a front tracking method for the computations of multi phase flow

8/8/2019 A Front Tracking Method for the Computations of Multi Phase Flow

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A F r o n t T r a c k i n g M e t h o d f o r

t h e C o m p u t a t i o n s o f M u l t i p h a s e F l o w

G . T r y g g v a s o n , B . B u n n e r , A . E s m a e e l i , D . J u r i c ,

N . A l - R a w a h i , W . T a u b e r , J . H a n , S . N a s , a n d Y . - J . J a n

1 . I N T R O D U C T I O N

2 . M A T H E M A T I C A L F O R M U L A T I O N

3 . N U M E R I C A L I M P L E M E N T A T I O N

3 . 1 I n t e g r a t i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s

3 . 2 T h e S t r u c t u r e o f t h e f r o n t

3 . 3 R e s t r u c t u r i n g t h e f r o n t

3 . 4 S m o o t h i n g t h e f r o n t o n t o t h e x e d g r i d

3 . 5 U p d a t i n g t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s

3 . 6 C o m p u t i n g s u r f a c e t e n s i o n

3 . 7 S o l v i n g t h e p r e s s u r e e q u a t i o n

3 . 8 A d v a n c i n g t h e f r o n t

3 . 9 C h a n g i n g t h e f r o n t t o p o l o g y

3 . 1 0 P a r a l l e l i z a t i o n a n d a d a p t i v e g r i d s

4 . V A L I D A T I O N S

5 . A P P L I C A T I O N S

5 . 1 H o m o g e n e o u s b u b b l y o w s

5 . 2 A t o m i z a t i o n

5 . 3 V a r i a b l e s u r f a c e t e n s i o n

5 . 4 S o l i d i c a t i o n

5 . 5 B o i l i n g o w s

6 . C O N C L U S I O N

7 . R E F E R E N C E S

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2 T R Y G G V A S O N E T A L .

D i r e c t n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o f m u l t i p h a s e o w s , u s i n g a f r o n t t r a c k -

i n g m e t h o d , a r e p r e s e n t e d . T h e m e t h o d i s b a s e d o n w r i t i n g o n e s e t o f

g o v e r n i n g e q u a t i o n s f o r t h e w h o l e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n a n d t r e a t i n g t h e

d i e r e n t p h a s e s a s o n e u i d w i t h v a r i a b l e m a t e r i a l p r o p e r t i e s . I n t e r f a c i a l

t e r m s a r e a c c o u n t e d f o r b y a d d i n g t h e a p p r o p r i a t e s o u r c e s a s - f u n c t i o n s a t

t h e b o u n d a r y s e p a r a t i n g t h e p h a s e s . T h e u n s t e a d y N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s

a r e s o l v e d b y a c o n v e n t i o n a l n i t e v o l u m e m e t h o d o n a x e d , s t r u c t u r e d

g r i d a n d t h e i n t e r f a c e , o r f r o n t , i s t r a c k e d e x p l i c i t l y b y c o n n e c t e d m a r k e r

p o i n t s . I n t e r f a c i a l s o u r c e t e r m s s u c h a s s u r f a c e t e n s i o n a r e c o m p u t e d o n t h e

f r o n t a n d t r a n s f e r r e d t o t h e x e d g r i d . A d v e c t i o n o f u i d p r o p e r t i e s s u c h a s

d e n s i t y i s d o n e b y f o l l o w i n g t h e m o t i o n o f t h e f r o n t . T h e m e t h o d h a s b e e n

i m p l e m e n t e d f o r f u l l y t h r e e - d i m e n s i o n a l o w s a s w e l l a s t w o - d i m e n s i o n a l

a n d a x i s y m m e t r i c o n e s . F i r s t t h e m e t h o d i s d e s c r i b e d f o r t h e o w o f t w o o r

m o r e i s o t h e r m a l p h a s e s . T h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e m o v i n g i n t e r f a c e , a n d

i t s d y n a m i c r e s t r u c t u r i n g , a s w e l l a s t h e t r a n s f e r o f i n f o r m a t i o n b e t w e e n

t h e m o v i n g f r o n t a n d t h e x e d g r i d a r e d i s c u s s e d . A p p l i c a t i o n s a n d e x t e n -

s i o n s o f t h e m e t h o d t o h o m o g e n e o u s b u b b l y o w s , a t o m i z a t i o n , o w s w i t h

v a r i a b l e s u r f a c e t e n s i o n , s o l i d i c a t i o n , a n d b o i l i n g , a r e t h e n p r e s e n t e d .

1 . I N T R O D U C T I O N

A l t h o u g h e o r t s t o c o m p u t e t h e m o t i o n o f m u l t i p h a s e o w s a r e a s o l d a s c o m -

p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s , t h e d i c u l t y i n s o l v i n g t h e f u l l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s

i n t h e p r e s e n c e o f a d e f o r m i n g p h a s e b o u n d a r y h a s p r o v e n t o b e c o n s i d e r a b l e .

P r o g r e s s w a s t h e r e f o r e s l o w a n d s i m u l a t i o n s o f n i t e R e y n o l d s n u m b e r m u l t i p h a s e

o w s w e r e , f o r a l o n g t i m e , l i m i t e d t o v e r y s i m p l e p r o b l e m s . I n t h e l a s t f e w y e a r s ,

h o w e v e r , m a j o r p r o g r e s s h a s b e e n a c h i e v e d . H e r e , w e d e s c r i b e a m e t h o d t h a t h a s

b e e n p a r t i c u l a r l y s u c c e s s f u l f o r a w i d e r a n g e o f m u l t i u i d a n d m u l t i p h a s e o w s .

B e f o r e w e s t a r t d i s c u s s i n g o u r m e t h o d , w e w i l l b r i e y r e v i e w o t h e r t e c h n i q u e s .

T h e o l d e s t a n d s t i l l t h e m o s t p o p u l a r a p p r o a c h t o c o m p u t e m u l t i u i d a n d m u l -

t i p h a s e o w s i s t o c a p t u r e t h e f r o n t d i r e c t l y o n a r e g u l a r , s t a t i o n a r y g r i d . T h e

M a r k e r - A n d - C e l l ( M A C ) m e t h o d , w h e r e m a r k e r p a r t i c l e s a r e u s e d t o i d e n t i f y e a c h

u i d , a n d t h e V o l u m e - O f - F l u i d ( V O F ) m e t h o d , w h e r e a m a r k e r f u n c t i o n i s u s e d , a r e

t h e b e s t k n o w n e x a m p l e s . T r a d i t i o n a l l y , t h e m a i n d i c u l t y i n u s i n g t h e s e m e t h o d s

h a s b e e n t h e m a i n t e n a n c e o f a s h a r p b o u n d a r y b e t w e e n t h e d i e r e n t u i d s a n d t h e

c o m p u t a t i o n o f t h e s u r f a c e t e n s i o n . A n u m b e r o f r e c e n t d e v e l o p m e n t s , i n c l u d i n g

a t e c h n i q u e t o i n c l u d e s u r f a c e t e n s i o n d e v e l o p e d b y B r a c k b i l l , K o t h e , a n d Z e m a c h

( 1 9 9 2 ) , t h e u s e o f s u b - c e l l s t o i m p r o v e t h e r e s o l u t i o n o f t h e i n t e r f c a c e ( C h e n e t a l .

1 9 9 7 ) a n d t h e u s e o f \ l e v e l s e t s " ( s e e , e . g . S u s s m a n , S m e r e k a , a n d O s h e r , 1 9 9 4 ) t o

m a r k t h e u i d i n t e r f a c e , h a v e i n c r e a s e d t h e a c c u r a c y a n d t h e r e f o r e t h e a p p l i c a b i l i t y

o f t h i s a p p r o a c h . A r e v i e w o f t h e V O F m e t h o d c a n b e f o u n d i n S c a r d o v e l l i a n d

Z a l e s k i ( 1 9 9 9 ) . T h e l e v e l s e t m e t h o d i s r e v i e w e d b y O s h e r a n d F e d k i w ( 2 0 0 1 ) a n d

b y S e t h i a n ( 2 0 0 1 ) . R e c e n t a d d i t i o n s t o t h e c o l l e c t i o n o f m e t h o d s t h a t c a p t u r e u i d

i n t e r f a c e s o n a x e d g r i d i n c l u d e t h e C I P m e t h o d o f Y a b e ( 1 9 9 7 ) a n d t h e p h a s e e l d


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F R O N T T R A C K I N G 3

m e t h o d o f J a c q m i n ( 1 9 9 9 ) . B o t h a r e r e v i e w e d i n t h e p r e s e n t i s s u e ( Y a b e , X i a o , a n d

U t s u m i , 2 0 0 1 a n d J a m e t , L e b a i g u e , C o u t r i s , a n d D e l h a y e ( 2 0 0 1 ) .

T h e s e c o n d c l a s s o f m e t h o d s , a n d t h e o n e t h a t o e r s t h e p o t e n t i a l l y h i g h e s t a c c u -

r a c y , u s e s s e p a r a t e , b o u n d a r y t t e d g r i d s f o r e a c h p h a s e . T h e s t e a d y r i s e o f b u o y -

a n t , d e f o r m a b l e , a x i s y m m e t r i c b u b b l e s w a s s i m u l a t e d b y R y s k i n a n d L e a l ( 1 9 8 4 )

u s i n g t h i s m e t h o d i n a l a n d m a r k p a p e r t h a t h a d a m a j o r i m p a c t o n s u b s e q u e n t

d e v e l o p m e n t . S e v e r a l t w o - d i m e n s i o n a l a n d a x i s y m m e t r i c c o m p u t a t i o n s o f b o t h t h e

s t e a d y a n d t h e u n s t e a d y m o t i o n o f o n e o r t w o u i d p a r t i c l e s o r f r e e s u r f a c e s c a n

b e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e . T h i s m e t h o d i s b e s t s u i t e d f o r r e l a t i v e l y s i m p l e g e o m e -

t r i e s , a n d a p p l i c a t i o n s t o c o m p l e x f u l l y t h r e e - d i m e n s i o n a l p r o b l e m s w i t h u n s t e a d y

d e f o r m i n g p h a s e b o u n d a r i e s a r e v e r y r a r e . T h e s i m u l a t i o n o f a s i n g l e u n s t e a d y

t h r e e - d i m e n s i o n a l b u b b l e b y T a k a g i a n d M a t s u m o t o ( 1 9 9 6 ) i s , p e r h a p s , t h e m o s t

i m p r e s s i v e e x a m p l e .

T h e t h i r d c l a s s i s L a g r a n g i a n m e t h o d s w h e r e t h e g r i d f o l l o w s t h e u i d . E x a m p l e s

o f t h i s a p p r o a c h i n c l u d e t h e t w o - d i m e n s i o n a l c o m p u t a t i o n s o f t h e b r e a k u p o f a d r o p

b y O r a n a n d B o r i s ( 1 9 8 7 ) t h e e x a m i n a t i o n o f t h e i n i t i a l d e f o r m a t i o n o f a b u o y a n t

b u b b l e b y S h o p o v e t a l ( 1 9 9 0 ) s i m u l a t i o n s o f t h e u n s t e a d y t w o - d i m e n s i o n a l m o t i o n

o f s e v e r a l p a r t i c l e s b y F e n g , H u , a n d J o s e p h ( 1 9 9 4 , 1 9 9 5 ) a n d H u ( 1 9 9 6 ) a n d

a x i s y m m e t r i c c o m p u t a t i o n s o f t h e c o l l i s i o n o f a s i n g l e d r o p w i t h a w a l l b y F u k a i

e t a l . ( 1 9 9 5 ) . W h i l e t h i s a p p e a r s t o b e a f a i r l y c o m p l e x a p p r o a c h , J o h n s o n a n d

T e z d u y a r ( 1 9 9 7 ) a n d H u , P a t a n k a r , a n d Z h u ( 2 0 0 0 ) h a v e r e c e n t l y p r o d u c e d v e r y

i m p r e s s i v e r e s u l t s f o r t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l u n s t e a d y m o t i o n o f m a n y s p h e r i c a l

p a r t i c l e s .

