ศึกษาผลบวกเพลล์และผลบวกเพลล์...

ศกษาผลบวกเพลล และผลบวกเพลลเกยวเนอง โดยใชเมทรกซเพลล และเมทรกซเพลลเกยวเนอง

อภวฒน ค าภระ

วทยานพนธนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรวทยาศาสตรมหาบณฑต

สาขาวชาคณตศาสตรศกษา คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยบรพา

มถนายน 2558 ลขสทธเปนของมหาวทยาลยบรพา

กตตกรรมประกาศ

วทยานพนธฉบบนส าเรจลงไดดวยความกรณาจาก ดร.รกพร ดอกจนทร อาจารยทปรกษาหลก ผศ.ดร.อภสทธ ภคพงศพนธ อาจารยทปรกษารวม ทกรณาใหค าปรกษาแนะน าแนวทางทถกตอง ตลอดจนแกไขขอบกพรองตาง ๆ ดวยความละเอยดถถวนและเอาใจใสดวยดเสมอมา ผวจยรสกซาบซงเปนอยางยง จงขอกราบขอบพระคณเปนอยางสงไว ณ โอกาสน ขอขอบพระคณ ผชวยศาสตราจารย ดร.อารรกษ ชยวร อาจารยประจ าภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยบรพา และผชวยศาสตราจารย ดร. ชยณรงค ขนผนก ทกรณาใหความร ใหค าปรกษา ตรวจแกไข และวจารณผลงาน ท าใหงานวจยมความสมบรณยงขน ขอขอบพระคณ ผทรงคณวฒทกทานทใหความอนเคราะหในการตรวจสอบ รวมทงใหค าแนะน าแกไขงานวจยใหมคณภาพ ท าใหวทยานพนธฉบบนส าเรจไดดวยด ขอกราบขอบพระคณ บดา มารดา และพ ๆ ทกคนทใหก าลงใจ และสนบสนนผวจยเสมอมา คณคาและประโยชนของวทยานพนธฉบบน ผวจยขอมอบเปนกตญญกตเวทตาแด บพการ บรพาจารย และผมพระคณทกทานทงในอดตและปจจบน ทท าใหขาพเจาเปนผมการศกษา และประสบความส าเรจมาจนตราบเทาทกวนน

อภวฒน ค าภระ

55990015: สาขาวชา: คณตศาสตรศกษา; วท.ม. (คณตศาสตรศกษา) ค าส าคญ: ล าดบเพลล/ ล าดบเพลลเกยวเนอง/ เมทรกซเพลล/ เมทรกซเพลลเกยวเนอง อภวฒน ค าภระ : ศกษาผลบวกเพลลและผลบวกเพลลเกยวเนอง โดยใชเมทรกซเพลล และเมทรกซเพลลเกยวเนอง (PELL AND ASSOCIATED PELL SUMS BY USING

PELL MATRIX AND ASSOCIATED MATRIX) คณะกรรมการควบคมวทยานพนธ: รกพร ดอกจนทร, Ph.D., อภสทธ ภคพงศพนธ, Ph.D. 44 หนา. ป พ.ศ. 2558. การวจยนจะกลาวถงการหาผลบวกจ ากดของล าดบเพลลและเพลลเกยวเนองโดยใช

เมทรกซเพลล 2 1Q

1 0

และเมทรกซเพลลเกยวเนอง 1 2S

1 1

ซงเปนเมทรกซคาราก

สมการเมทรกซ 2

2X 2X I 0 ซงในบทความนไดผลบวกจ ากดของล าดบเพลล คอ

mn

k mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

P 1 (P P )P

1 ( 1) 2

P

q

และผลบวกจ ากดของล าดบเพลลเกยวเนอง คอ

m

nk mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

q 1 (q q )q

1 ( 1) 2

q

q

เมอ n และ m, k โดยท m 0

55990015: MAJOR: MATHEMATICS EDUCATION; M.Sc.

(MATHEMATICS EDUCATION) KEYWORDS: PELL SEQUENCE/ ASSOCIATED PELL SEQUENCE/

PELL MATRIX/ ASSOCIATED PELL MATRIX

ABHIWAT KAMBHEERA: PELL AND ASSOCIATED PELL SUMS BY

USING PELL MATRIX AND ASSOCIATED MATRIX. ADVISORY

COMMITTEE: RAKPORN DOKCHAN, Ph.D., APISIT PAKAPONGPUN, Ph.D.

44 P. 2015.

These research discusses Pell and Associated Pell sums via the Pell matrix

2 1Q

1 0

and the associated Pell matrix 1 2

S1 1

. These matrices are the

solutions of 2

2X 2X I 0 . In the conclusion the finite sum of Pell sequence and

associated Pell sequence are

mn

k mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

P 1 (P P )P

1 ( 1) 2

P

q

and

m

nk mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

q 1 (q q )q

1 ( 1) 2

q

q

respectively, when n ,m,k and

m 0 .

สารบญ หนา บทคดยอภาษาไทย……………………………………………...…………………………… ข

บทคดยอภาษาองกฤษ…………………………………..…………………………………… ค

สารบญ………………………………………………………………………………………. ง

สารบญตาราง………………………………………………………………………………... ฉ

บทท 1 บทน า……………………………………...…………………………………………… 1 บทน า 1 ความเปนมา และความส าคญของการวจย…………...……………...…………... 1 วตถประสงคของงานวจย…………………………..……….……….…….…..… 1

ประโยชนทคาดวาจะไดรบจากการวจย................................................................ 1

ขอบเขตของการวจย……………………………………….……………………. 1

นยามศพทเฉพาะ……………...…………………………………………………. 2 2 เอการและงานวจยทเกยวของ ….………………………..………….…….…………… 3 ล าดบของจ านวนจรง………………….……….………………………………... 3

ล าดบเพลลและล าดบเพลลเกยวเนอง…………………………...……………….. 3

ตวก าหนด……………………………………………………………….............. 5

เมทรกซคลาย…………………………………………………...…...................... 6

คาลกษณะเฉพาะและเวกเตอรลกษณะเฉพาะของเมทรกซ.……………………... 6

3 วธด าเนนการ.................................................................................................................. 7 เมทรกซ Q และเมทรกซ S ................................................................................. 7 สมการเมทรกซเพลล………………………...…………………………………... 12

คารากสมการเมทรกซเพลล................................................................................... 14

4 ผลการวจย....................................................................................................................... 18

ผลบวกจ ากดของล าดบเพลลและเพลลเกยวเนอง.................................................. 18

จ

สารบญ (ตอ) บทท หนา 5 สรปและอภปรายผล....................................................................................................... 22 สรปการหาผลบวกจ ากดของล าดบเพลล และเพลลเกยวเนองโดยการใชเมทรกซ................................................................. 22 อภปรายผลการหาผลบวกจ ากดของล าดบเพลล และเพลลเกยวเนองโดยการใชเมทรกซ................................................................. 24 ขอเสนอแนะ................................ ......................................................................... 24 บรรณานกรม........................................................................................................................... 25 ภาคผนวก................................................................................................................................. 26 ภาคผนวก ก...................................................................................................................... 27 ภาคผนวก ข...................................................................................................................... 36 ประวตยอของผวจย.................................................................................................................. 44

สารบญตาราง

ตารางท หนา 2.2.1 แสดงล าดบเพลล………………………………………………………………...….. 3 2.2.2 แสดงล าดบเพลลพจนท n ...................................................................................... 4 2.2.3 แสดงล าดบเพลลเกยวเนอง ........................................................................................ 4 2.2.4 แสดงล าดบเพลลเกยวเนองพจนท –n ........................................................................ 4

บทท 1 บทน า

1.1 ความเปนมาและความส าคญของการวจย การศกษาผลบวกเพลล และผลบวกเพลลเกยวเนอง โดยใชเมทรกซเพลล และเมทรกซเพลลเกยวเนอง (Pell and Associated Pell Sums by using Pell Matrix and Associated

Matrix) ไดรบแรงบลดาลใจจากบทความทางคณตศาสตร เรอง Fibonacci and Lucas Sums by

Matrix Methods (Bahar, 2010, pp. 99-107) ซงการศกษาผลบวกเพลล และผลบวกเพลลเกยวเนองน ผวจยมแนวคดทจะใชความรพนฐานเกยวกบการสรางเมทรกซ Q และเมทรกซ S ขนมาเพอเปนพนฐานแสดงความสมพนธของล าดบเพลล และล าดบเพลลเกยวเนองในรปเมทรกซ อกทงยงใชส าหรบการพสจนผลบวกเพลล และผลบวกเพลลเกยวเนอง โดยการใชเมทรกซ เพออธบายผลบวกจ ากดเพลล และเพลลเกยวเนอง และเพอพฒนาการเรยนการสอนทฤษฎจ านวนพชคณตเชงเสน รวมถงการศกษาตอยอดการศกษาคณตศาสตรในระดบทสงขนของนกศกษา และผสนใจทวไป ดงนน การวจยน จงมความส าคญเปนอยางสงในเชงการวจยทางดานคณตศาสตรในระดบสากล

1.2 วตถประสงคของการวจย ศกษาผลบวกจ ากดของล าดบเพลลและเพลลเกยวเนอง โดยใชเมทรกซเพลล และ เมทรกซเพลลเกยวเนอง

1.3 ประโยชนทคาดวาจะไดรบจากการวจย สามารถแสดงวธการพสจนทฤษฎผลบวกจ ากดล าดบเพลล และเพลลเกยวเนอง โดยใชเมทรกซเพลล และเมทรกซเพลลเกยวเนองได

