บทที่ 2:...
TRANSCRIPT
1
บทท 2: สมการพหนามและราก
. สมการพหนาม
อน
นรปตรโกณมต
บสมประสทธของพหนาม
1
2. รากซา 3. รากเชงซ
4. รากเชงซอนใ
5. รากของสมการกาลงสอง 6. ความสมพนธระหวางรากก
2
2.1 สมการพหนาม
ถา เปนพหนามดกร n เราจะเรยกสมการ ( )f x
( ) 0f x =
วาสมการพหนามดกร n หรอสมการพหนามกาลง n
สมการพหนามดกร 1 เรยกวา สมการเชงเสน
ถา c เปนคาคงตวซง จะเรยก c วาเปน ผลเฉลย หรอ ราก ของสมการ และยงกลาววา c เปนรากของพหนาม ดวย
( ) 0f c =
( )f x
และ เปนคาคงตว และเรยกวา สมประสทธ ของพหนาม ถา จะกลาววา n เปนดกรของพหนามนน
0 1, , , na a a…
0na ≠
3
จากทฤษฎบทเศษเหลอ จะเหนวา c เปนรากของ กตอเมอ x หาร ลงตว นนคอ c− ( )f x( )f x
1( ) ( ) ( )f x x c f= − x
ถา c ไมเปนรากของ จะเรยก c วา รากเชงเดยว 1( )f x
แตถา c เปนรากของ จะเรยก c วา รากซา 1( )f x
ตวอยาง
รากของ คอ 2 4( 1)( 2) ( 3x x x− + − )
ตวอยาง
รากของ คอ 2 3( 1)(x x− −1)
ตวอยาง
รากของ คอ 2 3 2012( 1)( 1)( 1) (x x x x− − − −1)
4
กราฟของพหนาม: จดตดแกนและราก
6
4
2
2
4
5 5
f x( ) = x2 1( )· x 3( ) 6
4
2
2
4
5 5
f x( ) = x + 2( )· x 1( )2
20
6
4
2
2
4
6
8
10
12
5 5
18
16
14
12
10
8
6
4
2
f x( ) = x + 2( )· x 1( )3
2
5 5
f x( ) = x + 2( )· x 1( )4
5
ทฤษฎบทหลกมลทางพชคณต (Fundamental Theorem of Algebra)
สมการพหนามทมดกรอยางนอย 1
จะมรากเชงซอนอยางนอยหนงราก
ทฤษฎบท
สมการพหนามดกร n จะมรากไดอยางมาก n ราก
บทนยาม
ถาพหนาม มราก เปนจานวน ตามลาดบ แลวจะกลาววา
เปนรากกาลงซา สาหรบ
( )f x
kn1 2, , , kc c c…
=1 2, , ,n n …
ic in 1, 2, ,i k…
ถา จะกลาววา เปนรากเชงเดยว (single root) 1in = ic
ถา จะกลาววา เปนรากซา (multiple root) 1in > ic
6
ตวอยาง จงหารากทงหมดของสมการ 4 2( ) 5 10 6 0f x x x x= − − − =
ตวอยาง จงหารากทงหมดของสมการ 4 3 2( ) 5 16 20 0f x x x x x= + − + =
7
แนวคดเบองตนของทฤษฎบทเอกลกษณ
มเสนตรงผานจด 2 จดไดเพยงเสนเดยว
8
ทฤษฎบทเอกลกษณ (Identity Theorem)
ถา และ เปนพหนามดกร และมคาคงตว ทแตกตางกนททาให
( )f x ( )g x
c c
n
1 2, , , nc +… 1
)( ) (i if c g c= ทก 1, 2, , 1i n= +…
แลวจะสรปไดวา ( ) ( )f x g x=
ตวอยาง สมการเสนตรงทผานจด (1 กบ , 3) (4,10)
ตวอยาง สมการเสนตรงทผานจด กบ 1 1( ,x y ) )2 2( ,x y
เมอ 1 2x x≠
9
ตวอยาง สมการพาราโบลาทผานจด
(1, 2),(2, 3),(3, 5)
ตวอยาง สมการพาราโบลาทผานจ ด
1 1 2 2 3 3( , ),( , ),( ,x y x y x y )
