a framework for symbolic and numeric computations - inria

100
HAL Id: inria-00072629 https://hal.inria.fr/inria-00072629 Submitted on 24 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. A framework for Symbolic and Numeric Computations Bernard Mourrain, Hélène Prieto To cite this version: Bernard Mourrain, Hélène Prieto. A framework for Symbolic and Numeric Computations. [Research Report] RR-4013, INRIA. 2000, pp.96. inria-00072629

Upload: others

Post on 09-May-2022

9 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

HAL Id: inria-00072629https://hal.inria.fr/inria-00072629

Submitted on 24 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

A framework for Symbolic and Numeric ComputationsBernard Mourrain, Hélène Prieto

To cite this version:Bernard Mourrain, Hélène Prieto. A framework for Symbolic and Numeric Computations. [ResearchReport] RR-4013, INRIA. 2000, pp.96. �inria-00072629�

Page 2: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

ISS

N 0

249-

6399

ISR

N IN

RIA

/RR

--40

13--

FR

+E

NG

ap por t de r ech er ch e

THÈME 2

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

A framework for symbolic and numeric computations

B. Mourrain & H. Prieto

N° 4013

15 Septembre 2000

Page 3: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria
Page 4: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles, B.P. 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

Téléphone : 04 92 38 77 77 - International : +33 4 92 38 77 77 — Fax : 04 92 38 77 65 - International : +33 4 92 38 77 65

� ��������� ��������������������������� ��!#"$!&%#�'�(���)�*�+���,-%�.��/.0����!#�

1-243658709:9:;=<?>A@CBD2FEG9:<?HJI:5KMLON�PRQ�S�TVUXW�YOZ[QG\^]`_JZ^a)Z[Q�\Q)bca)de\fa�gh\�ikjlP�m=]`\^ZfnJghQoqpr]estQ)bvuwde_xd

yzde{h{|]Jpkbz}wQGprQ�a~LOQ�pra~LhQ�Y=���J�h����T����RuwQ){wbrQ)P�mhp�Q�Se�J�`��T��`�R{hd`_`Q�i

�#�����)���O�`�`� KMLOQ�YhQ)Q�}�br]�a�]JP�mOZ^YOQ�i�jlP�m=]`\^Z^a�d`Yh}�YlgOP&Q)prZ^a�a)]`P&{Ogwb~d�b�Z^]`Y|i�Z^i�gOmOZfnJghZ�br]`ghi�Z^iP�d`Yxj�{Opr]`mO\^Q)P�i�i�gha~L6dJi�brLOQ���]`pr�Mdep~}�d`Yh}�Z^Yl�`Q)p~i�Q� xZ^YOQ�P&deb�Zfa)i�]e�Gp�]Jm|]`bri�¡(P&]eb�Z^]`Y�{h\^d`YOYOZ^YO_h¡brLOQ�deY|de\^jli�Zfi&]e�Xb�LOQ�_JQ)]JPRQ)b�prZ^a¢ikb�prgha£brgOprQ-]`�XP&]J\[Q:a�gO\^Q�i�¡�a)]`P&{Ogwb~d�brZ[]JYhde\z_JQ)]JPRQ)b�prj`¡+_`Q)]JP&Q�b�prZfad`Yh}�i�]`\^Zf}�P&]w}wQ)\^\^Z[YO_|¡F_`p~de{hLOZ^a�i)¡+a�]`P&{OgOb�Q)p�¤¥deZf}wQ�}¦}wQ�i�Z[_JY�¡4a)]`P&{OgwbrQ)p&�lZ^i�Z[]JY�¡+i�Z^_`Yhd`\�{hp�]wa�Q:i�i�Z^YO_§�§)§ uxbrd`pkbrZ[YO_¢�(Z[b�L¨deY©Q�ªOdJa£b�]`pGd`{O{Opr]�ªlZ^P�d�brQR}wQ:i�a)p�Z^{wbrZ[]JY©]`�4brLOQ�Q�nxghdeb�Z^]`Yhi�¡«��Q&�(Z[\^\FQ)�JQ)Yxb�g|de\^\[jL|d��`Qzbr]Ra)]`P&{OgwbrQXd�YlgOP&Q)prZ^a�de\8de{O{hp�]�ªwZ^P&deb�Z^]`Y�]`��b�LhQ/i�]`\^gwbrZ[]JYhi § KMLOZfi�\[Q:d`}Oi+b�]RYOQ��G¡wZ[Yxb�Q�p�Q:itbrZ[Yh_d`Yh}�a~L|de\^\[Q�YO_`Z^YO_�nxgOQ:itbrZ[]JYhi+Q)Z[b�LOQ�pM��p�]JP¬d�b�LhQ)]`prQ�brZ^a�de\8]`p�{Op~d`a�b�Zfa)de\={=]`Z^YJb(]`�«�lZ[Q��6d�b�b�LOQX��pr]`Yxb�Z^Q)pm=Q�bt��Q)Q�Y-d`\[_JQ)mOp~dRdeYh}-deYhd`\[jwi�Z^i §KMLOQR]`mOstQ�a£brZ[�JQ�]`�Fb�LOZfivp�Q�{|]JpkbXZ^ivb�]-}wQ�ira�prZ^m|Q&d���p~deP&Q)��]`pr #��]`p/ikjlP�m=]`\^Zfa�deY|}�YlgOP&Q)prZ^aRa�]JP�¤{hgwbrdeb�Z^]`Yhi�¡­a)de\^\^Q�}�®«¯x°8¡8�(LOZfa~L�a)d`Y�m|QRghi�Q�}¢br]���de\^Zf}Od�brQ�b�LhQ�i�Q�YOQ��±}wQ)�JQ)\^]`{OP&Q�YJb~icd`Yh}¢b�]#mOgOZ^\^}}OQ)�`]`b�Q:}²de{O{h\[Zfa)deb�Z^]`Yhi�]`p�i�]`\^�`Q)p~i § KMLOZfi&Q)Yl�lZ^p�]JYOP&Q)YxbRd`\[\^]��zi�ghiRbr]©}OQ�³hYOQ-{hd`prd`PRQ)b�Q�p�ZfikQ:}´mOgwbQ)µ�a�Z^Q)Yxbza�\fd`irikQ:iM]e��m|d`i�Z^a/de\^_`Q�mOp~deZfac]JmwstQ�a�bri(i�gha~L-dJiM�`Q:a£b�]Jpri�¡lP�d�b�prZfa�Q�i�¡wP&]`YO]JP&Z^d`\^iMdeY|}#{=]`\^jlYO]e¤P&Zfde\fi)¡ §�§)§ �(LhZ^a~L©a)deY�m|QRghi�Q�}�Q:d`i�Z[\^j¢Z[Y�b�LOQ�a)]`Yhikb�prgha£brZ[]JY�]e�+PR]Jp�Q�Q)\fdem=]`p~d�brQ�}�de\^_`]Jp�Z[b�LhP&i §/¶ Q{|d�j&d�ik{=Q�a)Z^d`\­d�bkbrQ)Yxb�Z^]`Y�b�]R_`Q)YhQ)prZ^a)Z�btj&deYh}�b�]Rp�Q�ghirdemOZ^\[Z[btjR]e�«Q)ªxbrQ)prYhde\=\^Z[mOp~deprZ^Q�i4i�gha~L-d`iM¯`®«°:®�·=¸F¡¹�º °O»h¼­¯ º ¡4½�¾c° §�§)§�¿ Y¨b�LOZfi�p�Q�{|]Jpkb:¡���Q�}wQ:i�a)p�Z^m|Q�b�LOQ#itbrp�gha�b�gOprQ�]`�(b�LOQ-ik]`�Àbt��d`p�Q�d`Yh}©b�LOQ#P�deZ^Ybr]l]`\fiM]`p(a�\fd`irikQ:iM�(LOZfa~L-d`p�QGd���deZ^\^d`mO\^Q §Á�ÂxÃ8ÄrÅ�Æ ��Ç��`� �JQ�a�b�]`p:¡0P�d�b�prZ[ª8¡q{=]`\^jlYO]`P&Zfde\È¡qQ�nxghdeb�Z^]`Yhi�¡qp�Q:ikgh\�b~deYxb�¡qQ�Z[_JQ)Yl��de\^gOQ`¡Fi�]`\^�`Q�p�¡q}Odebrd�¤ikb�prgha�b�gOprQ`¡w\^Z[mhprd`p�j

Page 5: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� ! �z!���������!#!#�z��z!�. ,���%#���)� �������M%-�¨����� �D���)����%�� ��.!R%-���(�0����%#�

� ���� ��� Q�m=Q�i�]`Z^Y�}wQ�a)]`P�mOZ[YhQ)pv}OQ�iXa)de\fa�gh\^ivYlgOP&W)prZ^nxgOQ:izQ�bGi�jxP�m|]J\[ZfnxgOQ�icQ�ikbv{OprW�i�Q)Yxbv}hdeYhim=Q�d`gha�]JgO{ }wQD{Op�]JmO\^N)P&Q�i�¡zde\^\^d`Yxb#}wQ�\fd²pr]`m=]ebrZ^nxgOQ��²\fd¨_`W�]`P&W�brp�Z^Q�de\^_`]Jp�Z[b�LhPRZfnxgOQ�Q)Y6{hd`iri�d`Yxb{|dep�\�� deYhd`\[jwi�Q�}wQ¢itbrp�gha�b�gOprQ�i�P&]`\^W�a�gh\^d`Z[prQ�i�¡�\fd��lZfikZ^]`Y�{hdep�]`p~}wZ[Y|d�b�Q�gOp:¡�\^Q�brprd`Z�brQ)P&Q)Yxb&}wg¦i�Z[_JYhde\§�§)§�� d`Yhi(a�Q:i�d`{O{O\^Z^a�d�brZ[]JYhi)¡w\^Q�iMW:nxghd�brZ[]JYhi�{|Q�gO�`Q�YJb��)b�prQ/}OW�a�prZ[b�Q�i(}OQXP�d`YOZ[N�p�Q/Q)ªwdJa£brQv]Jg-d��JQ�aX}wQ�ia)]lQ�µ�a�Z^Q)Yxbri�de{O{Opr]wa~LOW�i/Q)b�gOYOQ�m|]JYOYOQ�d`{O{Opr]�ªlZ^P�d�brZ[]JYDYlgOP&W)prZfnJghQ�}wQ�i�a�]l]`p~}w]`YhYOW)Q:iX}OQ�i�{=]`Z^Yxbri}O]`Z[b���brp�Q�a�de\fa�gO\^W)Q §�� Q:i({Opr]`mO\^N)P&Q:izik]JgO\^N)�`Q�Yxbc}wQ�YO]JgO�`Q�\[\^Q�i(Q)bvZ^Yxb�W)prQ�irirdeYxb�Q:i(nJghQ�ikb�Z^]`Yhi���\^dR��]JZ^ibrLOW)]Jp�ZfnxgOQ�ivQ�bG{Op~d�brZ^nxgOQ:i)¡��#\^d#��pr]`Yxb�Z^N)prQ�Q�Yxb�prQ�\�� d`\[_JN)mOprQ�Q)bX\�� deYhd`\[jwi�Q § � � ]JmwstQ�a�b�Z[�+}wQ�a�QRprd`{O{=]`p�bQ:itb�}wQ¢}wW�a)p�Z^prQ#gOY¦Q)Yl�lZ[pr]`YhYOQ)P&Q)Yxb&{|Q�p�P&Q)bkbrd`Yxb&}wQ¢a�]JP�mOZ^YOQ�pR\^Q¢ikjlP�m=]`\^ZfnJghQ#Q)bR\^Q#YlgOP&W�p�ZfnxgOQ`¡Q�YD�lgOQ&}wQ&��de\^Z^}OQ)p�a�Q:iXYO]`gO�JQ�d`gwª�}wW)�JQ)\^]`{O{=Q)P&Q�YJb~iX]`gD}OQRP&Q)bkb�prQ&Q)Y©{O\fd`a�Q&}wQ:iGik]J\[�JQ)gOp~iv}OW�}wZ^W�i�´a)Q)p�brdeZ^Yhi�btjl{|Q�}wQ�{hp�]JmO\[N�P&Q�i §�� Q�\[gOZ[¤¥a�Zzi�� d`{O{OgOZ^Q�ikgOp�}wQ:i�a�\fd`irikQ:iR{hdep~deP&W�brp�W�Q�i&}wQ¢�`Q:a£brQ)gOp~i)¡}OQ#P�d�brp�Zfa�Q:i)¡F}OQ#{=]`\^jlY �`P&Q�iRnxgOZM{|Q�gO�`Q�Yxb!�)b�prQ#de_JQ)Yha)W)Q:i�Q)bRZ^YhikbrdeY|a�Z^Q)p&d�³hY�}wQ-a)]`Yhikb�prgOZ^p�Q#}wQ�id`{O{O\^Z^a�d�brZ[]JYhi�]Jg�de\^_`]Jp�Z[b�LOP&Q:iGQ�µ�a)dJa�Q:i §#" ]`g|i�d��J]`Yhi�d`{O{=]`p�b�W�ghYOQ#debkb�Q�Yxb�Z^]`Y²{hd`pkbrZ^a)gO\^Z[N�p�Q$��\^d_JW)YOW�p�Zfa�Z[b�Wv}wQ�i+a�]w}wQ�i4Q�b�\^d�a)]`YOYhQ�ªwZ[]JY�d��`Q:a(}wQ�i+mOZ^mO\[Z^]ebrLON�nxgOQ:iFQ)ªxbrQ)prYOQ�i4Q�bMik{=W�a)Z^d`\[ZfikW�Q�i0brQ)\^\[Q:i+nxgOQ¯J®«°:®�·=¸F¡ ¹�º °O»O¼­¯ º ¡=½�¾c° §�§)§%� deY|iza�QGp~de{O{=]`p�b�¡wYh]`ghi(}wW:a�prZ[�J]`Yhi�\fd�itbrp�g|a£b�ghp�QG}wQG\fd&mOZ^mO\[Z^]ebrLON�nxgOQd`Z[Y|ikZ�nxgOQ/\^Q�i({OprZ^Yha�Z^{hdegOª�]`gwbrZ[\fi(}wZfik{=]`YhZ[mO\^Q�i §& Æ �:� Ä �(' � � �JQ�a�b�Q)ghp�¡MP�d�brp�Zfa�QJ¡�{=]`\^jlYO]`P&QJ¡�W:nxghd�brZ[]JYhi)¡MprW�i�gO\[brdeYxb:¡(��d`\[Q�gOp�{Opr]`{hp�QJ¡�i�]`\^�`Q�gOp�¡ikb�prgha�b�gOprQG}wQG}w]`YOYhW)Q�i�¡OmOZ^mO\^Z[]`b�LON:nxgOQ

Page 6: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �

, -/.10324.1065

798$: ��� Æ Ç����e�<; Æ : =� § � � ]JYxbrdeZ^YOQ�pri §X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ >� § S@?vZ[Q��zi §/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �� § � A�]l}OgO\[Q:i §G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �� § � K�Q)P&{O\fd�brQGQ�ªw{OprQ�irikZ^]`Y §G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �:�� § �CBcZ^ikb�]Jp�Zfa)d`\­mhd`a~ l_Jp�]JgOYh} §/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ ��S� § � DAbrgwb�]Jp�Zfde\ §X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ ��S

EGF �O�<;���Ç��O���´�)��� �«�`���«�  � EH7S § �JIvikZ^YO_&brLOQ ¹�K ¯ §/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ SO�S § S � ]JP&{O\[Q)ª�YlgOP�m=Q)p~i §/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ SJSS § � L�Z^_&YxghP�m=Q)p~i §G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ SJSS § � A�]l}OgO\^d`p(YlgOP�m=Q)p~i §G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ SJ�

MON ; :  �w�¢� '�P  ����� E(=� § �Q?qQ:a£br]`p~i §G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ SSR� § � § � ¿ YJbrp�]w}wg|a£b�Z^]`Y §G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ SSR� § � § S ¿ PR{h\[Q�PRQ�Yxbrd�brZ[]JY §/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ SSR� § � § � � ]`Yxbrd`Z[YOQ�pri+��]JpT?qQ�a£br]`p~i §G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ SSR� § � § � DzY¢Q�ªOdeP&{O\^Q/]e�0a�]`Yxb~deZ^YO]`p §X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ S >� § � § � Bz]�� br]&ghikQ/brLOQ)P §G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ S >� § S KMLhQGPR]w}wgh\[Q�UWV#XSY[Z]\ §G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �J�� § � � Q)Y|ikQGP�d�brp�Zfa�Q:i §G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �h�� § � § � ¿ YJbrp�]w}wg|a£b�Z^]`Y §G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �h�� § � § S ¿ PR{h\[Q�PRQ�Yxbrd�brZ[]JY §/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �xS� § � § � KMLOQGitb~deYh}Od`pr}-a�]JYxbrdeZ^YOQ�p §X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �xS� § � § � KMLOQGa�]`Yxb~deZ^YOQ)pM��]JpMb�LOQ�a)]`YOYOQ:a£brZ[]JY#�(Z[b�L � d`{hd`a~  §G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �xS� § � § � Bz]�� br]&ghikQ/brLOQ)P §G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �xS� § � ulb�prgha£brgOp�Q:}-P&deb�prZ^a)Q�i §G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �x�� § � § � ¿ YJbrp�]w}wg|a£b�Z^]`Y §G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �x�� § � § S ¿ PR{h\[Q�PRQ�Yxbrd�brZ[]JY §/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �J�

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 7: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� ����� �!#������� ����� � ����$)

� § � § � D�a�]`Yxb~deZ^YOQ)p���]`pzK�]lQ){O\^Z[b��GP�d�brp�Zfa�Q:i §G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �J�� § � § � D�a�]`Yxb~deZ^YOQ)p���]`p�BvdeYO JQ)\­P�d�brp�Zfa�Q:i §G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �J�� § � § � Bz]�� br]&ghikQ/brLOQ)P §G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �WR� § � uw{hdep~ikQ/P�d�brp�Zfa�Q:i §G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �J�� § � § � ¿ PR{h\[Q�PRQ�Yxbrd�brZ[]JY §/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �J�� § � § S D�itb~deYh}Od`pr}#a�]JYJb~deZ^YOQ)p���]Jpzik{hd`pri�Q/P�d�b�prZfa�Q�i §/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �J�� § � § � � ]`Yxbrd`Z[YOQ�p���]`pMb�LhQ�a�]`YhYOQ�a�b�Z^]`Y-�(Z�brL�uwgO{|Q�p � I §X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �J�� § � KMLhQG\[Z^YOQ�d`pzde\^_`Q�mOprd�{hd`a~ �d`_`Q §/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �x�� § � § � hd`ikb� O]JgOp�Z^Q)pzK�p~deYhik��]`prP §X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �x�� § � § S K«prZ^d`YO_`gh\^d`p�}wQ:a�]JPR{=]Ji�Z[b�Z^]`Y §G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �x�� § � § � ul]`\^�lZ[YO_&\^Z[YhQ�dep(i�jwitbrQ)P�i §G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �|�� § � § � � Q)b�Q)prP&Z[Y|deYxbri §G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �|�� § � § � yzdeYO  §G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �lS� § � § � �qZ[_JQ)Yl�`Q:a£br]`p~i�d`Yh}#Q)Z^_`Q)Yl��de\^gOQ:i §G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �x�� § � § R �0ªwQ)P&{O\^Q §G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �J���� : ;��O�w��;��w� Â��vÆ ' à : Æ ;�� ' � =� § � � Q)Y|ikQGgOYhZ[��deprZfd�b�Q/{=]`\^jlYO]`P&Zfde\fi §G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �#R� § � § � ¿ PR{h\[Q�PRQ�Yxbrd�brZ[]JY §/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �#R� § � § S � ]`Yxbrd`Z[YOQ�pri+��]Jp(gOYOZ^��d`p�Zfd�brQ/{|]J\[jlYO]JPRZfde\fi §G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �#R� § � § � �0ªOdeP&{O\^QX]`�0a)]`Yxbrd`Z[YhQ)p §G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ � >� § � § � Bz]�� br]&ghikQ/brLOQ)P §G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ � >� § S �vgh]eb�Z^Q)Yxb(]e�0gOYOZ^��deprZ^deb�Q/{=]`\^jxYh]`P&Z^d`\^i §/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �`�� § S § � ¿ PR{h\[Q�PRQ�Yxbrd�brZ[]JY §/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �`�� § S § S � ]`Yxbrd`Z[YOQ�pri+��]JpznJgh]eb�Z^Q)YxbrQ�}#{|]J\[jlYO]JPRZfde\fi §G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �`�� § S § � Bz]�� br]&ghikQ/brLOQ)P §G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �O�� § � uw]`\^�xZ^YO_&gOYOZ^��deprZ^deb�Q/{=]`\^jxYh]`P&Z^d`\^i §X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �JS� § � § � Dzm=Q)p�b�L¢P&Q�b�Lh]l} §/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �JS� § � § S ulQ)mhdJitbrZ[]�d�uljl\^��dRP&Q�brLO]w} §X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �`�� § � § � �0ªOa�\^ghikZ^]`Y-P&Q�brLO]w}Oi §/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �`�� § � uwjx\^�`Q:itbrQ)pzd`Yh} L�Q��)]`gObMP�deb�prZ^a)Q�i §G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �SR� § � § � ¿ YJbrp�]w}wg|a£b�Z^]`Y §G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �SR� § � § S ¿ PR{h\[Q�PRQ�Yxbrd�brZ[]JY §/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ � >

� & � 'À�<;��O�w��;��w� Â��FÆ ' à : Æ ;?� '�� ���� § �GA�]`YO]JPRZfde\fi §X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �`�� § � § � ¿ PR{h\[Q�PRQ�Yxbrd�brZ[]JY §/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �`�� § � § S � ]`Yxbrd`Z[YOQ�pri+��]Jp(Q�ªw{|]JYOQ)Yxb~i §G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �`�� § � § � A¢]`YO]JP&Z^d`\=]Jpr}OQ)p~i §G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �J�� § S A�gO\�brZ[��d`p�Zfd�brQX{=]`\^jlYO]`P&Zfde\fi §G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �J�� § S § � ¿ PR{h\[Q�PRQ�Yxbrd�brZ[]JY §/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �J�� § S § S � ]`Yxbrd`Z[YOQ�pri+��]Jp(P�gO\[b�Z^��deprZ^deb�Q/{|]J\[jlYO]JP&Z^d`\^i §/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �h�� § S § � �0ªOdeP&{O\^Q §G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �h�

�� ^��!

Page 8: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �

� § � A�gO\�brZ[��d`p�Zfd�brQ/yzQ�i�gO\�b~deYxbri §G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �xS� § � § � uljl\[�JQ�ikb�Q)p�¤ \[Z^ `QvP&deb�prZ^a)Q�i §G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �`�� § � § S oqp�]`stQ�a�b�Z^�`QXp�Q:ikgO\[brd`Yxb §G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �`�� § � § � K«]Jp�ZfacprQ�i�gO\[brd`YJb §/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �WR� § � § � L+Q��)]Jgwb�ZfdeY-p�Q:ikgh\�b~deYxb §G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ � >� § � uw]`\^�xZ^YO_&{=]`\^jxYh]`P&Z^d`\�ikjwikb�Q�P&iMmlj�P�deb�prZ�ª#a)]`P&{Ogwb~d�brZ[]JYhi §G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �J�� § � § � ul]`\^�lZ[YO_R��pr]`P brLOQG]`{=Q)p~d�br]`p~i4]`��P�gO\[b�Z^{O\[Zfa)deb�Z^]`Y §X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �J�� § � § S ul]`\^�lZ[YO_R��pr]`P P�deb�prZ�ª�]`��gOYhZ[��deprZfd�b�Q/{=]`\^jlYO]`P&Zfde\fi §G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ R`S� § � § � � ]`P&{OgwbrZ[YO_RbrLOQGP�d�b�prZ[ª�]e�0P�gO\[b�Z^{O\^Z^a�d�brZ[]JY���pr]`P p�Q:ikgO\[brd`Yxb�P�d�brp�Zfa�Q:i §G§X§G§ Re�� § � § � DzY¢Q�ªOdeP&{O\^Q/mhd`i�Q�}#]`Y-prQ�i�gO\�b~deYxb(P�d�b�prZfa�Q�i §/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ R��

� § � uw]`\^�xZ^YO_&mlj�a�]JYxb�pr]`\^\[Q:}�Z[b�Q�prdeb�Z^�`QXPRQ)b�LO]w}Oi §G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ R`�� § � § � KMLOQGa�\fd`irikZfa)d`\={=]���Q)p(P&Q�brLO]w}-d`Yh}#Z[Yl�`Q�pri�QX{|]���Q)p(P&Q�brLO]w} §G§/§G§/§G§G§X§G§ R`�� § � § S ¿ PR{h\[Zfa�Z[bzZ�brQ)p~d�brZ[�JQXP&Q)b�LO]w} §G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ Re�� § � § � y(Q�i�gO\[bri §G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ R R

� � ��� ' ;��J�w� ; Æ : � =��� § � KMLhQ�a)d`i�QX]e�qd&uwZ�ªl¤*D�b�]`P4A¢]`\^Q�a)gO\[Q §G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ Re�� § � § � oqp�]JmO\^Q)P §G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ Re�� § � § S Dz\^_`Q)mhprd`Z^ac��]`prP�gO\fd�brZ[]JY §G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ > �� § � § � y(Q�i�]`\^gwb�Z^]`Y#¤4y(Q:ikgO\[bri §G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ > �� § S KMLhQ�}wZ[prQ�a�b( xZ^YOQ�P&deb�Zfa/{Opr]`mO\^Q)P ]`��dR{hd`prd`\[\^Q)\­pr]`m=]eb §G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ > �� § S § � oqp�]JmO\^Q)P §G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ > �� § S § S Dz\^_`Q)mhprd`Z^ac��]`prP�gO\fd�brZ[]JY §G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ > S� § S § � y(Q�i�]`\^gwb�Z^]`Y#¤4y(Q:ikgO\[bri §G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ > �

��� ÆlÅ � Æ ; : ����� ' 'M���  ' ;������w� à � =D § � UXQ)b(b�LOQ/³|\[Q:i(mlj��Àb�{ §/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ > RD § S ¿ Y|itb~de\^\[Z^YO_Rb�LOQ�ira�prZ^{wb���� §G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ > >D § � Bc]�� br]�ghikQ/Z[b §/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ > �D § � IvikZ^YO_�dRP�de JQ�³h\^Q §G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§/§G§/§G§G§/§G§/§G§X§G§/§G§G§/§G§/§G§/§G§G§X§G§ �J�

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 9: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� ����� �!#������� ����� � ����$)

�� ^��!

Page 10: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� R

� ��������� �

.10��3-������ 0�� - .

KMLhQG]`mwstQ:a£b�Z^�`QX]e��b�LhZ^i(prQ){=]`p�b(Z^i(b�]�}wQ�ira�prZ^m|Q�d���p~deP&Q)��]`pr &��]`pzi�jlP�m=]`\^Z^a/deY|}�YlgOP&Q)prZfaGa�]`P&{OgObrd�¤brZ[]JYhi�¡xa�de\^\[Q:}�®«¯x°�� § KMLOQvYOQ)Q:}�b�]Ra�]JP�mOZ^YOQ(brLOQ�i�Qzbt��]�}w]JP�deZ^YhiFZfi4ghmOZ^nxgOZ[b�]Jghi+Z^i+P�deYlj&{Op�]JmO\^Q)P�i §ulbrdep�b�Z^YO_��(Z[b�L²d`Y©Q)ªOd`a£b�}wQ:i�a)p�Z^{wbrZ[]JY©]`�Mb�LOQ�Q:nJg|d�b�Z^]`Y|i)¡�Z[Y¨P&]Jikb�]e�MbrLOQ�a)dJikQ:i)¡��+Q��(Z^\[\+Q)�JQ)Yxb�gw¤d`\[\^j´Lhd��`Q�b�]´a�]`P&{OgOb�Q#d`Y�de{h{Op�]�ªwZ^P�d�b�Z^]`Y¨]`�zb�LhQ#i�]`\^gwb�Z^]`Yhi § �q�`Q�Y���]`p~ikQJ¡�Z^Y�P�d`Yxj´{Opr]`mh\[Q�P&ibrLOQ�a�]lQ)µ�a)Z[Q�Yxbri(]`��brLOQ�Q�nxghdeb�Z^]`YhiMP�d�j#m|Q� lYO]��(Y-�(Z[b�L�i�]`P&QGZ[Y|d`a)a)gOp~d`a�j�� }wgOQJ¡O��]`pcZ[Yhikbrd`Yha�QJ¡wb�]P&Q:d`i�gOp�Q�P&Q)YxbFQ)prp�]Jpri�� §�¿ Y&b�LOZfi4a�d`i�Q`¡J�+Qcd`p�Q(Yh]eb+}wQ:de\^Z[Yh_��(Z�brL�dGi�]`\^Q)\^jRi�jwitbrQ)P mhgwb+�(Z[b�L�d�YOQ)Z^_`Lw¤m=]`ghp�LO]l]w}-]e�Fi�jlikb�Q�P�izdeYh}-��Q�Lhd��JQvbr]�brd` `QGZ^Yxb�]�d`a�a�]JgOYxb(b�LOQ�a)]`Yxb�Z^YlgOZ[btj�]e�0brLOQ�i�]`\^gwb�Z^]`YhiM�(Z[b�LprQ�i�{=Q�a£b/br]¢b�LOQ�Z^YO{OgwbRa�]lQ�µ�a�Z^Q)Yxb~i § KMLOZfiG\^Q�dJ}OiXb�]�YOQ��G¡«Z^Yxb�Q)prQ�ikb�Z^YO_�deY|}©a~L|de\^\[Q�YO_`Z^YO_�nxgOQ�ikb�Z^]`Yhi� �e�O¡8�`����Q�Z�brLOQ)pv��pr]`P d�b�LhQ)]`prQ�brZ^a�de\�]`pc{hprdJa£b�Zfa)d`\«{=]`Z^Yxbv]e�F�lZ^Q)�±debcb�LhQ���pr]`Yxb�Z^Q)pvm|Q)bt�+Q�Q)Y�d`\[_JQ)mOp~dd`Yh}-deYhd`\[jwi�Z^iMdeY|}#�(Z[b�YhQ�irikQ:i�b�LOQGQ�PRQ�p�_JQ)Yha)Qv]`�0dRYOQ��6Z^Yl�`Q�ikb�Z^_Jdeb�Z^]`Y � �x�l¡O�h� � §A�d`Ylj�]e�0brLOQ�i�Q�}wQ��`Q)\^]`{hPRQ�Yxbri(Lhd��JQGde{O{O\^Zfa)d�brZ[]JYhi(Z^Y¢b�LOQ���]`pr��d`pr}-deYh}-Z^Yl�`Q)p~i�QG xZ^YOQ�P&deb�Zfa)i(]`�pr]`m=]eb~i«d`Yh}�P&Q�a~L|deYOZfikP�i�d`i��+Q�\[\wd`i«b�LhQ+a�]JP&{Ogwbrdeb�Z^]`Y�]e�wb�LhQ)Z^p�P&]`b�Z^]`Y�{O\fdeY|i � �)�O¡e�`���È¡�brLOQ�_`Q)]JP&Q�bk¤prZfaRikb�prgha�b�gOprQ�]`�+P&]`\^Q�a)gO\^Q�i � �O¡«Se�!�È¡�a�]`P&{OgObrd�brZ[]JYhde\0_JQ)]`P&Q)b�prj`¡­_`Q�]`P&Q�brp�ZfaRdeYh}©ik]J\[Zf}DPR]w}wQ�\[\^Z^YO_h¡_Jprd`{OLOZfa)i�¡:d`Yh}�a)]`P&{OgwbrQ)p�¤ d`Z^}OQ�}G}wQ:ikZ^_`Y � �e�h¡�SO¡:�J�w¡��J��� ¡ea�]JP&{Ogwb�Q�p0�xZfi�Z[]JY�¡�ikZ^_`Yhd`\J{hp�]wa�Q:i�i�Z^YO_ � �e���Od`i��Q)\^\­d`iMnxghdeYxbrZ�³hQ�pMQ)\^Z[P&Z^Yhd�brZ[]JY � Se�O¡O�SRx¡­�:�l¡w�"�È¡Od`Yh}�brLOQGik]J\[gOb�Z^]`Y�]`��i�jwitbrQ)P�i�]e�«Z^YOQ�nxghd`\[Z[b�Z^Q�i � �SR#� §KMLhQ¢b�]l]`\fi&b�L|d�b���Q�}wQ�ira�prZ[m=Q�LOQ�p�Q�d`Yh}��(LOZ^a~L�d`p�Q¢mhdJikQ:}¦]JY�P&deb�prZ�ª�P�deYOZ^{OgO\fd�brZ[]JYhi)¡ � �e�O¡��O�$�d`p�Q&de\fi�]-g|ikQ:}�Z^Y´Q %8Q�a£brZ[�JQ�de\^_`Q)mhprd`Z^a�_`Q�]`P&Q�brp�j � S R&� ¡«Z^Y¨a�]JPR{h\[Q)ªlZ[btj¢b�LhQ)]`prj � �JSl¡��`�w¡«�O�$� § KMLhQ)jd`{O{=Q�dep4b�]�m|Qv��gOYh}Od`P&Q)Yxbrd`\|Z^Y#i�Q)�JQ)p~de\O]`b�LOQ�p�}w]JP�deZ^Yhi4i�gha~L�dJi4prQ�i�Z^}OgOQ(b�LhQ)]`prj � �J�w¡x�J����deY|}�a�]JP�¤{h\[Q)ª�d`Yhde\^jwikZfi � Rl¡8�w¡�� � § KMLOQ�Z[pXde{O{O\^Zfa)d�brZ[]JYhi(��pr]`P d`Y�de\^_`]`prZ[b�LOP&ZfaG{|]JZ[YxbX]e�F�lZ[Q���deprQ�Z[\^\^ghitbrprdeb�Q:}Z^Y � ��Rx¡h�w¡«���w¡hS > � §q¶ QGprQ���Q)pMbr] � �h�$�­��]`pzd&P&]Jp�Q/}wQ�b~deZ^\[Q:}¢}wQ�ira�prZ[{Ob�Z^]`Y-]e�«brLOQ�i�QGP&Q�brLO]w}Oi §L�Q�a�deghi�Q�]`�(d`\[\4b�LOQ:ikQ-}wZ'%=Q�p�Q�YJbR}w]`P�deZ^Yhi�]e�zde{O{h\[Zfa)deb�Z^]`Y�¡�b�LhZ^i�Q)Yl�lZ[pr]`YhPRQ�Yxb�Lhd`i�b�]�{Opr]��lZ^}OQ��d`p�Z^]`ghi+Z^YJbrQ)prYhde\8prQ){OprQ�i�Q)Yxb~d�b�Z^]`Y|iq��]`p�brLOQ/]`mwstQ:a£bri+brLhd�bM�(Z[\^\­m=QXP�d`YOZ[{hgO\^deb�Q:} § KMLxg|i)¡lbrLOZ^i�\^Z[mhprd`p�jd`\[\^]��zi0br]�}wQ�³|YOQz{hd`prd`PRQ)b�Q�p�ZfikQ:}�mhgwb+Q)µ�a)Z[Q�Yxb�a�\fd`iri�Q�i0]e��m|d`i�Z^a(d`\[_JQ)mOp~deZfa�]`mwstQ:a£bri+ikg|a~L�d`iq�JQ�a£br]`p~i)¡P�deb�prZ^a)Q�i�¡«P&]`YO]JP&Z^d`\^i�d`Yh}©{|]J\[jlYO]JP&Z^d`\^i�¡ §�§)§ �(LhZ^a~L²a�deY´m|Q�ghikQ:}´Q�dJikZ^\[j�Z[Y´brLOQ�a�]JYhikb�prgha£brZ[]JY©]`�P&]Jp�Q¢Q)\fdem=]`p~d�brQ�}�de\^_`]Jp�Z[b�LOP�i § ¶ Q�{hd�j¦d¨i�{|Q:a�Zfde\cdebkbrQ)Yxb�Z^]`Y�b�]¨_JQ)YOQ�p�Zfa�Z[btj²]Jp�PR]Jp�Q�{hp�Q:a�ZfikQ�\[jbr]´{hdep~deP&Q�brQ)prZ^i�Q�}�a�\fd`iri�Q�i(�ÀbrQ)P&{O\fd�b�Q:i)�R�(LhZ^a~L�de\^\^]���ghi&br]©b�gOYOQ�Q�d`i�Z^\[j¨brLOQ�}Odebrd�¤¥ikb�prgha£brgOp�Q#b�]

*,+ -$-�.�/10$032$2$2�465,7 8�5:9;4=<$8>0 ?)9�@ 9 0 A$B)@�5�C>5:D>A ?�0)E>F$G>0

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 11: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

> ����� �!#������� ����� � ����$)

brLOQ�{hp�]JmO\[Q�P br]�m=Q#i�]`\^�`Q�} § uw]�a)d`\[\^Q�} )*��'&(� ��)* ��$&(� ������� �� deprQ�ghikQ:}´b�]�_`gOZf}wQ�brLOQ�Q)ªl{|deYhi�Z[]JY]`��a)]l}OQ&}OgOp�Z^YO_-b�LhQ�a�]`P&{OZ^\fd�b�Z^]`Y´deY|}�brLxg|i/b�]¢_`Q)bG�`Q)prj�Q�µ�a)Z[Q�YJb�Z^P&{O\^Q)P&Q)Yxbrdeb�Z^]`Yhi § KMLOQ&ghi�ghde\}OQ)�`Q�\[]J{OP&Q)Yxbri�]e�X\[Z^mOp~deprZ[Q:i)¡4Z[Y�{hdep�b�Zfa�gh\^d`p���]Jp&ira�Z^Q)YxbrZ�³|a-a�]JP&{Ogwbrdeb�Z^]`Yhi�¡4ZfiRghi�ghde\^\[j¨ghYh}wQ)p~ikb�]l]w}dJi�d¨a�]J\[\^Q�a�b�Z^]`Y�]e���t{hdJi�i�Z^�`Q��-p�]Jgwb�Z^YOQ�i § KMLOQ�d`{O{Opr]Jd`a~L�b�Lhdeb��+Q�dJ}w]`{Ob�LOQ)prQ¢Z^i�Z^Yhi�{OZ^p�Q:}¦mlj�dYhQ)� {hdep~d`}OZ[_JP�]e��i�]e�Àbt�MdeprQ�}wQ)�JQ)\^]`{OP&Q�YJb~i�a�de\^\[Q:} �]�$) ���� ��� ��� ����� � S`Sl¡M� > ¡�S`���/d`Yh}�Z[\^\^ghitbrprdeb�Q:}mlj#b�LOQ�\[Z^mOp~deprj-uwK � � �e�!� § KMLOQ�i�]e�Àbt�MdeprQ�a�]JPR{=]`YhQ)Yxbric]e�Fikg|a~L�d`a�b�Z^�`QG\^Z[mOp~deprZ^Q�iMb~de `Q�{hdep�bzb�]�b�LOQa)]`Yw³|_`gOp~d�brZ[]JY�deY|}�_JQ)YOQ�prdeb�Z^]`YR]e�=a)]w}wQ�i � d�b4a)]`P&{OZ^\^deb�Z^]`Y�b�Z^PRQ��£¡J�(LOZ^a~L�a)]`P�mhZ[YOQM{hd`prd`P&Q�b�prZfi�deb�Z^]`Yd`Yh}�Q)µ�a)Z[Q�Yha�j § oFp�]`stQ�a£b~ic\^Z^ `Q�=¯� K ��� ¡��8·�������`¡��������RdeprQ�mOghZ[\[bX]JY�b�LhQ�i�Q�Zf}wQ�dJi § KMLOQR{Op�Q:ikQ�YxbQ�Yl�xZ^pr]`YOP&Q)Yxb�Zfi�d`\^i�]�d¦itbrQ){ Z^Y�b�LhZ^i-}wZ^p�Q:a£b�Z^]`Y«¡z�(Z�brL6deY6]`prZ[Q�YJb~d�brZ[]JY¦br]���d`pr}�d`\[_JQ)mOp~deZfa�}Odebrd�¤ikb�prgha�b�gOprQ�iMi�gha~L�d`iM{=]`\^jxYh]`P&Z^d`\^i §¶ QGde\fik]&a�]JYhikZf}wQ�p�a�deprQ���gO\^\[j&brLOQ/{Opr]`mO\^Q)P ]`�«prQ)ghirdemOZ^\^Z�btj�]`�«Q�ªlb�Q�p�Y|de\8\[Z^mOp~deprZ[Q:i § � gOprp�Q�Yxb�\^j`¡l�+QL|d��`Q+a)]`YOYhQ�a£brQ�}R¯`®«°:®�·=¸ �À��]`p�b�p~deY�\[Z^mOp~deprjX��]`p0YlgOP&Q)prZ^a�de\x\[Z^YOQ�d`pqde\^_`Q)mhprd �£¡ º ¾��l°:®�·=¸ �!�=°:®«¼ ¹ »"�#���?p�Q:ik{=Q�a�b�Z^�`Q�\[j���]`p�b�p~deY�deYh} �%$&$ \^Z[mOp~deprZ^Q�i0��]Jp4ik{|dep~ikQ(P�d�brp�Zfa�Q:i)��¡ ¹�º °O»O¼­¯ º � � \^Z^mOprd`p�j���]`p4i�]`\^�lZ[Yh_i�{hd`pri�Q�\^Z[YOQ:depRikjwikb�Q)P ��¡+½«¾v° � � \^Z^mOprd`p�jD��]`pRQ�ªlbrQ)Yh}wQ:}²deprZ[b�LOP&Q�brZ^a�i)��¡('*)��+,�«¡ §)§�§ KMLlghi�¡qik{=Q�¤a)Z^d`\[Zfi�Q�}DZ[P&{O\^Q)P&Q)Yxb~d�b�Z^]`YD��]`pGZ^Yhikbrd`Yha�Q�ghi�Z^YO_�¯`®«°:®�·=¸¦p�]Jgwb�Z^YOQ�i�¡«a�deY¨a�]lQ�ªwZfitbG�(Z[b�L´_`Q�YOQ)prZfa�]JYOQ`¡

brLOQGa~LO]`Zfa�QXm=Q)Z^YO_�}wQ�brQ)prPRZ^YOQ:}�mlj�b�LhQXZ^Yxb�Q�p�Yhd`\8p�Q�{Op�Q:ikQ�Yxbrd�brZ[]JY §�¶ QGde\fi�]��MdeYxbMb�LOZfiM\[Z^mOp~deprjRb�]&m|QQ:d`i�j�br]�ghi�Q §&- Yha�Q�b�LOQ�mhd`i�Z^a�]`mwstQ:a£b~izLhd��JQ�m|Q�Q)Y©}wQ�³hYhQ�}�mlj�ik{=Q�a)Z^d`\[Zfird�b�Z^]`Y¢]`�qb�LOQR{hdep~deP&Q)b�Q)p~i�¡Z^Yha)\[gh}OZ[YO_&P�d�jlm|QXbrLOQ/]`{wbrZ[P&Zfi�deb�Z^]`Y-]e��i�]`P&QGa�prZ[b�Zfa)de\8pr]`gwbrZ[YhQ�i�¡w�+Q/�MdeYxb+br]&m|Q�d`mO\[QXbr]R�(prZ[b�QXb�LOQa)]w}wQ�]`�vdeY�de\^_`]`prZ[b�LOP.��d`i�Z[b�Z^iR]JY¨b�LOQ-{hd`{|Q�p/� § KMLOQ#{=]`\^jlP&]`pr{OLOZfikP d`Yh}¨_`Q�YOQ)prZfa�Z[btj©]`� �%$&$d`\[\^]��zi�ghi�b�]���]`pr �Z^Y#brLOZfiz}wZ^p�Q:a£b�Z^]`Y §¶ QFLhd��JQ0}OZ^ikb�Z^YO_`ghZ^i�LOQ�}vbrLOp�Q�QF\^Q)�`Q�\^i8]`�Oitbrp�gha�b�gOprQ`¡�Z[P&{O\^Q)P&Q�YJbrQ�}/Q�Z�brLOQ)p«dJi�a�\fd`iri�Q�i8]`p­Y|deP&Q�i�{hd`a)Q�i10� Æ : �:�[; :  ���32 � ; ÂxÅ � deYh} Æ Ç � '  � §�¶ Q&d`p�Q�_`]JZ[YO_#b�]¢}wQ:i�a)p�Z^m|Q�b�LhQ)P*YO]�� §�" Q�ªlb:¡��+QR�(Z^\[\q_J]brLOpr]`gO_JL�dGbrgwb�]Jp�Zfde\=]`Y#LO]���b�]Rghi�QcbrLOQ)P d`Yh}�brLOQ)Y#�+Qv�(Z[\^\8{Op�Q:ikQ�Yxb+brLOQcbr]l]`\fiFbrLhd�b(deprQva)gOp�prQ)Yxbr\[j

d���d`Z[\fdemO\^QXZ[Y-b�LhQGQ)Yl�lZ[pr]`YOP&Q�YJb § O]`p(d�a)]`P&{O\^Q�b�QG}wQ:i�a)p�Z^{wbrZ[]JY�¡w�+Q/prQ���Q�pMb�] � �`S#� §46574 8 ��!�.����)!#�(���KMLhQ)j�i�{|Q:a�Z[��j�b�LhQGZ[Yxb�Q�p�Y|de\8p�Q�{OprQ�i�Q)Yxbrdeb�Z^]`Y�]`��brLOQ/]`mwstQ:a£bri § KMLOQ)j�{Op�]��lZf}wQXPRQ)b�LO]w}OiM]JpM��gOYha�b�Z^]`Yhi��]Jp#dJa)a�Q:i�i�Z^YO_h¡Ma�prQ�deb�Z^YO_h¡�b�p~deY|it��]Jp�P&Z^YO_´b�LOZfi#p�Q�{Op�Q:ikQ�Yxbrd�brZ[]JY�d`Yh}�b�Llghi#}wQ){=Q)Y|} a�\^]Ji�Q)\^j¦]JY�b�LOQ}hd�brde¤ ikb�prgha�b�gOprQ § KMLOQ�j�deprQ�Z^P&{O\^Q)P&Q)Yxb�Q:}DdJi/a�\fd`irikQ:i �?]e�Àb�Q�YD{|dep~deP&Q�brQ)prZ^i�Q�}�mlj�a)]xQ)µ�a�Z^Q)Yxbvbtjl{=Q�i]JpMZ[Yh}OQ�ª�btjl{=Q�i��£¡O�(Z[b�L-��Q��6��gOY|a£b�Z^]`Y|izik]RbrLhd�bMb�LhQ)j#a�deY-m|QGprQ)�(prZ[bkb�Q�Y#]Jp(Q�ªlb�Q�Yh}wQ:}#Q:d`i�Z[\^j §¶ Q²��]J\[\^]�� b�LOQ�de{O{Opr]JdJa~L ]`��b�LOQ ¹�K ¯6\[Z^mOp~deprj � ���!� ¡��(LOZfa~L�Z^PR{h\[Q�PRQ�YxbriDmhd`i�Z^a�itbrp�gha�b�gOprQ�i

i�gha~L�d`i �:9�;=<">]\:?�@BA:C"DE<:F3G">]\:?�@H;ICI<">]\"?�@KJLC�M3N"CO>�\"?�@QPLP�P " Q�� a)]`Yxbrd`Z[YhQ)p~iMLhd��`Q/m=Q)Q)Y�dJ}O}wQ:}i�gha~L²dJi�]`YhQ�¤¥}wZ[P&Q�YhikZ^]`Y|de\+d`p�p~d�jwi �3G�G �3R!STJO> X:?��(Z�brL²_`Q�YOQ)prZfa�a�]lQ�µ�a)Z[Q�YJb~i)¡�bt��]e¤¥}wZ^PRQ�Yhi�Z[]JYhde\4d`pk¤p~d�jwi��3GLG �3R:U�J:>]X:?���]`p/}wQ�YhikQ�P&deb�prZ^a)Q�i�¡ � � �:D=V"> X:?���]`pvb�LOQRa�]`YhYOQ�a�b�Z^]`Y¢b�]�b�LOQW�q®«°:®�·=¸¨\^Z[mOp~deprj`¡; �3G�;�C ��NX> XO?/��]`pMbrLOQ�a�]JYOYOQ�a�b�Z^]`Y#b�]K� º °h»O¼!�#Y�¡ §)§�§Z + -$-�.�/10$0\[!B37>D�- 4^]$2>9�- D�8>A$B$B 4 C)9>0�_&A&5:-�`>0a + -$-�.�/10$032$2$2�4 9>C�A 41A�9)7&A 4=@>Bcb>0ed&C>5/f$F&0g + -$-�.�/10$032$2$2�41A ?$C 4 7ih 4 Dehe]&0)8 D>?�D$9�8&C3+&0\[�->A$0

�� ^��!

Page 12: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �

465�� � ������KMLhQ)jGik{=Q�a)Z���jGLh]��Dbr]cP�deYhZ[{Ogh\^deb�Q�]`p�br]vi�Q)Q4b�LOQMa�]JYJb~deZ^YOQ)p~i«dJi�P�d�brLOQ)P�deb�Zfa)de\x]`mOstQ�a£b~i�d`Yh}G{Opr]��lZ^}OQ]J{|Q�prdeb�Z^]`YhiF]`Y&b�LhQc]`mOstQ�a£b~i4�(LhZ^a~L�d`p�QzZ^Yh}wQ�{|Q�Yh}wQ�YJb�]e�­brLOQva)]`Yxbrd`Z[YOQ�p § KMLOQ)j�d`p�Q(Z^P&{O\[Q�P&Q)Yxb�Q:}�d`ia)\^dJi�i�Q�i0{|dep~deP&Q�brQ)prZ^i�Q�}�mlj�brLOQca�]JYxbrdeZ^YOQ�p0btjx{=Qcd`Yh}&ik]JPRQ)b�Z^P&Q�iFmlj ) ����� ) a)\^dJi�i�Q�i0�(LOZfa~L�{OprQ�a)Z^i�QMb�LOQZ^P&{O\^Q)P&Q)Yxbrdeb�Z^]`Y § KMLhQX]JYO\^j�}Od�b~d&d���d`Z[\fdemh\[Q/Z^Y-i�gha~L�d&a�\fd`iri)¡Oa�de\^\[Q:}BG:C ­¡xZfi(]`��a�]JYxbrdeZ^YOQ�p+btjl{=Q § h]`pzZ^YhikbrdeY|a�Q�d&]`YhQ�¤¥}wZ[P&Q�YhikZ^]`Y|de\�deprp~d�j�]e��JOFIN�� ��CRYlgOP�m=Q)p~iza�deY-m|Q�i�Q)Q�Y�d`izd&�JQ�a£br]`p:¡wghi�Z[YO_brLOQ/btjl{|Q

UOC"D=<��3<LJ:> �3GLG �3R!STJ:>�JOFIN�� �3CO?�? PDcPR]JYO_-b�LOQ�]J{|Q�prdeb�Z^]`Yhi/}wQ)³hYOQ:}DZ^YDb�LOZfi�a�\fd`iri�¡­�+Q&Lhd��JQ���]JpGQ�ªOdeP&{O\^Q`¡­brLOQ��`Q:a£br]`p/]`{=Q)p~d�br]`p~i

� @�� @ � @ �RdeYh}#b�LhQ�i�a�de\fdep(P�gO\�brZ[{h\[Zfa)deb�Z^]`Yhi�� @ � § L�gwbXikgha~L�d`Y¢d`p�p~d�j�a)d`Y�de\fik]�m=QG�lZ[Q��+Q:}dJi(dRgOYOZ^��d`p�Zfd�brQ/{|]J\[jlYO]JPRZfde\ §0¿ Y-b�LOZfi(a)dJikQJ¡w�+Q/�(Z^\[\«}OQ�³hYOQ/brLOQ/��]`\^\^]��(Z[YO_�btjl{|QW0��� F �IR�OC�� ;ICO> �3GLG �3R STJ:>�JOF�N� ��CO?�?