1.4 ขอบเขตของการวจย

1) ศกษาคารากทนอยทสดของสมการเพลล และสมการเมทรกซเพลล 2) ศกษาการหาผลบวกจ ากดเพลลและเพลลเกยวเนอง โดยการใชเมทรกซเพลล และ เมทรกซเพลลเกยวเนอง

2

1.5 นยามศพทเฉพาะ

1) เมทรกซเพลล หมายถง เมทรกซ 2 1Q

1 0

ทเปนคารากของสมการเมทรกซ

เพลล 2

nX 2X I 0

2) เมทรกซเพลลเกยวเนอง หมายถง เมทรกซ 1 2S

1 1

ทเปนคารากของสมการ

เมทรกซเพลล 2

nX 2X I 0

บทท 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของ

การศกษาวจย เรอง ศกษาผลบวกเพลล และผลบวกเพลลเกยวเนอง โดยใชเมทรกซเพลล และเมทรกซเพลลเกยวเนอง (Pell and Associated Pell Sums by using Pell Matrix and

Associated Matrix) มความจ าเปนอยางยงทตองทราบคณสมบตของล าดบเพลล ล าดบเพลลเกยวเนอง และคณสมบตของเมทรกซ ซงผวจยไดรวบรวมคณสมบตบางประการทเกยวของส าหรบการอธบายความสมพนธเชงเหตผล และการพสจนทฤษฎบทในบทท 3 และผลการศกษาคนควาในบทท 4 ใหมความสมบรณ จงจ าเปนทตองน าความรพนฐานทเกยวของส าหรบอางองมากลาวไว เพอใชประกอบเหตผลการพสจน ดงตอไปน

2.1 ล าดบของจ านวนจรง บทนยาม 2.1.1 ล าดบของจ านวนจรง คอ ฟงกชนซงมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก และเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง บทนยาม 2.1.2 ให f เปนฟงกชนมโดเมนเปน 1,2,3,...,n เมอ n ใด ๆ จะเรยกล าดบนวา “ล าดบจ ากด” แตถา f มโดเมนเปน 1,2,3,... จะเรยกล าดบนวา “ล าดบอนนต”

2.2 ล าดบเพลลและล าดบเพลลเกยวเนอง จ านวนเพลล (Pell numbers) หรอ ล าดบเพลล (Pell sequence) คอ จ านวนตาง ๆ ทอยในล าดบจ านวนเตม ซงนยามได ดงน บทนยาม 2.2.1 ให

0 1 2 3 nP ,P ,P ,P ,...,P ,... เปนล าดบโดย

0P 0 ,

1P 1 และ

n n 1 n 2P 2P P

เมอ n 2 ส าหรบทก n เรยก

nP วาพจนท n ของจ านวนเพลล ซงแสดง

ได ดงน ตาราง 2.2.1 แสดงล าดบเพลล

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

nP 0 1 2 5 12 29 70 169 408 …

4

บทนยาม 2.2.2 ก าหนดให nP คอ พจนท –n ของจ านวนเพลล นยามโดย

n 1

n nP ( 1) P

เมอ n 0 ส าหรบทก n ตาราง 2.2.2 แสดงล าดบเพลลพจนท –n

ส าหรบจ านวนเพลลเกยวเนอง (Associated Pell numbers) หรอ ล าดบเพลลเกยวเนอง (Associated Pell sequence) คอ จ านวนตาง ๆ ทอยในล าดบจ านวนเตม ซงนยามได ดงน บทนยาม 2.2.3 ให

0 1 2 3 nq ,q ,q ,q ,...,q ,... เปนล าดบโดยท 0q 1 ,

1q 1 และ

n n 1 n 2q 2q q เมอ n 2 ส าหรบทก n เรยก n

q วาเปนพจนท n ของจ านวนเพลลเกยวเนองซงแสดงได ดงน

ตาราง 2.2.3 แสดงล าดบเพลลเกยวเนอง

บทนยาม 2.2.4 ก าหนดให

nq คอ พจนท –n ของจ านวนเพลลเกยวเนอง นยามโดย

n

n nq ( 1) q เมอ n 0 ส าหรบทก n ตาราง 2.2.4 แสดงล าดบเพลลเกยวเนองพจนท –n

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

nP 0 1 -2 5 -12 29 -70 169 -408 …

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

nq 1 1 3 7 17 41 99 239 577 …

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

nq 1 -1 3 -7 17 -41 99 -239 577 …

5

จากบทนยาม 2.2.1 จะไดวาจ านวนเพลลในรปเมทรกซใหเมทรกซ n

n 1

P

P

และ n 2

n 1P

P

เปนเมทรกซขนาด 2 1 และ 2 1

1 0

เปนเมทรกซขนาด 2 2 จะเรยกระบบสมการเชงเสน

n n 1

n 1 n 2

1 =

1 0

P P2

P P

วาระบบสมการจ านวนเพลลในรปเมทรกซ จากการเทากนของเมทรกซจะ

ไดวา n n 1 n 2

P 2P P

และ n 1 n 1

P P 0 หรอไดวาสมการเชงเสน n n 1

n 1 n 2

1 =

1 0

P P2

P P

สอดคลองกบรปทวไปของสมการ n n 1 n 2

P 2P P

เมอ n 2 ส าหรบทก n นนเอง

2.3 ตวก าหนด

ตวก าหนด หรอ ดเทอรมแนนท (Determinant) ของเมทรกซใด ๆ นน เปนฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของเมทรกซจตรส และมเรนจเปนสบเซตของเซตจ านวนจรง สญลกษณทใชแทนตวก าหนดของเมทรกซ A จะเขยนแทนดวย det A หรอ | A |

ถาก าหนดโดย A เปนเมทรกซมต 2 2 โดยท d

Aa b

c

ตวก าหนดของเมทรกซ

A คอ det A ad – bc

บทนยาม 2.3.1 ให A เปนเมทรกซจตรสทมมต n n จะเรยกเมทรกซ A วาเปนเมทรกซเอกฐาน (Singular Matrix) กตอเมอ det A 0

บทนยาม 2.3.2 ให A เปนเมทรกซจตรสทมมต n n จะเรยกเมทรกซ A วาเปนเมทรกซไมเอกฐาน (Non-singular Matrix) กตอเมอ det A 0

บทนยาม 2.3.3 ส าหรบเมทรกซจตรส A ถามเมทรกซ B ซงท าใหผลคณ AB BA I เราเรยก B วาเปนตวผกผน (Inverse) (หรอเมทรกซผกผน) ของ A และถา A มตวผกผนเราใชสญลกษณ 1A แทนตวผกผนของ A ( 1A อานวา A อนเวอรส) (อ าพล ธรรมเจรญ, 2556, หนา 18) ทฤษฎบท 2.3.1 ให A และ B เปนเมทรกซจตรสอนดบเทากน ถา AB I แลว BA I (อ าพล ธรรมเจรญ, 2556, หนา 18) ทฤษฎบท 2.3.2 ถา A เปนเมทรกซจตรสทมตวผกผน n เปนจ านวนเตมบวก จะไดวา

nA มตวผกผน และ n 1 1 n(A ) (A ) (อ าพล ธรรมเจรญ, 2556, หนา 20)

6

2.4 เมทรกซคลาย บทนยาม 2.4.1 ก าหนดให A และ B เปนเมทรกซขนาด n n จะเรยกเปนเมทรกซ A คลาย (Similar Matrix) กบ เมทรกซ B กตอเมอ มเมทรกซ C ขนาด n n และเปนเมทรกซไมใชเอกฐานทท าให 1B C AC หรอ 1B CAC (ชยณรงค ขนผนก, 2546, หนา 186)

จากบทนยาม 2.4.1 ให B 1C AC น าเมทรกซ C คณทางดานขวาจะได

CB 1CC AC CB 1(CC )AC CB

n(I )AC

CB AC ดงนน จงอาจกลาวไดวาเมทรกซ A และเมทรกซ B เปนเมทรกซกลาย กตอเมอ มเมทรกซ C เปนเมทรกซไมเอกฐาน (Non-singular Matrix) ทท าให CB AC

2.5 คาลกษณะเฉพาะและเวกเตอรลกษณะเฉพาะของเมทรกซ

บทนยาม 2.5.1 ให V เปนปรภมเวกเตอรบนสนาม F และ T เปนตวด าเนนการ เชงเสนบน V ถามสเกลาร c F และเวกเตอร V ทไมเปนเวกเตอรศนยทท าให T( ) c เราเรยก c วา คาลกษณะเฉพาะของ T (characteristic value) และเรยก ทสอดคลองกบสมการ T( ) c วาเวกเตอรลกษณะเฉพาะของ T (characteristic vector) ทสมนยกบ c (อ าพล ธรรมเจรญ, 2556, หนา 271) บทนยาม 2.5.2 ให A เปนเมทรกซขนาด n n และ เปนสเกลาร ทท าให

nA I 0 แลวจะเรยก nA I 0 วาสมการลกษณะเฉพาะ (characteristic equation) ของ

เมทรกซ A และเรยก nA I วา พหนามลกษณะเฉพาะ (characteristic polynomials) ของ

เมทรกซ A (ชยณรงค ขนผนก, 2546, หนา 249) ทฤษฎบท 2.5.1 ให A เปนเมทรกซขนาด n n และ เปนจ านวนจรง จะไดวา ถา เปนคาเฉพาะของเมทรกซ A ค าตอบทเปนผลเฉลยไมชดของระบบสมการ

n(A I ) 0 จะเปนเวกเตอรเฉพาะทสมนยกบ (ชยณรงค ขนผนก, 2546, หนา 250) ทฤษฎบท 2.5.2 ทฤษฎบทของเคยเลย-แฮมลตน (Cayley-Hamilton Theorem) ให V เปนปรภมเวกเตอรมต n และ T เปนตวด าเนนการเชงเสนบน V และ A [T] เปนเมทรกซของ T เทยบกบฐานล าดบมาตรฐาน และ (x) det(xI A) เปนพหนามลกษณะเฉพาะของ A จะได (T) 0 (อ าพล ธรรมเจรญ, 2556, หนา 284)

