aleph sub – cero serie de...

ALEPH SUB – CERO SERIE DE DIVULGACIÓN ℵ0 2016 - I ℵ0

pp. 21- 55

ACERCA DE LA INTEGRACIÓN EN VARIABLE COMPLEJA (About integration into complex variable)

Carlos Sánchez Chinea ∗ Recepción: Marzo 2016. Revisión y aceptación: Abril 2016. Resumen. En este trabajo mostramos, partiendo del concepto de función holomor-fa, los fundamentos del método de los residuos para la integración de funciones de variable compleja y su aplicación a la determinación de ciertas integrales impropias sobre el eje real. Palabras clave. Holomorfa, analítica, integral, Cauchy, contorno, circuito, serie, convergencia, Taylor, Laurent, singularidad, esencial, inesencial, polo, residuo.

Summary. In this paper, based on the concept of holomorphic function, we show the fundamentals of the residue method for the integration of complex functions and its application to the determination of certain improper integrals on the real ax-is. Keywords. Holomorphic, analytical, integral, Cauchy, edge, circuit, series, con-vergence, Taylor, Laurent, singularity, essential, inessential, polo, residue. 01. A modo de resumen introductorio Si consideramos las funciones definidas en el espacio de los números complejos, esto es, funciones complejas de variable compleja

:f →ℂ ℂ

∗ Carlos Sánchez Chinea, es Licenciado en Ciencias Físicas y Profesor de Matemáticas de Educación Se-cundaria, con la Condición de Catedrático, en el Instituto de Enseñanza Secundaria “Isidro de Arcenegui y Carmona” de Marchena, Sevilla, España. Prejubilado en 2008. casanchi.com, [email protected], [email protected].

Carlos Sánchez Chinea

22

podemos establecer conceptos análogos a los del estudio de funciones en el cuerpo ℝ de los números reales.

Así, para un dominio conexo D del plano complejo, diremos que la fun-ción :f D → ℂ es derivable en el punto Dz ∈0 sii existe el límite

0

00

0

( ) ( )lim '( )z z

f z f zf z

z z→

− = ∈−

ℂ

que llamaremos derivada de f en 0z .

Asimismo, diremos que :f D → ℂ es desarrollable en serie de potencias en un punto 0z D∈ si existe una serie de potencias centrada en 0z con radio de conver-gencia positivo, tal que

00

( ) ( ) ,nn

n

f z a z z z D≥

= − ∀ ∈∑

Se dice que ( )f z es holomorfa en un punto 0z D∈ (o que tal punto es regular res-pecto a la función) si ( )f z es derivable sucesivamente en todos los puntos de un entorno de 0z . La función es holomorfa en D si es holomorfa en todo punto de D. Una función ( )f z de variable compleja es analítica en un abierto conexo D si es desarrollable en serie de potencias en todo punto de D.

Podemos comprobar fácilmente la equivalencia de los conceptos de holomorfía y analiticidad probando que toda función holomorfa en un dominio D es también analítica en D, ya que es posible obtener su desarrollo de Taylor en cualquier punto del dominio, y recíprocamente, toda función analítica en un dominio D es también holomorfa en D.

Si existieran puntos aislados , 1, ,jp j k= ⋯ dentro del dominio D en el que la fun-

ción dada ( )f z no fuera holomorfa, tales puntos se denominarían puntos singulares para ( )f z . En lo que respecta a la integración de funciones de variable compleja a lo largo de un camino cerrado o circuito, el análisis dispone del fundamental teorema de Cau-

Acerca de la integración en variable compleja

23

chy, que establece que para toda función holomorfa en un abierto conexo D, su in-tegral a lo largo de un circuito Γ contenido en D es nula:

( ) 0z dzφΓ

=∫

este teorema es válido también cuando dentro del interior del recinto rodeado por Γ existe un número finito de puntos singulares , 1, ,jp j k= ⋯ tales que

( )lim ( ) 0, 1, ,j

jz p

z p z j kφ→

− = = ⋯

Asimismo es una herramienta de estudio extremadamente útil el teorema de la fór-mula de Cauchy, mediante el cual podemos encontrar la derivada de cualquier or-den de una función holomorfa en un recinto conexo D, mediante una integral a lo largo de un circuito Γ contenido en D:

( )1

! ( )( )

2 ( , ) ( )n

n

n f tf z dt

i z t zπ ϑ +Γ

=Γ −∫�

donde es ϑ un número entero positivo que se denomina índice o número de vueltas (en general es 1ϑ = para un circuito simple). Así, obtenemos

1 ( )( )

2

f tf z dt

i t zπ ϑ Γ

=−∫� ,

2

1! ( )'( )

2 ( )

f tf z dt

i t zπ ϑ Γ

=−∫� ,⋯,

)1

! ( )( )

2 ( )n

n

n f tf z dt

i t zπ ϑ +Γ

=−∫� ,

…

El instrumento de trabajo que representa la fórmula de Cauchy nos permite probar cómo una función ( )f z holomorfa en el dominio encerrado entre dos circunferen-

cias concéntricas (dominio anular o corona circular), 2 0 1r z z r< − < , es desarrolla-

ble en serie de Laurent en punto cualquiera de dicha corona:

( )0( )n

nn

f z a z z∞

=−∞

= −∑

donde es 0z el centro de las circunferencias concéntricas que definen la corona cir-cular. Es decir, es desarrollable como una serie infinita de términos de exponentes negativos y positivos en general.


24

Obviamente, si ( )f z fuera holomorfa en 0z su desarrollo en serie de Laurent habría de coincidir con el de Taylor, por lo que no existirían términos de exponente nega-tivo. En cambio, si tal punto fuera singular existiría términos del desarrollo con ex-ponente negativo. Si el número de términos con exponente negativo fuera infinito, diremos que es una singularidad aislada esencial, y si tal número fuera finito la sin-gularidad se denomina no esencial o polo. Veremos también que la función puede tener en tal punto una singularidad evitable, por tener límite en dicho punto, admi-tiendo un desarrollo de Taylor en un entorno del mismo.

El llamado Teorema de los Residuos establece que si la función ( )f z tiene n singu-laridades aisladas, 01 0, , nz z⋯ , rodeadas por el circuito Γ contenido en el abierto co-nexo D, entonces

01

( ) 2 Re ( , )n

kk

f z dz i s f zπ=Γ

= ∑∫�

donde cada término 0Re ( , ), 1,...,ks f z k n= se denomina residuo de la función

( )f z en la singularidad 0kz , 1, ,k n= ⋯ .

Asimismo, el teorema permite determinar el residuo correspondiente a la singulari-dad en cada caso:

a) Si la singularidad aislada es evitable en 0kz :

0Re ( , ) 0ks f z =

ya que la función se prolonga a una función holomorfa en el punto de singulari-dad.

b) Si la singularidad aislada es esencial en 0kz :

0 1Re ( , )ks f z a−=

donde 1a− es el coeficiente que figura en el término de exponente -1 del desarro-llo de Laurent de la función.

c) Si la singularidad aislada es no esencial (un polo) en 0kz :

0 1Re ( , )ks f z a−=


25

donde 1a− es asimismo el coeficiente que figura en el término de exponente -1 del desarrollo de Laurent de la función. En este caso podemos establecer una fórmula que permite calcular el residuo correspondiente a un polo de orden p:

00 1 0Re ( , ) lim ( ) ( )

k

pp

k kpz z

ds f z a z z f z

dz− → = = −

La aplicación clave del cálculo de las integrales complejas mediante la fórmula de los residuos es poder determinar la integral de una función real en el caso de inte-grales impropias, ya que se puede establecer un contorno cerrado del que forma parte el intervalo real de integración de la integral impropia y, por ejemplo, una semicircunferencia que complete el circuito donde se pueda aplicar el teorema de los residuos a las singularidades que queden encerradas en el mismo.

