COsec a

10. Calcula el valor exacto de;

COs u + se n a

a) se n 75" b) cos 75°

4. Demuestra que:

{"qu+rg~-----"=" = 's U . tg ~CDtg a + cots ~

11. Calcula el valor exacto de:

a) sen 1 5° b) cos 15°

5. Dernuestra que;

COlr~0: + I I ] , C t

coIf!, ex - 19a

12. Encuentra una Formula para calcular:

a) sen 3x b) sen 4x

1

13. Transforrna en sumas. las siguientes expresiones

a) sen (x - 5y) . sen (-x + 3y)

h) cos

e x -2 1 . ; ') . sen C 3 p - x)

, C'O/.l{l a-I6. Dernu estra que: (.'Qlg a- ' ,. =g a ,

cotg a

7. Si cotg c . = -3/4 y co s a > 0, calcula las razonestrigonometricas de 20..

I

r4. Desarrolla y simplifica la expreslon SBI'I ( x - i ).



1 { 30° + 360"k { 15° + 180°jgZsen 2.x- 1 = 0 ::::}sen 2x .. " 2 => 2x = 150'" + 3 6 o " ' k = > . x =. 75" + 180o/?

.;

1.4. ECUACIONIES TRIGONOMETRICAS~

Una ecuacion trigonometr ica cs aquella en la qtle aparecen razones trigonornetricas de la varia-

ble, Para hallar sus soluciones, se pueden aplicar las. reglas de resolucion de ecuaciones.

Adernas:

• Cuando Iss razones rngonometricas son de distintos angulos, se deben utiuzar las formulasdel {lngulo surna. angulo diferencia, 5ngulo doble y angulo mitad paw rransformarlas en

razones del rnismo angulo, ~'

• Si aparecen distintas razones trigonometricas del rnismo angulo, se deben escrihir todas en

[unci,aD de una unica razon utilizando las Idcruidacles tngonometricas.

Los diferentes casas que pueden aparecer son:

• Razones rrigonomctricas iguales a un valor: s en . C a s + h) = = k, c bs - (ax + b) = k, t . ' t (a', '( + h) = k,

Ecuaciones trlgonometrlcas que hay que factorizar.

• Ecuaciones con varias razones trigoll[)rtletricas que debernos reducir a una unica razon.

• Ecuaciones con 'Una razon trigonornetrica I:;!I1 las que usamos las Iorrnulas del :lngulo suma

o dilerencia

EJ lEMPLOS

1. Resuelve Ia siguleute ecuaci6n trigouometricas

2sen 2x-l '"0

Rcsoluci6n

Despejamos en la ecuacion:

2. Resuelve Ia sigulente ecuacion trigonometrica:

sell 2x + cos x ~ 0

Reso!n don

Aplicando [a f6rrnula del seno del allguiQdoble, obrenernos:

Zse r : . " 1 : . cos :~ r+ ( ;OS .1' = 0

Sacando factor corrnin, resulta:

cos x e2se/? x + 1) ~ 0 ~ { cosx = 02 s e n x + I '" 0

La prirnera de las ecuaciones tiene Como so I.ucion:

x = 90" + ISook

Lasolucion de 1<1segunda de las ecuaciones es,

2sen X + 1 '" 0 : : : : : > sen x = _ J: . : : : } x = {210" + 360Qh~. ~2 33 00 + .360 o l?

cos Lx = cos2 x- sen<- x = 1 - sen2 x - sen?; x = 1 - 2se112 x

3. Resuelve esta ecuad6n trigonometrtca.

co."2x + ...en x = 4sen2 x

Resoluci6n

Aplicarnos la fOrm.ula del ~' ingLlJo dohle y la igualclad furxlamental de la trigonornetria p<lra

transformar cos 2_x' cn Incion de sen x:



Queda ia ecuacion

1 - 2sen;; x + sen x .. 4sen 1 x : : : : : > 6sen:;: sc- sen x - 1 = 0

Con soluciones.

sen:x =

{

I

1±{1+24 = i12 1

3

1 { 199" 28j + 360"ksen x =---- = > ; x: = .

3 3406 31' + 3600k

4. Resuelve la sigulente ecuacion trigonometrtca,

cos 5.x + cos x = 2CQS 2x

H.cso.lud6n

Transforrnarnos la surna de cosenos en productos y resulta:

cos Sx + cos x = 2eos ( 5x 2 + X ) . cos ( s x ; x ) = 2(053x . cos 2.x

Queda la ecuacion:

2CO': ; 3x . cos 2x.. 2C05 be

Pasando todos los [erminos de la ecuacion al primer miernbro, queda:

Zcos 2:;;; ·Ccos j.x - 1) = ()

Obtenernoslas ecuaciones:

cos 2.1"= ( ) : : : : : > l, '" 90° + 180"k ~ x = 45 ° + 90"k

cos 3x - I = 0 : : : : : > cos 3x = 1 : : : : : > 3x = 0° + 360Q/~:: :} x = 30 ° + 120"k

1. Resuelve esta ecuacion trigonometrica.

se n 4 x· - cos 2 . ; . ; = 0

5.. Resuelve la ecuacion cos '5x - cos x = 0.

2.. Resuelve Ia ecuacion 2cos2 x + Cos 2x = 1.6. Resuelve la ecuacion sen x - 2eos 2:~;= - ~ .

3. Resuelve la ecuacion cos.i x + sell 2.::t'= -2eas x. 7. Resuelve la ecuacion cos 2x .. -1.

4. Resuelve la ecuaclon -3sm1 :~+ cos? x = 3.

8.Resuelvc la ecuaci6n cos- x - sen? ,x ; = ~ .

2

1.5. SISTEMAS DE ECUACI'ONES TRIGO'NOMETRICAS

Un sistema de ecuaciones es tngonometrieo cuando 10 cs al menos una de las ccuaciones que

locomponcn. Para cak ular sussoluciones, se puedcn aplicar las reglas de resolucion de Si5-

ternas de ecuaciones,

Los CaS()8 que apareccn son:

• Sistemas que se resuelven pOI" reduccion,I

• Sistemas que Sf:' resuelven utilizando las relaciories' trigonometricas.

Sistemas que dan lugar a sistemas de ecuaciones algcbraicas.



1 . Resuelve el sistema

EJEMPl05

Resolution

Restando la segunda ecuacion de la primera:

I 2. I 1COS- ) 1 ' - sen V ee - =} cos ~r= -

- . 2 - 2

cos e x - ]i) = 1 :::::} - y = 0° + 3600k

La solucion de esta ecuacion es:

{600 + 360 "k { 30 ° + 180"k

2y = 3000 + 3600fJ => y = 1500 + 180"k

Sustltuyendo valorcs en la prirnera ecuacion. resuha,

sen? x - ~ = 1 = > 8e1'1} X = 0 => sen x =0

Su solucion es x = 90° + 18W'1e

{

sen x . cos y = .!2 . Resuelve e1 sistema ~

CQS x . sen y = 2 "

Resoluci6n

Sumando y restart 1 0 la segunda ecuacion de la primers:

{

sen x - cos y + cos x . sen y =~

sen X - cos J' - cos x . sell y =U

Aplicando las razones trigonomctricas de sumas y diferencias:

{sen (.'\:+ yl = 1

sen (x - Ji) =0

Es decir:

{

X + Y = 90°x - y = 00

Sumando y restando ambas ccuaciones, queda:

2x = 90° ::::}x = 4,)°

2y ee 90'" ~ J' = ,6°

3. Resuelve el sistema Jlcos (x - JI) = 1x + Y ...1200

Resoluci6n

En la primera ecuacion obtenernos:

{

x-y= 0°Si considerarnos k = 0, obrenemos el sistema

x + y = 120"

Su soluci6n cs:

2x = 1200 =} x = 60"

2y = 1200 = > .y = 60°



E JERCICIOS PROPUESTOS

1 '. Resuelve el siguiente istcma:

{

Sell :V + sen y = 1

sen x - sen y = 1

1

sen rc , C us y = ~

2. Resuelve el sixterna: '':I

]

cos X ' sell V = ----;• " I,

3. Resuelve el sistema:

4. Resuelve el sistema: f cos (x + y) = 1t ,:r + y = 1200

J cos (x + y) = 15. Rcsuelve el sistema. 1 cos x + cos y ca 1

E JERCIC IO S F INALES

1. Llalla las razoncs trlgonomeuicas de los siguien-

le;; angulos:

2. Calcula ruzonadarnente las razones rrigonorne-

tricas de CSlOS angulos:

bl -1200

3. Calcula razonadamenie his razones uigonorne-

r ri ca s rJl' eSlOS a ngu los;

4. Conociclas las razones trigonorneu-icas del ;lO-

gulo de 30°, halla I sene, cl coseno Y la tan-

genie de 15" ,

5. Exprcsa en r.idiancs el angulo de 13)0

6. Tr:l7..1 sabre la circunferencia trigonomelrlca los

inglllos de jO'" y l,)O°, Dibuja, iambien, las ru-

zones trigonornetricas sene y coseno, final-

mente, calcula SLL'5 V,JIOfeS,

7. Sabicndo que sen a =0,2 Yque a es un 1inguio

del segundo cuadrante, calcula los valorcs de

19 (J_ Y de cos o ..

8. Calcula el valor de:

;;) sen l3-')0

ill tg (-600)

c) sen 2100

9. Calcula el sene el coseno y In iangente del :1n-

1 2n I' . 1 ~f' 1gu 0 0.=- cepreserua os 6 ' 1 ' 3 icamcrue en e3

cuadrante corrcspondiente.

10. .Sabiendo que sell 1:2° = 0,2, calcula:

b) Ig42 "

11. Sabien do que cos n = - ~ • y que 'R a > 0 , 11<1la

4.15 restantcs razones Iigonometricas,

12 . Sahicndo que tg Ct = -2 Y qUE' a esui en el se-

gundo cuudrante. calcula el valor de sell U,

13 . Sabiendo que sell, a =~ y que a esra en el se-

gundo cuadrante, calcula el valor de tg C I . ,

14. Dadacot,~ C I. = J ._ y cos a . < 0, dcrerrnina el va-2

lor de sell CJ. .

? .

15. Sabiendo que cos ex=-~ y que 90° < C I. < 180°,3

halla las restanies razones trigonometricas.

16. Sabiendo que 0. es un. {tngulo del cuarto cua-f• it ' ~

drante y que sen a . =--::--,uvengua las restantes)

rnzones trigonornetrlcas de a.



EJ ERCICIO S F IN ALE S

17. Sabiendo qut: Ig a ~+ y que o. esra en el rc;--

cer cuadrante, calcula sen o:

18 . Sirnpliflca la siguiEfll.t' expresion:sen u + cos U

+1+ cos u se n a

19. S impIL f lc; l e s ra expresion:

sell 20,

1 + cos 20.

20. Srmplilica la siguiente expresion:

sen 20. 1 + cos 2a

sen. a cos a

21. Demuestra la siguiente identidad.

+ cos a + sen a

sen a .L + cos 0,

2

sen a

22. Demuestra esra ldentidad:

( ! 2 , e x . - Wig a . 7______ = 1 - 2 cos- afga + cotp, U

23. Dernuestra la siguientc identidad:

(0 : ) t1 5 o . - sell U

sen - =-----2 2rR a

24. Dcrnucstra la identidad:

cps a. 1+ sen a

co s a-sell'ff

25. Resuelve la siguientc ccuacion rrigonomerrica:

Zsen" x + 3cos x = 0

26. Resuelve la ecuacion trigonometrica:

cos 2u = 1 ~.LIsen a .

27. Resuelve la ecuacion sen 2x + sen x= o .

28. Resuelve las srguientes ecuaciones rrigonome-tricas:

'1a) cos x =--

2h) sen ~y= 0

29. Resuelve las sigu ientes ecuacioncs L1igonome-

tricas:

a) t g :x : ' " 1 b) tg , " X . = --!3

30. Resuelve las siguientes ecuaciones rrigonorne-

tricas:

a ) cas C 2x - 11 ) = - _ !_2

b) cos2(.~ ) - sen/: ("~) = san x

31. Resuel vc las sigu ientes ecuacioJ1C's trigonome-

tricas:

•a) sen 3:x '" 1

SCII xb) cotg .x+ = 2

1 -I- COS X

32. Encuentra la solucion de las slguientes ecuacio-

nes tngonometricas-

~1)sen x'" ~

h ) cos 2.x + sen? x '= 4sen 2 . : \ " "

33. Resuel\re las siguientes ecuaciories rrigonome-

tricas:

- J 2b) sen (11: - 3x) = 2-) tg 2 .x =-Ig ."("

34. Halla la soJuci6n die las siguientes ecuaciorres

trigo nornetricas:

u J s en .~ :\'+ cos 3x = "fi

h) sen 2.~· cos x = 3sen' .X

35. Calcula la solucion de las siguientcs cClIaciones

tri gonometrica s:

J) tg 2. x "'-1

b) Zcos 2x = -sse» : x : - 2sf.?I12

2 .Y

36 . Re::;ueive el siguiente sistema de ecuaciones:

cos x . cos y = -1/2 }

sen x . sen y = 1 /2

37. Resuelve el sigu icnte sistema de ecuaciones:

2'<;(011 x. = ] - cos y 12cos x = 'I + cos y I

38. Resuelve el siguientc sistema de ecuaciories:

sen x - sen .1''' ~ 12r tX+Y=T

39. Resuelve el siguiente sistema de ccuaciones:

se n X' + Sen J' = ; 1

J

.

:Y-)I ' \ / 3cos - - - : z - = 2

40. Resuelve eI siguienre sistema de ecuaciones:

x + sen2J' = 2 }

x + ( ;0,<;2 y = 1



E JERC IC IO S PROPUESTOS

1.1. Rezones trigonometricas

~ 12 ') 121 . sen a =- cos (J. = - rg a =- cola a = -

13' 13' , 12' is 1

62 a = arc em -- = ~ 34. . 8 ,25 -,

4 J < 1 33. self. 0. = ~, cos o _ ' " " ~ , Ig C t ~ -._ ' COif!, 0: . = - 4

) ~ j .

1.2. Rezones de ciertos angulos

].. sen 3D" = ~, cos 30 " = ~] (fi .30" = 1 ,

2. sen 120" = ' 7 , cos 120" = - ~, ig 12()O = -13,

cole 1200 =_ 13.~ 3

I 2'0" f3oo 'I =-',,", 3

4 sen 1,-0° = 1 . . cell' 1)'-0° = _ f5 10 1SO' " =_ J 3. 2 . . . 2 • ,.., 3 '

COLg 1 - S O " =-'liS

1 3 ] .r:5 sen 60° = -- cos 0 00 = - to 6 0 " = -'\1')" . 2" 2"'-' -,

1.3. Relaciones entre rezones

trigonometricas

7. sen 20. = 2LI cos 20. = -72 = ) , . 25

8. se n (-600°) = ~, cos (-600°) = ~,

tg (-600") = . . J3

tg C180° - 0.) =- ~, Ig (HlO° + 0:.) =.~

1 4Ig (270" - cd ~ -, /(;((270" + 0.) = --,- 3 . . 3

( .. 3Ig -oJ =-~

%+f210 . a ~ sen 7'5° = ----,---

4

11 . a) sen 150 = (6- '1 '2- 4

12 . a) sen 3x = 3sen .x - 4_sen3 .' X

b) sen -1 .X '" 4SC II x . cos:\' - 8sen.1 x . cos.'(

13. ::1) _l. [cos 2v - cos ( 2. 1' " - 8JJ)J. .

1 1 ) ~ L~enp - sen ( 2 .. x · - ' 5 p ) 1

14. -coS.x

11.4. Ecuaciones trigonometlriccs

1 x'" J 15° + 180"/e

'.. l7So + Hlo"k

3. x = 9 0 " + I S O " ! : , ?

4. x = 27()0 + 36 00k

5. x = 60°13; 90"k

6. x = 30 ° + 3uOo/e, x = 1')0 0 -t - 360"k, x =4 8° .- 35 '2 4"

T:» = 90° - i- IS0ak

_ { 30 ° + 180"k8. :x--300 + 1800k

1.5. Sistemas de ecuaciones

trigonometric as

1 .. x : = 90 Q + 360°12 . y =0 0 + 18 00k

2. x '= 60°. Y = 30"

3. ;\:= 90 ", ) ' ~ 30 °

~4. NO' tierie1

5. .x . . 60° , y = -30°



"SOLUCIO~ES A LQS EJERCICIOS

EJERCICIOS FINALES

1. a) sen (-135°) =- ' ! ! , cos (-1350) = _ {2,~ 2

If!, -]35°) = 1

) " 3 1b) .se n 1200 =2co s 1200 = - 2' Ig 120" =-{3

2 '1) son 13) -0 = _~ C{),' 13· ; ;0 = _ - {2.... ". 2" .i.» 2 '

1 /5 1~5° = -1

b)se-n (-120") ..

- 1 ,cos (-120°) = - ~.

If!. (-120°) = - - Y 3

3. a) se n 75° = 1 / 6 + Vi. cos 75 " = {6- -E4 · f

-{6 - , r z - J 6 + {21»"el1 15° = 4 ' co s 1 ')0 = ----.,.--

4

5. 13"50 = 3;, ra d

'I

I - J 36 sen 30 ° = - cos 300 =_

• 2" 2 '

sen 1500 =l.cos 1500 =_ {32 . 2

7. tg a. = -0,20, cos e x = -O,9t

8 a) S e ' " 1 1 135" = - J 2 b) If!, (-60°) = _ . - 1 3· 2

c) sen 2100

=-_!_2

9 (211 ) " / 3 ( 2n ) 1 ( 2rr ) r:· sen - = -.-, cos - =--, I# , - =-\1)3 2 3 2 3 .

10. a) Sen 5)0 = 0,83

c) cos 24° = 0,92

b) t ,g-'12" =0,89

d) t . ! : : 6° =0,01

11' " \ f 3 .r;. sen e x =-2If,a = "3, sec a = -2,

, _ 2 - 1 3 . . . 13cosec e x - - - - . cotg a =-

3 3

?~

12. sen a." ~5

2 . . , [ 514. sen a . = ---

5

15. sen u. = ~, tg a. = - 1 , sec a. = - ~•

: ' ) - V " 5 2 - V scosec a . = -,)-, cou; 0 .. = --5-

16. cos a = l.g e x = _..!. Sec; e x =2.s ' , 3 3'

COSeC II = - 5 . wig (1=_ 3- 1 ' 4

18.~sen a

19. tg a

2 0 . 1

28. a) x = 120° + 36 00k . .x : = 240" + 3600k

b)x= 1800k

29. a ) x = 45° + 1800/e b) x ~ 120° + l .Hooh

31. a) x = 30 ° + nOOk

b) { x = 18l)O + 360"k x = ISO" + j600,{~x = 30" + 360"k !



33. '1 J X = ()O '" - 60° 1""00, , , _, - J ,X = L, ,x = I H O D X = _400x = 30(}O ,. ,

b):x=~.x=~4 12

34. < 1 ) x = .l!:_ + 17Qok12 ~"

h) 18()o/<.{ . X . - = 30° + 36 0D

kJ , : ' = 1500 + 36 00k

I . . ~ . - - . ~ -

"' .- - ~.

35 . a) X = 3 Z + rrk

b) { x= 210

0

+ 3600

k.'x = 33 00 + 360"k

36. X = 90(', J I = 90"

37. x = 9()O, .y =-180Q

38. x = 90". JI = 30°

39. x = 90°, Y .. 30°

40. X = 1, )J = ~. 2



RESOLUCION DE TRIIANGULOS

2.1. RESOLUCION DE TRIANGU10S RECTANGULOS

Resolver un trtangulo consiste en calcular los lades y angulos desconocidos a partir de los conoci-

dos.

o Hipotenusa y cingulo conocidos

Suponiendo que el {mgulo conccido es a. y 13 hipo-

tenusa, c :

E1 :ingulo desconocido ser.i: ~ = 90° - o.

• EI lado (,,7: sen a . = E . . . ~ a = C ' sen ac

bEllaclo b: cos IX = - ~ b = c ' cos (1

C

f) Cateto y ongu[o conocidos

Suponiendo que el c ' l n . , f , ' l l l Q conocido es a y el caieto

es I):

• EI angulo desconocido sera: ~ = 90Q - o;

. b h• La hipotenusa c: cos a=- =? c =--

c cos CI .

!l Hipotenusa y cateto conocidos

c

b

Suponiendo que el cateio ronocido es D , y la hipotenusa. c :

• EI cateto 1 0 1 , se halla mediante el teorerna de Pi-

tagoras:

El"1 b b• < lJ 1 g u 0 C i. = - ~ a = arc cos -c c

• EI angulo ~: sen p = _ E _ ~ ~ = arc sen ! 2 _c c

mOos catetos conocidos

Suponiendo que los cateros son a y b.

• La hipotenusa, C, de halla con el teorema de Pi.-L{lgpra ':

EI" t a a• anau 0 U: to 0'. = --c- : : : : > (:I. = arc te -

" " , ' 0 > b ,.., b

• EI angulo 1 3 : tg 1 3 =s. ~ ~=arc t8 ! ! _a a

a

c15 /

b



EJEMPLOS

1. Rcsuelve el triangulo rectangulo ABC, sabiendo que a = 300 y 1a htpotenusa, c = 5.

Resoluci6n

El :elngulo ronocido es 0. = 30", y la hipotenusa es c = 5.

•~=90" - 3D" = 60"

• Ej [ado a.

a = 5 . sen 30° = 5 . 0,5 = 2,5=)

a

• El lado b.

h = '5 . cos 3()O = 5 . 0,87 = 4,33

2. Resuelve el trHingulorectangnlo ABC, sabiendo que a = 300 y b = 5.

Resolucion

El ringulo conocido es (X ~ 30° y el cateto, b = 5.

• 1 3= 90° - 30° = 6 )"

• La hipotenusa. c:c

a5 =__2__=577

cos.~O° 0,87 '

.. El (meta a.

c =

a = ') . tg 30° = ') 0,')8 = 2,R9

3. Resue1ve el triangulo .rectaugufo A)3C, sabiendo que b = 3 y la Irlpotenusa, c = 5.

Resolucion B

• El cateio U:

El cateto conocido es b y la hipotenusa, c:

c=5a

• e x . = arc cos ~ = 53° 81

)

• P =arc sell 3 = 3tlD ')21

'5 .

4. Resuelve eI triangulo rectangulo ABG~ sabiendo que los catetos son a = 3 y b = 5.

Resolucion

Suponiendo que los careios son a y 1 7 :

• La hipotenusa, c:

c = ,)12 + 52 = {34 = S 83- ... ~.c

a=3• Ct = lire l_ = 30° 57'

. 5'

• p = arc tg ; = 59° 31



I Iljitllt . u . , . , Q , t . J i l l JIi. , . ";

1. Resuelve los tnangulos recta ngulos tales quc l~

angulo a y la hipotenusa, c, son:

a) a.=(i0° y c = 5

b) a = 40° y c =3

2. Resuclvc los rriangulos recuingulos tales que un

ungula a y un catero b son:

a) a = 60° y b = \)

b) a. = 4 .0 0 y b = 5

3. Resuelve los triangulos rectangulos tales que un

cateto h y Ia hipotenusa c son:

a) b = - 4 Y c; _ , ')

b) b = 5 t c = ')

4. Resuelve los triangulos rectangulos tales que los

catetos (J y b son:

a) a = ,I Y b= 5

b) a = 5 y b = .:;

5. ELarea de un ulangulo reciangulo e. 25 rn-'. Cal-

cula su perimctro.

6. En el triangulo de la Figura sabemos que c = .~III

Y tg o . = 2. Calcula Los otros dos larlos y ~ f! . ~ .I

7. Ell la ligu fa adju nta sa bernos que AE = ,3 Ill,

b'C = 4rrt y CD = 2 Ill. Calcula:

a'l Las mcdidas de los lades del rriangulo ABC

b) El ;~rcadel triiingulo ABC

c) Las medidas de los angulo« del triangulo ABC

d) Las inedidas de los anl:-,TLllos del uiangulo IIEe.

