http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 1/409
¿²¼ ¬¸» Ï«»-¬ º±® λ¿´·¬§
Ö±¸² É·´»§ ú ͱ²-ô ײ½ò
8/18/2019 A Passion for Mathematics
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 2/409
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 3/409
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 4/409
Þ´¿½µ ر´»-æ ß Ì®¿ª»´»®•- Ù«·¼»
Ý¿´½«´«- ¿²¼ 禦¿
ݸ¿±- ¿²¼ Ú®¿½¬¿´-
ݸ¿±- ·² ɱ²¼»®´¿²¼
ݱ³°«¬»®- ¿²¼ ¬¸» ׳¿¹·²¿¬·±²
Ü®»¿³·²¹ ¬¸» Ú«¬«®»
Û¹¹ Ü®±° ͱ«°
Ú«¬«®» Ø»¿´¬¸ Ú®¿½¬¿´ ر®·¦±²-æ ̸» Ú«¬«®» Ë-» ±º Ú®¿½¬¿´-
Ú®±²¬·»®- ±º ͽ·»²¬·º·½ Ê·-«¿´·¦¿¬·±²
 Ì¸» Ù·®´ ɸ± Ù¿ª» Þ·®¬¸ ¬± ο¾¾·¬-
Õ»§- ¬± ײº·²·¬§
 Ì¸» Ô±±³ ±º Ù±¼
 Ì¸» Ó¿¬¸»³¿¬·½- ±º Ѧ
Ó¿¦»- º±® ¬¸» Ó·²¼æ ݱ³°«¬»®- ¿²¼ ¬¸» ˲»¨°»½¬»¼
Ó·²¼óÞ»²¼·²¹ Ê·-«¿´ Ы¦¦´»- ø½¿´»²¼¿®- ¿²¼ ½¿®¼ -»¬-÷
 Ì¸» п®¿¼±¨ ±º Ù±¼ ¿²¼ ¬¸» ͽ·»²½» ±º ѳ²·-½·»²½»
 Ì¸» שּׁ»®² Þ±±µæ Ú®¿½¬¿´-ô ß®¬ô ¿²¼ Ò¿¬«®»
 Ì¸» ͽ·»²½» ±º ß´·»²-
Í»¨ô Ü®«¹-ô Û·²-¬»·²ô ¿²¼ Û´ª»-
Í°·¼»® Ô»¹- ø©·¬¸ з»®- ß²¬¸±²§÷
Í°·®¿´ ͧ³³»¬®§ ø©·¬¸ ×-¬ª¿² Ø¿®¹·¬¬¿·÷
ͬ®¿²¹» Þ®¿·²- ¿²¼ Ù»²·«-
Í«-¸· Ò»ª»® Í´»»°-
 Ì¸» ͬ¿®- ±º Ø»¿ª»²
Í«®º·²¹ ¬¸®±«¹¸ ا°»®-°¿½»
 Ì·³»æ ß Ì®¿ª»´»®•- Ù«·¼»  Ê·-·±²- ±º ¬¸» Ú«¬«®»
 Ê·-«¿´·¦·²¹ Þ·±´±¹·½¿´ ײº±®³¿¬·±²
 É±²¼»®- ±º Ò«³¾»®-
 Ì¸» Æ»² ±º Ó¿¹·½ ͯ«¿®»-ô Ý·®½´»-ô ¿²¼ ͬ¿®-
 É±®µ- ¾§ Ý´·ºº±®¼ ßò з½µ±ª»®
8/18/2019 A Passion for Mathematics
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 5/409
¿²¼ ¬¸» Ï«»-¬ º±® λ¿´·¬§
Ö±¸² É·´»§ ú ͱ²-ô ײ½ò
8/18/2019 A Passion for Mathematics
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 6/409
ݱ°§®·¹¸¬ w îððë ¾§ Ý´·ºº±®¼ ßò з½µ±ª»®ò ß´´ ®·¹¸¬- ®»-»®ª»¼ 
Ы¾´·-¸»¼ ¾§ Ö±¸² É·´»§ ú ͱ²-ô ײ½òô ر¾±µ»²ô Ò»© Ö»®-»§ Ы¾´·-¸»¼ -·³«´¬¿²»±«-´§ ·² Ý¿²¿¼¿
×´´«-¬®¿¬·±² ½®»¼·¬-æ °¿¹»- çïô ïïêô ïíéô ïìðô ïìîô ïìçô ïëðô ïëïô ïëéô ïëèô ïëçô ïêðô ïêîô ïêìô ïêéô ïêèô ïêçô ïéçô ïççô îïìô îïëô îîìô îîëô îíðô îéìô íðîô ííêô ííèô íìïô íìíô íìëô ¿²¼ íìè ¾§ Þ®·¿² Ýò Ó¿²-ó
B»´¼å ïïíô ïïìô ïïëô ïìëô ïìêô ííîô íííô ¿²¼ ííì ¾§ Í¿³ Ô±§¼å ïíç ½±«®¬»-§ ±º 묻® Ø¿³¾«®¹»® ¿²¼  Û¼·¬ Ø»°°å ïìï ¾§ ͬ»©¿®¬ ο°¸¿»´ô ß«¼®»§ ο°¸¿»´ô ¿²¼ η½¸¿®¼ Õ·²¹å ïëë ¾§ אַ·½µ Ù®·³³ ¿²¼ п«´ ͬò Ü»²·-å ïêë ¿²¼ ïêê º®±³  Ó¿¹·½ ͯ«¿®»- ¿²¼ Ý«¾»- ¾§ Éò Íò ß²¼®»©-å ïéé ¿²¼ íëî ¾§ Ø»²®§ Û®²»-¬
