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GUÍAS DIDÁCTICAS DE INTERAPRENDIZAJE PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DEL CONCEPTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS EN EL GRADO SÉPTIMO DE LA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA AGUACATAL DEL MUNICIPIO DE NEIRA

INTER-LEARNING TEACHING GUIDELINES FOR TEACHING-LEARNING THE INTEGER´S CONCEPT IN SEVENTH GRADE AGUACATAL SCHOOL NEIRA

TOWNSHIP

ALEJANDRO ARISTIZÁBAL ARBELÁEZ

Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Manizales, Colombia

2016

GUÍAS DIDÁCTICAS DE INTERAPRENDIZAJE PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DEL CONCEPTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS EN EL GRADO SÉPTIMO DE LA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA AGUACATAL DEL MUNICIPIO DE NEIRA

ALEJANDRO ARISTIZÁBAL ARBELÁEZ

Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director

Magister Jorge Eduardo Giraldo Arbeláez

Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Manizales, Colombia

2016

Dedicatoria: Este trabajo está dedicado a todas aquellas personas que de una u otra manera me impulsaron, apoyaron y colaboraron para que esta enriquecedora experiencia y este sueño se hiciera realidad. A mi esposa Lorena, que con sus múltiples inteligencias y determinación supo mejorar mi labor docente, mi entorno y mi vida. A mis padres que siempre me apoyaron durante mi vida escolar y profesional, aún siguen ahí, a mi lado, proporcionándome la seguridad que necesito. A todos los compañeros que han pasado por mi carrera como docente, los cuales han aportado infinidad de experiencias enriquecedoras para superar los obstáculos diarios de mi vida laboral. A los docentes de mi Universidad Nacional en Manizales, quienes, desde pregrado y más aún, en el posgrado, han abierto mi mente a nuevos conocimientos.

Agradecimientos

A la Universidad Nacional de Colombia sede Manizales por su excelente labor

académica, por brindarme la oportunidad y el orgullo de volver a ser egresado de la

misma, en esta ocasión con un programa de posgrado.

A mi esposa Yheny Lorena Pineda Rodríguez por sus múltiples consejos y activa

participación para que este proyecto pudiera hacerse realidad.

A mi director de tesis, el magister Jorge Eduardo Giraldo Arbeláez por su disposición y

permanente colaboración.

Al director del programa de Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y

Naturales, Vicedecano de la facultad y jurado revisor de mi tesis final de maestría, el

Magister Jhon Jairo Salazar Buitrago, por su colaboración y disposición para que este

sueño pudiera volverse realidad.

A los estudiantes del grado séptimo de la Institución Educativa Aguacatal del municipio

de Neira, directivas y compañeros, por su colaboración y paciencia en la realización

de un trabajo compartido donde el aprendizaje fue mutuo y real.

Resumen

En este trabajo de profundización se diseñaron e implementaron guías de

interaprendizaje para la enseñanza del concepto de los números enteros en los

estudiantes del grado séptimo de la Institución Educativa Aguacatal del municipio de

Neira, Caldas. Para esto se identificaron los pre-saberes sobre el concepto de los

números enteros, mediante la aplicación de un instrumento de ideas previas; se

diseñaron guías de interaprendizaje, con los momentos de Escuela Nueva, se

seleccionaron e incluyeron, en algunas de ellas, actividades con herramientas de las

nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) y se identificó el

cambio en el aprendizaje al implementarlas. Se pretende con este trabajo, que el

docente cambie su postura rígida dentro del aula, que tome un modelo ya

implementado en las instituciones educativas y le incorpore estrategias innovadoras

que lo hagan más valioso, productivo y se refleje en un aprendizaje significativo para

los estudiantes.

PALABRAS CLAVES: Guías de interaprendizaje, herramientas TIC, enseñanza, números enteros.

Abstract In this work they are designed and implemented deepening of mutual learning guides

for teaching the concept of integers in the seventh grade students of the educational

institution Aguacatal in the municipality of Neira, Caldas. For this pre-knowledge about

the concept of integers identified by application of an instrument of preconceptions;

guides of inter-learning were designed with the steps of New School, some of them

were selected and included activities with tools of new information and communications

technologies (ICT) and the change in learning was identified to implement them. It is

intended with this work, the teacher change her rigid posture in the classroom, take a

model already implemented in educational institutions and incorporate to it, innovative

strategies that make it more valuable, productive and reflected in a significant learning

for students.

Keywords: Inter-learning guides, ICT tools, teaching and learning integers numbers.

Contenido VI

Tabla de Contenido

Pág.

TABLA DE CONTENIDO ........................................................................................................ VI

LISTA DE GRÁFICAS ........................................................................................................... VIII

LISTA DE TABLAS .................................................................................................................. IX

INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 1

1. PLANTEAMIENTO DE LA PROPUESTA ..................................................................... 5

1.1 Planteamiento del problema ................................................................................................... 5

1.2. Justificación ................................................................................................................................. 6

1.3. Objetivos ................................................................................................................................ 7 1.3.1. General ........................................................................................................................................... 7 1.3.2. Específicos ...................................................................................................................................... 7

2. MARCO TEÓRICO ............................................................................................................ 8

2.1. Antecedentes ......................................................................................................................... 8

2.2. Reflexiones sobre el Concepto de Número ............................................................................ 10 2.2.1 Consideraciones Históricas ............................................................................................................ 10 2.2.2. Consideraciones Metodológicas .................................................................................................. 11

2.3. Obstáculos en el Proceso Enseñanza de las Ciencias Exactas .................................................. 13 2.3.1. Elemento de la ciencia y naturaleza de la ciencia cognitiva ................................................. 13 2.3.2. Desarrollo del pensamiento crítico y dominios del pensamiento ........................................ 13

2.4. Ideas Previas y Cambio Conceptual ....................................................................................... 16

2.5. Guías de interaprendizaje con el modelo Escuela Nueva ........................................................ 20 2.5.1. Antecedentes de Escuela Nueva ........................................................................................... 20 2.5.2. Las guías de Interaprendizaje ............................................................................................... 21 2.5.3. Fundamentos conceptuales y didácticos en las matemáticas .............................................. 23

2.6. Herramientas TIC en la enseñanza de las matemáticas ........................................................... 24 2.6.1 Por qué usar las herramientas TIC en la enseñanza de las matemáticas ...................................... 24 2.6.2 Las teorías del aprendizaje y las tecnologías de la información .................................................... 26 2.6.3 La Inclusión del software educativo en la enseñanza de las matemáticas .................................... 27

2.7. Marco legal, estándares del Ministerio de Educación Nacional ............................................... 28 2.7.1. Normatividad sobre currículos para la formación en matemáticas. ..................................... 28 2.7.2. Competencias Matemáticas .................................................................................................. 30 2.7.3. Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas Sexto a séptimo .............................. 31

3. METODOLOGÍA .............................................................................................................. 33

3.1. Enfoque del Trabajo .............................................................................................................. 33

3.2. Contexto del Trabajo ............................................................................................................. 33

3.3. Fases del Trabajo ................................................................................................................... 34 3.3.1. Fase Inicial ............................................................................................................................. 34 3.3.2. Fase de Diseño....................................................................................................................... 35 3.3.3. Fase de Aplicación ................................................................................................................. 35 3.3.4. Fase de Evaluación ................................................................................................................ 35

4. ANÁLISIS DE RESULTADOS ........................................................................................... I

4.1. Análisis de resultados pre-test de ideas previas sobre el concepto de los números enteros .... 36

4.2. Análisis de Resultados del Pos-Test de conocimientos adquiridos sobre los Números Enteros 42

4.3. Análisis comparativo de los resultados del proceso ................................................................ 49

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................................ 56

5.1. Conclusiones ......................................................................................................................... 56

5.2. Recomendaciones ................................................................................................................. 57

A. ANEXO: PRE-TEST Y POS-TEST SOBRE EL CONCEPTO DE NÚMEROS ENTEROS .................................................................................................................................. 59

B. ANEXO: GUÍAS DE INTERAPRENDIZAJE ................................................................ 66

Guía uno: El conjunto de los números enteros ................................................................................... 66

Guía Dos: Operaciones En Z ............................................................................................................... 77

Guía tres. Ecuaciones con números enteros ....................................................................................... 90

Guías de Interaprendizaje Utilizando Herramientas TIC ...................................................................... 97

BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................... 104

VIII GUÍAS DIDÁCTICAS DE INTERAPRENDIZAJE PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DEL CONCEPTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS EN EL GRADO SÉPTIMO DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA AGUACATAL DEL MUNICIPIO DE NEIRA

Lista de Gráficas Pág.

Gráfica 1 Pre-test Concepto de número entero ..................................................................... 37 Gráfica 2 Pre-test Representación gráfica de los números enteros ...................................... 38 Gráfica 3 Pre-test Adición y sustracción de números enteros ............................................... 39 Gráfica 4 Pre-test Multiplicación y división de números enteros ........................................... 40 Gráfica 5 Pre-test Ecuaciones con números enteros ............................................................ 41 Gráfica 6 Pre-test Solución de problemas aplicando los números enteros........................... 42 Gráfica 7 Post-test Concepto de número entero ................................................................... 43 Gráfica 8 Post-test Representación gráfica de los números enteros .................................... 44 Gráfica 9 Post-test Adición y sustracción de números enteros ............................................. 45 Gráfica 10 Post-test Multiplicación y división de números enteros ....................................... 46 Gráfica 11 Post-test Ecuaciones con números enteros ......................................................... 47 Gráfica 12 Post-test Solución de problemas aplicando los números enteros ....................... 48 Gráfica 13 Análisis comparativo concepto de número entero ............................................... 49 Gráfica 14 Análisis comparativo Representación gráfica de los números enteros ............... 50 Gráfica 15 Análisis comparativo Adición y sustracción de números enteros ........................ 51 Gráfica 16 Análisis comparativo Multiplicación y división de números enteros .................... 52 Gráfica 17 Análisis comparativo Ecuaciones con números enteros...................................... 53 Gráfica 18 Análisis comparativo Solución de problemas aplicando los números enteros .... 54

Contenido IX

Lista de tablas Pág.

Tabla 1 Pre-test Concepto de número Entero ........................................................................ 36 Tabla 2 Pre-test Representación gráfica de los número enteros .......................................... 37 Tabla 3 Pre-test Adición y sustracción de números enteros .................................................. 38 Tabla 4 Pre-test Multiplicación y división de números enteros .............................................. 39 Tabla 5 Pre-test Ecuaciones con números enteros ............................................................... 40 Tabla 6 Pre-test Solución de problemas aplicando los números enteros ............................. 41 Tabla 7 Post-test Concepto de número entero ...................................................................... 43 Tabla 8 Post-test Representación gráfica de los números enteros ....................................... 44 Tabla 9 Post-test Adición y sustracción de números enteros ................................................ 45 Tabla 10 Post-test Multiplicación y división de números enteros .......................................... 46 Tabla 11 Post-test Ecuaciones con números enteros............................................................ 47 Tabla 12 Post-test Solución de problemas aplicando los números enteros .......................... 48 Tabla 13 Análisis comparativo concepto de número entero .................................................. 49 Tabla 14 Análisis comparativo Representación gráfica de los números enteros .................. 50 Tabla 15 Análisis comparativo Adición y sustracción de números enteros ........................... 51 Tabla 16 Análisis comparativo Multiplicación y división de números enteros ....................... 52 Tabla 17 Análisis comparativo Ecuaciones con números enteros ........................................ 53 Tabla 18 Análisis comparativo Solución de problemas aplicando los números enteros....... 54

Introducción

Las políticas educativas en Colombia han tomado diversos caminos durante las últimas

cinco décadas en su afán de lograr que los individuos reciban una formación

significativa y que tenga en cuenta las necesidades de su entorno; pero, las pobres

condiciones económicas de los habitantes de las zonas rurales, el mal estado de la

malla vial y las dificultades para que los niños y jóvenes accedan a una educación de

calidad hacen que la realidad de estos estudiantes sea otra. Se creó la Escuela

Unitaria como tabla de salvación para la educación en el campo, aunque presentaba

algunos problemas metodológicos y de funcionabilidad para los docentes responsables

de estas escuelas.

Surge entonces un programa modelo llamado Escuela Nueva, para resolver estas

situaciones problémicas; basado en las teorías de Ausubel (2002), le da gran

importancia a las ideas previas del educando, partiendo de allí para construir los

contenidos y procesos de enseñanza. Estos contenidos están regulados por el

Ministerio de Educación Nacional (2006), estándares y competencias que los

estudiantes deben alcanzar al final del ciclo formativo; para ello, masifican el trabajo

con cartillas, módulos o guías de interaprendizaje en cuatro momentos para el

desarrollo de los temas.

El docente se convierte en orientador de un trabajo instruccional que desarrollan los

educandos, ellos realizan el proceso de aprendizaje por sí mismos, de manera flexible

y a su propio ritmo. Sin embargo, el área de matemáticas pretende que en los

estudiantes se estructuren diversos tipos de pensamientos lógicos, numéricos,

analíticos, variacionales, entre otros; evidenciando las falencias del sistema, las guías

y el modelo en general. Se dificulta la labor del docente y el cumplimiento de los

objetivos trazados por él mismo, los contenidos se vuelven pesados, monótonos, sin

sentido para los jóvenes, obstaculizan el buen desempeño en las pruebas externas,

que valoran los alcances de los aprendizajes adquiridos. Sumado a estos factores,

2 Introducción

existe el bloqueo mental en los estudiantes desde la primaria, donde ven los saberes

matemáticos inútiles, imprácticos y sin ninguna aplicabilidad en su vida diaria.

Teniendo en cuenta la importancia que tiene formular, crear, forjar, dejar un legado

conceptual en las mentes de los estudiantes de grados inferiores, a fin que en su

formación futura encuentren el área de matemáticas como una diversión y para ellos

sea más fácil realizar los procedimientos adecuados para la solución de problemas

aritméticos, algebraicos, trigonométricos, de cálculo e inclusive problemas donde se

reten sus capacidades probabilísticas y geométricas; sería un error pedagógico

continuar con los procedimientos tradicionales de la educación actual.

En las instituciones educativas del país, se están presentando problemas con las

estrategias usadas por los docentes tradicionales para transmitir los nuevos

conocimientos a sus estudiantes, la apropiación de los conceptos matemáticos básicos

están ausentes de los procesos de enseñanza. La Institución Educativa Aguacatal del

municipio de Neira en el departamento de Caldas no es ajena a esta realidad y se

pueden observar grandes vacíos conceptuales en temas aritméticos sobre los cuales

se fundamentan los desarrollos algebraicos y del cálculo. En reuniones con los

docentes del departamento de matemáticas de la institución, se llegó a la conclusión

que uno de los contenidos que más vacíos presenta es sobre el Concepto de los

Números Enteros del grado séptimo.

Para hacerle frente a este escenario, el presente trabajo plantea un interrogante: ¿Son

las guías de interaprendizaje apoyadas algunas de ellas en herramientas de las

nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) una estrategia para

mejorar el proceso de enseñanza del concepto de los números enteros? Se considera

que la forma más asertiva para dar respuesta a la pregunta anterior es: Diseñar e

implementar guías de interaprendizaje, con los momentos de la metodología Escuela

Nueva, para la enseñanza del concepto de los números enteros en los estudiantes del

grado séptimo de la Institución Educativa Aguacatal del municipio de Neira Caldas.

Se identificarán los presaberes mediante la aplicación de un instrumento para evaluar

las ideas previas de los estudiantes; una vez se han analizado las dificultades, vacíos

cognitivos y obstáculos epistemológicos en ellos, se procede a diseñar las guías de

Introducción 3

interaprendizaje que traten los contenidos, basados en los estándares y competencias

nacionales e incluyan, algunas de ellas herramientas de las nuevas tecnologías, con el

fin de que estas puedan suplir los espacios del conocimiento e intentar producir un

cambio conceptual en los mismos. Un análisis final de resultados será arrojado por la

evaluación posterior del proceso y se obtendrán conclusiones al respecto.

Se sustenta la fundamentación teórica con diferentes autores y trabajos de

investigación relacionados, unidos al planteamiento de la construcción epistemológica,

histórica y metodológica del concepto de número y de su proceso de enseñanza.

Teniendo en cuenta lo anterior, este trabajo de aplicación considera algunos elementos

del método de investigación cuantitativa- descriptiva, cuya metodología es pertinente

para el subgrupo de la población de interés, es un estudio que se dirige

fundamentalmente a la descripción de un fenómeno educativo, en una circunstancia

temporal y especial determinadas. Para lograr los objetivos planteados se establecen

cuatro fases del proceso y sus actividades; la primera tiene como objetivo identificar,

caracterizar y definir el problema de investigación; la segunda, tiene como ideal

diseñar guías de interaprendizaje, con los momentos de Escuela Nueva y seleccionar

e incluir, en algunas de ellas, actividades con herramientas de las nuevas Tecnologías

de la Información y la Comunicación (TIC); la tercera, tiene como meta aplicar la

estrategia propuesta por medio de las guías de interaprendizaje para la enseñanza del

concepto de los números enteros en los estudiantes de grado séptimo y la cuarta fase

del proyecto implica la utilización y verificación de si las herramientas utilizadas

cumplen las expectativas planteadas en el proyecto, con base en el análisis de los

instrumentos de evaluación pre-test y pos-test.

El presente documento es el trabajo final para optar al título de Magister en Enseñanza

de las Ciencias Exactas y Naturales, está dividido en capítulos que mostrarán lo

siguiente: en el capítulo uno se encurta el planteamiento del problema de

investigación, la justificación y los objetivos de la misma. Luego, en el capítulo dos, se

expone el marco teórico, el cual muestra el estado del arte, reflexiones de varios

autores sobre el concepto de número, los antecedentes históricos, las consideraciones

epistemológicas y metodologías de la misma; también se tratarán las dificultades que

enfrentan los actores del sistema educativo en el proceso de enseñanza-aprendizaje

de las ciencias, el mismo capítulo trae algunos pensamientos acerca de qué son las

4 Introducción

ideas previas, sus características y estrategias para logar un cambio conceptual en la

enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en los estudiantes de básica secundaria.

En el capítulo dos de marco teórico, se tratan también las características principales de

la metodología Escuela Nueva, sus orígenes, propósitos, los fundamentos didácticos

para la enseñanza de las matemáticas y su implementación en guías de

interaprendizaje; el uso de las herramientas de las nuevas tecnologías de la

información y la comunicación como estrategia para la construcción de conocimiento

en la enseñanza de las matemáticas y, al final, la normatividad colombiana que soporta

los contenidos de las áreas fundamentales impartidas en las instituciones de

educación.

El capítulo tres, explicará la metodología utilizada para el desarrollo del trabajo, el

enfoque y contexto del mismo y sus fases. El capítulo cuatro contiene el análisis de

los resultados obtenidos al aplicar los instrumentos de ideas previas, la identificación

de los vacíos conceptuales, de cómo fue el cambio conceptual después de aplicar las

guías de interaprendizaje con los momentos de Escuela Nueva y las herramientas TIC

seleccionadas, mediante el análisis de resultados de una prueba final y, de todo el

proceso realizado; extraer, como quinto y último capítulo, conclusiones y

recomendaciones. .

1. Planteamiento de la propuesta

1.1 Planteamiento del problema La matemática en general, en las instituciones educativas de Colombia, ha sido la asignatura por la cual la mayoría de los estudiantes tienen problemas en sus calificaciones finales, estos la encuentran monótona, pesada y hasta incomprensible. Para ellos se vuelve un obstáculo, pues al momento de querer realizar los análisis correspondientes a los ejercicios de aplicación, se encuentran ante un monstruo que les bloquea la mente y pueden verse como algo imposible de desarrollar y, aún con la orientación del docente, les es muy difícil encontrar el camino para alcanzar los objetivos propuestos y darle respuesta a los interrogantes propuestos. Para modificar esta perspectiva del área, es necesario desarrollar estrategias que permitan sortear los obstáculos de una forma didáctica al fortalecer los conceptos básicos de la temática y de esta forma, sembrar el interés y la comprensión adecuada de los contenidos para así mejorar su desempeño en grados futuros. En el caso específico de la Institución Educativa Aguacatal de Neira Caldas, se ha tenido en cuenta, además de las discusiones y análisis internos sobre los procesos de enseñanza-aprendizaje frente a la enseñanza de las matemáticas, los resultados en las pruebas externas realizadas por el ICFES- saber noveno y saber 11°, para concluir al fin, en el consejo académico de la Institución, que el problema fundamental proviene de la incomprensión y poca apropiación de los temas básicos del área; Consejo que, para hacerle frente a esta problemática y lograr un fin común, formuló la transversalización y profundización de las áreas en temas específicos, que permitan mejorar el rendimiento y/o la calidad de los conceptos aprendidos por los jóvenes durante el proceso enseñanza para lograr así, estudiantes matemáticamente más competentes. Es necesario, vital, de carácter urgente, trascender a nuevas corrientes y movimientos pedagógicos, para evitar que persistan estudiantes con manejos superficiales de los conceptos matemáticos básicos y se deje a un lado la práctica reflexiva, que le da al educando la oportunidad de comprender qué se hace y por qué se hace. Si se apartan los docentes, en cada institución educativa, de la realización de nuevos procesos pedagógicos de enseñanza, ellos y, los estudiantes se perderán la posibilidad de adquirir las actitudes y aptitudes necesarias para saber hacer en contexto, conocimiento que conlleva a sentirse bien con ellos mismos, a percibir las bondades del medio que les rodea, a sentir amor por la disciplina, interiorizarla y aprehenderla realmente, pues, según testimonios de experiencias durante la vida estudiantil de las personas, estas evitan comprender o afrontar ciertos temas cuando en su interior llevan marcada la huella de un mal momento con algún docente o concepto, lo que les impide sortear el obstáculo mental y cognitivo que poseen.

6 GUÍAS DIDÁCTICAS DE INTERAPRENDIZAJE PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DEL CONCEPTO DE LOS NÚMEROS

ENTEROS EN EL GRADO SÉPTIMO DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA AGUACATAL DEL MUNICIPIO DE NEIRA

Por todo lo anterior surge la pregunta siguiente: ¿Son las guías de interaprendizaje apoyadas algunas de ellas en herramientas virtuales, una estrategia para mejorar el proceso de enseñanza del concepto de los números enteros?

1.2. Justificación Esta problemática ha sido discutida, en varias ocasiones, por profesores, pedagogos, catedráticos, investigadores y hasta personas de la comunidad educativa; se evidencia en libros, artículos, tesis y documentos al respecto. Teniendo en cuenta la importancia que tiene formular, crear, forjar, dejar un legado conceptual en las mentes de los estudiantes de grados inferiores, a fin que en su formación futura encuentren el área de matemáticas como una diversión y para ellos sea más fácil encontrar los procedimientos adecuados para la solución de problemas aritméticos, algebraicos, trigonométricos, de cálculo e inclusive, problemas donde se reten sus capacidades probabilísticas y geométricas; sería un error pedagógico continuar con los procedimientos tradicionales de la educación actual. Surge entonces la presente propuesta, de la necesidad común de los estudiantes por afianzar el conocimiento de un tema tan fundamental, tan básico para la estructura lógico-matemática como es la conceptualización, manejo y aplicación de los números enteros, la resolución de distintos problemas y la iniciación, con base en ellos, al álgebra; temas relacionados en los cuales los estudiantes hacen un gran esfuerzo para lograr discernirlos. Con los resultados obtenidos de este proceso, se logrará el desarrollo de competencias tales como comprensión lectora, interpretación de problemas, argumentación y proposición de soluciones; competencias fundamentales para lograr que los estudiantes afiancen sus conocimientos, logren contextualizarlos y forjen unas bases sólidas para la aplicación de temas relacionados a fin de hacerlos parte de su vida cotidiana y en algún momento, llegar a transformar su entorno. La idea es motivar los estudiantes de tal forma que encuentren los contenidos como algo agradable, que les guste el saber, el conocer, el responder interrogantes planteados, el desglosar un ejercicio o procedimiento y llevarlo a buen término. Es la misión del docente que el estudiante vea las matemáticas desde otro punto de vista, deje de ser ese dilema imposible y se convierta en un reto que los obligue a esforzarse y a dar el máximo de sí mismos. Entre los estudiantes es común cometer errores metodológicos en la transición de los temas por falta de una correcta estructura de los conceptos básicos de las matemáticas; la misión es, por tanto, fundamentar verdaderas competencias matemáticas interpretativas, propositivas y argumentativas. Los temas a tratar en el transcurso de este proceso metodológico de enseñanza a través del estudio, serán de suma importancia en el manejo de asuntos claves y específicos del área que, a futuro, son necesarios para el correcto desarrollo de

Capítulo 1 7

problemas de aplicación matemática, con los cuales podrán solucionar asuntos prácticos de la vida diaria al ser estos, contextualizados de forma tal que el estudiante vean en ellos una verdadera utilidad en su entorno para llegar, en algún momento dado, a transformarlo y que los guíe hacia una educación más profesional como estudiantes universitarios para mejorar las condiciones y nivel de vida de su comunidad. El desarrollo de estas competencias en los estudiantes, les permitirán alcanzar mejores niveles académicos, no sólo en el estudio de las matemáticas, sino en otras áreas del conocimiento donde, es igual o, tal vez más importante adquirir estas destrezas con el fin de que el educando pueda provechar mejor los conocimientos que los docentes intentan orientarles; así, como este plan de mejoramiento cognitivo se verá reflejado en el desarrollo de las pruebas externas y en el momento de acceder a una educación profesional. Por tanto, con la construcción de las guías didácticas de interaprendizaje, apoyados por los momentos de escuela nueva y la inclusión de herramientas de las nuevas tecnologías, el docente estará en una posición favorable para enseñar el concepto de los números enteros en los estudiantes del grado séptimo; de esta forma, poder suplir las necesidades cognitivas de los educandos y sortear los obstáculos pedagógicos que éstos presentan al momento de querer conceptualizar y exponer lo aprendido durante los momentos de la clase de matemáticas. Para ello el orientador podrá utilizar herramientas mediales, prácticas, lúdicas como videos, búsquedas en la web, presentaciones orientadoras, que puedan ser más adecuadas para estimular las mentes de estos.