2.2. RESOLUCI6N DE TRIANGULOS CUALESQUIERA

Los teorernas del seno -y del coseno son suficientes para resolver cualquier triangulo; es decir, cal-

cular los angulos 0 los lades desconocidos de Lin triangulo sabiendo. 'un lado y dos anguJos; des la-

dos y su correspondiente angulo: clos angLllD,~ y lHI angulo opuesto a uno de elias, a Los ires lados.

o Teo rem a de l s eno

Si /1, Bye son los tres ingulos de Lin triangulo y

a, b. C SOil los rres lades opuestos respectivamen-

te a dichos angulos, se cumple que:

_~_i_ =_b_ = _(_--_

sen A sell B sell C

A

B Teo rem a d el co sen o

Si A Bye S011 los tres angulos de un rrlangulo, y C/ , h, c son los Ires lados opuestos,

respectivamente, a dichos ~T1gulos, es poslble dcrnostrar el teorerna del coseno,

El teorema de] coseno tiene Nf<L<; des expresiones que se obtienen camhiando las leiras entre '<;1;

b1 = a2 + c2 - 2ac ' cos B

c2 = a2 -~ b2 - 2ab . cos C



~ Area de un t r iangulo

El <ire:! de un trinngulo, conocidos sus lades a, b y c, eo; iguaJ <I:

s ~ . . . J p , ( p - a) . ( P - b) . (P - C)

9Resoluci6n de tr ia ngulo s

Conoctdos dos {adosy el dnguto compreudidt:

Suponiendo que conocernos los lades a y h Yel Jngulo C :

• E l lado c se halla con cl teorerna del coseno:

13= 1800 - (A + C)

A

• I~Iflogulo A:

_a__ = ~_c~~ sen A = E_ . scm Csen ,'. sen C c

• El ringulo 13 :

Conocidos dos Iados y el c:llljjnl0 ojJw:!."t()

Supon iendo que COl1()CemOS los lades a Y ! J y el angulo A:

• El ungulo 13 se halla con el teorcrna del seno:

c = 1800 - (A + 13)

a h h

--- = --- ~ s(!n B=- .

se n Asel l A sen B a

• EI ;;lngul0 C :

• TIl lado c:

a C sel l C--=--=?C=C'

sen A sel l C SI?1' l/1

Conocidos u.n lado y dos iinglilos cualesquiera

Suponiendo que conocernos el lado c y los fingulos A y B:

• El ClngLllo C se halla sabiendo que la suma de los tres es 18()O;

c = 1800 - (A + B)

a c sell A---=--~a=c---se n A Se!1 C sen C

AHI lado (/;

• El lado b.

bC

sen B---=---~h~G'~~-sc m .B se n C se n C



Conocidos Ires lades

Suponiendo que conocernos los lades a, b y c.t

• EI angulo /I se halla con el reorerna del coseno:

: : : : ' > cos /I

b1 + c~_ (,{2

2hc• El a ngulo 8:

a h . tI__ = -_ ~ sen 13 = - . sen Asen A sen B c

• EI ang lila C:

C = H!O° - (II + 13 )

E J lE M P lO S

A

1. Resuelve el triiiugulo de Ia flgura sabiendo que a = 3, b = 4 y y .. 120°.

Resoluci6n

• El lado c sc halla can el ieorerna del coseno:

c2 '" 32 + 41 - 2 . 3 . 4 e D S 120° = 37

c = ~ = 6,08

• EI angulo (1:

_3_ ~ J,08

sen a sen 1200

sen 0. =_3_ . 087 = 0 4~ => a = arc sen ()4'1 = 2'5° 18'6,08' , ,. , -

• El angulo ~:

B = 1800 - (25°18' + 120°) =340 42'

2. Resuelve e m trmngulo de la fignra sabiendo que a = 3, b = 4, yque o. = 30°.

Resolllc[()[l

• EI <log-Lila p se halla con el tcorerna del scno

3 =_i__

se n 3(1) scm j3

sen R = _! . 0 5 = 2 =0 66IJ 3 ' 3 '

~= arc sen 0,66 = 410 J8'

• E J angulo y:

y = 1.800 ~ C3 0D + 4r ]8') = lORo 42'

• El lado c:

3 c ~ 0 :; 1 -0>-----:-:- ~. C = :J . - - ,._ = : : > 0

sell 108° 2' 0,95'

3. Resuelve c1 trh'ingulo de la figura sabiendo

que c = 5, y los angulos u= 30° y ~ = 20°,

Resolu(j6n

• El angulo y se halla sabiendo que Ia suma de losrrcs es1800:

c = 5



• El laLla a:

(/

(I= 5 · O .< i = ~ . 2 , , )0.77

• EI lade b:

b5 = > h = 5 . O ,3'± = 22 1sen] 30°0,77

4. Resuclve el trtangulo de Laflgura sabiendo que a = 4, b = - 5 y c = 6.

Resolucion

• hI angulo ct. se halla con el teorema del coseno:

b2 + c? - u,2cos a. = --,--,---

Zbc

= 45 = 0.7560

5 2 + 6"_ 42

2 . 5 . (Jc=6

• II :lngulo ~~:

4____ i_ = > sen ~ = 5 . 0 .6 6 = O,H2Ssen ~ 4en 41 "2')1

f : l = an: sen 0,82'5 =55° 35 '

• El angulo y:

y ~ 18D o - (·11Q 2'5' + 55° 35') ~ 83 '"

5. Calcula el area de un triangulo sabiendo que a= 4 em, 1)= 5 em y c = 6 em.

Hcsoluci6n

Se trata de calcular cl {II'ea de un ld{lngulo conocklos sus lades a, h y c. 1:1 pcrirnetro es:

jJ = (,/+ h + C = 4 + 'i + 6 = 15 em

Queda:

, < ; = " I i j J - (p - (,I) . (p - h) , (p - c) ~J5' Il'lO'Y = ~H850 121,86c1112

EJERC.IC IOS PROPUESTOS

1. Calcula el angulo C L de uo triangulo, sabiendoque dos de sus lades miden a = 1 . Y h = ill,)' que d angulo comprendldo entre estes e~

y = 6()".

;1 ) a = - 2) , b = lOy Y = - 3')0

b) a =25. b =- 17 Y y = 150

5. Resuclve U1 1 triangulo si a y b, y cl angulo

opucsto d a. ex , son :2. Calcula el lado a de un triangulo sabicndo que

b = 4 Y que sus angulos opuestos son. respecti-

vauicruc, ct =60° y ~ =30".s) a = 23 , b = 20 Y a = 35 °

b) a = 25, b = 50 y ex = 15°

3. Calcula el lado a de un lrial'lgulo sabiendo que

h =2 Y c = - 6, y el angulo comprendido entre

ellos es (j,=30°. '

6. Rcsuelve un triangulo si a, y dos angulos no

opuestos a este lado, p y y , son:

4. Resuelve un triangulo si clos de , " iUS Iados, a y

b. Ycl angulo cornprendido entre ellos, y, son- .

a) a= 23, P = 30" y y = 3')"

b) a = 3\ ~ = - S O Y y = 50 "



2.3 . RESOLUCION DE PROBLEMAS

Entre las diversas aplicaciones pnicticas de 18Lri~onometrta esia la de deterrninar distancias que no

se pueden medir directamente, ESLQS problemas $(':' resuelven tornando la distancia buscada COmo

el lado de un trlangulo, y midienclo los otros dos lados y los tres , 'inglllo.~ del triangulo.

La reoria de triangulos puede aplicarse a la resolucion de problemas de la vida cotidiana. basica-

mente al calculo de:

• Alturas

Longitudes entre PUl1l0S no accesibles.

E J E M P L O S

1. Tres pueblos, A,Bye, estan stmados sobre una Ilannra, La distancia entre A y B

es de 6 km, la djstancia entre Bye es de 9 kin, y el angulo forrnado por AB y Be

es de 120°.

a) iCuanto distan A y Ct

b)lCuanta valen los angulos 0. yy?

". 92 + 62 - 2 . 9 . 6 . cos 12 00 =

= 81 + 36 + lOS· 0,5 .. 171a=9 c

Res()Juci6n

a) Apllcandc el teorema del coseno "J rrian- A

gulo formado por los vertices que deterrni-

nan los pueblos:

b2 = a2 + c2 - sa ' cos p '"

La disrancia pedida es b = 13,08 km,

b) Aplicando el teorema de los senos a los angulos u y ~ :

_9_~sen c:

13 08 sen 120°I ; ; ; ; ; ; > sen 0. = 9 . = 0 , 60

sen 1200 13,08

AS! pues: a = 36 ° 36 '

Aplicando el teorerna de los senos a los angulos ~ y y :

6 13,07 . ~ sen p ~ 6se n 1200

sen ]200---- = 0,4013,07en y

2. El faro de la figura aparece sabre un promontorio de

altura desconoclda sabre el mar, La altura del faro es

de 50m, y 1 3 1 distancia al barco desde los extremes

inferior y superior es de 65my 85m. Halla Ia altura

del promontorio.

Resolution

s o 85

Para hallar la altura del promontorio, suponernos que el

barco esta en la horizontal de su base.

65

A continuacion, resolvemos el triangulo superior de ia figura adjunta:

Aplicando el teorerna del coseno al triangulo:

c2 = a2 + b2 - 2ab . cos y



cos y =(;/2 + li _C2

2ab

652 + 50 2 - 85 1-------;--- = -0,077

2 ' = ;0 , 6 5

Asi pues: y = (Ire cos (-0,077) = 94° 25'

Y el angulo corresportdienre a 8 sera:

(:)= lRO° - 94" 25' = 85" 3') '

c = 85

P.UtI hallar el valor de: la altura, aplicarnos la F6nnu-

la trigonomerrica del co 'cno al angulo e en el rrian-gulo inferic r:

a = 65

l\ h t c. I:.~ .'-.03-1-cos < :> = - ~ 1 = a . COS o = \1) , COS l:)) .") = ) 111

a

3. Calctsla Ia altura de la torre, a cuyo

pie no es posible acceder, sabiendo

que la distancia que recorre el obser-

vador es de 60 m,

Hesoluci6n

40 "

60 m

Considera los triangulos ABC y BCD de la Cigura:

B

h

Aplicando el teorema del seno, POUCllllOS obtener el valor de a.

60 a

Despeiando, rcsulia:

a = 60 . sen 40° = 112 76 msen 20" '

Para calcular la altura de Ia torre, h, volvcmos a aplicar el teorerna del sene con el valor de

a obt ~llida a nteriorme nte:

11.2,76

se n 120°

h

Por tanto, hi altura es:

h zss Il276' sen 300

= 65,10 m, sen 1200



7. Culcula In. altura. h, de la tone a cuyo pie no es

pasib.lc ucceder, sahicndo que la distaruia que

recorrc el ohservador que hay en la Ilgllra es de

I O D Ill.

1 1 J " ' [ I J ' · J J e i J • 1il f'(·,1 ----~ ----~ ----------------'t

1. Calcula eI area de un hexagono regular cuyo l iL-

do sea 3 m.

2, Dos localidades distan de una rerccra 12 krn y

8 km respectivaincrue. Si la s carrereras que las

unen son rectas y forman entre si un flngulo de

30°, ,:a que distancia se encuenrranj

3. Un globu e,~launido a la tierra mediante un ca-

ble de 100 1ll de longitud que forma Lin ungula

de 6 00 Call 1< 1h orizo nta l. C alcu la hi altura :1 la

que se encuentra el globo.

4. Dcsde 1 0 alto de un paste se ticnde una cuerda

quC' forma can Ia horizontal lin angulo de 60°,

Si la lo n g itud de la cuerda es d e 1 ") 0 Tl1, l .( 'u 3 1 e xla altura de la torrer

5. Calcula el angulo bajo el que se ve cl faro de la

Ilgura desde el extrema izquierdo dul barco, S<J-

bicndo que la altura del faro es de ::;0 rn, 1<1del

monticulo, de 40 01, Y la distancia desde el ex-

trcrno del barco al pie d ~I faro c:-;de 90 111,

6. Sabicndo que el inb"lJlo bajo d que se ve el faro

de la Ilgura de-sell" cI exirerno izquierdo d el b~lr-

(0

c:-;de 3D", que la altura del Iaro es de 60J1],

la del monticulo, 40 Ill, Y 1:1disiancia clesde el

exiremo del bGlIU) al pie del Cam es de HlO rn,

halla I", distancia desde el barco hast" el extre-

mo superior del faro.

60

8. Calcula In distancia desdc cl punro P al cxtre-

me) superior de la rorre de lit figura, sabicndo

que la distancia que reCOHL' d ohservador ex de

100 m.

9. Dos observadores de artilleria antiaerca que se

encuentran separndos entre SI < i km clivisan un

avion,

Si lint) lo ve hajo un angulo de 60" y oiro bajo

un .'ingulu de . '15°, i ,: l que al tura se cncuentra el

avion?

10. Dcsde do s mcren d ero s sirundos en 1<1Ol 'l 1 1<1d e

uo rio y disrantes entre si 200 111, < ; 1 : ' observa un

banista que se C,SHl ahogando eo It!nll"l orillu,

bajo angulos de 60° y 1,)°,

Si en el primer merendero hay un nadador que

nada u 100 rn/min y en el segundo uno qUL' na-

el l II 12() m/rnin, t .cw11 de elias , 'ialv:lrj < 1 1 harris-

Lasi se l a nzan a la vez en su auxi lio?



E JERC IC IO S F INALES

1. Resuelve los siguicntes triangulos recrangulos a

partir de los daros, Sl alguno resulta imposible.

explica POl' que:

; 1 ) B = 90°, a = 15 lTI, A =2.30l"i' 15"

bl B = 90", a = 31 ( '111, b = 20 em

c) B = 90". c=24 111, a = ] 5 In

2. Rcsuelve los siguientes triangulos rectangulos a

partir de los datos, Si alguno resulta imposible,

explica pOt' que:

a ) 13 =9Uo, c= ~Do, b = 2-0 m

b) B = 90°. b = 12 rn, C = 12 III

c) B = 90°. C =20°, a = 10 m

3. Resuelve un trianguio sabiendo que dos de sus la-

dos, a 'i b, y el angulo coruprcndido entre ellos,

,(,son:

u ) a = 13 , h = 10 Y 'f = 35 °

b) a = Fl, b = 17 Y Y = 1 5 °

4. Resuelve un rriangulo sabiendo que c 1 0 s de sus la-

dos, a , b, y cl : l I 1 g 1 . 1 l o opuesto a C , G; son;

a) CI = 23 , b = 30 y c = 3':;°

b) a = 25, b=IfO .y C= 1':;°

5. Resuelve un lriangu]o y halla 81.1 area sabicndo

que sus [res lados, (;I, h Y c. son:

a) a = 13, h = 20 Y C '" ] ')

b) a = 2'), 1 ? = 10 Y c = ")

6. Calcula el area de LOn pentagono regular de

20 m de lado.

7. Calcula el latin de un pentagono It-gular' cuya

~lreacs de 400m •

8. Resuclvc un rridngulo isosceles cluyO lado rna-

yOI' nude 30 em Y uno de CLlYOS angu los es de

130",

9. En un treingulo isosceles el lado menor mide

12 m. Resuelvelo sabiendo que hay dos angu-los de 7()O.

10 . Una esca lera de 6 In dC'Olongitucl esta a poyad a

en una pared, alcanzando ') 1 1 1 de altura, Calcu-

la, a partir de los datos, el flilgulo Iormado por

la pared y la escalera.

11 . De un uiangulo se conocen los angu\oSc{1 = 60°

Y [3 = 75 ° , ~ el lado c = , 1 2 , Cal~'ular lo~ res-

tames elementos.

12. Calcula la altura de LUl semaforo sa blcndo que

desde lin cierto PUlll:0 se ve baio lin angulo de30 ° y que sf nos acercarnos 4: 0 111, tie ve ba jo un

angulo de 60°.

13 . Dos carninarues patten de Linc ruce cle carninos

que Iorrna un angulo de _jjO entre SJi a velocida-

des de 4 y - krn/b respectivamente. iA que dis-

Lancia se encuentran al cabo de 2 h?

14. SCva a construir un puente entre las dos orillas

de lin fiordo iCUt'il es [a longitud si desde un

punto sc ve el puente ba]o un angulo de 600

y la distancia a los extremes C o S ell' 3,8 kill 'l

J,'i km, respecuva mente

15 . Resuelve ",I tri{mgulo del que se conoce UTI 1<1-

do M = 12 c111; y los angulos j3 = 45° Y'Y= 30".

16 . Resuelve el Lriangulo del que se conoccn dos

lados, C / = 13 till Y h = 25 ern, Y el angulo

y = 75°.

17 . Conocidos los lades a= 2, b = {2 y e] angu-

10 y =45" de u n tria n gu lo . calcula los resrantes

elementos,

18. Consideramos lin uiangulo en el que b = 9 ern,

c = 7 em y a = 40°. Calcula el lado y los angu-

los qUE' f a l t an ,

, 9. Calculz e! area de un peruagcno regular cuyo

lado mide 8 em.

20. En el triangulo ABC de la figul<l, tenemos

c = 1'1 em, b = ) ern y y = 1300, Calcula el perf-

metro y el area.

21. Calcula la altura de Una torre sabiendo que des-

de \ . 1 1 1 < 1 distancia deterrninada se ve baju un ;'jn-

gulo de 4 , : > 0 y que ,~inos acercarnos 100 m, B e

ve ba]o un angulo de 60".

22. Se deseu calcular 1a altura de una torte sabien-

dr que d sde un punta se ve hajo un angulo

de 30° y. 30 III mas cerca, el ;lnguio es de 450.

23 . Desdc un punta A se ve una torre bajo lin a n -gulo de GOD, y desde UQ PUI1l0 B distante

100 J1l Y que esra <-IIotro lado de la iorre, se ve

bajo un 5ngulo de 45°, ceual es su altura?

24. Des ohservadores que se encuentran separados

crurc sf 2 kill divisan un globe. Si uno 10 ve ba-10 un angulo de 75° y otro bajo LID angulo de

Ii,)0, i.~1que altura se n uentra el globo?

E



rSOLUCIO~ES' A ~S EJERCICIOS'-

EJERCICIOS PRO PUESTO S

2.1. Resolucion de triangulos rectanqulos

5 - - J 3 ' )1. a) ~ '"'30°, a = -2-' b _, 2

b) P = Soo, 0 = J,93, b = 2,30

2. a) P = 30", C J = 5 1 , O , c = 10

b) 1 3 . . 500. a = 4,20 , c = 6, '13

3. ,1) a = 3. a = 36° 52' 12", ~ = '53° 7' 4 - 8 "

b) a = ,fll, C t '" .Do 54', ~ '" 56° 6 '

4. a) c = "ffl, a = 3Ho ~9' 36 ". ~ = '}II;) 20'2 "

b) c'" sf2, a=45". f 3 = 45°

5. Se necesitan mas datos.

. 4 - { 5 8 - , [ 5 ,6. b = -- a=-- In R = -

5 ' 5 ' ,s'" 2

7. a) AB =6 Ill, AG ' = '5 Ill, AC = 113 rn

b) 9 111 3

d A ea 36" 52 ' 12", B =56 ° 18' 36", C = R(,)o49' 12"

d) E = 90", A = 53" 7' 48" C = 36° ")2' 12"

2.2. Resoluci6n de triangulos cunlesquiero

1. a = 35° 6 '

2. (;1 =4 1 3

3. C I " " ft,38

4. : : 1 ) C = 15,87, I X = 56 " 12', P = 88" 48'

b) c = 9,46, Ct = 43° 9' 25", ~ .. 121" 50' 35"

5. a) ~ '" 29° 55' 48", y = 11 5° 4 ' l2", C = 36,42

b) B '" ' 31 Q 19 ' 48", y = 133° 40 ' 12", C = 69.87

6. ,I) Ct = l1So, b = 12.69, c=14, = j6

b) a =85", b=24.84, c '" 26,~1

2.3. Resoluci6n de problemas

2.6,46 km

3.86,6 OJ

5. arc cos 0 . 9 3= 2P

4 , 6 '

6..135,6) m

7.333,'1 m

8. 43<iA9. m

9. =jq79 m

10. El nadador del primer merendero

EJERCIC IOS F INALES

1. a) C .. 66" 45 ' 4'1 11, h'" 38 Ill, c= 34

h) La hipotcnusa no pucde ser merior que uno

de los caletas.

c) A ... 32", C = 58", h'" 28J m

2. a) A = 40°, a =- 12,86 m, C = 1'5,32 1 1 : 1

b) No pucde rene I' un .ateto igual a la hipore-

nusa,

c) A = 700, b= 10,6 In, c = 3,6 III

3, a) c = 7,48, ~ = 50 " 2[' 14". C I. '" 9/1" 3R ' ') 6 '1

b) c = 4,62, j3 =- 1070 51' 36", a = ,,}7°H' 24"

4. a) c =39,85, A = <1 8° 3 ') ' 2 '3 ", J 3 = 0 6° 24' 3S"

b) c = 63,38, A = 9° 12' 2'1", 13=1')50 17' 36"

5. a) a = ';100: 3 2 ' 8", ~ . = 90 0 52 ' 55 ''. " '{=4H " 3-i' 57"

Area = 12· i6

b) No fie puede construir LIn triangulo con esias

caracterfsticas.

6.688 m2

7. 15,25 m

8. Dos ludos igu.ales ete 13,6 111, elm angulus de

25"',

9. Un angulo de 40°, dos lades iguales de 17. ')4 111.

11 . 'Y = 15", 6{ =1,73, b = 1,94

12 . 34,64 1ll

13 . 'l0,87 kin

14.23,79 km



15. a = 1O~' \ b = 1'5,78 em, C = 6,1.J["111

16. C = 25,02 em, a .. 30" 7' 57", r j = 74° 52' 3"

17. c = -f2, a = 90°. B = -1,)0

18. a = '),79 em, f3 = ~OO 26' 14", Y= 52° .3.3'46"

19.110 CJll2

20. ~ ""24" 'SO'4". a = 25° 9' 56", a ~ 6.1 em

21. 237,27 III

22.41,1 III

23.63,37 rn

24.1577111

I



VECTORES

3.1. VECTORES. OPERACIONES CON VECTORES

D Vectores

- - - ' t 'J •Un vector, 11, es un seginento onentaco que :;(;:'caracteriza POl':

Longitud o modulo del vector,

Direccic n 0 recta que 10 conticne .

• Sentido Ll orlentacion de la recta.

£) Igualdad de vectores

1In rnisrno vector puede estnr represeritado en dis-

tintos lugares del plano, P,HJ que sc de la igualdad,

basta que coincklau el modulo. ta direccion y el

sentido En cadu punto del plano podernos dibujar- - - t

un representunte de 1.1.

BOperociones con vedores

Soma de vectores: L1 surna de dos vcctores, i 1 y v,

~ -j I . incids 01.1'0 vector, U + v ; La que su orrgcn COI11(1 e con_ , _ , -cl de u y su extreruo con el de v, estando situado elorigen de '1en el extrerno de t t tal como se senala

en la figura.

Producto de urivector por un .mirncroe

El producto de un mirnero, /"', por un vector, U, L'S

otro vector tal que:

• Su modulo es cl de 1 1 rnultiplicado ror el del valor

absolute del nurnero A"

S I, ., 1 d ~

• u c 1reCClon es a -e Ll.

• Su sentido esel de L t : si )" es positive. o el COJ'ltr:J-

rio, sl es ncgativo.

E l Cornb inacien lin ea l d e vectores

II -} bi , lin al IS. 11 vector, U, es com macron es ered - .v_", d 1OLIos OS,v vw. si cxisten os eSCGlares, a . v

- '-j ~ -j •

f 3 E IR. tales que U = av + [3w.

• Un conjunto de vectores es linealmente

dependiente si cualquier.i de ellos se pue-

de expresar como cornbinacion lineal de

los restantes. En case) conrrario, sc dice que

son Iinealmenre independieate. s,

--'>V

--7'

U

)

u,--'>AU

--'>all

-) -) .'au + f ? " : : • . .:«:

.'

-;

\I



DBase de un espacio vectorial

.. Un coniuruo de veciores, B = 1l!1' L ? 2 ' . . " ~,L de un espacio vectorial, V ; es un sistema ge-

nerador si cualquier vector de I T se puede exprt'sar como cornbinacion lineal de los vcc-

rores que cornpone n dicho sistema.

• Un conjunto de veciores, 13 , es base de un cspncio vectorial, 1' , si se cumple que son li-

ncalmenle inclependientes y lormao un sistema generudor de \l.

m Coordenadas de un vector

- - - 7 , ' -t-t - - - 7 -t• Dado un vector, u, de V y una base, B = Ill'I' u2' ... ,.un!' llarnarnos coorderradas de u en Ia

base B a los escalares que permiten expresar iJ como cornbinacion lineal de 10$vectores de 13:

- - - 7 -t - - - 7 - - - 7 " ~1I = a

lu1+ c x . ,u? + ... + 0.1/1,.1 1/ = ~ a,l! < = > uj• ". a, son las coord enadas de U en 1 : 1 base B.