T h e f o u r t h c a t e g o r y i s f r o n t t r a c k i n g w h e r e a s e p a r a t e f r o n t m a r k s t h e i n t e r f a c e

b u t a x e d g r i d , o n l y m o d i e d n e a r t h e f r o n t t o m a k e a g r i d l i n e f o l l o w t h e i n t e r f a c e ,

i s u s e d f o r t h e u i d w i t h i n e a c h p h a s e . T h i s m a i n d e v e l o p e r o f t h i s a p p r o a c h h a s

b e e n G l i m m a n d c o l l a b o r a t o r s ( s e e , G l i m m , G r o v e , L i , O h , a n d S h a r p , 2 0 0 1 , i n t h i s

i s s u e ) . I n a d d i t i o n t o f r o n t t r a c k i n g m e t h o d s t h a t a r e , i n p r i n c i p l e , a p p l i c a b l e t o

t h e f u l l N a v i e r S t o k e s e q u a t i o n s , s p e c i a l i z e d b o u n d a r y i n t e g r a l m e t h o d s h a v e b e e n

u s e d f o r b o t h i n v i s c i d a n d S t o k e s o w s . F o r a r e v i e w o f S t o k e s o w c o m p u t a t i o n s ,

s e e P o z r i k i d i s ( 2 0 0 1 ) a n d f o r a r e v i e w o f c o m p u t a t i o n s o f i n v i s c i d o w s s e e H o u ,

L o w e n g r o u b , a n d S h e l l e y ( 2 0 0 1 ) .

T h e m e t h o d d e s c r i b e d i n t h i s p a p e r i s p r o p e r l y d e s c r i b e d a s a h y b r i d b e t w e e n a

f r o n t c a p t u r i n g a n d a f r o n t t r a c k i n g t e c h n i q u e . A s t a t i o n a r y r e g u l a r g r i d i s u s e d

f o r t h e u i d o w , b u t t h e i n t e r f a c e i s t r a c k e d b y a s e p a r a t e g r i d o f l o w e r d i m e n s i o n .

H o w e v e r , u n l i k e f r o n t t r a c k i n g m e t h o d s w h e r e e a c h p h a s e i s t r e a t e d s e p a r a t e l y , a l l

p h a s e s a r e t r e a t e d t o g e t h e r b y s o l v i n g a s i n g l e s e t o f g o v e r n i n g e q u a t i o n s f o r t h e

w h o l e o w e l d . A l t h o u g h t h e i d e a o f u s i n g o n l y o n e s e t o f e q u a t i o n s f o r m a n y

c o - o w i n g p h a s e s i s a n o l d o n e , t h e m e t h o d d e s c r i b e d h e r e i s a d i r e c t d e s c e n d a n t

o f a V o r t e x - I n - C e l l t e c h n i q u e f o r i n v i s c i d m u l t i u i d o w s d e s c r i b e d i n T r y g g v a s o n

a n d A r e f ( 1 9 8 3 ) a n d T r y g g v a s o n ( 1 9 8 8 ) a n d t h e i m m e r s e d b o u n d a r y m e t h o d o f

P e s k i n ( 1 9 7 7 ) d e v e l o p e d t o p u t m o v i n g b o u n d a r i e s i n t o n i t e R e y n o l d s n u m b e r

h o m o g e n e o u s u i d s . T h e o r i g i n a l v e r s i o n o f t h e m e t h o d a n d a f e w s a m p l e c o m p u -

t a t i o n s w e r e p r e s e n t e d b y U n v e r d i a n d T r y g g v a s o n ( 1 9 9 2 ) . S e v e r a l m o d i c a t i o n s

a n d i m p r o v e m e n t s a r e d e s c r i b e d h e r e .

T h i s m e t h o d h a s b e e n u s e d t o e x a m i n e m a n y a s p e c t s o f b u b b l y o w s . U n -

v e r d i a n d T r y g g v a s o n ( 1 9 9 2 a , b ) c o m p u t e d t h e i n t e r a c t i o n s o f t w o , t w o - a n d t h r e e -


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F R O N T T R A C K I N G 7

x i s a p o i n t o n t h e f r o n t . F o r m a l l y , t h e i n t e g r a l i s o v e r t h e e n t i r e f r o n t , t h e r e b y

a d d i n g t h e d e l t a f u n c t i o n s t o g e t h e r t o c r e a t e a f o r c e t h a t i s c o n c e n t r a t e d a t t h e

i n t e r f a c e , b u t s m o o t h a l o n g t h e i n t e r f a c e . S i n c e t h e - f u n c t i o n h a s a n i t e s u p p o r t ,

i n t e g r a t i n g o v e r t h e e n t i r e f r o n t f o r e v e r y p o i n t i n t h e o w i s n e i t h e r p r a c t i c a l n o r

n e c e s s a r y . I t i s p o s s i b l e t o r e w r i t e t h e s u r f a c e t e n s i o n t e r m i n o t h e r w a y s , a n d i n

t h e n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n w e u s e a d i e r e n t b u t e q u i v a l e n t e x p r e s s i o n f o r t h e

s u r f a c e t e n s i o n .

M a s s c o n s e r v a t i o n i s g i v e n b y

@

@ t

+ r u = 0 ( 7 )

I n a l m o s t a l l t h e p r o b l e m s t h a t w e h a v e c o n s i d e r e d s o f a r , t h e u i d s a r e t a k e n t o

b e i n c o m p r e s s i b l e s o t h a t t h e d e n s i t y o f a u i d p a r t i c l e r e m a i n s c o n s t a n t :

D

D t

= 0 ( 8 )

T h i s r e d u c e s t h e m a s s c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n t o

r u = 0 ( 9 )

U s u a l l y , w e a l s o t a k e t h e v i s c o s i t y i n e a c h u i d t o b e c o n s t a n t :

D

D t

= 0 ( 1 0 )

T h i s f o r m u l a t i o n i m p l i c i t l y c o n t a i n s t h e s a m e c o n d i t i o n s a t t h e i n t e r f a c e a s f o u n d

i n s t a n d a r d r e f e r e n c e s . T o d e m o n s t r a t e t h a t , w e m o v e t o a f r a m e m o v i n g w i t h t h e

i n t e r f a c e a n d i n t e g r a t e t h e e q u a t i o n s o v e r a s m a l l v o l u m e e n c l o s i n g t h e i n t e r f a c e .

A s w e s h r i n k t h e v o l u m e , m o s t o f t h e t e r m s g o t o z e r o a n d o n l y g r a d i e n t t e r m s

s u r v i v e . I n t e g r a t i n g t h e n o r m a l c o m p o n e n t y i e l d s

; P + ( r u + r

T

u )

n = n ( 1 1 )

w h e r e t h e b r a c k e t s d e n o t e t h e j u m p a c r o s s t h e i n t e r f a c e . T h i s i s , o f c o u r s e , t h e

u s u a l s t a t e m e n t o f c o n t i n u i t y o f s t r e s s e s a t a u i d b o u n d a r y , s h o w i n g t h a t t h e n o r -

m a l s t r e s s e s a r e b a l a n c e d b y s u r f a c e t e n s i o n . I n t e g r a t i n g t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t

s h o w s t h a t t h e t a n g e n t i a l s t r e s s e s a r e c o n t i n u o u s a n d i n t e g r a t i n g t h e m a s s c o n -

s e r v a t i o n e q u a t i o n a c r o s s t h e i n t e r f a c e s h o w s t h a t t h e n o r m a l v e l o c i t i e s a r e a l s o

c o n t i n u o u s .

3 . N U M E R I C A L I M P L E M E N T A T I O N

T h e f o r m u l a t i o n d e s c r i b e d a b o v e a l l o w s m u l t i p h a s e o w s t o b e t r e a t e d a l o n g t h e

l i n e s u s u a l l y u s e d f o r h o m o g e n e o u s o w s . O n c e t h e m a t e r i a l b o u n d a r y h a s b e e n

a d v e c t e d a n d t h e s u r f a c e t e n s i o n f o u n d , a n y s t a n d a r d a l g o r i t h m b a s e d o n x e d g r i d s

c a n , i n p r i n c i p l e , b e u s e d t o i n t e g r a t e t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i n t i m e . F i g u r e

1 s u m m a r i z e s t h e a p p r o a c h : A x e d g r i d i s u s e d f o r t h e c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n s b u t

a m o v i n g g r i d o f l o w e r d i m e n s i o n m a r k s t h e b o u n d a r y b e t w e e n t h e d i e r e n t p h a s e s .


8/58

8 T R Y G G V A S O N E T A L .

Fluid 1

Fluid 2

Fixed Grid

Front

F I G . 1 . C o m p u t a t i o n s o f o w c o n t a i n i n g m o r e t h a n o n e p h a s e . T h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s

a r e s o l v e d o n a x e d g r i d b u t t h e p h a s e b o u n d a r y i s r e p r e s e n t e d b y a m o v i n g \ f r o n t , " c o n s i s t i n g

o f c o n n e c t e d m a r k e r p o i n t s .

3 . 1 . I n t e g r a t i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s

T h e e q u a t i o n s p r e s e n t e d i n t h e l a s t s e c t i o n a r e u s u a l l y s o l v e d b y a p r o j e c t i o n

m e t h o d . A l t h o u g h m o s t o f o u r s t u d i e s u s e a s e c o n d o r d e r t i m e i n t e g r a t i o n , w e w i l l

o u t l i n e h e r e a v e r y c o n v e n t i o n a l r s t o r d e r s c h e m e : F i r s t t h e d e n s i t y i s u p d a t e d

u s i n g t h e v e l o c i t y a t t h e c u r r e n t t i m e ,

n + 1

= f (

n

u

n

t ) ( 1 2 )

I n o u r m e t h o d , t h i s i s a c c o m p l i s h e d b y r s t m o v i n g t h e f r o n t a n d t h e n c o n s t r u c t i n g

a g r i d - d e n s i t y e l d t o m a t c h t h e l o c a t i o n o f t h e f r o n t . B o t h t h e s e o p e r a t i o n s w i l l b e

d e s c r i b e d i n l a t e r s e c t i o n s a n d e q u a t i o n ( 1 2 ) i s m e r e l y a s y m b o l i c w a y o f e x p r e s s i n g

w h a t i s d o n e . H e r e , n d e n o t e s t h e o l d t i m e l e v e l a n d n + 1 t h e n e w o n e . O n c e t h e

d e n s i t y h a s b e e n u p d a t e d , t h e v e l o c i t y e l d c a n b e c o m p u t e d . T h e s t a n d a r d w a y

i s t o s p l i t t h e u p d a t e i n t o t w o p a r t s . T h e r s t i s a p r e d i c t i o n s t e p w h e r e t h e e e c t

o f t h e p r e s s u r e i s i g n o r e d :

n + 1

u

;

n

u

n

t

= ; r

h

n

u

n

u

n

+ r

h

n

( r

h

u

n

+ r

T

h

u

n

) + F

( 1 3 )

T h e s e c o n d i s a c o r r e c t i o n s t e p , w h e r e t h e p r e s s u r e g r a d i e n t i s a d d e d :

n + 1

u

n + 1

;

n + 1

u

t

= ; r

h

P ( 1 4 )

H e r e , F

s t a n d s f o r b o d y f o r c e s a n d t h e s u r f a c e t e n s i o n a n d t h e s u b s c r i p t h d e n o t e s

a n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n . T h e p r e s s u r e i s d e t e r m i n e d i n s u c h a w a y t h a t t h e

v e l o c i t y a t t h e n e w t i m e s t e p i s d i v e r g e n c e f r e e :

r

h

u

n + 1

= 0 ( 1 5 )


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10/58

1 0 T R Y G G V A S O N E T A L .

1

2

elements

pointers to end points

element i

1

2 33

2

21

1

element i

pointers to corner points

(a) (b)

pointers to adjacent

pointers to adjacentelements

F I G . 2 . S t r u c t u r e o f t h e f r o n t . P o i n t s a n d e l e m e n t s a r e s t o r e d i n a l i n k e d l i s t . O n l y t h e

c o o r d i n a t e s a r e s t o r e d f o r t h e p o i n t s , b u t e l e m e n t s h a v e p o i n t e r s t o t h e p o i n t s a n d t h e a d j a c e n t

e l e m e n t s . ( a ) T w o - d i m e n s i o n a l f r o n t . ( b ) T h r e e - d i m e n s i o n a l f r o n t .

T h r e e - d i m e n s i o n a l f r o n t s a r e b u i l t i n t h e s a m e w a y , e x c e p t t h a t t h r e e p o i n t s a r e

n o w c o n n e c t e d b y a t r i a n g u l a r e l e m e n t . T h e p o i n t s , a g a i n , o n l y k n o w a b o u t t h e i r

c o o r d i n a t e s b u t t h e e l e m e n t s k n o w a b o u t t h e i r c o r n e r p o i n t s a n d t h e e l e m e n t s t h a t

s h a r e t h e i r e d g e s . E a c h e l e m e n t h a s a n \ o u t s i d e " a n d a n \ i n s i d e " a n d a l l e l e m e n t s

o n a g i v e n f r o n t m u s t b e o r i e n t e d i n t h e s a m e w a y . F i g u r e 2 ( b ) s h o w s t h e k e y

v a r i a b l e s t h a t a r e s t o r e d f o r a t h r e e - d i m e n s i o n a l f r o n t .

