a design methodology for distributed control systems to optimize

7/24/2019 A Design Methodology for Distributed Control Systems to Optimize

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A D e s i g n M e t h o d o l o g y f o r D i s t r i b u t e d C o n t r o l S y s t e m s t o

O p t i m i z e P e r f o r m a n c e i n t h e P r e s e n c e o f T i m e D e l a y s

1

J . K . Y o o k , D . M . T i l b u r y , N . R . S o p a r k a r y

T h e U n i v e r s i t y o f M i c h i g a n

M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g a n d A p p l i e d M e c h a n i c s

y E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g a n d C o m p u t e r S c i e n c e

A n n A r b o r , M I 4 8 1 0 9

f j y o o k , t i l b u r y , s o p a r k a r g @ e n g i n . u m i c h . e d u

A b s t r a c t

W h e n a c o n t r o l s y s t e m i s i m p l e m e n t e d i n a d i s t r i b u t e d f a s h -

i o n , w i t h m u l t i p l e p r o c e s s o r s c o m m u n i c a t i n g o v e r a n e t -

w o r k , b o t h t h e c o m m u n i c a t i o n d e l a y s a s s o c i a t e d w i t h t h e

n e t w o r k a n d t h e c o m p u t a t i o n d e l a y s a s s o c i a t e d w i t h t h e

p r o c e s s i n g t i m e c a n d e g r a d e t h e s y s t e m ' s p e r f o r m a n c e . I n

t h i s c a s e , t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s y s t e m m a y d e p e n d n o t

o n l y o n t h e p e r f o r m a n c e o f t h e i n d i v i d u a l c o m p o n e n t s b u t

a l s o o n t h e i r i n t e r a c t i o n a n d c o o p e r a t i o n . T h e a p p r o a c h

t a k e n i n t h i s p a p e r a s s u m e s t h a t t h e c o n t r o l h a s b e e n d e -

s i g n e d w i t h o u t t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e n e t w o r k a r c h i t e c -

t u r e . A t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k i s p r e s e n t e d w h i c h a l l o w s t h e

e e c t o f t i m e d e l a y s o n t h e m e c h a n i c a l p e r f o r m a n c e o f t h e

s y s t e m t o b e p r e c i s e l y m o d e l e d , a n d t h e s e m o d e l s a r e u s e d

t o d e t e r m i n e t h e o p t i m a l n e t w o r k a r c h i t e c t u r e f o r t h e g i v e n

c o n t r o l s y s t e m . A d e s i g n e x a m p l e o f a t w o - a x i s c o n t o u r i n g

s y s t e m i s p r e s e n t e d .

1 I n t r o d u c t i o n a n d M o t i v a t i o n

F r o m m o n o l i t h i c , c e n t r a l i z e d c o n t r o l a l g o r i t h m s , t h e r e i s

a n i n c r e a s i n g t r e n d t o w a r d s d e c e n t r a l i z e d , d i s t r i b u t e d r e a l -

t i m e c o n t r o l i m p l e m e n t a t i o n s . T h i s t r e n d m a y b e o b s e r v e d

i n a p p l i c a t i o n a r e a s t h a t r a n g e f r o m r o b o t i c m a c h i n i n g t o

a u t o n o m o u s v e h i c l e c o n t r o l . T h e c h a n g e s a r e d i c t a t e d b y

p r a g m a t i c c o n s i d e r a t i o n s t h a t i n c l u d e i n h e r e n t p h y s i c a l d i s -

t r i b u t i o n o f s y s t e m s , c o n t r o l p e r f o r m a n c e , a n d e v e n e c o -

n o m i c f a c t o r s . I n d i s t r i b u t e d s y s t e m s , m o d u l a r i t y c a n b e

u s e d t o m a n a g e c o m p l e x i t y . I f t h e p h y s i c a l s y s t e m t o b e

c o n t r o l l e d h a s n a t u r a l p o i n t s o f d i v i s i o n , a c o n v e n i e n t w a y

t o m o d u l a r i z e t h e c o n t r o l s c h e m e w o u l d b e t o a l l o c a t e o n e

c o n t r o l m o d u l e f o r e a c h p h y s i c a l c o m p o n e n t o f t h e s y s t e m .

H o w e v e r , t h i s d e c o u p l e d c o n t r o l s t r a t e g y c a n o n l y p r o v i d e

g o o d o v e r a l l p e r f o r m a n c e i f t h e r e i s l i t t l e p h y s i c a l c o u p l i n g

b e t w e e n t h e s y s t e m c o m p o n e n t s , o r i f t h e d e s i r e d p e r f o r -

m a n c e d o e s n o t i n h e r e n t l y d e p e n d o n t h e c o o r d i n a t i o n o f

t h e s y s t e m c o m p o n e n t s . I n m a n y c a s e s , t h e m e c h a n i c a l s y s -

t e m p e r f o r m a n c e m e t r i c s s u c h a s s p e e d o f r e s p o n s e , t r a -

e c t o r y f o l l o w i n g e r r o r e t c w i l l b e c l o s e l y l i n k e d t o t h e

c o m p u t i n g s y s t e m p e r f o r m a n c e m e t r i c s p r o c e s s o r s p e e d ,

n e t w o r k b a n d w i d t h , l a x i t y , q u a l i t y o f s e r v i c e , e t c . .

