a positive definite estimator of the non stationary

12

Upload: dinhmien

Post on 02-Jan-2017

214 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: A POSITIVE DEFINITE ESTIMATOR OF THE NON STATIONARY

����������� �������������������������������� ����!"�#�$���%�&'����(���)�*�,+.-����,�/�/��/�0-��1���2�/�/���)���3������45�)�76

8,9:8';=<?>@>BA5C'DFEG9:HFIKJ5A5;5HFHL<NMOJQPSR�9FT*A5JQIUHVCN<?INWXUY[Z]\_^`bac`�d Z]eVf1^` \]ghZ `jikhY_lj\]Z]\]m_\Nn�oV\]ZpeLY@oLq ac` qro�s `ut vw` g t�vw`yxQz g{eLY@eLf�Zp|�m `ji}�eVf�oVZ~Y `�� \]�p��oLmwq i����F��� x,� Z z Y@eVY tj`�ac`u� � iN� g{oLY tj`� Z~q�q ` l � � mwZ~q�qreF\��Go � Z z Y@eVY@��Z�Y[g{oF� �hg

�/�U��������V�F6K�������G���L�� �¡,�[¡�¢V��¢F�{ ���*£_¢F£����L¡u�V¤� �¥{¡u�§¦y �{¥���¤¨�L¥{¢V¡©¢Vª=¥��[ �¦ ¢�«L�L¡u�r¬�V£[¦  yª]­[£[¦ ¥���¢F£�ª~¢V¡©®�¬°¯���¤� £[����¢F£[�V±B¡u�V£[¯_¢F¤³²� ±§¯[�'´:µ/¡� �¶F­[±§�L¡u�¸·�L¥��¸¢F£�¢VªN¥��_ � ¤�¬���¸¡h��¦��V±@¦ ¢�«(�L¡h���V£[¦  y¤��L¥{¡u�¸¹*´ºµ*��¦ ¢F£c«V¢F±§­_¥��¸¢F£�»V �¡u£_ ±?¼w���_ �¤��V��£/ª~ �L¥�­[¡� �¢VªU¥��[�§� �{¥���¤¨�L¥{¢V¡5���O�¸¥��=��¢F���¸¥���«V �¯_  ²@£[�¸¥{ £[ ���½ �«V �¡�µº¾��_ �¡� ©¢F£¨�¸¥��Q¯_¢F¤��V��£�¾��[��±¸ G�¸¥Q¯_¢: �£_¢V¥N�V����­[¤� Q�{¥��L¥��¸¢F£��L¡u�¸¥°µ�¢Vª�¥��_ =²� ±§¯�¼¿0 '�[¡� �{ £:¥U�� �«V �¡u�V±w¦u�_¢F��¦  �7¢Vª_¥��_ 5»V �¡u£_ ±?À¥��_ £�¾5 y�[¡�¢�«º�§¯_ ,��¢F¤� y��£[����¶F�c¥'ª�¢V¡G¥��_ y�{ ±¸ ¦ ¥��¸¢F£Á¢VªU¥��_ ���¤�¢:¢V¥��[�§£_¶����L¡u�V¤� �¥{ �¡��£:«V¢F±¸«V ¯�¼_¿0 ��§±�±�­[�{¥{¡h�L¥{ ���¢F¤� �¢VªU¢F­[¡�¡� ��­[±�¥��'¢F£Á��¢F£_ �¯[�§¤� £[���¸¢F£��V±@���§¤�­[±§�L¥{ ¯¯[�L¥��V�{ �¥,�V£[¯�¢F£"�V¦ ¥�­��V±K®�¬°¯[��¤� £����¸¢F£[�V±�¡u�V�§£_ª��V±§±B¯��L¥��w¼

 6Ã�ÄB���(Å�Æ7ÇU�V��È�Å@Ä

���_ $¦ ¢�«(�L¡h���V£[¦  $ª]­[£[¦ ¥��¸¢F£É�§���Ê�B¢�¾Q �¡uª�­[±�¯[ ��¦ ¡u�¸�[¥���«V )¥{¢º¢F±�¥{¢#¡u  Ë� ¦ ¥"�{���L¥��§�V±¦u���L¡u�V¦ ¥{ �¡u���{¥��§¦��y¢Vª5¥��_ �¯[�L¥��Á��£Ì £:«w�¸¡�¢F£[¤� £:¥��V±½�{¥�­[¯��¸ ��¼�ÍÎ¥y�§�y�V±��{¢�¡� Ïº­[�¸¡u ¯�¥{¢��¤��@±¸ ¤� £:¥*±���£[ �L¡/��£:¥{ �¡���¢F±��L¥��¸¢F£Ð��¦u�[ ¤� ��ÀG��­[¦h�Ñ�V��»º¡u�¸¶F�§£_¶_ÀQ�V£[¯1���§¤�­[±§�L¥��¸¢F£�V±¸¶V¢V¡u��¥��[¤��G�V��¾5 ±�±p¼���[ ¨¦�±��V�����§¦��V±=�L�[�[¡�¢F�V¦h�Ò��£Ò¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  /¤�¢º¯[ ±���£_¶�����´@�V�{ ¯$¢F£Ò���L¡u�V¤� �¥{¡u�§¦

�V£[¯)�{¥��L¥��¸¢F£[�L¡uµ"¤�¢w¯_ ±���ÀB­[����£_¶* �¸¥��_ �¡,¥��_ �¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  �¢V¡�¥��_ b«(�L¡u��¢V¶V¡u�V¤%ª�­[£�¦j¬¥��¸¢F£�¼wÓº¥��L¥��¸¢F£[�L¡u��¥°µ����=�yϺ­[�¸¥{ G¡u �{¥{¡u��¦ ¥��¸«V ©�V����­[¤���¥��¸¢F£��V£[¯��§�=¦�±��V�����§¦��V±�±¸µ�¡u ±��(¹º ¯´ºµ2�V¯[¯���£_¶$�̪]­[£[¦ ¥��¸¢F£[�V±G¯[¡u�¸ª�¥��V£�¯#­[����£[¶Ì­�£[�¸«V �¡u���V±'»º¡u�¸¶F�§£_¶Ì´��V�{ ¯#¤� �¥��[¢º¯[�¼Ô ¢V¡,�{¢F¤� y���[ £_¢F¤� £[����£"�{���V¦  ��V£[¯Á¥���¤� VÀ_ V¼Õ¶_¼@¦�±§��¤��L¥{ y¢V¡��V��¡���¢F±�±�­_¥��¸¢F£�¯[�L¥��wÀ£_¢F£w¬°��¥��L¥��¸¢F£[�L¡u�¸¥Îµ¨£_¢V¥5¢F£[±¸µ¨�(Ö� ¦ ¥��'¥��_ �¯_¡u��ª~¥=´@­_¥Q�V±���¢�¥��_ �¦ ¢�«(�L¡u�§�V£[¦  ��{¥{¡u­[¦ ¥�­_¡u �¸¥��{ ±�ªÎ¼V���_ G�V��¤×¢Vª@¥��[�§�N���L�� �¡=���N¥{¢��[¡�¢V��¢F�{ G�y¦ ¢�«(�L¡u�§�V£[¦  � �{¥���¤¨�L¥{ ���£���¶V £_ �¡u�V±£_¢F£w¬°��¥��L¥��¸¢F£[�L¡�µ�¦ ¢F£c¥{  ¹w¥�¼

Page 2: A POSITIVE DEFINITE ESTIMATOR OF THE NON STATIONARY

8,9:8';O<?>�>�A5CÒIKCØMO>K9

Óº¢F¤� ��L¥{¥{ ¤��[¥��©¥{¢¨¤�¢w¯_ ±&£[¢F£w¬°�{¥��L¥��¸¢F£[�L¡uµ�¦ ¢�«(�L¡h���V£[¦  ��­[£[¯_ �¡��*£_¢F£w¬?���L¡h�(¬¤� �¥{¡u�§¦0�{ �¥{¥���£_¶#¦��V£É´� 0ª�¢F­[£[¯1��£1¥��_ $�u�¸¶F£[�V±��[¡�¢w¦  �����§£_¶Ù±��¸¥{ �¡u�L¥�­_¡u VÀ�Ú]Û)�V±�±��L¥ �¥��V±p¼¸À½ÜÝVÝVÞFßh¼K���_ �� ��L���[¡�¢F�V¦u�[ ��¯_ �V±7¾��¸¥���¥���¤� ��{ �¡u�¸ �ÀB�p¼Õ V¼�¢F£_  ¬°¯���¤� £[����¢F£[�V±�[¡�¢w¦  ���{ ��¢F£$ Ï:­[�V±§±¸µ"�{���V¦  ¯Ì��¢F��£:¥���À��V£[¯0¯_¢�£_¢V¥y¦ ¢F£�����¯_ �¡�¥��_ ���¢F���¸¥���«V b¯_  ²�¬£[�¸¥{ £[ ����¼[���_ �� ���L�[�[¡�¢F�V¦h�_ ��¯���¯�£_¢V¥��{ � ¤.¡� ±¸ �«L�V£c¥G¥{¢�¢F­[¡���­_¡���¢F�{ V¼à £Á �L¡u±�µ��L¥{¥{ ¤��[¥�¥{¢¨¤�¢º¯_ ±K£_¢F£Á�{¥��L¥��¸¢F£��L¡�µÁ¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  �,¦��V£Á´� �ª�¢F­[£[¯Á�§£

¥��_ �¾5¢V¡�»�¢VªKÓº¾��¸¥{·� �¡,ÚáÜÝVÞVÝFßhÀº¾©�[��¦u��¤¨�V��£��[¡�¢V��¢F���V±_�§�½¥{¢�¤�¢w¯_ ±w¥��_ ©¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  ´� �¥°¾5 � £*�V£/­[£w¬°¤�¢F£[�¸¥{¢V¡� ¯��u�¸¥{ ©�V£[¯*��¤�¢F£��¸¥{¢V¡� ¯¨�u�¸¥{ ©�V�5��±��§£_ �L¡O¦ ¢F¤�´���£[�L¥��¸¢F£¢Vª= ¤��@�¸¡u��¦��V±U¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  ��¼��������©�L���[¡�¢F�V¦u�̤���µ"¶F�¸«V b¾5 ±�±K´� �[��«V ¯Ì¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  ¤��L¥{¡u�§¦  ��´@­_¥��¸¥b¯_¢º �b£[¢V¥�¥��V¦u»º±¸ �¥��_ �¤�¢w¯_ ±���£[¶Á¢Vª�¦ ¢�«L�L¡u���V£�¦  ��´B �¥Î¾Q � £2¥Î¾Q¢­[£w¬°¤�¢F£[�¸¥{¢V¡� ¯�����¥{ ��¼â ¢F¤�´���£���£_¶������L¡h�V¤� �¥{¡u��¦��V£[¯Á�{¥��L¥��¸¢F£��L¡�µÁ��¦u�[ ¤� �¾���¥��Á�¨£_¢F£_¬?���L¡u�V¤� �¥{¡u�§¦