.... ~ i»I I II

• L;J.scoordenadas de uri vector en una base son unicas

- > -t• Suma de vectores: La xurna de dos vectores, LI '" (LL], u.; ... , Ll

j') Yv = (vI' V), ., .. \1,,1, e,~

- - : 7 - - : 7 - ' - 'otro vector tal que: II+ V =(ul + VI' Uz+ v2, ... , lIli + VII)' Sus propledades son:

.. -) (4 - - - 7 ) (-t -t,) --1- Asociativa. L1 + . V -I- 'vV = 1I + V -I- w

- Conrnutativa: J+ -;:;, '1 + L t

- Elcrnerito neurro 1 1 + 0 =j- ) - - : 7 - - : 7

- Elerncnto opuesto: n + +u) = 0

• Product0_f0r UJ[l ruimeroe EJ P~Odlll'lO ~lc LID vector, L t por un mimero. A, es otro vector

tal Clue: AU = C A U l ' A·lIl..".AU,,). Su propiedades son:

- Pscudoasociativa: )'+UU'=I.(~it)

. - - - 7 - }- Elcmcnto L 1nidad: 1 . 1 .1 =U

0' ibuu ''1: ) 4 .,-t -) ~(--:7 - - - 7 ) _ -4 ,--:7

- ism uuvas: \ 1 \ . + ~ l U = ,,1.1 + ~lU Y I\, II + 1/ . '" Au + reV

• Un conjunto de vecto res, 11; que cumpla las propicdadcs arueriores respecto a la S1l1l1<!y elproducto par escalates. uene estructurn de espacio vectorial. El conjunto IRJ 10 tiene con la

SUil1<1 de pares de numeros y el producto de un numero por lin par,

• Fijada una base en un espacio vectori-al (vecrores del plano-espacio), existe una idernificacidn

con los pares a ternas de IR], Y l R s a truves de sus coordenadas.

EJEMPlOS

1. Suma (3, 2) Y (1, -1) y efectua el produ.cto de (2, 3) PQr 3.

R'~soluci()n

• Para sumar vectores se suman las coordcnadas correspondienres:(3.2) + (1, -1) = (3 + 1,2- J) = ({ 1)

• Para mulripllcar por un ruimero se multiplican todas la,~coordcnadas por dicho nurnero:

3 . l2, 3) = (6, 9)

2. Estudja 1a dependencia lineal de los vectores (4, 12) Y (2, 6) y de los vectores (1, 2)

Y(3,4).

Resoluci6n

• Seran dependientes 5 1 podcrnos expresar uno de ellos como comblnacion lineal del otro:

, { 4 = 2(1 { t l ' " 2(4, 12) = (,J . (2, 6) ;:;;;.(4, 12) = (2a. 6c / ) . : : : !> }2 = 6a ~ a '" 2

j

Lo ljLle es ierto, y<l que se curnplcn ambas ecuaciones para a = 2.

I



• Volvemos a plantear la dependencia:

{

l ~(' [ { a =1/3(L, 2) "" a . 0, 4) =::} .., 4 => _ .1/2

':"'U a-.r

Como no hay ningtin valor de a para el que Sf: cumplan ambas ecuaclones, los vecio-

res son lmealmerue independientes.

Rec;()luci6n

3. Comprueba que el cOiljU:ntode vectores 101 0), (0,1)1 es lineahnente independiente.

Para que sean linealrnenlc dependlentes, uno de ellos se debe expresar come cornbinacion

lineal del otro; es deck:

r 1 = 00,0) = a . (0, I) => (1,0) = (0. a) : : : : : > 10'

L = C l

quedandonos 1;;1lgualdad I = 0, que eoS imposible As] plies. el vector (1, 0) no se puedeexpresar como comblnacion Lineal de (0. L) Y, porlo tanto, los vectores son linealmemc

inde pendien res.

4. Demuestra que los vecrores (1 1) Y(0, 2) forman una base de IR2.

= Prirnero vernos que son Iincalmente Independierues, plies:

{

J = 0(1, 1) = a . (0, 2) = > (1, 1) = (0, 2aJ= > _ ' que es imposible.

] - Za

• Para vel' que son generadores, expresamos un vector arbitrario (x, y) como combinacion

lineal de cllos:

f x ; ; a )'-:r(¥" y) = a . (4., 1) + h . (0. 2) => e x : . y) = (a, a) + 0 2h) = = > I ~ h = _.--

, lJ' = a + 2b :2

jJ-x

La expresion (x, y) '" .T . 0 , 1 J +2-0, 2) dcmuestra qL1e lo s vectores (1. 1) Y CO, 2)

son generadorcs.

E JERC IC IO S PROPUESTOS

1. Cornprueba que los vectores (1, J), (I, 0) son li-

nealrnente independicntes,

2. Dernuesrra que los vectores (1, C d ) Y(0, b) SOil li-

nealrnente independientes para cualquler valor

de a y b distinto de a.

3. Demucstra que los vectores (a, h) y (c, d)

son linealmente independientes si, y solo si,

ad - be.,: O.

4. Detcrrnina los valores C / y b para que el vee-

t O J " (1. a) sea cornbinacion lineal de (1, b) y

de 0, 2).

~ -+5. Halla 'las coordenadas de los vectores II y v:

-+ -}-+L1 1 = II + V

-+ -, -tu2

= U - v

-t --'I -7ll}= 3 L 1 - 2 v

en la b..tie B = I~ v 1 .



3.2. SISTEMA DE REFERENCIA EN EL PLANO

o Sistema de referencia

• Un sistema de referencia eo el plano es una rer-

11:1, 11'" 10, til' d/l, foruiada por un puruo, 0, lla-- ~ ~mado origen, Y una base de vectores, U I Y Ll2'

• Dado uri sistema d e referencia R = 10, iii' L T 2 1

cualquiera, y un punta, P, del plano, lascoor-

denadas de P, respecto n R son las coordena--:+ ---;~

das del vector QP l'especto a la base Jul, ll).

S · - - - - + ( ) P ~ - } 1 F I• 1 = xU'1 + yu

l, as nurneros x E Y son as

coordenadas de P, 10 que se escribe:

P = e x , y).

o

EI sistema de referencia del plano m a . ~ utilizado es 10. t ( 1 . donde:

• 0 es el origcn de coordenadas, dcspues de fijar los cjcs de ubscisas y ordenadas .

• ;' es un vector que tiene par origen eI PUnl.O (0, 0) Y modulo J,

·t es otro vector que uene por origen ell punto (0. 0) Y modulo 1.

~ - ; - l I' J

• 1 Y J son flerpenc Jell arcs.

f) Coordenadas del vector que une dos puntos

• Dados los punios P = (,'\'()'Yo) y Q'" (Xl' Yl)'

vector que los line uene por coordenadas:

- - - - - * ~ -tPQ = (.x

1- . :1: ,'0 ) 111 + J 'l - Yo) Ll2

• Todo punto, P, del plano tiene asociado de for- -t:~ j

ina unicu uri ve tor, OF, cuyas cornponentes coin-

elden COLl las coordcnadas del punto P.

~ Ires puntos alineados

Tres puntos, A ~ (Xl' Yt), F J = (X2' Y2) y _C = (X3' J'3)' estan- - - - - * ~

al lneados si los vectores AB y AC tienen .Ia ruisma direc-

cion, esto UClUTC cuando sus coordenadas scm proporcio-

nales:

X3-Xj

x2 -XI. 1 ' 3 -YI)'2 - J'J

------------------------ P = (4, 3)

c

1



9Punto medio de un segmento

b1 S coordenadas del PUD tO medic, Il1, de lin segmenro

cuyos e)..'tre1110Sson lo s pLLJlIO,~A = ( . ' 1 :0' .vi)) y f B = (.'\:1' YI ),

vienen dadas poe

I:l Punto simerrico de otro dado

El punto simetrico, S = (s], s'))' de otro dado, P =(Pl' p)},- - -+ --+ -

respecto de M = (mi, I n , > . verifica PS = 2PJ\IJ, ya que CS

- - = - ' ) 0 - ~

el punta media de ps:

~ Baricentro de un tri6ngulo

El baricentro de un tria ngulo cuyos vertices tienen coorde-

nadas /1 = (1:1 , YI 1, B = (.'(~,Y2) '! C = ( . 'J C . ) , Y,~). viene da-

do pOl' el punto G:

EJEMPLOS

A

B.'

s

p

c

--+1. Halla las coordenadas del vector AB srerido A = (3, -1) y B = (4, 7).

Resolution

Restarnos las ccordenadas del punto A a las coordenadas del punro B:--+AB = (4 - 3. 7 - (-I)) = (1. 8)

2. Halla las coordenadas de rm punto, P, tal que al umr'lo con Q = (4, 8), resulte el--+ -) -~

vector PQ = -2u1+ 6uz.

Ih:'$oiucionSean Cx, y) las coordenadas de Y

-? -), -), -~ -)PQ = (4 - x)uJ + lfl - y)u

2= -2u

l+ 6u

2

4 - x '" - 2 , } ;1( = 1 t , I + 2 = 6 }=> = > P = (6, 2)

8-y= 6 ),=8-6=2

ResoluciQn

3. tEstan alineados los puntos A = (3, -1), B = (4, 6) y C= (1, I)?

--+ ---7

51estan alineadas las coordenadas de los. vectores .A B y /lC, son proporclonales:X3 - XI __ )'3 - Yl __ 1 - 3 __ I - (-1) -2 2

---.' --;c--:---:- => - = -

x2

- Xl y_ -)11 4 - 3 6 - (-1) 1 7

Como dicha igualdad no es cierta, los rres puruos no estan alineados,



Resoluci6n

4. Comprueba si estan alineados los puntos A = (3, -1), B = = ( ~ , 6) y c = = (1, 1).

- -+ --+P;Jl~1 que los [res puntos esten alineados, 10:1 vectores AB y AC han de tener las coorde-

nadas proporclonales

X :, - XI __Y 'l- .1 '] - - -- - ._] - ) __ 1- (-1) -2 2-.' --::-------':---=- => - = -

x~-xl Y1-.I'1 -1,-3 6-(-1) -7 7

Como dicha igualdad cs ciena, los (res punios estan allncados.

- - - - - 7

5. Calcu1a el punro medio del vector PQ si p". (7, 2) y Q = (-11,0).

H.esolud6n

EI pUDLO medic es:

Nl = 7 - - ; 1 1 , 2 ; 0 ) = (-2, 1)

6. Halla e1 punto Q, que es slmetrico del punto P = (3,3) respecto de III= (-I; 1).

Resoluci6n

31 Q tiene de coordenadas (a, b), se habra de verlficar:

3 + a _-1 = --::::} a=-)

2

L = .~4- b = > b ". -12

Por 10 tanto, el PUD(O pcdido es Q = (-'5, -] l.

7. Halla las coorderiadas del bartcentro del triangulo ABC siendo A .. C3~1), B = (4, 7)

y C = (2, 2).

Ru;oiucio])

Se surnan 10.-;valores de las coordenaclas de los

rres PLLl1tOS y se dividen entre .3 :

C'= ( 3 + "1 + 2 -1 + 7 + 2 . ) = ( ? 8 )T 3' 1_,

. 3 :)

y"It--f---t---t---,,

(;

8. DeWl paralelogramo ABeD, se conocen el centro M = (2, 1) Ydos vertices conse-

cutivos, A = (1, 2) y B = (0, 1). Deterrnlna Ias coordenadas de los otros dos verti-ces, C y D.

~esolnci6n

los pumas C y D son los simetricos de .4 _ y

Ii respecto de M respectlvamcnte M es el

punto media de los segmentos AC y BD,

• Si las coordcnadas de C SOD (x, y):

2=1+.x=:>x=32

=

2 . + Y => ) ' = 02 .'

cl punto es C = (3, ().



• S i las coordenadas de D son (x', y'):

? 0 -I - X' "_ ee --- => x = 'I

2

1 -I- )"

l=--·-~v=2 .

el puma es D = (4, 'l ).

1. Dados los PUIJt()sA = (1. 2), B=(-I, 3), C= (3, < [)

y 0 = (1, 0), h811a las coordenadas de los vecto-~ --). --). --'). --').

res AH, Be. CD, DA. AC.

2. Dados los puntos zl =n. 2).13"" (-1, 3), C=<3,·J)

y D "" (1, 0). haila el punta media de los seg-

men Los AB, Be, CD, DA, AC

~

J. Dado cl vector Ai3ee

l2, n yel punto A = (3. 1),halla las coordenadas del punto B.

~4. Dado el vector AB = (2, 3> y e l punto B '"' (5. -3 l,

ha lla la s coordenadas del punta A.

S. Averigua :-;1estan a lineados los puntos:

a) A = (3. 0. B ~ (4, 4) y C'" (;;, 7)

b)A '" (3,1),8 = (-'f, 6) 'i C> ('), 9)

6. Dados los punios .4 = (2. 3) y B;; ( L -2"), hallu

lo s pu nio s que dividen a l se gm cn to riB en ( r-C 'I>

partes iguales,

7. Sean A = (-3, ')). B = n, 2) yC= (5. 6) los vcrri-

CES de LIn lri:~ngulo. Calcula b." coordenadas del

bartccntro del triangulo,

8. Scan A = (J , -.3), B = <0.7) Y C= (-1. 5) los ver-rims de un triangulo, Calcula las coordenudus

ell' los puntos medics de cada lado y del bari-

centro de] triangulo

9. De un paralelogramo, A N C TI, SC ' conoccn dos

vertices consecutivos, A = 0, 1) YB = (2,2), Y cl

centro, M = 3, 0), Dcterrnina las coordcnadas

de los veruces C y D.

3.3 . PROD'UCTO ESCALAR DE VECTORES

o Def inicion y propiedades

-) - ,Dados dos veciores Ll = (x, .1') y v = (x', y'). su producto cscalar ex:

Propiedades:

• El producro esca lar de dos vectores es siernpre un valor positivo: Ii·1'2 0

(' . --t -) -) -t

• .onmutauva: U • v = v . u

D· ibuti - - - + ( ' ~ -+) -) -} -} -)• istnbuuva: U· v + w' = u • v + 11. W

, . -7 -) -) __, -) , - - - +• Pseudoasociativa: ).(u .v) = (A .U ) • v = 1I • (/"v )

-> - ) -)• U • II = 0 = :> u = 0

DModulo de un vector. Vector unitcrio

-7 ~I-)-+

• El modulo de un vector es el escalar. III I =+ ~u . u

• Un vector es urrltaeio si su modulo vale 1. Para hallar Lin vector unitario de 1::1misrna direc-

cion que uno dado, J7 :. 0, basta multiplicar dicho vector por cl inverse de su modulo.



~ Angulo de dos vectores. Ortogonalidad de vectores

-4 -4

?-? U'v

• FI coseno del augulo formado por dos vectores no aulas es: cos C u , v) = ----c:-----,---

1 \ . : 1 . I~ I

• Dos vectores no nulos son ortogonales si su producro escalar es cere. Si ; J " * 0 y - ; J " * 0 son_, _, _-1

dos vcctorcs ortogonales, U' \/= 0 < = > u .L v.

D Proyecci6n de un vector .sobre olro

Laproyeccion J(; ! un vector. t . . sabre otro. v, es tro

vector con la direccion de -: y de modulo:

-7

II

-)

V

r;] Base ortonormal

Una base [li'l' l(zles ortonorma1 si los vcctores que la lorman tienen modulo 1 y son ortogo-

nales:

P .. -} ~ I - ' I ' I } 1• or ser unitanos: HI • ll] = III - =

• Por ser perpendiculares: tt l . I f _ = 0

m Expresien analitica del praducto escalar

Sean l!=(.\:,y) Y -: =(.\',y') dos vectores en una base ortonormal:

_ , --}• Su produclo cscalar cs: u . v =x-x' + _ y y '

-; J) .)• SlI modulo es: 1 u 1 = -I-'\.X- +_ v -

EJlEMPlOS

-+ _ , _ , -+ -+ -? -+ -+1. Halla el producto escalar de los vectores a ""2u

I+ 3U2 Yb = 4111 - 112, donde (ul' u2J

es una basse del plano en Ia que 1 1 7 1 1 ' " 2, I ti21 = 1. Yambos vectores forman un angu-

10de 60°.

RL'so]uc..ion

Elcctuamos el producto escalar:

~> -) -~ _ , -+ _ , -+ --} -t _, _, _,a . b =(_lI

j+ :3u)· (4l1

l- liZ) = B(u

1• llj) + 10(1.1

1• u) - 3( u

2' l(2)

Como:

- ) - +111 • III

- + - ,Lll•III =

lL 1 j2 = 4

I L f 2 1 ' l = "1

I l t j l ' l l t~1 cos 60" = 2 1. - = 12 ~

Obtenemos que:rt = 8 . 4 + 10 . 1 - 3 = '32 + 10 - :; '" 39



. ~ -7 -). 1 - ) · - ) - )2. Dad a la base del plano lU I> u 21 , donde 1 l i l l = z, 1 L 2 1 ' " 1 los vectores 11.1y U

28011 per-

• -} -; -; -; -} ---ipeudiculares, calcula el angulo que forman los vectores a = 3111- 21~ Yb = 2u

I+ 5U2.

t

Re.soluci6n

Como:

~ > - + - ; ,tll·ul= lu11 -=4-} -,I. - + )112 • 112 = lu21 - = ]

1 7 } . i t? '" O. ya qLLC ambos vectores Son perpendiculares.

El proclucto escalar serfi:

--;I -} -- 7 -)0 - + - ;a.. b = C3Ul - 2u2) • (Z u

t+ ') u 2) '""

.-} --7 -; --7 -7-7=6(u

l. uJ } + ll(u

J• llz) - l()(lI

z. ll) =

= fi .." + 11 . 0 - 10 . J = 14

Efectuando de forma similar, obtenernos:

-7 - - 7 -,I -7 --7 --} , A

a . < I = (3u l - 2u) . (3u1

- 2u z) = 9 . q - 12 . 0 + q . I = 'iO

- + b - - 7 b C -- . - t _ - > ) C · - } - ) , J 2" ) 0 ' ) - 1 41. = LUJ+ )U

2• ~ul + JU

1= ~I . L1+ {. + - '). =

Susunryendo en la formula obtcnida para cl angulo de dos veciores, results:

14 - - 7 -- 7-==-----== = 0.34 => (a . b ) '" 70° 7' 23";f4o·141 .

- -7 - : - 1 ---i -+ -) . _ , --7 -}3. Halla la proyeccion del vector a sobre el vector b siendo a = 2u

1+ 112Yb =3U1+ 2~

--7 -+)" !n], 1.12] UD.abase ortonormal.

lksoluci6n

.hi rnodu 10 de la proycccion es:

-'.> -)

~ <l·b1 proYh< l I =w=

Susuuryendo, resulta:

--7

-7 b 8Iproy~I'~"'--

b [b ] - m

2'3+12 S

- - J 3 1 + 21 = m-- 7

Como la proyeccion es paralela a b , hallarnos un vector unitario paralelo a esse:-,b 1 --1 -}-1- = c - : : : (3l1j + 2 ll,;;)b~\l13

4. Halla el area de un paralelogramo cuyos Iados DO paralelos SOil los vectores_.) -; -7 --7 -} -- 1a '" 4u1-3Ul y b ~2u1+ 3U2.

ResoJ lIcian

-7 --')- -, - - 7 - } -7

S = I a 1 . I hi = I a 1 . I h I Sf,!!1 (a. b)

1 1

Elarea del paralelogramo es el resultado

de multiplicar la base p( r ia altura. y La

altura es eJ modulo de uri [ado pm el seno

del angulo comprendido:

-,a



COOl(') {' I anguio que lorman es:

-1 -1

~ , {13 - "';,)25

calcularnos el seno aplicando la f orm u la fundamental de 11_trigonomeula:

) 7 ( -1 )2 1 324 18sew 0 .. = 1 - cos- a = 1 - ;/325 = 1 - 32S = 32 5 =? sen (J. = ;/32'5

EI area es.

5. Dernnestra el teorema de Pitagoras con 1a definicion de producto escalar,

]<(,,';0 Iud6n

Considcrernos el triangulo rectangulo de la Figura

Si -: es el vector que represcnt« la h ipotenusa y b- - - tY c los que repre~eman a los catetos, se cumplc

- - - t : - - - - t - - - tque: :1 =b + C.

)

b- - - ' >C

Por tanto:

- - - t ) -< --j. - - - t --j. - --t -~ I - ) I ' : - - - - t - - - t - - - t - - - - l - 1 - - 7 J1 a 1 - = a ' a = (b + c) . (h + c 1 = b - + h . c + c' h + c 1 -

- < - - - t : ----t--t-~---tComo es un triangulo rccuingulo. b y c son ortogonales, luego b . C= C • b = 0:

6. Dados los vectores It = (-3,4) y : i f = (a, ~2 ), calcula el valor de a para que:- - - + -- ta) u y v sean paralelos.

b) It y - ; ; t sean perpendiculares,

- ) - - - - l - • •c v sea unrtario.- - - + - - - - t

d) (u, v) = 60"

ResoLuci<'m

< 1 ) Panel que t J y 1sean paralelos . sus coordenadas han de ser proporcionales-

-3 = _'_I :=:> a = -3 , {2d {]_ II

h) Para que tty 1se<111perpcncliculares, S 1 . 1 producto escalar ha de ser 111.110:

.... --j. G ..0: 4 tz:ll' \' = O:= :> (-3. +1· Cu, \21 = 0 ~ -3' a +4'1(2 = (1:=:> a = --:;-\12

: ; .

c) Para que \ 7 sea unitario, su modulo ha de SeI 1 .:

No tlcne soluclon real.

d) Para que i1y -;; forrnen uri angulo de 60°:

- ) - - : >

-r+ --j. U • V

cos (u, v ) = - - : > -J.

l u l · l v l

-5a + 4{2

'5 . · V (/2 + 21

2



Operando y elevando al cuadrado, obtenernos:

5 . 0)'012 + 2 = -6a +sfi = > 2S(a2 + 2) r 3 6 0 1 ' + 128 - 96&

~

Reordenando, obrenemos la ecuacion de segundo grado:

lla2 - 96& + 78=0 = > a" -111'/2 ± 2S%

11

7. Sea Bel punto sjrnetr-ico de A = (2, 0) respecto del punto P ""'(1, -1). Determina las

coordenadas de dicho punto, iCuru debe ser el valor de a para que el segmento

determinado por Bye .. (1, a) sea pet-pC ndicular aI determinado por A y H!

Rcso1uci6n

Si B = (x, y) es el simetrico de 11 respecto de P, esie es el pu nro media

del segmento An:

1 = 2+x =>:\:=02

0+1'-1=--'_ ~J) =-2

:: >

Es decir. B = (0, -2)

- - - - +Si~ s grnenios son perpendiculares, el producto escalar de AB =(-2. -2)

Y Be '" (1, a .j. 2) ha de ser n u ll> :

~ --+An . Be = -2, -2) . (1, a + 2) = -2 ' 1 - 2((1 + 2) = -2a - 6 = 0 = > a = -3

EJERC IC IOS PROPUESTOS

1 " -j - > d aJ 1 - 4 1 l- t 1Sean u I y ll') .os veciores t, cs que . ll[ = . I.L2

-t -1-Y L l , ' u2 = 0, Cornprueba que los vectores--t - 4 ---j - 4 --t -)U = xU1 +YUz y V = -:)!1I] + .xu2

son ortogonales,

-> -t6. Dados los vee tares u = (2, a) V v - tb , -2), c10~

terinina los valores de a Y b -que hacen que Ity tsean ortogonales, y I l t l =1 1 1 ,

2. Sea B =1«1' L i 2 f Lilla base O n 0 1 1 0 1 1 1 1 a L Calcula el

- 4 1-') ---j

valor de k para que los vectores u> 2 llj + k U 2

7. Dados los vectores 1 1=(2, 0\ 1 = «i I) Y

-j ~ b-j. - I '' I I ' l'w =au + v, (que re acton < . e oen saus acer a

y h para limo el modulo de v ? - sea la unidad?

--+ --+8. Halla h proveccion ortogonal de B sobrc CD si

A'" (1, 2.), B= (-2, OJ, C= (2, 3) yO = (-1,1).

-4 --t --t -'I I .3. Sea B =" lUI' u21una base tal que l U l l = I liZ = I-'I -'I .

Y (ll" HZ) = 60°. Calcula el modulo del vector-7 ---j --tU = 1I] + lI:!,

9. Indica si son unitarios los siguicntes vectorcs:

---j ( 3 4 ) --t ( 5 1 2 ) ---j .u = ~ - v = --. ~. w = C l 1)5'5' 13'13' ,

4. Sea B = {lll' iizl una base ortonorrnal, y scan los

- - - - + --t -j - - - - + -j _-~

vectores fOAl = 3u1 + Ll2' [OBJ = zu l + )U 2 Y

- - - - + -1rOC] '= 7ul·Dernucstra que el triangulo A BC es

10. Demuesira que las do" diagonales de un rornbo

son perpendiculares,

Isosceles alcula ~'Upcrirnetro.

-'I -j.11 . Dados los vectores a = (J, -1) y b .. (2, mJ, ha-

lla In de forma que;

---j ~

a) a y b scan ortogonales.

b) ty b tcngan la misma direccion-t

c) b sea unilario.

5 Q -, I j' l -7 )-1 3---j. t ue angu 0 'orman os vecrores u = ~ul - u2 y

-1 -'I ~ .' -t-tv = 1 L 1j -1.12 , sabicndo que B .. IL1 J' u

21 es una ba-

fie ortonormal?



EJ ERC ICIO S F IN ALES

1. Sc considerun los vecrores 1 1 = (-5, 2), 1= (-4:, 3)

-t 1 j) E -t I·" I'w = ( J, . xpresa L1 ( '0 '11 .10 com )1l13C10n 1-~ -t

ileal de v y w.