Así, por ejemplo, para el caso de la integral ( )f x dx+∞

−∞∫ podemos plantear, tal como

indicamos en la figura siguiente, la relación

( ). ( ) ( )R

C R

f z dz f x dx f z dz+

− Γ

= +∫ ∫ ∫�

y pasando al límite:

( ) lim ( ) lim ( ). lim ( )R

R R RR C

f x dx f x dx f z dz f z dz+∞ +

→∞ →∞ →∞−∞ − Γ

= = −∫ ∫ ∫ ∫�


26

Mostramos en lo que sigue las argumentaciones más usuales que permiten justificar el método de los residuos.

02. Teorema y Fórmula de Cauchy para una función holomorfa 02.1. El Teorema de Cauchy. Dado un abierto simplemente conexo D y una curva simple cerrada γ contenida en D, se verifica que si ( )f z es holomorfa en D con derivada continua entonces

( ) 0f z dzγ

=∫�

Demostración: Puesto que es z x iy dz dx idy= + → = + , ( ) ( ) ( , ) ( , )f z f x iy u x y iv x y= + = + Se tiene que

( ) ( )( ) ( ( , ) ( , ))( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )f z dz u x y iv x y dx idy u x y dx v x y dy i u x y dy v x y dx= + + = − + +

de lo cual

( ) ( )( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )f z dz u x y dx v x y dy i u x y dy v x y dxΓ Γ

= − + + = ∫ ∫� �

( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , )u x y dx v x y dy i u x y dy v x y dxΓ Γ

= − + + ∫ ∫� �

y teniendo en cuenta la expresión del teorema de Green:

S

Q PPdx Qdy dxdy

x yΓ

∂ ∂+ = − ∂ ∂ ∫ ∫∫�

donde S es la superficie encerrada por la curva Γ , se tendrá finalmente que

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ).

S S

v x y u x y u x y v x yf z dz dxdy i dxdy

x y x yΓ

∂ ∂ ∂ ∂= − − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫∫ ∫∫�

con lo que, aplicando las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

( , ) ( , )

( , ) ( , )

u x y v x y

x y

u x y v x y

y x

∂ ∂ = ∂ ∂∂ ∂ = − ∂ ∂


27

se tiene

( ). 0 0 0 0 0S S

f z dz dxdy i dxdy iΓ

= + = + =∫ ∫∫ ∫∫�

así, pues, para toda función analítica( )zφ en un abierto simplemente conexo D, pa-ra todo contorno cerrado rectificable o circuito Γ contenido en D se verifica el teo-rema de Cauchy-Goursat

( ) 0z dzφΓ

=∫ [2.1.1]

que es válido también cuando dentro del interior del recinto rodeado porΓ existe un número finito de puntos singulares , 1, ,jp j k= ⋯ tales que es

( )lim ( ) 0, 1, ,

jjz p

z p z j kφ→

− = = ⋯

[2.1.2]

02.2. La Fórmula de la Integral de Cauchy. Así, por ejemplo, la función 0( ) 1z z zϕ = − tiene un único punto singular en 0z z= , pero tal punto singular no cumple la condición anterior, pues es

( )0

00

1lim 1 0z z

z zz z→

− = ≠−

En cambio, si ( )f z es función analítica en el recinto D, se tiene que la función

0

0

( ) ( )( )

f z f zz

z zφ −=

− si verifica dicha condición, ya que

( )0

00

0

( ) ( )lim 0z z

f z f zz z

z z→

−− =−

y por tanto, en el recinto indicado y para el contorno cerrado rectificable Γ se veri-ficará el teorema de Cauchy-Goursat:

0

0

( ) ( )( ) 0

f z f zz dz dz

z zφ

Γ Γ

−= =−∫ ∫� � [2.2.1]

en cambio, para la función ( )zϕ anteriormente indicada, al no cumplir la hipótesis del teorema de Cauchy-Goursat, la integral de contorno no es nula. Calculémos la:


28

0

0

0 0 0 0

'( ) ( )( )

( ) ( )

t

t

dz z t dt z t zz dz L

z z z t z z t zϕ

Γ Γ

−= = = − − − ∫ ∫ ∫� �

llamando ( )h t al resultado, se tiene

( )0 0

0 0 0 0

( ) ( )( ) 1

( ) ( )h tz t z z t z

h t L ez t z z t z

− −= → = = − −

ya que al tratarse de un recinto cerrado es 0( ) ( )z t z t= . Esto nos indica que ( ) 2 1h t ie e π ϑ= = , por lo que ( ) 2h t iπ ϑ= , de donde

0

( ) 2dz

z dz iz z

ϕ π ϑΓ Γ

= =−∫ ∫� � [2.2.2]

donde el número natural0

1

2

dz

i z zϑ

π Γ

=−∫� depende obviamente del contorno cerrado

rectificable Γ y del punto 0z , por lo que se le acostumbra a llamar índice del punto

0z respecto al contorno Γ , o bien, número de vueltas de Γ alrededor de 0z , pudién-dose representar por 0( , )zϑ Γ para indicar esta dependencia.

De [2.2.1]:

00

0 0 0

( ) ( ) ( )( ) 0

f z f z f z dzdz dz f z

z z z z z zΓ Γ Γ

− = − =− − −∫ ∫ ∫� � �

y usando el resultado [2.2.2]:

0 0 00 0 0

( ) 1 ( )( )2 ( , ) 0 ( )

2 ( , )

f z f zdz f z i z f z dz

z z i z z zπ ϑ

π ϑΓ Γ

− Γ = → =− Γ −∫ ∫� �

O sea: El valor de la función holomorfa f en un punto 0z del abierto simple conexo D pue-de expresarse sobre un circuito Γ que contenga en su interior a 0z mediante la si-guiente fórmula (fórmula simple de Cauchy):


29

0

0 0

1 ( )( )

2 ( , )

f zf z dz

i z z zπ ϑ Γ

=Γ −∫� [2.2.3]

donde 0( , )zϑ Γ es el número de vueltas o índice del circuito Γ alrededor de 0z . En general, para un circuito simple, consideraremos que es la unidad ( 0( , ) 1zϑ Γ = ).

La fórmula de Cauchy para la derivada n-sima: Veamos a continuación que toda función holomorfa ( )f z en un abierto conexo D admite derivadas de cualquier orden. Teorema: Sea ( )tϕ continua en el camino Γ . Entonces la función

( )( )

( )n n

tF z dt

t z

ϕΓ

=−∫

es holomorfa en el complemento de Γ , siendo su derivada 1' ( ) ( )n nF z nF z+= . Demostración: Empleamos inducción. Probemos que se verifica para n=1, para, a continuación, probar que si es cierta para n-1 también lo será para n.

- Para n=1: La continuidad:

Consideremos un punto 0z cualquiera del complemento de Γ y sea d la distancia desde 0z a Γ , de modo que para una bola 0( ; )B z d de centro en 0z y radiod se tie-ne que es 0( ; )B z d ϕ∩ Γ = . Será entonces 0, 2t t z d∀ ∈Γ − > , asimismo 02, ( ; 2)t z d z B z d− > ∀ ∈ , y ob-

viamente también es 0z z d− < . Entonces:

1 1 00 0

( ) ( ) 1 1( ) ( ) ( )

t tF z F z dt dt t dt

t z t z t z t z

ϕ ϕ ϕΓ Γ Γ

− = − = − = − − − −

∫ ∫ ∫


30

00

0 0

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

z z tt dt z z dt

t z t z t z t z

ϕϕΓ Γ

−= = − < − − − − ∫ ∫

0 0 20

( ) 4( )

( )( )

tz z dt z z t dt

t z t z d

ϕ ϕΓ Γ

< − < −− −∫ ∫

Es decir, cuando 0 0z z− → también 1 1 0( ) ( ) 0F z F z− → . 1( )F z es continua en 0z .

