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Alberti Digital: interpretação computacional do De re aedificatoria
José P. Duarte, Professor Catedrático
Faculdade de Arquitectura da Universidade Técnica de Lisboa, Rua Sá Nogueira, Pólo
Universitário, Alto da Ajuda, 1349-055 Lisboa, Portugal
Bruno Figueiredo, aluno de doutoramento
Escola de Arquitectura, Universidade do Minho, Campus de Azurém
4800 - 058 Guimarães , Portugal
Eduardo Costa, aluno de mestrado
Faculdade de Arquitectura da Universidade Técnica de Lisboa, Rua Sá Nogueira, Pólo
Universitário, Alto da Ajuda, 1349-055 Lisboa, Portugal
Flipe Coutinho, aluno de doutoramento
Departamento de Arquitectura, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade de Coimbra,
3020-177 Coimbra, Portugal
Mário Kruger, Professor Catedrático
Departamento de Arquitectura, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade de Coimbra,
3020-177 Coimbra, Portugal
Resumo
Este artigo descreve parte de um projeto de investigação que constitui uma celebração e uma inovação. Uma celebração no sentido de comemorar a ordem dada por D. João III, em meados do séc. XVI, a André de Resende para traduzir para português o tratado de Leon Battista Alberti, a qual infelizmente se perdeu, e a tradução recente do tratado para português a partir do latim. Uma inovação no sentido de propôr o uso das novas tecnologias para complementar abordagens históricas ao estudo do tratado e da arquitectura em geral. O tratado de Alberti é considerado um dos mais influentes da história da arquitectura. No entanto, a extensão da sua influência está ainda por determinar. Abordagens ao problema têm-se baseado sobretudo na análise de fontes documentais ou em observações comparativas entre o tratado e as obras construídas de outros autores. O projecto propõe o uso de meios computacionais baseados em gramáticas de forma para permitir uma análise comparativa mais rigorosa. Pretende-se determinar a extensão da influência do tratado na arquitectura do antigo império português no período da Contra-Reforma. A ideia é traduzir o tratado numa gramática da forma e determinar a extensão das transformações gramaticais necessárias para descrever a geração dos edifícios desenhados e construídos naquela zona geográfica e naquele período.
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Este artigo descreve os primeiros passos desta investigação, nomeadamente, apresenta uma gramática das plantas de igrejas quandrangulares, uma gramática do sistema da coluna dórico, a implementação informática das respectivas regras e a produção dos modelos físicos gerados por prototipagem rápida. Estes elementos serão futuramente incluídos numa exposição sobre as implicações da teoria da arquitectura do Quattrocento na prática da arquitectura em Portugal durante o período da contra-reforma (sécs. XVI-XVII).
Introdução
A investigação descrita neste artigo faz parte de um projecto mais abrangente que visa usar meios computacionais para compreender o impacto cultural do tratado De re aedificatoria de Leon Battista Alberti sobre a arquitectura clássica em Portugal durante a Contra-Reforma, não só no território continental, mas também no ultramar, nomeadamente no Brasil e na Índia, ao tempo sob administração portuguesa. A influência das teorias de Alberti na arquitectura clássica em Portugal tem sido apontada, mas até agora não foi possível determinar com rigor a extensão dessa influência. Na verdade, a situação é altamente controversa pois há autores que negam a existência de uma arquitectura renascentista Portuguesa. Reynaldo dos Santos (1968-1970, p. 175, 2 º vol.) sugere que o renascimento é um estilo estrangeiro que não teve implicações no desenvolvimento da arquitetura Portuguesa e Pais da Silva (1986) faz uma transição direta do estilo Manuelino para o Maneirismo sem reconhecer o período renascentista. No entanto, mais recentemente, Moreira (1991, 1995) ao comparar as encomendas do rei D. Manuel com o modo romano de construção, identificou cerca de 150 edifícios que podem ser considerados como pertencentes à órbita do renascimento. O objectivo da investigação em curso aqui descrita é contribuir para o esclarecimento destas questões, permitindo uma melhor compreensão da arquitectura renascentista em Portugal. Importa pois esclarecer como metodologias de base computacional, como as gramática de forma, e a tecnologia emergente, como a modelação paramétrica e a prototipagem rápida, podem ajudar a esclarecer uma questão que tem uma raiz histórica profunda. O tratado de Alberti pode ser pensado como a sistematização de algoritmos com o objetivo de estruturar, de uma forma inteligível e replicável, os princípios do desenho de arquitetura clássica. Consideremos, por exemplo, o sistema da coluna descrito no Livro 7, Capítulo VII, do tratado, nomeadamente, as proporções da base jónica (Alberti, 2011, pp. 451-452). Todas as prescrições proporcionais da base Jónica podem ser codificadas num programa de computador; de fato, todas as regras de desenho relacionadas com o dimensionamento e disposição dos elementos da coluna, como o seu diâmetro e as múltiplas relações proporcionais com os restantes elementos, como o toro, a escócia e os aneis, bem como a posição relativa destes elementos, podem ser codificadas numa estrutura computacional, uma vez que são problemas bem definidos e, portanto, representáveis por um conjunto de formas e regras de transformação. Mesmo a base jónica pode ser pensada como uma consequência de uma forma antecedente, a base de Dórica. O mesmo acontece com os edifícios, onde, por exemplo, os edifícios sagrados, descritos no Livro 7, foram obtidos a partir da basílica romana. Em suma, formas antecedentes e consequentes estão profundamente inter-relacionados no quadro teórico estabelecido por Alberti. Do mesmo modo, a arquitectura renascentista em Portugal e nos territórios ultramarinos do Brasil e da Índia pode ser pensada como uma espécie de personalização das regras estabelecidas no tratado de Alberti. Esta é a hipótese fundamental subjacente ao
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desenvolvimento de uma gramática de forma para compreender a arquitectura renascentista em Portugal. A ideia é traduzir o tratado numa gramática de descrição (Stiny, 1981) e numa gramática de forma (Stiny e Gips, 1972), em seguida, determinar a influência da obra de Alberti, determinando em que medida esta gramática pode explicar a geração de edifícios clássicos em Portugal e, depois, nos territórios ultramarinos, identificando as transformações gramaticais sucessivas ocorridas. Esta abordagem segue a teoria das transformações estilísticas proposta por Knight (1983) segundo a qual a transformação de um estilo noutro pode ser explicada por transformação da gramática subjacente ao primeiro estilo na gramática do segundo, através da alteração, adição ou eliminação de regras. As gramáticas são, assim, propostas no âmbito do presente estudo como uma ferramenta complementar para ser usada por historiadores para testar hipóteses levantadas a partir de provas documentais. A possibilidade do tratado de Alberti ter um carácter generativo foi levantado por Krüger (2005) e Krüger e Santo (in Alberti, 2011). A possibilidade da arquitectura portuguesa no ultramar resultar de transformações da arquitectura do território continental já foi defendida por Carita (2008). A possibilidade de gramáticas de forma poderem ser desenvolvidas para codificar algoritmos descritos em tratados de arquitectura também já foi demonstrada com o caso de um tratado chinês do século XII por Andrew Li (2002). Finalmente, a possibilidade de desenvolver programas de computador a partir de algoritmos definidos em tratados de arquitectura clássica também já foi demonstrada (Duarte, 2007). No decorrer do projeto, as gramáticas desenvolvidas serão implementadas como programas de computador e os modelos digitais resultantes serão usados para a impressão de desenhos, para a prototipagem rápida de modelos físicos e para a produção de modelos de realidade virtual. Estes elementos farão parte de uma exposição final para descrever e celebrar a obra de Alberti e a sua influência na arquitetura Portuguesa. Dado que já foi realizada uma exposição sobre a obra de Alberti (Rykwert e Engel, 1994), utilizando modelos 3D em madeira, bem como modelos digitais de edifícios de Alberti, a investigação em curso representa, de certa forma, um desenvolvimento desta investigação inicial, ao propor a criação de modelos computacionais. Os modelos digitais distinguem-se dos modelos computacianais por os primeiros apenas constituírem uma representação icónica de objectos reais enquanto que os segundos contêm as regras para a geração das suas formas em todas as variantes (Mitchell, 1975). Um modelo computacional permite assim gerar vários modelos digitais e o modelo digital pode ser usado para gerar modelos analógicos, físicos e virtuais (Mitchell & McCullough, 1993). Ao permitirem gerar elementos clássicos de acordo com os cânones do tratado e entender as transformações arquitectónicas que ocorreram em Portugal durante a Contra-Reforma, os modelos computacionais tornam as regras de Alberti operativas. Nesse sentido, a tradição e a inovação são unidas pela idéia de que a tecnologia emergente pode desempenhar um papel importante na compreensão da arquitectura renascentista em Portugal e, portanto, lançar luz sobre as questões controversas mencionadas acima, levantadas por Santos (op. cit.), Silva (op. cit.) e Moreira (op. cit.). Este artigo descreve os primeiros resultados deste projecto de investigação, apresentando
uma gramática dos templos de planta quadrangular, uma gramática do sistema de coluna
dórica, a implementação informática das regras num modelo paramétrico e a produção de
modelos físicos por prototipagem rápida. Estes passos são descritos nas secções seguintes,
depois de apresentada a metodologia seguida no projecto.
