adaptive observer design based on scaling and neural networks
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Abstract— Some works based on neural networks have been proposed to estimate adaptively the states of uncertain systems. However, they are subject to several conditions such as previous knowledge of upper bounds for the weight and approximation errors, ideal switching, and previous sample data for an off-line learning phase, which difficult their application. In this paper, an adaptive observer for uncertain nonlinear systems in the presence of disturbances is proposed in order to avoid the above mentioned limitations. Based on a neural Luenberger-like observer, scaling and Lyapunov theory, an adaptive scheme is proposed to make ultimately bounded the on-line observer error. Besides, it is shown that the scaling of unknown nonlinearities, previous to the neural approximation, has a positive impact on performance and application of our algorithm, since it allows the residual state error manipulation without any additional linear matrix inequality solution. To validate the theoretical results, the state estimation of the Rössler oscilator system is performed.
Keywords— adaptive observers, uncertain systems, neural networks, Lyapunov methods.
I. INTRODUÇÃO
S OBSERVADORES adaptativos são ferramentas computacionais que possibilitam a estimação simultânea do estado e parâmetros de um sistema dinâmico usando-
se suas entradas e saídas. As suas aplicações principais incluem a detecção de falhas [1]-[3], controle de sistemas dinâmicos [4]-[6] e telecomunicação com segurança [7]-[9]. Desta forma, tornaram-se objeto de ampla pesquisa na última década. Vide, por exemplo, [10]-[15] e suas referências.
O projeto de observadores adaptativos é motivado pelo conhecimento da estrutura do modelo do sistema. Neste sentido, existem pelo menos duas abordagens. Na primeira abordagem é considerado que a estrutura do modelo é conhecida, sendo somente seus parâmetros desconhecidos [16]-[18]. Na segunda, a maior parte da estrutura do modelo do sistema é assumida desconhecida, no entanto, sendo seu vetor de estado associado limitado em norma. Exemplos típicos da segunda abordagem são observadores baseados em redes neurais artificiais [19]-[22] e sistemas nebulosos [23]-[25]. Convém ressaltar que a última abordagem estende a aplicação, pois relaxa a necessidade de se conhecer com precisão o modelo do sistema, o que corresponde, tipicamente, aos casos de aplicação prática.
Por exemplo, em [21]-[22], foram propostos observadores
J. A. R. Vargas, Universidade de Brasília, DF, Brazil, [email protected] K. H. M. Gularte, Universidade de Brasília, DF, Brazil,
[email protected] E. M. Hemerly, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, SP, Brazil,
adaptativos descontínuos baseados em redes neurais linearmente parametrizadas e com funções de ativação definidas, respectivamente, por wavelets e sigmóides. Embora os observadores em [21]-[22] assegurem a existência de um limitante superior para os erros quadráticos médios de observação, é necessária uma fase preliminar de experimentação para a obtenção de uma aproximação dos pesos nominais, que são usados nos algoritmos, fato que dificulta a implementação quando não são disponíveis dados prévios experimentais sobre o sistema.
Objetivando assegurar erros residuais de observação assintoticamente nulos, em [12] e [19] foram propostos observadores adaptativos descontínuos. Em [12] foi considerada uma classe de sistemas mecânicos e proposto um observador que comuta entre um modo neural adaptativo, para valores grandes de erro, e um modo deslizante não adaptativo para erros pequenos. Entretanto, a operação em modo deslizante requer o conhecimento prévio de um limitante superior para os erros de aproximação neural, o que é usualmente desconhecido na prática. De igual forma, em [19] foi assegurada a convergência assintótica do estado estimado para o real usando um observador descontínuo baseado em modo deslizante e estimação de um limitante para os erros de aproximação. Contudo, é importante ressaltar que os observadores em [12], [19] e [21]-[22] apresentam trepidação, devido aos atrasos e imperfeiçoes dos dispositivos de comutação. A trepidação resulta em baixa precisão do controle, elevadas perdas de calor em circuitos elétricos de potência, desgaste elevado de peças móveis mecânicas, excitação de dinâmica não modelada de alta frequência, o que degrada o desempenho do sistema e pode levar o mesmo à instabilidade [26].