Ü«¼»²»§å îð𠾧 Þ®«½» שּׁ»®-±²å îðì ¾§ Þ®«½» ο©´»-å îðê ¾§ Ö•®¹»² ͽ¸³·¼¸«¾»®å îëí ¾§ ß¾®¿³ Ø·²¼´»å îëìô îëëô îëêô ¿²¼ îëé ¾§ ݸ®·- ݱ§²»å îëè ¿²¼ îëç ¾§ Ö±½µ ݱ±°»®å îê𠾧 Ô·²¼¿ Þ«½µ´·²å îêï
 ¾§ Í¿´´§ Ø«²¬»®å îêî ¿²¼ îêí ¾§ Ö±- Ô»§-å îêì ¾§ α¾»®¬ ßò Ö±¸²-¬±²å ¿²¼ îêê ¾§ ݱ®§ ¿²¼ Ý¿¬-µ¿ Û²½¸ò
Ü»-·¹² ¿²¼ ½±³°±-·¬·±² ¾§ Ò¿ª¬¿ ß--±½·¿¬»-ô ײ½ò
 Ò± °¿®¬ ±º ¬¸·- °«¾´·½¿¬·±² ³¿§ ¾» ®»°®±¼«½»¼ô -¬±®»¼ ·² ¿ ®»¬®·»ª¿´ -§-¬»³ô ±® ¬®¿²-³·¬¬»¼ ·² ¿²§ º±®³ ±® 
 ¾§ ¿²§ ³»¿²-ô »´»½¬®±²·½ô ³»½¸¿²·½¿´ô °¸±¬±½±°§·²¹ô ®»½±®¼·²¹ô -½¿²²·²¹ô ±® ±¬¸»®©·-»ô »¨½»°¬ ¿- °»®³·¬ó ¬»¼ «²¼»® Í»½¬·±² ïðé ±® ïðè ±º ¬¸» ïçéê ˲·¬»¼ ͬ¿¬»- ݱ°§®·¹¸¬ ß½¬ô ©·¬¸±«¬ »·¬¸»® ¬¸» °®·±® ©®·¬¬»²
 °»®³·--·±² ±º ¬¸ » Ы¾´·-¸»®ô ±® ¿«¬¸±®·¦¿¬·±² ¬¸®±«¹¸ °¿§³»²¬ ±º ¬¸» ¿°°®±°®·¿¬» °»®ó½±°§ º»» ¬± ¬¸»
ݱ°§®·¹¸¬ Ý´»¿®¿²½» Ý»²¬»®ô îîî α-»©±±¼ Ü®·ª»ô Ü¿²ª»®-ô Óß ðïçîíô øçéè÷ éëðóèìððô º¿¨ øçéè÷ êìêó èêððô ±® ±² ¬¸» ©»¾ ¿¬ ©©©ò½±°§®·¹¸¬ò½±³ò λ¯«»-¬- ¬± ¬¸» Ы¾´·-¸»® º±® °»®³·--·±² -¸±«´¼ ¾» ¿¼¼®»--»¼  ¬± ¬¸» л®³·--·±²- Ü»°¿®¬³»²¬ô Ö±¸² É·´»§ ú ͱ²-ô ײ½òô ïïï 窻® ͬ®»»¬ô ر¾±µ»²ô ÒÖ ðéðíðô øîðï÷
éìèóêðïïô º¿¨ øîðï÷ éìèóêððèô ±® ±²´·²» ¿¬ ¸¬¬°æññ©©©ò©·´»§ò½±³ñ¹±ñ°»®³·--·±²-ò
Ô·³·¬ ±º Ô·¿¾·´·¬§ñÜ·-½´¿·³»® ±º É¿®®¿²¬§æ ɸ·´» ¬¸» °«¾´·-¸»® ¿²¼ ¬¸» ¿«¬¸±® ¸¿ª» «-»¼ ¬¸»·® ¾»-¬ »ºº±®¬- ·² °®»°¿®·²¹ ¬¸·- ¾±±µô ¬¸»§ ³¿µ» ²± ®»°®»-»²¬¿¬·±²- ±® ©¿®®¿²¬·»- ©·¬¸ ®»-°»½¬ ¬± ¬¸» ¿½½«®¿½§ ±® ½±³ó
 °´»¬»²»-- ±º ¬¸» ½±²¬»²¬- ±º ¬¸·- ¾±±µ ¿²¼ -°»½·B½¿´´§ ¼·-½´¿·³ ¿²§ ·³°´·»¼ ©¿®®¿²¬·»- ±º ³»®½¸¿²¬¿¾·´·¬§
±® B¬²»-- º±® ¿ °¿®¬·½«´¿® °«®°±-»ò Ò± ©¿®®¿²¬§ ³¿§ ¾» ½®»¿¬»¼ ±® »¨¬»²¼»¼ ¾§ -¿´»- ®»°®»-»²¬¿¬·ª»- ±®  ©®·¬¬»² -¿´»- ³¿¬»®·¿´-ò ̸» ¿¼ª·½» ¿²¼ -¬®¿¬»¹·»- ½±²¬¿·²»¼ ¸»®»·² ³¿§ ²±¬ ¾» -«·¬¿¾´» º±® §±«® -·¬«¿¬·±²ò DZ« -¸±«´¼ ½±²-«´¬ ©·¬¸ ¿ °®±º»--·±²¿´ ©¸»®» ¿°°®±°®·¿¬»ò Ò»·¬¸»® ¬¸» °«¾´·-¸»® ²±® ¬¸» ¿«¬¸±® -¸¿´´ ¾»
´·¿¾´» º±® ¿²§ ´±-- ±º °®±B¬ ±® ¿²§ ±¬¸»® ½±³³»®½·¿´ ¼¿³¿¹»-ô ·²½´«¼·²¹ ¾«¬ ²±¬ ´·³·¬»¼ ¬± -°»½·¿´ô ·²½·ó ¼»²¬¿´ô ½±²-»¯«»²¬·¿´ô ±® ±¬¸»® ¼¿³¿¹»-ò
Ú±® ¹»²»®¿´ ·²º±®³¿¬·±² ¿¾±«¬ ±«® ±¬¸»® °®±¼«½¬- ¿²¼ -»®ª·½»-ô °´»¿-» ½±²¬¿½¬ ±«® Ý«-¬±³»® Ý¿®» Ü»°¿®¬ó ³»²¬ ©·¬¸·² ¬¸» ˲·¬»¼ ͬ¿¬»- ¿¬ øèðð÷ éêîóîçéìô ±«¬-·¼» ¬¸» ˲·¬»¼ ͬ¿¬»- ¿¬ øíïé÷ ëéîóíççí ±® º¿¨
