APPLICATION DU KRIGEAGE A L'OPTIMISATION D'UNE CAMPAGNE PLUVIOMETRIQUE EN ZONE ARIDE

J.P. DELHOMME, P. DELFXNER -

ABSTRACT

In arid areas, hydraulic planning must often be performed in a few years: install a rain gauge network, strengthen it if necessary and determine the major features of the basin, mainly the volume of precipi- tation and its geographic distribution. It seems impossible to utilize the usual elaborate statistical methods because they appeal to time COT rrelations which can hardly be inferred, Indeed, after an initial pro- gram of precipitation measurements for a basin, data for only a sh-ort time interval are available, and regional climatological statiwn are commonly too far removed geograplìically to andd useful ingormqti'on. TO solve the interpolation problems , only the spatial stxuctgre 08 preci- pitation on the basin itself can 6e considered. Kriging provides the best linear estimates based on the experimental data, and this under very few assumption. In particular, it avoids the traditional assump- tion of second order stationarity, used in optimal filtering for exam- ple, and which is not justified in many cases. Moreover, Kriging per- mits quantification of precision of estimation and provides a solution to the problem of optimal location of new points of measurement, accor ding to a criterion of maximum gain of information,

RESUME

Lors d'une étude d'aménagement hydraulique en zone aride, on ne dispose souvent que de quelques années pour implanter un réseau pluvio- métrique, le renforcer si besoin est, et cerner les caractéristiques m a jeures du bassin, principalement le volume d'eau tombé et sa réparti- tion. Les techniques statistiques élaborées traditionnellement semblent alors d'un emploi difficile car elles font intervenir des corrélations temporelles dont l'inférence statistique est quasiment imposible. En sffet, aprbs une première campagne de relevés pluviométriques sur le b a ssin, on n'y possède que de tr8s courtes séries chronologiques et les stations ciimatologiques régionales sont souvent trop élognées géogra- !hiquement pour apporter une information &ellement valable. Pour trai - ter les problèmes d'interpolation, on ne peut donc prendre en considéra tion que la structure spatiale de la pluviométrie. Le Krigeage permet ie trouver les meilleurs estimateurs linéaires construits sur les va- leurs expérimentales, et ce, sous des hvpoth8ses tres larges: en parti- )ulier, l'hypothèse classique de la stationnaritg du second ordre, di- fficilement admissible dans bien des cas, n'est pas nécessaire. Le Kri- Ceage permet en outre de quantifier la précision de notre estimation, ?t appoiyte une sol-ution au problème de l'implantation optimale de nou- reaux points de mesure selon un critère de gain maximal d'information.

17 2

Pour l'hydrogéologue, les précipitations sont non seulement descriptif du climat, mais aussi, et surtout, l'élément constitutif du débit des cours d'eau.

d'approche différents d'une épisode pluvieux. I1 s'agit d'une part d'estimer en tout point du bassin la hauteur de précipitation pour avoir une vue d'ensemble de la répartition spatiale de l'averse et pour en localiser les épicentres, d'autre part, d'intégrer cette hauteur de précipitation sur toute la surface afin d'evaluer la qua2 tité d'eau tombée sur le bassin durant ce laps de temps.

A ces deux aspects fondamentaux correspondent deus types

Dans les deux cas, on ne dispose au départ que des indications ponctu- elles recueillies aux stations pluviométriques. tions correctes ã partir de ces données en nombre limité, on doit attacher une grande importance au choix d'une méthode d'estimation qui soit adaptée aux buts poursuivis et présente le maximum de fiabilité. tité d'eau calculée avec 100 .d'erreur? Comme dans tout calcul physique, une valeur numérique n'a de sens F qu'accompagnée d'un intervalle d'incertitude. Si la précision n'est pas satisfaisante, i l conviendra ã 1 'avenir d'installer de nouveaux pluviomètres. Quelle serait alors leur implantation optiqale? Ces questions trouvent une réponse satisfaisante dans le cadre de la théorie du krigeage de G. MATHERON (i), (Z), (3).

pourra trouver dans les ouvrages de G. MATHERON cités en références.

campagne pluviométrique en zone aride.