Uma forma de se evitar a trepidação é usando uma aproximação contínua da descontinuidade. Neste sentido, em [13] foi proposto um observador contínuo para sistemas não-lineares incertos baseado em redes neurais artificiais que assegura a convergência do erro residual de observação para zero, mesmo na presença de erros de aproximação, distúrbios e parâmetros variantes no tempo. Entretanto, o observador proposto assume que limitantes para o erro de aproximação, distúrbios e pesos nominais são conhecidos antecipadamente.
Convém notar que em [12], [13], [19], [21] e [22] a dependência entre os vários parâmetros de projeto com o desempenho (transiente e erro em regime) do observador não é simples, pois a implementação demanda, entre outras hipóteses, que diversas desigualdades matriciais lineares sejam satisfeitas.
Motivado pelos fatos prévios, neste artigo é proposto um
J. A. R. Vargas, Member, IEEE, K. H. M. Gularte and E. M. Hemerly, Member, IEEE
Adaptive Observer Design Based on Scaling and Neural Networks
O
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 11, NO. 4, JUNE 2013 989
observador adaptativo neural que não apresenta trepidação e possui hipóteses simples e de fácil verificação. Para tanto, objetivando desacoplar a dependência entre o comportamento transiente e erro em regime, foi introduzido um escalonamento das não-linearidades desconhecidas. A relevância do trabalho reside na formalização do fato de que o escalonamento tem um impacto positivo na aplicação do observador, pois pode desacoplar o desempenho transiente do estacionário, e facilita a aplicação, uma vez que fornece um grau de liberdade adicional para o ajuste do erro em regime e contorna a resolução de desigualdades matriciais lineares para ajuste de erro estacionário. Até onde os autores conhecem, não há na literatura uma prova de que o uso de escalonamento de não-linearidades em observação neural conduz a melhorias no desempenho e simplifica a aplicação em problemas práticos.
O trabalho é organizado conforme a seguir. Na Seção 2 são apresentadas as classes de redes neurais consideradas na parametrização de não-linearidades desconhecidas no sistema. Na Seção 3 o problema de observação adaptativa é formulado. Já na Seção 4 o observador proposto, hipóteses e erros associados são apresentados. Na Seção 5 são apresentados os principais resultados do artigo, a prova de estabilidade do observador e importância do escalonamento. Um exemplo de simulação é discutido na Seção 6. Finalmente, na Seção 7, as principais contribuições do trabalho são resumidas.
II. REDES NEURAIS ARTIFICIAIS
As redes neurais artificiais (RNAs) parametrizadas linearmente podem ser expressas matematicamente como
( ) ( )ζπζρ WWnn =, (1)
onde ρLnW
×ℜ∈ , ζζ Lℜ∈ e ρζπ LL ℜℜ : é um vetor de
funções básicas que pode ser considerado como uma função vetorial não-linear, cujos argumentos são pré-processados por uma função escalar ( )⋅s , e ρLn, , ζL são inteiros estritamente
positivos. As funções escalares ( )⋅s usualmente utilizadas
incluem sigmóide, tanh, gaussiana, Hardy’s, inverse Hardy’s multiquadratic [15]. Entretanto, neste artigo considera-se somente a classe de RNAs nas quais ( )⋅s é limitado, uma vez
que neste caso tem-se, ( ) 0πζπ ≤ (2)
sendo 0π uma constante estritamente positiva.
A classe de RNAs consideradas neste trabalho inclui radial basis function neural networks (RBFs), wavelet networks, high order neural nertworks (HONNs) [15], [27]-[28], e também outros aproximadores parametrizáveis linearmente como Takagi-Sugeno fuzzy systems [29]. Os resultados sobre aproximação universal em [15], [27]-[29] indicam que:
Propriedade 1: Para quaisquer constante 00 >ε e função
[ ]Ω∈ Cf existe uma matriz WW =∗ , onde ∗W é uma matriz
“ótima” e ρL é suficientemente grande, tal que,
( ) ( ) 0sup εζπζζ ≤− ∗Ω∈ Wf (3)
onde [ ]ΩC denota o espaço de funções contínuas definidas
em um domínio compacto nℜ⊂Ω , ⋅ denota o valor absoluto
se o argumento é um escalar. Se o argumento é uma função
vetorial em nℜ então ⋅ denota qualquer norma em nℜ .
