บทท 3 วธวเคราะหวงจรตวตานทาน

Methods for Analysis of Resistive Circuits

1

วธวเคราะหวงจรตวตานทาน

ในบทนจะกลาวถงวธการวเคราะหวงจรตวตานทาน• ซงจะมรปแบบและวธทเปนระบบมากขน• เพอใหสามารถวเคราะหวงจรทมความซบซอน

มากขนไปได

2

เทคนคการวเคราะหวงจรความตานทาน 2 แบบ

3

วธการวเคราะหแบบโนด(Node Voltage Analysis)

วธการวเคราะหแบบเมช(Mesh Current Analysis)

3.1 วธการวเคราะหแบบโนด(Node Voltage Analysis)

ในบททผานมาเราไดศกษาการวเคราะหวงจรอยางงายทสามารถลดรปลงจนเหลอจานวนโนดแคสองโนดจากนนเราจะใชสมการเพยงสมการเดยวเพอหาคาตวแปรหนงตว ซงโดยทวไปกคอแรงดนทตกครอมโนดทงสอง ในหวขอนเราจะพฒนาวธการนเพอนาไปสการหาคาตอบคอแรงดนโนด (Node Voltage)ของวงจรทมจานวนโนดมากกวาสองโนดขนไป

4

วธการวเคราะหแบบโนด(Node Voltage Analysis)

การวเคราะหวงจรทมจานวน n โนด จะตองการสมการ n-1 สมการวธหนงในการไดมาซงสมการเหลานคอการเขยนสมการตามกฎกระแสของเคอชชอฟฟทโนดแตละโนดยกเวนหนงโนด ซงเราจะใชเปนโนดอางอง (Reference Node) การเลอกโนดอางองนนสามารถทาไดโดยอสระ คอจะเลอกโนดใดเปนโนดอางองกได อยางไรกตามควรเลอกโนดทมองคประกอบวงจรตออยมากทสด หรอโนดทอยดานลางสดของวงจร หรอจดทเปนโนดกราวดของแหลงจาย

วธการนนยมใชวเคราะหวงจรไฟฟาในกรณทมเฉพาะ อปกรณ(R)และ Current Source

5

การกาหนด ground node

การกาหนด ground node ควรจะเปน

- จดรวมกนหลายอปกรณ

- จดทอยดานลาง

- เปนขาขางหนงของแหลงจาย

6

ตวอยางการกาหนด node ในวงจรไฟฟา

7

ขนตอนการวเคราะหวงจรแบบโนด

1. กาหนดโนดทกโนดตงชอโนด Va Vb … หรอ V1 V2 … และ

กาหนด ground node

2. เขยนสมการทละโนด

3. แกสมการหาคาแรงดนทโนด

8

ตวอยางท 1.จากวงจรวเคราะหวงจรโดยใชหลกการ Node Analysis

1. กาหนดโนด a , b และ ground node2. เขยนสมการทโนด a และ b

*** กาหนดใหกระแสไหลผานตวตานทานทโนดใด ใหกระแสไหลออกจากโนดผานตวตานทานทกตวเสมอ เพอใหสมการเปนรปแบบเดยวกนจะงายตอการเขยนสมการ สวนแหลงจายกระแสคดตามทศทางจรง ****

9

1i

2i

3i

'2i

0211 -i-iiS

211 iiiS

S121 iii =+เปลยนกระแสเปนแรงดนทโนด

ใชหลกการ KCL เขยน สมการทโนด a :