Si 1 'on veut obtenir des évalua-

Que signifierait une quan-

I1 n'est pas place ici pour un long exposé théorique que le lecteur

Aussi a-t-on préféré en montrer une application au cas concret d'une

PRESENTATION DU CADRE DE L'ETUDE

Les données utilisées ont été empruntées ã une campagne de 1'ORSTOM dans la région Est du Tchad (4) en 1965-66. la recharge de nappes souterraines de faible importance qui fournissent 1 'essen- tiel des ressources pendant la saison sèche.

Afin d'accroître cette recharge, un projet de construction de barrages de suralimentation sur certains ouadis a été décidé, les études de reconnaissan- ce hydrologique devant s 'étendre sur deux années.

On a retenu le cas du bassin de l'ouadi Kadjemeur d'une superficie de 245 km2 et présentant de faibles dénivellées (inférieures ã 100 m.).

Durant la saison dds pluies a lieu

Les conditions climatiques sur ce bassin versant sont assez difficiles ?i estimer ã partir des stations climatologiques régionales (Fig.l), du fait de la rapidité des changements de régime climatique dans la région: en 400 km du Nord au Sud, on passe du régime sahélien sud d'Abeche au régime saharien de Fada Les périodes d'observation sont très inégales (Abeche: 31 ans, Guereda: 12 ans, Iriba: 8'ans, Biltine: 15 ans, Arada: 8 ans, Fada: 32 ans), et les corrélations d'une station à l'autre ne sont pas satisfaisantes.

1 7 3

On ne peut donc prendre en compte que les données recueillies sur le 3 pluviographes, 19 bassin lui-même, où l'on dispose de 33 points de mesures:

pluviomètres association et 11 totalisateurs (Fig.2).

LES BASES CONCEPTUELLES DU KRIGEAGE

Le phénomène étudié est considéré comme une fonction Z associant une valeur numérique Z(x) à tout point x d'un certain domaine du plan ou de 1 'espace. On connaît les valeurs prises par Z aux points expérimentaux xl, x2, ...., x Selon les cas, on cherche ã estimer: N'

i) la valeur ponctuelle Z(xo) au point xo 2) la valeur moyenne sur un domaine S, soit i Is Z(x)dx 3) la valeur moyenne pondérée de Z, soit:

Z, = j' Z(x)p(x)dx avec p(x)dx = 1 Pour cela, on se'-donne un estimateur Z" de la valeur exacte sous forme

d'une combinaison linéaire des données disponibles: N

z* =J xi Z(Xi) 1 =1

I1 y a de multiples facons de choisir les coefficients de pondération

A cet effet, on peut se laisser guider par des considérations physiques. xi:

La qualité de l'estimation doit dépendre de deux facteurs: position spatiale des points de mesure d'une part, la continuité, la régularité du phénomène étudié, de l'autre.

leure qu'il y a plus de données expérimentales. mesure n'est pas forcément déterminant. Interviennent également la disposition relative des points expérimentaux entre eux et leur localisation par rapport au domaine a estimer (point ou surface). globale sur une région, i l est en général préférable d'avoir moins de points mais disposés de façon uniforme que beaucoup de points agglutinés dans une seule zone. La conclusion est inverse si 1 'on désire une estimation locale au voisinage pré- cisément de cette zone la mieux échantillonnée.

Le second point est plus subtil et négligé dans la plupart des métho- des utilisées actuellement en hydrologie. Une fonction s'interpole d'autant mieux qu'elle est plus régulière. S'agissant par exemple d'estimer une valeur ponctuelle Z(xo), i l n'y a aucune raison d'utiliser la même formule d'interpola- tion quand on travaille sur des pluies annuelles ou des pluies journalières. Dans un cas la valeur au point x diffère peu de celles des points voisins, dans 1 'autre, le phénomène est plus ctaotique et les points lointains apportent une information non négligeable.

tout le problème est de déterminer les meilleurs possibles.

le nombre et la dis-

Pour le premier point, i l est clair que l'estimation est d'autant meil- Mais 1 'effectif d u réseau de

Par exemple, pour estimer une quantité

174

Comment tenir compte de la régularité de la variable?