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Metodologia geral
O objetivo do projecto é traçar a influência cultural do tratado de Alberti sobre a arquitetura
clássica portuguesa. A idéia é usar a estrutura computacional fornecido por gramáticas de
forma e de descrição para determinar a extensão dessa influência no período de contra-
reforma. A recente tradução do tratado do latim para o Português por Krüger e Santo (Alberti,
2011) servirá de base para determinar a extensão dessa influência e, portanto, lançar nova luz
sobre o debate sobre a influência de Alberti na arquitetura clássica Portuguesa. Para conseguir
isso, a investigação está organizada em cinco fases:
A. Descodificação do tratado, de modo a inferir as correspondentes gramáticas de forma e de
descrição;
B. Comparação da gramática do tratado com os edifícios projectados por Alberti;
C. Determinar a influência do tratado sobre arquitetura Portuguesa comparando a gramática
de um tipo particular de edifício, em Portugal e seus territórios, com a gramática do tratado
para o mesmo tipo de edifício;
D. Determinar os impactos do tratado sobre a teoria, prática e ensino de arquitetura,
relacionando as gramáticas subjacentes a obras teóricas e construídas no contexto Português
com transformações da gramática original do tratado;
E. Divulgação dos resultados da investigação junto dos estudiosos e do público em geral, com a
montagem de uma exposição visualmente atraente usando meios digitais.
Este artigo está focado na Parte A e, portanto, apenas os passos metodológicos
correspondentes a esta parte da investigação são aqui descritos. Para uma descrição mais
detalhada das restantes etapas metodológicas ver Krüger et al. (2011).
Uma gramática consiste num conjunto de regras de substituição que se aplicam de forma
recursiva a uma afirmação inicial para produzir uma declaração final. Nas gramáticas de
descrição, as afirmações são compostas por símbolos, enquanto que em gramáticas de forma,
são compostas por formas. A relação entre gramáticas descrição e de forma é tal que existe
uma regra de descrição para cada regra de forma e, portanto, é possível traduzir uma
gramática de descrição numa gramática de forma e vice-versa. Stiny e Mitchell (1978)
esclareceram que uma gramática pode descrever a estrutura formal e funcional de um
determinado estilo arquitectónico (valor descritivo), explicar como sintetizar novos exemplares
do estilo (valor sintético), e determinar se um novo exemplar pertence ao mesmo estilo (valor
analítico). Estas propriedades das gramáticas serão determinantes para o desenvolvimento da
nossa investigação.
O tratado de Alberti pode ser pensado como um conjunto de algoritmos que explicam como
criar edifícios de acordo com os cânones da arquitectura clássica. O objetivo da Parte A é
traduzir os algoritmos descritos no tratado numa gramática de descrição, em seguida, numa
gramática de forma, e depois num programa de computador,ou seja, em diferentes modelos
modelos computacionais. Este último pode ser usado para gerar modelos digitais, traduzíveis
em desenhos (modelos analógicos), em maquetes (modelos físicos) e em modelos virtuais. São
assim necessárias as seguintes quatro tarefas:
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1. Tarefa 1, "compreensão do tratado", requer a sistematização do texto e visa obter um
entendimento profundo do tratado desenhando objectos de acordo com suas regras,
primeiro em 2D, depois criando modelos digitais em 3D e, em seguida, produzindo os
modelos físicos correspondentes através de prototipagem rápida. Se bem que, por um
lado, o tratado de Alberti seja um texto sem ilustrações e, por outro, tenham sido
feitas ilustrações por vários autores ao longo das várias edições, foram produzidos
novos desenhos proveniente da leitura actual que fizemos do tratado.
2. Tarefa 2 "inferência da gramática", visa desenvolver a gramática, ganhando assim uma
compreensão profunda da estrutura formal da interpretação Albertiana da
arquitectura clássica. O esforço de desenho e modelação de formas levado a cabo na
Tarefa 1 permitiu identificar os passos e as restrições sucessivas necessárias para gerar
elementos clássicos de acordo com Alberti, permitindo assim inferir e representar
graficamente as regras da gramática da forma e desta forma o universo de soluções
codificado no tratado.
3. Tarefa 3, "implementação da gramática", visa a escrever uma programa de
computador que codifica e implementa a gramática. O objectivo deste programa é
didáctico, contribuindo para uma melhor compreensão das regras de Alberti ao
permitir gerar modelos digitais de elementos clássicos, quer respeitando tais regras,
quer desrespeitando-as. Para facilitar a implementação informática, a gramática foi
convertida num elemento modelo paramétrico implementado em Grasshopper. Na
verdade, no desenvolvimento da implementação informática foram seguidas duas vias,
uma em que a implementação se fez a partir da regras e outra em que a
implementação informática foi feita directamente a partir da leitura do tratado. A
comparação das duas implementações permitirá, simultaneamente, aferir a gramática
e a implementação informática.
4. Tarefa 4 "prototipagem rápida de modelos físicos", tem por objectivo produzir
objectos a partir dos modelos digitais gerados automaticamente pelo programa que
implementa a gramática. Numa primeira fase serão usadas diferentes técnicas de
prototipagem rápida para a criação de modelos e, numa fase posterior, serão testadas
técnicas de fabrico digital para a produção não de modelos, mas de objectos reais que
poderiam ser incluídos em edifícios. Esta tarefa completa o processo de tradução do
tratado do seu formato textual original em artefactos físicos, sendo assim possível
ganhar um melhor conhecimento das regras de Alberti preparando a base de
comparação com a sua obra construída.
Cada uma destas fases são descritas de forma um pouco mais detalhada nas secções
subsequentes deste artigo.
A gramática da planta dos templos de base quadrangular
Esta secção descreve as regras de geração de plantas de base quadrangular de templos,
inferidas a partir dos Capítulos IV e V do Livro 7 – O Ornamento de Edifícios Sagrados – do De
re aedificatoria, e subsequente codificação numa gramática da forma.
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De acordo com o que se explicitou atrás, a metodologia adoptada no desenvolvimento desta
gramática incluiu quatro passos: (1) a leitura dos Capítulos IV e V do Livro 7 e selecção das
partes do texto em que Alberti descreve os vários componentes que compõem as plantas dos
templos; (2) a compilação da informação, agrupando-a de modo a permitir a sua descrição; (3)
descrição e definição das regras de transformação das diversas fases de geração da gramática;
e finalmente (4) a ilustração da aplicação das regras na geração de um corpus de soluções.
Ao longo dos dez livros do tratado podem-se encontrar diversas referências aos templos,
algumas das informações são menos objectivas na definição de proporções e formas, contudo,
todas elas contêm dados pertinentes para a compreensão do todo. No Capítulo VI do Livro 5:
Edifícios para fins particulares, Alberti distingue os edifícios sagrados em dois tipos de templos,
que variam pela sua dimensão: “o maior, no qual o pontífice de categoria mais elevada, em
rito solene, celebra as cerimónias estabelecidas e o sacrifício; e outros, em que presidem os
pontífices de menor categoria, no número dos quais se incluem as capelas nos bairros da
cidade e os santuários no campo” (Alberti, 2011, p. 331). Para os templos maiores, na escolha
da sua localização importa que tenha algumas das seguintes qualidades: mais cómodo se no
centro da cidade, mais nobre se isolado, mais digno se elevado numa colina e mais sólido se
implantado numa planície. Apesar de Alberti distinguir os templos entre maiores e menores,
no mesmo capítulo, refere que os templos menores “imitarão as formas do templo maior,
salvaguardada a proporção da dignidade do lugar e a sua função” (Alberti, 2011, p. 332), pelo
que depreende-se que as regras e sistemas compositivos de geração da forma dos templos
maiores e menores sejam idênticas permitindo-se apenas a variação das suas proporções.
Para a definição das regras de geração de templos de planta quadrangular, focámo-nos no
Capítulos IV e V do Livro 7 do De re aedificatoria, nos quais são tratadas as partes constituintes
dos templos – cela interior, definida pela geometria da sua área, capela-mor, capelas laterais e
respectivas ossaturas, e ainda, o pórtico e respectivos sistemas de proporções.
Alberti considera dois tipos básicos para a geometria configuracional da cela: cela
quadrangular e cela circular. Para o estabelecimento de regras de geração das plantas
quadrangulares aqui descritas , considera-se como forma inicial uma forma vazia (O), e uma
regra inicial (R1) de transformação do ponto num polígono quadrado, em que o comprimento
(l) é igual à largura (w), l = w (Fig. 1).
Figura 1 - Regras para geração da geometria base da cela.
O polígono quadrado resultante da aplicação da regra R1 servirá de forma inicial às
transformações previstas nas regras R2a, R2b e R2c. Alberti refere três proporções possíveis
para as plantas dos templos com áreas de base quadrangular: o comprimento (l) é igual à
largura (w) mais um terço da largura, l = w + 1/3 w ; o comprimento é uma vez e meia a largura,
l = w + 1/2 w; e o comprimentos é o dobro da largura, l = 2w (Fig. 2).