I n o u r r e s e a r c h , w e a r e w o r k i n g t o e x p l i c i t l y c h a r a c t e r i z e t h e

1

T h i s r e s e a r c h w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e N S F u n d e r t h e

g r a n t s E E C 9 5 - 9 2 1 2 5 a n d C M S 9 9 - 7 7 1 7 9 .

p e r f o r m a n c e o f t h e c o n t r o l s y s t e m , i n t e g r a t i n g t h e m e c h a n i -

c a l s y s t e m p e r f o r m a n c e m e t r i c s w i t h t h e c o m p u t i n g s y s t e m

p e r f o r m a n c e m e t r i c s , a n d t h e r e a f t e r , t o e m p l o y q u a l i t y o f

s e r v i c e Q o S a p p r o a c h e s f r o m c o m p u t e r s c i e n c e t o i m p r o v e

t h e o v e r a l l p e r f o r m a n c e . I n t h i s p a p e r , w e a s s u m e t h a t t r a -

d i t i o n a l t e c h n i q u e s a r e u s e d t o d e s i g n a c o n t r o l l e r f o r t h e

c o u p l e d m e c h a n i c a l s y s t e m , i g n o r i n g a n y i m p l e m e n t a t i o n

e e c t s . W e t h e n s h o w h o w t h e b e s t i m p l e m e n t a t i o n f o r a

g i v e n c o n t r o l s y s t e m c a n b e d e t e r m i n e d . F u t u r e w o r k w i l l

a d d r e s s m e c h a n i s m s f o r d e s i g n i n g o r r e - d e s i g n i n g a c o n t r o l

s y s t e m t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e l i m i t a t i o n s o f t h e u n d e r l y -

i n g c o m p u t i n g i n f r a s t r u c t u r e .

2 B a c k g r o u n d

T r a d i t i o n a l l y , c o n t r o l a l g o r i t h m s h a v e b e e n d e s i g n e d w i t h -

o u t c o n s i d e r a t i o n o f t h e i r i m p l e m e n t a t i o n d e t a i l s . H o w -

e v e r , w h e n n e t w o r k s a r e u s e d t o c a r r y f e e d b a c k s i g n a l s f o r

a c o n t r o l s y s t e m , t h e l i m i t e d b a n d w i d t h i n d u c e s u n a v o i d -

a b l e c o m m u n i c a t i o n d e l a y s . I n o r d e r t o s u c c e s s f u l l y a n a l y z e

t h e b e h a v i o r o f a n e t w o r k e d c o n t r o l s y s t e m , t h e t y p e a n d

l o c a t i o n o f t h e s e d e l a y s m u s t b e c h a r a c t e r i z e d , a n d t h e i r e f -

f e c t o n t h e p e r f o r m a n c e o f t h e c o n t r o l s y s t e m u n d e r s t o o d .

A l t h o u g h s o m e p a r t s o f t h i s p r o b l e m h a v e b e e n s t u d i e d p r e -

v i o u s l y , i n t h i s p a p e r w e s t u d y h o w t h e c o n t r o l a r c h i t e c t u r e

| t h e a l l o c a t i o n o f c o n t r o l t a s k s t o p r o c e s s i n g n o d e s o n a

n e t w o r k | a e c t s t h e m e c h a n i c a l p e r f o r m a n c e .

2 . 1 C o n t r o l n e t w o r k e e c t s

W h e n a n e t w o r k i s u s e d t o t r a n s m i t d a t a , t h e d e l a y b e -

t w e e n t h e i n i t i a t i o n t i m e o f t h e m e s s a g e a n d t h e d e l i v e r y

t i m e i s i n u e n c e d n o t o n l y b y t h e s p e e d o f t h e n e t w o r k b i t -

r a t e a n d m e s s a g e s i z e b u t a l s o b y t h e a m o u n t o f o t h e r t r a f -

c o n t h e n e t w o r k a n d t h e c o m m u n i c a t i o n p r o t o c o l u s e d .

T h e c o m m u n i c a t i o n p r o t o c o l a l s o a e c t s t h e r e l i a b i l i t y a n d

f a u l t - t o l e r a n c e o f t h e n e t w o r k e d s y s t e m t h r o u g h i t s p r i o r i t y

a s s i g n m e n t a n d e r r o r - c o r r e c t i o n s c h e m e s . I n 5 , c o m m u n i -

c a t i o n p r o t o c o l r e q u i r e m e n t s f o r r e a l - t i m e s y s t e m s w e r e d i s -

c u s s e d i n d e t a i l . A s t u d y o f t h e d e l a y c h a r a c t e r i s t i c s o f p o p -

u l a r c o n t r o l n e t w o r k s c a n b e f o u n d i n 6 . I t i s w e l l - k n o w n

t h a t e x c e s s i v e d e l a y s i n a f e e d b a c k l o o p c a n d e s t a b i l i z e a

c o n t r o l s y s t e m 2 . T h u s , i n a d i s t r i b u t e d c o n t r o l s y s t e m ,

t h e e e c t o f t h e n e t w o r k i n d u c e d d e l a y s o n t h e s t a b i l i t y

o f t h e s y s t e m s h o u l d b e a n a l y z e d . R o b u s t c o n t r o l 3 , 9 ,

s t a t e p r e d i c t i o n c o n t r o l s c h e m e 1 , a n d r e c u r s i v e i n f o r m a -

t i o n o w s y s t e m 8 h a v e b e e n p r o p o s e d t o c o m p e n s a t e f o r


2/6

t h e e e c t o f t i m e d e l a y s . H o w e v e r , t h e s e a p p r o a c h e s d o

n o t a l l o w a s y s t e m w i t h w e l l - c h a r a c t e r i z e d a n d p r e d i c t a b l e

t i m e d e l a y s t o b e o p t i m i z e d . O u r w o r k a s s u m e s t h a t t h e

n e t w o r k t i m e d e l a y s c a n b e c h a r a c t e r i z e d , a n d f o c u s e s o n

d e t e r m i n i n g t h e e e c t s o f t h e s e t y p e s o f d e l a y s .