Les méthodes fonctionnelles de 1 'analyse mathématique ordinaire ne sont

Pour souligner cette par-

guère utilisables pour les fonctions traduisant un phénomène naturel. ont un comportement spatial bien trop complexe, trop erratique pour se laisser décrire ii 1 'aide d'expressions analytiques classiques. ticularité, G. MATHERON (1) propose de donner a de telles fonctions le nom de "vari ables régionalisées".

Une façon commode ii la fois sur le plan conceptuel et pratique de trai- ter une variable régioiiziisée est de raisonner en termes probabilistes. considère la variable régionalisée comme une "réalisation de fonction aléatoire", c'est ii dire comme le résultat d'un tirage au sort dans un ensemble de fonctions. Pour préciser cette idée, supposons qu'on range dans un même groupe un ensemble d'averses analogues, autrement dit, un ensemble de fonctions Zi(X) associant à chaque point x la hauteur de précipitation en ce point. La fonction aléatoire Z est telle que pour tout indice i et tout point x du domaine:

Celles-ci

On

z(x,i) = z.(x) 1

Au tirage au sort de l'indice i de l'averse correspond la fonction numérique or- dinaire Zi(X), c'est ii dire une réalisation de la fonction aléatoire Z. Ainsi sont fixées du même coup les valeurs prises par la fonction en tous les points de son domaine de définition, expérimentaux ou non.

Dans le cadre de cette hypothèse, les notions statistiques telles que moyenne, vari ance , covari ance ou auto-corrél ati on prennent un sens précis. E le symbole "espérance mathématique", on a:

Soit

E CZ(x)l = m(x) moyenne E [Z(X)-m(x)]* = D2 [Z(X)] E [Z(x)-m(x)] [Z(y)-m(y)] = K(x,y) covariance K(X,Y)/=) .JK(y,y) = P(X,Y) auto-corrélation

vari ance

On voit que p(x,y) se déduit directement de K(x,y), la réciproque étant fausse. On utilisera donc plutôt K(x,y) qui contient plus d'information.

Pour procéder valablement à 1 'inférence statistique de la moyenne et de la covariance aux différents points de l'espace, i l faut disposer de chroni- ques suffisantes. Lorsque ce n'est pas le cas, c o m e dans l'exemple de Kadjemeur, des hypothèses supplémentai res sont nécessaires. Les méthodes optimales du type de celle du filtrage de WIENER (5), introduite en météorologie par L.S. GANDIN (6) se placent dans 1 'hypothèse où la variable est "stationnaire d'ordre 2": la moyenne m(x) est constante et la covariance ne dépend pas séparément des points d'appui x et y, mais uniquement du vecteur x-y:

E [~(x)] = m E [Z(x)-m] [Z(Y)-~] = K(x-Y)

175

Ces hypothèses peuvent être trop restrictives. On sait par exemple que les précipitations sont plus abondantes en altitude qu'en plaine. dans le cas général d'une région à relief varié, leur moyenne m(x) présente une "dérive" et ne peut être considérée comme constante. Par ailleurs, i l apparaît que les calculs d'optimisation n'exigent pas que la variable elle-même, mais

Par conséquent,

uniquement ses accroissements y possède une covari ance

Ceci étant, les hypothèses du krigeage sont 1) m(x) n'est pas forcément constante,

lière pour être représentée par une k

1 =o m(x) = 1 a, f'(x)

1 Les fonctions f fxì sont choisies à

stationnai re.

