a model for the frequency of extreme river

8/8/2019 A Model for the Frequency of Extreme River

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A M o d e l f o r t h e F r e q u e n c y o f E x t r e m e R i v e r

L e v e l s B a s e d o n R i v e r D y n a m i c s

S t e p h e n C h i c k

J o h n S h o r t l e

y

P i e t e r v a n G e l d e r

z

M a x B . M e n d e l

x

A u g u s t 9 , 1 9 9 6

A b s t r a c t

A n e w m o d e l f o r p r e d i c t i n g t h e f r e q u e n c y o f e x t r e m e r i v e r l e v e l s i s

p r o p o s e d w h i c h e n c a p s u l a t e s p h y s i c a l k n o w l e d g e a b o u t r i v e r d y n a m i c s .

T h e c e n t r a l i d e a i s t h e u s e o f c o n t i n u o u s t i m e s t o c h a s t i c p r o c e s s e s t h a t

u s e h y d r o l o g i c a l e q u a t i o n s a n d e r g o d i c t h e o r y t o m o d e l e x t r e m e e v e n t s ,

r a t h e r t h a n r e l y i n g o n s t a t i s t i c a l t s o f c l a s s i c a l m o d e l s t o l o c a l m a x i m u m

d a t a . A s i m p l e e x a m p l e s h o w s h o w c h a n g e s i n d i s c h a r g e c h a r a c t e r i s t i c s

c h a n g e s t h e e x t r e m e r i v e r l e v e l f r e q u e n c i e s . S o l u t i o n s a r e p r o v i d e d f o r

s p e c i a l c a s e s , a n d d i r e c t i o n s f o r m o r e g e n e r a l t e c h n i q u e s a r e p r o v i d e d .

K e y w o r d s : E x t r e m e r i v e r o o d i n g , o o d s t a t i s t i c s , o o d f r e q u e n c y , e r g o d i c

t h e o r y , e n g i n e e r i n g p r o b a b i l i t y , M a r k o v - m o d u l a t e d u i d s o u r c e , C h e z y ' s e q u a -

t i o n .

1 I n t r o d u c t i o n

T w o m a j o r p u r p o s e s f o r o o d p r e d i c t i o n a r e 1 s h o r t - t e r m e v a c u a t i o n p u r p o s e s

a n d 2 l o n g - t e r m o o d f r e q u e n c y a n a l y s i s f o r o o d d e f e n s e s y s t e m d e s i g n . A t

p r e s e n t , t h e a n a l y s i s f o r e a c h p u r p o s e i s q u i t e d i e r e n t . S h o r t - t e r m p r e d i c t i o n

u s e s e x t e n s i v e p h y s i c a l k n o w l e d g e o f c o n t i n u o u s - t i m e r i v e r c a t c h m e n t p r o p e r -

t i e s , i n c l u d i n g r i v e r d y n a m i c s , p r i o r a n d p r e d i c t e d w e a t h e r o v e r t h e c a t c h m e n t ,

a n d r u n - o m o d e l s . T h e F L O F O M m o d e l d e s c r i b e d b y B e r g e r 1 a n d u s e d b y

I O E D e p t . , U n i v e r s i t y o f M i c h i g a n , 1 3 0 I O E B u i l d i n g , 1 2 0 5 B e a l A v e n u e , A n n A r b o r ,

M i c h 4 8 1 0 9

y

U C B e r k e l e y , D e p a r t m e n t o f I n d u s t r i a l E n g i n e e r i n g a n d O p e r a t i o n s R e s e a r c h .

z

T e c h n i c a l U n i v e r s i t y o f D e l f t , H o l l a n d , D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g .

x

U C B e r k e l e y , D e p a r t m e n t o f I n d u s t r i a l E n g i n e e r i n g a n d O p e r a t i o n s R e s e a r c h . R e s e a r c h

p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e A r m y R e s e a r c h O c e D A A L 0 3 - 9 1 - G - 0 0 4 6 g r a n t t o t h e U n i v e r s i t y

o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y .

1


2/23

t h e R i j k s w a t e r s t a a t D u t c h M i n i s t r y o f T r a n s p o r t a n d W a t e r D e f e n s e t o a n a -

l y z e t h e r i v e r M a a s M e u s e i s a n e x a m p l e o f s u c h a m o d e l . L o n g - t e r m o o d

p r e d i c t i o n , o n t h e o t h e r h a n d , h a s t r a d i t i o n a l l y t p e a k o o d l e v e l s t o s t a t i s t i c a l

m o d e l s s u c h a s t h e l o g - P e a r s o n I I I 2 o r G u m b e l 3 . F o r e x a m p l e , F i g . 1 s h o w s

s t a t i s t i c a l t s t o o o d d a t a f r o m t h e R h i n e 4 . C u n n a n e 5 p r o v i d e s a s u r v e y

o f t h e s e a n d o t h e r s t a t i s t i c a l m o d e l s a n d i n d i c a t e s t h a t g o o d n e s s o f t t e s t s

2

K o l m o g o r o v - S m i r n o v , m o m e n t - r a t i o d i a g r a m s f o r s e l e c t i n g a p a r t i c u l a r m o d e l

a r e i n c o n c l u s i v e . D i c u l t y i n c o m p a r i n g h y d r o l o g i c a l p a r a m e t e r s r u n - o c o e f -

c i e n t s , r i v e r d i s c h a r g e e q u a t i o n s w i t h s t a t i s t i c a l p a r a m e t e r s s l o p e , i n t e r c e p t

i s o n e c o n t r i b u t o r t o t h i s i n c o n c l u s i v e n e s s .

I n t h i s p a p e r , a n e w m o d e l f o r p r e d i c t i n g t h e f r e q u e n c y o f e x t r e m e r i v e r

l e v e l s i s p r o p o s e d w h i c h e n c a p s u l a t e s p h y s i c a l k n o w l e d g e a b o u t r i v e r d y n a m -

i c s , i n c l u d i n g f o r m u l a s w h i c h d e s c r i b e r i v e r d i s c h a r g e . F o r s i m p l i c i t y , a s s u m e

t h e e q u a t i o n f o r r i v e r d i s c h a r g e i s g i v e n b y t h e w i d e l y a c c e p t e d C h e z y e q u a -

t i o n , a p o w e r l a w , a l t h o u g h t h e t h e o r y p e r m i t s m o r e g e n e r a l f o r m u l a t i o n s . T h e

r e s u l t i n g m o d e l t h e r e f o r e m a k e s a n e x p l i c i t c o n n e c t i o n b e t w e e n h y d r o l o g i c a l

a n d s t a t i s t i c a l p a r a m e t e r s . T h e m o d e l a c c o u n t s f o r t h e r i v e r d y n a m i c s a t a

g i v e n l o c a t i o n b y m o d e l i n g b o t h h o w w a t e r g e t s i n t o t h e r i v e r v i a u p s t r e a m

t r i b u t a r i e s a n d h o w w a t e r l e a v e s d i s c h a r g e m o d e l e d b y C h e z y ' s e q u a t i o n . A l -

t h o u g h t h e s i m p l i e d p h y s i c a l m o d e l p r e s e n t e d i n S e c . 2 m a k e s s e v e r a l r o u g h

a p p r o x i m a t i o n s u s i n g m e m o r y l e s s p r o p e r t i e s a n d C h e z y ' s e q u a t i o n f o r a p p r o x -

i m a t i n g d i s c h a r g e , s o m e i n s i g h t s m a y s t i l l b e g a i n e d . T h e m a t h e m a t i c s n e e d e d

f o r c a l c u l a t i n g l o n g - t e r m o o d f r e q u e n c i e s i s p r e s e n t e d i n S e c . 3 . C a l c u l a t i o n s

f o r s e v e r a l t e s t c a s e s a r e g i v e n i n S e c . 4 , w h e r e i t i s s h o w n h o w c h a n g e i n t h e

d i s c h a r g e d i r e c t l y c h a n g e s t h e w a t e r l e v e l f o r o o d s w i t h t h e s a m e r e t u r n p e r i o d .

W e s h o w t h a t t h e d i s c h a r g e r a t e s d i r e c t l y a e c t t h e s h a p e o f t h e c u r v e w h i c h

r e l a t e s o o d f r e q u e n c y a n d o o d v o l u m e . T h i s i s i l l u s t r a t e d b y t h e t h i r d t e s t

c a s e , w h e r e t h e p o w e r i n t h e p o w e r l a w o f C h e z y ' s e q u a t i o n i s v a r i e d . I n p a r -

t i c u l a r , t h e l o g - l i n e a r r e l a t i o n s h i p c o m m o n l y a s s u m e d i s n o t o b t a i n e d .

S o l u t i o n t e c h n i q u e s f o r t h e g e n e r a l c a s e a r e p r e s e n t e d i n S e c . 5 .