บทท 3 วธด าเนนการ

การศกษาวจย เรอง ผลบวกเพลล และผลบวกเพลลเกยวเนองโดยใชเมทรกซเพลล และเมทรกซเพลลเกยวเนอง (Pell and Associated Pell Sums by using Pell Matrix and

Associated Matrix) ผวจยจะศกษาคนควาการใชเมทรกซเพลล และเมทรกซเพลลเกยวเนอง ซงตอไปนจะเรยกวาเมทรกซ Q และเมทรกซ S โดยทงสองเมทรกซเปนเมทรกซคารากของสมการเพลล และไดสรางบทตง และบทแทรกทส าคญส าหรบงานวจย ดงตอไปน

3.1 เมทรกซ Q และเมทรกซ S

บทตง 3.1.1 ก าหนดใหเมทรกซ 2 1Q

1 0

แลวคาลกษณะเฉพาะของเมทรกซ Q คอ

1 1 2 และ 2 1 2

พสจน จากก าหนดให Q เปนเมทรกซขนาด 2 2 และ แลว Q I 0 เปนสมการลกษณะเฉพาะของเมทรกซ Q

พจารณา Q I 2 1

1

(2 )( ) 1

2 2 1 โดยบทนยาม 2.5.2 จะได Q I 0 ดงนน 2 2 1 0

จะได 2( 2) ( 2) 4(1)( 1)

2(1)

2 2 2

2(1)

1 2 นนคอ คาลกษณะเฉพาะของเมทรกซ Q คอ

1 1 2 และ 2 1 2

8

จากบทนยาม 2.5.1 ถา Q เปนเมทรกซขนาด n n และ X เปนเมทรกซขนาด n 1 ทไมเปนเมทรกซศนย และให แลว จะเรยกเมทรกซ X วาเปนเวกเตอรลกษณะเฉพาะของเมทรกซ Q กตอเมอ ม ทท าให QX X

พจารณา 0 0(Q D)X (Q I)X เมอ ก าหนดให 0

xX

y

และ 0

0

จะไดวา 0 n 0 n 0 0QX ( I )X (I X ) X

นนคอ 0X เปนเวกเตอรลกษณะเฉพาะของเมทรกซ Q และ เปนคาลกษณะเฉพาะ

ของเมทรกซ Q ตอไปจะเปนการแสดงการหาเวกเตอรลกษณะเฉพาะทสมนยกบคาลกษณะเฉพาะสองคาขางตนในรปเมทรกซขนาด 2 1 ซงจะเรยกเวกเตอรลกษณะเฉพาะทเปนเมทรกซดงกลาววา เมทรกซเฉพาะ ดงทฤษฎบท ตอไปน

บทตง 3.1.2 ก าหนดใหเมทรกซ 2 1Q

1 0

แลว เวกเตอรลกษณะเฉพาะทสมนยกบ

กบ 1 1 2 คอ 1

1 2X

1

และเวกเตอรลกษณะเฉพาะทสมนยกบกบ 2 1 2 คอ

2

1 2X

1

พสจน จาก i(Q I)X

นนคอ i 2 i 2 i iQX ( I )X (I X ) X

และจากก าหนดให 2 1Q

1 0

, i

xX

y

และ 2

1 0I

0 1

โดยนยาม 2.5.1 จะไดวา

2 i(Q I )X

2 1 1 0 x

1 0 0 1 y

0

0

แทนคา 1 1 2

จะได 2 (1 2) 1 x

y1 (1 2)

0

0

เขยนเมทรกซแตงเตมของระบบสมการ และด าเนนการตามแถวมลฐานเพอหาผลเฉลย ได

1 2 1 0

1 1 2 0

2 1

1R R

1 21 2 1 0

0 0 0

เขยนระบบสมการเมทรกซแตงเตมx 0(1 2) 1

y 00 0

9

จะได (1 2)x y 0

ให y จะได

yx 1 2 y

1 2

นนคอ ผลเฉลยคอ y 1 2 , y y 1 2 ,1 จงไดวา เวกเตอรลกษณะเฉพาะทสมนยกบ

1 2 คอ 1 2X y

1

เมอ y ทไมใชศนย

หรอ 1X yX เมอ 1

1 2X

1


จะได 2 (1 2) 1 x

y1 (1 2)

0

0


1 2 1 0

1 1 2 0

2 1

1R R

1 21 2 1 0

0 0 0

เขยนระบบสมการเมทรกซแตงเตม x 01 2 1

y 00 0

จะได (1 2)x y 0 ให y จะได x 1 2 y

นนคอ ผลเฉลยคอ y 1 2 , y y 1 2 ,1 จงไดวา เวกเตอรลกษณะเฉพาะทสมนยกบ

1 2 คอ 1 2X y

1



1 2X

1

ดงนน เวกเตอรลกษณะเฉพาะ 1

1 2X

1

จะสมนยกบคาลกษณะเฉพาะ 1 1 2

และเวกเตอรลกษณะเฉพาะ 2

1 2X

1


10

จากบทตง 3.1.2 แสดงใหเหนวามเวกเตอรลกษณะเฉพาะ 1

1 2X

1

จะสมนยกบ

คาลกษณะเฉพาะ 1 1 2 และเวกเตอรลกษณะเฉพาะ 2

1 2X

1

จะสมนยกบคา

ลกษณะเฉพาะ 2 1 2 ซงโดยบทนยาม 2.4.1 ท าใหไดวา 1Q PDP เมอ เมทรกซ 1 2 1 2

P1 1

และ 1 2 0D

0 1 2

ดงนน Q2 1

1 0

บทตง 3.1.3 ใหเมทรกซ 1 2S

1 1

จะไดวา

(1) คาลกษณะเฉพาะของ S คอ 1 1 2 และ

2 1 2

(2) 1

2X

1

เปนเวกเตอรลกษณะเฉพาะทสมนยกบ 1 1 2 และ

2

2X

1

เปนเวกเตอรลกษณะเฉพาะทสมนยกบ 2 1 2

พสจน (1) ให 1 2S

1 1

, 0D

0

,

2

1 0I

0 1

และ D S เปนพหนาม

ลกษณะเฉพาะ

พจารณา D S

0 1 2det

0 1 1

1 2det

1 1

2

1 2

2 2 1 โดยบทตง 3.1.1 จะไดคาลกษณะเฉพาะของ S คอ 1 2 นนคอ คาลกษณะเฉพาะของ S คอ

1 1 2 และ 2 1 2

(2) ก าหนดให 1 2S

1 1

, i

xX ;i 1,2

y

โดยนยาม 2.5.1 จะไดวา เปน

คาลกษณะเฉพาะของเมทรกซ S และ iX เปนเมทรกซเฉพาะของเมทรกซ S ทสมนยกบ

พจารณา 2 i

1 2 1 0 x 0(S I )X

1 1 0 1 y 0

11


จะได 2 2 x

y1 2

0

0


2 2 0

1 2 0

2 1

1R R

22 2 0

0 0 0

เขยนระบบสมการเมทรกซแตงเตมได 2x 2y 0 ให y จะได x 2y นนคอ ผลเฉลยของ y 2 , y y 2,1 จงไดวา เวกเตอรลกษณะเฉพาะทสมนยกบ 1 2

คอ 2X y

1



2X

1


จะได 2 2 x

y1 2

0

0


2 2 0

1 2 0

2 1

1R R

22 2 0

0 0 0

เขยนระบบสมการเมทรกซแตงเตมได 2x 2y 0 ให y จะได x 2y นนคอ ผลเฉลยของ y 2 , y y 2,1 จงไดวา เวกเตอรลกษณะเฉพาะทสมนยกบ

1 2 คอ 2X y

1



2X

1

ดงนน เวกเตอรลกษณะเฉพาะ 1

2X

1

จะสมนยกบคาลกษณะเฉพาะ 1 1 2 และ

เวกเตอรลกษณะเฉพาะ 2

2X

1


12

จากบทตง 3.1.3 แสดงใหเหนวามเวกเตอรลกษณะเฉพาะ 1

2X

1


ลกษณะเฉพาะ 1 1 2 และเวกเตอรลกษณะเฉพาะ 2

2X

1


ลกษณะเฉพาะ 2 1 2 ซงโดยบทนยาม 2.4.1 ท าใหไดวา 1S PDP เมอ 2 2P

1 1

และ 1 2 0D

0 1 2

ดงนน S1 2

1 1

3.2 สมการเมทรกซเพลล

บทนยาม 3.2.1 ให X เปนเมทรกซจตรสใด ๆ เรยกเมทรกซ X วาคารากสมการเมทรกซเพลล กตอเมอ 2

nX 2X I ส าหรบทก n

บทตง 3.2.1 ถา X เปนเมทรกซจตรส และ n

P คอ พจนท n ของจ านวนเพลล แลว n

n n 1 nX P X P I ส าหรบทก n (Bahar, 2010, p. 99) พสจน จะพสจนโดยการใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร ให P n แทนประพจน n

n n 1 nX P X P I ส าหรบทก n i เมอ n =0 จะแสดงวา 0

0 0 1 nX P X P I จาก n nI I n 1 nI P I n 1 nI 0 P I จะไดวา 0

0 0 1 nX P X P I ดงนน P 0 เปนจรง เมอ n 1 เพราะวา 1X X พจารณา

n1 1 1 0 nP IX P X P I X นนคอ 1

1 1 1 nX PX P I ดงนน P 1 เปนจรง ii สมมตให P k เปนจรง จะได n

k

k k 1X P X P I ส าหรบทก k จะแสดงวา P k+1 เปนจรง นนคอ (k 1)

