1Abstract— In this work, we study the problem of maximizing the system throughput assuming a multicast system with a multi-antenna Base Station (BS) and one single-antenna relay. We employ two different transmission slots: one in which only the BS transmits and one in which only the relay transmits. Given the multi-antenna and multi-slot nature of the problem, transmit beamforming and diversity techniques can be employed. We present the optimization problem and a heuristic scheme is proposed to solve the problem with low computational complexity. Our solution iteratively combines the current precoder with the optimal precoder to the current worst User Equipment (UE). The results show that the beamforming gain outmatches the loss from the additional time slot in the proposed scheme and that it is capable of performing close to the optimum.

Keywords— Multicast transmission, transmit beamforming,

cooperative relaying.

I. INTRODUÇÃO PROVISÃO de serviços de multicast e broadcast, que são caracterizados pela distribuição do mesmo conteúdo

para vários utilizadores, tem sido estudada dentro das redes celulares sem fios recentes, tais como aquelas padronizadas pela 3GPP. Serviços como streaming podem utilizar os recursos do sistema de forma mais eficiente, entregando os dados através de um único recurso a um número de Equipamentos de Usuários (UEs – User Equipments) em um cenário multicast, em vez de utilizar múltiplas transmissões unicast dos mesmos dados.

Quando múltiplas antenas estão disponíveis na Estação Rádio Base (BS - Base Station), técnicas de direcionamento de feixes (beamforming) podem ser empregadas ao multicast para melhorar o seu desempenho. Em [1], os autores consideram o beamforming no transmissor em um sistema multicast para minimizar a potência de transmissão total sujeita a restrições de Relação Sinal Ruído (SNR - Signal-to-Noise Ratio) ou para maximizar a mínima SNR dentre os UEs sujeita a restrições de energia. Esses problemas foram provados ser do tipo NP-hard e foram resolvidos usando Relaxação Semi Definida (SDR – Semi Definite Relaxation). NP-hard é uma classe de problemas computacionais para a qual não existem soluções ótimas com baixo esforço computacional. Diferentes soluções usando algoritmos sub-ótimos, mas eficientes, foram propostas em [2-4]. A solução em [4] melhora iterativamente a pior SNR dentre os UEs, obtendo desempenho semelhante ao SDR, mas com menor complexidade.

R. B. dos Santos, Universidade Federal do Ceará (UFC), Fortaleza,

Ceará, Brasil, brauner@virtual.ufc.br Y. C. B. Silva, Universidade Federal do Ceará (UFC), Fortaleza, Ceará,

Brasil, yuri@gtel.ufc.br Corresponding author: Ricardo Brauner dos Santos

Com relação às técnicas com repetidor, elas são adequadas para aumentar a intensidade do sinal e cobertura para redes sem fio [5]. Um sistema multicast com repetidor é considerado em [6] empregando codificação de rede para maximizar a vazão tanto em ligações diretas como via repetidor com nós de uma única antena.

Um exemplo de direcionamento de feixes com repetidor para sistemas multicast é considerado em [7], mas ignorando a ligação direta entre o transmissor e o receptor. Os autores desenvolveram um esquema de direcionamento de feixes computacionalmente eficiente para minimizar a potência total transmitida aos repetidores, sujeito a restrições de qualidade de serviço. Nenhuma dessas referências, no entanto, abordou o problema do direcionamento de feixes em um sistema multicast para maximizar a SNR de UE mínima usando um repetidor e considerando ambos os enlaces: direto e via repetidor. Em [8] uma solução iterativa aproximada do caso com repetidor é obtida usando precodificadores originalmente concebidos para o caso sem repetidor. Esta foi uma aproximação relativamente direta e dependente da solução sem repetidor. Além disso, a diferença com relação ao desempenho ótimo não foi apresentada.