1 es sui vantes : mais est suffisamment régu- expression de la forme:

1 'avance foolvnomes. fonctions trigonométriques; etc.. .) ; Une telle formulation englobe le cas le plus simple où la moyen- ne est constante. La "dérive" m(x) se réduit alors à:

m(x) = ao f (x)= ao fo(x) étant la fonction identiquemint égale à 1. On supposera toujours que f 1, car cela implique que l'erreur d'estimation Z-Z* est une combinaison linéaire d'accroissements de Z(x)

ne dépend que du vecteur h.

~ ( h ) est le vario ramme.

A direction fixée, elle indique comment varie, en moyenne qua- dratique¶ l'écart de valeurs prises en deux points x et x+h lorsque la distance h augmente. A une variable très régulière correspond un variogramme très continu, et inversement.

Ces bases définies, i l est possible de résoudre tour à tour les diffé-

les al sont des c Ò e f ~ c i e n G inconnus

O

O

2) Seconde hypothèse: 1 a variance des accroissements Z( x+h) -Z( x) On pose:

y(h) = i D2 [Z(x+h)-Z(x)] Cette fonction du vecteur h renseigne

sur 1 'isotropie + ou anisotropie de la variable régionalisée.

rents problèmes posés.

KRIGEAGE DES ISOHYETES

Soit Z(x) la hauteur de précipitation tombée sur un territoire pour une période déterminée. Afin d'estimer la valeur ponctuelle Z(x,) , on cherche parmi les estimateurs linéaires construits sur les données expérimentales z*=xhiZ(xi) celui qui minimise 1 'erreur quadratique moyenne E[Z*-Z(xo)]2. Or: 1

2 E [Zf-Z(x0)] = D2 [Z*-Z(x0)] + [E[Z'-Z(x0)]]'

176

Le premier terme D2 [Zf-Z(xo)] est la variance de l'erreur. fonction du variogrannne:

Elle s'explicite en

D2 rhiZ(xi)-Z(x0)] = - 1 1 h-X.y(xi-x.) t 2 1 hiy(xi-xo) i i j 1 J J

Le second terme [E[Z*-Z xQ)]I2 est le carré de l'erreur moyenne. moyenne représente un biais et i l faut donc l'annuler.

Cette erreur

E [fc-z(x0)] = E

m(xi) = 1 alf 1 (xi)

E [z*-z(xO)l = c al

him(xi) - m(xo D'après les hypothèses faites sur la dérive:

et 1 1

rn(xo) = 1 alf 1 (x,) d'où:

'if 1 (xi) - f'(xO)] 1

Si l'on pose: 1 1 1 hif (xi) = f (x,) bc 1 = O, 1, ...., k

1 l'erreur moyenne sera nulle quels que soient les coefficients a qu'il ne sera 1 pas nécessaire de connaître.

Minimisant 1 'erreur quadratique moyenne sous ces k+l conditions, on obtient le système de krigeage où figurent ktl paramètres de Lagrange ul:

1 1 h.y(xi-x.) t 1 ulf (xi) = y(xi-xo)

j

(i=l, ..., N)

(l=O,l,. ..,k) j J J 1 1 hjf (Xj) = f (x ) 1 1

(SI)

O

Ce système est régulier, donc admet une solution unique, pourvu que les f (xi) soient linéairement indépendants sur 1 'ensemble des points expérimen- taux (cf.(l) ou (2)).

A l'optimum, la variance d'estimation a pour expression:

D2[Z*-Z(Xo)] = 1 Xjy(x.-x ) t 1 plf 1 (x,) j 1

On remarque que cette variance ne dépend que du variogramme et des solutions hi et pl du système de krigeage, c'est à dire uniquement de la struc- ture du phénomène et de la disposition des points de mesure.

177

L'exemple qui a été retenu est celui de 1 'averse du 6/8/66, la plus importante de l'année. BLUEPACK mis au point à Fontainebleau(79,Le bassin de 1 'ouadi Kadjemeur ne présen- tant pas un relief très marqué, la pluviométrie n'y possède pas de dérive systé- matique.