(k 1) k nX P X P I

เปนจรง พจารณา (k 1) kX X X ฉะนน k

k nk 1X X P X I XP

13

2

k k 1 nX P I X P

nk k -1( 2X I ) P X=P

k k n k 1 P 2 PX I XP

k k 1 k n ( 2P )P X P I

1 nk k X IPP ดงนน P k 1 เปนจรง จากขอ i และ ii จะไดวา

n n

n

n 1 X P X P I ส าหรบทก n ตอไปจะแสดงวา P n เปนจรงส าหรบทก n ดงน i เมอ n 1 จาก 2

nX 2X I ดงนน 2

n2 X X I หรอ n nX(X 2I ) I โดย ทฤษฎบท 2.3.1 จงไดวา 1

nX IX 2 เปนเมทรกซผกผนของ X พจารณา 1

nX IX 2 n 1 X 2 I

1 2 nP X P I

1 n1 1X PP I นนคอ 1

1 1 n1XP IX P

ดงนน P 1 เปนจรง ii สมมตให P k เปนจรง จะได

n

k

k k 1X P X IP

ส าหรบทก k จะแสดงวา (k 1)

(k 1) k nX P X P I

เปนจรง พจารณา -(k+1)X k 1X X

k k 1 n nI( P X P ) (X 2I )

2 2

k n k 1 n k 1 nk P 2XI P I X P IP X 2

k n k n k n1 n

2

k 1 P (2 X I ) P XI 2 P 2IP XI

k k n k k 1 n k 1 n P 2X P I P 2X P XI P 2I

k k 1 n1 k( P )X I P 2P

(k+2)+1 (k n2)=P X P I ดงนน P k 1 เปนจรง จากขอ i และ ii จะไดวา n

n n 1 nX P X P I

ส าหรบทก n นนคอ n

n n 1 nX P X P I ส าหรบทก n

14

3.3 คารากสมการเมทรกซเพลล

สมการจ านวนเพลลในรปเมทรกซ k 1

k

2

k1

k1

=1 0

P P2

P P

เทากบ

k 2 k 1 kP 2P P

และ k 1 k 1P P 0 หรอไดวา สมการเชงเสน

k 2 k 1

k 1 k

1

1 0

P P2

P P

สอดคลองกบรปทวไป

ของสมการจ านวนเพลล n 2 n 1 nP 2P P เมอ n 2 ซงสมการดงกลาวนเรยกวา “สมการ

เวยนเกดของล าดบเพลล” (Recursive equation of Pell sequence) และจากบทนยาม 2.2.1 และบทนยาม 2.2.3 ถาจ านวนจรง 1 และ 2 ซง

1 1 2 , 2 1 2 โดยท

nP เปนพจนทวไปของจ านวนเพลล และ nq เปนพจนทวไปของจ านวนเพลลเกยวเนอง จะเหนไดชดเจนวา

1 1 2 และ 2 1 2 เปนคารากสมการ 2x 2x 1 และเปนคารากสมการ n 1 n n 1x 2x x , n ดงนน จงเรยกคาคงท 1 และ 2 วาเปนคารากของสมการเพลล

นนเอง ท านองเดยวกน เมอพจารณาบทตง 3.1.1 ไดวาเมทรกซจตรส X ใด ๆ ซง 2X 2X I และ n

n n 1X P X P I , n จะเรยก เมทรกซจตรส X วาเปนคารากสมการเมทรกซเพลล เชนเดยวกน

บทแทรก 3.3.1 ถา Q0

2 1

1

แลว n+1 n

n n

n

1

P PQ

P P

ส าหรบทก n (Bahar,

2010, p. 100) พสจน เปนจรงโดยบทตง 3.2.1

บทแทรก 3.3.2 ถา 1

S1 2

1

แลว n n

n

n

n

qS

P q

2P

ส าหรบทก n (Bahar,

2010, p. 100) พสจน เปนจรงโดยบทตง 3.2.1

จากบทแทรก 3.3.1 และบทแทรก 3.3.2 จะเหนไดชดวา 2Q 2Q I , n

n n 1Q QP P I

และ 2S 2S I , n

n n 1S SP P I จงเรยกเมทรกซ 2 1Q

01

และ 1

S1 2

1

วาเปนเมทรกซ

คารากสมการเมทรกซเพลล ซงตอไปจะเรยกเมทรกซ Q วาเมทรกซเพลล และเมทรกซ S วา เมทรกซเพลลเกยวเนอง และโดยอาศยเมทรกซคารากดงกลาวนจะสามารถแสดงความสมพนธของจ านวนเพลล และเพลลเกยวเนอง ดงทฤษฎบททจะกลาว ตอไปน

15

บทตง 3.3.1 ให a b

c dA

เปนเมทรกซจตรสใด ๆ และ 1 2S

1 1

เปนเมทรกซ

คารากสมการเมทรกซเพลล ซง 1 K S+S แลว KA 2a 2b

4c 4d

(Bahar, 2010, p. 100)

พสจน ให a b

c dA

เปนเมทรกซจตรสใด ๆ

จาก S เปนเมทรกซคารากสมการเมทรกซเพลล

ซง 1 2S

1 1

จงได 11 2

S1 1

ดงนน K 1 S+S

11 2

1 1

2

1 1

0

0

4

2

ดงนน KA0

d

4

2

a b

0 c

2a 2b

4c 4d

บทตง 3.3.2 ให 1 2S

1 1

และ n n

n

n

n

qS

P q

2P

เปนเมทรกซคารากสมการเมทรกซ

เพลล และ n nP ,q เปนพจนทวไปของล าดบเพลล และล าดบเพลลเกยวเนอง ตามล าดบ

แลว 2 2 n

n nq 2P ( 1) ส าหรบทก n (Bahar, 2010, p. 100)

พสจน เนองจาก 1 2S

1 1

จะไดวา det(S) 1

และ ndet(S )

ndetS

n

1 ดงนน ndet (S )

n1 (1)

โดยบทแทรก 3.3.2 ไดวา nS n n

n n

q

P q

2P

พจารณา ndet S 2 2

n nq 2P ดงนน ndet (S ) 2 2

n nq 2P (2) จากสมการ (1) (2) จงไดวา 2 2 n

n nq 2P ( 1)

16

บทตง 3.3.3 ให 1 2S

1 1

และ n n

n

n

n

qS

P q

2P


เพลล และ n nP ,q เปนพจนทวไปของล าดบเพลล และล าดบเพลลเกยวเนอง ตามล าดบ แลว 1)

n m n m n mq q q 2P P ส าหรบทก n,m

2) n m n m n mP P q q P ส าหรบทก

n,m

(Bahar, 2010, p. 100)

พสจน โดยบทตง 3.1.3 จะไดวา n m n mn m

n m n m

q

P q

2PS

จาก n n

n

n

n

qS

P q

2P

และ m mm

m m

q 2PS

P q

พจารณา n nn m

n n

m m

m m

q q

2P 2PS

q PS

P q

n m n m n m n m

n m n m n m n m

q 2P 2(q P )

P q

q P P q

q P P2 q qP

เนองจาก mn nmS S S

ดงนน n m n m

n m n m

P

P

2q

q

n m n m n m n m

n m n m n m n m

q 2P 2(q P )

P q

q P P q

q P P2 q qP

จากการเทากนของเมทรกซ จงไดวา n m n m n mq qq P2P 1 n m n m n mP2P 2 q(q P ) 2 n m n m n mP qP Pq 3 n m n m n m2Pq P qq 4 จากสมการทง 4 ท าให ไดวา (1) (4) จงสรปวา

n m n m n mq q q 2P P ส าหรบทก

n,m และไดวา (2) (3) จงสรปวา n m n m n mP P q q P ส าหรบทก

n,m

บทตง 3.3.4 ให 1 2S

1 1

และ n n

n

n

n

qS

P q

2P


เพลล และ n nP ,q เปนพจนทวไปของล าดบเพลล และล าดบเพลลเกยวเนอง ตามล าดบ แลว 1) m

n m n m n m( 1) q 2q Pq P ส าหรบทก n,m 2) m

n m n m n m( 1) P q PqP ส าหรบทก n,m (Bahar, 2010, p. 101)

พสจน จาก n n

n

n

n

qS

P q

2P

และ m mm

m m

q 2PS

P q

17

เนองจาก n mS n m 1S (S )

จาก m 1(S ) m mm

m m

(q 2P

P q1)

นนคอ n m 1S (S ) m

m

n m

m

mq 2P

P qS ( 1)

m mn

n m

nm

n m

q q 2P

P q

2P

P1)

q(

m n m n n m n m

n m n m m

m

n m n

q q 2P P 2q P 2P q

P q q P 2P P q q( 1)

เพราะวา (n m)S n m 1S (S )

ดงนน n mS m n m n n m n m

n m n m m n

m

m n

q q 2P P 2(P q q P )

P q q P q q 2( 1)

P P

และโดยบทแทรก 3.3.2 จะไดวา n m n m(n m)

n m n m

q

P q

2PS

จงไดวา n m n m

n m n m

P

P

2q

q

m n m n n m n m

n m n m m n

m

m n

q q 2P P 2(P q q P )

P q q P q q 2( 1)