øíïé÷ ëéîóìððîò
É·´»§ ¿´-± °«¾´·-¸»- ·¬- ¾±±µ- ·² ¿ ª¿®·»¬§ ±º »´»½¬®±²·½ º±®³¿¬-ò ͱ³» ½±²¬»²¬ ¬¸¿¬ ¿°°»¿®- ·² °®·²¬ ³¿§ ²±¬ ¾» ¿ª¿·´¿¾´» ·² »´»½¬®±²·½ ¾±±µ-ò Ú±® ³±®» ·²º±®³¿¬·±² ¿¾±«¬ É·´»§ °®±¼«½¬-ô ª·-·¬ ±«® ©»¾ -·¬» ¿¬ ©©©ò©·´»§ò½±³ò
 Ô·¾®¿®§ ±º ݱ²¹®»-- Ý¿¬¿´±¹·²¹ó·²óЫ¾´·½¿¬·±² Ü¿¬¿æ
з½µ±ª»®ô Ý´·ºº±®¼ ßò ß °¿--·±² º±® ³¿¬¸»³¿¬·½- æ ²«³¾»®-ô °«¦¦´»-ô ³¿¼²»--ô ®»´·¹·±²ô ¿²¼ ¬¸» ¯«»-¬ º±® ®»¿´·¬§
ñ Ý´·ºº±®¼ ßò з½µ±ª»®ò
 °ò ½³ò ײ½´«¼»- ¾·¾´·±¹®¿°¸·½¿´ ®»º»®»²½»- ¿²¼ ·²¼»¨ò ×ÍÞÒóïí çéèóðóìéïóêçðçèóê ø°¿°»®÷
×ÍÞÒóïð ðóìéïóêçðçèóè ø°¿°»®÷ ïò Ó¿¬¸»³¿¬·½-ò ×ò Ì·¬´»
ÏßíçòíòÐëí îððë ëïðO¼½îî îððìðêðêîî
Ю·²¬»¼ ·² ¬¸» ˲·¬»¼ ͬ¿¬»- ±º ß³»®·½¿
ïð ç è é ê ë ì í î ï
8/18/2019 A Passion for Mathematics
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 7/409
ο³¿²«¶¿² -¿·¼ ¬¸¿¬ ¸» ®»½»·ª»¼ ¸·- º±®³«´¿- º®±³
Ù±¼ò ̸·- ¾±±µ ·- ¼»¼·½¿¬»¼ ¬± ¿´´ ¬¸±-» ©¸± B²¼ 
ο³¿²«¶¿²K- º±®³«´¿- ¾»¿«¬·º«´ ¬± ´±±µ ¿¬æ
ø©¸»®»  Ð±½¸ø²÷ ®»º»®- ¬± ¬¸» б½¸¸¿³³»® ²±¬¿¬·±²
¼»-½®·¾»¼ ·² ½¸¿°¬»® î÷
çç íî ì î í
ð
ã
õ
õ
ã
²
²
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 8/409
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 9/409
®»ª»¿´»¼ ¿´´ ¬¸·²¹- ¬± ³±®¬¿´-ô ¾«¬ ¾§ ´±²¹ -»»µ·²¹ô
³±®¬¿ - ³¿µ» °®±¹®»-- ·² ¼·-½±ª»®§ò 
 OÈ»²±° ¿²»- ±º ݱ´±°¸±² ø½ò ëðð  Þ òÝò÷
Ûª»®§ ¾´¿¼» ±º ¹®¿-- ¸¿- ·¬- ¿²¹»´
¬¸¿¬ ¾»²¼- ±ª»® ·¬ ¿²¼ ©¸·-°»®-ô ¹®±©ô ¹®±©ò 
 OÌ¿´³«¼·½ ½±³³»²¬¿®§ Ó·¼®¿-¸
Þ»®»·-¸·- ο¾¾¿¸ô ïðæê
8/18/2019 A Passion for Mathematics
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 10/409
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 11/409
ײ¬®±¼«½¬·±² ï
ïò Ò«³¾»®-ô Ø·-¬±®§ô ͱ½·»¬§ô ¿²¼ л±°´» ïï
 ×² ©¸·½¸ ©» »²½±«²¬»® ®»´·¹·±«- ³¿¬¸»³¿¬·½·¿²-ô ³¿¼ ³¿¬¸»³¿¬·½·¿²-ô
 º¿³±«- ³¿¬¸»³¿¬·½·¿²-ô ³¿¬¸»³¿¬·½¿´ -¿ª¿²¬-ô ¯«·®µ§ ¯«»-¬·±²-ô º«² ¬®·ª·¿ô
¾®·»º ¾·±¹®¿°¸·»-ô ³¿¬¸»³¿¬·½¿´ ¹±¼-ô ¸·-¬±®·½¿´ ±¼¼·¬·»-ô ²«³¾»®- ¿²¼ 
 -±½·»¬§ô ¹±--·°ô ¬¸» ¸·-¬±®§ ±º ³¿¬¸»³¿¬·½¿´ ²±¬¿¬·±²ô ¬¸» ¹»²»-·- ±º ²«³¾»®-ô ¿²¼ Nɸ¿¬ ·º áM ¯«»-¬·±²-ò
îò ݱ±´ Ò«³¾»®- ìë
 ×² ©¸·½¸ ©» »²½±«²¬»® º¿-½·²¿¬·²¹ ²«³¾»®- ¿²¼ -¬®¿²¹» ²«³¾»® -»¯«»²½»-ò
É»K´´ »¨°´±®» ¬®¿²-½»²¼»²¬¿´ ²«³¾»®-ô ±½¬±²·±²-ô -«®®»¿´ ²«³¾»®-ô ±¾-¬·²¿¬»