1.3. Objetivos

1.3.1. General

Diseñar e implementar guías de interaprendizaje, con los momentos de la metodología Escuela Nueva, para la enseñanza-aprendizaje del concepto de los números enteros en los estudiantes del grado séptimo de la Institución Educativa Aguacatal del municipio de Neira.

1.3.2. Específicos

• Identificar los pre-saberes sobre el concepto de los números enteros, mediante

la aplicación de un instrumento de ideas previas.

• Diseñar guías de interaprendizaje, con los momentos de escuela nueva y

seleccionar e incluir, en algunas de ellas, actividades con herramientas de las

nuevas Tecnologías de Información y la Comunicación (TIC).

• Identificar el cambio en el aprendizaje al implementar las guías de

interaprendizaje.

2. Marco Teórico

2.1. Antecedentes El autor Rico L. (1995), en su artículo “Errores y Dificultades en el Aprendizaje de las Matemáticas”, afirma que la presencia permanente de errores en la adquisición y consolidación del conocimiento humano es una cuestión compleja y delicada puesto que son conocimientos deficientes e incompletos. Así mismo, expone como el error es una posibilidad y una realidad permanente en el conocimiento científico y el desarrollo de éste, a su vez, está plagado de errores. Entre tanto, manifiesta que el objetivo del aprendizaje es la adquisición de conocimiento verdadero, aunque los procesos de aprendizaje incluyan errores sistemáticos; es así como el error es un objeto de estudio para la educación matemática. El libro “La Enseñanza de las Matemáticas en la Escuela Secundaria” (Colectivo de autores: 1995), pretende actualizar a los docentes del área de matemáticas de básica secundaria en propósitos tales como, proporcionar información necesaria para el desarrollo de las actividades planteadas en la guía de estudio; brindar elementos que favorezcan una mejor comprensión del enfoque vigente para la enseñanza de las matemáticas, en la educación secundaria; presentar materiales que propicien en el maestro la reflexión sobre su práctica y, en consecuencia, contribuir a su formación académica y pedagógica. Mesa, B. O., Quintero Q. M., & Zapata Villegas, V. V. (1996), en su artículo “Por qué a los niños se les dificulta las matemáticas”, relata cómo éstas se vuelven en algo tedioso, lleno de reglas sin sentido y que ni el profesor de matemáticas es capaz de explicarlas, donde en el pensamiento del estudiante está en la presión que ejerce sobre su mente la amenaza de un examen final. Investigación que evidencia como tesis central, el momento de enseñar los conocimientos a los niños por parte del docente, quien debe tener en cuenta, además de su contexto sociológico, económico y el factor cultural, la etapa del desarrollo biológico en el que ellos se encuentran, marcando diferencias fundamentales en el proceso de aprendizaje. Brousseau (2006), en su artículo “¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la didáctica de las matemáticas?”, hace una explicación frente al enfoque de la didáctica, divido en tres sentidos, en el primer sentido, el didacta es un enseñante que hace esfuerzos particulares para determinar el objeto y los métodos de su enseñanza, en el segundo, es un técnico o un ingeniero, que produce y propaga innovaciones y en el tercero, es un investigador, que se distingue en su disciplina porque su objeto de estudio tiene que ver con la enseñanza.

Capítulo 2 9

Ruiz Ortega (2006), en su artículo “Ideas de ciencias en el proceso enseñanza aprendizaje”, hace un análisis de las ideas que el docente tiene sobre la ciencia, su naturaleza y forma de construcción y como éstas inciden de manera significativa en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la misma; asegura igualmente, que son producto de su escolarización, tiempo durante el cual asumen o rechazan principios y procedimientos de sus propios profesores, así como los momentos álgidos de su actividad diaria en los cuales el docente se encuentra con situaciones que ratifican o cambian su forma de pensar y que influyen directamente en su labor educativa. D'Amore B., y Godino J. (2007), en su artículo sobre “El Enfoque Ontosemiótico como un Desarrollo de la Teoría Antropológica en Didáctica de la Matemática”, exponen las principales características de dos puntos de vista usados como marcos teóricos de referencia en investigaciones realizadas en Didáctica de la Matemática, los denominados antropológicos y ontosemiótico con el fin es resaltar analogías y diferencias entre estos dos enfoques y abrir la puerta hacia otros desarrollos teóricos. La tesis de Chica (2011), “Propuesta de intervención pedagógica para comprender el significado del número entero: intervención pedagógica para el Colegio San José de las Vegas para el grado sexto”, está basada en guías de trabajo, como herramientas que fomentan en el estudiante la autonomía y la libertad de decisión, las cuales pretenden desarrollar el concepto de números enteros y sus operaciones. Investigación que retoma como ejes temáticos, el significado desde la perspectiva de Wittgenstein, la construcción de conocimiento basado en conceptos previos desde Ausubel y a Broseau desde lo concerniente a situaciones didácticas. Monterrubio M. C., y Ortega T. (2011), en su artículo “Diseño y aplicación de instrumentos de análisis y valoración de textos escolares de matemáticas”, presenta el proceso que ha permitido elaborar distintos modelos de análisis y valoración de textos escolares de matemáticas así como instrumentos de valoración como herramientas para la elaboración de materiales curriculares e indicadores de calidad profesional por parte del profesorado. Igualmente, dan ejemplos de su puesta en práctica, con el fin que los docentes de básica secundaria puedan elegir un libro de acuerdo con el contexto en el que se desarrolla la práctica educativa. Las investigadoras Navia, O. N., y Orozco C. V. (2012), en su tesis “Una Introducción al Concepto de Entero Enfatizando en el Número Negativo en el Grado Séptimo de la Educación Básica”, abordan una compleja problemática relativa a la enseñanza y aprendizaje de los números de enteros en la escuela, para lo cual se toman como punto de partida algunas investigaciones realizadas por autores como, Bruno A. (1997), Cid C. E. (2003) y González, J. L., Iriarte, M., Jimeno, M., Ortiz, A., Sanz, E. & Vargas-Machuca, I. (1999). Las cuales reportan errores, dificultades y obstáculos en la construcción de este concepto desde la perspectiva histórica y didáctica. Además para abordar tal problemática proponen una secuencia didáctica que permite introducir el concepto de número entero a partir de números relativos en contextos significativos para los estudiantes de grado séptimo de la Educación Básica. Ávila A. (2013), en su investigación “Entre el autodidactismo, la solidaridad y la certificación. Procesos de estudio de las matemáticas en cuatro plazas comunitarias del INEA”, hace un estudio empírico donde se conocieron las formas que toman los procesos de estudio de las matemáticas en cuatro plazas comunitarias coordinadas

10 GUÍAS DIDÁCTICAS DE INTERAPRENDIZAJE PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DEL CONCEPTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS EN EL GRADO SÉPTIMO DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA AGUACATAL DEL MUNICIPIO DE NEIRA

por el Instituto Nacional para la Educación de los Adultos (INEA), donde el modelo Educación para la Vida y el Trabajo es el marco orientador de las acciones, pero en los hechos, la actividad matemática se guiada por un contrato didáctico institucional de orientación certificadora que encamina la actividad hacia la resolución de exámenes y la acreditación, sustentado en el autodidactismo y la solidaridad social.

2.2. Reflexiones sobre el Concepto de Número

2.2.1 Consideraciones Históricas Para comprender el concepto de número y en general, su correspondiente evolución hasta llegar a lo que hoy en día se conoce como número entero e incluso la aparición del cero en el proceso, es necesario partir de unas consideraciones históricas que darán bases fundamentales a las ideas, las nociones y los conocimientos futuros que se pretenden plantear, cultivar y dar forma en las mentes de los educandos. Todo esto permitirá la orientación del nacimiento de nuevas percepciones, evaluar la validez de las que ellos traen previamente y construir su estructura cognitiva dentro del marco epistemológico de los pre saberes y neo saberes en el tema de estudio que comprende el concepto, fundamentación y aplicación de los números enteros en un contexto funcional, vivencial y real para, de esta manera, intentar mejorar su compresión por parte de los estudiantes de básica secundaria. Los sistemas de numeración se abren paso en la historia desde el antiguo Egipto, donde se utilizó un esquema decimal, estos usaban jeroglíficos a los cuales les asignaban valores para las unidades, las decenas y en general para las potencias de 10; el orden de su escritura de ninguna manera era estricto y además poseía características aditivas. También los chinos, desde el año 1500 a.C., con la ayuda de cuerdas, “varillones” de bambú y un ensortijado de bolas de colores, similar al ábaco que se utiliza actualmente, tenían la habilidad de contar, ordenar elementos e inclusive de realizar operaciones matemáticas con un sistema multiplicativo en el cual también se ordenaban los símbolos por potencias de 10. Los griegos fueron muy importantes en la implementación de sistemas multiplicativos y apoyados en su alfabeto, donde para representar los números, como 5, 10, 100, entre otros, se utilizaban las iniciales de cada palabra; por ejemplo, para el cinco, pente, para el diez, deka y para el mil, khiloi. Al mezclar números con letras, introdujeron un concepto que se generaliza entre los judíos y los árabes, donde las palabras toman una nueva simbología y valor e influyeron altamente en su mística y su cultura (G, Ifrah, 1998). El sistema posicional que se utiliza actualmente en occidente pertenece a las transformaciones que se le realizaron en Europa entre el siglo XV al XVII, al utilizado por los babilónicos en el año de 1800 a.C., el cual consistía en un sistema en base del número 60 o sistema hexadecimal, sobre el cual se sustenta el huso horario mundial. Más adelante fueron perfeccionados en la India, pues se adaptan con aparente facilidad en su modelo decimal.

Capítulo 2 11

Aunque los procesos para las operaciones con estos sistemas de numeración eran algo complejos, daban respuestas coherentes a los objetivos propuestos por los matemáticos de la Edad Media; a pesar de esto, a finales del siglo XII ocurrió una disputa intelectual que retrasó un poco la extensión y comprensión del sistema de numeración decimal, un enfrentamiento entre los algoristas, encabezados por Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, quien es sus viajes por arabia pudo extraer de ellos conceptos claros del algebra y tratar de implementarlos en la Europa de esa época, a lo cual se oponían los abacistas, pues su negocio consistía en llevar la contabilidad de los mercaderes con engorrosas tablas de contar que contenían bolas ensartadas y que para ellos tenían fines lucrativos; es pues que la constante presión de los algoristas y los sucesores de Fibonacci dieron sus frutos en el siglo XVI cuando prevalecieron sus ideas y permitieron la masificación de estos conceptos en toda Europa. La inclusión de los números negativos fue sosegada dentro de la construcción de los sistemas numéricos; su uso fue resistido por la comunidad científica matemática durante muchos siglos, eran catalogados como números absurdos o falsos; sus inicios datan en el siglo V en los países de oriente y apenas se acepta su realidad en occidente hasta el siglo XVI. En China ya se implementaba en la resolución de problemas cotidianos, pero no para hallar los valores desconocidos en una ecuación; en la India su simbología permitía la inclusión de estos como débitos o créditos en las operaciones mercantiles, así como la muy importante inclusión del cero como número en el 650 d. C. Los griegos lo incluyeron en sus teoremas algebraicos y como parte de las propiedades de algunas operaciones, pero al momento de su solución las descartaban y las catalogaban de irreales. Brahmagupta, matemático indio, retoma la solución de las ecuaciones cuadráticas e introduce los números negativos dentro de lenguaje cotidiano, pero su notación actual fue gracias a un matemático alemán llamado Stifel (1487–1567), pues antes de este, se usaba letras como p para los positivos y n para los negativos. Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung Zur Algebra (1770) trata de “demostrar” que (-1). (-1) = +1; argumentaba que el producto tiene que ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1). (-1)=-1, tendrá que ser: (-1). (-1) = +1 (Perero, 1954).

2.2.2. Consideraciones Metodológicas Con el objetivo de descubrir el método más pertinente para un apropiado proceso de enseñanza en las aulas, es necesario indagar en los anaqueles de la historia y de los autores que han tratado el problema de cómo orientar, contextualizar, explicar de forma coherente y transformar los conceptos relacionados con las matemáticas y en especial el correspondiente a los números enteros, como proyección hacia una educación transversal donde involucre las demás áreas del conocimiento y permitan al estudiante apropiarse de este para solucionar problemas de la vida cotidiana y sentar las bases fundamentales para saberes futuros en los grados subsecuentes o incluso, en educación superior. La apropiación del lenguaje y el uso continuado del mismo permite a los estudiantes vivenciar de manera clara los conceptos anteriores y adquirir unos nuevos; el proceso


de comunicación se incrementa de forma acelerada, crea vínculos en sus mentes que les permiten mejorar la capacidad de asimilar las prácticas educativas. Como lo afirma Wittgenstein (1958): “el significado de una palabra se conoce cuando se sabe aplicarla”. Ausubel (1968) afirma: “aprendizaje significativo es aquél en que, el significado del nuevo conocimiento, viene de la interacción con algún conocimiento específicamente relevante ya existente en la estructura cognitiva”. Sumado a lo anterior, se puede encontrar el pensamiento de Brousseau (2006), el cual afirma que la adquisición de nuevos conocimientos debe originarse en los saberes previos de los estudiantes, saberes que ya vienen estructurados, comprendidos con claridad y con suficiencia cognitiva; de ahí debe partir el docente para crear sus intervenciones sistémicas y adaptarlas a la vida cotidiana de los jóvenes. Las estrategias didácticas deben estar orientadas a generar soluciones a los problemas reales que afronta el alumnado y construidos a partir de sus principios. Al respecto existen estudios tales como los realizados por Bruno (1997), González (1999) y Cid (2003), donde los autores hacen un tratado especial sobre los números enteros negativos y de cómo operarlos e identifican éstas como las mayores dificultades en la enseñanza de las matemáticas; además cómo parten de los errores de los estudiantes para tomar ventaja de estos y suplir los vacíos cognitivos o sortear los obstáculos epistemológicos que puedan surgir en el proceso. Paralelamente, otros aseguran que se deben tener en cuenta los contenidos que garanticen que los docentes puedan llevar a sus estudiantes a un aprendizaje significativo, (Ausubel, Novak y Hanesian (1976, 1978, 2002)). Algunas de las resultados a los cuales llegaron estos autores con estas investigaciones están centradas en como los estudiantes al comenzar a implementar en su lenguaje cotidiano el signo menos, evitan, de manera inconsciente, dimensionar su valor real o significado como un conjunto nuevo, percibiéndolo constantemente, aun, como operador de la resta de números naturales o, inclusive, no utilizarlo del todo. La concepción de orden es clara cuando se refiere a decir que los enteros negativos son menores que los positivos, pero se vuelve errónea al tratar de descifrar cuál de ellos es mayor o menor que otro negativo, pues los interpretan desde su valor absoluto. En conclusión, el reto del docente en el proceso de enseñanza de los números enteros consiste en utilizar estrategias que permitan cambiar los paradigmas y el mapa mental de los estudiantes para la adquisición de un nuevo concepto y que puedan vivenciar, de manera significativa y con el manejo cotidiano del lenguaje, la aparición de un nuevo conjunto, más amplio, que abarque los naturales pero que adquiere unos elementos, infinitos, que son menores que cero, opuestos a los positivos y que son propios de una nueva simbología; las variaciones en su operación como la adición que se vuelve algebraica y la multiplicación, toma mayor dificultad conceptual cuando sucede números con signos opuestos. El docente, con la ayuda de herramientas didácticas, debe buscar propiedades que atribuir a los números enteros y que se alejen del concepto de cantidad, pues el intentar justificar la explicación llevándola al plano formal evade la abstracción de las ideas, incurriendo en confusiones y errores que causarán la poca apropiación de los conocimientos y son condenados a un olvido inevitable.

Capítulo 2 13

2.3. Obstáculos en el Proceso Enseñanza de las

Ciencias Exactas La mente de los adolescentes es compleja; llena de miedos, prejuicios e interrogantes. Algunas de las ideas y conceptos que poseen son arraigadas, llenas de vacíos y errores cognitivos que generan obstáculos epistemológicos al momento de su desarrollo y crecimiento escolar. Por esto, se plantean en este ejercicio de escritura una síntesis de los procesos y la evolución del pensamiento formativo y de cómo afectan la enseñanza y el aprendizaje da las ciencias en las instituciones de educación básica secundaria y media.

2.3.1. Elemento de la ciencia y naturaleza de la ciencia cognitiva

Para comenzar es necesario exponer los módulos del pensamiento y construcción del conocimiento en las mentes de los jóvenes a partir de su estructura y el desarrollo de sus dimensiones del ser en sus niveles de desarrollo cognitivo, emocional, afectivo, entre otros; con el propósito que el docente enfoque el aprendizaje de nuevos conocimientos interactuando con los de los estudiantes. Se deben tener en cuenta aspectos tales como el manejo de la memoria, cómo el estudiante retiene los conceptos y se apropia de ellos sin ser de carácter memorístico; el conocimiento de las ciencias en el plano cognitivo a través de procesos empíricos deductivos e inductivos que construyan las bases para el aprendizaje futuro y, como tercera herramienta en la formación de aptitudes didácticas, surge el uso apropiado del lenguaje dentro del aula, lo cual permite facilitar la comunicación entre los entes participantes del proceso y con otras disciplinas para mejorar el entendimiento y la compresión de los momentos formativos dentro del aula (Tamayo, Sánchez y Buriticá, 2010).

2.3.2. Desarrollo del pensamiento crítico y dominios del pensamiento

La enseñanza de las ciencias supone implementar metodologías aplicadas y contextualizadas que le permitan al estudiante el apropiamiento de los contenidos de manera crítica y reflexiva; así como el cambio en sus modelos cognitivos y teóricos, en su lenguaje dentro del aula, aplicadas a las ciencias e inclusive en su relación con el entorno y con sus compañeros. La construcción del conocimiento se solidifica en el pensamiento crítico a partir de las ideas previas e inquietudes del estudiante, para ir develando las posibles diferencias con el concepto adecuado para sus experiencias o reafirmar las correctas apreciaciones que puedan aparecer con el método de edificación del conocimiento. Para lograr todo lo anterior se debe realizar un análisis de cuál sea el problema del aprendizaje en los colegios, de tal manera que el reto para los educadores es que el proceso enseñanza de las ciencias se vuelvan toda una aventura dentro del aula, que


los estudiantes se motiven al estudio de los contenidos reconociendo su aplicación y vivencien la naturaleza de los conceptos de forma tal que el amor por las áreas científicas le permitan apropiarse de ese conocimiento y volverlo suyo, con el propósito de una formación argumentativa, con un correcto uso del lenguaje y la solución de problemas de la vida diaria. Que el estudiante se sensibilice con lo aprehendido, cambiando su visión, su proyecto de vida y transformado su entorno. Estos puntos de vista se pueden observar en las propuestas de filósofos como Karl Popper, Thomas Kuhn, Imre Lakatos, Stephen Toulmin y otros, como lo afirman Tamayo, Sánchez y Buriticá (2010): “se introdujo la concepción de ciencia como actividad humana y producto cultural, relacionada con factores externos como los sociales, económicos y políticos, que a su vez influyen en el desarrollo del conocimiento científico” (p. 5). La educación y el desarrollo de herramientas didácticas por parte del docente son de suma importancia para lograr una conexión simbiótica con el pensamiento del estudiante, darle la libertad de opinar, ensayar y también, de equivocarse; se puede pensar en utilizar el error como un medio para enseñar. Esta identificación afectiva y emocional con el estudiante tiene implicaciones psicológicas que dependen de la etapa del desarrollo humano en la cual se desenvuelve la educación escolar, los estudiantes pertenecen a edades en las cuales el equivocarse puede ser para ellos un suicidio social. Es importante observar que durante el juego o incluso en competencias deportivas los jóvenes evolucionan de acuerdo con el aprendizaje de sus mismos errores, pero durante el tiempo de clase estos son vistos de manera punitiva e incluso el docente en ocasiones utiliza este método de presión para controlar disciplinariamente el grupo o castigar severamente la desatención de los mismos. Los niños obtienen un proceso inconcluso como resultado durante el aprendizaje, sus ideas permanecen como aguas estancadas en una lluvia de conceptos que poco fluyen para darle paso al devenir y desarrollo cognitivo de los mismos. Sufren de falta de retroalimentación en su formación, a veces por miedo o por metodologías pobres al momento de satisfacer las necesidades formativas; pierden la capacidad de interpretar los resultados de un sistema de evaluación impuesto, donde ésta es insuficiente para el mejoramiento. Como afirma Astolfi (2004) “son incapaces de relacionar con claridad lo que son capaces de hacer con las calificaciones que obtienen, sus resultados les parecen consecuencia de otras variables, que se escapan a su control” (p. 1). Aquí el error conceptual se vuelve obstáculo epistemológico en el momento que el docente se siente impotente de transfórmalo en algo positivo para el desarrollo cognitivo y superar esa dificultad en el proceso de enseñanza aprendizaje. Gastón Bachelard (2000) en su obra “La formación del espíritu científico” afirma:

“Los profesores, sobre todo los de ciencias, no comprenden que los alumnos no comprenden. Se imaginan que la mente sigue los mismos pasos que una lección; que los alumnos pueden hacerse con una cierta “cultura” si los profesores les imparten la misma clase una y otra vez, o que pueden llegar a entender una demostración si se les repite paso a paso” (Bachelard, 2000).

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Los profesores tienden a desaprovechar el error del estudiante y lo ven como algo negativo que merece ser castigado; equivocación que tal vez haga pensar que el docente es el que está fallando y de alguna manera le es difícil entender el por qué el alumno progresa tan lentamente en sus saberes. Tal vez hace falta que el educador comparta las inquietudes de sus estudiantes y se sensibilice con ellos en una comunión de ideas, donde el pensamiento de estos sea importante y parta de sus propias experiencias para formar unas nuevas. Tal vez sea posible utilizar esos fallos y transmitir seguridad al joven mediante la reafirmación de su ser y conocimientos previos; así pasaría a trabajarse con un modelo conductista, lejano del utilizado por Pavlov (1926), el cual asocia reflejos condicionados después de uno incondicionado, al repetir una acción un cierto número de veces donde siempre se obtendrá un resultado semejante; una especie de programación muy efectiva para los animales. Pero este refuerzo positivo estaría cercano a las teorías de Watson y Skinner (como se citó en Pellón, 2013), el cual promueve un incentivo para aquel estudiante que se arriesgue a equivocarse y en el proceso de corrección del mismo, aprehenda el concepto que se quiere orientar. Consecuentemente con lo anterior se establece un modelo constructivista actual que, aunque en otros momentos trató de evitar el error e inclusive ocultarlo como si fuese algo vergonzoso, en estos días es todo lo contrario lo aprovecha e inclusive, en ocasiones, trata de provocarlo para sacarle provecho. Cuando el estudiante se encuentra en silencio y teme opinar por posibles represiones psicológicas o morales, es imposible encontrar un indicador del progreso del curso y de los conocimientos que en él se transmiten; conocimientos que cuando el docente los dicta, imparte o impone y se vuelven repetitivos, actividades sin sentido lógico ni crítico, no se evidencia realmente el avance en la creación de nuevas ideas que le permitirán a joven tener la capacidad de transformar su entorno. Para concluir se hará hincapié en buscar una posible solución en cómo el desarrollo mental y epistemológico del proceso de enseñanza influye directamente sobre el estudiante y es responsabilidad del docente al sortear aquellos errores conceptuales, es su deber prestar especial atención a aquellos que se vuelven repetitivos y se arraigan en el ser cognitivo de los jóvenes pues durante el periodo escolar, tal vez, no se corrigieron a tiempo o simplemente por desatención del mismo educando, aparece entonces el concepto de obstáculo epistemológico y se convierten en un problema funcional para la persona que trata de impartir nuevos conocimientos pues en su trayectoria suceden complicaciones y enfrentamientos en las ideas de uno y el otro que impiden la transformación de las mismas. Es necesario retomar el modelo constructivista, el cual debe sobrepasar el plano descriptivo y fenomenológico que la física moderna exige, donde las matemáticas se vuelven la herramienta fundamental en la formación de una mente abstracta, que permita sobrepasar el plano concreto y formal del ejemplo y las analogías, como método de enseñanza; sistema que a la larga termina entorpeciendo la conceptualización de los nuevos conocimientos y limitando la mente de los estudiantes. Como lo asevera Bachelard, (2000, p. 8) “el pensamiento abstracto no es sinónimo de mala conciencia científica, como la acusación trivial parece implicar. Se deberá probar que la abstracción despeja al espíritu, que ella aligera al espíritu y que ella lo dinamiza”.


En general, para que el arte de enseñar se pueda afirmar, se debe tener especial cuidado sobre el conocimiento que el docente pretende dar, la metodología que aplica, sus herramientas didácticas y la mejor forma de evaluar los conocimientos, de forma tal que pueda retroalimentarse y corregir errores. Todo esto porque el cronograma de una clase corresponde al mapa mental que el docente trae e intenta apoyarse en sus habilidades y criterios, pero lo que realmente ocurre es que el estudiante elabora su propio esquema y dibuja un concepto partiendo de los que este ya posee, su realidad es diversa e incomprendida; por lo tanto el profesor que tiene en cuenta estas aseveraciones, puede construir una estructura conceptual con unas bases fuertes que surjan de las necesidades del estudiante, de sus saberes previos, de su entorno y que lo lleven a beneficiarse del mismo.