Propriedade 2: A saída da RNA é contínua com respeito aos seus argumentos e satisfaz a condição de Lipschitz localmente para todo ( )ζ,W finito.
III. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
Considere a classe de sistemas não-lineares representada por
( ) ( )[ ]tuxhuxfBAxx ,,,, θ++= (4) Cxy = (5)
onde Xx ∈ é o vetor de estados de dimensão n, Uu ∈ é um vetor de entradas admissíveis de dimensão m, Yy ∈ é o vetor
de saídas de dimensão q, V∈θ é um vetor de parâmetros (variante no tempo e incerto) de dimensão p,
rUXf ℜ× : , [ ) rVUXh ℜ∞××× ,0: é um vetor de
distúrbios desconhecido, A , B e C são matrizes conhecidas de dimensões apropriadas. Com a finalidade de ter o problema bem colocado, assuma que VUX ,, são conjuntos compactos
e que f e h são Lipschitz localmente com respeito a x em
[ )∞××× ,0VUX , tal que (4) tem uma única solução
passando por ( )0x .
Assume-se o seguinte: Hipótese 1: Na região [ )∞××× ,0VUX
( ) 0,,, htuxh ≤θ (6)
onde ⋅ é a norma Euclideana e 0h é uma constante positiva.
Hipótese 2: Existe uma matriz simétrica positiva definida nnP ×ℜ∈ e uma matriz de ganho qnL ×ℜ∈ tais que
( ) ( ) 0<−=−+− QPLCALCAP T (7) ∗=⋅ CPBTδ (8)
onde 21F
K=−δ , rxrK ℜ∈ é uma matriz diagonal com
elementos diferentes de zero, Q é uma matriz positiva
definida e ∗C está no espaço gerado pelas linhas de C . Comentário 1: A Hipótese 1 impõe um limitante superior sobre a norma dos distúrbios. É usual na literatura. Comentário 2: A Hipótese 2 impõe que o par ( )CA, seja
detectável e a parte linear do sistema dissipativa (strictly positive real [18]). Convém ressaltar que a Hipótese 2 é menos restritiva que aquelas em [12], [13], [19], [21] e [22], onde se impõe que equações de Ricatti sejam satisfeitas.
Objetiva-se projetar um observador adaptativo contínuo para (4), consequentemente isento de trepidação, que não precise de uma fase de aprendizado off-line, limitante superior prévio para os distúrbios ou erros, e que seja de simples aplicação, no que se refere ao ajuste do desempenho transitório e erro em regime.
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IV. OBSERVADOR ADAPTATIVO PROPOSTO
Inicialmente apresentamos o observador proposto e na sequência a equação de erro de observação. Para tanto, observe que o sistema (4) pode ser escrito usando escalonamento como,
( ) ( )[ ]tuxhuxKgBAxx ,,,, θ++= (9)
onde ( ) ( )uxfKuxg ,, 1−= .
Uma vez que o mapeamento ( )uxg , tem estrutura
desconhecida, o mesmo é substituído pela parametrização
neural ( )uxW ,π∗ mais um erro de aproximação ( )ux,ε . Mais
precisamente, (9) é rescrita como
( ) ( ) ( )[ ]tuxhuxKuxKWBAxx ,,,,, θεπ +++= ∗ (10)
onde rxLW ℜ∈∗ é uma matriz ideal ou “ótima”, requerida unicamente para fins analíticos, que pode ser definida como
( ) ( )
−=
∈∈Γ∈
∗ uxWuxgW
UuXxW
,ˆ,supminarg:,ˆ
π (11)
sendo W
WW ˆˆˆ α≤=Γ ,
Wα uma constante positiva, W a
estimação de ∗W e ( )ux,ε o erro de aproximação, que pode
ser definido como
( ) ( ) ( )uxWuxgux ,,:, πε ∗−= (12)
Hipótese 3: Na região UX × , o erro de aproximação é limitado, isto é,
( ) 0, εε ≤ux (13)
onde 00 ≥ε .