Neste artigo, vamos estudar o problema de otimização de uma forma mais geral e propor um esquema de direcionamento de feixes para sistemas multicast com repetidor, que tira proveito da diversidade espacial em uma transmissão de duas fases para melhorar o desempenho do sistema. Nossa solução iterativa combina o filtro de transmissão atual com o filtro ideal para o pior usuário atual. Resultados de simulações são usados para mostrar que o esquema proposto é capaz de atingir um desempenho próximo do ótimo, dado que o ganho do direcionamento de feixes supera a perda causada pelo intervalo de transmissão adicional.

Este artigo está organizado da seguinte forma. Na seção II, o cenário geral de transmissão em duas fases é apresentado. Na seção III, definimos o problema de maximizar a taxa de transmissão do sistema em uma célula com multicast e um repetidor. Na seção IV, a solução proposta para o problema multicast com repetidor é apresentada. Finalmente, os resultados computacionais são discutidos na seção V e conclusões são apresentadas na seção VI.

Notação: Vetores e matrizes são denotados por letras em negrito, minúsculas e maiúsculas, respectivamente. Os operadores ( )T, ( )H, e ( ) representam a transposição, transposição Hermitiana e complexo conjugado, respectivamente.

A

A Low-Complexity Transmit Beamforming Scheme in Relayed Multicast Systems

R. B. dos Santos and Y. C. B. Silva

712 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 16, NO. 3, MARCH 2018

II. MODELO DO SISTEMA Assumimos um cenário multicast contendo uma BS com

múltiplas antenas, J UEs com uma antena e um repetidor Amplifica-e-Repete (AF – Amplify and Forward) com uma antena, todos distribuídos em uma célula.

Cada intervalo de transmissão é dividido em duas fases a fim de evitar a interferência entre o repetidor e a BS. Na primeira fase, o sinal x é transmitido das A antenas na BS para todos os UEs e para o repetidor, aplicando-se o vetor precodificador ! ∈ ℂ!×!, com ! = 1.

O sinal recebido no UE j durante a primeira fase !!(!) é

dado por

!!(!) = !!

(!) !! ! + !!(!), (1)

onde !!(!) ∈ ℂ!×! é o canal da BS para o UE j na primeira fase

de transmissão e !!(!) é o ruído branco gaussiano no UE j

durante a primeira fase. A SNR no UE j durante a primeira fase é dada por

!!(!) =

! !!(!) !! !

!

! !!(!) !

=!!(!) !!

!!!

!! , (2)

onde !! é a potência do sinal de transmissão e !! é a variância do ruído. Supõe-se que o ruído no repetidor e nos UEs em diferentes intervalos de tempo têm a mesma variância !!. O sinal !(!) recebido no repetidor é dado por

!(!) = !(!) !! ! + !(!), (3)

onde !(!) ∈ ℂ!×! é o canal da BS para o repetidor e !(!) é o ruído no repetidor.

Durante a segunda fase, apenas o repetidor transmite para os UEs. O sinal !!

(!) recebido no UE j a partir do repetidor durante a segunda fase é dado por

!!(!) = !ℎ!

(!)!(!) + !!(!), (4)

onde ! ∈ ℝ! é o ganho de sinal fornecido pelo repetidor, ℎ!(!) ∈ ℂ é o canal a partir do repetidor para o UE j e !!

(!) é o ruído no UE j durante a segunda fase.

A SNR do UE j durante a segunda fase é dada por

!!(!) =

! !ℎ!(!) !(!) !! !

!

! !ℎ!(!)!(!) + !!

(!) !=

ℎ!(!) !(!) !!

!!!

ℎ!(!) ! + !!! !!

. (5)

O máximo valor de a é limitado pela potência de transmissão do repetidor !! de acordo com

!! ≥ ! !!(!) ! = !! !(!) !! !!! + !! . (6)

Esta potência máxima leva a um limite superior do ganho do repetidor em

! ≤ !!!(!) !! !!! + !!