�(LOZfa~L&Q�ªlb�Q�Yh}Oi�brLOQ(]`{=Q)p~d�brZ[]JYhi�_`Z^�`Q)YRZ^Y U:C"D=<��I<OJ:> �3G�G �3R!STJO>IJOF=N� �3CL? ?Xmlj�d`}O}OZ[YO_XbrLOQ({|]J\[jx¤Yh]`P&Z^d`\hP�gO\�brZ[{h\[Zfa)deb�Z^]`Y�]J{|Q�prdeb�]Jpri�� @���deY|}�a~LhdeYh_`Z^YO_Gb�LhQc]`gOb�{OgwbM]`{=Q)p~d�br]`p § KMLOQvZ[P&{O\^Q)P&Q�YJb~d�¤brZ[]JYhi+]e��brLOQ�i�Qc�lZ^Q)�zi�deprQv}wQ)³hYOQ�}�Z[Y-d�P&]w}wgO\^QXd`Yh}�a)d`Y�Q�dJikZ^\^jRm=Q/ik{=Q�a)Z^d`\[ZfikQ:}��?i�Q)QvYOQ�ªlb(ikQ:a£brZ[]JY � §BcQ)prQ�d`p�Q4b�LOQMP�deZ^Y�Q)ªwd`P&{O\[Q:i«]`�h�lZ[Q���a�\fd`iri�Q�i«b�Lhdeb0d`p�Q+Z[P&{O\^Q)P&Q)YxbrQ�}�Z[Y�b�LOQMa�gOprprQ)Yxb��JQ)p~ikZ^]`YG]`�brLOQz\^Z[mhprd`p�jJ¡�\�ikbrd`Yh}wZ^YO_/��]`pqbrLOQca)]`Yxbrd`Z[YOQ�p0btjl{|Q30_U:C"D=<��3<OJ:>]\:? � itb~deYh}Od`pr}��`Q:a£br]`p~i)��¡�� �3<��:C�� ;ICL>]\"?� }wQ)Y|ikQDP&deb�prZ^a)Q�i��£¡�� �3<��3<�G�N D=<">�\"?��?ikb�prgha�b�gOprQ�}�P�deb�prZ^a)Q�i��£¡�� �3<�� �3G�;�CO>]\"? �?i�{hdep~i�Q�P&deb�prZ^a)Q�i��£¡��� F �IR��:C�� ;ICL>]\"? �?}wQ�YhikQvgOYOZ^��deprZ^deb�Qz{=]`\^jlYO]`P&Zfde\fi)��¡ ��� F�IR���N"FI<">]\"? �?nxgO]ebrZ[Q�Yxb�Q�}&ghYOZ[��d`p�Zfd�brQz{|]J\[jx¤Yh]`P&Z^d`\^i��£¡��:F��"F�� > X#@fV"? ��P&]JYO]`P&Zfde\fiv�(Z[b�L´a�]lQ)µ�a)Z[Q�Yxbri/Z^Y X�d`Yh}�Q)ªw{|]JYOQ)YxbriXZ^Y V ��¡�� � F �IR">�\ @�ZL?�?P�gO\[b�Z^��deprZ^deb�Q/{=]`\^jxYh]`P&Z^d`\^iM�(LhQ)prQ Z�}wQ�³hYhQ�i�b�LhQG]`p~}wQ)p(]JY�brLOQGP&]`YO]JPRZfde\fi�� §465! " ��"¢%#�)�(�

D PR]w}wgh\[QvZ^i+dGa�]`\^\^Q�a£brZ[]JY�]e�­Z^PR{h\[Q�PRQ�Yxbrd�brZ[]JYhiF�(LhZ^a~L�d`{O{O\^j�b�]�d/�?deP&Z^\[jR]e�­]`mOstQ�a£b~i4i�LhdeprZ^YO_�a�]JP�¤P&]JY¨{Op�]J{|Q�pkbrZ[Q:i �?i�gha~L�dJiG�`Q:a£br]`p~i)¡�P�d�b�prZfa�Q�i�¡�gOYOZ^��d`p�Zfd�brQ�{=]`\^jxYh]`P&Z^d`\^i�¡ §)§)§ � § KMLOQ�j¨deprQ�Z[P&{O\^Q�¤P&Q�YJbrQ�}�dJi � ����� &[�]���� deYh}&brLlghiMa)deY�m|QvQ�ªlb�Q�Yh}wQ�}�Q�dJikZ^\[j § KMLhQ)j�deprQcghi�Q�}�b�]�}OQ�³hYOQX_`Q�YOQ)prZfa(Z[PR¤{h\[Q�PRQ�Yxbrd�brZ[]JYhi § O]JpqZ[Y|itb~deYha)Q�Z^YRb�LOQMP&]w}wgO\^Q ��]Jp � ����� &[�]�� � UWVWXSY"Z]\8¡���QMLhd��`Q�_Jdeb�LOQ�p�Q:}�_`Q�YOQ)prZfaZ^P&{O\^Q)P&Q)Yxbrdeb�Z^]`Yhi���]Jp��JQ�a�b�]`p~i�Z[Yh}OQ){=Q)Yh}wQ�YxbF]e�ObrLOQMZ[Yxb�Q�p�Y|de\lp�Q�{OprQ�i�Q)Yxbrdeb�Z^]`Y�¡�i�gha~LRdJi � G 9#�O<8¡#$:F3G%��¡§�§)§ KMLOQ/P�deZ^Y�P&]w}wgO\^Q�iM]`��b�LhQX\^Z^mOprd`p�j�d`p�Q UWVWXSY"Z]\8¡��&WYS\('�)8¡�*+'�$&*, ��\^Z[YhQ�dep(d`\[_JQ)mOp~d�Z^P&{O\[Q�P&Q)Yw¤b~d�brZ[]JYhi)��¡ ��� Z�*�-$"Z%�('�&�* �?gOYOZ^��d`p�Zfd�brQ/{|]J\[jlYO]JPRZfde\fi��£¡�� � Z�*�-$"Z��+'�&�* �?P�gO\[b�Z^��deprZ^deb�QG{=]`\^jlYO]`P&Zfde\fi)� §Dvi�Q)ªw{O\^d`Z[YhQ�}�m=Q���]Jp�QJ¡��+Q+YOQ)Q:}�br]cm=Q(demO\^QFbr]Xi�{|Q:a�Zfde\^Z^i�Q+i�]`P&QMa�prZ�brZ^a�de\J��gOYha�b�Z^]`Yhi�]e�|]`gOp0a�\fd`irikQ:i § h]`pXb�LhQ�gOYOZ^��d`p�Zfd�brQ�{=]`\^jlYO]`P&Zfde\fi ��� F �IR�OC�� ;ICO> �3GLG �3R STJO>]X:?�?h¡���QR�+]JgO\^}D\^Z[ JQ���]Jp/Z[Yhikbrd`Yha�QJ¡­b�]prQ){h\^dJa�QMb�LhQcYhd`Z[�JQ(P�gO\[b�Z^{O\^Z^a�d�b�Z^]`Y�mlj&dGP&]`prQ(Q�µ�a�Z^Q)Yxb�]`YOQJ¡`mhdJikQ:}&Q)_ § ]`YB�L� K § KMLOZfi4a)d`Y�m|Qv}w]`YOQQ:d`i�Z[\^j�mlj�Q)ªxbrQ)Yh}OZ[YO_RbrLOQGYhdeP&Q:ik{hdJa�Q ��� Z�*�-$"Z��+'�&�*�d`Yh}#mxj#}wQ�³hYhZ[YO_&brLOQ/��gOYha�b�Z^]`Y!0<:C�� � �3<:CO>:D � �";L; X:?A:FX9=J ��� Z�*�-$"Z��+'�&�*/..0�"N �I<21 �3G3G �IR!S7J:> XL? 3 G @ �3GLG �IR!STJ:> XO?43 ��@ D�F�� ;=< �3GLG �3R!STJ:>]X:?536��7

8 PLPLP!9

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 13: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

�:� ����� �!#������� ����� � ����$)

KMLhQXP&]w}wgO\^Q�UWV#X Y"Z]\&Z^ic}wQ�b~deZ^\[Q:}�Z^Y�ikQ:a£b�Z^]`Y¢� § S §465�� � �z�,¢���G.�� ����,-���(��������!

� $� & � ��)* ��$&(� ������� ��"� d`p�QRbtjl{|Q�P�d`YOZ[{hgO\^deb�Z^]`Yhi�ghikQ:}Db�]�_JgOZ^}OQ&b�LOQ�a)]`P&{OZ^\[Q�p/b�]�{Opr]w}wgha)Q�]`{wbrZ�¤P&ZfikQ:}�a�]w}wQ §6¶ Q�Z^\[\^ghikb�p~d�brQ�Z�b~i�ghi�Q�]`Y�b�LOQ�dJ}O}wZ[b�Z^]`Y�]e�/�`Q:a£br]`p~i § � ]`Y|ikZf}wQ)p&��]Jp�Z^Yhitb~deYha)Q¢b�LOQ��]J\[\^]��(Z^YO_�Z^Yhikb�prgha£brZ[]JY!0

A A!S � A:U � A����(LOQ�p�QA @ A!S @KA:U�@KA�¢deprQ��`Q:a£br]`p~i � i�d�j¢]e�4btjx{=Q�U:C:D=<:F3G � § Ici�ghde\0Z^PR{h\[Q�PRQ�Yxbrd�brZ[]JYhiX�+]JgO\f}}OQ�³hYOQ:}#b�LOQG]J{|Q�prdeb�]`pU:C:D=<:F3G 3 F "C3G �3<:F3G � 17DIF�� ;E< UOC"D=<:F3G 3 A!S @ U:C"DE<:F3G 3QA:U 7��i�]�brLhd�bXb�LOQR{OprQ)�lZ^]`ghicZ[Yhikb�prgha�b�Z^]`Y��(Z^\^\�{Opr]w}wgha)Q�brLOQ�brQ)P&{|]Jprd`p�j¢�JQ�a£br]`p �?ird�jHA�<%� �S�����]`pvb�LOQ

dJ}O}wZ[b�Z^]`Y�]`��A!S�d`Yh}HA:U|¡=d`YO]ebrLOQ)pv]`YOQ �?ird�j A�<%� "U �+��]`pvb�LOQRd`}O}wZ[b�Z^]`Y�]e� AL<%� �S�deY|}HA��d`Yh}��(Z^\[\g|ikQXb�LhQG]`{=Q)p~d�b�]JpU:C:D=<:F3G 33U:C"D=<OF3G�../F�"C3G �3<OF3G 1�DIF��X;=< U:C"D=<:FIG 3 A(7��br]�d`irikZ^_`Y A�b�]&brLOQG��de\^gOQ/]e�%AL< � "U|¡lghikZ^YO_�dR\[]l]J{ FIG 119#�:JLC����I<LR "C 9 �� � 9 >IA(P�;O9��OC21 7�� 9 ��� 7�A��e9�� AL<%� "U��e9����¿ Y¨i�gha~L©d`YDZ^P&{O\^Q)P&Q)Yxbrdeb�Z^]`Y�¡«bt�+]#b�Q�P&{|]Jprd`p�j��JQ�a�b�]`p~iXdeprQ&d`\[\^]wa)deb�Q�}DdeYh}´}wQ�\[Q)b�Q:}­¡«�(LOZfa~L©Z^ibrZ[P&Q&deYh}�P&Q)P&]`prj�a�]`Y|ikgOP&Z^YO_h¡8Q:ik{=Q�a)Z^d`\[\^j¢Z��FbrLOQR�`Q�a�b�]JpriXdeprQ�]e�+\^d`p�_JQ�i�Z ��Q § D P&]Jp�Q�]`{wbrZ[P&ZfikQ:}Z^P&{O\^Q)P&Q)Yxbrdeb�Z^]`Y-�+]JgO\f}#a)]`Yhi�Z^ikb(Z[Y¢�(prZ�brZ[Yh_�brLOQ�a�]w}wQ FIG 119#�:JLC����I<LR "C 9 �� � 9 >IA(P�;O9��OC21 7�� 9 ��� 7�A��e9�� A!S��e9�� � A:U��e9�� � A���e9����KMLOZfi-a�]w}wQ�a�deY m=Q�_JQ)YOQ�prdeb�Q�}�}wZ^prQ�a£br\[jJ¡cd�b-a�]`P&{OZ^\fd�b�Z^]`Y�brZ[P&QJ¡zghi�Z[YO_�b�Q�PR{h\^deb�Q�Q)ªw{Op�Q:i�i�Z^]`Y

brQ�a~LOYhZ^nxgOQ:i §�¿ Y|itbrQ�d`}²]e�c}wQ)³hYOZ^YO_�brLOQ�]J{|Q�prdeb�]`p � ¡FdJi�m=Q���]Jp�QJ¡���Q#}OQ�³hYOQ#Z�bR�(Z�brL²brLOQ���]J\[\^]��(Z[Yh_i�Z^_`Yhdeb�gOprQI0U&�*O>WZ�X>�� � �L@fU:C:D=<:F3G�@fUOC"DT<:F3GO? ? F "CIG �3<:F3G � 17DIF���;=< UOC"D=<:F3G 3QA!S @ U:C:D=<:F3G 3QA:U 7���(LOQ�p�Q U&�*O>WZ�X>�� � �L@fU:C:D=<:F3G�@fUOC"DT<:F3GO? ?©Z^i�brLOQ-btjx{=Q¢]e�vd©}Odebrd�¤¥ikb�prgha£brgOp�Q#�(LOZfa~L�a)]`Yxbrd`Z[Yhi

prQ���Q�p�Q�Yha�Q:iRb�]´brLOQ�bt��]¨�`Q�a�b�]JpriA!S @ A:U|¡+mOgOb��(LOZfa~L�}O]xQ:i�YO]`b�a�]JPR{hgwb�Q¢brLOQ�i�gOPC]`�vbrLOZfi�bt��]�JQ�a�b�]`p~i § KMLOQGZ^Yhikb�prgha£brZ[]JY A!S � A:U � A��b�Lhdebz�+QGdeprQGa�]JYhikZf}wQ�p�Z^YO_h¡l{Opr]w}wgha)Q�i(d&}Od�b~dR]e��btjx{=QU&�*O>WZ�X>�� � �L@�UOC"D=<:F3G#@ U&�*:>WZ X>�� � ��@�U:C"DE<:F3G @ UOC"D=<:F3G:? ? ?Q?��" ]��G¡lb�LOQ�dJi�i�Z[_JYOP&Q)Yxb

A A!S � AOU � A���(Z^\[\«Z[Yl�`]J\[�JQcbrLOQG]`{=Q)p~d�br]`p

�� ^��!

Page 14: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �J�

<:C�� � �3<:CL>:D � �";�; \"? U:C"DE<:F3G 3 F "C3G �I<:F3G 1iDIF�� ;=< U&*:>]\"? 3QA(7�(LOZfa~L¢Z^iMZ^P&{O\^Q)P&Q)Yxb�Q:}¢d`i

F3G 119#�:JOC ���I<LR :C 9 � � 9 >IA(Pc;L9��OC21 7�� 9 �� 7 1 �=< � 9�;7��e9�� ��C �3C���1�A @i97��KMLOQ( JQ)j�{|]JZ[YxbFZfi0b�Lhdebqb�LOQza)]`P&{OZ^\[Q�pq�(Z[\^\hQ)ªw{hdeYh}�b�LhQca)d`\[\lbr]/b�LOQ(Z^YO\^Z[YOQz��gOYha£brZ[]JY �3C ��C���1 A @797

Z^Yxb�]%A!S��e9�� � A:U��c9�� � A���c9��=¡km=Q�a)d`ghi�Q0b�LOQFZ����MQ)\^Q)P&Q�YJb�]`�OdeY/Q)\^Q)P&Q)Yxb!Av]e�xbtjx{=Q U&�*:>SZ�X>�� � �L@"PLPLP�@"P�PLP\??zZfi­b�LhQ+i�gOP ]e�lb�LOQ+Z����(]e�OZ[bri­bt��]ca)]`P&{|]JYOQ)Yxb~i § BzQ)prQ4d`p�Q0brLOQ+d`p�Z[b�LOP&Q)b�Zfaq]`{=Q)p~d�brZ[]JYhi­Z^PR{h\[Q�PRQ�Yxb�Q�}�(Z[b�L-brQ)P&{O\fd�b�QGQ)ªw{Op�Q:i�i�Z^]`Yhi�deYh}#brLOQ)Z^p(P&Q�deYhZ[YO_X0� Z�">�� � �L@ & @X?h¡`ikghP�]e��bt��]�brQ)prP&i §� Z�">�� ���L@ & @X?h¡`ikghmwb�p~d`a�b�Z^]`Y-]e��bt�+]�b�Q�p�P�i §� Z�!S=>�� ����@!&"?h¡`]J{O{|]xikZ[b�Q/]`��dRb�Q�p�P §� Z�">�� ���L@ & @X?h¡eP�gO\[b�Z^{O\^Z^a�d�brZ[]JY-]`�«bt��]Rb�Q)prP�i §� Z�">��"P �L@ & @X?h¡eP�gO\[b�Z^{O\^Z^a�d�brZ[]JY-]`��dRbrQ)prP mlj�d�i�a�de\fdep� Z�">������L@ & @X?h¡`}wZ^�xZfi�Z[]JY#]`��bt��]Rb�Q)prP�i §� Z�">��� ��L@ & @X?h¡`}wZ^�xZfi�Z[]JY#]`�0d�b�Q�p�P mlj�d&i�a�de\fdep §� Z�">������L@!&#@X?h¡�{|]���Q)p(]`��d�b�Q�p�P mlj�b�LOQG]`b�LOQ�p §

uwgha~L#d`p�Z[b�LOP&Q)b�Zfac]J{|Q�prdeb�Z^]`Yhi4�(Z[\^\8p�Q)b�gOprY#d`Y�gOYOQ���de\^ghd�brQ�}�d`p�Z[b�LhPRQ)b�Zfa(brp�Q�QXd`Yh}�brLOQXa)]`P&{Ogwb~d�brZ[]JY�(Z^\^\�m|QG{=Q)p���]`prP&Q�}#]`YO\^j��(LOQ�Y�brLOQ�d`iri�Z[_JYOP&Q)Yxb(]`{=Q)p~d�b�]JpM�(Z[\^\­m|QGg|ikQ:} §KMLOZfiGP&Q�a~L|deYOZfikP Z^iGd`\^i�]#g|ikQ:}D�(LhQ)Y´d���ghYha£brZ[]JY Lhd`iXbr]�p�Q)b�gOprY©d`YD]JmwstQ�a�b�i�d�j�]`�+btjl{=Q \8¡brLhd�b+YOQ)Q:}&b�]�d`\[\^]wa)deb�Q(Z[bri+PRQ�P&]`prj�i�{hd`a)Q §�¿ YhitbrQ�dJ}&]e�­p�Q)b�gOprYOZ^YO_�dGa)]`{lj�]`�8b�LOQXa�]`P&{OgOb�Q�}&]JmwstQ�a�b�¡��Q/ghi�QvbrLOQ/��]`\^\^]��(Z[YO_&P&Q�a~L|deYOZfikP 0� § Dz\^\[]wa�d�b�Z^]`Y-]e�qdR{|]JZ[YxbrQ)pMb�]&brLOQGprQ�nxgOZ^p�Q:}�P&Q)P&]`prj�i�{hd`a)QI0 \+� G:C";EN �I< �"C�� \ 1"PLPLP 7��S §�� ]`P&{Ogwb~d�brZ[]JY-]`��Z[bri(��d`\[gOQ �=G:C";TN �I< PLP�P �� § y(Q�brgOprY3U&�*O>]\+�3? 1 G:C";EN ��<(7x¡F�(LOZfa~L6LhdJi�br]�m=QDghYh}wQ)p~ikb�]l]w} d`i�b�LOQ©��de\^gOQ�]`�Gb�LOQ©]`mOstQ�a£bd`irik]wa)Z^deb�Q�}�b�]&brLOQG{|]JZ[YxbrQ)p §

KMLhZ^i(d`\[\^]��zi+��]`p(Z^Yhitb~deYha)QXb�]�d��`]JZ^}#a�]`{hZ[Q:iM]e��\fdepr_`QX]`mOstQ�a£b~i)¡w�(LhQ)Y#b�LOQGprQ�i�gO\[bM]`��i�gha~L#��gOYha£brZ[]JY¢Z^idJi�i�Z^_`YOQ:}�b�]�dR��deprZfdemO\^Q § Ici�ghde\^\^j�]`Yh\[j �� �&(����% � &[ �� �")*$��� d`p�QXYOQ)Q:}wQ�}¢deb�brLOZfizitb~de_JQ §KMLOZfivPRQ:a~LhdeYhZ^i�P�Zficd�YhQ)�±deY|}¢�`Q)prj�Z^Yxb�Q�p�Q:itbrZ[YO_�{Op�]J_`p~deP&P&Z[Yh_���Q:d�brgOp�Q�]e� �%$&$�§M¿ bXa)d`Y�m|Qi�Q)Q�Y�d`i(deY¢Q)ªxbrQ)Yhi�Z^]`Y-]e��b�LOQG��ghYha£brZ[]JYhde\«d`{O{Opr]JdJa~L § KMLOQ/��gOYha�b�Z^]`Yhizd`p�Q/YO]`bzp�Q)b�gOprYOZ^YO_�deY¢]`mOstQ�a£bmhgwbXd���d�j#b�]�a)]`P&{OgwbrQ�]Jpzb�]#p�Q:a�]��JQ)p(brLOZ^iv]`mOstQ�a£b § KMLOQRa�]JPR{hgwbrdeb�Z^]`Y�Zfic{=Q)p���]`prP&Q�}¢]`Yh\[j¢�(LOQ�YprQ�nxgOZ^prQ�}­¡|b�LhdebvZfi)¡8Z^Y�P&]Jikbv]`�qb�LOQRa)d`i�Q�i�¡=Z[Y�brLOQ&d`irikZ^_`YOP&Q�YJb~i §c¶ Q�Q�ªw{O\^]`Z[bvZ[bXZ^Yxb�Q)Y|ikZ^�`Q�\[j-Z[Y�b�LOQ}OQ)�`Q�\[]J{OP&Q)Yxb(]e��b�LOQG\^Z[mhprd`p�j §

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 15: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��S ����� �!#������� ����� � ����$)

465�� � ����.����0�������´�#������������%-!�"KMLhQ�}wQ)�JQ)\^]`{OP&Q�YJbz]`�0b�LOZfiz\^Z[mhprd`p�j�ikbrd`pkbrQ�}¢}wgOprZ^YO_�b�LhQ OprZ^ira�]�{hp�]`stQ�a£b � � K(y±Sw� § �xS��h¡­�:�`�J��¤~���`�J� ��(Z[b�L/brLOQF��]`pr z]e� § � Z[�lZ^_`YOZ § D�b�brLOQFm=Q)_JZ[YOYhZ[YO_|¡�Z[b«�Md`i�ikb�prgha�b�gOprQ�}/de\^]`Yh_Md`mhikb�p~d`a£b�a)\^dJi�i�Q�i�¡��lZ^pkbrghde\��ghYha£brZ[]JYhiGdeYh}D}wQ)prZ^��deb�Z^]`YDPRQ:a~LhdeYhZ^i�P�i § Dcivb�LOZfiGde{h{Op�]xd`a~L�i�g;%8Q)p~iv��p�]JP Q�µ�a�Z^Q)Yha)j`¡«d`Yh}©d`ivb�LOQbrQ)P&{O\fd�brQ(Q�ªw{OprQ�irikZ^]`Yhi0]`� X �� �(LhQ)prQ(m|Q:a�]`P&Z^YO_Gitbrp�]JYO_`Q�pq�+Qz}OQ�a�Zf}wQ:}�br]Gp�Q��(p�Z[b�QMZ[b+a�]JP&{O\[Q)b�Q�\[jJ¡`Z^YbrQ)prP�iF]e�­{hd`prd`P&Q�b�prZfikQ:}Ra)\^dJi�i�Q�i ��]`p ) $� & � ��)*�� � §q¶ QXik{=Q)Y|}�ik]JPRQzb�Z^PRQ:i �?P&]`prQMb�Lhd`Y�ikZ[ª&PR]JYxb�Lhi��£¡Z^Y²brQ�ikbri�¡FQ�ªw{=Q)prZ[P&Q�YJb~d�brZ[]JYhi)¡ §�§)§ m|Q)��]`prQ#��Q#}wQ:a�Zf}wQ�}²b�]´d`}w]J{wbRb�LOQ¢itbrp�g|a£b�ghp�Q¢}wQ�ira�prZ^m|Q:}¨Z[Y¦b�LhZ^iprQ){=]`p�b § KMLOZfi�Q��`]`\^gwbrZ[]JY�m=Q)YOQ)³Obri&��pr]`PCP�deYlj�}wZfi�a)ghirikZ^]`YhiR�(Z[b�L U § � ]Ji�yzQ)Zfi)¡Mo § DzgOm=Q)p�b�¡(K §o0d`{hd`}w]J{|]JgO\^]Ji�¡JbrLhd�bz��Q/�+]JgO\f}�\^Z[ JQ/{hdep�b�Zfa�gO\fdepr\^j&b�]&b�L|deYO  §465�� � .�%�.����0�����

� .��(, 4� � ����!�C.��#� �­.���!#"-����" �)�)�#�������KMLhQXm|d`i�Z^aX}Od�b~d&itbrp�gha�b�gOprQ�i�]`�«b�LhQ�itb~deYh}Od`pr} X ��� \^Z^mOprd`p�j�d`p�Q/d���deZ^\^d`mO\^Q`¡l]`Yha)QvjJ]`g-Lhd��`QXZ^Yha�\^gh}wQ:}brLOQGa�]Jp�prQ�a�b�LOQ:d`}wQ�p�³h\[Q:i § A�deYlj�]e��]`gOpza)]`Yhikb�prgha£brZ[]JYhi��(Z[\^\­m=QGmhd`i�Q�}�]`Y¢ikgha~L¢a�]JYxbrdeZ^YOQ�pri §�¿ �0j`]Jg�MdeYxbM��]`p(Z^Yhikbrd`Yha�QXb�]&P�deYhZ[{Ogh\^deb�QG\^Z^ikbriM]`�t¡hi�d�j�Z^Yxb�Q�_`Q)p:¡wj`]Jg#�(Z^\^\�ghi�QvbrLOQ/btjl{|Q30�"93;=<">"9#�L<"?�(LhZ^a~L-Z^icd�{|dep~deP&Q�brp�ZfikQ:}�btjl{=Q �:9�;=<">]Y:?�Z^Y-�(LhZ^a~L¢��QXZ^Yhikbrd`YJbrZ^deb�QXb�LhQ/btjx{=Q�Y�mlj 9#�O< § � 9#� D ��NOJOC >�"93;=<(P � ?� <�R "C�JOC �"9�;=<:>"9#�O<"? ..e9E<:CIG �I<:F�G 9T<:C3G �3<OF3G���� 9 �O< � �X9#� 1 7 8�� �"9�;=<:>"9#�O<"? ���� � P LN�; � �%� �:D=V 1ES�7�� �#P LN ; � �%� �"D=V 1eU 7�� � P LN ; � � � �"D=V 1 � 7����

F3G 179E<:C3G �I<:F3G 9T< � P �:C�� 9#� 1 7��H9T<�� � P\C��:J 1 7��H9E< �� 7 DIFINO<:>L>��O9E<:>L>���� � �� DIFINO< >L>3C��:J ��� 9

� Q�b(ghiz}OQ�brd`Z[\«�(Lhd�b(Zfi(_`]JZ[YO_R]`Y-LOQ�p�Q30�I0TDci(��Q/ghi�Q/b�LOQ/\^Z^ikbz]e��b�LOQ�ikbrd`Yh}Od`pr}�\[Z^mOp~deprj`¡w��QXZ^Yha)\[gh}OQ/b�LOQGLOQ:d`}wQ�p�³h\[Q �"9�;=<(P � §SO0 ¶ Q�}OQ�³hYOQ�d`Y-d`mOmOprQ)�lZfd�b�Z^]`Y 9E<OC3G �3<:FIGR��]JpMb�LOQGZ[b�Q�prdeb�]`p~i�]`Y#b�LOQG\^Zfitbz]`� 9#�O< §�:0 ¶ Q�}OQ�a�\fdeprQ �&d`i(dR\^Z^ikbz]e�&9#�O< §RL0 ¶ Q�d`{O{=Q)Yh}¢d�bMbrLOQGQ)Yh}-]`��brLOQG\[Zfikb�¡wbrLOQXb�LOprQ)QGQ�\[Q�PRQ�Yxbri"!$#&%'#�( §

�� ^��!

Page 16: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �:�

�:0 ¶ Q¢{OprZ^YJbRZ�b §¨¶ Q¢ghi�Q#d`YQ9E<:C3G �3<:F3G�br]Dira)deY�b�LOZfiR\[Zfikb�¡q��pr]`P brLOQ#m=Q)_JZ[YhYOZ[Yh_ � P �"C���9#� 1 7b�]�b�LOQ#Q)Yh} �#P/C��:J 1 7 § ulQ�Q � ���O¡qS`�#����]`p�P&]`prQ�Z[YO��]`prP&deb�Z^]`Y¨]JY¨b�LOQ:ikQ#Z�brQ)p~d�br]`p~i�deYh}¨b�LOQ�Z[pa�]Jp�prQ)\fd�brZ[]JY��(Z[b�L �:C%�"C3G 9�D/{hp�]J_`p~deP&P&Z[YO_ §

�:�:0 ¶ QG{hp�Z^Yxbcd�YhQ)�6\^Z^YOQ §- Y|a�Q�j`]`g�Lhd��`Q+�(p�Z[bkbrQ)Y�brLOZfiqa�]w}wQ�Z[YRdz³h\^Q 9�D � PcD�Dw¡:j`]Jg�a)d`Y�a�]JP&{OZ[\^Q�Z�bq�(Z[b�L�brLOQMghi�ghde\wa�]JP&{OZ[\^Q)pa)]`P&P�deYh}

� �� ��F 9�D � P/C � 9�D � PcDLDd`Yh}-p�gOY#b�LhQGQ�ªwQ�a)gwbrd`mO\[Q 9�D � P/C��&]`p(jJ]`g#a�deY¢}wZ^p�Q:a£b�\^j�g|ikQXb�LhQ�a�]`P&P�deY|} 0��� 9�D � P�DLD�(LOZfa~L��(Z^\[\=de\fik]G{Opr]w}wgha)QMb�LOQzQ)ªwQ�a�gObrdemh\[Q 9�D � P/C�� § KMLOQzprQ�i�gO\[bF]e�8b�LhZ^iF³hprikb4Q)ªlQ:a�gwbrZ[]JY�ikLO]JgO\f}\^]l]` �\^Z^ `QI0

S U � h]`p�P&]`prQ�Z^Yw��]`prP�d�b�Z^]`Y«¡�]JY�b�LOQ�m|d`i�Z^a�}Odebrd¨ikb�prgha£brgOprQ�i�d���deZ^\fdemO\^Q¢Z[Y�brLOQ ¹$K ¯h¡M�+Q�prQ���Q�p�b�]

a~L|de{wbrQ)pzSR]`p�b�] � ���"�È¡ � � > � §� .��(, ��� �)�)!#�(��� ��� ���(�-���KMLhQXP�d`Z[Y�a)deb�Q�_`]`prZ^Q�i+]e�0]`mwstQ:a£bri���]Jpz}w]`Z^YO_&\^Z[YOQ:depzd`\[_JQ)mOp~d�d`p�Q

� U:C:D=<��3<OJX00uxbrd`Yh}Od`pr}-}wQ)Y|ikQG�JQ�a£br]`p~i �?� § � § S ��¡� � �I<�:C�� ;�CX0 � Q�YhikQGP�deb�prZ^a)Q�i �?� § � § S �£¡� � �I<��3<LG�N�D=< 0�uxbrp�g|a£b�ghp�Q:}#P�deb�prZ^a)Q�i �?� § � § S �£¡� � �I<�� �3GX;ICX0�ul{|dep~ikQ/P�d�brp�Zfa�Q:i �?� § � § �#� §

L�Q)��]`prQ+ghi�Z^YO_/b�LOQ:ikQ(a)\^dJi�i�Q�i0jJ]`g��(Z^\^\OLhd��`Q�br]/a~Lh]Ji�Q+brLOQza�]JYxbrdeZ^YOQ�p���]Jp0b�LOQ(Z^Yxb�Q�p�Yhd`\wp�Q�{OprQ�i�Q)Yxbrdeb�Z^]`YdJi(Z^\[\^ghikb�p~d�b�Q:}-YO]��&0 ¿ �qj`]Jg-�MdeYxb(br]�a�]JYhitbrp�g|a£bcikbrdeY|}Odep~}��JQ�a�b�]`p~iM�(Z[b�L JOFIN�� ��C&a�]lQ)µ�a)Z[Q�Yxbri�¡hj`]Jga�deY-ghi�Qv��]Jp(Z[Y|itb~deYha)Q/b�LOQ�}wQ)³hYOZ[b�Z^]`Y!0

<�R "C�JOC U:C"D=<��3<OJ:> �IGLG �3R!S1J:>IJOF=N� �ICO?�?�U:C:D=<��KMLOQva�]`Yxb~deZ^YOQ)p �3GLG �3R STJ:> X:? � � § � § � ��Zfi4d/]JYOQ�¤¥}wZ^PRQ�Yhi�Z[]JYhde\hd`p�p~d�j�]`��X|¡J�(Z�brL�d/³hQ�\^}�i�{|Q:a�Z[��jlZ[YO_Z[bri+ikZ �)Q § L�gwb+j`]`g�a�deY�de\fik]Gg|ikQ:}�brLOQca)]`Yxbrd`Z[YO]Jp�A:C:D=<:F3G">]X:?c]e�8brLOQcikbrdeY|}Odep~}R\[Z^mOp~deprj�]`p4d`Ylj�]ebrLOQ)pa)]`Yl�`Q�YOZ^Q)YxbXa)]`Yxbrd`Z[YOQ�p § ulQ)Q�i�Q�a�b�Z^]`YD� § � § S���]`p/P&]`prQ&}wQ�b~deZ^\^i § D �JQ�a£br]`p/a)d`YDm=Q�a�]`Y|itbrp�gha�b�Q:}­¡8��]`pZ^Yhikbrd`Yha�QJ¡l��p�]JP�deY�deprp~d�j�0JLFIN� ��C N�� � 8 S @ ��U�@TS�9��UOC"D=<�U 1 ��@/N�7��

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 17: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� ����� �!#������� ����� � ����$)

h]`p�b�LOQG}wQ)³hYOZ[b�Z^]`Y-]e�0}wQ)Yhi�QXP&deb�prZ^a)Q�i��(Z[b�L JLFIN� ��C�a)]xQ)µ�a�Z^Q)Yxbri�¡lj`]`g-a)d`Y�ghi�QXb�LOQG}wQ)³hYOZ[b�Z^]`Y!0<�R "C�JOC � �3<�OC�� ;ICO> � � �"DEV">IJOF=N� �ICO?�? � �I<��BcQ)prQq�+QFa)]`gO\f}/de\fik](Lhd��JQ0ghikQ:}vb�LOQ4a)]`Yxbrd`Z[YhQ)p �3GLG �3R:U�J:>]X:? �?� § � § � �=�(LOZ^a~L/Q)ªxbrQ)Yh}hi �3G�G �3R!STJO> X:?h¡mlj�i�{=Q�a�Z[��jlZ[Yh_´b�LOQ�YlgOP�m|Q�p�]e�/p�]��zi&deY|}�a)]`\^gOP&Yhi�¡+mOgOb��+Q¢{OprQ���Q�p&b�LOQ � � �:D=V"> X:?�a)]`Z^YJb~deZ^YOQ)p

� � § � § � �F�(LOZ^a~L��(Z[\^\­de\^\[]���ghi4b�]Rghi�QzbrLOQ/p�]Jgwb�Z^YOQ�i+]e�­brLOQG¯`®«°:®�·=¸�\^Z^mOprd`p�j § KMLhQvZ^Yxb�Q)prYhd`\|prQ){OprQ�i�Q)YO¤b~d�brZ[]JY�Z^iXde\fik]#d�]`YOQ)¤ }OZ[P&Q)Y|ikZ^]`Yhd`\«deprp~d�j��(Z[b�L�d�YlgOP�m|Q�pv]`�Fp�]��zi�¡hd�YxghP�m=Q)pc]`�4a�]J\[gOP&Yhi�¡8d�ikZ �)QmhZ[_J_`Q)pXbrLhdeY©b�LhQ�{Opr]l}Ogha£bG]e��b�LhQ�i�Q&bt�+]¢\fd`ikb�YxghP�m=Q)p~iGdeYh}´d-��d�j�b�]�d`a�a�Q�iriXb�]¢brLOQ�Q)\^Q)P&Q�YJb�]`�Z^Yh}wQ)ª ��� #���� § KMLOQ)prQGdeprQ/P&d`Ylj���d�jwi+b�]&mOghZ[\f}�dRP&deb�prZ�ª �?i�Q)QG� § � § S � § BcQ)prQ/�+Q/{hd`pri�QGdRikb�prZ^YO_"0

� �3<6& 1 ��@ ��@ ��S U ���� � ��� S � ��7��¿ bc}wQ)³hYOQ:iMb�LOQ/��]J\[\^]��(Z^YO_�P�deb�prZ�ª 0

� S U � ����� � ����� � �

� LOQ:a~ �LO]���d`p�Q�prQ�d`}�b�LOQMQ�\[Q�PRQ�Yxbri ��Z^Y�b�LOZfiqa�]JYhitbrp�g|a£b�Z^]`Y�Z�bFZfi�mlj�p�]�� � § KMLOQMghi�ghd`\x]J{|Q�prdeb�Z^]`Yhi]JY#P�deb�prZ^a)Q�i(deY|}��JQ�a£br]`p~iMdeprQ/d���d`Z[\fdemO\^QI0UOC"D=<�� &+��U�� D�FINO< >L>��">L>�C��:J ���

� � @ � @ � �� �3< &+� &�� DIF�NO< >L>�X>L>3C��:J ���

� � � �����:U ������ � S���� �� S � U SEU�� S� � �

� �3<3X 1 ��&(7�� X � � &+��U� DIFINO< >L> XO>L>�C��:J ���� � S ������ ���� � ��� S � U �� S � � S���� S��� �

� �)���� ��! ���(�4.������ ��!#"���G.����)�+�(�

KMLhQ�i�Q+\^Z[YhQ�depqd`\[_JQ)mOp~dca)\^dJi�i�Q�i0de\fi�]v] %=Q�pri�\^]la�de\l�lZ[Q��zi�]`Y�b�LOQ�Z[pqZ^Yxb�Q)prYhd`\xprQ){hp�Q:ikQ�YJb~d�brZ[]JY § D�p�]�����]`pd�a�]`\^gOP&Y �M]`�4d�P�d�brp�Z[ª­¡O��]`pvZ[Y|itb~deYha)Q`¡=Z^ivd��lZ[Q��A]JY¢b�LOQRa�]Jp�prQ�i�{|]JYh}wZ^YO_&Q)\^Q)P&Q)Yxb~iz]e�qbrLOQ�P�deb�prZ�ªd`Yh}�i�Lhd`p�Q�b�LOQR{Opr]`{=Q)p�b�Z^Q�iv]e�+d#�`Q:a£b�]Jp §/¿ Yh}OQ)Q�}�¡­Z�bGZfiXd U:C:D=<��3<OJ��(Z[b�L´d#i�{|Q:a�Zfde\0a�]JYJb~deZ^YOQ)p/deY|}a�deY-m|QGP�d`YOZ[{hgO\^deb�Q:}#dJi(ikgha~L § KMLOQXbtjx{=Q�iz]e��b�LOQGa�]J\[ghPRY|izdeYh}�b�LhQGp�]��ziMdeprQGd`a�a�Q�i�Z^mO\[Q/d`i

�� ^��!

Page 18: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� ���

� �3<�:C���;ICO>� �� �"D=VO>3JLFIN�� ��C�? ? .. G:F ���I<LR "C� �3<�:C���;ICO>� �� �"D=VO>3JLFIN�� ��C�? ? ..cDIF � �I<LR "CKMLOQGa~Lhd`prdJa£brQ)prZ^ikb�Zfa(]e�«b�LOQ:ikQ/�lZ[Q��zi�Z^i+b�L|d�b({|Q�pk��]Jp�P&Z^YO_�]J{|Q�prdeb�Z^]`Yhi+]`Y#b�LhQv�JQ�a£br]`p~i4�(Z^\^\�d!%8Q�a£b

brLOQG]`mOstQ�a£bMbrLOQG�lZ[Q��6Zfi(\[]l]J xZ^YO_&d�b §XLF � 1 & @1S�7� XOF � 1 &#@ � 7��IU��

brprd`Yhik��]`prP&i/&�Z^Yxb�]X0� S � � ���� ��� � ���� � � � �

¿ bzP�ghitbzm=Q/p�Q�P&Q)P�m=Q)prQ�}�b�L|d�b(b�LhQXP&Q�PR]Jp�j#ik{hdJa�QX]e��b�LOQG�lZ^Q)�zi \:F � 1 & @797x¡WXOF � 1 & @797vZfiMYO]eb}OgO{O\^Z^a�d�b�Q:}�mOgwb�i�LhdeprQ�}¦�(Z�brL�b�LOQ�P�d�brp�Z[ª4& §q¿ b�a)d`Y¦m=Q�a)]`{OZ^Q�}¦Z[Yxbr]´d¨ikbrd`Yh}Od`pr}��`Q�a�b�]Jp(�?Q�dJa~LQ�\[Q�P&Q)Yxb(Z^iza)]`{OZ^Q�} ��0

� XOF � 1 &#@ � 7��L�Q�a)d`p�Q)��gO\^\­�(LOQ)Y-j`]Jg#ghi�Q/b�LhQ�i�QX\^]wa)d`\­�xZ^Q)�zi10XLF � 1 & @ � 7 XOF� 1 & @7S�7��

P&Q:deYhi�b�Lhdeb«b�LhQqb�Q�PR{=]`p~deprjX]`mwstQ:a£b«�(LOZfa~LGZfi«prQ�brgOp�YhQ�}/mlj�XLF � 1 & @1S�7qZfi�dJi�i�Z^_`YOQ:}cbr](b�LhQFb�Q�P&{|]Jprd`p�j]JmwstQ�a�bGp�Q)b�gOprYOQ�}�mlj XOF � 1 & @ � 7 §G¿ b�}O]xQ:iXYO]ebGP&Q�d`Y�brLhd�bGbrLOQ�a�]lQ�µ�a�Z^Q)Yxb~i/�xZ^Q)��Q�}�mlj XOF � 1 & @ � 7�(Z^\^\�m|Q�ikQ)b(b�]�brLO]Ji�Q/�xZ^Q)��Q�}-mlj XLF � 1 & @1S�7 §0¿ �0b�LOZfizZfi(�(Lhdebzj`]`g¢�MdeYxb�¡wLhQ)prQGZ^izb�LOQ�a)]`P&P�deYh}#b�]m=QGghi�Q�} 0

XLF � 1 & @ � 7 VLA � � 1 X�F � 1 &�@TS�7�7��- {=Q)p~d�brZ[]JYhiMm|Q)bt�+Q�Q)Y-p�]��zi �?p�Q:ik{ § a)]`\^gOP&Yhi��4]`�0}OZ %8Q)prQ)Yxb(P�d�b�prZfa�Q�i(d`p�Q/de\fi�]R{=]Jiri�Z[mO\^QI0� �3<6� 1eU�@cU�@ ��S � U � ��7�� XOF � 1 & @ � 7 XOF � 1!� @ � 7��:S � �

jlZ^Q)\f}Oi10� S � � � ��KU � � � � �� ��� ��� � �

uwZ[P&Z^\^d`p�\^j�i�gOml�`Q�a�b�]Jpri�de\fik]�a)]`prp�Q:ik{=]`Yh}�b�]&�lZ[Q��ziM]`Y¢]`YhQ�¤¥}wZ[P&Q�YhikZ^]`Y|de\­deprprd�jwi § KMLOQ/]J{|Q�prdeb�Z^]`Y��� \ ���'�OC21 � @TS�7�� VLA �� 1 � � \ ���'�:C21TS @�U 7�� 7��

brprd`Yhik��]`prP&i+brLOQG�`Q:a£b�]Jp � �iS @ �#@ � ��Z[Yxb�] � ���#@ � @ � � §�- p(j`]`g¢a)d`Y#g|ikQ/]`{=Q)p~d�brZ[]JYhi(i�gha~L-dJiXLF � 1 & @ � 7�� \ �%�'�:C21 � @1S�7 � VLA �� 1 XOF � 1 & @TS�7 � \ ��� �OC211S @�U 7�� 7���(LOZfa~L-b�p~deYhik��]`prP�i/&�Z[Yxbr]

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 19: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

�:� ����� �!#������� ����� � ����$)

� � � � � �� ��� � � � �� ��� ��� � �

BcQ)prQ�ZfizbrLOQ�a)]`P&{O\^Q�brQ�³h\^Q���]JpcbrLOQ�i�Q�Q)ªOdeP&{O\^Q�i�¡hbrLhd�b/j`]Jg��(Z[\^\qa�]`P&{OZ^\^Q��(Z[b�L�brLOQ�a)]`P&P�deYh} ���Z^Y¢]`p~}wQ)p�br]R_JQ�bcd`Y#Q)ªlQ:a�gwb~demO\^QX³h\^Q P\C�� 0 � 9#� D ��NOJOC � �"9 � � �$�(P � ��� <�R "C�JOC U:C"D=<��3<OJ:> �IGLG �3R!S1J:>IJOF=N� �ICO?�? U:C"D=<��� <�R "C�JOC � �3<�OC�� ;ICO> � � �"DEV">IJOF=N� �ICO?�? � �3<��� <�R "C�JOC � �3<�.�.cDIF � ��<LR "C DIF � ��<LR "C��� 9 �O< � �X9#� 179#�O< �3G ��D @ D � �IG+�� �3G ��A(7 8�� U:C"DE<3U 1 ��@ ��S �=U S ��7�� DIFINL<">L>]U">�>�C��:J � � �� � �3<6& 1 ��@ ��@ �3S U����� � ��� � S � ��7�� DIFINL<">L>�&">�>�C��:J � � U:C"DE<�� 1 &+��U(7�� DIFINL<">L>��X>�>�C��:J � � � � �3< 1!& � &(7�� DIFINL<">L>�X>�>�C��:J � � �� � �3<3X 1 ��&(7�� X � � &+�IU� DIFINL<">L> X:>�>�C��:J � � � XOF � 1 & @TS�7�� XOF� 1 & @ � 7��IU� DIFINL<">L>�&">�>�C��:J � � � � VLA � � 1 XOF� 1 & @ � 77�� DIFINL<">L>��X>�>�C��:J � � �� XOF � 1 & @ � 7 VLA � � 1 XLF � 1 & @7S�7�7�� DIFINL<">L>�&">�>�C��:J � � � � �3<6� 1cU�@cU�@ �3S � U � ��7�� �� XOF � 1 & @ � 7 XOF � 1!� @ � 7��"S � � DIFINL<">L>�&">�>�C��:J � � �

� � \ ���'�:C21 � @TS�7�� V�A � � 1 ��� \ ��� �:C211S @�U 7�� 7�� DIFINL< >�>��X>L>�C%�:J ���� � XOF � 1 & @ � 7 � \ ���'�OC21 � @7S�7�� V�A � � 1 X�F � 1 &#@1S�7�� \ ��� �OC211S @�U 7�� 7�� DIFINL< >�>�&">L>�C%�:J ���� � � 9

� .��(, � %#!-� �X�����)�/.�� ,�������!���� �����)�IcYOZ^��d`p�Zfd�brQ�{=]`\^jxYh]`P&Z^d`\^icdeprQ�}wQ)prZ[�JQ�}-��pr]`P b�LOQ��`Q:a£b�]Jpri § KMLOQ)j-Lhd��JQ�d�P�gO\[b�Z^{O\^Z^a�d�brZ[]JY�¡=d�}wQ)_Jp�Q�Qd`Yh}-deprQX{hp�Z^Yxb�Q�}#ghi�Z[Yh_�brLOQG��deprZ^d`mO\^Q � ��� § � § �#� § BzQ)prQ/Z^icdeY-Q�ªOdeP&{O\^Q/]e�q}wQ�³hYhZ�brZ[]JY!0

<�R "C�JOC 4��� F ��R�:C�� ;�CO>�N �IG">��O> � S=?�?Q? � F���¶ Q�g|ikQ�b�LOQR�lZ[Q���]e�+}wQ�Yhi�Q�gOYOZ^��deprZ^deb�Q�{=]`\^jlYO]`P&Zfde\fi ��� F �IR��:C�� ;ICh¡w�(Z[b�L�b�LOQ&a�]JYxbrdeZ^YOQ�p�N �IG�(LhZ^a~L²Q)ªlb�Q)Y|}Oi �3GLG �IR!STJ�mlj¨itbr]`prZ[Yh_¢b�LOQ¢}wQ)_Jp�Q�Q § KMLOQ-a�]lQ�µ�a)Z[Q�YJb~i�d`p�Q�]`�(btjl{|Q��L> � S=?-brLhd�bRZ^iZ^Yxb�Q�_`Q)p~iGP&]w}wgO\^]��O���ÈS § � � §-¿ Y¨]Jpr}OQ)pGbr]�m|Q#demO\^Q�b�]�ghikQ�b�LOZfi�a)\^dJi�i�¡«��Q�P�ghitb�³hprikb�Z^Yha�\^gh}wQ�b�LOQ��]J\[\^]��(Z^YO_�³|\[Q:i70� 9#� D ��NOJOC �iN:F �IR(P � � � � N�� 9EA �3G�9��3<:C "F �IR��:F�� 9�� �O;� 9#� D ��NOJOC ���3G�9E< � � ��� %P � � � �4��F�J3N � �IG �LN����:C3G�;

�� ^��!

Page 20: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� ��R

D�{|]J\[jlYO]JPRZfde\Ma)d`Y¨m|Q-a�]JYhitbrp�g|a£b�Q:}©��p�]JP deY²deprp~d�j�]e�ca)]lQ�µ�a�Z^Q)Yxb�]Jp�{hd`pri�Q�}©��pr]`P d�ikb�prZ[Yh_�?Q)Yh}OZ[YO_�mlj�d �)��0

� F � 1 � ��� � � ���+��� � S � � 7��jlZ^Q)\f}OiMb�LhQG{|]J\[jlYO]JPRZfde\

1TS�7������ � � 1 � ��7���� � 1�U � 7KMLOQ��kYhdeb�gOp~de\ �v]`{=Q)p~d�brZ[]JYhi�]e�0{|]J\[jlYO]JP&Z^d`\^iMdeprQGd���deZ^\^d`mO\[Q �?i�Q)Q/� § � § ����0� F � M (� ��jlZ^Q)\f}OiMb�LhQG{|]J\[jlYO]JPRZfde\

1TS�7�������� � 1 ����7������ � � 1ES 7������ � � 1 ��7������IU � 1 �:S �+7�� � � 1eU�7BcQ)prQ`¡wde\^\ObrLOQv]J{|Q�prdeb�Z^]`Yhi4]`Y&brLOQXa)]lQ�µ�a�Z^Q)Yxbri+deprQc{=Q)p���]`prP&Q�}&P&]w}wgO\^] ( ! § KMLhQ�i�Qc{=]`\^jxYh]`P&Z^d`\^id`\^i�]RLhd��`QGdeY-Q)g|a�\^Z^}wQ:deY¢}wZ^�xZfi�Z[]JY!0 � � F � 1 � � � S � �%7�� � F � G M ��jlZ^Q)\f}OiMb�LhQGp�Q�P&d`Z[Y|}wQ)p(G1TS�7�������U � 1 ��U�� 7���� � 1TS�7�(LOZfa~L�Zfi�de\fik] � ��� !������� ( ! § " ]`b�Zfa�Qcb�Lhdeb4b�LhQv]J{|Q�prdeb�]`p R�(Z[\^\|jlZ^Q)\f}&b�LhQvprQ)P�deZ^Yh}wQ�p4]`��b�LOQ�Fgha�\^Z^}OQ�deY�}wZ^�lZ^i�Z^]`Y-Z���b�LOQG\^Q�dJ}wZ^YO_Rb�Q)prP Zfi(Z^Yx�JQ)p�b�Z^mO\^Q �?LOQ)prQ/Z�bzZfiMbrLOQ�a)dJikQv��]`p ( !vZfi({OprZ^PRQ�� § KMLOQnxgO]`b�Z^Q)Yxb(Z^iz_`Z^�`Q)Y#mlj�b�LhQG]`{=Q)p~d�b�]Jp � § IcYOZ[��d`p�Zfd�brQX{=]`\^jlYO]`P&Zfde\fiMa)deY�d`\^i�]�m=QGQ)��d`\[ghdeb�Q:} 0D�FINO< >L>3M21 �O> � SE? 1ES�77�>L>�C��LJ � �jlZ^Q)\f}Oi �|¡l�(LOZfa~L�Zfi+]`�­btjl{|Q �O>�� S=? § KMLOQv]`gwbr{OgwbM]e�­brLOQvQ���de\^ghd�brZ[]JY�Z^i+]e�«b�LOQXi�d`PRQcbtjl{|Q/d`i4b�LOQZ^YO{OgOb�btjl{=Q`¡wZ[��Z[b(Z^iMa�]JP&{hd�brZ[mO\^QX�(Z�brL�brLOQGa�]lQ�µ�a�Z^Q)Yxb�btjl{|Q § O]`pMZ^YhikbrdeY|a�Q`¡OM 1ES�7X�(Z^\^\­YO]ebMm|Q/��de\^Zf}LhQ)prQ`¡x��]`p�b�LhQGQ)��de\^ghd�brZ[]JY�brp�Z^Q�i+b�]R]`gOb�{Ogwbcd`Y 9#�O<&��p�]JP deprZ�brLOP&Q�brZ^aX]`{=Q)p~d�brZ[]JYhi+m|Q)bt�+Q�Q)Y 9 �O<�deY|}

�O> � S=?�� §" Q�ªlb�Zfi4d`YO]ebrLOQ)p+Q�ªOdeP&{O\^Qc�(LhQ)prQz�+Qvghi�QzmOZ^_�Z^YJbrQ)_JQ)p~i)¡x}wQ�³hYhQ�}���pr]`P b�LhQz³h\^Q � 9 ���LN%� P � � S § � ��0<LR "C�JOC ��� F �IR�OC�� ;ICO>=N �3GO>��:D �3>�� � �O?�? ? � � F ���� � F � �21 � ����U �:SEU�������LULU��LU�� � � U ��������� ��� ������ ��7��� � F � � ��� ��� D�FINO< >L>%�">L>�C��:J ���

1ES�7������ � � 1 � ��� � � U�����������7������ � 1 � � ��� ����� S ���������� S3S������(7������ �� 1 �OS��LULU��S���������U � ��� � � ��� � �XS ��� �LU�����7������ �� 1ES � �LU����������� S �LU�U��3U� S � � � �� S ����������S���7�������U� 1 �=U � �LU�� � S������� � ��XS�� S3S � ��� � � � ��� � � � S�XS�������7����� 1ESTU��LU � U �!S�������S���U����!S���� � �:UXS � � ��� LU�U������LU��� � �(7

� � `�� `������������ �"!$#�`&%�'(�*)�+,��`-�.#/!$01)�+$��01� `2���"�.�3! �"�54�+,�3�"�"���('76�!$4�6'5!$+$+8�"!$01)�+$! 9;:<�.6����"�=)>�.#@?�+$��01�BA

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 21: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� > ����� �!#������� ����� � ����$)

BcQ)prQGZ^i�brLOQ�a�]JPR{h\[Q)b�QX³h\^Q/��]`pMb�LhZ^izi�Q�a�b�Z^]`Y!0 � 9#� D ��NOJOC �iN:F �IR(P � � � � N�� 9EA �3G�9��3<:C "F �IR��:F�� 9�� �O;� � 9#� D ��NOJOC ���3G�9E< � � ��� %P � � � �4��F�J3N � �IG �LN����:C3G�;� � 9#� D ��NOJOC � � 9 ���LN�� P � ��� <�R "C�JOC 4��� F ��R�:C�� ;�CO>�N �IG">��O> � S=?�?Q? � F ���� <�R "C�JOC 4��� F ��R�:C�� ;�CO>�N �IG">��"D��L>�� � �L? ? ? � � F ����� 9 �O< � �X9#� 179#�O< �3G ��D @ D � �IG+�� �3G ��A(7 8� �� � F � 1 � ��� � �����+��� � U �� � 7�� D�FINO<">L> X>L>�C��OJ ��� � � F � M +� �� D�FINO<">L>IM:>L>�C��OJ ��� �� � � F� 1 � � � S � ��7�� � F� G M �� D�FINO<">L>�G">L>�C��OJ ��� � � DIFINL< >�>3M 1 �O>�� S=? 1ES�77I>L>IC��OJ ��� �� � � � F� � 1 � ���IU��:SEU��� ��LULU��LU���� � U ��������� ����������� ��7 �KD�FINO<">L> �O>L>�C��OJ ��� �� � � F� � ��� �� D�FINO<">L> �X>L>�C��OJ ��� �

9

� .��(, �� ��%-�~.����v���0���/.�� ,����£��!����'�����)�A�gO\�brZ[��d`p�Zfd�brQ�P&]`YO]JP&Z^d`\^iRdeprQ�}wQ)³hYOQ�}�mlj´d�btjl{|Q X©��]`p�b�LOQ¢a�]lQ)µ�a)Z[Q�YxbriRdeYh}²d�btjl{|Q V´��]`p�b�LOQQ)ªw{|]JYOQ)Yxbri �È� § � § �#�i0

�OF��"F�� >]X#@fV"?A¢gh\�brZ[��deprZfd�b�Q�{|]J\[jlYO]JPRZfde\fizd`p�Q�prQ){hp�Q:ikQ�YJbrQ�}-d`ivik]JpkbrQ�}-\[Zfikbv]e�qP&]`Yh]`P&Z^d`\^i�¡h}wQ)³hYOQ:}�mlj-d�a)]`Yw¤

b~deZ^YOQ)pT\#deYh}-dRb�p~deZ[bza�\fd`iri4btjl{=Q%Z���]`pzb�LOQ/]`p~}wQ�p(]`Y#b�LOQGP&]`Yh]`P&Z^d`\^i �È� § S § �#��0� � F �IR">�\ @�ZL?� Q�bzghiz}OQ�brd`Z[\8brLOQ)Z^pzghi�Q/]`Y#b�LOQ/��]J\[\^]��(Z^YO_&Q�ªOdeP&{O\^Q �À³h\^Q*;=<OC �(PcD�D �i0

� 9#� D ��NOJOC ��� :F �IR(P � ��� <�R "C�JOC �:F��"F#� >3JOFIN�� ��C�@WJ�R�� �#� 9�DIC�� X>�� ���c? ? �:F����� <�R "C�JOC � � F ��R">�"9�;E<">��:F��"?�@ � ��C��">%�:F��X? ? � F ����� 9 �O< � �X9#� 119#�L< �IG ��D @ D � �3G �� �3G ��A(7� 8� � F � 1 � �!S���U����:U � U����!S � ��� � 7�@*M 1 � � S��IU � ���� ��7��

�� ^��!