²«³¾»®-ô ½§½´·½ ²«³¾»®-ô Ê·¾±²¿½½· ²«³¾»®-ô °»®º»½¬ ²«³¾»®-ô ¿«¬±³±®°¸·½
²«³¾»®-ô °®·³» ²«³¾»®-ô É·´-±² °®·³»-ô °¿´·²¼®±³·½ °®·³»-ô Ú·¾±²¿½½·
 °®·³»-ô ͱ°¸·» Ù»®³¿·² °®·³»-ô Þ¿¨¬»®óØ·½µ»®-±² °®·³»-ô -¬¿®ó½±²¹®«»²¬ 
 °®·³»-ô ²¿®½·--·-¬·½ ²«³¾»®-ô ¿³»²¿¾´» ²«³¾»®-ô ¿³·½¿¾´» ²«³¾»®-ô  °ó¿¼·½ ²«³¾»®-ô ´¿®¹» °¿´·²¼®±³»-ô º¿½¬±®·±²-ô ¸§°»®º¿½¬±®·¿´-ô °®·³±®·¿´-ô
ݱ²¬»²¬-
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 12/409
 °¿´·²¼·±²- ¿²¼ ¸§°»®°¿´·²¼·±²-ô »¨±¬·½ó´±±µ·²¹ º±®³«´¿- º±® ô ¬¸» Ù±´¿§ó
 Î«¼·²ó͸¿°·®± -»¯«»²½»ô ¬¸» ©±²¼»®º«´ б½¸ ¿³³»® ²±¬¿¬·±²ô ¿²¼ º¿³±«-
¿²¼ ½«®·±«- ³¿¬¸ ½±²-¬¿²¬- ø-«½¸ ¿- Ô·±«ª·´´»K- ½±²-¬¿²¬ô ¬¸» ݱ°»´¿²¼ó
 Û®¼- ½±²-¬¿²¬ô Þ®«²K- ½±²-¬¿²¬ô ݸ¿³°»®²±©²»K- ²«³¾»®ô Û«´»®K- ¹¿³³¿ô
ݸ¿·¬·²K- ½±²-¬¿²¬ô ¬¸» Ô¿²¼¿«óο³¿²«¶¿² ½±²-¬¿²¬ô Ó·´´-K- ½±²-¬¿²¬ô ¬¸»
 ¹ ±´¼»² ®¿¬·±ô ß°®§K- ½±²-¬¿²¬ô ¿²¼ ½±²-¬¿²¬- »ª»² ³±®» ¾·¦¿®®»÷ò
íò ß´¹»¾®¿ô л®½»²¬¿¹»-ô É»·®¼ Ы¦¦´»-ô ¿²¼ Ó¿®ª»´±«- Ó¿¬¸»³¿¬·½¿´ Ó¿²·°«´¿¬·±²- ïïï
 ×² ©¸·½¸ ©» »²½±«²¬»® ¬®»¿-«®» ½¸»-¬- ±º ¦¿²§ ¿²¼ »¼«½¿¬·±²¿´ ³¿¬¸
 °®±¾ »³- ¬¸¿¬ ·²ª± ª» ¿´¹»¾®¿ô º®¿½¬·±²-ô °»®½»²¬¿¹»-ô ½´¿--·½ ®»½®»¿¬·±²¿´ 
 °«¦¦´»-ô ¿²¼ ª¿®·±«- ¬§°»- ±º ³¿¬¸»³¿¬·½¿´ ³¿²·°«´¿¬·±²ò ͱ³» ¿®» ¾¿-»¼ 
±² °®±¾´»³- ¬¸¿¬ ¿®» ³±®» ¬¸¿² ¿ ¬¸±«-¿²¼ §»¿®- ±´¼ò Ѭ¸»®- ¿®» ¾®¿²¼ ²»©ò
Ù»¬ ®»¿¼§ ¬± -¸¿®°»² §±«® °»²½·´- ¿²¼ -¬®»¬½¸ §±«® ¾®¿·²-ÿ
ìò Ù»±³»¬®§ô Ù¿³»-ô ¿²¼ Þ»§±²¼ ïíë
 ×² ©¸·½¸ ©» »¨°´±®» ¬·´»-ô °¿¬¬»®²-ô °±-·¬·±² °®±¾´»³-ô ¿®®¿§-ô Ê»²² ¼·¿ó
 ¹®¿³-ô ¬·½ó¬¿½ó¬±»ô ±¬¸»® ¹¿³»- °´¿§»¼ ±² ¾±¿®¼-ô Õ²·¹-¾»®¹ ¾®·¼¹»-ô
½¿¬»²¿®·»-ô Ô±§¼K- ¿²¼ Ü«¼»²»§K- °«¦¦´»-ô ͸»®½µK- -«®º¿½»ô ³¿¹·½ -¯«¿®»-ô
´·¬««-»-ô ·²-·¼»ó±«¬ Ó¿²¼»´¾®±¬ -»¬-ô ¬¸» Ï«¿¼®¿¬®·¨ ±º Ø·°°·¿-ô ¸§°»®ó
 -°¸»®»-ô º®¿½¬¿´ ¹»»-»ô ͽ¸³·¼¸«¾»® ½·®½´»-ô п°°«-K- ß®¾»´±-ô Û-½¸»® 
 °¿¬¬»®²-ô ¿²¼ ½¸»-- µ²·¹¸¬-ò
ëò Ю±¾¿¾·´·¬§æ Ì¿µ» DZ«® ݸ¿²½»- îðç
 ×² ©¸·½¸ ©» »¨°´±®» ½¿-·²±-ô ´±¹·½ô ¹«»--·²¹ô ¼»½·-·±²-ô ½±³¾·²¿¬·±²-ô
 °»®³«¬¿¬·±²-ô ½±³°»¬·¬·±²ô °±--·¾·´·¬·»-ô ¹¿³»- ·²ª±´ª·²¹ ½¸±·½»ô ³±²µ»§-
¬§°·²¹  Ø¿³´»¬ ô Þ»²º±®¼K- ´¿©ô ½±³¾·²¿¬±®·½-ô ¿´·»² ¹¿³¾·¬-ô Ϋ¾·µK- Ý«¾»-ô
½¿®¼ -¸«ºA»-ô ³¿®¾´» ³¿¦»-ô ²±²¬®¿²-·¬·ª» ¼·½»ô ¼¿²¹»®±«- ³±ª»³»²¬- ±º ¿·® 