2.4. Ideas Previas y Cambio Conceptual En el proceso enseñanza es necesario tener en cuenta que los estudiantes traen consigo un bagaje de conocimientos o ideas propias sobre los fenómenos de la naturaleza, ideas que pueden o no coincidir con los nuevos que se intentan transmitir; esas ideas vienen de la formación formal anterior o de sus propias experiencias, el contexto o, en ocasiones, heredadas de sus parientes. El docente, con el fin de que sus estudiantes logren apropiarse de los nuevos contenidos, debe tener en cuenta los conceptos propios de estos y partir de allí para reafirmar o cambiar mentalidades pues estas influirán en su aprendizaje, tal como lo afirmó Ausubel y otros (2002): “Si tuviera que reducir toda la psicología educativa a un solo principio enunciaría este: El factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto y enséñese consecuentemente”. Para los estudiantes estos presaberes son importantes en la construcción de su conocimiento, al partir de la base de lo que ya conocen; según Ausubel (1983): “Al incorporar una nueva información, activan en su memoria los conocimientos relacionados con ella, establecen conexiones e interpretan la nueva información en función del conocimiento previo existente”. De acuerdo a lo anterior, son estas ideas previas elementos determinantes en el aprendizaje y la enseñanza en las Ciencias. La existencias de las ideas previas, preconcepciones, concepciones alternativas o presaberes está fuera de discusión, en lo que no se han puesto de acuerdo los investigadores del tema es de dónde surgen, cuál es su origen; Pozo (1996) señala que provienen de las experiencias y observaciones de la vida cotidiana, el profesorado, los libros de texto y otros materiales escolares, la interferencia del lenguaje cotidiano y el científico, los medios de comunicación, y la cultura propia de cada civilización. Lin, Chiu y Liang (2004) afirman que el origen de las preconcepciones está en: la enseñanza dentro y fuera de la escuela; las experiencias diarias cotidianas, el medio social y la intuición. En estas teorías se pueden observar elementos comunes que se refieren a la parte sensorial o cómo los estudiantes perciben lo que les rodea, lo interpretan y le dan un valor cognitivo relevante en la acción y participación de su propia formación. Las dificultades en la enseñanza de las matemáticas surgen cuando estas ideas previas provienen de errores en el proceso de enseñanza, de conceptos equívocos o

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incompletos transmitidos por anteriores docentes o mala interpretación de situaciones de la cotidianidad y, son reforzadas por el lenguaje común. El lenguaje convencional suele ser impreciso, refuerza ideas inadecuadas y aprendizajes inapropiados, generalmente influenciados por el entorno social y los medios de comunicación; siendo estos últimos de gran influencia entre los jóvenes. Independientemente de su origen, cumplen con las características de ser: universales, coherentes, persistentes y consistentes; surgen entonces el concepto de obstáculo epistemológico, aquí la labor del docente cobra nuevo valor pues su misión es cambiar estos paradigmas mentales. Mahmud y Gutiérrez (2010) describen las características, dadas por Posner y otros (1982), de estos errores conceptuales, ideas previas o concepciones alternativas; de esta forma:

• La universalidad se refiere a que los estudiantes muestran concepciones similares o parecidas, en diferentes países o culturas, y en edades similares.

• La coherencia se puede observar en los esquemas que poseen los alumnos

se caracterizan por el nivel de organización, es decir, por las relaciones que se establecen entre los conocimientos que integran y por el grado de interconexión lógica.

• La estabilidad y la resistencia de estas ideas consisten en que, se resisten a

la instrucción, es la persistencia, mientras que la consistencia es la utilización de una misma idea previa en contextos distintos. A veces no se tiene conciencia que los conceptos asimilados son erróneos.

• Surgen de manera espontánea y generalmente son científicamente erróneas, los conceptos científicos provienen de la abstracción y presentan un conflicto permanente con el sentido común.

• Pueden ser de carácter contradictorio y sin conexión. Un estudiante puede explicar la misma causa desde puntos de vista diferentes (Pozo, 1989).

• Hay un paralelismo con las teorías históricas de otras épocas (precientíficas). Estos cambios en la estructura y esquemas mentales de los estudiantes se logran mediante un proceso de enseñanza adecuado a sus necesidades, para que esta modificación sea efectiva y eficaz se requiere de un cambio conceptual, el cual, sin importar el modelo educativo aplicado, debe enfocarse en la transformación de las ideas previas en concepciones acorde con las que pretenden las comunidades científicas. Este cambio conceptual está caracterizado por la aplicación de estrategias instruccionales que tomen las ideas previas de los estudiantes, encuentren en ellas concepciones comunes y la aplicación de actividades que estén acorde con los conceptos que se intentan construir y que estimulen sus mentes, preparándolas para los nuevos conocimientos. La enseñanza de la disciplina matemática se enfrenta diariamente a diferentes retos y dificultades; según Brihuega (1995), la matemática consiste en saber hacer, es método


y debe fomentar las estrategias del pensamiento abstracto, crear un clima adecuado para el diálogo y la participación de activa de todos los actores dentro del aula de clase. La matemática contribuye a la adquisición de las capacidades de abstracción, generalización, crítica, y creatividad que son afines a las competencias y necesidades de las diferentes áreas del conocimiento en la educación secundaria; es una herramienta muy útil en la formación científica puesto que permiten construir modelos, adquirir sentido del número y de la forma, aprender a esquematizar, disponer de un modo de comunicación conciso y en lo posible carente de ambigüedad. La pedagogía tradicional desarrolla los temas de manera rígida, usando metodologías expositivas y unidireccionales, donde el docente explora pocas estrategias de trabajo para transmitir el conocimiento; si la idea de la matemática es la evolución de los contenidos, con aplicación en todos las disciplinas y que genere un aprendizaje significativo, es necesario utilizar otros métodos, menos expositivos y más constructivistas. Ésta formación matemática debe ser funcional, debe ayudar a los estudiantes a tomar decisiones, enfrentarse y adaptarse a situaciones nuevas, expresar sus opiniones y ser receptiva a los demás. El punto final de la educación está en la formalización de los contenidos, donde estos sean llevados al plano real, mediante la experimentación y el planteamiento de actividades que acerquen al estudiante a su realidad. “Es a partir de la actividad sobre los objetos como se construye el conocimiento matemático. En la Educación Secundaria las matemáticas deben ser más constructivas que deductivas”. (Brihuega, 1995, p. 2). Como en todas las ciencias, las ideas previas en las matemáticas también juegan un papel muy importante en esa construcción del conocimiento, su origen es variado: aprendizaje escolar anterior, el contexto, las relaciones sociales del educando; por ejemplo, casi todos los jóvenes utilizan el lenguaje probabilístico antes de que se les enseñe en la escuela. La labor del docente consiste en modificar estas ideas previas, como lo expresa el profesor Brihuega:

“…aprender, consiste en modificar estas ideas previas, organizarlas en esquemas conceptuales para enriquecerlas con nuevos significados, diferenciarlas claramente de otras parecidas, relacionarlas entre sí, y en definitiva, adecuarlas mejor a su significado pleno y real. Estos conocimientos previos de los alumnos y las alumnas se manifiestan muchas veces en forma de errores, ideas imprecisas, utilización abusiva de determinadas estructuras para todo tipo de situaciones (la proporcionalidad, por ejemplo). Sin embargo el error no ha de equipararse a fracaso, la puesta de manifiesto de los errores del alumnado adquiere una dimensión positiva, ya que es una condición necesaria para superarlos”. (1995, p. 2).

Una solución a los problemas que generan las concepciones alternativas o preconcepciones en el proceso enseñanza de las matemáticas radica en el correcto uso del lenguaje, es necesario que haya una universalidad en los términos utilizados, de ahí que las simbologías numéricas, por estar ya estandarizadas, evitan que el investigador o su aprendiz, puedan incurrir en errores conceptuales pues no da pie a subjetividades.

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De igual manera sucede con los neologismos; según Unamuno (1997), estos, definidos como elementos del lenguaje inventados para denominar un concepto nuevo, además de ser universales y de no permitir las equivocaciones por tener un carácter etimológico. Pero en otros casos, se usan palabras del lenguaje común para designar conceptos científicos produciéndose una dicotomía entre el lenguaje científico y el lenguaje común, esto puede conllevar a confusiones y suponer problemas de aprendizaje. En ocasiones los libros de texto o los mismos docentes, en su afán de simplificar las cosas y pretender que el estudiante reciba los nuevos conocimientos de la mejor forma, se olvidan de utilizar de manera adecuada el lenguaje universal al cual está sujeta la matemática; lenguaje que le garantizará a los estudiantes que en su desarrollo y construcción cognitiva se van a encontrar menos obstáculos y la aprehensión de conceptos se facilitará cada vez más. Posner, Strike y otros (1982) elaboraron un modelo de cambio conceptual fundamentado en las nociones de acomodación y de desequilibrio de la teoría de Piaget: en las ideas de Kuhn acerca de las revoluciones científicas; así como en los postulados del Programa de Investigación de Lakatos con su noción de núcleo central. En su modelo, Posner establece que existe paralelismo entre el desarrollo conceptual de un individuo y la evolución histórica de los conceptos científicos y que el cambio se produce por la presencia de conflictos cognitivos. Pero en realidad, el conflicto cognitivo, por más asertivo que parezca, en ocasiones no es suficiente para cambiar las concepciones alternativas de los estudiantes, pues, estos en su actitud de defender sus posiciones, pueden inventar otras hipótesis para sustentar las propias. Según Pozo (1992): “las concepciones alternativas resultan de, o son, teorías personales implícitas con las cuales los no expertos en un área interpretan lo que sucede a su alrededor” (p. 194, citado por Moreira y Greca, 2003). En el modelo propuesto por Posner, se necesitan cuatro condiciones para que se produzca el cambio conceptual:

• La nueva concepción debe ser potencialmente fructífera, debe resolver problemas actuales o responder preguntas a las nuevas situaciones.

• Debe existir una insatisfacción con las concepciones existentes, sí las ideas y conocimientos que posee el individuo son satisfactorias para la comprensión de un determinado fenómeno, es poco probable que acepte una nueva concepción.

• El estudiante debe ser capaz de entender lo que significa la misma; es decir la

nueva concepción debe ser inteligible.

• La nueva concepción debe parecer inicialmente plausible, consistente con el conocimiento existente aunque inicialmente contradiga las ideas previas del alumno. (Concepción plausible).


Teniendo en cuenta lo anterior, el docente debe multiplicar esfuerzos para identificar las ideas previas que van acorde con los conceptos científicos-matemáticos y aquellos preconceptos que van en contra de estos; así, plantear estrategias que generen un conflicto entre las primeras y los nuevos conocimientos. Para lograr esto, Posner sugiere un enfoque metodológico basado en el modelo instruccional de cambio conceptual y que consta de los siguientes momentos del aprendizaje;

• Acercamiento. • Expresión de las ideas previas. • Búsqueda. • Movilización. • Estructuración. • Refuerzo. • Transferencia.

Aunque la búsqueda de cambios conceptuales en la mentalidad de los estudiantes ha sido tema de investigación por innumerables autores, para alcanzar su objetivo hay que tener en cuenta que este es un proceso largo y complicado, debe implicar aprendizajes significativos, en el sentido de Ausubel y Novak (1983), que realmente cambien las ideas arraigadas, resistentes al cambio y conceptualmente erróneas que llevan a que el docente de ciencias y matemáticas se enfrenten a grandes dificultades en la apropiación del conocimiento.

2.5. Guías de interaprendizaje con el modelo Escuela Nueva

2.5.1. Antecedentes de Escuela Nueva Según el Ministerio de Educación Nacional en su documento de 2010 llamado “Manual de Implementación Escuela Nueva”, da orientaciones pedagógicas para la adecuada implementación de este modelo; además, de hacer un recuento de cómo surgió el modelo en Colombia. La Escuela Nueva surge en la década de los cincuenta, la oferta educativa dirigida al sector rural era mínima y de difícil acceso, pues no se adaptaba a las características y necesidades de esta población: pocos estudiantes por grado, lo que obligaba a que se establecieran escuelas con uno o dos docentes (escuelas unitarias) para atender a todos los estudiantes de la básica primaria; y calendarios flexibles que respondan a los requerimientos de la vida productiva del campo. En la declaración emitida por los Ministros de Educación en Ginebra, Suiza, 1961, se apoyó oficialmente la organización de escuelas rurales con un solo docente responsable de varios grados a la vez. Ese mismo año, en Colombia, dentro del proyecto piloto de Unesco (Organización de las Naciones Unidas para la Educación y la cultura) para América Latina, se organizó en el ISER (Instituto Superior de Educación Rural) de Pamplona, Norte de Santander, la primera escuela unitaria esta tuvo carácter demostrativo y se constituyó en orientadora de la capacitación nacional de escuela unitaria. Dicha experiencia se expandió rápidamente a cien escuelas en

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Norte de Santander, y, en 1967, el Ministerio de Educación Nacional la expandió a todo el país. En 1976, a partir de las experiencias acumuladas en una década de organización de escuelas unitarias en Colombia y de identificar sus logros y limitaciones, las necesidades básicas de las comunidades, las experiencias de otros modelos y de los reveladores avances educativos propuestos por especialistas nacionales e internacionales, se fue definiendo claramente el modelo de Escuela Nueva como una alternativa de mejoramiento y de expansión del Programa Escuela Unitaria. Esta determinación del modelo se presenta como una organización sistémica y nacional a las fortalezas provenientes de todas las experiencias mencionadas. El modelo de Escuela Nueva, en aquel entonces denominado Programa Escuela Nueva, produjo significativos cambios en la educación rural; especialmente, una nueva metodología participativa de trabajo entre alumnos y docentes, la utilización de guías de aprendizaje, introdujo cartillas formadas por unidades y por guías, (Ministerio de Educación Nacional 2010, p. 7). Este programa fue escogido como modelo para las zonas rurales dentro de la política de universalización de la primaria que viene desarrollándose en el país desde 1986. Actualmente 20.000 de las 25.791 escuelas públicas rurales están inscritas dentro del programa Escuela Nueva Alrededor de 40.000 maestros han sido capacitados para trabajar con este modelo, y más de 1.000.000 de estudiantes del campo colombiano asisten a escuelas que participan del programa (Schiefelbein, 1992:81-82). La meta es alcanzar el 100% de las escuelas rurales, las que a su vez corresponden al 67% del total de las escuelas públicas del país (37.678). Aunque el número de escuelas en la zona rural en comparación a la zona urbana es mayor, el número de estudiantes es menor (32%) debido a la menor proporción de estudiantes por escuela (1:22 en la zona rural y 1:58 en la zona urbana). El programa Escuela Nueva está basado en los principios del aprendizaje activo, dando la oportunidad a los estudiantes de avanzar a su propio ritmo y con un currículo adaptable a las características socio-culturales de cada región del país. El programa promueve el desarrollo de una relación fuerte entre la escuela y la comunidad, a mediante el involucrar de los padres en la vida escolar, buscando que los jóvenes apliquen lo que aprenden a su vida real y profundicen en el conocimiento de su propia cultura.

2.5.2. Las guías de Interaprendizaje Según Villar (1995) en su artículo expresa que el programa Escuela Nueva fue diseñado para centros educativos con enseñanza multigrado donde uno o dos maestros se encargan de los cinco grados que corresponden al ciclo de primaria en Colombia. Las altas tasas de repitencia motivadas por la deserción temporal de los estudiantes campesinos que colaboran con sus padres en las épocas de cosecha fue uno de los problemas al que el programa quiso encontrarle solución Para resolver tanto el reto de la enseñanza multigrado como el de la repitencia, se desarrolló la estrategia de guías de interaprendizaje, estas son materiales auto instructivos y contextualizados; en las áreas básicas, ciencias naturales, matemáticas, sociales y


lenguaje. Las guías se estructuran por objetivos y actividades que conforman unidades. El estudiante va completando unidades en cada una de las áreas y el concepto de evaluación y promoción se aplica a esta unidad menor, de manera que se remplaza la idea de grado o año escolar como unidad para determinar la promoción o repitencia de los estudiantes. Así, un estudiante que se ausenta de las labores académicas durante uno o dos periodos, continúa a partir de la última unidad que aprobó. Igualmente este sistema permite que los jóvenes puedan ir a ritmos diferenciales en relación a su grupo de compañeros y en relación a las diferentes áreas. Las guías están diseñadas de manera que se combine el trabajo individual de cada uno de los estudiantes y el trabajo en equipo; son usadas por grupos de dos o tres estudiantes en el salón de clases y en las actividades que se promueven al interior de la institución. Estas actividades grupales se combinan con las actividades individuales que cada estudiante debe realizar en su casa y con responsabilidades que cada miembro del grupo tiene en su trabajo escolar. Las guías de interaprendizaje usan el modelo de Escuela Nueva, diseñadas de tal forma que los estudiantes, durante el desarrollo de la misma, deben superar o pasar por cuatro momentos: A) Vivencia, B) Fundamentación Científica, C) Ejercitación y D) Ampliación del Conocimiento. Estos escenarios de construcción del conocimiento consisten en:

A) Vivencia; su objeto es indagar las ideas previas de los estudiantes y contiene propuestas de trabajo en el aula y fuera de ella, que facilitan y enriquecen el aprendizaje.

B) Fundamentación Científica; aborda los conceptos fundamentales de las áreas, se relacionan y desarrollan los Estándares Básicos de Competencias y los Lineamientos Curriculares del Ministerio de Educación Nacional.

C) Ejercitación; esta fase pretende motivar a los niños y jóvenes mediante actividades que parten de situaciones reales y de los intereses y la curiosidad de estos.

D) Ampliación del Conocimiento: Permiten la práctica de los aprendizajes y su aplicación en la vida diaria, por medio de diversas formas de participación y utilización de recursos. Promueven la participación activa de las familias y los docentes en los procesos de aprendizaje y en el desarrollo de proyectos.

Los momentos de la metodología Escuela Nueva pueden reflejarse en los dominios del pensamiento crítico como elementos de la ciencia cognitiva; en los módulos del pensamiento y construcción del conocimiento, a partir de su estructura mental de los estudiantes y el crecimiento de sus dimensiones del ser, en sus niveles de desarrollo cognitivo, emocional, afectivo, entre otros. Con el propósito que el docente enfoque el aprendizaje de nuevos conocimientos interactuando con los de los estudiantes. Se deben tener en cuenta aspectos tales como el manejo de la memoria, cómo el estudiante retiene los conceptos y se apropia de ellos sin ser de carácter memorístico; el conocimiento de las ciencias en el plano cognitivo a través de procesos empíricos deductivos e inductivos que construyan las bases para el aprendizaje futuro y, como tercera herramienta en la formación de aptitudes didácticas. Surge el uso apropiado del lenguaje dentro del aula, lo cual

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permite facilitar la comunicación entre los entes participantes del proceso y con otras disciplinas para mejorar el entendimiento y la compresión de los momentos formativos dentro del aula (Tamayo, Sánchez y Buriticá, 2010). El trabajo con las guías se complementa con el de los rincones escolares y con el uso de las bibliotecas. Los rincones escolares son centros para el desarrollo de actividades de observación, experimentación y manipulación de objetos y materiales producidos por los estudiantes y organizados de acuerdo a las áreas del currículo; así, como aquellos que son el resultado de diversas estrategias metodológicas, mediante el uso de herramientas didácticas aplicadas por el docente para el mejoramiento del proceso enseñanza y la apropiación de los concepto. (Villar 1995, p. 360).

2.5.3. Fundamentos conceptuales y didácticos en las matemáticas

A partir de los planteamientos de Vergnaud (2010); “El desarrollo del pensamiento lógico-matemático es el desarrollo de la capacidad de establecer relaciones y de operar con estas”. Las competencias que desarrolla el estudiante con el aprendizaje de las matemáticas le permite involucrar otras áreas del conocimiento a su crecimiento mental; de esta forma, lo matemático puede ayudarle al educando a comprender una lectura o viceversa, cuando el estudiante comprende lo que lee, este puede simplificar la relación de los objetos y problemas matemáticos. La noción de número surgirá no tanto del aprendizaje de los signos, sino de las múltiples y variadas experiencias que exijan al estudiante comparar las cantidades de dos conjuntos, componer y descomponer totalidades. A medida que el estudiante progrese en estas acciones y sea puesto en contacto con los aspectos convencionales del número: conteo, lectura y escritura, lo incorporará a sus acciones. El papel del docente es identificar y describir el conjunto de habilidades, conocimientos y actitudes, es decir, competencias que los estudiantes poseen y ponen en juego en el momento de una actividad propuesta, además, de ser creativo para implementar acciones pedagógicas apropiadas con las características del grupo. Este debe caracterizarse por tener una actitud dialógica, que supone manifestar interés por entender lo que el estudiante quiere comunicar a través de opiniones, sentimientos y acciones. La interacción supone la respuesta asertiva, en la que se concluya con las palabras precisas y en el momento adecuado. Algunos énfasis a los que el docente debe prestar especial atención son: reconocimiento de la diversidad, formar para la autonomía, promover la participación, (Ministerio de Educación Nacional, 2010, p. 195). En un reciente documento sobre las guías de aprendizaje, producido por la Unesco y Unicef y que busca difundirlos aprendizajes del programa Escuela Nueva a otros países en lo que se refiere al manejo de guía, se refiere al papel del maestro de la siguiente manera:

"El maestro ha de cuidar de no intervenir más allá de lo estrictamente indispensable. Ha de posibilitar, antes que nada, la acción del propio material y la acción de los demás alumnos.


La misión del docente es observar cómo los alumnos interaccionan con todas estas fuentes de información y de valoración y el modo cómo van avanzando en sus aprendizajes. Esta observación del trabajo le indicará cuándo y cómo actuar y qué procedimientos convendrá usar para asegurar el desarrollo positivo de los alumnos... El maestro entrega, pues, los materiales; deja que los alumnos interaccionen con ellos y toma su sitio de diagnosticador y de supervisor del trabajo total de la clase" (Schiefelbein, E. y otros, 1993, p. 9).

Lo que este ejemplo pone de presente, es que en la evolución de este programa, la definición de la tarea y las tecnologías han variado así como las expectativas sobre los implementadores o maestros. De un maestro activo y promotor de aprendizajes, se pasó a uno animador y se está terminando en un maestro diagnosticador.

2.6. Herramientas TIC en la enseñanza de las matemáticas

2.6.1 Por qué usar las herramientas TIC en la enseñanza de las matemáticas Los estudiantes del siglo XXI pertenecen a una generación de nativos digitales, para ellos es mucho más sencillo entablar diálogos con las nuevas tecnologías, que inclusive con sus compañeros de estudio o cuando lo hacen utilizando estos mismos medios; aprovechar esa ventaja técnica por parte del docente le permitirá acercarse con mayor confianza y seguridad a sus educandos, evitando que se presienten dificultades en la compresión de las áreas y se constituyan en obstáculos mentales que impidan su completo desarrollo; por ello, las Tecnologías de Información y Comunicación aplicadas a la educación son potentes herramientas que permiten afianzar conceptos, definiciones, algoritmos y procedimientos para mayor apropiación de los temas, además de un adecuado proceso enseñanza- aprendizaje. El lenguaje de las matemáticas, en particular, se sale en ocasiones de lo cotidiano para volverse en conceptos complejos para el estudiante durante la formación estructural de su sentido lógico. Los docentes sienten la necesidad de capacitarse cada vez más en estrategias didácticas que les permita usar recursos novedosos para acercarse a un ambiente agradable en el cual las matemáticas encuentren su espacio para que este sea enriquecedor y significativo. Es así como, según el investigador. González (2013, p. 2), entra en juego el uso de programas de computadora en la enseñanza de las matemáticas, que acompañados de unidades didácticas diseñadas en contextos significativos y con buenos instrumentos evaluativos, proveen a los estudiantes de las herramientas fundamentales y necesarias para afrontar los nuevos retos que propone un mundo globalizado y que da pasos agigantados a nivel tecnológico.

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En la actualidad existen innumerables páginas web o instrumentos virtuales de carácter gratuito o de libre distribución que le facilitarán al docente de matemáticas la búsqueda de estrategias didácticas en el proceso enseñanza de los contenidos del área. En ocasiones es suficiente la utilización de otros recursos tecnológicos que no sean programas especializados, como las diferentes herramientas ofimáticas, todo depende de la creatividad de los educadores en su labor diaria en el aula de clase; para que esto sea posible es necesario que las instituciones de educación secundaria y media adquieran diversos medios tecnológicos como computadores portátiles, tabletas, tableros inteligentes, una buena conexión a internet y demás equipos que permitan que los docentes los incluyan en su práctica educativa. Al momento de hacer una propuesta metodológica que incluya la utilización de herramientas de las nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) en la enseñanza de las matemáticas, es necesario tener en cuenta los objetivos del proceso tales como, modificar los paradigmas de la metodología tradicional, en la cual el docente tiene el poder absoluto y es el único dueño de la información, el estudiante se convierte en agente receptor pasivo y su papel en el acto comunicativo era el de reproducir los conocimientos adquiridos. La idea es realizar actividades que involucren las TIC en el proceso de aprendizaje de forma tal que el estudiantes lo vea como un encuentro activo y motivante para ampliar los conocimientos de los diferentes conceptos; aquí, se facilita el intercambio de información y los estudiantes realizan un trabajo de observación y análisis de las actividades propuestas para generar un diálogo entre ellos mismos. De esta forma desarrollar las competencias matemáticas que exige el mundo actual y que serán evaluadas por pruebas externas a la institución para detectar avances o falencia en el proceso de aprendizaje de los temas y los lineamientos del Ministerio de Educación Nacional; estas competencias que el docente debe desarrollar en sus educandos son, según los autores Cruz y Puentes (2012, p. 132).: pensar y razonar, argumentar, comunicar, modelar, plantear y resolver problemas, representar, utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones, usar herramientas y recursos. En su artículo de la Revista de Educación Mediática y TIC, los docentes Cruz y Puentes (2012) afirman:

“El trabajo que los estudiantes pueden lograr con la ayuda de las TIC les permite obtener las competencias necesarias para resolver situaciones matemáticas, reorganizar su forma de pensar y desarrollar tanto sus habilidades para resolver situaciones, usar el lenguaje y herramientas matemáticas Les permite dinamizar el trabajo grupal como individual, convirtiéndose en un agente activo de su proceso y no simplemente en un observador. Además de tener acceso a las matemáticas (NCTM, 2008) y ver de un modo diferente las situaciones que se le presentan en esta área. Las TIC puede ayudar a los estudiantes a aprender matemáticas, les permite mejor comprensión, descubrir por sí mismos conceptos y por ende desarrolla en ellos un aprendizaje significativo y las competencias deseadas”. (Cruz y Puentes, 2012, p. 142).