��¤�¢º¢V¥��y¯_ �ª�¢V¡u¤��L¥���¢F£�¢Vª:¥��[ =¶V �¢V¶V¡u�L���[�§¦��V±F�{���V¦  VÀ(Ó_�V¤����{¢F£��V£[¯bã�­_¥{¥{¢V¡��*ÚáÜÝVÝV®Fß�[¡�¢V��¢F�{ ¯)¥��_ �¤�¢w¯_ ±���£[¶¨¢VªQ£[¢F£w¬°�{¥��L¥��¸¢F£[�L¡uµ"¡u�V£[¯[¢F¤.²@ ±�¯[�©¥��_¡�¢F­_¶F�Ì�{���V¦  �¯[  ¬ª�¢V¡u¤��L¥��¸¢F£[�¼VÍÎ¥O�L���B �L¡u ¯�¥��[�L¥=¥��_ �¤�¢º¯_ ±§��£_¶,¢Vª������V¦  �¯_ �ª�¢V¡u¤��L¥��¸¢F£�¾'�V�O¦�±�¢F�{ ±¸µ¡� ±��L¥{ ¯Ê¥{¢$¦h�[�L¡u�V¦ ¥{ �¡u�§�{¥���¦���¢Vª©¥��_ Á£_¢F£w¬°�{¥��L¥���¢F£[�L¡�µØ¦ ¢�«(�L¡h���V£[¦  V¼O���[ /��£[ª~ �¡� £�¦  ¢Vª�¥��_ "�{�@�V¦  "¯_ �ª�¢V¡u¤��L¥��¸¢F£Ð������£[¯[ � ¯Ê Ï:­[��«(�V±¸ £:¥�¥{¢Ò¥��[ "��£_ª� �¡� £[¦  �¢Vª��$£_¢F£_¬�{¥��L¥��¸¢F£��L¡�µ�¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  yª]­[£[¦ ¥���¢F£���£���£_¢F£w¬?�@�L¡u�V¤� �¥{¡u��¦�ª�¡u�V¤� �¾5¢V¡�»0Ú]ä7 �¡�¡u��£��V£[¯Óº £_¢F­������pÀ�®LåVåVåwæNÓº £[¢F­[�����7 �¥y�V±p¼¸ÀK®LåVåVåcßh¼ Ô ¢V¡�¥��_ �� �¡� �V�{¢F£[��À�¥��[ ���£c¥{¡u¢º¯[­�¦ ¥��¸¢F£¢Vª���»V �¡u£_ ±r¬?´@�V�{ ¯Ê£_¢F£w¬?���L¡u�V¤� �¥{¡u��¦� ��¥���¤��L¥{¢V¡�¢Vª�£_¢F£_¬°�{¥��L¥��¸¢F£[�L¡�µØ¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  �¾'�V��¦u�[¢F�{ £�¼���[ �¡� G���N��¦ ¢F£[����¯_ �¡h�L´�±¸ '�V¤�¢F­[£:¥7¢VªB���L�� �¡u�N¯_ �«V¢V¥{ ¯�¥{¢�¥��[ '£[¢F£����L¡u�V¤� �¥{¡u�§¦

 �{¥���¤¨�L¥��¸¢F£�¢Vª�¦�­_¡�«V �5�V£[¯��u­_¡�ª]�V¦  ��ÀF V¼Õ¶_¼w£_¢F£w¬?���L¡u�V¤� �¥{¡u��¦�¯_ £����¸¥°µb¢V¡O¡u �¶V¡� �����¸¢F£ª]­[£[¦ ¥��¸¢F£[�¼�ç©�u��£_¶�¥��[�§�&ª�¡u�V¤� �¾5¢V¡�»@À(è©�V±§±c�V£[¯bäN�L¥���±@ÚáÜÝVÝ(é:ß7�[��«V Q��¡�¢V��¢F�{ ¯���­�¦u���£_¢F£w¬?�@�L¡u�V¤� �¥{¡u��¦' ��¥���¤��L¥{¢V¡'¯_ ���¸¶F£_ ¯�¥{¢y �{¥���¤��L¥{ ©¥��_ �¦ ¢�«(�L¡u�§�V£[¦  �¢Vª��{¥��L¥��¸¢F£��L¡�µ¡u�V£[¯[¢F¤ê²� ±�¯[�¼N���_ �µ2��¥��L¡�¥¨¾���¥��Ê¥��_ "¦�±��V���u��¦��V±�ë,�V¯[�L¡u�µF�(¬?¿$�L¥���¢F£1 �{¥���¤��L¥{¢V¡Ú]ë,�V¯[�L¡u�µF�wÀ�ÜÝVì(é_æ�¿$�L¥���¢F£�À�ÜÝVì(é:ß"�V£[¯1¢V´[¥��V��£É��¢F����¥��¸«V 0¯_  ²@£[�¸¥{ £[ ���/¢Vª�¥��_ ¦ ¢�«L�L¡u���V£�¦  �ª]­[£[¦ ¥��¸¢F£�¥��_¡u¢F­_¶F��¥��_¡� ���[¢F±�¯[��£_¶b¢Vª½�¸¥�� Ô ¢F­[¡u�¸ �¡�¥{¡u�V£��{ª~¢V¡h¤�¼í ­[¡O�L�[�[¡�¢F�V¦h�*¯��rÖB �¡h�½ª~¡u¢F¤î¥��_ ���¡� �«º��¢F­[�N¢F£_ �´ºµ�¥��_ �ª]�V¦ ¥O¥��[�L¥Q¾Q ,¦ ¢F£[����¯[ �¡

��¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  'ª]­[£[¦ ¥��¸¢F£� �{¥���¤¨�L¥{ 5¥����L¥N�§�U´@­[��±¸¥á¬°��£y�B¢F�u�¸¥��¸«V Q¯[  ²@£[�¸¥{ Qª~¢V¡½�V£:µ��{���V¦  ¯[��¤� £[���¸¢F£�ÀB¾��¸¥��[¢F­_¥��V£cµ0�{¥��L¥��¸¢F£��L¡u�¸¥°µ0�V���u­[¤��[¥��¸¢F£���¼BÛ�¢V¡� �¢�«V �¡À7�V��¦ ¢F¤����L¡� ¯¥{¢�¦�±��V������¦��V±º¦�­_¡�«V 5 �{¥���¤¨�L¥��¸¢F£b¥{ ¦u�[£[�§Ï:­_ �À�¾5 Q¡� ±§�(¹�¥��_ '�cµº��¢V¥��_ �{ �7¦ ¢F£[¦  �¡u£[��£[¶­[£[¦ ¢V¡u¡� ±��L¥��¸¢F£Ì¢Vª' �¡�¡�¢V¡h�y¢F£0¢V´��� �¡�«(�L¥���¢F£[��¼&Íá£0¥��[���y���L�� �¡À�¾Q *¢F£[±¸µÌ¦ ¢F£[����¯_ �¡y�¯[�L¥��©¦ ¢F£c¥{  ¹w¥U¾©�¸¥����{ �«V �¡h�V±F¡� �V±���·�L¥��¸¢F£[�&¢Vª_¥��[ =¡u�V£[¯_¢F¤ï²� ±�¯y�L¥7¤�¢F£[�¸¥{¢V¡u ¯����¸¥{ �¼í ­_¡G¤� �¥��[¢º¯�¤���µ/�L����±¸µ�¢F£������§£_¶F±¸ ,¡� �V±��¸·�L¥��¸¢F£/¾���¥��/�����L¥����V±�¯_ £[�u�r²@¦��L¥��¸¢F£/¢Vª¥��_ �¯��L¥��w¼���������@�L�B �¡����b¢V¡�¶F�V£[��·� ¯2�V��ª�¢F±�±¸¢�¾��*ð7¾5 �¶F�¸«V �¥��_ �¤��V��£2¯_  ²@£[�¸¥���¢F£[���V£[¯

�[¡�¢V�� �¡�¥��� �G��£��{ ¦ ¥��¸¢F£)®º¼BÓº¢F¤� ��§£[���¸¶F�:¥G¦ ¢F£[¦  �¡u£[��£[¶�¥��_ �­[£[��«V¢F��¯[�L´�±� ��§����­_ �'¡�  ¬±��L¥{ ¯Ì¥{¢�¥��_ �¦h�_¢F��¦  �¢VªO¥��[ b»V �¡h£_ ±N�V£[¯Ì¢VªO¥��_ ���¤�¢:¢V¥��[�§£_¶*�@�L¡u�V¤� �¥{ �¡����,¶F�¸«V £��£Á�� ¦ ¥��¸¢F£)ñº¼Bò=«V £:¥�­[�V±�±¸µVÀ@�{ ¦ ¥��¸¢F£�é*����¯[ �«V¢V¥{ ¯�¥{¢*¥��_ ��§¤���±¸ ¤� £:¥��L¥��¸¢F£�¢VªN¥��_ �[¡�¢V��¢F�{ ¯� ��¥���¤��L¥{¢V¡�¢F£"����¤b­[±��L¥{ ¯��V£[¯Á�V¦ ¥�­��V±K¯[�L¥��w¼

Page 3: A POSITIVE DEFINITE ESTIMATOR OF THE NON STATIONARY

J'A5J#HVC@M�CN<ÎA5JQMOE@ó1ô½A=õBMQE½<?MOJ'ô7IUH

ö 6Ã�"ÅBÄ�÷uø7�[�(��ùÒú:���LÈ����Fźûw���(È���ÄU�Fú0úº����È]ùÒ�[��úü 9þý�9�P5IKÿB<?JO<?CN<ÎA5J�  �¥�­[��¦ ¢F£[�u��¯_ �¡����{ ¦ ¢F£[¯Ì¢V¡u¯_ �¡�¡u�V£�¯_¢F¤ ²� ±�¯���Ú���ß©¯_  ²@£_ ¯)¢F£Ì��¯_¢F¤��V��£��¢Vª��_À_¾��¸¥���¦ ¢�«(�L¡u�§�V£[¦  �ª]­[£[¦ ¥��¸¢F£��î¢F£ ��� �"¼�  �¥����������������������� "!"´� ��$�{ �¥�¢Vª,��¢F��£c¥���¢Vª#��À=�V£[¯%$�&ºÚ'�)(pßhÀ©Ü+*�,-*�.½ÀÜ#*0/-*+1"´� y���{ �¥�¢Vª"1��p¼ �p¼ ¯&¼º¢V´@�{ �¡�«L�L¥��¸¢F£[�G¢Vª2� �L¥����¸¥{ �3� ( ¼�  �¥U­[�&¯[ £_¢V¥{ =´ºµ54��îÚ76 (�8 9 ß�¥��_ = ¤�����¡u��¦��V±V¦ ¢�«L�L¡u���V£�¦  Q¤��L¥{¡u�¸¹,¢Vª:��À�£[�V¤� ±�µVÀ

6 (78 9 ��Ü);�1=<>&@? �@A $)&wÚ'� ( ßCB $�Ú'� ( ßED A $)&_Ú'� 9 ßCB $�Ú'� 9 ßED ÚáÜ�ß

ë©  ¹º¥�À�¦ ¢F£[�u��¯_ �¡u��£[¶��¨���L¡u¥��¸¥��¸¢F£��)� � ���������F� !�¢Vª2� ��­[¦h�"¥����L¥5� (HG � ( �I,J�ÜK���������I.½ÀKÚ� V¼Õ¶�¥��_ ML½¢V¡�¢F£_¢)N OB���L¡�¥��¸¥���¢F£¨��£[¯�­[¦  ¯�´ºµ��'ßO�V£[¯/��£[¢F£w¬°£_ �¶F�L¥��¸«V �»V �¡u£_ ±P ¯[  ²@£_ ¯#¢F£Q�R�S��ÀQ�§£c¥{ �¶V¡u�L¥��§£_¶Ø¥{¢Ê¢F£_ VÀ5¾5 )��¡�¢V��¢F�{ "¥��_ )ª�¢F±�±¸¢�¾©��£_¶Ò£_¢F£���L¡u�V¤� �¥{¡u��¦�£_¢F£Á��¥��L¥��¸¢F£[�L¡�µ/ �{¥���¤��L¥{¢V¡©¢Vª2��¢V´[¥��V��£[ ¯�´:µ�¡� �¶F­[±§�L¡u�¸·�L¥��¸¢F£�¢Vª�4=ð