Page 22: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �:�

�D�FINO<">L> X>L>�C��OJ ���

�� � M�� D�FINO<">L> X>L>�C��OJ ��� � F3G 1 � F� ..e9E<OC3G �3<:F�G 9T< %P �:C�� 9#� 1 7��H9T< � %P/C��OJ 1 7�� 9T< �� 7 �� DIFINL<">L>"9E<+�I?�,OC3<WXOFLC � 1 7I>3>�� � � � D�FINO<">L>3C��:J ��� � 9

�I0 ¿ Yha�\^ghi�Z[]JY�]`��b�LOQXYOQ:a�Q�irirdeprj�LOQ:d`}wQ�p4³|\[Q:i)¡x��]`p�brLOQvP�d`YOZ[{hgO\^deb�Z^]`Y�]`�«P�gh\�brZ[��deprZfd�b�QX{=]`\^jxYh]`P&Z�¤de\fi §�:0 ¶ QG}wQ)³hYOQ/deY-demOmOprQ)�lZfd�brZ[]JY&��]`p�b�LOQ/}Odebrd�¤¥ikb�prgha£brgOp�QJ¡xa)]`prp�Q:ik{=]`Y|}wZ[Yh_Gb�]RP&]`YO]JPRZfde\fi § KMLOQ:ikQdeprQ�P&]`YO]JP&Z^d`\^i(�(Z[b�L JLFIN� ��C�a�]lQ�µ�a)Z[Q�YJb~icd`Yh}HJ�R�� ��� 9�D�C�� X>������e?X��]JpzbrLOQ�Q)ªl{=]`YhQ)Yxbzbtjl{|Q

�?i�Q)Q�� § � § S � §�"0 ¶ Q�}OQ�³hYOQ�d`Y©d`mOmOprQ)�lZ^deb�Z^]`Y���]`pXb�LOQ�}hd�brde¤ ikb�prgha�b�gOprQ`¡­a�]Jp�prQ�i�{=]`Yh}wZ^YO_�b�]-b�LOQ�{=]`\^jlYO]`P&Zfde\fi §KMLOQ)j�d`p�Qvp�Q�{OprQ�i�Q)Yxb�Q:}&mxj�d�\[Zfikb�]`�«P&]`YO]JPRZfde\fi�¡xi�]`p�b�Q:}�mlj � Q)_Jp�Q�Q � Q�ªwZ^a)]`_Jprd`{OLOZfa(]`p~}wQ)prZ^YO_�?i�Q)Q�� § � § � � §�:0 ¶ Q�}OQ�³hYOQ/brLOQ � �X9 ��{hp�]wa�Q:}wgOprQ §> 0 ¶ QDmOgOZ^\^} b�LOQD{|]J\[jlYO]JP&Z^d`\ ­¡(mlj¦{hd`pri�Z^YO_¨b�LhQDikb�prZ[YO_ � ���iS � �=U������/U � � ����S � � S'� § - brLOQ)pb�Q:a~LOYOZfnJghQ�iM��]Jpza�]`Y|itbrp�gha�b�Z^YO_ -d`p�Q/}wQ�b~deZ^\[Q:}-Z[Y�i�Q�a£brZ[]JY¢� § S § � §�:�:0 ¶ QGP�gO\[b�Z^{O\[j #mljKM §�J�I0 ¶ QG]Jgwb�{hgwb(b�LOQGYhQ)�A��d`\[ghQX]`��brLOQG��deprZ^d`mO\^Q� §��SO0 ¶ Q�ira)d`Y�brLOQGP&]`YO]JP&Z^d`\^iM]`� ���p�]JP b�LOQGm=Q)_JZ[YhYOZ[Yh_�br]&b�LOQGQ�Yh} §�:�:0 DzYh}-��QG]`gwbr{Ogwb(brLOQ�a�]lQ�µ�a)Z[Q�YJb~iM]e��b�LOQGP&]`Yh]`P&Z^d`\^i §

- Y|a�QXj`]`g#Lhd��`Qvbtjl{|Q:}�brLOZfiM³h\^Q`¡wj`]Jg#a)]`P&{OZ^\[Q/Z[bM�(Z[b�L#b�LhQ�a�]`P&P�deY|} � ��8¡lprgOY-Z�bzdeY|}�]Jmwbrd`Z[Y#b�LOQ��]J\[\^]��(Z^YO_�prQ�i�gO\[b10� S��IU����OU � 1eU 7����!S � 1 ��7� S�� �+���OU � �!S���U����:U������ � 1eU 7���� S���� � 1 � 7���� S �IU � 1cU 7����!S ����� � 1 � 7������SQS U��QU��

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 23: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

S`� ����� �!#������� ����� � ����$)

�� ^��!

Page 24: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� SO�

� ��������� �

� � 5 � � � � 0 � 5 0������ 0�� �6245

�W574 � ���)! �C.����������

¶ QGghi�QXb�LOQ ¹$K ¯RZ[P&{O\^Q)P&Q)Yxb~d�b�Z^]`Y«¡O�(LOZfa~L#{Opr]��lZ^}OQ�i�b�LhQ/��]`\^\[]��(Z^YO_R]`{wbrZ[P&Z �)Q�}¢}Odebrde¤ ikb�prgha£brgOprQ�i10� �"93;=<">]Y"?�_JQ)YOQ�p�Zfav\[Zfitb §� A:C:D=<:F3G">�Y"?�_`Q�YOQ)prZ^aX�JQ�a£br]`p §� JOC3M3N"CO>]Y:?�_JQ)YOQ�p�Zfav}O]`gOmO\^Q�¤ Q)Y|}wQ�}-nxgOQ)gOQ §� ;ICI<">]Y @ F3GLJOC3G">]Y:? ?�]`p~}wQ)prQ�}�_`Q)YhQ)prZ^aXikQ)b�¡O�(Z[b�L¢YO]&prQ){=Q�brZ�brZ[]JY-]`��Q�\[Q�P&Q)Yxbri §� �"N �"9�;IC3<:>]Y @KF3GLJOC3G">]Y:? ?R]Jpr}OQ)prQ�}�_JQ)YOQ�p�Zfa/ikQ)b(�(Z�brL-prQ){=Q�brZ�brZ[]JY¢]e��b�LOQGQ�\[Q�PRQ�Yxbri §� �"9EG">�'�@ Y"?�_`Q�YOQ)prZ^aX{hd`Z[pM]`��Q�\[Q�PRQ�Yxbri � 119�@ <(7 §� � ��X>�'�@fY#@KF3GOJOCIG">�'I? ?/_JQ)YOQ�p�ZfaMikQ)b4]e� � 119�@ <+7l¡e]Jpr}OQ)prQ�}Rd`a)a)]`p~}wZ^YO_Xb�] ' §(" ]�p�Q�{|Q)b�Z[b�Z^]`YR��]`pb�LOQGQ�\[Q�P&Q)Yxbri �? `Q�j;�+]`�/' §� �"N �I< 9 � ��X>�'�@fY#@BF3GLJOC3G">�'�? ?&_`Q)YhQ)prZ^aXikQ)bz]e� � 119�@ <+7l¡l]`p~}wQ�p�Q:}�d`a�a�]Jpr}wZ^YO_�b�] ' § � gO{O\^Z^a�d�b�Q `Q�jli(d`p�Q/de\^\^]��+Q:} §� ;=< �"D=V">]Y#@�X:?/_JQ)YOQ�p�Zfaz\^Z[��]&ikbrdJa~ &]e��Q�\[Q�P&Q)Yxbri�Z^Y Y8¡lZ[P&{O\^Q)P&Q�YJbrQ�}#�(Z�brL�brLOQGa�]JYJb~deZ^YOQ)p X ��Q�_ §�"93;=<">]Y"? � §

� M3N:CIN"CO>]Y#@�X:?/_JQ)YOQ�p�Zfa(³h��]&ikbrdJa~ &]e��Q�\[Q�P&Q)Yxbri�Z^Y Y8¡lZ[P&{O\^Q)P&Q�YJbrQ�}#�(Z�brL�brLOQGa�]JYJb~deZ^YOQ)p X ��Q�_ §JOC3M3N"CO>]Y:? � §uwQ)QXb�LOQ�uOK � p�Q)��Q)prQ)Yha)QvP�deYlghd`\ � �e�!� ¡w��]`p(P&]`prQG}wQ�b~deZ^\^i §

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 25: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

SJS ����� �!#������� ����� � ����$)

�W5�� 8 ���',-�)���V!&%#�����(���

¶ QGghi�QXb�LOQ�a)]`P&{O\^Q�ª�YlgOP�m|Q�priM]`��brLOQ�itb~deYh}hdep~}�\^Z[mOp~deprj 0� 9#� D �=N:JOC >:D�F�� ��C �"?

BcQ)prQ+ZfiqdeY�Q�ªOdeP&{O\^Q+]`�|a�]JYhikb�prgha£brZ[]JY�]e�=d � ]JP&{O\[Q)ª�YlgOP�m=Q)p0�(Z[b�L*JLFIN� ��CzprQ�d`\xd`Yh}�Z^P�de_JZ[Yhd`p�j{|dep�bri10DIF�� �3C��">3JOF�N� ��CO? �21TS P � @cU P � 7

�W5! � � �'!&%-� ���(���KMLhQ)j¢deprQ�mhd`i�Q�}�]`Y�U�A�o }wQ)�JQ)\^]`{=Q�}¢mlj-K § UXp~deYO\^gOYh} � �`�!�È¡ A�o 0y±}OQ)�`Q�\[]J{|Q:}�mlj-o §�� Z^P&PRQ�pk¤P�d`YOY � R��!�È¡hd`Yh} A�o � deY-Q�ªlb�Q�Yhi�Z[]JY#]`�0a)]`P&{O\^Q�ª�YlgOP�m|Q�priMmlj ��§ L�Z[YhZ«deYh}¢U § �Z^]`prQ)Yxb�Z^YO] §

����� �� ��������� �

� �"D �L>�� � �L?��(LOZfa~L¢a�]`prprQ�i�{|]JYh}Oi+b�]&mOZ^_&Z[Yxb�Q�_`Q�pri�¡wmhd`i�Q�}#]`Y#b�LhQ*'*���6btjl{|Q � � §� �"D �L>�� � ��?��(LOZfa~L¢a�]`prprQ�i�{|]JYh}Oi+b�]&mOZ^_&prdeb�Z^]`Yhd`\ ¡wmhdJikQ:}�]JY�brLOQ*'*��� btjl{=Q � OM §� �"D �L>�� ��� ?��(LOZfa~L¢a�]`prprQ�i�{|]JYh}Oi+b�]&mOZ^_��h]Jdebri�¡wmhd`i�Q�}#]`Y-b�LhQ*'*��� btjl{|Q � §� �"D �L>�� ��� \"?��(LOZfa~L¢a)]`prp�Q:ik{=]`Y|}OiFbr]�p�Q�\[Zfdemh\[QXmOZ^_��h]Jdebri�¡wmhd`i�Q�}#]`Y#b�LOQ A�o 0y \^Z^mOprd`p�j §� �"D �L>�� � XO?��(LOZfa~L¢a�]`prprQ�i�{|]JYh}Oi+b�]&mOZ^_�a�]`P&{O\^Q�ªwQ:i)¡wmhdJikQ:}�]JY�brLOQ/btjl{|Q � D §

��� � � ' � 9#� D �=N:JOC � � 9 ���LN���P � �<LR "C�JLC �"D ��>�� � �O? ��<LR "C�JLC �"D ��>�� ��� ? � �<LR "C�JLC �"D ��>�� � �L? ����

9#�O< � �X9#� 119#�O< �IG ��D @ D � �IG+�� �3G ��A(7 8

� � 9 � ��F �3<�; � 1 ��S � � � U �LU �LU��� ������3U ��U �3ULU ���� �:U�S�SLS3SLS�SLS ����� ����������������7!@M 1cU�����7�@ G �DIF�NO<">L>�� �E>L> >L>�C%�:J ���

"!$#&%(' ! %)%*% %$(�%$(�%*+-,.+-,)+/,)+�% (�%-01,)2

�� ^��!

Page 26: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� S`�

DIF�NO<">L>��7M �E>L>IM >L>�C%�:J ���

�-! # %(' %*+)+*+*+*0/+G ��M � D�FINO<">L> � ��M �T>L>IG >�>�C��:J � �

!����-!$#&%(' %*+*+*2 %�� (�� % �-2 ���*%��-% (/, ! 0/+ %G � M � D�FINO<">L> � � M �T>L>IG >�>�C��:J � �

"! ��-! # %(' ! %)%*% %$(�%$(�%*+-,.+-,.+ ,�+ % ($%*0 ,.2G �=M � D�FINO<">L> � �=M �T>L>IG >�>�C��:J � �

"!���-! # %(' ! %)%*% %$(�%$(�%*+-,.+-,.+ ,�+ % ($%*0 ,.2G �=M � D�FINO<">L> ���=M �T>L>IG >�>�C��:J � �

�-! # %(' ! %)%*% % (�%$(�%)+/,.+-,)+/,�+ % (�%-01,)2G �3M � D�FINO<">L> � �3M �T>L>IG >�>�C��:J � �

"!����-!$# %(' ( � ! , % (��-2*2)+*2-, %�� + !�� ��� 0 , !� � 9 � 9#�O<OC��:C3G�; � � 1 ��S � � � U �LU �LU��� ������3U ��U �3ULU ���� �:U�S�SLS3SLS�SLS ����� ����������������7!@M � 1cU�����7�@ G����DIF�NO<">L>�� � �E>�>��:>L>3C��:J ���

�� # ! %*%)% %$(�% ( %*+-,.+/,�+ ,.+$% ($%$($%$% (*,$(-, %'! !�! !$! !�! ,�(-,�(/, (/,�(*+)+-+*+DIF�NO<">L>��7M � �E>�>3M �:>L>3C��:J ���

��� # %*+*+)+*+G�� ����M ��� D�FINO<">L> � � ��M � �T>L>IG��:>�>�C��:J � �

�� ����� # %*+)+-2 %�� (�� % �/2 ���*%��)% (-, !$! ��� � ,��-2 ! %*2/, � ,*,)+�%�� % ,.2/,)2-, � +*2 % � % %-+G�� � � M ��� D�FINO<">L> � � � M � �T>L>IG��:>�>�C��:J � �

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 27: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

Se� ����� �!#������� ����� � ����$)

�� ��� # ! %)%*% % (�%$(�%)+/,.+-,)+/,.+$% ( % ($%�% (-,$(*,�%'!$!$! !�! !$! , (/,�(-,�(/,.2'!$! ! %G�� � �=M ��� D�FINO<">L> � �+�=M � �T>L>IG��:>�>�C��:J � �

� ��� # ! %)%*% % (�%$(�%)+/,.+-,)+/,.+$% ( % ($%�% (-,$(*,�%'!$!$! !�! !$! , (/,�(-,�(/, ! %*%-%)%G�� � �=M ��� D�FINO<">L> ���=M � �T>L>IG��:>�>�C��:J � �

��� # ! %)%*% %$(�%$(�%*+-,.+-,.+/,.+$% ( % (�% %$(/,�(-, % !�! !$! !�! ! ,�(-,$(*,$(-, ! %-%*%*%G�� � �3M ��� D�FINO<">L> � � �3M � �T>L>IG��:>�>�C��:J � �

�������� # ( � ! , % (��-2*2)+*2-, %�� + !�� ��� (-,$( � (��$%)+-+'! � � ,.2'!12���� �-% % (G�� � LM ��� D�FINO<">L> � � � �M � �E>L>IG��O>L>�C��:J ���

���� ��� # %�� �*%G�� � 1 ����M �+7���DIFINO<O>L> �7G � � 1 �� �EM �+7 �T>L>IG��:>�>�C��:J � �

���&� # � �� ����� � # %)+*+-2 %�� (�� % �/2 ���*%��*% (*, !$! ��� � ,��*2'! %-2/, � ,*,)+�%�� % ,)2/,.2/, � +*2'! % � !1+G�� � 1 ����M �+7���DIFINO<O>L> �7G �+� 1 �� �EM �+7 �T>L>IG��:>�>�C��:J � �

��� # � �� ����� � # %�� �*%G���� 1 ����M �+�=M � ��7���DIF=NO<">3>��iG���� 1 ����M � �=M�� � �� 7 �E>L>�G��:>L>�C%�:J ���

����� # � � ����� ������ �� � # �'! ( ! + % ! ,*,),*,�� % ,)2�% % + ! � , � % � �*2$% � % � ! � +$% ( % ,�+ � 2 (�� %$%-2��/+ %�� ! ( %-%

� � 9 � G �3<�9�F�� � �O; � :M 1 ��S � � � U �LU �LU��� ������3U ��U �3ULU ���� �:U�S�SLS3SLS�SLS ����� ����������������7!@MLM 1cU�����7�@ GOM��DIF�NO<">L>�� :M � M�M �T>L> 1 :M � MLM+7�>L>�C��:J � �

��� # ��� # % %)%*% ,)2-,.2)+ %��*%��*%��)% ,)2-,)2/,),*2��-2��/, %$%$% %�% %$%��)2��*2��*2���� !$! ! � +'!$!$!

�� ^��!

Page 28: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� SJ�

GOM :M �3M�M � MLM�� D�FINO<">L> � :M �3M�M � MLM �T>L>IGOM:>�>�C��:J � �

��������1� ��� # % %*%)% ,)2*,)2.+ %��)%��-%��-% ,)2-,*2*,-,)2��)2��-, %$% %�% %*+/2 % ,)2-,���%*+$%����-2 � ! ( % 2 !$! 2 % +9

�W5�� " ��"¢%#�)����!&%-� ���(����� � ���� ����� � �

�  � '��w� �� ; : � � 20� '��O�:���� ; : ��� '��O�:� �

������������������������� ��!�"#�%$�&'��!�(�)*&+� � �-,/.0"1�2�0�43657�����98�,/)4�0(:";�+"=<>,?!:�@�����0�0� ��.=,/��) �%$4) ,A$:(�BC,�D05�����E!�(�)*&+� �@DF�G��,H(�B=$I&+�J�4����<K) �9!�(�)L&H���'MN,H"=��� �%OP<1���Q<1!�R?� � ��<C,/!S�?!N$L��T���,?!�� !�"=<U�A"V<C,/!W)��'�!�,+"X&H�R���BK<=$75

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 29: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

S`� ����� �!#������� ����� � ����$)

�� ^��!

Page 30: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� SSR

� ��������� �

� �T. 2 � � � ��� 2���� �

¶ Q�}wQ:i�a)p�Z^m|Q/LOQ�p�QXbrLOQ/P&d`Z[Y-��Q:d�b�ghp�Q:iM]e�«brLOQG\^Z[YOQ:dep(de\^_`Q�mOp~d�{hdJa~ �de_`Q § A�]`prQXZ^Yw��]Jp�P�d�brZ[]JY-a�deY-m|Q��]JgOYh}-Z^Y � �`S!� § B574 � �(�F.������

��� �� ����������������������?qQ:a£br]`p~izdeprQG]`YOQ)¤ }OZ[P&Q)Y|ikZ^]`Yhd`\�deprprd�jwi�Z^Y��(LOZ^a~L�d`\[\«b�LOQ�a�]lQ�µ�a�Z^Q)Yxb~izdeprQ�itbr]`prQ�} ��Q��`Q�Y�Z��0b�LhQ)j¢deprQ��Q)pr] � § KMLOQ�j�{Opr]��xZf}wQXa�\fd`irikZfa)d`\=d`p�Z[b�LOP&Q)b�Zfac]J{|Q�prdeb�Z^]`Yhi�ikg|a~L�d`iMd`}h}wZ�brZ[]JY�¡wikghmhitbrprdJa£brZ[]JY�¡lP�gO\[b�Z^{O\^Z�¤a�d�brZ[]JY#mlj�ira)d`\^d`pri §+§�§)§��� � ��!#"�$�%&!#%&����'(�������

� � )����+* �+,.- � � ���0/ � ��  � '��w� Â�� �('��h��� � C���)� ���e�21  �`�43���Ç

�����9� ";��! $6���'$*8GB>����� ,/.-R/�%8%"#,?���%5

��� � 56������' ���7%&�98;:<�=�?>@%&�����=�98KMLhQ/a)]`Yxbrd`Z[YhQ)pMbtjl{|Q \-ikLO]JgO\f}�{Opr]��lZ^}OQcbrLOQ/��]`\^\[]��(Z^YO_�i�Z[_JYhd�brgOp�Q30

<LR "C�JOC ;L9��OC��I<�R "C� � � <LR :CQF < � C 9 �:JOC��(P<LR "C�JOC A � ��N"C���<LR "C� � � <LR :CQF < � C D�FLC 93DO9�C��O<X;�P<LR "C�JOC 9T<:C3G �3<OF3G�� � � <LR :CQF < � C 9T<:C3G �3<OF3G(P\ 1i;O9��OC���<LR "C ��7��

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 31: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

S > ����� �!#������� ����� � ����$)

\ 1i;O9��OC���<LR "C � @HA � ��N"C���<LR "C�� <(7��\ 179E<:C3G �I<:F3G � @79E<:C3G �3<:F3G C�7��\33\�..\F "C3G �I<:F3G 1iDIF%� ;T< \ 3(7

;O9��OC��I<LR "C \�..�;O9��OC21 7A ���N"C��I<�R "C433\�..\F "C3G �I<:F3G�� � 17;O9��OC��I<LR "C 97��A ���N"C��I<�R "C \�..\F "C3G �I<:F3G�� � 17;O9��OC��I<LR "C 97 DIF�� ;E<��A:F"9=J�\�.. G:C:;IC3GLA:C 17;O9��OC �I<LR "C�7��KMLOQ-a�]JYhitbrp�g|a£b�]Jp \ 17;L9��OC��I<�R "CQ9�7¢de\^\^]la�d�brQ�b�LOQ-P&Q)P&]`prj©mOgwb�Yh]eb�LhZ[YO_DZ^i�ikgh{O{|]xikQ:}´b�]Dm|Q

 lYO]��(Y¢dem=]`gOb�brLOQ�de\^\^]la�d�brQ�}#��d`\[ghQ�i §KMLOQza)]`Yhikb�prgha�b�]`p \ 119T<:C3G �3<OF3G��I<4� @ 9T<:C3G �3<OF3G��I< C 7cd`\[\^]wa)deb�Q�i�brLOQMPRQ�P&]`prj�deYh}�³h\^\OZ[b0�(Z[b�LbrLOQG��de\^gOQ�i���pr]`P b�LOQGZ[b�Q�prdeb�]`p���pr]`P �#b�] C §KMLOQGa)]`Yhikb�prgha£br]`p \ 17;O9��OC �I<LR "C � @ DIF�� ;=< D � �3G+� ;=<LG+7/mOghZ[\f}�brLOQ/deprprd�jR]e�0ikZ �)Q ����p�]JP¬b�LOQikb�prZ^YO_ ;=<�G §KMLOQ���gOYha�b�Z^]`Y A:FX9=J�\�.. G:C";IC3G�A:C217;O9��OC��I<3R :C ;�7&p�Q:de\^\[]wa)deb�QGbrLOQ�P&Q�PR]Jp�j¢Z[�4YOQ:a�Q�irirdeprj#deY|}a)]`{OZ^Q�iXbrLOQ�Q�\[Q�PRQ�YxbriG]`��< � 9�;w¡�]`p�ghikQ&brLOQ�a)gOp�prQ)YxbGP&Q)P&]`prjDi�{hdJa�Q�Z[�W;#ZfiG\[Q:i�iGb�Lhdeb�b�LOQ#d`a£brghde\i�{hdJa�Q §��� �� � ��%��' !#" $ % �=: � ������' �����=�

� � )����+* ������������ / � ��  � '��w� Â�� �('��h��� �)��� ���e���O�:��� à 7 Ç

� !A<V$2<K) � !7��<C,/!7��B �?�����'�*,?. 8�,6� �L8G<C� !�"=�EOP<;"V�I� �G<��?�?5

��� �� � ��� � � ��8 % ���7%&!� 9#� D �=N:JOC � �:9#� � �$� P � �

� � ,OC��:C3G � � � C��JOC3G 9 ��C F3G �"9#�:C�3G � �$�:C%�OG �<LR "C�JLC U:C"DE<��3<OJ:> �3GLG �3R STJ:>3J�FIN�� �ICO?�?�USV#XSY��

� � U:C"DE<:F3G JOC 9#� 9E< 9=F�� � �:;IC�J F�� �3GLG �IR!STJ DIF��L< �X9#�"CIG @ � 9T< � JOFIN� �3C DIFLC 9�DO9�C��L<�;�P9#�O< � �X9#� 119#�O< �IG ��D @ D � �IG+�� �3G ��A(7 8

UWVWXSY � 1 � @ � � U S � ��7�@ U 1 � @ ��S U ��� ��7�@ ���DIF�NO<">L>�� � �E>L> � >L>��X@�U �E>�>]U">L>�C%�:J ���

�� ^��!

Page 32: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� S`�

� #�� % #�%'# !$#�(�� #�� #�� !$#&%'# ( # ,��

DIF�NO<">L>]U �IU >L> � @�� >�>�U ���">L>�C��OJ ���

� � !�#�%'#�( # ,�� � ' � %���# � � !�#�%'#�( # ,�� � � � ,��� � -:C";�@ < � C F "C3G �I< 9�F�� ; �3G:C "C3G F3G%� C3J F�� �IR � � C��Q< � C G:C";EN �I< 9�; �";L;O9 ���"C�J� � <:F �QA �3G 9���� ��C PU � U� D�FINO<">L>�U">L>�C��OJ ���

� % # , # 2 # ���U � ��� D�FINO<">L>�U">L>�C��OJ ���

� % ' + # !�# ! ' +'#&%�U � U�� D�FINO<">L>�U">L>�C��OJ ���

� !�#�% # ( # ,��� � 1�U � U+7�� D�FINO<">L> � >L>�C��OJ ���

� %'# % # + # +�

� � � U�� D�FINO<">L> �X>L>�C��OJ ���

� !$# % # %'# !�� U+�IU� D�FINO<">L> �X>L>�C��OJ ���

� % # , # 2 # ���� �(�IU � ��� � �HD�FINO<">L> �X>L>�C��OJ ���

� ! % # ! , #�%�� # ( !��

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 33: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

�J� ����� �!#������� ����� � ����$)

� U�� U��\U � �:S � D�FINO<">L> � >L> ��@�� >L> U">L>�C%�:J ���

� !$#&%'#�( # ,�� # � !�#�% # !$# ,��

� U�� \ ���'�:C21TS @cU 7���KD�FINO<">L> �X>L>�C��OJ ���

� %'# !�� � Y � C 9#�OJOC��:C"; �IG:C ;=< �3GL<�9#�'� GOF�� � P

9

B5�� � �#� ���"¢%#�)�����������

BcQ)prQ�Zfi/deY�Z^\[\^ghikb�p~d�brZ[]JY�]e�qbrLOQRbtjl{|QR]e�4a)]l}OQ�{Opr]��lZ^}OQ�}�mlj�d�P&]w}wgO\^Q(��Z^Y�b�LhZ^i/a)dJikQ���]`pX�`Q:a£b�]Jpri�� §¿ bRa�]`prprQ�i�{|]JYh}Oivb�]�_JQ)YOQ�p�ZfaRZ[P&{O\^Q)P&Q�YJb~d�brZ[]JYhi)¡�b�L|d�b�a)]`gO\f}©m|Q�i�{=Q�a�Zfde\^Z �)Q�}D��]Jp�ik{=Q�a)Z�³=a�}Od�b~d�btjl{|Qa)]`Yxbrd`Z[Yh]`p~i §

� � ) ��0*��+, � ��� ��� � �UXQ�YOQ)prZ^a�Z^PR{h\[Q�PRQ�Yxbrd�brZ[]JYhiX��]`p/�JQ�a£br]`p~ivd`p�QR_Jdeb�LOQ�p�Q:}�Z^Y�brLOQ&YhdeP&Q�i�{hdJa�Q UWV#XSY"Z�\ § KMLOQ�i�Q&deprQ_JQ)YOQ�p�Zfa���gOYha�b�Z^]`Yhi�¡xb�Lhdeb+a)d`Y�m=Qcghi�Q�}Rbr]�mOgOZ^\^}�YOQ)��\^Z[YhQ�dep�a�\fd`irikQ:i § KMLOQzbtjl{=Q�\&P�ghikb4{Opr]��lZ^}OQ(b�LOQ��]J\[\^]��(Z^YO_R}OQ�³hYOZ[b�Z^]`Y|i(]`p(P&Q�brLO]w}Oi10<LR "C%� ��� C 9 �:JOC�����<��<LR "C%� ��� C A � ��N"C���<LR "C�9#�:JOC ���I< < � 93;�� ;O9��OC21 7��A � ��N:C��I<LR :C < � 9�;� F�"C3G �3<OF3G�� � 179#�:JOC ����<(7��brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�iMy Z[YO\^Z^YOQG]Jikb�prQ�d`P�� ? � � K - y&0 0 oqprZ[Yxb���]Jikb�prQ�d`P��±]xi)¡Oa)]`Yhikbcy�� � �� (A"U�0(A"P. (�!N8 "V<C,/!S.=,?���+��!�� ���?B0R/�/8 " ,/� ��� � A S @KA:U�@ PLPLP ��5

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�iMy Z[YO\^Z^YOQGZ^ikb�prQ�d`P�� ? � � K - y&0^0 yzQ�d`} ��Zfitbrp�Q:deP�� Z^i�¡hy�� ? �� !2�P(A" ,'����� �A"#,/��.=,?� � ";�?!N$6�?� $ R?�%8%"#,/� �%5 �����L<1!2�0(:"4.=,/��)��+"4<U�*,/. "=���L.=,/��) ; D � D"S PLPLPOP��������; <1�E"=���Q!�(�)*&+� �Q,?.P��B>��)���!�"=�%5

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�i ?�¡Oa�\fd`iri ¶ �`]JZ^} ? � � K - y�0 0 d`irikZ^_`Y � ?�� dh¡Oa�]JYhitb ¶ �±m �� �G�G<��6!7�+"=<>,?!S,?.��LR?�%8 " ,/�E"#, ��!�,H"=��� �/5

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�i ?�¡Oa�\fd`iri ¿ �`]JZ^} ? � � K - y�0 0 p�Q:ikQ�p��JQ ��?�� dO¡ ¿ Y ��Q��� ��� R?�J"=���9�#�N�H8��X<1! � .=,/��� � !�"V��<C���%5

�� ^��!

Page 34: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �h�

brQ)P&{O\fd�brQ��a�\fd`iri�yG¡Oa�\fd`iri ¿ ¡Oa)\^dJi�i � �`]JZ^} ? � � K - y�0 0 p�Q:ikQ�p��JQ �?�`Q�a�b�]Jp ��y �±dO¡ ¿ Y«¡Oa�]`Y|itb �� � ��Q��� ��� R?�J"=���9�#�N�H8��X<1! � .=,/��� � !�"V��<C����� �?" "#,6A 5

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�i ?�¡Oa�\fd`iri ¶ �`]JZ^} ? � � K - y�0 0 {O\^ghi&��? � dh¡Oa�]JYhitb ¶ �±m«¡ha�]JYhitb ¶ � a#�� $A$2<="=<>,?! ,?.@" O ,�R/�%8%"#,?���%5

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�i ?�¡Oa�\fd`iri ¶ �`]JZ^} ? � � K - y�0 0 {O\^ghi&��? � dh¡Oa�]JYhitb ¶ �±m �� $A$2<="=<>,?! ,?.@" O ,�R/�%8%"#,?���%5

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�i ?�¡Oa�\fd`iri ¶ �`]JZ^} ? � � K - y�0 0 P&Z[Ylghi#� ? � dO¡Oa)]`Yhikb ¶ � m�¡Oa�]JYhikb ¶ � a&�� (7&��'"=� �+8 "=<>,?!S,?.@" O ,�R?�%8%"#,/� �%5

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�i ?�¡Oa�\fd`iri ¶ �`]JZ^} ? � � K - y�0 0 P&Z[Ylghi#� ? � dO¡Oa)]`Yhikb ¶ � m �� (7&��'"=� �+8 "=<>,?!S,?.@" O ,�R?�%8%"#,/� �%5

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�i ?�¡Oa�\fd`iri ¶ �`]JZ^} ? � � K - y�0 0 P�gO\[b#��? � dh¡ha�]JYhikb ?�� m�¡ha)]`Yhikb ¶ � a&�� 8��?B>�?� )*(�B="=< � BK<=8 �A"V<C,/! 5

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�i ?�¡Oa�\fd`iri ¶ �`]JZ^} ? � � K - y�0 0 P�gO\[b#��? � dh¡ha�]JYhikb ¶ � a#�� !2� BU�+8��9�'8 �?B>�?�-) (�B="=< ��B1<=8 �+"=<>,?! 5

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�i ?�¡Oa�\fd`iri ¶ �`]JZ^} ? � � K - y�0 0 }wZ^� ��? � dh¡Oa�]JYhitb ¶ � a#�� !2� BU�+8��9�'8 �?B>�?�Q$�<;R/<1�G<>,?! 5

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�i � ¡Oa)\^dJi�i(y � ? � � K - y&0^0 YO]Jp�P � a�]`Y|itbzy�� � ������ $+� .V�+(�B="P!�,?�G) ,/.��LR?�%8%"#,/��<U�E"V����� � !�,/��)S5

brQ)P&{O\fd�brQ ��a)\^dJi�i�y y(Q:de\ - � �#btjl{=Q)Yhd`P&Qvy&0^0 ��d`\[gOQ��Mbtjl{|Q 0^0 K��Xo � ? � � K - y�0 0 YO]`prP �?a)]`Yhikbzy� �8¡wgOYhi�Z[_JYOQ�}-Z^YJbzY �

������� � !�,/��) ,/.-"V���9�'(:&6R?�%8 " ,/�ER/�/8 " ,/� ,/.���< �/�� 5brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�i � ¡ a�\fd`iriMy � ? � � K - y&0^0 YO]`prP �?a�]JYhikb(y � �=¡hZ[Yxb({ �E,/��)�� � ,?.��LR?�%8 " ,/�/5

brQ)P&{O\fd�brQ ��a�\fd`irizyG¡8a�\fd`irivu btjl{|Q�YhdeP&QRy&0 0 ��de\^gOQ��Mbtjl{=Q ? � � K - y&0^0 {Opr]w} �?a)]`YhikbXu �¬�8¡8a�]JYhitby�� � �� !A!�� � ����,A$:(A8 " ,/.-" OP, R?�%8 " ,/� � 5

B5! � �z!#�«� ��/.����)�+�(�

� ���� ����������������������� Q)Y|ikQ&P�d�brp�Zfa�Q:iXd`p�Q�bt��]e¤¥}wZ[P&Q�YhikZ^]`Y|de\0deprprd�jwivZ[Y©�(LOZfa~L©d`\[\0brLOQ�a�]lQ�µ�a�Z^Q)Yxb~iGdeprQRikb�]Jp�Q:} ��Q��`Q�Y�Z[�brLOQ)j�d`p�Q ��Q)pr] � § KMLOQ�j-{hp�]��lZf}wQ�a�\fd`iri�Z^a�de\«d`p�Z[b�LOP&Q)b�Zfa�]`{=Q)p~d�brZ[]JYhici�gha~L�dJicdJ}O}wZ[b�Z^]`Y�¡­i�gOmwb�p~d`a�b�Z^]`Y�¡P�gO\[b�Z^{O\[Zfa)deb�Z^]`Y-mlj#ira)de\fdep~i�¡Jmlj��JQ�a�b�]`p~i�¡xmlj�P�deb�prZ^a)Q�i §)§�§

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 35: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

�xS ����� �!#������� ����� � ����$)

� �� � ��!#"�$�%&!#%&����'(�������� � )���0*����������.-0)��+-�� �

�  � '��w� Â7� �('��O�:� � �)��� �«�`� & �w���  : � Â� !�"#���G.V�+8��Q.=,?�4$H��!:� �E)��A"V��<V8����%59�����8GB>�����T\L<1�J"=��� 8�,/!�";��<K!�� �E8�,?�G�����#�0,/! $�<1! �S"#,W"V���9<1!�"#���G!7��B��� ��������� !�"#�+"V<C,/! 5 �����W$6�A";� �?��� ,2OP!��/$ &'� "V����<1!�" � ��.V�H8��?5 ����� <K!6��BU�+8�� �?��<="=�A) �/"V<=8 ,��0� ����"=<>,?!:� �?���X)���)*&+� � � ,/.-"V�A<U�98GB>�����%5������J��T "#���G!7��BN�?��<="=�A) �/"V<=89,��0� ���+" ,/� � � @ ��@ ��@�� �?���J$H��A!��%$"=�A��,+( �2� "#��)J� BU�A"#�E��T�����������<C,/! 5-�����J$�<�� ������!�"=�X,��0� ���+"=<>,?!:��,?. "=�A<1�98�BU���G���?���X<K)4��BC� ) � !�" �%$<1!"=���Q) ,+$7(�B>� �&WYW\('#) 5KMLOQ A ���N"C��I<�R "CXZfiqb�LhQzbtjl{|Qv]e�­brLOQva)]xQ)µ�a�Z^Q)Yxbri § KMLOQ&;O9��LC��I<LR :CXZfi4b�LOQcbtjx{=Qc]`�­b�LOQvZ[Y|}wZ^a)Q�ig|ikQ:}²br]²d`a)a)Q�iri�b�LOQ�Q�\[Q�PRQ�Yxbri § KMLhQHGOF � �"9E<OC3G �3<:FIG�Z^i&brLOQ¢btjl{|Q¢]`�vbrLOQ¢��]`pr��d`pr}²Z�brQ)p~d�b�]JpriR]JYbrLOQ�Q�\[Q�PRQ�YxbriG]`�Md¢pr]�� § KMLOQ DIF ��N%��� �"9E<OC3G �3<:FIG#Z^iGb�LOQ�btjl{=Q�]e��b�LOQ���]`pr��d`pr}DZ�brQ)p~d�br]`p~iv]JY´b�LOQQ�\[Q�P&Q)Yxbri+]e��d�a�]J\[gOP&Y § KMLOQ G:F�� �I<LR :C�Z^i4b�LhQcbtjl{=Qv]`��b�LOQXpr]����xZ^Q)�zi § KMLOQ�DIF � �I<�R "CGZfi+b�LOQvbtjl{|Q]`�«brLOQ�a�]J\[gOP&Y¢�lZ[Q��zi § KMLOQGZ^Yxb�Q�p�Yhd`\­p�Q�{OprQ�i�Q)Yxbrdeb�Z^]`Y�btjl{=Q�\�Z^i�GOC �I<LR "C §

� �� � ��% 8 ��' ����' �9� � ������' � �7% �KMLhQ/}OQ��?degh\�bca)]`Yxbrd`Z[YOQ�p(Z^i(}OQ�³hYOQ:}-LOQ)prQ

� � )����+* ������������+/ � ��  � '��w� Â�� �('��h��� �)��� ���e���O�:��� à E DZ� � ��� ' ;?���w����� à 7 Ç �

� B>�����Q,/. ���G���'���H$*$H� ��<=R?�%$�.>��,/) �IGLG �3R!S1J���X MH<K! 8�B=(A$�<K! �I"V���J!�(�)*&+� �J,/.0��,2O �/��OG:F �����?! $"=���!�(�)*&+� �,?.X8�,?B=(�) !7�����DIF � �*,?.Q"=���)��+"=�G<KTN5L�����)��A"V��<�TI<U�J� "#,/���%$ &'� 8�,?B=(�) ! <1! "=������G���'� �IGLG �3R!S1J�� X 5

� ���� ��% � ����� ' � �7% �?: ���?����% � �����7%&��������� �?� ����� ' "�' ���� � ) ��0*���� ��� ��� � � �

�  � '��w� Â�� �('��h��� �)��� ���e��'?� � �h���q� � ��� '�;����w����� à E Ç �

� ,?!�"#�?<1!�� �W.=,?��"V��� 8�,/!A!��/8 "=<>,?! OP<;"V� "V��� .=,/�%"V���?! B1<#&?� ��� �A¯J®«°:®�·=¸ 5 � B>�����I$+� ��<=R?�%$ .>��,?)�3GLG �IR:U�J�� X M OP<="=� � !��/O �IJ ������ B=$75 ��"9<K!N$�<V8��+" ���L"V��� BC���+$�<K! � $�<1) � !:�G<>,?! ���G���'�2M�"V�7�A"<U�L"V����!�(�)*&+� ��,/.X��,2O �4<1! "=����<K!�"#���G!��?B �?B1B>,A8 �A"#�/$F�?��� �'�+5 ��"8 ��! $�<�� ��� .>��,/) "=����!�(�)L&H���,?. ��,2O �X���?"�(���!��%$F&�� ��OG:F�� 1 7 OP�:<V8 � <U�9��)��?B1BC� � "=�7�?! �3J���75 ���A<U���� B=$ <U� (2� �/$S,/!:B��S<K! �?!<1!�"#� ��!7��BPO0�'�+5

� ���� � ��� � � ��8 % ���7%&!BcQ)prQ/Z^i(d`Y-Q)ªOdeP&{O\^QX]`��}wQ�Yhi�QGP&deb�prZ^a)Q�i�¡w�(Z�brL-b�LOQ�a)]`Yxbrd`Z[YOQ�p�� � �"D=V §

�� ^��!

Page 36: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �J�

� 9#� D �=N:JOC � �:9#� � �$� P � � � � ,LC��"C3G �� � C��JOCIG 9 ��C F3G �"9 �"C�3G � � �:C��OG � P� 9#� D �=N:JOC � � � �"D=V P � � � � �:C � 9��� N ;IC � � �:D=V DIF��O< �X9#�"C3GX;�P� 9#� D �=N:JOC ��� � ��C P � � � � � F3G F�NO< LNO< 9 � � � ��C F3G � �3<(P<LR "C�JLC U:C"DE<��3<OJ:> �3GLG �3R STJ:>3J�FIN�� �ICO?�?�USV#XSY��

� � U:C"DE<:F3G JOC 9#� 9E< 9=F�� � �:;IC�J F�� �3GLG �IR!STJ DIF��L< �X9#�"CIG @ � 9T< � JOFIN� �3C DIFLC 9�DO9�C��L<�;�P<LR "C�JLC � �3<��:C�� ;ICL>� � �:D=V">3J�FIN�� �ICO?�? ��&WY��

� � � �3G�9�� JOC 9 � 9E< 9�F%� � �";�C�JQF�� � � �"D=V D�F��O< �X9 �"C3G @ � 9E< � JOFIN�� ��C DIFLC 9�DO9=C��O<�;�P� � Y � 93; � 9 �� � ��3F � N ; <OF N�;IC < � C G:FINO< 9 �"C"; F < � C � �� �"D=V �"9 �OG �3GLR P

9#�O< � �X9#� 119#�O< �IG ��D @ D � �IG+�� �3G ��A(7 8

JOF�N� ��C A�� � 8 S @�U�@TS @TS @ ��@ ��@cU�@cU�@ �@ �@ �@ �@ �EU�@HS @cU�@ ��@TS @ ��U P ��@ ��U P�� @TS @:P/U�@ #P ��9 ��&SY & 1 � @ � @/A @ORW\OF � 1 77 @

1 � @ � @ ��S U SQS ��� U U ��U S U�� S P/U� P � � @ ORWXOF � 1 7�7��DIF�NO<">L>�� & �E>L>%&">L>��X@ �E>L>�">L>�C��:J ���

� #

����

! % ! !( , % %+ + + + % ! % (

����� #� #

����

! ( + %% , + !! % + %! % + (

�����

� � &LG 9T< � � C3<�9�D�F :C3G �3< 9=F�� ;�P�&SY6X�X & � �� D�FINO<">L>]X:>L>�C��OJ ���

����

% + 2 !+ � � (2 � ! % � ! ( � 2

� ���

X &(���� D�FINO<">L>]X:>L>�C��OJ �������

% ! , (! % ( !, ( % ( ( ! ( %

� ���

X &+� �� D�FINO<">L>]X:>L>�C��OJ ���

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 37: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

�`� ����� �!#������� ����� � ����$)

����� ! + %)+ +! + ($( +)+ �%*+ +*+ ! %*% % %+ � % % ! �

� ���

X &+� +� &�� DIFINL<">L> X:>�>�C��:J � �����

! 2�� % % , !�� % ! ���(�� ( ,*,�+ (�� % (�� %2.+ % � �)% 2��-+ 2 � +� ( !12 % ! +�� ! �*+

�����

X U�� &�� D�FINO<">L>]X:>L>�C��OJ �������

% , % %2 � , ,! % ! % ! % ! % , % , 2

� ���

� ��XOF���;=<LG�N DE< 9�F�� F � U:C:D=<:F3G GOF�� <:F 9T<:C3G �3<OF3G�;�PUWVWXSY U 1�A � S @ A � 7�� D�FINO<">L>�U">L>�C��OJ ���

� % # !�# !$#�(��UWVWXSY�� 1 &+��U+7�� D�FINO<">L> �X>L>�C��OJ ���

� � # ! � # ()+ # ���� ��V �L<LG �:D=< 9�F���; F ;EN� � �I<LG 9�DIC:; F A:C"D=<:FIG�; .� XLF � 1 & @1S�7�� DIFINL<">L>�� XLF � 1 & @1S�7 �E>�>��X>L>�C%�:J ���

� ��� � � # !�� # � % # , # +'# !��� \OF � 1 & @�U 7�� DIFINL<">L>��$\OF � 1 & @�U 7 �E>�>��X>L>�C%�:J ���

����� � � #&%�� # � +'# + # + # +� & 1�\ ���'�OC21ES @ ��7�@f\ ��� �:C211S @ � 7�7�� DIFINL<">L>�� & 1ES PLP���@TS�PLP ��7 �T>L>� >L>�C��OJ ���

� � ! '�' ( # ! ' ' (�� # �� , % %+ + +! % (

��

�� ^��!

Page 38: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �x�

\OF � 1 & @ \ ���'�:C 1ES @cU 7�7�� DIFINL<">L>�X>�>�C��:J � �

� ( , % %+ + + +��

XLF � 1 & @ \ ���'�:C 1ES @cU 7�7�� DIFINL<">L>�X>�>�C��:J � �

����% !, %+ +! %

�����

� �%&OJLJ�9E<�9�F�� F < � C GOF � U < 9 ��C"; S P 9#�O<:F GOF � S&(P ��JLJS\:F�� 1ES @cU�@TS P �7�� DIFINL<">L>�&">�>�C��:J � �

����

! % ! !! %(' + !$! ' + �(' + � ' ++ + + + % ! % (

�����

&(P ��JLJWXOF� 1ES @cU�@ � � P� 7�� DIFINL<">L>�&">�>�C��:J � �

����

! ! ' + ! !! %(' + 2 ' �-+ �(' + � ' ++ % ' + + + % % % (

�����

� �3Z�NO< LNO< <:F < � C4� � ��C F3G%� �3<(PD � � >L>�� & . �E>�>�&">L>�C%�:J ���� �%& . �:9#� � �$��� � �3<LG�9���� 1 � @ � @ � ��S @TS P �@TS @TS ��@ �iS � P �@ � P ���@ � P �@ �#P ��#@ � �@cU P �@ �@ �#@ � ��U�@ � @cU�@ ��� �+7��

9��

B5�� � .��0%��4.�%#���(" ��/.��0�����(����7�� ����������������������ulb�prgha£brgOp�Q:}�P�deb�prZ^a)Q�i/deprQ�bt��]e¤¥}wZ^PRQ�Yhi�Z[]JYhde\0deprprd�jwiv�(LOZfa~LDa)d`YDm=Q&p�Q�{OprQ�i�Q)Yxb�Q:}�mlj�� � � �z��de\^gOQ:i)¡�(LhQ)prQ �¦Z^iXbrLOQ�ikZ �)Q&]e�+b�LOQ&P�d�brp�Z[ª § KMLOZfiGa�\fd`iriX{Opr]��xZf}wQ:iXa)\^dJi�i�Zfa)de\0deprZ[b�LOP&Q�brZ^aR]J{|Q�prdeb�Z^]`YhiXikg|a~L

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 39: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

�J� ����� �!#������� ����� � ����$)

dJiFd`}h}wZ�brZ[]JY�¡likgOm|itbrprdJa£b�Z^]`Y«¡`P�gh\�brZ[{O\^Zfa)d�brZ[]JY�mljRira)d`\^d`pri�¡e�`Q:a£br]`p~i)¡JP&deb�prZ^a)Q�i §�§)§ KMLOQz{Opr]w}wgha£b�]e�8bt��]ikb�prgha�b�gOprQ�}�P&deb�prZ^a)Q�iRZfi�g|ikghd`\[\^j¨YO]`b�d©ikb�prgha£brgOp�Q:}�P�deb�prZ^a)Q�i �?d�b�\^Q�dJitb&]e�vb�LOQ�irdeP&Q�btjl{=Q#�RdeY|}brLOQ)prQ���]Jp�QvZ^i�YO]`b�Z^P&{O\^Q)P&Q)Yxb�Q:} § KMLOQX{Opr]l}Ogha£bM]e�0d�ikb�prgha£brgOp�Q:}�P�d�brp�Zfa�Q:i4mlj�d��`Q:a£b�]Jp�a�deY�g|ikghd`\[\^jm=Q�{=Q)p���]`prP&Q�}-Z[Y�d`\[P&]xitbz\^Z[YhQ�depzb�Z^PRQJ¡hZ^Q § Z[Y�� � ������� � � � �4]J{hi ��]Jp�� � ������� � � ������ � � � ��d`a)a)]`p~}wZ^YO_br]Rb�LOQ/³hQ�\^} �£¡Oghi�Z^YO_&��]`p(Z^YhikbrdeY|a�Q �K § ulQ)Q �?� § � § ����deYh} � �:S#� §���7 � ��!#"�$�%&!#%&����'(�������

� � ) ��+* ��� �������� � � � ��  � '��w� Â7� �('��O�:� � �)��� �«�`� & �w�43��)� ���e�� "=� (A8 "�(����/$ )��A"V��<V8����%5

���7 � � � ������' ����% �?:<�=� ��% "�$ � ��� !#'(���9� � %&8D P�d�brp�Z[ª� # ������� � ��ZfiMd � Æ� � '�;À��� ´�w�)��; �©Z[����]`pMde\^\8Z ¡:s�¡lb�LhQvQ�YJbrp�j ����� � }wQ�{|Q�Yh}OiM]`Yh\[j&]`Y � �|¡brLhd�b�Z^i�Z�� � ��� � # � ������� ����� ��]Jp�de\^\4{|deZ^priG]`� ��ZÈ¡|s3��deYh} �?Z $ �J¡ s $ ���X��]`p��(LhZ^a~L´brLOQ�Q�YJbrp�Z^Q�i � ��� � deY|}� ������� ����� deprQv}OQ�³hYOQ:} § Dciri�]la)Z^deb�Q:}��(Z[b�L¢d � Æ� � '�;À��� ´�w��� ; �q¡O�+Q/Lhd��JQzbrLOQ � Æ� � ' ;À��� Æ �F ���w� Æ ��(LhZ^a~LDZ^iXbrLOQ&{Op�]`stQ�a�b�Z^]`Y�]`�Fb�LhQRP�gO\[b�Z^{O\[Zfa)deb�Z^]`Y©mlj�d#ghYOZ[��d`p�Zfd�brQ�{=]`\^jlYO]`P&Zfde\! #" � � � �?i�Q)Q � �O�$�1� §DcY�Z^Yxb�Q)prQ�ikb�Z^YO_-{|]JZ[Yxb/]e�FbrLOZfiX}OQ�³hYOZ[b�Z^]`Y©ZfizbrLhd�b/b�LhQ�{Opr]w}wgha�bX]`�+d �%$ ��K«]lQ�{O\[Z[b��RP�d�brp�Z[ª�mlj¢d�JQ�a�b�]`p�Z^iRd�i�gOml�`Q:a£br]`p�]`�zb�LhQ-a)]xQ)µ�a�Z^Q)Yxb��JQ�a£br]`p�]e�(b�LhQ#{Opr]w}wgha�bR]`�(bt�+]D{|]J\[jlYO]JPRZfde\fi�]`�&" � ' � §KMLhZ^ic{Op�]w}wg|a£bca)d`Y�m|Q�}w]`YOQ��(Z�brLOZ[Y(� � ������ � � � � ��]Jp�� � ������� � � ������� � � � �+dJa)a)]`p~}wZ[Yh_�br]�b�LhQG³hQ)\f}��]J{|Q�prdeb�Z^]`Yhi�ghi�Z^YO_�)*) � § ulQ�Q �?� § � § �#��d`Yh} � �:S�� §

� � )���0*����+0-���� � �-, � ��  � '��w� Â7� �('��O�:� C���)� ���e��� Æ«Â � ' ;À���©� � ��� ' ;?���w����� à 7 Ç �

� ,?!�"#�?<1!�� � ��.=,/�X��,6����B1<="��-)��A"V��<V8����'M6���P�9�'(7&A8�BU���G� ,/. �3G�G �3R!STJ�5/.J��:!��%$�&'� <=";�0!�(�)*&+� �@,?.:��,2O��OG:F�� �AMA<;"=�X!�(�)L&H���E,?.@8�,/B;(�) !:���� DIF� �75Q�����4� BC� ) � !�";�9,/.�"=����A� �'" ��,2O �?! $ A� � " 8�,?B=(�) !�����@� "#,/���%$:M2�'"#�?�%"V<1! �J.>��,?) 1 � @ ��� DIF ��7Q( � " , 1 ��OG:F � @ � 7+5 �����0����,A$:(+8 " ,?.�� ��,H� ��B1<="�� )��+"V��<KT&'�S�*R?�%8 " ,/��<U� �����G.=,?�G) �%$S&'�1020 � 8�,/)4�0(A"#�+"=<>,?!:�4365A587H5�9;:%5

���7�� � � ������' ����% �?:<�=� � ' � �=%&$2!#' � � ��� %&8D P�d�brp�Z[ª4< # �>= ��� � �0Z^i�d ��� : �  ' ´�w�)��; �DZ���Z�b~i4Q�YJbrp�Z^Q�i = ��� � }wQ�{|Q�Yh}Oi�]`Yh\[j&]`Y � � �|¡xb�Lhdeb�Zfi)¡xZ[�=?�����@� ���A� # =?��� � ��]`p(de\^\­{hd`Z[p~i ��� # � �0��]`pM�(LOZfa~L�brLOQ/Q)Yxb�prZ^Q�i(deprQ/}wQ�³hYhQ�} § K�]�brLOZfiM xZ^Yh}-]e��P&deb�prZ�ª­¡��QMa)deYRd`irik]wa)Z^deb�QMd ��� : �  ' Æ �F ���w� Æ � �(LhZ^a~LRZ^i0}wQ)³hYOQ:}�dJi«brLOQ({Opr]estQ:a£b�Z^]`Y�]e�hbrLOQMP�gO\[b�Z^{O\^Z^a�d�brZ[]JYmlj�d�³hªlQ:} � degOprQ)Yxbv{=]`\^jlYO]`P&Zfde\ �?d � deghp�Q�YJbX{|]J\[jlYO]JP&Z^d`\�Zfivd�{|]J\[jlYO]JP&Z^d`\�]`�B" � � # �DC � �È¡=b�L|d�b/Z^id&{=]`\^jlYO]`P&Zfde\�Z^Y¢m|]`b�L¢brLOQ���deprZ^d`mO\^Q�i � d`Yh} �DC � � § ul]���Q�a)d`Y¢a)]`P&{OgwbrQGb�LhQ�{Opr]l}Ogha£bz]`�0d �E$ �BvdeYO JQ)\qP�d�brp�Z[ªDmlj©d¢�`Q�a�b�]Jp/dJi�d�i�gOml�`Q�a�b�]JpX]`�+brLOQ�{Opr]w}wgha�b�]e�(d-³OªwQ�}©{|]J\[jlYO]JP&Z^d`\ = � � �cmljDd{=]`\^jlYO]`P&Zfde\�Z[Y �DC � § KMLhZ^i&a)d`Y¦d`\^i�]�m=Q�}w]`YOQ-�(Z[b�LOZ^YF� � ������ � � � �G]J{hi(��]`pG� � ������� � � ������ � � � �dJa)a)]`p~}wZ[Yh_�br]�brLOQ/³hQ�\^}���¡Oghi�Z[Yh_���]Jp(Z[Y|itb~deYha)Q 0K § uwQ)Q �?� § � § ���+d`Yh} � ��S#� §

�� ^��!