Comentário 3: O modelo (4) e a parametrização (10) são motivados para ressaltar, principalmente, que o observador proposto é também válido no caso de alterações intempestivas na dinâmica que podem ser consequência de falhas, desgaste dos equipamentos ou mudanças nas condições de operação. Caso não existam estas condições, o distúrbio dependerá exclusivamente de t.
A estrutura (10) sugere um observador tipo Luenberger da forma
( ) yLuxWBKxAx ~,ˆˆˆˆ −+= π (14)
onde x é o estado estimado, , yxCy −= ˆ~ é o erro de
estimação da saída. Comentário 4: Note em (14) que a matriz de escalonamento K proporciona um grau adicional de liberdade para o ajuste do transiente de x . Na Seção V será provado que a matriz K está relacionada diretamente com o erro residual de observação. Comentário 5: Objetivando-se estabelecer uma relação entre os pesos estimados e o erro de observação, a lei de
aprendizado será definida como ( )xCuxW ~,,ˆˆ ∗= ρ,
onde xxx −= ˆ~ é o erro de observação. Embora o erro de estado não esteja disponível para medições, a realimentação
x~C∗ pode ser determinada, conforme mostrado a seguir, em função de y~ , que está disponível.
Comentário 6: Note que existe uma matriz T tal que
TCC =∗ , pois ∗C é construído a partir de C. Logo, +∗= CCT , sendo +C a pseudo-inversa ([30]) de C , pois esta
matriz satisfaz a equação TCC =∗ , e consequentemente
y~Tx~TCx~C ==∗ ([13], [19]).
Com base em (10) e (14), obtém-se a equação do erro de observação
( )( ) ( )[ ]tuxhuxKBKWWKB
xLCAx
,,,,~ˆ~
~~
θεππ −−++−=
∗
(15)
onde ( )ux,ˆˆ ππ = e ( ) ( )uxux ,,ˆ~ πππ −= .
V. LEI DE APRENDIZADO E ANÁLISE DE ESTABILIDADE
Nesta seção é apresentada a lei de adaptação para a matriz
de pesos W e estabelecidas as propriedades de estabilidade e convergência do observador proposto.
O seguinte fato é necessário para a análise de estabilidade.
Fato 1: Seja LrWW ×ℜ∈~,0 . Então, usando a definição
∗−= WWW ˆ~, tem-se
( )[ ]( ) ( ) 2
0
2
0
2
0
ˆ
~ˆ~2
FF
F
T
WWWW
WWWWtr
−−−+
=−∗
(16)
Na sequência é apresentado o teorema principal do artigo.
Teorema 5.1: Considere a classe de sistemas representados por (4)-(5), sujeito às hipóteses 1-3, e a lei de aprendizado
( )],ˆ~2~)ˆ([ˆ00 uxxCxCWWW T
W πγγ ∗∗ +−−= (17)
onde 0,0 0 >> γγ W e 0W é uma matriz constante.
Então, os erros Wx~
,~ são uniformemente limitados e o erro
residual de observação pertence ao conjunto Ω = x~ | || x~ || ≤ α , sendo
( ) (−+
++=
−
−−∗
22
22
2
0*
01*
20
10
min
FFF
FF
WWKW
KhKQ
C
γα
ελ
α
π
(18)
e ( ) ( ) ( )( )tutxtxt ,,ˆ~sup 0 παπ ≥= .