2. Dernuestra que los vectores J= 0, 1) Y~= (1, Q)

son linealrnenrc indeperrdlerucs y expresa elvector It = (0, 1) COJ'l.lO combinacion lineal de

dichos vectores.

3. ; .P a r a q u e valor de a So n l in e a lmc n re dependientes----} -) . ~

los vectores u = (2, -3), v = (---4, 6) y w = Ca, j l?

J usuflca la resp uesta,

4. Halla cl bariccntro del triangulo de vertices

A = (2,1), B= (4, -1) YC= (2,2).

5. Dados los puntos A = (2, .3) y B = (1, -2), hallatres punios, P, Q Y R, que dividan al seg-

mente CD cuarro partes iguales.

6. Sea n Io s punta.'; P = (3, I) Y Q = (-I,7) H alla el

punio rnedio del segmento PQ,

7. Cornprucba si los puntos A = (2. 31. B ee (, ), ,l) Y

C = (2, 1), estan alineados,

8. Halla las coordenadas de los puntas que clivi-

den en tres segrnentos iguales el segmento de

cxrrernos /I = (3, -=j) y B = (-3, 1J

9. Halla las coordenadas de los puntas que divi-

den en ires segmentos iguales el segrnento de

extremes .4 = (-5. II B = (4. 2)

10. Dado cl sistema d e r el er en c ia affn R = 10 , t ;, u:,1,dibu]a en el plano los puruos cuyas coordena-

das son A '= (1, 2), B = (-3, 1), C = (-2, -5) y

D = (2, -3).

11 . Las coordenadas de dos vertices consecutive

de un paralelogramo son z t >(1,0) Y B '" (0, 1).

Lascoordenadas del centro son M = (0, 0), Ha-

lla las coordenadas de las vertices C y D.

12 . Las coordenadas de los puntos meclios de los

lados de un trtangulo ABC, son M = 0, 0),

N = (0, 1) Y'P = (0, 0). Halla las coordenadas de

los vertices A, B Y C.

13. En un triangulo ABC, el barlcentro esG =0,2).- - - - - +

EI punto medio de BC es M = (2, 4), y eJ punta

- - - - " "

medio de AC es N= (3, 2). Halla las coordena-cbscleA,ByC.

14 . Si A = (0. If) Y B :0 (-2, 1) son dos pun lOS del

plano afin, 1 1 < 1 1 1 " las coordcnadas del vector que

determinan estes dos puntos, Calcula las COOf-

denadas del puma media de ese segrncnto.

15 . Dados los vertices A = (1, a), B = (3, 0) y

c"" (0, -5), deterrnina el valor de a para que

cl triangulo !lEC sea rectangulo en A.

16 . Calcula a y b IYU<l que v t = (2 - a + b. 1 + a)

sea perpendicular a L t = O. 0) y a -: = (2, l)_

17. Halla dos vectores perpendi culares al vector

It = (1,7).

18. Obten LLI1 vector perpendicular a los vectores

t t = (-1, 2") Y 7= (1, 0),

19 . Dos vcctores L t y V Son tales que Iit l = 10,

I v ~ 1= 10 y I J + 7 1 = 20. Halla cl angulo que for-

man ambos vectores.

2 0. Si se curnple la iguaklad it·1..t · ~-, -t

a') ,;Se puede asegurar qu v =w?

b) ;_Yque son Iguales las proycc .iones ortogo--t -} - +

nales de v y w sabre u?

c) ~Y]a de itsobre -: y ~?

,-t -t ~ -I --7 -t -t -).21. Si LI = (v . w) - l- (v· t ) • w, ~es scguro que U Y

1son perpendiculares?

22. ilJ1JeUe habcr dos vectores 1 1y -: j que cumplan 10

siguiente/

it) 1 1 · \ / = -3, I t f l = 1, 1 \ / 1 = 2

b) j l t l . 1 1 1 = I l t · ~

]ustifica la s respuestas.

23. Sean I L t l = 2 Y I ~ = 3·

a) Si ( 1 , V ) = 150°, determina 1a proyeccion 01'-

~ --ttogonal de u sobre v.

b) Si ( il, V ) = 225°, determina la proyecci6n 01"-

--i - >togonal de 11 sabre v.

24. Dados los vectores 1 1=(2. -3) y V = (-1, 2\

calcula:

a ) l 1 - l t

c'l,1·1

-7 -,b) 11 - V

-7 -t --7-7>d) (u - 3v) . (\-1 - V )

, 25. Halla un vector perpendicular ~1J= (J, 2) cuyomodulo sea 2,

I



26. Conresta razonadamentc: t

3_ ) ~Quc:~es una base ortonormal. ortogonal iy

norrnada?

b) i.QLl(~ condicion deben d~ curnplir dos reC[;1S

parol ser paralelas?c: ) Si do:' rectas son perpcndiculares, i.como

son sus vectores norrnaics? Haz un dibu]o,

d) tA que se llama normalizar? Normaliza el. -+vector u "" (3, .Lj).

27. Dado el triringulo .WC. donde ,! = (9. 12).

B '"' (25. 0) y C= (0. 0). calcu la la longirud de la

rnediana relatlva nl segmento Be y deduce, es-

tudiando sus angulos, de que clase c . " ,

28. Sea 13= 1 1 = (3, ,,-I),

h=<-8, 6 )1 :

a) Dernuestra que es una base del plano vectorial,

b) liaUa las coordenadas del vector 1 1 = (-2, " [ 1 i )

en esta base.

-- 1c) l.as coordenadas de 1Jn vector. v; son 0_ = -3 y

~= 2. i.De que vector se trn fa ?

d) "Son ortogonales ;7 y G '? Halla Unci base Ul1.0-

no rma I a partir de R

29. IIall~ la proyecci6n ortogoual de ;1'"'(I. 2) so-bre b=(-2,3).

30. Senala la rcspuesta verdadera:

EI prociucto escalar de dos vectorcs paralelos y

del misrno sentido es:

a) 0

-> - -} - -1- - -7b) a . b = Ia II h j

- - - 7 _ , - -1 - - - t

c) a . b =-I <L II b j

31. En una base orronorrnal los vectores iJ > y - : ; j tic-

nen las coordenadas (2. -3) y (5, '\.), respecuva-

mente, Calcula:a) Su producto cscalar,

b) El modulo de cada vector,

C) E1angulo que forman.

d) i.Cuanto debe ~aler X' para que ~ '"'[1, x) sea

ortonormal all?

32. Dados dos veclores!l = (3, -4) y \/ = (S. (' i) refe-

ridos a una base ononormal, calcula:

->- -1<I ) Producto escalar II.v,

b) M6clulo de ambos vectores,cl Angulo que lorman.

d) UlJ vector ell la rnisma dircccion y distinto. I ~t . .

sennc a que u y que sea urutarro.

33. Dados los vecrores lt= (2. '5 ) Y V ' " ' (S, 1), expre-sados en base ortonormal, ca lcula:

I a) Su producto cscalar,

• b) El modulo de cada vector

c) Un vector ortonorrnal a i 1.' - -t- -1

34. Dados los vectores LI =4, (j) y v = (3, -1), calcu-- , .

la las coordcnadas del vector W=no . 4) res pcc--> -- 1

to dt' 1<1base B =u, 'If I.

35. En una base ortonormal se iicnen los vectores

-t ,--1 h) J Ja = (2, ()) y h = (] 1 '13 ' Calcu :J:

a) Angulo que Forman_

I- , -- 1

)) Valor de .'\_.para que el vector); =0 . 7 ,4

ortogonal al vector d = - (-2, -3)-

36. Senala la opcion correcta y DZOI1<l tu fl-;'SPUCS[:J.

Sean ; - ) . = (-2, - 1 - ) Y~ = ( ~, _~).

"I!2() ' ' i 2 C 1

a) bes paralclo II1uene modulo 1.

b) Iies perpendicular a ty riene modulo 1,

c) T t riene modulo \ j f 2 0 .

37. Senala La opc:i6n correcta y razona ru respuesta.- -1 -,

Scan0=

(3, k J ) Y b=

(2, -1) dos vectores. El valorde ~l para que scan paralelos es:

a) k = 6 c) 1;;= 0

38. Conocklas las coordenadas de ires puntas; ~c6-

1110 puede averiguarsc, utiliza ndo las dista nebs

entre ellos, si forman lin Lriangulo' Aplicalo a

un ejernplo.

40 •.Sea 11 '"' lUI' "::!I UO,1 base tal que IJ, =1.

1 1 2 1 =S, Y ambos vecrores lorman un finguiu de

6(Y Culcula el producto escalar de los vcctorcs- ) - , . - - - } - - - ' ) - - - 7 ->u=.)ul-2ulyv=u1 lI2·

39. Coinprueba vectorial mente (ortogonalidad) y

metricamcnte (pOT distancias: si 1 0 . < . ; fmntos

A '" (-1. ::i). R = C O . ')1 Y c'" (J, 1) C o r m a n u ntriangulo recrangulo,

41. Calcula los numeros a Y !? rnles que e l l vector- 7 ' -tLI = t . a , 2) es ortogonal :;1 los vecrores v = (3, 1) y- - -7W = (3, b).

42. TTalb los cosenos directores del vector 1 1 .~::I-biendo que SLlS coordenadas respeclo de una ba-

se or(onOl'I1:1:11 SOil (-S. 12).



rSIOLUCIO~ES A Jj)S EJERCICIOS

EJERC IC IOS PR OPU EST OS

3.1. Vectores, Operaciones con vedores

4. 1 , " * 2, a EI R

-> -> -) 45. u =(1, 0), v = « i J.), uJ = (J., 1), Ll2 = 0, -]),-1'L13 = = (3, -2 )

3.2. Sistema de referencia en el plano

----* - - - - - * ~1. /lB = (-2, 'l ), BC'" (4·,nCD'"" (-2. -4),

_ _ _ _ , . . ~DA = (0, 2), AC= (2, 2)

2. SOil. respect: vamente, ! V I = ( 0 , ; ) . N = ( 1 , ~ ) ,

p = = {2. 2), Q = = < 1 . 1)Y R = = (2, 3).

3. (5. 2)

4. (3, -{'))

5. a ) Silo eSL:Jn . b) No 10 esran,

6.M = (~. 3 ) y l = (~,- _~

7 . ( 3 . : ~ ~ )

8. Punio mcdio de Ali: AI= (~, 2), Punta medio

de BC: N = ( - + , 6) Y punto medic de AC:

P = (0,1), baricenuo: C; = (0,3)

9. C = (5. -1) Y n = (1, -2)

3.3. Producto escalar de vectores

{j \ ! z2. 1~= ±:2' m =±T

3. Iu t i = . J 3

4. SLlperirneiro es 2m + S\Fi: los lades A8 yAc

midcn, ambos, m.

( )" )..arc cos {l-:J{4 = = 0,99613 41

6.a = b

_ _ _ _ , . . _ _ _ _ , . . ~ _ _ _ _ , . .8. Como AB = = cn, proy~AB =AS

CD

9. No 10 es ~, sl los c I mas,

11. a) In = 2 b') m ==-2

d) m = 0) Sin soluclon real

l.tt=1-~

2. ~ = = it- 'V '

3. P:lLI cualquier valor de C t.

(8 2)4. C = = 3' 3

( 7 7 ) ( 3 I ) ( '5 3 )p = - - Q = - ~ R = - --. 4 ' - + ' 2'2' 4':j

6. / 1 ; 1 =(1, -I)

7. No 10 cstan.

8. M - == (1, -3) Y N = (-1, -1)

9.M = ( - 2 , ~ ) y i = ( 1 , ~ )

11. C = (-1, 0), D '""(0, -1)

12.A = (1, -1),13'" (1, I), C = (-1, U

13.Jl = (7, 6), B ==( -3,2) y C= (-1, -_)

---7 ( 'S )4.AU = (-2, -3), M = 1-1, 2

15. a = = -5 ± - 1 3 32

16.a=-l.b=-3

17. (-7, 1) Y17,-1), pOI' ejcmplo

18. No existe ninguno salvo cl (0, 01.

19.0°

20. a) l i > puc-de ser distinto de ~,-1 -}

b) prov.,v = proyuw

-) -t 4c proY"u o ; t - pray, W

21.. Sf

• 24. a) 1 1 · 1 1 = 15

c)1·v'=s

b-+-+)lI'v=-"CJ

-+ -+ 4-tcl) ( LI - 3v) . (u -1/ ) = = 60



rSOLUCIO~ES A ~S EJERCICIOS

( 4 2 ) ( 4 2 )25. - " \ i r s 1 {5 0 - J 5 ' - . . ) 5

26. (;, ~)

27 M I' 25,. 1 • [.1 ec Lana =2tnangu 0 rectangu O.

-t28. b) u = (2, 1)

I) Sf B = { ( 2 . _ ! ) ( _ i . i ) }< . L., C ; 5 ' 5 ' '5

-:t ( ?- o ·) v = -~), )

29. pro t=( - 6 , _ 2 _ _ );:; 13 13

30. Es b) , ya que cos 0 '" = J .

31. a) J · 1=-2

b) I t I =m. 1 \ 1 1 = ffi

c) (J. = arc cos ( _ _ _ l _ ). . J 5 3 3

?

d) x = - = -- 3

- t - t32. a) u ·v=-9

- - ) 1 . - } . ~b) III = 5, [v I = 1161

c) a = cite em' (_~)

. ) 6 1

- t ( 3 4 )Jw= - ~' ) ' - s

33. a r u > · 1 / " " , 11

b) Ij l = \ 1 z 9 , 111= flO

- t ( 'S 2 )c) w = m' - -fi9

--)

34. w =0, 2)

- - ) - t

35. a) (a, b) = 60° b) _l_2

-)

3 6 . ; 1 " ) Ilene la misma direccion y I b I = 1.

37. EI aparraclo b).

38. Si la suma de las dos distanclas rnenores es

mayor que la tercera, forman uri triarigulo.

--) -+40..u - v = -33

-I

41 a " " ' _ _ _ _ : : ' _ h=l. 3 '

42..cos Ct = -5, cos P = 11;1 3 oJ



ECUACI6N DE LA RECTA

4.1. ECUACIONES DE LA RECTA

Vectorial: La cella ion que cia el ector de po: icion

de cada punto, X de la recta. r . que pasa porelPUflLO P =(xC) . Y o ) y riene como vector director U; es:

~ -7 ,~x = p + AU

Parametricas: El resultado de poner en coordenadas

los vectores de 1<1cuacion anterior:

r

o

.x - . ' C o Y - J 'u .Contisrua, Si se despeja el panirnerro l, qucda: -_- =--- U I * 0 y 112 oF 0

III u~

_>:"-XI1

Si se dan dOB PUl1l0S de ln recta. queda: -----"-. e ' Cl -.Yo

Y-Yo

)it -Yo

Pnnto-pendiemtes

Se llama pendiente de una recta ala iangenre del angulo que forma 1 < 1 recta con el semleje

positive cit: abscisas, incdido siempre en sentido contra rio al de las agujas de un reloj. [,;J

pendientc de una recta se suele dcriotar con la letra in = f& 0_.

Al 5ngulo a : se le llama incliuaci6n de la recta.

Si L 1 = CUl' u) cs el vector director de la rena, que forma un angulo u con el serniej positi-

S(!U C I. lI;tvo de abscisas, 511 pendientc cs: m = --- = -

cos a HI

Si se conoccn dos pumas de la recta, la pendiente cs:sell u Yl - Yo

In = --- = ---:::_::_

COS a :x 'J -.xo

Si s· conoce un punto, P = (Xl)' Yo) , y u n vecto r director, u '= e L l 1 . u1), despejando de la

• Explicita de la recta. Despejanrlo J' en la ecuacion forma punto-pendiente de 1<1ecta:

(y - Y o ) = III (x - ,'\;0) : : : : > y = mx - mxu + Y o : : : : > y = ' 1 1 1 . ' > . 7 + II

El nume ro II e.':>la ordenada en elorigen de hi recta.

• General= Despejando de la cella ion continua, se obtiene:

Queda: Ax + BV + C = 0, donde C A . B) = (uz - uj) es un vector normal a la recta.

• Canonicar Suponicndo que una recta pasa por los punios (a, 0) y (0, h) se obiiene la ecuacion

can6nica 0segmentaria de Ia recta:

.!!...+L=a b

I



E J E M P L O S

1. Halla las ecuactones pararnetricas de l~:recta que contiene al punto 1 1 " " " (3, -2) yes

paralela al vector 1 1 = (2, -5). Encuerrtsa tees puntos en la rnisma y averigua si los

puntos (-1,8) Y (4, 7) pertenecen a ella.

Rcsoluci6n

• Sustituyendo valores en las ecuaciones, ohrcnemos:

• Pam encontrur tres punios de Ia recta, ,~C' dan valores arhitrarios a A:

Sit, = 0 sc obuene d punto (3, -2)

Si A ~ 1 se obtiene el punto (5, -7)

Si A . = -J S obtiene el punto 1, 3)

• Si los puntos (-1, 8) Y (lL 7) pcrtenecen a I~Irecta. debe cxistir lin valor de A que vcrifi-que arnbas ecuacioncs pararnetricas.

- En el punto (-J, 8):

-1 = . 3 + 2), ~ I,. =- -2

8 = -2 - SA ~ A . 0 -2

Como se obtiene el rnisrno valor de A en ambas ecuaciones, el punta (-1, 8) pertcne-

ce a le t recta,

En el punta (4, 7}

q = 3 + 2 " A : :: :: :; :.~ . = _l

2

7 = -2 - 5A ::?A =_95

Como no se obtiene d misrno valor de /, en arnbas ccuacioncs, el punio (4, 7)-no per-

reriece a la recta,

2. Halla las ecuaciones parametricas de Ia recta que pasa por los puntos P '" (~l, 2) Y

Q = - (3. -1).

Resoluci6n

-+EI vector director es: it = PQ ~ [3 - (-1), -J - 2J = (4, -3)

La recta pedida es la que pasa por el puma P = = (-1. 2) Y tiene como vector director

t t = (~L-3):

{

X = -1 + 4A.r=J' = 2 - 3),.

3. Halla Ia ecuacion continua de la recta que pasa pOI' cl punto P = (1, 2) Y delle Ia~

direcci6n del vector lf1Nsiendo M = (0, 1) y N = (-3, 2).

Resoluci6n

-+ -+

• La s coordena das de 1vector NIN son. MN ~ (-3 - 0, 2 - 1) = (-3. 1)

" :\'-1 ),-2• La ecuacion conrinua Ie la rectue5: -- = - --

- 3 1 .



4. Halla la ecuaci6n continua de L a recta qne pasa por P = (-3, 1) Y cuyovector direc--)

tor es u = (0, 3),

Rcsoluci6n

No es correcto el uso de ln ecuacion continua, pues una de las coordcnadas de iJ > es nula;

en esre case C~ rnejor usar Ia pararrtetrica 0 ln explicita.

x + 3 = 0

5. Halla Ia ecuaclon de la recta que pasa pOl' el punto (3, -1) Y tiene una Inclirracforr

de4Y.

Resol LIci6n

COll1\J la pendienre es la rangentecle 1:1Incllulcacion con rcspecro al eie de abscisas:

1/1 ='R -l'i" = I

La ecuacion en fOrT1lD punto-pendiente es:

y - (-ll '" H.x- 3)

Operando queda:

; \ . - . 1 ' -.J: = 0

6. Calcula Iapendlente y laordenada en el origen de la recta 2x - 3)1+ 5 = o.

lksoluci6n

Despeiando, para obrener la xuucion en forma explicita:

Idenrificando valores.

?• La pendiente cs m = .z,

3

'S• La ordcnada en el origcn cs II= -.

:- \

7, Halla las ecuaciones parametricas, continua, punro-pendiente, explicita ygeneral de-7

la recta (lue contiene al punto P = (3, -2) Yes paralela a1 vector u =(1, -3). Calcula

su peridtente y S1.I ordenada ell. el origen.

HCQoluc..:i(in

• Purarnerricas:

{:\.= 3+ A

r = = ),1 = - 2 - :9.

• Continua:

,).'- 3 = Y + 2

J -,3

• Puruo-pcndierue:

r + .2 = -:J(.x - 3)

• t:cLlaci()n general:

5x + ,1 1 -7 =0

• Ecuacion explicita:

y = -: ' l.x + 7

• La pendienre de Ia rc ta es III = -3,

• La ordenada en el origen es II=7.

I



8. Halla las restantes ecuaciones de una recta cuya ecuacion explicita es y = 3x - 2.

Resoluci6n;

• La ecuacion explicita nos cia 1 1 1 = 3 y elnJumo CO,-2), La ecua .ion punto-pendiente tis:

y + 2 = 3(x - 0)

• La ccuacion continua se obriene dividicndo entre . 3 ambos micmbros:

x = y+ 2

1 -'

• La" ecuaciones pararnetricas se obtienen igualando ambos miernbros a un pararnetro A . y

despejando ambas variables:

Jx = I e

1 { x ~ 0+ I e= > .

1.1 ' + 2 = A . Y = -2 + 3)"

3

• Pasando roclos los surnandos del segundo micrnbro al primero en la ecuacion expllcita, se

obtiene la ecuacion general,

-3.",· + y + 2 =0

9. Halla:

a) La ecuad6n purrto-pendiente de 13recta r, que pasa poc los ptmtos (3, 4) y (6,7).

b) Dos puntas de dicha recta. Indica si los puntos (-], 2) Y(2,3) pertenecen a r,

c) Un punto de dicha recta que tenga Ia abscisa Ignal a 5 y otto punto que tenga la

ordenada igual a 1-

Resolucion

a) Para hallar la ecuacion pumo-pendiente, se calcula la pendiente:

Y -l! 7 ,\rJ/=-10=_-_·_=1

.xl-xO 6-3

Nos piclen la recta que pasa por el punta (6,7) y uene de pendiente L I'm tanto, Ia ecua-

cion es:

y - 7 = l(;\" - 6)

b) Para obtener dos puntos de la recta, se Ian vaiores cualesqui ra a ;i( en Ia ecuacicin

anterior.

Si x ~ 0 se obtiene el punta (0, n

Si x'" 1 se obtiene el punto (1, 2),

Para saber si (-J, 2) pertenece a r, se sustiuryen las coordenadas del punto en su ecuacion:

2 - 7 '" 1(-] - 6) ~ -5 * -7 ~ (-1, 2 i ~ r

Opernrnos c i t : ' la misrna forma can (2, 3)

3 - 7 =1(2 - 6) = = > -4 = -1 ~ (2. 3) E r

c} Para hallar un punto que tcnga de abscisa 5, se susuuiyc este valor en la ecuacion anterior:

y - 7 .. l("j - 6 ) =:> . y - 7 = -1 => Y .. -1 + 7 = 6

E1 PlIJ1to buscado es (5, 6)

Para hallar un punto que tenga de ordenada 11 se sustiruye este valor En la ecuaci6n

anterior:

1 - 7 '" l(x - 6) ~ -6 =x - 6 ~ x '" -ti + 6 = 0

Por tanto, cl punto buscado es (0, 1 i,



10. Dihuja Ias rectas de ecuacionesi

){x ~ 2 - 3 / . .

a l' = - •y =1+ ').

b) s = = 2x - 3J! + 5 = 0x-2 Y + 1

c) t=-- =--. 3 -2

Resolucion

< I) Para /" = 0, se obticnc el punro A = (2, l).

Para ), = 1, se obtiene el punto 8~ (-1,2).

')b) Para x = {, se obtiene l'= -, es decir,

. 3

el punto C = (0, ~).

Para y = 0, sc obtiene : x = - ~; es clecir,

el punio 0 = ( ;, 0 ) .

c) Para x =2, se obtiene _ )I = -J, es dccir,

el punto E = (2, -.1 ),

Para y"" -3. se obtiene x =5, E's decir, el

punto F = (5, -;3).

EJERC IC IOS PROPUESTOS,

1. l Ialla la ecuacion de la recta que pasa pOl' el

PUIlf,O P = (3, 5) Y ell yo vector director es

u > = (2. -4):

a) En forma vectorial.

b) En Forma pararnerrica.

c) En forma continua,

d) En forma general.

e) En l "onn3 explicita.

f) En forma segmentaria.

2. Halla la pendiente y la ordenada en el origen de

la Tecta 3x + 2)1 - 6 ca 0.

3. ;,Cu{tl es la pendienle de la recta que pasa par

los puntos A'" (3, 1) y B '" (2, 4)?

4. C~~ula la ecua cion de las rectas que pa san pOI

la interscccion de:

r. 2,:'\' + Y - 3 = 0 y s::'( +y + ~ = 0

-1 o 1 2 3

2 31

2

t] '5 6

-2

- 3

5. Escribe las ecuaciones pararnetncas, conti nua,

general y explicita de una recta que pasa par el

punro A =(2. -.fl V uene de vector direccion-t ~ . .v =h,-2J.