Page 40: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �WR

� � ) ��0*��� �+)�� -��� ��  � '��w� Â7� �('��O�:� C���)� ���e� ��� : �  'v� � �«��' ;����O�:��� à 7 Ç � �

� ,?!�"#�?<1!�� � � .=,?���9�?!��+� B�)��+"V��<=8����'MA���@� �'(7&A8�BU���G� ,/. �3GLG �IR!STJ�5D.J��A!��/$L&'��<=";�-!�(�)*&+� �X,/. ��,2O��OG:F�� �AM/<=";� !�(�)L&H���P,?. 8�,?B=(�) !:� �� D�F � �75 ����� ��B>��) � !�"=�P,/. "=��� :��� ":��,2O �?! $ B>��� "N8�,/B;(�) ! ������ "#,?���/$AM�� ";��� "=<K! �*.>��,/) 1 � @ � 7 (%� "#,41!���OG:F � ��@ �� DIF� ��7+5Q����� ����,+$7(+8 " ,/.@���Q�?!��H� B )��+"V��<KT&'�S�*R?�%8 " ,/��<U� �����G.=,?�G) �%$S&'�1020 � 8�,/)4�0(A"#�+"=<>,?!:�4365A587H5�9;:%5�5

���7�� � ��� � � ��8 % ���7%&!� 9#� D �=N:JOC � �:9#� � �$� P � �� 9#� D �=N:JOC � �:9#� � �$� �I<:FLC �"9E<�� P � �� 9#� D �=N:JOC � �:9#� � �$� � � ���OVOC � P � �<LR "C�JLC U:C"DE<��3<OJ:> �3GLG �3R STJ:>3J�FIN�� �ICO?�?�USV#XSY��<LR "C�JLC � ���LV:C �L>3JLFIN� ��CL? G:C��� � ���:C 9#� 9E< 9=F�� F < � C D�F��O< �X9 �"C3G(P<LR "C�JLC � �3<��3<LG�N DE<">IG:C "? �&SY�� � ���:C 9#� 9E< 9=F�� F � �%�OV:C � � �I<LG 9�DIC:;�P9#�O< � �X9#� 119#�O< �IG ��D @ D � �IG+�� �3G ��A(7 8

JOF�N� ��C A�� � 8 S @�U�@TS @TS @ ��@ ��@cU�@cU�@ �@ �@ �@ �@ �EU�@HS @cU�@ ��@TS @ ��U P ��@ ��U P�� @TS @:P/U�@ #P ��9 ��&SY & 1 � @ � @/A(7�@ 1!&(7��%P <LG ��� ;�"F";IC21 7��DIF�NO<">L>�� & . �E>L>%&">L>�� @ �E>�>�X>L>�C%�:J ���

��� #����

! % ! !% ! ! (! ! ( ,! ( , %

����� # � #

����

! % ! !% ! ! (! ! ( ,! ( , %

�����

�&SY6X�X & � �� D�FINO<">L>]X:>L>�C��OJ ���

����% , % %, % % 2% % 2 �% 2 � ,

� ���

X &(���� D�FINO<">L>]X:>L>�C��OJ ���

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 41: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� > ����� �!#������� ����� � ����$)

����% % % %% % % %% % % %% % % %

� ���

X &+�IU�� D�FINO<">L>]X:>L>�C��OJ �������% , % %, % % 2% % 2 �% 2 � ,

� ���

UWVWXSY U 1�A � S @ A � 7��HDIFINL<">L>]U">�>�C��:J � �

� % # !�# !$#�(��� �%��N �I< 9 �"9�D �I< 9�F���N ;O9 �'� ��� Y(PUWVWXSY�� 1 &+��U+7�� DIFINL<">L>�� � 1 &+��U(7 �E>�>��X>L>�C%�:J ���

� � � � � � # � � # ! + # !�� # ! +�� ���IN��� �I<LG 9�DIC:;� XLF � 1 & @1S�7�� D�FINO<">L> �X>L>�C��OJ ���

� % # !�# !$#�(��� \OF � 1 & @�U 7�� D�FINO<">L> �X>L>�C��OJ ���

� !�# !�# ( # ,�� & 1�\ ���'�OC21ES @ ��7�@f\ ��� �:C211S @ � 7�7�� DIFINL<">L>�� & 1ES PLP���@TS�PLP ��7 �T>L>� >L>�C��OJ ���

� � ! '�' ( # ! ' ' (�� # �� ! ! (! ( ,( , %

�� \OF � 1 & @ \ ���'�:C 1ES @cU 7�7�� DIFINL<">L>�X>�>�C��:J � �

� % ! ! (! ! ( , �

�� ^��!

Page 42: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �J�

XLF � 1 & @ \ ���'�:C 1ES @cU 7�7�� DIFINL<">L>�X>�>�C��:J � �

����% !! !! (( ,

� ���

9��

B5�� � ,#������� �'�/.��0�����(�D ik{hd`pri�Q/P�d�b�prZ[ª-Zficd&P�d�brp�Z[ª#�(LhZ^a~L�YlgOP�m|Q�pc]e�qYO]JYw¤ �)Q)pr]Rb�Q�p�P�i(Zfiz�JQ)prj#i�P&d`\[\�a�]`P&{hd`p�Q:}#b�]�Z[brii�Z �)Q §�¿ b/{hp�Q:ikQ�YJb~i/ik]JPRQR_`prQ�debXdJ}w��deYxbrd`_`Q�i�¡8\[Z^ `QRprQ�}wgha)Z[Yh_�brLOQ&PRQ�P&]`prj¢i�{hdJa�QRp�Q:nJghZ[prQ�}�b�]¢itbr]`prQZ[bRd`Yh}´prQ�}wgha)Z[Yh_�b�LOQ-_`\^]`m|de\FYlgOP�m|Q�p�]e�cd`p�Z[b�LhPRQ)b�Zfa�]J{|Q�prdeb�Z^]`YhiGg|ikQ:}´��]`pRa�]`P&{OgObrd�brZ[]JYhi�]`�(b�LOQ{hp�]w}wgha�bcP�d�brp�Z[ªl¤È�JQ�a£br]`pM��]JpcZ^Yhitb~deYha)Q §�" ]��z}Od�jwi)¡|P&d`Ylj#YlgOP&Q)prZfa)de\�deYh}¢Q)µ�a)Z[Q�YxbXde\^_`]Jp�Z[b�LhP&icdeprQm|d`i�Q�}-]`Y�i�{hdep~ikQ/\^Z[YhQ�depzd`\[_JQ)mOp~d(�?o � �(¡­UXprd`{OL-b�LOQ�]`prj`¡ §)§�§ ¡Oi�Q)Q � �O� �1� §+¿ Y�ikg|a~L¢d`{O{O\^Z^a�d�brZ[]JYhiMZ�bvZ^iYh]ebvp~deprQ/b�]�b�prQ�deb �?i�{hdep~i�Q#�MP�d�brp�Zfa�Q:iz]`�4ikZ �)Q ! %�� $ ! %�� ]JpcQ��`Q)Y ! %�� $ ! %�� ¡8�(LOZfa~L�a�]JgO\f}�YO]ebXm|QP�d`Yhde_JQ�}�dJi(}wQ)Y|ikQGP�d�brp�Zfa�Q:i §������ ��!#"�$�%&!#%&����'(�������

� � ) ��+* ��� ������������+-�� ��  � '��w� Â7� �('��O�:� � �)��� �«�`� & �w�43 � �O��� Â� � �?� � � )��+"=�G<=8���� 5

���� � � 8���' ���7' �9� � ����� ' � �7% �?: ��� 8 "�' � 8�% !#' ���9��� %&8� � )���0*���� ������0-��+/ � �

�  � '��w� Â7� �('��O�:� C���)� ���e��� � �w���  E Ç+� � ��� ' ;?���w����� à 7 Ç �

���� � 56������' ���7%&�?:<�=�?���7% � ������%&����� ��� �?� � ������" % � ���� � )����+* ��� K�.-���8 � �

�  � '��w� Â7� �('��O�:� C���)� ���e��� � �F � ' �A� � ����' ;��63 � �4 � & �O�)��; �

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 43: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

�x� ����� �!#������� ����� � ����$)

� ,?!�"#�?<1!�� �@.=,/�Q"V��� � ( �0� ��� �L� �H8 ��� �A����� 5���M�OP�A<=8 � OP<1BKB0&+�98 ��BKBC�%$*"#,E��,/B;R/� �JBK<1!������@� �:�'" � ) &'�� � �V.V�H8 " ,/��<1� �+"=<>,?! M:����<1BKB;(�� "V���+" �%$ <K! "V���Q.=,/B1B>,2OP<1! �*��T:�?)4��BC� �� �3<��� �3G�;IC:� ;TN"C3G �=N �BJOFIN� �3C & 1XP�PLP 7��U:C"D=<��3<OJ�� �3GLG �3R!STJ�� JOFIN�� ��C U 1XPLPLP 7!@ ���� �LF�IA:C21 &#@fU @ * � 1 77��

B5�� � �#� �)��!��(������� ���(�-��� ,-���0�c� ��������� �' 8���������9� %&� ��' ��8 :<�=�9!

� � )���0*���� � �brQ)P&{O\fd�brQ���a�\fd`iriMK Z[Yh\[Z^YOQG�`]JZ^}-y(]l]eb ��IzYOZ[btj �?a)]`P&{O\^Q�ª ��K �Ga`¡wZ[YxbzY ��Q,H,+"@,/. � !A<;"1�H5 �Q����BU�+8��6D*&'� "=��������<K) <;"V<;R/� ��,6,+" ,/. ,/� $H� �/�N5

Z^YO\^Z[YhQGgOYhi�Z[_JYOQ�}#Z[Yxb L�Z[bry(Q��`Q)p~i�Q ��Z^Yxb� 8¡OZ^YxbzY �0 (�! 8 "=<>,?!:�JOP�A<=8 �������G)*(A"#�9��!W���G���'� &'���-<=" �Q�?R/����� �?B�) �/"=��,A$75

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�iMK Z^YO\^Z[YhQX�J]`Zf}#o�Q�p�P�gwb#� K� eK�d`m�¡wZ[Yxb " �� ��(��:B>�J,?! ��!�"=�G<C���%5

brQ)P&{O\fd�brQ4��a�\fd`iri � ¡Ja�\fd`iri I �J]`Zf} 0K ��Z^Yxb+Y�¡la�]JYhikb+a�]JPR{h\[Q)ª�� I �A�G¡xa)]`P&{O\^Q�ª � � ¶ ¡Z^Yxb(Z[Yl�`Q�pri�Q#�� )4��BC� ) � !�"#�+"V<C,/! ,/. ��� Y 8�,?)4�0(A";�A"V<C,/! ,/.��S8�,/)4��BC��TF���G���'�H5 ��" <U�4�?!��=<1!��K� BU�+8����9"V���?!:�G.=,/� �)��+"=<>,?! MN&������%$�,/! "=�����9(A"�" � ���H�L�?B �+,?�G<;"V�A)S5 � 8�,/)4��BC��T*���G���'����M�,?. ��< �/� !#3>�Q�0,2OP��� ,?. � : M<U�-������BU�+8��/$*&'�I"V��� 020�� ,/.N<;"=�9R��?B;(6���%5 �����J8�,/)4��BC��T�!�(�)L&H��� ��<U� � ����<K) <;"V<;R/�X��,H,+"0,/. (�!A<;"1�,?.P,?�'$H��� � 5

���� � �9� ' ������$ ' � �7%&� ��!#" ��8 � �������� � ) ��0*�� ��� ���+)0* � �

brQ)P&{O\fd�brQ���a�\fd`iri D�¡ha)\^dJi�iMy ? D � ��y� K�prZ^d`YO_ � a�]`Y|itb(y �±P�d�b$��:�G<>�?! �7(�B>�+"=<>,?! ,?. "=���L)��+"=�G<KT���5 ����� A� �'" ��� ��(�) � !�",/. "#��)J� BU�A"#�W�#���/8G<����� "V���F"1�2�0� ,/."=�G<>�?! ��(�B>�+"V<C,/! OP�A<V8 � <1��� �A��B1<>�/$75 ��"J����,H(�B=$ 8��?B1B>�/$F��� .=,/B1BC,2O � YLG 9��%�'��� �:C3< � F3J 1 � �3<(7�� 5�����0. (�! 8 "=<>,?! *+'�$�&�*,/.. <LG 9���� � 1!�:CI< � FIJ 1 7�@ PLP�P 7�<U�P8��?B1B>�/$9,/!4�98�,��A�4,?. � �3< 5 �����@$2<��N� ��� !�") �/"=��,A$2� �6R��?<1B>�A&?BC� ����� , �IN ;�; @ �]\ @ �3GOCX9�;L; @:PLPLP��0T:��)J� B>� �Y YLG 9��%�'��� , �IN ;�; 1 � �3<(7��brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�iTA Z[YO\^Z^YOQ�? D � � A� Ivuwa~LlgOp�� A �±P¢¡OZ^YxbzY �

� ,?)J�P(A"#��"V��� (%�A�����Q�'8 ��(��J8�,?)4��B>��) � !�"-,/.P�G<��?� �I,/.�"V���J)��+"V��<KT �X<�M �2<;R/��!�&���"V���E.=,/��) (�BU�� ��� C � � OP��� ��� � <1�E"=��� A� �'"�$�<>� �A,/!7��B �'(:&�)��A"V��<�TF&?B>,A8 �L,?. �G<��?��� 5��! #"%$'&)(

�� ^��!

Page 44: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �|�

���� � � ��$��7�����#$�� �7% ' � 8��78���%&! 8� � )����+*����-+����.-�� �

brQ)P&{O\fd�brQ �¢a)\^dJi�i A¨¡�a�\fd`iri y Z[YO\^Z^YOQ ? D � � ?qQ�a�b~uxb~} ��y uw]`\^�`Q �+A � D�¡�a�]JYhitb?qQ:a£b£uxbr} ��y �±m�¡ � I P�brL ��Q��� ,?B=(:"V<C,/! &'� � � $H�/8�,/)4�0,?�G<="=<>,?! 5 � �?B1BK<1! �L"V���X. (�! 8%"V<C,/! *+'�$&�*�,/..c;IF�IA:C���=N 5' ������� ��#�

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�iTA´¡Oa)\^dJi�i(y Z[Yh\[Z^YOQ�? D � ��y� ul]`\^�`Q � A � D�¡hy�� LX¡ � I P�b�L ��Q��� ,?B=(:"V<C,/! ,/. & ) &'� � � $H�%8�,/)4�0,?�G<="=<>,?! 5 � �?B1BK<1! � "V��� . (�! 8%"V<C,/!*+'�$&*,/..c;�F �IA:C�� ��N 1!) P G:C @!& P GOC +76MAOP������� )�<U�X�*8�,'�A�W,/. 5 �������� ��#�

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�iTA´¡Oa)\^dJi�i ? Z^YO\[Z^YOQ�? D � � ? uw]`\^�`Q �+A � D�¡[?�� m�¡ � u�P�b�L ��Q��� ,?B=(:"V<C,/! &'� ���'��� " ��� (2����� ) �/"V��,+$�5 � �?B1BK<1! � "V��� . (�! 8%"V<C,/!*+'�$&*,/..c;�F �IA:C�� �:; 1!) P G:C @!& P GOC #@ �%P GOC��7JOP��� ��� )�<U� � 8�,��A�S,?. � 5 ������� ��

������ � % ��% �9! � �7' ����8� Z'%=Q�p�Q�YJbRP&Q�b�Lh]l}hi���]Jp�a)]`P&{OgwbrZ[YO_�b�LOQ¢}wQ)b�Q)prP&Z[Y|deYxb�]`�cd�P�d�brp�Z[ª²deprQ�}wZfi�a)p�Z^m|Q:}¨LOQ�p�Q30�U/deghiri)¡LMd`p�Q�Z^iri�]`pTL�Q)pr `]��(Z[b��XPRQ)b�LO]w}Oi §

� U/deghiriXP&Q�b�Lh]l}Dghi�Q�iXa�\fd`irikZfa)d`\�{hZ[�J]eb�Z^YO_#b�Q:a~LOYOZfnJghQ�i ��Z^Q § � I }OQ�a�]JP&{|]xikZ[b�Z^]`Y �zb�]¢a�]JP&{Ogwb�Qb�LOQ�}OQ�b�Q�p�P&Z^YhdeYxb §� LMdeprQ)Zfi�i�P&Q�brLO]w}-d`{O{O\^Z[Q:i�b�LOQ/��]J\[\^]��(Z^YO_&{OZ[�J]ebrZ[YO_�ira~LOQ)P&Q30

���������� � #����� C

����� � ����� C

���

�� ������ C

�����

� ����� C���

� �� ��� C � �� C

�@�� C�

�?� § �#�

�(LOQ)prQ � ����� # � � �������� � ��Zfi+b�LOQXb�p~deY|it��]Jp�P&Q�}�P&deb�prZ�ª�debMikb�Q�{! �deYh} � �#"$� Zfi+b�LOQ/Z^YOZ�brZ^d`\8P&deb�prZ�ª §D�bGb�LOQ�Q�Yh}D]e�4brLOZfiG{Opr]la)Q�iri)¡�de�Àb�Q�p�ik]JPRQ&{=Q)prP�gwb~d�brZ[]JY�]e��b�LhQRpr]��zi�¡8b�LOQ�P�d�brp�Z[ª�Zfi/gO{O{=Q)pb�prZ^d`YO_`gh\^d`p §�¿ � � Zficd�irnJg|deprQGP&deb�prZ�ª­¡hb�LOQ�\fd`ikbcQ�YJbrp�j � �#%&�%

�% ]JY¢b�LOQ�}wZ^d`_`]JYhde\�debzb�LOQ�Q)Yh}¢]`�b�LOQ�{Opr]la)Q�irizZfi(brLOQ�}wQ)b�Q�p�P&Z^YhdeYxbv]`�0b�LOQ�P&deb�prZ�ª � § A¢]`prQ)]��JQ)p:¡wZ�� � LhdJizZ[briXa�]lQ�µ�a�Z^Q)Yxb~izZ^YdRp�Z^YO_h¡wZ[bzZfiMb�LOQ�irdeP&QX��]`pMbrLOQGP�d�brp�Zfa�Q:i � ����� ¡|ikZ^Yha�QXbrLOQ�}wZ^�xZfi�Z[]JY-Z^Y �?� § �#��ZfiMQ�ªOdJa£b §

� L�Q)pr `]��(Z[b��´P&Q�b�Lh]l} Zfi�m|d`i�Q�}A]`YAb�LhQ¨��]`\^\[]��(Z^YO_�prQ�a)gOpri�Z^]`Y ��]`prP�gO\fdO¡GmhdJikQ:}A]`Y � d�jl\[Q�jJ¤Bcd`PRZ^\[b�]`Y¢Zf}wQ)YxbrZ�btj 0 " � #(' �)�+* 0 � � �-, � " � # � , � �

��� � # � � � � !

� ! ' �)�+* 0 � � � � �� D P&Z�ªwQ:}©ikb�p~d�brQ)_Jj`¡��(LOZfa~L´Q�ªw{hd`Yh}Oi/brLOQ�}wQ�brQ)prP&Z[Yhd`Yxb��(Z�brL¨p�Q:ik{=Q�a�bGb�]¢b�LhQ&³hprikb�pr]�� deY|}LMdeprQ)Zfi�i�P&Q�brLO]w}#Zfizd`{O{O\^Z[Q:}�br]&b�LOQ�i�gOm8}wQ�brQ)prPRZ^Yhd`YJb~i §

� � )���0*����.-�� � �

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 45: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

�lS ����� �!#������� ����� � ����$)

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�iMy btjx{=Q)Y|deP&QGy&0 0 ��de\^gOQ��Mbtjl{=Q � Q)b#�?y � A��� ,?)J�P(A"#�"=��� $H�/" � ��) <K!7��!�" ,?. ��MN(��G<1! � ��������<1���-) �/"V��,+$�5 �0T:�?)4��BC� �<LR "C3JOC � �3<��:C�� ;IC:� �IGLG �3R:U3J��BJOFIN� �3C �&SY���&WY � 1 ��@ ��@ ��S U ��� �� ����� @ ORW\:F � 1 77��JOFIN� ��C JOC3<��JOC3< �:C3< 1 �+7��

brQ)P&{O\fd�brQ��¢a)\^dJi�iMy btjx{=Q)Y|deP&QGy&0 0 ��de\^gOQ��Mbtjl{=Q � Q)b#�?a)]`Yhikb'A¢Z[ªwQ�} �±P�b�L�¡hy � A��� ,?)J�P(A"#��"V���$+�/"#���G) <1!7�?!�"-,?. �F&'�S) <�T+<1! �I" O ,)��?"V��,A$2� � � � ���/(A$H, ��"V��<U��! �7(�BU�A"V<C,/!L<1� A��� "8�,/)4�0(A" �%$75 � . "=���@��< �/�-,/.��J<U��B>���G� ,?� � � (2�?B�"#,��6MA"=���X$H�/" � ��) <K!7��!�"7<U�@8�,/)4�0(:"#�%$�&'� ��T��N��!:��<C,/!��B>,?! ��"V��� 8�,/B;(�) !:� 5 �PB1�����I$H�?R/� BC,�� )���!�"-<U� $H,?!�� �?BC,/! � "=��� A� �'" ��,2O OP<;"V� "=�G<>�?! ��(�B>�+"V<C,/!&'� � ������<1��� ) �/"V��,+$ ,?."=���W� (:&?)��+"=�G<KT 8�,/�������;�0,/! $2<K! � " ,����H8 � 8�,?B=(�) ! "=�7�+"J<U����� ) ,2R/�/$75�0T:��)J� B>� �<LR "C3JOC � �3<��:C�� ;IC:� �IGLG �3R:U3J��BJOFIN� �3C �&SY���&WY � 1 ��@ ��@ ��S�U ��� � ��� � � @LRW\:F � 1 77��JOFIN� ��C JOC3< �:C3< 1 ��9��:C�J 1 7�@!�+7��

brQ)P&{O\fd�brQ���a�\fd`iriMy btjl{|Q�YhdeP&QGy&0^0 ��d`\[gOQ��Mbtjl{|Q � Q�b��?a�]JYhikb L+Q�p� J] � P�brL�¡ha�]JYhikb(y � A��� ,?)J�P(A"#�"=��� $H�/" � ��) <K!7��!�" ,?. � &�� � ��� �+,2OP<="��Q) �?"V��,A$75 �0T:��)J� B>� �<LR "C3JOC � �3<��:C�� ;IC:� �IGLG �3R:U3J��BJOFIN� �3C �&SY���&WY � 1 ��@ ��@ ��S U ��� �� ������7��JOFIN� ��C JOC3< �:C3< 1 :C3GLV:F21 7�@ �(7��

������ � ' � �� � ) ��+* ��� �+)�� � �

brQ)P&{O\fd�brQ���a�\fd`iriMy Z^YO\[Z^YOQ/btjl{=Q)Yhd`PRQGy&0^0 ikZ �)Q��Mbtjx{=QGyzdeYh  � a�]JYhitbzy � A �� ,?)J�P(A"#�"=���Q� ��!��L,?. ��MN(��G<K! � *+'�$&�*�,/.. G �%�OV 5

brQ)P&{O\fd�brQ���a�\fd`iriMyG¡ a)\^dJi�i ? btjl{|Q�YhdeP&QGy&0^0 i�Z �)Q��Mbtjl{=QGyzdeYO  � a�]`Y|itbzy � A´¡"?�� ¿ ¡[?���� �� ,?)J�P(A"#�4"V���X���?!�� ,/.���M�(��G<K! � *+'�$�&�*,/.. G ���OV 50�����98�,?B=(�) !7� 31�����;� 5 ��,2O2:@<1! $�<=8�����,?. � �0� � �)*(A";�A"V<C,/!�OP�A<=8 �Q�0(A" "V���0!�,/!�� �/����,@) <1!�,/� <K!�"=����(%�A����� 8�,/��!�� � �����P�'" ,/���%$ <K! :C3G%�"NO<�:DIF �-�?! $"C3G%�:NO<��IG:F��N59�����G�S�7�6R/�" ,S&+�E<1!A<;"V<>�?B1<��?�%$I&+� .=,/���%M0"#,�����< �/�EBU��� �A� �4"=�7�?! � 9#� 1 � P �� DIF� 1 7�@�(P ��LG:F � 1 7�7+5brQ)P&{O\fd�brQ���a�\fd`iri�y�¡ a)\^dJi�i ¿ ? D � �¢y �0ªlb�p~d`a�b#�?y �3A¨¡ea�]`Y|itb ¿ � Z[{l�xb�¡xa�]`Y|itb ¿ �²st{x�xb:¡`a�]JYhitbbtjl{=Q)Yhd`P&Q/y�0 0 ikZ �)Q��Mbtjl{|Q�±p~deYh ;��0T "=� �+8 "V<C,/! ,?. � � � (2�����J�'(:&�)��A"V��<�T ,/. �G<��?�9���?!��*.>��,?) "=���E)��+"=�G<KT ��5����A<U�X<U�@�0� ��.=,/��)��/$I&'��+�'� � <K! �*"V���J8�,?B=(�) !:� OP��,?���-<1! $H� T <U� ,/!��X,?.P"V��� A� �'" G ���OV ��B>��) � !�"=� ,/.�� OAL<7MH�?! $ "=������,2O �OP��,�� � <1! $H� T*<U� ,/!��E,/.-"V��� A��� "0� ��!��L��B>��)���!�"=� ,/. 9�OA�<�M+<1!F"=���9� �?) �E,/� $H� � � 5

�� ^��!

Page 46: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �x�

������ � � �=%&� ��%(��� ���98 ' ��� %&� �=%&� � ' $ �7%&8� � )����+*���� � *.-+) � �

�'��h���<;��`� '  ;�P  : � � Æ � '  ��brQ)P&{O\fd�brQ ��a)\^dJi�i A Z^YO\^Z[YhQ ? D � � ?qQ�a�b~uxb~} ��deprprd�j8��}N� Dc\[_ � \[]xi'�-btjl{=Q)Yhd`PRQA 0 0 ��de\^gOQ��Mbtjl{=Q 0 0 K��Xo � �qZ^_`Q)Yl��de\ � A � D �

� ,?)J�P(A"#�"=���J� < �+��!�R���B=(6���X,/. � 5

brQ)P&{O\fd�brQ ��a�\fd`iri A Z[YO\^Z^YOQ ? D � � ?qQ�a�b~uxb~} ��deprprd�j8��}N�#btjl{=Q)Yhd`P&Q A 0 0 ��de\^gOQ��Mbtjl{=Q �FZ[_JQ)Yl��de\ � A � D�¡|y(Q�d`\=�

� ,?)J�P(A"#�"=���Q���'�?B ��<��A� !�R��?B;(6���X,/. � 5

brQ)P&{O\fd�brQ ��a)\^dJi�i A Z^YO\^Z[YhQ ? D � � ?qQ�a�b~uxb~} ��deprprd�j8��}N� Dc\[_ � \[]xi'�-btjl{=Q)Yhd`PRQA 0 0 ��de\^gOQ��Mbtjl{=Q 0 0 K��Xo � �qZ^_`Q�Yl��d`\6�+A � D�¡ ?qQ:a£b~ulbr} ��deprp~d�j=�:} �-btjl{|Q�YhdeP&QA 0 0 ��de\^gOQ��Mbtjl{=Q � �qp$�

� ,?)J�P(A"#�"=���J� < �+��!�R���B=(6���X,/. � �?! $W"V���J���G��,/� VLG*,/! "=�������E� < �+� !�R��?B;(6��� 5

brQ)P&{O\fd�brQ ��a�\fd`iri A Z^YO\^Z[YhQ ? D � � A�deb � Q)Yhi�Q��¢\fde{hdJa~ �� Dc\[_ � \[]xi'�-btjl{=Q)Yhd`PRQA 0 0 ��de\^gOQ��Mbtjl{=Q 0 0 K��Xo � �qZ^_`Q�Yl�Ja£b�� A � D �� ,?)J�P(A"#�"=���J� < �+��!�R?�%8%"#,/� � ,/. � 5

brQ)P&{O\fd�brQ ��a�\fd`iri A Z^YO\^Z[YhQ ? D � � A�deb � Q)Yhi�Q��¢\fde{hdJa~ ��#btjl{=Q)Yhd`P&Q A 0 0 ��de\^gOQ��Mbtjl{=Q �FZ[_JQ)Yl�Ja�b#� A � D�¡hy(Q:de\ �

� ,?)J�P(A"#�"=���Q���'�?B ��<��A� !�R/�/8 "#,?��� ,/. � 5�  :  ��� ' ;�� Â Ç Â ; P  : � � Æ ��'  ��brQ)P&{O\fd�brQ ��a)\^dJi�i A Z^YO\^Z[YhQ ? D � � ?qQ�a�b~uxb~} ��deprprd�j8��}N� Dc\[_ � \[]xi'�-btjl{=Q)Yhd`PRQA 0 0 ��de\^gOQ��Mbtjl{=Q 0 0 K��Xo � �qZ^_`Q�Yl��d`\6� a�]JYhitb A � D�¡ha�]JYhikb�A � L �

� ,?)J�P(A"#�"=���J� < �+��!�R���B=(6���X,/.&3 � M �B:%5brQ)P&{O\fd�brQ ��a�\fd`iri A Z[YO\^Z^YOQ ? D � � ?qQ�a�b~uxb~} ��deprprd�j8��}N�#btjl{=Q)Yhd`P&Q A 0 0 ��de\^gOQ��Mbtjl{=Q �FZ[_JQ)Yl��de\ �?a�]JYhikb�A � D�¡ha)]`Yhikb A � LX¡Oy(Q�d`\­p�Q:de\ �

� ,?)J�P(A"#�"=���Q���'�?B ��<��A� !�R��?B;(6���X,/. 3 � M �B:%5brQ)P&{O\fd�brQ*��a�\fd`iri A´¡ a)\^dJi�i ? Z[YO\^Z^YOQ�? D � � A�d�b � Q�Yhi�Q��¢\^d`{hd`a~ ��-btjl{|Q�YhdeP&Q%A 0 0 ��de\^gOQ��Mbtjl{=Q �qZ^_`Q�Yx�xa£b�� A�deb � Q)Yhi�Q�� A � D�¡(A�d�b � Q)Y|ikQ2� A � LX¡hy(Q:de\­p:¡#?qQ�a£b£uxbr}N� ? � �;�

� ,?)J�P(A"#�"=���Q���'�?B ��<��A� !�R/�/8 "#,?��� ,/.�1 &#@�7 �?!N$L"=���J� < �+��!�R���B=(6��� U�5brQ)P&{O\fd�brQ ��a�\fd`iri A Z^YO\^Z[YhQ ? D � � A�deb � Q)Yhi�Q��¢\fde{hdJa~ ��#btjl{=Q)Yhd`P&Q A 0 0 ��de\^gOQ��Mbtjl{=Q �FZ[_JQ)Yl�Ja�b#� A�d�b � Q)Y|ikQ2� A � D�¡3A�d�b � Q�Yhi�Q�� A � LX¡�y(Q�d`\AprQ�d`\ ¡¬a�]JYhikb btjl{=Q)Yhd`PRQA 0 0 ikZ �)Q��Mbtjl{|Q�±P �

� ,?)J�P(A"#�L"=��� ������B-� < �+��!�R/�%8%"#,?���4,/. 1 & @(7+5 ����� A��� " � 8�,H,/� $�<1!7�+" ��� ,/.E"=��������� < �+��!�R/�%8%"#,?�������� ���/"�(��G!��/$75

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 47: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

�J� ����� �!#������� ����� � ����$)

������ � ��%(! " $ %� 9#� D �=N:JOC � �:9#� � �$� P � � � � ,LC��"C3G �� � C��JOCIG 9 ��C F3G �"9 �"C�3G � � �:C��OG � P� 9#� D �=N:JOC � � � �"D=V P � � � � �:C � 9��� N ;IC � � �:D=V DIF��O< �X9#�"C3GX;�P<LR "C�JLC U:C"DE<��3<OJ:> �3GLG �3R STJ:>3J�FIN�� �ICO?�?�USV#XSY��

� � U:C"DE<:F3G JOC 9#� 9E< 9=F��%P<LR "C�JLC U:C"DE<��3<OJ:> �3GLG �3R STJ:>:D=F�� �IC��">�JOF�N� �3CO?�?Q?�UWVWXSY#X��

� � Y � C ; �#� C � 9E< � DIF�� ��C�� D�FLC 93DO9�C��O<X;�P<LR "C�JLC � �3<��:C�� ;ICL>� � �:D=V">3J�FIN�� �ICO?�? ��&WY��

� � � �3G�9�� JOC 9 � 9E< 9�F%�%P<LR "C�JLC � �3<��:C�� ;ICL>� � �:D=V">:D=F�� �IC��">�JOF�N� �3CO?�?Q? �&SY#X��

� � Y � C ; �#� C � 9E< � DIF�� ��C�� D�FLC 93DO9�C��O<X;�P9#�O< � �X9#� 119#�O< �IG ��D @ D � �IG+�� �3G ��A(7 8

JOF�N� ��C A�� � 8 S @ � ��@TS @�U�@ ��@ � @�U�@ U�@ ��@ �@ �@ �@ �@ ��U�@ S @cU�@ ��@1S @ ��U P ��@ ��U P � @TS @"P\U�@ P �9���&SY & 1 � @ � @/A @ ORW\OF � 1 77!@

1 � @ � @ ��S U SQS ��� U U ��U S U�� S P/U� P � ��@ LR#XOF � 1 77��DIF�NO<">L>�� & �E>L>%&">L>��X@ �E>L>�">L>�C��:J ���

� #

����

! ( ! %( , % %, + + ++ % ! %

� ��� #� #

����

! ( + %% , + !! % + %! % + (

� ���

UWVWXSY U 1�A � S @ A � 7�� D�FINO<">L>�U">L>�C��OJ ���

� ( # !$#&%'# (��UWVWXSY�� 1 &+��U+7�� D�FINO<">L> �X>L>�C��OJ ���

� %'# +'# !�� # � �� �3AOJ21 &(7�� D�FINO<">L> �#�3AOJ 1!&(7 �T>L>��X>L>3C��:J ���

��� � � � #�� !$! ' , %�� !$# 2 ' % (�%���� #&% ' + ( % (*+'# % ' !�� � ,�� !��DIF�NO<">L>���\ ���OV 1!&(7 �T>L>]\ ���LV 1 &(7I>�>�C��:J � �

� � � � � � # ,

�� ^��!

Page 48: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �l�

� ��YLG 9���� ��N � �3<�9�F��5�OR , �IN ;L;���C3< � F�J P Y�G 9����'�:>�, �IN ;�;3? 1 &(7 � DIFINO<:>L>�X>L>3C��:J ���

����+ % ! %% 2 ' 2 , ' % ( ' ,% % % ' ,.+/,�+*+ % ' � ( � ( �% % % %(' , % �/, % �

� ���

� �%�:C3<:C3G � 9#� ���L<QDIF#� LNO<:C3J �OR �3G:CX93;L;�� C3< � F�J PDIF�NO<">L>�� �:C3< �T>L>��:C3< 1 &(7I>L>3C��:J ���

� � � 0 ����� � 0 � # ($(� ��V 9 �:C��LA � ��N"C ���:J CX9 �OC��OA:C"DE<:F3G D�F�� LNO< �3< 9�F���;�PUWVWXSY#X * V�9 �:C��OA � � 1 &(7�� DIF�NO<">L>�*O>L>�C��:J ���

� � ! ' % ! %*% %'# % � # � 2 ' %*2����-2 # ! ' ! % % , � � # � 2 ' %/2����/2 # ! ' ! % % , � ��# � %(' 2�� %)+ ! % # % � ��&SY#X V V�9 �:C��OAXD=< 1 &(7�� DIF�NO<">L>]V:>L>�C��:J ���

����

% ' (���� !�� % %(' ! ( %/,), �<��� � � % ' % � % (�(�%)+�� % ' ! (�%-,*, �/��� � � %(' % � % ($( %*+ � %(' % +������ � , %(' %�� ()+�� %(' ,.+���� (�� ��� � � % ' %)% , % ($(�( � % ' ,�+���� (�� ��� � � %(' %*% , % (�($(�� %(' ! % +$%-, %% ' , � % (�(�� %(' �)+)+ %)% % %(' �)+)+ %)% % % ' � % % 2�%�� %(' � � % ( !�� % ' ! (-,�� %'! ��� � � % ' ! ( ! (�� % � %(' ! (-,���% ! ��� � � %(' ! ( ! (�� %�� %(' +*+��*2 � �

�����

9��

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 49: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

�x� ����� �!#������� ����� � ����$)

�� ^��!

Page 50: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �#R

� ��������� �

� .���� � ��� � 0 2 � - ��� . -�� � � �

� 574 � �z!#�«� %-!#���v���0���/.�� ,D���£��!#���'�������D }wQ�YhikQ-gOYOZ^��deprZ^deb�Q#{|]J\[jlYO]JPRZfde\ ! # ! " � ! � ������� � ! �(� � ZfiRp�Q�{OprQ�i�Q)Yxb�Q:}¨mlj²deY�d`p�p~d�jD]`�a)]lQ�µ�a�Z^Q)Yxbri � ! " # ' ' ' # !�� � § Dc\[\8Z[briMa�]lQ)µ�a)Z[Q�Yxbri�deprQvikb�]`prQ�} §�¿ bMZ^iMdJi�i�gOP&Q�}�LhQ)prQzb�L|d�b�b�LOQ/a�]lQ�µ�a)Z[Q�YJbprZ^YO_&Lhd`i�brLOQGmhd`i�ZfaXd`p�Z[b�LhPRQ)b�ZfaX]`{=Q)p~d�b�Z^]`Y|i §���� �� ��!#"�$�%&!#%&����'(�������

K��+�� �������+� ���.-0)��+-�� ��  � '��w� Â7� �('��O�:� � �)��� �«�`� � �cÆ ' à �  : � Â

� !A<=R����G<>�+" � �0,/B��A!�,/) <>�?BU��M OP<;"V� � $H� !:��� ����������� ��!�";�+"=<>,?! �2<;R/��! &'� "V��� 8�,?!�"#�?<1!�� � \ 50�,/�%O0���'$ ��! $ &2�H8 ��O0���'$ <;"#��� �A"#,?��� �?��� � ��,2R/<=$H�%$AM ��� OP��BKB ��� "=��� �?��<="=�A) �/"V<=8 ,��0� ����"=<>,?!:� � @ ��@ � @ � @ ��@ � @���@ � @ � @ � 5 ����� ,��0� ���+" ,/� � � �?!N$ � 8�,?�G�����#��,?! $ �����#���/8��"=<=R?� B�� " , "V��� � (6,H"=<>��!�"*�?! $ ����)���<K!N$H� ��8�,/)4�0(A"#�+"=<>,?! <K! "=��� �X(+8GB1<V$+���?! $�<=R/<U��<C,/! 5 �����F "C3G �3<:F3G 1 7 17DIF���;=< X 3(7�8�,?�G�����#��,?! $2�9"#, "=���J�/R��?B;(2�A"V<C,/! ,/. "=�����0,/B��+!�,/) <U��B;5�����4. (�! 8%"V<C,/! ��� Z�*�-$"Z%�('�&�*/.�.cD � C:DEVOJOC �LGOC�C <U� 8��?B1B>�/$W�A"Q"=�����! $S,?.@�?!F�?��<="=�A) �/"V<=8 ,��0� ����"=<>,?! M "#, ������%(��'"�"=���R��?��<U�:&?B>� JOC��LGOCLC��AM2<1. <;"@��T+<U�'";� <1! "=��� 8�,?!�"#�?<1!�� �T\ 5����������� �����+�

���� � 56������' ���7%&�98;:<�=� ������� ' �9��' � % " ��$������! � ' $�8KMLhQ/a)]`Yxbrd`Z[YhQ)pT\�i�LO]`gh\^}#{Opr]��xZf}wQvb�LOQ/��]J\[\^]��(Z^YO_�ikZ^_`Yhdeb�gOprQ�i10<LR "C�� ����C \�.. A � ��N"C���<LR "C DIFLC �I<��<LR "C�JOC <�R "C�� �#� C \�..�;O9��OC���<LR "C�<LR "C�JOC <�R "C�� �#� C \�..c9E<:C3G �I<:F3G��

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 51: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� > ����� �!#������� ����� � ����$)

\ 1i;O9��OC���<LR "C ; @ & ���F"D�7��\ 1i;O9��OC���<LR "C ; @ X �=<(7��\ 179E<:C3G �I<:F3G � @ 9E<OC3G �3<:FIG C 7��A:F"9=J�\�.. G:C:;IC3GLA:C 17;O9��OC �I<LR "C���7��9E<OC3G �3<:FIG \�.. �"C�� 9#� 1 7 �9E<OC3G �3<:FIG \�.. �"C�� 9#� 1 7 DIF%� ;=< �9E<OC3G �3<:FIG \�..\C��:J 1 7 �9E<OC3G �3<:FIG \�..\C��:J 1 7 DIF%� ;=< �9E<OC3G �3<:FIG \�.. G��"C�� 9 � 1 7 �9E<OC3G �3<:FIG \�.. G��"C�� 9 � 1 7 D�F�� ;=<��9E<OC3G �3<:FIG \�.. G:C��:J 1 7 �9E<OC3G �3<:FIG \�.. G:C��:J 1 7 D�F�� ;=<��;O9��OC��I<LR "C \�..�;O9��OC21 7��9#�L< �:C��LG:C�C217DIF���;=< \ 3(7��KMLOQ�a)]`Yxbrd`Z[YhQ)p N �3G��?� § � § � ��deYh} A:C"DE<:F3G&]e��b�LOQ ¹$K ¯&a)d`Y#m=QGghi�Q�}-LOQ)prQ §

���� � � ��' !#"�$�% ��: � ������' � �7% ���+� � �8K����� � �

�  � '��w� Â�� �('��h��� �)��� ���e� � � �w��� � ����' ;����w����� à 7 Ç �

N �3G�� X M (�!A<;R����G<>�+" �-��,?B��A!�,?) <>�?BU����� ��������� !�";�A"V<C,/! MA���X� � (:&:8GB>����� ,/. �IGLG �3R!S1J�� X 5

���� �� � ��� � � ��8 % ���7%&!DIFINO<">�>�� � �E>L>� � >L>�� @ �S �E>L>��SE>L>�C��:J ���

% # � !�� � � � � � !�� � � � � ! � # ! # � !�� � ��� � � !�� � � � � � %��DIF�NO<">L>�� � 11 � @TS�77 �E>�>� � 17D�F�� ��C �">IJOF�N�� �ICO? 1 � @1S�7�7I>�>�C%�OJ ���

% � � % # !�� � # !DIF�NO<">L>�� �S(1ES�7 �E>�> ��� Z�*�-$"Z��('#&�* ..\CIA � � 1 �S�P G:C @1S P�7�>L>IC��OJ � �

! � ! � # %

� F� :U21 ��� �S�7�� D�FINO<">L> "UO>L>�C%�:J ���

�� ^��!

Page 52: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �x�

� ! � � � �<� � !�� � � � � (��"U � ���S � D�FINO<">L> "UO>L>�C%�:J ���

� ! � � � � � � %�� � � � � � !�� � � � � ! �"U � � !S � D�FINO<">L> "UO>L>�C%�:J ���

� ! � � � � � � !�� � � � � � %�� � � � � % �"U � �S�� � � D�FINO<">L> "UO>L>�C%�:J ���

� !�� � � � � � !�� � ���<� � ! � � � � � � ! � � � � � ( �"U �S � "U�� � � D�FINO<">L> "UO>L>�C%�:J ���

� ! � � � � � � !�� � � � � � %�� � � � � % �"U � 1 �S��� � 7�� 1 �S�� � �IU�7��iD=FINL<">3>�"U�>L>3C��OJ ���

� ! � � � � � � , � � � � � � (�� � � � � � ��� � � �<� � %��"U � � 1 ��� �S�7�� D�FINO<">L> "UO>L>�C%�:J ���

� !�� � ��� � � !�� � � � � � %��"U � � �S%�IU� D�FINO<">L> "UO>L>�C%�:J ���

� %�� � � � � � !�� � � � � � ! � � � � � +��"U 1 �S � � 7�� 1 �S��� � ��U 7 � D�FINO<">L> "UO>L>�C%�:J ���

� !�� � � � � � (�� � � � � � ! � � � � � � !�!�� � � � � � 2 � � �

� ����N"F3< 9=C��O< 9 � < � C�V3N D �"9=JLC��� J�9TA 9�;O9�F%�"U �S �� � � D�FINO<">L> "UO>L>�C%�:J ���

� !�� � � � � %��

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 53: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

�`� ����� �!#������� ����� � ����$)

� ��\:C�� �X9 �:JOC3G 9#� < � C V�N D �"9EJOC��� JX9EA 9�;O9=F��"U �S� � � D�FINO<">L> "UO>L>�C%�:J ���

� !�� � � � � , ��S � � D�FINO<">L> �S=>L>�C%�:J ���

� !�� � � � � , �

9

� 5�� � %#�/.����z!�.�����%-!#���v���0���/.�� ,D���£��!#���'�������

KMLhZ^i¢a�\fd`iri�prQ){hp�Q:ikQ�YJb~i#}OQ)Yhi�Q�gOYhZ[��deprZfd�b�Q©{=]`\^jxYh]`P&Z^d`\vP&]w}wgO\^]¦d�³OªwQ�}6{|]J\[jlYO]JP&Z^d`\ ¡zb�L|d�b¢Z^iQ�\[Q�P&Q)YxbrivZ[Y�� # " � � � � � � §�¿ � #ZfizbrLOQ�}wQ�_`prQ)Q�]`� ¡­deY�Q�\[Q�P&Q)YxbvZficprQ){hp�Q:ikQ�YJbrQ�}¢mlj�d��`Q:a£br]`pc]`�i�Z �)Q h¡|a�]`prprQ�i�{|]JYh}wZ^YO_�br]�Z�b~iza�]lQ�µ�a)Z[Q�YJb~iMZ[Y-brLOQ Bz]Jp�YOQ�pMmhd`i�Z^i10! #&! "�� "

� � � � ! � ���� � � � ����>� ! � C � � � C � � � � '

�(LhQ)prQ�� � � � #�� � � � C � �/� �

Zfivb�LOQ � ��� Bz]Jp�YOQ�p/{|]J\[jlYO]JPRZfde\0]`�+}wQ)_Jp�Q�Q � §�¿ Y�brLOZ^i/m|d`i�Z^i�¡8b�LOQ�irnxghdeprQ�]`��d#{|]J\[jlYO]JP&Z^d`\0a�deY©m|Q{=Q)p���]`prP&Q�}#�(Z�brL-bt�+]�a�]JYl�`]`\^gwbrZ[]JYhi �?Q)_ § mhd`i�Q�}#]`Y �K �?� § � § ���:� § ulQ)Q � � > ����]Jp(P&]`prQ/}OQ�brd`Z[\fi §�� ���� ��!#"�$�%&!#%&����'(�������

��+� � � � ��+�����-�+�� � ��  � '��w� Â7� �('��O�:� � �)��� �«�`� � �cÆ ' à � Æ ��� � ��� '�;�� � �cÆ ' à �  : � Â�� �

� B>�����4,/. �0,/B��A!�,/) <>�?BU� ) ,A$:(�BC, � �0,/B��+!�,/) <U��B ��� F �IR���N"F3<���\ .. "F�IR 5 �PBC� ) � !�"=�J�����J����� �������� !�"#�/$�<K! "V��� �9,/��!����4&����G<1�%5 � B1B "=���E�?��<;"V�A) �/"=<V89,'����� �A"V<C,/!:�X�����@�0� ��.=,/��)��/$�<K! "V�:<1�4&2���G<1�%5� !AB��F"=���4$�<U�;��B>�'�S,?.0�E�0,/B��+!�,/) <U��B !��'�/$2�X� 8 �7�?! �+� "#, "V���Q)�,?!�,/) <>�?B &�����<U�%5

�� �� � 56������' ���7%&�98;:<�=��� ��� ��� %&����%&��" ��$������! � ' $�8KMLhQ/a)]`Yxbrd`Z[YhQ)p \#i�LO]`gh\^}#{Opr]��xZf}wQvb�LOQ�irdeP&QGi�Z[_JYhd�brgOp�Q:iMd`i���]`pz}OQ)Yhi�Q/gOYOZ^��d`p�Zfd�brQ/{|]J\[jlYO]JPRZfde\fi §�¿ ba�deY-m|Q N �3G���� § � § � �F��]Jp(Z[Y|itb~deYha)Q § KMLOQ�a�]JYxbrdeZ^YOQ�p A:C"D=<:FIG&]`��brLOQ�itbr\�a)d`Y¢d`\^i�]Rm|QGghi�Q�} §

�� ^��!