3
เมอ มคาแตกตางกนหมด 1 2, ,x x x
10
ตวอยาง กาหนดให r เปนจานวนนบ จงพสจนวา
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )20 1 1 2 2 0x x x x x x x x x
r r r r− −+ + + + = r
11
22.2 รากซา
ทฤษฎบท กาหนดให เปนพหนาม ( )f x
ขอความตอไปนสมมลกน
(1) c เปนรากกาลงซา ของ k ( )f x
(2) ( )kx c− หาร ลงตว แต ( หาร ไมลงตว
( )f x1)kx c +− ( )f x
(3) ( 1)( ) 0, ( ) 0, , ( ) 0k
k
f c f c f c−′= = …
ตว
( )( ) 0k
=
แต f c ≠
ตวอยาง 3( ) ( 1) ( 1)f x x x= − +
12
ทฤษฎบท ถา c เปนรากกาลงซา k ของ แลว c จะเปนรากกาลงซา ของ
( )f x
( )1k− f x′
บทแทรก ถา c เปนรากกาลงซาของ แลว c จะเปนรากกาลงซา ของ
( )f x
2,…1, ,1k k− −)( )( 1( ), ( ), , kf x f x f −′ … x′ ′
ตวอยาง กาหนดจานวนเตม จงพจารณาวา 1 เปนรากกาลงซาเทาใดของ
1n >
( ) 1nf x x nx n= − + −
13
ตวอยาง กาหนดจานวนเตม จงพจารณาวา นอกจาก 1 แลว ยงมรากอนของ
1n >
( ) 1nf x x nx n= − + −
เปนรากซาดวยหรอไม
14
การหารากซา ถา แลว ไมมรากซา 1. gcd( , ) 1f f ′ = ( )f x
2. ถา และ แลวรากของ จะเปนรากซาของ
gcd( , ) ( )f f g′ =
( )g x
x deg( ) 1g >
( )f x
ยงกวาน ถา c เปนรากกาลงซา k ของ แลว c จะเปนรากกาลงซา k ของ
( )g x
( )1+ f x
ตวอยาง จงแสดงวา ไมมรากซา 4 22 2x x x− − + 1
15
ตวอยาง จงพจารณารากซาของ
5 2( ) 10 15 6f x x x x= − + −
16
2.3 รากเชงซอน ทฤษฎบท ถาพหนาม มสมประสทธเปน
จานวนจรง และ c เปนรากกาลงซา ของ แลวสงยคเชงซอนของ c จะเปนรากกาลงซา ของ ดวย
( )f x
k ( )f x
k
( )f x
บทพสจน
หมายเหต ถา เปนพหนามดกรคทมสมประสทธเปนจานวนจรง แลว จะตองมรากจรงอยางนอยหนงราก
( )f x
( )f x
17
2.4 รากเชงซอนในรปตรโกณมต กาหนด n เปนจานวนเตมบวก
รากทงหมดของสมการ คอ 1nx =
2 4 2( 11, cis , cis , , cis
nn n nπ π −… )π
เรามกเขยน 2
cisn nπω =
สงเกตวา ( ) nnω = 1
รากทงหมดของสมการ x เขยนในรป ω ไดเปน 1n = n
2 11, , , , nn n nω ω ω −…
18
ตวอยาง กาหนด และ m
1. จงหาคาของ
2cis
3πω = ∈
21 ω ω+ +
2. จงหาคาของ 21 m mω ω+ +
ตวอยาง กาหนด m , n และ ∈ +∈ 2cisnπω =
จงหาคาของ 1
nkm
k
ω=∑
19
รากทงหมดของสมการ คอ cisnx r θ=
1/ 1/ 1/2 2(cis , cis , , cisn n n n
r r rn n nθ θ π θ+ +… 1)π−
ถาให และ
จะไดวารากทงหมดของสมการ คอ
1/0 cisnx r
nθ= 2
cisnπω =
cosnx r θ=2 1
0 0 0 0, , , , nx x x xω ω ω −…
ตวอยาง จงหารากทงหมดของสมการ 6x i=−
20
52.5 รากของสมการกาลงสอง กาหนดให และ , ,a b c ∈ 0a ≠