³±´»½«´»-ô ¬¸» ¾±¿®¼ ¹¿³» ±º ¬¸» ¹±¼-ô ¿²¼ ¬¸» ¬«²²»´- ±º ¼»¿¬¸ ¿²¼ ¼»-°¿·®ò
¨    ݱ²¬»²¬-
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 13/409
êò Þ·¹ Ò«³¾»®- ¿²¼ ײº·²·¬§ îíí
 ×² ©¸·½¸ ©» »¨°´±®» ª»®§ ´¿®¹» ²«³¾»®-ô ¬¸» »¼¹»- ±º ½±³°®»¸»²-·±²ô ·²B²ó
·¬§ô ¬¸» Ú«²²»´ ±º Æ»«-ô ¬¸» ·²B²·¬» ¹·º¬ô ¬¸» ±³»¹¿ ½®§-¬¿´ô ¬¸» ͵»©»- ²«³ó
¾»®ô ¬¸» Ó±²-¬»® ¹®±«°ô Ù¾»´K- ²«³¾»®ô ¬¸» ¿©»-±³» ¯«¿¬¬«±®¼»½·´´·±²ô ¬¸»
 Û®¼-óÓ±-»® ²«³¾»®ô ß®½ ·³»¼»-K º¿³±«- NÝ¿¬¬´» Ю±¾´»³ôM ½´¿--·½ °¿®¿ó
¼±¨»-ô Ù¿«--K- N³»¿-«®¿¾´» ·²B²·¬§ôM ¿²¼ Õ²«¬¸K- ¿®®±© ²±¬¿¬·±²ò
 éò Ó¿¬¸»³¿¬·½- ¿²¼ Þ»¿«¬§ îëï
 ×² ©¸·½¸ ©» »¨°´±®» ¿®¬·-¬·½ º±®³- ¹»²»®¿¬»¼ º®±³ ³¿¬¸»³¿¬·½-O¼»´·½¿¬»
 º«²¹·ô ¬©»²¬§ó-»½±²¼ó½»²¬«®§ ½·¬§-½¿°»-ô º®¿½¬¿´ ²»½µ´¿½»- ¿²¼ -»»¼ °±¼-ô
¿´·»² ¼»ª·½»-ô ¿²¼ ¿ ®·½¸ °¿²±°´§ ±º °¿¬¬»®²- ¬¸¿¬ »¨¸·¾·¬ ¿ ½¿-½¿¼» ±º ¼»¬¿·´ 
©·¬¸ ·²½®»¿-·²¹ ³¿¹²·B½¿¬·±²-ò
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 14/409
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 15/409
× ¬¸¿²µ Þ®·¿² Ó¿²-B»´¼ º±® ¸·- ©±²¼»®º«´ ½¿®¬±±² ¼·¿¹®¿³- ¬¸¿¬ ¿°°»¿® 
¬¸®±«¹¸±«¬ ¬¸» ¾±±µò Ѫ»® ¬¸» §»¿®-ô Þ®·¿² ¸¿- ¾»»² ¸»´°º«´ ¾»§±²¼ 
½±³°¿®»ò
 Ò«³»®±«- °»±°´» ¸¿ª» °®±ª·¼»¼ «-»º«´ º»»¼¾¿½µ ¿²¼ ·²º±®³¿¬·±²
®»´¿¬·²¹ ¬± ¬¸» -±´«¬·±²- ¬± ³§ °«¦¦´»-å ¬¸»-» ·²¼·ª·¼«¿´- ·²½´«¼» Ü»²²·-
Ù±®¼±²ô α¾»®¬ ͬ±²¹ô п«´ Ó±-µ±©·¬¦ô Ö±-»°¸ лô Ü¿²·»´ ܱ½µ»®§ô Ó¿®µ 
 Ò¿²¼±®ô Ó¿®µ Ù¿²-±²ô Ò·½µ ر¾-±²ô ݸ«½µ Ù¿§¼±-ô Ù®¿¸¿³ Ý´»ª»® »§ô
Ö»ºº®»§ Ý¿®®ô Ö±² ß²¼»®-±²ô NÖ¿§³¦M Ö¿³»- Í¿´¬»®ô ݸ®·- Ó»§»®-ô 묻
Þ¿®²»-ô ͬ»ª» Þ®¿¦¦»´´ô ͬ»ª» Þ´¿¬¬²·¹ô Û¼·¬¸ Ϋ¼§ô Û®·½ Þ¿·-»ô Ó¿®¬·»
Í¿¨»²³»§»®ô Þ±¾ Û©»´´ô Ì»¶¿ Õ®¿-»µô ¿²¼ ³¿²§ ³±®»ò × ¼·-½«--»¼ -±³»
±º ¬¸» ±®·¹·²¿´ °«¦¦´»- ·² ¬¸·- ¾±±µ ¿¬ ³§ з½µ±ª»® Ü·-½«--·±² Ù®±«°ô
´±½¿¬»¼ ±² ¬¸» É»¾ ¿¬ ¹®±«°-ò§¿¸±±ò½±³ñ¹®±«°ñÝ´·ºº±®¼Ð·½µ±ª»®ô ¿²¼ ×
¬¸¿²µ ¬¸» ¹®±«° ³»³¾»®- º±® ¬¸»·® ©±²¼»®º«´ ¼·-½«--·±²- ¿²¼ ½±³³»²¬-ò
Ó¿²§ ±º ¬¸» º¿²½§ º±®³«´¿- ¼»®·ª»¼ ¾§ ¬¸» ײ¼·¿² ³¿¬¸»³¿¬·½·¿²
Í®·²·ª¿-¿ ο³¿²«¶¿² ½±³» º®±³ Ý¿´ª·² Ý´¿©-±²K-  Ó¿¬¸»³¿¬·½¿´ 
 Ó§-¬»®·»-ô Þ®«½» Þ»®²¼¬K- Î¿³¿²«¶¿²K- Ò±¬»¾±±µ- øª±´«³»- ï ¿²¼ î÷ô
¿²¼ ª¿®·±«- ײ¬»®²»¬ -±«®½»-ò É·¬¸ ®»-°»½¬ ¬± -±³» ±º ¬¸» »´»¹¿²¬ °®·³»
²«³¾»® º±®³«´¿-ô Ý´¿©-±² ½·¬»- п«´± η¾»²¾±·³K-  Ì¸» Þ±±µ ±º Ю·³»