2


3/23

1.01 5 10 50 500 1250 Return period [yr]

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000Rhine Flood Frequency Analysis, Annual Maxima 19011995; Discharges in m3/s

Gumbel

Exponential

F i g u r e 1 : E m p i r i c a l r i v e r d i s c h a r g e f r e q u e n c i e s o f t h e R h i n e a n d t t e d d i s t r i b u -

t i o n s .

3


4/23

=m /sec3

m /sec3

m /sec3

volume of water incross section

m /sec3

l

1

l

2

v

q

= +l

1

l

2

F i g u r e 2 : A s i m p l i e d p h y s i c a l m o d e l f o r t h e r i v e r . A t t h e g i v e n c r o s s - s e c t i o n o f

u n i t w i d t h , t h e r i v e r l e v e l i s d e t e r m i n e d b y i n p u t f r o m K = 2 m a j o r t r i b u t a r i e s

a n d t h e r a t e o f d i s c h a r g e .

2 P h y s i c a l m o d e l f o r r i v e r s y s t e m

S h o r t - t e r m o o d p r e d i c t i o n m a k e s e x t e n s i v e u s e o f p h y s i c a l m o d e l i n g o f t h e

r i v e r s y s t e m . W e s e e k t o u s e a p h y s i c a l m o d e l f o r t h e r i v e r s y s t e m a s p a r t o f

t h e l o n g - t e r m p r e d i c t i o n m o d e l . T h e m a i n c o m p o n e n t s o f a p h y s i c a l m o d e l o f

a r i v e r a t a p a r t i c u l a r u n i t - w i d t h c r o s s - s e c t i o n a r e d e s c r i p t i o n s o f t h e d i s c h a r g e

r a t e , a n d t h e i n p u t r a t e o f w a t e r f r o m u p s t r e a m s o u r c e s F i g . 2 . B e c a u s e t h e s e

m o d e l s m a y b e c o m p l e x , w e p r o p o s e t h e f o l l o w i n g s i m p l i e d m o d e l f o r h o w

w a t e r e n t e r s a n d l e a v e s a r i v e r i n o r d e r t o b e t t e r u n d e r s t a n d t h e v i a b i l i t y o f

a p h y s i c a l - m o d e l b a s e d a p p r o a c h t o l o n g - t e r m o o d p r e d i c t i o n . T h e p h y s i c a l

m o d e l p r e s e n t e d h e r e i s u s e d t o c a l c u l a t e t h e f r e q u e n c y o f o o d s i n l a t e r s e c t i o n s .

T h e r a t e o f d i s c h a r g e , q v , f r o m a u n i t - w i d t h c r o s s - s e c t i o n o f a r i v e r i s a

f u n c t i o n o f t h e g e o m e t r y o f t h e c r o s s - s e c t i o n , a n d t h e v o l u m e o f w a t e r v i n t h a t

c r o s s - s e c t i o n . T h u s , t h e d i s c h a r g e h a s a f u n c t i o n a l f o r m w h i c h i s d i e r e n t f o r

t h e m a n y g e o m e t r i e s e n c o u n t e r e d i n p r a c t i c e , s u c h a s t h o s e s e e n i n F i g . 3 .

A s t a n d a r d , a c c e p t e d d e s c r i p t i o n o f t h e r a t e o f d i s c h a r g e i s g i v e n b y C h e z y ' s

e q u a t i o n ,

q v = a v

b

1

4


5/23

b)

c)

a)

F i g u r e 3 : D i e r e n t g e o m e t r i e s f o r r i v e r c r o s s - s e c t i o n s .

f o r s o m e c o n s t a n t s a a n d b , a n d q h a s u n i t s m

3

s e c .

1

W e w i l l u s e C h e z y ' s

e q u a t i o n t o d e s c r i b e d i s c h a r g e i n t h i s p a p e r , a l t h o u g h a l l t h e r e s u l t s a r e v a l i d

f o r m o r e g e n e r a l f u n c t i o n s f o r d i s c h a r g e a s w e l l .

T h e o t h e r m a j o r f e a t u r e o f a p h y s i c a l m o d e l , t h e r a t e o f w a t e r i n p u t , i s

a s s u m e d t o b e d e t e r m i n e d b y t h e c u m u l a t i v e e e c t o f u p s t r e a m t r i b u t a r i e s .

S u p p o s e t h a t t h e r e a r e K m a j o r t r i b u t a r i e s w h o s e c a t c h m e n t s a e c t t h e c r o s s -

s e c t i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n , a n d t h a t t h e o w t i m e f r o m t r i b u t a r y i t o t h e r i v e r

c r o s s - s e c t i o n i n q u e s t i o n i s a p p r o x i m a t e l y

i

. T h e n

t

K

X

i = 1

l

i

t ,

i

2

w h e r e t i s t h e r a t e o f w a t e r i n p u t , l

i

t i s t h e d i s c h a r g e i n m

3

s e c f r o m

t r i b u t a r y i a t t i m e t F i g . 2 . E q . 2 a s s u m e s a d d i t i v i t y . T h i s p r o v i d e s a r s t -

o r d e r a p p r o x i m a t i o n f o r r i v e r o w s . M o r e s o p h i s t i c a t e d m o d e l s w h i c h a c c o u n t

f o r n o n - l i n e a r i t y a n d ` s t o r a g e e e c t s ' a r e p o s s i b l e f u t u r e r e n e m e n t s .

S h o r t t e r m p r e d i c t i o n m o d e l s g e n e r a l l y h a v e s o p h i s t i c a t e d m o d e l s f o r r e l a t -

i n g t h e w e a t h e r , r u n o , a n d o t h e r f a c t o r s t o l

i

. T h e n u m b e r o f p a r a m e t e r s

u s e d b y s h o r t - t e r m m o d e l s i s q u i t e l a r g e . F o r p u r p o s e s o f i l l u s t r a t i n g i d e a s ,

1

M a n y d e v e l o p m e n t s h a v e q a s a f u n c t i o n o f t h e r i v e r h e i g h t h . T h e p r e s e n t f o r m u l a t i o n ,

w h i c h a p p r o x i m a t e s v o l u m e a s a p o w e r l a w i n h e i g h t , i s m o r e c o n v e n i e n t f o r t h e d e v e l o p m e n t

b e l o w .

5


6/23

State of tributaries, s

volume in river

cross-section, v

s

q v

F i g u r e 4 : C o n c e p t u a l m o d e l f o r r i v e r : T h e s t a t e o f t h e t r i b u t a r i e s s i s m o d e l e d

b y a c o n t i n u o u s t i m e M a r k o v c h a i n C T M C . T h e C T M C s t a t e d e t e r m i n e s t h e

r a t e o f i n p u t

s

f r o m t r i b u t a r i e s . C h e z y ' s e q u a t i o n f o r d i s c h a r g e q v

a s i m p l i e d m o d e l i s p r e s e n t e d . W e m o d e l t h e s t a t e o f t h e t r i b u t a r i e s a s a

M a r k o v - m o d u l a t e d u i d s o u r c e M M F S . T h e M M F S i s c o m m o n l y u s e d t o g a i n

i n s i g h t s i n t o i n f o r m a t i o n o w i n h i g h - s p e e d c o m m u n i c a t i o n s n e t w o r k s 6 .

T h e b a s i c c o m p o n e n t s o f t h e M M F S a r e t h e s t a t e a n d u i d r a t e . I n t h e

p r e s e n t w o r k , t h e s t a t e s i s d e n e d t o b e t h e a r r a y o f d i s c h a r g e s f r o m t h e K

t r i b u t a r i e s . T h e u i d r a t e i s d e n e d t o b e t h e s u m o f t h e d i s c h a r g e s f r o m t h e

t r i b u t a r i e s , a n d i s t h e i n p u t r a t e o f w a t e r i n t o t h e r i v e r c r o s s - s e c t i o n .

W e m a k e a n e c e s s a r y g e n e r a l i z a t i o n f o r t h e M M F S i n o r d e r t o a p p l y i t t o

t h e o o d - f r e q u e n c y p r o b l e m . I n c o m m u n i c a t i o n s , t h e M M F S g e n e r a l l y a s s u m e s

a c o n s t a n t b i t r a t e , w i t h t h e c h o i c e q v = c o n s t a n t b i t r a t e . T h e p r e s e n t w o r k

m a k e s a n e x t e n s i o n b y p e r m i t t i n g q v t o b e a n o n - c o n s t a n t f u n c t i o n , s u c h a s

C h e z y ' s e q u a t i o n .