Prova: Considere a candidata a função de Lyapunov
( ) 2~~~~ 11 WWtrxPxV W
TT −− += γ (19)
Derivando-se (19) em relação ao tempo e usando-se (15) e (17), obtém-se
( ) ( )[ ]
( )[ ] ( )TTT
TT
TT
TT
xCKWtrWWWtrxCPBhxPBKx
PBKWxWPBKxxLCAPPLCAxV
πγε
ππ
ˆ~~2ˆ~~
~2~2
~~2ˆ~~2
~~
00∗∗
∗
−−−−−
++−+−−=
(20)
RUIZ VARGAS et al.: ADAPTIVE OBSERVER DESIGN 991
Usando-se (7), (8) e a igualdade ( )=∗ TTT xCKWtr π~~
π~~ WPBKx T em (20), resulta
)]ˆ(~
[||~||
~2~2
~~2~~
00 WWWtrxCKhCxKCx
KWCxxQxV
T
TTTT
TTT
−−−−
−+−=
∗
∗∗
∗∗
γδεδ
πδ
(21)
Adicionalmente, empregando-se (2), (13) e o fato 1, o lado direito de (21) pode ser limitado superiormente como
2)ˆ~(~
~.2~.2
~2~.~)(
2
0*2
0
2
0
min
FFF
F
FF
F
WWWWWxC
xChxCK
xCWKxCxC
QV
−−−+−
++
+−≤
∗
∗∗
∗∗∗∗
γ
δεδ
δαλπ
(22)
Ordenado termos e considerando que 0εε < e 0hh < ,
(22) implica
−−−−
−−≤
∗
∗∗∗
2.2.2
2~)(.~
2
0000
min
FF
FFF
WWhK
WKCxQxCV
γδδε
δαλ π
(23)
Com base em (23), conclui-se que 0<V sempre que
α>x~ , com α definido em (18), donde usando o método
direto de Lyapunov [31] x~ e, usando-se (17), W~ são
uniformemente limitados. Para mostrar que x~ converge ao conjunto residual Ω, note que o fato de ser Ω limitado implica que unicamente poderá ocorrer 0≥V para x~ finito e dentro
da região Ω, pois em ΩC temos 0<V e V tem que diminuir
até α=x~ , implicando que o erro residual de observação
converge para a região Ω.
Comentário 7: Com base em (18) pode ser concluído que o erro residual de observação pode ser ajustado através da matriz de escalonamento K, pois a mesma atenua os erros de aproximação e distúrbios. Isto constitui um resultado importante, pois facilita o ajuste arbitrário do erro em regime sem a necessidade de resolver qualquer desigualdade matricial linear adicional, uma vez que o último termo dentro do parêntesis do lado direito de (18) pode ser ajustado via 0γ ou
0W .
Comentário 8: É importante ressaltar que a escolha de valores diferentes de δ , e consequentemente de K, não implicam um novo cálculo das matrizes P e L em (7)-(8) para manter a
alocação desejada dos autovalores de Q, pois a matriz ∗C é escolhida livremente com base em C. Comentário 9: O observador proposto pode ser modificado para considerar a adaptação do parâmetro ( )tθ em (9). Neste
caso seria necessário proceder similarmente a [13]: definir
equação de erro que considere também ( ) ( )tt θθ −ˆ , onde ( )tθ é
uma estimação de ( )tθ e pode ser definida com base no
método direto de Lyapunov.
VI. SIMULAÇÕES
Objetivando-se mostrar a aplicação do observador proposto, considere o oscilador de Rössler [7]
( )321 xxx +−= (24a)
212 axxx += (24b)
( ) ( )txdcxxbx ,133 +−+= (24c)
Cxy = (25)
onde ,398.0=a ,2=b ,4=c
= 100
001C e ( )txd , é um
distúrbio que aparece a partir de t=20 definido como
( ) ( ) ( )[ ]ttxxxtxd 4cos2sin8, 23
221 ++++= (26)
Note que o sistema (24)-(25) está na forma (4)-(5) onde
−
−−=
caA00
01110
e
=
100
B . Também, o sistema satisfaz as
hipóteses 1 e 3, pois os estados são limitados. Para satisfazer a hipótese 2 de início calcula-se
=+
100001
C , escolhe-se [ ]201=∗C e computa-se
[ ]21== +∗CCT . Na sequência são encontrados valores de
L e P que satisfazem (7) e (8) e que alocam os autovalores de
Q em 34.6631, 3.7465 e 0.3984: ,32
1.01.13.18.2
−−−
=L
=
201021112
P .