W h e n i n f o r m a t i o n i s t r a n s f e r r e d b e t w e e n t h e f r o n t a n d t h e x e d g r i d i t i s e a s i e s t

t o a l w a y s g o f r o m t h e f r o n t t o t h e g r i d a n d n o t t h e o t h e r w a y a r o u n d . S i n c e t h e

x e d g r i d i s s t r u c t u r e d a n d r e g u l a r , i t i s v e r y s i m p l e t o d e t e r m i n e t h e p o i n t o n t h e

x e d g r i d t h a t i s c l o s e s t t o a g i v e n f r o n t p o s i t i o n . I f w e d e n o t e t h e t o t a l n u m b e r o f

g r i d p o i n t s i n o n e d i r e c t i o n b y N X , t h e t o t a l l e n g t h o f t h e d o m a i n b y L

x

, a n d w e

a s s u m e t h a t i = 0 c o r r e s p o n d s t o x = 0 , t h e n t h e g r i d p o i n t t o t h e l e f t o f a p o i n t

a t x i s g i v e n b y :

i = i n t ( x N X = L

x

) ( 1 7 )

I f t h e l e f t h a n d s i d e o f t h e g r i d i s d e n o t e d b y i = 1 , i n s t e a d o f 0 , o r i f t h e g r i d s

a r e s t a g g e r e d , s m a l l m o d i c a t i o n s a r e o b v i o u s l y n e e d e d . A l t h o u g h i t i s p o s s i b l e t o

n d t h e f r o n t p o i n t c l o s e s t t o a g i v e n g r i d p o i n t i n a r e l a t i v e l y e c i e n t w a y , i t i s a

m u c h m o r e c o m p l e x o p e r a t i o n a n d w e c a n e a s i l y a v o i d i t c o m p l e t e l y .

I n m a n y c a s e s w e w i s h t o s i m u l a t e p e r i o d i c d o m a i n s w h e r e t h e f r o n t c a n m o v e

o u t o f t h e d o m a i n o n o n e s i d e a n d r e a p p e a r i n t h r o u g h t h e o t h e r s i d e . T h i s c a n

b e d o n e i n a v e r y s i m p l e w a y b y r e c o g n i z i n g t h a t t h e r e i s n o n e e d f o r t h e f r o n t t o

o c c u p y t h e s a m e p e r i o d a s t h e x e d g r i d . A l l t h a t i s n e e d e d i s t o c o r r e c t l y i d e n t i f y

t h e g r i d p o i n t t h a t c o r r e s p o n d s t o a g i v e n f r o n t p o s i t i o n . A s l i g h t m o d i c a t i o n o f

t h e o p e r a t i o n a b o v e a c c o m p l i s h e s t h i s :

i = i n t ( a m o d ( x L

x

) N X = L

x

) ( 1 8 )

F o r c l o s e d f r o n t s , s u c h a s t h o s e r e p r e s e n t i n g t h e s u r f a c e o f a b u b b l e o r a d r o p ,

n o t h i n g e l s e n e e d s t o b e c h a n g e d . F o r p e r i o d i c f r o n t s , t h e e n d p o i n t i n o n e p e r i o d

i s c o n n e c t e d t o t h e r s t p o i n t i n t h e n e x t p e r i o d a n d w h e n c o m p u t i n g t h e l e n g t h

o r a r e a o f s u c h e l e m e n t s , o r a l i n e o r a s u r f a c e i s t t e d t h r o u g h t h e e n d p o i n t s , i t

i s n e c e s s a r y t o c o r r e c t f o r t h e p o s i t i o n s o f t h e p o i n t s .

I f a f r o n t i n t e r s e c t s a w a l l , w e u s u a l l y p u t a p o i n t a t t h e w a l l a n d a g h o s t p o i n t

o u t s i d e t h e w a l l . T h e g h o s t p o i n t i s c o n n e c t e d t o t h e p o i n t o n t h e w a l l b y a g h o s t


11/58

F R O N T T R A C K I N G 1 1

e l e m e n t . T h e s e g h o s t o b j e c t s a r e n o t i n c l u d e d i n t h e f r o n t t h a t d e s c r i b e s t h e p h a s e

b o u n d a r y , b u t t h e f r o n t e l e m e n t c o n n e c t e d t o t h e w a l l p o i n t t r e a t s t h e g h o s t e l e m e n t

a s i t s n e i g h b o r . T h e g h o s t o b j e c t s f o r m a ( u s u a l l y s m a l l ) l i n k e d l i s t t h a t a l l o w s u s

t o a c c e s s t h e m i n t h e s a m e w a y a s t h e r e g u l a r f r o n t e l e m e n t s . T h e p o s i t i o n o f t h e

g h o s t p o i n t i s a d j u s t e d i n s u c h a w a y t h a t t h e f r o n t t a n g e n t a t t h e w a l l p o i n t h a s t h e

d e s i r e d v a l u e . F o r a f u l l s l i p w a l l , o r a s y m m e t r y b o u n d a r y , w e u s u a l l y a s s u m e t h a t

t h e f r o n t t a n g e n t i s n o r m a l t o t h e b o u n d a r y . W e h a v e n o t s i m u l a t e d a n y p r o b l e m s

w i t h a m o v i n g c o n t a c t l i n e , b u t i n t h a t c a s e t h e a n g l e b e t w e e n t h e f r o n t a n d t h e

w a l l w o u l d u s u a l l y b e a f u n c t i o n o f t h e v e l o c i t y o f t h e c o n t a c t l i n e .

T h e s t r a t e g y f o r i d e n t i f y i n g t h e x e d g r i d p o i n t c l o s e s t t o a g i v e n f r o n t p o i n t

w o r k s a l s o o n i r r e g u l a r g r i d s , a s l o n g a s t h e y a r e l o g i c a l l y r e c t a n g u l a r a n d c a n b e

m a p p e d i n t o a r e c t a n g l e . I n t h o s e c a s e s w e s i m p l y s t o r e t h e m a p p e d c o o r d i n a t e s o f

e a c h f r o n t p o i n t a n d u s e t h o s e w h e n w e n e e d t o t r a n s f e r i n f o r m a t i o n b e t w e e n t h e

x e d g r i d a n d t h e m o v i n g f r o n t .

3 . 3 . R e s t r u c t u r i n g t h e f r o n t

A s t h e f r o n t m o v e s , i t d e f o r m s a n d s t r e t c h e s . T h e r e s o l u t i o n o f s o m e p a r t s o f

t h e f r o n t c a n b e c o m e i n a d e q u a t e , w h i l e o t h e r p a r t s b e c o m e c r o w d e d w i t h f r o n t

e l e m e n t s . T o m a i n t a i n a c c u r a c y , a d d i t i o n a l e l e m e n t s m u s t e i t h e r b e a d d e d w h e n

t h e s e p a r a t i o n o f p o i n t s b e c o m e s t o o l a r g e o r t h e p o i n t s m u s t b e r e d i s t r i b u t e d

t o m a i n t a i n a d e q u a t e r e s o l u t i o n . I t i s g e n e r a l l y a l s o d e s i r a b l e t o r e m o v e s m a l l

e l e m e n t s . I n a d d i t i o n t o r e d u c i n g t h e t o t a l n u m b e r o f e l e m e n t s u s e d t o r e p r e s e n t

t h e f r o n t , e l e m e n t r e m o v a l u s u a l l y a l s o p r e v e n t s t h e f o r m a t i o n o f \ w i g g l e s " m u c h

s m a l l e r t h a n t h e g r i d s i z e .

W h i l e t h e r e s t r u c t u r i n g o f t h e f r o n t m a k e s c o d e s t h a t u s e e x p l i c i t t r a c k i n g m o r e

c o m p l e x t h a n f r o n t c a p t u r i n g c o d e s , m a n y o f t h e n e c e s s a r y o p e r a t i o n s c a n b e m a d e

r e l a t i v e l y s t r a i g h t f o r w a r d b y t h e u s e o f a s u i t a b l e d a t a s t r u c t u r e . I n s o m e o f o u r

e a r l y t w o - d i m e n s i o n a l c o m p u t a t i o n s , w e a d j u s t e d t h e p o s i t i o n o f a l l t h e i n t e r f a c e

p o i n t s e i t h e r a t e v e r y t i m e s t e p o r a t e v e r y f e w t i m e s t e p t o m a i n t a i n n e a r l y u n i f o r m

s p a c i n g . T h i s i s , h o w e v e r , n o t n e c e s s a r y a n d c u r r e n t l y w e a d d a n d r e m o v e p o i n t s

w h e r e n e e d e d . I n t w o - d i m e n s i o n s t h e r e s t r u c t u r i n g i s r e l a t i v e l y s i m p l e : W e s p l i t a

l a r g e e l e m e n t b y i n s e r t i n g a p o i n t a n d w e d e l e t e a n e l e m e n t b y r e m o v i n g a p o i n t .

A l t h o u g h w e s o m e t i m e s p u t a n e w p o i n t a t t h e m i d - p o i n t b e t w e e n t h e o l d e n d - p o i n t s

o f a n e l e m e n t u s i n g l i n e a r i n t e r p o l a t i o n , w e u s u a l l y a c c o u n t f o r t h e c u r v a t u r e o f t h e

f r o n t b y u s i n g a h i g h e r o r d e r i n t e r p o l a t i o n . T h i s i s p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t w h e n

s u r f a c e t e n s i o n i s l a r g e a n d n o n - s m o o t h p a r t s o f t h e f r o n t c a n l e a d t o l a r g e p r e s s u r e

u c t u a t i o n s . A s i m p l e L e g e n d r e i n t e r p o l a t i o n u s u a l l y w o r k s w e l l .

F o r t h r e e - d i m e n s i o n a l o w s , t h e r e s t r u c t u r i n g i s m o r e c o m p l i c a t e d . N o t o n l y a r e

t h e r e s e v e r a l d i e r e n t w a y s t o a d d a n d d e l e t e p o i n t s , b u t o t h e r a s p e c t s o f t h e f r o n t ,

s u c h a s t h e s h a p e a n d t h e c o n n e c t i v i t y o f t h e e l e m e n t s m u s t a l s o b e c o n s i d e r e d .

A d d i n g a n d d e l e t i n g e l e m e n t s c a n b e d o n e i n a v a r i e t y o f w a y s . F i g u r e 3 s h o w s o u r

u s u a l s t r a t e g y . I f a n e l e m e n t i s t o o l a r g e , w e s p l i t t h e l o n g e s t e d g e i n t o t w o a n d

r e p l a c e b o t h t h i s e l e m e n t a n d t h e o n e s h a r i n g t h e l o n g e d g e b y f o u r n e w e l e m e n t s .

S i m i l a r l y , e l e m e n t s a r e d e l e t e d t w o a t a t i m e b y c o l l a p s i n g t h e s h o r t e s t e d g e i n t o

a p o i n t . S o m e t i m e s w e a l s o r e c o n n e c t t h e p o i n t s b y s w a p p i n g e d g e s t o m a k e t h e

e l e m e n t s b e t t e r s h a p e d . I n m a n y s i m u l a t i o n s w e d o n o t d o t h i s s i n c e i t i s p o s s i b l e t o


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e1e2

new 1new 2

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e3e4

e1e2

e5e6

e5

e6

e7

e7

e1 e2

e1

e2

F I G . 3 . T h e r e s t r u c t u r i n g o f a t h r e e - d i m e n s i o n a l f r o n t . T w o e l e m e n t s a r e a d d e d b y i n s e r t i n g

o n e n e w p o i n t . S i m i l a r l y , t w o e l e m e n t s a r e d e l e t e d b y m e a r g i n g t w o p o i n t s i n t o o n e .

s h o w t h a t a c o m b i n a t i o n o f e l e m e n t i n s e r t i o n a n d d e l e t i o n w i l l h a v e a p p r o x i m a t e l y

t h e s a m e e e c t .

T o d e t e r m i n e w h e n i t i s n e c e s s a r y t o a d d o r d e l e t e a n e l e m e n t , w e e i t h e r d e n e a

m i n i m u m a n d a m a x i m u m e l e m e n t s i z e o r a m i n i m u m a n d a m a x i m u m e d g e l e n g t h .

I f t h e s i z e o f a n e l e m e n t o r a n e d g e e x c e e d s t h e s e l i m i t s w e t a k e a c t i o n . T h e l i m i t s

a r e s e l e c t e d s u c h t h a t t h e r e s o l u t i o n o f t h e f r o n t i s c o m p a r a b l e t o t h e x e d g r i d .