P P

จากการเทากนของเมทรกซ จงไดวา m

n nm m n m( 1) (q 2P P )q q 1 m

n m n m n m2 q2P ( (P P1) q ) 2 m

n m n m n m( 1) (P qq P )P 3 m

n nm m n m( 1) (q 2P P )q q 4 จากสมการทง 4 ท าให ไดวา 1 4 และ 2 4 โดยน า m( 1) คณตลอดสมการ จงสรปวา 1)

m n m n

m

n m( 1) q 2q Pq P ส าหรบทก n,m

2) m

n m n m n m( 1) P q PqP ส าหรบทก n,m

บทท 4 ผลการวจย

การศกษาผลบวกจ ากดของล าดบเพลลและเพลลเกยวเนอง โดยใชเมทรกซเพลล และ เมทรกซเพลลเกยวเนอง ผวจยไดใชคณสมบตของเมทรกซทเปนคารากของสมการเมทรกซเพลลโดยสรางนยาม และเอกลกษณทส าคญไวในบทท 3 ส าหรบเปนพนฐานแลวนน ในบทนผวจยจะแสดงการพสจนทฤษฎบททจะอธบายความสมพนธของผลบวกจ ากดของล าดบเพลลและเพลลเกยวเนอง โดยใชเมทรกซเพลล และเมทรกซเพลลเกยวเนอง ดงตอไปน

4.1 ผลบวกจ ากดของล าดบเพลลและเพลลเกยวเนอง ทฤษฎบท 4.1.1 ให n และ m, k โดยท m 0 แลว

m

nk mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

q 1 (q q )q

1 ( 1) 2

q

q

และ m

nk mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

P 1 (P P )P

1 ( 1) 2

P

q

พสจน ก าหนดให 1 2S

1 1

, 2

1 0I

0 1

จะแสดงวา m

2t(Id S )e m m

m m

q 2Pde

1 0

P qt

0 1

2 2

m m(1 q ) (2P ) 2 2

m m m1 2q q 2P

โดยบทตง 3.3.2 จะไดวา m

m1 1 2q กรณท m เปนจ านวนค พจารณา m 2r เมอ r จะได

m 2r

m 2r1 1 2q 1 1 2q โดยบทนยาม 2.2.3 และบทนยาม 2.2.4 จะไดวา

2r

2r1 1 2q 0 เพราะ 2rq 1

ส าหรบทกคา r กรณท m เปนจ านวนค พจารณา m 2r 1 เมอ r จะได

m 2r 1

m 2r 11 1 2q 1 1 2q

โดยบทนยาม 2.2.3 และบทนยาม 2.2.4 จะไดวา 2r 11 1 2q 2r 12q 0 เพราะ 2r 1q 0 ส าหรบทกคา r

19

ดงนน ส าหรบ m 0 จะได m

2det(I S ) 0

เพราะวา n

n 1m m m j

2 2

j 0

I S I S (S )

ดงนน n

m 1 m n 1 k mj k

2 2

j 0

(I S ) (I (S ) )S S

n n

mj k mj k

j 0 j 0

n n

mj k mj k

j 0 j 0

q 2 P

P q

ก าหนดให m

md 1 1 2q และโดยบทตง 3.3.1 เรารวาเมทรกซ 0 4K

2 0

จะไดวา m 1

2(I S )m m

m m

1 q 2P1

1 qPd

mm

1 0 0 4P1(1 q

0 1 2 0)

d 2

mm 2

P11 q I K

2d

ดงนน 1

m k mn m k

2I S (S S )

k mn m kmm 2

11 q I K (S )

2dS

P

k (mn m k) k (mn m k)mm

P1 (1 q )(S S ) K(S S

d)

2

โดยบทแทรก 3.3.1 และบทตง 3.3.1 จะไดวา

k (mn m k)K(S S ) k k mn m k mn m k

k k mn m k mn m k

q 2P q 2P0 4

P q P q2 0

k mn m k k mn m k

k mn m k k mn m k

q q 2(P P )0 4

P P q q2 0

k mn m k k mn m k

k mn m k k mn m k

4(P P ) 4(q q )

2(q q ) 4(P P )

พจารณา m 1 k mn m k(I S ) (S S )

k mn m k k mn m kmm

P1 1 q (S S ) K(S S )

2d

20

k mn m k k mn m k

m

k mn m k k mn m k

q Pq

P

q 2 P1 1

P qqd

k mn m k k mn m km

k mn m k k mn m k

4(P P ) 4(q q )P

2(q q ) 4(P P )2

ดงนน n

mj k

j 0

q

mm k mn m k k mn m k

4P11 q (P P )

2q q

d

m k mn m k m k mn m k

11 q 2P (P Pq q

d)

k mn m k m k m kq1

q qd

2q PP m mn m k m mn m k2Pq q P

m

k mn m k k mq ( 11

q qd

) m

mn m k-m( ) q1

โดยบทตง 3.3.4 จงไดผลบวกจ ากดของล าดบเพลลเกยวเนอง เปนดงสมการ

n

mj k

j 0

q

m

k mn m k mn k k m

m

m

q 1 (q q )

1 ( )

q

1 2q

ในท านองเดยวกน จะได

n

mj k

j 0

P


2P11 P P (q )

2dqq

k mn m k m k m k m mn m k m mn m kP ( q1

P q P P ) q P P )d

( q

m m

k mn m k k m mn m k-mP ( 1) P ( 1) P1

Pd

โดยบทตง 3.3.4 จงไดผลบวกจ ากดของล าดบเพลล เปนดงสมการ

n

mj k

j 0

P

m

k mn m k mn k k m

m

m

P 1 (P P )

1 ( )

P

1 2q

ตวอยางท 4.1 ก าหนดให n 4 , m 2 และ k 1 จงแสดงวา

(2)

(2)(4) (2) 1 (2)(4) 1 1 (2)

(2)j 1

41

(2)j (20 )

P 1 (P P )P

1 ( 1) 2q

P

แนวคด จาก (2)j 1

j

4

0

P

(2)(0) 1 (2)(1) 1 (2)(2) 1 (2)(3) 1 (2)(4) 1P P P P P

21

1 5 29 169 1,085

นนคอ (2)j 1

j

4

0

P

1,289 4.1

และ (2)(4) (2) 1 (2)(4) 1 1 (2

(

)

2)

1

(2)

(2)

P 1 (P P )

1

P

1 ( ) 2q

11 9 11P (P P )

1 2( )

P

1 3

5,156

4

นนคอ (2)(4) (2) 1 (2)(4) 1 1 (2

(

)

2)

1

(2)

(2)

P 1 (P P )

1

P

1 ( ) 2q

1,289 4.2

พบวา 4.1 4.2

ดงนน (2)(4) (2) 1 (2)(4)

(2)4

1

(2)

(2

1 1 (2)

(2)j 1

j )0

P 1 (P P )P 1,289

1 ( 1) 2q

P


(2)

(2)(4) (2) 1 (2)(4) 1 1 (2)

(2)j 1

41

(2)j (20 )

q 1 (q q )q

1 ( 1) 2q

q

แนวคด จาก (2)j 1

j

4

0

q

(2)(0) 1 (2)(1) 1 (2)(2) 1 (2)(3) 1 (2)(4) 1q q q q q

1 7 41 239 1,393

นนคอ (2)j 1

j

4

0

q

1,681 4.3

และ (2)(4) (2) 1 (2)(4) 1 1 (2

(

)

2)

1

(2)

(2)

q 1 (q q )

1

q

1 ( ) 2q

2

11 9 1

2

1 q 1 (q q )

1 ( 1) 2(3)

q

6,7 4

4

2

นนคอ (2)(4) (2) 1 (2)(4) 1 1 (2

(

)

2)

1

(2)

(2)

q 1 (q q )

1

q

1 ( ) 2q

1,681 4.4

พบวา 4.3 4.4

ดงนน (2)(4) (2) 1 (2)(4)

(2)4

1

(2)

(2

1 1 (2)

(2)j 1

j )0

q 1 (q q )q 1,681

1 ( 1) 2q

q

บทท 5 สรปและอภปรายผล

การศกษาคนควา เรอง ผลบวกเพลลและเพลลเกยวเนองโดยการใชเมทรกซเพลล และเมทรกซเพลเกยวเนอง (Pell and Associated Pell Sums by using Pell Matrix and

Associated Matrix) ซงผวจยไดผลการศกษาผลบวกจ ากดของล าดบเพลลและเพลลเกยวเนอง โดยใชเมทรกซเพลล และเมทรกซเพลลเกยวเนองจะสรป และอภปรายผลการศกษาทคนพบในงานวจย ดงตอไปน

5.1 สรปการหาผลบวกจ ากดของล าดบเพลลและเพลลเกยวเนองโดยการใชเมทรกซ ก าหนดให n และ m, k โดยท m 0 จะพบวาผลบวกจ ากดของล าดบเพลลและเพลลเกยวเนอง เปนดงน

1) ผลบวกจ ากดของล าดบเพลล คอ

mn

k mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

P 1 (P P )P

1 ( 1) 2

P

q


( 3)

( 3)(3) ( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 33

1

( 3)

( 3

)

(-3)j 1

j 0 )

P 1 (P P )P

1 1 2q

P

( )

แนวคด จาก (-3)j 1

j 0

3

P

(-3)(0) 1 (-3)(1) 1 (-3)(2) 1 (-3)(3) 1P P P P

21 85P P P P 1 ( 2) 29 ( 408)

นนคอ (-3)j 1

j 0

3

P

380 5.1

และ ( 3)(3) ( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 3

( 3)

1

( 3)

( )

)

3

P 1 (P P )

1 ( 1) 2q

P

11 8 41P 1 (PP P )

1 ( 1) 2( 7)

[( 408) 12]

14

1 5741

5320

14

23

นนคอ ( 3)(3) ( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 3

( 3)

1

( 3)

( )

)