As condições iniciais do sistema e observador foram,
( ) [ ] ,2120 Tx = ( ) 00ˆ =x . Os outros parâmetros usados na
implementação de (14) e (17) foram 1=Wγ , 20 =γ ,
[ ]1010010 =W ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Txsxsxsxsxsxs 32
22
12
321 ˆˆˆˆˆˆ=π e ( ) ( )[ ]⋅−+=⋅ 5.0exp15s .
Nas Figs. 1-3 são apresentados os desempenhos obtidos na estimação dos estados do sistema (24)-(25), na presença do distúrbio (26) e para K=3. Observe que a estimação do estado
2x que não está disponível para medida é satisfatória.
( )tx1
( )tx1ˆ
992 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 11, NO. 4, JUNE 2013
Figura 1. Estado ( )tx1 e sua estimativa ( )tx1ˆ .
Figura 2. Estado ( )tx2 e sua estimativa ( )tx2ˆ .
Figura 3. Estado ( )tx3 e sua estimativa ( )tx3ˆ .
Nas Figs. 4-6 é mostrada a influência do escalonamento das não-linearidades desconhecidas sobre o erro em regime.
Nas simulações, Figs. 4-6, pode ser observado, conforme antecipado teoricamente, que o aumento de K corresponde a uma diminuição do erro em regime. Observe que o escalonamento atenua o distúrbio, conforme previsto por (18). Note também que o transiente inicial é praticamente o mesmo, para diferentes valores de K, o que um resultado importante, pois sugere que o escalonamento permite desacoplar o comportamento transiente do estacionário, o que facilita a aplicação, já que para ajustar o desempenho estacionário não seria necessário refazer o projeto da matriz Q (que implica a resolução de desigualdades matriciais lineares), com um impacto positivo sobre a carga computacional e consequentemente sobre a aplicação em tempo real.
Figura 4. Norma do erro de estado para K=3.
Figura 5. Norma do erro de estado para K=20.
Figura 6. Norma do erro de estado para K=80.
VII. CONCLUSÕES
Neste artigo foi proposto um observador adaptativo neural contínuo baseado na teoria de estabilidade de Lyapunov e escalonamento para uma classe de sistemas não-lineares incertos. Empregando-se o método direto de Lyapunov foi provado que os erros de estimação são limitados e o erro de observação converge para um conjunto residual em torno de zero, cujo tamanho está relacionado diretamente com uma matriz de escalonamento K. As principais particularidades do observador são: 1) não apresenta trepidação, 2) não requer uma fase off-line prévia, 3) permite o ajuste do transitório e erro estacionário em forma independente, e 4) não precisa da
( )tx3
( )tx3ˆ
( )tx2
( )tx2ˆ
( )tx~
( )tx~
( )tx~
RUIZ VARGAS et al.: ADAPTIVE OBSERVER DESIGN 993
resolução de desigualdades matriciais lineares para ajuste do erro de observação residual. Para verificar a aplicabilidade e desempenho do observador proposto foi considerada a estimação dos estados de um oscilador de Rössler.
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José A. R. Vargas is Professor of Control Systems in the Electrical Engineering Department, University of Brasília, DF-Brazil. He received the Dr.Sc. degree in electronics and computer engineering from Instituto Tecnológico de Aeronáutica, in 2003. His current research interests include on-line identification, state estimation and adaptive control.
Kevin H. M. Gularte received the Engineering degree in mechatronics engineering from University of Brasília, DF-Brazil, in 2013. His current research interests include on-line identification and state estimation using neural networks.
Elder M. Hemerly is Professor of Control Systems in the Electronics Division, Technological Institute of Aeronautics, SP-Brazil. He received the Ph.D. degree in electrical engineering from Imperial College, London, in 1989. His current research interests include robotics, system identification and adaptive control.
994 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 11, NO. 4, JUNE 2013