I n t w o - d i m e n s i o n , 2 - 4 e l e m e n t s p e r g r i d m e s h i s a g o o d r u l e o f t h u m b . F o r t h r e e -

d i m e n s i o n a l e l e m e n t s w e h a v e f o u n d t h a t a m i n i m u m e d g e l e n g t h o f h = 3 a n d a

m a x i m u m l e n g t h o f h u s u a l l y w o r k s w e l l . A d d i t i o n a l c h e c k s , s u c h a s m a k i n g s u r e

t h a t a d e l e t i o n o r a d d i t i o n d o e s n o t r e s u l t i n p o o r l y s h a p e d o r p o o r l y c o n n e c t e d

e l e m e n t s , a r e u s u a l l y a l s o n e c e s s a r y . W e d o , f o r e x a m p l e , n o t a l l o w r e s t r u c t u r i n g

t h a t r e s u l t s i n e l e m e n t s a d j a c e n t t o a g i v e n e l e m e n t h a v i n g m o r e t h a n o n e c o m m o n

p o i n t ( t h e o n e s h a r e d b y t h e o r i g i n a l e l e m e n t ) .

3 . 4 . S m o o t h i n g t h e f r o n t p r o p e r t i e s o n t o t h e x e d g r i d

S i n c e t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e s o l v e d o n a x e d g r i d b u t s u r f a c e t e n s i o n

i s f o u n d o n t h e f r o n t , i t i s n e c e s s a r y t o c o n v e r t a q u a n t i t y t h a t e x i s t s a t t h e f r o n t t o

a g r i d v a l u e . W h e n t h e d e n s i t y g r a d i e n t i s u s e d t o r e c o n s t r u c t t h e p r o p e r t y e l d s

o n t h e x e d g r i d , i t m u s t a l s o b e t r a n s f e r r e d t o t h e g r i d . S i n c e t h e f r o n t r e p r e s e n t s

a - f u n c t i o n , t h e t r a n s f e r c o r r e s p o n d s t o t h e c o n s t r u c t i o n o f a n a p p r o x i m a t i o n t o

t h i s - f u n c t i o n o n t h e x e d g r i d . T h i s \ s m o o t h i n g " c a n b e d o n e i n s e v e r a l d i e r e n t

w a y s , b u t i t i s a l w a y s n e c e s s a r y t o e n s u r e t h a t t h e q u a n t i t y t r a n s f e r r e d i s c o n s e r v e d .

T h e i n t e r f a c e q u a n t i t y ,

f

, i s u s u a l l y e x p r e s s e d i n u n i t s p e r a r e a ( o r l e n g t h i n t w o -

d i m e n s i o n s ) , b u t t h e g r i d v a l u e ,

g

, s h o u l d b e g i v e n i n t e r m s o f u n i t s p e r v o l u m e .


13/58


T o e n s u r e t h a t t h e t o t a l v a l u e i s c o n s e r v e d i n t h e s m o o t h i n g , w e m u s t t h e r e f o r e

r e q u i r e t h a t :

Z

s

f

( s ) d s =

Z

v

g

( x ) d v ( 1 9 )

T h i s i s a c c o m p l i s h e d b y w r i t i n g

i j k

=

X

w

i j k

s

h

3

( 2 0 )

f o r a t h r e e - d i m e n s i o n a l s m o o t h i n g . H e r e i s i s a d i s c r e t e a p p r o x i m a t i o n t o t h e

f r o n t v a l u e

f

a n d

i j k

i s a n a p p r o x i m a t i o n t o t h e g r i d v a l u e

g

s i s t h e a r e a

o f e l e m e n t l w

i j k

i s t h e w e i g h t o f g r i d p o i n t i j k w i t h r e s p e c t t o e l e m e n t l . T h e

w e i g h t s m u s t s a t i s f y

X

i j k

w

i j k

= 1 ( 2 1 )

b u t c a n b e s e l e c t e d i n d i e r e n t w a y s ( s e e P e s k i n , 1 9 7 7 ) . T h e n u m b e r o f g r i d p o i n t s

u s e d i n t h e i n t e r p o l a t i o n d e p e n d s o n t h e p a r t i c u l a r w e i g h t i n g f u n c t i o n s e l e c t e d .

S i n c e t h e w e i g h t s h a v e a n i t e s u p p o r t , t h e r e i s a r e l a t i v e l y s m a l l n u m b e r o f f r o n t

e l e m e n t s t h a t c o n t r i b u t e t o t h e v a l u e a t e a c h x e d g r i d p o i n t . I n t h e a c t u a l i m p l e -

m e n t a t i o n o f t h e t r a n s f e r o f q u a n t i t i e s f r o m t h e f r o n t t o t h e g r i d , w e l o o p o v e r t h e

i n t e r f a c e e l e m e n t s a n d a d d t h e q u a n t i t y t o t h e g r i d p o i n t s t h a t a r e n e a r t h e f r o n t .

T h e w e i g h t i n g f u n c t i o n s a r e u s u a l l y w r i t t e n a s a p r o d u c t o f o n e - d i m e n s i o n a l

f u n c t i o n s . I n t h r e e - d i m e n s i o n s , t h e w e i g h t f o r t h e g r i d p o i n t ( i j k ) f o r s m o o t h i n g

f r o m x

p

= ( x

p

y

p

z

p

) i s g i v e n b y

w

i j k

( x

p

) = d ( x

p

; i h ) d ( y

p

; j h ) d ( z

p

; k h ) ( 2 2 )

w h e r e h i s t h e g r i d s p a c i n g . F o r t w o - d i m e n s i o n a l i n t e r p o l a t i o n , t h e t h i r d t e r m i s

s e t t o u n i t y . d ( r ) c a n b e c o n s t r u c t e d i n d i e r e n t w a y s . T h e s i m p l e s t i n t e r p o l a t i o n

i s t h e a r e a ( v o l u m e ) w e i g h t i n g :

d ( r ) =

( h ; r ) = h r < h

0 r h

( 2 3 )

P e s k i n ( 1 9 7 7 ) s u g g e s t e d :

d ( r ) =

( 1 = 4 h ) ( 1 + c o s ( r = 2 h ) ) r


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c a s e s a l t h o u g h t h e f u n c t i o n s p r o p o s e d b y P e s k i n a r e o b v i o u s l y s m o o t h e r . S i n c e a r e a

w e i g h t i n g i n v o l v e s o n l y t w o g r i d p o i n t s i n e a c h d i r e c t i o n i t i s m u c h m o r e e c i e n t

i n t h r e e - d i m e n s i o n s w h e r e i t r e q u i r e s v a l u e s f r o m 8 g r i d p o i n t s v e r s u s 6 4 f o r t h e

P e s k i n i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s . I t a l s o a l l o w s f o r s i m p l e r t r e a t m e n t o f b o u n d a r i e s .

3 . 5 . U p d a t i n g t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s

T h e u i d p r o p e r t i e s , s u c h a s t h e d e n s i t y a n d v i s c o s i t y , a r e n o t a d v e c t e d d i r e c t l y .

I n s t e a d t h e b o u n d a r y b e t w e e n t h e d i e r e n t u i d s i s m o v e d . I t i s t h e r e f o r e n e c e s s a r y

t o r e s e t t h e p r o p e r t i e s a t e v e r y t i m e s t e p . T h e s i m p l e s t m e t h o d i s , o f c o u r s e , t o

l o o p o v e r t h e i n t e r f a c e e l e m e n t s a n d s e t t h e d e n s i t y o n t h e x e d g r i d a s a f u n c t i o n

o f t h e s h o r t e s t n o r m a l d i s t a n c e f r o m t h e i n t e r f a c e . S i n c e t h e i n t e r f a c e i s u s u a l l y

r e s t r i c t e d t o m o v e l e s s t h a n t h e s i z e o f o n e x e d g r i d m e s h , t h i s u p d a t e c a n b e

l i m i t e d t o t h e g r i d p o i n t s i n t h e i m m e d i a t e n e i g h b o r h o o d o f t h e i n t e r f a c e . T h i s

s t r a i g h t f o r w a r d a p p r o a c h ( u s e d , f o r e x a m p l e b y U d a y k u m a r e t a l , 1 9 9 7 ) d o e s h a v e

o n e m a j o r d r a w b a c k : W h e n t w o i n t e r f a c e s a r e v e r y c l o s e t o e a c h o t h e r , o r w h e n a n

i n t e r f a c e f o l d s b a c k o n i t s e l f , s u c h t h a t t w o f r o n t s e g m e n t s a r e b e t w e e n t h e s a m e

t w o x e d g r i d p o i n t s , t h e n t h e p r o p e r t y v a l u e o n t h e x e d g r i d d e p e n d s o n w h i c h

i n t e r f a c e s e g m e n t i s b e i n g c o n s i d e r e d . S i n c e t h i s s i t u a t i o n i s f a i r l y c o m m o n , a m o r e

g e n e r a l m e t h o d i s n e c e s s a r y .

T o c o n s t r u c t a m e t h o d t h a t s e t s t h e d e n s i t y c o r r e c t l y e v e n w h e n t w o i n t e r f a c e s

l a y c l o s e t o e a c h o t h e r , w e u s e t h e f a c t t h a t t h e f r o n t m a r k s t h e j u m p i n t h e d e n s i t y

a n d t h a t t h i s j u m p i s t r a n s l a t e d i n t o a s t e e p g r a d i e n t o n t h e x e d g r i d . I f t w o

i n t e r f a c e s a r e c l o s e t o e a c h o t h e r , t h e g r i d - g r a d i e n t s s i m p l y c a n c e l . T h e g r a d i e n t

c a n b e e x p r e s s e d a s :

r =

Z

n ( x ; x

f

) d s ( 2 5 )

a n d t h e d i s c r e t e v e r s i o n i s :

r

h

i j k

=

X

w

i j k

n s ( 2 6 )

w h e r e s i s t h e a r e a ( l e n g t h i n t w o - d i m e n s i o n ) o f t h e e l e m e n t .

O n c e t h e g r i d - g r a d i e n t e l d h a s b e e n c o n s t r u c t e d , t h e d e n s i t y e l d m u s t b e r e c o v -

e r e d . T h i s c a n b e d o n e i n s e v e r a l w a y s . T h e s i m p l e s t a p p r o a c h i s t o i n t e g r a t e t h e

d e n s i t y g r a d i e n t d i r e c t l y f r o m a p o i n t w h e r e t h e d e n s i t y i s k n o w n . T h i s a p p r o a c h

c a n , h o w e v e r , p r o d u c e a d e n s i t y e l d t h a t d e p e n d s s l i g h t l y o n t h e d i r e c t i o n i n w h i c h

t h e i n t e g r a t i o n i s d o n e a n d a l s o a l l o w s e r r o r s i n t h e d e n s i t y g r a d i e n t t o p r o p a g a t e

a w a y f r o m t h e i n t e r f a c e . I n m o s t i m p l e m e n t a t i o n s o f t h e m e t h o d w e u s e t h e f o l l o w -

i n g p r o c e d u r e : T a k i n g t h e n u m e r i c a l d i v e r g e n c e o f t h e g r i d - d e n s i t y - g r a d i e n t r e s u l t s

i n a n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n t o t h e L a p l a c i a n :

r

2

= r

h

r

h

i j k

( 2 7 )

T h e l e f t h a n d s i d e i s a p p r o x i m a t e d b y s t a n d a r d c e n t e r e d d i e r e n c e s a n d s o l v i n g

t h e r e s u l t i n g P o i s s o n e q u a t i o n w i t h t h e a p p r o p r i a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n s y i e l d s t h e

d e n s i t y e l d e v e r y w h e r e . F o r i n t e r m e d i a t e d e n s i t y r a t i o s t h i s i s a f a i r l y r o b u s t

p r o c e d u r e . T w o t y p e s o f e r r o r s a r e p o s s i b l e . T h e d e n s i t y a w a y f r o m t h e i n t e r f a c e


15/58


m a y n o t b e e x a c t l y e q u a l t o w h a t i t s h o u l d b e a n d s m a l l o v e r a n d u n d e r s h o o t s a r e

o c c a s i o n a l l y f o u n d n e a r t h e i n t e r f a c e . T o a v o i d t h e r s t p r o b l e m w e o f t e n s o l v e t h e

P o i s s o n e q u a t i o n b y i t e r a t i n g o n l y o n p o i n t s c l o s e t o t h e i n t e r f a c e , l e a v i n g p o i n t s

a w a y f r o m t h e i n t e r f a c e u n c h a n g e d . T h e s e c o n d p r o b l e m c a n b e d e a l t w i t h b y

s i m p l e l t e r i n g . S m a l l v a r i a t i o n s i n d e n s i t y a w a y f r o m t h e i n t e r f a c e c a n l e a d t o

u n p h y s i c a l b u o y a n c y c u r r e n t s a n d u n d e r s h o o t s c a n l e a d t o n e g a t i v e d e n s i t i e s t h a t

c a u s e p r o b l e m s i n t h e p r e s s u r e s o l v e r .