 Ò«³¾»® λ½±®¼-ô -»½±²¼ »¼·¬·±² øÒ»© DZ®µæ Í°®·²¹»®ô ïçèç÷ô ¿²¼  Ì¸»
 Ô·¬¬´» Þ±±µ ±º Þ·¹ Ю·³»- øÒ»© DZ®µæ Í°®·²¹»®ô ïççï÷ò Ý¿´ª·² Ý´¿©-±²K-
 Ó¿¬¸»³¿¬·½¿´ Ó§-¬»®·»- ¿²¼ Ü¿ª·¼ É»´´-K- ª¿®·±«- л²¹«·² ¼·½¬·±²¿®·»-
 °®±ª·¼» ¿ ¹±´¼ ³·²» ±º ³¿¬¸»³¿¬·½¿´ ½±²½»°¬-ò ß º»© °®±¾´»³- ·² ¬¸·-
 ¾±±µ ¼®¿© ±²ô «°¼¿¬»ô ±® ®»ª·-» °®±¾´»³- ·² ³§ »¿®´·»® ¾±±µ-ô ©·¬¸ ·²º±®ó
³¿¬·±² °®±ª·¼»¼ ¾§ ½±«²¬´»-- ®»¿¼»®- ©¸± -°»²¼ ¬¸»·® ´·ª»- ¬·®»´»--´§¬¿½µ´·²¹ ³¿¬¸»³¿¬·½¿´ ½±²«²¼®«³-ò
Ѭ¸»® ·²¬»®»-¬·²¹ -±«®½»- ¿²¼ ®»½±³³»²¼»¼ ®»¿¼·²¹ ¿®» ¹·ª»² ·²
¨···
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 16/409
½±³°®»¸»²-·ª» ³¿¬¸»³¿¬·½¿´ ·²º±®³¿¬·±²ô ¿²¼ ³§ º¿ª±®·¬»- ·²½´«¼»
É·µ·°»¼·¿ô ¬¸» Ú®»» Û²½§½´±°»¼·¿ ø©·µ·°»¼·¿ò½±³÷ô ß-µ Ü®ò Ó¿¬¸
ø³¿¬¸º±®«³ò±®¹ñ¼®ò³¿¬¸ñ÷ô ̸» Ó¿½Ì«¬±® Ø·-¬±®§ ±º Ó¿¬¸»³¿¬·½-
ß®½¸·ª» ø©©©ò¹¿°ó-§-¬»³ò±®¹ñ¢¸·-¬±®§ñ÷ô ̸» Ы¾´·-¸»¼ Ü¿¬¿ ±º α¾»®¬
Ó«²¿º± ø©©©ò³®±¾ò½±³ñ°«¾ñ·²¼»¨ò¸¬³´÷ô ¿²¼ Ó¿¬¸É±®´¼ ø³¿¬¸©±®´¼ò
©±´º®¿³ò½±³÷ò
¨·ª    ß½µ²±©´»¼¹³»²¬-
8/18/2019 A Passion for Mathematics
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 17/409
ß² »¯«¿¬·±² ³»¿²- ²±¬¸·²¹ ¬± ³» «²´»-- ·¬ »¨°®»--»- ¿ ¬¸±«¹¸¬ ±º Ù±¼ò 
 OÍ®·²·ª¿-¿ ο³¿²«¶¿² øïèèéPïçîð÷
 Ì¸» ο³¿²«¶¿² ݱ¼»
ß² ·²¬»´´·¹»²¬ ±¾-»®ª»® -»»·²¹ ³¿¬¸»³¿¬·½·¿²- ¿¬ ©±®µ ³·¹¸¬ ½±²½´«¼» ¬¸¿¬ ¬¸»§ ¿®» ¼»ª±¬»»- ±º »¨±¬·½ -»½¬-ô °«®-«»®- ±º »-±¬»®·½ µ»§- ¬± ¬¸» «²·ª»®-»ò 
 Oи·´·° Ü¿ª·- ¿²¼ λ«¾»² Ø»®- ô Ì¸» Ó¿¬¸»³¿¬·½¿´ Û¨°»®·»²½» ô ïçèï
λ¿¼»®- ±º ³§ °±°«´¿® ³¿¬¸»³¿¬·½- ¾±±µ- ¿´®»¿¼§ µ²±© ¸±© × º»»´ ¿¾±«¬
²«³¾»®-ò Ò«³¾»®- ¿®» °±®¬¿´- ¬± ±¬¸»® «²·ª»®-»-ò Ò«³¾»®- ¸»´° «- ¹´·³°-» ¿ ¹®»¿¬»® «²·ª»®-» ¬¸¿¬K- ²±®³¿´´§ -¸·»´¼»¼ º®±³ ±«® -³¿´´ ¾®¿·²-ô
©¸·½¸ ¸¿ª» ²±¬ »ª±´ª»¼ »²±«¹¸ ¬± º«´´§ ½±³°®»¸»²¼ ¬¸» ³¿¬¸»³¿¬·½¿´
º¿¾®·½ ±º ¬¸» «²·ª»®-»ò Ø·¹¸»® ³¿¬¸»³¿¬·½¿´ ¼·-½«--·±²- ¿®» ¿ ´·¬¬´» ´·µ»
 °±»¬®§ò ̸» Ü¿²·-¸ °¸§-·½·-¬ Ò·»´- Þ±¸® º»´¬ -·³·´¿® § ¿¾±«¬ °¸§-·½- ©¸»²
¸» -¿·¼ô NÉ» ³«-¬ ¾» ½´»¿® ¬¸¿¬ô ©¸»² ·¬ ½±³»- ¬± ¿¬±³-ô ´¿²¹«¿¹» ½¿² ¾»
«-»¼ ±²´§ ¿- ·² °±»¬®§òM
ɸ»² × ¬¸·²µ ¿¾±«¬ ¬¸» ª¿-¬ ±½»¿² ±º ²«³¾»®- ¬¸¿¬ ¸«³¿²- ¸¿ª»
-½±±°»¼ º®±³ ¬¸» -¸±®»´»-- -»¿ ±º ®»¿´·¬§ô × ¹»¬ ¿ ´·¬¬´» -¸·ª»®ò × ¸±°» §±«K´´
-¸·ª»®ô ¬±±ô ¿- §±« ¹´·³°-» ²«³¾»®- ¬¸¿¬ ®¿²¹» º®±³ ·²¬»¹»®-ô º®¿½¬·±²-ô