T�JU(Ú��V�IW_ß2� > (�8 9 6 (�8 9CXZY\[^]ZY"_`P U(Ú��-B+a\�IWbB+c_ßed�a"dfc Úp®Fß

¾��_ �¡u  P U(Ú�aV�IcwßJ�Qgihkj P Ú�al;mgf�IcZ;mg(ßhÀ�ª�¢V¡��V£:µ/��¢F����¥��¸«V �¡� �V±ngF¼ü 9 ü 9�RNA'HL<?CN<põQIÌP5IKÿB<?J=<?C½IUJOI7HFH���_ )¤��V��£Ñ��£:¥{ �¡� �{¥/¢Vªy¥��[���*»º�§£[¯#¢Vªy ��¥���¤��L¥{¢V¡Á���*¥��[�L¥/�B¢F�u�¸¥��¸«V �¯[  ²@£[�¸¥{ £_ �u�¢Vª P À �p¼Õ V¼�ª~¢V¡$�V£:µ³Ú�a � ���������Iapo"ß���£q� �V£�¯Ã¦ ¢F¤���±¸  ¹ £º­[¤�´B �¡h�2Úsr � ���������FrmoÁßhÀ> (78 9 r�(Ztr@9 P U Ú�a:(^�IaZ9�ßvuSåwÀº±¸ �V¯[�O¥{¢���¢F���¸¥��¸«V ©¯_  ²@£[�¸¥{ £[ ���½¢Vª T� U �¸¥��{ ±¸ªB¢F£�� �b� ¼äO¡�¢:¢Vª/ð � eVgÒoLYkwÙZ�Y�\ `?zº` g x i�t eLf3y@q `u�Ñ� oLqþm `�aS�L`ut \?eLg Úsz � �������)�Fz�oÁß oLY ayweLZ�Y�\�l � � ���������I�po eá� � iH{Q`�v o �V`o 8 o> | 8 } z | tz } T�JU(Ú�� | �I� } ß~� �8 > (�8 9 6 (�9

o 8 o> | 8 } z | tz }�XZY\[^]ZY"_`P U(Ú�� | B�a\�I� } B�cwßed�apd�c� �8 > (�8 9 6 (�9 r (�9� vw`b` f3y@Z�gjZ t oLq t e � oLgjZ]oLY th` f�oV\]gjZ � 4 Z~lJywe(lhZ]\]Z �L`�ac`s� Y�Z�\ ` i \ v_` g ` ��eLg ` iv� w �U` �� ` g�� lG\ vw` eVg ` f�����eLgjY/oLY a�� e v Y_l�eLY i �F�F�f� i ywo z:` �:�F��� i Z�\&Z§l ` Y@eVm zVv \?e�y@gáe �L` \ vw`ywe(ljZ�\]Z �L`�ac`s� Y�Z�\ ` Y ` lhl�eá��\ vw` f�oV\]gjZ ��� ��Úsr (�9 ß \?e�y@g{e �L` \ v oV\H� �8 (�8 9 6 (�9 r (�9 uSå �

Page 4: A POSITIVE DEFINITE ESTIMATOR OF THE NON STATIONARY

8,9:8';O<?>�>�A5CÒIKCØMO>K9

f8 > (78 9�� (ft� 9)r)(�9�� > | 8 } > (78 9 z | tzV} � (�t� 9 X�Y\[e]ZY"_ P U Ú�� | B+aV�I�:}�B�cwßed�apd�c� > | 8 } > (78 9 z | tzV} � (�t� 9 X Y�]ZY P U Ú�� | B+aV�I�:}�B�cwße� YV[ Ú�a�ße� Yp_ Ú�c_ßed�apd�c� XZY�]ZY > | 8 } > (�8 9 z | tzV} � ('� YV[ Ú�a�ß�t� 9�� Y"_ Ú�cwß P U Ú�� | B+a\�I�"}�B+c_ßed�apd�c� vw` Z~Y�\ `°z g{oLY a e{��\ vw` q¸oV\p\ ` g `�� y@g ` luljZ]eVY$Z§l�y_e(lhZ]\]Z �V` o(l3P U Z§l�ywe(lhZ]\]Z �L`�ac`'� �Y[Z]\ `ji½vw` Y th` � f8 (78 9 � ( t� 9 r (�9 uSå �ü 9 �F9��GIUE=JOIU>�ÿBA5E=T¨Hà ª~¥{ �¡½¯_  ²@£���£_¶�¥��_ 5¶V £_ �¡u�V±ºª�¢V¡u¤Ã¢Vª[¥��_ 5 �{¥���¤��L¥{¢V¡=�L¡h���{ �U¥��_ Q��¡�¢V´�±¸ ¤ ¢Vª�¦u�[¢:¢F�á¬��£_¶Ù�Ù�@�L¡�¥���¦�­[±��L¡�»V �¡h£_ ±�¢Vªb¾��[��¦h�1¥��_ Ò¤��V��£1¡u Ï:­[��¡� ¯1�[¡�¢V�� �¡�¥ÎµÐ������¢F����¥��¸«V ¯_  ²@£��¸¥{ £_ ����¼[���_ �¡� y�L¡� b¤��V£cµ���­��¸¥��L´�±¸ �»V �¡u£[ ±���À_¾5 ���­[�{¥G £º­[¤� �¡u�L¥{ �¥��_ �¤�¢F�{¥¦�±��V���u��¦��V±�¢F£_ ��¼� ÈE �����ú:ø¢¡ÎÇ7ÄU�V��È�Å@Ä0£�úº�(ÄUúZ¤ P Ú�a\�Icwß2�¢¥f¦ h �¨§ �© �¨§ eª¬« Ú�a\�Ic_ßhÀ� È]ÈE ®­/��ÇU���È���Ä¢£@ú:�LÄKúZ¤ P Ú�a\�Ic_ß2��Ü);wÚp®K¯Kß   ¹w��B�Ü);L®_ÚF°�° a°�° �± °�° c`°�° ß� È]È]ÈE ��3²&øOÅ@ÄUúºÄB��È��:¤v£@ú:�LÄKúZ¤ P Ú�a\�Ic_ßH��Ü);LÞK¯�  ¹º��B³°�°rÚ�a\�Icwß�°�°à ±�±�¢Vª½¥��_ �� �ª]­[£[¦ ¥��¸¢F£[�G�L¡u �»w£_¢�¾�£"¥{¢¨´� y��¢F���¸¥���«V y¯_  ²@£[�¸¥{ �¢F£´�pµ5¼p¶� �¡u£_ ±§�

Ú]�~ßQ�V£[¯0Ú]���~ßO�L¡� ��{ ����L¡h�L´�±¸ �ª�­�£[¦ ¥��¸¢F£[��Àº�p¼Õ V¼w¥��_ �µ*�L���B �L¡��V�'¥{ £��{¢V¡u���V±B�[¡�¢w¯[­[¦ ¥5¢Vª¥��_ ©ª~¢V¡u¤·/�Ú�a�ß^/�Ú�c_ßh¼[Û"¢V¡u ©¶V £_ �¡h�V±�±¸µVÀ:±� �¥Q­[�Q£_¢V¥{ ©¥����L¥Q��¢F���¸¥���«V �¯_  ²@£[��¥{ �»V �¡u£_ ±��¢F£Ì�V£cµ)�{���V¦  ��[¡�¢w¯[­[¦ ¥�¦��V£Ì´� �´@­[��±�¯�´ºµ"¥{ £��{¢V¡u���V±U�[¡�¢w¯[­[¦ ¥��©¢VªQ�V£:µ"ª]­[£[¦ ¥��¸¢F£��//¾��[�§¦u�Á¯_¢�£[¢V¥�£_ � ¯Á¥{¢�´� ���¢F���¸¥��¸«V y¯[  ²@£[�¸¥{ V¼òQ�{¥���¤��L¥{¢V¡u��¯_ �¡u�¸«V ¯0ª�¡�¢F¤ ¥��[ �{ �»V �¡u£_ ±���¯[�rÖ� �¡�ª~¡�¢F¤ ¥��_ ���¢F��£c¥�¢Vª5«w�¸ �¾×¢Vª

¥��_ �¸¡*¡� �¶F­[±��L¡h�¸¥°µV¼ T�JU����¨��¤�¢:¢V¥��_ �¡�¥��[�V£ P U��V£[¯Ð¥��_ Ì�{ �¥/¾��_ �¡�  T�JU/  ¹_�[�¸´@�¸¥������£[¶F­[±��L¡u�¸¥��� �Q¯_ ��� £[¯��'¢F£�¥��_ �±¸¢w¦��L¥��¸¢F£[�'¢Vª½¤� �V�u­_¡� ¤� £:¥����¸¥{ �3� ( ¼¸ 6Ã������È]ùÒ�[��ú"È]ùÒø�¤�úºùØúwÄB���_��È�Å@ÄÍá¯_ �V±�±¸µVÀ�¥��_ �»V �¡u£[ ±½¦u�_¢F��¦  ��u�_¢F­[±�¯)´� �¤��V¯_ ��V¦�¦ ¢V¡u¯[��£[¶�¥{¢Á���[¡� ��¦ ¡u��´B ¯)¦ ¡u�¸¥{  ¬¡u�¸¢F£&¼ í £_ ©¢VªK¥��_ �¤�¢F�{¥'­[�{ ¯/¦ ¡u�¸¥{ �¡h�¸¢F£*�§£¨¥��_ ,¡� �¶V¡� �u���¸¢F£*¢V¡'¯[ £[���¸¥Îµ� �{¥���¤��L¥��¸¢F£±��¸¥{ �¡h�L¥�­_¡� ����G¥��_ yÛ� �V£ÁÍá£:¥{ �¶V¡u�L¥{ ¯ÌÓ_Ï:­[�L¡u ¯�ò=¡�¡�¢V¡©¯_  ²@£_ ¯��V�

x �º¹�»¼�Q»¾½¿X�Y�]ZY,Ú T�JU(Ú��V�IW_ßCBÀ��Ú��\�IW[ß{ß df�"d�W�Á ÚpñFß

�������&Ϻ­[�V£c¥���¥°µ����_¢F­[±§¯�´B =¤¨��£[��¤���·� ¯©¢F£���ª]­[£[¦ ¥��¸¢F£��V±V�{���V¦  VÀ�¾©�¸¥���¡� �{�� ¦ ¥&¥{¢¥��_ '­[£[¯_ �¡h±¸µº�§£_¶'»V �¡u£_ ± P �V£[¯�¥��_ 5´��V£[¯_¾��§¯_¥���gF¼Lè©¢�¾5 �«V �¡O�¸¥U�§�K¾5 ±�±F ��¥��L´�±������[ ¯

Page 5: A POSITIVE DEFINITE ESTIMATOR OF THE NON STATIONARY

J'A5J#HVC@M�CN<ÎA5JQMOE@ó1ô½A=õBMQE½<?MOJ'ô7IUH

Ú]òO­[´��V£_»BÀwÜÝVÞVÞºæºèbN�L¡h¯[±¸ VÀ[ÜÝVÞVݺæwÓ_��±¸«V �¡u¤��V£&ÀºÜÝVÞVìFß½¥��[�L¥=¥��_ �¦h�_¢F��¦  �¢VªB¥��_ G»V �¡u£_ ±P ÀO�p¼Õ V¼=¥��[ "���[�L�� VÀO���¨£_¢V¥¨�Ò¦ ¡h­[¦����V±G��¢F��£:¥�À=�V£[¯Ù¥��[�L¥/¦u�_¢º¢F����£[¶Ò�0»V �¡u£_ ±�ª~¢V¡£º­[¤� �¡u��¦��V±º¦ ¢F£:«V £[�¸ £[¦  ����U¢Vª�¥{ £��,�� £[���¸´�±� Q¦u�[¢F��¦  ' �«V £��¸ª[¢V�[¥���¤¨�V±��¸¥°µ�¢Vª x �Z¹�»���G£_¢V¥©�V¦u�[�¸ �«V ¯&¼Óº¢_À�¥��_ O±��V��¥U�{¥{ ���¡� Ï:­��¸¡� ¯�¥{¢©´�­[��±�¯��V£�  ÖB ¦ ¥��¸«V 5 �{¥���¤¨�L¥{¢V¡U¢Vª_¥��_ Q¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  