T h e u s e o f t h e M M F S t o m o d e l t h e r i v e r s y s t e m r e q u i r e s t w o s i m p l i c a t i o n s

o f t h e p h y s i c a l m o d e l . F i r s t , t h e M M F S t h a t t h e l

i

f o r m a d i s c r e t e s e t , l

i

2 L

F o r a p a r t i c u l a r r i v e r s y s t e m , o n e m i g h t s e t L = f 0 2 5 5 0 ; : : : ; q g i n c r e m e n t s

n o t n e c e s s a r i l y c o n s t a n t . T h e m a x i m a l d i s c h a r g e q i s c h o s e n t o b e g r e a t e r t h a n

t h e l a r g e s t i m a g i n a b l e d i s c h a r g e f r o m t h e t r i b u t a r i e s t h i s i n s u r e s t h e n u m b e r o f

6


7/23

s t a t e s i s n i t e . W i t h t h i s a s s u m p t i o n , t h e e e c t o f r i v e r c a t c h m e n t a t t i m e t o n

t h e r i v e r c r o s s - s e c t i o n i s d e s c r i b e d b y S t = l

1

t ,

1

; : : : ; l

K

t ,

K

2 L

K

W e c a l l S t t h e s t a t e o f t h e t r i b u t a r i e s a t t i m e t

S e t N = L

K

t o b e t h e n u m b e r o f p o s s i b l e s t a t e s o f t h e t r i b u t a r i e s . N u m b e r

t h e s t a t e s f r o m s = 1 ; : : : ; N . F o r e a c h s t a t e s 2 L

K

, t h e r a t e o f w a t e r i n p u t

s

i n t o t h e r i v e r c r o s s - s e c t i o n i s

s

=

K

X

i = 1

l

i

S e t = d i a g

s

t o b e t h e d i a g o n a l m a t r i x o f d i s c r e t i z e d r i v e r i n p u t s .

A s e c o n d a s s u m p t i o n o f t h e M M F S i s t h a t t h e r a n d o m s t a t e t r a n s i t i o n s

a r e m e m o r y l e s s . E q u i v a l e n t l y , t h e c a t c h m e n t i s m o d e l e d a s a c o n t i n u o u s - t i m e

M a r k o v c h a i n s e e , e g 7 , w i t h s t a t e t r a n s i t i o n m a t r i x

M =

i j

3

w i t h

i j

e q u a l t o t h e s t a t e t r a n s i t i o n s r a t e f r o m s t a t e i t o j w h e n i 6= j , a n d

i i

t h e n e g a t i v e o f t h e r a t e o u t o f s t a t e i

i j

=

l i m

h ! 0

P r o b S t + h = j S t = i = h i 6= j

,

P

k 6= i

i k

i = j

4

w h e r e i j 2 L

K

a n d S t i s t h e s t a t e o f t h e t r i b u t a r i e s a t t i m e t . T h u s , t h e

r o w s a d d t o 0 . U n d e r m i l d t e c h n i c a l c o n d i t i o n s , t h e l o n g r u n p r o b a b i l i t i e s

i

o f

b e i n g i n s t a t e i s a t i s f y

~ M = 0

A l t h o u g h M i s a l a r g e m a t r i x o f s i z e N N , i t i s s p a r s e . T h i s i s d u e t o t h e

f a c t t h a t r i v e r s d o n o t s k i p d i s c h a r g e l e v e l s i n s t a n t a n e o u s l y . F o r e x a m p l e , w i t h

d i s c r e t e v a l u e s 2 5 5 0 7 5 m

3

s e c , a r i v e r c a n n o t s k i p 5 0 w h e n c h a n g i n g f r o m 2 5

t o 7 5 m

3

s e c . T h e r e a r e a t m o s t K w a y s t o h a v e a n i n c r e a s e d o w a n i n c r e a s e

i n o n e o f t h e K t r i b u t a r i e s i n p u t o w s a n d a t m o s t K w a y s t o d e c r e a s e . T h u s ,

e a c h r o w w i l l h a v e a m a x i m u m o f 2 K + 1 n o n - z e r o e n t r i e s , i n c l u d i n g t h e d i a g o n a l

e n t r y .

T h i s m o d e l p r o v i d e s s u c i e n t m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e t o c a l c u l a t e t h e f r e -

q u e n c y o f e x t r e m e o o d s , a s d e t a i l e d f u r t h e r i n S e c . 3

7


8/23

3 M a t h e m a t i c a l m o d e l f o r o o d f r e q u e n c y

T h i s s e c t i o n p r e s e n t s t h e m a t h e m a t i c s n e e d e d t o c a l c u l a t e t h e e x p e c t e d r e t u r n

t i m e f o r a o o d b a s e d o n t h e m o d e l o f S e c . 2 .

T h e r e c u r r e n c e t i m e T v f o r a o o d w i t h v o l u m e v i n t h e c r o s s - s e c t i o n , i s

g i v e n b y

T v =

D v

P v

5

w h e r e D v i s t h e e x p e c t e d d u r a t i o n o f a o o d e x c e e d i n g V = v , a n d P v i s

t h e p r o b a b i l i t y o f e x c e e d i n g v a t a n a r b i t r a r y t i m e i n s t e a d y s t a t e . T h i s f o r m u l a

c a n b e d e r i v e d u s i n g r e s u l t s f r o m e r g o d i c t h e o r y , a s d e s c r i b e d i n t h e a p p e n d i x .

W e n o w f o c u s o n t h e c a l c u l a t i o n o f D v a n d P v

F r o m t h e s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s a b o v e , t h e s t a t e o f t h e r i v e r i s g i v e n b y t h e

v o l u m e v o f w a t e r i n t h e c r o s s - s e c t i o n o f i n t e r e s t , a n d t h e s t a t e o f t h e t r i b u t a r i e s

s 2 L

K

. A d i e r e n t i a l e q u a t i o n d e s c r i b i n g t h e c h a n g e o f p r o b a b i l i t i e s f o r s y s t e m

s t a t e s c a n b e g i v e n i n m a t r i x f o r m a s

@

~

F v t

@ t

= r a t e f r o m w a t e r o w + r a t e f r o m M a r k o v c h a i n s t a t e c h a n g e s

= , , q v I

@

~

F

@ v

+ M

T

~

F 6

w h e r e

~

F v t = F

1

v t ; : : : ; F

N

v t

T

i s a c o l u m n v e c t o r o f f u n c t i o n s

F

s

v t = P r o b f V v t r i b u t a r y s t a t e S t = s ; a t t i m e t g 7

E q . 6 h a s a u n i q u e s o l u t i o n w h e n e v e r t h e M a r k o v c h a i n M i s i r r e d u c i b l e a n d

t h e d i s c h a r g e q v i s s u c i e n t t o p r e v e n t p e r m a n e n t o o d i n g 8 .

T h e p r o b a b i l i t y o f t h e r i v e r e x c e e d i n g a o o d l e v e l v a t a ` r a n d o m t i m e ' i s

t h e n g i v e n b y

P v = 1 ,

N

X

s = 1

F

s

v

w h e r e F

s

v i s t h e s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n s a t i s f y i n g @

~

F = @ t = 0 . W h e n n o

e x p l i c i t r e f e r e n c e t o t i s g i v e n , t h e s t a t i o n a r y s o l u t i o n i s i m p l i e d . F r o m E q . 6 ,

F

s

v c a n a l s o b e d e t e r m i n e d f r o m

, q v I

@

~

F

@ v

= M

T

~

F 8

8


9/23

a l i n e a r , h o m o g e n e o u s , r s t - o r d e r o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n .

D v i s c a l c u l a t e d b y s i m u l a t i n g o o d s u s i n g E q . 6 . N u m e r i c a l m e t h o d s f o r

c a l c u l a t i n g D v P v , a n d T v a r e d i s c u s s e d i n S e c . 5 .

4 S a m p l e c a l c u l a t i o n

T h e a b o v e f o r m u l a t i o n i s s u c i e n t t o d e t e r m i n e h o w c h a n g e s i n t h e r i v e r s y s t e m

o r d i s c h a r g e r a t e c h a n g e t h e r e t u r n t i m e o f a n e x t r e m e o o d . I n t h i s s e c t i o n ,

t h r e e s a m p l e c a l c u l a t i o n s f o r s i m p l e s y s t e m s a r e g i v e n t o i l l u s t r a t e h o w t h e

r e t u r n p e r i o d s o f e x t r e m e o o d s w h e n t h e d i s c h a r g e f u n c t i o n i s c h a n g e d .

S u p p o s e t h a t e i t h e r i t i s r a i n i n g a t

r

m

3

s e c o v e r t h e c a t c h m e n t , o r t h a t

n o r a i n e n t e r s t h e r i v e r . T h e b a s a l r i v e r o w f r o m s p r i n g s i s

2

. T h e r i v e r

i n p u t d u r i n g r a i n

1

=

r

+

2

i s t h e s u m o f t h e b a s a l o w a n d r a i n f a l l . R a i n

l a s t s a n e x p o n e n t i a l a m o u n t o f t i m e w i t h m e a n 1 =

1 2

, a n d p e r i o d s o f n o r a i n

a r e e x p o n e n t i a l w i t h m e a n 1 =

2 1

. T h e e x p o n e n t i a l m o d e l i s r e q u i r e d f o r t h e

M M F S . T h e n

=

1

0

0

2

!

a n d M =

,

1 2

1 2

2 1

,

2 1

!