3 . 6 . C o m p u t i n g s u r f a c e t e n s i o n

T h e a c c u r a t e c o m p u t a t i o n o f t h e s u r f a c e t e n s i o n i s p e r h a p s o n e o f t h e m o s t

c r i t i c a l e l e m e n t s o f a n y m e t h o d d e s i g n e d t o f o l l o w t h e m o t i o n o f t h e b o u n d a r y

b e t w e e n i m m i s c i b l e u i d s f o r a l o n g t i m e . I n o u r a p p r o a c h t h e f r o n t i s e x p l i c i t l y

r e p r e s e n t e d b y d i s c r e t e p o i n t s a n d e l e m e n t s a n d w h i l e t h i s m a k e s t h e s u r f a c e t e n s i o n

c o m p u t a t i o n s m u c h m o r e s t r a i g h t f o r w a r d t h a n r e c o n s t r u c t i n g i t f r o m a m a r k e r

f u n c t i o n , t h e r e a r e s e v e r a l a l t e r n a t i v e w a y s t o p r o c e e d . I n m o s t o f o u r s i m u l a t i o n s ,

w e n e e d t h e f o r c e o n a f r o n t e l e m e n t b u t n o t t h e c u r v a t u r e d i r e c t l y . T h i s s i m p l i e s

t h e c o m p u t a t i o n s c o n s i d e r a b l y . W e w i l l r s t d e s c r i b e t h e t w o - d i m e n s i o n a l c a s e a n d

t h e n t h e e x t e n s i o n t o t h r e e - d i m e n s i o n s .

T h e f o r c e o n a s h o r t f r o n t e l e m e n t i s g i v e n b y :

F

=

Z

s

n d s ( 2 8 )

U s i n g t h e d e n i t i o n o f t h e c u r v a t u r e o f a t w o - d i m e n s i o n a l l i n e , n = @ s = @ s , w e c a n

w r i t e t h i s a s

F

=

Z

s

@ s

@ s

d s = ( s

2

; s

1

) ( 2 9 )

T h e r e f o r e , i n s t e a d o f h a v i n g t o n d t h e c u r v a t u r e , w e o n l y n e e d t o n d t h e t a n g e n t s

o f t h e e n d p o i n t s . I n a d d i t i o n t o s i m p l i f y i n g t h e c o m p u t a t i o n , t h i s e n s u r e s t h a t t h e

t o t a l f o r c e o n a n y c l o s e d s u r f a c e i s z e r o , s i n c e t h e f o r c e o n t h e e n d o f o n e f r o n t

e l e m e n t i s e x a c t l y t h e s a m e a s t h e f o r c e o n t h e e n d o f t h e a d j a c e n t e l e m e n t . T h i s

c o n s e r v a t i o n p r o p e r t y i s p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t f o r l o n g t i m e c o m p u t a t i o n w h e r e

e v e n a s m a l l e r r o r i n t h e s u r f a c e t e n s i o n c o m p u t a t i o n c a n l e a d t o a n u n p h y s i c a l

n e t f o r c e o n a f r o n t t h a t c a n a c c u m u l a t e o v e r t i m e . T h i s f o r m u l a t i o n a l s o m a k e s

t h e e x t e n s i o n t o v a r i a b l e s u r f a c e t e n s i o n a l m o s t t r i v i a l . A s i m p l e e x p a n s i o n o f t h e

p a r t i a l d e r i v a t i v e s h o w s t h a t

@ s

@ s

=

@ s

@ s

+

@

@ s

s = n +

@

@ s

s ( 3 0 )

w h i c h i s t h e u s u a l e x p r e s s i o n a c c o u n t i n g f o r b o t h t h e n o r m a l a n d t h e t a n g e n t i a l

f o r c e . S i n c e

F

=

Z

s

@ s

@ s

d s = ( s )

2

; ( s )

1

( 3 1 )

t h e f o r c e o n e a c h e l e m e n t i s c o m p u t e d b y s i m p l y s u b t r a c t i n g t h e p r o d u c t o f t h e

s u r f a c e t e n s i o n a n d t h e t a n g e n t s a t t h e e n d p o i n t s o f e a c h e l e m e n t s f o r b o t h c o n s t a n t

a n d v a r i a b l e s u r f a c e t e n s i o n .


16/58


1 0.5 0 0.5 1

1

0.5

0

0.5

1

XAxis

Y

Axis

0 2 4 60.99

0.995

1

1.005

1.01

Theta

Radius

ofCurvature

F I G . 4 . T h e a c c u r a c y o f t w o - d i m e n s i o n a l c u r v a t u r e c a l c u l a t i o n s . T h e g u r e o n t h e l e f t

s h o w s t h e d i s t r i b u t i o n o f 4 0 p o i n t s o n a c i r c l e . T h e g u r e o n t h e r i g h t s h o w s t h e c o m p u t e d

c u r v a t u r e . T h e s o l i d l i n e i s f o r t h e 4 0 p o i n t s o n t h e l e f t a n d t h e d a s h e d l i n e i s f o r t w i c e a s m a n y

p o i n t s .

T h e a c c u r a c y a n d e c i e n c y o f t h e s u r f a c e t e n s i o n c o m p u t a t i o n s d e p e n d s o n h o w

w e n d t h e t a n g e n t v e c t o r s . T h e t a n g e n t t o a c u r v e i s g i v e n b y

s =

@ x

@ u

=

@ x

@ u

( 3 2 )

a n d i n m o s t o f o u r t w o - d i m e n s i o n a l c o m p u t a t i o n s w e c o m p u t e t h e t a n g e n t s d i r e c t l y

f r o m a L e g e n d r e p o l y n o m i a l t t h r o u g h t h e e n d - p o i n t s o f e a c h e l e m e n t a n d t h e e n d -

p o i n t s o f t h e a d j a c e n t e l e m e n t s . S i n c e t h i s f o u r p o i n t t i s n o t t h e s a m e f o r t w o

e l e m e n t s t h a t s h a r e a c o m m o n e n d p o i n t , w e a v e r a g e t h e t a n g e n t s c o m p u t e d f o r e a c h

e l e m e n t . T o t e s t t h e a c c u r a c y o f t h i s a p p r o a c h , w e h a v e c o m p u t e d t h e c u r v a t u r e

o f a c i r c l e u s i n g u n e v e n l y s p a c e d p o i n t s . S i n c e i t i s t h e i n t e g r a l o f t h e c u r v a t u r e

o v e r e a c h e l e m e n t t h a t i s a c t u a l l y c o m p u t e d , w e d i v i d e b y t h e e x a c t a r c l e n g t h t o

o b t a i n t h e c u r v a t u r e . T o t e s t t h e a c c u r a c y , w e h a v e p u t 4 0 p o i n t s u n e v e n l y o n a

c i r c l e a n d c o m p u t e d t h e c u r v a t u r e i n t h i s w a y . F i g u r e 4 s h o w s t h e r e s u l t s . T h e

p o i n t s a r e s h o w n o n t h e l e f t a n d t h e c u r v a t u r e a s a f u n c t i o n o f a r c l e n g t h i s s h o w n

o n t h e r i g h t . R e s u l t s f o r 8 0 p o i n t s , d i s t r i b u t e d i n t h e s a m e m a n n e r , a r e s h o w n b y

a d a s h e d l i n e . O b v i o u s l y , t h e r e s u l t s a r e a l r e a d y q u i t e a c c u r a t e f o r 4 0 p o i n t s a n d

i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f p o i n t s i m p r o v e s t h e r e s u l t s e v e n f u r t h e r .

F o r t h r e e - d i m e n s i o n a l p r o b l e m s , w e u s e t h e f a c t t h a t t h e m e a n c u r v a t u r e o f a

s u r f a c e c a n b e w r i t t e n a s

n = ( n r ) n ( 3 3 )

T h e f o r c e o n a s u r f a c e e l e m e n t i s t h e r e f o r e

F

=

Z

A

n d A =

Z

A

( n r ) n d A =

I

s

t n d s ( 3 4 )

w h e r e w e h a v e u s e d t h e S t o k e s t h e o r e m t o c o n v e r t t h e a r e a i n t e g r a l i n t o a l i n e

i n t e g r a l a l o n g t h e e d g e s o f t h e e l e m e n t ( W e a t h e r b u r n , 1 9 2 7 ) . H e r e , t i s a v e c t o r


17/58


t a n g e n t t o t h e e d g e o f t h e e l e m e n t a n d n i s a n o r m a l v e c t o r t o t h e s u r f a c e . T h e

c r o s s p r o d u c t i s a v e c t o r t h a t l i e s i n t h e s u r f a c e a n d i s n o r m a l t o t h e e d g e o f t h e

e l e m e n t . T h e s u r f a c e t e n s i o n c o e c i e n t t i m e s t h i s v e c t o r g i v e s t h e \ p u l l " o n t h e

e d g e a n d t h e n e t \ p u l l " i s o b t a i n e d b y i n t e g r a t i n g a r o u n d t h e p e r i m e t e r o f t h e

e l e m e n t . I f t h e e l e m e n t i s a t , t h e n e t f o r c e i s z e r o b u t i f t h e e l e m e n t i s c u r v e d , t h e

n e t f o r c e i s n o r m a l t o i t w h e n t h e s u r f a c e t e n s i o n i s c o n s t a n t . A s i n t w o - d i m e n s i o n s ,

t h i s f o r m u l a t i o n e n s u r e s t h a t t h e n e t f o r c e o n a c l o s e d s u r f a c e i s z e r o , a s l o n g a s

t h e f o r c e o n t h e c o m m o n e d g e o f t w o e l e m e n t s i s t h e s a m e . T h i s f o r m u l a t i o n a l s o

e x t e n d s t o v a r i a b l e s u r f a c e t e n s i o n i n a n o b v i o u s w a y :

F

=

Z

s

t n d s ( 3 5 )

T h e s u r f a c e t e n s i o n c o m p u t a t i o n s i n t h r e e d i m e n s i o n s a r e m o r e i n v o l v e d t h a n f o r

t w o - d i m e n s i o n a l o w a n d a l t h o u g h o u r c u r r e n t p r o c e d u r e w o r k s , i t i s n o t n e a r l y

a s e l e g a n t a s t h e t w o - d i m e n s i o n a l o n e . W e s t a r t b y e x p l i c i t l y t t i n g a q u a d r a t i c

s u r f a c e t o t h e c o r n e r p o i n t s o f e a c h e l e m e n t a n d t h e p o i n t s o f t h e e l e m e n t s t h a t h a v e

a c o m m o n e d g e t o t h e e l e m e n t t h a t w e a r e w o r k i n g w i t h . T h e n o r m a l i s c o m p u t e d

a n a l y t i c a l l y a n d t h e t a n g e n t i s s i m p l y c o m p u t e d b y s u b t r a c t i n g t h e e n d p o i n t s o f

t h e e d g e . T h e e d g e i s t h e n d i v i d e d i n t o f o u r s e g m e n t s a n d t h e i n t e g r a l e v a l u a t e d b y

t h e m i d p o i n t r u l e . T o e n s u r e t h a t t h e s u r f a c e t e n s i o n i s c o n s e r v e d , t h i s i n t e g r a l i s

a v e r a g e d b e t w e e n t w o e l e m e n t s t h a t s h a r e a n e d g e ( a s i s d o n e i n t w o d i m e n s i o n s ) .

F o r t h e t t o w o r k , i t i s i m p o r t a n t t h a t t h e p o i n t s a r e a l l d i s t i n c t a n d t h i s i s t h e

r e a s o n t h a t w e d o n o t a l l o w t h e e l e m e n t s a d j a c e n t t o a p a r t i c u l a r e l e m e n t t o s h a r e

a n y o t h e r c o r n e r p o i n t s . T h e a p p r o x i m a t i o n i s o b v i o u s l y o f a l o w e r o r d e r t h a n

u s e d i n t h e t w o - d i m e n s i o n a l s i m u l a t i o n s . N e v e r t h e l e s s , w e h a v e f o u n d t h e r e s u l t s

t o b e q u i t e a c c u r a t e . F o r a s p h e r e r e s o l v e d b y 2 0 0 e l e m e n t s , t h e m a x i m u m a n d

t h e m i n i m u m c u r v a t u r e a r e w i t h i n 3 % o f t h e e x a c t v a l u e a n d w h e n t h e s p h e r e i s

r e s o l v e d b y 4 0 0 e l e m e n t s , t h e v a r i a t i o n s a r e a b o u t 1 % . A l t h o u g h w e h a v e n o t d o n e

s o , i t s h o u l d b e p o s s i b l e t o w r i t e t h e v e c t o r s d i r e c t l y i n t e r m s o f t h e c o o r d i n a t e s

o f t h e c o r n e r p o i n t s a n d t o e v a l u a t e t h e f o r c e w i t h o u t g o i n g t h r o u g h t h e e x p l i c i t

t t i n g o f a c o n t i n u o u s s u r f a c e t o t h e p o i n t s .