¡� ¤��V�§£[��¥��_ "¦h�_¢F��¦  Á¢Vª�¥��_ "´��V£[¯_¾��§¯_¥��ÀgF¼OÍ ¥¨����»º£_¢�¾�£Ù¥{¢Ø´B Á�V£Ð��¤���¢V¡�¥��V£:¥�����u­_ �����£[¦  y�{¢F¤� y«(�V±§­_ �'¢Vªg�¦��V£"±� �V¯�¥{¢¨�{¢F¤� �Ï:­[��¥{ ��§£[�L�[�[¡�¢V��¡u���L¥{ �¡� ��­[±�¥���£_¶ª]­[£[¦ ¥��¸¢F£[� T�JU�¼Íá£[¯_ � ¯�À T�JU5¦ ¢F£:«V �¡�¶V �5¥{¢�¾'�L¡u¯/¥��_ ����� ¦  �¾����{ �¦ ¢F£��{¥��V£c¥Qª�­�£[¦ ¥��¸¢F£ T�vÂFÚ��V�IW_ßH�� (�8 9 6 (78 9 � Y\[^]ZY"_ Ú��V�IW_ßhÀ'�V�ÃgÅÄ å1À5¾��[�§¦u�ʲ�¥��*¥��_ ) ¤����¸¡h��¦��V±�¦ ¢�«L�L¡u���V£�¦  �/�L¥

¤�¢F£[��¥{¢V¡u��£_¶����¸¥{ �À[£[�V¤� ±¸µ T�  Ú'��(e���Æ9(ßH��6�(�8 9F¼���[ Ê±§�L¥{¥{ �¡Ò���̯[����¦ ¢F£:¥���£º­_¢F­[��¢F£î¥��_ Ê´�¢F­[£[¯[�L¡h�¸ �"¢Vª*¥��_ Ù¦  ±�±��0�V£[¯�¦��V£

´� *«w�¸ �¾5 ¯Ê�V��¥��_ �¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  �¢Vª,��¡h�V£[¯_¢F¤�ª�­�£[¦ ¥��¸¢F£2¢Vª�¥��_ �ª�¢F±�±¸¢�¾���£_¶�ª~¢V¡u¤Áð� ( ? �kÇ ( ¥ YV[ Ú���ß�¾��_ �¡� =¥��[  Ç (eÈ �K�L¡u O¡u�V£[¯[¢F¤É«(�L¡h���L´�±¸ �����L¥��§�{ª~µw��£_¶3��Émc A Ç ( � Ç 9 Dp�6 (�9 Àc¾��[�§¦u�����O���:µº���§¦��V±�±¸µ�Ï:­_ ��¥��¸¢F£[�L´�±¸ V¼ â ¢F£c«V �¡h�{ ±¸µVÀ T�JUG¦ ¢F£:«V �¡�¶V �'¥{¢�¾'�L¡u¯/å��V�g#ÄRÊѼ���[ �¡� ��L¡� �¤��V£cµ���¢F�����¸´�±� ���¯_ �V�,¥{¢Á¦h�_¢:¢F�� �¥��_ �´��V£[¯_¾��§¯_¥���À[¡u�V£[¶F��£_¶/ª~¡�¢F¤

¤�¢w¯_ ±�´��V�{ ¯"¤� �¥��_¢w¯�¥{¢���­_¡u ±¸µ*¯[�L¥��¨¯_¡u�¸«V £�¤� �¥��[¢º¯[�¼

�ˤ]ÇVÌ_÷hÈ]ÄÑ�[øUø7�(Å��[�KÍÐÈ]ÄS��ÍUú)�Ã�(�����F�LÈ~��úº�(È�Å@ÄÑÍá£Ã¶V £_ �¡u�V±pÀ�Û�Í{Ó_ò Ú� Ï�¼ ñFßÌ�§��§£c¥{¡u�V¦ ¥��L´@±¸ ��V£[�V±�µ:¥���¦��V±§±¸µ��V£[¯"�L�[��¡�¢¹_��¤��L¥��¸¢F£���¥��_¡�¢F­[¶F���7�µw±¸¢V¡��{ �¡u�¸ ��  ¹:¬�@�V£[���¸¢F£��L¡� �¡� Ï:­��¸¡� ¯�¼����_ �¡� �u­[±¸¥���£_¶*�L�[�[¡�¢�¹w��¤¨�L¥{ ¯� �¡u¡�¢V¡,¯[ ��B £�¯[��¢F£Îg�V£�¯$¢F£2ª�­�£[¦ ¥��¸¢F£[�V±��y¢Vª�¥��_ *­�£_»º£[¢�¾�£Ò¥��L¡�¶V �¥Ï� ¥��_¡u¢F­_¶F�Ø�§£c¥{ �¶V¡u�V±§��¢Vª��¸¥��¯[ �¡u�¸«L�L¥��¸«V ��¼���_ *�{¢L¬°¦��V±§±¸ ¯Ò�@±�­_¶L¬°��£$�L���[¡�¢F�V¦u�ʦ ¢F£[�u���{¥��b��£Ò­[�u��£_¶"������±¸¢V¥� �{¥���¤��L¥{¢V¡�¢Vª¥��[ /­[£[»º£_¢�¾�£$¥��L¡u¶V �¥�ÀN�V£�¯Ò¥{¢Ì��±�­[¶"�¸¥��§£Ò¥��_ /  ¹w�[¡� ������¢F£$¢Vª�¥��_ /¢V�[¥���¤¨�V±�u¤�¢:¢V¥�����£_¶)���L¡u�V¤� �¥{ �¡¼=���[����¤� �¥��_¢w¯Ê¡� ¦  �¸«V ¯#¦ ¢F£�����¯_ �¡u�L´@±¸ *��£:¥{ �¡� �{¥��§£¥��[ ����V�{¥,¥°¾5¢�¯_ ¦��V¯_ �,ª~¢V¡�¯_ £[�u�¸¥°µÁ�V£[¯"¡� �¶V¡� ���u�¸¢F£" ��¥���¤��L¥��¸¢F£�ÀB¤�¢F�{¥�±¸µÁ�§£¢F£[ �¯[��¤� £[�u�¸¢F£�¼BÍÎ¥y�{¥��§±�±K¡u ¤��V��£[����­[´Z�á ¦ ¥�¥{¢�¤��V£cµÌ¦ ¡u�¸¥��§¦�����¤�À���£)���L¡�¥���¦�­_¬±§�L¡ÀB¦ ¢F£�¦  �¡u£[��£_¶��[¡h�¸¢V¡,�V�u��­[¤��[¥���¢F£[�,¢F£Ì¥��_ �¡� �¶F­[±��L¡u��¥°µÁ¢Vª5¥��_ �¥��L¡�¶V �¥*Ú]�{ � Ú � ¢F�V¯_ �¡À5ÜÝVÝVÝFßhÀ7ª�¢V¡��V£Ò­_�_¬?¥{¢L¬°¯��L¥{ /�V£[¯Ø�{¢F¤� �¾����L¥���¢F±¸ ¤���¦��V±=¡� �«º�� �¾ ¢Vª¥��[ ,¤� �¥��[¢º¯@ßh¼w���_ ,­[�{ ,¢Vª&¥��[���5¤� �¥��_¢w¯���£�¥��[ ,¦ ¢F£:¥{  ¹º¥G¢VªU¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  � �{¥��¸¬¤¨�L¥��¸¢F£Á��£Ã� µ �����L�[�� �V±��§£_¶�´@­_¥G¡� Ïº­[�¸¡� �G¤�¢V¡u �¾Q¢V¡�»B¼Ð �LÈ�Ì@È]ÄVÌØ��ÄUÆS�c��Å@���û_�:¤]È�ÆU�[��È�Å@ÄÑÍá£Ù¥��_ "¦��V�{ "¾��_ �¡� �¥��_ " �{¥���¤��L¥��¸¢F£#¢Vª©¥��_ ¦ ¢�«(�L¡h���V£[¦  ¨�����V£0�§£c¥{ �¡u¤� ¯[���L¥{ ��{¥{ ��0´� �ª�¢V¡� �»:¡h�¸¶F��£_¶_ÀB¾Q �¤¨�µ0¦u�_¢º¢F�{ �¥��_ �u¤�¢:¢V¥�����£_¶����L¡u�V¤� �¥{ �¡vg©¥��[�L¥O¾5¢F­[±�¯�¶F�¸«V �¥��_ ©´� �{¥O¦ ¡�¢F���{¬?«(�V±��§¯[�L¥��¸¢F£�¤� �V£�uÏ:­[�L¡u ¯�»:¡u��¶F��£_¶� �¡�¡�¢V¡¼Ô ¢V¡Q¥��[�§�½��­_¡���¢F�{ G±¸ �¥Q­[�O¯_  ²B£_  T� ¦ ( ªU �V�=¥��_ © �{¥���¤��L¥{¢V¡Q¢VªV�ɯ_ �¡h�¸«V ¯�ª�¡�¢F¤Ñ4¯[ ��[¡u�¸«V ¯�ª�¡�¢F¤�¡�¢�¾1�V£[¯*¦ ¢F±�­[¤�£Ï,�¼:���[ £�¾5 ,¯_ £[¢V¥{ �´ºµ��3Ò& Ú'� ( ß½¥��_ ,»:¡u��¶V ¯«L�V±�­_ �¢Vª��H&:Ú'� ( ß�¢V´[¥��V��£[ ¯"¾���¥��"¥��_ ���­[´_¬°���V¤���±� *Ú¿�&wÚ'� 9 ß{ß 9mÓ? ( �V£[¯"»º¡u�¸¶F�§£_¶¤¨�L¥{¡u�r¹�¯_ �¡u�¸«V ¯�ª�¡�¢F¤ T� ¦ ( ªU ¼

Page 6: A POSITIVE DEFINITE ESTIMATOR OF THE NON STATIONARY

8,9:8';O<?>�>�A5CÒIKCØMO>K9

���_ � �¡�¡�¢V¡�¥{¢¨´B y¤¨��£[��¤���·� ¯¨¾���¥���¡� �{�� ¦ ¥G¥{¢Ïgb���x ¹ P »q��Ü);�.Z1 > ( > & A � Ò& Ú'� ( ßCBÀ�&:Ú'� ( ßED Ú�é:ß

-�źû_�[�LÈ~�@ÄK�Fú)�(ú:�FÅBÄK����(ÇU�V��È�ÅBÄÐ�@ÄKÆÑ�F�(Å���¨ûw�"¤�È�Æ7�_��È�Å@Ä à £_¢V¥��_ �¡©�L�[�[¡�¢F�V¦h�¾©�[��¦u�"¯_¢: �©£_¢V¥�¡� Ïº­[�¸¡u y�V£cµÁ�V���u­[¤��[¥��¸¢F£Á¢F£Á¥��_ �¥��L¡�¶V �¥�ª]­[£[¦ ¥��¸¢F£Î�צ ¢F£w¬�u���{¥��G��£�¤��§£[��¤��¸·�§£_¶�¥��_ �¦ ¡�¢F���á¬?«L�V±���¯[�L¥���¢F£�¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  y �¡u¡�¢V¡�¯_  ²@£[ ¯Á�V��ð