3

P 1 (P P )

1 ( 1) 2q

P

380 5.2

พบวา 5.1 5.2

ดงนน ( 3)(3)

( 3)3

1

( 3)

(

( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 3)

(-3)j

j 3)

1

0

P 1 (P P )P 380

1 (

P

1) 2q

2) ผลบวกจ ากดของล าดบเพลลเกยวเนอง คอ

mn

k mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

q 1 (q q )q

1 ( 1) 2

q

q


( 3)

( 3)(3) ( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 33

1

( 3)

( 3

)

(-3)j 1

j 0 )

q 1 (q q )q

1 1 2q

q

( )


j 0

3

q

(-3)(0) 1 (-3)(1) 1 (-3)(2) 1 (-3)(3) 1q q q q

21 85q q q q 1 3 ( 41) 577


j 0

3

q

540 5.3

และ ( 3)(3) ( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 3

( 3)

1

( 3)

( )

)

3

q 1 (q q )

1 ( 1) 2q

q

11 8 41q 1 (qq q )

1 ( 1) 2( 7)

( 8119) (571 7 17)

14

4

7560

1

นนคอ ( 3)(3) ( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 3

( 3)

1

( 3)

( )

)

3

q 1 (q q )

1 ( 1) 2q

q

540 5.4

พบวา 5.3 5.4

ดงนน ( 3)(3)

( 3)3

1

( 3)

(

( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 3)

(-3)j

j 3)

1

0

q 1 (q q )q 540

1 ( 1) 2q

q

24

5.2 อภปรายผลการหาผลบวกจ ากดของล าดบเพลลและเพลลเกยวเนอง โดยการใช เมทรกซ จากการศกษาคนควาพบวา สมการเพลล 2x 2x 1 0 มจ านวนจรง 1 1 2 และ 2 1 2 เปนคาราก และจากการขยายแนวคดโดยใชเมทรกซเพลล คอ เมทรกซ

2 1Q

1 0

และเมทรกซเพลลเกยวเนอง คอ เมทรกซ 1 2S

1 1

ท าใหไดคาลกษณะเฉพาะ

ของเมทรกซ Q และเมทรกซ S คอ 1 1 2 และ

2 1 2 ดวยเหตนเองท าใหผวจยพบวามเวกเตอรลกษณะเฉพาะทสมนยกบคาลกษณะเฉพาะดงกลาว จากนนผวจยไดใชคณสมบตของ เมทรกซคลายจงท าใหไดเมทรกซ Q และเมทรกซ S ซงเปนเมทรกซคารากสมการเมทรกซเพลล

2

2X 2X I 0 โดยอาศยทฤษฎบทเคยเลย - แฮมลตน จะไดวาเมทรกซ Q และเมทรกซ S เปนตวด าเนนการเชงเสนบนสมการเมทรกซเพลล 2

2X 2X I 0 ซง ถา m

2det(I S ) 0 ท าใหได m 1 m n 1 k

2 2(I S ) (I (S ) )S n

mj k

j 0

S

และโดยอาศยเอกลกษณของสมการเมทรกซเพลลท าให

ไดผลบวกจ ากดของล าดบเพลล m

nk mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

P 1 (P P )P

1 ( 1) 2

P

q

และผลบวกจ ากด

ของล าดบเพลลเกยวเนอง m

nk mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

q 1 (q q )q

1 ( 1) 2

q

q

ในทสด

5.3 ขอเสนอแนะ ควรมการศกษาความสมพนธในประเดนอน ๆ ดงน

1) ศกษาผลบวกจ ากดของลบดบเพลล และเพลลลกสโดยการใชเมทรกซ 2) ศกษาเอกลกษณของล าดบเพลล และเพลลลกส 3) ศกษาผลบวกของจ านวนอน ๆ ทมลกษณะการเวยนเกดเชนเดยวกบล าดบเพลล

บรรณานกรม ชยณรงค ขนผนก. (2546). พชคณตเชงเสน. เพชรบรณ : เพชรบรณกอบปเซนเตอร.

ชยณรงค ขนผนก. (2557). ทฤษฎจ ำนวน. เพชรบรณ : เพชรบรณกอบปเซนเตอร.

อ ำพล ธรรมเจรญ. (2556). พชคณตเชงเสนและกำรประยกต. กรงเทพฯ : พทกษกำรพมพ.

Bahar Demirtürk. (2010). Fibonacci and Lucas Sums by Matrix Methods. International

Mathematical Forum, 5, (3), 99 – 107.

Joseph Ercolano. (1979). Matrix Generators of Pell Sequences. Fibonacci Quart,

17, (1), 71-77.

Philip Nowell. (2005). nth-term-of-fibonacci-sequence. Retrieved from

http://mathproofs.blogspot.com.

https://plus.google.com/110473423174133484946

ภาคผนวก

ภาคผนวก ก เมทรกซเพลล และเมทรกซเพลลเกยวเนอง

28

เมทรกซเพลล และเมทรกซเพลลเกยวเนอง

บทตง 1 ถา X เปนเมทรกซจตรส และ 2

nX 2X I แลว n

n n 1 nX P X P I ส ำหรบทกคา n บทตง 2 ถา Q

0

2 1

1

แลว n+1 n

n n

n

1

P PQ

P P

ส าหรบทกคา n

พสจน ให 2 1Q

1 0

จะแสดงวา n+1 n

n n

n

1

P PQ

P P


จาก 2Q 2 21 1

1 0 1 0

1

5 2

2

และ 2 0 5 22Q I 2

0

1 1

1 1 20 1

นนคอ 2Q 2Q I+

โดยบทตง 1 จะได nQ n n 1

1 1 0P

1

2

0 0 1P

n n n 1

n n 1

P P

P P

2P 0

0 0

n 1 n

n n 1

P P

P P

ดงนน nQn+1 n

n n 1

P P

P P


ตวอยางท 1 ก าหนดให n 3 และ0

2Q

1

1

จงแสดงวา 33

3

4

2

P PQ

P P

และ 2 33

43

P PQ

P P

วธท า จากตาราง 2.2.1 แสดงล าดบเพลล

1. จะแสดงวา 33

3

4

2

P PQ

P P

โดยบทตง 2 ไดวา n+1 n

n n

n

1

P PQ

P P


จะได 3 1 33

3 3 1

P PQ

P P

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …

nP 0 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378 …

29

4 3

3 2

P P

P P

12 5

5 2

1 1 1

1 0 1 0 1 0

2 2 2

3Q จากตาราง 2.2.2 แสดงล าดบเพลลพจนท –n

2. จะแสดงวา 2 33

43

P PQ

P P

โดยบทตง 2 ไดวา n+1 n

n n

n

1

P PQ

P P


จะได 3 1 33

3 3 1

P PQ

P P

2

3

3

4

P P

P P

2 5

3 12

เพราะวา 3Q 1

3Q

3

2 51

5 12Q

2 5

15 12

2 5

5 12

3Q

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

nP 0 1 -2 5 -12 29 -70 169 -408 …

30

บทตง 3 ถา 1

S1 2

1

แลว n n

n

n

n

qS

P q

2P


พสจน พจารณา จะไดวา 21 2 1 2

S1 1 1 1

3 4

2 3

………………………… 1

และ 2S I 1 2 1 02

1 1 0 1

3

3

4

2

…...…………………… 2

จาก 1 2 นนคอ 2S 2 IS โดย บทตง 1 ไดวาสมการ n

n (n 1)P PS IS

จะได n

n

n 1

1 2 1 0S P

1 1 0 1P

n n n 1

n n n 1

P P

P P P

2P 0

0

n n 1 n

n n n 1

P

P P

P 2P

P

n n

n n

q

P q

2P

ดงนน n n

n

n

n

qS

P q

2P

ส าหรบคา n

ตวอยางท 2 ก าหนดให n =5 และ 1

S1 2

1

จงแสดงวา 5 55

5 5

q 2PS

P q

และ 5

5

55

5

q 2PS

P q

วธท า 1. จะแสดงวา 5 55

5 5

q 2PS

P q

จากตาราง 2.2.1 แสดงล าดบเพลล

และตาราง 2.2.3 แสดงล าดบเพลลเกยวเนอง

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …

nP 0 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378 …

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

nq 1 1 3 7 17 41 99 239 577 …

31

โดยบทตง 3 จะไดวา n n

n

n

n

qS

P q

2P

ส ำหรบทกคำ n

พจารณา 5S 5 5

5 5

q 2P

P q

41 58

29 41

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

5

1 2

1 1

5S

2. จะแสดงวา 5

5

55

5

q 2PS

P q

จากตาราง 2.2.2 แสดงล าดบเพลลพจนท –n

และตาราง 2.2.4 แสดงล าดบเพลลเกยวเนองพจนท –n

โดยบทตง 3 จะไดวา -n -n

-n -n

nq

SP

2P

q

ส ำหรบทกคำ n

พจารณา 5S 5 5

5 5

q 2P

P q

41 58

29 41

เพราะวา 5S 1

5S

5

41 581

29 41S

41 58

129 41

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

nP 0 1 -2 5 -12 29 -70 169 -408 …

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

nq 1 -1 3 -7 17 -41 99 -239 577 …

32

41 58

29 41

5S

บทตง 4 ให 1 2S

1 1

และ n n

n

n

n

qS

P q

2P

แลว 2 2 n

n nq 2P ( 1) ส าหรบทกคา n

ตวอยางท 3 ก าหนดให 5 55

5 5

q 2PS

P q

และ 5S 5 5

5 5

q 2P

P q

จงแสดงวา 2 2

5

5

5q 2P ( 1)