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Figura 2 - Regras para a transformação da profundidade das celas dos templos de planta quadrangular.
Para a colocação da tribuna ou capela-mor e das restantes capelas laterais em templos de
planta de base quadrangular, Alberti dá instruções segundo a seguinte ordem: quantidade,
posicionamento, geometria e dimensionamento da abertura e ossatura.
Apesar desta ordem, e uma vez que Alberti não refere a colocação de capelas laterais em
templos que não tenham capela-mor, decidimos que a geração deve iniciar pela definição da
abertura (Regras R3a e 3b) e colocação da capela-mor (Regras R4a e b), e só depois, pela
colocação das capelas laterais. Os conjuntos de regras R5 e R6, regulam a posição e
dimensionamento das aberturas e das capelas laterais, enquanto que os conjuntos de regras
R7, R8 e R9, tratam da adição das capelas e da escolha da sua geometria.
Para a definição da capela-mor, as regras R3a e R3b (Fig. 3) indicam a sua localização pela
colocação de um ponto de referência, tal como descrito por Alberti, “no lugar mais interior de
modo a oferecer-se de frente a quem entra, logo desde a porta” (Alberti, 2011, p. 440) e ainda
duas possibilidades de dimensionamento da abertura para acomodação da capela-mor, uma
mais estreita, definida pela regra R3a, em que a abertura (a) mede duas partes de quatro
partes da largura do templo (w), ou a = 2/4 w, e a outra pela regra R3b, em que a abertura (a)
mede quatro partes de seis partes da largura do templo (w), ou a = 4/6 w.
Figura 2 - regras para geração de abertura da capela-mor.
Para completar o desenho da capela-mor, as regras R4a e R4b (Fig. 4), adicionam a capela-mor.
A regra R4a, prevê a adição de uma capela com forma semicircular, e a regra R4b, prevê a
adição de uma capela quadrangular. A este respeito Alberti refere ainda que “se a capela tiver
de ser uma só na extremidade do templo, será de preferir uma capela cujo espaço termine em
semicírculo; a seguir vem a quadrangular”. (Alberti, 2011, p. 441)
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Figura 3 - Regras para adição da capela-mor.
Relativamente às capelas laterais, o conjunto de regras R5 e R6 definem a dimensão das suas
aberturas e o seu posicionamento. Neste conjunto de regras existem duas variáveis a ter em
consideração: o comprimento da abertura da capela lateral (lcl), e o comprimento da ossatura
que dista da extremidade da abertura da capela lateral ao topo cela interior, ou até à próxima
capela (ls).
Segundo Alberti, “será legítimo que o comprimento tenha a mesma dimensão da abertura da
capela-mor”, ou seja lcl = wc, “mas tendo em vista a sua dignidade, que a capela-mor fosse
uma duodécima parte maior que as restantes” (Alberti, 2011, p. 441) ou seja, em que lcl tenha
uma dimensão um doze avos mais pequena do que wc, ou lcl = 11/12 wc.
Para a definição do comprimento da ossatura das capelas laterais (ls), o tratado refere que “a
ossatura do edifício que nos templos separa as aberturas das várias capelas, faça-se de tal
forma que em nenhum sítio seja que menor do que um quinto da largura do espaço vazio, e
em nenhum sítio mais largo do que um terço ou, onde pretenderes que as capelas sejam
muito fechadas, do que metade” (Alberti, 2011, p. 441). Assim, 1/5 wc ≤ ls ≤ 1/3 w, ou ls = 1/2
w.
O primeiro conjunto de regras R5 (R5a, R5b, R5c, R5d, R5e e R5f) (Fig. 5), tratam da adição de
apenas um par de capelas laterais, em que as variações entre cada uma das regras resulta das
diferentes combinações entre os dois valores possíveis para lcl e três valores definidos para ls,
um mínimo em que ls = 1/5 wc, um máximo em que ls = 1/3 e ls = 1/2 wc. Quanto à
quantidade de capelas laterais, Alberti diz que “não se há-de pôr mais do que uma, ou, se
aprouver acrescentar várias, convém que sejam em número ímpar” (Alberti, 2011, p. 441). O
segundo conjunto de regras R6 (R6a, R6b, R6c, R6d, R6e e R6f) (Fig. 5), tratam da adição de
mais do que um par de capelas laterais, e em número impar, do mesmo modo que o conjunto
de regras R5.
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Figura 4 - Regras para geração de aberturas das capelas laterais.
Antes de descrevermos os conjuntos de regras R7, R8 e R9, que tratam da adição das capelas
laterais, é pertinente mencionar que Alberti descreve a profundidade das capelas de laterais
(wcl) de planta quadrangular como medindo metade da profundidade da capela-mor (todos os
lados lc e wc são iguais), wcl = 1/2: “convém que as linhas traçadas da direita para a esquerda
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tenham o dobro do comprimento daquelas que se estendem no sentido da profundidade”
(Alberti, 2011, p. 441).
As regras R7a e R7b adicionam apenas um par de capelas, dando continuidade à geração das
formas obtidas pelas regras R5, diferenciando-se na geometria da capela; a regra R7a adiciona
capelas semicirculares e a regra R7b adiciona capelas rectangulares. As regras R8a e R8b,
adicionam múltiplos pares de capelas com a mesma geometria, continuando com as formas
obtidas pela geração das regras R6, em que a regra R8a adiciona capelas semicirculares e a
regra R8b adiciona capelas rectangulares. Finalmente, as regras R9, adicionam múltiplos pares
de capelas, alternando a geometria das capelas; em R9a, o primeiro par de capelas é
semicircular e em R9b é rectangular (Fig. 6). Segundo Alberti, “contribui para a beleza se as
quadrangulares se misturarem alternadamente com as semicirculares, e corresponderem
entre si as que estão frente a frente” (Alberti, 2011, p. 441).
capelas semi-circulares capelas rectangulares
número ímpar de capelas semi-circulres número ímpar de capelas rectangulares
alternância de capelas de diferente geometria alternância de capelas de diferente geometria
Fig. 5 - Regras para adição das capelas laterais
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Após o Capítulo IV do Livro 7 descrever os princípios para a definição da planta dos templos, o
Capítulo 5, em geral, dedica-se ao delineamento do pórtico. Alberti é muito claro na descrição
sobre a localização do pórtico em templos de plantas rectangulares, ao referir que “situar-se-á
na frontaria, ou igualmente na frontaria e no tardoz, ou apoiará a cela em seu redor, sendo
interrompido quando houver uma capela saliente”. A Figura 7 ilustra a aplicação desta
descrição, resultando num conjunto de regras: em R10 o pórtico é aplicado na frontaria; em
R11, o pórtico pode ser aplicado na frontaria e fachadas laterais; e na regra R12, são aplicados
pórticos na totalidade do perímetro do templo. As variações que existem nestas regras
ocorrem pelas diferenças de morfologia das plantas do templo, nomeadamente, pela
existência ou não de capelas.
Figura 6 - Regras para localização de pórticos.
Para o delineamento das colunatas que constituem o pórtico da frontaria, Alberti descreve
cinco tipos de intercolúnios1, que variam na sua densidade: compacto, subcompacto, elegante,
subampliado e ampliado. Estas referências são devidas a Vitrúvio (Livro 3, Capítulo III, 1 – I3)2,
e a variedade de escolha do tipo de intercolúnio pretende ampliar as possibilidades na
definição das proporções das colunatas que, por exemplo, poderão variar conforme a carga e
as características dos elementos que constituem a cobertura. Estas preocupações são
assinaladas por Alberti, e exemplificadas em situações em intercolúnios com espaçamentos
menos densos, dado que “se for usada uma trave, esta rebenta devido à extensão dos
intervalos; se for usado um arco, não é fácil colocá-lo sobre as colunas, ou ainda se nos
1 “Façam-se os intercolúnios em número ímpar; não se coloquem colunas senão em número par; faça-se mais larga que as
restantes a abertura do meio que está de frente para a porta; onde os intercolúnios têm de ser mais estreitos, empreguem-se
colunas mais finas; nos intervalos mais largos, usem-se colunas mais grossas. Portanto, a espessura das colunas será regulada
pelos intervalos e os intervalos pelas colunas, em particular: segundo as leis seguintes. Nas obras compactas, os intervalos não
serão mais estreitos do que uma espessura e meia da coluna; nas obras ampliadas, não terá mais que três espessuras e três
oitavos de uma coluna; nas obras elegantes, terá duas espessuras e um quarto; nas obras subcompactas, serão atribuídas duas
espessuras, e nas subampliadas três. Em cada uma destas classes, os intervalos que ficarem ao meio far-se-ão mais largos, de
modo a excederem os restantes em uma quarta parte” (Alberti, 2011, p. 445). 2 Vitrúvio (III, 3, 1-13) designa estes tipos de intercolúnios, respectivamente, de areostilo (h = 8d; L não é especificado), picnostilo
(h = 10d; L = 1 1/2d), eustilo (h = 9 ½d; L = 2V4d), diastilo (h = 8 ½d; L = 3d) e sistilo (h = 9 ½d; L = 2d), onde h representa a altura das colunas e L o intercolúnio, medidos em função do diâmetro d das colunas.