I1 a été traité sur ordinateur à l'aide du programme

On a donc pris pour seule fonction de base fo 5 1.

Le variogramme est linéaire avec une discontinuité à 1 'origine. O pour h = o 20.4 t 11.23 h pour h # O en km

ríh) = en mm2.

I1 a été d'it plus haut que le variogramme est d'autant plus continu que la variable est plus régulière.

La discontinuité à l'origine du y(h) traduit une irrégularité à petite échelle. Ce phénomène a été observé depuis longtemps par les hydrométéorologues qui 1 'expliquent par les perturbations locales, l'instabilité du mouvement de l'air au voisinage du sol et l'arrivée de la pluie sur le pluviomètre par rafales irrégulières. A la limite, si on connaissait parfaitement les hauteurs d'eau en tout point, i l serait probablement impossible d'en tracer la carte, les fluctua- tions locales interdisant tout tracé continu.

Prise entre la fidélité aux valeurs expérimentales et la nécessité de dégager des grands traits représentatifs du phénomène, la cartographie manuelle exige en permanence des choix plus ou moins arbitraires. Ainsi sur 1 'averse du 6 Août (Fig.4), i l n'a été tenu aucun compte de la hauteur 27.6 mm mesurée au pluviometre n"26, alors que les cotes extrêmales 55.5 et 54.5 mm ont été scrupu- leusement respectées.

tance directement 1 iée au degré de structuration du phénomène.

noeuds d'une grille régulière.Le pluviomètre n"29 (OU la hauteur mesurée est de 55.5 mm) n'a ainsi contribué que pour environ 63% dans 1 'estimation du point de grille le plus proche. ce point de grille à une valeur de 48.7 mm.

qui rend cette valeur parfaitement compatible avec la valeur expérimentale voisine. Sur 1 'ensemble du bassin, les écarts-types d'estimation sont compris entre 5.5 et 14 mn, la zone la plus mal connue étant bien entendu la partie Sud-Est.

Le krigeage, pour sa part, accorde aux valeurs expérimentales une impor-

La carte de la Fig.3 a été obtenue après estimation par krigeage aux

L'influence, non négligeable, des autres stations a ramené

A cette estimation est attaché un écart-type de l'ordre de 6.25 mm, ce

ESTIMATION DE LA LAME D'EAU MOYENNE SUR UN BASSIN

A l'heure actuelle, trois méthodes sont utilisées: le planimétrage des cartes tracées manuellement, la moyenne arithmétique simple, la méthode des polygones de THIESSEN.

178

La précision de la première méthode est directement liée à la qualité du tracé de la carte. Mais elle dépend aussi du soin de l'opérateur: de l'attention qu'il a portée au comptage des carreaux du papier mi1limétré.o~ à éviter les a- coups dans le maniement du planimètre.

pas dire le plus simpliste. sur le bassin be surface S. d'eau moyenne Z a pour expression:

La moyenne arithmétique est le procédé de calcul le plus simple, pour ne Soit Q la quantité totale d'eau qui s'est abattue Si Z(x) est la hauteur d'eau au point x, la hauteur

7 = Q/S soit 2 = i Is Z(x)dx Faire une moyenne arithmétique simple sur les Z(x):

c'est perdre de vue que seules les-quantités d'eau sont additives, et non les hauteurs. Pour qu'une telle moyenne ait un sens, i l faudrait que tous les pluvio- mètres soient équivalents, qu'ils représentent en quelque sorte chacun l/Nième du bassin ,

sérieuse. semble des points du bassin pour lesquels elle est la station la plus proche - voir Fig.2. sur la forme géométrique des polygones. d u bassin en "zones d'influence'' de surface Si:

Les polygones de THIESSEN (8) procèdent d'une analyse physique plus Ils reposent sur 1 'hypothèse qu'une station est représentative de 1 'en-

L'idée de base est en fait plus générale et ne repose pas réellement Soit en effet une partition quelconque

s = s, + s, i- .... t SN Dire que la valeur expérimentale Z(xi) est représentative de la zone Si, c'est poser:

L'estimation de la quantité d

Q' = eau totale est alors:

et la lame d'eau moyenne a pour valeur:

Sur le plan formel, 1 'estimateur 2* n'est autre qu'une moyenne pondérée des Z(xi). Ce qui importe en vérité, ce sont les poids Si/S et non la géométrie des zones d ' i n f 1 uence .

opti mi sent 1 'es ti mateur : On est ainsi tout naturellement amené à rechercher les poids X i qui

t * = 1 X i Z(Xi) 1

179

En procédant de façon analogue au cas du krigeage ponctuel, on montre que les hi sont solutions du système:

Comme on choisit toujours pour fo(x) la fonctior constante identiquement égale 5 1, la première des conditions sur les fonctions f si mpl emen t :

(pour 1=0) s'écrit

I : x j = l j

La variance d'estimation a pour expression, 5 1 'optimum: ,

De même que pour le krigeage ponctuel, cette variance ne dépend que de la structure de la variable et de la configuration des points expérimentaux. conséquent, si le variogramme est connu, on peut calculer la variance d'estimation sans avoir besoin de la valeur des hauteurs d'eau. C'est cette propriété remar- quable qu'on utilisera pour localiser un nouveau point de mesure par la "méthode du point fictif".

Sur l'ouadi Kadjemeur, les calculs ont été effectués pour les 13 épiso- des pluvieux de 1966. Vu le faible nombre de points de mesure, i l était diffici- le de procéder 5 1 'inférence statistique du variogramme averse par averse, d'au- tant plus que parfois certaines données étaient manquantes. Prendre brutalement le variogramme moyen sur l'ensemble des averses eut été faire violence à la nature car ces averses diffèrent par leur intensité et leur dispersion. plus raisonnable a été d'admettre que les variogrammes des épisodes pluvieux sont proportionnels:

oùyk(h) est le variogramme de la kième averse, y(h) le variogramme moyen et Wk le coefficient de proportionnalité. Cette relation équivaut 5 admettre qu'il y a conservation des corrélations spatiales sur le bassin. En notant s la variance expérimentale des hauteurs d'eau de la kiëme averse et 3 la moyenne !es sz, i l en résulte que:

Par

Une hypothèse

Yk(h) = Wk -

Ok = s;/s;T

TABLEAU I

xi (en a) Thiessen (9)

averse

1.0 1.0 0.Y 1.2 1.1 1.b 1.1 5.3 3.3 5.U U.6

1.1 1.1 0.8 1.1 1.5 1.5 8.3 3.4 3.8 2.1 1.1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

effectif

21 28 33 33 33 33 33 33 33 33 33 31 17

moyenne

13.81 34.69 5.34 38.25 1.06 2.33 21.81 4.47 32.29 O .58 O .40 22.35 6.35

mm mm2

19.58 64.20 31.90 73.39 1.31 10.96 225.61 82.86 152.21 1.08 1.13 46.46 45.75

o .34 1.10 0.55 1.26 o .o2 0.19 3.88 1.42 2.62 o .o2 o .o2 O .80 O .79

181

On constate une similitude assez nette qui justifierait a posteriori

De façon à permettre une comparaison plus complète des différentes mét-

l'intuition de THIESSEN.

hodes évoquées, on a porté sur un même graphique (Fig.6) les évaluations des la- mes d'eau pour les 13 averses, par moyenne arithmétique, par planimétrage, par THIESSEN et par krigeage. laquelle figure la valeur krigée, on a indiqué la fourchette à 2 écarts-types.

I1 ressort que trois méthodes donnent des résultats à peu pres équiva- lents. averses du 9 Août, du 13 au 14 Septembre, du 11 Août et du 23 Juillet, où les valeurs estimées se situent en dehors de la fourchette pourtant très large de 4 écarts-types. Avec la moyenne arithmétique, tous les pluviomètres ont même im- portance; le réseau étant plus fourni à l'Ouest, i l y a systématiquement sous- estimation ou sur-estimation de la lame d'eau selon que 1 'épicentre des averses se situe à l'Est ou à 1 'Ouest.