La derivada: De ser

1 1 0 0

0 0 0 0 0

( ) ( ) 1 1 1 1( ) ( )

( )( )

F z F z z zt dt t dt

z z z z t z t z z z t z t zϕ ϕ

Γ Γ

− −= − = − − − − − − − ∫ ∫

0

1( )

( )( )t dt

t z t zϕ

Γ

=− −∫

Se tiene:

0 0

1 1 01 22

0 0 0

( ) ( ) 1 1' lim lim ( ) ( )

( )( ) ( )z z z z

F z F zF t dt t dt F

z z t z t z t zϕ ϕ

→ →Γ Γ

−= = = =− − − −∫ ∫

- Sea cierta para n-1 y comprobemos que en tal caso lo será también para n:

La continuidad: Puesto que es:

[ ]1 10 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n nt z t z t z t z t z t z z z t z t z− −− − − = − − − − = − + − − − −

1 1

0 0 0( )( ) ( )( ) ( )n n nt z t z z z t z t z− −= − − + − − − −

será: 1

0 0

0 0 0 0

1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n n

n n n n n n n n

t z t z t z t z t z

t z t z t z t z t z t z t z t z

−− − − − − −− = = −− − − − − − − −

nnnnn

n

ztztzz

ztztztztzt

ztzz

))((

1)(

)(

1

))((

1

)()(

)()(

00

01

00

10

0 −−−+

−−

−−=

−−−−+ −

−

Por tanto:

00 0

( ) ( ) 1 1( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n

t tF z F z dt dt t dt

t z t z t z t z

ϕ ϕ ϕΓ Γ Γ

− = − = − − − − −

∫ ∫ ∫


31

observamos que cuando 0z z→ la primera integral tiende a cero, y puesto que

0z z− está acotado en un entorno de 0z , también tiende a cero la segunda. ( )nF z es continua en 0z .

La derivada:

0 0

' 00 1

0 0 0 0

( ) ( ) 1 1 1( ) lim lim ( )

( )( ) ( )n n

n n nz z z z

F z F zF z t dt

z z z z t z t z t zϕ−→ →

Γ

−= = − − − − − − ∫

0 0

0 01 1

0 0 0

( ) 1 ( ) ( )lim lim

( )( ) ( ) ( )n n nz z z z

t t t z t t zdt dt

t z t z z z t z t z

ϕ ϕ ϕ− −→ →

Γ Γ

− −+ = − − − − − − ∫ ∫

0 0

( )lim

( )( )nz z

tdt

t z t z

ϕ→

Γ

+− −∫

Si llamamos

011

( )( )

( ) nn

t t zdt f z

t z

ϕ−−

Γ

− =−∫

será:

01 0 1

0

( )( )

( )n n

t t zf z dt

t z

ϕ− −

Γ

−=−∫

y

00 1 01

0 0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )n nn n

t t z tf z dt dt F z

t z t z

ϕ ϕ++

Γ Γ

−= = =− −∫ ∫

de donde:

[ ]0

'0 1 1 0 1 0 1 01

0 0

1 ( )( ) lim ( ) ( ) ' ( ) ( )

( )n n n n nnz z

tF z f z f z dt f z F z

z z t z

ϕ− − − ++→

Γ

= − + = +− −∫

y como, por hipótesis de inducción, es

1 0 0' ( ) ( 1) ( )n nf z n f z− = − Se tendrá, finalmente:

010 0 0

1 1 ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )n n n

tt dt z z dt

t z t z t z t z t z

ϕϕ−Γ Γ

= − + − − − − − − ∫ ∫


32

0 0 1 0 1 0 1 0 1 0' ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )n n n n n nF z n f z F z n F z F z nF z+ + + += − + = − + = Lo que prueba la inducción.

Corolario (Formula de la integral de Cauchy para la derivada n-sima): Toda función holomorfa ( )f z en un abierto conexo D admite derivadas de cualquier orden que son también holomorfas. Para cualquier punto Dz∈ , y para cualquier ciclo Γ homológico a cero módulo D, tal que ( , ) 0zϑ Γ ≠ se verifica que

)1

! ( )( )

2 ( , ) ( )n

n

n f tf z dt

i z t zπ ϑ +Γ

=Γ −∫�

En efecto:

Si llamamos 1 ( )

( )2 ( , ) ( )k k

f tf z dt

i z t zπ ϑ Γ

=Γ −∫� , 1, , ,k n= ⋯ ⋯

se tiene, partiendo de la fórmula de Cauchy [2.2.3]:

1

1 ( )( ) ( )

2 ( , )

f tf z f z dt

i z t zπ ϑ Γ

≡ =Γ −∫�

1 2 2

1 ( )'( ) '( ) 1. ( )

2 ( , ) ( )

f tf z f z f z dt

i z t zπ ϑ Γ

≡ = =Γ −∫�

2 3 3

2 ( )"( ) (1. ( )) ' 2 ( )

2 ( , ) ( )

f tf z f z f z dt

i z t zπ ϑ Γ

= = =Γ −∫�

3 4 4

2.3 ( )'''( ) (2. ( )) ' 2.3. ( )

2 ( , ) ( )

f tf z f z f z dt

i z t zπ ϑ Γ

= = =Γ −∫�

... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

)1 1

2.3... ( )( ) (2... 1. ( )) ' 2.3... . ( )

2 ( , ) ( )n

n n n

n f tf z n f z n f z dt

i z t zπ ϑ+ +Γ

= − = =Γ −∫�

En definitiva:

)1

! ( )( )

2 ( , ) ( )n

n

n f tf z dt

i z t zπ ϑ +Γ

=Γ −∫� [2.2.4]


33

que es lo que denominamos fórmula de Cauchy para la derivada n-sima.

03. Equivalencia entre holomorfía y analiticidad Vamos a comprobar que toda función holomorfa en un abierto conexo es también analítica, esto es, desarrollable en serie de Taylor. La afirmación recíproca es in-mediata pues toda potencia es derivable y por tanto una suma de potencias también es derivable, es decir, toda función desarrollable en suma de potencias es una fun-ción holomorfa. 03.1. Desarrollo en serie de Taylor para una función holomorfa Teorema: Para toda función compleja ( )f z , holomorfa en un abierto conexo D, se verifica

que 0z D∀ ∈ existe una serie formal 0

( ) nn

n

S X a X≥

=∑ tal que

0 0 0( ) ( ), ( ; ), 0/ ( ; )f z S z z z B z r r B z r D= − ∀ ∈ ∀ > ⊆ Demostración: Llamemos ( )F D a la frontera del abierto conexo. 0z D∀ ∈ , sea 0( , ( ))d d z F D= la distancia de 0z a dicha frontera. Se tiene que 0 0( , ) ( , )z B z r D d z z d∀ ∈ ⊆ → < , y además 0' 0 /0 ( , ) 'r d z z r d∃ > < < < . Consideremos la bola 0( , ')B z r y su frontera 0( ( , '))F B z r . Si es C el ciclo definido por dicha frontera, 0( ( , '))C F B z r= , será el número de vueltas a 0z : ( , ) 1C zϑ = . Por tanto, al considerar la fórmula de Cauchy

1 ( ) 1 ( )( )

2 ( , ) 2C C

f u f uf z du du

i C z u z i u zπ ϑ π= =

− −∫ ∫� �

se tiene que

00 0 0

0

1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1( )

2 2 ( ) ( ) 2 1C C C

f u f u f uf z du du du

z zi u z i u z z z i u zu z

π π π= = = −− − − − − −

−

∫ ∫ ∫� � �

[3.1.1]


34

por ser u C∈ será 00 0

0

1z z

u z z zu z

−− > − → <−

, con lo cual vemos que el término

0

0

1

1z zu z

−−−

que figura en la integral es la suma de los infinitos términos de una pro-

gresión geométrica de primer término la unidad y razón 0

0

z z

u z

−−

tal que 0

0

1z z

u z

− <−

.