S12

ba

1

a iR

v-vRv =+

เปลยน

ivG-vGvG S1b2aa1 2

RG

1

(1) ............. ivG-vG(G S1b2a1 )2

10

1i

2i

3i

'2i 2

'2 ii

เปลยนกระแสเปนแรงดนทโนด

S2bab i

R

v

R

v-v

32

เปลยนR

G1

2S3'2 iii

S23

bba iR

v

R

v

R

v-

22

(2) ........ i)vGGvG- S2b3a2 2(

ตอ

11

1i

2i

3i

'2i

จากสมการ (1) และ (2) เขยนสมการเมทรก(Matrix) ดงน

2s

1s

b

a

322

221

i

i

v

v

)GG(G-

G-)GG(=

+

+

2s

1s

b

a

322

221

i

i

v

v

)GG(G-

G-)GG(=

+

+

(2) ........ i)vGGvG- S2b3a2 2(

(1) ............. ivG-vG(G S1b2a1 )2

เขยนสมการเมทรกเปนแบบ general form ดงน

2s

1s

2

1

2221

1211

i

i

v

v

GG

GG=

2s

1s

2

1

2221

1211

i

i

v

v

GG

GG=

เขยนเปนแบบ vector

[ ][ ] [ ]iV G =

ตอ

12

va vb

+ +

- -

2s

1s

b

a

322

221

i

i

v

v

)GG(G-

G-)GG(=

+

+

2s

1s

2

1

2221

1211

i

i

v

v

GG

GG=

สรปการเขยนสมการ node analysis

G11 = หมายถงคา G ทตอท node v1 ทกตวบวกกนทงหมด

G22 = หมายถงคา G ทตอท node v2 ทกตวบวกกนทงหมด

G12 = G21 = หมายถงคา G ทตอระหวาง node v1 และ v2

ทกตวบวกกน และมคาเปนลบเสมอ

is1 = หมายถงกระแส ท node v1 ทกตวบวกกน กระแสไหลเขาเปน + ไหลออกเปน -

is2 = หมายถงกระแส ท node v2 ทกตวบวกกน กระแสไหลเขาเปน + ไหลออกเปน -

ตอ

13

va vb

+ +

- -

2s

1s

b

a

322

221

i

i

v

v

)GG(G-

G-)GG(=

+

+

2s

1s

2

1

2221

1211

i

i

v

v

GG

GG=

Gii = หมายถงคา G ทตอท node vi ทกตว บวกกนทงหมด

Gij = Gji = หมายถงคา G ทตอระหวาง node vi

และ vj ทกตวบวกกน และมคาเปนลบเสมอ

ดงนนสรป :

isi = หมายถงกระแส ท node vi ทกตวบวกกน กระแสไหลเขาเปน + ไหลออกเปน -

ตอ

14

3. แกสมการหาคาแรงดนทโนดตางๆ วธการแกสมการมหลายวธการ

ก. ใชวธการบวกลบสมการเพอลดจานวนตวแปรใหเหลอตว

แปรเพยงตวเดยว ซงเปนวธการทงายทสด กรณทตวแปร

จานวนนอยๆ

ข. ใชวธการของ Cramer’s Rule

ค. ใชวธการหา Inverse Matrix

ง. วธการอนๆ เชนโปรแกรมสาเรจรป

15

ตวอยางการแกสมการแบบ Inverse Matrixสมการ Siv.G

เมอ

จากสมการ matrix สามารถหาคาตอบ แรงดนทโนดตางๆได

SiGv .1

ถากาหนดให G1 = 1 S, G2 = 0.5 S, และ G3 = 0.25 S , iS1 = 5 A, และ iS2 = 4 A,

322

221

GGG

GGGG

b

a

V

Vv

2S

1SS i

ii

75.05.0

5.05.1

GGG

GGGG

322

221

4

5

i

ii

2S

1SS

16

แกสมการ matrix สามารถหาคาตอบ แรงดนทโนดตางๆ

SiGv .1

ตอบ Va = 2 V Vb = -4 V

17

ตวอยางท 2. จากวงจรจงคานวณหาคา Va , Vb , และ Vc เมอคาConductor ทกตวมคา 1S

วธทา 1. กาหนดโนด a , b , c และ ground node2. เขยนสมการทโนด a b และ c

สมการ general form

3s

2s

s1

c

b

a

333231

232221

131211

i

i

i

v

v

v

GGG

GGG

GGG

=

3s

2s

s1

c

b

a

333231

232221

131211

i

i

i

v

v

v

GGG

GGG

GGG

=

18

แทนคา

แทนคา G = 1 Siemen

311

131

113

G

7

3

6

iS

7

3

)39(

V

V

V

)GGG(GG

G)GGG(G

GG)GGG(

c

b

a

65446

44322

62621

19

3. หาคาตอบคาแรงดนทโนดตางๆ โดยวธการ Cramer’s rule

20

คาตอบคาแรงดนทโนดตางๆ โดยวธการหา Inverse Matrix และใช MathLAB หรอ MathCAD ในการคานวณหาคาตอบ