T h e s t a t i o n a r y p r o b a b i l i t i e s o f r a i n v s . n o r a i n a r e ~

1

=

2 1

=

1 2

+

2 1

a n d

~

2

=

1 2

=

1 2

+

2 1

, r e s p e c t i v e l y . T h e a v e r a g e i n p u t t o t h e r i v e r i s

=

2 1

1

+

1 2

2

1 2

+

2 1

T h e r i v e r l e v e l s f o r t h e c a s e s o f t w o d i e r i n g p o w e r s i n C h e z y ' s e q u a t i o n

b = 0 a n d b = 1 a r e p r e s e n t e d . I n b o t h c a s e s ,

P r o b V v =

2 1

1 2

+

2 1

F

1

v +

1 2

1 2

+

2 1

F

2

v

w h e r e

2 1

1 2

+

2 1

i s t h e p r o b a b i l i t y o f r a i n a t a r a n d o m t i m e , F

1

v = P r o b V

v d u r i n g r a i n , a n d F

2

v = P r o b V v n o r a i n .

I n s i g h t s f o l l o w t h e c a l c u l a t i o n s .

C a s e 1 : D i s c h a r g e p r o p o r t i o n a l t o v o l u m e , q v = c v T h e a p p e n d i x

s h o w s t h a t t h e f o l l o w i n g f u n c t i o n s s a t i s f y t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e p r o b -

a b i l i t y o f n o t e x c e e d i n g a g i v e n r i v e r l e v e l a t a r a n d o m t i m e .

9


10/23

2 4 6 8 10 1 2

0.2

0.4

0.6

Volume v in river cross-section

Probability

of exceeding

volume v

q(v) = 3.5

q(v) = v

P v = 1 ,

P

N

i = 1

F

i

v

F i g u r e 5 : P r o b a b i l i t y o f e x c e e d i n g a g i v e n v o l u m e v o f w a t e r i n r i v e r c r o s s -

s e c t i o n , w h e n N = 2

1

= 1 0 ,

2

= 0 , 1 =

1 2

= 2 d a y s , 1 =

2 1

= 5 d a y s .

F

1

v =

2 1

1 2

+

2 1

I

c v ,

2

1

,

2

2 1

c

+ 1

1 2

c

F

2

v =

1 2

1 2

+

2 1

I

c v ,

2

1

,

2

2 1

c

1 2

c

+ 1

9

w i t h v 2

2

= c ;

1

= c a n d I z ; a ; b =

, a + b

, a , b

R

z

t = 0

t

a 1

1 , t

b 1

d t i s t h e i n -

c o m p l e t e r e g u l a r i z e d b e t a f u n c t i o n 9 .

T h e e x p e c t e d d u r a t i o n D v o f a o o d o f l e v e l v o r h i g h e r w i t h d i s c h a r g e

q v = c v i s

D v =

1

= c , v

1

, c v

1 2

c

c v ,

2

2 1

c

1 0

w h e r e

v =

1

,

2

1 2

+

2 1

= c

c

B

c v ,

2

1

,

2

2 1

c

+ 1

1 2

c

+ B

c v ,

2

1

,

2

2 1

c

1 2

c

+ 1

w h e r e B z ; a ; b =

R

z

t = 0

t

a 1

1 , t

b 1

d t i s t h e i n c o m p l e t e b e t a f u n c t i o n .

C a s e 2 : D i s c h a r g e c o n s t a n t , q v = d w h e n v 0 A l t h o u g h n o r i v e r

a c t u a l l y d i s c h a r g e s c m

3

s e c w h e n t h e r e i s w a t e r a n d d o e s n o t d i s c h a r g e w h e n

t h e r e i s n o n e , t h i s s p e c i a l c a s e i l l u s t r a t e s h o w t h e r i v e r l e v e l s a r e a e c t e d b y

1 0


11/23

2 4 6 8 10

5

10

15

20


Expected

flood

durationD(v)

(days)

q(v) = 3.5

q(v) = v

F i g u r e 6 : E x p e c t e d o o d d u r a t i o n D v s a m e p a r a m e t e r s a s i n F i g . 5 .

6 7 8 9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Expectedrecurrencetime, T(v)(years)

q(v) = 3.5

q(v) = v

F i g u r e 7 : E x p e c t e d o o d r e c u r r e n c e t i m e T v E q . 5 u s i n g s a m e p a r a m e t e r s

a s i n F i g . 5 .

1 1


12/23

a s s u m i n g a s p e c i a l f o r m o f C h e z y ' s e q u a t i o n . T h e a s s u m p t i o n d

i s n e c e s s a r y

s o t h a t t h e r i v e r c a n d r a i n i t s e l f .

F

1

v =

2 1

1 2

+

2 1

,

2 1

1 2

+

2 1

e

v

F

2

v =

1 2

1 2

+

2 1

,

1

, d

d ,

2

2 1

1 2

+

2 1

e

v

1 1

w h e r e v 0 a n d =

d

1 2

+

2 1

2 1

1

1 2

2

d

1

d

2

T h e e x p e c t e d d u r a t i o n D v o f a o o d o f l e v e l v o r h i g h e r i s c o n s t a n t

D v =

,

2

2 1

d ,

1 2

w h e n e v e r v 0 . W h e n v = 0 , t h e e x p e c t e d o o d t i m e i s i n n i t y , s i n c e t h e

w a t e r l e v e l i s a l w a y s 0 o r g r e a t e r . T h e a p p e n d i x p r o v i d e s p r o o f .

C o m m e n t s T h e p r o b a b i l i t y o f o b s e r v i n g a o o d a t a r a n d o m t i m e , t h e e x -

p e c t e d o o d d u r a t i o n , a n d t h e e x p e c t e d o o d r e c u r r a n c e t i m e f o r t h e s e t w o

e x a m p l e s a r e i l l u s t r a t e d i n F i g . 5 , F i g . 6 , a n d F i g . 7 , r e s p e c t i v e l y .

A n i m p o r t a n t p o i n t i s r e v e a l e d b y c o n s i d e r i n g F i g . 7 , w h i c h r e l a t e s w a t e r

l e v e l s w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g o o d r e c u r r e n c e t i m e . T h e c u r v e s a r e s h a p e d q u i t e

d i e r e n t l y b e c a u s e o f t h e c h a n g e d i s c h a r g e c h a r a c t e r i s t i c s . I f a t r a d i t i o n a l s t a -

t i s t i c a l m o d e l h a s t h e s a m e c u r v e s h a p e r e l a t i n g o o d l e v e l a n d o o d f r e q u e n c y ,

i t m a y a c c u r a t e l y r e e c t t h e d i s c h a r g e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e r i v e r . O n t h e o t h e r

h a n d , w e h a v e n o t y e t d e t e r m i n e d w h i c h v a l u e s o f t h e C h e z y p a r a m e t e r s , i f a n y ,

r e e c t t h e s h a p e s o f t r a d i t i o n a l s t a t i s t i c a l m o d e l s .

A n o t h e r o b s e r v a t i o n i s t h a t i n c r e a s i n g t h e p o w e r b f r o m C h e z y ' s e q u a t i o n

q v = a v

b

d r a s t i c a l l y r e d u c e s t h e r e c u r r e n c e t i m e f o r a g i v e n o o d l e v e l . T h e

e x c e p t i o n i s n e a r t h e a s y m p t o t e n e a r o o d v o l u m e v = 1 0 , w h i c h i s n e a r t h e

b o u n d s w h e r e t h e m o d e l i s e x p e c t e d t o b l o w u p . O n e w a y t o a v o i d t h i s b l o w u p

i s h a v e a m u c h l a r g e r n u m b e r o f s t a t e s s o t h a t t h e r e c u r r e n c e t i m e o f i n t e r e s t

s a y , 1 2 5 0 y e a r s w o u l d n o t b e n e a r t h e a s y m p t o t e .

C a s e 3 : E e c t o f C h e z y p o w e r p a r a m e t e r b o n t h e o o d p r o b a b i l i t y

P v S u p p o s e t h e d i s c h a r g e i s g i v e n b y C h e z y ' s e q u a t i o n , q v = a v

b

. E q . 5

s t a t e s t h a t o o d r e t u r n t i m e i s p r o p o r t i o n a l t o o o d d u r a t i o n D v a n d 1 = P v

w h e r e P v i s t h e p r o b a b i l i t y o f e x c e e d i n g v a t a r a n d o m t i m e i n s t e a d y s t a t e .

1 2


13/23

1 4 8 101.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

Floodvolume,v

1 / P(v) in log scale

b = 1.10

b = 1.12

b = 1.14

F i g u r e 8 : E e c t o f c h a n g e s o f p o w e r p a r a m e t e r b i n C h e z y ' s e q u a t i o n o n t h e

c u r v e r e l a t i n g o o d v o l u m e a n d t h e s t e a d y - s t a t e p r o b a b i l i t y o f o o d i n g .