และ 5 5

2 2 52P ( )q 1

วธท า 1. จะแสดงวา 2 2

5

5

5q 2P ( 1) พจารณา

5 5

2 2q 2P 2 2

41 2 29 1681 2 841

1681 1682 1

51

2. จะแสดงวา 5 5

2 2 52P ( )q 1

พจารณา

5

2

5

2 2q P 2 2

41 2 29 1681 2 841

1681 1682

5

1

1

5

1


1 1

และ n n

n

n

n

qS

P q

2P

แลว

1) n m n m n mq q q 2P P ส าหรบทกคา n,m

2) n m n m n mP P q q P ส าหรบทกคา n,m

ตวอยางท 4 ก าหนดให n nP ,q เปนพจนทวไปของล าดบเพลล และล าดบเพลลเกยวเนองจงแสดงวา

1) 3 5 3 5 3 5q q q 2P P

2) 3 5 3 5 3 5P P q q P

วธท า 1. จะแสดงวา 3 5q

3 5 3 5q q 2P P เพราะวา

3 5q 8q

577

33

พจารณา 3 5 3 5q q 2P P 7 41 2 5 29

287 290 577 นนคอ

3 5q

3 5 3 5q q 2P P 2. จะแสดงวา

3 5 3 5 3 5P P q q P เพราะวา

3 5P

8P

408 พจารณา 3 5 3 5P q q P 5 41 7 29

205 203 408 นนคอ

3 5 3 5 3 5P P q q P ตวอยางท 5 ก าหนดให

n nP ,q เปนพจนทวไปของล าดบเพลล และล าดบเพลลเกยวเนองจงแสดงวา 1)

( 3) ( 5) 3 5 3 5q q q 2P P 2)

( 3) ( 5) 3 5 3 5P P q q P วธท า 1. จะแสดงวา

( 3) ( 5)q 3 5 3 5q q 2P P เพราะวา

( 3) ( 5)q 8q

577 พจารณา 3 5 3 5q q 2P P 7 41 2 5 29

287 290 577 นนคอ

( 3) ( 5) 3 5 3 5q q q 2P P 2. จะแสดงวา

( 3) ( 5) 3 5 3 5P P q q P เพราะวา

( 3) ( 5)P 8P

408 พจารณา 3 5 3 5P q q P 5 41 7 29

205 203 408 นนคอ

( 3) ( 5) 3 5 3 5P P q q P

34


1 1

และ n n

n

n

n

qS

P q

2P

แลว

1) m

n m n m n m( 1) q 2q Pq P ส าหรบทกคา n,m 2) m

n m n m n m( 1) P q PqP ส าหรบทกคา n,m ตวอยางท 6 ก าหนดให

n nP ,q เปนพจนทวไปของล าดบเพลล และล าดบเพลลเกยวเนองจงแสดงวา 1) 5

3 5 3 53 5( 1) q 2q Pq P 2)

3 5

5

3 5 3 5( P qP q P1) วธท า 1. จะแสดงวา 5

3 5 3 53 5( 1) q 2q Pq P เพราะวา 5

3 5( 1) q 2q

3 พจารณา

3 5 3 5q 2Pq P (7)(41) 9)2(5)(2 287 (5) 92 (2 )

3 นนคอ 5

3 5 3 53 5( 1) q 2q Pq P 2. จะแสดงวา

3 5

5

3 5 3 5( P qP q P1) เพราะวา 5

3 5( 1) P 2P

2 พจารณา 3 5 3 5qP q P (5)(41) (7)(29)

205 032 2 นนคอ

3 5

5

3 5 3 5( P qP q P1) ตวอยางท 7 ก าหนดให

n nP ,q เปนพจนทวไปของล าดบเพลล และล าดบเพลลเกยวเนองจงแสดงวา 1)

( 3) ( 5)

5

3 5 3 5( 1) q 2Pq q P

2)

( 3) ( 5)

5

3 5 3 5( 1 q) q PPP

วธท า 1. จะแสดงวา

( 3) ( 5)

5

3 5 3 5( 1) q 2Pq q P

เพราะวา 5

( 3) ( 5)q( 1)

2q

3 พจารณา 3 5 3 5q 2q PP (7)(41) 9)2(5)(2 287 (5) 92 (2 )

3

35

นนคอ ( 3) ( 5)

5

3 5 3 5( 1) q 2Pq q P

2. จะแสดงวา

( 3) ( 5)

5

3 5 3 5( 1 q) q PPP

เพราะวา 5

( 3) ( 5)P( 1)

2P

2 พจารณา

3 5 3 5P q Pq (5)( 41) ( 7)(29) ( 205 02) 3

2 นนคอ

( 3) ( 5)

5

3 5 3 5( 1 q) q PPP

ภาคผนวก ข บทความ เรอง ผลบวกเพลล และผลบวกเพลลเกยวเนอง โดยใชเมทรกซเพลล

และเมทรกซเพลลเกยวเนอง

37

ผลบวกเพลล และผลบวกเพลลเกยวเนอง โดยใชเมทรกซเพลล และเมทรกซเพลลเกยวเนอง

บรรทดวาง 1 บรรทด Pell and Associated Pell Sums by using Pell Matrix and Associated Matrix

บรบรรทด บทคดยอ บทความนจะกลาวถงการหาผลบวกจ ากดของล าดบเพลล และเพลลเกยวเนองโดยใช

เมทรกซเพลล 2 1Q

1 0

และเมทรกซเพลลเกยวเนอง 1 2S

1 1

ซงเปนเมทรกซคารากสมการ

เมทรกซ 2

2X 2X I 0 ซงในบทความนไดผลบวกจ ากดของล าดบเพลล คอ

mn

k mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

P 1 (P P )P

1 ( 1) 2

P

q

และผลบวกจ ากดของล าดบเพลลเกยวเนอง คอ

m

nk mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

q 1 (q q )q

1 ( 1) 2

q

q

เมอ n และ m, k โดยท m 0

บรรทดวาง 1 บรรทด ค าส าคญ : ล าดบเพลล, ล าดบเพลลเกยวเนอง, เมทรกซเพลล และเมทรกซเพลลเกยวเนอง บรรทดวาง 1 บรรทด Abstract

These research discusses Pell and Associated Pell sums via the Pell matrix

2 1Q

1 0

and the associated Pell matrix 1 2

S1 1

. These matrices are the solutions

of 2

2X 2X I 0 . In the conclusion the finite sum of Pell sequence and

associated Pell sequence are

mn

k mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

P 1 (P P )P

1 ( 1) 2

P

q

and

m

nk mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

q 1 (q q )q

1 ( 1) 2

q

q

respectively, when n ,m,k and

m 0 .

บรรทดวาง 1 บรรทด Key Word (s): Pell sequence, Associated Pell sequence, Pell Matrix and Associated Pell

Matrix

บร

38

บทน า ล าดบเพลล nP นยามโดย

n n 1 n 2P 2P P ;n 2 โดย0P 0 ,

1P 1 ล าดบเพลลเกยวเนอง nq นยามโดย

n n 1 n 2q 2q q ;n 2 โดยท 0q 1 ,

1q 1 ส าหรบล าดบเพลล พจนท n นนจะอยในรป n 1

n nP ( 1) P

และล าดบเพลลเกยวเนองพจนท n นนจะอยในรป

n n 1 n 2q 2q q ส าหรบทก n ซงในบทความนจะสรางเมทรกซเพลล 2 1Q

1 0

และ

เมทรกซเพลลเกยวเนอง 1 2S

1 1

ซงเปนเมทรกซคารากสมการเมทรกซ 2

2X 2X I 0 และ

ท าใหไดผลบวกจ ากดของล าดบเพลล และผลบวกจ ากดของล าดบเพลลเกยวเนอง บรรทดวาง 1 บรรทด วตถประสงคของการวจย ศกษาผลบวกจ ากดของล าดบเพลล และเพลลเกยวเนอง โดยใชเมทรกซเพลล และ เมทรกซเพลลเกยวเนอง บรรทดวาง 1 บรรทด วธการวจย

จากจ านวนเพลลในรปเมทรกซโดยก าหนดใหเมทรกซ n

n 1

P

P

, n 2

n 1P

P

และ 2 1

1 0

จะเรยกระบบสมการเชงเสน n n 1

n 1 n 2

1 =

1 0

P P2

P P

วาระบบสมการจ านวนเพลลในรปเมทรกซ

สอดคลองกบรปทวไปของสมการ n n 1 n 2P 2P P เมอ n 2 ส าหรบทก n จงศกษา ทฤษฎบททส าคญ ดงน

บทตง 1 ถา X เปนเมทรกซจตรส และ 2 X 2X I แลว n

n n 1X P X P I , n

บทแทรก 2 ให Q0

2 1

1

แลว n+1 n

n n

n

1

P PQ

P P


บทแทรก 3 ถา 1

S1 2

1

แลว n n

n

n

n

qS

P q

2P

ส าหรบ n

บทตง 4 ให a b

c dA

เปนเมทรกซจตรสใด ๆ และ 1 2S

1 1

เปนเมทรกซ

คารากสมการเมทรกซเพลล ซง 1 K S+S แลว KA 2a 2b

4c 4d

39


1 1

และ n n

n

n

n

qS

P q

2P


เพลล แลว สมการตอไปนเปนจรง 1) 2 2 n

n nq 2P ( 1) (5.1)

2) n m n m n mq 2P P q q (5.2)

3) n m n m n mP P q q P (5.3)

4) m

n m n m n m( 1) q 2q Pq P (5.4)

5) m

n m n m n m( 1) P q PqP (5.5)