21

3.2 การใช Node Voltage Analysis ในกรณพเศษ

กรณท 1 ม Voltage Source ตออนกรมกบตวตานทาน

กรณท 2 ม Voltage Source ครอมโนดใดๆและกราวดแตไมมตว

ตานทานตออนกรม

กรณท 3 ม Voltage Source ตอครอมระหวาง node สอง node

วธการวเคราะหวงจรไฟฟาในกรณกอนหนาเปนการวเคราะหกรณทมเฉพาะ อปกรณ(R)และ Current Source เทานน แตถากรณทวงจรไฟฟามทงVoltage Source และ Current Source อยในวงจรถอวาเปนกรณพเศษ การเขยนสมการจงจาเปนจะตองมเทคนคในการเขยนสมการ สามารถแบงเปนกรณได 3 กรณดงน

22

กรณท 1. ม Voltage Source ตออนกรมกบตวตานทาน ใหพยายามทาเปลยน voltage source ทตออนกรมกบตวตานทาน ใหเปนCurrent Source ตอขนานกบตวตานทาน โดยใชหลกการ Thevenin และNorton ดงรปขางลาง แลวจงทาการเขยนสมการโนดเหมอนทผานมา

Vth

Rth

RSCISCVth

Rth

RSCISC

Thevenin Norton

เมอ คาความตานทาน คาแรงดน และ คากระแส เปนดงน

23

ตวอยางท 3. จากวงจรจงคานวณหาคา Va และ Vb เมอ VS = 20V , iS = 2A ,

G1 = G2 = G3 = G4 = 2 mhos

วธทา ทาการดดแปลงวงจร voltage source เปน current source

เมอ 4S4

SSC GV

R

VI

AISC 40220

หรอตงสมการ

0R

VV

R

V

R

VV

2

ba

1

a

4

Sa

24

จากวงจรเขยนสมการโดยใชหลกการ Node Voltage Analysis ไดดงน

2

40

v

42-

2-6 a bv

G6

2

2

4i

40

2

G 1 0.2

0.1

0.1

0.3

v G 1 i

v8.2

4.6

ตอบ Va = 8.2 V Vb = 4.6 V

25

กรณท 2. ม Voltage Source ครอมโนดใดๆและกรานดใหตงสมการท node นนเปนหนงสมการ โนดอนใหคดเปนปกต ดงตวอยาง

จากวงจรเขยนสมการแรงดนครอมโนด a :Sa VV

ใช KCL ท node b :

Sabb iVVGVG )(23

หาคาตอบ32

2

GG

VGiV sS

b

26

กรณท 3. ม Voltage Source ตอครอมระหวาง node สอง node วงจรมแหลงจายแรงดนตอครอมอยระหวางโนดสองโนด ใหทาการยบรวมกนทงสองโนดเปนโนดเดยวกนเรยกวา Supernode แลวทาการพจารณากระแสทไหลเขาและออกทSupernode เขยนสมการสองสมการคอ

สมการท 1. สมการ Supernode โดยใหผลตางของแรงดนครอมโนดทงสองเทากบแหลงจายแรงดนทตอครอมระหวางโนดทงสอง

สมการท 2. ใหเขยนสมการ KCL ท Supernodeพจารณากระแสไหลเขาเทากบกระแสไหลออก

27

Voltage Source ตอครอมระหวาง สอง node

สมการท 1. สมการ Supernode ทเปนผลตางของแรงดนครอมโนดทงสอง

Sba VVV

สมการท 2. ใหเขยนสมการ KCL ท Supernode

Sba iGVGV 21

หาคาตอบ21

1

GG

VGiV sS

b

Sba VVV

28

ตอบ

ตวอยางท 4. ใช Node Analysis วเคราะหวงจรทมทง Current source และ Voltage source

วธทาสงเกตวงจรมแหลงจายแรงดน 2 ตว ใหพจารณา

วาเปนกรณพเศษใด

ท node a: Va = -5 V กรณท 2.

ท Supernode (b,c) : Vc – Vb = 3V กรณท 3.

ใช KCL ท Supernode : 1.Vb +2(Vb – Va) + 4.Vc = 3 กรณท 3.

V Vb 7

19

V VV bc 7/23

Va = -5 V

29

ตวอยางท 5. จากวงจรจงเขยนสมการ Node Voltage

วธทา ท node c: กรณท 2.(1) ..................... V Vc 4

ท Supernode : กรณท 3.(2) ............... V VV ab 8

ใช KCL เขยนสมการท Supernode กรณท 3.

12cb4b3a1a i )GV-VGVGVGV (

(3) ............... i VG)G(GV)G(GV 1c224b31a

จากสมการ 3 สมการ หาคาตอบ cba V V V

Supernode

30

31

32