3 . 7 . S o l v i n g t h e p r e s s u r e e q u a t i o n

F o r a n y i n c o m p r e s s i b l e o w i t i s n e c e s s a r y t o s o l v e a n e l l i p t i c e q u a t i o n . F o r t h e

v e l o c i t y - p r e s s u r e f o r m u l a t i o n t h i s i s a P o i s s o n e q u a t i o n f o r t h e p r e s s u r e ( E q u a t i o n

1 6 ) . I f t h e d e n s i t y i s c o n s t a n t , t h i s e q u a t i o n c a n b e s o l v e d b y a l a r g e n u m b e r o f

s p e c i a l i z e d t e c h n i q u e s , s u c h a s t h o s e f o u n d i n F I S H P A C K , b u t w h e n t h e d e n s i t y

d e p e n d s o n t h e s p a t i a l c o o r d i n a t e s a n d t h e e q u a t i o n i s n o n - s e p a r a b l e , t h e c h o i c e

o f m e t h o d s i s m o r e l i m i t e d . W e u s e i t e r a t i v e t e c h n i q u e s i n a l l c a s e s . D u r i n g c o d e

d e v e l o p m e n t a n d f o r p r e l i m i n a r y r u n s , w e u s u a l l y s o l v e t h e p r e s s u r e e q u a t i o n b y

a s i m p l e S u c c e s s i v e O v e r R e l a x a t i o n ( S O R ) m e t h o d . F o r p r o d u c t i o n r u n s w e u s e

m u l t i g r i d m e t h o d s . W e h a v e u s e d s e v e r a l p a c k a g e s , i n c l u d i n g M U D P A C K ( A d a m s ,

1 9 8 9 ) , b u t m o s t r e c e n t l y w e h a v e u s e d a c o d e w r i t t e n i n - h o u s e ( B u n n e r , 2 0 0 0 ) . T h e

r e a s o n f o r d o i n g s o w a s p r i m a r i l y t h e n e e d t o g e n e r a t e a p a r a l l e l v e r s i o n o f t h e s o l v e r .

T h e s o l u t i o n o f t h e p r e s s u r e e q u a t i o n i s u s u a l l y t h e m o s t t i m e c o n s u m i n g p a r t o f

t h e c o m p u t a t i o n a n d m u s t t h e r e f o r e b e d o n e e c i e n t l y . C o n s i d e r a b l e p r o g r e s s i s

c u r r e n t l y t a k i n g p l a c e i n t h e d e v e l o p m e n t o f e c i e n t m e t h o d s f o r t h e s o l u t i o n o f


18/58


0

0.5

1

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

X

Pressure Field for Rising Bubble (32X64)

Y

Press

ure

0

0.5

1

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

X

Pressure Field for Rising Bubble (64X128)

Y

Press

ure

F I G . 5 . T h e p r e s s u r e e l d f o r a b u b b l e r i s i n g i n a c h a n n e l . T h e p r e s s u r e r i s e s d u e t o

h y d r o s t a t i c s t o w a r d t h e b o t t o m . R e s u l t s f o r a 3 2 6 4 g r i d a r e s h o w n o n t h e l e f t a n d r e s u l t s f o r

a 6 4 1 2 8 g r i d a r e s h o w n o n t h e r i g h t .

n o n - s e p a r a b l e e l l i p t i c e q u a t i o n s o n p a r a l l e l c o m p u t e r s ( s e e , f o r e x a m p l e , K n o l l a n d

R i d e r , 1 9 9 9 ) . T h i s d e v e l o p m e n t p r o m i s e s t o h a v e s i g n i c a n t i m p a c t o n t h e e c i e n c y

o f m u l t i u i d c o m p u t a t i o n s u s i n g x e d g r i d s .

I n a d d i t i o n t o c h a n g e s i n t h e p r e s s u r e d u e t o t h e o w , t h e p r e s s u r e c h a n g e s a c r o s s

a c u r v e d u i d i n t e r f a c e w h e n t h e s u r f a c e t e n s i o n i s n o t z e r o . T h e p r e s s u r e r i s e d u e

t o t h i s e e c t c a n o f t e n b e c o n s i d e r a b l e . I n F i g u r e 5 w e p l o t t h e p r e s s u r e i n a t w o -

d i m e n s i o n a l d o m a i n c o n t a i n i n g a s i n g l e r i s i n g b u b b l e . T h e t o p o f t h e d o m a i n i s a t

y = 0 a n d t h e r e i s a h y d r o s t a t i c p r e s s u r e r i s e t o w a r d t h e b o t t o m o f t h e d o m a i n a t

y = 2 . W e s h o w t h e r e s u l t s f o r t w o d i e r e n t r e s o l u t i o n s . T h e l o w e r r e s o l u t i o n r e s u l t

o n t h e l e f t a r e c o m p u t e d o n a 3 2 6 4 g r i d a n d t h e h i g h e r r e s o l u t i o n r e s u l t o n t h e

r i g h t o n a 6 4 1 2 8 g r i d . T h e t r a n s i t i o n b e t w e e n t h e o u t s i d e a n d t h e i n s i d e o f t h e

b u b b l e t a k e s p l a c e o v e r 2 - 3 g r i d p o i n t s i n b o t h c a s e s . I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t

t h e p r e s s u r e i s a c o m p u t e d q u a n t i t y a n d t h e p r e s s u r e j u m p r e s u l t s f r o m a s u r f a c e

t e n s i o n s m o o t h e d o n t o t h e g r i d u s i n g a P e s k i n ' s d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ( E q u a t i o n

2 4 ) .

T h e e a s e b y w h i c h t h e p r e s s u r e e q u a t i o n i s s o l v e d d e p e n d s g e n e r a l l y o n t h e

d e n s i t y r a t i o . F o r l a r g e d e n s i t y r a t i o s , s m a l l e r r o r s c a n l e a d t o n e g a t i v e d e n s i t i e s

t h a t u s u a l l y c a u s e c o n v e r g e n c e d i c u l t i e s . T h e s e p r o b l e m s a r e , h o w e v e r , e l i m i n a t e d

r e l a t i v e l y e a s i l y b y m i n o r l t e r i n g . T h e m o r e s e r i o u s d i c u l t y i s t h a t w h i l e S O R

w i t h a l o w o v e r r e l a x a t i o n p a r a m e t e r a l w a y s a l l o w s u s t o s o l v e t h e p r e s s u r e e q u a t i o n ,

m o r e e c i e n t m e t h o d s c a n f a i l t o c o n v e r g e . F o r m o s t p r a c t i c a l p u r p o s e s , t h i s m a k e s

l o n g c o m p u t a t i o n s w i t h l a r g e d e n s i t y r a t i o s i m p r a c t i c a l . H o w e v e r , i n m a n y c a s e s

t h e d e n s i t y r a t i o h a s o n l y a s m a l l e e c t , o n c e i t i s l o w e n o u g h , a n d i t i s p o s s i b l e t o

u s e r e l a t i v e l y m o d e s t d e n s i t y r a t i o s w i t h o u t s i g n i c a n t l y i n u e n c i n g t h e r e s u l t s .

I n a d d i t i o n t o t h e c o n v e r g e n c e d i c u l t i e s s o m e t i m e s e n c o u n t e r e d a t h i g h d e n s i t y

r a t i o s , t h e p r e s s u r e s o l u t i o n c a n c a u s e o t h e r d i c u l t i e s . I f t h e s u r f a c e t e n s i o n i s


19/58


Surface Tension = 5.0

F I G . 6 . T h e p a r a s i t i c c u r r e n t g e n e r a t e d b y a c y l i n d r i c a l d r o p w i t h a h i g h s u r f a c e t e n s i o n .

T h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i s r e s o l v e d b y a 5 0

2

g r i d a n d t h e n o n d i m e n s i o n a l v e l o c i t i e s ( d e n e d

i n t h e t e x t ) a r e O ( 1 0

5

)

h i g h , a n d i f t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s u r f a c e f o r c e s o n t h e g r i d h a s a n y s i g n i c a n t

a n i s o t r o p y , u n p h y s i c a l v e l o c i t i e s c a n b e g e n e r a t e d . T h e s e v e l o c i t i e s , s o m e t i m e s

c a l l e d \ p a r a s i t i c c u r r e n t s , " a r e u s u a l l y s m a l l . I n F i g u r e 6 w e s h o w t h e s t r e a m

f u n c t i o n f o r a n i n i t i a l l y c y l i n d r i c a l t w o - d i m e n s i o n a l d r o p . T h e d r o p s h o u l d r e m a i n

e x a c t l y s t a t i o n a r y a n d t h e v e l o c i t y o f t h e u i d s h o u l d b e e x a c t l y z e r o . B e c a u s e o f

s m a l l p r e s s u r e u c t u a t i o n s i n t h e s u r r o u n d i n g u i d n e a r t h e d r o p , s l i g h t r e c i r c u l a -

t i o n i s s e e n . T h e s e c u r r e n t s d e p e n d s s t r o n g l y o n t h e g r i d r e s o l u t i o n , t h e s m o o t h i n g

f u n c t i o n u s e d , t h e u i d v i s c o s i t y , a n d t h e s u r f a c e t e n s i o n . W e h a v e d o n e a n u m -

b e r o f t e s t a n d g e n e r a l l y n d t h a t t h e s e c u r r e n t s a r e i n s i g n i c a n t f o r w e l l r e s o l v e d

p r o b l e m s w i t h r e a s o n a b l y l a r g e s u r f a c e t e n s i o n . I n p a r t i c u l a r , i f t h e s u r f a c e t e n -

s i o n i s s u c h t h a t a b u b b l e o r d r o p i s s l i g h t l y d e f o r m a b l e , t h e p a r a s i t i c c u r r e n t s

d o n o t a p p e a r t o i n u e n c e t h e s o l u t i o n . W e h a v e m a d e a n a t t e m p t t o c o m p a r e

t h e m a g n i t u d e o f t h e s e c u r r e n t s w i t h t h o s e o b s e r v e d b y L a f a u r i e e t a l . ( 1 9 9 4 ) i n

V O F s i m u l a t i o n s . T h e y c o n c l u d e d t h a t b e c a u s e o f t h i s e e c t t h e y w e r e l i m i t e d t o

d r o p s s m a l l e r t h a n a b o u t 1 0 R

, w h e r e R

i s a c a p i l l a r y - v i s c o u s l e n g t h d e n e d b y

R

=

2

= , a n d t h a t t h e m a x i m u m v e l o c i t y d u e t o p a r a s i t i c c u r r e n t s w a s a b o u t

0 0 1 = . H e r e , i s t h e k i n e m a t i c v i s c o s i t y . F o r a d r o p o f d i a m e t e r R = 0 2 5 i n a

1 1 d o m a i n r e s o l v e d b y a 2 5

2

g r i d w i t h R = R

= 1 2 5 w e n d t h a t t h e m a x i m u m

v e l o c i t y i s O ( 1 0

4

) . I n c r e a s i n g t h e v i s c o s i t y o r t h e r e s o l u t i o n s i g n i c a n t l y d e c r e a s e s

t h e c u r r e n t , s e e g u r e 6 . U s i n g a r e a w e i g h t i n g i n c r e a s e s t h e p a r a s i t i c c u r r e n t b y

n e a r l y a n o r d e r o f m a g n i t u d e b u t n o t t o t h e l e v e l s s e e n b y L a f a u r i e e t a l . ( 1 9 9 4 ) .

3 . 8 . A d v a n c i n g t h e f r o n t

S i n c e t h e u i d v e l o c i t i e s a r e c o m p u t e d o n t h e x e d g r i d a n d t h e f r o n t m o v e s

w i t h t h e u i d v e l o c i t i e s , t h e v e l o c i t y o f t h e i n t e r f a c e p o i n t s m u s t b e f o u n d b y

i n t e r p o l a t i n g f r o m t h e x e d g r i d . T h e i n t e r p o l a t i o n s t a r t s b y i d e n t i f y i n g t h e g r i d

p o i n t t h a t i s c l o s e s t t o t h e f r o n t p o i n t , i n t h e w a y d e s c r i b e d i n s e c t i o n 3 . 2 . T h e

g r i d v a l u e i s t h e n i n t e r p o l a t e d b y :


20/58


21/58


22/58


F i l m s t h a t r u p t u r e . I f a l a r g e d r o p a p p r o a c h e s a n o t h e r d r o p o r a a t s u r f a c e ,

t h e u i d i n b e t w e e n m u s t b e \ s q u e e z e d " o u t b e f o r e t h e d r o p s a r e s u c i e n t l y c l o s e

s o t h a t t h e l m b e c o m e s u n s t a b l e t o a t t r a c t i v e f o r c e s a n d r u p t u r e s .