Puede que estas estrategias metodológicas no sean la solución a las dificultades que presenta la enseñanza de las matemáticas, pero les brinda la oportunidad a los estudiantes de manipular objetos virtuales y visualizar tanto las operaciones como los resultados a problemas propuestos, permitiendo establecer relaciones entre ellos. El estudiante estará más interesado en la búsqueda de soluciones a los problemas en interactúa con mayor atención con los contenidos propuestos llevando el aprendizaje a niveles significativos.

2.6.2 Las teorías del aprendizaje y las tecnologías de la información

Al incluir estrategias metodológicas usando las herramientas de la Tecnologías de Información y Comunicaciones, se están aplicando diversas teorías sobre el desarrollo cognitivo del aprendizaje y del papel que juegan estos software. Pero ninguna de estas teorías son la solución a las situaciones presentadas durante el proceso de enseñanza, ninguna de estas posee la verdad absoluta y es más práctico formar relaciones entre estas para poder comprender los fenómenos educativos y surge la necesidad de por lo menos conocer los puntos más importantes de los diferentes aportes relacionados al tema. (Salcedo, 2000. Citado por Pizarro, 2009, p. 17). Principales teorías relacionadas: • Conductismo: Uno de los autores más representativo del conductismo es Skinner

(1985), esta teoría considera que la asociación es uno de los mecanismos centrales del aprendizaje teniendo en cuenta la secuencia básica estímulo-respuesta. Las primeras aplicaciones educativas de las computadoras se basan en la enseñanza programada de este autor, esta consiste en la formulación de preguntas y la sanción correspondiente de la respuesta de los estudiantes. (Skinner, 1985. Citado por Urbina, 1999, p. 5).

• Aprendizaje Significativo: la teoría de Ausubel (1997) considera que los

conocimientos previos del estudiante son muy importantes para que un nuevo contenido sea significativo, el estudiante los incorpora a los que ya posee previamente; además, considera que la enseñanza, con la ayuda de un computador es vital en la construcción del conocimiento como medio eficaz para proponer situaciones de descubrimiento pero que nunca reemplazará a la interacción que existe entre el estudiante y el maestro, al cual le da un papel fundamental como orientador del proceso.

• Aprendizaje por Descubrimiento: teoría de Bruner (1972) la cual afirma que es muy

importante en la enseñanza de los conceptos básicos que se ayude a los estudiantes a pasar de un pensamiento concreto a un estado de representación conceptual y simbólica. Considerando los materiales para el aprendizaje, se propone la estimulación entrenando las operaciones lógicas básicas. Se persigue así el objetivo de reorganizar la evidencia, para poder obtener a partir de ella nuevos conocimientos. (Pizarro, 2009, p. 17 y 18).

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• Constructivismo; esta teoría de Piaget (1978), afirma que los individuos pueden

estructurar su aprendizaje con base en sus propias experiencias, este aprendizaje debe ser un proceso activo, completo, auténtico y real; por esto, el contacto de los estudiantes con las nuevas tecnologías de la información y la comunicación, dan como resultado el expandir su capacidad de crear, compartir y dominar el conocimiento.

El trabajo con las TIC, le permite a los estudiantes desarrollar su creatividad y, a través de proyectos colaborativos, estos están en la capacidad de expresar sus ideas, compartirlas y enriquecerlas con compañeros de todo el mundo, retroalimentando el conocimiento y construyéndolo, por si mismos, a partir del aquello nuevos que van adquiriendo; el docente de esta forma los compromete en el proceso de enseñanza y aprendizaje. (Hernández, 2008, p. 5). • Procesamiento de la Información: esta teoría está enfocada básicamente en el

pensamiento de Piaget (1985) que expresa:

“…el estudio de cómo se llega a conocer el mundo exterior a través de los sentidos, atendiendo a una perspectiva evolutiva. Piaget afirma que el desarrollo de la inteligencia se logra por la adaptación de la persona al medio, considerando la adaptación como una instancia en la cual ingresa información y otra de organización en la cual se estructura esta información. Si bien Piaget no se mostraba a favor de la utilización de la computadora en la enseñanza, sus ideas influyeron en trabajos futuros de otros autores relacionados con la incorporación de la computadora en educación. Gagné y Glaser (1987), desarrollan la teoría del Procesamiento de la información que considera al aprendizaje y a la instrucción como dos dimensiones de una misma teoría, ya que ambos deben estudiarse conjuntamente”. (Pizarro, 2009, p. 19).

Esta teoría permita dar un enfoque diferente a uso de herramientas de las nuevas tecnologías al dado por el conductismo debido a la selección y ordenación de contenidos, siendo la intención del docente la de optimizar las condiciones externas del proceso de enseñanza, para mejorar los factores internos, reconfigurar las condiciones de las estructuras mentales y estrategias pedagógicas.

2.6.3 La Inclusión del software educativo en la enseñanza de las matemáticas

Para explicar cómo se pueden incluir las nuevas tecnologías en la clase de matemáticas se utiliza una clasificación realizada por Cuevas (2000), este autor tiene en cuenta las siguientes categorías: a) La computadora como una herramienta que nos permite la creación de ambientes de aprendizaje inteligentes.


Se utilizan la creación de software y la programación en lenguajes de computadora para facilitar el aprendizaje de conceptos matemáticos. Entre ellos se puede mencionar el lenguaje LOGO, creado por Papert en 1987, tutoriales para la enseñanza del área para complementar la labor docente; también, programas interactivos comerciales o de características libres, que permiten utilizar herramientas de álgebra, geometría y cálculo, convirtiéndolo en una herramienta muy útil para trabajar en Física, entre ellos están Cabri y Geogebra, con estos software se pueden hacer construcciones con puntos, segmentos, líneas y cónicas que se modifican en forma dinámica como así también definir funciones reales de variable real, calcular y graficar sus derivadas, integrales, y demás. (Pizarro, 2009, p. 32). b) La computadora como una herramienta de propósito general en la labor cotidiana del docente y/o estudiante. Los docentes del siglo XXI han visto la necesidad de capacitarse y utilizar cada vez más las herramientas tecnológicas de las que dispone el medio, para realizar sus trabajos, planeaciones, planillas de notas, guías de aprendizaje e inclusive, diseñar instrumentos de evaluación para valorar el desarrollo y aprensión de los conocimientos por parte de los estudiantes, se convierten las computadoras pues en parte de la vida diaria y la cotidianidad de educadores y educandos. Otras aplicaciones de las herramientas tecnológicas en la labor formativa de los docentes consta de la realización de cálculos y visualización de gráficos valiéndose de diversos software existentes como pueden ser el Mathematica, MatLab, Octave, entre otros; estos son programas orientados a objetos, escritos en lenguaje de alto nivel que permiten su utilización en los campos de ingeniería, los sistemas informáticos y la física. c) La computadora como una herramienta capaz de generar matemática. Se indica el rol de la computadora como generadora de matemáticas puesto que proporciona nuevos métodos de cálculos y nuevas formas de escritura, pudiéndose demostrar teoremas o hipótesis que antes no podían concluirse por la extensión de sus números u operaciones, con series o sumatorias de gran magnitud en el campo del conjunto de los Reales, para los cuales hace falta un proceso muy extenso y ante los cuales falta mucho por descubrir. Frente a la carencia de elementos físicos de laboratorio en las instituciones de educación oficiales del país, la aplicación de estas herramientas de las nuevas tecnologías y sus múltiples actividades virtuales complementarias, son una buena alternativa, dotando a los docentes de laboratorios en el aula de clase para aplicaciones estadísticas o procesos matemáticos que han cambiado la visión y el interés por la investigación y la forma de enseñar las matemáticas.

2.7. Marco legal, estándares del Ministerio de Educación Nacional

2.7.1. Normatividad sobre currículos para la formación en matemáticas.

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La formación de los estudiantes exige que se rijan por unos lineamientos, parámetros o estándares que permitan cumplir con las metas estratégicas sobre la educación que propone el gobierno y en conjunto con los educadores para unir a los establecimientos educativos con un solo propósito y generalizar el proceso de aprendizaje, reduciéndose a conceptos y temas que se proponen para unificar la población, aunque en ocasiones no se tengan en cuenta los contextos a los que pertenecen. Según el Ministerio de Educación Nacional en su documento orientador (2014). El proceso histórico de estos objetivos con respecto al área de las matemáticas ha evolucionado con el transcurrir de las décadas. Dichas transformaciones responden a las necesidades del medio en el momento que fueron propuestas, buscando el beneficio siempre de los educandos. Las matemáticas, al igual que la escritura y la lectura, han estado presentes en las escuelas desde que estas existen. Para finales del siglo XIX y principios del XX, los planes de estudio para la primaria, se proponían desarrollar destrezas de cálculo, fundamentalmente destrezas en las cuatro operaciones, algunas nociones de geometría con énfasis en los procesos de medición y su aplicación para resolver problemas de la vida cotidiana. Para la secundaria, se instituye la formación en aritmética, álgebra, la geometría intuitiva y racional y las nociones elementales de geometría analítica y de análisis matemático (Decreto No. 45 de 1962, Decreto 1710 de 1963). Comienza el proceso de sistematización de la matemática, aunque de manera rudimentaria, a principios de los años setenta, durante el gobierno de Alfonso López, adoptando la tecnología educativa con el fin de enfrentar los retos del mejoramiento cualitativo de la educación. El plan de estudios para la secundaria (Decreto 080 de 1974) se organizó secuencialmente, de la siguiente manera: aritmética, álgebra, geometría analítica, trigonometría y cálculo. Con el decreto 1002 de 1984, salen a la luz los programas de matemáticas de la renovación curricular, cuya propuesta está basada en la teoría general de sistemas y estructura el currículo alrededor de cinco sistemas: numéricos, geométricos, métricos, de datos y lógicos. Luego con la promulgación de la Ley General de Educación en 1994, se reestructura y organiza el servicio educativo, se da autonomía a las instituciones educativas para establecer el Proyecto educativo institucional, se establecen normas sobre la intencionalidad de la evaluación y la promoción (Decreto 1860 de 1994). En desarrollo de la ley general de educación, se dictan los Lineamientos Curriculares para cada una de las áreas. Para matemáticas, los lineamientos son publicados en 1998 y proponen la reorganización de la propuesta curricular a partir de la interacción entre conocimientos básicos, procesos y contextos. El álgebra de Baldor aún se considera el texto guía por tradición y esto corresponde a los lineamientos planteados en 1963. (Ministerio de Educación Nacional, 2014, p. 9). Para 2006 con la expedición de los Estándares Básicos de Competencias, en los que se mantiene la estructura de los contenidos, propuesta en los lineamientos curriculares, se introduce la idea de competencia como “conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socio afectivas y psicomotoras relacionadas entre sí, de tal forma que se facilite el desempeño flexible, eficaz y con sentido de una actividad en contextos que pueden ser nuevos y retadores, que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones-problema significativas y comprensivas” (Ministerio de Educación Nacional 2006, p. 49). Estos


estándares básicos de competencias en Matemáticas pretenden encaminar el proceso educativo y servir de ruta para la preparación adecuada de los estudiantes de básica secundaria y media. Las directrices del gobierno central han ido variando la intencionalidad con la se pretende guiar a las instituciones educativas y a sus docentes con respecto a la visión que estos deben tener de las necesidades del medio. La evolución se observa entonces, en la forma de aprender las matemáticas, pasando de un proceso memorístico y netamente aritmético, a unos en los cuales el estudiante pueda resolver problemas de su vida cotidiana. Tal desarrollo puede incurrir en errores sistémicos y mecánicos, colocando a los educandos en posiciones en las cuales el proponer o plantear una situación de su propio imaginario es para ellos una tarea titánica y monótona. En conclusión, los estándares deberían ser menos generales y más particulares a las necesidades del contexto de los jóvenes para que en realidad sean útiles para su vida diaria.

2.7.2. Competencias Matemáticas La noción de competencia matemática surge en el lenguaje cotidiano de la educación, términos provenientes de los principios de economía y finanzas, de calidad y productividad, que encontrarán eco en manejo y seguimiento de los procesos educativos, por tanto, la visión sobre las matemáticas escolares propuesta en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas preparaba ya la transición hacia el dominio de las competencias al incorporar una consideración pragmática e instrumental del conocimiento matemático, en la cual se utilizaban los conceptos, proposiciones, sistemas y estructuras matemáticas como herramientas eficaces mediante las cuales se llevaban a la práctica determinados tipos de pensamiento lógico y matemático dentro y fuera de la institución educativa. El Ministerio de Educación Nacional en su documento oficial sobre los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (2006) expone que, estas propuestas curriculares encuentran apoyo en la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel (1983), Novak y Gowin, (1988), así como en la enseñanza para la comprensión de Perkins, Gardner, Wiske y otros (2003). La significatividad del aprendizaje no se reduce a un sentido personal de lo aprendido, sino que se extiende a su inserción en prácticas sociales con sentido, utilidad y eficacia. La comprensión se entiende explícitamente como relacionada con los desempeños de comprensión, que son actuaciones, actividades, tareas y proyectos en los cuales se muestra la comprensión adquirida y se consolida y profundiza la misma. En las dimensiones de la comprensión se incluye no sólo la más usual de los contenidos y sus redes conceptuales, sino que se proponen los aspectos relacionados con los métodos y técnicas, con las formas de expresar y comunicar lo comprendido y con la praxis cotidiana, profesional o científico- técnica en que se despliegue dicha comprensión. Todas estas dimensiones se articulan claramente con una noción amplia de competencia como conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socio-afectivas y psicomotoras apropiadamente relacionadas entre sí para facilitar el desempeño flexible, eficaz y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores. Esta noción supera la más usual y restringida que describe la competencia como saber hacer en contexto en

Capítulo 2 31

tareas y situaciones distintas de aquellas a las cuales se aprendió a responder en el aula de clase. (Ministerio de Educación Nacional, 2006, p. 49) En el conocimiento matemático también se han distinguido dos tipos básicos: el conocimiento conceptual y el conocimiento procedimental. El primero está más cercano a la reflexión y se caracteriza por ser un conocimiento teórico, producido por la actividad cognitiva, muy rico en relaciones entre sus componentes y con otros conocimientos; tiene un carácter declarativo y se asocia con el saber qué y el saber por qué. Por su parte, el procedimental está más cercano a la acción y se relaciona con las técnicas y las estrategias para representar conceptos y para transformar dichas representaciones; con las habilidades y destrezas para elaborar, comparar y ejercitar algoritmos y para argumentar convincentemente. (Ministerio de Educación Nacional, 2006, p. 51-66). Estas argumentaciones permiten precisar algunos procesos generales presentes en toda la actividad matemática que explicitan lo que significa ser matemáticamente competente. Estos procesos generales se pueden dividir en dos grandes grupos:

a) Los cinco procesos generales de la actividad matemática: • La formulación, tratamiento y resolución de problemas. • La modelación. • La comunicación. • El razonamiento. • La formulación, comparación y ejercitación de procedimientos.

b) Los cinco tipos de pensamiento lógico y el pensamiento matemático:

• El pensamiento numérico y los sistemas numéricos. • El pensamiento espacial y los sistemas geométricos. • El pensamiento métrico y los sistemas métricos o de medidas. • El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos. • El pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos

2.7.3. Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas Sexto a séptimo

Para el apropiado desarrollo de los temas y los componentes curriculares de los cuales consta el trabajo con los estudiantes y para sustentar el proceso es necesario remitirse a los lineamientos que provee el Ministerio de Educación Nacional, los cuales son seleccionados de acuerdo a las necesidades de los educandos. Los estándares sobre los cuales se apoya el proceso son: Pensamiento numérico y sistemas numéricos:

• Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números, como las de la igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

• Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones.


• Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en

diferentes contextos y dominios numéricos. • Justifico la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un

problema y lo razonable o no de las respuestas obtenidas. • Establezco conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números,

utilizando calculadoras o computadores. • Justifico la elección de métodos e instrumentos de cálculo en la resolución de

problemas. Pensamiento Espacial Y Sistemas Geométricos Identifico características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográfica.

3. Metodología

3.1. Enfoque del Trabajo Se consideran algunos elementos del método de investigación cuantitativa- descriptiva, cuya metodología es pertinente para el subgrupo de la población de interés, de la Institución Educativa Aguacatal, grado séptimo; es un estudio que se dirige fundamentalmente a la descripción de un fenómeno educativo, en una circunstancia temporal y espacial determinadas. Como lo afirma Hernández Sampieri (2006): “Para el enfoque cuantitativo, los datos del estudio que se recolectan y analizan son cuantitativos, cuantificables, medibles como números, porcentajes, promedios. El investigador traduce su hipótesis de investigación, en términos estadísticos basados en los datos cuantitativos, los codifica y analiza para obtener resultados. Éstos son los productos del análisis de los datos. Normalmente resumen los datos recolectados y el tratamiento estadístico que se les practicó”, para sacar conclusiones y recomendaciones.

3.2. Contexto del Trabajo

La población pertenece a un sector rural, apartado de la cabecera municipal de Neira Caldas, una vereda llamada Aguacatal; sector marginado de la sociedad colombiana, no sólo por su ubicación geográfica y las dificultades que experimentan para acceder sus pobladores a servicios públicos básicos, de salud, de transporte, de conectividad con el resto del mundo; sino por pertenecer a un grupo que clasifica dentro un nivel económico verdaderamente bajo, estratos uno y dos y, por todas esta razones, sus estudiantes sienten cierta aversión por la educación formal por caracterizarla como algo inútil, por falta de un espejo real en su núcleo familiar que les mostrase un camino de prosperidad y poder visualizarse como profesionales de bien. Los jóvenes del sector son seducidos por el dinero fácil, o el trabajo físico por encima del intelectual, una visión cercana de realizar su vida entre montañas, animales e hijos. Son pocas las personas que por convicción propia buscan forjar su futuro en una academia y, mucho menos, el querer transmitir sus conocimientos para beneficio de su propia comunidad; los pocos que logran culminar estudios superiores terminan cansados de esa vida humilde, sencilla, sin afirmar que es simple, salen de su entorno para buscar suerte en otros rumbos.


La institución Educativa Aguacatal se encuentra ubicada en el corazón de la vereda con el mismo nombre, cuenta con pocos recursos económicos para su funcionamiento, debido al bajo porcentaje de su matrícula, por lo que el gobierno nacional proporciona el mínimo presupuesto, por concepto de gratuidad; sus instalaciones son de un área pequeña, incluyendo las zonas dedicadas a la especialidad agropecuaria, para lo cual se destina la mayor parte de los dineros recibidos para su ejecución. Sus instalaciones físicas cuentan con un edificio de un solo nivel para aulas, sala de profesores, baterías sanitarias, una oficina de secretaría y directivas, un espacio reducido utilizado como biblioteca y una sala de sistemas que incluye una serie de computadores de escritorio inutilizados por mal funcionamiento y 20 portátiles nuevos, donados por la empresa Computadores para Educar, con restricciones en el uso de internet. Con una población de 180 estudiantes entre primaria, básica secundaria y media, con un único grupo por cada nivel y en estos dos último, alcanzan un número máximo de 100 estudiantes. Este trabajo de profundización se aplicará en el grado séptimo con que cuenta la institución; grupo formado por 26 estudiantes de ambos sexos, con edades que oscilan entre los 12 y 15 años, provenientes de familias con bajo nivel educativo y cultural, con buena disposición y actitud frente a las asignaturas, respetuosos con los docentes, directivos docentes e integrantes del colegio.

3.3. Fases del Trabajo Para lograr los objetivos planteados para este trabajo de profundización, se establecerán las siguientes fases y actividades:

3.3.1. Fase Inicial Tiene como objetivo identificar, caracterizar y definir el problema de investigación. Para ello se hace necesario: • Organizar el estado del arte de la investigación, los antecedentes del tema,

mediante la revisión de trabajos relacionados con la enseñanza de los números enteros.

• Revisar la normatividad colombiana vigente acerca de estándares y lineamientos curriculares en matemáticas, específicamente del grado séptimo, sobre los números enteros.

• Revisar la bibliografía de la teoría del concepto de los números enteros, específicamente los relacionados con: 1. Características del conjunto de los números enteros, 2. Relaciones entre los números enteros, 3. Operaciones básicas con los números enteros, 4. Aplicación de las propiedades correspondientes a los números enteros, 5. Polinomios con los números enteros y 6. Situaciones problemáticas con los números enteros.

• Revisar la bibliografía sobre las estrategias didácticas para la enseñanza de los números enteros.

• Verificar y revisar las herramientas TIC utilizadas para la enseñanza del concepto de los números enteros.

• Revisar las pruebas saber noveno y saber once de matemáticas aplicada por el ICFES, específicamente las relacionadas con los números enteros, durante los

Capítulo 3 35

últimos años en Colombia, para extraer un posible instrumento de ideas previas con las respuestas validadas.

3.3.2. Fase de Diseño Tiene como objetivo diseñar guías de interaprendizaje, con los momentos de escuela nueva y seleccionar e incluir, en algunas de ellas, actividades con herramientas de las nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC): • Diseñar y validar un instrumento de ideas previas, pre-test (que es el mismo pos-

test), sobre el concepto de los números enteros, utilizando como base las pruebas Saber 9º y Saber 11º que realiza el ICFES.

• Diseñar guías de interaprendizaje con los momentos de Escuela Nueva, A-Vivencia, B- Fundamentación Científica, C- Ejercitación, D- Ampliación del Conocimiento; como estrategia para afrontar los obstáculos identificados en el test anterior.

• Seleccionar las herramientas TIC más acordes con los diferentes momentos de la guía, con base en los diferentes temas de la teoría del concepto de los números enteros.

3.3.3. Fase de Aplicación Tiene como objetivo aplicar la estrategia propuesta por medio de las guías de interaprendizaje para la enseñanza del concepto de los números enteros en los estudiantes de grado séptimo de la Institución Educativa Aguacatal del municipio de Neira. Para ello se hace necesario: • Aplicar el instrumento de ideas previas, pre-test (mismo pos-test), sobre el

concepto de los números enteros. • Implementar las guías didácticas de interaprendizaje con los momentos de la

metodología Escuela Nueva y la inclusión de herramientas TIC para definir el concepto de los números enteros; como estrategia para afrontar los obstáculos identificados en el test anterior.

• Aplicar el instrumento de evaluación o pos-test que permita identificar el cambio en el aprendizaje en los estudiantes que participaron del proceso, al comparar el diagnóstico inicial con el actual.

3.3.4. Fase de Evaluación Tiene como objetivo utilizar y verificar si las herramientas utilizadas cumplen las expectativas planteadas en el proyecto, con base en el análisis de los instrumentos de evaluación pre-test y pos-test (ver anexo A). Para ello se hace necesario: • Obtener los resultados de implementar las guías de interaprendizaje para la

enseñanza del concepto de los números enteros. • Analizar la información recopilada. • Extraer las conclusiones y recomendaciones, a partir del análisis de los resultados

obtenidos.