Page 54: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �O�

�� �� � � ��� � � ��8 % ���7%&!� 9#� D �=N:JOC �iN "F �IR(P � �<LR "C�JLC JOFIN�� ��C X��<LR "C�JLC 4��� F�IR���N"FI<">�N �IG"> X:?�? � F ���9#�O< � �X9#� 119 �O< �3G ��D @ D � �3G �� �3G �LA(78

� � �"C JOC 9#�"C < � C M3N"FI< 9�C��O< �OR < � C F ���F�� 9#�'� :F �IR��"F#� 9�� �X N � � 8 � ��@ �=U�@ �:S @1S 9 �� F� .. "F�IR N �3G"> XO? 1 � @/N(7��DIF�NO<">L> ��� F �IR�OC�� ;IC�>�N ��G"> XL? ? 1 � F � .�. "F �IR+7I>L>�C��OJ ���

� !�� � � � � � ! � � � � � � % � � � � � ( �

� � � C3GOC �IG:C < � C "F �IR��"F�� 9���:;X N�S�� � 8 � @ � @TS @ � @ � 9 �� F� � 1 N�S @\N�S � � 7!@ �S(1/N�S � S @\N�S � �(7!@ :U�DIF�NO<">L>�� � �E>�>� � >L>3C��:J ���

% # � !�� � � � � � !�� � � � � %��DIF�NO<">L>�� �S �E>�>��S=>L>3C��:J ���

! # � ! � � � � � ! �

"U ��� �S � DIFINO<">�>�"UO>L>3C��:J ���

� ! � � � � � � (��"U � � � � DIFINO<">�>�"UO>L>3C��:J ���

� %�� � � � � � +�� � � � � !��"U � � �S � DIFINO<">�>�"UO>L>3C��:J ���

^_^4`�a[b�c<dfe

Page 55: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

�JS ����� �!#������� ����� � ����$)

� !�� � � � � � !�� � � � � +��

9

� 5! � ��� ����!�%-!#���v���0���/.�� ,D���£��!#���'��������� ���� ��� % ����� !#% ���7��KMLhZ^i�Z^i�d�a�]`YhYOQ�a�b�Z^]`Y�b�]¨brLOQ � ¤ Z[P&{O\^Q)P&Q�YJb~d�brZ[]JY�mxj ��§ L�Z[YhZvdeY|} U § �Z[]Jp�Q�Yxb�Z^YO]´��]`p�i�]`\^�lZ[Yh_ghYOZ[��d`p�Zfd�brQX{=]`\^jlYO]`P&Zfde\fi § ulQ�Q � �:������]`p(P&]Jp�QG}wQ)brdeZ^\fi §

���+�� � ���8+���� -�����.-�� � �brQ)P&{O\fd�brQ���a�\fd`iri�K ? D � � ?qQ�a�b~uxb~} ��deprprd�j8�:} ��uwa�\;� A�o � ul]`\^�`Q �?a�]JYhikbDK �Xb�¡a)]`Yhikb�Dzm=Q)p�b�L � D �� ,?B=R?� "=��� (�!:<=R��?��<>�+"#�X��,?B��A!�,?) <>�?B ,/. "1�2�0���@MP&'��"=��� � &+� �%"V� ) �/"=��,A$75 ����� 8�,/)4��BC��TS��,H,+"=������E,H(:"1�0(A"P<1! �*R/�%8%"#,?�X,?.2�"D �:� � � X 8�,?)J� B>� T !�(�)*&+� � � 5�����L$H� .V�A(�B="E8�,/!:� "V�%(+8%"#,/�,?.E"V��� 8�BU���G� &��"C3GL< � ����� "#,�&H�*(����%$ OP��� ! OP� ���G� (�) �!�,S���G��,/�,?! "=���<1!2�0(A"J8�,H� �L8G<C� !�"=�4��! $�OP�*OP�?!�"E"V��� $H� .V�A(�B=" � ���/8G<U��<C,/! 3 U�� � �*���(' ,I$2<��6<=";� : ,?! "=���,+(A"1�0(:" ��,H,H";� 5W����� 8�,/!:� "V�%(+8 " ,/� &��:C3GL< � 1797 <1� (2� �/$ OP��� ! OP� ����� (�) ���! <1!2�0(:" �����/8G<U��<C,/!,?.�9F$�<��6<=";� ��! $ "=���W$+� .V�+(�B="J,H(A"U�0(A" �����/8G<U��<C,/! .=,/� "=���*�'�A����,'T+<K)��A"V<C,/! ,/.J"=������,H,H";� 5 �����8�,/!:� "V�%(+8 " ,/��&��"CIGL< � 119!@cF 7X<U�9(�� �/$LOP��� !FOP�9����� (�) � ��! <1!2�0(A" �����%8�<1�G<C,/!W,?.#9�$�< �2<;"=� ��! $LO �OP�?!�" �?! ,H(A"U�0(A" � ���/8G<U��<C,/!S,/.�FL$�< �2<;"=� ,/! "=��� ��,H,H";� 5

��� � � '  �� � ) ���8./.-��������� )0* � � � ) ���8./.-�� K��+�� ��� � �� � ) ���8./.-�� ��� *.)-�� � ���� � ) ���8./.-�� �� ��������-+ � � � � �� � ) ���8./.-�� K��+�� �����8+����.-�� �������� -+/.-�� �����������K�� �������� -+/.-�� ����������� �� � �������� -+/.-�� ����+�� ���.-+) �+-��8�� �������� K��+���������� -+/.-�� ,.-�������0/���������� ��� /������� ,.-������� )�.� � � )�� ���K��+�������/��� )������-�8+8������������0-0)0/����

�������! #"�$&%'�)(+*�,.-��/�! 10�2&%3��� $�"�"�4 -��/�! 10�4%!�)(!� *., " � 0�0 -��5�! 0�6 %3����* 4�$�".0 � 0 , 2 �7�! 0 ,%!�)(!����* $�$�2 * " ��*�*.-��7�8 0 - %'��, 2 * 2 � 4�2.0 * 6�"�0 -��+�! 0 *%!�)( " *�* $�2.0�6�$�6�2.0�4 � 0 -��+�8 10�"&%3��� * $�2.6�6�2�"�0�4.0�2�4 *9-.��-��+�! :0�0%!�)(+* 4 * "�"�4 , 6 ,�, 6�2 - ".0 , 6 -��8�8 0 � %'����* $�2�$�0 - 6 - 0 * 0�0�"�$�4.0 * 6 -��!�! 0�$%!�)( " * 2 , $�$ -�*.- 4 , 4�$ - 6 -�* $�4.6 -��!�8 � 2 %'� 6 * " - 2 *;��, 0 ,.����� 6�0�6�0�" * 4 -�-��8�! � 4%!�)(!� " , $ -�- 4�$�4.6 ��� 2 , "�"�0�0�4.6 ��� 6 -��8�! � 6 %'� 0 ��*.- 4�4�".0 * 2�"�" *.- $ ��*9- 0 � "�2.6�6 -.�8�! ��,%!�)( 0�2 � 2.6�0 � $ , $ -�, 0�".6�"�6�2�6�6�4�$ � ".6 -��!�! ��- %'� " * 0 -�, " ,9� "�2�"�0�2�".6 ,�, $ ,.- 0�6�$.$ ,�* $ �!�8 ��*%!�)( " *., $.0 ,�,9��� $ * 2�"�4�2�4 , 6�6�2 ��� "�2 * $�$�$ �8�! � " %3� "�$�$�$ ,.-.� " , " ,.-�-�,�, 2.6�4 ,�* $ ,�, 6�" , 4�$�$ �8�! � 0%!�)( 0�0�0 *9- 6 * 0�".0 *�, 2 , 0�$ , "�$ - 4 * $�"�$.6 , $�$�$ �8�! ��� %'����* $ � 2�".6 , 0 * $�4 , 4�$�6 - $ ��, 2 ����* 0�0�".2�6 *�*9�!�! � $%!�)( 6 *9-�*;��,.��* 6 ��, 2�$ ,�, $�6�$�$ � "�2 ,�-�-.��- 6�6 , $ �8�! 2 %'� "�" ����*�, 0�2.6 , 6 ,.��* 2�2.6�4 - $�6 , "."�2�$ - 6�$.0 * $ �8�! 4%!�)(!� 0 � " ,.- " ,�,�, 6 * 6 *9-.� " ,�- 0�"�$.6 *.,.- 0 � $�0 * $�$ �8�! 6 %'� " , $�2�"�$�6�4�4 ��- 4�4�" , 4 � 0�4�$ -�,9� *9- "�4�4.6�4�2.6 ,9�8�! ,%!�)( 4 -.� 4�2�2�4�4�4 - $ -�* 0�" ��� 0 - $�" � 4 * 0 -.��*;� 0 * 4�$ �8�! - %'����-�* 6�6�2 * 2�6 - 0 -�* 6 � 2�6�"�6 ����� 6�4 � 0 - " � 0�$�$�$.$ �8�! *%!�)( 0�$.6�$.6�2�0�0�$.0�$�0 *.- 2 *�, 4�" ,�, $�4 ,�,�,�*;� 2�0�$�$�$.$ �8�! " %'��� 2�$.0�4�2�"�6�4 - 0 * $�2.0�4.0�$�2�2�2�4�0 ��,�-�, $ ,�* $�$.$�$ �!�8 0%!�)(!� $ - 2 , 4 � 6 ,9� "�4�2 - "�"�4 - 2�2 * 2�"�0�6 ��-�- 0�$.$�$�$.$ �8�! �%3� 0 ,.- 0 - 0�4 - 2�4 � 0 � 2 � $ - 4 , " , "�$�4 * 4.$�$�$�$.$�$�$ �

�� ^��!

Page 56: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������������ ������� ����������� ���������� ��"!#�$�����%�� ��'&(!#)*��)+�� ��"� �`�

���-+�� � ��� � � � � ������� ���, -�� ��������+� �.-�� ���5���.-������ ������-+8����)� �+�+�� ��� �����.-+)0/ ����+���� � )� �������*�8�8� � / -+*� -0-�� ���-���� �-+8������)� � � ��� � ��� ���)���+������� � ������.-+)./�������+-+������ ���!� ��� � - ������ � ���������� ����� ������������ � �������������������� � ����.-������ �� ���!� ��� �����������������������������������������������������.-������� � ���������������������� ������� � � � �������������� � ��������.-������� ���!� ��� �����������������������������������������������������0-������� � ��������������� ������� ���������������������� �� ����� �����.-�������� ���!� ��� ������������������������������������������������������0-������� � � ������� ����������� ��� � ���������� ��������������� ��� �0-��������� ���!� ��� �������������������������������������� � ������ � �������0-������� � � ���������������� ��� ������������������������� ��� � ��������.-������� ���!� ��� ��������������������������������������������� ���������0-�������� ��� ������������������������� ���������������������������0-�������� ���!� ��� ���������������������������������������������������� ��� �0-�������� ������������������������������������� ��� �����������������0-�������� ���!� ��� ��������������������������������������� � ������������� � -������� � � �������������� � ������������������������������� ����������.-��������� ���!� ��� � ������������������������������������������������������0-�������� ��� � ���������� �� ������������������ ���������� � �����.-�������� � ���8� � � ���������������������������������������� ��� � ������ ���.- ����� � ���������������������� � ����������������� ����������������.-������� �����8� � � � ������������������������������������������������������.-���������� ������� � ��������������������� � ������������������� � ������0-������� � ���8� � � ������������������������������������������ �������� �����.- ��������� � ��������������������� � ������� ����������������������������0-�������� � ���8� � � � ������������������������������������� ���������� ����� -������ � �������� � ���������� � ������ ������������������� � �������.-��������� � � �8� � � � ������������������������������������������� ������� � �.-������ � � ��������������� � �������������������� ��� ��������� �������.-�������� � ���8� � � � ���������������������������� � ������������� ����� � �.-������ � � � ����������������������� ��������� ����������������� ��.-������� � ���8� � � � ��������������������������������� ���������������� � ����.-������ � ����������������������������� ������������������������0-��������� � ���8� � � � ������������������������������������������������������.-������ � � ���� ��� � ������� ������ �������������������������������� �.-������� � ���8� � � � ��������������������������������� ������� ��� �����������.-���������� ��������������������������������� ������������������� ��.-�������� � ���8� � � � ��������������������������������������� � ��� ����� ���.-������ � �� ������������������������������������������������������� -��� � �� ����8� � � � �������������������������������������������������������.-������ � ���������� ������� � ������� � ���������� ������������������� � �.-��������� � ���8� � � � � ������������������������������������������� ���������.-������ � ������������� ������������������������������������������ � -������� �����8� � � ���������������������������������� � ��������� � ��������.-������ � ��������������� ��� ����������� �������������� ���������� � -������ �� ����8� � � ������������������������������������������� ������� ����.-������ � �������������� ������� ���� ������ � ����������������������� � -������� ��� �8� � � ������������������������������ ����� �����������������.-������ � ������ ����������������� ����������� ����������������������.-������� ����8� � � ��������������������������������� ��� ������������ �����.-������ � ���������������� �� � � � ��������������������������������.-�������� ����8� � � ����������������������������� ���������� ���������� ��� ���.-������ � � ������� ����������������������������� ����������� � ��������0-��������� ����8� � � ����������������������������� � ���������������� ������0-������� � ������������������������������������� ������������������.-��� � �� ����8� � � ������������������������������� � ������������������� ��� � -���������� � ���������������������������������������������� � ����������0-������� ����8� � � ������������������������������������������� ��������� ��.-������ � ���������� ������������������������������������������������.-��� � �� ����8� � � ��������������������������������� ��������� ������� ��.-������ � ������������������������������������������� � �������� � ����.-��� � �

�� �� � � % ��' 8 �����#' � �7$ � ' !#% ���7��KMLhQ 3  ���O�)�<;�� ƨ 3 ; '��O�  � � Æ Ç � ikQ�Q � � > �1��Z^izd`Y#Z[b�Q�prdeb�Z^�`Q/{Opr]wa�Q�iri���]`pza)]`P&{OgwbrZ[Yh_�dRi�Q)\^Q�a�b�Q:}d`{O{Opr]�ªwZ[P�d�brQ�pr]l]ebG]e�zd-{=]`\^jxYh]`P&Z^d`\ §�¿ b�Z^i�Q�irikQ�YJbrZ^d`\[\^j�brLOQ�i�d`P&Q�d`iXb�LhQ �FÆlÅ� �#  � � Æ Ç ]`�P�deb�prZ^a)Q�i�¡wmOgwbzZ[bzZ^izdJa)a)Q)\^Q)p~d�b�Q:} 0�Z[Yhikb�Q:d`}-]e�0a�]JPR{hgwb�Z^YO_&b�LhQ�ikgha�a�Q:i�i�Z[�JQv{=]���Q)p~i ! % ¡h�+QGa�]JP&{Ogwb�QbrLOQ�i�gha)a)Q�irikZ^�`Q/i�nxghd`p�Q:i ! �! §

� § � § � § � : ;À�  ���w� ;��  � � Æ �  �:�&���h� Â Ç Æ : � �  3  ���O�)�<;�� ƨ 3 ; '��O�  ��� Æ Ç " #%$'&�&)(+*-,.( /0,21+/435'6879,9:�;<*-=>&@?BA "� "DC /4*E10,@/4*F=2G)HJILK MN �O 0P MN O 0 O P

35QA "

¿ ��b�LhQ)prQXQ)ªwZ^ikbri(d&i�Z[P&{O\^QGp�]l]`bFR>SUT�V�W�SXW �9W�Y[Z]\ ! \^`_badc'e`fET�W�Y

��g�h %'ikj ! %��� #ml`n�o

B-a@pEa�^q_basrtTvu�aUwxryc�c'z!a@Y{f!rya|a@}[w@~�W��`W�T�Y�Yyc�pES���c'pdf!r[asu�a)w�f!c'pEz o|� rya|�yp!c`w@a9zEzdz4fEc��[zdW���f!rya|a@pEp!c'peJa2f4_�a@a9Y|f4_�cXWfEa@pxT�fEW�c'Y[z�W�z�~�a9zEz�f!rtT�Y]T>uvT�~�}[a8�)^`�[V�a)�|W�Y]T��`u�T�Y[w2a oA�c'p!a9c�u�a9p9^�W��BfErya��[p!c`w2a)z!z�W�zb_DpEWf!f!a@Y|W�Y|f!rya BFc�pEYya9p�e[T'z0W�z@^�T�Y�T��y�`W�f!W�c�Y[Y[T�~JW�Y<fEa@pEa9z0fbW�z�fEc�r[Tvu'aTQz0W�SX�y~�a�_�Tv�>f!cXz0a9~�a)w�f�fErya8p!c�c�fb_DryW�wxrsW�z�fErya.Yya9T�p!a)z4fbf!cXTkZ�W�u�a9Y|�Jc�W�Y<f9^`T�zbW�~�~�}[z4fEp!a)�seJa@~�c�_ o�� a2f}tzkT�zEz0}[S>a>fEr[T�f)^B��c�pQT�Z'W�u'a@Y��tc'W�Y<f � "�^�f!rya9p!aXW�zdc�Yy~���c'YyaUz0W�SX�y~�aUp!c�c�f�R]w@~�c<z0a)z4f8fEc � os� a

�q�����y�2�)�0�

Page 57: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� ��������� ����������������� ����� �

z0fET�p0f�f!r[a.T�~�Z'c�pEWfEryS ��p!c'S f!rya8u'a9w�fEc�p !"!�# � !$# � # � � # ' '1' # � � C � �!^�fEr[T�fDW�z�f!rya8w2c�a�#Uw@W�a9Y<f�u'a9w2f!c�p�W�YfErya%$Fc'p!Yya9p�etT�z!W�z.c�� � �'& � C � � ! ��'& C ! � �)( � ! � oQ�

aXr[Tvu'a ! ! � R�� # C � � ! �n C ! ��c�pdT�~�~ fEryaXp!c�c�fxz-c�� ^ z0c�f!rtT�f8f!ryaa9u�T�~�}[T�fEW�c'Y>c�� ! ! T�f�fErya-pEc�c�fEz�c�� W�z�SUT�V`W�SXT�~[_Drya9Y�\ R � \vW�z�SXW�YyW�SUT�~ o+* � _ba-_�T�Y'f�f!rya-z!SUT�~�~�a)z4fpEc�c�f�c�� ^<_�a�z0fET�p0fbf!rya.�ypEc`w2a9zEz���p!c'S ! " o,* � _�a-_�T�Y<f�f!rya.~�T�p!Z'a9z0f�pEc<c�f9^�_�a�z!ryc�}y~��spEa@u'a@pxz0a T�Yt�~�c�c.-U��c'pDWfxzDz0SUT�~�~�a9z0fDp!c�c�f o

* ��_baX_�T�Y<f.f!c�c�e`fxT�W�Y{c�f!rya9p8p!c�c�fxz8T���f!a9pkw2c'S>�[}`f!W�YyZ]T��[pEz0fdp!c�c�fdRy^ _�aXT��y�y~�� TW�0�`a �tT�fEW�c'YL�c���fEryaU�tc'~���Yyc'SXW�T�~ BoU� rya@pEaUT�pEa�f4_�c]�`W'%Ja9p!a9Y'f��ya �tT�f!W�c�Y��yp!c`w@a9zEz0a)z@^ fEryaX�[pxz4fdc�Y[a>W�z.f!r[aUS>c<z4fYtT�f!}[pET�~0/�W�fQW�zQw9T�~�~�a)��f!rya�a2V`�y~�W�w@WfX�`a �JT�f!W�c�Y ^ T�Y[� w2c'Y[z!W�z0fEz�W�Y w@c�SX�y}`fEW�Y[Z a2V`�y~�W�w@WfE~�� � �'& �& C n o��

ryaz!a9w@c�Y[�>�`a �tT�fEW�c'Y>�[p!c`w2a)z!z9^�w9T�~�~�a)��W�SX�y~�W�w2W�fb�`a �tT�fEW�c'YB^�W�z�T�z���c�~�~�c�_Fz o - YyaDpEc�c�f�R.W�z�w2c'S>�[}`f!a)�Q_DW�f!rTUz0fET�p0fEW�Y[ZUuvT�~�}[a ! " ^ T�Yt�|fErya�SXa@f!ryc`���ypEc`�`}[w2a)�]T>�[pxz4f-W��`a9S>�Jc�fEa@Y<f l`n�oF� cUZ'a2f�TUz!a9w@c�Y[��pEc�c�f9^_�aDwxryc�c'z!a�T�Y��21dc�� � ���tc<z!z!W�ey~���� T�Z'T�W�Y �qT�Yt�Qz0fET�p0f f!r[aDS>a@f!ryc`�Q��pEc�S fEryaDW�Y[WfEW�T�~yu�T�~�}ya � 1 1 l`n � o3 W�Y[w@a � 1 1 l`n � � R�� # % ^�RQW�z�Yyc>~�c�YyZ'a@pb�yc�SXW�YtT�Y<f9^`T�Yt�Xf!rya8�ypEc`w2a)z!zbw@T�Y[Yyc�f�w2c�Y�u'a@pEZ�a-T�Z'T�W�YXf!cl n o�� r<}tz�_�aF_DW�~�~ c�eyfET�W�Y|T�Yyc�fErya@pbW��`a9SX�tc�f!a@Y<f l n ( [email protected]�z�f!rya.�`c�SXW�Y[T�Y<fbpEc�c�fbT'z!z!c`w2W�T�fEa9�>f!c1J^[R>_DW�~�~BeJa8W�Z'Yyc�pEa9� o+5 c�p�fEryadYya2V�fFz0f!a@� ^y_badwxryc�c<z0a = ���Jc'zEz0W�ey~�� ! c�p61 ��T�Y[� z4fxT�p!f�fErya8SXa2f!r[c����pEc�S f!rya�W�YyW�f!W�T�~qu�T�~�}ya = = � l n � l n ( � o�7 c'Y'fEW�Y�}yW�YyZUW�Y]f!r[W�z-_�Tv�'^y_bad_DW�~�~ }y~�f!W�SUT�f!a9~���w2c'~�~�a9w2f�T�zSUT�Y<�|p!c�c�fxz�c�� T'zD�`a9z!W�p!a)� ����c�pDSXc�pEad�`a2fxT�W�~�zDz!a@a �98;:"<>= o

5 c�p�f!r[W�zD_�c�p?-U_�a.rtTvu�adwxryc�c'z!a@Y|f!ryadW�SX�y~�W�w2W�f-�`a �tT�fEW�c'Y o@;ACB�D>E�ACE�FHG;IJG;K>LMF

��+� � ���-+��� -���0-�� ����� � +�� �N G�O�PRQ.G 3 ETSUI N GVK>IJL� B>����� OP�A<=8 � �2<;R/���-"=���P�N��� ��)��?"#����� ,/.�"V��� � �?&2��� "V<>�2, ) �/"V��,+$ ��WTX�YJZ[Z]\J!�(�)L&H���@,/.���,H,H";��"V�7�A"�G��,H(�BV$I&+�8�,?)4�0(A"#�/$AM^WTX`_"\Ja.Y�)��?TH<1)��?BN!�(�)L&H���9,/.�<;"#� ���+"=<>,?!:� ��BKBC,2OP�/$AMba.cMdT_.e[Z.W "#,?B>��� ��! 8��" , �'" ,�� "V���Q<;"#��� �A"V<C,/! 5

fCgh�ih"j�k�l"l�i`m nVn)h"o;p�j�qVkrl;sCk�lVl;i.tHuo"h[t

gv h.qVwxhVj

gi�qVkMm nVn)h"o;p�j�qVkrl;s

gi"qVk�yVi

gl)h[tHu

w�l)oVj]zVq q){[tgz"l hRm nVn;i�l"zVq;k�y�h[|;qMu

} q�j�y�t�igy"lH~��^�>hVj�k�l"l;iM~?�V�J��hVj

gi�qVkM~ ���]�J� q;{]t

gz�l)hR~0��l�zVqVk�y)hT|;q]� f��} q�j�y�t�i

gy"lH~�|Vl)h]t�i } q�j.y�t�i

gy�lx��pJ�^�h"j�k�l"l;i`~'p+u>h"j�k�l"l;i[�J�>h"j

gi�q;k`~�p+u>hVj

gi�qVkT��� q�{Tt

gzVl)h�~�p+u�q){Tt

gz"l�h�� f"�} q�j�y�t�i

gy"lH~

gh�iCh��J�h"j�k�l"l;i`~>h��J��h"j

gi�qVk`~0���]�J� q){[t

gz"l hR~���l"z"q;k�y�hT|;q]� f"�

} q�j�y�t�igy"lH~

gh�iChR�2o"h[t

gv h.qVwxh

gi]�^�h"j�k�l"l;i`~>h��J��h"j

gi�qVk`~>h

gi[�J��q�{[t

gzVl)hR~���l�z;qVk�y;h[|;q.� f"�

} q�j�y�t�igy"lH~

gh�iChR�2o"h[t

gv h.qVwxh

giM��w�l)o"j.zVq�q�{[t��J�h"j�k�l"l;i`~>h��J��h"j

gi�qVk`~>h

gi[�J��q�{[t

gzVl)hR~ q�{Tt�� f"�� m

fEa@SX�y~�T�fEa�]w2~�T�zEz��2��W�Yy~�W�Y[a��+� ������� c�~��J��}[c�f � ������ 3 fxT�p!f!W�YyZ.��T�~�}ya[� ��� c'~�����a@Y[z!a � �����B^w@c�Y[z0f�f4���ta9Y[T�SXa����9� u�T�~�}ya���f4�<�Ja8VJ� =

�>�%���� 

Page 58: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� �����%��������� � �������� ���� ��� �����%�^��%��� ����� �����b�� ���������� �]�

��������� ��! � ��� �#"�$&%'$ ")(�* �+�-,.�0/��21�35461�! * !87:9;!��</=�?>0@��<�51A!B�C1��B� * ��@ED�1�3-�#�F><GH�-,.� * �?����1I� * D<�J ��>IK���!'!87fEa@SX�y~�T�fEa � w2~�T�zEz��2� �U� � ����� c'~��^��}yc�f � ����T� * f!a@p 5 pEc�S���w2c�Ytz4f ��� c�~��^��}yc�f � ���MLm�^�y^ 3 a�NetT�z0f!W�T�c>Skf!r =O JIJ 3QPSR���4)1�!B� * 1)>T�UR * 3CD�1 * �?����1�� * >��VGW��><XY�-,.�Z![�?1��8� * ��@ J ><3QPI�.><X * 1�3 c�\]7A^��_!B�?> J !�� * ��,.��� * G�-,.�`�.>��'Xa><Gb��,.��/ * !B�C1��cK��d4��<�feg�[���0�feg> * �?����1�� * >���! * !h!�X�1�3i3j���k�-,]1���lb\2mon a.cMd�_.e]Z.W�p�>�� * Gq�-,.�����XU4#���`><G * �f����1�� * ><�]!b@�>#��!`� J �?>_lb\2mon�W[X`_"\Ja]Y�7fEa@SX�y~�T�fEa � w2~�T�zEzR��� W�Yy~�W�Yya�f4���ta9Y[T�SXa �2� � u�T�~�}ya6r�f4���Ja 3 c'~�u'a<s�Yya[� ��� c'~�����a@Y[z!a � ���tL �B^�w2c'Y[z4ff4���Ja@Y[T�SXa �2� � u�T�~�}ya6r�f4���Ja_L VJ�y^ 3 a9e[T�z0f!W�T�c>SkfEr =u >�X J �I�?�U�-,.�5��>#>#��>�G`�-,.� J ><3QPI�.><X * 1�3&vwex, * Ky, * !��-,.�ZK 3W>�!���![�Hz * �{X|>I/���3C�6!�}Z�f> $]~ p��)! * ��@R���461�!B� * 1)>_��R * 3CD�1`X|����,.>I/]7;^fG;��,.������1������feg>h��>#>#�C!bK'3j>�!���!B�;�f> $ ~ p]�-,.�b!��<���2���cK���e * 3�3I,]12D����fex>1�K[KB�6X|��3W1�� * >�� J > * �.�C!k1��c/���,��d>��I� J �I�o!�>�3-�I� * >��Ve * 3i3��.>#�_4#�|K�><� ���<KB� 7 � ryW�z8W�z.Yyc�fd�ya2f!a)w�fEa9���c'p�f!ryadSXc�SXa9Y'f o

fEa@SX�y~�T�fEa � w@~�T'z!z ��� W�Yy~�W�YyaXf4���Ja@Y[T�SXa �2� � u�T�~�}ya6r�f4���Ja"� 3 c�~�u�a[� ��� c'~�����a@Y[z!a � ����L � ^ w2c'Y[z4ff4���Ja@Y[T�SXa �2� � u�T�~�}ya6r�f4���Ja_L VJ�y^ 3 a9e[T�z0f!W�T�c>SkfEr =u >�X J �I�?�`�H�����y�&� �&���������q��>#>��-!h><Gq��,.� J ><3QP���><X * 1�3�vcp&�6! * ��@HR]��4616![� * 12>��`R * 3-D�1�X|�<�-,.>I/]7�^��!B�C1��B�C!_e * �-,0�-,.����>2>�����,.��K 3W>�!���![�b�?> $.~ 7�^fGx�d�+���p]1�3i3x�-,.����>2>��-!�>�G]vF1����K�><X J ���?�8/.7� E N G N6�$-a@pEakT�pEadz0c'S>a8pEa9z!}y~�fEzDc��%a@V��Ja@pEW�S>a9Y<fET�fEW�c'Y|��c'pDf!r[ad��ETSUI N G;K>IJLrE���K�DW�JI�ACE[G8��L�� o 3 c�SXad�tc'~��2NY[c�SXW�T�~�z�_DWfErspxT�Y[�`c'S w@c<a�#sw2W�a@Y<fEzbp!a)T�~[T�Y[�sw@c�SX�y~�a2VXr[Tvu�aDeJa@a9YsZ�a9Yya@pxT�fEa9� ^<T�Y[�U_�a-T��y�y~�W�a)�Xf!ryaSXa@f!ryc`�{��c�pdfEryasw2c'SX�y}`fET�f!W�c�Y�c���c�Y[aUp!c�c�f8��c'pkT]�`a@Z'p!a9a>c�� 8 �.�]�.� T�Y[� 8 �]�.�.�]� oX� aUr[Tvu�aUT�~�z!cw@c�SX�y}`fEa9�{T�~�~ fEryaQpEc�c�f���c�p8T|�Jc�~���Yyc�SXW�T�~%_DWfEr�pxT�Y[�`c'S w2c�SX�y~�a2V w@c<a�#sw2W�a@Y<fEz�c��b�ya@Z�pEa@a 8 �.�]�.� os�Y[a�w@T�Y]c�e[z!a@pEu�a8fEr[T�f)^t��c'p�T|�tc'~���Yyc'S>W�T�~.v]_DW�f!r pxT�Y[�yc�S w2c�a)#sw2W�a@Y<fxz@^ T�z-Wfxz��`a9Z�pEa@adW�Y[w2pEa9T'z0a)z@^fEryadpEc<c�fEz�c��cv _DW�~�~ w@c�SXadw2~�c'z!a@pDT�Y[��w@~�c<z0a9pbfEc>f!ryad}yY[Wf�w@W�pxw2~�a8c��qf!ryakw@c�SX�y~�a2V|�y~�T�Y[a os�Yya�pEc�c�fUr[T�zUT�~�z!c�eta9a@Ymw2c'SX�y}`f!a)�L��c'psz0c'SXa }[YyW�u�T�p!W�T�fEa �Jc�~���Yyc�SXW�T�~�zUw@T�~�~�a9� G�O�PUFRQ]I�G;E#�E2��B LMF�ETFHGVK>IJD+^JT�Y[�|f!r[W�z���c'pF�`Wi�Ja9p!a9Y'f-�ya@Z�pEa@a)z o � rya)z0a8�Jc�~��<Y[c�SXW�T�~�zDT�p!a8c�� f!r[a8��c�pES �

�  ¡¢ ~ $ ¡£ ¤ � � o 8V=

3 [email protected]!ryada@VyT�SX�y~�a9zDz!}y�y�y~�W�a)� e<� � o � o.¥ W�YyW W�Y f!rya 5 � * 3 7 s f!a)z4f-z!}yW�f!a5¦ 8.8 < o8 oD� ryad�Jc�~��<Y[c�SXW�T�~ W�z�c'e`fET�W�Y[a9��e<�|f!pE}yY[w9T�f!W�YyZ>f!r[akz0a9p!W�a9z�c��x§ & o¨ oD� ryaXp!c�c�fEz8c��bf!ryW�z8�Jc�~��<Y[c�SXW�T�~�T�pEa>~�c`w@T�f!a9�{T�~�c�YyZ�T�w2}ypEu�a o>� c r[Tvu�aXT�wxr[T�Y[w@a�fEc�c�e`fxT�W�YT�w@c�pEp!a)w�f.p!a)z0}y~�f.��c�pdT��ya@Z�pEa@aU© ¨ �y^ WfdW�z8Yya9w@a9zEz!T�p!��f!c }[z!aUT|SQ}y~fEW��[~�aX�ypEa9w@W�z!W�c'Y ~�W�eypxT�pE� o$Fa9p!a8W�fFW�z�fEryakw2~�T�zEzh��Q]Dyª5«+¬­®�e[T�z!a9��c�YF¯U°²±�«+¬ �y¦ ³6´ <>= o

* Y fErya.��c�~�~�c�_DW�YyZ>fET�ey~�a'^`_bad�[p!a)z0a9Y'f�fEryadp!a)z0}[~fxz���c�p

�q�����y�2�)�0�

Page 59: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� ´ ��������� ����������������� ����� �

8 o � c�~��<Y[c�SXW�T�~�z�_DW�f!r�pEa9T�~JpxT�Yt�`c�S w@c�a)#sw2W�a@Y<fEz9^`c����`a9Z�pEa@a9z 8 �.�.�]��T�Y[� 8 �.�]�.�.� o¨ o � c�~��<Y[c�SXW�T�~�z�_DWfEr|w2c'SX�y~�a@VUpET�Y[�`c�S w2c�a�#Uw@W�a9Y<fEz9^'c�� �`a@Z'p!a9a9z 8 �.�.�]�y^ 8 �.�]�.�.�dT�Y[� 8 �]�.�]�.�.� o³ o�� V`�tc'Yya@Y<fEW�T�~B�tc'~���Yyc'SXW�T�~�z�� ¡

&��¡� ^`��c�pFz!c�SXad�`a@Z'p!a9a9z�c�� 8 �]�y^ 8 � �y^ ¨ �]� o� $ ~ - �� Z�TXbe]a 8 �.�.�]� � o � : ¨6¨ o �6³'z� Z�TXbe]a 8 �]�.�]�.� � o � : ³ � ´ o �)¨ z

Z<lJcbe[a�� 8 �.�.�]� ��� o � ^ � o ´ = ´ 8 ´ o : ´'z Z<lJcbe[a�� 8 �]�.�]�.� ��� o � ^ � o ´ = ´ ¨ )¨ o � ¨ z Z<lJcbe[a�� 8 �]�.�]�.�.� ��� o � ^ � o ´ = � ¨.�)¨ �'z

a��[c 8 �.� ��� o �[^ � o :[= ´ �T� za��[c 8 � � ��� o �[^ � o :[= ´ � za��[c ¨ �.� ��� o �[^ � o :[= ´ 8 � 8 z

_Dr[a@pEa��-W�z fEryab�ya@Z�pEa@a�c���f!ryab�tc'~���Yyc'SXW�T�~�^ $ ~ f!rya�z4fxT�p!f!W�YyZFu�T�~�}ya���c�pBfErya�W�f!a9pET�f!W�u�a��ypEc`w2a)z!z9^<�dW�z f!ryaY�}ySQeta9p�c�� W�f!a9pET�f!W�c�Y[z fEc�w2c'SX�y}`f!a-c�YyaDpEc�c�f�T�Yt��� W�z�fEryaDfEc�fET�~yfEW�SXaFc��JfErya-w@c�SX�y}`fxT�f!W�c�Y o%� rya)z0aa@V`�ta9p!W�SXa@Y<fET�f!W�c�Y[z�r[Tvu'a.eJa@a9Y��ta9p0��c'p!SXa9��c�Y�T �-a)w8_bc'p�-`z0fET�f!W�c�Y|_DW�f!r �� ´���c��%~�c`w@T�~ SXa@SXc�pE� o

��������� ����� �"!�#%$'&)(+*-, .0/�&�12#� r[a.SXa@f!ryc`�yzDc��qfEryW�z���T�SXW�~��|T�p!a8e[T'z0a)�|c'Y TQfEa9z0fF_DryW�wxr]T�Y[z0_�a@pxz

354 cUpEc�c�f�W�Y f!r[adW�Y<f!a9p!u�T�~ o3�* �yc�Y76 f -�Yyc�_ o

* ��_�aXT�p!a>W�Y{fErya>�[pxz4f�w9T�z!a�^ _�a>pEa@SXc�u'a�fEryaUW�Y<fEa@pEuvT�~ o s-fErya@pE_DW�z!a�^ fEryaUW�Y'fEa@pEu�T�~�W�zdz0�y~�W�f0f!a)��W�Y<f!cf4_�cUz0}[eyW�Y<fEa@pEuvT�~�z9^<f!cU_DryW�wxr _badT��[�y~��|f!rya8fEa9z0fDp!a)w2}ypxz0W�u�a9~�� o

� rya8fEa9z0fFW�SX�y~�a@SXa9Y'fEa9� eJa@~�c�_ }[z!a.f!rya8��}yYtw�f!W�c�Y

8�9 "�$]~)% � ( � \ : "�$]~ ( \��<; = ¢?>

\ :7@ =BA "-$ ~ ( \� ¤ � =_Dr[a@pEaC: W�zsT��Jc�~��<Y[c�SXW�T�~Dc��k�`a9Z�pEa@aD� o � a{w@T�Ymwxrya)w - f!rtT�f|W�� 8 9 "�$ ~ % � (FEHG ^�f!rya W�Y<f!a9p!u�T�~I $ ~ ��� %'$ ~)J ��K%�`c�a9z�Y[c�fFw2c'Y'fxT�W�Y T>pEc�c�fDc��L: o

MONOPOQSROTVUSPOQSWOXOTSYOZV[SQ\MVUV]^PS_a` bfEa@SX�y~�T�fEa � w2~�T�zEz ��� f4���Ja@Y[T�S>a �2� � u�T�~�}ya6r�f4���Ja � Vyw2~�}[�`a]��w2c'Y[z4f�� L �B^�w2c�Ytz4fmf4���Ja@Y[T�S>a�2� � u�T�~�}ya6r�f4���Ja_L VJ�y^yw2c'Y[z0f�f4���Ja@Y[T�SXa2��� � u�T�~�}ya6r�f4���JaL p =

c���!B� * Go��,���4�>edFfLg"�I\ih Ykj�/#>#��!��.>#��K�><���?1 * �T1�zi����1�3Q}`��>#>��'7h^fGo�-,.�k����![��3C� * ! J >�! * � * D<�<p;�-, * ! * !�-,.�_K�1�!���7�l`��,����8e * !��8p�ex�_K�1��I�.>#�;! 1[P�7�c * !o1H��� * D�1�� * 1I�?� J >�3 PI�.>�X * 1�3-p%��\ * !`��,.�K����.�f���h><Gx�-,.�4�>ed�p]1��c/%Y * �-!o��1#/ * �6!

�>�%���� 

Page 60: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� �����%��������� � �������� ���� ��� �����%�^��%��� ����� �����b�� ���������� � �

fEa��X�y~�T�fEa � w2~�T�zEz � s � ^.w2~�T�zEz 7 � �U� � � u�a)w�f!c'p �7 ��T� � c�w9T�fEa]��w@c�Y[z0f � s � L �B^ w2c'Y[z0f 7 LT[^ w@c�Y[z0f 7 L eB^ w2c'Y[z0f 7 L a9�[z!W�~�c�Y =

l`�I� J �I�q15!��8���2���cK��>�G J > * ���-![p.!B��Ky,0��,]1I�h��,.�_���[1�3c��>2>��-!�>�Gb�-,.����� * D�1�� * 1I�?� J ><3QPI�.><X * 1�3`c * ��-,.� * ���f���8D�1�3���� h�X��]p�1�����1I��1�/ * !B�C1��cK���3j��! !_��,]1���a.cMd�_.e]Z.W�p#GW��>�X ><�.�_>�Gq�-,.��!�� J > * ���-!87fEa��X�y~�T�fEa � w2~�T�zEz � s � ^ w2~�T�zEz 7 � W�Yy~�W�Yya��U� � � u�a)w�fEc�p � 7 ���� � c`w@T�f!a[��w2c'Y[z0f � s � L �B^Bw2c'Y[z4feJcvV �7 �:L eB^[w@c�Y[z0f 7 L a@�[z!W�~�c'Y =

c;,.�`!�1�X|��4��I�oe * ��,F1U4�>ed X�7��� � �������������������� �!��"$#&%'�)(*�+�,�.-0/1������ ���32 4�().650&�1�!2�k. $ &�(7980: :�� : ~ J<;�;=; J :?> $ >A@CBED 1Z� 1 ~ JF;=;�; J 1 � $ �HG 8�:�I1J�KLJNMPO B JN� Q @ MPRSJCT D 8=UNVW8�8k� @CBXD �VW8=RYKL8=Z�:WQ\[]8�MPON^`_ba�8 3 OcMP[N8=R3:Y8=V�� @ :YVWQ\deJCTi: @NBED 1'QfRb:Wa�8�� @ :YVWQ\deJCT

: %�$ : % �[�B� %'$ ;0g�h > : % 1 %�$ 1 % �[�[� %�$ ;ji�h > 1Q B :Ya�8�� J B JN� Q @ M G @ RYQfR�^ * :ka @ R1:Ya�8+TlJ]M\MPJ?I�Q B U&TlJ]VY���mnnnnnnnn

o

: ~ p 1 ~ p; ^ ^ ^ ; ^ ^ ^; : ~ ; 1 ~: > ; 1 � ;^ ^ ^ ; ^ ^ ^ ;p : > p 1 �

qsrrrrrrrrt

_baE8 ¥ 8=u�JNv�:YQ @CB JCTL: @CBXD 1�QfR1:YaE8 G Q\[ @ VYQ @ :W8wKLJNMPO B JN� Q @ Mx 9=y z "�$ %3{ ( � : "-$ ( 1 "|{ ( � : "|{ ( 1 "�$ ($ � { �  ~�} ¡ y ~ }

;=h >c�9=y z¡ y ~ $ ¡ { ~

@NBED Qs:jR�� @ :YVWQ\deQPR� 9=y z � mnno �

9=y z~ y ~ ;=;�; �9=y z~ y;=h >^^^ ^^^

�9=y z;=h > y ~ ;=;�; �

9=y z;=h > y ;=h >

q rrt

I�aE8�VW8 �d��� �?� " � % � ( ^

�q�����y�2�)�0�

Page 61: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� : ��������� ����������������� ����� �

��� ����� 4�*��2� ,?*-,?().�� .0$ &�(MONOP\Q\ROT��O_ ] �VXVUSQ�a` b

:W8�� K�M @ :W8 � Z0M @ RWR � � �� Z0M @ RWR ��� �+�S7 � � � � �T� ¥ 8�u=JNv6:"�|Z0J B R3: ��� JNMPO��S8 B RY8 � ��� L �� Z0J B R�:��� JNMPOT� 8 B R38 � �2�:L � =

c;,.� �h���<>#���;X�1I��� * d�>�G��U1��c/��]7:W8�� K�M @ :W8 � Z�M @ RYR �2� �+�S7 � � @ : 3 :WVYvXZ�: � a @NB -N8=M � :�OcKL8 BE@ � 8 ���9� [ @ MPv�8)rb:�O KL8.� ��T� ¥ 8�Nu=JNv6:"�|Z�J B R3: � L � =c;,.� �h���<>#���;X�1I��� * d�>�G��U1��c/��67�c;,.������!B��3C� * !h1���1����#��3cX�1���� * dc7:W8�� K�M @ :W8 � Z0M @ RWR � ���� Z�M @ RYR ��� �U� 7 � � � � �T� 3 OcM\[]8=R3:Y8=VV� Z0J B R�: ��� JNMPOT� 8 B R38 � �2� L ��Z�J B R3: ��� JNMPO��S8 B RY8 � ���:L � =c;,.�_R2P�3CD<��![�f����X�1��-� * d�><G��Z1��c/���7:W8�� K�M @ :W8 � Z0M @ RWR � Z0M @ RWR � � � � �+�S7 � � � � ��� 3 OcMP[N8 R�:W8�V"�|Z0J B R3: ��� JNMPO��S8 B RY8 � ��� L ��Z�J B R3: ��� JNMPO��S8 B RY8 � ���:L � Zja @ V�Z =c;,.�_R2P�3CD<��![�f����X�1��-� * d�p�e * �-,0�-,.��X�1 d * X|��X /#� @2���B�_K�>2���UK * ������1�����,��d4#��@ * �I� * ��@.7:W8�� K�M @ :W8 � Z�M @ RYR6� ���� Z0M @ RWR ��� �+�S7 � � ��� �T� 7 J]� K @CB QPJ B �|Z0J B R3: ��� JNMPOT� 8 B R38 � �2�:L � =c;,.��K�><X J 1�� * >��ZX�1I��� * d�>�G;1 J ><3QP���><X * 1�3��c7

�>�%���� 

Page 62: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� �����%��������� � �������� ���� ��� �����%�^��%��� ����� �����b�� ���������� �

� ��������� �

�������������������� � � ��!#"$�&% ���&��'

( *) + #��#�(*-����0�_baE8�O @ VY8 D 8*, B 8 D G O @ Z0Jc8*-'Z�Q\8 B : @NBED @CB 80d6KLJ B 8 B : ^.��32i�32 4�*��2� ,?*-,?().�� .0$ &�( /

NOPOQSROT10OP\_OP / ` b2436587:9<;62=3 �?> 9<;A@4@BDC > 9<;A@4@FE � @42*GIH > 2 «KJMLNJ 5

^fX J 3j��X|�����?1�� * ><�²><G�X|>��.><X * 1�3 !B7�c;,.�hX�>��.><X * 1�3 K'3W1�! !�,.1�!`�?>)e��f��X J 3W1��?� J 1���1�X����?��� ![pPOU�-,.�1�� * ��,IX|��� * KK'3W1�! !o>�Gq�-,.��K�>#���ZK * �����-!h1���/RQZ1ZK�><���C1 * ������><G * ���o�?>d!B�?>����k��,�� J >)eg����!B7.��32i��� S &�().��i$ (�,95 #UT & 5 , � � &�(�,?().0#� J RYRYQ G Q\MPQs:WQ\8 R @ VW8 �WVWX �<lNY [Z �W\ X ��l Z �W\ ^=^�^ /

NOPOQSROT1]\RO__^ / ]S[\XSZ\Na` b2436587:9<;62=3 �`> � ;6Gba?C > 9<;c@=@edgf > � ;6G � @42*GIH > 2 �ihNL ;A58j > 3 � 7khPI�]1�X * K`� d J >��.����� 7 /

NVP\Q\ROTS_OM/XSZ\Na` b

2436587:9<;62=3 �`> � ;6Gba?Clj L 2FmnfnopC > 9<;c@=@ � fj L 2 � @42*GIH > 2 L H:583 � 7q���X|��� * K`� d J ><�������'7�c�>U4#���6!��8/�e * ��,0K�1I�I� * ><�UG-><��-,.��X|><X|�����'7

rirtsvucwyx=z|{

Page 63: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

´]� ���������� ����������������������

.��32i��� � &�(�&�* $ �i� & 5 1�, 5 # /NVP\QSRVT! VQ\XSZa` b

2436587:9<;62=3 �?> 9<;A@4@ « � @42*GIH > 2 ¬ 9<3 �u 3W1�! !o! J �8K * G�P * ��@²��,.��3j� d * K�><@)��1 J , * K�><�B/#����><�0��,���X�>��.><X * 1�3 !�><Gq��P J �#"c7 /

NVP\QSRVT!$VQ\XSZa` b2436587:9<;62=3 �?> 9<;A@4@ « � @42*GIH > 2em9<3 �u 3W1�! !|! J �<K * G�P * ��@ ��,.��/#� @2���B� * �.D�����!��Z3j� d * K�><@)��1 J , * KU><�B/#���U><�+�-,.��X|>��.><X * 1�3 !Z><GH��P J �%"c7� >'& �%( * G�� * �-,.���H�-,.��/#� @2���B��>�G)�2§*))��§<§ " � > ( & �2§*))��§<§ " �%( ( ><� �)§*)2��§8§ " � > ( � �2§+)2��§<§ " �,( (1��c/H�,( * !b@)����1I�?���_�-,]1��U� > G->����,.� * ��D<��� !��o3j� d * K�><@)��1 J , * K�><�B/#��� * �[email protected] /

NVP\QSRVT!-VQ\XSZa` b2436587:9<;62=3 �?> 9<;A@4@ « � @42*GIH > 2/.9<3 �u 3W1�! !F/��10I� * ��@ ��,.�FG-><3�3j>)e * ��@w><�B/#���F><� ��,.�FX|><�.>�X * 1�3 !Z� > 1��c/ � (�2 � > & � ( * Gd� * ��,.����-,.�d/#��@)���[�_><Gi�2§*))��§<§ " � > ( 3 �2§*))��§<§ " � ( ( >����)§*)2��§8§ " � > ( � �2§*))��§<§ " � ( ( p�><�k�-,.�'PT1�����8���)1�31��c/U� > * !`@2���[1��f���`G-><�5��,.� * ��D<����!��_3j� d * K�> J @2��1 J , * K>��[/#��� * ��@�7^f��1Z!��8���2����K��5><Go/��8K'����16! * ��@X|><��><X * 1�3cG-><��-, * !`><�B/#���Bpc��,.��/#��@)���[�`1���� * �cK ���[1�! * �[email protected] /

NVP\Q\ROT5476!-VQ\XSZa` b2436587:9<;62=3 �?> 9<;A@4@ « � @42*GIH > 2 ��8 .9<3 �

u 3W1�! !/#��0I� * ��@���,.�G-><3�3W>)e * ��@�>��[/#���_>��A��,.�X|><�.>�X * 1�3 !h� > 1��c/|� (�2 � > & � ( * Gq� * ��,.�����-,.�X�1 d * X�1�3�><Gg�-,.�_/�� @)���[��!�>�G;��1�Ky,FD�1�� * 1�4�3j� * !�!B��� * K8��3QPH@)����1��f��� * �Z� > ��,]1�� * �|� ( p]>����-,.�'PU1�����<�#�21�3&1���/5� > * !b@)����1��f����G-><��-,.� * �.D�����!��h3j� d * K�> J @2��1 J , * Ko>��[/#��� * ��@5����0I�.�</²4[P��-,.��/#��@)���[��7( :9 + % �j��-0� ���.-0���,�<; #������#�(*-0�&�0�_baE8�O @ VY8+VW8�K�VW8=RY8 B :Y8 D G O @ RYJNVY:Y8 D MPQPR3:kJCT.� J B J]� Q @ MfR=^.������32 4�*��2� ,?*-,?().�� .0$ &�( /

NOPOQSROT105 VP\QSRa` b2436587:9<;62=3 �?> 9<;A@4@FE C > 9<;c@=@>= � > 9<;c@=@ «+¬ J 9 h

^f���?���'G�1�K�� G->���X|��3C� * D�1�� * 1I�?� J ><3QPI�.><X * 1�3 !B7�c;,��b��P J �iQ * !g��,.�;��� J ����!����.�?1�� * >��>�G.�-,.� J ><3QP���><X * 1�3zj� @.7x1�3 * !B�g>�G�X|><�.>�X * 1�3Q}<7�c;,����P J �@? * !`��,.�K'3W1�! !�! J �8K * G�P * ��@���,.�`><�B/#���h><����,.��X|><��><X * 1�3�!87

�>�:r��� 

Page 64: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� � � � � �� � � �� ����� � � � � ��� � � � � ���� ��� � ��� �� ��� ����� ´ �.�������� S &�().��i$ (�,95 #UT & 5 * !��'. $����.5 $ � .%, � &�����(�&)*-$ �i� #� :SZ�JNv�M D G 8��AY�� � Z ����� ^�^�^.�������� ��� �i*��2� ,� Y X � � � Z�� lc\���� V n�� �� V \ Z � Z� "�� X �<l�� � � ����� Z h �WVWX �<liY [Z �W\�� � V �"!#! "�� X%$� V \ Z � Z� "�&���� V � Z0 ��������"�� X ! h('�� Z ���'"�� X !)!)&���� $

Y X � l � Y X g4Y X �F����* h ,+ ����-�-N���* j.&���� \I\ g � �0/21���31�/ $ � j $&���� \0/ g � �0/54631���3�1�/ $ � j $ � ������� � \�\87 � ��I\�\���� Z X0� ���� � h \9/ 7 � ��I\9/���� Z X0� � $

v G � { � J {�: J " � ( % v���� { � ( J {�: J " � (&���� \�3 g|\�\1[\9/�j $ ��������v\�3���� Z X0� � $

{ � ( J { � J ";: (=< {�: J "�: (\�3�1�7 \9/�>4\�\ $ ��������v\�3���� Z X0� � $";: (=< { � ( J ";: (?< {�: J ";: (\�3@7 \�\�>=\9/ $ ��������v\�3���� Z X0� � $

" �� (?< { � ( J { �\�3�7 \�\�>7g \�\1 \9/j $ ��������v\�3���� Z X0� � $" �� (?< { � ( J " �� (?< {�: J " �� (\�3�7 \�\�- \0/ $ ��������v\�3���� Z X0� � $

{ �2A J { � (<{�: J { � ( J { �

<{�: J {�: ( J { � J "�: (?< {�: J " � (\�3�7 \�\)1 \9/5-63 $ ��������v\�3���� Z X0� � $

rirtsvucwyx=z|{

Page 65: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

´ ¨ ���������� ����������������������

"�: (=< { � ( J { � J "�� (=< {�: J "�� (\�3�7 \�\ >=\9/5-�"�� X g 3 j $ ��������v\�3���� Z X0� � $" � : (?< { � ( J { � J " �� (?< {�: J " �� (\�3�7ig|\9/,1[\�\ j-?g \9/�>=\�\�-53 j $ ��������v\�3���� Z X0� � $

{ ��� J " �� (2< { �2A J { � ( < {�: J " �� ( < { � ( J " ��� (2< { � < {�: J " � : ( < {�: ( J " ��� (2< { � J " ��� (2< {�: J " � : ( � ������� g \9/,1 \�\ j- \9/,��� Z X%� � $

"�" { � ( J {�: J " � (�( J "|{ � J {�: J " � (�('(�< "|{ � ( J {�: J " � ('(��� Z ?h � +AZ �[\ Z ���6�MY5� X ��� Z \ Z � � ����l Z � � X � V � +cZ X ���6Y * X Z � ���<� ���MYC�5��� Z n�

( �� + % �j��-0� ���.-0���,���)���,% �j�,�&�����7980:�vERkZ�J B RYQ D 8�V @ RYOcR3:Y8=� JCT;� J �+UN8 B 8�VWQfZSKLJNMPO B JN� Q @ MfR

���� ���: ~�"�� ( � � = i~ ¢ ~�� ~ y ~�� ~ y ~ "�� (^^^: � "�� ( � � =��~ ¢ ~ � � y ~�� � y ~ "�� (I�aE8�VW8

"! � " � ¡ y ~ ( @ VW8 K @ V @ � 80:W8�VjR � QfR @ KLJNQ B :kJNT9:Wa�8�K�VWJ$#�8=Z0:YQP[N8w[ @ VWQ\8�:�O&%('*),+ JCT D QP� 8 B RYQ\J B � _ba�8�[N8 Z�:WJNV�Tlv B Z0:YQPJ B R.- ¡ "�� ( � " � ¡ y ~ "�� (�( ~ ¢ ~ y0/0/0/sy = � @ VY81VY8=UNv�M @ V�Tlv B Z�:YQPJ B R.J B %�Q BED 8=KX8 BED 8 B :1 RY8�8H¦ ³3254761JCT,:Ya�8�K @ V @ � 80:W8�VjR ! ^_baE8 8�MPQP� Q BE@ :YQPJ B KEVYJ G M\8=� Z0J B R3QfR�:jR Q B :Ya�QfRZ @ RY8 Q B , BED Q B U RYJN� 8 B 8=Z�8=RWR @ VYO @CBED R3v6-�Z�Q\8 B :Z�J BED Qs:WQ\J B RSJ B :Wa�8&K @ V @ � 80:W8�VjR ! �98 � ¡ y ~$: R3vEZja :Ya @ : :Wa�8 8�; v @ :WQ\J B R : ~ � G=< �B�[� < : � � G a @ [N8 @Z�JN� � J B VYJcJN:bQ B % ^� B :Ya�8bZ0M @ RWRYQPZ @ McZ @ RY8 - ¡ 8 � : QfR,:Ya�8b[]8=Z�:WJNV,JCT @ M\M :YaE81� J B JN� Q @ MfR JCT D 8�U]VY8=8�� ¡ @NBED %?>@) � ^�_ba�8B 8=Z08 RYR @ VWO @NBED RYv6-�Z0QP8 B : Z0J BED Q\:YQPJ B J B :Ya�8&K @ V @ � 8�:Y8�VjR ! �A8 � ¡ y ~$: R3vEZja :Wa @ : :Ya�8&a�JN� J]UN8 B 8�JNvXRKLJNMPO B JN� Q @ MfR : ~ < �[�B� < : � a @ []8 @ Z0J]� � J B VWJcJC:'Q B % �B) � QfRDC_§FEHG � 8a: ~ < �[�[� < : � : � G I�aE8�VW8