ส าหรบทกคา n,m ผลการวจย จากวธการด าเนนการวจยท าใหไดคณสมบตของเมทรกซเพลล และเมทรกซเพลลเกยวเนอง น าไปสการพสจนทฤษฎบทผลบวกจ ากดของล าดบเพลลและเพลลเกยวเนอง โดยใช เมทรกซเพลล และเมทรกซเพลลเกยวเนอง ดงน ทฤษฎบท 6 ให n และ m, k โดยท m 0 แลว

m

nk mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

q 1 (q q )q

1 ( 1) 2

q

q

และ m

nk mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

P 1 (P P )P

1 ( 1) 2

P

q

พสจน ก าหนดให 1 2S

1 1

, 2

1 0I

0 1

เพราะวา n

n 1m m m j

2 2

j 0

I S I S (S )

และ ถา m

2det(I S ) 0

แลว n

m 1 m n 1 k mj k

2 2

j 0

(I S ) (I (S ) )S S

n n

mj k mj k

j 0 j 0

n n

mj k mj k

j 0 j 0

q 2 P

P q

โดยบทตง 5 (5.1) จะไดวา m

2t(Id S )e 2 2

m m(1 q ) (2P )

m

m1 1 2q

40

ส าหรบ m 0 ก าหนดให m

md 1 1 2q และโดยบทตง 4 เรารวาเมทรกซ 0 4

K2 0

จะไดวา m 1

2(I S )m m

m m

1 q 2P1

1 qPd

mm

1 0 0 4P1(1 q

0 1 2 0)

d 2

mm 2

P11 q I K

2d

ดงนน 1

m k mn m k

2I S (S S )

k mn m kmm 2

11 q I K (S )

2dS

P

k (mn m k) k (mn m k)mm

P1 (1 q )(S S ) K(S S

d)

2

โดยบทแทรก 3 และบทตง 4 จะไดวา

k (mn m k)K(S S ) k k mn m k mn m k

k k mn m k mn m k

P q P q0 4

q P q P2 0

k mn m k k mn m k

k mn m k k mn m k

q q 2(P P )0 4

P P q q2 0

k mn m k k mn m k

k mn m k k mn m k

4(P P ) 4(q q )

2(q q ) 4(P P )

พจารณา

m 1 k mn m k

2(I S ) (S S ) k mn m k k mn m kmm

P1 1 q (S S ) K(S S )

2d

k mn m k k mn m k

m

k mn m k k mn m k

q Pq

P

q 2 P1 1

P qqd

k mn m k k mn m km

k mn m k k mn m k

4(P P ) 4(q q )P

2(q q ) 4(P P )2

ดงนน n

mj k

j 0

q


4P11 q (P P )

2q q

d

m k mn m k m k mn m k

11 q 2q q P (P P )

d

k mn m k m k m k

1q q q P

dq 2P m mn m k m mn m k2q Pq P

m

k mn m k k mq ( 11

q)qd

m

mn m k-m( 1 q)

41

โดยบทตง 5 (5.4) จงไดผลบวกจ ากดของล าดบเพลลเกยวเนองดงสมการ

n

mj k

j 0

q

m

k mn m k mn k k m

m

m

q 1 (q q )

1 ( )

q

1 2q

ในท านองเดยวกน จะได

n

mj k

j 0

P


2P11 P P (q )

2dqq

k mn m k m k m k m mn m k m mn m kP q1

P q P P q P Pd

q

k mn m k m k m k m mn m k m mn m kP ( q1

P q P P ) q P P )d

( q

m m

k mn m k k m mn m k-mP (1

P 1) P ( ) Pd

1

โดยบทตง 5 (5.5) จงไดผลบวกจ ากดของล าดบเพลลดงสมการ

n

mj k

j 0

P

m

k mn m k mn k k m

m

m

P 1 (P P )

1 ( )

P

1 2q

สรปผลการวจย ก าหนดให n และ m, k โดยท m 0 จะพบวาผลบวกของจ านวนเพลล และจ านวนเพลลเกยวเนอง เปนดงน

1) ผลบวกจ านวนเพลล คอ m

nk mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

P 1 (P P )P

1 ( 1) 2

P

q

ตวอยางท 1 ก าหนดให n 3 , m 3 และ k 1 จะแสดงวา

( 3)

( 3)(3) ( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 33

1

( 3)

( 3

)

(-3)j 1

j 0 )

P 1 (P P )P

1 1 2q

P

( )


j 0

3

P

(-3)(0) 1 (-3)(1) 1 (-3)(2) 1 (-3)(3) 1P P P P

21 85P P P P 1 ( 2) 29 ( 408)


j 0

3

P

380 5.1

และ ( 3)(3) ( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 3

( 3)

1

( 3)

( )

)

3

P 1 (P P )

1 ( 1) 2q

P

11 8 41P 1 (PP P )

1 ( 1) 2( 7)

[( 408) 12]

14

1 5741

42

5320

14

นนคอ ( 3)(3) ( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 3

( 3)

1

( 3)

( )

)

3

P 1 (P P )

1 ( 1) 2q

P

380 5.2

พบวา 5.1 5.2

ดงนน ( 3)(3)

( 3)3

1

( 3)

(

( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 3)

(-3)j

j 3)

1

0

P 1 (P P )P 380

1 (

P

1) 2q

2) ผลบวกจ านวนเพลลเกยวเนอง คอ

mn

k mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

q 1 (q q )q

1 ( 1) 2

q

q

ตวอยางท 2 ก าหนดให n 3 , m 3 และ k 1 จะแสดงวา

( 3)

( 3)(3) ( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 33

1

( 3)

( 3

)

(-3)j 1

j 0 )

q 1 (q q )q

1 1 2q

q

( )


j 0

3

q

(-3)(0) 1 (-3)(1) 1 (-3)(2) 1 (-3)(3) 1q q q q

21 85q q q q 1 3 ( 41) 577


j 0

3

q

540 5.3

และ ( 3)(3) ( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 3

( 3)

1

( 3)

( )

)

3

q 1 (q q )

1 ( 1) 2q

q

11 8 41q 1 (qq q )

1 ( 1) 2( 7)

( 8119) (571 7 17)

14

4

7560

1

นนคอ ( 3)(3) ( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 3

( 3)

1

( 3)

( )

)

3

q 1 (q q )

1 ( 1) 2q

q

540 5.4

พบวา 5.3 5.4

ดงนน ( 3)(3)

( 3)3

1

( 3)

(

( 3) 1 ( 3)(3) 1 1 ( 3)

(-3)j

j 3)

1

0

q 1 (q q )q 540

1 ( 1) 2q

q

บรรทดวา

43

ง 1 บรรทด อภปรายผล จากการศกษาคนควาพบวา สมการเพลล 2x 2x 1 0 มจ านวนจรง 1 1 2 และ

2 1 2 เปนคาราก และจากการขยายแนวคดโดยใชเมทรกซเพลล คอ เมทรกซ 2 1Q

1 0

และ

เมทรกซเพลลเกยวเนอง คอ เมทรกซ 1 2S

1 1

ท าใหไดคาลกษณะเฉพาะของเมทรกซ Q และ

เมทรกซ S คอ 1 1 2 และ

2 1 2 ดวยเหตนเองท าใหผวจยพบวามเวกเตอรลกษณะเฉพาะทสมนยกบคาลกษณะเฉพาะดงกลาว จากนนผวจยไดใชคณสมบตของ เมทรกซคลายจงท าใหไดเมทรกซ Q และเมทรกซ S ซงเปนเมทรกซคารากสมการเมทรกซเพลล 2

2X 2X I 0 โดยอาศยทฤษฎบทเคยเลย - แฮมลตน จะไดวาเมทรกซ Q และเมทรกซ S เปนตวด าเนนการเชงเสนบนสมการเมทรกซเพลล 2

2X 2X I 0 ซง ถา m

2det(I S ) 0 ท าใหได

m 1 m n 1 k

2 2(I S ) (I (S ) )S n

mj k

j 0

S

และโดยอาศยเอกลกษณของสมการเมทรกซเพลลท าใหไดผลบวกจ ากดของล าดบเพลล

mn

k mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

P 1 (P P )P

1 ( 1) 2

P

q

และผลบวกจ ากดของล าดบเพลลเกยวเนอง

m

nk mn m k mn k k m

mj k mj 0 m

q 1 (q q )q

1 ( 1) 2

q

q

ในทสดบรรทดวาง 1 บรรทด

ขอเสนอแนะ ควรมการศกษาความสมพนธในประเดนอน ๆ ดงน

1) ศกษาผลบวกจ ากดของลบดบเพลล และเพลลลกสโดยการใชเมทรกซ 2) ศกษาเอกลกษณของล าดบเพลล และเพลลลกส

ศกษาผลบวกของจ านวนอน ๆ ทมลกษณะการเวยนเกดเชนเดยวกบล าดบเพลล

ประวตยอของผวจย

ชอ-สกล นายอภวฒน ค าภระ วน เดอน ป เกด 24 มกราคม พ.ศ. 2526 สถานทเกด จงหวดเพชรบรณ สถานทอยปจจบน 67 หม 1 ต าบลฝายนาแซง อ าเภอหลมสก

จงหวดเพชรบรณ 67110 ต าแหนงและประวตการท างาน พ.ศ. 2549-2553 ครโรงเรยนเซนตโยเซฟศรเพชรบรณ พ.ศ. 2553-ปจจบน อาจารยประจ าพเศษมหาวทยาลยราชภฏเพชรบรณ ประวตการศกษา พ.ศ. 2549 ครศาสตรบณฑต (คณตศาสตร) มหาวทยาลยราชภฏเพชรบรณ พ.ศ. 2558 วทยาศาสตรมหาบณฑต (คณตศาสตรศกษา) มหาวทยาลยบรพา

ศึกษาผลบวกเพลล์และผลบวกเพลล์...

Documents