. (7)

Substituindo !(!) !! ! pelo seu valor máximo !(!) !

garante-se desta forma que a potência máxima !! do repetidor é obedecida sempre que ! = 1. Tem-se portanto

! = !!!(!) ! !! + !!

. (8)

Os sinais recebidos no UE j durante as duas fases !!(!) e

!!(!) são combinados de acordo com

!! = !!(!)!!

(!) + !!(!)!!

(!), (9)

onde !!(!), !!

(!) ∈ ℂ. Este arranjo é apresentado na Fig. 1, onde a seta escura representa a transmissão na primeira fase e as setas brancas representam a segunda fase.

Figura 1. Esquema de transmissão de duas fases.

III. PROBLEMA DE MULTICASTING COM REPETIDOR Nesta seção apresentamos o problema de multicasting

usando um repetidor com uma única antena com o objetivo de maximizar a taxa de transmissão da célula. A taxa de transmissão da BS fica limitada pelo pior canal entre todos os UEs, pois o mesmo sinal deve ser decodificado por todos. Isso torna o objetivo de maximizar a taxa da célula equivalente ao de maximizar a mínima SNR entre todos os UEs.

A aplicação da Combinação de Máxima Razão (MRC - Maximal Ratio Combining), de acordo com [9], permite calcular os valores de !!e !! que levam à máxima SNR. Neste caso, a SNR combinada !! é igual à soma das SNRs individuais das amostras e é dada por

!! = !!! + !!!

=!!!

!! !!!

!! +ℎ!! ! ! !mm

!!!

ℎ!! !

+ !!! !!

= !!!!mm ,

(10)

BRAUNER SANTOS AND CARVALHO BARBOSA SILVA : A LOW-COMPLEXITY TRANSMIT 713

com

!! =!! !!! !!!

!

!! +ℎ!!

!!! ! ! ! ! !

ℎ!! !

!! + !!! !! . (11)

Finalmente, definindo ! = !!! e considerando a seguinte propriedade do operador traço

!!!!! = tr !!!!! , (12)

podemos definir o problema de otimização como

max!

min!

tr !!! ,

sujeito a: tr ! = 1 ! ≽ 0 rank ! = 1

(13)

Note que o caso sem repetidor pode ser obtido com a = 0, para o qual rank !! = 1, permitindo decompor !! em um produto escalar do seu único autovetor.

IV. ESQUEMA PROPOSTO PARA O REPETIDOR Nesta seção é proposta uma solução sub-ótima para o

problema (13), inspirada pelo Algoritmo Iterativo de Atualização incremental de SNR (ISUA - Iterative SNR-increasing Update Algorithm) descrito em [4].

O objetivo do algoritmo proposto é alinhar adaptativamente o filtro m ao canal dos UEs com as menores SNRs através de uma combinação linear para maximizar a SNR mínima entre todos os UEs.

Descrição do algoritmo O algoritmo é apresentado na Tabela I. Inicialmente

calculamos o filtro ótimo para cada um dos UEs e os armazenamos nas variáveis !!. Esses filtros são dados pelo autovetor correspondente ao maior autovalor de !!.

Dentre estes candidatos iniciais, escolhemos o filtro que resulta na maior SNR mínima de UE, o qual denotamos por m.

Agora que escolhemos um filtro inicial, continuaremos a otimizá-lo. Fazemos isso “rotacionando” iterativamente o vetor complexo m a fim de aumentar a similaridade entre o filtro ótimo !! para o UE com a pior SNR no momento !∗, ao mesmo tempo em que mantemos uma alta similaridade com o filtro atual m.

Para fazer esta combinação calculamos a parte do filtro ótimo para o pior UE !!∗, que é ortogonal a m (a parte do filtro que não está contida em m) usando a equação

!! ← !!∗ −!!!!∗!!!∗ −!!!!∗! (14)

Então fazemos uma combinação linear entre o m atual e !!, como em

!∗ ← 1 − ! ! + !!!. (15)

TABELA I ALGORITMO DE ROTAÇÃO ITERATIVA NO REPETIDOR (RIR).