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intervalos em que se usam arcos mais densos, impedem-se as passagens, as vistas e a luz”
(Alberti, 2011, p. 444).
Para a descrição e derivação das regras de geração das colunatas da frontaria foram
consideradas as seguintes variáveis: o número de colunas (n), o qual será sempre par; a largura
da frontaria do templo (l); a dimensão da coluna (c), a dimensão do intercolúnio (i) e a
dimensão do intercolúnio central (ic), as quais serão deduzidas a partir das descrições dadas
por Alberti para cada um dos tipos de intercolúnio. As cinco regras R13 derivam das cinco
descrições de proporções dos cinco tipos de intercolúnios referidos por Alberti. A ilustração
das regras exemplifica a geração de uma colunata constituída por seis colunas, demonstrando
a variação da espessura das colunas e espaçamento do intercolúnio, da situação mais densa –
compacta, até à menos densa – a ampliada (Fig. 8).
Fig. 7 - Regras de geração de uma colunata da frontaria, constituída por seis colunas, nos cinco tipos de
intercolúnios.
A Figura 9 ilustra a geração de uma planta de um templo de planta quadrangular, com capela-
mor, capelas laterais e pórtico da frontaria, pela sucessiva aplicação de regras de
transformação acima descritas.
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Fig. 8 - Exemplo de aplicação de regras para a geração de um a planta de um templo de planta quadrangular.
A Gramática do Sistema da Coluna Dórico
O desenvolvimento da gramática do sistema da coluna dórica passou pelas quatro tarefas
descritas na metodologia geral – compreensão do tratado, inferência da gramática,
implementação informática e prototipagem digital – as quais são descritas de forma mais
detalhada a seguir.
Compreensão do Tratado
Como referimos anteriormente, a editio princeps do De re aedificatoria é um texto sem
ilustrações. Alberti (Livro 6, Capítulo VII, pp. 446 e Capítulo XIX, pp. 461) afirma no livro que
decidiu não ilustrar o tratado para evitar erros de interpretação dos copistas da época. Em
nossa opinião esta decisão poderá estar também relacionada com a natureza generativa do
tratado. Este descreve um sistema de regras em vez de modelos de soluções. É provável que
Alberti tenha optado por representar as regras sem recurso a imagens gráficas de modo a
evitar a sugestão de modelos rígidos, permitindo aos leitores a interpretação das regras
descritas no tratado.
No entanto, ao longo da história têm sido executadas ilustrações por diversos autores para
várias edições do tratado, como por exemplo as ilustrações presentes na tradução florentina
de Cosimo Bartoli de 1550 e as produzidas autonomamente por Morolli e Guzzon em 1994. O
nosso argumento é que as gramáticas da forma fornecem o dispositivo visual necessário para
representar o carácter generativo das regras descritas no tratado e que Alberti também evitou
ilustrá-lo por não possuir dispositivo equivalente; ou seja, as gramáticas da forma permitem
representar visualmente as regras sem as vincular a modelos rígidos como sucede com as
ilustrações referidas. Apesar deste argumento, o primeiro passo no desenvolvimento da
gramática foi produzir representações gráficas da nossa própria leitura e interpretação do
tratado, confrontando-as com as ilustrações de outros autores.
Este processo está representado na Figura 10 e teve como objectivo ganhar um consistente
conhecimento dos algoritmos descritos no tratado através da sistematização do texto, do
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consequente desenvolvimento de desenhos 2D e modelos 3D e da produção posterior de
modelos físicos usando diferentes métodos de prototipagem digital.
Figura 10 - As quatro tarefas executadas para compreender e descodificar o tratado: sistematização do texto (em cima à esquerda), criação de desenhos 2D (em cima à direita), execução de modelos digitais 3D usando Rhino e
Grasshopper (em baixo à esquerda) e produção de modelos físicos por prototipagem rápida.
Inferência da gramática
Esta tarefa teve como objectivo aprofundar o conhecimento da estrutura do tratado, e consequentemente do sistema de regras descrito, de modo a transpô-lo para a gramática da forma. Este processo compreendeu três passos: o primeiro foi criar um diagrama sintetizando a ordem em que Alberti descreve a estrutura formal do sistema da coluna (Fig. 11); o segundo foi a consequente extracção das regras definindo as proporções das várias partes (Tabela 1); e o terceiro passo foi desenhar as regras da gramática da forma (Figs. 12 e 13). A gramática do sistema da coluna inclui as regras para desenhar a colunata, o “proto” sistema da coluna e o fuste descritos no Livro 6, Capítulo XIII do De re aedificatoria; as regras para detalhar a base, o capitel e o entablamento dos diferentes sistemas da coluna (dórico, jónico, coríntio e compósito), descritas no Livro 7, Capitulos VII a XIX. Este artigo centra-se no sistema da coluna dórico.
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Figura 11 - Diagrama resumindo a estrutura do sistema da coluna e a sua articulação com a estrutura do texto
referente aos templos (Livro 6, Capitulo XIII a Livro 7, Capitulo IX). D significa o diâmetro da coluna.
Protocoluna
Regra 1 Regra 2 Regra 3
H entablatura = 2D
H coluna = 8D W colunata = (2n-1)Wic + 2nD W intercolunio = Wic Wic Є {3/2D, 2D, 9/4D, 3D, 27/8D }
W coluna = W imoscapo = D
H capitel = 1/2D or 3/4D || W capitel = D
H fuste = 7D || W fuste = D
H base = 1/2D ||W base = D
Fuste
Regra 4 Regra 5 Regra 6
H proto superior (colar + filete + recesso) = 5/27D
H proto fuste = 7D – (5/27D + 1/8D)
H proto inferior (recesso + filete) = 1/8D
H proto inferior (recesso + filete):3 = 1/8D * 1/3 = 1/12D
1P = filete inferior || H filete inferior = 1/24D || W filete inferior = D
2P = recesso inferior H recess inferior = 1/24D * 2 = 1/12D
W recesso inferior = D - 1/9D = 8/9D r = H filete inferior= 1/24D α = 360°/4
Regra 7 Regra 8 Regra 9 Regra 10
H proto colar superior = 2/3 * 1/12D’ = 1/18D’= 1/18 * 8/9D = 4/81D
W colar superior= D’ + 1/18D’ * 1/2 = 19/18D’ = 19/18 * 8/9D = 152/162D = 76/81D
H filete superior = 1/3 * 1/12D’ = 1/36D’= 1/36*8/9D =2/81D || W proto colar superior= W sumoscapo = D’ = 8/9D
H proto recesso superior = 3/2 * 1/12D’ = 1/8D’ = 1/8 * 8/9D = 8/72D = 1/9D
WProto recesso superior = 7/8D’= 7/8 * 8/9D = 7/9D
H [barriga, sumoscapo, recesso] = 3D
H [imoscapo, recesso, barriga] =4D
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Entablamento Dórica
Regra 28 Regra 29 Regra 30 Regra 31 Regra 32 Regra 33
Arquitrave
Faixa 1 Faixa 2 Faixa 3 Friso
H = 48M = 2D Harq = 1/2D(12M) Hf1 =1/6D (4 M) Hf2 =1/4D (6M) Hf3 =1/12D (2M) Hfr=5/6D(18M) Warq=D Warq=D Wf1=D Wf2=D+1/48D Wf3=D+1/24D Wfr=D+1/48D
Regra 34 (fachada) Regra 35 Regra 36 Regra 37 Regra 38
Arquitrave Cimácio
Trave Faixa Pluteo (caveto) Pavimento Mútulos Cimácio de Gola
H trave = 1/2D Hbase (18 M)
Hfci=1/12D Hp =1/12D (2M) Hpav =1/8D (3M) Hm = 1/8D (3M) Hgb = 1/32D (1M)
W trave =D+1/48D espaco entre traves =L=3/4D,
Wfci=D+1/24D Wp=D+1/6D Wpav=D+1/4D Wgb=D+1/2D
Regra 39 Regra 40
Cimácio
Cornija Cimácio de gola Faixa Cimácio de onda
Hcor =1/8D (4M)
Hgb = (1M + 1/2M) Hfcig =1/12D+1/64D (2M + 1/2 M) Hcio =1/8D ( 4M)
Wfcig=13/24D(*) Wcio=15/24D(*)
key: H = altura; W = largura; P = parte(s); D = diametro do imoscapo; L = largura, M = modulo (ou partes)
Tabela 1 - Proporções das diferentes partes que compõem o sistema da coluna dórica associadas ás suas regras
O sistema de coluna, expressão utilizada por Alberti significando aquilo que constitui o esqueleto formal e em alguns casos estrutural (visto que uma das grande inovações do Renascimento é precisamente a requalificação da coluna como elemento ornamental deixando de ter somente uma função estrutural). Esse sistema pode ser encontrado em qualquer das partes dos edifícios de culto, como sejam a cela, as capelas ou os pórticos. E pode estar contido ou estar destacado das paredes. Em qualquer dos casos está organizado em colunatas, que podem ser de 5 tipos diferentes, dependendo do espaço entre as colunas a que se chama intercolúnio. As proporções deste sistema podem estar dependente da relação que existe entre o número de colunas e a dimensão do intercolúnio. Esta dimensão é proporcional ao diâmetro da coluna (D) e pode variar entre 3/2D nas colunatas compactas e 27/8D nas colunatas ampliadas.