(es el caso de 2 11 ... 1x x x+ + + = − , si 1x < )

por consiguiente 0

0 0 0

0

1

1

n

n

z zz z u zu z

≥

−= − − −−

∑ , y la integral [3.1.1] puede expresarse así:

( )( )

001

0 00 0 0

1 ( ) 1( ) ( )

2 2

n n

nn nC C

z zf u z zf z du f u du

i u z u z i u zπ π +≥ ≥

− −= = − − − ∑ ∑∫ ∫� �

la cual queda, integrando término a término:

( )0 10 0

1 ( )( )

2 ( )n

nn C

f uf z z z du

i u zπ +≥

= −−∑ ∫�

y de la fórmula de Cauchy para la derivada n-sima )1

0

! ( )( )

2 ( )n

nC

n f uf z du

i u zπ +

= −

∫�

se tiene finalmente que

( ))

00

( )( )

!

nn

n

f zf z z z

n≥

= −∑

que es el desarrollo de Taylor de la función holomorfa ( )f z . Podemos encontrar una expresión integral para tal suma infinita mediante un teo-rema fundamental conocido como teorema del resto de Taylor o simplemente teo-rema de Taylor.

-Teorema de Taylor Teorema:

0 0, , ( ; ), 0z D n N z B z r r∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ > , tal que DrzB ⊆);( 0 , se verifica:


35

1)0 0

00 0

( ) 1 ( )( ) ( )

! 2

nknk

k C

f z f u z zf z z z du

k i u z u zπ

+

=

−= − + − − ∑ ∫�

siendo C la circunferencia de radio r’ y centro 0z tal que

0 0 0( ; '), ( ; ')z B z r B z r D∈ ⊆

Demostración: Podemos expresar el desarrollo de Taylor en la forma

f (z) = f k)(z)k!

z− z0( )k

k=0

n

∑ + Rn(z)

Donde Rn(z) es la suma de los términos que van desde el n+1-esimo en adelante, y que llamaremos Resto n-simo de la serie.

( ) ( ) ( )) )

0 0 0 11 1 1 0

( ) ( ) 1 ( )( )

! ! 2 ( )

k kk k k

n kk n k n k n C

f z f z f uR z z z z z z z du

k k i u zπ +≥ + ≥ + ≥ +

= − = − = − =−∑ ∑ ∑ ∫�

0

10 0

1 ( )

2

k

k nC

f u z zdu

i u z u zπ ≥ +

−= − − ∑∫� [3.1.2]

y aplicando nuevamente la expresión que da la suma infinita de primer término

1

0

0

nz z

u z

+ − −

y razón 0

0

z z

u z

−−

, se tiene:

1

01

00 0 0

01 0 0

0

1

n

k n

k n

z z

u zz z u z z zz zu z u z u zu z

+

+

≥ +

− − − − − = = −− − − −

−

∑

por lo que, al sustituir en [3.1.2]: 1 1

0 0 0

0 0 0

1 ( ) 1 ( )( )

2 2

n n

n

C C

f u u z z z f u z zR z du du

i u z u z u z i u z u zπ π

+ + − − −= = − − − − −

∫ ∫� �

finalmente:


36

1)0 0

00 0

( ) 1 ( )( ) ( )

! 2

nknk

k C

f z f u z zf z z z du

k i u z u zπ

+

=

−= − + − − ∑ ∫�

En definitiva, toda función holomorfa es desarrollable en serie de Taylor, es decir, es analítica. Recíprocamente, toda función analítica, esto es, desarrollable en serie de potencias, es obviamente derivable, luego es también holomorfa. 04. Desarrollo en serie de Laurent

Consideremos una función f (z) com-

pleja de variable compleja. Considere-mos también el circuito Γ de la figura, constituido por dos circunferencias,

1C y 2C , concéntricas, de centro en

z0 y radios r1 y r2 ( r1 < r2

), y dos tra-

mos rectílineos tan próximos como se

quiera, L y L− , que unen a ambas circunferencias cerrando el contorno. Aplicamos la Fórmula de Cauchy para encontrar el valor de la función en un punto z rodeado por el contorno indi-

cado.

2 1

1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )( )

2 2 2 2 2C L C L

f t f t f t f t f tf z dt dt dt dt dt

i t z i t z i t z i t z i t zπ π π π πΓ − −

= = + + +− − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫� � � � �

2 1

1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

2 2 2 2C L C L

f t f t f t f tdt dt dt dt

i t z i t z i t z i t zπ π π π= + − −

− − − −∫ ∫ ∫ ∫� � � �

2 1

1 ( ) 1 ( )

2 2C C

f t f tdt dt

i t z i t zπ π= −

− −∫ ∫� �

Se tiene:


37

2 10 0 0 0

1 ( ) 1 ( )( )

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )C C

f t f tf z dt dt

i t z z z i t z z zπ π= −

− − − − − −∫ ∫� �

2 10 0

0 00 0

1 ( ) 1 ( )

2 2( ) 1 ( ) 1C C

f t f tdt dt

i iz z t zt z z z

t z z z

π π= −

− −− − − − − −

∫ ∫� �

2 10 0

0 00 0

1 ( ) 1 ( )

2 2( ) 1 ( ) 1C C

f t f tdt dt

i iz z t zt z z z

t z z z

π π= +

− −− − − − − −

∫ ∫� �

En la integral primera, sobre el arco 2C , se tiene que

0 00 0

0 00 0

0

11

1

n

n

z z z zt z z z

z zt z t zt z

≥

− −− > − → < → = −− − −−

∑ , 2t C∀ ∈

Mientras que en la integral segunda, sobre el arco 1C , es

0 00 0

0 00 0

0

11

1

n

n

t z t zz z t z

t zz z z zz z

≥

− −− > − → < → = −− − −−

∑ , 1t C∀ ∈

Y sustituyendo

2 1

0 0

0 00 0 0 0

1 ( ) 1 ( )( )

2 ( ) 2 ( )

n n

n nC C

f t z z f t t zf z dt dt

i t z t z i z z z zπ π≥ ≥

− −= + − − − − ∑ ∑∫ ∫� �

2 1

0 0

0 00 0 0 0

1 ( ) 1 ( )

2 ( ) 2 ( )

n n

n nC C

f t z z f t z zdt dt

i t z t z i z z t zπ π

−

≥ ≥

− −= + − − − − ∑ ∑∫ ∫� �

( ) ( ) ( )

2 1

1

0 0 010 00

1 ( ) 1( )

2 ( ) 2n n n

nn nC C

f tz z dt z z f t t z dt

i t z iπ π

∞ ∞− −

+= =

= − + − −−∑ ∑∫ ∫� �

( ) ( ) ( )

2 1

1

0 0 010 10

1 ( ) 1( )

2 ( ) 2n n n

nn nC C

f tz z dt z z f t t z dt

i t z iπ π

∞ ∞− −

+= =

= − + − −−∑ ∑∫ ∫� �

( ) ( )∑ ∫∑ ∫

−

−∞=+

∞

=+ −

−+−

−=1

10

00

10

0

12)(

)(

2

1

)(

)(

2

1

n Cn

n

n Cn

n dtzt

tfzz

idt

zt

tfzz

i ππ como las integrales no dependen del camino de integración, podemos elegir una circunferencia C comprendida entre ambas 1C y 2C :


38

( ) ( ) =

−−+

−−= ∑ ∫∑ ∫

−

−∞=+

∞

=+

1

10

00

10

0 )(

)(

2

1

)(

)(

2

1)(

n Cn

n

n Cn

n dtzt

tfzz

idt

zt

tfzz

izf

ππ

( ) ( ) ( )n

nn

n

n Cn

n Cn

n zzazzdtzt

tf

idt

zt

tfzz

i 0010

10

0 )(

)(

2

1

)(

)(

2

1 −=−

−=

−−= ∑∑ ∫∑ ∫

∞

−∞=

∞

−∞=+

∞

−∞=+ ππ

siendo

10

1 ( ), , , 1,0,1, ,

2 ( )n nC

f ta dt n

i t zπ += = −∞ − ∞−∫ ⋯ ⋯�

En definitiva, el desarrollo o expansión de una función :f →ℂ ℂ , analítica en un

punto cualquiera z del dominio anular { }1 0 2/D z C r z z r= ∈ < − < viene dada por

( )0( )n

nn

f z a z z∞

=−∞

= −∑

Donde los coeficientes pueden obtenerse mediante las integrales de contorno

10

1 ( ), , , 1,0,1, ,

2 ( )n nC

f ta dt n

i t zπ += = −∞ − ∞−∫ ⋯ ⋯�

siendo C una circunferencia concéntrica con las dadas y contenida en el dominio anular D.