1: para j = 1 ... J, faça 2: !! ⟵ autovetor_principal !! 3: s! ⟵ min! !! !! 4: fim para 5: !∗ ⟵ argmax

!!!

6: !∗ ⟵ !!∗ 7: !⟵ !!∗ 8: δ⟵ !! 9: enquanto δ > ε, faça 10: !∗ ⟵ argmin

!!! !

11: !! ⟵ !!∗ −!!!!∗! / !!∗ −!!!!∗!

12: !⟵ min !! !!!∗ , ! !!! ∠ !!!!∗ 13: !⟵ 1 − 1 − !! 14: !∗ ⟵ 1 − ! ! + !!! 15: !! ⟵ argmin! !!(!∗) 16: !! ⟵ !!! !∗ 17: se !! > !∗ 18: !∗ ⟵ !! 19: !⟵ !∗ 20: fim se 21: se !! ≠ !∗ 22: ! ⟵ !/2 23: fim se 24: fim enquanto

Em [4] temos que as constantes ! ∈ ℝ e ! ∈ ℂ obedecem

! = 1 − 1 − ! ! , (16)

para manter ! = 1 e

∠! = −∠ !!!!∗ , (17)

para maximizar a SNR do UE !∗ para um dado |!|. Como estamos gradualmente aumentando a projeção do

filtro m no filtro ótimo para o pior UE, podemos garantir que a SNR deste UE irá aumentar. Além disso, como parte do filtro anterior se mantém na combinação, qualquer redução na SNR dos outros UEs também será gradual. Ao fim de diversas iterações, devemos ter uma média ponderada dos filtros ótimos dos UEs com canais fracos, a qual maximiza a SNR mínima.

O valor absoluto da constante ! vai controlar a velocidade com que o algoritmo converge para o filtro ótimo do UE com o pior canal, !!∗. Um |!| baixo vai exigir mais iterações enquanto um |!| alto vai tornar o algoritmo instável, porque o UE com a pior SNR muda constantemente devido às grandes mudanças no filtro m. Um valor de ! = !! !!!∗ leva à SNR mais alta possível para o UE !∗ e será usado como o nosso limite superior para |!|.

714 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 16, NO. 3, MARCH 2018

Logo, é possível controlar a convergência fazendo |!| igual ao mínimo entre ! e | !! !!!∗|. Se a SNR mínima de UE é aumentada após a iteração, atualizamos o precodificador m para o valor calculado. Caso contrário, ! é dividido pela metade para tornar o algoritmo menos guloso e a iteração é refeita. O algoritmo chega ao fim quando ! assume seu mínimo valor !.

Assumindo uma complexidade computacional de O(A3) para calcular o autovetor principal no primeiro laço, a complexidade do esquema é O(JA3).

V. ANALISE VIA SIMULAÇÃO O cenário de simulação de exemplo consiste em um único

setor hexagonal com um diâmetro de 334m, compreendendo uma BS equipada com um arranjo linear de quatro antenas em um dos extremos do hexágono, um repetidor com uma única antena no centro do setor e vários UEs com uma única antena distribuídos uniformemente no setor, como mostrado na Fig. 2.

Figura 2. Layout do setor.

Um modelo de canal sem linha de visada é considerado, em que o desvanecimento rápido é modelado como uma variável aleatória Gaussiana complexa e circularmente simétrica com média zero e variância unitária e o sombreamento é modelado como uma distribuição log-normal com variância de 8 dB [10]. As seguintes expressões de perda de percurso e padrão de antena [11] são assumidas, respectivamente:

! ! = −35,3 − 37,6 log!" ! [dB] ! ∅ = −min 12(∅/70)!, 20 [dB]

(18)

(19)

A potência da BS é calculada para garantir uma SNR mínima de 10 dB na borda considerando somente a perda de percurso. A potência do repetidor é calculada da mesma maneira, mas com 30% do raio e a potência do ruído é de −112 dBm. Foram simuladas 30.000 realizações para cada algoritmo, com ! = 0,2 e ! = 10!!.