4. Análisis de Resultados

4.1. Análisis de resultados pre-test de ideas previas sobre el concepto de los números enteros

El número de estudiantes evaluados sobre el concepto de los números enteros fue de 26, quienes dieron respuesta a 36 preguntas, categorizadas en seis grupos temáticos; de acuerdo a los estándares y los lineamientos dados por el Ministerio de Educación Nacional (2006); así, como a las necesidades observadas en los estudiantes, de acuerdo con el contexto donde viven. . El instrumento se diseñó para valorar las ideas previas de los estudiantes e identificar obstáculos conceptuales y vacíos en el conocimiento. Las preguntas del pre-test (Ver anexo A) se extrajeron de las Pruebas Saber para grado 9º. Y las Saber Pro par 11º que realiza el ICFES. Estas fueron discriminadas y contestadas de forma correcta así: Tabla 1 Pre-test Concepto de número Entero

CONCEPTO DE NÚMERO ENTERO

Pregunta No. No. Estudiantes acertaron Porcentaje (%)

1 9 34,62 2 5 19,23 3 21 80,77 4 15 57,69 5 14 53,85 6 15 57,69

Capítulo 4 37

Gráfica 1 Pre-test Concepto de número entero

El primer grupo del cuestionario corresponde al concepto de número entero como una cantidad; se hicieron preguntas donde se relacionaron éstos con ejemplos del mundo físico o plano formal para valorar en los estudiantes su idea sobre el conjunto de los números negativos y el orden de los mismos, cuál es mayor o menor que. El resultado arroja que en promedio el 50.64% de los estudiantes comprende el concepto tal y como se planteó en la prueba. La pregunta en la tuvieron más dificultad fue la No. 2, que da un orden a los números enteros; y la que demuestra poca menos vacíos para ellos fue la No. 3, que presenta un caso real en el plano formal. El obstáculo identificado se evidencia en los estudiantes en la ampliación de sus esquemas sobre los conjunto de números, pues para ellos el concepto del número negativo sigue siendo el de la operación resta y les es difícil asimilarlo como parte de un nuevo conjunto de números, los enteros. Tabla 2 Pre-test Representación gráfica de los número enteros

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS ENTEROS


7 13 50,00 8 23 88,46 9 3 11,54

10 9 34,62 11 8 30,77 12 15 57,69

P1/9 P2/5 P3/21 P4/15 P5/14 P6/15Series1 34,62% 19,23% 80,77% 57,69% 53,85% 57,69%

0,00%10,00%20,00%30,00%40,00%50,00%60,00%70,00%80,00%90,00%

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PRE-TEST CON 26 ESTUDIANTES



Gráfica 2 Pre-test Representación gráfica de los números enteros

En el segundo grupo de preguntas, se intentan evaluar las debilidades y fortalezas para la ubicación espacial de los estudiantes en una recta numérica o en diagramas que representan a los números enteros en ejemplos de casos reales, así como la interpretación de gráficos estadísticos. Se obtuvo como resultado un promedio de 45.51% respuestas correctas y se evidencia que el porcentaje más bajo se ubica en la pregunta No. 9, la cual refleja falencias en la interpretación de gráficos y la confusión del estudiante con respecto al orden de los números negativos. La pregunta que tuvo poca dificultad para ellos fue la No. 8, donde esta trata, también, sobre el orden de los enteros dentro de un diagrama de barras, a diferencia de la anterior, utiliza el concepto enteros positivos que los estudiantes ya traen desde el estudio del conjunto de los números naturales. El obstáculo identificado radica en la confusión que poseen los estudiantes en la ubicación espacial con respecto a los números negativos, la distancia recorrida desde un cuadrante negativo a uno positivo y el desconocimiento sobre el procedimiento para hallar la distancia entre dos puntos aplicando la sustracción de enteros. Tabla 3 Pre-test Adición y sustracción de números enteros

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS


13 13 50,00 14 15 57,69 15 10 38,46 16 15 57,69 17 7 26,92 18 5 19,23

P7/13 P8/23 P9/3 P10/9 P11/8 P12/15Series1 50% 88,46% 11,54% 34,62% 30,77% 57,69%

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Capítulo 4 39

Gráfica 3 Pre-test Adición y sustracción de números enteros

El tercer grupo comprende las operaciones de adición y sustracción con números enteros, así como algunos ejercicios de aplicación de estas, el promedio obtenido fue de 41.67% de los estudiantes que contestaron de forma correcta. El porcentaje más bajo, o la mayor debilidad, corresponde la pregunta No. 18, que aplica la sustracción de dos números enteros, positivo con negativo, para encontrar la diferencia de dos temperaturas y el porcentaje más alto, o la mayor fortaleza, se observa en la preguntas No. 16 y 14, que reflejan diferencias de enteros positivos. El obstáculo identificado básicamente consiste en que los estudiantes continúan viendo el signo menos, que hace parte de los números negativos, como el operado de la resta y al hacer sumas dos enteros donde, uno de estos pertenece a los negativos, realizan procedimientos incorrectos. Se hace necesario enfatizar en el concepto de Valor Absoluto entre ellos. Tabla 4 Pre-test Multiplicación y división de números enteros

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS


19 18 69,23 20 10 38,46 21 1 3,85 22 3 11,54 23 1 3,85 24 7 26,92

P13/13 P14/15 P15/10 P16/15 P17/7 P18/5Series1 50% 57,69% 38,46% 57,69% 26,92% 19,23%

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Gráfica 4 Pre-test Multiplicación y división de números enteros

El cuarto grupo utiliza las operaciones de multiplicación y división de números enteros para plantear ejercicios y problemas de aplicación para las mismas. El porcentaje de estudiantes que contestó de manera correcta las preguntas fue de 25.64%, el cual es indicador que las grandes dificultades de los estudiantes para comprender este concepto, en especial al ser aplicados en problemas que proponen ecuaciones simples para la solución de un problema, tal como se evidencia en las respuestas a las preguntas No. 21 y 23. La fortaleza radica en la mecanización de un procedimiento aritmético como la multiplicación de dos números y de sus correspondientes signos, formulada en la pregunta No. 19. Para superara el obstáculo se hace necesario recalcar el concepto del signo menos como parte de un entero negativo y que, a su vez, actúa como transformador del signo de un producto o un cociente. De acuerdo a lo anterior, el obstáculo se presenta en la llamada “Ley de Signos”. Tabla 5 Pre-test Ecuaciones con números enteros

ECUACIONES CON NÚMEROS ENTEROS


25 19 73,08 26 21 80,77 27 14 53,85 28 10 38,46 29 3 11,54 30 3 11,54

P19/18 P20/10 P21/1 P22/3 P23/1 P24/7Series1 69,23% 38,46% 3,85% 11,54% 3,85% 26,92%

0,00%10,00%20,00%30,00%40,00%50,00%60,00%70,00%80,00%

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Capítulo 4 41

Gráfica 5 Pre-test Ecuaciones con números enteros

Este grupo pertenece a las preguntas que contienen ecuaciones de primer grado con una sola incógnita, su porcentaje de respuestas correctas fue de 44.87%, este refleja cierta debilidad para su solución, aunque la mayor dificultad se observa en el planteamiento de las mismas ecuaciones en las preguntas No. 29 y 30. La fortaleza se ve claramente en preguntas como la No. 26, que se limita a reemplazar un valor numérico dentro de una ecuación aritmética. El obstáculo observado radica cuando los estudiantes resuelven preguntas en las cuales deben proponer o plantear una ecuación por sí mismos, a partir de una situación problémica dada. Su capacidad deductiva es poca y es ahí donde debe enfocarse la labor del docente. Tabla 6 Pre-test Solución de problemas aplicando los números enteros

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS APLICANDO LOS NÚMEROS ENTEROS


31 9 34,62 32 11 42,31 33 13 50,00 34 15 57,69 35 10 38,46 36 2 7,69

P25/19 P26/21 P27/14 P28/10 P29/3 P30/3Series1 73,08% 80,77% 53,85% 38,46% 11,54% 11,54%

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Gráfica 6 Pre-test Solución de problemas aplicando los números enteros

El último grupo de preguntas de este instrumento utiliza los conceptos de números enteros para resolver problemas aplicados, su porcentaje de respuestas correctas fue de 38.46%, evidenciando la gran debilidad en el análisis, interpretación, planteamiento y solución de este tipo de problemas, en especial en preguntas como la No. 36, cuya solución exige un nivel de raciocinio un poco más alto, como buen medidor de la aprehensión de los conceptos adquiridos. La pregunta con mayor fortaleza fue la No. 34, que plantea un problema de movimiento sobre la recta numérica. El obstáculo que se intentará superar con los estudiantes en este caso, consiste en que ellos, a partir de un problema dado, deben proponer una fórmula o sistema de ecuaciones que den respuesta al interrogante dado. La labor del docente es pues, la de construir en los educandos la capacidad de raciocinio y análisis en problemas aplicados; esto les permitirán utilizar las matemáticas en su vida diaria y su entorno.

4.2. Análisis de Resultados del Pos-Test de conocimientos adquiridos sobre los Números Enteros

El número de estudiantes evaluados sobre el concepto de los números enteros y las categorías referentes a sus operaciones y aplicación fue de 26, quienes dieron respuesta a 36 preguntas. Las preguntas del pos-test son las mismas del pre-test (Ver anexo A), fueron discriminadas y contestadas de forma correcta así:

P31/9 P32/11 P33/13 P34/15 P35/10 P36/2Series1 34,62% 42,31% 50% 57,69% 38,46% 7,69%

0,00%10,00%20,00%30,00%40,00%50,00%60,00%70,00%

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Capítulo 4 43

Tabla 7 Post-test Concepto de número entero



1 11 42,31 2 0 0,00 3 17 65,38 4 21 80,77 5 16 61,54 6 16 61,54

Gráfica 7 Post-test Concepto de número entero

El primer grupo del cuestionario corresponde al concepto de número entero como una cantidad; se hicieron preguntas donde se relacionaron estos con ejemplos del mundo físico o plano formal para valorar en los estudiantes su idea sobre el conjunto de los números negativos y el orden de los mismos, cuál es mayor o menor que. El resultado arroja que los porcentajes de respuestas correctas aumentaron; el promedio anterior fue de 50.64%, en esta prueba el 51.92% de los estudiantes comprende el concepto tal y como se planteó en la prueba; Aunque la diferencia entre ambas fue mínima, el porcentaje obtenido sigue siendo bueno. La pregunta en la que siguen teniendo más dificultad fue la No. 2, que da un orden a los números enteros; y la que presentó poca dificultad para ellos fue la No. 3, que presenta un caso real en el plano formal. Como se observa en la tabla de resultados, la pregunta No. 2 presenta un porcentaje del 0%; esto debido a que los estudiantes, después del proceso de enseñanza, continúan con vacíos en el conocimiento u obstáculo conceptual, pues al ordenar los número enteros negativos, siguen utilizando las reglas aplicadas a los números

P1/11 P2/0 P3/17 P4/21 P5/16 P6/16Series1 42,31 0 65,38 80,77 61,54 61,54

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POST-TEST CON 26 ESTUDIANTES



naturales. El docente en este caso, debe aprovechar este error para retroalimentar lo aprendido e ir, de esta forma, construyendo la concepción correcta... Tabla 8 Post-test Representación gráfica de los números enteros



7 21 80,77 8 22 84,62 9 9 34,62

10 10 38,46 11 9 34,62 12 18 69,23

Gráfica 8 Post-test Representación gráfica de los números enteros

En el segundo grupo de preguntas, se intentan evaluar las debilidades y fortalezas para la ubicación espacial de los estudiantes en una recta numérica o en diagramas que representan a los números enteros en ejemplos de situaciones reales reflejadas en la interpretación de gráficos estadísticos. Se obtuvo como resultado en el test previo un promedio de 45.51%; en este nuevo test el 57.05% de las respuestas fueron correctas aumentando significativamente. La prueba aun muestra falencias de los estudiantes en la interpretación de gráficos y la confusión estos con respecto al concepto de orden de los números negativos. La pregunta que tuvo poca dificultad para ellos sigue siendo la No. 8, donde ésta trata, también, sobre el orden de los enteros dentro de un diagrama de barras, a diferencia de la anterior, utiliza el concepto enteros positivos que los estudiantes ya traen desde el estudio del conjunto de los números naturales.

P7/21 P8/22 P9/9 P10/10 P11/9 P12/18Series1 80,77% 84,62% 34,62% 38,46% 34,62% 69,23%

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Capítulo 4 45

Tabla 9 Post-test Adición y sustracción de números enteros



13 18 69,23 14 14 53,85 15 9 34,62 16 19 73,08 17 6 23,08 18 11 42,31

Gráfica 9 Post-test Adición y sustracción de números enteros

El tercer grupo comprende las operaciones de adición y sustracción con números enteros, así como algunos ejercicios de aplicación de estas, el promedio obtenido fue de 49.36%; ocho puntos por encima del anterior que fue de 41.67%, para los estudiantes que contestaron de forma correcta. El porcentaje más bajo, o la mayor debilidad en esta oportunidad fue la que corresponde a la pregunta No. 17, que aplica la sustracción de dos números enteros, positivo con negativo, para encontrar la diferencia de dos temperaturas, denotando una confusión todavía existente entre el signo resultante de una operación básica y el porcentaje más alto, o la mayor fortaleza, se observa en la pregunta No. 16, que reflejan diferencias de enteros positivos.

P13/18 P14/14 P15/9 P16/19 P17/6 P18/11Series1 69,23% 53,85% 34,62% 73,08% 23,08% 42,31%

0,00%10,00%20,00%30,00%40,00%50,00%60,00%70,00%80,00%

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Tabla 10 Post-test Multiplicación y división de números enteros



19 24 92,31 20 16 61,54 21 1 3,85 22 9 34,62 23 8 30,77 24 1 3,85

Gráfica 10 Post-test Multiplicación y división de números enteros

El cuarto grupo utiliza las operaciones de multiplicación y división de números enteros para plantear ejercicios y problemas de aplicación para las mismas. El porcentaje de estudiantes que contestó de manera correcta las preguntas mejoró de 25.64% a 37.82% aunque sigue siendo indicador que algunas dificultades de los estudiantes para comprender este concepto, en especial al ser aplicados en problemas que proponen ecuaciones simples para la solución de un problema, tal como se evidencia en las respuestas a las preguntas No. 21 y 24, donde se pierde totalmente el concepto de inverso multiplicativo para solucionar una situación. La fortaleza continúa en un procedimiento mecánico-aritmético como la multiplicación de dos números y de sus correspondientes signos, formulada en la pregunta No. 19.

P19/24 P20/16 P21/1 P22/9 P23/8 P24/1Series1 92,31% 61,54% 3,85% 34,62% 30,77% 3,85%

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Capítulo 4 47

Tabla 11 Post-test Ecuaciones con números enteros



25 21 80,77 26 21 80,77 27 15 57,69 28 8 30,77 29 0 0,00 30 5 19,23

Gráfica 11 Post-test Ecuaciones con números enteros

Este grupo pertenece a las preguntas que contienen ecuaciones de primer grado con una sola incógnita, su porcentaje de respuestas correctas fue exactamente el anterior, de 44.87%, este refleja que aún existe cierta debilidad para su solución, aunque la mayor dificultad se observa en el planteamiento de las mismas ecuaciones en las misma preguntas No. 29 y 30, donde el estudiante debe realizar un razonamiento lógico y plasmarlo en forma de ecuación. La fortaleza se ve claramente en preguntas No. 25 y 26, que se limitan a reemplazar un valor numérico dentro de una ecuación aritmética. El caso especial se presenta en la pregunta No. 29, donde se obtuvo un porcentaje de 0% en el número de estudiantes que acertaron la respuesta correcta, aquí se puede observar un vacío en el planteamiento de ecuaciones lineales, el análisis de problemas de este tipo les genera grandes dificultades por el raciocinio que deben realizar. En este caso el docente debe aplicar como estrategia, la de adoptar el error y transformarlo en una fortaleza; realizar un proceso de retroalimentación y enfatizar en los conceptos de igualdad y la apropiación del lenguaje matemático y enfatizar la comprensión de lectura, los cuales son los que, al final, definen la ecuación y el procedimiento para solucionar el ejercicio.

P25/21 P26/21 P27/15 P28/8 P29/0 P30/5Series1 80,77% 80,77% 57,69% 30,77% 0% 19,23%

0,00%10,00%20,00%30,00%40,00%50,00%60,00%70,00%80,00%90,00%

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Tabla 12 Post-test Solución de problemas aplicando los números enteros



31 15 57,69 32 12 46,15 33 14 53,85 34 16 61,54 35 8 30,77 36 7 26,92

Gráfica 12 Post-test Solución de problemas aplicando los números enteros

El último grupo de preguntas de este instrumento utiliza los conceptos de números enteros para resolver problemas aplicados, su porcentaje de 46.15% de respuestas correctas aumentó ocho puntos con respeto al anterior que fue de 38.46%, evidenciando mejoría en el análisis, interpretación, planteamiento y solución de este tipo de problemas, se notó un poco en preguntas como la No. 36, cuya solución exige un nivel de raciocinio un poco más alto, como buen medidor de la aprehensión de los conceptos adquiridos. La pregunta con mayor fortaleza sigue siendo la No. 34, que plantea un problema de movimiento sobre la recta numérica. Para los estudiantes de grado séptimo fue más sencillo resolver aquellas situaciones donde se les representaba gráficamente el problema y podían tener una visual permanente del mismo; sus sentidos se vuelven concretos y directos, el plano de la abstracción o de la imaginación se convierte para ellos en un obstáculo grande e impide la elaboración de un procedimiento adecuado en la búsqueda de soluciones pertinente que puedan irse aplicando en su contexto y para la vida

P31/15 P32/12 P33/14 P34/16 P35/8 P36/7Series1 57,69% 46,15% 53,85% 61,54% 30,77% 26,92%

0,00%10,00%20,00%30,00%40,00%50,00%60,00%70,00%

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Capítulo 4 49

4.3. Análisis comparativo de los resultados del

proceso Es necesario hacer un paralelo entre ambas pruebas para comprobar que cambio hubo en el manejo de los conceptos, sus operaciones y aplicación de los mismos; los resultados permitirán observar el punto final un proceso de construcción del conocimiento que pretende eliminar los vacíos cognitivos y modificar los preconceptos. Los cuadros comparativos muestran los porcentajes del número de estudiantes que contestaron de manera correcta las preguntas planteadas en ambas pruebas, después de la aplicación de las guías de interaprendizaje y los cambios conceptuales en las seis categorías en las cuales se clasifica el trabajo realizado; así: Tabla 13 Análisis comparativo concepto de número entero


Pregunta No.

No. Estudiantes acertaron Porcentaje (%) PRE-TEST POST-TEST PRE-TEST POST-TEST

1 9 11 34,62 42,31

2 5 0 19,23 0,00

3 21 17 80,77 65,38

4 15 21 57,69 80,77

5 14 16 53,85 61,54

6 15 16 57,69 61,54 Gráfica 13 Análisis comparativo concepto de número entero

Al momento de comparar las preguntas de este grupo, sobre el concepto del número entero, se puede observar que hubo notable mejoría en la apropiación de los

1 2 3 4 5 6PRE-TEST 34,62 19,23 80,77 57,69 53,85 57,69POST-TEST 42,31 0 65,38 80,77 61,54 61,54

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ANÁLISIS COMPARATIVO CONCEPTO DE NÚMERO ENTERO


conceptos en forma general. En los casos particulares de las preguntas 1, 4, 5 y 6, los porcentajes de respuestas correctas fueron de 7.69, 23.08, 7.69 y 3.85% respectivamente; hubo un grupo de estudiantes que asimiló mejor los contenidos dados, en este caso se presentaban ejemplos del plano real y el estudiante podía interpretar la situación y representarla mediante un número entero. La segunda pregunta incluía un reto adicional, el estudiante debía escoger dos de las series dadas teniendo la dificultad de interpretar correctamente una de las dos, pero al observar la segunda, esta anulaba la primera. Sus respuestas, debido a lo anterior, obtienen puntos parciales buenos. En general el promedio de respuesta acertadas aumento de 50.64% en el pre-test, a 51.92% en el pos- test, evidenciando mejoría en los resultados. Tabla 14 Análisis comparativo Representación gráfica de los números enteros


Pregunta No.

No. Estudiantes acertaron Porcentaje (%) PRE-TEST POST-TEST PRE-TEST POST-TEST

7 13 21 50,00 80,77

8 23 22 88,46 84,62

9 3 9 11,54 34,62

10 9 10 34,62 38,46

11 8 9 30,77 34,62

12 15 18 57,69 69,23 Gráfica 14 Análisis comparativo Representación gráfica de los números enteros

Esta categoría evaluaba a los estudiantes en su ubicación espacial, subió el porcentaje de respuestas correctas en casi todas, en las 7, 9, 10, 11 y 12 aumentó en 30.77, 23.08, 3.84, 3.85 y 11.54% respectivamente. La pregunta No. 8, en la cual el

Capítulo 4 51

estudiantes debe analizar cuál de los datos obtenidos fue mayor que otro, a partir de un gráfico estadístico, continúa siendo aquel con mejor porcentaje de respuestas acertadas. En general el promedio de respuesta acertadas aumento de 45.51% en el pre-test, a 57.05% en el pos- test, evidenciando una gran mejoría en los resultados. Tabla 15 Análisis comparativo Adición y sustracción de números enteros


Pregunta No. No. Estudiantes

acertaron Porcentaje (%)

PRE-TEST POST-TEST PRE-TEST POST-TEST 13 13 18 50,00 69,23

14 15 14 57,69 53,85

15 10 9 38,46 34,62

16 15 19 57,69 73,08

17 7 6 26,92 23,08

18 5 11 19,23 42,31 Gráfica 15 Análisis comparativo Adición y sustracción de números enteros

La tercera categoría de preguntas muestra porcentajes de aumento en respuestas correctas bastante altos, muestra buenos resultados después del proceso de construcción del concepto de suma y resta de números naturales con situaciones de la realidad. Las preguntas que mejoraron su porcentaje fueron las 13, 16 y 18, con los siguientes porcentajes de aciertos respectivamente; 19.23, 15.39 y 23.08%. Las preguntas 14, 15 y 17, obtuvieron resultados por encima del 50%.


En general el promedio de respuesta acertadas aumento de 41.67% en el pre-test, a 49.36% en el pos- test, evidenciando una gran mejoría en los resultados. Tabla 16 Análisis comparativo Multiplicación y división de números enteros


Pregunta No. No. Estudiantes


PRE-TEST POST-TEST PRE-TEST POST-TEST 19 18 24 69,23 92,31

20 10 16 38,46 61,54

21 1 1 3,85 3,85

22 3 9 11,54 34,62

23 1 8 3,85 30,77

24 7 1 26,92 3,85 Gráfica 16 Análisis comparativo Multiplicación y división de números enteros

Las operaciones que pertenecen a esta categoría corresponden a ejercicios simples de multiplicación y división de números enteros. En general aumentaron los porcentajes, principalmente las preguntas 19, en 23.08%; la número 20, en 23.08%; la número 22, en 23.08% y la 23, en 26.92%; donde había poca confusión con los signos, Con respecto a la pregunta 21, que mantuvo su porcentaje invariable, esta evidencia un arraigado preconcepto, difícil de erradicar y , que tal vez por condiciones del medio o disponibilidad de tiempo para la ejecución del método aplicado en las clases, estos paradigmas permanecieron invariantes en razón del mal uso del lenguaje matemático y debilidades en la comprensión de lectura, perdiéndose así, la opción de encontrar la respuesta adecuada.

Capítulo 4 53

En este caso en especial se puede ver que lo más significativo del proceso de aprendizaje fue el número de estudiantes que contestaron correctamente aumentó notoriamente, duplicando o triplicando el dato del test inicial. En general el promedio de respuesta acertadas aumento desde uno muy bajo de 25.64% en el pre-test, a otro más intermedio de 37.82% en el pos- test, evidenciando un gran mejoría en los resultados. Tabla 17 Análisis comparativo Ecuaciones con números enteros


Pregunta No.

No. Estudiantes


PRE-TEST POST-TEST PRE-TEST POST-TEST

25 19 21 73,08 80,77

26 21 21 80,77 80,77

27 14 15 53,85 57,69

28 10 8 38,46 30,77

29 3 0 11,54 0,00

30 3 5 11,54 19,23 Gráfica 17 Análisis comparativo Ecuaciones con números enteros

El instrumento aplicado para evaluar los conocimientos de los estudiantes durante el proceso de enseñanza dado categoriza como su quinto grupo de preguntas al tema correspondiente a las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Se puede ver un pequeño aumento en el porcentaje de las preguntas 25, 27 (de resultados positivos) y


30, con una diferencia de 7.69, 3.84 y 7.69% cada una. La pregunta 26 no sufrió cambio en su porcentaje y mantuvo su excelente promedio. La pregunta mejor contestada fue la No. 26 donde era evidente el reemplazar un valor en una ecuación. El número de respuestas correctas permanece invariante debido a la imposibilidad de homogenizar el grupo, el cual posee estudiantes que realmente muestran poco interés por la asignatura y sus contenidos, reflejándose en su rendimiento académico durante el año escolar en las demás áreas del conocimiento. En general el promedio de respuesta acertadas que se obtuvo fue de 44.87% en el pre-test, y se mantuvo igual, de 44.87% en el pos- test, evidenciando el mimo nivel de saberes en los resultados. Tabla 18 Análisis comparativo Solución de problemas aplicando los números enteros


Pregunta No. No. Estudiantes acertaron Porcentaje (%) PRE-TEST POST-TEST PRE-TEST POST-TEST

31 9 15 34,62 57,69

32 11 12 42,31 46,15

33 13 14 50,00 53,85

34 15 16 57,69 61,54

35 10 8 38,46 30,77

36 2 7 7,69 26,92 Gráfica 18 Análisis comparativo Solución de problemas aplicando los números enteros

Buenos resultados se observan en la última categoría del test; con porcentajes pequeños en su variación, pero con cambios positivos en las preguntas 31, 32, 33, 34

Capítulo 4 55

y 36; la variación en los porcentajes fue, de manera respectiva de 23.07, 3.84, 3.85, 3.85 y 19.23%. Es notoria la poca capacidad de análisis de los estudiantes al pasar al plano imaginario en la competencia interpretativa con la solución de problemas. En general el promedio de respuesta acertadas en este grupo de preguntas, aumentó de 38.46% en el pre-test, a 46.15% en el pos- test, evidenciando una gran mejoría en los resultados. En conclusión, con la aplicación de la metodología selecciona se consiguieron logros bastante significativos en el aprendizaje de los números enteros y todas las implicaciones operativas y analíticas del mismo. Los resultados arrojan que los estudiantes mejoraron rendimiento en la prueba y en promedio global, más del 40% de los estudiantes acertaron con las respuestas a las situaciones planteadas, superando en todos los casos los reportes iniciales. Como conclusión de este análisis de resultados, se pueden encontrar que los estudiantes traen consigo una cantidad de ideas y conceptos que, parcial o totalmente son erróneos, preconceptos que bloquean el correcto proceso de aprendizaje y se ven reflejados en las operaciones con este nuevo conjunto de los enteros y la resolución de problemas con los mismos. Una de las falencias detectadas es conceptual, como lo expresa Borjas Franco en su tesis de 2009: “los estudiantes tienen fuertemente arraigada la idea de que un problema de sumar es añadir, ganar, mientras que restar significa lo contrario: quitar, perder, lo cual dificultaba en algunos casos resolver operaciones con números enteros de igual y distinto signo. Los estudiantes le dan el uso implícito de los signos aritméticos como signos operativos, en unos casos, o predicativos en otros, tanto en la manipulación de expresiones numéricas como literales, logrando que esta distinción llegue a formularse con claridad”. Al respecto existen estudios tales como los realizados por Bruno (1997), González (1999) y Cid (2003), donde los autores hacen un tratado especial sobre los números enteros negativos y de cómo operarlos e identifican éstas como las mayores dificultades en la enseñanza de las matemáticas; además cómo parten de los errores de los estudiantes para tomar ventaja de estos y suplir los vacíos cognitivos o sortear los obstáculos epistemológicos que puedan surgir en el proceso. Paralelamente, otros aseguran que se deben tener en cuenta los contenidos que garanticen que los docentes puedan llevar a sus estudiantes a un aprendizaje significativo, (Ausubel, Novak y Hanesian (1976, 1978, 2002)). Algunas de las resultados a los cuales llegaron estos autores con estas investigaciones están centrados en como los estudiantes al comenzar a implementar en su lenguaje cotidiano el signo menos, evitan, de manera inconsciente, dimensionar su valor real o significado como un conjunto nuevo, percibiéndolo constantemente, aun, como operador de la resta de números naturales o, inclusive, no utilizarlo del todo. La concepción de orden es clara cuando se refiere a decir que los enteros negativos son menores que los positivos, pero se vuelve errónea al tratar de descifrar cuál de ellos es mayor o menor que otro negativo, pues los interpretan desde su valor absoluto.