La determinación de la expansión de una función en serie de Laurent en un domi-nio D, necesita por tanto el cálculo de los correspondientes coeficientes na , lo cual, por exigir la resolución de integrales de una cierta complicación, presenta en gene-ral una gran dificultad. Esto hace que en la práctica sea preferible el empleo de mé-todos algebraicos y algebraico-diferenciales elementales para determinar tales coe-ficientes, como el desarrollo mediante el binomio de Newton, la serie geométrica, el desarrollo de Taylor, etc. A fin de ilustrar esta dificultad veamos a continuación un ejemplo en el que obte-nemos el desarrollo en serie de Laurent de una función de dos maneras: primero realizando el cálculo de sus coeficientes mediante las integrales de contorno ante-riores, y segundo, mediante un desarrollo elemental en el que empleamos la serie geométrica.

Sea la función 1

( )( 1)

f zz z

=−

en el dominio :0 1D z< < . Veamos la obtención

del desarrollo de Laurent en 0z = .


39

a) Primer procedimiento: Calculando las integrales de contorno de la defini-ción: Como el dominio D es un disco perforado de radio 1, utilizaremos como con-torno la circunferencia centrada en 0 de radio ½:

1: , 0 2

2tiC z e t π= ≤ ≤ . Los coeficientes estarán dados por

1 1 2

1 ( ) 1 1 ( 1) 1 1 ( 1), , , 1,0,1, ,

2 ( 0) 2 2n n n nC C C

f t t t ta dt dt dt n

i t i t i tπ π π+ + +

− −= = = = −∞ − ∞−∫ ∫ ∫ ⋯ ⋯� � �

Veamos como obtener todos los coeficientes del desarrollo:

- Para ( 2)

2

1 1 ( 1) 12 2 0: 0

2 2 ( 1)

n

n nC C

t tn n a dt dt

i t i tπ π

− +

+

−≤ − → + ≤ = = =−∫ ∫� � , pues la

función del integrando es analítica en el interior del contorno C.

- Para 1

1 1 ( 1) 1 1 ( 1)1 2 1:

2 2 0C C

t tn n a dt dt

i t i tπ π−− −= − → + = = =

−∫ ∫� � , por lo

que, llamando )1(1)( −= ttg y aplicando la fórmula de Cauchy:

1 ( ) 1 1 ( )

(0)2 0 0 1 2 0C C

g t g tg dt dt

i t i tπ π= → =

− − −∫ ∫� � 1 (0) 1a g−→ = = −

- Para 2

1 1 ( 1)1 2 1:

2n nC

tn n a dt

i tπ +

−> − → + > = ∫� , por lo que, empleando la

fórmula de Cauchy para la derivada n-sima, se tiene:

1)

1 2 2

1 11 1 1 ( ) (0)( 1) ( 1)

2 ( 0) 2 ( 0) 2 ( 0) ( 1)!

n

n n n nC C C

g t gt t ta dt dt dt

i t i t i t nπ π π

+

+ + +− −= = = =

− − − +∫ ∫ ∫� � �

1

11 2

00

1 1 ( 1)! 1.( 1) . 1

( 1)! 1 ( 1)! ( 1)

nn

n nzz

d n

n dz z n z

++

+ +==

+ = = − = − + − + − En definitiva, el desarrollo de Laurent será:

2

11

0

( ) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0)n n nn n n

n n n

f z a z a z a z a z∞ − ∞

−−

=−∞ =−∞ =

= − = − + − + −∑ ∑ ∑


40

1 0 1 2... 0 ( 1)( 0) ( 1)( 0) ( 1)( 0) ( 1)( 0)z z z z−= + + − − + − − + − − + − − +⋯

2

0 1

1 11 ... n n

n n

z z z zz z

∞ ∞

= =−

= − − − − − = − − = −∑ ∑

b) Segundo procedimiento: Utilizando la serie geométrica:

De ser 1 1 1

( )( 1) 1

f zz z z z

−= = +− −

, se tiene que como es 1z < , el opuesto del

segundo sumando es la suma de la serie geométrica de razón menor que la unidad en valor absoluto:

0

1 1

1 1n

n

zz z

∞

=

−= = −− − ∑ , con lo cual

0 1

1( ) n n

n n

f z z zz

∞ ∞

= =−

−= − = −∑ ∑

Que es el mismo resultado obtenido antes usando las integrales de contorno. Que-da, pues, patente la diferente dificultad entre uno y otro de ambos procedimientos de resolución del problema.

05. Clasificando singularidades Consideremos un punto 0z y el disco de centro en 0z y radio r . Si una función

( )f z es holomorfa en el interior de dicho disco salvo en su centro 0z , diremos que

es holomorfa en el disco perforado 00 z z r< − < .

Puede ser que la función ( )f z puede prolongarse a una función holomorfa, es de-cir, a una función desarrollable en serie de Taylor en todo el disco completo,

0z z r− < o bien puede que no sea posible tal prolongación. En este último caso

diremos que 0z es una singularidad aislada de la función ( )f z . La prolongación de una función holomorfa en un disco perforado al disco completo puede caracterizarse mediante un sencillo teorema que mostramos a continuación. Teorema: La condición necesaria y suficiente para que una función holomorfa en un disco perforado 00 z z r< − < sea prolongable a una función holomorfa en el

disco completo es que esté acotada en un entorno del centro 0z del disco. Demostración:


41

Si ( )f z es prolongable a una función ( )g z holomorfa en el punto 0z , esto es, en el disco completo, ello quiere decir que es derivable y por tanto continua en 0z . Lo que implica que es continua en dicho punto y, por tanto acotada. Por la continuidad, también está acotada en un entorno del mismo. Y al revés, si ( )f z está acotada en un entorno del punto 0z , entonces

/ ( )M R f z M∃ ∈ ≤ en C: 0 1z z r r− = <

por tanto, si consideramos el desarrollo de Laurent de la función:

0( ) ( )nn

n

f z a z z∞

=−∞

= −∑ , siendo 1

0

1 ( ), , , 1,0,1,

2 ( )n nc

f za dz n

i z zπ += = −∞ − + ∞−∫ ⋯ ⋯�

se tiene:

1 1 1

0 0

1 ( ) 1 ( ) 1

2 ( ) 2 ( ) 2n n n nc c c

f z f z Ma dz dz dz

i z z i z z i rπ π π+ + += ≤ ≤− −∫ ∫ ∫� � �

1 1

1 12

2 2n n nc

M M Mdz ri

i r i r rπ

π π+ += = =∫�

o sea:

n n

Ma

r≤

Esto indica que para valores de n negativos y para r suficiente pequeño se tendrá que 0na → por lo que 0=na . Es decir, son nulos todos los términos de exponente negativo, lo que indica que el desarrollo de Laurent es simplemente un desarrollo de Taylor y la función es, por tanto holomorfa:

0 00

( ) ( ) ( )n nn n

n n

f z a z z a z z∞

=−∞ ≥

= − = −∑ ∑

En definitiva, una función ( )f z que es acotada en un entorno de 0z puede prolon-garse de forma holomorfa al disco completo, esto es, siempre es desarrollable en serie de Taylor en 0z .