Para tornar a comparação justa, os resultados de eficiência espectral do caso sem repetidor consideram que os dois intervalos de transmissão são usados para transmissão da BS e a potência do repetidor é adicionada à potência da BS.

Solução de Referência Nesta seção apresentamos uma solução de referência e um

limite superior para o problema (13). Uma solução sub-ótima eficiente para o problema da

maximização da SNR mínima sem repetidores foi proposta em [1], baseada em Relaxação Semi-Definida (SDR - Semi-Definite Relaxation) [12]. A mesma solução pode ser aplicada para (13) se ignorarmos a restrição não convexa tr ! = 1, transformando-o em um problema de Programação Semi-Definida. Existem métodos numéricos muito eficientes [13] que são capazes de resolver o problema com uma complexidade computacional de ! ! + !! !,! [1]. Note que esta complexidade é ainda superior à complexidade da solução proposta.

Se a solução obtida possui de fato posto 1, então a solução ótima foi encontrada e é dada pelo autovetor principal da solução, caso contrário um pós-processamento da solução usando um método de randomização [12, 14] é aplicado para aproximar a solução ótima. Aqui aplicamos o método RandB de [1]. Na sequência nos referimos a essa solução como Relaxação Semi-Definida no Repetidor (RSDR).

Quando rank ! > 1, o tr !!! é um limite superior inalcançável para a SNR, já que é a solução ótima para o problema intermediário sem a restrição de posto. Nós iremos nos referir a esse limite a seguir como Limitante Superior.

Resultados de Simulação Na Fig. 3 apresentamos a média da SNR mínima de UE em

diferentes cargas para os seguintes esquemas: SDR sem repetidor, Rotação Iterativa no Repetidor (RIR), RSDR e o Limitante Superior. Quando o repetidor não é usado, o sistema apresenta o pior desempenho com uma diferença para o Limitante Superior entre 5 e 8 dB. Esta grande diferença é explicada pelo aumento nos ganhos de canais efetivos proporcionados pela combinação dos canais direto e via repetidor. A solução RSDR apresenta o melhor desempenho. A perda de desempenho em comparação ao Limitante Superior é de menos de 0,005 dB em todas as cargas. Isso acontece porque o RSDR começa da solução ótima para o problema relaxado, a qual é uma boa solução inicial e o passo de randomização causa pouca redução de desempenho. No entanto, esta boa solução inicial possui uma complexidade computacional mais alta que a solução RIR. A solução RIR apresenta o segundo melhor desempenho com uma diferença de menos de 0,4 dB para o Limitante Superior em todas as cargas.

BRAUNER SANTOS AND CARVALHO BARBOSA SILVA : A LOW-COMPLEXITY TRANSMIT 715

Figura 3. Média da SNR mínima de UE por carga.

Agora mudamos a métrica de SNR para eficiência espectral. Na Fig. 4 apresentamos a média da eficiência espectral mínima do UE para os mesmos algoritmos da Fig. 3 com uma carga variável. O esquema sem repetidor possui um desempenho próximo ao do Limitante Superior na menor carga, mas sua perda de desempenho aumenta com a carga até uma perda de aproximadamente 42% do Limitante Superior. Isto acontece porque com mais UEs existem mais graus de liberdade para melhorar o desempenho com o repetidor. O RIR e o RSDR apresentam desempenho próximo ao Limitante Superior em todas as cargas, com menos de 1% de perda. Isso enfatiza que suas soluções são eficientes o suficiente para compensar o uso de um intervalo de transmissão adicional.

Figura 4. Média da eficiencia espectral de UE por carga.