�ËÔb�#»/Úsg(ßH� > (�8 9ÖÕ T� ¦ (�8 9 ªU Ú'� ( ��� 9 ßVB�6 (�8 9�× Ú'ØFß¾©�_ �¡�  T� ¦ (78 9 ªU ����¥��_ � �{¥���¤��L¥���¢F£Á¢VªJ� �L¥©���¸¥{ �bÚ'� ( ��� 9 ß'�� �¡�ª�¢V¡u¤� ¯Á¾��¸¥���¥��_  ¤����¸¡u��¦��V±w¦ ¢�«(�L¡u�§�V£[¦  �¤��L¥{¡u�¸¹b4Á¯_ ���¡u�¸«V ¯�ª�¡�¢F¤�¡�¢�¾©�,F�EÙ��V£[¯�¦ ¢F±�­[¤¨£[�C,F�EÙ_¼���[����¦ ¡u�¸¥{ �¡u��¢F£Ê¾���±�±Q¥{ £[¯Ù¥{¢Ò­�£[¯_ �¡{¬°��¤�¢:¢V¥��Ê¥��_ �¡u �V±Gª�­�£[¦ ¥��¸¢F£%� ��£2¥��_ �� £[�{ �¥����L¥Q¥��_ ©¢V�[¥���¤���·�L¥��¸¢F£*�§�=�� �¡�ª�¢V¡u¤� ¯�¢F£-4)¾��[��¦h�¨���Q��£[¢F���{µ� �{¥���¤��(¬¥���¢F£$¢Vª3��¼ í £0¥��_ *¢V¥��_ �¡b���V£[¯�À&¾��[ £0¥��_ *£[ �¥°¾5¢V¡�»0¢Vª�¤�¢F£[�¸¥{¢V¡h��£_¶Á���¸¥{ ��§��«V �¡�µ"±�¢:¢F�{ b¢F£_ b���_¢F­[±�¯"  ¹º�� ¦ ¥��¨¥{ £�¯_ £[¦ µ�¥{¢�¢�«V �¡{¬°�u¤�¢:¢V¥��Ì¥��[ ��V¦ ¥�­[�V± ¤����¸¡u��¦��V±�¦ ¢�«(�L¡u�§�V£[¦  V¼

Ú 6 -��[�ú)����ÇUÆVÛ�U¢*��±�±§­[�{¥{¡u�L¥{ y��£"¾��[�L¥©¾5��µÁ¥��_ ����B ¦��¸²@¦��L¥��¸¢F£�¢Vª=�/£_¢F£w¬°�{¥��L¥���¢F£[�L¡�µ�¤�¢w¯_ ±K¤���µ��¤���¡�¢�«V 5��£c¥{ �¡u�B¢F±§�L¥��¸¢F£���¦h�_ ¤� �½�V�N¦ ¢F¤����L¡u ¯�¥{¢�¦�±��V���u��¦��V±c�{¥��L¥���¢F£[�L¡�µ�¤� �¥��[¢º¯[�À¾5 ¨¦ ¢F¤����L¡� ¨¢V¡u¯[��£[�L¡uµÁ»:¡h�¸¶F��£_¶���¦h�_ ¤� �y¾©�¸¥��0�{¥��L¥��¸¢F£[�L¡uµÌ�V£�¯$£_¢F£w¬°�{¥��L¥���¢F£[�L¡�µ�V����­�¤��[¥��¸¢F£[�¼

Ü 9þý�9�ýjPSHL<?T�;Q>�M�CN<ÎA5J¿0 $�{¥��L¡�¥�¾���¥��Ñ�1Ü�Ý�����¤b­[±��L¥��¸¢F£Ðª�¢V¡/¾©�[��¦u�Ñ¡� �u­[±¸¥��/¦��V£1´B )«w����­[�V±���·� ¯S �V�á¬��±¸µV¼`Ý,  ²@£[��¥��¸¢F£[�,¢Vª'�[¡� �«w�¸¢F­[���{ ¦ ¥��¸¢F£[��¤��µÌ´� �¢Vª5¦ ¢F­_¡h�{ ��V¯[�L�[¥{ ¯$��¥{¡u�V�¸¶F�:¥{ª~¢V¡{¬¾'�L¡u¯[±¸µV¼Q¿0 )¦ ¢F£[�u��¯_ �¡*�Ò·� �¡�¢Ê¤� �V£1ã��V­[�������V£S¢F£0�Þ� A åZ�Ü�D�¡u�V£[¯_¢F¤ ª�­[£�¦j¬¥��¸¢F£À��¾��¸¥��Ò£[¢F£Ò�{¥��L¥��¸¢F£��L¡�µ$¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦   � ¢V´[¥��V��£_ ¯Ò´:µ$�{�@�V¦  *¯_ �ª�¢V¡u¤��L¥��¸¢F£&¼ë,�V¤� ±¸µVÀ:��Ú��V�IW_ßH�ß��à&Ú'áNÚ���ßlB�áNÚ�W_ß{ßhÀ_¾©�¸¥��Ã��àKÚ'â@ßH�îÚáÜ2BS° âC°�;mãwße� ¦  8 ä ª Ú'â@ßGÀº�V£[¯¾��¸¥��Îãå�ÃåZ��ÜL¼�Í £�¢V¡u¯_ �¡,¥{¢�¢V´[¥��V��£Ì�*��¥{¡�¢F£_¶F±¸µ"£[¢F£��{¥��L¥���¢F£[�L¡�µ�¤�¢º¯_ ±K¾Q �¥{¢º¢V»áNÚ���ß��æ�:jLÀN¾��[��¦h�2±� �«V ��¶F±�¢V´��V±�±¸µÒ­�£[¦u�[�V£[¶V ¯Ê¥��_ �¯_¢F¤��V��£2´�­_¥����[¡u��£_»w�y¥��_ ±¸ �ª�¥Q�@�L¡�¥Q¢VªK¥��_ ��{ �¶F¤� £:¥5¾©�_ �¡� �V�5¥��_ ,¡u�¸¶F�:¥5���§¯_ ©���5�{¥{¡� �¥�¦h�_ ¯�¼w¿0 y¦ ¢F£[���§¯_ �¡�ØLå��£[¯[ ��B £�¯_ £c¥����§¤�­[±§�L¥{ ¯�¡� �V±��¸·�L¥���¢F£[��¢Vª:�2�L¥7®Lå�¡� �¶F­[±��L¡u±�µ,�{�@�V¦  ¯����¸¥{ �K¢F£ A åZ�Ü�D?¼¿0 ,´�­[��±§¯ T�JU5ª�¡�¢F¤×¥��_ � ¤����¸¡u�§¦��V±_¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  �¤��L¥{¡u�r¹�¾���¥��*ã��V­[���u���V£�»V �¡u£_ ±

¯_  ²@£[ ¯���£��{ ¦ ¥��¸¢F£/®º¼ ñº¼:���[ �¤���£[��¤¨�¸·�L¥��¸¢F£�¢Vª x ¹ P »*ÚsgLß½�V£[¯-�ËÔb�#»*ÚsgLßN±¸ �V¯[�¡� �{�� ¦ ¥��¸«V ±�µ0¥{¢�gÎ�.åZ� å_Ü�ØÌ�V£�¯çg´� åZ��ÜL¼½���_ �¤�¢w¯_ ±Qª~¡�¢F¤ ¾��[�§¦u�Ø¥��_ �����¤b­w¬±��L¥��¸¢F£����L¡� �¯_¡h�¾�£ÒÚ�´� �ª�¢V¡� ��V£[¯"�Lª~¥{ �¡,¯_ �ª~¢V¡h¤��L¥��¸¢F£@ßhÀ[¥��[ y ¤����¸¡h��¦��V±�¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  

Page 7: A POSITIVE DEFINITE ESTIMATOR OF THE NON STATIONARY

J'A5J#HVC@M�CN<ÎA5JQMOE@ó1ô½A=õBMQE½<?MOJ'ô7IUH

(a)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(b)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(c)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(d)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(e)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(f)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

è"é¬êÆë�ì¿íËî@ï ðòñ@óvôsõEñFõ¿ö�÷�øKñFù'ú-ûe÷�üÆñ�ù¿ö¬ñ�ømû^ý�þ`ÿºð�������ó��\ð��ióJø�÷�ø-ôsõEñFõ¿ö�÷�øKñFù'ú-ûe÷�üÆñ�ù¿ö¬ñ�ømû^ý�þvð������ó��ð�ûFó� �����������ý����mö�ù¿ö�ûIñ��Zû^÷Fü�ñFù¿ö¬ñÆømûeý���ñ�õ'ù¿ö����[�_ ÷Fü@ý¨ù�� ��ù¿ýIñ���ö"!^ñ�õ¿ö�÷�ø�ô��pð$#mónô¿ñ����%��ö�ø%&�÷ ':õ)(mý

��ù¿ýeü)ö�÷ *mônñ�õ,+ �-�.+��Jø�÷/#�ý^ô��fð�ý�� 'Eópý^ôsõ¿ö0��ñFõ¿ö¬÷Æømô21þ4365 36798�ð��:���mó"ñÆø;#<1þ4365 7Fð��:�=��ó>��ú�ù¿ý�&�*?� ñFù¿ö0!Iñ�õ¿ö�÷�ø÷ 'lð$#Kó

Page 8: A POSITIVE DEFINITE ESTIMATOR OF THE NON STATIONARY

8,9:8';O<?>�>�A5CÒIKCØMO>K9

ª]­[£[¦ ¥��¸¢F£0Ú�¢F£�¥��_ �¾©�_¢F±¸ �¯_¢F¤��V��£��V£[¯��L¥��u�V¤���±¸ ¯����¸¥{ �'¢F£�±¸µ_ßQ�V£[¯� ��¥���¤��L¥��¸¢F£[�ª�¢V¡�¥��_ y¥Î¾Q¢�´@�V£[¯_¾���¯[¥��*«L�V±�­_ ���L¡� �¡� ��[¡� �� £c¥{ ¯"¢F£�²�¶F­_¡� �ÜL¼���[ �¤¨�V��£Ìª~ �L¥�­[¡� ��¢Vª�� �L¡� �¦��L�[¥�­_¡u ¯Ì´:µ T�vÂ

@Â �BA �V£[¯ T�vÂ

@� À&��£)���L¡�¥���¦�­[±§�L¡

¥��_ y��¡� �{ £[¦  �¢Vª½�[�¸¶F��¦ ¢V¡u¡� ±��L¥��¸¢F£[��¢F£�¥��_ �±¸ �ª�¥��[�V£[¯��u��¯_ �¢VªN¥��_ y�{ �¶F¤� £:¥�À@�V£[¯¥��_ Á±¸¢º¢F�{ Á�{¥{¡h­[¦ ¥�­_¡� �¢Vª,¥��_ ��[¡�¢w¦  ����¢F£Ê¥��[ Á¡u�¸¶F�:¥��[�V£[¯Ù����¯[ V¼Nè©¢�¾5 �«V �¡/´B¢V¥��­[£[¯[ �¡� �{¥���¤��L¥{ �¥��_ ��V¦ ¥�­��V±U«L�V±�­_ �¢Vª=¥��_ � ¤����¸¡u��¦��V±K¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  �ª]­[£[¦ ¥��¸¢F£2Ú�¢�«V �¡{¬��¤�¢º¢V¥��[��£[¶:ßhÀ@¤�¢F�{¥�±�µ�¾��_ �¡� Ë60¯����{��±���µº���[�¸¶F�Á«L�L¡u���L¥���¢F£[���V£[¯�¢F£�¥��_ �´�¢V¡u¯[ �¡�¢Vª¥��_ �¯[¢F¤��V��£$Ú�´�¢F­[£[¯[�L¡uµ�  ÖB ¦ ¥hßh¼