Si una función no puede prolongarse a una función holomorfa en el disco completo, es decir, si no puede desarrollarse en serie de Taylor en el punto 0z se debe a que existen términos de exponente negativo en su desarrollo de Laurent que no son nu-los.


42

Pueden darse dos casos: que el número de términos de exponente negativo sea infi-nito, o bien, que tal número sea finito. Si el desarrollo de Laurent tiene infinitos términos de exponente negativo, la singu-laridad aislada que presenta 0z es lo que llamamos una singularidad esencial.

Si el desarrollo de Laurent tiene solo un número finito de términos con exponente negativo, ( )

0 0( ) ... ( )h h kh ha z z a z z− − +

− −− + + − , será expresable en la forma ( )

0 0 00

( ) ( ) ( ) ( )h h k nh h n

n

f z a z z a z z a z z− − +− −

≥

= − + + − + −∑⋯

000 0

( )( ) ( )

nh hnh h k

n

a aa z z

z z z z− −

+≥

= + + + −− − ∑⋯

por lo que existirá un número entero positivo khq +≥ tal que ( )

0 0 0 00

( ) ( ) ( ) ( ) ( )q q h q h k n qh h n

n

z z f z a z z a z z a z z− − + +− −

≥

− = − + + − + −∑⋯

es un desarrollo en serie donde todos los términos tienen ahora exponente no nega-tivo, o sea, un desarrollo de Taylor, lo que indica que 0( ) ( )qz z f z− es holomorfa. Se dice entonces que 0z es un polo de orden q, donde q es el mínimo entero posi-tivo que verifica la igualdad anterior.

06. Residuos y el cálculo de integrales 06.1. Residuos: Sea D un dominio simplemente conexo y consideremos la integral de una función

( )f z a lo largo de un circuito τ que rodea un numero finito de singularidades aisla-das, , 1,2,...,iz i n= .


43

Puesto que cada una de las singularidades puede rodearse por un contorno

1 1, ,..., nτ τ τ de modo que la integral en el contorno total sea la suma de los contornos correspondientes a cada singularidad, al cancelarse los tramos interiores:

1 2

( ) ( ) ( ) ( )n

f z dz f z dz f z dz f z dzτ τ τ τ

= + + +∫ ∫ ∫ ∫⋯� � � �

Calculemos cada uno de los sumandos integrales:

nidzzfi

,...,2,1,).( =∫τ

para ello sustituimos la función por su desarrollo de Laurent en un entorno de la singularidad correspondiente, , 1,2, ,iz i n= ⋯ :

( ) ( ) ( )i i i

i k i kk i k i

k k

f z dz a z z dz a z z dzτ τ τ

∞ ∞

=−∞ =−∞

= − = −∑ ∑∫ ∫ ∫� � � [6.1.1]

Veamos el valor que puede tomar la integral. Para ello expresamos el integrando en la forma módulo argumental: ,i i

iz z Re dz Rie dθ θ θ− = = , donde es R el radio de una circunferencia centrada en la singularidad iz y rodeada por el circuito iτ . Se tiene:

2 21 ( 1)

0 0

( )i

k k ik i k i kiz z dz R e Rie d R i e d

π πθ θ θ

τ

θ θ+ +− = =∫ ∫ ∫�

Evaluemos esta integral para los diferentes valores de k:


44

- Si 2 2

0 .0.

0 0

1 0 1 ( ) 2i

k iik k z z dz R i e d i d i

π πθ

τ

θ θ π+ = → = − → − = = =∫ ∫ ∫�

- Si

22 ( 1)1 ( 1) 1 1

0 0

1 11 0 ( ) 0

( 1) 1i

i kk k i k k k

i

ek z z dz R i e d R i R

k i k

ππ θθ

τ

θ+

+ + + + −+ ≠ → − = = = =+ +∫ ∫�

En definitiva, la integral es nula salvo para k=-1:

1( ) 2i

iz z dz iτ

π−− =∫�

por lo que, al sustituir en [1]:

1( ) ( ) ( ) 2i i i

i k i k ik i k i

k k

f z dz a z z dz a z z dz a iτ τ τ

π∞ ∞

−=−∞ =−∞

= − = − =∑ ∑∫ ∫ ∫� � �

denominándose residuo de la función ( )f z en iz al valor 1

ia− , y la integral de con-torno total alrededor de las n singularidades es

1 2

1 21 1 1( ). ( ) ( ) ( ) ( ... )2

n

nf z dz f z dz f z dz f z dz a a a iτ τ τ τ

π− − −= + + + = + + +∫ ∫ ∫ ∫⋯� � � �

En definitiva, es importante realizar el cálculo de los residuos de la función en los puntos donde hay singularidades aisladas a fin de obtener la integral de contorno correspondiente.

Representaremos el residuo 1ia− de ( )f z en el punto iz por

1Re ( ( ), ) , 1, ,iis f z z a i n−= = ⋯

06.2. Cálculo de los residuos en singularidades aisladas:

a) En una singularidad evitable: Si la función ( )f z tiene en una singularidad evitable en 0z , es decir, si tiene límite en dicho punto, entonces es prolongable a una función holomorfa en 0z por lo que es desarrollable en serie de Taylor y todos los términos de su desarrollo son de ex-


45

ponente positivo, o sea, no existe el término de exponente -1 y por consiguiente el residuo es cero.

0Re ( ( ), ) 0s f z z =

b) En una singularidad esencial: En una singularidad esencial existen, por definición, infinitos términos de exponen-te negativo en su desarrollo, por lo que el cálculo del residuo exige la determina-ción directa del coeficiente del término de exponente -1. Necesariamente, por tanto,

es preciso calcular en el desarrollo ∑∞

−∞=

−=n

nn zzazf )()( 0 , el coeficiente 1−a .

10)),((Re −= azzfs

c) En una singularidad no esencial (polo):

En este caso podemos utilizar una sencilla fórmula que nos permite calcular me-diante un límite, el coeficiente 1a− del desarrollo de Laurent. Sea ( )f z una función que tiene una singularidad no esencial, un polo de orden h, en el punto 0z . Se puede expresar en la forma

0

( )( )

( )h

g zf z

z z=

−

donde la función )(zg es holomorfa en un entorno de 0z y h es la multiplicidad del polo. Como es ( )g z holomorfa, puede desarrollarse en serie de Taylor en un entorno de la singularidad

)0

00

( )( ) ( )

!

kk

k

g zg z z z

k

∞

=

= −∑

siendo, entonces )

00

00

( ) ( )( ) ( )

( ) !

kk h

hk

g z g zf z z z

z z k

∞−

=

= = −− ∑

y la integral


46

) )0 0

0 00 0

( ) ( )( ) ( ) ( )

! !

k kk h k h

k kC C C

g z g zf z dz z z dz z z dz

k k

∞ ∞− −

= =

= − = −∑ ∑∫ ∫ ∫� � �

y como el desarrollo es nulo, salvo para 1k h− = − , se tiene:

1) 1)10 0

0

( ) ( )( ) ( ) 2

( 1)! ( 1)!

h h

C C

g z g zf z dz z z dz i

h hπ

− −−= − =

− −∫ ∫� �

en definitiva:

0 0

11) 1 1

01) 1 01 1

0

( ) 2( ) 1 1

lim ( ) lim ( ) ( )( ) ( 1)! ( 1)! ( 1)!( ) 2

( 1)!