I7J:r�ILK

Page 66: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� ��� ��� ���� � ������� ���!���/����� � ��� ��������1����� �� ��� ������ ´)³C_§FE G � QPR :Wa�8����7�������1����� ��������� � ��� :������!� ��� � ^"!�VWJN� @ U]8�J]� 8�:YVWQPZ�KXJ]Q B :wJCT [cQP8�I I$8 @ VW8�MPJcJ$#cQ B UTlJ]Vb:Ya�8�RY80:kJNT,K @ V @ � 8�:Y8=VWR ! � 8 � ¡ y ~$: R3vXZjae:Wa @ :b:YaE8�VW8�80d6QPR3:WR&%(' % I�Qs:Wa � ~ � ¡ y ~ � ¡ y ~ 8 � : � G TlJNV£ � G=< �[�B� < �`^ _baEQPRb� 8 @NB R$:Ya @ : ! QPR1:Wa�8+K�VYJ3#�8=Z0:YQPJ B JNT9:Wa�8�KXJ]Q B : 8 ! < � : JNT9:YaE8 ����� ��� � ���1�)����������*�

+-,=�/. 8 ! < � : ' ) = i10 ;�;�; 0 ) =�� 0 %32= � ~ ¢ ~ �

¡ y ~ � ¡ y ~ 8 � : � G 2 £ � G < �[�B� < �542�6 8 D 8 B JC:W8 G O

7 >18 + , 9 ) = i10 ;=;�; 0 ) = � <7 ( 8 + , 9 %T�:Wa�8&:�I$J BE@ :Wv�V @ M�K�VYJ3#�8=Z0:YQPJ B R=^�_ba�8 Q\� @ U]8�JNT:+;, G O 7 > QfRw:Ya�8 RY80:+JCT K @ V @ � 80:Y8=VWR ! TlJNV+I�a�QfZja:Wa�8&RYO6R�:W8��)a @ R @ VWJ JN:=^k_ba�8�Q\� @ U]8 G O 7 (�JNT @ KXJ]Q B :wJCT<+;, QfR @ VWJcJC:kQ B % JCT.:Wa�8 @ RYRYJ6Z0Q @ :Y8 DRYO6R�:W8�� ^`_bacvER�I18wa @ [N8 :Ya�8+TlJ]M\MPJ?I�Q B U D 8y, B Q\:YQPJ B 1 RY8�8H¦ ¨ � 4L6�=mb3?> L j 2=j J LA@CBEDFBHGJI ���'��� �����:Kw� 7 > 8L+;, : �<M � K �E �1NO��� ���1� � �O�1��P ��N� � ���H ��Q�� ��� �����SR��� ��Q � ��T� � � �1��1��� ��LU �EV�1��� �7��� �HN �`VW8=RYv�M\: @NB :#� � : ~ < �[�B� < : � ��� ��,% �WM����EV� � � ��� ���) ���C_§FET,�8a: ~ < �[�[� < : � : �� B J]V D 8=V1:YJ G 8�Q B :Ya�QfRkZ @ RY8 I18wQP� KXJ R38w:Wa�8+TlJNMPM\J?I�Q B U'Z0J BED Q\:YQPJ B R 1 R38=85¦ ¨ ´54L6�=Xnh 7 J 2 � 3P@=3W@ @FBYDZB o

[ � % �E �"� :������� � � ��� ��� ���������H ��7������������H�'�\ �^]FN �� �L_���� �� � ��`��� �����a�- ¡

< £ � G=< �[�B� < ��� � � ���:� ��� �E�N,��� � � � ���1��� �b� ��� �"� ����� � � � % �c �1d ��e_ � � � ����(� ���!� ��%� � ! P ��N�f��T1� ��� : ~ < �[�[� < : � N �T � �g�1���e�/��� :�+��� ��� %hP ���`�Z� � �

��N���� ��Q � ��� �����aiR* ��� : > < �[�B� < : � U�N����� �kj � ����� � ���� :� � � �1����� ���l ���!�� �����a��_bacvER :Ya�8wR3O6R3:Y8=� : ~ � ;=;�; � : � � G a @ R @ RYJNMPv6:YQPJ B Q B % QsT @CBED J B MPO Q\T C_§FET,�8a: ~ < �[�[� < : � : � G ^_baEQPRbU]8 B 8=V @ M\QPu�8 R v BED 8=V1:Ya�8�Z�J BED Q\:YQPJ B R&m�^ ³E^ ¨ :Ya�8 D 8*, B Q\:YQPJ B JCT9:Wa�8�Z0M @ RWR3QfZ @ M VY8 R3v�M\: @NB :1J?[]8�V ) �:WJ JC:YaE8�V�K�VWJ$#�8 Z�:YQP[N8w[ @ VWQ\8�:YQP8=R=^_ba�8 @ KEK�VYJ @ Zja�8 Rb:YJ Z0J]� KEv6:Y8 8�� 8=Z0:YQP[N8�MPO :Ya�8 VW8=RYv�Ms: @CB : @ VY8 G @ RY8 D J B � @ :WVYQ\d Z0J B R�:WVYvEZ0:YQPJ B RI�aEJ]RY8 D 80:Y8=VY� Q BE@CB :`I�QPM\M�U]Q\[]81:Ya�8�VW8=RYv�M\: @CB :`JNV @wB J B�n :WVYQP[cQ @ M6��v�M\:YQPK�MP8N^`_ba�8 R38bVW8=RYv�Ms: @CB :`� @ :YVWQfZ08=RZ @CB G 8SZ0M @ RWRYQ1,E8 D Q B :WJ�:�I$J�� @ Q B T @ � QPMPQ\8 R�=,:Ya�8wZ0M @ RWR`JCT5o`���b� �������k� ��� ����1�� I�a�QfZja'UN8 B 8�V @ MPQ\u=8b:Ya�8Z�J B R3:YVWvEZ0:YQPJ B JCT5pcOcM\[]8=R3:Y8�V 1 � 26³Om RY8�8�¦ ´)´5476`:WJ�:YaE8 �&v�Ms:WQ\[ @ VYQ @ :W8 Z @ R38 @CBED :Ya�8+Z0M @ RWR JNT ����q*���� ������ ��� ����1��1UN8 B 8�V @ MPQ\u=Q B U�:Wa�8�Z0J B R�:WVYvXZ�:YQPJ B JCT � ^ ¥:r u=JNv6: 1 � �� RY8�85¦ 4L6$:WJ :Ya�8��&v�Ms:WQ\[ @ VYQ @ :W8+Z @ RY8N^

rirtsvucwyx=z|{

Page 67: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

´�� ���������� ����������������������

.������32 � �����),?#�.%,95�� �"$��L, * � .65 $"� ,?#6 8�Z�J B RYQ D 8�Vk:Wa�8�Z�J B R3:YVWvEZ�:WQ\J B D v�8�:WJ � @ Z @ vEM @ OJCT @ VW8=RYv�Ms: @CB :k� @ :WVYQ\dTlJ]V�� J ��KLJNMPO B JN� Q @ MPR: ~ �[�B� < : � Q B � [ @ VYQ @ G M\8 R I�a�QfZja UN8 B 8�V @ MPQ\u=8=Rw:YaE8^pcOcMP[N8=R3:Y8=V�� @ K TlJ]V�:�I$J KXJ]M\O B J]� Q @ MfR�Q B J B 8[ @ VYQ @ G MP8N^7980:�� ~ < �[�[� < � � � J �k[]8=Z0:YJNV1R3K @ Z08 R U]8 B 8=V @ :Y8 D G O � � �/. ��� <� '��

¡4 I�a�8�VW8�� ¡ QfR :Wa�8 RY80:JNT,8�dcKLJ B 8 B :WR�RYKX8 Z0Q_,E8 D a�8=VY8 @ T :W8�V

�¡ �/.��

¡ y > < �¡ y ( < �[�B�b42�7980:�� G 8H:Wa�8 []8=Z�:WJNV�RYK @ Z�8HUN8 B 8�V @ :W8 D G O @ MPM�:Wa�8 � J B J]� Q @ MPR'JNT :Wa�8 KLJNMPO B JN� Q @ MfR : ¡ ��� � TlJNV�

¡'��

¡ ^`_ba�QfRbR38�:1JNT � J B J]� Q @ MfR$QPR D 8 B JC:W8 D G O �� � 8 ��� : ����� ^56 8 D 8y, B 8S:Wa�8 TlJNMPM\J?I�Q B U�� @ K=

� 8 � ~ 0 ;=;�; 0 � � 9 � 1 m6^ � 68�� ~ < �[�B� < � � : �9 �  ¡

¢ ~ :¡�¡ �

_baE8w� @ :YVWQsd"! @ RWR3J6Z�Q @ :Y8 D :YJ � Q B :YaE8�� J B JN� Q @ M G @ R3QfRbJCT#� ~ 0 ;�;=; 0 � � @NBED � QPR$ i% &(' )

$ �% &(' )

������ �����

��� g;;;����*mnnnno; ;; ;��� i,+ g : ~ ;�;=; ;�;=;0;�;=;�;=;�; ��� � + g : � ;�;�;; ;; ;

q rrrrt �

� B :Wa�QPR9� @ :YVWQ\dSJCTc:�OcKX8�� @ Z @ v�M @ O Q\T0� ~ < �B�[� < � � @ VY8�:YaE8 D 8�U]VY8=8=R JNT]:Wa�8 KLJNMPO B JN� Q @ MPR : ~ < �B�[� < : � @NBED�- � � ~ J �[�B� J � � �:� :Ya�8+RY80: �� QfR :Wa�8+R38�:1JNT @ MPML:Ya�8w� J B J]� Q @ MfR$JCT D 8=UNVW8�8/. - Q B :Ya�8[ @ VYQ @ G MP8=R % > < �B�[� < % � @CBED �¡ QfR1:Ya�8�RYv G RY80:�JCT :Wa�8�� J B J]� Q @ MPR$JCT D 8�U]VY8=8 - � �

¡ ^56 8�Z @CB Zja�8=Z�#:Wa @ :�:Wa�8�acOcKXJN:Ya�8 R3QfR m6^ �E^ ¨ @ VY8wI18�MPM VY8 R3KL8=Z0:Y8 D ^.�������� 0 50&21�,?�k.0$���,F50,?#%!��'. �i().6 8�Z�J B RYQ D 8�Vk:Wa�8�Z�J B R3:YVWvEZ�:WQ\J B D v�8�:WJ � @ Z @ vEM @ OJCT @ VW8=RYv�Ms: @CB :k� @ :WVYQ\dTlJ]V�� J ��KLJNMPO B JN� Q @ MPR: ~ �[�B� < : � Q B � [ @ VYQ @ G M\8 R I�a�QfZja UN8 B 8�V @ MPQ\u=8=Rw:YaE8^pcOcMP[N8=R3:Y8=V�� @ K TlJ]V�:�I$J KXJ]M\O B J]� Q @ MfR�Q B J B 8[ @ VYQ @ G MP8N^7980:�� ~ < �[�[� < � � � J �k[]8=Z0:YJNV1R3K @ Z08 R U]8 B 8=V @ :Y8 D G O � � �/. ��� <� '��

¡4 I�a�8�VW8�� ¡ QfR :Wa�8 RY80:JNT,8�dcKLJ B 8 B :WR�RYKX8 Z0Q_,E8 D a�8=VY8 @ T :W8�V

�¡ �/.��

¡ y > < �¡ y ( < �[�B�b42�

I7J:r�ILK

Page 68: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� ��� ��� ���� � ������� ���!���/����� � ��� ��������1����� �� ��� ������ ´?m

7980:�� G 8H:Wa�8 []8=Z�:WJNV�RYK @ Z�8HUN8 B 8�V @ :W8 D G O @ MPM�:Wa�8 � J B J]� Q @ MPR'JNT :Wa�8 KLJNMPO B JN� Q @ MfR : ¡ ��� � TlJNV�¡

'��¡ ^ _baEQPR�RY80:kJNT,� J B J]� Q @ MPRbQfR D 8 B JC:Y8 D G O �� � 8 ��� : ����� ^ 6 8 D 8y, B 8+:Ya�8�� @ K 1 m�^ � 6�=

� 8 � ~ 0 ;=;�; 0 � � 9 � 1 m6^ ¨ 68�� ~ < �[�B� < � � : �9 �  ¡

¢ ~ :¡�¡ �

_baE8w� @ :YVWQsd"! @ RWR3J6Z�Q @ :Y8 D :YJ � Q B :YaE8�� J B JN� Q @ M G @ R3QfRbJCT#� ~ 0 ;�;=; 0 � � @NBED � QPR$ i% &(' )

$3�% &(' )

������ �����

��� g;;;� � *mnnnno; ;; ;��� i,+ g : ~ ;�;=; ;�;=;0;�;=;�;=;�; ��� � + g : � ;�;�;; ;; ;

q rrrrt �

� B :Ya�QfR�� @ Z @ vEM @ O � @ :WVYQ\d Q\T � ~ < �[�B� < � � @ VY8S:Ya�8 D 8=UNVW8�8 R JNT9:YaE8wKLJNMPO B JN� Q @ MfR : ~ < �B�[� < : � @CBXD- �-� ~�J �B�[� J � � � � :YaE8 RY80: �� QPR :YaE8 RY80:�JNT @ MPM�:Ya�8 � J B J]� Q @ MPRwJCT D 8�U]VY8=8�. - Q B :Ya�8[ @ VYQ @ G MP8=R % > < �B�[� < % � @CBED �¡ QfR1:Ya�8�RYv G RY80:�JCT :Wa�8�� J B J]� Q @ MPR$JCT D 8�U]VY8=8 - � �

¡ ^56 8�Z @CB Zja�8=Z�#:Wa @ : :Ya�8�a OcKLJC:Wa�8=RYQPR1m6^ �E^ ¨ @ VW8�I18�MPM9VW8=RYKX8 Z�:Y8 D ^ � B :Wa�QPR VW8=RYv�Ms: @CB : Z�J B R3:YVWvEZ�:WQ\J B Q\: � @ O a @ KEKX8 B:Wa @ :&TlJNV R3KL8=Z�Q1,LZ�[ @ MPv�8=R&JCT�:Wa�8 Z0Jc8y-�Z0QP8 B :jR�JNT�:Ya�8 Q B K�v6: KXJ]M\O B J]� Q @ MfR :Wa�8 � @ :YVWQsd�� G 8 Z0J]� 8RYQ B UNv�M @ V ^ � B :Wa�QfRkZ @ R38 @CB JC:YaE8�V�Z0J B R�:WVYvXZ�:YQPJ B ��vXR�: G 8 @ K�K�MPQP8 D ^�S8�VW8�QPR @CB 80d @ � K�MP8+JCT RYvEZja @ � @ :YVWQsd JCT`R3QPu�8���� : 0 ��� : Z0J]� Q B U TlVWJN� :Ya�8 @ v6:WJcZ @ MPQ G V @ :YQPJ BKEVYJ G M\8=� JCT @ Z @ � 8=V @ I�Q\:Ya�+VYvEK�K @ 6 R18�; v @ :YQPJ B R =

rirtsvucwyx=z|{

Page 69: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

´)´ ���������� ����������������������

/NOP\Q\ROT��OXOUSMOQ _^S_ OT10_^O[1^SMVQ1^SRa` b

v B R3QPU B 8 D Q B :�pcQPu�8�sSTHp 1 v B R3QPU B 8 D Q B : B v B R3QPU B 8 D Q B : # 6u�������� ���������� � ����������������������� �� "!#�$� � �%�'&(# )� d+*:W8�� K�M @ :W8-,HZ0M @ RWR/.qsw7�0 Q B :�1$a�JcJ]RY8 1 Q B :V# Q B : B .bsw732 �H7 64 ����5 )67#�8���9���:��6����;�<&5�#=?>���#@A�B�<�C����;���5�D���/&5�$�E�'��6��F�;�G&��<���H6 X �I&� )�<&KJ��L���M�F�ONP�"Q� I�R� � =>�S#�3@��P� � @)�G��68 �-*�c �����P�KH�T���<�%�� �F I�UN;�H63������I&� )�<&KJ��L� "(V8*:W8�� K�M @ :W8-,HZ0M @ RWR/W Z0M @ RWRb7�0YXTZS7E,[WO\P0 � @ Z @ v�M @ O 1 Z0J B R�:�7B2 T Zja @ Vbu5> 6 4 606u���6K�R� ���@�#�L�F6C�F�]#���?^_&(@"&(�-�<&R�M�'&(� `� d =5���F %����9�8 ��RaI�U@U#�S�F�T I�����5�SS&56�b��� � J � �T�F����6��F�;�G&��<�b�H6� �I&� )�<&KJ��G�I� *Tc %>�H�H�EJP�����]�;�H6��H�C&5�NP�"Q� I�R�d�$6e�����@��P� � @)�G��68��d�F� � �Af]� =g��h&(�<��#�8�/�8 ���NK��@�����#���[NP�)Qi ����'�F� � � / � = *�*R* = � � X �8*5c ���j�� RN(�" '@A�8�i�5�"�FNB �[���F UM����;�j��6��F�;�G&��<�k�H6+NP� d �H6(Q����M ���>����F�l������'&�# )� d �<������ VY8=[N8�VjRY8 �F�l����;�F �NP�" �&5�)�"��@)�<&� �UNm �n������9���:��6����;�<&5�H���F�%������� � �i��6+@�� � *9V �<�%#����H�-�T�%�F�g&���� � �i��6+@��/�F���T�F����6��F�;�G&��<� *NQ � �9�F@`� 0 ���%�����H���T�%�F�T#���%�(��H����'&(� `� dg*To �F /�H6K��S&�6g@��U= "�� ���� � V , "�����0 g � j $ >�H�$�]�(��H����&M�'&�# )� d ����H���9�dpPq Vh,,"�����-(0e*c ������(�5��N_�h&i�F�C&e@��F6h�R� ��(@U �� "��6�Lg r�h X j >�K�#@A�s&5�$�L��@"&(t���j#���C6��U@I���)�)&5 A�n�+�<&(@��ut�[�� �F I�;&v 0Cw �'&(� `� d &�6+Nu#���l�j�F#�8�(N "��6�/xPx��[\ Z �������6�Lg j7g 6YFy ZPz � V \ Z Y?h PY�y Z(z � V \ Z|{ jP*]c � y �<���}%� =g#����� "&56K�S�T�����UN~�'&(# )� d �H��@��F6h�R� ��(@U �FN *

I7J:r�ILK

Page 70: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� ��� ��� ���� � ������� ���!���/����� � ��� ��������1����� �� ��� ������ ´ �:W8�� K�M @ :W8-,HZ0M @ RWR%W Z0M @ RWRk7�0 X9Z 7�,[WO\P0 � @ Z @ v�M @ O 1 Z�J B R3:k7s2 T v B R3QPU B 8 D Q B : B v v B RYQPU B 8 DQ B : B [ Zja @ Vbu5> 6 _ 6 6����6K�R� ���@�#�L�F6|�F�k����;�'&(� `� d �F�O&5�$�?�j�-���� �8�L���'����NP�)Qi ���� X � �F�d&��H��#�����T�F���(68�F�;�<&5�H� � �tf � =� � / � = *R*�* = � � X �8* c �8�C&� `Qh�5�j��6� X �H�C����;68�5�uJP�� ~�F���I&� )�G&�J��L��� * c �8�'�F �NP�" ;@A�8�i�5�"�FNB ����F U�#�����j�F68�F�;�<&5�H���H6+NP� d �$6(Q ����� I��>������O������'&(� `� d �<�C#��� VW8�[]8�VjR38 �F �NP�� �&-�`����@`�G&(t�UNe �����k�T�F����6��F�;�G&��<�~�F������C�����(�i��6+@�� � * c ���'�"�F@���6+NB �"�k�8�G&(t�'&5 �Q��5�j�"68l�S�T�U@)� 0 ��� #���[H�-�T����l#�����P��<�T��?�'&(# )� d+*Oo �� O�H6K��S&�6g@��U= "�� � ��� � V , "6���80 g � j $ >�$�H�E�P��<�T��%&;pPq�� ,,"�����-(0e*c �������R��&5�b^_&P@�&(�5�G&R�j�'&(� `� d �<�l&;�R�KJ5�C&�# )� d ��������<�O�F6��F=����F -�� ��¡ ¢� ����� 8a:

¡ : � v J� *.�������� � & 5 $ ��50,?#%!��'. �i().6 8 D 8*, B 8b:YaE8�� ��� �����)� ���b��� ��� �`JNT :l' � @ R�:Ya�8kZ�J B [N8�d�acv�MPM�JCTL:Ya�8kRY80:�� '�� � JCT @ MPM�� J B J]� Q @ M8�d6KXJ B 8 B :WR�Z�JNVWVY8 R3KLJ BXD Q B U�:YJ B J B u=8�VWJ Z�J 8*-�Z0QP8 B :WRbQfRb:YaE8 1�T�O������JCTL:�^_ba�8 � Qsd68 D []JNMPv�� 8�JCT$KXJ]M\O :YJ]KX8 R�� > <�������< � � QfR :Ya�8 Z0Jc8*-'Z�Q\8 B :wJNT�� > ;�;=; � � Q B :Ya�8 []JNMPv�� 8JNT � � � > � > J � ( � ( J�;�;=; J � � � � ^Z B Q B :W8�VW8=R3:YQ B UkT @ Z�:�QPR9:Ya @ :,:Wa�81� Q\d68 D []JNMPv�� 8�!#"&8 : > <������ < : � : Z�JNv B :WR9:YaE8 1 U]8 B 8=VYQfZ�6 B v�� G 8�VJNT VYJcJN:WR$JCT%$&8a: > <������ < : � : Q B 8 &(' : � ¦ 2F4 ^`_ba�QfR G J]v BED QfR # B J?I Be@ R :Ya�8 ¥ � � G J]v BED :YJ�v BED 8�VWMPQ B 8:Wa�8�Z0J B :YVWQ G v�:YQPJ B R1JCT �+vERYa B QPVY8 B #NJ @CBXD �+a�J?[ @NB R #cQPQ Q B Q\:WR D 8=[N8=M\J]K�� 8 B : @CBED K�VWJ JNTq¦ ��� � ¨ 4 ^)+* 3 J G 365 @FBYDZBYD-,�� �0: > <������ < : � '.& I % > < % h > <������ < % � < % h >� KC� ���HN�� ��� �����k� ���b��� ��� �� � > <������ < � � �]FN� � ���i :�� � � �E����7�������^�1���e�/����q*� :�T ��� 8 &�' : � PW�����!� � � �5��� ��� ������1���� � ����P �E � ���HN �� ��� j � ��� ��P ��� �+�� � ��� �0/ �:�1���1!#"&82� > <������ < � � : P<�5N� � & �E ��N����� _ �T �����i���7�T�� � � � & �!EJNV�:Wa�8Z�J B R3:YVWvEZ0:YQPJ B JCTS_,JNVWQPZCWk8=RYv�Ms: @CB :�� @ :WVYQfZ08 R I18eZ0J B R3Q D 8=V v J3� 7 @ v�VW8 B :�KLJNMPO B JN� Q @ MPR: <������ < : � '4& I � < � h > K I�Qs:Wa RYv�K�KLJNVY: VW8=RYKX8 Z�:WQ\[]8�MPO Q B :Wa�8 KXJ]M\O :YJ]KX8 R5� > <�������< � �76 > ^ �S8�VW8�QfR @RYa�J]V3: D 8 RYZ�VYQPK6:YQPJ B JCT,:Ya�8 @ M\U]JNVWQs:Wa�� vERY8 D 1 RY8�85¦ � ´549TlJNV�� JNVW8 D 80: @ QPMPR�6�=

m6^ ³�^ ¨ ^ B J L @*24GIH > 24j JML J98 2 * 3 ° 3;:R2 J L 58;624Gvj > 3P@ B<�=�>@?;ACB7DFE@DFBHGJILKHG�M�N�OHN�M�DFP�QSR N�T9ILKHGVUWDSO;X�NZY[R\X@DCR\?;M^]`_badcfehgig0gLa�j�DSOkILNml0GiQSQSRonpM�Drq7GsBmR\?;ACB7DFE@DrtR\DSN�O�uv=w@=ox�Gsl0N�M�y�N�R\GoGsP�lLK�N�T ILKHGiR\G�l0GiQSQSRVP�RdPmR\?;M3z;{ i eh|d{ i N�T%P�E}Gv~\ILG0q(N�T%R\N�M�G�a�{ i P�O�B+T�P�l0G0R�N�T ILKHGN�ILK;G0~dy�N�Qr�@ILN�y�G0R�a {\�����_ ��c =�� K;DSR���DFE�GiRVP�y�PZ~\ILDrILDFN�O�N�T%�9�4P�RVP�O�?;OHDFN�O�N�T%R\G0ILRd���s� i �9��n�ILN1A�GlvN�M�y�PZ~LGsBoY[DSILK5ILK;G y;P�~\ILDrILDSN�OmN�TC� � DSO@ILNdILK;G ?HO;DSN�O5N�T�ILK;G�R\G0ILR ��� �{ � ��� DFO�ILK;G y7~LGiE@DSN�?;R R\Gsl�ILDFN�O�uv=�7=��HN�~+P�QSQdILKHGiR\G�l0GiQSQSR � ~LGiy;QFP�l0G�ILK;G�M�N�O;N�M�DFP�Qd���s� i Ak��ILK;GWy�N�Qr�7O;N�M�DFP�Qo� { i P�O;B4l0N�OHR�I\~L?�lvI1ILKHGlvN�~\~LGiR\y�N�O�BHDSOH��l0NkG0�1lvDFG0O@I�M1PZI\~LDSq(N�T P�QSQ�ILKHGiR\Goy�N�Qr�7O;N�M�DFP�QSRi=_baEQPRb� @ :WVYQ\deQfR @ MfRYJ�:Wa�8�� @ :YVWQ\deJCT�:Ya�8+TlJ]M\MPJ?I�Q B U&� @ KF=

� 8�� ��� ik� 0 ;=;�; 0 � ��� � � 9 � ��� �8�) <������ < ) � : �9 ) � �  ¡¢ )

¡2£k¡<

rirtsvucwyx=z|{

Page 71: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� 2 ���������� ����������������������

�S8�VW8 @ VW8H:Wa�8 Tlv B Z�:WQ\J B RZ�J B�B 8=Z�:WQ B U :YaE8�� n Q�� K�MP8�� 8 B : @ :YQPJ B TlJ]V�� Q\dc8 D [NJ]M\v�� 8 @CBED :YJNVWQfZVW8=RYv�M\: @NB :�JNT ��^��^��� QPVYQfR�^ / �� ��������������� _^�� ����� ������� �:W8�� K�M @ :W8-,HZ0M @ RWR/. �w7�0 Q B :"! Q\dc8 D X`JNMPv#� 8 1 Z�J B R3:kM\QfR3:�,[. �w7�0Y2!M Q B : B v#��[ @ VWR�6c 6����/&C�$�<�R%�F�b�T�F����6��F�;�G&��<�I=+&�6+N_�����68�5�uJP�� ����%��&5 `�G&�J5�G�I� *%$ ��<�T��O#�����~��&h�UN ���F�S�5�j�k�F�����/�9���:�gt�I�T���%���� �#�����I&� )�G&�J��L��� /(')' X)* r #+ �?�*,.- �0/#1�2 ,.- ,4351�276.6/. �98�0;:�<#1�:�< - :�< , !=:�> -@? X�AB1�C#� - 1 3�A7<�6 , 1�:�6 , ,[. �98E0Y2D1L6^n��&h�UNFE��F�S�5�j� *HG �8�O6��-� J(�" O�F���I&� )�<&KJ��G�I�/�H�%�������T�����UNn �uJ(��#�8������IF���F��#���O�H�<�R *,.- �0/#1�2 ,.- ,=3�1�2B6J6/WLK 351�276.6/. �98�0 X9Z"8�,[WO\P0;M(A7N.:�3RW - 6OC#1 , 27< , 1 3�A7<�6 , 1�:�6 , ,[. �98�0Y2D1 6��������� ������ G �� `��@% ��I�R�-�� &�68?JR�e#���O�H6+@` I�"�j��6� &��g&��$Q(�� `�S#�K�QP R *

.TS�UVSXW YFZ\[^]`_HacbOd�eQf�Zhg)_jikacd�e a� - N -Hlm- N - 3�271�1�6JA7� -j?#- ,�<#: , :�A7<n6 27< ? /#N.A7/ - N , : - 6�A7o ,Jp#-jqm-@r A7C , :�2s< ,Jp�- A7N.t 1 oXA7N �0A7N -j?c-5, 2s:�1�6@KB6 -�-u �@v Knw � 476yxM(A ,Jp#- 6 -5, Aso9z{27NJ:�2s|�1 - 6 � l - 2 ?�? 2}< -�l 6 -�, A7o"z~2sN.:�2s|#1 - 6�� � 8���� <������ < � � : 27< ?�l -=?c- <�A ,J-�(� .� � � K �(� � � � 8���� < % ( <�������< % � : <������ < �(� � � � ��x!�A7NH2�/�A71�t�<�A7�0:�271 �)' C�K lm-�?#- ,�< -L� ¡ 8�� : ��� ���B� ��� ��� � ���B� �X����� �� � ��� � xmb3?> L j 2=j J LA@CBEDFB�� d��� v�� � � ���b��� ��� �����

£ � 8 £ <£ � <������ <

£� : ' C�P)� �;�1��� � qm-�r ABC , :�2s< � �£

<£ � <������ <

£� ��N�V� ��� ��� ��� ����� ��� � �����A�'� � ��� ���^ ��7�

� 8 £ <£ � <������ <

£� : � ��� 8 £ : � ���@ 

¡¢££ 8 � : � � 8 £ :¥¤�¤�¤ � � 8 £ :��� ��� ���£� 8 � : � � 8 £ � :¦¤�¤�¤ � � 8 £ � :

§�¨© �  F¡�ª « � �¡Xª « �\¬ � �h­J® <

1 mcx ¯ 6M � �E �"� ��� ��� ��� ����� � � �'�L_�:�:� ���:� �T��±° �¡ ¢ \²B³ ) 8 £k¡ :%� v ��k< ,.p#- ��AB<#A7�0:�2s1^|�2B6O:�6 ��� 2s< ? � � K � �03�27<�| -Ll NJ: ,O,.- <F=

��� 8 £ : �  ����

ª�����"´ �

ª� � � � �x

I7J:r�ILK

Page 72: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� ��� ��� ���� � ������� ���!���/����� � ��� ��������1����� �� ��� ������ �Bvmb3?> L j 2=j J LA@CBEDFB @ �HN �������� � � ��� ��� ����� ��� R� ��L� � � � U �ES�1��� �7��� �HN � � n 6JC#/#/�A7N , R� ��*� � � n6JC#/#/�A7N , U � � ��� 8 £ : �8 -5,V,Jp�- oXA71�1�A l :�< � � 2s/F=

�V�=8 £ : 8 �C 9 C� �9  

����ª�����"´ ��� � � � 8�� � : �mb3?> L j 2=j J LA@CBEDFB�� I �e�'��� ����� ���� � 8 £ : P �HN �)�/��� ��F/,� � � � 8 £ : � :��� ��N����� ��� :�T��E�� � �C ��� ���

�HN �-� ��� ��� ������ :�T��E 8 ��� : � ��� �f]FN �Eg� ��� ��F/ �E �HN � qm-�r A7C , :�27< � ��� ��F/ � � �HN �^� ��� ��� ��� �����b£ <£ � <������ <

£� � / �� �����:���������� _^��� �� 0������� �� � �

,.- �0/#1�2 ,.- ,=3�1�2B6J6 . �98E0 :�<#1�:�< - . �98 ! q -@r ABC , 1 35A7<n6 , 1�:�6 , ,[. �98E0 2 1�K , t)/ - <�27� -.m�98W=Y= �0A7<�A7��� , =Y= :�< ?c- >�� , 35>�� 6��������� �'#�����T�F����6��F�;�G&��9�$6 #���'t>�'�"��O�I&5 `�G&�J��L���R=>����@A�_�H�~����'NP�Ft�" )�~�H6h&56�/&5�)�"��@)�<&� �UN>�S#�_����?�H�H��9���P�T�F����6��F�;�G&��<� �h*mG ����� 0 "����&5 `�G&�J5�G�I�E&� I�l@��F6h����NP�" I�UNM&-�b�g&� �&��j�� �" "� * G ��� v6�� &+��I&� )�<&KJ��G�I����>���� �� v �<�%#�8�?�G��6(Qh��j�F� ��>�/�� &� I�O#�8���I&� )�<&KJ��G�I� � &�6+NC#�8�?6��.&+ v �I&� )�<&KJ��L���&5 ��M#�8� �E*,.- �0/#1�2 ,.- ,4351�276.6?. �98�K#3�1�2B6J6?Wj!e0 XTZj8E,nW"! \P0�� - 1 , 2��jo 1 35AB<�6 , . �98e2 .�Kc:�< , 1��#Kc:�< , 1 � Kc:�< ,1 wcK�W"! ! 6��������� �_#���'�'&(� `��& &5�)�"��@)�<&� �UN >�S#� #���~�T�F����6��F�;�G&�� \ =�&-�`���5�;�H6(Q ����[�I&5 `�G&�J��L��� ��� ��if &5 ����K�#N�N(�"6+=/#��� 0 )��kJ��L��@��e�F���I&� )�G&�J��L�����<���F�%�`��I�� �?/ &�6gNe����;���U@I�F6+Nm�F68�C�F�/����IF� �3�*G ���M�j�F68�F�;�<&5�H�O�H6s#�8� 0 )���J5�G��@�� �F�O��&5 `�G&�J5�G�I�O&� I�k�$6+N(�.&(�$6�Q3����� I��>��R=T����k�'��6��F�;�G&��<�d�H6����k���U@I�F6+NeJ��L�(@�� ���l�I&� )�<&KJ��G�I�O&5 ����$6+N(�.&(�$6�Qm#�8�C@I�F�S�5�;6K� *0G �8����6�� `�L�����F�%����<���C&�# )��& &5 ���T�F����6��F�;�G&��<�l�H6s#�8�;�I&� )�<&KJ��L��� % <�� � %�� *�G �8�;H���9� Q " � �9�F@`� 0 ����#�8�;#�8�CH���T�M�F�%����M�(��H����'&(� `��& *

(! �" #!$&%('*),+.- ; $&%0/!+1$&23)�4&%�56/!56798:2;5=<>/?234�79@A)CB3DE$F2 ;HG 794�7A)0$&+15

8 -5,!I � &KJ �MLONQP | - ,.p#- ;BC�A , : - < , 2s1 � - |#N.2 |�t ,.p#- : ?#- 2s1 P � 8 £ � <������ <£R : K lTp :�3 p :�6�2?,�<#: ,J-& n ? :�� - <�6O:�A7<n2s1�z - 3 , A7NT6J/�273 - :TS $D8 P : :�6:U ? :�� - <�6J:�A7<�271�x

.TSXWHSV �m]`i��HbOe:W T f#]YX a[ZHZ ]]\LZhf#d�a)]`f�g ] THX _ji acb\"iJb^�d�a#b ]`e!�A7N - 273 p1_ ' I K�35AB<�6J: ?c- N =

!a` 8 I 9 Ib �9 _ b

rirtsvucwyx=z|{

Page 73: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� � ���������� ����������������������

?#-�� <#:�< � ,Jp#- A7/ - N 2 , ABN�Aso\��C#1 , :�/#1�:�3�2 , :�A7< |)t _ :�< I K)27< ?0,.p#- & n 1�:�< - 27N"27/#/#1�:�3@2 , :�A7<�276.6OAc35:�2 ,.-@?�, A! `$=!��` 8 �I 9 �I

� �9 _ ¤ �M p�- � 2 , N.:�> A7oo!��` :�< ,.p#- ? C�271�|�2B6O:�69Aso �I :�6 ,Jp�-0, N 2s<�6J/nA�6 - ? A7o ,.p#- � 2 , N.:�> Aso�!a`�x�p)A ,Jp�- t6 p 27N -",Jp#- :�N - : � - <)z~2s1�C - 6�x�"C#N � 2 , N.:�> 27/#/#N.AB2B3 p�, A 6JA71�z - /�A71�t)<#A7�0:�2s1n6Jtc6 ,.- � 6�:�6 |�276 -@? AB< ,Jp#- oXA71�1�A l :�< � ,.p#- ABN - � 1 oXA7N�0ABN -L?c-�, 2s:�1�6T2s< ? /#N.A�A7o K#6 -@- u � v 4L61=)+*���� ��� @FB�� B�G � ����� � �HN ����$&8 P : �E1q+�� ��� ��� � � ��1����� ���7�

[ �^]FN �/� � _ ���������!� ���� � �HN �)�!��� �1������ � :��� ���! � R� ��L� ��! �� U �� � ..� 8�� � : <������ < � 8���� : 4�\ �^]FN � �1���e�/��� ��� _ ��������� � ��� � � 82!��� � : �� ��R��T� ��� �i��:���7��LU���� � <�������< ����� �c �SI N� � w

� v P �HN �V�1����� ��� � � _ ����������� ����� � 82! � � : ��:�kR��T� � �#� ��:���7��LU�� 8 � :�� � <������ < � 8 � :�� � P�5N �� ���,8 � : �E �HN ��� �$�1�O ����� � � ��� <������ < � �! q t u � ¯54�K ,Jp�- A7N - � wcx � K l - #)<#A l ,Jp 2 ,%,.p#- N - - >c:�6 , 6%2=|�276J:�6LAso I 6JC�3 p},Jp 2 , oXA7N 271�1 _ ' I ,Jp#-� 2 , N.:�>#" ` Aso[! ` :�< ,Jp :�6T|�2B6O:�6V:�6VA7o ,.p#- oXA7N.�" ` � ¡¢

£"[`ª � Ux x xU " `

ª�

§�¨©

lTp�- N - "[` ª ¡ :�6TAso ,Jp#- oXABNJ�"[`ª ¡ � ¡¢

£_ 8$� ¡ :

<x x xU _ 8$� ¡ :

§ ¨© �

�k< ,.p#- 3�276 - Aso�206O:��0/#1 - N.A)A , � ¡ K l -�p 2{z - " ` ª ¡ � 8 _ 8$� ¡ :�: x!�A7N - 2B3 p �i'.& � l - :�< , N.A ? C�3 - K

� � 8 C 9 &� �9 ��8$� :6 - <#A ,J-9,Jp 2 , ��' �I :�o±27< ? A7<#1�t :�o%� ' $&8 P : x

�k< ,Jp#- 3�2B6 - Aso � C#1 , :�/#1 - N.A)A , 69: ,9l A7C�1 ? | - < - 3 - 6.6J27NJt , A�:�< , N.A ? C�3 - 6OAB� - 2 ?�? : , :�AB<�2s1±1�:�< - 2sNoXABNJ� 6�:�<)z7AB1�z):�< � p : � p#- N`A7N ?c- N ? :TS - N - < , :�2s1�oXA7N.�06@x q C ,`p#- N - 2so ,J- N±oXA7N 6J:���/�1�:�35: , t lm- A7<�1�t�35A7<n6O: ?c- N6J:���/�1 - N.A�A , 6@x56 -L- >)/�N - 6J6V<#A l 6OAB� - /#N.A7/�AB6J: , :�A7<�6T27< ? N - � 27N #c6 =!�:�N.6 , K#<�A ,J-9,.p 2 , oXABNH2s<)t /�27:�N _ < b ' I K lm-�p 2{z -

! �` 8&� � � : 8 b : � � � � 8 _ b : � _ 8$�¡ : b 8$� ¡ : � _ 8�� ¡ : � � � 8 b : <

I7J('�ILK

Page 74: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� ��� ��� ���� � ������� ���!���/����� � ��� ��������1����� �� ��� ������ � �

6JA ,.p 2 , �� � :�6m2s< - : � - <)z - 3 , ABN�Aso�! �` K�oXABN ,.p#-j- : � - <)z~2s1�C - _ 8�� ¡ : x`!4A7N - A~z - N±oXA7NV2s<)t�/�2s:�N _ < b ' I K,.p#- � C�1 , :�/#1�:�3�2 , :�AB<4� 2s/�6�! ` < !��H3�A7�0� C ,J-Ll : ,Jp4- 2B3 p A ,Jp#- N@x%� , oXA71�1�A l 6 ,.p 2 ,j,Jp#- t�6 p 2sN - 35AB� n�0AB< - : � - <)z - 3 , ABN�6J/�273 - 6@xsZH< ? 6JA�K ,Jp#- 35AB�0��AB< - : � - <)z - 3 , ABN.6�Asom! �` oXABN0271�1 _ ' I 27N -�,Jp#-<�A7< n r�- NJA�� C#1 , :�/#1 - 6VA7o � � � KcoXA7N�� � � <������ < ² 1 u � ¯F4 Kc/#N.A7/�AB6J: , :�AB<=w#x ¯ 6yx� o"2 NJA)A , � ¡ :�6�6O:��0/#1 - K ,.p#- - : � - <)z - 3 , ABN%Aso5! �` 2B6J6JAc35:�2 ,.-@?}, A ,Jp#-�- : � - <�z~271�C -H_ 8�� ¡ : :�6#� � � xM p�- 35A)A7N ? :�<�2 ,.- 69Aso � � � :�< ,.p#- ? C�271�|�2B6O:�6�Aso 8 ��� � <�������< ����� : 1 27<)t �0A7<#AB�0:�271�|�276J:�6�A7o I 6%2sN -8$� � �¡ <�������< � � �

¡ : K ,Jp 2 , :�6 ,.p#- - z~271�C�2 , :�A7< A7o ,.p :�6 |�2B6O:�6 A7o I :�< ,Jp�- N.A�A , � ¡ x M p :�6 t): - 1 ? 6 ,Jp#-oXAB1�1�A l :�< � 271 � A7N.: ,.p ��=

m#x �nx ¯�x���� �� ��}* � 8�� �������� �� � ��* ���� ��� � � !���� 8�� � � � �� �� � ��� ���£ � � ¤�¤@¤ � £R� U

<�=�!�N�M�y;?7ILGdILK;GdI\~�P�O;R\y�N�R\GsB�N�T9ILK;GVM1PZI\~LDSq(N�T�M ?HQSILDSyHQFDFliPZILDSN�O#"�$5T�N�~&%('*)�=w@=�!�N�M�y;?7ILG�DrILR[GiDS��GiO@E}Gsl�ILN�~LR&+ { _-,�. {�/ 021 . {�/ 3 � 154645451 . {�/ 3 � 1745454 8 T�N�~ � _-9 154547451;: =�7=��HN�~ � _<9 154745451=:�� l0N�M�y;?HILG�P�O;B+N�?7ILy;?7I> {f_-, . {�/ 3 �.�{�/ 0 154547461 . {�/ 3 �.�{�/ 0 8?4

@ ��� ��� �A�B� � �� C�EDF��� ������� ��HG����HI � J����LK����� � �

,.- �0/#1�2 ,.- ,43�1�2B6J6 !e0 XTZj8�, !42 , � - <�6 - ,=1�2s/�2B3�#8,nZj1 � 1 1�A�6R, , t)/ - <�27� -! = = z~2s1�C - � , t)/ - 0g= = MNM�.` 0 0 \P0 p)AB1�z - 1 ! 2 Z%K#:�< , <\K��: � - < � ,Jp 6��������� �u����~�`�$�k�8�L�~ I�i�(����G I�F� #���#OK )�� v=� �POK )���@��P�F �N-�H6h&(t���M���O����'�"�$Q(��68�F�U@U �� )�k�F�����%�'&�# )��& �F�+� �5�S#� �8�$��@"&�#�L�F6 q *�c 9�H�/&5�)�R�-�'�FNj#��&(?#���l ��P�(���&5 ��l���H�k�8�L�l&�6gNj#�h&������QO� )��v � �k���G���j�"68��d��������~J-&5�`�<�%��������(�(�i�P��G��689 )�H6(Qj&� I�1� < % � <������ < % � *RTS�U�VAWYX[Z�\^]&_a`b_aRCced[ZY`E\2f�fhg>���� �� ] �H��&C�'&(� `��& �F��j�-���� �8�H��@"&(��G��63&56+NjiB#����68�5� J(�" k�F�%�I&� )�G&�J��L� *�G �����'&(� `��& R >�$�H�J(��#���O�'&�# )��&n���E@I�F�k�8�L�.&_@I�P�F �N-�$6�&( �I�l�F�E����.�H�`�H���+�G� � ��P�(�� *,.- �0/#1�2 ,.- ,4351�276.6 !e0 :�<#1�:�< - XTZj8�, !42 , � - <�6 - ,=1�2s/�2B3�#8,nZj1 � 1 1�A�6R, , t)/ - <�27� -! = = z~2s1�C - � , t)/ - 0g= = MNM�.` 0 0 \P0 p)A71�z -lk ! 2 Z Kn35AB<�6 , 27NJN 2{tCm ? , , t)/ - <�27� - !g=Y= 6J: r@- � , t)/ - 0

2 , K��: � - <=� -5,Jp A ? 6��������� �j#�8�M�`�H���+�G�M I�i�(����G I�F� v � � @��P�� RN-�H6h&� ���k���l#���C����Q��"68�F�F@�t�F "���F�O#���M�'&(� `��&3�F�� �5���� �+�$��@"&�#�L�F6eq *+c l�<�M&5�)�R�-�'�FN3��h&(M#���� I�P�P��k&5 ����`�$�k�8�L� *}G ���;&� ) �&R�on �<�C#���;&5 ` �&R�e�F��T���`����G��6K�d�F�?#�8�O�'��6��F�;�G&��<� � < % � <�������< % � *EprqtsrulvxwzyB{�|hv i

' '~}��[�����?�

Page 75: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� w � ���������� �������� ������������TSXWHS�� �m]`i �HbOe:W"! f#]YX X�d�acf�b$# ]%! _je"b$�±d�fnb d�acZ \L]`i &Tej]YX b d�iOgM(A N -@? C�3 - ,.p#- N - 6OAB1�C , :�AB< AsoHABC#N�6Jtc6 ,.- � , A}2 C#<#:�z~2sN.:�2 ,J- 27< ? - : � - <)z - 3 , ABN%/#N.A7|#1 - � 6@K�6 - z - N.271� -�,Jp A ? 6H3@2s< | - 27/#/#1�: - ? =

'�( o ,Jp�- 6Jtc6 ,.- � Aso v -*) Cn2 , :�A7<n6 £ � � ¤�¤@¤ � £� � U#K lTp#- N - £ ¡ :�6 3�A7<�6J: ?c- N -@? 2B6 2 /nAB1�t)<#AB��:�2s1:�<,+^�.- ����� -/+ � � �{K l : ,.p /n2sN 2s� -5,.- N0+ � p 276±2�6JA71�C , :�A7<\K ,Jp#- < ,.p#-21 N - 6JC#1 , 27< ,/3 k , A�| - /#N - 3�:�6 -@?54z~2s<#:�6 p�- 6@x p)A�2s<)t�� C#1 , :�/#1 - A7o ,Jp#- N - 6JC#1 , 2s< , � C�6 , z~2s<�:�6 p x±8 -5, "76�+ �98 | - 2"N - 6JC#1 , 2s< , � 2 , N.:�>Aso ,.p#- 6Jtc6 ,.- � k 6 -�-;: x ¯ 4 K lTp#- N -"l - 35AB<�6O: ?c- N ,Jp�- z~2sN.:�27|#1 - + � 2B6 p : ?#?#- < :�< ,.p#- 3�A -�< 35: - < , 6��- 1 ? x q t=35A7<n6 , NJC�3 , :�A7<\K�"76�+ �=8 :�6 ,Jp#- � 2 , N.:�> A7o±��C#1 , :�/#1 - 6HA7o>6 £ ��- ����� -

£�98 :�<�2 �0A7<#AB��:�2s1|�276J:�6@? � 6�A � 8 ����� x M p C�6 lm-Lp 2{z - ? !B6�+ � 8 � U 2 , 20N.A�A , Aso�A7C#NH6Jtc6 ,.- � k 2s< ? Cn6OC�271�1�t|)t 3�A7<�6 , N.C�3 , :�AB<4Aso "�K5?DC� U 4 x ( o lm- 6JA71�z - ²�³ ´ 6 "76�+ � 8/8 � U#K l - A7| , 2s:�< ,Jp#- z{271�C - 6HA7o ,Jp#-35A)A7N ? :�<#<�2 ,J- + � Aso ,Jp#- N.A)A , 6�x ( o l - 35AB�0/#C ,J-�,.p#- 35ABNJN - 6J/�A7< ? :�< � ?%K lm- A7| , 2s:�< ,.p#- A ,.p#- N35A)A7N ? :�<�2 ,.- 6@x

' ZH<#A ,Jp#- N 27/#/#N.AB273 p 35AB<�6J:�6 , 6±:�< 2 ?#? :�< � 2�< -�l /�A71�t�<�A7�0:�271�K - � £ �FE � E � + � � ����� � E � + � KlTp#- N - E :�602s< :�< ?#-5,J- NJ�0:�<�2 ,.- x M p#- < lm- 35AB�0/#C ,J- 2 N - 6JC#1 , 27< , � 2 , N.:�> "96 E 8 A7o ,Jp#- 6 -v � � /�A71�t�<�A7�0:�271�6@Kc2s< ? 6JA71�z -",Jp#- � - < - N.271�: r�- ? - : � - <#/#N.A7|�1 - �G? "76 E 8 � U#x( < ,Jp :�6�27/#/#N.AB2B3 p�,.p#- � 2 , N.:�> � 2{t�| - <#AB<#1�:�< - 2sN�:�< ,.p#-}p : ?�?c- < z~27NJ:�2s|#1 - KH6JA " :�6 2 � 2 , N.:�>/�A71�t)<#A7�0:�2s1 "96�+ � 8 � " �=+ �� � ¤�¤�¤ � " � + � � " K�oXA7N�6OAB� - ²IH � x��"C#N9/#N.A7|#1 - � N -@? Cn3 - 6 , A ,Jp#-oXAB1�1�A l :�< � - : � - <#/�NJAB|#1 - �KJ¡¢¢¢¢

£LMMMN

U O U ¤@¤�¤xxx xxx x x x UU U ¤�¤@¤ O� "� � "� � ¤�¤@¤ � "� � � �

PRQQQS �UT

LMMMMN

O U ¤�¤@¤ UU x x x U ¤�¤@¤xxx U O UU ¤@¤�¤ U " � �

PRQQQQS§�¨¨¨¨©

LMMMN

?T ?xxxT � � � ?PRQQQS� U

( o " � :�6V<�C�� - NJ:�3�271�1�t 6J:�< � C#1�2sN K l - � 2{t 3 p 27< � - z~2sN.:�27|#1 - + � , A � � � �*V 6 ��W �� �YX �*V 6 ��Z � x@ ��� ��� �A�B� � �� C�ED

F��� ������� ��HG����HI � J����X� [\[��� � �,.- �0/#1�2 ,.-^] 351�276.6�!42 , K�3�1�2B6J6�! 2 ,`_ AB1�acbed"8 ] !42 ,gf achcA71�z - k 35AB<�6 , ! 2 ,`_ AB15i ! _ Kkj A7�0/�2 � <#AB<� -�,Jp A ?54l%m nporqts�uvs�w9uyxgugz�{}|m.{~qts��Ym.�5|;m.�%� 6�+ 8�� ��� UI��� s�x�z��5|/��m x�n,������s�w5��|�o7xm � {Yu�nD�\�7s�m�z ��u��\��u���� u*��s$m.x�o7xgm � {Yu�n 6~����+�� 8 ? � U5��� s;��|�z�|`|�q�n�u.��s�w9z�s,s�w9u o0u��=�`�\{@w9z�|�m.�t{ � |��\n�o7{Yu�xu�z {u�R�tu�� � u.��s�m x`| �LG w9u¡�z�|u�m.�0n�q^{�s�� o7{Yu;xgmkmks~|¢��|¢�9m�s2w�z��=�^{Yu*����m.x¡s�w9upn�m.n�u��7s ��G wt��|���z^|�u¡�z �� u£�ku.s$u*�*s�u*� ��� � w7u*���k�\�t� ���0z�{\{rs�w9upu�{Yu�n�u�9s~|¤m.�¥s�w9u O5x`|�s0{\���9u;z xgu£¦£m.x@�9m�s �RTSTU�VAWYX�§�] ] + n �9a \^]k¨&_ � V*©5ª + dl`[VY`&\�f�fxg« w9uxu ] + n � ��|¬z­s � o0upm.�}n�zts�x`��& « �~s�wU�gm.n�o7{Yu.&��gm®u¯°���Yu��7s�| �

±Y²('�±�³

Page 76: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� ����v���2����� � � ������ ���� ���, ���v�5���v������������������$ �~��� �� � ¯�TSXWHS�U ��]YX \"_Ha#bOe:W a[ZjZ X d�acf�b # ]%! X _"ika#b�\9iOb^�d�a#b ] e ! f#]YX f#Zhg)_ji acd±e a X�d��acf�b^�Zhgd"6 lm- p 2{z - 6 -@- <\K ,Jp�- � 2 , NJ:�>�A7oH� C#1 , :�/#1�:�3@2 , :�A7< " � |)t}27< - 1 - � - < , £ ��� I t): - 1 ? 6�2 l 2{t , AN - 3�A~z - N ,Jp#- NJA)A , 6 Aso ,Jp�- 6Jtc6 ,.- �=x! j6JC�2s1�1�tBK ,.p :�6 � 2 , N.:�> :�6`<#A , 2{z~2s:�1�2s|#1 -j? :�N - 3 , 1�t�oXN.A7� ,Jp#- :�<#/#C ,-*) C�2 , :�AB<�6�x#"HA lm- z - N±: , 3�2s<�| - 35A7�0/#C ,J-@? oXN.A7� 2�h)t)1�z - 6 ,J- N%$ 1�:'& - � 2 , N.:�>)( k�l -Tl :�1�1n6 -@- 1�2 ,.- N ,.p 2 ,lm- 3@2s< , 2�& - oXA7N*( 2 N - 6OC�1 , 2s< , � 2 , NJ:�>^KB:�< ,.p#- � - < - NJ:�3H3@276 -*4 6.2 , :�6OoXt):�< � ,Jp#- oXA71�1�A l :�< � /#NJAB/ - N , : - 6�J+z � ��-,���� �l�/.10 � 0325476 �8�v �~��:9 ( �3£/�;��5 �`�8�v �~��:9K �<� 6 �=.�¡� 6 � � ���>�\���r���@? � � ��� �( � ACB �D E�F k�: x � 4��� 6 � 6 ��G �����p�����H£ ���£���<� �%9k���I ��/�,���9���¡����J 6�A�K 8 KML@NPOQ �� 6 ������� � �,���9���¡����J � � � 6�A�K 8 KML@R ���<� �%9 ���S?�� 6 �£�����H£� � � 6 �) ��\�T��� 6 B � 8¤�3£I `���3£� �I ��U N 6 £ �.- ����� - £ R 8 OV �� 6 �I����� ���¡��v� � ACBDWF ���X�9����g���5�Y,� 6 �­�Z�\�Z�,���5�Y A�K £ � � ���8[ �]\ � O �^9Z�������g����-/� ���9���������� ���7 �~��� �M¡� � � 6 ��v� �7��� ����J 6�A�_ 8 _�L@N`Oa �� 6 �b����� ��� �M�� � A � E�F ���c��������g���)g���,�d� ��� �~� �e�\��U� � � 6 �f�����g� �9���¡����J £ �.- ����� - £ R O �^9 ����������^�°-� ���7�� �h������ ���7 �~��� ��¡� � � 6 �h�,���9��� ����g 6�A�_ 8 _ML@NiOj �� 6 �) ��\�T��� E �3p����= �g��~�Y ���� k�A7N92s<)t�� 2 , N.:�>l( 6.2 , :�6OoXt):�< � ,Jp#- 6 -�p t�/�A ,.p#- 6 - 6@K lm- � 2{t A7| , 2s:�< ,Jp#- �027/ Aso���C#1 , :�/#1�:�3�2 , :�A7<4|)t£ � �0A ? C#1�A £ � - ����� - £�m 2B6�K):�< ,Jp�- |�2B6O:�6�� � � 6�A�K 8 KML@R A7o I K" �� :�6 ,Jp�- hc3 p C#NT3�A7�0/#1 - � - < , A7o E:�<l(�J

" �� � B � � E � � D �k oXA7NT�0A7N -L?c-5, 2s:�1�6T6 -�- u m@¯-n 4 x@ ��� ��� �A�B� � �� C�ED

F��� ������� ��HG����HI � J����go ��� � �,.- �0/#1�2 ,.-^] 351�276.6 !42 , K 351�276.6 8 _ AB1�a b0dj8 ] !42 , � - <�6 -^] 1�2s/�2B3�& ] dj1 � j 1�A�6 ] , t)/ - <�27� -! 2 , J�J z{271�C - � , t)/ - a J\J MNM _ a a f a h)AB1�z - k 3�A7<�6 , 8 _ A71�iD1�K _ NJAqp - 3 , :�z � -5,Jp A ?�4r5m { � u¬s�w9u¥| � |�s�unBm.�=uTs�q zts��Ym.�5| WMt ��� �m n�o0qts������vs�w7u¤s�xz � o0m |u*�ynvzts�x`��&vm.�5n­q�{~s�� o7{\����zts��Ym.� ���u�v n�mt�5q^{�m W z�|%s�w9u!r7� w9q^x%�m n�o7{�un�u��7s9m.�7s�w9u!w�z���z�q^{�z � nvzts�x`��&�m.�=s�w9u#x � ¦�oem { � �9m n ��z {�| �=� s��|�z^|�|�q�n�u*�­s�w�zts ,Jp�- �0A7<#AB�0:�271�6 ¦ -/+^�.- �\��� -�+ m 27N - 6O� 2s1�1 - N ,.p 2s<�2s<)t�A7o ,Jp#- A ,.p#- Nm�0A7<#AB��:�2s1�6A7o ?c- � N -�- HWy �M p#- oXAB1�1�A l :�< � oXC�<�3 , :�AB<=3@2s<=| - C�6 - ? oXABN ,Jp :�6T/#C�NJ/�AB6 - :�6 k 6 -@- ¯#x � x�w 4 J

' '~}��[�����?�

Page 77: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� � � ���������� �������� �����������]�S���U ��� *���\5Urf�glTp#- N -*U :�692 � 2 , N.:�>46.2 , :�6OoXt):�< � ,Jp#-�p t�/�A ,.p#- 6 - 6 : x ��x�w kX- � xj2 N - 6OC#1 , 27< , � 2 , NJ:�> A7o`2 � - < - N.:�36Jtc6 ,.- � 4 x

�TSXWHSXW � e Z=#TdAX \9i Z��jd�g�Z ]`e f#Z(g�_"ikacd�e a X d�acf�b ^�Zhg�Bc�` � W ����§���W[c�� n���Bc�` � W ����§��`©tª�VAW��������Bc�` � W ����§��`©tª�VAW������t§����rW n� ` n �!�"��Bc�` � W ����§��eW ª � # �!���Bc�` � W ����§��eW[c�` WYd$�!��

n �®ª5§��k§@u<][VY`[V.©%�&�AV��('rW®§�_)���l` © c � §^¨®ª*�,+/¨-+ �.� ][VY`&gn �®ª5§��k§@u<](/[V�W����YXt§ ��n V&���t][VY` � _10[W®§ ¨��Y]AVY` ��� /[VAW gn �®ª5§��k§@u<] n 0t§Y`2�^§(��W ª [� # �&�lV���'rW^§ �3� ] n �&gn �®ª5§��k§@u54t§ �en U n ��� �(� �%67���&�lV���'rW^§ �3� 4�§ ��n gn �®ª5§��k§@u54t§ �en U n ��� �(� �%67��� � V.©tªrW^§ ¨����AV��('�W § �3�8� 4t§ ��n�9 gc�` n © c�`~\�c�` n: ��d � _ �7�� ��;(; �ld�XCf<

c�` n `&g� c�` ��� `bg

��� �"67����/[VAW � W�\?`Cf�guAV��E\�c�` n ceS�v�g c��<`bg2c =�=Bf � c�` �(� W?>5c @�g

� V�� n �(�2�A/[V�W��l`�V.©9§��CBA���&�®§Y`(�[W�guAV��E\�c�` n ceS�v�g c��<`bg2c =�=Bf � V�� n �(��W?>5c�@��(�2�Cg7�����®§t`��[W gc�` n �lS%6hguAV��E\�c�` n ceS%6hg c��<`bg2c =�=Bf3�*;tS�0�§ d(�t§k§�\7W?>5c @rf�g� V�� n �(�2�ED5§&FAV�� n '[V���`��$BE���(�&�����®§Y`���W g] Yn � UlSl] �� �rW ����W ª � # ���AV��('[W®§ �3� \7W�_(+HG?+2fxg� V�� n �(�2�2] [�� �rW ��© n �Cc.¨ V@uI�Ac Fk§J�7�(� U?� `('��[V�K&\�f��(� §Y`��[W guAV��E\H��`2��cedl`5§�� c�` n c�S(��g c��lUL� `('��[V�KE\�f�g�c�=(=Bfc�u�\5U�\�c�_2c�feS�S�vrf� V�� n �(�M�A/(�[V�'�W®§.©7§N�-+6V������t§���§�� ª[VAW��l`�V*©7§��:������c��(�2���7�(��c5�(�®§Y`��[W g

] Yn �O0TS U \QP `Adt§ \R��_6UL� `('(�[V�K&\�f(S�6tf�_TP `�dt§ \R��_6U?� `(' � V�W�\2f�S�6tf�fxg

±Y²('�±�³

Page 78: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� ����v���2����� � � ������ ���� ���, ���v�5���v������������������$ �~��� �� � :

� V�� n �(�2���AV�K5§&���Bc d��1'rWlV � # V@u ��c F�§ ���(�50�� `�'��[V�K&\2f��(�®§Y`��[W�g� V�� n �(�2��Urc�`Ad��rW �<X W �5§�� V@u�0�B ���(�®§t`��[W g4t§ ��n U XAS U X���\H0Cf�g� V�� n �(� UYX��(�®§Y`��[W g�(� � V�� n �(�2��U�c�`Ad��rW �<X W��5§�� V@u ULB ���(�®§t`��[W g�(� � V�� n �(�YR�X W(��4t§ ��n�� \5UYX�� \5U[f�f��&�®§t`��AW�g] Yn ����S���U ��� ����\5U�_Q�Bfxg� V�� n �(�2�2RCc�dt§Y`AX W��5§�� V@u n�� § U ��� ��� � V.©5ªrW §.©7§Y` n B ���(� §Y`��[W g� V�� n �(� RBcedt§Y`AX W�\T�xf��(�®§Y`(�[W�g

�! �� #!$&%('*),+.- <>/ DE$&+&79@ $&%,%08�� )(798 @94K7 )(' 8 2;8 7��1$�H5

�TS��VSV ZjZ ^^i d�g)g�b ^�d�i \L]��}Z\f X�Z^a[ZH] d�e bJe2� Z\f�g�Z \L]��FZ\f X�Z^a[Zj]� �� p�� z���������� � |��~z�� p � l N���������� � �"! p � N#�$����%&� ! � �'�(�so �*) �'%�t+���',-� � %.�Jt�� ! ��, ! �/��� � ���)z'��� ! ��0���', ) � ! � ! �&������x213�5476�%&� ! ���98 �;: � � % �+� & ! � ! 8<�=��% � �����>� � % k � � : ��0?��� 4@) �54A��09,-� ! 8<���CBD��0�, � ! 0��>�����k BD�'0�,-�'0��7��� ! � � % ���#���-E F'G-nH6IE m@¯-n 4KJ

LM� ! " `ON � ! 8��, � ! 0��QPR�SB9,T�<% ! � ) % � � � ! � �'� NVU _ �&� � N � �#�>�p�W�SB I �#���?8 ! 8 � ! _ 6��KX 8 C� UYBD�'0� � ¦ - ����� - ² J[Z U � ! �\��� � �<� ! � �'�I6 " ` �>�9�&� : ��0 ! � N %&� � ��� _ � �9� � : ��0 ! � N % �]�&� IJ

LM� !\^ � �`_ � N � ! 8��=���V�'0?��� � � ! � : ��� ! �'0��'B � �a��%&��,b��� ! �'B �I � � ! 8<�=��� � % N � ���>�9�SB0� J

_Ocp� ¦d _ c;egf d " � ` _c;egf.h�i ^ cp� ¦

d ^ c$eIf d 6 " � ` 8 eIf ^ c$eIf -j � ¦ - y - ����� -<0#�$� ) ��� ! � : ��% U J( B �=� � � �#�&, ) % �30��V� ! , � P�� ,-�&k��&� � k 0���� )IJ ,-� �<� ,b� k�� � � 43l _ml�� ���-�QB _G� ^ � 6�� K 8 � � ! 8<�.,-�'�<��,b� � %

N � �#� �9� :;� %&� � ! �$�C� � ��6<4A�]8 �;: �

n&o>p c�q=rs_Ocp�`_ k 0���� )IJ n o p c�qTr ^ c;� ^ 4�Jt98<�>� � � : �$�A��� � 4 � U ! �-�#��% ��� ! � �Y��� � ��� : �$� ! �'0A�SB "� ` ���'0�0���� ) ������� � �=! � ! 8<�]0#�V� ! , � PV� ,-�&k��&� �

k 0#�$� )MJ ,-� �<� ,b� k�� � � 4 ! 8<�7,-�����<% �����'B _ ���vu�6 P 8 Jw\��, � 0^&��¤J'�( B ! 8<��0�� � 0�� j 0#�V� ! �v,-�&�<� ,-�&k��&� �s! 8<�",-�����<% ���x��� _ �'�yu�6 P 8 6z� ! �>� � %>��� ) �+�#�#� N %&� ! �

0#�$��� : ��0 ! 8<�{��� � ��� : �$� ! ��0��x���'0�0#�$� ) �'�����&� �(! � ! 8<���#�{0��V� ! �aBD0#��, ! 8<�|���������$�#�#� : � : �$� ! �'0?�

' '~}��[�����?�

Page 79: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� F � ���������� �������� ������������m - ����� - � m � c$eIf J

'�( B ! 8<�70��V� ! �b� �\,T�<% ! � ) % �'6 ! 8<� ) 0��V������� � %>������'� : ��0 � � ) 0�� N � %&�>� ! �>� � % % U ! � � �v��� � ��� : ��� ! ��0A�'B" ` ��0 "� ` N � ! ,-�'0��7��% �54�% U J

��������� � X \����^������ ������� �� X� [Z�� k�� 0�� ! % � ! ���\0���� � %&% ! 8 � !\! 8<�>�.,b� ! 8<��� � %&% �54\� ! �Y���', ) � ! � � 0��V� ! �SB2���<0.� U � ! ��, ! 8 � ! ,-�&�<� ,-�&k����! 8<�],-�V�<�<%&���9�SB�� � J d\� � � :5� � ! ��� � : ��0��#��� ! 8<� � ���� �#� �l�-,��� �>� ! 8<� ) ������� N % �.�����z�SB ��8<�&B ! �9�'B! 8<� :5� 0#� � N % �'6 ! 8 � ! �>� ! 8<� ! 0 � ��� BD��0#, � ! � �'�vBD0#��, ! 8<�T, � ! 0��QP " egf�� ! � ! 8��T, � ! 0#�&PU6 " � �"! P 8 eIf 64�8���0��#!Y� � ��%&�+���$� ! � ! 8<������%&�$� ! �$�T��� � ��� :5� % �<�A�SB�" � 6SBD��0 ! 8<������� : ��0 � ������� � ������% ��0 � ! �&��� k �#���zE $ : n 4KJhV���������0 ! 8<�78 U ) � ! 8<�$���$� :�J � J&%T� ���OBD��0 (� � : ��0 ! � N % �]�SB ! 8<�]BD�'0�,( eIf � A(' )*,+ F -4A�]8 �;: � " � � � : ��0 ! � N % �'6 � ��� ' � " egf� J

t98<�>� � � : ��� ! 8<�]BD��%&% �54�� � � � ! ��0 � ! � : � � % � ��0#� ! 8�,v6

:<J :<J � J.-0/�1�243657398:3<;>=�?�@�AB?C1ED7FG?�@H/I?�8J�DLKMON M !�P4QSRUTWV�QBX�Y�Z[Y]\_^4QS`bacVdT�e�QBZ�fhg Mi MIj QSkla�Rl\_m�e�P4V�npoqnpe�V0`srSt�u +7vSwB0+>xvSwB0zy|{ u f7v} y 4~ M�� XC. vcwr0?/ 0 Rln�e�P4V#�_Z�npe�TWQ�QBZ[^4Rl\�Y�e�V�Q]Xx. vcwr0 Y]\_^�R&XR&e�Rln�\_QBe��0VWZ�Qq�_e�P_VW\�� vSwB0 { 0�/V]���p� � . vSwB0 �4V0kln�Vnpe�Q]� M ��7� N ! � � �I6<�&B%� � u�6�� 8 � � � �#�&, ) % �70#�V� ! ,-� �<� ,b� k�� � ��l � � l�� ����! � 6�� K 8 K�L@R 6

n&o>pmq=r

E m � ! Jt�� � ������%&��0 � ! � ! 8<�>� � % � �'0�� ! 8<,a6<4A�=4��&% %���0�� ! ����, ) � ! � ! 8<� L *$ �������', ) ���#� ! �&���Y�'B ! 8<�T, � ! 0��QP(4� JC� �'0���� : ��0 ! 8<�v, � ! 0#�&Pb(4�]�>� � )�� 0?�#�O��� ����� ! 8<�v�V�<, N ��0 �SB\�<����$Hk���0�� ! ��0�,-� ) ��0b���'% �<,-��� � �

N �'��������� N+U ! 8��\�V�<, N ��0@�SBI,-�'�<��,-� � % ��� � - ����� -W���T6�4�8<�>�?8O�>� �#, � % %�����, )�� 0���� ! � ! 8<�z��� k��\�'B ! 8<�, � ! 0��QP J t98�� � � % %&�54\� ! � ) ��0�BD��, � � �?8x� ! � ) �SB ! 8<� ) 0�� : � �'��� � % � �'0�� ! 8<, � ���v6p������� n��q�_  6¡� 8/8� 0#� ! 8�,b� ! �>�[� ) ��0 � ! � �'����6�4�8���0��#�|�>� ! 8<� N �'�����7�'� ! 8<�@�+��, N ��0��SB � 0�� ! 8<,-� ! � � � ) ��0 � ! �&�����I0�� ) �<� 0#�$�! �,T�<% ! � ) % U ( N+U �-: ��� ! ��0 Jr_ 0 � � ! �>� � % % U 6<�&B!(O8 � �I��6¢� 8 �<�'�M$ k���0��b���+� < ��� ��� ! ��6 ! 8����£�¥¤¦��6¢� 8� ���a� � �?8�� ! � ) � � � N � ) ��0#BD�'0�,b�$� NVU ���#� � � ��6¢�   8 � ) ��0 � ! �&����� : ��0?����� &+���54�� N ���<���<�3�SB2�'0?����0�¨§ J�� �'0���� : ��0 ! 8<�z, � ! 0��QPf( � ���O� ! � N % �V��& B 6_©g6 D 6 E � 0��3� ! 0���� ! �<0#�$�O, � ! 0#�>���$��6V� ! 0���� ! �<0#�.4�8<�>�?8� � � N �-���#��� ! �v�#� , ) %&�&B U ,T�<% ! � ) % � � � ! �&��� �SBA�����?8 � , � ! 0��QP NVU �C: ��� ! �'0 k �#���vE : m�n 4KJTZ � ! �&� ! 8�� �4A�'0^&m6<4A�T���O�<� ! ���#� ! 8<� �.� ! 0#��� ! ��0#��6��<� : ��0 ! 8<��% ������4A�=, � U ,T��% ! � ) % U �����?8x, � ! 0�� ����� NVU : �$� ! �'0?�� ���b����% : �@% �&��� � 0[� U � ! ��, �Bª �$� ! � : ��% U 6 N � ���$�T��� ��P ) %&��� ! �&� � ! 8<�\� )�� 0?��� ! U � ��� ! 8<� ) 0�� : �&������0#��, � 0^& J

±Y²('�±�³

Page 80: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� ����v���2����� � � ������ ���� ���, ���v�5���v������������������$ �~��� �� ���

��������� � ����I���t98�� BD��%&% �54��&� � ! � N % �A���'� ! � �&��� ! 8��A0����#�<% ! ���SB����<0 ��P ) ��0��&,-��� ! BD�'0 ! 8<�� ������������ ��������� �!����� ,�"������� � � ! 8<�=� ! 0���� ! �<0����9� , ) %&��,-��� ! �$�v�<�<0#� � � ! 8�� ��4A�'0^& J�x� � U �'B ! 8<�.BD�'% % �54��&� � ��P � , ) % ��� 8 �;: � ! 4@�T0#�$���<% ! ��6V�'�<��6$#&%b6 N+U ���#� � � ! 8<��')(+*-,�.��#�'% : ��0k E /�0-n 4 �<� : ��%&� )<) ��� NVU w J@_ �'k�� � ��� 8<�>�v%&� N 0 � 0 U .���1$���2��34 57686 k E :^: n 4 6 ! 8��R� ! 8<��0�6 N+U #�9����� � �=� ��� 0���� ! ,b� ! 8<���-4�� ! 8-:)(<;�=?>A@CBW0��'� ! �&����� k E F � n 4 BD�'0 �#�'% : �&� � ! 8<�3� )�� 0��#��%&� �<� � 0 � U � ! ��,( + �ED Jt98��z��P � , ) % ���GF yqy % � ���)F yqy 9 � 0#� N � ! 8 ! 8<�]BD�'% %&�54�� � � � U � ! ��, k E % m�n 4 J

� ¦^¦ � y +   �IH&J   �LK�GH���+   �MJ   �NKF2O�O�# � 0#�]� U � ! ��,�@�'B ! 4A� � ) � � ! �&�����A�&� ! 4@� :5� 0�� � N %&�$��6 N � ! 8Y�'B���� � 0����P/ J F2O&O y y # � 0#�]� U � ! ��,�@�'BBD���<0�� ) � � ! � �'���9� �)/ :;� 0#� � N %&�$��6V�SB ��� � 0#���Q/�6$/�6 %b� ��� %�JFSR�T�# � 0�� ! 8<�7� � ! ��0?�?8 �') ! ��0A�'B � � ) 8<��0#�]4�� ! 8 � �v� ! 8<��0 ) � � ��0#�>� � ��� �b) % � �<� k E % m�n 4�J

+   �UJ   �WV   � O+�J|�WV   � ¦ �NK+��IJ£�UV �XKY2P � , ) %&�$��Z[J$Z\H�# � 0�� ! 8<�]BD��%&% �54�� � � 6+BD�'0 x � HKJ%j U ��%&�>� x $ 0��V� ! � k �����-E m m�n 4

+ f ��+   �L]^]2]S��+ m �LK+ f +   ��+   + § �N]2]^]���+ m + f¢�XKJJJ+ f ]^]^]�+ m eIf ��+   ]2]^]/+ m �N]2]^]S��+ m + f ]2]^] + m e   �XK+ f +   ]^]2]/+ m � ¦w\���#�<% ! � j$_�`ba 9 k 0���� )IJ j$_�`bc 9 4A� 0#��6VBD�'0 x � a8d 0���� )IJ x � c 4 Jfe � ! ���<0 � d 1 4 d �#���Ehg&g�n 4E � �UikjXhl emj

E X E � e Xonop � ���¥� ¦ ��� �¥� ¦¦ � i jXql emjE XE

e � � E � nop � ¦ ��� y � � ¦E � �NK nop � � � ¦ �\� y �c� ¦t98<�3% � � ! 0����#�<% ! j�r E R�R _ ����0#0���� ) �����<� ! � ! 8<�se]0�� )<)�� � ) � � ! �&�����2�'B � 0������'��� ! 0���� ! � �'� ) 0�� N % ��,

� � j@��, ) � ! � ! ��0 b3�>�#�&��� d �#���RE $ % n 4 0#�$��������� ! � � �{� : ��0?������� ! 0 � � �<����� U � ! ��, �'B a ) � � �<0#�>���T�&� �� )�� ���]�SB ���&,-������� �'�ut J t98��74 � U ! � ����� ! 8<�70��V� ! 4 � �9��P ) % � � �<��� � N � : � J

vwvyx�z{\| }o~

Page 81: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� ������������� ��������������������1 h � � & t

���� g20 $�0 / % % 0 J 0 % 0'������� g20 $�0 / % % 0 J 0g 0'����� $'F g 0 � g�F % / 0 J 0 % 0'�����&� $'F g 0 � g�F % / 0 J 0g 0'��������� � g : $ /�/�G F / / /+F g2/�G'����������� � g : $ /�/�G F / / / 0 J F � ��.ª � % 0 F � / $ G 0 J 0'F�0'��.ª � � % 0 F � / $ G 0 J 0'F�0'�� � ��� $ : g�g � F $ g � 0 J 0 � 0'�� � ��� � $ : g�g � F $ g � 0 J 0 /�0'�#� ���� � g � g$F % F&/�F�0 F / F gS$ %q%<J : $'�#� ���� % /4$ g20 :^: F&0 � F %^: F � /+F g % : ,-�# ���kª®ª � G % g : � /�0 g : g g J g � 0'�

( � ! 8<�>� ! � N %&��6�1 �>� ! 8<�T��� ,-�����#� �'�a�SB ! 8<�T, � ! 0��QP ( d ! 8 � ! �>��6 ! 8<�7, � ! 0#�&PY8 � �\�#�&k�� ����� 4 67hv� �! 8<�z�+��, N ��09�SBM���'��$Hk���0#�=��� ! 0��&�$�@�'B ! 8��., � ! 0#�&PI(�6 � �>� ! 8<�7��� ,-�����#� �'�C�'B��6��Y� � ! 8��.�V�<, N ��0A�'B:5� 0#� � N % ����6�&b� � ! 8<�.�V�<, N ��0@�SBg� ! ��0 � ! �&�����20�� ) �<� 0#�$�TBD��0 � ���0#0��'02% ����� ! 8 � ��� � ¦ K e�� 6 � ���-t(� � ! 8<�! � ! � % ! � ,b�b�SB ! 8<�-����, ) � ! � ! � �'�I6m� ! � ����% �����$� ! 8<� ! � ,b�b�SBA���'��� ! 0#��� ! � �'�x�'B ! 8<�b0����#�<% ! � � ! , � ! 0��QPd BD�'0�� ��� ! � �����'6mg : $ J G gz�#�����'���<�@BD��0 ! 8<� ! ��� ! j$_�`bc % 4KJ

±Y²�v�±�³

Page 82: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������� ������� � � � � � ����� ���� � � � � �� ��� � � ��������� �� �� � � � G

� ����������� �

� ���! #"#$&%(')"+*-,�.

"3��0�� � 0��a��P � , ) % ���-�'B �')<) % � � � ! �&����� ! 8 � ! 8 � � N ����� ��� : ��% � )�) �$�s� ���#� �<� ! 8<�>�BD0 � ,-��4A�'0^& J R�,-��� ! �&���<�<�$� � %>�#� ! 8<�a� , ) %&��,-��� ! � ! � �'�/�'B � �#�'% : ��0=BD��0 ! 8<�Y� � : ��0��#�f&V� �<��, � ! � � ) 0�� N % ��, �'B a U�#��0�� � %m0#� N � ! E F�0-n 6 ! 8 � ! 4��&% % N �z0�� ) �'0 ! �$�C� � � �<� ! 8<��0�4@��0%& J

/1032 4 ��57698;:<57=?>@8BA�CEDGF�HJIK=GL MN=GOP5#6+Q�O35R��TS.�TS U¨���?���� KVW ��0 ) 0�� N % ��, � � ! �C���', ) � ! � � % %����'��� � �<0 � ! � �'���9�SB � ,-�'% ������%&� J W ��% U ! 8<� � � 6 ��� �X� � � � � % ����6 ! 8 � !�>� ! 8<�.�#�'% � � � � � % ��� N � ! 4A����� ! 4@�=���'���#����� ! � : � ) % � ����6�� � �?8���B���<�$� N+U � � � ! �', � ��� � ! � ! 4@�7% � �M&���6� 0#� � % %&�54A��� ! � :5� 0 U 6 4�8<�&% �h&���� ) �&� � N �����x% ��� � ! 8�� � ��� N ����� � � � % ������PV�$� J �� ���'���#�>����0z� U ��% � �,-��%&�$���<% ���9�'B��#�QP � ! ��,�3Y

t98�� �I� � ��0#�b��8<�54\�3�'�<� ) �+�#�#� N %&�b������� � ��0 � ! � �'�x�SBA�����?8 � ,-�'% �����<%&� J t98�� 0���% � ! �&������8�� ) N � ! 4A�����

vwvyx�z{\| }o~

Page 83: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� 0 ����� � ���E��� � ���� ��� � � � �

� ����,b� ! 0 U � ���x0�� N � ! � ���\�>�3� N : � �'����6 �'����� ! 8<� N �'���<� � 0�� ! 8<�'� � 8 ! �SB � �30�� � �>� p �'� � ! � � ��� � ! ��,-�� �],-���?8 � �<� �#,� �z% �&��&V�=�'0 � 0 ! �>���<% � ! �&����� J t98<����<% U ,-� : ��,-��� ! � % % �54@�$���>� ! 8<�0�� ! � ! �&��� � 0��'�����! 8<� N ����� � P�����6 �#� ! 8 � !-! 8<� ) 0#� N % ��, �SBz� �<��� ! �&B U �&� �"� ������� � �<0 � ! � �'�/0����<�����$� ! �C������� � � ! 8<�0���� ) ��� ! � : � ) �+���$� J� � &V� �<��, � ! � � ! ��0�,��6 ! 8<�O,-��%&�$���<% �� �=� �+�<� :;� %&��� !z! � � ����0#� � %2,-�$�?8 � �<�>�#, � �4�8�� �?8-� � �?8 )�� � 0[�SBI���'���#����� ! � : � � PV�$� �&� ! ��0?���$� ! � � ! � % �&��& J t98<�>�[� , ) % �&�$� ! 8 � ![! 8<�\% �&�M&b��ªg�#� ! � � 0��k���0��BD�'0 � %&% ���&P�% �&�M&���6m4�8<� �?8R4��&% % � % %&�54 ��� ! �Y0���������� ! 8<�F�$ ��� ,b�����#�&��� � % ) 0#� N % ��, ! � � � U � ! ��,�'B�$ ) �'% U ���',-� � % �9� � $b�<�M&V�<�54���� J

R��TS.��� �(���� �I���.�����W����V<�I�[����[���t98��\,-�'% ������%&�3� ! �����&�$�8 � � � � U ��%&�>� N � ��& N ���<�\�SBIF � ! ��,-��6 ! U ) �>� � %&% U �SBI� � 0 N �'�I6 ! 8 � ! ��� ! ��0#,-� �<������<0 ) 0�� N % ��,a6 � � 0 N �'��$H8 U ��0#� � ��� N �����<�7��0=� ! 8<��0 N �'���<�=��� ! �#� �<� ! 8<� N � ��& N ���<� N ���&� � � � �<�'0���� Jt98�� N �'���T%&��� � ! 8�� � ��� � � � % ��� ) 0�� : � ��� ! 8<�9������� ! 0 � �&� ! �I4�8<� %&� ! 8��A�#�QP=��� 8<�$��0 � % � � � % ��� � 0�� � %&% �54@�$�! � :;� 0 U J

t�4A�xBD�'0�,T�<% � ! �&����� � 0#� � ���<��0 � %&% U �����$��BD�'0 ! 8<�>� ) 0�� N %&��,v6 ���<�C���#� � � ���>� ! � ��������6 � �<� ! 8<��0=���#�&� �� � � % ��� J R� ) 0����#��� ! �'��% U % � � ! BD�'0�,T��% � ! � �'�C�����$�Y� � ! 8<�>��� ! ��� U E $�0-n J[ f�f � [ f   Z�� F��   � [ f § Z�� F � § � [ f � Z�� F �   Z�� F � § � [ f�� F � x �   F � x � § �XK d F J g��[   f � [  W  Z�� F�� § � [   § Z�� F � f � [   � Z�� F � § Z�� F � f � [   � F � x � § F � x � f �XK d F J&% �[ § f � [ §   Z�� F�� f � [2f § Z�� F �   � [2f � Z�� F � f Z�� F �   � [ § � F � x � f F � x �   �XK d F J $ �

Z�� F   � f �WF�� x   � f@� ¦ d F J /!�Z�� F   �   �WF�� x   �   � ¦ d F J#" �Z�� F   � § �WF�� x   � § � ¦ d F J F �

4�8���0�� [ X%$ � 0#�]� � ) � ! ���+��&O��� ��� ! � Jk��'07���<0=0����#�<% ! � � ! �S)<) 0#� � �?8 4A� ) 0���BD��0 � �*� �+�<� :5� % ��� ! BD�'0�,T�<% � ! �&���*4�� ! 8 � �#, � % %&��07�V�<, N ��0=�'B) �'% U �<�',-� � %>��6@� N ! � � �<��� NVU �S)�) % U � � � ! 8<��� ! � ��� � 0�� ! 0 � ����BD�'0�, � ! � �'� ! �*8 � %QB>$ � � � %&�$� ! 8 � ! � � : ���0 � ! �&��� � %m����� � ! � �'���9�&� ! 8<�7����4y�<�M&V�<�54���� ` X+Y

` X � `b_ x � Xy('Z�� F � X � ¦ � `  X¦ � `  X�) F � x � X � y ` X¦ � `  X�) � � ¦ ) y ) H �

t98�� � ! 0 � ����BD�'0�, � ! � �'� ! � &'��� � � ! �', � ! � � � % % U ! 8<�\% � � !2! 8<0����3� �+� � ! �&����� J�Z U , �<% ! � ) % U � � � N � ! 8O�#�>������'B ! 8��*� �,+ � �+� � ! � �'� NVU.- ` � `  $ / - ¦ � `   c / 6g4�8<��0#� - � )102) j / � � �Y) ��0#, � ! � ! � �'���'B ¦ ) y ) H<6g4@� � N ! � � �! 8<�]BD�'% % �54��&� � � U � ! ��, Y� f ��3 f�f � 3 f   `    � 3 f § `  § � 3 f � `   ` § � 3 f�� `    `  § �XK d F J � ��   ��3   f � 3  �  `  § � 3   § `   f � 3   � ` § ` f � 3   � `  § `   f �XK d F J � �� § ��3 § f � 3 §   `   f � 3 §�§ `    � 3 § � ` f `   � 3 § � `   f `    �XK d F J G �4�8���0�� 3 X#$ � 0��z�&� ) � ! ���V��&���&��� ! � J

±Y²�v�±�³

Page 84: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������� ������� � � � � � ����� ���� � � � � �� ��� � � ��������� �� �� � � � g

R��TS.��� � ��_���o����[��� � � ��������t98��T0����#�<% ! �\4�8<�>�?8 � 0#� ) 0#�$����� ! ���x8���0��=8 �;: � N ����� � N ! � �&�����a4�� ! 8 ! 8<�T0����#�<% ! � � ! $ N � �#���v,-� ! 8��V�) 0#�$����� ! ���x� �/E $&0-n J t98<� BD�'% %&�54�� � � � ) �$��� � % � � � ! �&�����SB[���<0 )�� 0 � ,-� ! ��0?�\8 � � ! 8<�T�V�<, N ��0], � P��&, � %�'B��#�'% � ! � �'����6�� � ,-��% U g�F�6�4�8<� �?8 � 0#� � % %g0#� � % J

���    �  § ���  § � y O��   � § ���    � ¦ H���   f �  § ���  § � y O�� f � § ���   f � ¦ H���   f �    ���    � y O�� f �   ���   f � ¦ Ht98�� ��� U � ! ��, 8 � � �-Z ��k���� ! � � �v, � ! 0#�&PC�SB�0 � �M& % � 6V4�8<���a4A� � �<� ��� ���<��0�� �.% �&�<� � 09BD��0#, J

� f �   � §g20 J � " 0 / ��� %q% / 0 J ��� G " / � 0 / " 0 J �&� G " / � 0 / "0 J �&� G " / � 0&/ " 0 J ��� G " / � 0 / " g 0 J � " 0 / ��� %4% /0 J �&� G " / � 0&/ " g 0 J � " $�GgS$ " F4$ 0 J �&� G " / � 0 / "0 J �&� G " / � 0&/ " 0 J ��� G "4% /�/ � % 0 J �&� G " / � 0 / "0 J $q$ %2" G�G&0�0&0 / J F %2" g � g$F&0g / J F %2" g � g�F&0 g$b0 J �&� G " / � 0&/ " $b0 J �&� G " / � $&/&/ $ 0 J ��� G " / � 0 / "$b0 J �&� G " / � 0&/ " $b0 J �&� G " / � 0&/ " $Sg 0 J � " G " 0 % 0�G �$b0 J �&� G " / � 0&/ " $ g20 J � " G " 0 % 0'G � $ 0 J ��� G " / � 0 / "$ g20 J � " $ % g&g " / " $b0 J �&� G " / � 0&/ " $ 0 J ��� G " / � 0 / "$ / J F % " g � g�F�0 % $ / J F % " g � g�F�0g $ / J F %2" g � g$F&0 g$ / J F % " g � g�F�0g $ / J F % " g � g�F�0g $ 0 J $4$g$G " � F %4%$ / J F % " g � g�F�0g $b0 J $q$ g�G " � F %q% $ / J F %2" g � g$F&0 g$b0 J $q$ % G � G'F % g $ / J F % " g � g�F�0g $ / J F %2" g � g$F&0 g/ J F % " g � g�F�0 % / J F %2" g � g$F&0g / J F %2" g � g�F&0 g/ J F % " g � g�F�0g 0 J $4$ %2" G'G�0&0&0 / J F %2" g � g�F&0 g/ J F % " g � g�F�0g / J F %2" g � g$F&0 % 0 J $q$ % " G�G&0&0�0

/10�� 4 ��5 � C��K5#6�I��C��5 L 8 I C36�� � =�� OP5 L =?>@8���8��K8;O OP5 O�� =�� = I13�54 4A� � � : � � N 0�� ��B ) 0#�$����� ! � ! �&���C�SB ! 8<�7��� 0���� ! &V� �<��, � ! � � ) 0�� N %&��, �SB �b)�� 0 � %&% ��%m0�� N � ! d � � % %&�$�! 8<�£h ! ��4 � 0 ! ) % � ! BD�'0�, ��0A% ��B ! 8 � ��� � J

R������TS U¨���?���� KVj@�����#� ����0.�#�QP��<P��$� ) ���&� ! � -�� X / f�� X ��� ��� � �<P��$������%&�>����� � �������&Px� ! 8<��0?� ) �'� � ! ��� X 6 � !�! � �?8<�$�! � � ,-� : � � � ����%&�>����� J t98<� � 0 ! �>���<% � ! �&����� N � ! 4@����� ! 8<� ! 4@�v����%&�>�<����� � ��� ��� � 0��T��P ! �����#� N %&�N � 0?� -�� X ) � X / f!� X �"� 4�� ! 8x� ) 8<��0�� � � %@p �'� � ! � J

vwvyx�z{\| }o~

Page 85: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� % ����� � ���E��� � ���� ��� � � � �

t98�� ) % � ! BD�'0�, � � � N �7���'� ! 0#��%&% ��� NVU �?8 � � � � � � ! 8<�]% ��� � ! 8��A�'B ! 8�� N � 0�� J k<0��', � ) 0 � � ! � � � % ) �'� � !�'B : �&��476[� ! �>�b� � � U ! ��,-� � ���<0�� ! 8<�a%&��� � ! 8{�'B ! 8<�$��� � 0 ! �>����% � ! � �'��� N � ! ,T���?8{% �����T� N : � �'��� ! ��<� ! ��0#,-� �<� ! 8<� ) ���#� ! � �'�a�SB ! 8<�=�#�'% � � � � ������� ! 8<���#�7%&��� � ! 8�� � 0�� &V�<�54�� Jk��'0=���<0 �S)�) 0#� � �?8I6M4@� � 0#�� � ! ��0������#�����&� ! 8<�O, �S) 4�8<�>�?8 � ��������� � ! ��� ! � � ���>� ) % � ����,-��� ! �'B! 8<�-����%&�>��� � 6 ! 8<�� �+� � 0#�=�'B ! 8<� % ��� � ! 8 d � X ) �2X d 6g��0.,-�'0�� ) 0#�$���>����% U ! 8<� �V�<, N ��0]�SB ) �'� � ! �z� �� � � ���<��0#�>��� � N ��0 J hV�',-� ) 0#� : � �'���34A�'0^&��7E " G-nH62E / � n 6 E / � nH62E / " n28 �;: � ) 0�� : ��� ! 8 � ! �&� ! 8<� � ���<��0��>�� � �#� ! 8<�b�<� � 0����T�SB ! 8<� �z, �S) d ! 8V��� ! 8<� �V�<, N ��0.�'B@�#�'% � ! � �'��� ���>�P/�0�6 � ��� � �<� ! 8<��0.0#�$����� ! 4@��0%&E % /�n ! 8 � ! 6VBD��0 )�� 0 ! �>���<% � 0 ) % � ! BD�'0�,��6 ! 8<���#�Q/�0-�#�'% � ! � �'����� � � N � � %&%g0�� � % J

R�������� �(���� �I���.�����W����V<�I�[����[���t98�� �ABD��0#, �<% � ! � �'�Y� �����', ) % � ! ��% U �<������0�� N ���Y�&��E / � n J R�7�����<� ! ��� d � � ! 8<���'0 U�� � ���O� � ) 0 � � ! � ���� � � ����% �I6

m� �

m! 8<� � &�<�O� )�� ���-�SB���� ,b�����#�&��� x � : ��0�� J R�O���'���#� �<��0�

m� � � �*� ) ���

�#� ! �SB ! 8<� ) 0���p ��� ! � : �C� )�� ����� - �m � f / J ��x�����<� ! ��� ! 8<�v�#� ! �SBz��� � ) % � ����,-��� ! � �SB § J. ! � �

� � � % � � N 0 � �>�T�#� ! �SB9���&,-������� �'��F<6 � ����4A�b8 �;: ��� � ��� § ����§�6�#§v4�8<��0#����§a� � ! 8<���� ! �'B! 0 � ���#% � ! � �'��� � ��� ��� § �>� ! 8<� :5� 0#� � ! U �'B�0�� ! � ! � �'���@4�8�� �?8z�<P�� ! 8<�7��0#� � � � JLM� ! -�� X / N � ! 8<�]�&��� ! � � % ) �+��� ! � �'�a�'B ! 8��=����%&�>� ���\6�4A� � 0��.� � ! ��0#�$� ! ��� N+U ! 8<�7, �S) Y

�'��� � �

���� - d � � � X � � X d   / f!� X �"�t98��3� )�� ����� � � � %>���=� � % %&�$� ! 8<� � � ���?� � ��� �� ? ����� � � � ��� � � ! 8�� � � ��� � � � �P� � = � � � J t98<�:5� 0#� � ! U ��� § � � � N � )�� 0 � ,b� ! 0��&k����Y4�� ! 8 ��� � ! ��0#���&����� N+U Y

!'� § �#" - _   � D   � Z   �%$   �LK / � ��� §

- _ ) D ) Z ) $ / �� U � ¦_   � D   �IZ   �&$   _   � D   ��Z   �'$   y - D Z¥�($ _ / y - D $ �IZ _ /y - D Z��&$ _ / _   � D   � Z   �'$   y - Z)$£� D _ /y - D $p��Z _ / y - Z)$�� D _ / _   � D   � Z   �&$  

±Y²�v�±�³

Page 86: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

������� ������� � � � � � ����� ���� � � � � �� ��� � � ��������� �� �� � � � $4�8���0�� " - _   � D   �WZ   � $   � K / �>� ! 8<� :5� 0�� � ! U �<�����<�$� NVU ! 8<� ) �'% U �<�',-� � % _   � D   �WZ   � $   Jk��<0 ! 8<��0#,-�'0�� ! 8<�x, �S) ! �>� N � p ��� ! � : � J t98<� ! 0 � ���#% � ! � �'��� � �#§"�>� �R: ��� ! �'0-�'Bz���V��0���� � � ! ���� ��� � f ) �   ) � §�� J ��\4�� %&% ���������>����0 ! 8<� � � ���<��0#�>���#� N ��0 d ,-�'0�� ) 0#�$���>����% U 6 ! 8<��� N ��0?�24�8<�>�?8O���=��� ! ,-��� ![! 8��.��0�� ! �>� � %% ������� �3�SB ! 8<�-, �S) � J ! 8 � � ! 8<�� � ,-� �V�<, N ��0z�'B ) �'� � ! � d ���'�<� ! �$� 4�� ! 8�,T��% ! � ) % �>��� ! � ��� � ! 8<���! 8<�|� N ��0��'B ��� - ! � � $ / Jt98�� � �V�<, N ��0b4�8<�>�?8/� �b� � %&% ��� ! 8<�v��� � 0#���O�SB ! 8<�C, �') �� - ! �C� $ / ���'0�0#�$� ) �'���<� � %>�#� ! � ! 8<�BD��%&% �54�� � � �<�&,-������� �'�*E / � n Y)���7�w�� " �� 0>270�� 416 �*� � ? � ��� $ � �9 6 �P� � � � - ! �.� $ / � 6 � � � ��� � � � �9 6 � � �Z� � � - d ! -�� � )��� )��� � � Xp�� � � X d   � � X ��� / � ����� = ��� � � � � ��� O � 6 � � � � � � -�� � )��� )��� ) � f ) �   ) �sH / � ��7���#� ! 8<�]BD��%&% �54��&� �b) 0#� ) �+��� ! � �'� Y=Q� " � " �2�� " �� 0>270>2 416 � � X� � � � � � �� � � � � � � �7= � � � � � � � � ? �- ��� � �3� � � $ � � � � `� � � � � � 6 � � 6 6 ��� � ��� � � � � 6 �h� � � � ;� � � � 9 � � � � ��� ���t98��3�<����$H��0#� ! �>� � % :5� % �<�$� � 0#�\� � ! 8<�z���', ) % ��,-��� ! � 0 U �'B ! 8<�.�&, ��� �3�'B ! 8<�]��0�� ! � � � %�%&������� J t98<�>�@�#� !�>� � �������#�-� ) ���*��� N ��� ! �SB ! 8<�O� )�� ���b�SBA� N �#��0 :5� ! �&����� J � � ! � &V� � �v� 0 � ���<�', ) �'� � ! � � ! 8<�-% � � !� )�� ���'6+4A�3��8 � % % � %&,-��� ! N �.�#�<0�� ! 8 � ! � ! � � � �<����$ ��0�� ! � � � % :5� %&�<� J t98<�3, �<% ! � ) %&�>��� ! U �SB ! 8<�.���>� ! � ��� !) �'� � ! �.�SB ! 8<�>�I� N ��0.�>�z�'�<� J"! � ! 8<�b�+��, N ��0z�SB ) �'� � ! � d 4�� ! 8�,T�<% ! � ) % � ��� ! �&�$� �3� � ! 8<�b�<� � 0�����$Y�'B! 8<�7, �S) 6�4A�]8 �;: �]��P � � ! % U $C��� � ! � ��� ! ) ���&� ! �9� � ��� ������0�� ��� N ��0��'B � J

��a4@��0%&*8<��0#��6 ��� 0#�$� ! % U � � � � )�� ���Y�'B.��� ,b�����#�&���|F�6 NVU ����� � � ! 8�� )�� 0 � ,-� ! 0�� k � ! �&���/�SB.0#� ! � $! �&����� NVU ��� � ! ��0#���&����� J$# � : ���/Fx� �+� � 0����=�SB9%&��� � ! 8&%�X � ��� ! 8�� ) ���&� ! � - � X / 6 -�� X / 6 4@�8 �;: � ! ��<� ! ��0#,-� �<�]8<�54 , � � U ����%&� ! �&����� �(' - U ) � / � � ! �>�[����� ! 8<�=� U � ! ��,�Y

� U*) � X �+�, � X ) U ) � X �+�, � X � '�% X' � � X ) � X � � � � ) � � � � � X ) � X �� y � U ) � X ) � � , y � � X ) � � , y � U*) � X ) � X �BD��0 ¦�- � - a J.! � ! 8<� ) ���&� ! � - � X / ���'0�0#�$� ) �'��� ! � ! 8<� � �<� ! � � % ) ���#� ! �&�����C�'B ! 8<�*�#�'% � � ��� 64A�C, � U � ���#�<,-�C4�� ! 8<��� ! % �����T�'B � ���<��0 � % � ! U ! 8 � � � f ' � K ) K ) K � 6 � f ' � K ) K ) K � J/� � 4A�C8 �;: �� � ) � � '0% f ' [ f 6 � ���-4@�.� N ! � � �I6 � B ! ��0@�#� N � ! 0 � � ! �&����SB ! 8��I��0?� ! � �+� � ! � �'� ! � ! 8<�.� ! 8<��0?��6 � �<��4���+�<� :5� %&��� ! � U � ! ��, Y 1

22222232222224

� � ) � � '05 f� 6 ) �   ) � � , � �   ) � � , � 6 ) �   ) �   � '05  � 6 ) � § ) � � , � � § ) � � , � 6 ) � § ) � § � '05 §� 6 ) � � ) � � , � � � ) � � , � 6 ) � � ) � � � '05 �� 6 ) � � ) � � , � � � ) � � , � 6 ) � � ) � � � '05 �� 6 ) � � ) � � , � � � ) � � , � 6 ) � � ) � � � '05 �

d F J g20!�

vwvyx�z{\| }o~

Page 87: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� / ����� � ���E��� � ���� ��� � � � �

4�8���0�� 5 X ' f  - % X ,/% f , � � X ) � X � , � � X ) � X � / 6�BD�'0 � - � - a J

Z U �������#� ����0#� � � ! 8<�a� � ���Y4�8<��0�� � f ' � � 6[4A���V�<�54 ! 8 � ! � f ' 6 � f ��� ' 6 � � ��� �>�T���� ��� 0���%&�=4�8��', ! 8<�b����� ! ��0.� � ! 8<� ) 0���� ��� ! � �'�a�SB � f ' � � ��� ! 8<� � P�� � - � f ) � � / J t98<�>� � %&% �54\�����! 8<�OBD��%&% �54�� � �x)�� 0 � ,-� ! 0��&k � ! � �'�*�'B ! 8<� ! 0 � ���#% � ! � �'� Y � ' � R r - f?e ���f � � � / r -   �f � � � / � 624�8���0�� r � � ! 8<�0 � �<�&���@�SB ! 8<�7��� 0?��% � � ��� R ! 8<� ) 0���� �$� ! � �'�C�SB � f ��� -�� f ) � � / J� �'��� ! 0���� ! � � � � 0#�$����% ! � � ! , � ! 0��QP� � ! 8<� :5� 0�� � N % ��� _ ) D ) Z� ` $ d BD��0 ! 8<�s/ � �+� � ! �&�����[��� ! ���'0�0#�$� ) �'�����&� � ! � ! 8<� ) �'� � ! � � f 6 � ��� � � �U � ��%>�<� � , � ! 0��QPa4�8<�+���=��� ! ��0#,-� � � � ! �>� ! 8<� ) 0�������� ! �SB �) �'% U �<�',-� � %I�'B ��� � 0#����/�0 NVU �) �54A��0�'B `   � � J t98<�>����0�� ! B � � ! �'0 :5� �<�>��8����z�QB � ��� �'�<% U �QB ! 8<��0#�b��P��>� ! � � 0�� ! � ! � �'� �#���?8 ! 8 � !.! 8<���#�C/���+� � ! �&����� � 0��]� � ! � �[���$� J

t��.���'��� ! 0���� ! � 0����#�<% ! � � ! , � ! 0��QP]BD�'0 ! 8�� � � U � ! ��, 4@�@8 �;: �[�����$� ! 8<� � ���<��0 � % � k � ! �&���]�SB �.�QP��'� � �,-� ! 8<���a��������0�� N �$�C� �*E / ��� 6�4�� ! 8 $ '�� J W ����� ! 8<� Z ��k��'� ! � � � � ��� ! 8<�7, �<% ! � ) %&�$�9�SB ! 8<� ) �'% U �<���,-� � %>� � 0#�3���', ) � ! ���g6V4A�3� N ! � �&� � � �+� � 0#�\, � ! 0��QP-�SBM�#�&k�� % 074�8<���#�3���+��&O��� ��� ! � � 0�� ) �'% U ���',-� � % ��'B\��� � 0#��� � ! ,-��� ! � J t98�� � ���<��0 � % �&k�������� � ��� :;� %&����� � 0��'6 � B ! ��0 ��% �&,-� � � ! �&� � �SB ! 8<�Y��P ! 0 � �����'���B � � ! �'0?��6 ! 8<� :5� % �<���@�SB ` 4�8<� �?8 � � : ���@��� ! 8<�]���V��0���� � � ! ��� �SB ! 8<� ! 0 � ���#% � ! � �'� J t98<�]���'0�0���� ) ������� � ���� � ��� : �$� ! �'0?� � � : �z��� ! 8<� :5� % �<�$�9�SB _ ) D ) Z ) $ J 1\�54 4@� � � : � � �Y��P � , ) % �z�'B �#���?8 � 0#�$����%&� ! �&��� J

R�������� � ��_���o����[����� � �������� ��78 �;: �z���'���#� �<��0���� ! 8<�]BD��%&% �54��&� � � ���',-� ! 0 U �SB 0#� N � ! Y� f ' - K K K / 6 �   ' - f  eIf  K / 6 � § ' - §  � K�) H / 6 � � ' - e §  f  K / 6 � � ' - f  f§ K�) � / 6 � � ' - K � K / 6� f ' - K!KAK / 6 �   ' - ��� K / 6 � § ' - K � K / 6 � � ' - §   � K / 6 � � ' - e §  f  K / 6 � � ' - K K!K / J! ��� ! 8<���<P��$��� �+� � 0����.�SB ! 8�� � 0#, %&��� � ! 8�� � 0�� Y�� f ' � 6��   ' f��  6�� § ' f��� 6�� � ' ���� 6�� � '��^O�6� � ' � J

��a�����<� ! ��� )! )#" ! 8<�x���V��0���� � � ! ���T�SB ! 8<� ! 0 � ���#% � ! � �'� � ��� _ ) D ) Z ! 8<� ! 8<0#��� �+� � ! ��0��<� �'���:5� 0#� � N % ��� � ���C4A�7� N ! � � � ! 8<�]BD��%&% �54��&� � � U � ! ��, ! �����% : � Y,$�   _   �IH�� _   � _   �UO " _ D ,%�   D   �IH�� D   ,MH D   ,MO " _ Z���O&� D Z ��O'�)( D Z ,%�   Z   ,*� Z   � Z   ,O&� _ �UO'�)( _ � � ) t _   �IO " D �IO ) t D   �IO " Z�� K�) t Z   ,+�   ,%� ,�H , O _ � � ) t ' K,$� § _   , H _   ,+� § D   , H D   , O " _ � f   �IO D Z ,,� § Z   , O-� Z   , H Z   �UO _ � � ) � t _   �UO " D �� ) � t D   , a D Z�� a ) � t&Z   ,,� § , O-� ,�H , a�_ � a ) � t ' K,$� � _   �+� _   � a _   � a " _ D ,,� � D   �,� D   , O " _ Z�� a � D Z��UO D Z ,,� � Z   , H�� Z   � a Z   , a � _ �

O _ �/. ) � t-�  f10 �UO " D � K�) � t D   � a " Z�� H D Z��2�-� ) � t Z   ,+� � , H-���/. _ � � ) � t ' K,$� � _   �IO-� _   ,MO _   , a " _ D ,+� � �  f�f �UO&� D   � � D   , � " _ Z , a � D Z.� � � ( D Z ,+� � Z   � � � Z   ,O Z   � a � _ � � � ( _ � c&_   � � " D �Wt D   , a " Z ,3� K�D Z.� t&�  f   ,+� � � � ��� � � c&_ � � ' K

t98�� �')<) 0��'% �&, � ! �7����%&� ! � �'��� � 0#� Y

465�v7498

Page 88: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��������� ����� ���� � �� ����� ��� ��� �������� � � ����� � ��� �� �� � � � � "

` � "�b0 J � "2" G � / g " g&g2/g^/q$4$�/ g 0 J g " / % � $ /�0q$ % 0q$'F /g � �b0 J G ��� 0 % � g�G�F /+G % $ � 0 �0 J � " " G � / g " g&g2/ g\/_$SF " g 0 J g " / % � $ /�0q$ % 0q$'Fq$ � g 0 J G ��� 0 % � g$G'F /+G % $ � g]$�b0 J#"q% 0 � F %q% 0&/&/_$ %q% � / % g 0 J#" � $g$G " G�F � F /4$q$g\/ � �b0 J � g�G&/ g � $g$G � g^0'FSF g "0 J#"q% 0 � F %q% 0 /&/_$ %�% � % � g 0 J#" � $g$G " G�F � F /4$q$g�F�F 0 J � g$G / g � $ g�G � g20SF�F 0 /0 J G'G�G'G'G�G'G � 0 % � % " � % g g J G � % � / % � g$Gg�F�0 0'G " � � 0 � 0 J G'G�G'G'G�G'G�G'G'G�G'GSG�GSG �g J 0&0�0&0&0�0&0 g�G � % � /q$q$ g �Sg J G � % � /4$ % Fq$ g]$ 0�F$g^/'� �b0 � 0 J G'G�G'G'G�G'G�G'G'G�G'GSG�GSG �

_ D Z $�b0 J $&0&0 %q% � G'G � $ % 0'F � �b0 J&%2"4% / � 0'F�F � G � " � / %2" �b0 J 0&0 � / ��� G % g^/ % 0 0 g � % 0 " g0 J $&0&0 %q% � G'G � $ % 0SF�F 0 � 0 J&%2"4% / � 0'F�F � G � " � %�% G �b0 J 0&0 � / ��� G % g2/ % 0&0g "4% g g0 J � "q% F " 0&0q$ % 0 %2" ��� g � �b0 J#" F�0'G % 0'F&/�0&0&/4$ " F$g � �b0 J g&g � g]$ " � $ � F4$ % " g� 0 J � "q% F " 0�0q$ % 0 % " ��� $q$ 0 J#" F�0'G % 0'F&/�0�0 /4$ " � F g � 0 J g�g � gS$ " � $ � Fq$ % /'Gg � g%�J&% g$Gq$4$ "2" g�G�F � g^/ � � � � 0 � � J $�G ����� / % / %q% G � Gq$ " � � 0'G / J Gq$ g � " � G�G'F&0 g�G ��� � � � 0�G g� %�J&% g$Gq$q$�F % � G'F g�F$g2/ " � � 0 � � � J $�G �&����� G'F % � $�/ ��� GS� �b0'G � / J Gq$g � " � %q% Fq$�F$g � g2/S� �b0SG g

t98�� �@% � � ! �#�'% � ! � �'�C� � � N �]���'�����>����0���� � � � ����� N % �.�#�'% � ! � �'� J t98<�z����0#0���� ) ������� � � ���'��� � �<0 � ! � �'����'B ! 8<� )�� 0 � % % ��%g0�� N � ! � 0��]�#8<�54��v�&� � ��J F J&%�J $ J

vwvyx�z{\| }o~

Page 89: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� F ����� � ���E��� � ���� ��� � � � �

��� � ��0#�7F J g Y � ����� � ��0 � ! � �'���A�SB ! 8<� a 0�� � %g����%&� ! �&�����465�v7498

Page 90: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��������� ����� ���� � �� ����� ��� ��� �������� � � ����� � ��� �� �� � � � ���

� ��� ��������� �

*� ' * "#,�. ')%- # '��� #"����)%����

H(0 2 � 5 I I��15�� OP5#: ��� > I ������! #"#$&%(')%+*,"#-.'0/1'2"# 3'2$& #�4$5*76 �98 '2:;:(�&�=<?>) # #>1@."BA&CD'FE&EG%(�H-(-3Y

6 �98.IKJ5J 6 �98ML9N2O)8.PRQTSGUVQ1WXP 6 UGJ&N)W)YGW5J)Z9[9\�P �9Y5]�����!@;�T$^-+"_:(�!<?>)%�:+���` B"#$&%R'2%(*a"#-

b ���98�IKJ5J2c5c9c.PRQdSGUeQ1WfP 6 U�JGN2W)Y&W9J5g9O)YeQFhGQ0iGg&N)J2Z5[9\GJ�����=jTk&%(%+�HAF:lEG"3-K:+%("B$&k&:+"#>)A^jm>FAF:R'2"#A�-f:+�&�nE&"B%(�Hjm:+>)%("#�H-

o N1U�h <?>)%�:+���n-K>Fk&%(jT�!jT>GEG�H-Hporq O&h <?>)%�:+���nEG>Gjmk&st�TA9:R'1:+"#>)A dBu W)S5v�W5gXPw8VNxPwYG] �ypo b � u g <?>F%�:+�&�nEG>GjTk&st�TA9:('2:+"#>)A7"BAz�9:+st wpo iF{F8�g jT>)A9:(')"BA&"#A&Ct�m|&')s�}� B�d-Tpo h)O2S 6 Q0Y <?>)%�:+���njm>)A&~�C)k&%R'1:("B>FAa~� #�H-H�

��%+�djm>)st}&"# #�HE��m|5:+�H%+A�') M B"#$&%R'2%("B�d-;"BA5/)>F B/F�HE,"BA !�� ��'2%(�='0/1')"B 3'2$& #�='1: Y6 �98.IKJ5J 6 �98ML9N2O)8.PRQTSGUeQ2W�P 6 UGJ&N2WFY5WGJ u O)v5U5UGW�QdS&J5g&Qd�VL2g�QTS5v5{�P �9YG] � 6 OFU�g�QdS9vG{V�6 �98.IKJ5J 6 �98ML9N2O)8.PRQTSGUeQ2W�P 6 UGJ&N2WFY5WGJ u O)v5U5UGW�QdS&J5g&Qd�VLFN)O9g9W)UVQFN�P �FYG]�� 6 OFU�N0v5S�N)O5g9WFUVQ9N5����T%(�n'2%(��:(�&�`"BA�-�:(%+k�jm:+"#>)A�-;:(>D"BA�-�:R'2 # V:+�&�` #"B$�%(')%+* Yg)� # �m:.:(�&�=~� #� Z5[9\�P �5Y5] $5*D<�:(}��� �.�X*5}e�

vwvyx�z{\| }o~

Page 91: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� ����� � ���E��� � ���� ��� � � � �

�&WFU ]9{ � 6 Z5[9\�P �5Y5]d >F% YG]�Qd8�L q h ZG[9\�P �9YG]�� �&W)U�Ld{ � 6 L �y����>)k^@."# # >2:R'2"#A^'aEG"#%+�djy:+>F%+* ZG[F\ jm>FAF:R'2"#A&"#A&Ct:+�&�jmk&%(%(�TA9:XEG"3-�:(%+"#$&kG:("B>FA�p):(��'1:f*)>)kt@."# B �}&kG:f'2:X*)>Fk&%�jm>FA5/)�TA�"B�HA�jm�."#Aa'=}& 3')jm��:(��'1:f@f�l@."# # �%(�m<?�T%�&�T%(�H'2<�:+�H%.$9*�� Z5[9\� �

���z>1/)�="#A�� ZG[9\� '2A�E,:�*5}�� u W� &i ����>)kz@."# B >)$G:R'2"#Ao ' EG"#%+�djy:(>)%(*�� g�QH�ML)g�QdS9vG{ p g&Qd�ML9N)O5g9WFUVQ9N >)% g�QH�ML q i�h �njm>)A9:R'2"#A&"BA�C :+���7 #"#$&%(')%+"#�H-n<?>)%*F>)k&%.')%(jR�&"B:+�djy:(k&%+�F�o :(�&�njm>Fst}&"B 3'1:("B>FA,:(>5>) WGg28 pGjT>)AG~�CFk&%(�HE,<?>)%.*)>Fk&%��TA5/5"B%(>)A�A&�Tst�TA9:d�

<�*)>Fk�@�'2A9:;:+>DCF�m:."BA^'FE&EG"B:+"#>)A�:+�&�`}&%(�HjT>)st}&"# B�= #"B$�%(')%+"#�H-Hp9<?>)%.>2:(�&�T%l')%(jR��"_:(�Hjy:(k&%(�H-HpF:�*5}e� Yo u W� &i g�Qd�ML)g&QdS5vG{ �?<?>)%.}Vj= B"#A5kG| �ypo u W� &i g�Qd�ML9N2OGg9WFUVQFN ��<?>F%l-Kk&A^-+>) 3'2%("#- �ypo u W� &i g�Qd�ML q i�h)O�N 6�����<?>F%lEG�Hj��y�

��>1@`pG*)>Fk7jH'2A�:+%(*,' ~�%(-K:l�m|&')s�}� B� YP�J9WGg28�iF{F8�g5JF[eQHS�WGg)Y�P iF{

��������� ��!�" A >F%(EG�H%l:(>7%(k&A jm>)%(%(�Hjy:( B*7:(�&� "#A�-K:(') B 3'1:("B>FA�p�jR�&�Hj��7:(��'1:=:+��� <?>F B #>1@."BA�C7jT>)stsD'2A�E&-')%+�='0/1'2"# #')$& #� Yh q$# u q Q0U # i�h b O # N2i q$# U u # v5S�W u i # cGY&i�� # �&WFU # u W� Gi

�����! #"#$&%(')%+*,"#-�@;>)% �5"BA&C�@."B:+�^'tjm>)st}&"# #�T%./)�H%(-+"#>)A,>)< C�%&%'� Y�()(�L � �fC)%(�H'1:(�T%;:+��'2AY)()(eL � P+*),

<�:+���T*�')%+�!A&>):�'0/0')"B 3'2$� B�Fp5'F-1�a:+>t*)>Fk&%.-K*G-K:+�Ts ')EGst"#A&"3-�:(%('2:+>)%d�

H(0!� -�1: IK8;O3O C�/. I��157:<6 � C �1I�021$3

4 ���z>1/)�!:(> :(�&�nEG"#%+�djy:(>)%(* h2O)S 6 Q0Y �� � <fA&�djm�d-+-('2%(*)p�:+��'2:`"#-HpM"_<X:+�&�H%+��"#-!A&>zjm>Fstst')A�E jH'2 # B�dE v5S�W u i pe@.�&"3jR� %(�m:+k�%+A�-�:+��� :�*5}e� >)<@f>F%��G-K:('2:+"#>)At*)>Fk&%X'2%(�.@;>)% �9"#A&C`>FA�pF�dEG"B:�:+�&�!-K�djm>FA�Et B"#A&�l>)<M:+�&�5�^'��F�m~� #��'2A�Et%+�H}& #'Fjm�."B:f$5*

o76�896�:);=<�> N)OGgFWFUVQ9N "B<�*F>)k�')%+�=@;>)% �5"BA&C�>)Az-+k&A^-�:R'1:+"#>)A�-T�o76�896�:);=<�> g�QdS9vG{ "B<x*)>Fk�'2%(�=@f>F%��5"#A&C�>)A7 B"#A5kG|�-K:('1:("B>FA�-H�o76�896�:);=<�>5q i�h2O�N 6?��"B<�*F>)k�')%+�=@;>)% �5"BA&C�>)AzEG�dj`-�:R'1:+"#>)A�-T�

465A@7498

Page 92: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��������� ����� ���� � �� ����� ��� ��� �������� � � ����� � ��� �� �� � � � ���

���&"3-.@."B # -+}��djm"B<?*D:+���=~� B� h)O)S 6 QdY�J < W� Gi 6 Q)g9iXP9P5P :+��'2:l@."B # �$e�`k�-K�dEM� <�*F>)k7@;')A9:;:(>ts�>GEG"B<?*a:(�&�`�TA5/5"#%+>FA&st�TA9:./0')%+"3'2$� B�d-Tp5�HE&"_:l"B<�A��Hjm�d-+-('2%(*t:+���=~� B�d-

� ZG[F\�5J&h)O2S 6 Q0Y�J < W� Gi 6 Q)g9i�P�� �.�X*5}e� u W� &i WGg28 � ��>)k >)$G:R'2"#A :(�&��-(jm%("#}G: WGg28 �!����� /1'2%("3'2$& #�����z"#-!-K�T:4:(>,:(�&�tEG"B%(�Hjm:+>F%+*>2<�:+�&�njTk&%(%+�HAF:�/)�H%(-+"#>)A,>)< WGg28 �x���&�=/0')%+"3'2$� B� 6�896�:);)< -K}e�HjT"_~��H-;:+���=:�*9}e�`>2<�@f>F%��G-K:('2:+"#>)A��

� � �l>1@�')E&E�:+���n-+jT%+"#}G: WGg18 :(>D*)>Fk&%�}�'1:(��p&$5*ast>1/5"BA&Ct"B:.:+>t*)>Fk&% �MQHS EG"B%(�Hjm:+>F%+*h08 WGg28 �FJ1�MQdSiF{F8�OFU�� \5Z :���>�� \9Z :�� I ������<); J0�MQHS>)%iF{F8�OFU�� \5Z :���>�� \9Z :�� I � � b i�h)O u 8�gFi��&irS�W u i O 6 � b i q Q0U&i�h�&OFU�� h)O)S 6 QdY�

H(0�� � =�� IK= Q1:K5(C�IW A�jm�^"#A�-�:R'2 # B�dEMp;:+�&� B"#$&%R'2%(*rjT')A�$�� k�-K�dE <?%+>Fs�'2A5* }�>9-K"B:+"#>)A�p.@."B:+��:(�&� jT>)stsD'2A�E WGg28 ��� >jT>)st}&"# B�!:(�&�=~� #�n6 Q)g9ifP(h9h pF:�*5}��WGg28 6 Q)gFifP(h5h

��>Fk7CF�m:l'2Az�T|5�djmkG:R'2$& #�!~� #�=6 Q)g9ifP iF{ pF:+��'2:l*)>)kzjT')A�%(k&A YPKJ 6 Q)g9ifP�i){���&"3-!jm>)stsD'2A�E jT') B 3-.:(�&� k�-+k�') u W� Gi jm>Fstst')A�EMpe@."_:(� '/� '��)�T~� #� ')E&')}G:+�dE7:+>,:+�&��jm>)A&~�C)k �

%R'1:("B>FA ��:�*5}�� >2<xsD')jR�&"#A&�Fp� #"B$&%R'2%("#�H-Hp��B�#�#�y� ��>Fk jT'2A E&�m~�A&� B>GjT') B #*,*F>)k&%�>[email protected] < W� &i 6 Q2g9ifP�WGg18 �?�HC��<?>F%.EG�m~�A�"BA&C ������> P5P9P �m� A�:+�&"3-ljT'F-K�Fp9:+�&�njT>)stsD'2A�E7'2 #},@."# B '2 3-K>� B>9')Ea:+�&"3- < W� Gi 6 Q)g9iXP�WGg28 '2A�Ek�-K�="B:.:+>ajm>Fst}&"B #�!:+�&�=~� B�d-T�

���T%(�n'2%(��:(�&�`>)}G:("B>FA�-�>2<�:+��"#-.jT>)stsD'2A�E YL b EG"3-K}& 3'0*D:(�&�`�&�T #}��� -K�d'2%RjR�,�&�H B}z>FA7' c�OFU q �?A&>):�*F�m:l%(�H'FEG* �y�L � EG"3-K}& 3'0*D:(�&�`/)�H%(-+"B>FA,>)< :+���` B"#$&%R'2%(*)�L0U jm>Fs�}�"B #�n'2A�E�%(k&A,:(�&�`�m|G�djmkG:R'2$& #� ��P�iF{L 6 <?>)%Rjm�!:+���=~� B� �xP(h5h :+>t$e� �?%(����jT>)st}&"# B�`')A�E7%+k&A�:+���`�m|G�HjTkG:(')$& B� �xP�iF{

@�@! �"�#%$'&)(

Page 93: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� ��� ������ ����� ����� ����������

H(0�� ��: C�/.-8 L 8�� 5�� O35���T%(�X"3-�'2An�T|G')st}& B�;>2< < W� &i 6 Q)gFi :+��'2:�*F>)k jH'2A �dEG"B:�"#An:(�&�;E&"B%(�Hjm:+>)%(*!@.�&�T%(�f*F>)k`@�'2A9:�:+>4jT>)st}&"# B�:(�&�=~� #�H-&� �TC���6 Q9h b P+h5h �xk�-K"#A&C ZG[9\ pG"B<�*)>)k7jT')A&A&>2:.k�-+�=:+���njm>)st}&"# 3'1:+"#>)Azjm>Fstst')A�E W5g28 Y� L5L5L5L9L5L5L5L5L9L5L5L5L5LFL5L5LFL5L9L5LFL5L5LFL5L9L5LFL5L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L5L9L��� � [9Z�! 6=> L ��"����� > Y)()(� L5L5L5L9L5L5L5L5L9L5L5L5L5LFL5L5LFL5L9L5LFL5L5LFL5L9L5LFL5L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L5L9LZG[9\ > � � ; � :�� 8$#�% �); ;$#�8��'&(# \ &9:)# Z9[9\�+* � \5Z :���> L � � �+ZG[9\e�)J&N1Ueh[ � � \5Z :���> L1[fP L0[ ��� ; � :�� 8)#�% �); ;$#�8 ��&,# \ &�:$# :��=;$# [ � �[ � �9> L)g9W5g28�L)g u 8eN�L2g)Y u 8�L)g9g9W)8�W�h L)g2��gFW�N L)g)Y " h�L2g u L)g�QdSVh0U&i�N L)g u Q0{ � O5g� L5L5L5L9L5L5L5L5L9L5L5L5L5LFL5L5LFL5L9L5LFL5L5LFL5L9L5LFL5L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L5L9LP 6�& ��� �+- ;96 I P�iF{ P(h5hP(h5hxP�i){�I

� � � ��� � � � ��� � [9Z�! 6 � � � �+* � \9Z :�� � � �([ � � \9Z :�� � L2O � �xP�iF{ � �xP(h5h � � ����� � � �+[ � � �� L5L5L5L9L5L5L5L5L9L5L5L5L5LFL5L5LFL5L9L5LFL5L5LFL5L9L5LFL5L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L9L5L9L9L5LFL5L5L9L��>Fk7jH'2Azk�-+�="_:�'F-;<?>) # B>1@l- Y

u W� &i 6 Q9h b P�iF{@.�&"3jR�z@."B # jT>)st}&"# B�!:+���=~� B�n6 Q9h b P+h5h p)@."B:+�7:(�&�`%+k� B� P(h5hxP iF{ >2< < W� &i 6 Q)g9i �

465A@7498

Page 94: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

��� � � ��� �� �� �� ����� ��� � � ��� � �$� � ���� ��� � ��� �� ��� ����� � 4

� � ��� ����� ��� � �

4 � � � � ���l"��T�TA5$e�T%(C ')A�E��n�9� ���=*9:+sD'2A�>1/e���^k& _:REG"#s��HA�-+"B>FA�'2 V'2A�') B>FC)k&�d-�>)<�A&�T@�:(>)A�-X<?>)%(s k& 3')-<?>F%�-K*G-K:+�Hst-�>)<eA�>)A& #"BA��H'2%x') BCF�T$&%R'2"3j����Fk�'1:+"#>)A�-x'2A�E�-K>Fst�;>)<�:(�&�T"#%X'2}�}& B"3jT'2:+"#>)A�-H��� ��� � � � �� � ����� ��� ����� ���(��� p! " 9�# "$&% 4 �(' � p 4 � � 4 �

� � �*)�'��K' �mp2�=�,+='2%(%("_:�*Fp2'2A�E.-&�(/ '2%(%(�TA��104A :+�&�.'2}�}& B"3jT'2:+"#>)A�-�>)<�s k� _:(" � �2�9k�'2:+"#>)A�') 9%(�H-+k& B:(')AF:R-T�� �HjR��A&"#jH'2 43.�H}�>F%K: � *5�p5��k&%(E&k&�76lA&"#/V�Bp 4 � ��� � � � � � ��)�'2 #$��d-Tp�8M� /���� ')-(jT'2%(�T # 3'&p�'2A�E:9 � )!��);>1*GEM�;� }��H%(-+}e�Hjy:("B/F�t>2<�s�>GEG�H%+A st�m:(�&>GE&-`"#A

jT>)st}&kG:(�T%�� ')"#E&�HE7EG%+k�CtE&�H-+"BCFA��=< �?> ��� � ���A@ � ��� �� ��� ����� ���B@ � � � � � � pDC�% �FE ' �E � p 4 ��� � � � � 8M�G);'F-Kk pG3`�&��>) # #'Fj��epG')A�E/� � � �f�G3l>1*)�=04Aa:+���njm>)s $&"#A�'1:(>)%("#') �'2A�E�') BCF�T$&%R'2"3j�jT>)st}& #�m|G"_:�*D>)<

�9k�')A9:+"B~��T%4�T #"Bst"#A�'1:("B>FA���H A:I � � ��JLK=K=K � ����� �NM ���� � ��� ����� � � @ � ��� �� � � � ��� � � � pD8G'2A9:+����)p���T@ �z�m|G"3jm>�p 4 � � � �

C �PO �D);�dj��)�T%dpQ-&� ��� � ')%(EG"#A�') p?� � �f�Q3.>1*Fpe')A�E:R��Q8��d'1<?%R'2A&"#�Hj)�5�zk& B:+"#/1'2%("#'2:+�S)f�2�T>FkG:+"3'2A�-HpD�=%+>-�A��Hj��)�H%X-+*9s $�>F �'2A�E O "#-+�TA5$&k�E � � �T/5"BA�<?>F%+s k& #'��!H A � �F+!>)A1�2T2 #�?� �VUx�HCF'='2A�E��=�F3.�HjT"B>�p)�dEG"_:(>)%R-Tp� � W������� � � ��� � � W � � ��� �YX � � � ��� � ��� � � � � � � � ��� ����� p4/)>F Bk&st� 4 � >)<ZI �[W � ��� � ��� ��� p}�'2C)�d- E �(' 4 � � ��);"B% �5�1\2k�-+�T%dp�);'F-K�H p 4 � � 5&�

5 � � ���n�F);�T%(�TA�-K:+�H"BAa')A�E;�n����C)�H%H� O�] �Hjm:+"#/)�^);�?�H>)kG:f"#EG�HA9:+"B:+"#�H-f"BA�_P` acbGd?e2e?efdga�hFiw� � � � � �Q� ��� ��� p4 5,51% 5 �c' 4 � p 4 ��� 4 � E � � � �n�D);�T%(�TA�-K:+�H"BA p!3`�D+='0*)p!� �1U4"#EG%R')-Hp�')A�Ej�n� ��C)�H%H�k< � � � �$�l@ �� � �,� ��� � � �gm'���� J � � �!n

� ��� ��� p&/F>) #k&st� 4�4 � >2<BI �LW � ��� � ��� ��� )f"#% �9�!\2k�-+�T%dp 4 � � � � � 9 � �n��);�T%(A�-�:(�T"#A��M���&��A5k&s $��H%X>)<V%(>5>2:R-�>2<�'n-+*G-�:(�Ts >2<M���Fk�'1:+"#>)A�-T� M �� � � ��� � ��� � ��� � � � � � � p� �# "$&% 4 � ' 4 � CGp 4 � E CG� � �PO �!)po?�H>)kG:d�7� ��q ������ X q � q ��� � � � ^rts �$��� ����� �� � W q � �� s �$� �X��'2%("#-u%x�x� � �v9 �e�x"#�T%(%+�d-Tp 4(E,E � � 4 � � 9 �=);"BA�" �7��k&st�T%("#jH'2 .jm>Fst}&kG:('2:+"#>)A >2<4}e>) #*5A&>)st"3'2 p�T�H%+>9- $5* st�H')A�-�>2<4')$��H%K:(�4w -�st�m:(�&>GEM�

x � � ���� � ��� � � W������� � � p 4 � � E � ��:+>D')}&}��d'2%&$y� 4�4 � 9 � );"#A&" '2A�E )!� �^>)k&%(%(')"BA � ��>) #*5A&>)st"3'2 :+�d-�: -+k&"B:+�)p 4 ��� � �

b ���98.I�J5J2c5c5c�PRQdSGUVQ1WfP 6 UGJ&N2W)Y&W5J)\�yF[&J �

@�@! �"�#%$'&)(

Page 95: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� ����� ���� ��������� � I ��������

4 � 9 �1);"#A&" '2A�E U ����'2A���I ��� � �(� � ����� ��� � � ��� ���� � � ��� �� ��� ����� ��� ���� � M �� � � � ���$� ��� � � W��*n���� � �� �B);"B% �5�1\2k�-K�H%Hp�);>F-K:+>)A p 4 � � � �

4 � 9 ��);>)A�EG*9< '2 3'1:Hp4)!���^>)k&%(%(')"BA pV')A�E:U � � � ��'2A � � >FAF:(%+>F B #�HE "_:(�T%R'1:("B/F� st�m:(�&>GE&-=<?>F%=-+>) #/5"BA�C}e>) #*5A&>)st"3'2 ;-K*G-K:+�TsD-H�lH A 0 ��+! B>5>F%Hp��HEG"B:+>F%Hp=I � � �BJ �!� � @�� ��� p�}�'2CF�H-Z "C, ' ,C � �?�l�H@ ��>)% �ep� � ���x%(�H-(-H�Bp 4 � � � �

4 � � -�� � '2A&A5*)� � � �;@ � ��� � ������� � � � < � � ��� � ��� ����� I � ���,�$���FW ��� � Hy� �=�9�x%(�H-(-Hp � ')s $&%("3EGC)�Fp=�^'F-+-H�Bp4 � ��� �

4 C � -�� � ')A&A5*)�=H st}&%(>1/)�dE�') BCF>)%("_:(�&sD-X<?>F%�-+"BCFAzE&�m:+�H%+st"#A�'1:("B>FA7')A�E7�m|G"3-�:(�TA9:+"3'2 ��9k�')A9:+"B~��T%.�H B"#st" �A�'1:+"#>)A � � � ��@ � � � ������)����� ��� p 5�#C"$&% � ���c' � 4 � p 4 ��� � 4 5 � -�� � ')A&A5* ')A�E Hy� O s�"#%("#-H� �lA ���DjT"B�HA9:�'2 #C)>F%+"B:+�&s <?>)%,:+�&� -+}�')%(-+�^st"_|G�HE�%(�H-+k& B:(')AF:d� H A

+�� � >)���TA�p.�=� �^>)%R'&p�'2A�E 0 � �z>)%(�TA&>�pf�dEG"B:+>)%R-HptI � � �tJ �$� � �� � � ��� � � � � � � ��� � � � W � � � �� � W�� � ��� � � � W �� � ��� �jK � ��&n&@ ��� � @ � � � �� I �$� �� � < � � ��� p�/)>F Bk&st��5 E >2<�� � � � � x ��� � ���@ � � � � � � ����� � � p�}�'2CF�H- � �(' 4 � � ��85}&%("BA�C)�T%�� Ux�T%( #')C�p 4 � � �

4cE�� -�� � �! ;')%(E&"BA�') �#" �$��� ��� q � ����� W ������ � � � ��� q ��� � � � ��� � � q ��� �� ����� � � � �%$ � � � ��� � � � � � n����� ���x�19 :(�&�H-+"#-Hp16�A&"B/V��E&�73.�TA&A��H-Hp 4 � � �

4 � � -�� � �& ;'2%REG"#A�'2 w��04Az:�@;>D"B:+�T%R'1:("B/F�=s��T:+�&>GE&-l<?>)%!'2}&}&%(>0|G"BsD'2:+"#A&C�:+�&�n%(>5>2:R-�>2<�'D}e>) #*9A�>)st"#') �H A -&� 3.�HA&�TC9'2%dp$� �=85�5k&$�pX')A�EA8V�=85sD'2 #�)pX�HEG"B:+>F%(-Hp�I � � � � � � n � J �u� � � � � �� � � � ���(����� � ��� �� � � x � � � �� � ��� � �(��� � � ��'� I �� � @ ��� ���)( ��� ��� ����+*,� pX/)>F Bk�s�� z>)<-� � � � � � ���� � � � ��� ��� ��� �� p�}�')C)�H- 4 5"C ' 4 ��� �"��sz� �^'1:(���!85>Gj)���x%(�H-(-Tp 4 � � 5��

4 � � -�� � �. ;'2%REG"#A�'2 X')A�E )!�A�z>Fk&%+%R'2"#A�� �� BCF�T$&%R'2"3jt'2}&}�%+>9')jR� >2<�%+�d-K"3EGk&�d-n'2A�E ')}&}& #"#jH'1:+"#>)A�-T�lH A-���3.�TA&�HCF')%Hp � �N8G�9k�$�p�'2A�E 8M��85sD') B�Fp��dEG"B:+>)%R-Hp=I � � � �u� � n � J � � � � � � � � � � ���(�� ���� ��� �� � � x � � ���� � ��� � �(��� � � ��/� I �� � @ ��� ���0( � � �+� 1�+�+*,� pF/)>F Bk&st� .>)<2� � � � � � ��� � � � � ��� �� ��� �� p�}�')C)�H- 4 � �(' 4 � �9�x%+>1/5"3EG�TA�jm�)pG��st�T%("#jH'2A��^'1:(�&�TsD'1:("#jH'2 �85>GjT"B�T:�*,�x%(�H-(-Tp 4 � � 5��

� � � � � �! f�&"3-�:(>1/t')A�E 9 � � �1+!%("BCF>)%(*)�T/V� @ � ��� � ������� � � �43 �$���$� � 5 �� K � � � ��� ��� ����� ��� � � � � � � �� �� �06 � W�� � ��� � ��� � � @ � � � �ZM � � � � � � �Hjm:H���l>):+�d-7 f>Fs�} ��8&jm"w� 4(E 5��F85}&%("#A&C)�H%8� Ux�T%( #')C�p=�l�T@ ��>)%�9ep4 � � � �

4�� 9 �: f>0|Vp�-&� � "B:K:( B�Fp9')A�E;9 ��0 w 8G�&�H'�� J � � ��� ���� ������ � ��� �� ��� �-6 � W������� �<;>= � 6 � J �,� � � �@? � ����� ���@ � ; � ������ �����(�BA 6 A W ��C� ���D? X � � ; ��� ,E���� � @ � ;F; ������ � >�� 6 A W �GC � � 6�A�EG�T%(C)%R')E&k�'1:(��� �m|5:R-�"#A� '1:+���TsD'1:("#jH-T�!8G}&%+"#A&CF�T%�Ux�T%( #')C�p9���T@ ��>F%�9Vp 4 � � &�

, � �t�1 ��H')%+A��Hj�95" p�6n� O "3-K�HA&�Hj�9F�T%dp�3`�(+! IH�j�9Vpc9 �cU�'2A�E&�T%(/)>5>)%REG�)pd'2A�E`�=��Ux�T 3EG�5k&"��T�HA��F+!�HA&�T%R'1:("B/F���%+>FC)%R'2stst"BA&C ��A�E �.jm:+"#/)� � "B$�%(')%+"#�H-H�jH AJ" �2W = � � � A � � ; ���(�� ��� X ���(����D? I �LW� � ;F; ���FW p/F>) #k&st�`�k)p� >)< � �Hjy:(k&%(� �l>2:(�H-�"#AK f>)st}&kG:(�T%^8GjT"B�HA�jm�Fp 4 � ��� � 1� -�� /��j94�Tstst�T wpA-�� 3`� +!"# B$e�T%+:Hp ')A�EML�"3'2>1*F� 8V� � "w� � � � �� � (N(�= � = � X �� � � p 4 ��� E �

b ���98.I�J5J2c5c5c�PwS�i���g&Qd��P�O2U5Y&JGN5h2WGg)W)8�WGh &J289U&O��5O�� �98GiGJ �

OQPA@&OSR

Page 96: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

6�� � ; ��� ���� � �� = E ; C �1A �D? ����� �$� ; ����D?F? � ;� �� ��� ����� = �

� � ���D9�"#�m:(sD'2"#�T%d�l���&� 89:(�T@�'2%+:8� +!>)k&CF�7}� #'2:K<?>)%(s >2<xC)�HA&�T%R'2 �CF�T>Fs��T:+%(*�jH'2A^��'0/F� � � %(�H'2 }�>9- �:(k&%(�H-H� H A 6 <� p5}�'2CF�H- E ' 4 5�p�89:(%+>F$& wp 4 ��� � �

,C � +���9�>9-73.�T"3-H�;Ux�T%R-=k&A&�DA&>Fk&/)�H B #�D'2}&}&%(>GjR�&�tEGk jT'2 3jmk� �-+jT"B�HAF:("_~ �Fk��D�TA j %&% �;3l')}&}�>F%K:nEG�3l�HjR�&�H%(jR�&� � 5" &p"H � 3kH �np 4 ��� � �

*5 � � � O I91')EG";'2A�E )!���z>Fk&%+%R'2"#A�� ��}&}&%(>GjR�&�D� ] �Hjm:+"#/)�aEG�d-`%[od-K"3EGk�- '2 #C,oT$�%+" �9k&�H-H��3l'2}�}�>F%K: EG�3l�HjR�&�H%(jR�&�7 � � � p"H � 3kH �np 4 ��� 5&� E�� � � O I91')EG"='2A�E )4� �z>)k�%+%R'2"#A�� 85>)st� ')}&}& #"#jH'1:+"#>)A�-D>2<`$e�?�T>FkG:+"3'2A�-a"#A � ] �Hjm:+"#/)� ') BCF�T$&%R'2"3jCF�T>Fs��T:+%(*)� 3l')}&}�>F%K:lEG�73l�HjR�&�H%(jR�&� C E &pFH � 3kH �np 4 � ��� � � � � � O I91')EG"�'2A�E )!� �z>Fk&%(%(')"BA��p�l #C)>F%+"B:+�&sD-�<?>F%l%(�H-+"#EGk��H-.'2A�E � > �K'F-K"#�T@."3jf�=�T|5}e>)A��TA9:(-H� � � � �I � ������� 6���� A ����� 6 A W���C� � p � ��� � � >a'2}�}��d'2%d� � � Hy� R�� O s�"#%("#-�')A�ES)4�=�z>)k&%(%R'2"#A��&��>) #*9A�>)st"#') &-K*G-K:+�Hs�-K>F B/5"#A&C��2:+�&�ljH')-+�;>)<V'��1� '2:+>)s�st>F B�djmk& #�)�

3�'2}&}e>)%+:lEG�73.�HjR���T%RjR�&� � E CGp�H �^3kH � p194�Hj2� 4 � � 5&� � � Hy� R�� O st"B%("#-4'2A�E )!���z>)k&%(%R'2"#A�� f>Fst}&kG:+�H%4') BCF�T$&%R'�s��T:+�&>GE&-l<?>)%�-K:+k�EG*5"BA&C�'2A�E^jT>)st}&kG:("BA&C

st>F B�djmk& 3'2%;jm>)A&<?>)%(st'2:+"#>)A�-H� 6 A W������� �<; �D? � � � � ��?����BA J�=�= �$� ��� 6 A W ������ �+;F=�� ��Z@ � ;� �� ��� ����� �BA� ���BA �[W�E pD "C�% FE ' � � &p 4 ��� � � 94�� Hy� R�� O st"B%("#-4'2A�Ej)!� �z>Fk&%(%(')"BA�� �^'1:(%+"3jm�d-�"BA O B"#st"BA�'2:+"#>)A ���&�H>)%(*)� � � � � � E ; C �BA �D? @ � ;�� ��n

� ��� ����� p! � � 4�� ,$&% ' � � p 4 ��� � � � 0 � ��'2k&CF�T%R')-H� � � � �fn " � ; ��� = �����(�BA�@ � ;� �� � � � = ����� ��� X � � ; ��� ��D? � ����� � �����,� � � H�� }&%(�H-(-Tp4 � � � �1� � ��� "B:(jR��')-Hp)� �G+!"#k�-K:+"wp5')A�E � ��85st"#�m:(')A�-�99"w��85k�%f 3' jT>)st}& #�m|G"_:Lo�EGk,:+�GoH>)%��Tst��EG�d-B�2oT%(>F-H�QH A-��1+!k�E&'2:K:dp&�HEG"B:+>F%Hp1I � ? � � � � � � = ��? ����� �QJ �$� � @ ��� � � ��� 6���� � � � ; ��� ����� ������� � � � ; � m'��� ����� p���T:+�T% � '2A�C Ux�H%+ 3'2C�pG}�'2CF�H-k E � ' � p � '��4'2$�')A�'&p 4 � � � � � � ���&%(>)A5/5"B # #�)pu0 �k94�T/5"# B #�T%R-Tp � �l� �T"# B 3'2k�E�p!')A�E )!���z>)k�%+%R'2"#A�� �l #C)�H$&%(')"#j �z�T:+�&>GE&-z'2A�E

��%+"B:+��s��T:+"3j���"# _:(�T%("BA&Cn<?>)% O |G'Fjy:f��%+�dEG"#jH'1:(�H-x>FA f"B%Rjm #�^�l%RjT-H� H A I �G? � � �� �46 @ � � E ;�� � ���@ � ;�� � X � � ; � � ,E p��l>FA&C;��>FA&C�p@ f�&"#A&�Fp! ��� � �

C � +�� �n�B+!>F Bk�$ '2A�E 4� �;��U�'2A � >9'2A�� � ��� ����J? � ;� �� ��� ����� = � -)>)�&A ��')}:95"BA�-Hp=6lA�"B/V�x�x%(�H-(-Tp)�') _:("Bst>)%(�)p� '2%(*9 3'2A�EMp !#" �HEG"B:+"#>)A p 4 ��� 5&� 5 � �=�N+!%(')A& Bk�A�EM� X x ( � � A � � � A � I ��?�� = ����� 6 ���� �+; ��� �D? � � C ��,E �a��� + 9!'1:R'19)>FA�-+k& _:dp 4 ��� 5��

b ���98.I�J5J2c5c5c�P(N0c�OF{;P(h2O u J)Y u 8�J � FE�� 9 � � �*+!%+"#C)>F%+*F�T/�')A�E � � � �2Ux>F%+>F$���>1/V�,85>) #/5"BA&C4-K*G-K:+�TsD- >2<&}e>) #*9A�>)st"#') )"#A&�2�9k�') B"B:+"#�H- "BA -Kk&$e�m| �

}e>)A��TA9:+"3'2 :+"#st�)� � � � E ; C �1A �D? @ � ;� �� ��� ����� p4C&pD85}e�HjT"#') �H�-(-+k&�n>)A 94�HjT"#-+"#>)A �� BCF>)%("_:(�&sD-�<?>)%:(�&�n���&�H>)%(*a>2<�3.�H') # f B>9-K�dE$��"#�T 3E&-?% FE ' 5 � p 4 ��� � � � � -��V��'2%(%("#-H� 6 A W �GC ���D? X � � ; � � ,E � �-5 = � ? ��� = � pV/)>F Bk&st� 4 � >)< X �����$��� � � ����� = ��� � ��� �����T@7� ��>)%�9Vp185}&%("BA&CF�T%��VUx�H%+ 3'2C�p 4 � � G�

@�@! �"�#%$'&)(

Page 97: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� � ����� ���� ��������� � I ��������

� � 4� � ����> ] sD'2A&A�� X � � ; ��� ��D? ����� � �BA � � � � ��� A ����W � �z>)%(CF')Al�`'2k&<?st')A&A�p 4 � � � � � � � 3l>) 3E&'2A � >"�T> -)'Fj�9 9�>FA&CF')%+%R'&pQ�lA�EG%+�H@ � k�st-(E&')"BA&�t'2A�E:�`')%4"#A � �43.�Tst"#A&C2:(>)A�� Jg� � ���J ���� ��� � >�� � ��� � ��� = � � C ��,E ��0!'19l3."#E&C)� ��'2:+"#>)A�') � ')$�>F%('2:+>)%(*a'2A�E7�����76lA&"#/)�H%(-+"_:�*,>2<x� �HAA��H-(-K�H�)pt6lA�"B/F�T%R-K"B:�*r>)<��l>2:(%+�:94')s��Fp���'2:+"#>)A�') ^H A�-K:+"B:+kG:(� >)<785:('2A�E&'2%RE&-a')A�E � �HjR�&A&>F B>FC)*Fp

4 � � 5&� b ���98.IKJ9J u W�� b PwSMQ9N��fP Y&O � J&Q u g�()(5J � � 4�� O �F�`') _:(>2<?�TA �& f��'2 # B�HA&C)�d-x>2<�-+*9s $�>F B"3jljT>)st}&kG:R'1:+"#>)A�%A�^'0* < '0/)>F%+"B:+��>)}e�TAD}�%+>F$& B�HsD-T� � � � � @ � p � % � � 4 '�� 4 � pF ��� � � � � � +����=�&>1/1'2A�-895"#" � �l�T@�:(>)AD}e>) #*5�&�HEG%R'='2A�E�:(�&�lCF�TA5k�-x>)<MjT>)st}& #�m:(�."BA9:+�H%(-+�Hjm:+"#>)A�-H� M ����'� = ���(n

� �BA8� �!E�� 6 � �BA � m � K W � I ��SA �2m � � �,�SE � p 4 � 4 $f% C 4 ' 5 4 p�-)')A�� ' �^')%H� 4 � E � � � 1� O �D�=k�AG�)��� � A �� ��� ��� � �,� ���1A = � �.EG/1')A�jm�dEz B�djy:+k�%+�d-�"#A �^'2:+�&�Hst'2:+"3jT-H� ��%+"#�HEG%d�1U4"B�H@f�HC,'2A�E

8G>)�&A�p 4 � � 5&� � � � � � +��G�=k�-K�&A�"B%(�TA:9F>�� ���T@�:+>FA,}e>) #*9:+>)}e�H-;'2A�ED:+��� )po?�H>)kG:f:+�&�H>)%(�Tsz� M �� �+� = �����(�1A8� �@E�� 6 �(�1A � m

� K W�� I ��SA ��m � � �,�SE � p 4 � � $ypG-2k� � ' 85�H}�� 4 � E 5�� � C � 9 � � '*�d'2%REM� +!�HA&�T%R'2 #"��T�HE 89:(�T@�'2%+: �x 3'1:K<?>F%+sj%��l>1@ :+> jT>)st}&kG:(�a@."_:(� %("BCF"#E st>2:("B>FA�-�� H AJ&� 6 @ �:� E ;� � ��� � E ; C �BA �D?l@ � ;� �� ��� ����� p�}�')C)�d- � C ' � � p � "# # B�Fp 4 ��� � � 5 � 9 � �^'2A&>GjR��'r'2A�E -���94�Tstst�T w� �l #C)>F%+"B:+��st-a<?>)%�"BA9:+�H%(-+�Hjm:+"#A&C }�')%(')st�m:+%("3j^'2A�E ') BCF�T$&%R'2"3j

jTk&%(/)�H- H H&%��zk& B:+"#}& #� "#A9:+�H%(-+�Hjm:+"#>)A�-H� X � �!� �D? �BA � ��� ��A = ����� J,; �?W � I �G? � pPC E �# "$&% � 4 ' 4 ��� p4 � � CG�

� E�� )!�$�z>Fk&%+%R'2"#A�� ����� � � C)�HA&�T%("#ja}�>9-K"B:+"#>)A�- >2<�' }�'2%R'2 # #�T ;%+>F$�>):H� H A � � )f%(>)A�-�:(�T"#A�p��HEG"B:+>F%HpI � ? �4J �1� 6 @ pG�� ��}&%(�H-(-Tp5}�')C)�d- 4cE ' 4 � GpF�="B�H/ � 6�95%(')"BA&�c$yp1-)k& #* 4 ��� �

� � � )!���^>)k&%(%(')"BA � O A5k&st�T%R'1:("B>FA }�%+>F$& B�HsD-�"BA +!�H>)st�m:(%+*Fp,3.>)$e>2:("#jH-�'2A�E U4"#-+"#>)A��!H A � �"+!>FAG�2T) B�2�')A�E,�=��3.�djm"#>�p5�HE&"_:(>)%R-Tp 6 A W ������ �+;F= ��� 6 A W���C� ���D? X � � ; ��� ,E ����� 6���� A �D? ��� ����� = p&/)>F Bk�s�� 4 � >)<=I �[W � ��� � ��� �� p�}�')C)�H-t � C ' � 5&�F)f"#%�99�!\2k�-+�T%dp�);'F-K�H p 4 � � 5�� � � � )!��z>Fk&%(%(')"BA�� f>)st}&kG:("BA&C�"3-K>F #'2:+�HE,}�>F B*5A&>Fst"#') e%(>5>2:R-X$5*DsD'1:(%+"B|ast�m:+��>5E�-T� � � � � � E ; C �1A �D?

@ � ;�� ������ ����� � � � ��? ���1A J,=�= �$� ��� � E ; C �1A �D??n x � ; � ��D? 6 A W ��C� � � �� I �BA E�� � ; ���BA = p� ,5� 5F$&% E)4 C 'E� � pG9��dj2� 4 � � � �

C � � )!���^>)k&%(%(')"BA �S� A&�H@ jT%+"B:+�H%+"#>)A <?>)%`A&>F%+sD') <?>F%+s�'2 #C)>)%("B:+�&sD-H� H A � � ��>F-(-K>F%+"#�T%dpM�n�4H sD')" p8G�9k � "BA p�')A�E �n����>) #" p��HEG"B:+>F%(-Hp=I �G? � 6 6^K @�@ p�/)>) #k&st� 4cE�4 � >2< ��x @ � p }�'2CF�H- � �c' � � p4 � ��� �

C 4�� )!���z>)k�%+%R'2"#A�')A�E;U � ���9��'2A �?�^k& _:("B/1')%+"3'1:(�l}�>F B*5A&>Fst"#') #-HpFEGk�'2 #"_:�*t'2A�ED-K:+%(k�jm:+k&%(�HEtsD'1:(%+"3jm�d-T�� � � � @ � ;� A ������� E p 4 5� 4 $f% 4�4 �c' 4 ��� p" � � � �

C, � )!���z>)k�%+%R'2"#AD'2A�Ea� �9��%+"#�m:(>������&��� �t%(�m<?�H%+�HA�jm��st')A5k�'2 w�M� �djR�&A&"3jT'2 �%+�H}�>F%K:dp,H � 3kH �npG ��� � � C 1� )!� �^>)k&%(%(')"BA�'2A�E7�x����� %LoT$&k�jR���m:H�=85>F B/5"#A&Ct}&%(> ���Hjm:+"#/)�=jm>Fs�}� B�T:+�="BA9:(�T%R-K�djy:+"#>)A,< ')-K:+�H%H�BI �G? �J �1� 6 @ pG}�'2C)�d-t 4 ' � pF ��� � �

OQPA@&OSR

Page 98: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

6�� � ; ��� ���� � �� = E ; C �1A �D? ����� �$� ; ����D?F? � ;� �� ��� ����� = � C

C � � 9 � 3`� �zk�-(-+�T%l'2A�El� �!8G'2"#A&"w� � �2� � ���������BA ����� � � �� ��� ? � W �� � �4� @ � � � �[W � ;4; ���FW$� ��� �� � � = ���������� � ��� ;� A �����>A � C ��,E �B�.E�EG"#-+>)A:�V/ �H-+ B�H*)p 4 � � 5��

C,C � 3l>) 3E&'2A�� >"�T>!'2A�E �lA�EG%(�T@ � k&sD-(E&'2"#A&�p�`'2%("BAZ� �*3.�Tst"#A&C2:(>)A�� � � �� = � � � C ��� � � �� = � � ��� ����@ A � =�= � � C ��,E � �4'1:("B>FA�'2 �H A�-�:("_:(kG:+��>2<^89:R'2A�E&')%(E�-n'2A�E � �HjR��A&>) #>)CF*)p�6�A&"#/)�T%R-`"B:�* >)<��l>2:(%+�9!'2st�Fp 4 ��� 5&� b ���F8.IKJ5J u W�� b PwSVQ9N��;PwYGO � J&N08&W)U�N)i9g�Qd��J �

C*5 � � �!3l')C)��'0/1'2A7'2A�Ej)!�13.>):+���p85>) #/5"BA&Ct}e>) #*5A&>)st"3'2 -+*G-�:(�TsD-;<?>)%.:(�&�=:+����99"#A&�Hst'2:+"3j`'2A�') B*G-+"#->)< st�HjR��')A&"3-KsD-�'2A�E,%+>F$�>):fsD'2A�"B}&k� #'2:+>)%R-H� 6 � � K � � � � � ��? � ���,�D? �1A " � = � W � p 4�4(E �V ,$&% E)4 ' E � p4 � � CG�

C E�� -��Q3.�TA��TCF')%H� 04A :+�&�DjT>)st}&kG:R'1:+"#>)A�'2 �jm>)st}& #�m|G"B:�* '2A�E C)�H>)st�m:(%+*z>2<X:+�&��~�%R-�:=>)%REG�H%�:(�&�T>F%+*>)<�%(�H') #- � HypGH HypGH[H H $m� � � � E ; C �1A �D? @ � ;�� ������ ����� p 4 � $f% "C,C ' C" Gp 4 � � &� C � � 3n�F3.>F$�-+>)A�� ( = ���FW�� � � � � � � � � � @ ��� = ���������� ��� � ;� A ����� A � C ��,E ��85}&%("BA�C)�T%�� Ux�T%( #')C�p 4 ��� � � C � � �;�13l>)A&C9'�')A�E7�=�GUxk�-K:H�B89:(�T@�'2%+:�}� #'2:K<?>)%(sD-�@."_:(�&>)k&:�jm>)st}&k&:+�T% �Fp 4 ��� G���x%(�T}&%("#AF:d� 5 � � 0 � 3.k�'2:K:('�� � q � � � ��� =4; ��� ��D?�����ASA � =�� ���A � == E = �%$ ; � = �&� qgs �$��� ����� = � �BA�E��(� ; ���BA � = � � � ��� A � n

? ��� ����� � A � �<C ��� � s �$� � � � A � ? � � ; ��� �;�x�19 :(�&�H-+"#-Hp � 9 �NHyp!-)k&A 4 � ��� � 5 4�� ���"8G'F')EM� J ���� ��� � >�� ; ��� � � � = � �� = � �� = � A ���(� �� = E = � � ;F= � 85�H%+"#�H-�"#A f>Fst}&kG:+�H%B8Gjm"#�TA�jm�)�F� / 8Vp

4 � � 5&� 5" � -��G8G'2$�"#' '2A�Ea���G85>F B�H%+A&>���);>)k&A�E&-�<?>F%X:(%('Fjm�d-�"#A�jm>Fst}& B�T:+�!"BA9:(�T%R-K�djy:+"#>)A�-X'2A�E,EG�HC)%(�T�H-X"BA,:+�&�

��k& # #-K:+�H B #�TA�-K:(',�)� 6 6^K @�@�n p � � � % C ' FE 5&p 4 � � C&� 5 1� +��,8&jR�&� �K'!'2A�ES6n�,85:+>)%RjR�����l$e�T%B8G}&k&%+<?k&A:99:+"#>)A&�HA $e�T"G/F>) # #-K:L\)A�EG"#C)�HAZ9�k�%(-(jR�&A&"B:K:(�TA�� � � < �����(�6 ��W�� � � ��� � � ; ��� � � p E � % 4(E � ' 4 ��� p 4 � E C&� 5 � � � �D-�� 85:+�m:+:+�H%H� O "#C)�HA&}&%(>)$& #�TsD-l')%+�n'2:l:+��� �&�d'2%+:l>2<�}e>) #*9A�>)st"#') -+*5-K:+�Hs -+>) #/5"BA�C�� � J X � 6 �

� � ASA ��� ��� p � � � $&% , ' ,C&p 4 � � 5�� 5"C � � � -�� 85:+�m:+:+�H%H�.�x%("BA�jm"#}& B�d-.>2<xA5k&st�T%("3jT'2 }�>F B*5A&>Fs�"3'2 '2 #C)�T$�%('��=H A:I �G? ��� ���� =g� � � � E ; C �1A �D?

��� � E ; C �1A �D??n x � ; � ��D? 6 A W���C� � � �� I �1A E��(� ; ���1A = � � x 6 I n � �� pB8G>)}&�&"3'B�v�lA9:("B}e>) #"#-Hp �&%R'2A�jm�)p-)k& #* 4 � � 5�� 5,5 � -�� -&�=85*5 #/)�H-K:+�H%H�A04A ' :(�&�T>F%+* >2<!-K*��T*5CF�m:+"3j�%+�H #'2:+"#>)A�- >2<l:�@;> %R'1:("B>FA�'2 ;"#AF:(�TCF%(') X<?k&A�jy:+"#>)A�-TpjT>)st}&%("#-+"#A&Ca'2A^'2}�}& B"3jT'2:+"#>)Az:(>t:+�&�`:(�&�T>F%+*�>2<B89:(k&%+sjw -.<?k&A�jy:+"#>)A�-TpV'2A�E�:(��'1:�>)<�:+�&�nCF%+�d'1:(�H-K:

') BCF�T$&%R'2"3j!jm>)stst>)A7st�H'F-Kk&%(�)�BI � �SA � = � �1� �D? �1A � ��� =�� p 4 � % � � E ' C � � p 4 � C � 5 E�� H�')"BA;8V�(94k ] ��"#s�>):+�5*7�n�*9!'0/5"#-H� (��lM I 6 @ ( � = E ;F; ��� ��D??n � ��� � ���� � � A � � � ���$� �BA I ��?����2W�� �6�A&"#/)�T%R-+"_:�*a>)<��� #>)%("#E&'�p 4 ��� � � b ���F8.IKJ5J2c9c5c.PwS�i ��g�QH��P OFUFY�J5g&QHS&WGg)YGJ2v u 6 8�W�h �P �GW)U�P Y9] � 5 � � �=�!Ux�T 3EG�5k&"��T�TA ')A�E 9 �2 ;'2A�A&>)A����.jy:("B/F� � "#$�')%+"#�H-2%B3.�T:+�&"#A:95"BA�CD:+�&� %+>F B�d-.>2<xjm>Fs�}�"B #�T%R-l'2A�E #"#$&%(')%+"#�H-H�NH A � J�6 ��� ���� =g� � � ��� ��C�����?��� ������$� ��� � � � � ��� = � �� J �$� � &n � � � �+C A � � ? �����$� � 5/?

����� K �FW ���(� ������FW @ � ;� �� ���FW p 4 ��� � �

@�@! �"�#%$'&)(

Page 99: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

� 5 ����� ���� ��������� � I ��������

5 � � -��G/ "# 95"#A�-+>)A��Z� � � 6 A W �GC ���D? K � W����1>��BA �$� I �+C A � ; �p0�|5<?>)%RE 6�A&"#/e���x%+�d-+-Hp � >FA�EG>FA�p 4 � 5"CG� E � � ���*Re"#s�st�H%+sD'2A�A�� X x (l� � A � � � A � I ��?�� = ����� M A � ��� ����W*n I �����$� < � A ���<C,A � � � C ��,E � � >)%("3'&p �4'2A�jT*)p4 � ��� � b ���98.IKJ9J2c5c5c.P�g9OFUVQ2W�P 6 UGJ285U&O��5i���NFJ u 8 6 U�J �

OQPA@&OSR

Page 100: A framework for Symbolic and Numeric Computations - Inria

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles - B.P. 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Lorraine : Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique615, rue du Jardin Botanique - B.P. 101 - 54602 Villers lès Nancy Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38330 Montbonnot St Martin (France)

Unité de recherche INRIA Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - B.P. 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, B.P. 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)��������� ���� ���������� ��� ���

ISSN 0249-6399