6. Ca lcula la ecuacion de Ia recta. r, g lie pasa par

A = (2, -1) y B = (4-, 5) en sus Iorrnas:

a) Parametrica

d) General

b) Continua

e) Canonica

c) Explfcitn

7. Una recta pasa por el puma ..-1= C - 1. 3 ) y ticne

el vector director t= (2. , 5). Halla 1<1ecuacion

de dicha recta de todas las forrnas posibles,

8 . Halla un vector director de la recta 2:x-+ 3y - ') = 0,

9. Deterrnina la pendienie y la ordenada en el or i-

gen de Ia recta 2 : ' 1 : + )!- 5 = O.

10. Halla la ecuacion de 1£1recta que pas a par el

punio A = {5, 2) Y ilene de pendlente m = 3.

, 11. Tlalla 18abscisa y 18 ordenada en el origen de 13

recta 2 0 X - 4y + - 4 = 0 .



Secantes: Cas recras SI:! cortan en LID punta.

4.2. POSICION RELATIVA DE DOS RECTAS

Dadas dos reetas, r y s, las posiciones que pUL'de~ t ner una

respecto a la otra son:

Paralelas. Las rectas son distinias y no se conan en ningLin •

punta.

r

-------- ---,<;-.

Coincidentes: Las rcctas son igualcs.I"

o ECllJacionesdodos en forma explicito

Sean las rectas de ecuaciones I~ _l' = nix + II, Y s: y' = mix + n'.

• r y 0; so n c oin cid en te s si m = 1 1 1 I Y n =7 1 . ' .

• I" Y S SOil pa r a l e l a s r n o coincidentes si m = /11' Y n - : t - n '.

r y s son secantes si m * in'.

Si dos rectos, r y s, se cortan en ~l11punlo, esre ha de verilicar SLlSecuacioncs. Calcular J e t Inter-

seccion de r y s consistc en resolver cl sistema formado por las dos eeuaciones de las n..:.cl;ls.

ilEcuaciones dodos en forma general

Sean las rectas de ecuaciones r. A.T +Bv + C = 0 y s: A (."It' + B'y + C ,= - O.

r Y s sun coincidentes si !! _ = .!!_ = s : . . . . . .

A' [1' C'

r )' s son paralelas Y. no coincidcnies si .:i. = Ii= F £./I' fj' c

• r y s son secantes si ! !_: ; ! : ! }_.A' B'

E J Haz de rectas secantes

Todas las rectus que pasanpor un punto deJplano forman un haz de rectas secantes, En tal

casu. la ecuacion del haz de rectas viene deterrninada pi)!' dos rectas del haz y Ul1 panlmetro.

I, que :-;eg(in varia dctermina 13<;rectas del haz:

.IL' + 13) ' + C + 1(A IX + B~)' + C') = 0

rJ Hez de rectos paralelas

Todas las rcctas que son paralela: a una dada, forman un haz de rectas paralelas de ccuu-

cion .Ax + ~J' + K = 0 que deterrnina las rcctas d ell h :I Z segun V;H\a K

EJEMPLOS

1. Halla el punto de Interseccion de las rectas 1": 2x + 3y + 3 = 0 y S!.:t' + 2y - 2 '" O.

Hesoluci6n

Se resuelve el sistema de ccuarlones:J2.x+3y+3=D

lx+2y-2=Ocuya solucion es el punro P = (-J 2, 7).



2. Calcula el purrto de Interseccion, de la recta r: { x = I + 2t con Ia recta s, sabien-y =-2-31

do que esta ultima pasa por los puntos (3,3) y (5, -3).

Resollici()11

Dcspejando I en las ecuaciones de r e igualando valores, obtencmos:

.:'17-1 ),+2 2 -,? . C) 2 -) ) 0-- = ---- ~ -~IX ;) - ~ )' - '1 =, ~.)."( + -V + =2 -3 . .

La recta s p~lsa por (3, 3) y tiene como vector director 2. -61. luego su ecuacion es:

.'\.- 3 J' - 3.,~ = ~ ~ 6x - 18 + ~I' - (')= 0 ~ JX + Y - 12 = 0

Para hallar Ia lnierseccion, se resuelve el si: tema:

{

3X+2Y+ 1=0

3.\'+ y-12=O

cuva solucion es el punto P = (~11. -1.3).

3. Halla la ecuacion de la recta que contiene al punto (3, 5) y es paralela at L1.recta

2x + 3)' - 2 = o.

Resolucion

2La pendiente de la recta dada ex: IY I = -

3

La ccuacion punto-pendienie es: J ' - 5 = - 2 (x - 3)3

EJERC IC IOS PROPUESTOS'

I. Dudas las rectas:

r, ax + 2 . ' ) ' + .}=

0 y. 1 ' :

l O , , , ( , + hy - 2=

0

deterrninu ct y b para que se corren en (2, 3).

5,. ~Cll5l es 13 posicion rclativa de las rectas:

r: 3.x + 2 .l' - 19 = 0 y .5: 5x +).- 20 = 0'

6. Un haz de rectas tiene como rectas base:

2. 11al1;1 la ecuacion de 13 recta qu e pasa por (1, 0 )

x-2 )1+4y l'S parnlela a b recta -.~- =-y-_

r: y - x = 0 y s: y = 3 :1 ' - 1

Encuerura la re ta del haz que pasa por el pun-

to p= 0, 3)

3. ;.Qlle recta pasil IX)!' (4. -1) y es paralela a 1a bi-

sectriz del primer y eI tercer cuadrante? 7. Calcula el haz de rectas que pasa por el punto

p = (1. 2),

4. H : . 1 1 1 : 1 el valor de k para que las rectas:

r: 3x + 2)' = S Y s: 6X"+ ~')i = 7

sean paralelas,

: 8. H alla eJ ha l'. de rectas paralelas a lu recta:

.x-l=O

I



1):11.1 calcular el angulo, se utilizan sus vecrores dlrecto-

res, ~y V; mediante el coseno del angulo que Forman:' r

4.3. ANGULOS

o Angu lo de dos rectos

Se Ilarnaangulo de dos rectas al rncnor de los angulos que forman ambas.

Otra forma de hallar eI angulo entre dos rectas es restando

los angulos que forman con la horizontal, o. Y ~: asi, obie-

nernos ~ = a - / 3 . Para realizar este procedimlento, utiliza-

LllOS las pendientes:

m = tg a y m' = f! , / 3

. If) a~tu f'!Ig~=t;r;;(a-~)= ,., ,..,fJ

1 + tg e. ' Ig ~

m ~ rn'

l+rn ' I11 '

Como al cotta rse dos recras se forman dos angulo.'i distintos )' suplernentarios, se consider»

que el ;jugula de las rectas es el agudo; adernas, se toma el valor absolute:

t h I 1I1-m' I A .. I I 111-111' I) (I' = ~ 'r =CIJ go 1 + m ' m' I + tn . 1 1 / /

a R ectos perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si 021producio esc-alar de sus vecrores directorcs es aula:

1 1 · y\, 0

Dos rectas son perpendiculares si: cl producto de sus pendlentes es -1

rrt > m'= -1:::> m r= -1tn

El R ectos para lela s

Para calcularlo, se dcteruuna la ccuaci6n perpendi-

cular a r que pasa par P y se halla el punta de

corte de esra recta y r.

J'

Dos rectas son paralelas si Sl,,15 vectores direciores son proporcionales:

• Dos rectas son paralelas si sus pendienres SOil iguales y no tienen puntos en c mnln:

tn= 11/ '

D Proyecci6n orfoqonol de un p un ta sa br e u na rec ta

La pcoyeccion ortogonal de un punto, P, sobre

una recta, 1- . es el pie de la perpendicular rraza la a

la recta desde cl punto P.



D Punta simetrice de uno dado respecto a una recta

EI punto simetrico de uno dado. P, respecto de

una recta. r, es el plmto sirnetrico respccio de Ia

proycccion del punto P sohre La recta,

Se dctcrrnina el punro de corte, R, de lu perpendi-

cular y la recta. A continuaclon, el problema se redu-

ce: 3 hallar el Pl1J'1to simctrico del punta P respectode R.

EJEMPlOS

1. Halla el angulo que forman Ias rectas.

r

Hesolucion

r i 2 .'t ' - 3y + 5 '" 0 y s: X + 4y - 2 '" 0

La pendiente de?

r es 11 1 = - = . . v,la pendiente de s cs: 5

2 1-+-3 4Ig l~ ". 1 /11 _ m i l =

C J + m- in '

"Sl pues (h = arc to ( 2 1 ) = 4iO :2)1rx; , f ' .- ; 10 - .J_

m'=~,q

por taruo:

2. Halla]a ecuacion de fa recta que contiene al punto P = (2, 4) y forma un angulo de

45° con Ja recta de ecuaci6n r: 2x + 5)1 - 3 = o .

Resoluci6n

')

La pendiente de la recta r es m= - - = - - . por tanto:5 '

2 ,_-- In

'3

1

-2 - 51171

1

5-2m'1--11/'

')

Como puede tomar dos valores:

-2 - '5 ill' _ . ,_ , , 71 = :::;> ') - Lm .; -2 - 'rm => m =--

5 - 2 1 n ' 3

-1-2 - ')/11'

5 - 2 1 ' 1 ' 1 , '

)1- )-1,3~ _17Z - -, = -_ - ')111 ~ m = -

. 7

Las solucioncs son las recta. '>:

7s: 11-4 =--(x- 2)

. 3

1: )' - ·1 =.l:c - 2). 7

- -4 -2 8

2x + 'Jy - 3 = 0



Resoluci6n,

Se halla la pendientc de la recta r:

i

j ')

/1l = - - = - =0 -21

3. Dados 1a recta r: 2x + J! - 3 = 0 y el punto (3, 5), Iialla la ecuaci6n de 1a recta que

contiene al punto y es perpendicular a r..

Para que las rectas sean perpendicularcs, fie lien' que cumplir lo siguienre:

1 1ill - 1 1 7

1=-1 ~ m'=-- =-

m 2

Conocidos un punta y la p nclienre de la recta, st' 11'111au ecuacion punto-pendiente:

l'- 5 =j_ ( .'1 C - 3)·2'

4. Halla Ia proyecci6n del punto P = (2, 3) sobre Iarecta t· definida por los puntos

A = (1, -3) y B = (-2, -4).

Resoluci6n

In-- -4 +.3 =_1Se halla la pendiente de la recta:

-2-1 3

La ecua ion punto-pendicnre cs:

I' + 3 = ~ C ;. : ·- 1 ) ; ; : : } : - > y + 9 = x - 1'._p

\~/B,

,

~PI

->~

Se .halla la recta s pcrpendiculcll-;I r por d

PU11l0 P = (2, 3 " > :

m' =_l_ = -_)

m

Su ecuacion punro-pendientc es: y - j = -3 (.Y - 2) :::;,-Y - 3 = -3.'\" + 6

Se resuelve el sistema lorruado par las ecuacioncs de ambas rectus:

{:J)'+9= x-J

y - .3 =-3.'( + 6

b solucion del sistema cs pi = ( 3 , 7 _ ~ )10' 10

5. Halla el strnetrfco del punto P = (1, 2) respecto de 1a recta ).: 2x +y - 1 = O.

Resoluci6n

Si pasa pOT' el punta F = (1, 2):

J-2-2+k=O:::::}k=3

Para calcular la perpendicular a r que pasa por

el punta P, utillzarnos una recta de la forma

. \ - 2 .1 ' + k = O .

La eCll<lC16D es:

).'-2),+:3=-0s

Se resuelve cl sistema formaclo par las ecuaci nes de amhas rectas:

f 2 . ' 1 : " + Y ' - 1 = (J

' t . ' \ : - 2.) ' + 3 = 0

La solution del sistema es: R = - _ ! _ 1 . ), -") , ')



Sf Q tienc de coordenadas (a, b), se babr::i d ~ verificar, por ser R el P11J1l0 111edio:

POI" 10 tanto, cl punto pedicle cs:

S ~ (- ~ , ~ )

6. Dos vertices opuestos de IUl cuadrado son los puntos A =0 (3., 5) y c= (~2"4). Halla

los otros dos vertices,

Iksoluci6n

Los lados AB Y AD lCSt..:1I1 sobre las rectas que conriencn

:11punto 11 y Iorrnun con 1" recta AC angulos de 45°,

La pendiente de AC es:

A~----------------~B

M

-1~ 5 1111=--=

. -2 -.) -)

Arnbas pendicntes verifican 10 ~ib"uient-':

J = I f ! , 45° =

1--m'-) ' " 1 1 _ - 1 / 1 t ' j

~ + m' o1+-m

5

Escrihirnos 101e rpreslon sin valores absolutes. dando Lugar a dos ecuaciones:

1 - 5 1 1 1 ' - '1 -, , -1= = > ') + In '" - -'/17 => III =--

') +m' 3

1 1- Sm' - I 1 - I I j- = ::::;> -, - m = - »rn =? m = -

5+1/1 ' 2

LiIS ecuaciones de las dos rectas, riB y AD, son, respect ivarnente:

]

) ) - '1 = -.::.. ( .: t; - 3). 3

)' - ') = l (x - 3), 2

Los vcrtloes 13 y D equldistan de Aye, por 10 que se encueruran en Sli mcdiatriz. La pen-

diente de esta e

I I ~In ~ -lr=-)

.j

El punto rnedio de AC es.

( 3 - 2 _ '5 + 4 ) = ( _ 2 _ 2 )2' 2 2' 2 I

Con la pcndiente y el punto rnedio hallamos la ecuacion de la mcdiutriz:

9 c ( 1 ) - -' - - ~~J X - -:- =?)I =-j.Y+ I. _ 2' •

Resolviendo los sistemas, se obtiencn las coordcnadas de los orros dos vertices:

{y = -)X + 7 ~ B =(0, 7)

3y - 15 '" -.6.: + 6

J y '" - ' 5 . e x : + 7

1=?D=(l,D

. 2y - 10 = :kc + 9



7. Halla la ecuackin de Ia recta r que _pa..,apor lamterseccion de las rectas s: 3x - y - 9 =0

y I: x- 3 =0 formando un angulo de 4S"'con L a recta U: X + 5y- 6 = o.

Resoluci6n

• El punto de corte de las rectas s y 1 se halla resolvicndo el sistema forrnado por SU.~

ecuaciones:

{3X-Y-~ = 0 ~ {x -:)=0 X

9-y-9=O~y=C)

'" 3

EJ punta es P = (3, 0),

T . . , j" . .'( 6 - I_ j• .;1 recta u nene como ecuacion exp icua )' = --::- + ~. 'lS1 pues, su pent ente es:

') ")

1In=--

'5

• Como forma un ~lllgulo de 45° con la recta pedida, la pendiente. In, de r verifica,

1m+-

5tg 4 = ; o =)

11--m

5

Elirninarnos el valor absolute dando Iugar ados ccuaciones:

mI. 6m 4 2a) 1- - = m + - =;> -- = - =;> III = -

5 '5 5 5 3

")

La recta r tiene pendierue 3 y pa,%1por cl punta P = (3. 0). Su ecuucion punro-

pendiente es:

y - 0 =~(;:\,' 3) ~. 2x - 3y - 6 =0

es la ecuaci6n de la recta pedida

In 1 4m 6 3b) 1--=-/11 - - ~ --- = -;;;;;> m =--

"j S 5 5 2

EJERCICIOS PROPUESTOS

La recta r Ilene pendienre _1. y pasa par el punta P = e E l , OJ. Su ecuacion punro-2

pendierue es:

I' - 0 .,_- ~ e x - 3) ~ 3 , X ' + 2)' - 9 = 0

1. Halla el angulo que forman la.. recras.r:x-y+l=O y S~:i;+y=O

2. Halla 1<1ecuacion de la recta que contiene al

punta P = (l, 2) Y Forma COil la recta de ecua-

cicl1l r. 2'lC + 5y - 3 = () un a n gu lo de (j0 ".

3. HaJIa la ecuacion de la recta que ontiene al

pun to P = 0, I) Y cs perpendicul ar a la rectar. x + y -1= O .

4. Halla 1 : , 1 proyeccion del punto P = (2. 2) sobr

Larecta definida pOl' los puntas Q '" (I, -2) Y

=(-2, -4).

5. Halla el slmetrico del punto P = 0, 1) respecto

de la recta r, x +y - 1= 0.

6. Dos vertices opuestos de un cuadrado son lospuntos A = (3.3) y C = 12,4). Halla lOR otrosdos,

7. Halla la ecuacion d Ia recta que pasa por lu in-

terseccion de 3.x - J ' - 3 = 0 y x - :2 = 0 for-

rnando un angulo de ,j'50 con x +y - 6 = O.

8. Halla el valor de k para que la s rectas r 2:x'-

Sy-17 = 0 'l s. }Y-kJ'-8 = 0 se corten for-

rnando un :logulo de 450.

9. T-1<:1l1aas ecuaciones de las rectus que pasan pOI

el pUl1LO P = (-3. 0) y forman con la recta de

ecuacion r: 3x - ">j ' + 9 =U un angulo (I., ta l que

to a = _ ! _,... 3'



4.4. D ISTANC lA S

o Distancia entre dos puntos

La distancla erurc dos punros, A y B, es el modu-

lo del vector de origen A y f l n a l B:

e Distonciu de un punta, a una recta

La distancia de un punro, P=.> ' :0 ' yul , a la recta que tiene por ecuacion general r: A"X'+By + C = 0,

es la exlstcnte entre el punto P y el pie de la perpendicular truzada desde P hasta r y vie-

nc dada pOf:

~ Distancio entre d05 rectos

La distancia entre dos recras es la disiancia minirna exisrente entre clos puntos, uno de cada

recta:

Secantes, Como Las rectas se conan en tin punto, la dlstancia ntre ellas es cero.

Paralelas, La disrancia minima existente entre lin punto de b primera y Sll proyeccion en la

segunda rena .

• Coinctdentes. Las rCCL3S son iguales, l a d i sr an c ia entre ellas PS c ~I'().

EJEMPLOS

1. Calcula Ia distancja entre los puntos P ca (2, -1) y Q = (3, 5).Resoluci6n

Sl:radmodulo del vector que los 11I1C;

d(P,Q)= "j(2-3)~+(-1-5).i = , , 1 1 2 + 6 2 = vI +36 =m

2. Calcula a para que 1a distancia entre los puntos P = (2, 7) y Q=(-5, a) sea 10.

R(';'~oluci6Jl-?-

El modulo del vector PQ debe valer 10:

I P Q I = -Y7 2 + (7 - a)2 = 10:::;:. 49 +-1:9 - 14a + al. = 1O0 =>

=> a2 - 14a - 2 = ()~ C I = 7 ± \/r;;}

3. Calcula la distancia del punto P = (5, -1) a la recta ,.: { x =1-2A.Y = -1

RCllolucion

Expresamos 1 < 1 recta en forma genera1. Despejando el pararnerro I e e igualando, se obtiene:

,:<:-1 Y I? ? 1 0-- = - => X - = -').I = > X - _}-' - =-2 -1 . .

1<1disrancia viene deterrninad a por la siguiente f()flllUla.

1 1 ' '5 + (-2)(-1)-11 1 6 1 6.J51d (P, r) = -'----;:===:::::::0-"':" ...- = ----=--<

" , . / 1 2 + (-2)~ -{5 5



4. Halla la distancia dlel punto (3, 4) a Ia recta de ecuad6n 2x - 3y + 8 =O.

RC: '$ohlCi6n

l'or aplicacion direcia de IH rC)flllula:

1 2 J 2 - f i 3m-~

t

f

x-I Y - 2 J x = - 1 +-t5. Dadas (as rectas r: _.-- = - - - y s' ) averigua Sl1 posfcion .relativa y

1 1 . ly=2-t'

halla la distancia entre elIas.

Resoluci6n

• Para averiguar la posicion de las rectas. cornpararnos sus vcctores directores li>= (L "I) Y

v - > = (1" -1). Como no son proporclonales, las rectas no son parulelas.

Sustituyenclo lin punto generico de s, '= (1 + I. 2 - n, en la ecuaclon de r obiene-

mas Ia interseccion ell: ambas:

(1 + r) - 1 = (2 _ /) - 2 = > I =-I=> t = 0

La intcrseccion es el puruo (1, 2)

• La disiancia entre las rectas es cera. puesto quese COn::lO en el punic U, 2).

6. Halla el area del triangulo curyos vertices son los puntos .A t = (3, 1), B = (2, 2) Y

a- (-2,-3).

Resoluci6n

Hallarnos la Iongitud de .t1B:

d(A, B) = ,](2 - 3)2 + (_ - 1).l = . r z

La altura, h, e . ' ; la distancia entre el verticc C y cl ladoAB. Ell primer lugar, se halla la ecuacion de la recta AB.

Su pendierue es:

~-1 11/'1 = --=-

2-3

Conocido In, calcularnos laecuacion punto-pendieruc.

_ v - 2 = -1 (x - 2) = > Y - 2 = -x + 2 ~ , ' J r . : + y - 4 = 0

La altura es: h = ace, J1B) = I ~~3 - -i l" ~2+11 ,,2

T IL area e.s: S = b' 1 1 = l_ . 12 . _ _ 2 _ _ = 2_ u22 2 -fi:2

c

7. Dos rectas de ecuaciones ax - Y = 4, x - y =-b son pcrpcndiculares entre si y cor-

tan al eje de abscisas en dos puntos que distan 5 unidades. Halla a y b.

TIesoluci6n

Como 1:1<>ectas son perpendiculares, iambien 10 SOl.) SLlS

vcctores caracterisucos (u, -1) y 0, -1), siendo nulo su

producto:

(at -1) . (1. = l ) = 0 = > a + 1 = 0 ~ a = -1

Qucdan las € .uaciones.

r = = -x- J' '" 4 y s = = . : I e - Y 0 -b

x

r s



Hallarnos el punto de corte con el ejc de ahs bas de la primera recta. Como la ecuaclon de

dicho eje eo; J' = 0, resc lvemos el sistema.

J V = ()

l.,~-."(l=4 ~ .Y = -4

-x-: y = ~I

EI punto de corte cs P = (--j., O).

De Ia m isrn a r'Onn;l, reso lvcmos: ~ y = () => -c: - 0 = - 1 7 =? .x ;= bLx-y=-h

EI punto de COrle cs Q = (-h, 0).

Nos dicen que:

{-4+b=S __ f h = c

dIP, Q) =5 = > {(-j + h)l. + ()2 = > (_ :, + /J)2 = 2i :::::;. -.'4 - b = ") 1b =-1

Por tanto, lus posibl s soluciones son:

1 -1 = -1. b = - ]

i/=-l, u = 9

8. Lospuntos A(l, -3) y Be2, 1) son los vertices de un trtangulo, que tieue el tercer

vertlce, c; en Ia recta ,,¥ +JI + 3 = O. Calcula las coordenada .. de C sabiendo que el

area del triangulo es de 6 u 2•

1-\csolllCi6nx+y+3=O

Hallurnos primero cl valor de la altura . El {[rca de

Ll n tri . 1 11~;,':\.10 es:

Hemos calculado el valor de la base hallando cl---+

modu10 del vector AB:

h = I 7 t h I = 'H z - r)2 + Cl + 3)2 = · F i 7 A =O.-"-,3,.,..)---j---~

CI)1110cl punro C =(", y) pertcnece a la recta x + y + 3 = n, lendra C01110 valor, clespe-

jandu y, y = - :! ;. : - 3, es decir, M:T{1 el punto C = (x, -)." - 3).

La recta que pasa por los punros A y B tiene como ecuaclon:

.'\'-1 )'+3r: -- = -- ~ 4 .' \" - )1 - 7 = 0

1 -I .

La altura sera igual a Ia disiancia del punto C a la recta 1':

TJeC, r) =I Axo + }~)I() + C I

-JA 2 + Bl= 1 4 . : ; . : - 1 ( - 3 - x) - 7 1 = 1 S o X - 4 1

'~42 + (-1)2

"./17

Igualurnos el valor obten ido a b '/ queda: _~ = I "i~ 4 1\117 17

Teniendo en cuenta que la expresion anterior, pOl' ser un valor absolute. cia lugar a dos

eel] ac ioncs:

12 = 5.x ~ q => S.x;=16 => x : = ~1

-12 = 5x - 4~ 5x = -8 = > x = _85

Asl pues. las ccordenadas del puma son:

c = e : - ~ J )



2x+))-1)=Q

<->:- - -= ex, l":i - 2.x )

9. nos puntos, A (-2, -4) y BC4,-4), son los vertices de un trhingulo isosceles qne

tiene el tercer vertice, C, en la recta 2'x;t- y -15 =O. Calcula las courderiadas de C

sabiendo que CA y C'B son los Iadosjiguales. Halla S1.1 area.

tResoluci6n

Como cl punta C = ex , y) pertenece a la recta 2x + y - 1') = 0, rendra COIII0 valor de abs-

elsa y = 15 - 2.'(. es decir, ~en'i cl punto e l i : , L5 -.2-'\),

Como cs on tfi<lngulc) Isosceles, los rnodulos de ell y

de cn han de ser if, '1Jales. ABf pLlCS, igualamos y ele-

\i~HnOS al cuudrado:

tos Iados ell y CB tienen C011l0 longirud:

Qucda la ecuacion:

12x = 12 = > .Y = 1, )' = 1')- 2x '" 15 - 2 = 13

EI punto es C = (1, 13)

.4= (-2, -.J)

La recta forrnada al prolongar 1 , 1 base cs la siguiente.

x+2 y+ctr: -6- =-0-=> J' + 1'"0

La a ltu ra es 1<1d ista n cia d esde L 'I punto Cab recta r:

D(C, r) = = 1 1 . 13 + 4 1 = 17_ r : : : ;-Y1~

1 . " ' 1 : : ( ' 0 + Byo + C I

..JA2+Bl

LI base es Ia distancia de A hasta B. cs decir

b = d{A, R) = - Y e t [ + _)2 + O Z = 6

TIl area del triangulo cs:

EJERCIC IOS PROPUESTOS

1. Calcula 13 disrancia entre los pUnIC)S A =(5, "I)

Y B ~ (2 , 8),

2. La disrancia entre eI punt:o pel. 2) y 0[1'0, Q,

que pcrienece al eje de abscisas, es 1_ Halla las

coordenadas de Q.