2 . 2 C o n t r o l a r c h i t e c t u r e e e c t s

T h e m e c h a n i c a l p e r f o r m a n c e o f a d i s t r i b u t e d c o n t r o l s y s -

t e m d e p e n d s o n t h e c o n t r o l a l g o r i t h m s u s e d a n d o n t h e

h a r d w a r e i m p l e m e n t a t i o n o f t h o s e a l g o r i t h m s . T h e e e c t s

o f s y n c h r o n i z a t i o n 1 0 , s a m p l i n g f r e q u e n c y 4 , a n d d e l a y

1 2 o n t h e p e r f o r m a n c e h a v e b e e n c o n s i d e r e d b y o t h e r r e -

s e a r c h e r s . H o w e v e r , m o s t o f t h e e x i s t i n g w o r k h a s f o c u s e d

o n t h e s i n g l e - i n p u t , s i n g l e - o u t p u t c a s e , w i t h o n e a c t u a t o r ,

o n e s e n s o r , a n d o n e p r o c e s s o r . E v e n w h e n m u l t i - i n p u t ,

m u l t i - o u t p u t p l a n t s a r e c o n s i d e r e d , t h e c o n t r o l i s t y p i c a l l y

c e n t r a l i z e d w i t h t h e s e n s o r a n d a c t u a t o r d a t a p e r h a p s s e n t

o v e r a n e t w o r k , b u t t h e r e i s n o d i s t r i b u t e d c o o r d i n a t i o n

o f p h y s i c a l l y s e p a r a t e d m e c h a n i c a l s y s t e m s . A f t e r c o n t r o l

e n g i n e e r s d e v e l o p b l o c k d i a g r a m s t h a t d e s c r i b e t h e s y s t e m

b e h a v i o r , t h e s y s t e m i n t e g r a t o r m u s t a n s w e r f u n d a m e n t a l

i m p l e m e n t a t i o n q u e s t i o n s . T h e c h o i c e o f s a m p l i n g r a t e s ,

p r o c e s s o r s , a n d c o m m u n i c a t i o n p r o t o c o l , w i l l i n t r o d u c e d i f -

f e r e n t c o m m u n i c a t i o n a n d c o m p u t a t i o n d e l a y s i n a s y s t e m

w h i c h w i l l i n u e n c e t h e o v e r a l l p e r f o r m a n c e o f t h e s y s t e m

s i g n i c a n t l y . N o t o n l y t h e m a g n i t u d e b u t a l s o t h e l o c a t i o n

o f t h e d e l a y a e c t s t h e s y s t e m ' s p e r f o r m a n c e . I n t h e a b -

s e n c e o f d e l a y , t h e p e r f o r m a n c e o f a n y s y s t e m a r c h i t e c t u r e

s h o u l d b e i d e n t i c a l . H o w e v e r , s i n c e d e l a y i s u n a v o i d a b l e i n

a d i s t r i b u t e d s y s t e m , t h e a r c h i t e c t u r e w h i c h m o s t e c i e n t l y

a r r a n g e s t h e d e l a y s s h o u l d b e c h o s e n .

E x i s t i n g s t u d i e s o n d i s t r i b u t e d c o n t r o l s y s t e m s t y p i c a l l y a s -

s u m e a p r e d e t e r m i n e d d i s t r i b u t e d a r c h i t e c t u r e . T h e a n a l -

y s i s o f a d i s t r i b u t e d c o n t r o l s y s t e m s h a s t o o v e r c o m e t h e

c o m p l e x i t y i n h e r e n t i n a s a m p l e d s y s t e m , a n d t h e r e i s a

l a c k o f n o n l i n e a r s y s t e m s c o n t r o l t h e o r y t o a n a l y z e o r s y n -

t h e s i z e s u c h s a m p l e d c o n t r o l l a w s w i t h r e s p e c t t o o u t p u t

p e r f o r m a n c e i n d e x e s . F o r t h e s e r e a s o n s , n o r i g o r o u s s y s t e m -

a t i c a p p r o a c h t o i n c r e a s e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s y s t e m b y

p r o p e r i m p l e m e n t a t i o n h a s b e e n d e v e l o p e d , a l t h o u g h g u i d e -

l i n e s a n d s i m u l a t i o n s t u d i e s a r e p r e s e n t e d i n 7 , 1 2 . T h e s e

p r e l i m i n a r y i n v e s t i g a t i o n s a r e u s e f u l t o s h o w t h e f e a s i b i l i t y

o f d i s t r i b u t e d r e a l - t i m e c o n t r o l s y s t e m s , b u t t h e y a r e i n a d -

e q u a t e i n t e r m s o f g e n e r a l p r i n c i p l e s t h a t c a n b e u s e d t o

g u i d e t h e d e s i g n o f d i s t r i b u t e d c o n t r o l s y s t e m s .

I n t h i s p a p e r , w e p r o p o s e a n a n a l y t i c a l a p p r o a c h t o c h a r a c -

t e r i z e t h e e e c t s o f t h e c o n t r o l a r c h i t e c t u r e o n t h e m e c h a n i -

c a l p e r f o r m a n c e , g i v e n a p r e d e n e d c o n t r o l a l g o r i t h m . T h i s

w i l l a l l o w t h e s y s t e m i n t e g r a t o r t o q u i c k l y e v a l u a t e m a n y

d i e r e n t s c e n a r i o s a n d c h o o s e t h e b e s t p o s s i b l e o n e . I t w i l l

a l s o e n a b l e f u t u r e w o r k w h e r e b y t h e c o n t r o l a r c h i t e c t u r e

w i l l b e d e s i g n e d t o g e t h e r w i t h t h e c o n t r o l a l g o r i t h m .

3 M a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k

I n t h i s s e c t i o n , w e d e n e t h e p e r f o r m a n c e c r i t e r i a f o r m e -

c h a n i c a l s y s t e m s , a n d t h e n t h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n

f u n c t i o n a s s o c i a t e d w i t h d i e r e n t t i m e d e l a y s . I n S e c t i o n 4 ,

w e p r e s e n t p r e l i m i n a r y a n a l y t i c , s i m u l a t i o n , a n d e x p e r i -

m e n t a l r e s u l t s w h i c h v a l i d a t e t h i s f r a m e w o r k .