S o l v i n g E q . 8 t o o b t a i n 1 = P v i s n u m e r i c a l l y s i m p l e r t h a n s o l v i n g E q . 6 t o

o b t a i n D v . I n p r a c t i c e , a n o r d e r o f m a g n i t u d e c h a n g e o f P v o v e r a g i v e n

r a n g e o f v w i l l n o t b e a c c o m p a n i e d b y a n o r d e r o f m a g n i t u d e c h a n g e i n o o d

d u r a t i o n D v . N o t e t h a t s m a l l c h a n g e s i n P v a e c t t h e r e t u r n t i m e T v

m o r e t h a n s m a l l c h a n g e s i n D v . W e t h e r e f o r e l o o k a t h o w c h a n g e s i n t h e

C h e z y p a r a m e t e r b a e c t 1 = P v , s i n c e t h i s i s l i k e l y t o b e t h e p r i n c i p a l f a c t o r

i n u e n c i n g T v

I n p a r t i c u l a r , a s s u m e t h e r e a r e N = 3 s t a t e s , a n d

=

0

B

B

@

1 0 0

0 2 0

0 0 3

1

C

C

A

a n d M =

0

B

B

@

, 0 4 0 4 0

0 6 , 1 0 4

0 0 6 , 0 6

1

C

C

A

T h e r a t e o f i n c r e a s i n g t o a h i g h e r l e v e l o f r i v e r i n p u t h a s b e e n s e t t o a c o n s t a n t

0 4 . C h e z y ' s e q u a t i o n i s a s s u m e d t o b e q v = 1 v

b

, f o r b = 1 1 1 1 2 1 1 4

F i g . 8 s h o w s h o w t h e c u r v e r e l a t i n g v a n d 1 = P v c h a n g e s w i t h t h e C h e z y

p a r a m e t e r b . O n l y t h e p o r t i o n o f t h e g r a p h a w a y f r o m t h e m a x i m u m a n d

m i n i m u m v a l u e s o f v a r e s h o w n t o a v o i d t h e a s y m p t o t e s w h i c h a r e a s i d e - e e c t

1 3


14/23

o f h a v i n g a n i t e M a r k o v c h a i n . T h e a x i s a n d s c a l e o f t h e g r a p h h a v e b e e n

c h o s e n s o t h a t a c o m p a r i s o n w i t h t h e d i s c h a r g e g r a p h o f F i g . 1 c a n b e m a d e

a s s u m i n g D v r e m a i n s r e l a t i v e l y c o n s t a n t o v e r t h e g r a p h e d r a n g e . T h e s m a l l

k i n k i n t h e g r a p h n e a r v = 1 8 5 i s a s i d e - e e c t o f t h e d i s c r e t i z a t i o n o f t h e r i v e r

i n p u t r a t e s ,

i

, a n d m a y b e i g n o r e d .

T w o o b s e r v a t i o n s c a n b e m a d e f r o m t h i s g r a p h . F i r s t , b e t t e r d r a i n a g e l a r g e r

b r e s u l t s i n a r e d u c e d p r o b a b i l i t y P v o f e x c e e d i n g v , a n d t h e r e f o r e a n i n c r e a s e

i n 1 = P v . S e c o n d , a n d m o r e i n t e r e s t i n g l y , t h e c u r v e s a r e n o t p a r a l l e l . T h e s a m e

i n c r e a s e i n b c a u s e s a c o m p a r a t i v e l y l a r g e r c h a n g e i n P v f o r l a r g e v a l u e s o f v

T h e i m p l i c a t i o n f o r t h i s e x a m p l e i s t h a t i n c r e a s i n g b t e n d s t o b e n d t h e

c u r v e d o w n w a r d . A s t r a i g h t l i n e r e l a t i n g o o d v o l u m e a n d t h e l o g P v , a s i s

c o m m o n l y a s s u m e d , i s n o t v a l i d h e r e a s b c h a n g e s .

5 G e n e r a l s o l u t i o n t e c h n i q u e s

W e t u r n t o t h e p r o b l e m o f c a l c u l a t i n g t h e r e t u r n p e r i o d s o f e x t r e m e o o d s

T v , w h e r e v i s t h e v o l u m e o f w a t e r i n t h e r i v e r c r o s s - s e c t i o n o f i n t e r e s t d u r i n g

a o o d . C a l c u l a t i n g T v E q . 5 e n t a i l s t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e e x p e c t e d o o d

d u r a t i o n D v a n d t h e p r o b a b i l i t i e s

~

F v . T h e c a l c u l a t i o n o f t h e s e q u a n t i t i e s

r e q u i r e s a s o l u t i o n t o E q . 6 a n d E q . 8 . A n a l y t i c a l s o l u t i o n s f o r e x t r e m e l y s i m p l e

c a s e s w e r e p r e s e n t e d i n S e c . 4 . M o r e c o m p l i c a t e d s y s t e m s , s u c h a s f o r r e a l r i v e r s ,

s e e m a n a l y t i c a l l y i n t r a c t a b l e . A c o m p u t e r b a s e d s o l u t i o n f o r d e t e r m i n i n g D v

a n d

~

F v i s r e q u i r e d .

T o d e t e r m i n e D v

~

F v m u s t b e c a l c u l a t e d r s t . T w o a p p r o a c h e s f o r c a l -

c u l a t i n g

~

F v a r e a v a i l a b l e . O n e a p p r o a c h i s t o s o l v e t h e o r d i n a r y d i e r e n t i a l

e q u a t i o n O D E i n E q . 8 a s a b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m . P r e s s e t a l . 1 0 p r e s e n t s

t w o o p t i o n s f o r s o l v i n g O D E b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s , 1 t h e s h o o t i n g m e t h o d ,

a n d 2 r e l a x a t i o n m e t h o d s . W e i m p l e m e n t e d t h e s h o o t i n g m e t h o d f o r s o m e

s i m p l e s y s t e m s , a n d t h e a l g o r i t h m i s n u m e r i c a l l y i n t e n s i v e a s w e l l a s u n s t a b l e .

T h e i n s t a b i l i t y i s d u e t o t h e s i n g u l a r i t i e s n e a r v o l u m e s v s u c h t h a t

i

, q v = 0 .

R e l a x a t i o n m e t h o d s , w h i c h a p p r o x i m a t e E q . 8 b y n i t e d i e r e n c e e q u a t i o n s a n d

a t t e m p t t o m i n i m i z e t h e e r r o r o f t h e a p p r o x i m a t i o n , s e e m t o o v e r c o m e t h i s d i f -

c u l t y . W e a r e s t i l l i n t h e p r o c e s s o f i m p l e m e n t i n g a n e e c t i v e a l g o r i t h m f o r

1 4


15/23

l a r g e r i v e r s y s t e m s .

W h e n s o l v i n g w i t h t h e r e l a x a t i o n m e t h o d , t h e f o l l o w i n g i n i t i a l i z a t i o n s a r e

r e q u i r e d . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e

~

F v

m a x

= ~

T

a n d

~

F v

m n

= 0 , w h e r e

v

m a x

= q

1

m a x

v

m n

= q

1

m n

a r e t h e m a x i m u m a n d m i n i m u m p o s s i b l e

w a t e r l e v e l s , a n d ~ i s t h e s t e a d y s t a t e p r o b a b i l i t y f o r t h e M a r k o v c h a i n , w i t h

~ M = 0

A s e c o n d a p p r o a c h f o r c a l c u l a t i n g

~

F v i t t o i n t e g r a t e t h e p a r t i a l d i e r e n t i a l

e q u a t i o n i n E q . 6 f o r w a r d i n t i m e u n t i l s t a b l e v a l u e s f o r

~

F v a r e a c h i e v e d .

A r b i t r a r y i n i t i a l c o n d i t i o n s w i l l c o n v e r g e t o t h e s a m e s t a b l e v a l u e s , a s s u m i n g

t h e s t a b i l i t y o f t h e n u m e r i c a l m e t h o d s a n d t h e i r r e d u c i b i l i t y o f t h e M a r k o v c h a i n

f o r t h e s t a t e o f t h e t r i b u t a r i e s . T h e O D E r e l a x a t i o n m e t h o d i s p r e f e r r e d , a s i t

i s c o m p u t a t i o n a l l y l e s s i n t e n s i v e .