3. Calcula }~ para que la disiancia entre los punros

P "" (2 ,r .! ) y Q = (-5, 1) sea ,),

4. La distancia entre el PU11l0 J 1 (10, 6) Y orro, B,situado en e] eje de abscisas, es 10. Halla las co-

ordenadas del punta B_

5. Calcula la disl'a))ci,\ del punlo P = (3, 1) a la

x+1 =y+2recta r,

l Z

6. Calcula la distancia del punta P '" 0, 2) a la

recta r: 3.x - 2y - 2S = 0,

7. Calcula la distancta del punro P = (1, 3) a In

{

X = 1 + Irecta J': •

y=-l



E JE RC IC IO S PROPUESTOS

8. i .Gl lal es 13 listancia de P = (3. 2) a la recta

s. x +)' = O ?

9. Obtcn 1<1distancia entre las siguienLes rectus.

r : 2.'( + jy - 'i .. 0 s ~ 2 . \ " + 3y - 7 = ()

10. Calcula illdistarrcia entre las rectas 1": 4 .x - 2 y = = 1

Y s:x-y=O.

11, Calcula Ia dlstancia entre las siguientes rectas:

f .x = '1 + A f x = 2 + 30r: 1 y = -L s: l y = 2 - e

4 .5 . l UGARES G EOMETR IC OS

o Definicion

12. Dado el triangulo de verlices A = (0, 1), B = (7, 21

Y C = ('j, 5), halla 1£1ccuacion de 1 < 1 altura traza-

cia desde B y expresala de "Codaslas [ormas que

conozcas, iCm"into mide la altura del triangulo?

13. Halla el area del Lri{mgulo determinado pOl" los

vertices A =CO,-u, R = (2, Q) Y C~ (1,1).

14. Halla eJ area del triangulo deterrninado por d

punLO ('1, -.j) Y los punios de lruerseccion de 1< 1

recta que pasa por (-1, 3) y (1, '-I) con los eies

de coordenadas

15.Dos rectus de ecuaciones x- y = a Y x-/~j/ =-1,

son perpendiculares entre si y cor tan al eje de

ubscisas en dos puntas que: disran 3 urudades.

H;J)[u M Y I).

Se llama lugar geometrico at conjunto de puntos del plano que cumplen una dcterrninada

propiedad, Por ejempJo. una circunferencia es el coniunto de puntos del plano que equidistan

de Uno dado llarnado centro.

f) Medialriz de un s,egmento

Sc llama mediatriz de un segrnento AB, al lugar

gcornctrico formado par todos 10$ puntos qu~ equi-

dista 11 de los p u nLOS .A y B. La med L a rriz cs II na

recta perpendicular al segrnento AH que pasa pOl"

SL I [Junto rnedio, Nl. La condlrion que cumplcn sus

puntos es: dCP, A) ee dt]'. B)

D B iseetriz d e u n C in gu la

Se [lama bisectriz de los :'inguJos Iorrnados POl' dos

rectus, r y s, a] lugar geometrico de todos los

puntas q~le equidistan de ainbas rectas, £1 lugar ge-

ornctrico CSL~! i01"madc) por dos rectas perpendicula-

res entre sf. La condicion que curnplen sus puntas

es: d i .P. r) = - dt.P, s)

EJEMPLOS

.'

.4- -,- "

l'. ,

,... ..,.

.. ,.-,,ill] .i-> B

.'.-,

" "

p

1. Halla la mediatrlz del segmento que nne los puntas A = (1, 2) y B = (2.1).

Resoluci6n

p = ('C. y) sera un punto generico. que equidiste de ambos: Ohligando a que hi distancia

;l ambos puntos sea la misma, obtenemos:

C 'X ' - 1 )2. + (V - ~)l = x - 2 ) " : + (y - 1 }z

,') [2 _ Ix + 1 +.1'2 - 4 . ] ' + 4 - = xl - 4x + ' 4 + y2 - 2 y +

- 2 " 1 ' : " + I - < 1 1 ' + - 1 = -4..~ + 4 - 2v + 1 ~ 2:\" - 2J'~ 0 ~ x - v = 0. . . ~ ,

El Jugal' geomctrico pedido ~s la recta y '" - 'f.

I



Resoluci6n

los puntos que estan a igual disiancia de ambas rectas son:

2. Halla las ecuaciones de las bisectrices de losangulos que forman las rectas

r: x + y '"0 y s: X - Y = 0

I : ) ; " - ) '1

«;I · \ : +J' I ~ x - y = + .Y + Y ~ { x - y = - )C

+ JI = = ! > r x = 0

~ -Jl+j {1+1 x - y =-x - y t y = ()

El lugar gcometrico pedido son hlS rectas:

x= O e )'=0

3. Dados los puntos A =- (1, 1) y B"" (1, 2), halla edIugar geometrico de los puntos

que estan a igual distancla de ambos.

Re.<.;oluci6n

Un punto generico que equidiste de ambos SCI<l P = (x, _ ' ] I ) , Obligando a que la distancia

a "mhos puntos sea Lainisrna. obienemos:

(x - 1)2 + (y - 1)1 = (x - 1)2 + (y - 2)2

') 7

y- - 2)' + j = y- - 4y +4 : = : ; , 2y = 3

El Iugar geometrico pedido cs la recta.

y = 32 :

4. Halla e1lugar geometrico de todos los punros de la recta x =y que distan 1 de Ia

recta 2x - }I'"2.

Resolllci6n

La. ecuacioncs pararuetricas de la recta x =y son:

EI punto generico de esta recta cs O~,A). Como la distancia de est€: punta a la scgunda recta

cs 1, [enema.";

j2A, . A - 2 1 I A - 2 1]~---=

--J1+l - / 5

Obtenernos las ecuacioncs:

Llevando esios va lores ;J las ecuaciones parumcrricas de la re ta, obtencrnos el lugar geo-

rnetrico pedido:

{X=2+{5 { . Y = 2 - { 5y=2+,15 Y y=2-{5

Lassoluciones de los sistemas son 10.5puntas:

(2 + .,f5, 2 + \1'5) Y (2 - " I s , 2 - ~)



5. Halla el Iugar geometrico de los jmntos desde los que se ven A .. (5, 3) y B '" (7, 1)

bajo un angulo recto. iQue flgnra has obtenido?

He:;oluci6n

--+~ F = C'\ : ,y) es un punto que pertcncce a l lugar, los vecrores AP = ( ;y - S, ,li - 3) y

Bl? .. (x - 7. . J ' - .l) han de SCI' pcrpendicularcs .. su prcducto escalar ha de sor cero:

-> --+Ai'" BP" ():::;:> x - 5) . (.y - 7) + (1' - 3) . ( . 1 ' - II=()= > x2 - lLlC + Y) + )'2 - 4y + 3 =0

) ')

x- + .l t_ - 12.'\' - I _ ) I + 38 = [)

Esra ecuacion se puede escribir :Isf:

e x - 6)..! + (y - 2)'" = Z

Es UIl<1 circunferencia de centro C = (6, 2L que coincide con el punic medio del segmeruo

/tB, . de radio R = " V 2 , que es la distancia del centro a cuaiquiera de los punro .; A o B.

6. Deterrnina todos los puntos que equidistan de las rectas:

r:3x-4y-l=O y s:5x-12y=O

iQl1C figura representan?Resqlucion

Sea P" (x, y) un punio que equidista c J , / ' Y s. Tendremos:

d(P, r) = I .1,;('- "1)'- .I I. . . i 9 + 16

d(P, s) = j 5 X - 1 2 Y I- ,]2 5 ,- 1 44

Como ]0:-; [JUI1[()S equidistan de las dos rectus. igualarnos ambas distancias:

d t P, r) = d t . P , S} = > 3.\"-'])'-1 = + )x- 1 21 '

m -,]169

De donut;' obtenernos las dos ecuaciories:

59x - " ) 2 .1 ' - l3 = 25x - n O y ~ 14x - H _ t ' - 1 3 = ( J

39x - '52)' - U =-2'5:'\7 + 6 0 y : : : ; ; > 6 / 1 , : > ; - 1 12.1 ' - 13 = 0

Rcpresentan d.o; 'i rectas, que' son las bisectrice-. de los 1'il1gulos lormados por r y s.

1. lIalla la ecuacion lie la mediatriz del segmeruoIlmiiado par los PUnLOS ."1=(2. 1) Y B = (:S, 1).

2. Halla h l ecuacion del lugar gcometrico de los

puntas del plano que cquidistan de A = (1, 2)

y R = (3, "I).

3. Halla las ecuaciones de las blseclrices d 10s an-

gulas qu forman las rectas r. x +J' - 2 = 0 y

s. .'\.- J' + 4 ~ O .

4. Halla el Jugal' geometrico de los PlIrHClS tales

que la surna de los cuadrados de sus dlstancias

a rl= (-&I. OJ Y B = ((1, 0), sea una cantidad

constante igmll a " i e tz.

5. Halla el Iugar geometrico de los punros del pia-no tales que la diferencla ell' los cuadrados de

sus distancias < I dos puntos, "I = (0, 2) Y

B =<4 , OJ, sea 18 .

6. Uri segmenro AB tiene una longitud de 2 lI.

Halla el lugar gcometrico de los pun Los. 1-', del

plano tales que el area del tridngulo APE SC:I]a

unidad.

7. Halla el lugar gcometrico de !os PUDLOS desde los

que se yen A =0, 2) y B =0, 1) bajo Linangu-

1 0 recto. ;.Quc I igura f ( - rma dicho lugar;!f

~8. Halln cl lugar geornetrico de los puntos que e.~-

ran a igLial distancia de A = (1, 2) Y B = (0. 2}



1. Halla la ecuacion de Ia recta que pasu poj los

punios A = (3, 2) Y 8 = ( 1, -J ). '

2. Ohren 1<1ecuacion de Ia recta que pasa por el

punto (I. -2) Y ucne igual pcndienre que le t

n o rta -;J( + Y + 3 = o .

3. Hall;] la ecuacion de la recta que pasa par (3, I ) Y

forma un angulo de 30° con 1<1parte posit iva del

eje OX

4. Detcrrnina dos pumas que penenczcan ,, 1 la

recta:

' { x ; 2 + 3Ar'. y=l+A

5. Calcula hi ecuacion, en forma canonlca, de larecta deterrulnada por los PUllLOS A = (-5, 0) y

B = C O . 6 ) .

6. Halla 1 3 ecuncion de ia recta que pasa por

A =(-2, 1/3) Yque tiene igual pendiente que

la recta que pasa por los puntos P = (2, 1) Y

Q = (3, tl).

7. Sea la recta r : 2.'1"-.1' = o .

a) Halla una recta, s, perpendicular a r que

pase por cl pW1lO 1 1 = (2, 4)

b) Halla el punto de corte de s y el eje x.

c) C~Llula el aJ"e~1d I triangulo A OS sien 1 0

o el origen de coordenadas.

8. Sen la recta 1'~X = 3. IIalla el PUI1(O simetrico

de A =0, 4) respccto de r,

9. La ecuacion de la r eta r ell 2.x - y + 5 =o .

a) Calcula una recta, s, paralela a r que pase

par el punto A .. 0, 3).

b) Calcula una recta, I, perpendicular a r quepase par el punto B = (O, 3).

c) Halla la distancia del punto C=(0, 4) a Ia

recta r.

10 . Senala ia opcton correcta y razona I II respuesra:

La pcndiente de una recta, r, es m = 3. La

recta s cs perpendicular a .r . Su pendiente es:

. 1a) 111=-

3b) m "'-3

rc) / 1 " 1 =--

3

11 . Senala la opcion corrects y razona illrespuesta.La distancia entre A = (1,2) Y B = (3,41 es:

a 0 b) 4

12 . Deterruina la posicion de lcS siguienLes par ...:-;

de rectas:

a) 3.":\.·+ 5y + 6 = O, 6x + lOy -1 = 0

h) _ : r + . 1 ' - 3 = 0, -2.)( - 2)' + 6 = 0

_r)3x + 5)' - 7 = 0, 2.~·+ 3)' + 9 ,_ 0

d) 2x +Y - " 5 =O, y = -2:;.;: + 3

W3. t.Cll~nIO debe valer A? para que las recras

r. 2x - 3 . 1 ' + 4 = 0 Y s: ' ~ Y ;+ 6 .)' - 1 '" 0 sean

patalclas? ,Y para que sean secantcs?

14 . Halla 1£1ecuacion de la recta que pasa por el ori-

gen de coordenadas y ("Ii paralela :J la recta que

pasa por los punros A = (1, 2) Y B = (3, -0.

15. Calcula ('I haz de rectas que pasa por el puruo

de interscccion cl e las rectus r~x + y - 2 = 0 y

s: X + 5y + 1 = O .

16 . De todas las rectas del haz que pasan por el pun-

ta de lnterseccion de las rectas 1" : 2 . " . . + ~ )' - 2 . =0

y s: X + Sy + J = 0, deterrnina la que pasa par

el punto P =-1, -2).

17 . De todas las rectas paralelas a 2.x - y + .I = 0,

J terrnina cual es Ia que rasa por el puma

p = (-1, 2).

18 . Halla el valor de k para que las rectas

r: 2:)::- y = = 0 Y s, 3x - ky - 8 =0 lie corten for-

mando un angulo de 90".

19 . Halla el valor de I~ para que las rcctas

1": 2.x-.r = 0 y s: 3x -/~j! - 8 '" 0 se conen fa -

mando un 5ngulo de 0°.

20. Halla la eC1Juci611 de la recta que pasa ror el

punto P = (2 , 2) yes perpendicular :I III recta

r- y =-.x + 5.

21. HallaIa ccuacion de la recta que forma LU J a o -gulo de 45° con Ja recta r, y - .2 x "" 0 y que

pasa por el origen

22 . [-lalla la ecuacion de Ia recta perpendicular a l

segmenro dado por los puntos A =(2, 1) y

B; (6, -1), en su puruo rnedio. ;.C6mo se lla-

ma dlch a recta?

23 . Detcrrnina los puntos de iruerseccion de Ja rec-

La 2x - : : I y - 12 = 0 (on los e;eli de coordena-

das y cljbLijahl,

24. Determina cuaies de los puntos A = (3, t),

B= (-2,1), C=(-3,-3), D=(3,-1) Y F=(-2, 1),

estan situaclos en la recta 2x - 3)' - .: l = o .



EJERC IC IOS F INALES

25 . Detcrmina cl valor de k para que la recta

2:\" + I~)I - 7 = 0 pase por I pumo (3, 1).

26. La rena 3x + ny - 7 = 0 pasa par el punto

C3. 2) Y es pa ra lela a px + 2 . 1 ' = .l3.

C aicu la 12 Y p .

27. Dcterrnina In ecuacion de la recta paral ala al

vector t : t = (3, -2) que pasa POf el pUDLO de

lnterscccion de las rectas 1': 3x - 2y = 1 Y

s: y = lx-I.

2 8 . 1- I . •1I1a1 0 . ecuacion de la recta que pasa por el ori-

gen de coordcnadas y es paralelaa la recta que

pasa por los pumas A = (1. 2") Y B = (3, - 4J .

29. Determina la ecuacion de la recta que pasa por

(2, 3) yes:

a) Pamlela a I eje ox. b) Paralelu al eie OY.

37.0bten la ecuaclon de In recta que tiene la

misma ordenada en e] origen que la recta

2x - jy + 6 = 0 y es perpendicular al vector

it = (-1, -4),

38. Considera el triangulo ABC, rectangulo en B.

Sabiendo que Be uene pOl' ecua Ion

Zx + 7y - 11 = 0, calcula la ecuacion de la rec-

ta AR sabiendo que A =0, 11.

39. Halla las ecuaciones vectorial. pararnetricas.

continua Y general de la recta que pasa pOl" cl

punto A = (1, 3) y tiene el mismo vector de dl-

reccion que 1 3 recta y = J1X -7.

40. Consideramos el paralelogramo ABCD slendo

A = (1. 2), B = (-1, "i), C = 2, Ti. ~Cu:11es ( ; 1

p'Unro D r Calcula el area de ABCD.

41. Escribe la ecuacion de L a recta go(_' pasa pm el

origen y cuyo vector de direccion es perpendi-

cular al v ctor 0, - - - t .

42. Escribe la ccuacion de la recta que IX1S,1 par cl

punta ( -2 , 7) y eli paralela a 2. 'X ' 8y + 9 = o.

43. Escribe la ecuacion de la re to' qu~ pasa por

(0, -3) y es perpendicular a 3x - 15y = 2,

44. Halla Ia ecuacion de la recta que pasa par

(-1, 6) y (-3, 8}

45. Halla la CCU<lc16n de la recta que pasa par

(2, -11 Y tiene pendiente IJI = 1... 3

46. Halla un vector director de la recta )I = -2.'( + 9.

47. Calcula el angulQ que forman Ins rectas:

1'1: 3x- y ee ::;, ,]_: -3x + 7y + 1 = 0

48. Calcula Ia disrancia entre el punto P = (-1, 5)

y la recta r, que pasa por A "" (0, 3) y

B =(-1,6).

49. Calcula 1 8 ecuacion de la recta, r, que pasa

par los puntas A = (1, 3) y B = (-2, 0). De-

terrnina la ecuaci6n de fa recta, .s, perpendl u-

lar a la anterior, que pase por el punto (0, 2),

50. Halla el valor de /..~ para que las recras

T: 2x - y -1 = 0 y s: 3.x - ky -8 = 0 se cortcn

Iorrnando un angulo de 45°,

51. Halla las ecuaciones de las rectas que pasan

par el punta P = (-1, 0) y forman con la recta

de ecuacion ::I t - y + 9 ... 0 uri angulo de lao-

1genre -., 2

30. En el paralelograrno ABeD se conocen las Co -

ordenadas A = (1, -"-0. B = (4, -1) y D = (6, 5).

Calcula:

a) Las coordenadas del vertice C opuesto al A.

b) Las ecuaciones de los lades del paralelograrno.

c) Las ecuaclones de sus diagonales.

31. Estn dia si son 0 no. perpe ndicu la ['(:"5 Ias rectas

r:-x+2y-1=O y s:-6x-3y+2=O.

32. Calcula k para que las rectas :\: + - 4 ') 1 - 3 = 0 y

x - f~ y + 4 = 0 sean;

a) Para lelas b) Perpendiculares

33. Calcula las ecuacioncs de las rectas para lela y

perpendicular por el punto que se indica:

a) (.x,,Ii') = (3, -1) + (2. -3)i\. pOI' P = (-2, '5).

b) 3x + 2y - 7 = 0 par P = (-2, 0)

x-2 ) 1 + 3c) - s - - = . -2' por P = (J, 3).

34. Determina la ecuacion de Ia recta perpendicu-

lar al segmento dererminado pm los puntas

A = (3. Q) Y B = 0, -2) en su punto medio

35. Caicula la ecuacion de la recta que pasa, pOl" el

punio de interseccion de las rectus:

3x + 5y ~13 Y 1x - 3y =-2

Y cs perpen d icu la r a 5x - 8y + 12 = O.

36. Halla [8 ecuacion de la recta que pas'l por el

punta (-2. 4) y forma un angulo de Li5° Call la

recta J' - 2~y=o .



EJERCIC IO S F INA LES

52. Halla el puruo sirnetrico de P ~ (2, 1) respJcto;

de la recta r: 2 . : ' 1 : + J' - 1 =O.

53. Escribe la ecuacion normal de la recta que p:lS~1

pm (-2. 8) y e:'l perpendicular a 1:.1 recta

1, 3y + 2x = 7,

54. Calcula e J perimerro y e J area del triiingulo de

vertices A = (0. 0), B = (2, 7) Y C= (1, ()),

55. Considerarnos cl paralelogramo ABeD donde

A = (0, 21, !3 ~ (-1, 'I) y o C = (0, 7). iCU,U e s el

punic D~

56. Calcula el perimetro Y el ..rea del cuadrilatero

del eiercicio anterior,

57. Calcula el angulo que forman estas rectas:

'"I: 3x - 1~J.'+ 1 "' 0 ri ;).x + 9)' + 2 = 0

58. Halla Ia ccuacion de la recta que pasa por el

punta P = (3, "i) y forma un 5ngu\o de 1[5° con

el eje de abscisas,

59. Dado el triangulo de vertices A -= (1, I), B "' (3, 2)

Y C= {el, 0):

,1) Ca lcu la 1<1ecua cion de 1 ; ; 1 altura trazada por

ld venice 11 .

h) Calcula la longitud de dicha altura.

60. Calcula las ecuaciones de Lis rectas paralcla y

perpcndiculnr a las bisectrices del primer y ter-

cer cuadrantes y que pase r or eI punta

p = l3, "i),

6' .Halla eJ valor de ('1 pa ra que las rectos

1': ax -I - y = 12 Y s. -.Ix ~ . 1 . 1 ' " " a + 1 scan:

b) Perpendiculares

62. Dada la recta de ecuaclon r. 2 . 1 ' -.l' + S = Q ,

calcula:

a) La ccuacion de 1a recta ra 1 ' 0 1 . Icia a r q LIt' pa-

sa por P = (1, -3),

b) La ecuacion de la recta perpendicular ~1 r

que pasa por (2, 0)_

c) 1:1 distancia del punic t'l = (-1, 2) a 1 ;1 recta r.

63. Halla Ia ecuacion de la tecta que pasa pOl" el

punto P = (8, 0) y c: s perpendicular a la recta

r: y =4;\; ~ 3,

64. Dado el PUI1W de coordenadns A = (-3, q ) Y 10

{

Y= ')1, recta r:' r -, escrlhe

)'0;')_1

a) La ecuacion de la recta quo.:'rasa por .·1 yes

pa ra lela a 1< 1recta r.

b) La ecuacion de l : . - l recta que p~L~apor Ayes

perpendicular a la recta r.

65. I . e l l a l es 1 < 1 ecuacirin tic la recta que pasa pOl'

P = 0, 1) y es perpendicular a la recta de

ecuacion 1': 3 ." ( - J' = 8?

66. Halla el <1ngulo que forman las recras:

al r:-.x+ly+S=O r s. 2.'\'-3.1'+-1=0

x-I Y + 12 x J' - . 3b) r, -:1-- ., <[ y s . 12 =-S-

67. Determina 13 rena, r'. que pasa [lor el punto

Ii=(2, -3), e ,> perpendicular 8 la recta, r, que

pasa pOr B = (~, 2) Y es perpendicular al vec-

tor (3. 'i) Llamcrnos C al purno de corte entre

r y r' . Calcula el rirea del tri<'lngu 10 A .HC ' ,

68. Calcula to que debe valer a para que las rectas

r: 1 . . j . . x + 1 2 ; ' 1 ' - 6 ee; () Y s, -Tx + tI_l..'- 6 = 0 sean

parulelas. Calcula la distanciu entre dichas rectas.

69. Calcula 1<1clistancia del punto P = (5, -.U J la

l'eC[a r. I . \ ' = 1 - 2 " A .

Ij' = -" A

70. Calcula el area tiel triangulo dererminudo par

10,<; puntos r\= (1,0), B = (3,2) y C = (-'1,2),

71. Dos PUlltOS, A" (-1. -3) y B = 1.\ -3), son los

vertices de un trlungulo Isosceles que tierie el ter-

cer venice. C , enla recta .v + Y - ') = O . Calcula

las coorclenadas de C sabiendo que C A . y 03

son los lados iguales. I lalla el valor de su Cuea.

72. Halla la distancla del P1.ll1lQ P = (1, -) a la

recta y = 'J.

73 . Calcula el lugar gcometrico de los [Juntos que

equidisran de P=(3. l) Y B =W, -2).