5. Conclusiones y recomendaciones

5.1. Conclusiones

El estudio realizado y las teorías encontradas durante el desarrollo, sustento y aplicación de la misma, demuestran que las matemáticas en las instituciones educativas de Colombia han sido la asignatura por la cual la mayoría de los estudiantes tienen problemas en sus calificaciones finales, estos la encuentran monótona, pesada y hasta incomprensible. Surge entonces el presente trabajo de profundización, de la necesidad común de los estudiantes por afianzar el conocimiento de un tema tan fundamental, tan básico para la estructura lógico-matemática como es la conceptualización, manejo y aplicación de los números enteros, la resolución de distintos problemas y la iniciación, con base en ellos, al álgebra; temas relacionados en los cuales los estudiantes hacen un gran esfuerzo para poder discernirlos. Los objetivos general y específicos se cumplieron de acuerdo con el cronograma establecido gracias a los cuales se lograron identificar los obstáculos pedagógicos y los vacíos epistemológicos durante el proceso de enseñanza aprendizaje del concepto del número entero con el fin de implementar guías apoyadas en el modelo Escuela Nueva y el uso de herramientas de las nuevas tecnologías y, de esta forma, se logró motivar a los estudiantes de tal forma que encontraron los contenidos como algo agradable, donde adquirieron gusto por el saber, el conocer, el responder interrogantes planteados, el desglosar un ejercicio o procedimiento y llevarlo a buen término.

Desde la perspectiva histórica y didáctica, el error en la adquisición y consolidación de conocimientos ha sido tema de investigación por múltiples autores, debido a su complejo y delicado tratamiento; en la enseñanza de los números enteros, el proceso se torna deficiente e incompleto si no se logra el cambio conceptual necesario. La adquisición de nuevos conocimientos se originó desde los saberes previos de los estudiantes, saberes que ya vienen estructurados, comprendidos con claridad y con suficiencia cognitiva; de ahí debió partir el docente para crear las intervenciones sistémicas, con nuevas estrategias didácticas orientadas a generar soluciones y que fueron adaptarlas a la vida cotidiana de los jóvenes.

La apropiación del lenguaje y el uso continuado del mismo durante las sesiones de clase, permitió a los estudiantes vivenciar de manera clara los conceptos previos y adquirir unos nuevos; el proceso de comunicación se incrementó de forma acelerada y logró crear vínculos en sus mentes que les permitieron mejorar la capacidad de asimilación en las prácticas educativas.

Conclusiones 57

La misión del docente fue que el estudiante viera las matemáticas desde otro punto de vista, dejara de ser ese dilema imposible y se convirtiera en un reto que los obligó a esforzarse y a dar el máximo de sí mismos. El reto en el proceso de enseñanza de los números enteros consistió en utilizar estrategias que permitieron cambiar los paradigmas y el mapa mental de los estudiantes para la adquisición de un nuevo concepto y que pudieran vivenciar, de manera significativa y con el manejo cotidiano del lenguaje, la aparición de un nuevo conjunto de números, infinitos, menores que cero, opuestos a los positivos y que son propios de una nueva simbología; las variaciones en su operación como la adición que se vuelve algebraica y la multiplicación, que normalmente, toman mayor dificultad conceptual cuando suceden en números con signos opuestos.

Algunas de las resultados a los cuales se llegaron con la aplicación del pre-test, confirman que los estudiantes intentaron implementar en su lenguaje cotidiano el signo menos, pero evitan, de manera inconsciente, dimensionar su valor real o significado como un conjunto nuevo, el conjunto de los números enteros; percibiéndolo constantemente como operador de la resta de números naturales o, inclusive, no lo utilizan del todo. La concepción de orden fue clara en cuanto se refirió a que los enteros negativos son menores que los positivos, pero se volvió errónea al tratar de descifrar cuál de ellos era mayor o menor que otro negativo, además que el concepto de valor absoluto requirió de mayor labor por parte del docente para ser clarificado y aplicado de manera correcta.

La aplicación de nuevas estrategias metodológicas permitió dar solución a las dificultades que se presentaron en la enseñanza de los conceptos matemáticos, el poder brindar la oportunidad a los estudiantes de manipular objetos virtuales y visualizar en ellos, tanto las operaciones con número enteros, así como los resultados de problemas propuestos y permitieron establecer relaciones entre ellos. El estudiante está ahora más interesado en la búsqueda de soluciones a los problemas e interactúa con los contenidos propuestos al llevar el aprendizaje a niveles significativos.

Los resultados obtenidos con el trabajo realizado demuestran que las guías de interaprendizaje con la unión de elementos innovadores como el uso de herramientas TIC, son una estrategia plausible, enriquecedora para todos los actores del proceso de enseñanza, con cambios conceptuales oportunos que, en el futuro, se evidenciarán en un aprendizaje significativo para los estudiantes de grado séptimo.

5.2. Recomendaciones Después de finalizada la investigación y haber analizar todo el proceso de aplicación de las guías desarrolladas usando la metodología de Escuela Nueva con la utilización de herramientas de las nuevas tecnologías, se pueden mencionar algunas recomendaciones que pretenden ser útiles para aquellos que realizan el proceso de enseñanza aprendizaje de las operaciones básicas con números enteros con estudiantes de séptimo de grado.

58 GUÍAS DIDÁCTICAS DE INTERAPRENDIZAJE PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DEL CONCEPTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS EN EL GRADO SÉPTIMO DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA AGUACATAL DEL

MUNICIPIO DE NEIRA

La planeación de las actividades realizadas, para el manejo de las operaciones básicas con números enteros, deben tener en cuenta las necesidades e intereses de los estudiantes que les permita construir su propio aprendizaje en un ambiente agradable dentro del aula. De acuerdo con el modelo pedagógico que se aplique, se deben respetar la forma como los estudiantes llegan a construirse conceptualmente, su ritmo de trabajo e intereses; así como la exaltación del trabajo colectivo, para que los educandos refuercen y corrijan a partir de lo aprendido. Los docentes y en general las instituciones educativas, deben masificar el uso de las nuevas tecnologías, incorporarlas a los planes de estudio y, de esta forma, expandirlas a otras áreas del conocimiento para que el estudiante se sienta inmerso en los contenidos y se agilice el ascenso del conocimiento al saber.

A. Anexo: Pre-test y Pos-test sobre el concepto de números enteros

PREGUNTAS SABER TIPO I, ÚNICA RESPUESTA Lea con atención el enunciado y elija la respuesta correcta. CONCEPTO DE ENTERO 1. De las siguientes afirmaciones, la FALSA es: Para comparar números enteros debemos tener en cuenta que:

a. Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo. b. Entre números positivos será mayor el de mayor valor absoluto. c. Entre números negativos será mayor el de menor valor absoluto. d. Cualquier número a la izquierda del cero, es mayor que cero.

2. ¿Cuál (es) de los siguientes conjuntos de números enteros está(n) ordenado(s) de mayor a menor? I. –34, -67, 90, +123, +789 II. +456, +89, +78, -56, -123, -432 III. –1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9

a. sólo I. b. sólo II. c. sólo III. d. sólo II y III.

3. Escribe el número entero que representa cada situación: La fosa oceánica más importante es la fosa Challenger, con 11.990 m. de profundidad.

a. 0 b. 11.990 c. -11.990 d. + 11.990

4. Escribe el número entero que representa cada situación: El continente


africano presenta el punto más elevado en el monte Kilimanjaro con una altura de 5.895 m. y la mayor depresión se ubica a 155 m., bajo el nivel del mar.

a. 5.895 y 155 b. -5895 y 155 c. -5895 y -155 d. 5895 y – 155

5. Si un submarino de la flota naval, desciende a 50 metros bajo el nivel del mar y luego asciende 20 metros, queda a una profundidad de:

a. 30 m bajo el nivel del mar. b. 30 m sobre el nivel del mar. c. 70 m sobre el nivel del mar. d. 70 m bajo el nivel del mar.

6. En una feria se juega tiro al blanco: por cada acierto se ganan $3.000 y por cada desacierto se pierden $1.000. Arturo lanzó tres veces y acertó una vez en el blanco. ¿Cuánto dinero ganó o perdió al final de los tres lanzamientos?

a. Ganó $ 1.000 b. Ganó $ 3.000 c. Perdió $ 2.000 d. Perdió $ 4.000

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS ENTEROS 7. Qué número entero se encuentra a cinco unidades a la izquierda de -3

a. 8 b. 2 c. -8 d. -2

Para responder las preguntas del 8 a 10, observa la gráfica de temperaturas máxima y mínima de algunas ciudades. 8. ¿Cuál ciudad tuvo el más alto registro de temperatura?

a. Montevideo b. Bogotá c. La paz d. Lima

9. ¿Cuál ciudad tuvo el más bajo registro de temperatura?

a. La paz b. Santiago c. Bogotá d. Montevideo

10. ¿Cuál es la diferencia entre las temperaturas extremas en La Paz?

a. 28 b. -28 c. 20 d. -20

Anexo B. Guías de Interaprendizaje 61

Con la información que aparece en la siguiente tabla:

¿Has ido al médico en el último mes?

Número de personas

Sí 40 No 120

Tania elaboró correctamente el diagrama de barras que aparece a continuación:

11. ¿Qué números escribió Tania en la posición indicada por los óvalos E, F y G respectivamente?

a. 0, 40, 120 b. 0, 100, 200 c. 40, 120, 150 d. 50, 100, 150

La figura siguiente, muestra la temperatura ambiente de un lugar a las 5:00 de la mañana, la figura 2 muestra la temperatura ambiente del mismo lugar a la 1:00 de la tarde y la figura 3 muestra la temperatura ambiente del mismo lugar a las 6:00 de la tarde.

12. ¿Cuál fue el cambio de temperatura ambiente del lugar entre las 5:00 de la mañana y las 6:00 de la tarde?

a. Disminuyó 15º C. b. Disminuyó en 10º C.


c. Aumentó 5º C. d. Aumentó 20º C.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN 13. Si una persona vivió 68 años y nació 27 años antes de cristo, ¿en qué año falleció?

a. 34 a.C. b. 41 d.C. c. 53 d.C. d. 41 a.C.

14. La suma de dos números es 38.190. Si uno de ellos es 15.200, el otro es:

a. 22.990 b. 53.390 + x c. 53.390 d. 22.990 + x

15. El resultado de 20 + (-60) – 40 –20 es:

a. –100 b. + 100 c. –140 d. +140

PREGUNTAS 16 A 18: Dado el siguiente cuadro de temperaturas en el mundo, responde las preguntas.

Ciudad Temp. Santiago (Chile) 15°C

Barcelona 17°C Berlin 8°C

Londres 5°C New York - 2°C

Paris 12°C Roma 15°C Moscú - 8°C

16 ¿Cuál fue la diferencia de temperaturas entre Barcelona y Berlín?

a. -25 ˚C b. 9 ˚ C c. 25 ˚C d. -9 ˚C

17. ¿Cuánto más alta fue la temperatura en Santiago que en Moscú?

a. 7 ˚C b. 23 ˚C c. 120 ˚C


d. -23 ˚C 18. ¿Cuánto más baja fue la temperatura en New York que en Londres?

a. 3 ˚C b. -3 ˚C c. 7 ˚ C d. -7 ˚C

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 19. El resultado de la operación -9 x 12 es:

a. 108 b. 21 c. -21 d. -108

20. El resultado de la operación (-18) ÷ (-6) es:

a. 12 b. -3 c. 3 d. 24

21. El triple de un número aumentado en 6, equivale al número más 16. El número es:

a. 5 b. 6 c. 4 d. 3

22. El cuádruplo de un número disminuido en 7, equivale al duplo del número más 3. El número es:

a. 9 b. 11 c. 5 d. 7

23. El producto de dos números enteros es (-630). Si uno de estos números es 21, ¿Cuál es el otro?

a. -30 b. -651 c. -609 d. 30

24. El cociente de dos números enteros es (-24). Si el divisor es -6. ¿Cuál es el dividendo?

a. -144 b. 144 c. 4 d. -4


ECUACIONES CON NÚMEROS ENTEROS 25. El número que satisface la ecuación S + 18 = 36 es:

a. 16 b. 63 c. 54 d. 18

26. 6 es el número que satisface la ecuación:

a. X + 12 = 19 b. 12 + 19 = X c. X + 12 = 18 d. X + 18 = 12

27. La suma de las edades de Andrés y Milton es de 63 años. Si Andrés tiene 32 años, ¿qué edad tiene Milton? La ecuación que representa el problema es:

a. 63 + x = 32 b. x – 32 = 63 c. 32 + x = 63 d. 63 + 32 = X

28. La manera correcta de escribir matemáticamente la frase “a 120 se le resta 46 y a este resultado se le resta el producto de 5 y 12” es:

a. 120 – 46 + 5 + 12 b. (120 – 46) – 5 x 12 c. 5 x 12 – (120 – 46) d. 120 – 45 x (5 – 12)

29. El largo de un rectángulo es dos veces el ancho. El perímetro del rectángulo es de 30 cm. Hallar las dimensiones del rectángulo (largo y ancho).

a. 15 y 15 b. 20 y 10 c. 10 y 5 d. 10 y 15

30. Un pastelero gasta 24.000 pesos diarios en ingredientes para hacer galletas y cobra $20 por cada galleta. Si al final de un día vendió todas las galletas que preparó, y obtuvo una ganancia total de 880 pesos, ¿cuántas galletas vendió?

a. 1200 b. 1244 c. 44 d. 880

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS APLICADOS USANDO NÚMEROS ENTEROS 31. En invierno en cierto lugar del sur de Chile, la temperatura a las 16 horas fue de 12° C. A las 3 de la mañana hubo un descenso de 17° C. ¿Cuál fue la temperatura registrada a esa hora?

a. 29 grados sobre cero.


b. 29 grados bajo cero. c. 5 grados bajo cero. d. 5 grados sobre cero.

Responda las preguntas del 32 a 35 de acuerdo con la siguiente información. Un caracol se desplaza en el sentido que indica la flecha sobre la recta graduada. El caracol avanza una unidad por hora. A las 12 del día el caracol está exactamente en el punto +3.

32. Indica en qué punto de la recta se encontraba el caracol a las 9 de la mañana en:

a. +3 b. +2 c. +1 d. 0

33. Indica en qué punto de la recta se encontrará el caracol a las 3 de la tarde

a. -6 b. +5 c. +6 d. -5

34. Si el caracol se encontraba a las 2 de la mañana en el punto -7, cuántas unidades se desplazó para estar en el punto +3.

a. 12 b. 10 c. -10 d. -12

35. Cuando el caracol esté exactamente en punto +11, qué horas serán.

a. 8 de la noche b. 9 de la noche c. 4 de la tarde d. 5 de la tarde

36. En un minuto, un cangrejo avanza tres metros y en el siguiente retrocede dos. ¿Cuánto tiempo tarda en avanzar 20 metros?

a. 20 b. 34 c. 19 d. 35


B. Anexo: Guías de Interaprendizaje

Guía uno: El conjunto de los números enteros

Estándares Pensamiento Numérico Y Variacional Identificar las características del conjunto de los números enteros. Establecer las relaciones entre números enteros.

Indicadores De Desempeño Conceptual: Identifica el concepto de los números enteros. Procedimental: Ubica los números enteros en una recta numérica. Actitudinal: Valora la importancia que tienen los números enteros para la solución de situaciones cotidianas.

TRABAJO EN EQUIPO 1. Desarrollamos las siguientes actividades, saliendo al patio. Cada una de las

instrucciones debe ser realizada por uno de los compañeros: a. Trazamos una línea recta, camina un compañero sobre ella, avanza 10 pasos y luego se devuelve 3 pasos. ¿Cuántos pasos avanza con respecto al punto de partida? b. Se ubica en la mitad de la línea trazada y se devuelve 5 pasos. ¿Cómo se representa el punto en donde quedamos

ubicados? c. Se ubica en algún sitio de la recta trazada, avanza 10 pasos, avanza 3 pasos más y devuelve 6 pasos. ¿Cuántos pasos avanza con respecto al punto de partida? d. Se ubica en la mitad de la línea trazada, avanza 5 pasos y retrocede 10 pasos. ¿Cuántos pasos avanza comparada con el punto de partida? e. Avance 3 pasos, avance 2 pasos, avance 5 pasos y retrocede 7 pasos. ¿Cuántos pasos avanza comparada con el punto de partida? 2. Volvemos al salón de clase y representamos cada desplazamiento realizado en el patio en una recta numérica distinta.


TRABAJO INDIVIDUAL 3. Elaboro por cada situación una recta en donde se ubiquen las cantidades correspondientes:

a. La temperatura es de cinco grados bajo cero. b. Ocho metros sobre el nivel del mar. c. Perdí un punto en la nota por mal comportamiento. d. Me gané 10 puntos en la nota de matemáticas para este periodo por participar en las olimpiadas. 4. Respondo en mi cuaderno: a. ¿Cuál de las cantidades representadas en la recta numérica, es la menor? ¿Por qué? b. ¿Cuáles son positivos? c. ¿Cuáles son negativos?

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Existen varias situaciones en la vida cotidiana donde se necesita diferenciar una pérdida de una ganancia de dinero, temperaturas bajo cero, lugares bajo el nivel del mar, distinguir los desplazamientos de la derecha de los de la izquierda, entre otros. Las anteriores situaciones obligan a ampliar el conjunto de los números naturales, introduciendo así, un nuevo conjunto numérico que permita representar estas situaciones, denominado números enteros. 1.1 Definición de los Números Enteros

En el conjunto de los números naturales N, no tiene sentido considerar restas tales como 9 - 13, 6 - 29, 33 - 49 y, en general, todas aquellas en donde el minuendo es menor que el sustraendo. De este modo en el conjunto de los números enteros, que se simboliza con Z, es posible resolver este tipo de operaciones. El conjunto de los números enteros se forma con la introducción de los números enteros negativos, utilizados para representar situaciones tales como temperaturas inferiores a 0° o egresos de dinero. Estos números, forman el conjunto de los números negativos que se simboliza Z - y se determina por extensión así: Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1}


Por otra parte, el conjunto de los números naturales sin incluir el cero, es considerado como el con junto de los enteros positivos, que se simboliza como Z + y se determina por extensión así: Z+ = {1, 2, 3, 4, 5,...} El número 0 pertenece al conjunto de los números enteros y es el único que no se considera negativo o positivo. El conjunto de los números enteros está formado por los enteros positivos, el número cero y los enteros negativos. Se determina por extensión así: Z = {..., -5, -4, -3, 2, -1,0, 1, 2, 3, 4, 5,...} De otra forma, Z = Z - U {O} U Z +

Los números no positivos aparecieron por primera vez en la India, en Sabías que…el libro de Brahmagupta (matemático hindú), en el año 628 de nuestra era. En él, se distingue entre "bienes", "deudas" y la "nada”. Es decir, los números positivos, los números negativos y el cero. Los hindúes representaban los números negativos poniendo un punto encima de las cifras.

EJEMPLOSEscribir el número entero que representa cada situación. a. La fosa oceánica más importante es la fosa Challenger, con 11.990 metros de profundidad. En este caso, se utiliza un entero negativo, ya que se trata de una profundidad:

El número entero es: -11.990 m. b. El continente africano presenta el punto más elevado en el: monte Kilimanjaro con una altura de 5.895 m y la mayor depresión se ubica a 155 m bajo el nivel del mar. En este caso los números enteros que representan la situación son: Monte Kilimanjaro: 5.895 m. Mayor depresión: -155 m.

1.2 Representación en la Recta Numérica de los Números Enteros

Los números enteros se pueden representar gráficamente sobre una recta numérica, así: Primero, se ubica un punto sobre la recta al que se le hace corresponder el cero. Luego, a partir de este punto se dibujan marcas, separadas unas de otras por espacios iguales, tanto a la derecha como a la izquierda. Por último, a cada marca se le asigna un número entero; a la derecha del cero se ubican los enteros positivos y a la izquierda, los enteros negativos, así:


En la recta numérica, los números enteros están organizados de forma creciente, de izquierda a derecha. Esto permite determinar el sucesor y el predecesor de un número entero. El sucesor de un número entero es el número que se encuentra inmediatamente a la derecha del número dado. Mientras que el antecesor de un número entero es el número que está inmediatamente a la izquierda del número dado. Por ejemplo, el sucesor de -4 es -3, y el antecesor de -4 es -5.

Los números enteros se pueden expresar de varias maneras, por Recuerda que…ejemplo: a. 3 = + 3 = (+ 3) b. -4 = (-4)

EJEMPLOS l. Determinar los números enteros representados en la recta numérica.

Primero, se ubican los números enteros en la recta numérica, así:

Por tanto, el número entero asociado a cada punto es: A = -4 B= -2 C=4 D=5 0=0 2. Observar la recta numérica. Luego, resolver.

a. ¿Qué número entero se encuentra cinco unidades a la izquierda de -3? El número entero que se encuentra cinco unidades a la izquierda de -3 es -8. b. ¿Qué números enteros están entre -2 y 3? Los números que están entre -2 y 3 son: -1, O, 1, 2. c. Expresar por extensión el conjunto D formado por los números enteros que están a la derecha de -7. El conjunto D por extensión es: D = { -6, -5, -4, -3, -2, -1, O, 1, 2, ...} Afianzo Competencias

Escribe € o ∉, según corresponda. INTERPRETO:a. -1 Z - b. -12 Z + c. 45 Z + d. +9 Z + e. 17 Z - f. -165 Z +


Observo y completa. Luego responde. RAZONO:

a. ¿Cuál es el antecesor de -1? b. ¿Cuál es el número entero cuyo sucesor es-2?

Representa cada situación con un número entero. RAZONO:a. El avión vuela a 2.700 m de altura. b. Un submarino se encuentra a 2.500 m bajo el nivel del mar. c. La rueda se inventó en el año 5500 a. C. d. Daniela tiene una deuda de $2.300 en el almacén. e. Hay estacionamientos disponibles en el 2.0 subterráneo del centro comercial.

D. Aplicación: solución de problemas. Lee, observa y resuelve.

Para generar energía eléctrica, a partir de yacimientos geotérmicos, se deben perforar profundos pozos que conduzcan, hacia la superficie terrestre, el fluido almacenado a altas temperaturas en la corteza de la Tierra. Ya en la superficie, el vapor que viene a alta presión se utiliza para hacer funcionar una turbina y así producir energía eléctrica.

a. ¿Qué medidas de la ilustración anterior pueden ser representadas mediante números enteros? b. ¿Cuáles corresponden a números positivos? c. ¿Cuáles a números negativos? 1.3 Representación de Puntos en el Plano Cartesiano

El plano cartesiano es un sistema que se utiliza para localizar puntos. Está formado por dos rectas numéricas perpendiculares llamadas ejes, cuyo punto de intersección recibe el nombre de origen. En un plano cartesiano se reconocen los siguientes elementos: La recta numérica horizontal denominada eje “x” y la recta numérica vertical denominada eje “y”, de tal forma que en el eje “x” se escriben los números enteros positivos hacia la derecha del origen y en el eje “y” hacia arriba del origen. Además, los números enteros negativos se escriben hacia la izquierda del origen en el eje “x”, y hacia abajo del origen en el eje “y”.


Las cuatro regiones generadas por los dos ejes que dividen el plano son denominadas cuadrantes y se representan con los números romanos I, II, III y IV

En el plano cartesiano, cada punto se encuentra determinado por una pareja ordenada de números, la cual se escribe entre paréntesis y se separa con una coma. Por ejemplo, la pareja ordenada (-2, 3) representa un punto ubicado en el segundo cuadrante. En toda pareja ordenada (a, b) se distinguen dos coordenadas: la coordenada a, denominada abscisa, localizada sobre el eje “x” y la coordenada b, denominada ordenada, ubicada sobre el eje “y”. Para representar una pareja ordenada (el, b) en el plano cartesiano se realizan los siguientes pasos: Primero, se localizan la abscisa sobre el eje “x” y

la ordenada sobre el eje “y”. Luego, se traza por a una recta vertical y por b

una recta horizontal. La intersección de estas rectas representa el punto donde está ubicada la pareja (11., b).