3 . 1 P e r f o r m a n c e c r i t e r i a

W i t h i n t h e c o n t e x t o f t h i s p a p e r , t h e p e r f o r m a n c e o f a m e -

c h a n i c a l c o n t r o l s y s t e m w i l l b e d e n e d b y h o w c l o s e l y t h e

s y s t e m t r a c k s a g i v e n r e f e r e n c e t r a j e c t o r y . T h a t i s , g i v e n a

d e s i r e d r e f e r e n c e t r a j e c t o r y r t f o r t h e s y s t e m , t h e p e r f o r -

m a n c e i s t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e a c t u a l s y s t e m o u t p u t

y t a n d t h e r e f e r e n c e , P = k y , r k . D e p e n d i n g o n t h e p h y s -

i c a l s y s t e m a n d t h e a p p l i c a t i o n d o m a i n , o n e o f m a n y d i e r -

e n t n o r m s m a y b e u s e d , i n c l u d i n g t h e m a x i m u m d e v i a t i o n

f r o m t h e t r a j e c t o r y , t h e a v e r a g e e r r o r a l o n g t h e t r a j e c t o r y ,

o r t h e e n d p o i n t e r r o r .

T h e f o c u s o f t h i s w o r k i s o n d e v e l o p i n g m e t h o d o l o g i e s f o r

i m p l e m e n t i n g c o n t r o l l a w s u s i n g d i s t r i b u t e d c o m p u t i n g s y s -

t e m s , n o t o n d e v e l o p i n g n e w c o n t r o l l a w s . T h u s , t h e b a s e -

l i n e p e r f o r m a n c e w i l l a l w a y s b e t a k e n t o b e t h e e x p e c t e d

v a l u e o f t h e p e r f o r m a n c e c r i t e r i a w i t h n o t i m e d e l a y . T h i s

c h a r a c t e r i z a t i o n a l l o w s u s t o i s o l a t e t h e e e c t o f t h e t i m e

d e l a y f r o m t h e c o n t r o l d e s i g n .

3 . 2 P e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n s

C o n s i d e r a c o n t r o l s y s t e m w i t h a n d w i t h o u t t i m e d e l a y .

L e t r t b e t h e r e f e r e n c e , y

t b e t h e o u t p u t o f t h e s y s t e m

w i t h o u t t i m e d e l a y , a n d y t b e t h e o u t p u t o f t h e s y s t e m

w i t h t h e t i m e d e l a y . T h e n o m i n a l p e r f o r m a n c e c r i t e r i a i s

g i v e n b y

P

= k y

, r k

W e a s s u m e t h a t t h e c o n t r o l l e r h a s b e e n d e s i g n e d w e l l , a n d

t h a t P

i s t h e b e s t " p o s s i b l e p e r f o r m a n c e t h a t w e c a n

a c h i e v e . W i t h t i m e d e l a y , t h e p e r f o r m a n c e c r i t e r i a b e c o m e s

P = k y , r k

= k y , y

+ y

, r k

k y , y

k + k y

, r k

= k k + P

w h e r e r e p r e s e n t s t h e d e g r a d a t i o n i n p e r f o r m a n c e d u e t o

t h e t i m e d e l a y .

I n g e n e r a l , t h e r e m a y b e m a n y t i m e d e l a y s w h i c h c o n t r i b u t e

t o t h e o v e r a l l p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n . C o n -

s i d e r a g i v e n d i s t r i b u t e d c o n t r o l a r c h i t e c t u r e w i t h n n o d e s

s e n s o r s , a c t u a t o r s , c o n t r o l m o d u l e s i n t h e c o n t r o l s y s t e m ,

a n d c o m m u n i c a t i o n a n d c o m p u t a t i o n d e l a y s

j

a s f o l l o w s :

= c o m p u t a t i o n t i m e a t i t h n o d e

j

= c o m m u n i c a t i o n d e l a y f r o m i t h t o j t h n o d e

T h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n w i l l d e p e n d o n a l l

o f t h e t i m e d e l a y s

j

. I t s T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n w i t h o u t

t h e h i g h e r o r d e r t e r m s c a n b e w r i t t e n a s

1 1

1 2

; : : : ;

n n

= 0 0 ; : : : ; 0 +

@

@

1 1

1 1

+

@

@

1 2

1 2

+ +

@

@

n n

n n

1

S i n c e 0 0 ; : : : ; 0 = 0 b y d e n i t i o n , t h e r s t t e r m o n t h e

r i g h t h a n d s i d e i s z e r o . T h u s , t o a r s t - o r d e r a p p r o x i m a -

t i o n , t h e d e g r a d a t i o n i n p e r f o r m a n c e d u e t o m u l t i p l e t i m e

d e l a y s i s e q u a l t o t h e s u m o f t h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n

d u e t o e a c h t i m e d e l a y . I n a d d i t i o n , t h e p e r f o r m a n c e d e g r a -

d a t i o n d u e t o a p a r t i c u l a r t i m e d e l a y i s a l i n e a r f u n c t i o n o f


3/6

REFERENCE

TRAJECTORY

GENERATION

PI TRACKINGPLANTCONTROLLER

r efer enc e

de l ay

sens ing

de l ay

c ompu ta t i on

de l ay

r c

y

K

s(s+a)

T b(z+1)

2(z-1)B 1+

s[ ]

F i g u r e 1 : P o s s i b l e d e l a y s i n a c o n t r o l s y s t e m w i t h t w o

c o n t r o l m o d u l e s .

t h e m a g n i t u d e o f t h e t i m e d e l a y . W e d e n e t h e p e r f o r m a n c e

d i e r e n t i a l f u n c t i o n , , t o d i s t i n g u i s h f r o m t h e p e r f o r m a n c e

d e g r a d a t i o n f u n c t i o n , . T h e p e r f o r m a n c e d i e r e n t i a l f u n c -

t i o n

j

i s g i v e n b y

j

=

@

@

i j

a n d r e p r e s e n t s t h e p e r f o r -

m a n c e d e g r a d a t i o n d u e t o a u n i t t i m e d e l a y b e t w e e n n o d e s i

a n d j . W e a l s o u s e

j

t o r e p r e s e n t t h e p e r f o r m a n c e d e g r a -

d a t i o n f u n c t i o n f o r a s i n g l e t i m e d e l a y b e t w e e n n o d e s i a n d

j . T h u s , t h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n i s g i v e n b y