รากของสมการกาลงสอง คอ 2 0ax bx c+ + =2 4
2b b a
xa
− ± −= c
c
แต อาจจะเปนจานวนเชงซอน 2 4b a−
ปญหาจงอยทการหารากทสองของจานวนเชงซอน
วธพชคณต
ถา จะได 2( )x yi α β+ = + i
2
2 2
2x y
xyαβ
⎧⎪ − =⎪⎨⎪ =⎪⎩
จาก จะได 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 4x y x y x y+ − − =2 2 2 2x y α β+ = + ≡ r
ดงนน
2
2
2
2
rx
ry
α
α
⎧⎪ +⎪ =⎪⎪⎨ −⎪⎪ =⎪⎪⎩
21
จาก 2 เราใหเราแยกพจารณาได 2 กรณ xy β=
1. ถา แลว x และ y มเครองหมายเดยวกน 0β>
จะได 2 2
r ri i
α αα β⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟+ = ± +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2. ถา แลว x และ y มเครองหมายตรงกนขาม 0β<
จะได 2 2
r ri i
α αα β⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟+ = ± −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
ตวอยาง จงหารากของสมการ 2 5 12x i=− −
22
วธตรโก ณมต ให cisi rα β+ = θ
จะได , และ 2 2r α β= + cosrαθ = sin
rβθ =
เราทราบวา cis2
i rθα β+ = ±
โดยสตรตรโกณมต 2 1 cos
cos2 2 2
rr
θ θ+ += = α
และ 2 1 cos
sin2 2 2
rr
θ θ− −= = α
นนคอ
cos2 2
sin2 2
rr
rr
θ α
θ α
+=±
−=±
เนองจาก 2 sin cos sin2 2 rθ θ θ= = β
จงพจารณาเครองหมายของ และ ได
จากเครองหมายของ β เชนเดยวกนวธพชคณต
และจะไดผลลพธเดยวกน
cos2θ
sin2θ
23
2.6 ความสมพนธระหวางราก
กบสมประสทธของพหนาม สมมตวาพหนามดกร n (เมอ ) 0na ≠
11 1( ) n n
n n 0f x a x a x a x a−−= + + + +
มรากเชงซอนทงหมดเปน 1 2, , , nc c c…
นนคอแยกตวประกอบ ไดเปน ( )f x
1 2
1
2
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( 1) ( )
( 1) ( )
[
]
n n
n nn
n
f x a x c x c x c
a x x
x
x
−
−
= − − −
= −++ + −
+ −
ดงนน
1
1 2
1 2
1 2 1
1 2
k
n
n
cc c
c c c
c c cc c c
−
==
=
==
∑∑
∑
∑
24
ตวอยาง กาหนด ถา และ เปนรากขสมการ 2ax
0a ≠
c+ +1x
แล2x อง
ว0bx =
1 2
1 2
x x
x x
+ =
=
ตวอยาง กาหนด ถา เปนรากของสมการ ax แลว
0a ≠3 2 cx+ +
1 2, ,x x x
0d+ =3
=
bx
1 2 3
1 2 2 3 1 3
1 2 3
x x x
x x x x x x
x x x
+ + =
+ +
=
ตวอยาง ถา เปนรากของสมการ แลว
1 2, , nx x x…
2012nx =
1 2
1 2
1 2
1 1 1
n
n
n
x x x
x x x
x x x
+ + + =
=
+ + + =
25
ตวอยาง ถา เปนรากของสมการ แลว
, ,a b c
6 11x3 2 6x x− + − = 0
1. 1 1a b+ + 1
c
2. 2 2 2a b c+ +
3. a bbc ac ab
+ + c
4
4. 3 3 3a b c+ +
5. 4 4a b c+ +