Por último, se nombra el punto con una letra mayúscula, así: P(a, b), es decir, el punto P de coordenadas (a, b), como se muestra en la figura.

René Descartes (1596-1650), matemático y filósofo francés, desarrolló Sabías que…el sistema de coordenadas cartesianas, cuyo nombre es en su honor.

EJEMPLOSl. Representar en el plano cartesiano el punto A (-3, 5). Luego, determinar en cuál cuadrante se encuentra ubicado el punto.

Primero, se ubica el número -3 en el eje horizontal. Luego, se ubica el número 5 en el eje vertical. Después, se traza una recta vertical por -3 y una

recta horizontal por 5. El punto se ubica en la intersección de las dos rectas. Finalmente, el punto A se encuentra ubicado en el

segundo cuadrante.


2. Observar el siguiente sistema de coordenadas. Luego, escribir las coordenadas de los puntos señalados. Las coordenadas de los puntos señalados son: A (2, 3), B (5, O), C (-3, 1), D (- 5, 4), E (-4, -1), F(O, -1), G (4, -1). 3. Encontrar en el dibujo los puntos marcados que cumplen con la condición dada.

a. Puntos que tienen la misma ordenada. Los puntos que tienen la misma ordenada son los que tienen la segunda componente igual, es decir, el mismo valor en y. En este caso los puntos son: J (-4, 3) y M (2, 3); H (-4, O) y A (l, O); E (-1, -3) y C (5, -3) b. Puntos que tienen abscisa cero. Los puntos con abscisa cero, son los puntos ubicados sobre el eje “y”. Por tanto, el punto que cumple la condición es L(O, 6).

c. Puntos que tienen la abscisa y ordenada negativa. Los puntos con abscisa y ordenada negativas se ubican en el tercer cuadrante. Por tanto, los puntos son: G (-6, -2), F (-4, -4) y E (-1, -3). Afianzo Competencias

Escribe la letra que corresponde a cada punto ubicado en el plano INTERPRETO:cartesiano.

A= (2, 1) B = (-1, 3) C =(O, O) D = (4, -2) E = (-2,-3)

Completa la tabla indicando el cuadrante en el que se encuentra el punto EJERCITO:

dado o sugiriendo un punto para el cuadrante planteado.

PUNTO CUADRANTE PUNTO CUADRANTE (-4, -3) (-3, -2) (5, 2) III (-3, 2) (3, 1)

IV II (4, -5) (4, -2)

I (-3, -5)


Ubica los siguientes puntos en un plano cartesiano. Luego, une los RAZONO:

segmentos en orden con el color indicado, después escribe el nombre de la figura formada. A= (-6, 1) B = (-5, 6) C= (-4, I) D= (-1, 1) E = (-1, 5) F= (3, 5) G= (3, 1) H= (-3, -5) I= (-3, -2) J= (4, -2) K= (4, -5) Con rojo: B, C, A, B. Con verde: D, E, F, G, D. Con anaranjado: H, I, J, K,

H. Figura formada: Figura formada: Figura formada: D. Aplicación: solución de problemas.

1. Una figura es simétrica si se pueden trazar en ella uno o varios ejes de simetría. Cada eje de simetría divide la figura en dos partes iguales pero contrapuestas. a. Completa el polígono de manera que el eje “y” del plano cartesiano sea uno de sus ejes de simetría. b. Escribe las coordenadas de los vértices del polígono obtenido. c. ¿Es posible trazar otros ejes de simetría en esta figura? Explica tu respuesta. d. Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto sea A (-2, -1). 1.4 Números Opuestos

En la representación geométrica de los números enteros, se puede observar que existen parejas de puntos que se encuentran a la misma distancia del cero, aunque tengan signos diferentes. Por ejemplo, en la recta numérica:

Los puntos A' y A, respectivamente, representan los números enteros -5 y 5, donde la distancia del punto A' al origen es 5 unidades, así mismo, la distancia del punto A al origen también es 5 unidades. Luego, los puntos A' y A están a igual distancia del origen, pero en lados opuestos de la recta numérica respecto a cero. Por esta razón los números -5 y 5 son llamados números simétricos o números opuestos.


Dos números enteros se llaman opuestos si están a la misma distancia de cero y tienen diferente signo. Es decir, el opuesto de a es -a. 1.5 Valor Absoluto De Un Número Entero

El valor absoluto de un número entero es el número de unidades que separan a dicho número de cero, es decir, a la distancia del número respecto a cero. Si a € Z, el valor absoluto de a sé simboliza |a| y es la distancia que existe entre a y cero. El valor absoluto de cero es cero. Es decir, |0|= 0.

EJEMPLOS

Determinar el valor absoluto de los números enteros que representan la ubicación de la cometa y los peces, que se muestran en la figura. El número entero que representa la ubicación de la cometa es 6. Como hay 6 unidades entre 6 y 0,

entonces, |6|= 6. El número entero que representa la ubicación de los peces es -10. Como hay 10 unidades entre -10 y 0, entonces, |10|= 10. 2. Determinar el opuesto de los siguientes números. a. 17. El opuesto de 17 es -17. b. -384. El opuesto de -384 es 384. c. –x. El opuesto de -x es x. 3. Hallar el valor de la expresión |- (-9)|. |-(-9)| = |9| Se halla el o puesto de -9.

= 9 Se determina el valor absoluto de 9. Por tanto, |-(-9)| = 9. Afianzo Competencias

Representa gráficamente cada uno de los siguientes valores absolutos. INTERPRETO:Luego, halla el valor de cada número. a. |-5| b. |64| d. |-100| e. |-8| f. |y| g. |-x|

Determina. Explica tu respuesta. PROPONGO:a. El número simétrico a -23. b. El número opuesto del valor absoluto de un número. c. El valor absoluto del simétrico de n. d. Dos números enteros cuyo valor absoluto sea igual a 700.

Completa: EJERCITO:a. |-5|= b. ||= 54 c. ||= Z


d. |-16|= e. |-231| = f. |-(-10)| = D. Aplicación: solución de problemas.

Observa la figura. Luego, responde. a. ¿Qué máquina está a mayor distancia del nivel del mar, el avión o el submarino? b. ¿Cuál es el valor absoluto de -600 y de 600? c. En general si a € Z, ¿cómo son |a| y |-a|? Explica tu respuesta.

1.6 Orden en Z

Cuando se comparan dos números enteros a y b, entre ellos se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: a < b, a es menor que b, si al representarlos gráficamente sobre la recta numérica, a se encuentra ubicado a la izquierda de b.

a> b, a es mayor que b, si al representarlos gráficamente sobre la recta numérica, a se encuentra ubicado a la derecha de b.

a = b, a es igual a b, si al representarlos en la recta numérica, a a y b les corresponde el mismo punto.

Los chinos utilizaron los números negativos, pero los diferenciaban de Sabías que…

los positivos escribiéndolos de otra forma. Por ejemplo, escribían los números negativos de color rojo mientras que los positivos los escribían de color negro. De ahí viene la expresión "estar en números rojos", es decir, tener deudas. En sus ábacos, los chinos usaban cuentas de diferentes colores.

EJEMPLOSl. Determinar la relación de orden entre los siguientes números. a. 5 y 2 Primero, se ubican los números en la recta numérica.


Luego, 5 > 2 porque 5 se encuentra a la derecha de 2. En general, un número entero positivo entre más a la derecha se encuentra del cero es mayor, en este caso el número 5 se encuentra más a la derecha del cero que el número 2. b. -8y -3 Primero, se ubican los números en la recta numérica.

Luego, -8 < -3 porque -8 se encuentra a la izquierda de -3. En general, un número entero negativo entre más a la izquierda se encuentra del cero es menor, en este caso el número -8 se encuentra más a la izquierda del cero que el número -3. 2. Leer, observar y resolver. El termómetro registra 2 °C, después 6 °C, y por último, -4 °C. Escribir estas temperaturas en orden creciente.

Al comparar los números enteros, se tiene: -4 < 2, --4 < 6 y 2 < 6. Por tanto, las temperaturas en orden creciente son -4, 2 y 6. Luego, al ordenar las temperaturas se tiene que -4 °C< 2 °C< 6 °C. Afianzo Competencias

Ubica los siguientes números en la recta numérica y luego escríbelos INTERPRETO:de menor a mayor. -7, 5, -4, 8, -9, 0

Ordena de menor a mayor, los siguientes números: EJERCITO:a. -16, 4, -5, O, 23, -1, 8, -3 b. 12, -7, 20, --2, 14, -6, 1, -10 c. 34, -3, -- 18, 9, -4, 5, --56, 60 d. -4, O, -6, 7, -11, 21, -3, 12, -- 7,9 e. -125, 78, -21, 80, -11, 125, 21, -65

Completa con los signos >, < o =. EJERCITO:a. -4 -8 b. -5 0 c. |-5| 8 d. |-16|-17| e. |-12| 12 f. |-8||-5| g. -1 3 h. -2 -5 i. |-9||+9| j. |--5-|-5


k. |-1|0 l. 19 |-27| D. Aplicación: solución de problemas.

Leer y responder:

En la siguiente tabla se presentan las temperaturas de fusión y ebullición de algunos elementos de la naturaleza. a. ¿Cuál elemento de la tabla necesita menor temperatura para fundirse? b. Ordena los elementos ele la tabla de menor a mayor temperatura de fusión. c. Felipe afirma que el helio tiene mayor punto de ebullición que el hidrógeno. ¿Es correcta su afirmación? ¿Por qué?

Guía Dos: Operaciones En Z

Estándares Pensamiento Numérico Y Variacional Efectuar las operaciones básicas con números enteros, aplicando las propiedades correspondientes. Resolver polinomios con números enteros.

Indicadores De Desempeño Conceptual: Identifica las propiedades de las operaciones de los números enteros. Procedimental: Aplica las propiedades de las operaciones con los números enteros en situaciones cotidianas. Actitudinal: Valora la importancia que tienen los números enteros para la solución de situaciones cotidianas.

TRABAJO EN EQUIPO

Analizamos la siguiente situación: La tabla muestra algunos datos de algunas ciudades del mundo.


Respondemos:a. Ordenamos de mayor a menor (descendente) las altitudes de las ciudades

presentadas. b. Ordenamos de menor a mayor (ascendente) las temperaturas de las ciudades presentadas. c. ¿En cuál ciudad hace más frío en invierno? ¿En cuál ciudad hace más frío en \Jerano? d. ¿En cuál ciudad hace más calor en verano? ¿En cuál ciudad hace más calor en invierno? e. ¿En Moscú, cuántos grados desciende la

temperatura cuando se pasa de verano a invierno?

Las operaciones entre números enteros son las mismas que se definieron entre los números naturales; sin embargo, como ahora aparecen los números negativos es importante tener presentes algunos procedimientos y reglas.

2.1 Adición en los Enteros

En la adición de números enteros se presentan los siguientes casos: Adición de dos números enteros de igual signo Para sumar dos números enteros de igual signo, se suman los valores absolutos de dichos números y, al resultado, se le antepone el signo común de los sumandos. Por ejemplo: En la figura del lado, se muestra una persona que ingresa al ascensor de un edificio en el piso 5 y sube tres pisos. Para conocer el piso donde se detiene el ascensor,

se representa situación como sigue: En la recta numérica, se parte de 5 y se desplaza 3 unidades hacia la derecha; luego, punto final corresponde al número 8.

Por tanto, el ascensor paró en el piso 8.


En la figura del lado, se muestra un buzo que se encuentra a 6 m por debajo del nivel d mar, para observar animales más interesantes decide descender 7 m de profundidad respecto a este punto. Para determinar la posición final del buzo respecto al nivel del mar, se representa la situación como sigue. En la recta numérica, se parte de -6 y se desplaza 7 unidades hacia la izquierda; luego el punto final corresponde al número -13.

Para resolver la suma (-6) + (-7), se suman los respectivos valores absolutos, 6 y 7, y a la respuesta se le antepone el signo menos, así: (-6) + (-7) = -13. Por tanto, el buzo se encuentra a -13 metros respecto al nivel del mar. 2.1.1 Adición de Dos Números Enteros de Diferente Signo

Para realizar la adición de dos números enteros de diferente signo, se determina el valor absoluto de ellos. Luego, se restan los valores absolutos y al resultado se le antepone el signo del número que tiene mayor valor absoluto. Por ejemplo: En la figura del lado, se muestra la variación de la temperatura en una ciudad, en la cual registraba 3 °C durante la tarde y después bajó 4 °C por la noche. Luego, la temperatura en la mañana está dada por: (3) + (-4). Para resolver la suma (3) + (-4), se restan los valores absolutos de cada número, 3 y 4, y a la respuesta se le antepone el signo menos, ya que -4 tiene mayor valor absoluto que 3, entonces, (3) + (-4) = -1. Por tanto, la temperatura de la ciudad en la mañana es -1 °C. 2.1.2 Propiedades de la Adición de Números Enteros

En el siguiente cuadro se plantean las propiedades que cumple la adición de números enteros.

Tabla 19 Propiedades de la adición de números enteros


EJEMPLOSRealizar las sumas indicadas y representarlas en la recta numérica.

Todo número entero diferente de cero tiene signo positivo o Recuerda que…negativo. Así, -7 tiene signo negativo y 6 tiene signo ti positivo. Cuando un número no está precedido de un signo se asume que es positivo. 2. Leer y resolver.

Un cardumen que está a 7 metros bajo el nivel del mar, primero baja 4 metros y luego baja 3 metros. ¿A qué nivel del mar se encuentra ahora? Se representan los datos con números enteros: 7 m bajo el nivel del mar (-7), baja 4 m (-4) y baja 3m (-3). Para saber a qué nivel se ubica el cardumen, se suma (-7) + (-4) + (-3): (-7) + (-4) + (-3) = - 14

Se suma el valor absoluto de los números y se coloca el resultado del signo de los sumandos. Por tanto, el cardumen se encuentra a -14 metros o 14 metros bajo el nivel del mar. Afianzo Competencias

calcula. EJERCITO:a. (+4) + (+12) b. 4+ (-12) c. (-4) + (-12) d. (-4) + 12 e. 8+ (-19) f. (-25) + (-18)

Completa la siguiente pirámide sabiendo que el número de encima se RAZONO:obtiene sumando los dos que aparecen en la parte inferior del mismo.


Descubre la parte desconocida. RAZONO:a. (-12) + = -12 b. (+19) += +12 c. (-16) + = +9 D. Aplicación: solución de problemas.

Leer y resolver.Andrés tiene una heladería. A principios de este mes, pagó $110.000 por la compra de los ingredientes para la producción de helados. Recibió $350.000 de la venta de helados producidos y, al final del mes, pagó $75.000 para el mantenimiento de equipo. a. ¿Cuál fue el balance de Andrés al final del mes? b. ¿Obtuvo una ganancia o una pérdida? 2.2 Sustracción en los Enteros

En la sustracción a - b = e, a se llama minuendo, b se llama sustraendo y e se llama diferencia. Para hallar la diferencia entre dos números enteros, se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo. Es decir, si a, b € Z entonces, a- b =a+ (-b). Por ejemplo, para resolver la resta 15 - 33, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo, y a la diferencia se le antepone el signo del sumando de mayor valor absoluto, así: 15 - 33 = 15 + (-33) = -18. Para realizar la resta -59 - (-88), se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Luego, se tiene: -59- (-88) =-59+ (88) = 29. Para realizar la resta -26- 14, se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo. Por tanto, -26- 14 = -26 + (-14) = -40.

EJEMPLOSRepresentar y resolver en la recta numérica la siguiente situación. En una ciudad, la temperatura en la noche fue de -5 °C y en la madrugada llegó a -9 °C. ¿Qué diferencia de temperaturas hubo en esas horas? La operación que se debe realizar es (-9) - (-5) =-4


Por lo tanto, la variación en la temperatura fue de -4 °C, lo que equivale a decir que la temperatura disminuyó 4 °C. 2. Leer y resolver.La dinastía Han, en China, se inició en el año 202 a. C. y terminó en el año 220 d. C. ¿Cuántos años duró dicha dinastía? Para encontrar el tiempo de duración de la dinastía Han se debe restar al año final, el año inicial. Es decir, 220 - (-202) = 220 + 202 = 422 Por tanto, esta dinastía duró 422 años en China. 2.2.1 Supresión de Signos de Agrupación

En algunas expresiones se combinan adiciones y sustracciones de números enteros, con signos de agrupación. Por ejemplo, -3 + {-[7- (-5 + 9)- 13] + 8}. Para resolver estas expresiones, se deben eliminar los signos de agrupación teniendo en cuenta las siguientes reglas: Cuando un signo de agrupación está precedido por el signo +, se suprime

dejando las cantidades que están en su interior con el mismo signo, así: 7 + (-3) = 7- 3

Cuando un signo de agrupación va precedido por el signo -, se suprime cambiando de signo las cantidades que se encuentran en su interior, es decir: -25 - (-4) = -25 + 4

Una vez que se suprimen los signos de agrupación, se halla el resultado de la expresión considerando que:

Dos cantidades de igual signo se suman y al resultado se le antepone el signo común. Dos cantidades de diferente signo se restan y al resultado se le antepone el signo de la cantidad que tenga mayor valor absoluto.

Los signos de agrupación usados en matemáticas son ( ) Recuerda que…paréntesis, [ ] corchetes, { } llaves. Además, para resolver una expresión con signos de agrupación, estos deben ser eliminados de dentro hacia fuera. Para esto, se resuelven las operaciones indicadas dentro de cada uno de ellos.

EJEMPLOSResolver las siguientes operaciones.


Afianzo Competencias

Resuelve. EJERCITO:a. (-3)- (+9) b. (- 3)- (-9) c. (+3)- (+9) d. (+3)- (-9)

Calcula. EJERCITO:a. -5 - (+11)- (-20) b. 9 - [(-5)- (+7)] c. -7 - [(-3) - (-9)] d. -11- [(+6)- (+4)] e. +8- [(+5)- c- 9) f. (+4) + [(+3)-+ C-7)]-+ (+1) g. -(-3) + {(-5) - [(+8) + (-10)]} D. Aplicación: solución de problemas.

1. Leer y resolver.a) Un comerciante hizo un negocio en la mañana y perdió $250.000; en la tarde realizó un nuevo negocio y ganó lo suficiente para recuperar la pérdida y aumentar su capital en $1.200.000. Representa cada valor con un número entero y determina cuánto dinero tiene si al comienzo del día tenía una deuda de $185.000. b) Roma, capital de Italia, fue fundada en el 753 a. C. por Rómulo y Remo, según cuenta la leyenda. Fue capital del Imperio romano desde el 27 a. C., cuando se convirtió en imperio; hasta el 395 d. C., cuando el Imperio fue dividido en dos partes. ¿Cuántos años pasaron desde su fundación hasta el inicio del Imperio?


c) La amplitud térmica es la diferencia entre la temperatura máxima y la temperatura mínima registrada en un lugar. Observa la siguiente tabla, donde se muestran las temperaturas de varias ciudades.

2.3 Multiplicación de Números Enteros

La multiplicación de dos números enteros a y b es un número entero c llamado producto. Si a, b € Z, entonces, a X b = c € Z, los términos a y b se denominan factores y c se llama producto.

Ley de los signos: a. (+) X (+) = (+) b. (-)X(-)=(+) c. (+)X(-)=(- ) Recuerda que… d. (- )X(+)=(-) Para multiplicar dos números enteros se deben tener cuenta los siguientes casos: Si los números tienen el mismo signo, se multiplican los valores absolutos de cada número y el producto respectivo es positivo. Por ejemplo, a. 9 X 16 = 144 b. (-15) X (-6) = 90 Si los números son de distinto signo, se multiplican sus valores absolutos y el producto es negativo. Por ejemplo, a. (-21) X 14 = -294 b. 25 X (-12) = -300 Cuando se multiplican tres o más números enteros se multiplican sus valores absolutos sin tener en cuenta el signo. Luego, se procede así: Si todos los factores son positivos, entonces el producto es positivo. Por ejemplo, 4 X 5 X 2 X 7 X l 0 = 2.800 Si el número de factores negativos es par, el producto es positivo. Por ejemplo, (-3) X 12 X (-8) X 6 X (-2) X (-20) = 69.120, ya que 3 X 12 X 8 X 6 X 2 X 20 = 69.120 y hay una cantidad par (4) de factores negativos. Si el número de factores negativos es impar, el producto es negativo, por ejemplo: (-7) X 5 X (-3) X (-2) X (-4) X (-5) = -4.200, ya que 7 X 5 X 3 X 2 X 4 X 5 = 4.200 y hay una cantidad impar (5) de factores negativos.

EJEMPLOSResolver las siguientes situaciones. a. Una tortuga marina desciende 2 metros cada minuto. ¿A qué profundidad estará después de 4 minutos? Se representan los datos con números enteros. Por cada minuto desciende 2 metros: -2 Después de 4 minutos: 4 Luego, la tortuga estará en: 4 • (-2) = -8 Por tanto, la tortuga estará a 8 metros de profundidad: -8m.


b. Un agente de acciones, observa que las acciones de la compañía que pensaba invertir hace tres semanas tuvo una pérdida de $5.000 por acción semanalmente. ¿Cuánto dinero dejó de perder el agente por concepto de las acciones de la compañía? Se representan los datos con números enteros. Por cada semana la acción pierde $5.000: -5.000 Hace tres semanas: -3 Luego, se tiene que: (-5.000) • (-3) = 15.000 Por tanto, el agente dejó de perder $15.000 por acción de la compañía. 2.3.1 Propiedades de la Multiplicación de Enteros

Las propiedades de la multiplicación de enteros se presentan en la siguiente tabla.

Descomponer el segundo factor en notación polinómica decimal. Luego, multiplicar aplicando la propiedad distributiva. a. (-15) X (12) = (-15) X [10 + 2] = (-15) X l0 + (-15) X 2


= -150 + (-30) = -180 b. (-9) X (-4.512) = (-9) X [-4.000 + (-500) + (-l0)+ (-2)] = -9 x (-4.000) + (-9) X (-500) + (-9) X (-10) + (-9) X (-2) = 36.000 + (4.500) + (90) + (l8) = 40.608 2. Escribir los factores que faltan en cada producto. a. X 8 = -120 El factor que falta es -15 porque -15 X 8 = -120. b. (-6) X = -60 El factor que falta es 10 porque (-6) X 10 = -60. 3. Resolver las siguientes expresiones. a. (-2) X (3) +10 - (-8) X (-3) X (-2) (-2)(3) + 10 - (-8) (-3) (-2) = -6 + 10 - (-48) Se realizan los productos = -6 + 10 + 48 Se suprimen signos de agrupación. = -6 +58 Se suman los enteros de igual signo. =52 Se realiza la suma. b. -5 X (6 + 3) + (2 - 3) X 6 -5 x (6 + 3) + (2- 3) x 6 = -5 x (9) + (-1) X 6 Se resuelven las operaciones dentro del paréntesis.

= -45 + (-6) Se real izan los productos. = -51 Se suma.


Desarrolla los siguientes productos: EJERCITO:a. 4. (-8) b. (-5). 10 c. (-12) ·5 d. 11. (-11) e. (-4). 13 f. (-32). (-7) g. (-O) · (-346)

completa la siguiente tabla. RAZONO:a b Signo (a . b) (a . b) 3 -7 -8 -32 -9 -5 4 - -20

-2 + 16 -3 + 18

La siguiente máquina transforma cada número que ingresa, mediante RAZONO:

diversas operaciones. Completa las tablas con las salidas que corresponden a cada entrada.

Entrada: (-3) . 10 + (-4) . 2 salida


ENTRADA SALIDA ENTRADA SALIDA

-1 -5 -2 -3 0 -7 8 11 3 -15

-13 18

Resuelve las siguientes expresiones. EJERCITO:a. -21 - (-7) + 4. (-7)- 12 b. 12 - 36 + 15 . -3 - 6. (-9) c. -5 + 7- (3 + 2. (-3)) d. [-23 + (2 . (-8) - 5) + 12] - 15 e. [12 . (-3) + 8 - 12 - (-6 + 2)] + 2 f. (-2). (5). (-3). (-5)(-6) g. (13). (-8). (-40). (5). (4) h. (24). (- 5). (-4). (-3). (- 5). (-2) D. Aplicación: solución de problemas.

Leer y resolver.a. La contaminación en una ciudad cierto año fue de 12.500 mg de CO2. Si gracias a una campaña del nuevo alcalde se logró que decreciera 380 mg cada año durante los cuatro años de su período, ¿cuál fue la contaminación cuando el alcalde entregó su mandato? La temperatura de un componente químico en un labora torio fue de -7 °F a las 3 p. m., debido a una reacción en sus componentes primarios, su temperatura empezó a subir a razón de 2 °F por minuto hasta las 3:45 p.m. b. ¿Cuál fue la mayor temperatura de la reacción? c. Si la temperatura máxima posible era de 115 °C, ¿hasta qué hora podría haber estado incrementando la temperatura del compuesto? 2.4 División de Números Enteros

La división es la operación que permite encontrar uno de los factores desconocidos la multiplicación, cuando se conoce el producto y el otro factor. Si a, b € Z con b ≠ 0 se llama cociente exacto de a y b al número c € Z tal que b · c = a. Para indicar la división entre a y b se utiliza la notación a ÷ b o 𝑎

𝑏, donde a es el

dividendo y b es el divisor. Para dividir dos números enteros se deben tener cuenta los siguientes casos: Si los números tienen el mismo signo, se dividen los valores absolutos de cada número y el cociente respectivo es positivo. Por ejemplo, 144 ÷16 = 9 porque 16 X 9 = 144 (-90) ÷ (-6) = 15 porque (-6) X (15) = -90


Si los números son de distinto signo, se dividen sus valores absolutos y el cociente es negativo. Por ejemplo, (-294) ÷14 = -21 porque 14 X (-21) = -294 300 ÷ (-12) = -25 porque (-12) X -25 = 300

En la siguiente tabla se muestran las propiedades que satisfacen Recuerda que…las operaciones definidas de adición, sustracción, multiplicación y división de los números enteros. En ocasiones es posible que la propiedad si se cumpla al operar un par de números fijos, esto no significa que se cumpla para todos los números enteros.