t h e e x p r e s s i o n

=

1 1

+

1 2

+ +

n n

=

1 1

1 1

+

1 2

1 2

+ +

n n

n n

=

n

X

= 1

n

X

j = 1

j

j

2

T h e p e r f o r m a n c e d i e r e n t i a l f u n c t i o n s c a n b e c o m p u t e d a n -

a l y t i c a l l y f o r l i n e a r s y s t e m s a n d n u m e r i c a l l y f o r n o n l i n e a r

s y s t e m s . T h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n a s s o c i a t e d

w i t h a c o n t r o l a r c h i t e c t u r e c a n b e f o u n d b y s u m m i n g t h e

p r o d u c t s o f t h e e x p e c t e d t i m e d e l a y s w i t h t h e p e r f o r m a n c e

d i e r e n t i a l f u n c t i o n s a s i n e q u a t i o n 2 , a n d t h i s v a l u e c a n

b e u s e d t o c o m p a r e w i t h o t h e r c o n t r o l a r c h i t e c t u r e s .

4 F r a m e w o r k V a l i d a t i o n

I n t h e c o n t e x t o f a v e r y s i m p l e m e c h a n i c a l s y s t e m , w e h a v e

p e r f o r m e d b a s i c a n a l y s i s , s i m u l a t i o n s t u d i e s a n d e x p e r i -

m e n t s t o v e r i f y t h e m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k p r e s e n t e d i n

S e c t i o n 3 .

4 . 1 A n a l y t i c r e s u l t s : P e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n

F o r t h e s t u d y , w e c o n s i d e r e d a s i n g l e d e g r e e - o f - f r e e d o m s y s -

t e m , c o n s i s t i n g o f a m o t o r w h i c h m o v e s a m a s s a l o n g a n

a x i s . D e l a y s m a y o c c u r i n s e n d i n g t h e r e f e r e n c e a n d s e n s o r

d a t a o v e r a n e t w o r k , o r i n c o m p u t i n g t h e c o n t r o l a l g o r i t h m .

T i m e d e l a y s i n s e n d i n g t h e a c t u a t o r c o m m a n d o v e r a n e t -

w o r k o c c u r i n t h e s a m e p l a c e i n t h e l o o p a s t h e c o m p u t a -

t i o n a l d e l a y , a n d a r e n o t c o n s i d e r e d s e p a r a t e l y h e r e . T h e

b l o c k d i a g r a m o f t h e s y s t e m , w i t h t h e p o t e n t i a l t i m e d e l a y s

i n t h e l o o p , i s s h o w n i n F i g u r e 1 . T o c o m p u t e t h e p e r -

f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n s f o r e a c h o f t h e t h r e e t i m e

d e l a y s , t h e m o d i e d Z - t r a n s f o r m w a s u s e d t o c o m p u t e t h e

e e c t s o f d e l a y s 2 . U s i n g t h i s m e t h o d , w e c a n a c c o u n t f o r

t i m e d e l a y s w h i c h a r e n o t m u l t i p l e s o f t h e s a m p l i n g p e r i o d .

F i g u r e 2 s h o w s t h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n s a s

f u n c t i o n s o f t i m e f o r t h e t h r e e i n d i v i d u a l t i m e d e l a y s ; t h r e e

d i e r e n t m a g n i t u d e o f t i m e d e l a y a r e s h o w n f o r e a c h d e -

l a y l o c a t i o n . A s p r e d i c t e d b y t h e T a y l o r e x p a n s i o n i n S e c -

t i o n 3 . 2 , t h e s e f u n c t i o n s

r

c

a n d

y

a r e l i n e a r f u n c t i o n s

o f t h e m a g n i t u d e o f t h e t i m e d e l a y .

0 1 2 3

0.02

0.01

0

0.01

0.02

time; [sec]

errorcausedfromT

r

Error caused from input delay

Tr = 0.001 secTr = 0.005 secTr = 0.009 sec

0 1 2 3

0.02

0.01

0

0.01

0.02

time; [sec]

errorcausedfromT

c

Error caused from computational delay

Tc = 0.001 secTc = 0.005 sec

Tc = 0.009 sec

0 1 2 3

0.02

0.01

0

0.01

0.02

time; [sec]

errorcausedfromT

y

Error caused from sampling delay

Ty = 0.001 secTy = 0.005 secTy = 0.009 sec

a

r

b

c

c

y

F i g u r e 2 : P e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n s f o r d i e r e n t

t i m e d e l a y l o c a t i o n s a n d m a g n i t u d e s .

0 1 2 3

0.02

0.01

0

0.01

0.02

time; [sec]

errorcausedfromT

y&Tc

Error caused from Ty & Tc

Ty & Tc= 0.001 secTy & Tc= 0.005 secTy & Tc= 0.009 sec

0 1 2 3

0.02

0.01

0

0.01

0.02

time; [sec]

errorcausedfromT

r&Tc

Error caused from Tr & Tc

Tr & Tc= 0.001 secTr & Tc= 0.005 sec

Tr & Tc= 0.009 sec

0 1 2 3

0.02

0.01

0

0.01

0.02

time; [sec]

errorcausedfromT

y&Tr

Error caused from Ty & Tr

Ty & Tr = 0.001 secTy & Tr= 0.005 secTy & Tr= 0.009 sec

a

c

&

y

b

c

&

r

c

y

&

r


c o m b i n a t i o n s o f d e l a y s .