T h e r e m a i n i n g q u a n t i t y n e e d e d f o r c a l c u l a t i n g t h e r e t u r n t i m e o f o o d s o f l e v e l

v i s t h e e x p e c t e d o o d d u r a t i o n D v . T h i s m a y b e d e t e r m i n e d b y n u m e r i c a l

s i m u l a t i o n o f E q . 6 t h r o u g h t i m e . T h e s i m u l a t i o n s u p p o s e s t h a t a o o d o f

v o l u m e v h a s s t a r t e d a t t i m e t = 0 , a n d k e e p s t r a c k o f t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e

o o d r e c e d e s b e l o w v a t e a c h t i m e t 0 . F r o m t h i s i n f o r m a t i o n , t h e e x p e c t e d

o o d d u r a t i o n i s c a l c u l a t e d a s

D v =

Z

1

t = 0

t P r o b o o d r e c e d e s a t t i m e t d t 1 3

F o r t h e s i m u l a t i o n , t h e o o d v a l u e s a n d t i m e s t e p s a r e d i s c r e t i z e d . T h i s t u r n s

E q . 6 i n t o a n i t e d i e r e n c e e q u a t i o n , a n d t u r n s t h e i n t e g r a t i o n i n E q . 1 3 i n t o

a s u m . N o e x i s t i n g a l g o r i t h m s s e e m r e a d y t o s o l v e t h i s e q u a t i o n w i t h o u t s o m e

m o d i c a t i o n . W e a r e p r e s e n t l y i m p l e m e n t i n g a s i m u l a t i o n b a s e d o n i d e a s f o r

P D E n u m e r i c a l m e t h o d s f o u n d i n P r e s s e t a l . 1 0 .

T h e i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r t h e s i m u l a t i o n u s e t h e f a c t t h a t f o r a o o d o f v o l u m e

v t o s t a r t , t h e t r i b u t a r i e s m u s t b e i n a s t a t e s s u c h t h a t t h e r a t e o f w a t e r

c o m i n g i n i s g r e a t e r t h a n t h e r a t e o f d i s c h a r g e ,

s

q v . T h e p r o b a b i l i t y

o f b e i n g i n s t a t e s , t h e n , g i v e n t h a t a o o d o f v o l u m e v h a s j u s t b e g u n , i s

F

s

v =

P

i

i

q v

F

i

v . T h i s l e a d s t o t h e f o l l o w i n g i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r a

1 5


16/23

s i m u l a t i o n t o d e t e r m i n e D v

F

s

v t = 0 =

8

:

F

s

v

P

i

i

q v

F

i

v

s

q v v v + v

v v F

s

v

v

P

i

i

q v

F

i

v

s

q v v 2 v v + v

0

s

q v v v

0

s

q v

1 4

f o r s o m e n e g l i g i b l y s m a l l v 0 . T h i s s i m u l a t i o n c a l c u l a t e s D v f o r o n l y a

s i n g l e v a l u e o f v . F o r m u l t i p l e v a l u e s o f D v , t h e p r e s e n t f o r m u l a t i o n r e q u i r e s

m u l t i p l e s i m u l a t i o n s .

T h e r e a r e a s y m p t o t i c r e s u l t s f o r e v a l u a t i n g D v . S i n c e D v i s a d e c r e a s -

i n g f u n c t i o n o f v , t h e s e r e s u l t s m a y b e u s e d t o b o u n d t h e r e t u r n p e r i o d f o r a

o o d . S u p p o s e C h e z y ' s e q u a t i o n , q v = a v

b

, h a s p o w e r b 0 , a n d

m a x

i s

t h e d i s c h a r g e f o r o n l y o n e s t a t e , s

m a x

. T h e n t h e e x p e c t e d o o d d u r a t i o n i s

a s y m p t o t i c a l l y t h e e x p e c t e d t i m e s p e n t i n s t a t e s

m a x

. F o r m a l l y ,

l i m

v ! v

m a x

D v = 1 =

s

m a x

s

m a x

F o r t h e c a s e q v = a v

0

= a , t h e o o d d u r a t i o n i s a s y m p t o t i c a l l y c o n s t a n t ,

l i m

v ! 1

D v = c o n s t , w h e r e t h e c o n s t a n t d e p e n d s o n t h e d i s c h a r g e a a n d t h e

M M F S , M a n d .

6 D i s c u s s i o n

T h e d e s i g n o f o o d d e f e n s e s y s t e m s r e q u i r e s a s t a t i s t i c a l m o d e l t o d e s c r i b e

t h e f r e q u e n c y o f e x t r e m e o o d s . T h e r e i s a n i n c r e a s i n g a w a r e n e s s t h a t t h e s e

m o d e l s s h o u l d r e e c t t h e h y d r o l o g i c a l i n f o r m a t i o n a b o u t t h e r i v e r c a t c h m e n t s

t h e y d e s c r i b e .

O u r a p p r o a c h t o n d i n g t h e e x p e c t e d f r e q u e n c y f o r e x t r e m e o o d s d i e r s i n

s e v e r a l w a y s f r o m t h e m o r e t r a d i t i o n a l s t a t i s t i c a l t s t o a n n u a l m a x i m a A M

a n d p e a k s o v e r t h r e s h o l d P O T d a t a . F o r A M a n d P O T d a t a , a l i n e i s t t o

d a t a p o i n t s p l o t t e d o n s p e c i a l p a p e r , s u c h a s l o g p a p e r . T h e s e l i n e s h a v e b e e n

u s e d t o i n f e r t h e r e l a t i o n b e t w e e n r i v e r l e v e l a n d o o d r e t u r n f r e q u e n c y .

I n o u r a p p r o a c h , a c o n t i n u o u s t i m e m o d e l f o r t h e r i v e r d y n a m i c s i s u s e d t o

d e t e r m i n e t h e f r e q u e n c y o f e x t r e m e o o d s . O u r s a m p l e c a l c u l a t i o n s s h o w t h e

1 6


17/23

i m p o r t a n c e o f i n c o r p o r a t i n g r i v e r d y n a m i c s b y i l l u s t r a t i n g t h e e e c t s o f C h e z y ' s

e q u a t i o n p a r a m e t e r s o n t h e s h a p e o f t h e c u r v e s r e l a t i n g t h e r i v e r l e v e l a n d o o d

r e t u r n f r e q u e n c y . T h e s e s h a p e s d o n o t a l w a y s c o n f o r m t o t h e c u r v e s f o u n d f o r

t r a d i t i o n a l m o d e l s . I n p a r t i c u l a r , t h e r e l a t i o n i s n o t n e c e s s a r i l y l i n e a r o n l o g

p a p e r , a s w i t h t h e G u m b e l m o d e l .

F o r o n e e x a m p l e s h o w n h e r e , a n i n c r e a s e i n t h e p o w e r p a r a m e t e r b o f C h e z y ' s

e q u a t i o n l e d t o a n o n - l i n e a r r e l a t i o n o n l o g p a p e r . A s b i n c r e a s e d , t h e s l o p e o f

t h e c u r v e r e l a t i n g o o d v o l u m e a n d t h e f r e q u e n c y o f e x t r e m e o o d s d e c r e a s e d .

W e h y p o t h e s i z e t h a t t h i s m a y b e t r u e f o r l a r g e v f o r m o r e c o m p l i c a t e d s y s t e m s

a s w e l l . I f t h i s h y p o t h e s i s i s t r u e , t h e n o o d p r o t e c t i o n d e s i g n s b a s e d o n d r a w i n g

s t r a i g h t l i n e s o n l o g p a p e r w o u l d b e c o n s e r v a t i v e f o r e x t r e m e l y r a r e o o d s . T h e

e x p l o r a t i o n o f t h i s h y p o t h e s i s a n a l y t i c a l l y a n d o r n u m e r i c a l l y c o n s t i t u t e s f u t u r e

r e s e a r c h .

A c k n o w l e d g m e n t s W e w i s h t o t h a n k t h e s u p p o r t e r s o f t h e E n g i n e e r i n g P r o b -

a b i l i t y : D a m a g e A c c u m u l a t i o n c o n f e r e n c e i n D e l f t , H o l l a n d , w h i c h m a d e t h e

p r e s e n t a t i o n o f e a r l i e r v e r s i o n s o f t h i s w o r k 1 1 p o s s i b l e .

R e f e r e n c e s

1 H . E . J . B e r g e r , F l o w F o r e c a s t i n g f o r t h e R i v e r M e u s e . P h D t h e s i s , T e c h -

n i c a l U n i v e r s i t y o f D e l f t , D e p t . o f C i v i l E n g i n e e r i n g , 1 9 9 2 .

2 U . S . W a t e r R e s o u r c e s C o u n c i l , G u i d e l i n e s f o r D e t e r m i n i n g F l o o d F l o w F r e -

q u e n c y . R e s t o n , V A : B u l l e t i n 1 7 B o f t h e H y d r o l o g y C o m m i t t e e , U S G o v -

e r n m e n t P r i n t i n g O c e , 1 9 8 2 .

3 J . H . A . W i j b e n g a e t a l . , T o e t s i n g u i t s a n g s p u n t e n r i v i e r d i j k -

v e r s t e r k i n g e n . " D e e l r a p p o r t 2 , M a a t g e v e n d e b e l a s t i n g e n , M i n i s t r i e v a n

V e r k e e r e n W a t e r s t a a t , j a n u a r i 1 9 9 3 . i n D u t c h .

4 P . H . A . J . M . V a n G e l d e r , D e H o o g w a t e r r a m p v a n L i m b u r g i n D e c e m b e r

1 9 9 3 , e e n s t a t i s t i s c h e b e s c h o u w i n g . " R i j k s w a t e r s t a a t , D i e n s t W e g e n W a -

t e r b o u w k u n d e , 7 M a r c h 1 9 9 4 . i n D u t c h .