No início do Livro 7, Capitulo VII, Alberti afirma que todas as molduras no sistema da coluna resultam da composição do vocabulário formado pelas letras “L”, “C”,”S” e “S” invertido. No entanto, Alberti não volta a mencionar explicitamente este vocabulário pelo que as suas regras não o utilizam explicitamente. As regras são descritas do geral para o particular sem nunca usar tal vocabulário restringindo-se à descrição das molduras que esse vocabulário produz, ou seja: a rudentura, o caveto, a onda e a gola. As regras são rígidas, tanto no modo como as partes do sistema podem ser conjugadas, como podem ser dimensionadas, já que são sempre
W barriga = 8/9D
Capitel Dórico
Regra 18 Regra 19 Regra 20 Regra 23 Regra 25
Capitel Hcap = 1/2 D or 3/4D Wcap = D + 1/6D
Hcap:3 = 1/2D * 1/3 = 1/6D Wsup. = D + 1/6D
1P = Abaco Hab = 1/6D
Hab:5 = 1/6D * 1/5 = 1/30D
2P = cimácio de gola Hcg =2* 1/30D = 1/15D
Hcg:3 = 1/15D * 1/3 = 1/45D
1P = “S” Hs= 1/45D
2P = “L” Hl = 2/45D
3P = Plinto || Hp = 3* 1/30D = 1/10D
1P = Taça Ht = 1/6D
Regra 21 Regra 22
Hab:3 = 1/6D * 1/3 = 1/18D
2P = Ovolo || Hrud = 2* 1/18D = 1/9D
1P = Gola ou 3pequenos aneis Hg = 1/18D Or Hpa=1/3*1/18D
Regra 24 Regra 26 Regra 27
Hgola:3 = 1/18D * 1/3 = 1/54D
1P = “L” Hl =1/54D
1P = Anel Ha =1/54D
2P = “S” Hs = 1/27D
1P = Anel Ha =1/54D
1P = Anel Ha =1/54D
1P = Colar || Hcol = 1/6D || Wcol =7/9D
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proporcionais ao diâmetro da coluna, como se constata na Tabela I que se restringe à geração da forma básica do sistema da coluna, aqui designada pelo uso do prefixo “proto”, ao fuste e à base por limitação de espaço no texto).
O sistema da coluna é formado por coluna e entablamento que, por sua vez, são formados por três partes de menores dimensões que, por seu lado, são formados por partes ainda mais pequenas. No entanto, Alberti descreve a coluna e o entablamento de modos diferentes. O entablamento é descrito do particular para o geral através da adição sucessiva de componentes, ao passo que a coluna é descrita do geral para o particular pela decomposição recursiva de elementos maiores em mais pequenos. Assim, o entablamento é formado por arquitrave, faixas e frisos, e cornija; a coluna é formada por base, fuste e capitel. De notar que Alberti usa o termo coluna de forma ambígua para designar tanto o conjunto da base, fuste e capitel, como apenas o que a maior parte dos autores chama de fuste; no entanto optámos por usar o termo fuste, apesar de Alberti não o fazer, para não confundir os dois casos.
A gramática da forma
Tendo em conta as ilustrações desenvolvidas por diversos autores para o tratado ao longo dos séculos, incluindo Morolli e Guzzon (op. cit.), a gramática foi desenvolvida como uma gramática paralela contendo quatro vistas: planta, corte, alçado e axonometria. As primeiras três vistas foram desenvolvidas como produtos Cartesianos das álgebras U12 e V02 e a quarta vista como produtos cartesianos das álgebras U13, U33 e V03. 3
A definição da gramática do sistema da coluna deparou-se com um problema relacionado com a interdependência de parâmetros. Como mencionado em secções anteriores, tanto o intercolúnio como a altura da coluna são múltiplos do diâmetro da coluna, o que levanta o problema de por onde iniciar a geração do sistema da coluna: pela planta ou pelo alçado? Na versão preliminar da gramática aqui apresentada começa-se pela planta, por permitir uma articulação directa com a gramática dos templos que define a extensão da colunata, enquanto que a gramática do sistema da coluna define o tipo de colunata, determinando a localização da cada coluna, antes de as detalhar. No entanto, o ideal será a gramática poder abarcar os dois casos, em que o templo e o sistema de coluna podem ser projectados tanto em função de restrições ao comprimento como à altura existentes no local de implantação do edifício. Futura investigação terá por objectivo articular as duas gramáticas de modo a incluir os dois casos.
Devido a restrições de espaço, mostramos apenas as regras de geração da colunata e da “proto” coluna (Regras 1-3, Fig. 12), as regras de geração do fuste liso (Regras 4-10, Fig. 13), as regras de geração do capitel de tipo I (Regras 18-22, Fig. 14) e as regras do entablamento (Regras 28-40, Fig. 15), tudo referente ao sistema da coluna dórica. As regras de geração da base (Regras 11-17) e as regras de geração do segundo tipo de capitel dórico (Regras 23-27) não são mostradas por restrições de espaço, podendo as primeiras ser consultadas em Coutinho et alii (2011). No final da secção, apresenta-se a derivação do fuste liso, capitel e entablamento dóricos de acordo com a gramática (Fig. 16).
A regra 1 gera linhas de apoio ao desenho da colunata, dividindo o sistema da coluna em entablatura e coluna (Fig. 12). Como anteriormente mencionado, Alberti descreve pórticos com diferentes intercolúnios e especifica quando cada um deve ser aplicado, dependendo das necessidades programáticas. Esta regra coloca marcadores ao longo da linha do pórtico em
3 As algebras utilizadas para definir uma gramática são descritas por uma duas letras maiúsculas U e V, cada uma das seguidas de
dois algarismos, em que V corresponde às forma utilizadas na definição da gramática, U às formas dos rótulos usados para controlar a aplicação das suas regras, o primeiro número identifica dimensão das formas primitvas (pontos, linhas, superfícies ou
sólidos) e o segundo número identifica a dimensão do espaço em que as formas são combinadas. Por exemplo, na álgebra U12 X V02 , são combinadas linhas e pontos rotulados no plano.
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planta, e linhas tracejadas verticais no alçado e na vista de corte, representando os eixos da coluna. Os marcadores indicam o tipo de pórtico dos quais o diâmetro (D) da coluna pode ser obtido. A regra 2 cria uma “proto”coluna na forma de um cilindro em torno do eixo marcado verticalmente. A regra 3 divide a “proto”coluna em “proto” base, fuste liso e capitel.
Figura 12 - Regras para gerar o sistema da coluna: colunata e ”proto” coluna dórica.
As regras seguintes dividem, recursivamente, cada um dos elementos da coluna até ao aos elementos mais básicos serem obtidos, como sucede no caso do capitel onde um cilindro representa o colar. Em cada subdivisão efectuada, são aplicadas as regras de proporção derivadas do tratado e mostradas na Tabela I, que definem o comprimento e altura de cada elemento.
As regras 4-10 definem o fuste liso (Fig. 13). A regra 4 define a zona do recesso e o filete, tanto do imoscapo, como do sumoscapo. As regra 5 a 10 são regras de pormenorização, em que a regra 5 define o imoscapo, isto é, o diâmetro D do fuste da coluna, que é uma variável independente da qual todos os outros valores das variáveis do sistema da coluna são inferidos. A regra 6 define o recesso superior dando-nos indicações dos diâmetros parciais do recesso. A regra 7 subdivide a zona onde será gerado o sumoscapo, deixando definidos o colar, o filete e o recesso. Na regra 8 é definido o colar e o filete sendo indicadas as respectivas proporções. Na regra 9 é definido o recesso e colocado marcador F1. Finalmente na regra 10 são criados um conjunto de marcadores (B2 e B3), bem como o diâmetro da barriga do fuste, sendo estes fechados por revolução da linha de união de F1, B2 e B3, gerando-se assim o fuste completo.
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Figura 13 - Regras para gerar o sistema da coluna: o fuste liso.
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Figura 13 (cont.) - Regras para gerar o sistema da coluna: o fuste liso.
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Figura 13 (cont.) - Regras para gerar o sistema da coluna: regras para gerar o fuste liso.
As regras 11-17 (não mostradas neste artigo por terem já sido apresentadas em Coutinho et al. 2011) definem a base. As regras 18-22 dizem respeito ao Capitel (Fig. 14). A regra 18 divide o “proto” capitel em 3 partes dando uma parte para o colar, uma para a taça e outra para o ábaco, destacando-o. A regra 19 divide o ábaco em cinco partes. A regra 20 cria o cimácio com duas partes e o dado com três das cinco partes anteriores. A regra 21 divide o colar em três partes dando cada uma aos três anéis. A regra 22 cria o óvulo com duas das partes anteriores e com a remanescente cria um dado ou três pequenos anéis (caso representado).