De part et d'autre de l a bissectrice des axes,sur

Seule la moyenne arithmétique se singularise, en particulier sur les

Que retenir de ces comparaisons?

Une fois écartée la moyenne arithmétique, i l semblerait,du moins sur l'exemple traité, que l'avantage du krigeage ne soit pas très net. Pourtant, c'est la seule méthode autour de laquelle a pu s'articuler la comparaison, grâce au calcul d'erreur. En outre, les auteurs ont pu remarquer que la méthode de THIESSEN, et dans une moindre mesure le planimétrage, s'avèrent en pratique longs et fastidieux. programme.

Le krigeage quant à lui ne nécessite que l'investissement d'un

OPTIMISATION DU RENFORCEMENT D'UN RESEAU PLUVIOMETRIQUE

Remarquons tout de suite que cette question n'a de sens que si le but poursui vi a été cl ai rement défi ni .

Dans le cas d'une reconnaissance en vue d'un aménagement hydraulique, 1 'hydrologue a pour objectif l'étude de la relation pluie-débit: donc en premier lieu à la quantité d'eau tombée journellement sur le bassin. La variance d'estimation par krigeage a permis de donner la fourchette d'incerti- tude avec laquelle cette quantité peut être calculée. naturellement 1 'indicateur de précision nécessaire pour:

1) décider de 1 'opportunité de renforcer le réseau, 2) déterminer 1 'emplacement optimal d'un éventuel pluviomètre

i l s'intéresse

Elle fournit donc tout

suppl émentai re. Pour ce faire, on utilisera la méthode du point fictif. A la question

"comment implanter au mieux un nouveau point de mesure" peuvent être attachées certaines contraintes. Si ce choix ne se pose que parmi un certain nombre de points présélectionnés selon un autre critère (accès facile, relevé aisé,. . .), on implantera fictivement un pluviomètre en chacun d'eux et on déterminera le gain dn précision correspondant.

182

On procedera de même le long d'un cheminement si 1 'on a décidé a priori de .retenir une ligne caractéristique du terrain (piste d'accès, accident de terrain,. ..).

Quand au contraire, 1 'on ne possêde aucun a priori , on tracera, tou- jours de la même manière, une carte d'isogain en précision sur l'estimation de la lame d'eau. 1 'ouadi Kadjemeur.

C'est la solution qui a été adoptée pour l'étude du cas de

LOCALISATION OPTIMALE D'UN PLUVIOMETRE SUPPLEMENTAIRE

Soit U; la variance d'estimation ã partir des 33 pluviomètres existants,

Si on implante fictivement un nouveau pluviomètre en un point M, cette Le gain en précision

de la hauteur d'eau tombée en moyenne sur le bassin pendant une averse.

variance d'estimation prend une nouvelle valeur U ~ M ) < U:. peut être défini comme:

Si 1 'on ne tenait aucun compte de 1 'existence de corrélations spatiales, on donne- rait comme gain correspondant à un 34e point de mesure: 1/34 -3%. Quant à la localisation, elle serait indifférente à 1 'intérieur du bassin.

Considérant un domaines, le krigeage permet de déterminer le point M où ce gain est maximal.

Pour Kadjemeur, le domaine retenu a été choisi de sorte qu'il englobe le bassin et ses abords immédiats. Fig.7 pour voir où i l

I1 suffit de comparer les Fig.7 et 8 pour constater que sur de nombreux points, "1 'intuition" était insuffisante pour appréhender le problême d'une mani- ère globale.

re. grande zone est dépourvue de point de mesure.

Pourtant si l'on revient aux coefficients du krigeage ou ã ceux de THIESSEN, force est de constater que ces résultats vont dans le sens d'un "soulagement" des pluviomêtres de poids les plus élevés: sation de la contribution des différentes stations, ce qui satisfait le sens physique de 1 'hydrologue.

est três instructif par lui-même. cieusement un pluviomètre à l'extérieur du bassin plutôt que d'une manière redondante ã 1 'intérieur.