1 7


18/23

5 C . C u n n a n e , R e v i e w o f s t a t i s t i c a l m o d e l s f o r o o d f r e q u e n c y e s t i m a t i o n , "

i n H y d r o l o g i c F r e q u e n c y M o d e l i n g V . P . S i n g h , e d . , D o r d r e c h t , p p . 4 9

9 5 , I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m o n F l o o d F r e q u e n c y A n a l y s e s , D . R e i d e l P u b .

C o . , 1 9 8 7 .

6 D . M i t r a a n d A . I . E l w a l i d , S t a t i s t i c a l m u l t i p l e x i n g w i t h l o s s p r i o r i t i e s i n

r a t e - b a s e d c o n g e s t i o n c o n t r o l o f h i g h - s p e e d n e t w o r k s , " I E E E T r a n s a c t i o n s

o n C o m m u n i c a t i o n s , v o l . 4 2 , p p . 2 9 8 9 3 0 0 2 , N o v . 1 9 9 4 .

7 S . M . R o s s , S t o c h a s t i c P r o c e s s e s . N e w Y o r k : J o h n W i l e y & S o n s , I n c . ,

1 9 8 3 .

8 K . P e t e r s e n , E r g o d i c T h e o r y . C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s ,

1 9 8 3 .

9 S . W o l f r a m , M a t h e m a t i c a : A S y s t e m f o r D o i n g M a t h e m a t i c s b y C o m p u t e r

R e d w o o d C i t y , C A : A d d i s o n - W e s l e y P u b . C o . , I n c . , 2 n d e d . , 1 9 9 1 .

1 0 W . P r e s s , S . A . T e u k o l s k y , W . T . V e t t e r l i n g , a n d B . P . F l a n n e r y , N u m e r i c a l

R e c i p e s i n C . C a m b r i d g e : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 2 n d e d . , 1 9 9 2 .

1 1 S . E . C h i c k , J . S h o r t l e , P . v a n G e l d e r , a n d M . B . M e n d e l , A p h y s i c s -

b a s e d a p p r o a c h t o p r e d i c t i n g t h e f r e q u e n c y o f e x t r e m e r i v e r l e v e l s , " i n

E n g i n e e r i n g P r o b a b i l i t y : F l o o d P r o t e c t i o n R . M . C o o k e a n d M . B . M e n d e l ,

e d s . , A m s t e r d a m : K l u w e r , t o a p p e a r , 1 9 9 6 .

1 8


19/23

A S u m m a r y o f N o t a t i o n

B z ; a ; b i n c o m p l e t e b e t a f u n c t i o n

D v e x p e c t e d d u r a t i o n o f o o d o f v o l u m e v o r g r e a t e r t i m e

i

l a g o f w a t e r o w f r o m t r i b u t a r y i t o r i v e r c r o s s - s e c t i o n t i m e

F

s

v t P r o b f V v t r i b u t a r y s t a t e S t = s ; a t t i m e t g

~

F v t v e c t o r o f F

i

v t

~

F v s t e a d y s t a t e p r o b a b i l i t i e s f o r r i v e r s y s t e m

h h e i g h t o f r i v e r m

I z ; a ; b i n c o m p l e t e r e g u l a r i z e d b e t a f u n c t i o n

q v d i s c h a r g e f r o m r i v e r c r o s s - s e c t i o n m

3

s e c

q v = a v

b

C h e z y ' s e q u a t i o n f o r d i s c h a r g e m

3

s e c

q m a x i m a l d i s c h a r g e f r o m t r i b u t a r i e s m

3

s e c

K n u m b e r o f m a j o r t r i b u t a r i e s w h i c h a e c t r i v e r c r o s s - s e c t i o n

M =

i j

M a r k o v t r a n s i t i o n m a t r i x f o r t r i b u t a r y s t a t e c h a n g e s

N n u m b e r o f s t a t e s L

K

o f t r i b u t a r i e s

~ s t a t i o n a r y p r o b a b i l i t y t r i b u t a r y s t a t e s

l

i

w a t e r i n p u t r a t e d u e t o t r i b u t a r y i m

3

s e c

s

d i s c r e t i z e d r i v e r i n p u t w h e n t r i b u t a r i e s i n s t a t e s m

3

s e c

d i a g

s

L d i s c r e t e s e t o f d i s c h a r g e v a l u e s f o r t r i b u t a r i e s

S t s t a t e o f t r i b u t a r i e s , S t = s 2 L

K

a t t i m e t

T v e x p e c t e d r e t u r n t i m e f o r o o d o f v o l u m e v o r g r e a t e r t i m e

V v v o l u m e o f w a t e r i n a r i v e r c r o s s - s e c t i o n m

3

B A p p e n d i x

T h r o u g h o u t , s u p p o s e t h a t N M , a n d ~ a r e a s s p e c i e d i n S e c . 4 .

P r o o f o f E q . 5 T o s h o w t h a t T v = D v = P v , r e s u l t s o f e r g o d i c t h e o r y

a r e u s e d . T e c h n i c a l a s s u m p t i o n s u s e d i n c l u d e 1 t h e r i v e r s t a t e s a r e d e s c r i b e d

b y a n i r r e d u c i b l e M a r k o v c h a i n s e e , e g 7 , 2 t h e M a r k o v c h a i n i s n i t e , 3

d e r i v a t i v e s e x i s t s o t h a t E q . 6 i s m e a n i n g f u l . M o r e g e n e r a l a r g u m e n t s m i g h t b e

m a d e t o r e l a x t h e s e c o n d a s s u m p t i o n .

1 9


20/23

F i r s t , u s i n g a s s u m p t i o n 2 , i t i s e q u i v a l e n t t o a n a l y z e t h e s y s t e m w i t h a

u n i f o r m i z e d v e r s i o n o f t h e p r o c e s s , w i t h t i m e s t e p h . S e c o n d , t h e f o l l o w i n g

a r g u m e n t s s h o w s t h a t e r g o d i c t h e o r y a p p l i e s t o t h e r i v e r s y s t e m d e s c r i b e d b y

t h e M a r k o v c h a i n s t a t e a n d v o l u m e , s v . T h i s i s t r u e b y v i r t u e o f t h e a

e r g o d i c i t y o f i r r e d u c i b l e M a r k o v c h a i n s , b t h e f a c t t h a t f o r t h e r i v e r s y s t e m

c o n s i d e r e d h e r e , a d d i n g t h e v o l u m e o f w a t e r o f t h e c r o s s - s e c t i o n d o e s n o t c h a n g e

t h e i r r e d u c i b i l i t y , a n d c t h e f a c t t h a t E q . 6 c o n s e r v e s p r o b a b i l i t y . A r e s u l t o f

H a l m o s s e e , e g 8 , C h . 2 , T h m . 3 . 2 i n s u r e s t h a t t h e p r o c e s s i s e r g o d i c .

F r o m t h e m e a n e r g o d i c t h e o r e m , t h e r e t u r n t i m e o f a n e v e n t A i s 1 = P r o b A

I n o u r c a s e , t h e e v e n t o f i n t e r e s t i s A = f V

t

v g f V

t h

v g . T h e f a c t t h a t

i f s

t

v

t

i s e r g o d i c , t h e n s

t

v

t

s

t h

v

t h

i s e r g o d i c i s i m p l i c i t l y u s e d . T h i s

p r o b a b i l i t y i s P v = D

h

v , w h e r e t h e p r o b a b i l i t y P v o f e x c e e d i n g v i s n o t

c h a n g e d b y t h e u n i f o r m i z a t i o n , a n d D

h

v i s t h e e x p e c t e d d u r a t i o n o f t h e o o d

w h e n o o d d u r a t i o n s a r e r o u n d e d u p t o t h e n e x t m u l t i p l e o f h a g a i n , a r e s u l t

o f t h e m e a n e r g o d i c t h e o r e m . A s h ! 0 D

h

v ! D v , a s r e q u i r e d .

P r o o f o f E q . 9 . S e t g v =

1 2

F

1

v ,

2 1

F

2

v . E q . 8 c a n b e r e w r i t t e n

g = ,

1 2

1

, c v

+

2 1

2

, c v

g

T h i s h a s s o l u t i o n

g v = k

1

1

, c v

1 2

c

c v ,

2

2 1

c

w h e r e k

1

i s s o m e c o n s t a n t . B y d e n i t i o n o f g v

F

1

v =

, 1

1

, c v

g v a n d F

2

v =

1

2

, c v

g v

I n t e g r a t i n g s h o w s t h a t t h e F

i

a r e m u l t i p l e s o f a n i n c o m p l e t e b e t a f u n c t i o n w i t h

t h e p a r a m e t e r s g i v e n i n E q . 9 . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n F

1

1

= c =

1

=

2 1

=

1 2

+

2 1

d e t e r m i n e s t h e c o n s t a n t o f p r o p o r t i o n a l i t y .