T h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n s f o r c o m b i n a t i o n s

o f d i e r e n t t y p e s o f t i m e d e l a y s i n t h e s y s t e m a r e s h o w n i n

F i g u r e 3 . C o m p a r i n g t h e s e r e s u l t s w i t h t h o s e o f F i g u r e 2 ,

i t c a n b e s e e n t h a t t h e e e c t s o f t i m e d e l a y s a r e a d d i t i v e ,

v a l i d a t i n g o u r h y p o t h e s i s t h a t t h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n

f u n c t i o n f o r t h e e n t i r e s y s t e m c a n b e c o m p u t e d b y a d d i n g

t h e i n d i v i d u a l p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n s :

=

r

+

c

+

y

=

r

r

+

c

c

+

y

y

4 . 2 S i m u l a t i o n r e s u l t s : T w o - a x i s s y s t e m

T h e e e c t o f c o n t r o l a r c h i t e c t u r e s a n d c o m m u n i c a t i o n d e -

l a y s o n t h e p e r f o r m a n c e o f t h e t w o - a x i s c o n t o u r i n g s y s t e m

w a s e v a l u a t e d t h r o u g h s i m u l a t i o n s t u d i e s a n d e x p e r i m e n t s

o n a s m a l l x - y t a b l e . T h i s s y s t e m c o n t a i n s t w o c o p i e s o f t h e

p r e v i o u s s i n g l e - a x i s s y s t e m a n d a c r o s s - c o u p l e d c o n t r o l l e r .

A l t h o u g h b o t h a x e s a r e l i n e a r , t h e c r o s s - c o u p l e d c o n t r o l l e r

h a s a n o n - l i n e a r t e r m f o r e s t i m a t i o n o f c o n t o u r e r r o r a n d t h e

p e r f o r m a n c e c r i t e r i a ; t h e c o n t o u r e r r o r 1 1 i s a n o n l i n e a r

f u n c t i o n o f t h e a x i s - l e v e l e r r o r s a n d t h e r e f e r e n c e t r a j e c t o r y .

H e n c e , w e u s e s i m u l a t i o n s a n d e x p e r i m e n t s t o v a l i d a t e t h e

h y p o t h e s e s .

A l t h o u g h t h e c o n t r o l a l g o r i t h m s u s e d w e r e v e r y s i m p l e a n d

w o u l d , i n p r a c t i c e , a l m o s t a l w a y s b e i m p l e m e n t e d o n a s i n -

g l e p r o c e s s o r , a d i s t r i b u t e d i m p l e m e n t a t i o n w a s c o n s i d e r e d

i n o r d e r t o s t u d y t h e e e c t s o f d e l a y s o n t h e c o n t r o l p e r f o r -

m a n c e . W e o n l y c o n s i d e r o n e d i s t r i b u t e d i m p l e m e n t a t i o n

c o n t a i n i n g t w o d e l a y s :

x y

a n d

y x

, n a m e l y t h e x - p o s i t i o n

d a t a t o y - a x i s s y s t e m a n d v i c e v e r s a .

F i g u r e 4 s h o w s t h a t t h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n

i s t h e s u m o f

x y

a n d

y x

a l t h o u g h t h e 2 - a x i s c o n t o u r i n g

s y s t e m i s n o n - l i n e a r . F i g u r e 6 a a l s o s h o w s t h a t t h e p e r -

f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n i s a l i n e a r f u n c t i o n o f t i m e

d e l a y .

4 . 3 E x p e r i m e n t a l r e s u l t s : T w o - a x i s s y s t e m

A s m a l l t w o - a x i s t a b l e w i t h D C m o t o r s w a s u s e d f o r t h e e x -

p e r i m e n t . A p i c t u r e o f t h e e x p e r i m e n t a l s e t - u p i s s h o w n i n


4/6

1ms3ms5ms7ms

0 5 10 15

4

2

0

2

4

x 10- 4

time: (sec)

x,

y

1ms3ms5ms7ms

0 5 10 15

4

2

0

2

4

x 10 - 4

time: (sec)

y,x

0 5 10 15

-1

0

1x 10- 6

time: (sec)

(

x,

y

+

y,x

)

1ms3ms5ms7ms

a

x y

b

y x

c

x y

+

y x

F i g u r e 4 : A c o m p a r i s o n b e t w e e n a n d

x y

+

y x

F i g u r e 5 : T h e e x p e r i m e n t a l s e t - u p , w i t h t w o c o m p u t e r s

a n d a t w o - a x i s t a b l e .

F i g u r e 5 . M a t l a b S i m u l i n k R e a l - T i m e W o r k s h o p w a s u s e d

t o i m p l e m e n t t h e c o n t r o l l e r s o n p e r s o n a l c o m p u t e r s . S y n -

c h r o n i z a t i o n b e t w e e n t h e t w o c o m p u t e r s w a s a c c o m p l i s h e d

u s i n g a h a r d w a r e s w i t c h w h i c h w a s i p p e d t o s t a r t t h e e x -

p e r i m e n t s . N e t w o r k c o m m u n i c a t i o n w a s d o n e u s i n g t h e b i -

d i r e c t i o n a l s e r i a l p o r t , a n d t h e r e s u l t s w e r e u s e d t o c o m p a r e

w i t h t h e c e n t r a l i z e d a r c h i t e c t u r e .

I n o r d e r t o e x a m i n e t h e e e c t s o f d i e r e n t m a g n i t u d e s o f

d e l a y , w e n e e d e d t o b e a b l e t o s p e c i f y t h e c o m m u n i c a t i o n

d e l a y . F o r t h a t r e a s o n , o n l y o n e c o m p u t e r w a s u s e d f o r t h e

e x p e r i m e n t w i t h t h e t i m e d e l a y i n t e n t i o n a l l y i m p l e m e n t e d

i n t h e c o n t r o l a l g o r i t h m . A s s h o w n i n F i g u r e 6 b , t h e

p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n f o r s m a l l v a l u e s o f t i m e

d e l a y i s a l i n e a r f u n c t i o n o f t h e t i m e d e l a y , a s p r e d i c t e d b y

t h e d e r i v a t i o n i n S e c t i o n 3 . 2 .

5 D e s i g n E x a m p l e

I n t h i s s e c t i o n , w e s h o w h o w t h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n

f u n c t i o n f r a m e w o r k c a n b e u s e d t o e v a l u a t e a n d c o m p a r e

s e v e r a l d i e r e n t a r c h i t e c t u r e s f o r a d i s t r i b u t e d c o n t r o l s y s -

t e m . A t w o - a x i s c o n t o u r i n g s y s t e m i s c o n s i d e r e d a g a i n s i n c e

i t i s r e l a t i v e l y l o w - d i m e n s i o n a l y e t h a s t i g h t c o u p l i n g b e -

t w e e n t h e a x e s . I t i s a l s o n o n l i n e a r , s h o w i n g t h e b r o a d

a p p l i c a b i l i t y o f t h e t e c h n i q u e s .