EJEMPLOS1. Verificar que la división entre números enteros no cumple las propiedades clausurativa, conmutativa y asociativa. Clausurativa: -2 y 4 € Z, sin embargo, la operación -2 ÷4 ∉ Z. Conmutativa: (-36) ÷ 12 = -3 sin embargo, la operación 12 ÷ (-36) ∉ Z. Asociativa: [60 ÷ (-5)] ÷ 6 = [-12] -7 ÷ 6 = - 2, pero, 60 ÷ [(-5) ÷ 6] no tiene solución porque (-5) ÷6 ∉ Z. 2. Resolver las siguientes expresiones.

3. Leer y resolver.Un submarino descendió hasta una profundidad de 20 m en 4 etapas. Si en cada etapa, se sumergió la misma cantidad de metros, ¿cuántos metros descendió el submarino en cada etapa? Primero, se representan los datos con números enteros. El submarino

desciende respecto al nivel de profundidad de 20 m: el número correspondiente es -20.


La sumersión la realiza en 4 etapas: el número correspondiente es 4. Luego, se realiza la división: -20 ÷ 4 = -5

Finalmente, como el resultado es un número entero negativo, entonces el submarino desciende 5 m en cada etapa.


Efectúa las siguientes divisiones. EJERCITO:a. (-18) ÷ ( -6) = b. 290 ÷ ( -29) = c. (-32) ÷ ( -8) = d. (-28) ÷ 4 = e. (72) ÷ (9) = f. (-217) ÷ (-7) =

Completa las siguientes secuencias según corresponda. EJERCITO:

Divide y completa la tabla de división. EJERCITO:

÷ +2 -3 5 -60 -30 15

-240 -140

-720 960

-1.200 3.000

Resuelve las siguientes expresiones. RAZONO:

D. Aplicación: solución de problemas.

Leer y resolver.a. Un tanque de agua tiene una fuga por la cual salen 8 galones por día. Cuando han salido 192 galones, el tanque deja de funcionar. ¿Cuántas horas deben pasar para que ocurra esto?


b. Una empresa perdió el primer año 12.000 dólares; el segundo año, el doble que el primero, y el tercer año, ganó el triple que las pérdidas de los dos años anteriores juntos. El cuarto año tuvo unos ingresos de 10.000 dólares, y el quinto año, unas pérdidas iguales a la mitad de todas las pérdidas de los años anteriores. ¿Cuál fue el saldo final de la empresa? 2. Les pido a mis padres que me proporcionen los siguientes datos, los escribo en el cuaderno: a. ¿Cuáles son los ingresos aproximados de mi familia?

b. ¿Cuáles son los egresos fijos que se tienen en la casa? Tener en cuenta arrendamiento, servicios, créditos, alimentación y otros, si es posible. c. Hago la cuenta de cuánto dinero queda, si es posible. d. Elaboro un plan de reducción de gastos para determinar el dinero para ahorrar, para la diversión, la ropa y celebraciones. ¿Cuánto tiempo se requiere para recolectar ese dinero?

Guía tres. Ecuaciones con números enteros

Estándares Pensamiento Numérico Y Variacional Resolver polinomios con números enteros para hallar valores desconocidos. Resolver situaciones problemáticas con números enteros.

Indicadores De Desempeño Conceptual: Identifica los diferentes procedimientos para resolver ecuaciones. Procedimental: Utiliza las ecuaciones para resolver problemas. Actitudinal: Demuestra respeto por los conceptos emitidos por los compañeros para llegar a acuerdos en la solución de problemas matemáticos.

TRABAJO INDIVIDUALDoy una explicación a la relación numérica que representa la ilustración de las balanzas. 2. Identifico las propiedades de las igualdades que se presentan en la balanza y justifico mi respuesta.


3. Hallo el valor numérico del valor desconocido para que cada expresión sea una igualdad, teniendo en cuenta aplicar alguno de los métodos de ecuaciones ya vistos. a. +3=5 b. 6 + = 9 c. y- 12 = 7 d. 3 . = 15 e. ÷16 = 7

TRABAJO EN EQUIPO 4. Leemos y escribimos en nuestros cuadernos la siguiente situación matemática.

El número de estudiantes de 6A es la tercera parte de todos los estudiantes de once del Colegio Antonio Ricaurte. Si en grado once hay 93 estudiantes, ¿cuántos estudiantes hay en el grado 6A? a. Realicemos una lista de todas las palabras clave poder establecer una ecuación. b. Escribamos el valor aproximado que podría dar respuesta a la situación planteada antes de resolverla. c. Elaboremos una expresión matemática como ecuación. d. Resolvamos la ecuación.

5. Respondamos lo siguiente: Cuando dicen que tengo la quinta parte de 15, ¿A qué se refiere? Escribamos la expresión matemática que la representa.

En matemáticas y otras disciplinas es muy común que se necesite relacionar dos expresiones mediante el signo igual "=", generando así lo que se conoce como una igualdad. Si en las expresiones que se relacionan aparecen uno o más valores desconocidos, obtiene una ecuación. Por ejemplo, las expresiones 5 + 3 = 8 o -7 + 9 = 2 son igualdades numéricas, mientras que expresiones como x + 3 = 8 o -7 + m = 2 son ecuaciones, donde los valores desconocidos se representan con las letras x y m, respectivamente.


Una ecuación es una igualdad en la que se desconoce algún término al que se le denomina variable o incógnita. La incógnita se representa generalmente con una letra minúscula. Partes y elementos de una ecuación

En una ecuación es importante reconocer varios elementos que facilitan su proceso de solución, los cuales son: Miembros: son las expresiones que hay a cada lado de la igualdad. Incógnita: es la letra o símbolo cuyo valor se desconoce. Coeficientes: son los valores numéricos que multiplican a las incógnitas. Términos independientes: son las expresiones solamente numéricas.

Por ejemplo:

En la anterior expresión, el primer miembro tiene dos términos que son 2n y -4, mientras que en el segundo miembro hay un solo término que es 16. Solucionar una ecuación equivale a encontrar el valor que representa la incógnita, para lo cual es útil emplear la propiedad uniforme de las igualdades. 3.1 Propiedad Uniforme

Al proceso matemático que se emplea para solucionar una ecuación se le llama despejar la ecuación y permite encontrar el conjunto de valores que puede tomar la incógnita para hacer cierta la igualdad. Despejar una ecuación consiste en transformar la ecuación dada en otras equivalentes, hasta lograr que la incógnita sea uno de los miembros y el otro miembro sea el valor que representa, para ello se utiliza la propiedad fundamental de las ecuaciones, la cual se conoce como propiedad uniforme de las igualdades. Si en una igualdad, a los dos miembros se les suma, resta, multiplica o divide por un mismo número, la igualdad se conserva, esto se conoce como propiedad uniforme de las igualdades y se puede representar como: Si a = b entonces, a + c = b + c a - c = b – c

a · c = b · c a ÷ c = b ÷ c, si c ≠ 0. 3.2 Ecuaciones de la forma x ± b = c

Para resolver ecuaciones de la forma x ± b = c, aplicando la propiedad uniforme de las igualdades, se debe sumar en ambos miembros de la ecuación el opuesto del término independiente b. Por ejemplo, la ecuación x - 2 = -8 es de la forma x - b = c, donde b= 2 y c = -8. Luego, se debe aplicar la propiedad uniforme sumando 2, así: x - 2 = -8 Ecuación. x - 2 + 2 = -8 + 2 Se suma 2 a ambos lados de la ecuación. x + 0 = -6 Se realizan las operaciones indicadas. x= -6 Se aplica propiedad del elemento neutro respecto a la adición.


Para comprobar que la solución de una ecuación es la correcta, se remplaza el valor de incógnita en la ecuación dada y se verifica la igualdad. En la ecuación x- 2 = -8, se obtuvo que x = -6. Luego, se verifica como sigue: x- 2=-8 Ecuación. (-6) - 2 =- 8 Se reemplaza x por -6. - 8 = -8 Se resta y se verifica la igualdad. Por tanto, x = -6 sí es la solución de la ecuación x- 2 = -8. Sabías que… Alrededor de 1800 a. C., los egipcios sabían resolver ecuaciones. En esa época ya existía un método para solucionar ecuaciones de primer grado llamado el "método de la falsa posición”. 3.3 Ecuaciones de la forma a • x = c

Para resolver ecuaciones de la forma ax = c, se aplica la propiedad uniforme de las igualdades, dividiendo cada miembro de la ecuación entre el coeficiente de la incógnita. Por ejemplo, la ecuación 2x = -18 es de la forma a • x = c, donde a= 2 y e= -18. Luego, se debe aplicar la propiedad uniforme dividiendo entre 2, así: 2x = -18 Ecuación. 2x2

= −182

Se dividen ambos lados de la ecuación entre 2. 1 • x = -9 Se realizan las divisiones indicadas. x = -9 Se aplica propiedad del elemento neutro respecto a la multiplicación. Luego, se comprueba que x = -9 es la solución de la ecuación. 3.4 Ecuaciones de la forma ax ± b = c

En las ecuaciones de la forma ax ± b = c se utilizan las propiedades de la igualdad para encontrar el valor de la incógnita. Por ejemplo, la ecuación 4n + 2 = 10 es de la forma ax ± b = c, donde a = 4, b = 2 y c = 10 y se resuelve como sigue: 4n + 2 = 10 Ecuación. 4n + 2 - 2 = 10 – 2 Se resta 2 en ambos miembros de la ecuación. 4n = 8 Se aplica propiedad del elemento neutro respecto a la adición. 4𝑛4

= 84 Se divide entre 4 en ambos miembros de la ecuación.

n = 2 Se realizan las operaciones respectivas. Luego, se comprueba que n = 2 es la solución de la ecuación.

Planteamiento y Solución de Problemas Mediante Ecuaciones

Por medio de las ecuaciones es posible resolver problemas que involucran números enteros. Para ello, hay que tener en cuenta los pasos para la solución de problemas: Interpretar el enunciado: consiste en identificar los datos conocidos del

problema y establecer el dato que se busca calcular. Se debe asignar una letra (o incógnita) para el dato desconocido.

Plantear y resolver la ecuación: se debe escribir el problema en forma de ecuación. Luego, se resuelve la ecuación.

Comprobar el resultado: se debe verificar si la solución cumple las condiciones


del problema. Luego, se redacta la respuesta en términos de la información del problema.

EJEMPLOS

1. Traducir cada expresión numérica en forma de ecuación. a. El triple de un número, más el doble de 8. Se expresa el número como: n. El triple de un número se expresa como 3n. Por tanto, el triple de un número, más el doble de 8 se expresa como 3n + 2(8). b. El perímetro del cuadrilátero que se muestra en la figura. Se representa el perímetro como P. Por tanto, el perímetro del cuadrilátero está dado por: P= a + b + c + d. 2. Leer y resolver.Por la compra de cuatro cuadernos de igual valor y una regla se pagan $45.000. Si el valor de la regla es $7. 000, ¿cuál es el valor de cada cuaderno? Primero, se interpreta el enunciado. Se asigna la variable x al valor de cada cuaderno. Valor de cada cuaderno: x Valor de los cuatro cuadernos: 4x Luego, se plantea y se resuelve la ecuación. Como el valor total es $45.000 y el valor de la regla es $7.000, se tiene que: 4x + 7.000 = 45.000 Se plantea la ecuación. 4x + 7.000 - 7.000 = 45.000 - 7.000 Se resta 7.000 en ambos miembros de la ecuación. 4x = 38.000 Se realiza la resta. 4x/4=38.000/4 Se dividen entre 4 ambos miembros de la ecuación. x = 9.500 Se realizan las operaciones indicadas. Luego, el valor de cada cuaderno es $9.500. Por último, se comprueba la solución. Como el valor de cada cuaderno es $9.500 y el de la regla es $7.000, entonces, el valor que se debe pagar es 4 X 9.500 + 7.000 = 45, por tanto, la solución es correcta. Afianzo Competencias

Analiza los datos de cada columna, y determina el valor de x – 2 RAZONO:


Resuelvo las siguientes ecuaciones. EJERCITO:a. X+ 3 = 7 b. 9 +X= 12 c. 2x = 19- 5 d. X - 8 = 12 e. 5 x = 20 f. 3x = 29 - 8 g. X- 21 = 86 h. (x + 2)- l = 7

¿Cuánto pesa la manzana si la balanza está en equilibrio? RAZONO:

Representa cada balanza mediante una ecuación. Luego Resuelve. PROPONGO:

a.

b.

D. Aplicación: solución de problemas.

1. utilizando ecuaciones. Leer y resolver a. El doble de la edad de Pablo es igual a la edad que tendrá Raquel dentro de 10 años. Si Raquel tiene 16 años, ¿qué edad tiene Pablo? b. Encuentra la medida del lado de cada figura si se sabe que el perímetro de cada una es 60 cm.

2. Escribir las cifras de los números que corresponden, según la solución de las ecuaciones dadas.


1 2 3

4

5 6

7 9 8

10 12 13 15

14

11 16

Horizontales 3) 7 . x – 4 = 171 4) 8. X - 920 = 7 .080 6) (X ÷ 2) + 8 = 88 7) 5. X = 35.745 10) x - 4 = + 6 11) x ÷ 2 = 92 12) (X ÷ 9) - 43 = 1.000 14) (X ÷ 7) - 5 = o 16) 4·X+8 = 8

Verticales 1) 3 X+ 2 = 32 2) (X ÷ 5) = 16 3) 2 . X + 8 = 440 5) X – 9 = 18 8) 9 ·X+ 9 = 900 9) (X ÷ 4) - 2 = 250 13) (x ÷ 111) = 3 15) 5 =X-80


Guías de Interaprendizaje Utilizando Herramientas TIC Objetivo General: Mediante la aplicación de las herramientas TIC, fortalecer los conocimientos, adquiridos en el aula de clase, sobre el Concepto de Números Enteros, sus Operaciones Básica y sus aplicaciones; de esta manera, masificar el uso de las nuevas tecnologías entre los estudiantes del grado Séptimo de la Institución Educativa Aguacatal. Metodología: realización de actividades básicas y ejercicios prácticos con la aplicación de temas vistos en el área, mediante la utilización de las herramientas virtuales con elementos tecnológicos a disposición como: la sala de audiovisuales, computadores portátiles y celulares inteligentes, que facilitan la construcción del proceso de enseñanza. Se valoran los conocimientos de los estudiantes en el tema dado y el manejo que le dan a los recursos proporcionados para la elaboración de las tareas asignadas. Evaluación: Se mide la habilidad de los estudiantes para la ejecución de las tareas, utilización y manejo de herramientas, la toma de decisiones y la aplicación correcta de las orientaciones dadas por el docente.

GUÍA UNO: El Conjunto de los Números Enteros y sus Operaciones de Adición y Sustracción Estándares Pensamiento Numérico Y Variacional

• Identificar las características del conjunto de los números enteros. • Establecer las relaciones entre números enteros. • Efectuar las operaciones básicas con números enteros, aplicando las

propiedades correspondientes. • Resolver polinomios con números enteros.

Indicadores De Desempeño Conceptual: Identifica el concepto de los números enteros. Identifica las propiedades de las operaciones de los números enteros. Procedimental: Ubica los números enteros en una recta numérica. Aplica las propiedades de las operaciones con los números enteros en situaciones cotidianas. Actitudinal: Valora la importancia que tienen los números enteros para la solución de situaciones cotidianas. Valora la importancia que tienen los números enteros para la solución de situaciones cotidianas


ACTIVIDAD USANDO LAS HERRAMIENTAS TIC Saberes previos: el estudiante de matemáticas del grado séptimo debe conocer las características que diferencian al Conjunto de los Números Enteros y los procedimientos para la Adición y Sustracción. Conceptos vistos en el aula de clase. Tiempo para la actividad: 60 minutos. Descripción de la Actividad: se mostrará un video educacional acerca del concepto de los números enteros y el procedimiento para las operaciones de adición y sustracción, utilizando recursos de la Web, página: www.youtube.com. Aquí los estudiantes encontraran conceptos, ejemplos y ejercicios aplicados a la vida cotidiana y acorde a las necesidades del contexto, de una manera visual, interactiva y divertida. Desarrollo de la actividad Primera fase: Actividad Individual

• Los estudiantes se dirigirán al salón de audiovisuales, acompañados por el docente de matemáticas, donde observaran en el televisor de la institución, un video educativo sobre el Concepto de Números Enteros y procedimientos para la Adición y Sustracción de los mismos. Video llamado: “Troncho y Poncho Números Naturales y Enteros”.

• El docente podrá detener el video, retrasarlo o adelantarlo para que los estudiantes puedan asimilar mejor la información dada en este.

• Tomarán apuntes sobra los aspectos más importantes del video. Segunda fase: Actividad Grupal

• El docente de matemáticas divide a los estudiantes en grupos de 2 o 3 personas, se le asigna a cada uno un computador portátil de los que posee la institución educativa. Se les informa que deben ingresar a siguiente link; https://www.youtube.com/watch?v=U_9GFGuytjE

• Una vez estén ubicados en la página asignada, deben desarrollar la siguiente serie de tareas a cerca de la información encontrada en el video: 1. Escribe las definiciones de los conceptos que encuentres.

http://www.youtube.com/

https://www.youtube.com/watch?v=U_9GFGuytjE


2. Consigan los ejemplos dados por los personajes del video en tu cuaderno. 3. Resuelve los ejercicios planteados durante el desarrollo del tema.

Tercera fase: Ampliación del Conocimiento

• En horas extraclase, los estudiantes deberán utilizar los mecanismos de conectividad en el colegio o en sus casas y con ayuda de sus teléfonos inteligentes, reforzar los conceptos vistos en clase.

• Usar las redes sociales tales como Facebook, Whatsapp, las Wikis, foros, u otros medios a su alcance, para comunicarse con sus compañeros y, en un trabajo colaborativo, retroalimentar los nuevos conocimientos y completar los conceptos.

• Deberán realizar un informe donde consten la solución a las tareas asignadas, y conclusiones sobre lo aprendido; este debe ser entregado al docente en el plazo acordado.

Evaluación El docente valorará la atención, la dedicación al trabajo y el correcto desarrollo de la actividad, basado en la observación de la clase, la participación activa de los estuantes y el informe entregado por ellos. GUÍA DOS: Operaciones con Números Enteros: Descomposición en Factores, Multiplicación y División Estándares Pensamiento Numérico Y Variacional

• Efectuar las operaciones básicas con números enteros, aplicando las propiedades correspondientes.

• Resolver polinomios con números enteros Indicadores De Desempeño

• Conceptual: Identifica las propiedades de las operaciones de los números enteros.

• Procedimental: Aplica las propiedades de las operaciones con los números enteros en situaciones cotidianas.


• Actitudinal: Valora la importancia que tienen los números enteros para la solución de situaciones cotidianas.

Saberes previos: el estudiante de matemáticas del grado séptimo debe conocer los procedimientos para la Descomposición Factorial, Multiplicación y División de Número Enteros. Conceptos vistos en el aula de clase. Tiempo para la actividad: 60 minutos. Descripción de la Actividad: los estudiantes encontrarán un enlace Web o Link, que los llevará a una página con un simulador matemático de libre distribución (PHET) y que les permitirá realizar prácticas con las operaciones básicas de multiplicación y división de números enteros, con el fin de reforzar los procedimientos sistémicos para dichas operaciones. Desarrollo de la actividad Primera fase: Actividad Grupal

• Los estudiantes se dirigen a la sala de sistemas, acompañados por el docente de matemáticas, donde se les asignaran los computadores portátiles que van a utilizar durante la clase.

• El profesor divide a los estudiantes en grupos de 2 o 3 personas y se les orienta que deben ingresar al siguiente link;

https://phet.colorado.edu/sims/html/arithmetic/latest/arithmetic_en.html

• Realiza las tres simulaciones que aparecen en la pantalla, de acuerdo con el siguiente procedimiento: 1. Selecciona la operación que deseas trabajar (Multiplicación, Facto o

División).

2. Selecciona el nivel de dificultad (Novato, intermedio y avanzado).

3. Encontrarás una tabla con valores en forma vertical y horizontal, formando un cuadro de operaciones, de acuerdo con seleccionada.

https://phet.colorado.edu/sims/html/arithmetic/latest/arithmetic_en.html


4. En la parte inferior aparece indicada la operación que debes realizar, usa el teclado en la parte inferior derecha para escribir la respuesta y le das click en el cuadro que dice “check”.

5. Si la respuesta es correcta, te saldrá un carita feliz, indicando tu acierto y se ira llenando poco a poco la tabla con los resultados obtenidos.

6. Si por el contrario, tu resultado es incorrecto, te aparecerá una carita triste y debes repetir el proceso.

7. Contabiliza el tiempo y verifica tu puntaje (Score) regularmente, para que sepas cual ha sido tu progreso. Lleva un registro y muéstraselo a tu profesor.

8. Para reiniciar usa la flecha en círculo debajo del puntaje. 9. Para cambiar de operación o regresar al menú inicial, usa los botones en la

parte inferior del centro de la pantalla. Segunda fase: Ampliación del Conocimiento

• En horas extraclase, los estudiantes deberán utilizar los mecanismos de conectividad en el colegio o en sus casas y con ayuda de sus teléfonos inteligentes, tabletas o computadores portátiles, reforzar los conceptos vistos en clase.

• Repite el ejercicio de la primera fase; intenta superar tus propios logros. • Usar las redes sociales tales como Facebook, Whatsapp, las Wikis, foros, u

otros medios a su alcance, para comunicarse con sus compañeros y, en un trabajo colaborativo, retroalimentar los nuevos conocimientos y completar los conceptos.


Evaluación El docente valorará la atención, la dedicación al trabajo y el correcto desarrollo de la actividad, basado en la observación de la clase, la participación activa de los estuantes y el informe entregado por ellos.


GUÍA TRES: Ecuaciones con Números Enteros Estándares Pensamiento Numérico Y Variacional

• Resolver polinomios con números enteros para hallar valores desconocidos. • Resolver situaciones problemáticas con números enteros.

Indicadores De Desempeño

• Conceptual: Identifica los diferentes procedimientos para resolver ecuaciones. • Procedimental: Utiliza las ecuaciones para resolver problemas. • Actitudinal: Demuestra respeto por los conceptos emitidos por los compañeros

para llegar a acuerdos en la solución de problemas matemáticos. Saberes previos: el estudiante de matemáticas del grado séptimo debe conocer las características de las igualdades y su evolución hacia las ecuaciones, sus propiedades y aplicaciones. Conceptos vistos en el aula de clase. Tiempo para la actividad: 60 minutos. Descripción de la Actividad: se mostrará un video educacional acerca de las características de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, utilizando recursos de la Web, página: www.youtube.com. Aquí los estudiantes encontraran conceptos, ejemplos y ejercicios aplicados a la vida cotidiana y acorde a las necesidades del contexto, de una manera visual, interactiva y divertida. Desarrollo de la actividad Primera fase: Actividad Individual

• Los estudiantes se dirigirán al salón de audiovisuales, acompañados por el docente de matemáticas, donde observaran en el televisor de la institución, un video educativo sobre las Ecuaciones con Número Enteros,

• El docente podrá detener el video, retrasarlo o adelantarlo para que los estudiantes puedan asimilar mejor la información dada en este.

• Tomarán apuntes sobra los aspectos más importantes del video. Segunda fase: Actividad Grupal

• El docente de matemáticas divide a los estudiantes en grupos de 2 o 3 personas, se le asigna a cada uno un computador portátil de los que posee la institución educativa. Se les informa que deben ingresar a siguiente link; https://www.youtube.com/watch?v=4mq4ZPLb5_w

http://www.youtube.com/

https://www.youtube.com/watch?v=4mq4ZPLb5_w


• Una vez estén ubicados en la página asignada, deben desarrollar la siguiente serie de tareas a cerca de la información encontrada en el video: 4. Escribe las definiciones de los conceptos que encuentres. 5. Consigan los ejemplos dados por los personajes del video en tu cuaderno. 6. Resuelve los ejercicios planteados durante el desarrollo del tema.

Tercera fase: Ampliación del Conocimiento

• En horas extraclase, los estudiantes deberán utilizar los mecanismos de conectividad en el colegio o en sus casas y con ayuda de sus teléfonos inteligentes, reforzar los conceptos vistos en clase.

• Usar las redes sociales tales como Facebook, Whatsapp, Wikis, foros, u otros medios a su alcance, para comunicarse con sus compañeros y, en un trabajo colaborativo, retroalimentar los nuevos conocimientos y completar los conceptos.


Evaluación El docente valorará la atención, la dedicación al trabajo y el correcto desarrollo de la actividad, basado en la observación de la clase, la participación activa de los estuantes y el informe entregado por ellos.

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alejandro aristizÁbal arbelÁez · este trabajo está dedicado a todas aquellas personas que de...

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