G(M) = uO

Le lecteur est invité à se reporter à la aurait lui-même implanté une nouvelle mesure.

Le gain maximum est de 13% au 'lieu des 3% donnés par une analyse sommai- L'optimum absolu est situé en bordure du bassin, alors qu'au centre, une

on tend vers une égali-

Enfin, l'examen de la carte isogain (Fig.8) sur l'ensemble du domaine I1 apparaît qu'il vaut mieux implanter judi-

183

CONCLUSION

Dans une zone aride mal reconnue, 1 ' hydrométéorol ogue ne di spose pas i l se voit contraint de n'uti- de longues chroniques aux stations régionales;

liser que les données qu'il a pu recueillir pendant une ou deux campagnes annuelles, pour calculer les lames d'eau sur son bassin versant.

krigeage a permis, en fonction d'un objectif précis - estimation locale ou glo- bale - de trouver les poids optimaux ii affecter aux différents pluviomètres. Un intervalle de confiance a été associé à chaque estimation.

Aussi le krigeage a-t-il permis de poser en termes de gain de précision le problème d u renforcement d'un réseau: endroit pour implanter un pluviomètre supplémentaire et la nouvelle précision avec laquelle pourra être estimée la grandeur étudiée.

La méthode présentée est d'un emploi très souple: tion peut varier selon 1 'emplacement, le bassin peut également être découpé en sous-bassins d'importance différente pour 1 'écoulement.

Formalisant et généralisant la méthode des coefficients de THIESSEN, le

i l donne objectivement le meilleur

le coût d'implanta-

184

BIBLIOGRAPHIE

Matheron, G. (1965). Les variables régionalisées et leur estimation, Paris, Masson et Cie Matheron, G. (1969). Le krigeage universel, Fontainebleau, Cahiers du Centre de Morphologie Mathématique , Fasc .1 Matheron, G. (1970). cations, Fontainebleau, Cahiers du Centre de Morphologie Mathématique, Fasc .5 Roche, M.A. (1968). Ecoulement de surface, alimentation de nappe et transport sol ide des ouadis Fera, Kadjemeur et Sofoya, Fort-Lamy, ORSTOM Wiener, N. (1966). Extrapolation, interpolation and smoothing of station- nary time series, Cambridge, Mass., M.I.T. Press Gandin, L.S. (1963). Objective analysis of meteorological fields, Leningra Israël program for scientific translation Delfiner, P., Delhomme, J.P. (1973). Présentation du programme BLUEPACK, Fontainebleau, Ecole des Mines de Paris, note interne Thiessen, A.H. (1911). Precipitation averages for large areas, Monthly Weather Rev. , vol. 39, n07, p. 1082 Del finer, P. (1968). Cartographie et morphologie des précipitations considérées comme variables régionalisées , Université de Grenoble

La théorie des variables régionalisées et ses appli-

(10) Delhomme, J.P. (1970). Présentation d'une méthode objective d'interpolatio pour la construction de cartes isopiézométriques , Douai , Communication au Groupe d'Etude de Bassins Versants Souterrains

(11) Delhomme, J .P. (1971). Traitement géostatistique des données piézométrique le krigeage en hydrogéologie, Fontainebleau, Recyclage en hydrogéologie mathématique

krigeage universel, Paris, Note EERM - Météorologie Nationale (12) Delfiner, P. (1973). Analyse du géopotentiel et du vent géostrophique par

185

Fig.1 - Situation du B.V de l'ouadi Kadjemeur

186

Fig.3- Carte obtenue par krigeage

2 mm

4 100

o 1 5 10 c

km

Fig.5 -Variogramme moyen bp~vt~da~n&

188

I

Fig.6- Comparai.mi dei différ-iites méthodes d'estirnaticin globale

189

..

P