T h r e a d s t h a t b r e a k . A l o n g a n d t h i n c y l i n d e r o f o n e u i d w i l l g e n e r a l l y b r e a k

b y R a y l e i g h i n s t a b i l i t y w h e r e o n e p a r t o f t h e c y l i n d e r b e c o m e s s u c i e n t l y t h i n s o

t h a t s u r f a c e t e n s i o n \ p i n c h e s " i t i n t w o .

T h e e x a c t m e c h a n i s m s o f h o w t h r e a d s s n a p a n d l m s b r e a k a r e s t i l l b e i n g a c t i v e l y

i n v e s t i g a t e d . T h e r e a r e , h o w e v e r , g o o d r e a s o n s t o b e l i e v e t h a t t h r e a d s c a n b e c o m e

i n n i t e l y t h i n i n a n i t e t i m e a n d t h a t t h e i r b r e a k i n g i s \ a l m o s t " d e s c r i b e d b y t h e

N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s ( E g g e r s , 1 9 9 5 ) . F i l m s , o n t h e o t h e r h a n d , a r e g e n e r a l l y

b e l i e v e d t o r u p t u r e d u e t o s h o r t r a n g e a t t r a c t i v e f o r c e s , o n c e t h e y a r e a f e w h u n d r e d

A n g s t r o m t h i c k . T h e s e f o r c e s a r e u s u a l l y n o t i n c l u d e d i n t h e c o n t i n u u m d e s c r i p t i o n .

T o a c c o u n t f o r t h e d r a i n i n g o f l m s p r i o r t o r u p t u r e r e q u i r e s t h e r e s o l u t i o n o f v e r y

s m a l l l e n g t h s c a l e s a n d t h i s i s u n l i k e l y t o b e p r a c t i c a l i n m o s t c a s e s . I t m a y a l s o

b e u n n e c e s s a r y . W e h a v e e x a m i n e d t h e c o l l i s i o n o f t w o d r o p s i n d e t a i l ( N o b a r i ,

J a n , a n d T r y g g v a s o n , 1 9 9 6 N o b a r i a n d T r y g g v a s o n , 1 9 9 6 Q i a n , T r y g g v a s o n , a n d

L a w , 2 0 0 0 ) a n d g e n e r a l l y n d t h a t t h e d e t a i l s o f t h e c o l l i s i o n i s n o t s e n s i t i v e t o

t h e r e s o l u t i o n o f t h e l m b e t w e e n t h e d r o p s . I n d e e d , a s e r i e s o f s i m u l a t i o n s w h e r e

w e e x a m i n e d t h e e v o l u t i o n o f t h e l m b y u s i n g n o n e v e n l y s p a c e d g r i d s t o r e s o l v e

t h e l m s h o w e d t h a t t h e s h a p e o f t h e l m w a s w e l l p r e d i c t e d e v e n w h e n i t w a s

v e r y p o o r l y r e s o l v e d . D r o p s w i t h h i g h s u r f a c e t e n s i o n , f o r e x a m p l e , p r o d u c e a l m

o f a s m a l l a r e a t h a t d r a i n s q u i c k l y w h e r e a s m o r e d e f o r m a b l e d r o p s t r a p a l a r g e

a m o u n t o f u i d i n a l m w i t h l a r g e a r e a . A l t h o u g h t h e a c t u a l t h i c k n e s s w a s n o t

p r e d i c t e d a s w e l l , t h i s s u g g e s t s t h a t u s e f u l r e s u l t s c a n b e o b t a i n e d e v e n o n g r i d s

t h a t a r e m u c h c o a r s e r t h a n t h e l m . T h e r e a s o n i s | m o s t l i k e l y | t h a t t h e o w

i n t h e l m i s e s s e n t i a l l y a p l u g o w o f t h e s a m e m a g n i t u d e a s t h e o w o u t s i d e

t h e l m . I t i s t h e r e f o r e l i k e l y t h a t t h e s a m e c o n c l u s i o n w i l l n o t h o l d f o r m o r e

c o m p l e x i n t e r f a c i a l c o n d i t i o n s s u c h a s w h e n s u r f a c t a n t s o r t h e r m o c a p i l l a r y e e c t s

a r e p r e s e n t . T h e s i m p l i c i t y o f t h e o w d o e s , h o w e v e r , s u g g e s t t h a t m o r e d e t a i l e d

p r e d i c t i o n s c o u l d b e a c c o m p l i s h e d b y c o m b i n i n g s i m p l e l u b r i c a t i o n m o d e l s f o r t h e

d r a i n i n g w i t h n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o f t h e m o t i o n o f t h e d r o p . I n o u r s i m u l a t i o n s

s o f a r , w e h a v e u s e d v e r y s i m p l e c r i t e r i a f o r c o a l e s c e n c e b a s e d e i t h e r o n a g i v e n t i m e

o r a s p e c i e d t h i c k n e s s o f t h e l m . S p e c i f y i n g t h e t i m e o f r u p t u r e i s o b v i o u s l y t h e

l e s s g e n e r a l a p p r o a c h s i n c e i t r e q u i r e s a p r e v i o u s k n o w l e d g e o f w h a t t h e s o l u t i o n

l o o k s l i k e , b u t r e s u l t s b a s e d o n a g i v e n r u p t u r e t i m e u s u a l l y s h o w l i t t l e d e p e n d e n c y

o n t h e g r i d r e s o l u t i o n w h e r e a s r e s u l t s b a s e d o n s p e c i f y i n g t h e m i n i m u m t h i c k n e s s

d o . W e n o t e t h a t w h i l e w e w o u l d g e n e r a l l y e x p e c t l m s t o r u p t u r e d u e t o a t t r a c t i v e

f o r c e s n o t i n c l u d e d i n t h e u s u a l c o n t i n u u m d e s c r i p t i o n , t h e r e a r e r e c e n t e v i d e n c e s

t h a t s u g g e s t t h a t l m s c a n b e c o m e i n n i t e l y t h i n i n a n i t e t i m e , u n d e r c e r t a i n

c i r c u m s t a n c e s ( H o u e t a l . , 1 9 9 7 ) .

A c c o m p l i s h i n g t o p o l o g y c h a n g e s i n a f r o n t t r a c k i n g c o d e i s a t w o s t e p p r o c e s s .

F i r s t , t h e p a r t o f t h e f r o n t t h a t s h o u l d u n d e r g o t o p o l o g y c h a n g e m u s t b e i d e n t i e d

a n d t h e n t h e a c t u a l c h a n g e m u s t b e d o n e . F o r s i m p l e p r o b l e m s , t h e r e g i o n w h e r e

a c h a n g e s h o u l d t a k e p l a c e i s o f t e n o b v i o u s a n d n o s p e c i a l s e a r c h t e c h n i q u e i s

n e e d e d . I n g e n e r a l , h o w e v e r , r u p t u r e o r c o a l e s c e n c e c a n t a k e p l a c e a n y w h e r e a n d

i t i s n e c e s s a r y t o s e a r c h t h e w h o l e f r o n t t o n d w h e r e t w o f r o n t s o r t w o p a r t s o f


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F I G . 8 . A d a p t i v e g r i d r e n e m e n t . A b i o l o g i c a l c e l l i s b e i n g s u c k e d u p i n t o a p i p e t t a n d

t h e g r i d i s r e n e d n e a r t h e c e l l b o u n d a r y . F r o m A g r e s a r e t a l . ( 1 9 9 8 ) .

t h e s a m e f r o n t a r e c l o s e t o e a c h o t h e r . T h e s i m p l e s t | b u t l e a s t e c i e n t | w a y t o

c o n d u c t t h i s s e a r c h i s t o c o m p u t e t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e c e n t r o i d s o f e v e r y f r o n t

e l e m e n t s . B y d i v i d i n g t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i n t o s m a l l s u b r e g i o n s a n d s o r t i n g

t h e f r o n t e l e m e n t s a c c o r d i n g t o l o c a t i o n , t h i s o p e r a t i o n c a n b e m a d e r e a s o n a b l y

e c i e n t . T h i s d o e s , h o w e v e r , a d d t o t h e c o m p l e x i t y o f t h e c o d e .

O n c e t h e c l o s e f r o n t e l e m e n t s h a v e b e e n i d e n t i e d , t o p o l o g y c h a n g e s a r e s i m p l e

i f t h e o w i s t w o - d i m e n s i o n a l a n d t h e f r o n t c o n s i s t s o f a s t r i n g o f c o n n e c t e d m a r k e r

p o i n t s . F i g u r e 7 s h o w s a s i m u l a t i o n o f t h e m o t i o n o f a n i n i t i a l l y l a y e r e d u i d . T h e

u i d o n t h e t o p a n d t h e b o t t o m i s h e a v i e r t h a n t h e u i d i n t h e m i d d l e a n d t h e t o p

l a y e r f a l l s d o w n a n d m e r g e s w i t h t h e b o t t o m l a y e r . T h e c o m p u t a t i o n w a s d o n e o n a

6 4

2

g r i d a n d t h e d e n s i t y r a t i o w a s 1 0 . T w o i n t e r f a c e s a r e m e r g e d i f t h e i r s e p a r a t i o n

i s l e s s t h a n o n e g r i d s p a c i n g . I n t h r e e - d i m e n s i o n s w e h a v e u s e d a s i m i l a r t e c h n i q u e

f o r c o l l i d i n g d r o p s i n N o b a r i a n d T r y g g v a s o n ( 1 9 9 6 ) b u t t h e a l g o r i t h m h a s n o t b e e n

g e n e r a l i z e d t o t h e s a m e d e g r e e a s t h e t w o - d i m e n s i o n a l o n e .

3 . 1 0 . P a r a l l e l i z a t i o n a n d a d a p t i v e g r i d s

F o r l a r g e p r o b l e m s , i t i s n e c e s s a r y t o u s e p a r a l l e l c o m p u t e r s . F o r m o s t p r a c t i c a l

p u r p o s e s , t h i s m e a n s g r i d s t h a t a r e l a r g e r t h a n a b o u t 6 4

3

. T h e m e t h o d d e s c r i b e d i n

t h e p r e v i o u s s e c t i o n s h a s b e e n i m p l e m e n t e d f o r d i s t r i b u t e d m e m o r y p a r a l l e l c o m -

p u t e r s u s i n g t h e M e s s a g e - P a s s i n g I n t e r f a c e ( M P I ) l i b r a r y ( G r o p p e t a l . , 1 9 9 5 ) . T h e

r e c t a n g u l a r , t h r e e - d i m e n s i o n a l d o m a i n i s p a r t i t i o n e d i n t o e v e n - s i z e d s u b d o m a i n s

a n d t h e o w i n e a c h s u b d o m a i n i s c o m p u t e d o n a d i e r e n t p r o c e s s o r . F o r t h e f r o n t ,

w e h a v e t a k e n t w o a p p r o a c h e s . F o r b u b b l y o w s w e r e p r e s e n t e a c h b u b b l e b y i t s

o w n d a t a s t r u c t u r e , c o m m u n i c a t e d b e t w e e n t h e d i e r e n t p r o c e s s o r s b y a m a s t e r -

s l a v e a p p r o a c h ( B u n n e r , 2 0 0 0 ) . T h e p r o c e s s o r d e a l i n g w i t h t h e s u b - d o m a i n w h e r e

m o s t o f a g i v e n b u b b l e i s l o c a t e d i s t h e m a s t e r p r o c e s s o r f o r t h a t b u b b l e . I f s o m e

o f t h e b u b b l e o c c u p i e s o t h e r d o m a i n s , t h o s e p r o c e s s o r s b e c o m e t h e s l a v e s , g i v i n g

b u b b l e d a t a t o t h e m a s t e r a n d r e c e i v i n g t h e p r o c e s s e d d a t a b a c k . F o r c o n t i n u o u s

f r o n t s w h i c h o c c u p y m o r e o r l e s s a l l t h e s u b - d o m a i n s , w e h a v e a l s o e x p e r i m e n t e d


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F I G . 9 . T h e a m p l i t u d e o f a n o s c i l l a t i n g d r o p . T h e t h e o r e t i c a l o s c i l l a t i o n p e r i o d i s 1 , a n d

t h e t h e o r e t i c a l r a t e o f d e c a y i s s h o w n b y t h e l i n e s a b o v e a n d b e l o w t h e o s c i l l a t i n g c u r v e .

w i t h u s i n g o n e p r o c e s s o r d e d i c a t e d t o p r o c e s s i n g t h e f r o n t ( T a u b e r , 2 0 0 1 ) . T h e

f r o n t p r o c e s s o r m u s t c o m m u n i c a t e w i t h a l l t h e o t h e r p r o c e s s o r s , b u t s i n c e t h e f r o n t

c o m p u t a t i o n s t a k e u p a r e l a t i v e l y s m a l l f r a c t i o n o f t h e t o t a l c o m u t a t i o n a l t i m e , w e

f e e l t h a t t h e s i m p l i c i t y o f p r o g r a m m i n g j u s t i e s t h e s l i g h t t i m e p e n a l t y .