0 1 2 3 4 5 6 70

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

llll:(0.

001

inch)

llll vs. delay in communication delay

communication delay: (msec)

llave ll

llabs ll

ll rmsll

llmax ll

0 1 2 3 4 5 6

0

4

8

12

16

llll vs. delay in communication delay

llll:(0.

001

inch)

llave ll

llabs ll

llrmsll

llmax ll

communication delay: (msec)

a S i m u l a t i o n b E x p e r i m e n t


t i m e d e l a y s a n d d i e r e n t p e r f o r m a n c e m e t r i c s .

y axistable

y

x axistable

x

databank

servoX

C/Ccontroller

6

1

5 2

7

8

3

4

enc. X

enc. Y

servoY

3,5

6,5

5,1

5,2

1,7

2,8

3,1

4,24,5

F i g u r e 7 : T w o a x i s c o n t o u r i n g s y s t e m b l o c k d i a g r a m

s h o w i n g t h e e i g h t b a s i c m o d u l e s a n d n i n e p o -

t e n t i a l c o m m u n i c a t i o n d e l a y s .

5 . 1 I d e n t i c a t i o n o f b a s i c m o d u l e s

T h e r s t s t e p i n d e t e r m i n i n g t h e a r c h i t e c t u r e i s t o d e n e

t h e b a s i c m o d u l e s o f t h e c o n t r o l s y s t e m . A m o d u l e c a n

b e a s y s t e m c o m p o n e n t s u c h a s a s e n s o r o r a c t u a t o r , a n

a l g o r i t h m s u c h a s a s e r v o c o n t r o l l e r , o r a s u b s y s t e m s u c h

a s a n a x i s . T h e i n p u t s a n d o u t p u t s o f e a c h m o d u l e m u s t

b e d e n e d , a n d t h e i r c o n n e c t i o n s d e t e r m i n e d . T h e n u m b e r

o f m o d u l e s w i l l d e t e r m i n e t h e a m o u n t o f c o m m u n i c a t i o n

t h a t m u s t b e c o n s i d e r e d . B y c h o o s i n g t h e b a s i c m o d u l e s t o

b e a s s m a l l a s p o s s i b l e i n t h i s s t e p , t h e b e s t p e r f o r m a n c e

c a n b e g u a r a n t e e d ; h o w e v e r , s m a l l e r m o d u l e s r e q u i r e m o r e

c o m b i n a t i o n s t o b e e x a m i n e d . F o r t h e e x a m p l e s y s t e m ,

w e h a v e c h o s e n e i g h t b a s i c m o d u l e s a s s h o w n i n F i g u r e 7

w i t h a l l p o s s i b l e d e l a y s . T h e b a s i c m o d u l e s a r e n u m b e r e d

f r o m 1 t o 8 , a n d t h e t i m e d e l a y b e t w e e n m o d u l e s i a n d j i s

d e n o t e d

j

. F o r t h i s l o g i c a l c o n t r o l a r c h i t e c t u r e w i t h e i g h t

b a s i c m o d u l e s , t h e r e a r e n i n e p o s s i b l e t i m e d e l a y l o c a t i o n s .

5 . 2 C o m p u t a t i o n o f p e r f o r m a n c e d i e r e n t i a l s

A f t e r t h e b a s i c m o d u l e s a n d t i m e d e l a y l o c a t i o n s h a v e b e e n

i d e n t i e d , t h e p e r f o r m a n c e d i e r e n t i a l f u n c t i o n s a s s o c i a t e d

w i t h e a c h t i m e d e l a y c a n b e f o u n d e i t h e r a n a l y t i c a l l y o r b y

s i m u l a t i o n a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 3 . C o m p u t a t i o n o f

i s n o t n e c e s s a r y s i n c e c o m p u t a t i o n d e l a y a e c t s t h e s y s t e m

i n t h e s a m e w a y a s c o m m u n i c a t i o n d e l a y . T h u s , c a n b e

c o m p u t e d u s i n g t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n .

=

X

j 6=

j

3

E q u i v a l e n t l y , t h e c o m p u t a t i o n d e l a y a t n o d e i c o u l d b e

a d d e d t o a l l c o m m u n i c a t i o n d e l a y s e m a n a t i n g f r o m n o d e i

F o r a s y s t e m w i t h n b a s i c m o d u l e s , t h e m a x i m u m p o s s i b l e

n u m b e r o f t h e p e r f o r m a n c e d i e r e n t i a l f u n c t i o n s t h a t m u s t

b e c o m p u t e d i s n

2

. T h e s e p e r f o r m a n c e d i e r e n t i a l f u n c -

t i o n s c a n b e p u t i n t o a m a t r i x =

j

. E a c h

j

c a n b e

s t o r e d a s a v e c t o r ; t h e e x a c t f u n c t i o n a l e x p r e s s i o n i s n o t

n e e d e d t o c o m p u t e t h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n

. N o t e t h a t s o m e o f t h e

j

w i l l b e z e r o , i n d i c a t i n g t h a t

t h e r e i s n o c o u p l i n g b e t w e e n t h e c o r r e s p o n d i n g m o d u l e s .

I n a d d i t i o n , i s z e r o i f t h e r e i s n o c o m p u t a t i o n a l t a s k a t

t h e i t h n o d e . T h e p e r f o r m a n c e d i e r e n t i a l f u n c t i o n m a t r i x

f o r t h e e x a m p l e s y s t e m i s s h o w n i n F i g u r e 8 a . N o t e t h a t a

n u m b e r o f e n t r i e s i n t h e p e r f o r m a n c e d i e r e n t i a l f u n c t i o n

m a t r i x a r e z e r o s i n d i c a t i n g t h a t t h e r e i s n o c o m m u n i c a t i o n

b e t w e e n t h e r e s p e c t i v e m o d u l e s .