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Figura 14 - Regras para gerar o sistema da coluna: o capitel Dórico.
As regras 28 a 40 são dedicadas à geração do entablamento (Fig. 15). Este é composto por
arquitrave, frisos e cimácio. A regra 28 parte do “proto” entablamento dividindo-o em 48
módulos iguais, de modo a definir a “proto” arquitrave, o “proto” friso e o “proto” cimácio,
colocando, para o efeito, marcadores referentes a cada parte. A regra 29 centrada na “proto”
arquitrave divide-a em 3 partes geradas a partir de 12 módulos, e a regra 30 define a primeira
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faixa assumindo o respectivo marcador. A regra 31 define a faixa intermédia da arquitrave e a
regra 32 define a faixa superior concluindo-se, assim, as regras de geração da arquitrave. A
regra 33 define o friso e a regra 34 pormenoriza-o acrescentando as traves. Na regra 35 é
definida a faixa que remata o friso. A regra 36, partindo do “proto” cimácio divide-o, gerando o
plúteo e outros elementos a detalhar posteriormente. A regra 37 define o pavimento. A regra
38 os mútulos. A regra 39 o cimácio de gola e finalmente a regra 40 o cimácio de onda.
As Figuras 16 a 18 mostram a derivação do fuste, capitel e entablamento dóricos de acordo
com as regras da gramática. A derivação da base dórica está patente em Coutinho et al. (2011).
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Figura 15 - Regras para gerar o sistema da coluna: o entablamento dórico.
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Figura 15 (cont.) - Regras para gerar o sistema da coluna: o entablamento dórico.
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Figura 15 (cont.) - Regras para gerar o sistema da coluna: o entablamento dórico.
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Figura 15 (cont.) - Regras para gerar o sistema da coluna: o entablamento dórico.
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Figura 16 - Derivação do fuste liso de acordo com a gramática.
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Figura 16 (cont.) - Derivação do fuste liso de acordo com a gramática.
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Figura 17 - Derivação do capitel dórico de acordo com a gramática.
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Figura 18 - Derivação do entablamento dórico de acordo com a gramática.
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Figura 18 (cont.)- Derivação do entablamento dórico de acordo com a gramática.
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Implementação informática da gramática
Esta tarefa tem como objectivo escrever um programa de computador que implemente a gramática. Dada a dificuldade conhecida no desenvolvimento de implementações gramaticais (Duarte, 2007) e para evitar o desenvolvimento de um programa de raiz, optou-se por converter a gramática num sistema de desenho paramétrico de modo a possibilitar a sua implementação dentro de um sistema de CAD existente. Esta conversão é relativamente simples pois a gramática, além de ser uma gramática de conjuntos, isto é, que não permite o reconhecimento de formas não desenhadas explicitamente, é também uma gramática paramétrica. A escolha do ambiente computacional para efectuar a implementação recaiu sobre o Rhinoceros (Rhino), um software de modelação geométrica, e o Grasshopper (GH), um software de programação visual que corre sobre o Rhino.
A implementação informática deveria permitir testar o rigor da codificação gramátical do sistema de regras Albertiano. Deveria permitir também explorar o uso das regras da gramática na geração dos elementos clássicos, com a vantagem das suas características paramétricas agilizarem a geração de elementos tanto de acordo com Alberti como de acordo com os autores de outro tratados como Vitrúvio. Para isso bastaria seleccionar valores apropriados para os parâmetros relacionados com a proporção, evidenciando assim as semelhanças e diferenças entre os sistemas de regras dos dois autores. Finalmente, deveria permitir ainda uma exploração mais criativa e contemporânea dos sistemas de regras clássico, libertando as restrições aos valores do parâmetros de proporção, desrespeitando as proporções canónicas, permitindo por exemplo criar colunas mais alongadas ou atarracadas ou com diferentes proporções entre as diferentes partes, mais ajustadas, por exemplo, ao uso de outros materiais ou tecnologias de fabrico.
No desenvolvimento da implementação informática seguiu-se duas vias, uma em que a implementação se fez a partir da regras e outra em que a implementação informática foi feita directamente a partir da leitura do tratado. A comparação entre as duas implementações permitirá testar e aferir a gramática como enunciado acima. A secção seguinte descreve a segunda implementação.
Implementação informática e criação de modelos físicos
Esta secção apresenta o processo de tradução do texto do tratado de Alberti De re
aedificatoria em modelos computacionais e destes em modelos físicos, tomando como objecto
de estudo o sistema de coluna dórica.
Um modelo computacional, ao contrário de um modelo digital que é meramente icónico,
contém as instruções para a geração da forma dos objectos que representa. Assim, a tradução
do tratado engloba três fases: i) a compreensão do tratado, através da descodificação das
regras prescritas por Alberti, ii) a construção de modelos computacionais, através da
implementação das instruções num programa informático, e iii) o preenchimento da
informação em falta, completando os algoritmos em que as instruções são insuficientes para
gerar a forma.
Análise do tratado
O primeiro passo deste processo foi a leitura analítica do tratado, com especial incidência
sobre os Livros 6 e 7, e mais aprofundadamente dos capítulos referentes aos sistemas das
colunas. Nestes capítulos, encontram-se múltiplas definições da forma e proporções dos
elementos que os compõem, que serão denominadas “regras”. No sentido de melhor
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compreender essas regras, foi feito um estudo minucioso da definição de um elemento, a base
dórica, patente no início do Capítulo VII do Livro 7. A metodologia apresentada seguidamente
foi posteriormente aplicada a todos os outros elementos a modelar.
Tomemos como exemplo a seguinte passagem do tratado: “Dividiram a altura da base em três
partes, das quais atribuíram uma parte à altura do plinto” (Alberti, 2011, p. 450) Esta
passagem, que define a altura do plinto, poderia traduzir-se matematicamente por
hplinto = 1/3 · hbase
em que altura do plinto corresponderia ao lado da equação hplinto e o resto da frase ao outro
lado. Assim, durante a leitura do texto, assinalaram-se as regras, traduzindo-as nos “dois lados
da equação”.
Complementando a leitura do tratado, e como parte da sua análise, houve um trabalho de
anotação, em que se esquissaram os elementos das colunas, de modo a que as relações de
proporção prescritas pelas regras fossem mais evidentes, e em que se escrevinharam as
traduções matemáticas dessas regras, no sentido de as analisar no seu conjunto (Figura 19).
Este trabalho foi importante na identificação de uma estrutura comum a todas as regras, que
revelou possuir uma hierarquia em árvore. Esta estrutura caracteriza-se por ter poucos
elementos em cada nível hierárquico, tipicamente dois a três, e por pelo menos um deles ser
“folha”; isto é, não ter inferiores hierárquicos, ou “filhos”. Identificou-se também um padrão,
no sentido em que as regras têm a forma geral A = k · pai(A) em que A representa um
parâmetro de um elemento do sistema (correspondente a uma dimensão, ou “grandeza”),
pai(A) representa o superior hierárquico de A (“referência”) e k representa uma constante,
prescrita por Alberti, geralmente sob a forma de fracção (“multiplicador”). No exemplo dado
anteriormente, A seria a altura do plinto, pai(A) seria a altura da base e k, um terço.
Figura 19 - Leitura e anotação do tratado de Alberti
Surgiu também a necessidade de anotar as regras através de um sistema mais complexo do
que escrever num caderno ou num processador de texto. A escolha recaiu sobre uma base de
dados relacional, que permite a estruturação necessária a um registo mais informado das
regras, permitindo inclusivamente uma abordagem que vai além das duas dimensões da folha
de caderno. Esta estruturação foi fundamental para se eliminarem redundâncias e para
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perceber melhor como se relacionam as regras entre si. Após a sua depuração, esta estrutura
foi testada numa folha de cálculo, tornando possível a codificação da estrutura geral das regras,
identificando de forma clara os troncos e as folhas da estrutura em árvore, bem como a sua
particularização para a base dórica através da indicação das proporções entre os diferentes
elementos que compõe o sistema da coluna (Fig. 20).
Figura 20 - Modelação da estrutura de regras numa folha de cálculo e subsequente programação visual em Grasshopper.
Implementação dos modelos computacionais
O passo seguinte consistiu na implementação das regras sob a forma de um algoritmo
computacional, começando pela base dórica e repetindo depois o processo para os outros
elementos. Para tal, foi usado o Grasshopper (GH), um software de programação visual para o
Rhinoceros (Rhino), um software de modelação geométrica. Devido ao esforço de estruturação
feito a montante, a passagem para GH revelou-se relativamente tranquila. A implementação
foi efectuada de modo a que as proporções prescritas por Alberti pudessem ser alteradas, de
modo a indicar outras proporções. O resultado foi um modelo computacional paramétrico
preliminar onde foram lançadas as bases para a descrição de todos os outros elementos.