h h hCh

h h hz z z z

C

f z dz a ig z d d

a g z z z f zg z h h dz h dzf z dz i

h

π

π

−− − −

− − − −→ →

=→ = = = − − − −=

−

∫

∫

�

�

es decir, el residuo correspondiente a un polo de orden h de la función ( )f z en el punto 0z es:

0

1

0 01

1Re ( ( ), ) lim ( ) ( )

( 1)!

hh

hz z

ds f z z z z f z

h dz

−

−→= −

−

Ejemplos:

Ejemplo de cálculo de residuos en una singularidad evitable:

La función ( )senz

f zz

= presenta una singularidad en 0z = . Como también es

0senz= , se da la conocida indeterminación 0

0 que acostumbramos a resolver me-

diante la regla de L’Hôpital:

0 0 0

coslim lim lim cos0 1

1z z z

dsenzsenz zdz

dz zdz

→ → →= = = =

Por tanto, tiene límite 1. O sea, en 0z = aparece una singularidad en la que la fun-ción ( )f z tiene límite. Esto quiere decir que se trata de una singularidad evitable y, por consiguiente, al tener desarrollo en serie de Taylor, tiene todos los términos con exponente no negativo. Es decir, el residuo 1−a , que correspondería al exponente -1, es nulo:


47

Re ( ( ),0) 0s f z = Ejemplo de cálculo de residuos en una singularidad esencial: Sea la función 1/( ) zf z e= (exponencial de exponente 1/z). Presenta el problema de que para 0→z la función se hace infinita. Para ver que su desarrollo en serie tiene infinitos términos de exponente negativo, veamos el desa-rrollo de Taylor de ze :

0

0 0

1( 0)

! !z n n

n n

ee z z

n n

∞ ∞

≥ ≥

= − =∑ ∑

Veamos lo mismo para 1/ ze : 1

0 0

1 1 1

! !

nnz

n n

e zn z n

∞ ∞−

≥ ≥

= =

∑ ∑

El residuo correspondería al coeficiente del término de exponente -1, es decir, al

término que se obtiene para n=1: 1

11

1!a− = = . Por tanto:

Re ( ( ),0) 1s f z =

Ejemplo de cálculo de residuos en una singularidad no esencial:

Podemos considerar la función 2

2( )

( 1)( 3)

zf z

z z=

− +, que nos presenta un polo

simple en z=1 y un polo doble en z=-3. Residuos:

1 1 2 21

1 1 2 21 1

1Re ( ( ),1) lim ( 1) lim 1 16

(1 1)! ( 1)( 3) ( 3)z z

d z zs f z z

dz z z z

−

−→ →= − = =

− − + +

2 1 2 22

2 1 23 3

1Re ( ( ), 3) lim ( 3) lim 15 16

(2 1)! ( 1)( 3) ( 1)z z

d z d zs f z z

dz z z dz z

−

−→− →−− = + = =

− − + −

06.3. Integrales:


48

Para un circuito simple γ que encierra un conjunto de singularidades aisla-das, 1, , nz z⋯ , se verifica que

11

( ) 2n

j

j

f z dz i aγ

π −=

= ∑∫�

donde son 11 1, , na a− −⋯ los residuos correspondientes a las n singularidades aisladas

encerradas por el contorno.

Ejemplos elementales:

- En el disco 1z ≤ es 0, : 1,C

senzdz si C z

z= =∫� pues la función es holomorfa en el

disco 1z ≤ , y por tanto la curva C no encierra ninguna singularidad.

- En el disco 2z ≤ es 1

2 , : 1,z

C

e dz i si C zπ= =∫� pues en el disco 2z ≤ la función

tiene una singularidad esencial en 0z = de residuo 1.

- En el dominio anular 1 2 3z≤ ≤ es 1

0, : 1z

C

e dz si C z= =∫� , pues en tal dominio

anular la curva C no encierra ninguna singularidad.

- En el disco 2≤z es 2

2

12

( 1)( 3) 16 8C

zdz i i

z z

ππ= =− +∫� ,

3:

2si C z = , pues en tal

disco la curva C solamente encierra la singularidad 1z = de residuo 161 .

- En el disco 5z ≤ es 2

2

1 152 2

( 1)( 3) 16 16C

zdz i i

z zπ π = + = − +

∫� , si : 4C z = , pues

en tal disco la curva C encierra las singularidades aisladas 1z = y 3z = − , de resi-

duos respectivos 116

y 15

16.

Otros ejemplos: 1_ Usando el método de los residuos, calcular


49

22

0

cos n dπ

φ φ∫

para actuar como en los ejemplos elementales anteriores, introduzcamos la variable compleja z: llamando

iz eφ= , es 1idz ie d izd d dziz

φ φ φ φ= = → = y ( )1 1 1cos

2 2i ie e z

zφ φφ − = + = +

por tanto 2

22

1 1cos

2

nn

nz

zφ = +

y resulta que siendo C : z =1 se tiene:

( )22222

2 2 2 10

11 1 1 1cos .

2 2

nn

nn n n

C C

zd z dz dz

z iz i z

π

φ φ +

+ = + =

∫ ∫ ∫� �

y la función presenta en el origen un polo de orden 2n+1. Debido a la complejidad del orden del polo en el origen, no utilizaremos la fórmula del residuo como limite de la derivada de orden 2n, sino que determinaremos ele-mentalmente el coeficiente de z-1 usando el desarrollo del binomio de Newton:

2 2 22 2( ) 1

2 2 20 0

2 21 1 1 1 1 1 1

2 2 2

n hn nn h n h

n n nh h

n nz z z

h hi z z i z z i− − −

= =

+ = =

∑ ∑ , el coeficiente de

z-1 exige que 2( ) 1 1n h n h− − = − → = , por lo que el término sería

1 11 12 2 2 2

2 21 1 1 (2 )! 1 (2 )!

2 2 2 !. ! (2 !)n n n n

n n n na z z a

n ni i i n n i n− −

− −

= → = = =

Resultado el valor de la integral:

222

12 2 20

1 1 1 1 (2 )! (2 )!cos . 2 2 2

2 (2 !) (2 !)

nn

n n nC

n nd z dz ia i

z iz i n n

π

φ φ π π π− = + = = =

∫ ∫�

2_ Calcular

2( 1)( 3)

z

C

edz

z z− +∫�


50

a) Cuando es : 3/ 2C z = .

b) Cuando es : 10C z = .

c) Las singularidades aisladas son 1z = (polo simple) y 3z = − (polo doble). Veamos los residuos aplicando la fórmula del limite:

11 2 21 1

1lim( 1) lim

( 1)( 3) ( 3) 16

z z

z z

e ea z e

z z z− → →= − = =

− + +

a−12 = lim

z→−3

ddz

(z+ 3)2 ez

(z−1)(z+3)2= lim

z→−3

ddz

ez

(z−1)= lim

z→−3

ez(z−1)− ez

(z−1)2= − 5

16e−3

a) Si es : 3/ 2C z = , el contorno donde está definida la integral es una circunferen-cia de radio 3/2 y centrada en el origen, que rodea solamente al polo simple z=1, por tanto:

112

12 2

( 1)( 3) 16 8

z

C

e iedz ia i e

z z

ππ π−= = =− +∫�

b) Si es : 10C z = , el contorno es ahora una circunferencia de radio 10 y centrada

en el origen, rodeando ahora a ambos polos de la función, por lo que es

1 2 31 12 3

1 5 52 ( ) 2

( 1)( 3) 16 16 8

z

C

e idz i a a i e e e

z z e

ππ π −− −

= + = − = − − + ∫�

Dejamos al lector el cálculo de la siguiente integral, de la que mostramos la solu-ción

2

0

d

a bsen

π θθ+∫ , siendo 2 2 0, 0a b ab> > >

Solución: 2 2

2

a b

π−

06.4. Aplicación del método de los residuos al cálculo de integrales impropias:

Cuando hemos de calcular integrales impropias tales como ( )o

f x dx+∞

∫ , ( )f x dx+∞

−∞∫ , 0

( ) ,f x dx−∞∫ ⋯, podemos realizar el tratamiento consistente en considerar el interva-


51

lo real de integración como parte de un contorno, de forma que podamos establecer que la suma de las integrales a lo largo de los tramos del circuito es la integral de contorno total, calculable mediante el método de los residuos.