P r o o f o f E q . 1 0 T h e e x p e c t e d l e n g t h o f a o o d D v , v i s f o u n d i n t e r m s

o f D v . I t i s a s s u m e d t h a t v i s s m a l l a n d t h a t v 2

2

= a ;

1

= a . W i t h h i g h

p r o b a b i l i t y , t h e l e n g t h o f a v , v o o d i s t h e s a m e a s t h e l e n g t h o f a l e v e l v

o o d p l u s t h e e x t r a t i m e t h e r i v e r i s i n t h e r e g i o n v , v v o o d B i n F i g u r e

2 0


21/23

v - vv

u d

RiverLevel

Time

1/a

2/a

A B C

F i g u r e 9 : A s a m p l e o o d o f h e i g h t v , v

9 . T h e s e e x t r a u p a n d d o w n c r o s s i n g t i m e s a r e g i v e n b y t h e r i v e r o w e q u a t i o n ,

v =

i

, c v

u =

v

1

, a v

+ o v

2

d =

v

a v ,

2

+ o v

2

1 5

I t i s a l s o p o s s i b l e t h a t t h e r i v e r u p - t u r n s i n t h e r e g i o n v , v v , g e n e r a t i n g

a n o t h e r l e v e l v o o d o o d C . A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s t h a t t h e r i v e r d o w n - t u r n s

b e f o r e i t r e a c h e s h e i g h t v o o d A

T h e s e s c e n a r i o s a r e s u m m a r i z e d m a t h e m a t i c a l l y a s f o l l o w s . T h e p r o b a b i l i t y

t h a t t h e r i v e r d o e s n o t d o w n - t u r n i n t h e r s t t i m e i n t e r v a l u i s 1 ,

1 2

u +

o v

2

. I f t h e r e i s n o d o w n - t u r n , t h e n t h e r e a r e a s e r i e s o f l e v e l v o o d s ,

w h e r e t h e n u m b e r o f s u c h o o d s i s a g e o m e t r i c r a n d o m v a r i a b l e w i t h m e a n

1 = p = 1 +

2 1

d + o v

2

. T h e e x p e c t e d l e n g t h o f e a c h s u c h o o d i s u = 2 +

D v + d = 2 + o v

2

, w h e r e t h e e x p e c t e d e x t r a t i m e s p e n t i n v , v v i s

i n c l u d e d . F i n a l l y , t h e t i m e a t t h e v e r y b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e o o d i s a d d e d ,

u + d = 2 . T h i s g i v e s t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n t o r s t o r d e r i n v

2

D v , v = 1 ,

1 2

u 1 +

2 1

d

D v +

u + d

2

+

u + d

2

1 6

S u b s t i t u t i n g E q . 1 5 i n t o E q . 1 6 a n d t a k i n g t h e l i m i t a s v ! 0 g i v e s :

d E v

d v

+

2 1

a v ,

2

,

1 2

1

, a v

E v = ,

1

a v ,

2

+

1

1

, a v

1 7

E q . 1 0 i s t h e s o l u t i o n t o t h i s r s t - o r d e r l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n w h e r e

1

= c i s t h e c o n s t a n t o f i n t e g r a t i o n . I t c a n b e c h e c k e d b y L ' H o p i t a l ' s r u l e

2

A l l s c e n a r i o s w h i c h c o n t r i b u t e s e c o n d o r d e r t e r m s t o t h i s e q u a t i o n a r e n o t c o n s i d e r e d . F o r

i n s t a n c e , t h e p r o b a b i l i t y o f a n u p - t u r n a n d a d o w n - t u r n w h i l e t h e r i v e r r e m a i n s i n v , v v

i s s e c o n d o r d e r .

2 1


22/23

t h a t E q . 1 0 s a t i s e s t h e d e s i r e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s n a m e l y , D

2

= a = 1

a n d D

1

= a = 1 =

1 2

P r o o f o f E q . 1 1 T h e p r o o f f o l l o w s t h e s a m e s t r a t e g y a s f o r E q . 9 . T h e o n l y

d i e r e n c e i s t h a t t h e r e i s n o b o u n d o n t h e m a x i m a l v o l u m e o f w a t e r , s o t h e

b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e F

1

1 =

2 1

=

2 1

+

1 2

F

2

1 =

1 2

=

2 1

+

1 2

F u r t h e r , w h e n i t i s r a i n i n g i t i s i m p o s s i b l e t o h a v e a n e m p t y b u e r , s o F

1

0 = 0 .

T h e s e d e t e r m i n e a l l c o n s t a n t s o f i n t e g r a t i o n .

P r o o f o f E q . 1 2 A l o n g s i m i l a r l i n e s , i f t h e d i s c h a r g e i s q v = d w h e n v 0

t h e a n a l o g o f E q u a t i o n 1 7 i s

d D v

d v

+

2 1

d ,

2

,

1 2

1

, d

D v = ,

1

d ,

2

+

1

1

, d

1 8

T h e g e n e r a l s o l u t i o n t o t h i s r s t - o r d e r l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n w i t h c o n s t a n t

c o e c i e n t s i s

D v =

1

d

2

+

1

1

d

2 1

d

2

,

1 2

1

d

+ k

2

e x p

1 2

1

, d

,

2 1

d ,

2

v

f o r s o m e c o n s t a n t k

2

. T h i s e q u a t i o n c a n b e s i m p l i e d t o

D v =

,

2

2 1

d ,

+ k

2

e x p

1 2

1

, d

,

2 1

d ,

2

v

I t r e m a i n s t o c a l c u l a t e k

2

. T h e f r a c t i o n o f t i m e t h a t v = 0 i s F

2

0 =

d ,

= d ,

2

, b y t h e s t e a d y s t a t e e q u a t i o n s . T h e e x p e c t e d t i m e t h e s y s t e m

i s e m p t y i s 1 =

2 1

, s o b y t h e r e n e w a l r e w a r d t h e o r e m

F

2

0 =

1 =

2 1

D 0

+

+ 1 =

2 1

S o l v i n g f o r D 0

+

i n t e r m s o f F

2

0 a n d u s i n g t h e s t e a d y s t a t e s o l u t i o n ,

D 0

+

=

,

2

2 1

d ,

T h e r e f o r e , k

2

= 0

T h e i m p l i c a t i o n i s t h a t a l l o o d s o f v o l u m e v 0 h a v e t h e s a m e e x p e c t e d

d u r a t i o n . T h i s m a k e s s e n s e , g i v e n t h e m e m o r y l e s s p r o p e r t i e s o f t h e t r i b u t a r y

s t a t e s a n d t h e c o n s t a n t i n p u t d i s c h a r g e r a t e s .

2 2


23/23

L i s t o f F i g u r e s

1 E m p i r i c a l r i v e r d i s c h a r g e f r e q u e n c i e s o f t h e R h i n e a n d t t e d d i s -

t r i b u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 A s i m p l i e d p h y s i c a l m o d e l f o r t h e r i v e r . A t t h e g i v e n c r o s s -

s e c t i o n o f u n i t w i d t h , t h e r i v e r l e v e l i s d e t e r m i n e d b y i n p u t f r o m

K = 2 m a j o r t r i b u t a r i e s a n d t h e r a t e o f d i s c h a r g e . . . . . . . . . 4

3 D i e r e n t g e o m e t r i e s f o r r i v e r c r o s s - s e c t i o n s . . . . . . . . . . . . . 5

4 C o n c e p t u a l m o d e l f o r r i v e r : T h e s t a t e o f t h e t r i b u t a r i e s s i s m o d -

e l e d b y a c o n t i n u o u s t i m e M a r k o v c h a i n C T M C . T h e C T M C

s t a t e d e t e r m i n e s t h e r a t e o f i n p u t

s

f r o m t r i b u t a r i e s . C h e z y ' s

e q u a t i o n f o r d i s c h a r g e q v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5 P r o b a b i l i t y o f e x c e e d i n g a g i v e n v o l u m e v o f w a t e r i n r i v e r c r o s s -

s e c t i o n , w h e n N = 2

1

= 1 0 ,

2

= 0 , 1 =

1 2

= 2 d a y s , 1 =

2 1

= 5

d a y s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

6 E x p e c t e d o o d d u r a t i o n D v s a m e p a r a m e t e r s a s i n F i g . 5 . . . . 1 1

7 E x p e c t e d o o d r e c u r r e n c e t i m e T v E q . 5 u s i n g s a m e p a r a m -

e t e r s a s i n F i g . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

8 E e c t o f c h a n g e s o f p o w e r p a r a m e t e r b i n C h e z y ' s e q u a t i o n o n

t h e c u r v e r e l a t i n g o o d v o l u m e a n d t h e s t e a d y - s t a t e p r o b a b i l i t y

o f o o d i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

9 A s a m p l e o o d o f h e i g h t v , v . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

2 3

a model for the frequency of extreme river

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