74. Cnlcula el lugar gecmetrico de los puntos que

equidistan 5 1I del punio P = (-3, a),

75. Halla el lugar geometrico de los puntos tales

que 1<1diferencia de los cuadrados de sus dis-

tancias a dos puntas, A = t--a. 0) Y J J = = (u, 0),

sea una cantidad consiante igual a zj'{fl,



E JER C IC IO S F IN ALES

76. Halla eJ lugar geornetrico de los puntas del plano

tales que \8 suma de los cuadrados de sus distan-

Ci;;IS a dos.puntos, A = (0,2) Y B = (4,0), sea 18.

77. Halla el luga r geoructrico de los puntos del ph-

no que cquidisten de las rectas .\' + 2y + 3 = 0

y 3x + .I I + '2 = (l,

76 . Halla el lugar geornetrico de los puntos tiel pla-

no que equidisten de los PLJl1l s A =(~. -1 ) }

B" (-1, -2),

79. Halla la rnediatriz del segrnento AB siendo

A '" (-.1, 1) Y B = (3. 5 ).

'SOLUCIO~ES A ~S EJERCICIOS'

EJER CIC IO S PR OPU EST OS

4.1. Ecucciones de 1 0 recta

1. a ) (x; y) =0, ") + A(2, ~D

b) J . \ : ' ~ 3 + 2). c 'J x -:3 .",Y - ')l J ' " , 'j - - 1 ' - 2-4

d) 2 . ' \ : + )' - 11 = 0

f) ____3'_ + L_ .. 1U/2 n

e} y = -l.x + 11

2. In = _l... n = 32'

3. m =--3

4.y + 13 = m (x - 8)

y-) ll+!~CO!lUnL1,l: -' --- ='--

') -2

General: 2x + 5y + 16 = 0

Expiicita J' = - : x _ 1_ 6) -- ,

6. a) { . \ C ' = 2 + 1 . A .y = -1 .,.6 ).

c) y = .~.:\' 7

x-_ y+ 1h) --=--. 2 6

d) 3x - .Y - 7 = tJ

,.. } i,) .C +. - 1-- __ -7/3 -7

7. a) (x, y) = 1-1, 3) + ),,(2, ')

h) { . x : ' " - \ + z:. )' = 3 + S A .

x+ - l Y - '5.c)--=--

2 3

5 1 1e)v =-x+-. 2 2

) 5 . X ' - 2 .y + 11 = ()

"'. vI) _.\_ +~'-'- =

-IllS J1/2

8.7= (-3. 2)

92 . '5

.7rt = --, n =-

3 3

10.y = 3x- J3

11. La absctsa en el origen es X = -1. La ordena-

da en el origen cs .I = I.

4.2. Posicion relativo de dos rectos

1. a = -5, b =-6

2. x-I = ~

3 : 1

3.y =x- ')

4. 'J = It

5. Sccantes.

6. : x . ; - 1= .y - 3J '5

7.y - 2 = I'll e x - 1)

8. x + Ie = 0

4.3. Angulo5

2. Salen dos rectas:5-£ + 2

Y - 2 = r: (x - 1 J .-5 + 2\'3

' ) 0 / 3 - 2y - 2 = 5 + 2{3 (..\'- 1)

J.y = x

4 (~ _ i _ _ ). 1.3' 1 3

5. P' = (0; ()

7. x = 2, Y = 3



98. f . . : = -7 k ~ -, 7

9. 7x - < ly + 21 = 0 2.Y- ~)I + 6 = 0

4.4. Distancias

1. d(A. B) = 5

2. Q <= (:2,0)

3. No existe clicho puma

4. B = (l8, ()). 13 = (2, ()

. 2 - .R5. dCP, d = -_-

')

6. d(P r) = 20m, 13

7. air. rJ ",,{i

8. d(P. s)= 5 " [ 2

2 0 . ) 1 39. air. s) = ~

10 .E~cera, ya que son

secantcs,11 . Es cera, ya qllC:~ son ccanres.

12 )1' -. { X = 7 - t . .. a aralllCLl]Gts: ,y=2+A.

x -7 V-2b) Continua: = - = - t =1c) General: x + .J' - 9 = 0

d) Explicita: J' = -x + \)

La longitnd cs d =3{i.

14 (' 49 ?..J/we =?u-

15.a=2, 17=1; a=-4, b=-l

4.5. lugares geometricos

1.,'"= 52

2.x +y - ')

=

0

3 . X = -1, Y = 3

s. 2x - y - ] 5 = 0

.6. Dos rectas puralelas a .~W tales que su distan-cia a AB es hi unidad ..7. La circunferencia de centre C = (1, i ) y radio

1 '( 3 ) 2 1= -. : (x- 1)_ + ]I - - =-

2 '2 4

18.x = -

2

EJERCICIOS FIINALES

1.3:~+.1'-11=O

2. x -)' - 3 = 0

3. x - f3 y + E-3 =0

4. A = (2, 1), 13= (5, 2)

S . _:!_ + L= 1-5 6

6. 9x - 3y + 19 = 0

7. a) .x + _y - 10 = 0

8. (S, 4)

cl 20 u2II I no . 0 )

9. a) 2:t·- J' + 1 = 0 b) 'X' + ~')- 6 = 0

110. m =-

3

11 . d(/I, BJ = ,f8

12 . :1) Pa ra le la s b) Coincklentes

cD Paralelas) Secantes

] 3. l~araque sean paraielas: k "" -4

Para que sean sccantes: k l'-4

14.y = -3x

15. x + y - 2 + I e x + 5y + 1) = 0

16 . . X - 2 .1 ' - 3 = 0

17. 2x - y ...4 = 0

1 1 8 . k = -()

19 . . k =l2

20.y = -x + 4



121. ).1 = -3x, v:=-x

. ,3

22. 2x - y - 8 = o . Mediatrlz

23. A = ( .0 , -4) Y B = (6, 0)

24. Aye

25. k = I

26. 1/ = -I, j) = -6

27. L x . ' + 3y - 5 = 0

28 .J ' = -3x

29. a)y '" 3

b) X = 2

30. a) C = (9, 8)

b) r.llll: x - y - ') = 0, I'm.. 9.\" - "5y - ~ 1 = 0 ,

"ef): .x - y - 1 = 0, 1 " : 0 " , : 9x - 'Jy - 29 = 0

cl r £ 1 l i 3 .; : · - 2)' - 11 = 0 , rim: 3 . "1 " - J' - " 1 3 = 0

31. Son perpencliculares.

32.a}k=~21

b) k = -. 2 .

33.;1)Paralela: (.x, y) ee (-2. :;) + (2, -3),

Perpendicular: e x , y) = (-2, )) + (3, Zi t

bl Pa ralcla: 3x + 2)' + (i = 0

Perpendicular: 2.,\:· : 3 y + "I = 0

."\"-1 y-:3c) Para lela: _. - = -_

5 -2

. x- I ).'- 3Perpendicular: --' ~ _.-

2 5

34. x + _ I I - ]_ = 0

35. &~.+ )J! - 1 1 - ) = 0

36. y ""-3x - 2 () x - 3y + 1 '1 = 0

37. ,\, + 4y - 8 = 0

38. ':U - Tx - 2 .1 ' - 5 = [)

39. < 1 ) Vectorial: (x, y) - (1, 3) + (1, 4)!

Ill' -. { X = 1 + 1nrarnerncas: A

y = 3 + · L t

C) Continua : x - 1 = Y ~ 3I 4

40. D '" (4~-D, ,1AflCI) = 13 u " '

41 ..x - 4y = 0

42. x - 4y + 30 = (l

43 . 5x + y + 3 = 0

44.2x-y+ 1<1=0

45. 2x - 3J! - 7 = 0

46. Lt- (-1, 2)

47. $ = arc Ig ( ~ )

48. d(P, r) = k49. r . x - J' + 2 . = 0, s: X + V - 2 = 0

50. k = 1, te = 9

15l.y = 3C x + 1), y = -(.x+ 1)

- j

52. (-;, ~~)

53-3 1

• t: -' x + -).I = 122 JU '

54. Pcrirnetro = {5j + \ T 2 + \rfj, Area = 2. u 1.1

55. D = (1, '))

56. Perimetro = 2 (~ - ' I - mJ, Area - 5 u2

57. q ) = arc Ig ( 1 91)

58 . .x + y - 2 = 0

59. n) .x : - 2 .1 ' + 1 = 0 h) h = I; ;

60. y = x + 2, Y = -.¥; + ti

.4 . 361. a) a = -- b) a = -3 if

62.• 1) Zx - y - '5 = 0

)d ') > R.(JJ, r = -_--,

b) x + 2 y - 2 - ()

63 ., . \; + 4 y -8 = 0

64. a) { J , ; = -3 + 21

Y = 4 - I

b){X=-3+ I

. 1 ' " " 4 + 2!

65. x + 3y - iJ = 0I

466 . a) cos a'"" 0.992 ~ Ct = 7° ]5'

b) cos a = 0,861 ~ a = 30° 3()'



68. a =-6

69. 3,h613

70. AABC = 1 u1

76 . ,\"2 +y 2 - 4 .x - 2y + 1 :. 0

77. 7x1 - 7)'2 + 2 .x) , + 20y + H '" 0

67"I <:,e 2y ~l(\= '0 , S - 165 1)1

• : /."-~). -;> ABC - W' ,73. La rena r:,« + J' - J = = O.

, 7 4 . x2 + y£ + 6x - 16 = 0

75. .y =-(,/, X = a

71. C = (1, , n , A =7 u 78. 2 . " 1 : + 3y - ') = 0

79. 3x ...2y - 6 = ( )2. c I (P , r) = = 7



N U M E R O S C O M P L E J O S

5.1. NUM EROS COM PLEJO S

o Definiciones

Se llama unldad Imaginarta a un enie abstracto. i, al que sc Ie atribuyc Ia propiedad de

que su cuadrado es -1, os decir, (2",,-1.

• Se llama m i , 1 1 1 C 1 ' O complejo en forma btnomlca a cualquicr expresion de la forma z = a +

hi, siendo a y h numerus reales,

Se llama numero complejo en forma cartesrana a cualquier expresion de la forma z = (a. b).

siendo a y b numcrc s rcales,

Parte real de un nurncro complejo, Z'" a + hi, se denota por Re (z). yes el rulmero real ct.

• Parte Imaginarta de lin nurnero complejo, Z = = a + bi, se donora por hn(z), y es el nu-

rnero real h.

• Un ruirucro sera real si su pane imaginaria es mila. SI::'considera. pues, que IR c C.

Un nurnero sera imaginario si su parte real es nula.

Eliguaidad de numeros complejos

Dos mimcros cornplejos. Zl = a+ hi Y Z2 = C + di, son iguales sj

{

u = C

= z - ; ¢;}J - b = d

El Representecion de numeros complejos

• La represcntacion de Llil nurnero complejo. z = - a + bi

9C efectua en el plano mediante LIn punto de coordc-

nadas la, h) Ilarnado afi]o del complejo.

3 4

4 + 3/

La parte rca] se represents en el cje deabscisas, La

parte imaginaria se reprcsenra en el eje de ordenadas.2

• Sc 1 1 < 1 1 n amodulo d e z y s e donora:]

2a la disrancia del origen de coordenadas del afijo que

deterrnina z.

o 1

• Se llama argumento de r y sc denota a al angulo que f nna la recta que une el origen. /

can el afijo y el sernicje positive de abscisas, Vet:ific~que (15a) = :.



D Conjugodo de un numero complejo

Definicion t

Dado 1"1mimero complejo z = a + bi, lie Ilall1(~amjuga-

do de 2, y se denota Z, at rnirnero complejo Z = a - bi. ·

El conjugado tiene la rnisma abscisa y ordenada opuesta

que z (los afijos de z y Z son sirnctricos respecto del('jt' OX),

Propiedades

• El conjugado del conjugado de un complejo, z, es el-propio .z.

Los complejos que coiociclen can sus conjugados son[as numeros rea les,

EJEMPLOS

---------------------------- a + hi

--- Ia - hi

1. Halla Iaparte real y Ia imaginada de los mimeros complejos,

a) %1 = - 3 - 2i

Resolucion

a') Re(zl) = 3

b) ReCz ;~ ) = 0

.) Re(z~J = 4

Im (.zl) = -2

Im (Z2) "'-1

11l1(z.~) = 0

2_ Representa graflcamente %1 = i, %2 = -1 + i, Z3 = 3, %4 = 1 - i, Z5 = 1 + i, %6=-1 - i,

Resolu('ion

2

Zz z~

% : \

- 2 -1 2 3

z(i Z"l

- 2

EJ ERC IC IO S PROPUESTOS

1. Halla la parte real y la imaginaria de Ius nume-

res complejos:

a) 3 - i

b) -2 + i

2. Halla la parte real y Ia imaginaria de los nurne-

ros cornplejos:

a) 3i c) i + - J " 2) 5

c) '5 + l.i

3. Represenra graFicam~l1te los rnirneros compJejos

de los ejercicios anteriores.



5.2. O 'PERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS

o Sumo

Dados do." numeroscomplejos, a + bl Y c + di, se define , S ' L I s'urrra como:

(a + bi) + (c + di) .. (a + c) -t- {b + dJi

Proptedades

• Conrnutauva: (a + bi) + (c + di) = k + - di) + (ill + bil

• Asociativa: I<a + hi) + (c + eli)] + (e +.11) = (a + hi + lec + eli) + (e + fi)l

Elernento neutro, E l elemento neurro es 0 + Oi.

• El clemente opuesto de a + bi es (-(I - hi).

E) Producto

Dados dos mimeros cornplejos, a + hi Y c + dt, se define su producto como sigue:

(& I + hi) . (c + eli) = tac - bd) + (ad ~. I?cH

Proptedades

Conrnutativa (a + bn . (c + eli) = (c + di) . (a + hi)

Axociativa: [( a + hi)· (c + d O J . (e +jn =(C l -l- bf) . I(c + dO . (e + (t)1

• El clemente nell tro es 1 + [) . i .. 1.

E l I .' I I" 1 a- hi• ... eternento urverso c e C I + ?I es - = -=-____:::....:__

Z ell + 1)2

Distributiva del producto con rcspecto ala surna:

(p + bi) . r c c + di) -k+.Ji)] = (a + hi) . (c + df) + (a + hi) . (0 + - It)

El COlljU1l!"O de los nurneros complejos, (C, +, .) es lin cuerpo conmutativo.

E l Cociente

La division es la operacion inversa de I~~multiplicacion, ESFOes , dividir un mimero complejo

entre- 011'0 es el resultado de multiplicar el primero por cl inverse del segundo. Dados dos mi-

rneros cornplejos, Z = a + hi Y x' = c + di, se define Sucocienre como:

z (cl+bi)'(c-di)

: z ' c2 + (p

Propiedades del conjugado

• El coniugado de la suma de dos complejos, Z v ZI. cs la surna de sus conjugados:

2+_''''Z+-'

• El coniugado del produrto de dos cornplejos eS el producto de sus conjugados

z - : - z ; - = z : ; : : 1~f

• La surna y el producio de un cornplejo YSU C( ; l 1 lj ll gado son, ambos, nume r o s reales.



1 8,= -+-j

;; 5

[IPotencies

Pars hallar las potenclas de un numcro complejo dado co forma binomica, dcbernos calcular

las potcncias de la raiz irnaglnaria: t

Si el resto de la division del exponcnte, r. entre 4 es 1, entonces: It = i

• Si el resro de la division del exponcnte, r entre 4 e 2, cnronces: i" =-1

Si el resto de la division del cxponcrrte. r. entre 4 (~S3, cntonces: i f " = -i

Si el resio de fa division del cxponente, r, entre 4 es '6 , eruonces: i"'"J

EJEMP lOS

1. Efecuia las operaciones:

a) (3 + 21) - (5 - U)b) (3- 2i) .(1 + i)

1 i- 2i

Rcsolucion

~I) (3 + 2i) - (5 - 2i) .. 3 - Zi - "l + 2i = -2 = -2

b) (3- 2i) , (1+ [)

1+ i - 2i

(3 -I - 2) + (3 - 2) il-i-2i

5 + i

1- 3/

Mulripllcamos' p r cl coniugado del clenominador.

= :; + i =

1- 3 £

(5 + i) , (1 + 3i)

(}- j;) , (1 + 3j)5 + ] 3i + i + 3i2

}2 - 9(''.

2 + 16i10

2 .. Divide z entre U', stendo z =3 + 5i y w = 1 - i.

Resolud6n

z = ,'),- '51 .. (3 + 50 . (l+ 1 ')

w 1 - i 12 _ ;2

(-2 + ki).3. Deterrnina k para que el cocientek-i

a) Sea real.

b)Sea Imaginario puro.

e) Tenga Iaparte real igual a Ia itnaginaria.

Reso.luci6n

(-2 + k e i )

k-t

(-2 + kO . ek + {)

(k - i) , (k + i)

- 2/" ? - 2i + k2 i + ki" =-3k + (k2 - 2) i

k2 + 1 k2 + 1

a) Para que el coctenre sea un nurnero real su parte imaginaria debe ser nub:

~-2? ~--- = 0 ~ / e - - 2 = 0 =7 k = ±'J Zkl + J

b) Para que sea irnaglnario ruro ha de tener La parte r ·al nula:

c) Para que tenga la pane real igual :1 la irnaginaria:

' 3 1 . ; , 1. ') -3 ± \117~ = ~ = > -3k ~ k 'l - 2 :=} /,~~1- 3k - 2 = 0 ~ le = ----/;::J + 1 f e Z , + ] . 2



4. Halla In para que el munero complejo z =m + 3i renga modulo 5.

Resolu ci6 [J

Si el modulo vale 5; se cumplc.

I z]= "1m2 + j2 =1m 2 + 9 = 5

Elevando lu expresion al cuudrudo, resulta:

5. Halla dos numeros cornplejos de los que sabernos que su diferencia es un numero

real, 511 suma tiene Ia parte real ignal a 1 y 51.1 producto es ~7 + i.

Resolucicin

Los ruuneros seran de la forma II = a + hi Y Z2 = C+ eli,

De la prirncra condicion tencmos:

ZI - z~ = (u + bi) - (c + di) = (0 - c) + (b - dli ~ b - d = 0 ;::> d = b

De la segunda condici6n, como b pane real ha de ser 1, obtenernos.

71 + %1 ;= (u .,.c) + i b + dn =? a + c = 1 ;::> c = I - (;1

De la tercern condicion, rnultiplicando c igualanclo partes relies e tmaginarias, obtenernos.

{

ac - bd =-72'J ' 2:2 "" t . a c - hel l + (old + bci i = -7 of - i ~ -I b _

C ia + c = I

Susriruyendolos valores de c y d en funcion de. h y a, obtenemos:

0'(1 - u) - 1 7 2 . = -7=> a _.a2 - h 2 =-7

ad + be = 1 ;::> ah + h U - a) = 1 = = > ah + h - bet = 1 ::: :> b = 1, d = b = 1

Sustituyendo cl valor de b en L a prirnera cuacion, obten811110$ la ecu:ac.i6n de segundo

grade:

a - a 2 - ] . . . -7 = = > -a 2 + C I + 6 = 0 ;::> c/2- a - 6 =U ~ a = 3. CI;=-2

Luego Losnurneros pedidos son 2"1 ... 3 + i,z2 = -2 + i, 0 zi = -] + i, z2 =3 + i.

6. Determina los valores de a y b para que el mimero complejo z=a + hi satisfaga

la ecuacion z2 = :;t-

Resoluci6n

El cuadrado del nCI11Jcro complejo (a + bill es igual a su conjugado (u - hi)

(a + bi)2 = (;f - hi::::> a? - b~ + Zab! = a - hi

Igualando partes reales e imaginarias obtenernos el sistema-

{

al. - b2 =a

2ab = -b

De la segunda ecuacion obtenemos:

{f

12a + 1 = 0 ~ a = --2ab + b = 0 ~ (2a + 1 b = 0::::> b _ . ~ ~ 2

-0 . lb=O



L 1" I' J {i,uego e numero cornp qo es zl = -- +_. ,

2 'I

1 -{3O

;;l - ----,2 ,'I

Si b = 0, susrituycndo en 1 < : 1 1[J ecuacion, obtencrnosi

oJ. =a : : : : : ; > a (a - J) =0 : : : : : ; > a = 0 0 a = J

Luego el rnimcro complejo t'S IJ =O + O f Uz2 = 1 + 01,

7. Dados los mimeros complejos z = 2 - ai Y x' = 3 - hi, halla los valores de a y b

para q~lez· z' = 8+ 4i.

Resolucion

Sutisfacer dicha ecuacion quiere derir que:

(2 - ail ' ( .3 - b iJ = H +"fi::;> ( ) - 2bi - 3a l + cthi1 => (6 - 61/') - (2 b + 3(;1)/ = 8 + 4f

Igualando panes reales \::' imaginarias, ohienemos el sistema:

J ( ) - ab =1)

i-i.I} - 3a = "I

De 1 ~ 1 segunda eruacior: obtenemos:

-3tl - 4 =2b :::"} = -30 - ~ (I)

2

Sustituycndo en la primcra ecuucion:

6 - a ( - 3 C l

2- 4) = 8 :::"}J.,(Jl + 40 - . : I = 0

con soluciones:

)

a = -2 Y a = - = -3

Y sustiruyendo ell (1) ohtenernos 10:"val ores de ! J :

a = -2, b = -3(-2) - £1 = 1, 0

2

2u=-

3h = -3( 2/3) - I =-3

1

EJERC IC ro s PROPUESTOS

1. iCU{lolo hi) de valer JJ' l pam que cl complejo

z = (m - _I) , (2 -I- 4 iJ sen un nurnero real?

4., Deierrruna el valor de C1 para que cl mimero

complejo z = (,-)- 6n ' (2 - mil sea:

< ' l ) Un rnirnero real,

b) Irnaginario puro:

Tal que su afijo esre en la bisectriz del pri-

mer l' tercer cuadrantes,

2. Efecrua la operackin:(5 - 3f) . n+ i)

(1 - il+ j{

3. Determina eI valor de trt lXlnl que cl mirncro

. 2-mtcomplejo Z = 8 _ 6{ sea:

a) Unnumero real,b) Imaginario puro,

e) Tal que su afijo e : : ; t e en la bisectriz del :-;e-

gunclo Y cuarto cuadranres ,

5. Resuelve las siguienres ecuaciones:

b) x2 - 2x + 2 "" [)

Reprcsenta Sus soluciones <':0 el plano complejo.

;.Que relacion hay entre las soluciones de cada

ecuacion?

:.



EJER CIC IOS PROPU EST OS

6. Calcula el inverse de; 10. Calcula un polinornio cuyas raices sean:

a) Z = 1 - t 1 1 ) z: = 3£ a) + 3i y I - 3i

c) y-i

b) 2 + i Y 3 + 5i

7. IIalla lin numero complejo tal que I z 1 3 e

Im t z) = -2. 11. Calcula el numero complejo:

(3 + 2 i) l + (3 - 2i)(5 + i)2. Calcula el modulo y el argumento de los si-

guientes numeros complejos:

a) zJ = - J 2 +

c) z~ .. - r = 5

12. Represcnra en eL plano complejo los conjuntos

de nurneros que curnplen:

a) -1 _ : o : : ; Re(z) S; 1 . b) 0 S; Im (z) SN.e(z) S 3d) z~= 3 - i

9, iCuanto debe valer k para que el nLl111er'O com-

pleio (3/~- 2i)2 sea imaginario puro?

13. Represema en C'Lplano complejo los conjuntos

de nurneros que cumplen:

a) [z ] = I b) Izl<l

5.3. COMPLEJOS EN FORMA POLAR

o Def in ic ion

Dado lin mirn ro complejo, z, tal que [zl = r y arg(z) = Ct. la representacion rq. se lla-

rna forma polar del complejo z (tambien se llama forma modulo-argumental).

• Utilizando cstas f6rllllilas obtencrnos otra Forma de escnbir el mimero complejo (forma tri-

gonometrtca,» z = rt.cos u + iseu o.).

E J Paso de formo bin6mica a polar

Set z = 6 1 + bi en lorrna binomica:

bCf + 1 7 i

• El argumento del complejo es el acgulo a, tal que

hI f , ? 0. . = -, Como hay des angulos entre 0 y 2:rr con

" C d

esa rangcnre, para eleg: I' eJ adecuudo se observa el

cuadrante en que se encuentra el afijo del complejo,

a

E J Paso, de forma polar a bin6mica

SeJ Z = 1'0. till numero complejo en forma polar:

a ea r ' cos 0_, b = r . sen a

m Igualdad de nurneros complejos

,Hay que tener en cucnta qLLt', para que los cornplejos coincidan, han de tenor el misrno m o -dulo y la diferencia de SLUS argurnentos JY 1 de ser lin multiple entero de 360"',



~ Operacianes C'01I l comp.lejos en forma polor

•Suma, Se pasan los nurneros complcjos eJ,2 forma polar a bmornica y se realiza la surna.