A Fig. 5 apresenta a Função Distribuição Acumulada (CDF - Cumulative Distribution Function) da SNR mínima do UE com uma carga de 6 UEs. Esta figura apresenta desempenhos relativos similares aos da Fig. 3. Podemos ver que para esta carga o esquema sem repetidor apresentou a pior SNR mínima em todas as amostras. Todos os outros esquemas apresentaram desempenho próximo ao Limitante Superior.

Figura 5. CDF da SNR com 6 UEs. A Fig. 6 apresenta a CDF da mínima eficiência espectral

dos UEs considerando uma carga de 6 UEs. Fora o esquema sem repetidor, todos os esquemas apresentaram um desempenho similar em eficiência espectral. Em mais de 92% das amostras estes esquemas apresentaram um desempenho superior ao do esquema sem repetidor. Isso significa que, em pelo menos 92% das amostras, os UEs com os piores canais se beneficiaram do sinal do repetidor o suficiente para compensar o uso de um intervalo de transmissão adicional. No resto das amostras, os UEs já estavam em condições tão boas de canal que o uso do repetidor não vale a pena.

Figura 6. CDF da eficiência espectral com 6 UEs.

Na Fig. 7 apresentamos o percentual de soluções com rank ! > 1 para o RSDR em cada carga. Este é o percentual de realizações com solução sub-ótima pelo RSDR. Podemos ver que mais de 92% das realizações necessitaram do uso do método RandB em todas as cargas.

No entanto, Fig. 3 e Fig. 5 evidenciam que muitas destas realizações alcançaram um desempenho próximo do ótimo, se não ótimo, depois de usar o RandB.

716 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 16, NO. 3, MARCH 2018

Figura 7. Percentual de soluções com posto 1 para o RSDR em cada carga.

VI. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS Neste trabalho, foi estudado o direcionamento de feixes

para maximizar a Relação Sinal-Ruído (SNR) mínima de Equipamento de Usuário (UE - User Equipment) em um sistema multicast com um repetidor. Aplicou-se duas fases de transmissão diferentes: uma onde apenas a Estação Rádio-Base (BS - Base Station) transmite e uma onde só o repetidor transmite.

O problema de otimização foi apresentado de uma forma mais geral e um limite superior para o problema foi apresentado usando Relaxação Semi-Definida (SDR - Semi-Definite Relaxation) com uma matriz de canal modificada. Além disso, foi proposta uma solução que iterativamente combina o precodificador atual com o precodificador ótimo para o pior UE.

Resultados de simulação mostraram que o ganho do esquema proposto supera a perda do intervalo de transmissão adicional. Também verificou-se que a solução proposta foi capaz de atingir um desempenho próximo ao limite superior SDR, com menos de 0,8 dB de perda na SNR mínima de UE e menos de 2% de perda em eficiência espectral, além de uma complexidade computacional menor que a da solução baseada no SDR.

Como possível sequência deste trabalho, pode-se investigar a adição de múltiplos grupos multicast, assim como uma extensão da análise para múltiplas antenas no repetidor e UEs.

AGRADECIMENTOS Os autores agradecem o apoio das agências de fomento

FUNCAP, CAPES e CNPq.

REFERÊNCIAS [1] N. Sidiropoulos, T. Davidson, and Z.-Q. Luo, “Transmit beamforming for

physical-layer multicasting,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 54, no. 6, pp. 2239–2251, Jun. 2006.

[2] Y. C. B. Silva and A. Klein, “Adaptive beamforming and spatial multiplexing of unicast and multicast services,” in Proc. IEEE International Symposium on Personal, Indoor and Mobile Radio Communications, Sep. 2006, pp. 1–5.

[3] ------, “Adaptive antenna techniques applied to multicast services in wireless networks,” Frequenz. Journal of RF-Engineering and Telecommunications, vol. 60, pp. 199–202, Sep./Oct. 2006.

[4] R. Hunger, D. Schmidt, M. Joham, A. Schwing, and W. Utschick, “Design of single-group multicasting-beamformers,” in Proc. IEEE International Conference on Communications, Jun. 2007, pp. 2499–2505.