•••••••

••

• • •••

• •

(a)

Em

piric

al k

rigin

g va

rianc

e

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

•••

•••••

••••

••

••

••

(b)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

•••••• ••••

••• • •

••

••

••

(c)Predicted kriging variance

Em

piric

al k

rigin

g va

rianc

e

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

••••••••

••

••

• • •

(d)Predicted kriging variance

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

è"é¬êÆë�ì¿íDC)ï.EF����ö�ù¿ö¬û^ñ �@ü@ý¨ù¿ô*mô:�)ù¿ý #�ö�ûeõ¿ý�#HG�ù¿ö0&Æö¬ø?&VüÆñ�ù¿ö¬ñ�ømû^ý�I�ðòñ�ó�J�ù)*�ý"ûe÷�üÆñ�ù¿ö¬ñ�ømû^ý���ð��Kó�ôsõEñFõ¿ö�÷�øKñFù'úû^÷FüÆñ�ù¿ö¬ñÆø�û^ý��Zð�ûIópý����mö�ù¿ö�ûIñ �fû^÷FüÆñ�ù¿ö¬ñÆø�û^ý��Zð$#mópøm÷ÆøK�KñFùEñ ��ýeõ'ù¿ö�ûý^ôsõ¿ö0��ñFõ¿ö¬÷ÆøKLnö�õ)(NMPOQ�/R �ST�

Íá£0¥{ �¡u¤ ¢VªQ»º¡u�¸¶F��£[¶_À���¥y�L�[�� �L¡� ¯0¥��[�L¥y¥��[ ���¢:¢V¡� �{¥��§¤��L¥��¸¢F£$¢Vª�� ´ºµ T�vÂ@�

�L¡�¢F­[£�¯y¥��_ '¯[���L¶V¢F£[�V±c¢Vª_¥��_ '��Ï:­��L¡� Q�[�V¯�¯_¡u�V¤��L¥��§¦O¦ ¢F£[�{ Ïº­_ £[¦  �7¢F£�¥��_ O»º¡u�¸¶F�§£_¶

Page 9: A POSITIVE DEFINITE ESTIMATOR OF THE NON STATIONARY

J'A5J#HVC@M�CN<ÎA5JQMOE@ó1ô½A=õBMQE½<?MOJ'ô7IUH

¾5 �¸¶F�c¥����V£[¯Ì¥��_ �¡� �ª�¢V¡� �¢F£$»:¡u��¶V ¯Ì«(�V±�­[ ��¾��[��¦h�0�L¡� �«V �¡�µ)ª]�L¡yª~¡u¢F¤ ¥��_ �¡u�V£_¶V ¢Vª,¢V´��{ �¡�«V ¯Ù«L�V±�­_ �¼=è�¢�¾Q �«V �¡/¥��_ "­[�� /¢Vª T� Â

@ �BA/¶F�¸«V �*�{ £[���¸´@±¸ *¡u ��­[±¸¥����V����¥

¦��V£Ñ´� ��{ � £Ñª�¡�¢F¤ �ضV¡u�L������¦��V±�¦ ¢F¤��@�L¡u���{¢F£Ð´� �¥°¾5 � £Ð¥��[ � ¤��@�¸¡u��¦��V±G»º¡u�¸¶F�§£_¶«L�L¡u���V£[¦  ��V£[¯/¥��_ ,¢F£_ �¯_ �¡u�¸«V ¯*ª~¡u¢F¤�¥��[ ,¦ ¢�«(�L¡u�§�V£[¦  y¤�¢w¯_ ±��@±�­_¶V¶V ¯/��£¨»º¡u�¸¶F�§£_¶ Ïº­[�L¥��¸¢F£[�¨Ú~²@¶F­_¡� ¨®Fßh¼ à ��  ¹w�B ¦ ¥{ ¯&À&¥��_ �´� �{¥y�L¶V¡� � ¤� £c¥�´B �¥Î¾Q � £Ò�[¡� ¯[�§¦ ¥��¸¢F£�V£[¯�¤�¢w¯_ ±_���7¢V´[¥��V�§£_ ¯�¾��¸¥��b¥��_ G¥{¡h­_ G¤�¢º¯[ ±p¼V���_ G�{¥��L¥��¸¢F£[�L¡uµb¦ ¢�«(�L¡u�§�V£[¦  �¶F�¸«V ��{ £[�u�¸´�±¸ �»º¡u�¸¶V ¯S«(�V±�­[ �¨´�­[¥��[¡� ¯[�§¦ ¥�����¢:¢V¡h±¸µÊ¥��_ "»º¡u�¸¶F��£[¶0 �¡�¡�¢V¡�����£[¦  )�¸¥¨�{ �¥��¦ ¢F¤�¤�¢F£$»:¡u��¶F��£_¶/«(�L¡u�§�V£[¦  �¥{¢"�V±�±7��¢F��£:¥���Ú�  ¹w¦  ��[¥�¥��_¢F�{ ¨�L¥�¥��_ �  ¹w¥{¡� ¤���¥��¸ ��¢Vª¥��_ Ì�{ �¶F¤� £:¥hßh¼G���_ ��u­_�� �¡u�¸¢V¡u�¸¥ÎµØ¢Vª T� Â

@ �BA"�L�[�� �L¡u�/��£S��¥��*�L´��§±��¸¥°µÊ¥{¢Ê�[¡� ¯���¦ ¥

�V¦�¦�­_¡u�L¥{ ±�µ0´B¢V¥��Ò¥��_ �«L�V±�­_ ��¢Vª5¥��[ ¨�[¡�¢w¦  �����V£[¯0¥��_ *«(�L¡u�§�V£[¦  �¢VªG¥��_ �»º¡u�¸¶F�§£_¶ �¡�¡�¢V¡�¼

Ü 9 ü 9�U$I7HVC2MOÿ�E½<Îô7MÙE=MO<?JOÿVMO>@>ÁP=M�CBM¿0 �£_¢�¾É¦ ¢F£[�u��¯_ �¡'�b¯��L¥��V�{ �¥'¢Vª&¡u�V��£_ª]�V±�±� �«V £c¥��'¡� ¦ ¢V¡h¯_ ¯/´:µ¨�b¶V¡�¢F­�£[¯*£[ �¥°¾5¢V¡�»¢Vª[ñLåG �«V £[±¸µ��{�@�V¦  ¯�¶F�V­_¶V �'Ú~²�¶F­_¡� OñFßhÀ�¢�«V �¡U��Ü�ØLå�»w¤É´:µ�Ü�åVå�»º¤ï¯[¢F¤��V��£���£�¥��_ ¡� �¶F�¸¢F£)¢Vª5ë©���V¤� �µØÚ]ë©��¶V �¡jßh¼&���[���©£_ �¥°¾5¢V¡�»Ì�[�V�,´� � £�¢V�� �¡u�L¥��§£_¶*´� �¥Î¾Q � £ÙÜÝVÝLå�V£[¯ÁÜÝVÝiØ��V£[¯�¾'�V�O�§£c¥{ £[¯[ ¯�¥{¢y £[�[�V£�¦  �¢F­_¡=»w£_¢�¾©±¸ ¯_¶V �¢Vª�¥��_ �¤� �¥{ �¢V¡�¢F±¸¢V¶F��¦��V±¡� �¶F��¤� �G��£���¡� �¶F�¸¢F£���­_´��á ¦ ¥'¥{¢¨�{ �«V �¡u y¯_¡�¢F­_¶F�:¥��G¯[­_¡u�§£_¶�¥��_ y±§�V�{¥G¯_ ¦��V¯_ ��¼@Óº � �  2V'�L¡�´�W /�V£�¯ �  �´� ±�ÚáÜÝVÝYXVß�ª�¢V¡b¯[ �¥��V��±��y¦ ¢F£[¦  �¡h£[��£_¶Á¥��[ *¤�¢F£[��¥{¢V¡u��£_¶Á�V�{�� ¦ ¥���V£[¯$ã�­[�§±�±¸¢V¥©�V£�¯ �  �´� ±'ÚáÜÝVÝVÝFß�ª~¢V¡��V£Ì¢�«V �¡u«º�¸ �¾î¢VªQ¥��_ ��cµw¯_¡�¢L¬°¤� �¥{ �¢V¡�¢F±¸¢V¶F��¦��V±�����u­_ �5´B ����£[¯*¥��[���G�V£[¯��{¢F¤� �¶V �¢F�{¥��L¥����{¥���¦��V±U�V£[�V±¸µw������¼w���_ y®iØVÞ�¡h�V��£_ª]�V±�±� �«V £:¥��¾���±§±�´B y¦ ¢F£�����¯_ �¡� ¯"�V�©¤b­_¥�­[�V±�±�µ*��£[¯[ ��B £�¯_ £c¥'¡� �V±§�¸·�L¥��¸¢F£[��¢VªN�¨¡u�V£[¯_¢F¤ ª�­[£�¦j¬¥��¸¢F£�¾©�¸¥����{¥��L¥��¸¢F£[�L¡uµ�¤� �V£�¼Í ¥O���_¢F­�±�¯�´� '£[¢V¥{ ¯�´� �ª~¢V¡u ��{¥��L¡�¥���£_¶�¥��[�L¥=¥��_ G�[¡u �{ £c¥Q¯[�L¥��V�{ �¥Q�§�½£_¢V¥=»w£_¢�¾�£

¥{¢�´� =��¦��V�{ Q¢Vª_�{¥{¡�¢F£_¶�£[¢F£w¬°�{¥��L¥��¸¢F£[�L¡h�¸¥°µV¼����_ �¡� �ª�¢V¡� VÀ�V�&¢V�[��¢F�{ ¯y¥{¢�¥��_ =�[¡u �«º�¸¢F­������¤b­[±��L¥{ ¯�  ¹_�V¤���±� VÀ_¾Q y¾©��±�±�£_¢V¥�´� ���£���ª]�«V¢F­_¡h�L´�±¸ �����¥�­[�L¥��¸¢F£�¼à �U�G²�¡u�{¥K��¥{ ���¾5 O �{¥���¤¨�L¥{ O¥��_ 5¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  Qª�­[£�¦ ¥��¸¢F£�¢�«V �¡N¥��_ 5¯_¢F¤��V��£&¼è� �¡� 

�L¶F�V��£*¥��_ � ��¥���¤��L¥{¢V¡5¢Vª�ª~¢V¡u¤b­[±���®y���Q­[�{ ¯�¾���¥���¥��_ 3L½¢V¡�¢F£_¢)N O@�B¢F±�µ:¶V¢F£[�O�V£[¯�¥��_ ã��V­[�u�����V£¨¯[ £[���¸¥Îµb�V�5��¤�¢º¢V¥��[��£_¶�»V �¡h£_ ±p¼:Û)��£[�§¤��¸·�L¥��¸¢F£�¢Vª�¥��_ ,¦ ¡�¢F���á¬?«L�V±���¯[�L¥���¢F£¢V¡u¯[�§£[�L¡�µ¨»º¡u�¸¶F�§£_¶� �¡u¡�¢V¡�¾y¼Õ¡¼Õ¥3g����'¢V´�¥��V��£_ ¯�¾���¥��ågM�É캼à �©��ª�­[£�¦ ¥��¸¢F£Á¯_  ²@£[ ¯�¢F£"�¨ª~¢F­_¡©¯[��¤� £[�u�¸¢F£[�V±�¯_¢F¤��V��£&À[¥��_ y �{¥��§¤��L¥{ ¯�¦ ¢L¬