O esquema seguinte (Fig. 21) ilustra a estrutura de modelação da base dórica, em que é
perceptível a estrutura hierárquica inicial descrita anteriormente, respeitante à sequência
albertiana de subdivisões das alturas. Segue-se uma estrutura convergente, respeitante à
dedução das larguras dos vários componentes, que será seguidamente abordada com maior
pormenorização. As operações de definição de forma encerram o processo de geração da base
dórica. Para a implementação de cada um dos elementos é gerado um esquema semelhante,
permitindo estruturar os algoritmos computacionais de modo mais eficiente.
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Figura 21 - Estrutura de modelação da base dórica.
De modo a que o sistema generativo implementado funcione, este deverá ser alimentado com
uma variável inicial. De facto, em todos os elementos dos sistemas de colunas, Alberti toma
como variável inicial o diâmetro da extremidade inferior da coluna, ou imoscapo,
seguidamente designada por Dimo. Em alguns elementos, toma também como variável inicial o
diâmetro da extremidade superior da coluna, ou sumoscapo. No entanto, esta variável,
chamemos-lhe Dsumo, é deduzida a partir de Dimo em função da altura da coluna, de acordo com
o disposto no fim do Capítulo VI do Livro 7 do tratado (Alberti, 2011, p. 448) e condensado na
Tabela 2. Dimo é também a variável inicial na definição da altura da coluna, em função do tipo
de capitel que lhe é aplicado, e também de acordo com o disposto na página 448 do tratado,
condensado na Tabela 3. Na realidade, esta tabela pode ser lida ao contrário, servindo para
determinar Dimo em função da altura da coluna. No entanto, na implementação dos sistemas
computacionais, adoptou-se Dimo como variável inicial, por ser aquela que está presente na
definição de todos os elementos. Após o cálculo das variáveis iniciais, é possível então fornecê-
las aos modelos computacionais para que gerem os elementos dóricos do sistema da coluna.
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Tabela 1 - Cálculo da razão entre Dimo e Dsumo
capitel Dórico Jónico Coríntio
loc. ref. (linha) 02 04 05
altura coluna 7 · Dimo 9 · Dimo 8 · Dimo
diâm. imoscapo Hcoluna / 7 Hcoluna / 9 Hcoluna / 8
Tabela 3 - Cálculo da altura da coluna
Preenchimento da informação em falta
Ao longo da análise do tratado foram detectadas situações em que as instruções prescritas por
Alberti não contêm informação suficiente para determinar a forma exacta dos elementos das
colunas. Outras surgiram em que a informação existe mas não é clara, ou é ambígua. Outras
ainda em que são prescritas instruções aparentemente contraditórias.
Nestes casos, foi necessário recorrer a outras fontes que não o tratado, como ilustrações de
edições posteriores do De re aedificatoria ou a obra construída de Alberti. Foram também
tidos em conta outros tratados e outras obras construídas, mas somente nos aspectos em que
convergiam com as instruções de Alberti. Algumas soluções advieram também da
implementação das regras em ambiente computacional, o que permite o acesso a ferramentas
de geometria avançada, nomeadamente para o desenho de curvas e superfícies. Na
continuação do desenvolvimento do trabalho, tenciona-se também ter em conta a teoria de
Alberti (2011) sobre as consonâncias musicais, as correspondências inatas, e os números
perfeitos 6 e 10, descrita nos Capítulos V e VI do Livro 9.
Na procura da concinidade, entendida como um sentido de harmonia universal, o sistema
proporcional de Alberti corresponde a uma ordem cosmológica, que se manifesta em todas as
dimensões da arte edificatória. Consequentemente, se aqueles sistemas proporcionais se
manifestam à escala global do edificado, o mesmo também se verifica nas suas partes
constitutivas, como sejam as relativas aos elementos do sistema da coluna albertiano que
tratamos nesta comunicação.
Seguidamente, são apresentadas as situações mais paradigmáticas que foram detectadas na
implementação dos elementos do sistema da coluna dórica.
n 1 2 3 4 5 ...
alt. coluna (pés) Hn < 15 15-20 20-30 30-40 40-50 > 50
loc. ref. (linha) 22 24 27 28 30 31
Dsumo/Dimo Kn 5/6 6/7 7/8
(not. fraccional) 11/13 13/15 ...
(not. decimal) 0,833 0,846 0,857 0,867 0,875 ...
Kn - K(n-1) ΔKn --- 0,013 0,011 0,010 0,008 ...
ΔKn - ΔK(n-1) Δ’Kn --- --- 0,02 0,01 0,02 ...
proibi
do co
piar
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Larguras da base dórica:
A descrição de Alberti para o desenho da base dórica é totalmente explícita no que respeita às
alturas dos seus vários componentes, organizando-as segundo a estrutura hierárquica
previamente descrita. No entanto, a informação sobre as larguras, ou diâmetros, desses
componentes não é tão óbvia. Aparte algumas regras explícitas, nomeadamente para o plinto,
escócia e toros, as restantes larguras são deduzidas a partir, quer da relação entre os
componentes, quer da definição Albertiana dos mesmos, descritas no início do Capítulo VII
(Alberti, 2011, pp. 450-451).
Assim, ao contrário da estrutura hierárquica adoptada na definição das alturas, na definição
das respectivas larguras adoptou-se uma estrutura convergente, no sentido em que os valores
foram sendo deduzidos dos extremos para o meio, conforme o esquema da Figura 21.
Enquanto que a largura do plinto é dada, a do toro inferior adjacente é deduzida através de
regras explícitas, e a largura da escócia – e, consequentemente, do seu filete inferior – são
deduzidas implicitamente. Do mesmo modo, começando por cima, o diâmetro do eixo do toro
superior é dado implicitamente, sendo igual à largura da escócia e do seu filete superior. No
entanto, as larguras da escócia, deduzidas a partir do plinto, não corresponde ao valor
estimado a partir do toro superior. Assim, a diferença entre os dois valores para o diâmetro
deverá ser absorvida pela geometria configuracional da escócia.
Sobre a largura do plinto, Alberti prescreve duas regras aparentemente contraditórias: uma
em que permite uma variação do mesmo entre 1 1/3 e 1 1/2 do diâmetro do imoscapo, e
outra em que o fixa no triplo da altura da base que, sendo metade do diâmetro do imoscapo,
corresponde a uma vez e meia deste. Optou-se por modelar a base permitindo a variação
prescrita na primeira regra, por gerar um modelo mais flexível, o que se coaduna com o
espírito, no nosso entendimento, do sistema proporcional de Alberti que é, na sua essência,
generativo.
Toros e escócia da base dórica:
No Capítulo VII do Livro 7 (Alberti, 2011, pp. 450-451), surgem algumas passagens que
requerem uma análise mais atenta. Alberti sugere que os toros da base dórica “sobressaíam
metade da sua altura e mais um oitavo”. Sendo que o toro é normalmente caracterizado por
uma secção circular, sobressaindo metade da sua altura, o acrescento de mais um oitavo
aponta para uma secção elíptica (Fig. 22). A alternativa seria completar a curva com um
segmento de recta, o que seria de evitar, de modo a manter o carácter curvilíneo das linhas e
superfícies geradas (Fig. 22a).
Figura 22 – Estudo da geometria dos toros da base dórica
Conforme referido acima, a dedução das larguras da base dórica converge na escócia,
conferindo a esta duas larguras, superior e inferior, distintas. Acrescente-se ainda a seguinte
regra: “Ao vazarem os canais das escócias, tomavam precauções para que, ao fazê-lo, não
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atingissem as linhas verticais das partes que deviam ser construídas em cima”. Considerou-se
“as partes construídas em cima” como a parte do fuste acima da sua reentrância inferior,
delimitando-se assim a profundidade da escócia. Dados estes parâmetros, este elemento não
poderia ser descrito por uma secção semi-circular (Figura a), como remete a descrição
albertiana: “A escócia é uma reentrância, a toda a volta, que é comprimida entre os dois toros,
como uma roldana”. De modo a responder aos constrangimentos formais, recorreu-se à
geometria computacional, nomeadamente às curvas e superfícies NURBS (Non-Uniform
Rational Basis Spline), que permitem gerar geometrias curvilíneas com recurso ao número
mínimo de pontos de controlo (Pottman et al., 2007). Resultaram desta abordagem escócias
cujos perfis correspondem às Figuras 23b e 23c, referentes a curvas polinomiais de 3º e 2º
graus, respectivamente. Apesar da solução apresentada em ‘b’ não permitir a profundidade
máxima delimitada pela reêntracia da coluna, devido às propriedades das NURBS, acabou por
ser seleccionada, por requerer menos pontos de controlo, quatro, mas principalmente por
apresentar continuidade na curvatura (Figura d), ao contrário da solução em ‘c’.
Figura 23 - Escócia da base dórica
Reentrância do imoscapo da coluna:
Figura 24 - Reentrância do imoscapo da coluna
De entre as instruções prescritas para o desenho da reentrância do imoscapo, patentes no fim
do Capítulo XII do Livro 6 (Alberti 2011, pp. 421-425), sobressai uma que suscita algumas
dúvidas. Alberti prescreve para a reentrância inferior da coluna o seguinte: “Assinaladas estas
duas linhas, isto é, o diâmetro da reentrância e o filete, traçamos uma linha curva com a parte
convexa voltada para o eixo, e com uma curvatura tão suave e agradável quanto possível,
desde a extremidade do nastro (filete) até à extremidade da reentrância. O início desta
curvatura terá a quarta parte de um pequeno círculo cujo raio seja a altura do filete”.