A l t h o u g h n e a r l y a l l o f o u r s i m u l a t i o n s h a v e b e e n d o n e o n u n i f o r m g r i d s , w e h a v e

e x p e r i m e n t e d w i t h t w o t y p e s o f a d a p t i v e g r i d d i n g : o n e - d i m e n s i o n a l s t r e t c h i n g a n d

l o c a l l y r e n e d C a r t e s i a n g r i d s . T h e r s t a p p r o a c h i s t h e s i m p l e s t o n e . A l l g r i d

l i n e s a r e s t r a i g h t , b u t a r e a l l o w e d t o b e u n e v e n l y s p a c e d ( H a n a n d T r y g g v a s o n ,

1 9 9 9 ) . W h i l e t h i s a p p r o a c h i s v e r y u s e f u l f o r s i m p l e p r o b l e m s w h e r e i t i s c l e a r

w h a t t h e s o l u t i o n w i l l l o o k l i k e a n d w h e r e h i g h r e s o l u t i o n i s n e e d e d , i t i s n o t v e r y

g e n e r a l . T h e l o c a l l y r e n e d C a r t e s i a n g r i d r e n e m e n t s t r a t e g y i s , o n t h e o t h e r

h a n d , m o r e v e r s a t i l e . I n t h i s a p p r o a c h , t h e g r i d c e l l s a r e u s u a l l y s q u a r e s o r c u b e s

a n d t h e g r i d i s r e n e d b y e i t h e r s p l i t t i n g u p e a c h c e l l i n t o f o u r ( t w o - d i m e n s i o n ) o r

e i g h t ( t h r e e - d i m e n s i o n ) c e l l s o r b y u s i n g n e s t e d p a t c h e s o f n e r g r i d s . T h e v a r i o u s

l e v e l s o f r e n e m e n t a r e o r g a n i z e d i n a t r e e s t r u c t u r e t h a t a l l o w s e a c h l e v e l t o b e

a c c e s s e d e c i e n t l y . T h e s e t e c h n i q u e h a v e b e e n d e v e l o p e d b y s e v e r a l g r o u p s . S e e ,

f o r e x a m p l e , P o w e l l ( 1 9 9 8 ) f o r a r e v i e w . I n A g r e s a r e t a l . ( 1 9 9 8 ) , o u r f r o n t t r a c k i n g

a p p r o a c h w a s i m p l e m e n t e d i n a c o d e u s i n g t h e s p l i t c e l l s t r a t e g y t o s i m u l a t e t h e

m o t i o n o f t w o - d i m e n s i o n a l a n d a x i s y m m e t r i c b i o l o g i c a l c e l l s . F i g u r e 8 s h o w s o n e

f r a m e f r o m a n a x i s y m m e t r i c s i m u l a t i o n o f a c e l l b e i n g s u c k e d u p i n t o a p i p e t t e .

A s i m i l a r m e t h o d u s i n g p a t c h e s o f n e r g r i d s h a s b e e n d e v e l o p e d b y R o m a e t

a l ( 1 9 9 9 ) f o r t h e i m m e r s e d b o u n d a r y m e t h o d o f P e s k i n a n d c o l l a b o r a t o r s a n d b y

S u s s m a n e t a l . ( 1 9 9 9 ) f o r t h e l e v e l s e t m e t h o d .

4 . V A L I D A T I O N S

W h i l e t h e \ o n e u i d " f o r m u l a t i o n i s a c o m p l e t e l y r i g o u r o u s r e w r i t e o f t h e N a v i e r -

S t o k e s e q u a t i o n s , t h e a c c u r a c y o f a n u m e r i c a l s c h e m e b a s e d o n t h i s r e f o r m u l a t i o n


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m u s t b e e s t a b l i s h e d . I t i s i n d e e d f a i r t o s a y t h a t a c c u r a c y i s p e r h a p s t h e c o n c e r n

m o s t o f t e n r a i s e d b y c r i t i c s o f t h e o n e u i d a p p r o a c h . T h i s c r i t i c i s m i s n o t c o m -

p l e t e l y w i t h o u t m e r i t . E a r l y i m p l e m e n t a t i o n s o f t h e \ o n e u i d " i d e a o f t e n l a c k e d

d e t a i l e d c o n v e r g e n c e s t u d i e s o r r e l i e d o n d e m o n s t r a t i o n s t h a t w e r e n o t e n t i r e l y c o n -

v i n c i n g . T h i s w a s , i n m a n y c a s e s , s i m p l y d u e t o c o m p u t e r l i m i t a t i o n s . T h e g r i d s

u s e d f o r t h e e a r l y M A C a n d V O F s i m u l a t i o n s b y t h e L o s A l a m o s g r o u p w e r e v e r y

c o a r s e b y t o d a y ' s s t a n d a r d s a n d d o u b l i n g t h e r e s o l u t i o n w a s a p p a r e n t l y n o t f e a s i b l e .

A l t h o u g h b o t h D a l y a n d P r a c h t ( 1 9 6 8 ) a n d D a l y ( 1 9 6 9 ) , f o r e x a m p l e , e x a m i n e d t h e

i n u e n c e o f s e v e r a l p h y s i c a l p a r a m e t e r s o n t h e i r r e s u l t s , n o g r i d r e n e m e n t a p p e a r s

t o h a v e b e e n d o n e .

A n a l y t i c a l s o l u t i o n s a r e , i n p r i n c i p l e , i d e a l f o r t e s t i n g t h e a c c u r a c y o f n u m e r i c a l

m e t h o d s . M u l t i d i m e n s i o n a l a n a l y t i c a l s o l u t i o n s f o r u n s t e a d y p r o b l e m s a r e , h o w -

e v e r , l i m i t e d t o l i n e a r o s c i l l a t i o n s a r o u n d s i m p l e s t e a d y s t a t e s o l u t i o n s , u s u a l l y a s -

s u m i n g v i s c o u s e e c t s t o b e n e g l i g i b l e . T h e o s c i l l a t i o n f r e q u e n c y o f a n i n v i s c i d d r o p

c a n b e f o u n d i n m o s t s t a n d a r d r e f e r e n c e s ( L a m b , 1 9 3 2 , f o r e x a m p l e ) . A n a n a l y t i c a l

e x p r e s s i o n f o r t h e d e c a y o f t h e a m p l i t u d e a s a f u n c t i o n o f t i m e , a s s u m i n g t h a t t h e

s u r r o u n d i n g u i d c o u l d b e n e g l e c t e d , c a n a l s o b e f o u n d i n L a m b ( 1 9 3 2 ) . F i g u r e 1 2

s h o w s t h e a m p l i t u d e v e r s u s t i m e f o r a d r o p w i t h a n i n i t i a l a m p l i t u d e p e r t u r b a t i o n

e q u a l t o 2 5 % o f i t s r a d i u s . T h e d r o p r a d i u s i s 1 , t h e s i z e o f t h e c o m p u t e d d o m a i n i s

5 a n d a 6 4 1 2 8 u n i f o r m g r i d i s u s e d t o r e s o l v e t h e d o m a i n . T h e d r o p h a s a d e n s i t y

e q u a l t o 1 0 0 t i m e s t h e d e n s i t y o f t h e s u r r o u n d i n g u i d a n d t h e k i n e m a t i c v i s c o s i t y

i s 3 5 0 t i m e s h i g h e r . T h e t i m e i s n o n d i m e n s i o n a l i z e d b y t h e t h e o r e t i c a l p e r i o d f o r

t h e l o w e s t ( n = 2 ) m o d e . T h e t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n f o r t h e a m p l i t u d e v e r s u s t i m e

i s a l s o s h o w n . O b v i o u s l y , b o t h t h e o s c i l l a t i o n f r e q u e n c y a s w e l l a s t h e a m p l i t u d e

a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n . C o m p a r i s o n s o f t h e g r o w t h

r a t e o f a n e a r l y a t i n t e r f a c e s u b j e c t t o a s h e a r ( T a u b e r , U n v e r d i , a n d T r y g g v a s o n ,

2 0 0 0 ) a n d t h e p r o p a g a t i o n o f l i n e a r w a v e s ( Y a n g a n d T r y g g v a s o n , 1 9 9 8 ) r e s u l t i n

a s i m i l a r a g r e e m e n t . I n a d d i t i o n t o c o m p a r i s o n s w i t h l i n e a r p e r t u r b a t i o n s o l u t i o n s

i n t h e i n v i s c i d l i m i t s , w e h a v e m a d e c o m p a r i s o n s b e t w e e n h i g h R e y n o l d s n u m b e r

t r a n s i e n t m o t i o n s o f a d r o p t h a t i s b r e a k i n g u p , a n d i n v i s c i d s o l u t i o n s c o m p u t e d

b y a v o r t e x m e t h o d . F o r s h o r t t i m e s , w h i l e v i s c o u s e e c t s a r e s m a l l , t h e a g r e e m e n t

i s e x c e l l e n t ( H a n a n d T r y g g v a s o n , 2 0 0 0 ) . A n a l y t i c a l s o l u t i o n s a l s o e x i s t f o r s e v e r a l

p r o b l e m s i n t h e z e r o R e y n o l d s n u m b e r l i m i t ( S t o k e s o w ) . A c o m p a r i s o n b e t w e e n

t h e r i s e v e l o c i t y o f r e g u l a r a r r a y s o f l o w R e y n o l d s n u m b e r v i s c o u s d r o p s w i t h t h e

r e s u l t o f S a n g a n i ( 1 9 8 8 ) f o r d r o p s i n a S t o k e s o w c a n b e f o u n d i n E s m a e e l i a n d

T r y g g v a s o n ( 1 9 9 8 ) .

T o t e s t f o r t h e f u l l y n o n l i n e a r a s p e c t o f t h e m e t h o d a t n i t e R e y n o l d s n u m b e r s ,

w e m u s t r e s o r t t o g r i d r e s o l u t i o n s t u d i e s a n d c o m p a r i s o n s w i t h o t h e r n u m e r i c a l

s o l u t i o n s a n d e x p e r i m e n t s . W h i l e a l l a r e s u b j e c t t o c o n s i d e r a b l e u n c e r t a i n t y , w e

h a v e d o n e a n u m b e r o f s u c h t e s t s . U s i n g a n a x i s y m m e t r i c v e r s i o n o f o u r c o d e w e

h a v e , f o r e x a m p l e , c o m p a r e d o u r r e s u l t s w i t h o n e c a s e c o m p u t e d b y R y s k i n a n d

L e a l ( 1 9 8 4 ) . F o r R e = 2 0 a n d W e = 1 2 , t h e y f o u n d C

d

= 0 3 3 o n t h e g r i d t h a t t h e y

u s e d f o r m o s t o f t h e i r c o m p u t a t i o n s . W e f o u n d E o a n d M f r o m t h e s e v a l u e s a n d

f o l l o w e d t h e m o t i o n o f a b u b b l e , u s i n g a v e r y l a r g e d o m a i n a n d a b o u t 2 5 g r i d p o i n t s

p e r b u b b l e r a d i u s , u n t i l i t r e a c h e d s t e a d y s t a t e v e l o c i t y . T h i s v e l o c i t y w a s w i t h i n

2 % o f R y s k i n a n d L e a l ' s p r e d i c t i o n ( s e e J a n , 1 9 9 4 ) . C o m p a r i s o n w i t h o t h e r c a s e s

c o m p u t e d b y D a n d y a n d L e a l ( 1 9 8 9 ) s h o w s i m i l a r a g r e e m e n t . F o r a c o m p a r i s o n


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F I G . 1 1 . S i m u l a t i o n o f t h e m o t i o n o f t w o , t w o - d i m e n s i o n a l b u b b l e s w i t h a h i g h d e n s i t y

r a t i o . L e f t :

o

=

b

= 1 0 0 . R i g h t :

o

=

b

= 1 0 0 0 . T h e b u b b l e s h a p e a n d a f e w s t r e a m l i n e s a r e

p l o t t e d .

r a t i o o f 1 0 0 ( l e f t ) a n d a n o t h e r f

a front tracking method for the computations of multi phase flow

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