«L�L¡u���V£[¦  /ª�­�£[¦ ¥��¸¢F£2¦��V£Ø´� /¯_ �����¦ ¥{ ¯Ø¢F£[±¸µ0���L¡u¥�±¸µV¼7���_ *¦ ¢�«(�L¡u�§�V£[¦  �´� �¥°¾5 � £2���¢F��£:¥��"Ây�L¥©¥��_ �¦  £:¥{ �¡��V£[¯Á¥��[ y¡� ¤��V��£���£_¶���¢F��£:¥���¢VªN¥��_ �¯[¢F¤��V��£"�§��¯_ �����¦ ¥{ ¯¢F£�²�¶F­[¡� yñº¼ à �G��¡� �«º��¢F­[��±¸µ�£_¢V¥{ ¯&À_¥��_ � �{¥���¤��L¥{¢V¡�¥{ £[¯[�'¥{¢¨­[£�¯_ �¡� �{¥���¤¨�L¥{ ©¥��_ �V¦ ¥�­[�V±� ¤����¸¡u��¦��V±@¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  V¼ à £���£:¥{ �¡� �{¥��§£_¶�ª� �L¥�­_¡� y�[¢�¾5 �«V �¡©���'�¸¥��'�L´���±§�¸¥°µ�¥{¢¤��L��¥��_ '�V£[���{¢V¥{¡u¢V�:µy¾©�¸¥��_¢F­_¥7�V£cµ��[¡� ��¦ ¡u��´B ¯�¯[�¸¡� ¦ ¥���¢F£[�V±c��£[ª~¢V¡u¤¨�L¥��¸¢F£[��À�  ¹w¦  ��[¥¥��_¢F�{ �¦ ¢F£c¥��V��£[ ¯Á��£�¥��_ � ¤����¸¡u��¦��V±�¦ ¢�«(�L¡u�§�V£[¦  �¤��L¥{¡h�r¹B¼���[ /»º¡u�¸¶F�§£_¶"¡� �u­[±¸¥��b¢V´[¥��V��£_ ¯Ê¾©�¸¥��2¥��[����£_¢F£2���L¡u�V¤� �¥{¡h��¦�¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  Á�L¡� 

¦ ¢F¤����L¡u ¯y¥{¢�¥��[¢F�{ O¢V´[¥��V�§£_ ¯y¾���¥���¥��_ = ¤��@�¸¡u��¦��V±V¤��L¥{¡h�r¹y�V£[¯y¾���¥��y���{¥��L¥��¸¢F£��L¡�µ  ¹w�B¢F£[ £c¥����V±º¦ ¢�«L�L¡u���V£�¦  Q¾���¥���¡u�V£[¶V vã®�ÉñLå�/:Z0¼V���_ �µy�L¡� '��­[¤¨¤��L¡u�¸·� ¯���£y¥��L´�±� ÜL¼

Page 10: A POSITIVE DEFINITE ESTIMATOR OF THE NON STATIONARY

8,9:8';O<?>�>�A5CÒIKCØMO>K9

Eastings (km)

Nor

thin

gs (

km)

0[

50\

100

020

4060

8010

0 20]

20]

20]

30^

30^

30^

30^

30^

40_

40_

40_

40_

50\

607̀0a

80b

90c

100110120

130

130

è"é¬êÆë�ì¿íed�ïfJ4(�ýeEF��ô¿ñ�õgihCö0&�ý¨ùVùEñ�ö¬øSgi&@ñ *?&�ý2ømýeõ9Ll÷�ù)Gbð õ'ù¿ö¬ñÆø?&���ý^ôEónñÆø;#5ûe÷�ø�õ¿÷�*)ùj�?��÷ÆõV÷ 'kõ)(mýø�÷�ø�KñFùEñ ��ýeõ'ù¿ö�ûný^ôsõ¿ö0��ñ�õ¿ö�÷Æø�÷ '�õ)(mý`ûe÷�üÆñ�ù¿ö¬ñ�ømû^ýk1þ4l�ð�� 3 ���móm�iýeõ9Llý^ýeø�õ)(mý`û^ý^ø�õ¿ýeù\ð�ô)no*KñFù¿ý #vûeù¿÷Æô'ôEó"ñ�ø;#õ)(mýVù¿ý���ñÆö�ømö�ø?&p�i÷�ö�ø�õ¿ôHð�û^÷Fü�ñFù¿ö ñ�ømû^ýeô\ö�øN���rqEó�IÓw­[¡��[¡u���u��£_¶F±¸µVÀ�¢F­_¡�£[¢F£Ø�@�L¡u�V¤� �¥{¡u��¦�¦ ¢�«(�L¡u�§�V£[¦  "���b´� �L¥{ £Ê´:µØ¥��_ ��{¥��L¥��¸¢F£w¬

�L¡�µ"¦ ¢�«(�L¡h���V£[¦  V¼ à ���¨²�¡u�{¥,�L¥{¥{ ¤��[¥�¥{¢�  ¹º�@±��V��£Á¥�������ª]�V¦ ¥�À�¾Q ���­[���B ¦ ¥{ ¯)�{¢F¤� ´�¢F­[£[¯[�L¡uµ�  Ö� ¦ ¥G��£¨¥��[ � �{¥���¤¨�L¥��¸¢F£¨¢VªK¥��_ ,¦ ¢�«(�L¡h���V£[¦  V¼ à ¦ ¢F¤����L¡u�§�{¢F£¨´� �¥Î¾Q � £�0²@¡u�{¥�¶V¡�¢F­_�ТVª,²�ª~¥{ � £Ð�{¥��L¥��¸¢F£[�/¦�±¸¢F�{ "¥{¢Ò¥��_ "¦  £:¥{ �¡�¢Vª�¥��_ �¯_¢F¤¨�V��£#�V£[¯#��{ ¦ ¢F£[¯)¶V¡�¢F­[�)¢Vª-sá´B¢F­�£[¯[�L¡�µ��{¥��L¥��¸¢F£��Tt/¡� �«V �V±¸ ¯0£_¢��{µw�{¥{ ¤��L¥���¦b�{���L¥����V±U¥{¡� £[¯��£�¥��_ �»:¡u��¶F��£_¶b �¡�¡�¢V¡¼

J:uPv4w�Ex�Izy\ý^ô*%��õ¿ô ÷ 'H÷�ùB#�ö�øKñFù'ú{G�ù¿ö0&�ö�ø%&|Lnö�õ)(Q#�ö�}�ýeù¿ýeø�õ û^÷FüÆñ�ù¿ö¬ñÆø�û^ý��÷/#)ý���ô�I~ ÷FüÆñ�ù¿ö¬ñÆø�û^ý���÷/#�ý�� ��ñ�ùEñ ��ý¨õ¿ýeù EF����ö�ù¿ö¬û^ñ �:�MýIñÆø��Sn/*mñ�ù¿ý #

��ù¿ö0&�ö�ø%&pEkù'ù¿÷�ùvð���� q óE����mö�ù¿ö�ûIñ�� � �����õEñ�õ¿ö�÷�ømñ�ù'ú3ý6�S�i÷�ø�ý^ø�õ¿ö ñ����pOk����GS� ���hV÷�ø��Kñ�ùEñ���ýeõ'ù¿ö�û�1þ4� MHOk� ���

à ¥,¥��[������¥{ ��&À�¾5 ���­��{�� ¦ ¥�¥��[�L¥,¥��_ �{ ���¢º¢V¡�¡� ��­�±¸¥����L¡� �¡� ±��L¥{ ¯"¥{¢*¥��_ �¢�«V �¡��¤�¢º¢V¥��[��£[¶,  Ö� ¦ ¥=¢VªB¥��_ �£_¢F£��@�L¡u�V¤� �¥{¡u��¦'¦ ¢�«(�L¡u�§�V£[¦  � �{¥��§¤��L¥{¢V¡=¾��[�§¦u�b¥{ £[¯[�½¥{¢

Page 11: A POSITIVE DEFINITE ESTIMATOR OF THE NON STATIONARY

J'A5J#HVC@M�CN<ÎA5JQMOE@ó1ô½A=õBMQE½<?MOJ'ô7IUH

­[£[¯[ �¡� �{¥���¤��L¥{ Q¥��_ Q�V¦ ¥�­��V±:«L�L¡u���V£�¦  ��¼�Íá£[¯_ � ¯��©¦ ¢�«(�L¡u�§�V£[¦  'ª�­[£�¦ ¥��¸¢F£�¯[�§�{��±���µº�&�§£¶V £_ �¡u�V±�¤�¢V¡� �«L�L¡u���L¥��¸¢F£��½�L¡�¢F­[£[¯�¥��_ ©¯[���L¶V¢F£[�V±_�{ �¥O¢Vªl�q��� ¥��[�V£�ª]�L¡O�¾'�µ�¥��_ ¯[���L¶V¢F£��V±p¼F���_ �£[¢F£����L¡u�V¤� �¥{¡h��¦G �{¥���¤¨�L¥{¢V¡O�� �¡�ª�¢V¡u¤��½��¥{¡u�V¯[ �¢LÖÁ´� �¥°¾5 � £�¥��_¢F�{ ¥°¾5¢Á»w��£[¯[�©¢VªO´� �[��«º��¢V¡u��¼BÍ £0�V¯[¯��¸¥��¸¢F£)��£)¥��_ ��[¡� �{ £:¥y¯[�L¥��V�{ �¥�À�¥��_ �£[ �¥°¾5¢V¡�»)�§���¦��L¡u¦  ±�µ*¯_ ����¶F£_ ¯/¾��¸¥��/¡� �{�� ¦ ¥'¥{¢�¥��_ �«L�L¡u���L¥��¸¢F£[�5¢VªU¥��_ �¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  yª]­[£[¦ ¥���¢F£�À¾��[�§¦u��¤��L»V �Q �«V £��[�L¡u¯_ �¡O¥{¢�¦��L�[¥�­_¡u �¥��_ �´� �[��«º��¢V¡O¢VªV�É�L¡u¢F­[£[¯�¥��[ �¯[���L¶V¢F£[�V±�{ �¥5¢Vªn�Ñ�®��¼:�������=¤b­[�{¥O´� ©¡� ±��L¥{ ¯*¥{¢�¥��_ ,ª]�V¦ ¥Q¥��[�L¥'��£*�y»º¡u�¸¶F��£_¶��{µº��¥{ ¤�Àc¥��_ ¦ ¢º ��*¦��¸ £:¥���¢VªN¥��_ y¤��L¥{¡u�¸¹���£:«V¢F±¸«V ¯Á�L¡u �¤��V��£[±�µ�¥��_¢F�{ �¦�±�¢F�{ y¥{¢�¥��_ y¯����L¶V¢F£[�V±p¼