¿²¼ ®¿¼·½¿´- ¬± -¬®¿²¹»® ¾»¿-¬- ´·µ» ¬®¿²-½»²¼»²¬¿´ ²«³¾»®-ô ¬®¿²-B²·¬»
²«³¾»®-ô ¸§°»®®»¿´ ²«³¾»®-ô -«®®»¿´ ²«³¾»®-ô N²·³¾»®-ôM ¯«¿¬»®²·±²-ô  ¾·¯«¿¬»®²·±²-ô -»¼»²·±²-ô ¿²¼ ±½¬±²·±²-ò Ѻ ½±«®-»ô ©» ¸¿ª» ¿ ¸¿®¼ ¬·³»
¬¸·²µ·²¹ ±º -«½¸ ¯«»»® »²¬·¬·»-ô ¾«¬ º®±³ ¬·³» ¬± ¬·³»ô Ù±¼ °´¿½»- ·² ±«® 
³·¼-¬ ª·-·±²¿®·»- ©¸± º«²½¬·±² ´·µ» ¬¸» ¾·¾´·½¿´ °®±°¸»¬-ô ¬¸±-» ·²¼·ª·¼«¿´-
ï
ײ¬®±¼«½¬·±²
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 18/409
©¸± ¬±«½¸»¼ ¿ «²·ª»®-» ·²½¸»- ¿©¿§ ¬¸¿¬ ³±-¬ ±º «- ½¿² ¾¿®»´§ °»®½»·ª»ò
Í®·²·ª¿-¿ ο³¿²«¶¿² ©¿- -«½¸ ¿ °®±°¸»¬ò Ø» °´«½µ»¼ ³¿¬¸»³¿¬·½¿´
·¼»¿- º®±³ ¬¸» »¬¸»®ô ±«¬ ±º ¸·- ¼®»¿³-ò ο³¿²«¶¿² ©¿- ±²» ±º ײ¼·¿K-
¹®»¿¬»-¬ ³¿¬¸»³¿¬·½¿´ ¹»²·«-»-ô ¿²¼ ¸» ¾»´·»ª»¼ ¬¸¿¬ ¬¸» ¹±¼- ¹¿ª» ¸·³
·²-·¹¸¬-ò ̸»-» ½¿³» ·² ¿ A¿-¸ò Ø» ½±«´¼ ®»¿¼ ¬¸» ½±¼»- ·² ¬¸» ³¿¬¸»³¿¬·ó
½¿´ ³¿¬®·¨ ·² ¬¸» -¿³» ©¿§ ¬¸¿¬ Ò»±ô ¬¸» ´»¿¼ ½¸¿®¿½¬»® ·² ¬¸» ³±ª·»  Ì¸»
 Ó¿¬®·¨ô ½±«´¼ ¿½½»-- ³¿¬¸»³¿¬·½¿´ -§³¾±´- ¬¸¿¬ º±®³»¼ ¬¸» ·²º®¿-¬®«½¬«®»
±º ®»¿´·¬§ ¿- ¬¸»§ ½¿-½¿¼»¼ ¿¾±«¬ ¸·³ò × ¼±²K¬ µ²±© ·º Ù±¼ ·- ¿ ½®§°¬±¹®¿ó
 °¸»®ô ¾«¬ ½±¼»- ¿®» ¿´´ ¿®±«²¼ «- ©¿·¬·²¹ ¬± ¾» ¼»½·°¸»®»¼ò ͱ³» ³¿§ ¬¿µ»
¿ ¬¸±«-¿²¼ §»¿®- º±® «- ¬± «²¼»®-¬¿²¼ò ͱ³» ³¿§ ¿´©¿§- ¾» -¸®±«¼»¼ ·²
³§-¬»®§ò
ײ Ì¸» Ó¿¬®·¨ λ´±¿¼»¼ ô ¬¸» ©·-» ß®½ ·¬»½¬ ¬»´´- Ò»± ¬¸¿¬ ¸·- ´·º» ·- N¬¸»
-«³ ±º ¿ ®»³¿·²¼»® ±º ¿² «²¾¿´¿²½»¼ »¯«¿¬·±² ·²¸»®»²¬ ·² ¬¸» °®±¹®¿³ó
³·²¹ ±º ¬¸» ³¿¬®·¨òM Í·³·´¿®´§ô ¬¸» ¹®»¿¬ Í©·-- ¿®½¸·¬»½¬ Ô» ݱ®¾«-·»® 
øïèèéPïçêë÷ ¬¸±«¹¸¬ ¬¸¿¬ ¹±¼- °´¿§»¼ ©·¬¸ ²«³¾»®- ·² ¿ ³¿¬®·¨ ¾»§±²¼ 
±«® ±®¼·²¿®§ ®»¿´·¬§æ
̸» ½¸¿³±·- ³¿µ·²¹ ¿ ¹·¹¿²¬·½ ´»¿° º®±³ ®±½µ ¬± ®±½µ ¿²¼ ¿´·¹¸¬·²¹ô
©·¬¸ ·¬- º«´´ ©»·¹¸¬ô ±² ¸±±ª»- -«°°±®¬»¼ ¾§ ¿² ¿²µ´» ¬©± ½»²¬·³»¬»®- ·²
¼·¿³»¬»®æ ¬¸¿¬ ·- ½¸¿´´»²¹» ¿²¼ ¬¸¿¬ ·- ³¿¬¸»³¿¬·½-ò ̸» ³¿¬¸»³¿¬·½¿´
 °¸»²±³»²±² ¿´©¿§- ¼»ª»´±°- ±«¬ ±º -·³°´» ¿®·¬¸³»¬·½ô -± «-»º«´ ·² »ª»®§ó
¼¿§ ´·º»ô ±«¬ ±º ²«³¾»®-ô ¬¸±-» ©»¿°±²- ±º ¬¸» ¹±¼-æ ¬¸» ¹±¼- ¿®» ¬¸»®»ô
 ¾»¸·²¼ ¬¸» ©¿´´ô ¿¬ °´¿§ ©·¬¸ ²«³¾»®-ò øÔ» ݱ®¾«-·»®ô Ì¸» Ó±¼«´±® ô ïçêè÷
ß ½»²¬«®§ ¿¹±ô ο³¿²«¶¿² ©¿- Ì¸» Ó¿¬®·¨K- Ò»± ·² ±«® ±©² ®»¿´·¬§ò
ß- ¿ ¾±§ô ο³¿²«¶¿² ©¿- -´±© ¬± ´»¿®² ¬± -°»¿µò Ø» -»»³»¼ ¬± -°»²¼ ¿´´ ±º 