• Prodncto. Para multiplicar cornplejos polares se rriuluplican ~;-lISmodules y se surnan sus

argurnentos.

r . r' = (r . 1 " ) ,a a' [~ + 0'

• Cociente: Para dividir cornplejos polares se dividen SLiS modules y se restan sus argurnentos.

r ( r )/, = -;:;a: - a'o.

• Potencia: Lapotencia IH'>sima de un ndmero complejo uene de modulo la potencia n-esim:a

del m6dulo, )' como a rgumenio , n veces el argurnenro del complejo:

Si el modulo cs 'l, scescrlbe el complejo en forma trigcnometrica con la formula de Moivre:

(cos e x + isen a ) 1 7 = cos (net) + isen (no.)

• Conjugado y compuestos Z =r36[)~_ o.: -z = "·11:)0" + u

EJEMPLOS

a) 3 + 2i b)1-i c) -2 - 5i.

1. Escribe en forma modulo-argumental Ios siguientes numeros complejos.

Resoluci6n

luego 3 + 2i = - . J 1 3 3 30 J !1 ' 2 > 1 - ' "

< I) 1 3 + 2 / 1 '" - - 1 3 2 + 22 .. m, 1[; e x = ~ => a = 3 3 " 411 2 1'1

c) 1 -2 - SI! = '/(-2)2 + (-5)2 = {2§, Ig a. = -5 => a" 2ti8° J I' 5411-2

Asi pues, -2 - 5i = fi9 - <lR o 11' ,).j'"

2. Represerita en forma binomlca los complejos.

a) 3500

Resolucion

a) 3)00 = 3 (cos 50 ° + iseri S{JD) ca 3 ( 0 ,6 43 + 0,766i) = 1,929 + 2,298i

b 21800 = 2 (cos 1800 + isen 1800 =2(-J + Qj) =-2

c) '1 .11

'0 ~ 1 (cos 21 Q + isen 210°) =-{j-_lj- , 2 2



3. Escrfbe ell. forma trigol!lometrica los numeros complejos soluclon de la ecuacion

x2 + 3= o.

Resoluci6n

• Hallarnos el modulo y el argurnento:r - - : 11 r: 3r r

Iz r l"'-V3. 0.1= 2' IZ21=\13, Ct 2=2

• Pasanclo a forma trigonometrica:

' -3 ( 1t . 11 ) c3[ ( :hr ) . ( ~n)] r ; : ; ,Zl = \ 1 ' : ' - cosz + tsen 2 • z_ = "Y " C O S 2 + tsen 2 = -"'115 I

4. Multiplica los rnimeros complejos z] = 3i y Zz = - 2 - 2i en forma binomlca y polar,

comprobando que el resultado es e1mlsmo.

Resojm:i6n

• En primer lugar, se mul iplican en forma binornica:

Zl . Zz = 3i (2 - 2il c 61' - 6 i2 = 6 + 6i

• Ahara se calcula el modulo y el argurnento de cada uno de los factores:

COIllO Neez!) = 0 e lm (z2) = 3 : : : : : : > e x '" 90"

POr tanto, 2'1 = 3 1 = 390",

I Z 2 1 = [ 2 - 2 / 1 = \122+(_2)2 = ~,tga= -;2 =>a=315°

Por tanto, [ z z l = 2 - 2i = J8 : : \1 ' ;0 '

Mulilplicando en [01'111'1 modulo-argurnental.

z] . 22 = 3~o: 18 ;\15" = y . J R 4U~" = 3",)8 'J';"

Transforrnando dicho nurnero ,1 $\.1 forma binornica:

POI' tanto, ambos resultados coincideu.

5 . Halla dos mirneros complejos sabiendo que su producto es --S y el cociente de uno

entre e1 cuadrado de otro es Ia unidad.

Resoluci6n

Utilizarernos la [or1'1.1<1olar de los numeros compJejos. Seran X = " « y z' = r~,.

De la primera condicion, z· z' = -8, 'como -B = 8]Il(Jo obtencmos:

" { r 1 " = 8" « . 1"0.' = 818'0" ;:::. ( 1 ' . 1" ')a + n' = 8lfl(lo:::::> (X + a' = 180

De la segunda condicion, ......£_ =1, obtenernos:(z,)2

: { rr ( t ) . --./= 1_{_1. = 1 => ().. =1 ;:::. ~ .= 1 = = > . (r I)~(r,)2 0° (r'}) n° .,2 ", ()O ? ,- 0

[l_' 20. ' rr I«: - ~a. a - _0. -



• Obtenemos el sistema de ecuaciones correspondienre a los modules-

{

r./"1=8 frl=2

r=(r')z = > 11'=(1',)2 =-1

• Obtenemos el sistema de ecuaciones correspondiente 3 los a rgurnentos:

f a : + a ' = 180 J 30:' = 180 ~ e x ' = 60

1G. - 2a' "" 0 : : : : : : > 1 0: = 2a' = 120

Luego 10;-;muneros pedldos son z = 4120, Y Zl =2 6 0 0 '

6. Dados los mimeros cornplejos Zl = 245• Y Z2 = 1300, calcula:

Hesoluci6n

c) -r -I - (-J ) j - 04) - 1 '). ~I - -450 - '-- 4 - 4)° - - lRIi"

d) Zl = 2,,'io = 2')(i()o _ - i< ;" = 231 ';0

7. Calcula la porencla quinta del complejo Z = {3- i.

'Resoluci6n

Como I z l = -,)3 + C-'[)2 = 2 Y Ig a '" ~ ~ C I. = 330°, entonces z = {3- i= 23300 -

La po ten cla qu irua es z~= (2 33 0 ,,) 'i = (2 S\ 330 . = 321Ci'iO<= 3221 0°'

EJERCIC IOS PROPUESTOS'

1. Escribe en forma polar los mimeros cornplejos:

a) ' 1 r z +.{2 b) -{3 - i

2. Escribe en forma bin6mica el 11(1 mew complejos: = IlEOp.

3. Halla el modulo y d argumento de los siguien-

tes ruimeros cornplejos-

a) (3, 4) b) 1 +{3i c (0,-3)

4. Pasa a forma pola r los numeros cornplejos:

< I) -1- i b) 3 c) -3i

5. Pasa a forma trigonometrica:

b) 0,0) c) -1+ r

6. , rasa a forma binomlca los slguienres nurneros:

a) cos 0" + tsen 00

b) 4 (cos 45" + isen 45")

c) cos 30 ° + isen 30°

7. Express en forma polar los complejos:

a) Z = 5 ~ 51

b) Z2 = 2 (cos 30 0- - isen 300)

I+ i8. Dado el nurnero complejo z = - ~ ' escribclo

en el resro de las formas que conozcas.

9. Halla lin nLII11ero comple]o del segundo cuadran-

te que ticne par modulo 2 y tal que Re (z) =-1,

Expresalo en forma polar.



EJERC IC IOS PROPUESTOS

10 . Si 2, = 2}()", halla su conjugado y su opuesio. 13. Calcula:

a) (2 -I- 2i€ )2

c) (l -I - 203

b) (l+ i)">

ll) (2 + ('»311 . Halla LID numero complejo Y SLI opuesto sa-

biendo que su conjugado es z = 370""

12 . Dados los complejos z, =,/;; - i, z2 = 3i y

z3 =1 i, calcula.

14. Calcula las operaciones indlcadas expresando

el resultado en forma polar y cartesiana:

a) 3J)(Jo " 4_a b) 3

J29 • 4]70 • 2Jo c) (2"iO")-~

< I) z.l + Z2

z3

15.Dernuestra que el producro de un complejo par

OiU con.jugado es igual al cuadrado del modulo.

5.4. RADICACI6N DE NUMEROS COMPLEJOS

Para hallar las rakes de un niimero complejo se aplica la formula de Moivre:

v r ; : =(vr ) , k=O, 1, .." , n-la + 36flO 1-

"

Todos los mimeros cornplejos tienen /1 rakes l1-esimas.

La interpretacion geometrica es la sigu rente:

"Los aftjos de las rarces IH~si:nlasde un rnirnero complejo son los vertices de un poligono re-

gular de n I m . ID s " "

EJEMPlOS

1. Calcula la cuarta potencla y las r-aices cuartas de z = -2 + 2{3i.

Resoluci6n

Para pasar a forma polar utilizarnos las formulas:

1" =- J a 2 -I - b2 = '/{-2)2 + (2'{3)2 =4

10 .... = !! _ = 2'\f3 =1 3 3 ~ (L = arc fa . c--f3) = 120"<~ ,A a -2 ,.., _.

ASI pues, el niunero en forma polar es ]20'"

La cuarta potencia es:

(4J2(),J~= 2561800 = 256120" ee 2S6(cos 1200 + isen 120°) = -128 + 128f$i

las rakes pedidas son de la forma (\f4 ) , k = 0, 1, 2, 3" 'I " - . 11 ,0 " . ~

Ir::: 120" + 360"k .1:':1modulo de dichas rakes sera W t = '!~ Y cl argurnenro responde a 4 ' es decir,

obtenemos las rakes:

z = c - I 2 ) =..fi = . J 2 (cos 30° ~- isen 300) = If6 + {Z io to" .1(,0" Q 30

Q- r 2 2



s : =?:t J . . . . ~IP + _ i i l o " I)

,I

.z. = (-fl.):2 ( .t :f ' _ j nO" I 1

Hemos obtenido las raices en forma binomica utilizando la forma trigonomctrtra de los,

rnirneros compleios.

2. Calcula la tercera potencia y las rakes cubfcas de z = 4 - 4 13i .

Rcsolucion

Para pasar el numero a forma polar, utilizamos las formulas:

(8 + Sf) , (L -I - i) = 8 + 81 + Bi -I - 811= 16i = ((;i = 8i

(1-i).(l+ i) 1 - [2 I 1 2

c

b "I3.r .:: ' ,r.;-l ; l ! , a=_:_=-4- = -"3 ~ a = arc 1 [ 2 , (-'13) = 3000a '

Por tanto, el mimero en fOm1:l polar es z""' 8 3000

La tercer" potencla es.

Las raices pedidas son de In forma:

( W i) k = 0, 1, 2:\Otl' ''160' !(r

:,

Bs declr:

Zl. '" 2 1 = 2 : > ~ ( ~ o=2(cos 22 00+ isen 220°)

300~ -j V(I" --;f

I Iernos obtenido las raiccs en forma utgonomerrlca.

Z-- V 8+ 8i _J. Calcula pasando a for-rna polar

l-i

Re.<;;()lu,ci6n

En primer lugar clcctuamos el cociente. Para ello rnultiplicamos por el conjugado del deno-

minador:

Para pa,o;3r a forma polar, observarnos que C$ un mimero irnaginario puro y positivo, as ipucs, el nurnero en forma polar es 8900 y 1 : : 1 . - ; rakes pcdidas son:



? J( 1500 • ' l~OO) - {3 + "= -l,)U. ~ - cos· + LSen) - -2 t

z- = 22 · . !.'Itl~'" %r . . .. .

~

Hernos obtenido las raiccs en torrna binornica utilizando la Iorma trigonornetrica de 10.'1

ruirncros complejos,

4. Catcula, pasando a forma polar, z = ~-8 + 8\f3i .

ResoJuci6n

Para pasar a forma polar utilizarnos las formulas

r = . . . J a 2 + h2 = ';(_8)2 + (8\'3)2 = 16

b S . . J 3 r;:: .. ~3') '200/0 U '= - = -- = --v3 : : : : - ; > a . = arc to (-\'''l = 1,,,, a -8 ,,,> "

para hallar el modulo y el argurnenro, respectivarnente.

En ruunero en forma polar es 16J200, Y las cakes son las siguierues:

(m) . k =O. 1 ,2 ,3 -.w ' ,\<,,,, u :

TIsdedr:

z '"'2 = 2"',0" = 2(cos 30" + isen 30" ) = \ ? G , + 1o l '!OD..+3N~ n :"1 _

;t = 22 ucr 1 31)()9,

I

- cJ _ 7(' 2100 . '2 10 0') _ {5 .- "2l(r - - co s + /S en - --2- - t

z = 2 = 2'000 = 2(cos 300D + hen 3000'} = -1 - 1 3 i3 111}');.~;O~,~ ~} 2

-1

Llcrnos obtenido las rakes en forma binornica utilizando Ia forma trigonometric" de los

.mlmeros cornpleios.

1. Calcula las rafces cuarras del nurnero complejo:

z=1-1

5. Halla las raices que se indican y representa sus

afljos:

a) , J "4 - ( c - o - s -3 '- O - Q - + - i s -e r - z - 3 -0 - : :° ) -

b) ! ' J 4 (cos 1800 + [sen 180"). Halla las raiccs ciibi 'as del ruimero complejo:

z = -2 + 2i 6. Halla las solucioues de la ecuacion zl5 - 1 '" 0.

3. Halla las rakes cuanas de la unidad real y re-I

presentalas graficamente.

7. Encuentra una ecuacion de segundo grado cu-

yas raices sean:

4. Calcula las raices quintas de la unidad real y re-

presentalas gra Ficaf1J ente.

a) i, =i b) 1 + 2 i, 1 - 2 1

8. Halla las rakes ciibicas de 8.



2

8'

".,,,

,C .IF: " C'

1 2 3 If 5

-1

5.5. TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS;

• Sumae Si se surna Linmirnero complejo, z)::t otro, 1 . 1 ' , este se traslada sobre una paralela alvector asociado a z.

• Producto por i: Si sc multiplica un nrirnero complejo, z, par la unidad irnaginaria. se

produce till gi1'Ode 90° y centro 0 sobre s:

• Producto por lu: Si se multiplica un nurnero complejo. z, pOl' Itt' se produce un giro de

centro () y amplitucl (1.. -

• Producto por Tu: Si se rnultiplica un ruimero complejo, 2 ", pm ' ' u _ , se produc 0 una ho-morccia de centro 0, razon r y amplirud de giro 0.

EJEMP10S

I. Traslada 2 unidades en la dtrecclon del eje X el trtangulo de vertices A = (0, 0),

B = (0, 1) Y C = (1, 0).

Resoluci6n

Para calcular los vertices d I rriangulo trasladado, bastard con surnar a los complejos de afijo

/1, Bye el complejo z =2 + Of:

Z'A= 0 + Oi => ZA' =(0 + O/l + (2 + Oil ~ 2 + Of , es decir, A 1= (2, 0).

z/j = 0 + i : : : : : > z1J' es to + 1i) + (2 + 0 1 : ) = = 2 + i, es decir, 81 = (2, 1).

Z'e = 1 + Oi ~. Zc = (1 + 01) + (2 + Oi) ,_ 3 + Oi, es dec+r, C ' = 0, 0).

2. Un trtangulo tiene de vertices A = (2, 0), B = = (2,2) Y C = (1, 1). Si giramos el trtan-

gulo 60°, icuales seran los .nuevos vertices?

Rcso[uci6n

Z ,j .. 2 + 01 = 20 " = > ZA' = 16 0 " ' 20 0 = 2Dllo = 1 + " '; 3 £ : : : : }A' = I], , 1 3 )ZB = 2 + 2i = (2,0\,;" => ZB' = 1600 ' (2\[2)4';0" (2..[;2)]0",0 => B' = C-O,73; 2.7J)

Zc = 1 + i = - J 2 4 '1Q : : : : > ze = 16U " . .,fj.j'iO = ..]210<," = :> C = (-0,37; 1,37)

Obteniendose los nuevos vertices de la Iigura:

B'~. 3 j. '",. ....,

~IL . ~

C'l

B

3 51 o



3. Un pentagono regular tiene el centro en el origen y uno de sus vertices en el punto

A = (1, - 1 3 ) . Calcula los otros dos vertices.

Resoluci6n

A.' 36_00, 2 . 36 00 3' 3600 y - 4 . 360"

El resto de los vertices se obuene girando el puma _ _) 5 ') 5

Para clio, hac mos 10 siguiente:

Corno ZA '" I + -& = 2M" tenernos que:

4. Calcula y representa en el plano las rakes quintas de i,

Resoluci{)n

El numero en forma polar es 1<)0'"y las rakes pcdidas son de la forma:

Es decir:

1

z = ( ' \ 1 1 )l·

')flrt.

+~~iI~1• I

". = ( ·rr)-, !}(I~I ' \ ( ' l 1 l i '

-] o

-1


1. 'I'raslada 3 unidudes hacia 1<1zquier la en 1 £ 1 di-

rcccion deJejL' X el rectfmgulo C1..IYO:; ve~·tices

son;

3. Un cuadrado regular tiene el centro en el origen

y uno de sus vertices en el pumo .tI = Cl , 1).

Calcula los dernas vertices,

A = CO . 0), B = (0 , 1J , C'" (1, Q) y D'" (1, 1),

\

2. Las coordenadas de los vertices de un triangulo

son A =(-1,0), B = n, 0) y G ' = (O,2' . Si gi-

rarnos el ITtangulo 90a, ~cu;'iles seran los nucvos

vertices?

4. Calcula y represenia en el plano las raices cuar-

tas de =i.

f

~. Calcula y represenra en el plano las rakes quin-

tas de i,

:.



E JERC IC IO S F INALES

1. Halla elrnodulo y el argumento de los siguiel~-

tes nurneros cornplejos:

3) Zl = . J 2 - ,Fjj

b) z2 = -~ - i

2. Di si esras afirrnaciones son verdaderas 0falsas,

razonando [a respuesta.

a) EI inverse de 2600es ( ~,),

b) E J opuesto de 3 (cos 30" + isen jOO) es el

n u mcro 3 (CQS 1)0° + hen ISO!.

c) EI con juga do t_le 8i eli -8i,

3. Pasa a forma polar estes rnirneros cornplejos

a) 1+ i

b) 4 4~)

c) (-4, 4'[3)

4. Pasa ;1 forma trigonornerrlca los siguientcs

rnimeros:

a) ; 3 \ 1 2 (-1+ i)

b) (-1. 0)

. 5 . Escribe en forma modulo-argurnental los si-

guientes mirneros cornplejos:

a) 3 + 13i

b) 1 - f

c) -5 - 5 'i

6. Efecuia las operaciones:

.2"1 . Z_ zJ - 22

Z1 + Z2 .2")2

siendo z1 =1+ i Y z2; = 13t.

7 . Electua las operaciones:

ia) --

3 - ' 2 1 :

'7 1b) . ! . . . . . . . : : . . _

1+ i

1+ ic)--

i

1 + i

. id) -)-.

~ + I

1-i

8. Calcula:

a)1 -i

21- 3i

d)] + 21

2-i

b) 745" ' 320• c) (3 + 30')

9. Dado el ruunero complejo z .. . J 2 - ,fi t. cal-

cula z'5 , z .

10. Escribe en forma canonica los cornplejos que tic-

, ne par af i jos los puntos P = (3, I), B = 0, -2),

c . : = (0, ,) y D '" (3, 0 ) , HalJa sus modulos.

11. c C u a n r Q ha de valer m para que el complejo

z=e r n - 2i) (_ + 1 i) tenga modulo lO ?

12. Deterrnina el valor de a para que eI nurnero

complejo 2=(2 + 3i) , (-2 + cd) :

a) Sea un nurnero real.

b) Sea imaginario puro.

c) Su afijo esre en la bisectrix del segundo y

cuarto .uadrante.

13. Halla dos numeros complejos sabiendo que su

producto es Ij y que el cociente de uno entre el

Cuadrado de OIm es 2.

14. l I a l la (1 + {)3 Y expresa el resu ltado en forma

polar, cartesiana, binornica y rrigonomerrica .

15 . l lalla las raices ciibicas (1)] complejo z =Hi.

16 . Calcula las rakes cubicas de la unidad real,

Representalas.

17 . Calcula las rafces cuartas del niirnero complejo

z=-2 + 2i .

18. Calcula ~l - i .

19. H a lla la s ra ices cubicas d e ...,S .

20. Calcula m.

21 . Rcsuelve la ecuacion z:) + 1 = 0,

22. 1~suelve estas ecuaciones:

a) .x 2 + x + 1=0

b) .xz - 2x + 4 = 0

2 3. Representa, en el plano complejo, los conjuntosde ruirneros que curuplen:

a) Iz>l

b)z-z=l



rSOLUCIO~ES A ~S EJERCICIOS


5.1. Numeros complejos

1. Re(a) = 3, tm (d) =-1, Retb) = -2, fm(h) =1,

Pe(c) =S, lm (e) = 2,

2 .. Re (,I) ~ 0, 1m (a) _, 3, Retb = 5 , lrn (b) = 0,

Re(c)={i, Im+c) = 1.

5.2. Operaciones con numeros complejos

1 . In = 1

2. 12 - 14£

5

3. a) m = l_2

b) m = - _ § _3

c) m = 14

4. a) m =-4 c) m = 6) 11 1 = 1

b) Ij = 1 + i; 22= 1- i

Son complejos conjugados,

6,1 1 1 ..

• : : t J - = - + -1.Z 2 2

h) . . ! _ = -_!_i3

1lJi:a =-4 6

9.k=±J:...3

10 . a) 2.;2 - 2:\: + 10

b) : : r1- (5 + 60...,+ (1 + 13i)

c) xl + 1

73 40.ll.z=---I.

169 169

12 . 1.a~Iigurasadjumas.

a)

22 -1 1

b)

- 2 -I

13 . Las figuras adjuntas.

a) Circunferencia C ~ (0, 0') y radio 1.

2

-]

b) Circulo C = (0, 0) y radio 1.

1

2

-],

5.3. Complejos en forma polar

1. a) 2"/'1

2. z =-1

b) 2, 6003. < 1) 5, 53°

4. a) ..2 ~}~,-o- ( . . . - .

c) 3, 270 "

5. a) 8 (cos 240" + isen 240")

b) 1 (cos 0" + [sen 0°)

c) {i(cos 135" + isen 135°)

6. a) 1 c) " '3 + .l.,'2 2

( s f i ). a) zL = -2-45°

f

B . Cartcsiana: (0, 1\ polar: 1;;00;

irigonometrica: 1(cos 900 + isen 90°); binornica,



rSOLUCIO~ES A I4QS EJERCICIOS

9.z=-1 + ~3i = 212{)~

10. Z = 2 3 3 0 < > y -z = 2LW O

1 1 . Z = 32900 y -,2= 2'lD"

2+'\f3 2-"3.12. a J - - :: :. .. . + 12 2

c) 16 t2(Jo

13 . a) 16 1200 = -8 + 8 . . J 3 i

b) [ \12>1'>0]" = (4{Z\1~"

C) ( 5 - Y 5 )800 d) 2 + 5i

14.3) 1219';0 = -11,'59 + 3,21i

b) 243lJo= 20,78 + 121

c) 8UO" = -4 + 6,93i

5.4. Rodicccion de rrumeros complejos

2:2 = r : r : z 16807,'

H I-Z.I = "\2 }Ii"l" 7';'

7"" - r::;"'2 - 'V!.165~

3. z, = 1, 2"2 = t, Zj = -1, z.:f = -f

7. a) :x L + 1 = 0 b) x' - 2x ' +. ') = 0

8.2:0 = 2, %1 =-1 + ~3 i , z2 = - I - > 1 3 i

5.5. Transformaciones geometricos

1. A I = (-3, O), 131 = (-3, 1), C ' = (-2, 0) )'

[]I = (-2, 1)

2. A' =(0. -lJ, B' = (0, 1), C'=(-2, 0)

3. B' = (-1, 1), C ' = (-1, -1), D' = (1. -1)

EJERCICIOS F I N AlES

1. a) IZI I = 2. a1:~(2) = 3150

b ) 1% 2 1 = 2, (It:~(Z2) = 210°

2. :1 ) V b) F c)V

b) 1 (cos 1800 + iseu 18()O

5. a) 2 - 1 3 ;v(i

624 - - 1 3 -24 + 7{3 .~____:~ + I

. 26 26

7 ) 2 2..<1 --+t

13 13

d) _ 2 _ 4 j

- '5 '5

b) -] c) I-i

e)-Zl\)

8 )1 ') .

• < 1 ----I

13 13

cJ) i

9. z : > . Z = - -64

11 . m = < 1 ±_fflJ

I· -4)) a=-

312 . < 1 ) U = 3 c) a = -10

14 . Polar: (2,[2)1.'l"Q

Carresiana (-2, 2)

Binornica: -2 + 2£

Trigonometrica: 2.V2UfJS n~o + isen 13)°)

16 z = 1 ~ = _J:_ + 1 3 J' 7 " = _.l _ " \ ( 3 I'•. 1 ,.L2 ' -2 2 . 2 2



17. z=" 1 8 ) , . , .J

z~= (~) JW

-I'Y"-J

< o r :

Z = ( ' I H ).) - "~,,~ + I&>",

1 1 3 , 1 ~.21. z(J = - + -1. ZJ= -1, zJ = - --/

:2 2 - 2 2

1 -£ .22;;1)Z=--±-/

2 2

b)z=-l ±Y3 i

23. Las Iigurus adjuntas

a) Exterior al cfrculo C = (0, 0) y radio I.

1

2

-1

b) Circunferencin C'" (0, 0) y radio 1.

2

algaida_bac_1_ccnn_problemas_resueltos_complejos_geometria

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