Na Figura 24 apresentam-se algumas hipóteses para a interpretação desta instrução. Nas
Figuras 24a a 24c testa-se o desenho da reentrância recorrendo ao quarto de circunferência
prescrito, de raio igual à altura do filete. As três hipóteses são descartadas: 24a não respeita as
tangências das linhas adjacentes; 24b, respeitando as tangentes, obriga a completar a linha
com segmentos de recta, o que não se coaduna com a “linha curva” prescrita, além de que não
seria concordante com a altura prescrita para a linha da reentrância; e 24c, além de não
respeitar as tangentes, gera uma aresta viva e construtivamente frágil no topo do filete. Em
24d e 24e é ignorada a instrução referente ao raio do arco de circunferência. Em 24d, o raio é
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dobrado, mas não existe concordância com o resto da coluna acima. Em 24e, reduzimos o raio
de modo a resolver a situação em 24d, o que porém obriga a acrescentar um segmento de
recta, o que à semelhança de 24b se revela desadequado.
Em 24f, que representa a solução escolhida, foi utilizado não um quarto de circunferência, mas
um quarto de elipse, por dois motivos. Sendo a elipse uma geometria relativamente complexa,
e pouco utilizada aquando da escrita do tratado – a elipse começa a ser usada no período
seguinte, o Barroco –, não apresenta grandes dificuldades quando gerada num ambiente de
modelação computacional. Por outro lado, uma das aproximações geométricas à elipse é a
oval, que facilmente se obtém combinando arcos de circunferências concordantes. Além disso,
ao descrever as molduras Alberti (Caps. VII, VIII, XIX, XII e XV, Livro 7) refere-se aos óvulos
presentes nas diferentes configurações do sistema de coluna, o que sugere a aplicação de
linhas ovais para se gerarem estas formas. Assim se justifica o recurso à elipse gerada por
arcos de circunferência concordantes, quer no desenho da reentrância do imoscapo, como
pela mesma ordem de ideias, para o sumoscapo, no topo da coluna.
Prototipagem digital
A modelação computacional do tratado de Alberti permite produzir modelos físicos dos
elementos dos sistemas de colunas através de técnicas de prototipagem digital (Pupo et al.,
2009). No âmbito do projecto Alberti Digital têm vindo a ser estudadas algumas destas
técnicas, no sentido de aferir as suas compatibilidades e potencial na produção de maquetas
que materializem as instruções do tratado.
No caso do elementos dóricos, foram testadas três técnicas. Começou-se por uma tentativa de
prototipagem da base dórica através da fresagem a três eixos, uma técnica subtractiva, que
produziu resultados aquém do satisfatório. No entanto, esta experiência indiciou que a
fresagem axial com um torno poderá ser mais adequada, nomeadamente devido à geometrias
predominantemente cilíndricas dos elementos dos sistemas de colunas. Posteriormente,
testou-se uma técnica aditiva de prototipagem rápida, denominada Fused Deposition Modeling
(FDM), neste caso com a coluna dórica. Através desta técnica produzem-se modelos por
deposição de finas camadas de material fundido, neste caso um material plástico denominado
comercialmente por ABS, obtendo-se modelos tridimensionais de dimensão reduzida – até
trinta centímetros na maior dimensão – , mas resistentes ao choque, e com elevado grau de
pormenorização . O entablamento dórico foi prototipado numa outra técnica aditiva,
denominada de Impressão 3D. Esta técnica de prototipagem rápida é semelhante à FDM,
produzindo modelos ainda mais detalhados, mas também mais frágeis, tendo sido testada com
bastante sucesso na produção de modelos como o capitel coríntio (Castro e Costa et al.,
forthcoming 2011).
A adequabilidade da técnica FDM levou à produção de pequenos exemplares de cada um dos
elementos dos sistemas de colunas, criando-se assim uma colecção de peças que podem ser
combinadas entre si, através de um sistema de encaixe comum a todos os elementos, à
semelhança do sistema LEGO. Esta colecção serve para ilustrar o carácter combinatório que
Alberti imprime aos seus sistemas de colunas, permitindo conjugar as várias bases, fustes,
capitéis e entablamentos. A colecção encontra-se em fase de produção, contando actualmente
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com os seguintes elementos dóricos: a base, o fuste sem caneluras e os dois tipos de capitéis
(Figura ).
Figura 25 - Colecção de elemento produzidos em FDM
De modo a garantir a compatibilidade entre todos os elementos da colecção, são mantidas
constantes as variáveis iniciais, correspondentes ao diâmetro do imoscapo e do sumoscapo, o
que implica que a razão entre Dsumo e Dimo também é constante o que, por sua vez, implica que
as alturas das colunas se devem manter no mesmo intervalo, consoante o capitel que se lhes
aplica (Erro! A origem da referência não foi encontrada.).
Escala Dimo Dsumo Dsumo/ Dimo (
2)
Altura: com capitel... (ver Tabela )
Dórico Jónico Coríntio
Protótipo 1:25 3,75 cm 3,21 cm 6/7, logo Hcoluna:
20-30ft
26,25 cm 33,75 cm 30 cm
Escala real 1:1 0,94 m 0,80 m 6,56 m 8,44 m 7,50 m
3,17 ft (1) 2,71 ft 22,17 ft 28,51 ft 25,34 ft
(1) um pé albertiano corresponde a 29,6 cm (Alberti 2011, nota 1251)
(2) ver
n 1 2 3 4 5 ...
alt. coluna (pés) Hn < 15 15-20 20-30 30-40 40-50 > 50
loc. ref. (linha) 22 24 27 28 30 31
Dsumo/Dimo Kn 5/6 6/7 7/8
(not. fraccional) 11/13 13/15 ...
(not. decimal) 0,833 0,846 0,857 0,867 0,875 ...
Kn - K(n-1) ΔKn --- 0,013 0,011 0,010 0,008 ...
ΔKn - ΔK(n-1) Δ’Kn --- --- 0,02 0,01 0,02 ...
Tabela 4 - Dimensões gerais da colecção FDM
Próximos passos
A continuação desta fase do projecto Alberti Digital aponta para dois objectivos principais. Por
um lado, proceder-se-á ao desenvolvimento dos algoritmos computacionais para todos os
elementos dos sistemas de colunas, bem como a sua integração num programa geral que
permita a combinação dos vários elementos entre si, tendo por finalidade o desenvolvimento
de um interface adequado ao utilizador comum. No final, será feita a aferição da gramática.
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Por outro lado, produzir-se-ão modelos físicos a várias escalas: a escala mais pequena
comporta a colecção completa de elementos dos sistemas de colunas em FDM, referida
anteriormente; a escala média consistirá de modelos mais pormenorizados, dando especial
enfoque às geometrias mais complexas, características por exemplo dos capitéis coríntio e
compósito. À escala maior, estão a ser coordenados esforços para a produção de um ou mais
modelos à escala real, em pedra, o que seria um testemunho dos resultados obtidos com esta
investigação.
Conclusão
Este artigo descreve a metodologia que esta a ser usada na tradução da De re aedificatoria
numa gramática da forma e apresenta parte desta gramática, nomeadamente a
correspondente à interpretação do sistema da coluna dórica. Um dos objectivo deste estudo é
compreender se os edifícios produzidos pelo tratado de Alberti são meramente uma
composição de elementos com diferentes escalas, como as regras de proporções parecem
sugerir, ou se estes evidenciam um sistema mais complexo. No tratado Alberti sugere que é
possível desenvolver combinações de sistemas de colunas; isto significa que o utilizador do
tratado é motivado a usá-las de forma mais complexa do que aquela definida por Vitrúvio no
De architectura. A concinidade de Alberti, ou seja o numerus, a finitio e a collocatio, (Krüger,
2011), pode ser a chave para entender esta questão. A forma como os elementos são descritos
e organizados no tratado sugerem que o sistema da coluna pode ser gerado de forma
combinatória. A gramática desenvolvida, até este momento, é inconclusiva em relação a esta
questão. O estudo dos edifícios construídos e atribuídos a Alberti, a próxima fase da pesquisa,
poderá contribuir para clarificar significativamente este tópico. Outro objectivo deste estudo
prende-se com o uso da gramática para determinar a extensão da influência do trabalho de
Alberti na produção arquitectónica Portuguesa no período da contra reforma, que será a fase
subsequente de pesquisa.
Agradecimentos
Este trabalho é parte do projecto “Digital Alberti” financiado pela Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT), Portugal, (PTDC/ AUR/64384/2006) e tem sede no Centro de Estudos Sociais da Universidade de Coimbra. O projecto é coordenado por Mário Krüger. Filipe Coutinho e Bruno Figueiredo são financiados pela FCT com bolsas de doutoramento SFRH/BD/66029/2009 e SFRH/BD/69910/2010, respectivamente. Agradece-se a colaboração do FabLab da EDP onde formam produzidos alguns dos modelos físicos por prototipagem digital.
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