Ejemplos:

Podemos considerar el circuito C que se muestra en esta figura constituido por dos ramas o caminos: el camino curvo, semicircunferencia Γ , y el camino recti-líneo, que va desde el punto –R hasta el punto R, dentro de la recta real. Si consideramos la integral de contorno a lo largo del circuito, podemos realizar la descomposición siguiente, integrando, como siempre, en sentido antihorario:

( ) ( ) ( )R

C R

f z dz f z dz f x dxΓ −

= +∫ ∫ ∫�

donde el circuito C rodea las singularidades aisladas que puedan figurar en su inte-rior. o bien:

( ) ( ) ( )R

R C

f x dx f z dz f z dz− Γ

= −∫ ∫ ∫�

y si tomamos el límite para R→ ∞ :

( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )R

R R RR C

f x dx f x dx f z dz f z dz+∞

→∞ →∞ →∞−∞ − Γ

= = −∫ ∫ ∫ ∫�

y el circuito encerraría ahora todas las singularidades aisladas que hubiera en todo el semiplano superior.

Asimismo, podemos expresar, si la función )(xf fuera par:

con lo que

∫∫∫Γ

∞→∞→

+∞

−= dzzfdzzfdxxfR

CR

)(lim2

1).(lim

2

1)(

0

∫∫∫∫Γ

∞→∞→−

∞→

+∞

−== dzzfdzzfdxxfdxxfR

CR

R

RR

)(lim).(lim)(lim)(20


52

En definitiva, el cálculo de la integral impropia, requiere determinar la integral de contorno a lo largo del circuito mediante el método de los residuos, y la integral a lo largo del camino constituido por la semicircunferencia usando algún procedi-miento que dependa de la función que se integra (acotación, discontinuidad, etc.). Para este último paso resulta útil el siguiente teorema de acotación. Teorema: Siendo M y kconstantes reales tales que 0M > y 1k > , se verifica que si en la

semicircunferencia Γ de radio R es kR

Mzf ≤)( , entonces lim ( ) 0

Rf z dz

→∞Γ

=∫ .

Demostración:

Para iz Reθ= , 10

( ) ( ) Reik k k

M M Mf z dz f z dz i d R d

R R R

πθ θ θ π −

Γ Γ Γ

≤ ≤ = =∫ ∫ ∫ ∫

de lo cual

1lim ( ) lim 0

kR R

Mf z dz

Rπ −→∞ →∞

Γ

≤ =∫

por tanto:

lim ( ) 0 lim ( ) 0R R

f z dz f z dz→∞ →∞

Γ Γ

= → =∫ ∫

Ejemplo de integración de una función par sobre el eje real en el que aplicamos el teorema anterior. Cálculo de la integral

40 1

dx

x

∞

+∫

Comprobamos en primer lugar que está acotada sobre la semicircunferencia Γ :

4 4 4 4 4 44 4

1 1 1 1 1 2( )

1 ( ) 1 1 11i

i i iz Re f z

z Re R e R RR eθ

θ θ θ= → = = ≤ ≤ = ≤+ + − −−

Determinamos las singularidades de la función 4

1( )

1f z

z=

+:

iiiiezezezezzz 4

7

44

5

34

3

24

144 ,,,101

ππππ

====→−=→=+


53

son polos simples, de los cuales sola-mente los dos primeros quedan rodea-dos por el circuito (están en el semi-plano superior).

Residuos de los dos primeros polos:

( )1 1

31 4

1 1 4 3 2 2 3 31 1 1 1

1 1 1 1lim lim

1 4 4

i

z z z za z z e

z z z z z z z z

π−

− → →

= − = = = + + + +

( )2 1

92 41 2 4 3 2 2 3 3

2 2 2 2

1 1 1 1lim lim

1 4 4

i

z z z za z z e

z z z z z z z z

π−

− → →

= − = = = + + + +

Calculo de la integral:

Por ser la integral de una función par, puede expresarse como ∫∫∞

∞−

∞

+=

+ 12

1

1 40

4 x

dx

x

dx :

4 4 4 4 4 40 0

1 1 1 1lim lim lim lim 0 lim

1 1 2 1 2 1 2 1 2 1

R

R R R R RC C C

dx dx dx dx dx dx

x x z z z z

∞

→∞ →∞ →∞ →∞ →∞Γ

= = − = − = =+ + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫� � �

3 9 3 9

1 2 4 4 2 4 41 1

1 1 1 1 1 1 12 ( ) 2 2

2 2 4 4 2 4 4

i i i i ii a a i e e e e e

ππ π π ππ π π

− − − −

− −

= + = + = +

1 7

4 41 1 7 7

cos cos4 4 4 4 4 4 4 4

i ie e isen isen

π ππ π π π π π− − = + = − + − + − + −

242

2

2

2

2

2

2

2

4

ππ =

++

−= ii

En este otro ejemplo podemos acotar rápidamente la integral sobre el tramo de la semicircunferencia Γ : Sea el calculo de la integral

( )22 1

dx

x

+∞

−∞ +∫


54

Se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2lim lim lim

1 1 1 1

R

R R RR C

dx dx dz dz

x x z z

+∞ +

→∞ →∞ →∞−∞ − Γ

= = −+ + + +

∫ ∫ ∫ ∫�

Veamos que se anula la integral sobre la semicircunferenciaΓ:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 22 2 2 20 0 01 Re 1 Re 1 Re 1

i i i

i i i

dz Rie d Rie d Ried

z

π π πθ θ θ

θ θ θ

θ θ θΓ

= ≤ ≤+ + + −

∫ ∫ ∫ ∫

2 2

0( 1)

R

Rπ≤ →

− para R→ ∞ . Luego

( )22lim 0

1R

dz

z→∞Γ

=+

∫ .

y finalizamos el cálculo:

( ) ( )2 22 2lim

1 1RC

dx dz

x z

+∞

→∞−∞

=+ +

∫ ∫�

Singularidades:

( )22 2 ( )( 1) 0 ( )( ) 0

( )

z i doblez z i z i

z i doble

=+ = → − + = → = −

De ampos polos, solo el primero está dentro del recinto rodeado por el circuito. Calculemos el residuo:

( ) ( )1 2

1 2 2 32

1 1 2 1lim ( ) lim lim

( ) 41z i z i z i

d da z i i

dz dz z iz iz− → → →

− = − = = = − +++

Finalmente: ( ) ( )2 22 2

1lim 2 ( )

4 21 1RC

dx dzi i

x z

ππ+∞

→∞−∞

= = − =+ +

∫ ∫�

07. Bibliografía Ahlfors, L. V.; Análisis de variable compleja, McGraw-Hill, New York 1979. Apostol, T.M.; Análisis Matemático, Editorial Reverté, Barcelona, 1986


55

Caratheodory; Theory of functions of a complex variable, Chelsea, 2001. Cartan, H.; Teoría elemental de las funciones analíticas de una y varias variables

complejas, Madrid, Selecciones Científicas, 1968. Copson, E. T.: An introduction to the theory of functions of a complex variable,

Oxford University Press, 1970. Goursat, E.; Cours d’analyse Mathematique, Gauthier Villars, Imprimeur Libraire,

1905, Paris. Markushevich, A. I; Teoría de las funciones analíticas, Editorial Mir: Moscú 1970. Philips, E. G.; Funciones de una variable compleja, Dossat, Madrid, 1963.

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