� 6 -�Å@ÄU�f¤]ÇU��È�Å@Ä���_ ©­[�{ �¢Vª&£[¢F£¨�{¥��L¥��¸¢F£��L¡�µ�£_¢F£*���L¡u�V¤� �¥{¡u�§¦�¦ ¢�«L�L¡u���V£[¦  �¤�¢w¯_ ±��§�=¥��_ �¢V¡� �¥��§¦��V±�±¸µ�L�[�� �V±���£[¶_¼UÍá£2�[¡u�V¦ ¥���¦  VÀ=�¸¥�¡� �«V �V±§��¥{¢0´� ��)��¢�¾5 �¡�ª]­[±'¯_ ��¦ ¡u���[¥��¸«V /¥{¢:¢F±G¥{¢$�§£w¬«V �{¥��¸¶F�L¥{ )±¸¢w¦��V±5��¥{¡u­[¦ ¥�­_¡� �¼½¿Ñ�_ £Ù­��{ ¯Ù��£Ê�Ì»:¡h�¸¶F��£_¶Ì�V±¸¶V¢V¡u�¸¥���¤�ÀN¥��_ �¡� ��­[±�¥��¢V´[¥��V��£[ ¯*¢F£/¢F£_ �¯[�§¤� £[���¸¢F£��V±��{¥{¡�¢F£[¶F±¸µ¨£_¢F£��{¥��L¥��¸¢F£��L¡�µ�ã��V­��������V£�����¤b­[±��L¥���¢F£[��L¡� � £�¦ ¢F­_¡u�L¶F��£_¶_ÀF�[¢�¾5 �«V �¡5�¸¥=�§�N�[¡�¢V´��L´�±�µ�¥��_ �¤�¢F��¥=ª���«V¢V¡u�L´�±¸ ©���¸¥�­[�L¥��¸¢F£&¼V¿Ñ�_ £�L�[��±§�¸ ¯2¥{¢$�Ì¡� �V±�¯[�L¥��V�{ �¥¨¾��[��¦h�Ù¯_¢: ��£[¢V¥�  ¹w�[��´��¸¥��{¥{¡�¢F£_¶$£_¢F£Ù��¥��L¥��¸¢F£[�L¡u�¸¥ÎµÚ�¥��_¢F­_¶F�¨¤��L¡�»V ¯¨�V£����{¢V¥{¡�¢V�ºµ_ßN¥��_ G¡� ��­[±�¥��½�L¡� �¤�¢V¡� ©Ï:­_ ��¥��¸¢F£[�L´�±¸ G�V£[¯¨��­_¶V¶V �{¥����¢F�����¸´@±¸ 'ª�­_¥�­[¡� ���£:«V �{¥��¸¶F�L¥��¸¢F£[�Q¦ ¢F£[¦  �¡u£[�§£_¶�¥��_ ©�� ±¸ ¦ ¥��¸¢F£�¢Vª�¥��_ ©��¤�¢º¢V¥��[��£_¶����(¬¡u�V¤� �¥{ �¡©¢V¡���¤���¡�¢�«V ¤� £:¥���¢Vª7¥��_ yª�¢V¡u¤ ¢Vª7¥��_ y ��¥���¤��L¥{¢V¡©��¥��{ ±¸ª ¼

�/ú�¡Îú:�(úºÄU�Fúº�E�*%�Kñ�ø%G��Ty�I�ð� ��� �@ó�IY���;� é���í4�%�p� � ����é���êe� �;�j��� � �S�Æì����í���ìEé$ ,¡ní êÆì'í�¢)¢Eé�� �%��ü@÷��0*%��ý>���\÷ '��%�i� ��é�¢B£

��é$ 6¢)I4�5ñFù¿û^ý���¤�ý�G/G@ýeù I¥ *mö0�0��÷Æõ � ¥ I�ñÆø%#¦w�ý��iý6�$�PJPI�ð��������ó�I§¤�ö�ô¿ñ�&�&Æù¿ý6&@ñ�õ¿ö�÷Æøç÷�'�ô¿ñ (mý6�¬ö¬ñ�ø¨��ý^ô'÷ g ô'ûIñ��¬ý�û^÷Æø�ü@ý^ûeõ¿ö�ü@ýôsú�ôsõ¿ý6��ô�I,©%*�ù'õ)(�ýeùª#)ý^ü@ý���÷ �%��ý^ø�õ¿ô3ñÆø;#åüÆñ ��ö"#mñFõ¿ö¬÷Æø�I¬«/��ë)ìB��� ����­.®\í���S�/¯ ¢¿é$ )���P¡ní�¢eí)��ì B�/�

� °�ð�¤�+�°@ó�± �ST����� ²/�S ���o�I³�ñ��0�$�´�mI�ñ�ø;#ª��ñFõ¿ö"���´�mI�ð����� °@ó�I���ù¿÷��iýeù'õ¿ö�ý^ôC÷ '"øm÷�ø?�KñFùEñ ��ýeõ'ù¿ö�û2ý^ôsõ¿ö0��ñ�õ¿÷Æù¿ôV÷ 'pñ *)õ¿÷�û^÷Fü�ñFù¿ö ñ�ømû^ý

' ÷ÆùVôsõEñ�õ¿ö�÷ÆøKñ�ù'ú ùEñÆø%#�÷ �¶µKý��"#�ô�I>·lì��¸B��¸eé�� é���¯�¹��mí�ÆìB¯r� ����¡\í6�0���7í)�vè"é í6�0� ¢)�%���S± � ���T²�°o+T°?I³�ºñFùB#?��ý��S»¦I�ð� ��� �@ó�I½¼4����� é í�p��� � �S�Æì� ��í���ì¨é� vì¿íòêÆì¿í�¢)¢¿é$� �?I ~ ñ ����ù¿ö"#?&ÆýH¾Cø�ö�ü@ýeù¿ô'ö�õ�ú���ù¿ý^ô'ô�I³C÷�ù¿ø��?yeI�ñ�ø;#K¿Æ÷�(mø�ô'÷�ø´� ~ I�ð� ������ó�I½À-� ��ìEé"Á�������� ¯�¢¿é�¢)I ~ ñ����)ù¿öÂ#S&�ý�¾Vømö�ü@ýeù¿ô'ö�õ�úr��ù¿ý^ô'ô�Iw�ýÃvpñ�ù)�DÄý �4w�Ilñ�ø;#{wfý��iý����4JPIVð� � ���Æó�I�yVñÆö�ø?' ñ �0�P��÷Æømö�õ¿÷Æù¿ö�ø?&b÷ 'õ)(�ýN³Huj�>E�Åjg=�)ñ (mý6�nù¿ý6&�ö�÷�ø

#?*�ù¿ö�ø?&võ)(mýCú@ýIñ�ù¿ô� ��� �TgB���� �SIH«/��ë)ìB��� �m��­jÆP¯��Æì����0�¿ê ¯��m � ��g) � �S± °�� ²S� �/Iw�÷�ñ�#)ýeù � ~ I"ð����� �@ó�I�vlñÆø%#SLnö"#)õ)(Ëô'ý���ý^ûeõ¿ö�÷Æø�±�û��¬ñÆô'ô'ö�ûIñ �:÷Æù��?�0*%& g ö�ø�Ç<¹���í�¼È�%��� � ¢p��­��?�i� ��é�¢)��é$ 6¢)�

+��)ði+Æó�± °?T��²o°����SI�5ñ �0�¬ñ�õ �o�YI0��ÉY(mñÆø?&?��ÉÊI0�ÆñÆø%#���ñ��Kñ�ømö�û^÷��¬ñ�÷�*#ð� � ����ó�I;uj#mñ �)õ¿ö�ü@ý"ûe÷�üÆñ�ù¿ö¬ñ�ømû^ý`ý^ôsõ¿ö0��ñFõ¿ö¬÷Æøv÷�';��÷�ûIñ �0��úôsõEñ�õ¿ö�÷�ømñ�ù'úN�)ù¿÷�û^ý^ô'ô'ý^ô�I�¹��míj¼È�%�;��� ¢���­H�%�i����é�¢)��é$ 6¢)�´+ �)ð�Fó�±0�²�°o�/Ih�ñ #mñFùEñIú�ñS��E½IZð������°�ó�IÈËCø5ýeôsõ¿ö"��ñFõ¿ö�ø%&�ù¿ý�&�ù¿ý^ô'ô'ö�÷�ø�I̹���í)��ì�¯K��­j·`ì���¸)��¸eé�� é���¯�� �;��¼D����� é$ )� ��é$���%¢)�

�S±0����T²% � �SI�Zýeù'ù¿ö�ø���Ë�I�ñ�ø;#��)ý^ø�÷�*mô'ô'ö���y�I�ði+ ��� �@ó�I?yVý�#?*mûeö¬ø?&nøm÷�øSg ôsõEñ�õ¿ö�÷�ømñ�ù'úHùEñÆø%#�÷��͵Ký��"#)ôºõ¿÷CôsõEñFõ¿ö¬÷ÆøKñFù¿ö�õ7úñÆø;#3ö¬ô'÷�õ'ù¿÷���ú�*mô'ö�ø%&�ñJô�KñÆûeý�#�ý6' ÷Æù)��ñ�õ¿ö�÷Æø�I,�%�i� ��é�¢B��é� 6¢e� ����·`ì���¸)��¸eé�� é���¯�κí����7í¨ì�¢)��°���ð�Fó�I��ñ����mô'÷Æø���¤�I�ñÆø%# ¥ *�õ'õ¿÷Æù)�´�o�mIið������+Æó�I:hV÷�ø?�Kñ�ùEñ���ýeõ'ù¿ö�ûný^ôsõ¿ö0��ñ�õ¿ö�÷�ø�÷ 'fø�÷�ømôsõEñFõ¿ö�÷�øKñFù'ú�ô�KñFõ¿ö¬ñ �û^÷Fü�ñFù¿ö ñ�ømû^ýÌ'�*�ømûeõ¿ö�÷Æø�I�«/�Æë�ìB�����,�=­Ì���míp¼È��í¨ìEé$ )� �Ï�?�i� ��é�¢)��é$ )���F¼P¢)¢��  eé$� ��é$� �?�F����ð��°o�Æó�±0 ��� ²

� �/I�)ýeøm÷�*�ô'ô'ö��TyeI0� ~ (mñ�#SÐ�*?'=��¿SI"�IñÆø;#�uÈ�"�¬ñFùB#´� ¤�I@ði+ ��� �@ó�I�»býIñ Gj(m÷ ��÷�&�ýeømö0!Iñ�õ¿ö�÷ÆøJ÷�'%�i÷Æö¬ø�õ���ù¿÷�û^ýeô'ô'ý^ô

��ú ô�mñÆû^ý�#)ý6' ÷�ù)��ñ�õ¿ö�÷�ø�ô�Ij«/��ë)ìB��� �Ê��­j¼4����� é í�e·`ì���¸)��¸eé�� é���¯�����+)ð�°�ó�I�)ö0��ü@ýeù)��ñ�ø��SvjI�ð� � ����ó�IDÑJí��%¢¿é���¯�í�¢B��é���� ��é$����­6�ÆìH¢)�i� ��é�¢)��é$ 6¢������r��� �i�Ì� ��� � ¯ ¢¿é�¢)I ~ (Kñ��%��ñ�øMñ�ø;#

³�ñ �0��I

Page 12: A POSITIVE DEFINITE ESTIMATOR OF THE NON STATIONARY

8,9:8';O<?>�>�A5CÒIKCØMO>K9

�/Lnö�õ)!^ý¨ù �´�ÊIºð� � ���@ó�IPhC÷Æø?g ôsõEñ�õ¿ö�÷�ømñ�ù'ú#ô�mñ�õ¿ö¬ñ ��ûe÷�üÆñ�ù¿ö¬ñ�ømû^ý^ôVý^ôsõ¿ö0��ñ�õ¿ý #N' ù¿÷��Ò��÷�ømö�õ¿÷�ù¿ö¬ø?&r#mñ�õEñ/IÓ�øªunù)��ôsõ'ù¿÷�ø%&S�%�-I"�mý #�ö�õ¿÷�ù �D®\í� ¢)�i� ��é�¢)��é$ 6¢)��ü@÷ �0*%��ý� �;�Kñ�&�ý^ô�T+ � ²% ���/IY���0*/LpýeùjuVûIñ #�ý���ö�û�F*?�%��ö�ô(mýeù¿ô�I

»®ñFõ¿ô'÷�ø´� ¥ I�ð� � � °�ó�I4�S��÷�÷�õ)(3ù¿ý�&�ù¿ý^ô'ô'ö�÷�ø�ñ�øKñ ��ú)ô'ö�ô�Ij�;� �SÔ �o¯mÕ� ÖF��í¨ìEé í�¢j¼P�;+ �S± ��� �T²o��� +/I