[5] F. H. P. Fitzek and M. D. Katz, Eds., Cooperation in Wireless Networks: Principles and Applications: Real Egoistic Behavior is to Cooperate!, 1st ed. plus 0.5em minus 0.4emSpringer, 2006.

[6] P. Fan, C. Zhi, C. Wei, and K. Ben Letaief, “Reliable relay assisted wireless multicast using network coding,” IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 27, no. 5, pp. 749–762, Jun. 2009.

[7] A. Abdelkader, M. Pesavento, and A. Gershman, “Orthogonalization techniques for single group multicasting in cooperative amplify-and-forward networks,” in Proc. IEEE International Workshop on Computational Advances in Multi-Sensor Adaptive Processing, Dec. 2011, pp. 225–228.

[8] R. B. Santos and Y. C. B. Silva, “Transmit beamforming and diversity techniques in multicast systems with a single relay,” in International Symposium on Wireless Communication Systems, Aug. 2012, pp. 436–440.

[9] D. Brennan, “Linear diversity combining techniques,” Proceedings of the IRE, vol. 47, no. 6, pp. 1075–1102, Jun. 1959.

[10] A. Paulraj, R. Nabar, and D. Gore, Introduction to space-time wireless com-munications, 1st ed. plus 0.5em minus 0.4emCambridge University Press, 2003.

[11] 3GPP, “Physical layer aspects for evolved universal terrestrial radio access (UTRA),” 3rd Generation Partnership Project, Tech. Rep. TR 25.814 V8.0.0 - Release 8, Dec. 2008.

[12] W.-K. Ma, T. Davidson, K. M. Wong, Z.-Q. Luo, and P. chung Ching, “Quasi-maximum-likelihood multiuser detection using semi-definite relaxation with application to synchronous CDMA,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 50, no. 4, pp. 912–922, Apr. 2002.

[13] J. F. Sturm, “Using SeDuMi 1.02, a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones,” Optimization Methods and Software, vol. 11-12, pp. 625–653, 1999.

[14] P. Tseng, “Further results on approximating nonconvex quadratic optimization by semidefinite programming relaxation,” SIAM Journal on Optimization, vol. 14, no. 1, pp. 268–283, Jan. 2003.

Ricardo Brauner dos Santos possui graduação em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Ceará (UFC), em 2005 e mestrado em Engenharia de Teleinformática pela Universidade Federal do Ceará (UFC) em 2008. De 2006 a 2011 foi pesquisador do Grupo de Pesquisa em Telecomunicações sem Fio (GTEL) da UFC. Desde 2011 é Professor Assistente do Instituto Universidade

Virtual da UFC. Suas principais áreas de pesquisa são: sistemas de comunicações sem fio, processamento com múltiplas antenas, gerência de interferência, serviços multicast e alocação de recursos.

Yuri Carvalho Barbosa Silva possui graduação e mestrado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Ceará (UFC), em 2002 e 2004, respectivamente, e doutorado em Engenharia Elétrica pela Technische Universität Darmstadt, Alemanha, em 2008. Desde 2001 faz parte do Grupo de Pesquisa em Telecomunicações sem Fio (GTEL) da UFC. Em 2003 foi pesquisador-visitante na Ericsson Research,

Suécia, onde desenvolveu soluções avançadas de gerência de recursos de rádio para o padrão GSM/EDGE. De 2005 a 2008 foi pesquisador do Communications Engineering Lab na Technische Universität Darmstadt. Desde 2010 é Professor Adjunto do Departamento de Engenharia de Teleinformática da UFC e desde 2013 é bolsista de Produtividade em Desenvolvimento Tecnológico e Extensão Inovadora do CNPq. Suas principais áreas de pesquisa são: sistemas de comunicações sem fio, processamento com múltiplas antenas, alinhamento e gerência de interferência, serviços multicast, redes densas e heterogêneas.

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