¸·- ¬·³» -½®·¾¾´·²¹ -¬®¿²¹» -§³¾±´- ±² ¸·- -´¿¬» ¾±¿®¼ ±® ©®·¬·²¹ »¯«¿¬·±²-
·² ¸·- °»®-±²¿´ ²±¬»¾±±µ-ò Ô¿¬»® ·² ´·º»ô ©¸·´» ©±®µ·²¹ ·² ¬¸» ß½½±«²¬-
Ü»°¿®¬³»²¬ ±º ¬¸» ᮬ Ì®«-¬ ѺB½» ¿¬ Ó¿¼®¿-ô ¸» ³¿·´»¼ -±³» ±º ¸·-
»¯«¿¬·±²- ¬± ¬¸» ®»²±©²»¼ Þ®·¬·-¸ ³¿¬¸»³¿¬·½·¿² Ùò Øò Ø¿®¼§ò Ø¿®¼§
·³³»¼·¿¬»´§ ¬±--»¼ ¬¸»-» »¯«¿¬·±²- ·²¬± ¬¸» ¹¿®¾¿¹»O¾«¬ ´¿¬»® ®»¬®·»ª»¼ 
¬¸»³ º±® ¿ -»½±²¼ ´±±µò Ѻ ¬¸» º±®³«´¿-ô Ø¿®¼§ -¿·¼ ¬¸¿¬ ¸» ¸¿¼ N²»ª»® 
-»»² ¿²§¬¸·²¹ ·² ¬¸» ´»¿-¬ ´·µ» ¬¸»³ ¾»º±®»ôM ¿²¼ ¬¸¿¬ -±³» ¸¿¼ ½±³°´»¬»´§
N¼»º»¿¬»¼M ¸·³ò Ø» ¯«·½µ´§ ®»¿´·¦»¼ ¬¸¿¬ ¬¸» »¯«¿¬·±²- N½±«´¼ ±²´§ ¾» ©®·¬ó
¬»² ¼±©² ¾§ ¿ ³¿¬¸»³¿¬·½·¿² ±º ¬¸» ¸·¹¸»-¬ ½´¿--òM Ø¿®¼§ ©®±¬» ·²
 Î¿³¿²«¶¿²æ Ì©»´ª» Ô»½¬«®»- ¬¸¿¬ ¬¸» º±®³«´¿- N³«-¬ ¾» ¬®«» ¾»½¿«-»ô ·º ¬¸»§ ©»®» ²±¬ ¬®«»ô ²± ±²» ©±«´¼ ¸¿ª» ¸¿¼ ¬¸» ·³¿¹·²¿¬·±² ¬± ·²ª»²¬ ¬¸»³òM
ײ¼»»¼ô ο³¿²«¶¿² ±º¬»² -¬¿¬»¼ ¿ ®»-«´¬ ¬¸¿¬ ¸¿¼ ½±³» º®±³ -±³»
-»²-» ±º ·²¬«·¬·±² ±«¬ ±º ¬¸» «²½±²-½·±«- ®»¿´³ò Ø» -¿·¼ ¬¸¿¬ ¿² ײ¼·¿²
î   ß Ð¿--·±² º±® Ó¿¬¸»³¿¬·½-
8/18/2019 A Passion for Mathematics
http://slidepdf.com/reader/full/a-passion-for-mathematics 19/409
¹±¼¼»-- ·²-°·®»¼ ¸·³ ·² ¸·- ¼®»¿³-ò Ò±¬ ¿´´ ±º ¸·- º±®³«´¿- ©»®» °»®º»½¬ô
 ¾«¬ ¬¸» ¿ª¿ ¿²½¸» ±º ¿½¬«¿´ ¹»³- ¬¸¿¬ ¸» °´«½µ»¼ º®±³ ¬¸» ³·²» ±º ®»¿´·¬§
½±²¬·²«»- ¬± ¾±¹¹´» ±«® ³±¼»®² ³·²¼-ò ο³¿²«¶¿² -¿·¼ ¬¸¿¬ ±²´§ ·² ³¿¬¸ó
»³¿¬·½- ½±«´¼ ±²» ¸¿ª» ¿ ½±²½®»¬» ®»¿´·¦¿¬·±² ±º Ù±¼ò
Þ´±±¼ Ü®»¿³- ¿²¼ Ù±¼•- Ó¿¬¸»³¿¬·½·¿²-
λ°»¿¬»¼´§ô ÅÉ»-¬»®² ³¿¬¸»³¿¬·½·¿²-à ¸¿ª» ¾»»² ®»¼«½»¼ ¬± ·²½¸±¿¬» »¨°®»--·±²- ±º  © ±²¼»® ¿²¼ ¿©» ·² ¬¸» º¿½» ±º ο³¿²«¶¿²- °±©»®-¸¿ª» -¬«³¾´»¼ ¿¾±«¬ô ¹®±°·²¹ º±® 
©±®¼-ô ·² ¬®§·²¹ ¬± ½±²ª»§ ¬¸» ³§-¬»®§ ±º ο³¿²«¶¿²ò 
 Oα¾»®¬ Õ¿²·¹»´ô ̸» Ó¿² ɸ± Õ²»© ײB²·¬§ô ïççï
ß½½±®¼·²¹ ¬± ο³¿²«¶¿²ô ¬¸» ¹±¼- ´»º¬ ¼®±°- ±º ª·ª·¼ ¾´±±¼ ·² ¸·- ¼®»¿³-ò
ߺ¬»® ¸» -¿© ¬¸» ¾´±±¼ô -½®±´´- ½±²¬¿·²·²¹ ½±³°´·½¿¬»¼ ³¿¬¸»³¿¬·½-
«²º±´¼»¼ ¾»º±®» ¸·³ò ɸ»² ο³¿²«¶¿² ¿©¿µ»²»¼ ·² ¬¸» ³±®²·²¹ô ¸»
-½®·¾¾´»¼ ±²´§ ¿ º®¿½¬·±² ±º ©¸¿¬ ¬¸» ¹±¼- ¸¿¼ ®»ª»¿´»¼ ¬± ¸·³ò
ײ Ì¸» Ó¿² ɸ± Õ²»© ײB²·¬§ô α¾»®¬ Õ¿²·¹»´ -«¹¹»-¬- ¬¸¿¬ ¬¸»
»¿-» ©·¬¸ ©¸·½¸ ο³¿²«¶¿²K- -°·®·¬«¿´·¬§ ¿²¼ ³¿¬¸»³¿¬·½- ·²¬»®¬©·²»¼ 
-·¹²·B»¼ ¿ N°»½«´·¿® A»¨·¾·´·¬§ ±º ³·²¼ô ¿ -°»½·¿´ ®»½»°¬·ª·¬§ ¬± ´±±-»
½±²½»°¬«¿´ ´·²µ¿¹»- ¿²¼ &no