5/6

a b

F i g u r e 8 : T h e p e r f o r m a n c e d i e r e n t i a l f u n c t i o n s

j

a n d

t i m e d e l a y s

j

o f t h e s y s t e m i n F i g u r e 7 a r e

s h o w n i n m a t r i x f o r m a t i o n .

SERVO

X

SERVO

Y

ENC

X

ENC

Y

C/C

CONT.

REF.

INPUT

MOTOR

X

MOTOR

Y

1 2 3 4

5 6 7 8

SERVO

X

SERVO

Y

ENC

X

ENC

Y

C/C

CONT.

REF.

INPUT

MOTOR

X

MOTOR

Y

1 2

3 45 6

7 8

SERVO

X

SERVO

Y

ENC

X

ENC

Y

C/C

CONT.

REF.

INPUT

MOTOR

X

MOTOR

Y

1 2

3 4

5 6

7 8

a . C o m p l e t e l y b . L u m p e d c . L u m p e d

d i s t r i b u t e d s e r v o m o t o r a x i s c o n t r o l

SERVO

X

SERVO

Y

ENC

X

ENC

Y

C/C

CONT.

REF.

INPUT

MOTOR

X

MOTOR

Y

C/C

CONT.

REF.

INPUT

1 2

3 4

5 6

7 8

5 6

SERVO

X

SERVO

Y

ENC

X

ENC

Y

C/C

CONT.

REF.

INPUT

MOTOR

X

MOTOR

Y

1 2 3 4

5 6 7 8

d . I n d e p e n d e n t a x e s e . C e n t r a l i z e d

F i g u r e 9 : S e v e r a l p o s s i b l e n e t w o r k c o n t r o l a r c h i t e c t u r e s .

C o m p u t a t i o n o f t h e p e r f o r m a n c e d i e r e n t i a l f u n c t i o n s

j

f o r t h e e x a m p l e s y s t e m i s d o n e b y s i m u l a t i o n . T o c o m p u t e

e a c h

j

, t h e s y s t e m i s s i m u l a t e d w i t h a d e l a y

j

a n d w i t h

n o d e l a y . T h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e t w o s i m u l a t i o n r e s u l t s

d i v i d e d b y t h e m a g n i t u d e o f

j

i s

j

. A s s o c i a t e d w i t h

e a c h n o n z e r o p e r f o r m a n c e d i e r e n t i a l f u n c t i o n

j

, t h e r e

w i l l b e a t i m e d e l a y

j

. T h e m a t r i x i s s h o w n i n F i g u r e 8 b .

T h e m a g n i t u d e o f

j

w i l l b e d e t e r m i n e d b y t h e a r c h i t e c t u r e

o f t h e c o n t r o l s y s t e m a n d n e t w o r k a n d c h o i c e o f c o m p u t i n g

h a r d w a r e a n d s o f t w a r e . W h i l e d e p e n d s o n t h e l o g i c a l a r -

c h i t e c t u r e b l o c k d i a g r a m o f t h e s y s t e m , i t d o e s n o t c h a n g e

w i t h d i e r e n t i m p l e m e n t a t i o n a r c h i t e c t u r e s . O n t h e o t h e r

h a n d , d e p e n d s o n l y o n t h e i m p l e m e n t a t i o n a r c h i t e c t u r e o f

t h e s y s t e m n u m b e r o f p r o c e s s i n g n o d e s , n e t w o r k p r o t o c o l ,

o p e r a t i n g s y s t e m , e t c . T h e c o m b i n a t i o n =

P

j

j

j

d e t e r m i n e s t h e o v e r a l l p e r f o r m a n c e o f t h e s y s t e m .

5 . 3 D e t e r m i n a t i o n o f p o t e n t i a l a r c h i t e c t u r e s

W i t h n b a s i c m o d u l e s , t h e r e a r e

P

n

= 1

n

n

p o s s i b l e a r -

c h i t e c t u r e s . F o r e a c h p o t e n t i a l a r c h i t e c t u r e , t h e c o r r e -

s p o n d i n g t i m e d e l a y m a t r i x n e e d s t o b e f o u n d . T h e

p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n f o r a l l c a s e s c a n t h e n b e

e a s i l y c o m p a r e d a n d t h e b e s t a r c h i t e c t u r e c h o s e n . I n t h i s

d e s i g n e x a m p l e , w e t e s t e d t h e v e a r c h i t e c t u r e s s h o w n i n

F i g u r e 9 . T h e t w o e x t r e m e c a s e s | c o m p l e t e l y d i s t r i b u t e d

a n d c e n t r a l i z e d | w e r e c h o s e n a s c a n d i d a t e s , a l o n g w i t h

t h r e e o t h e r n a t u r a l g r o u p i n g s i n w h i c h t h e s e r v o c o n t r o l l e r

i s t o g e t h e r w i t h t h e m o t o r .

5 . 4 D e t e r m i n a t i o n o f t i m e d e l a y s

T h e d e l a y m a t r i x c o n t a i n s t h e m a g n i t u d e s o f t h e c o m -

m u n i c a t i o n a n d c o m p u t a t i o n d e l a y s . T h e s e d e l a y s d e p e n d

o n a n u m b e r o f f a c t o r s r e l a t e d t o t h e s y s t e m i m p l e m e n t a -

t i o n . C o m m u n i c a t i o n d e l a y m a i n l y d e p e n d s o n t h e t y p e o f

n e t w o r k , p r o t o c o l u s e d , d a t a s i z e , a n d n u m b e r o f n o d e s i n

t h e s y s t e m . C o m p u t a t i o n d e l a y d e p e n d s o n t h e p r o c e s s o r

p o w e r , o p e r a t i n g s y s t e m , a n d n u m b e r o f c o m p u t i n g t a s k s

a s s i g n e d t o e a c h n o d e . F i n d i n g a c c u r a t e c h a r a c t e r i z a t i o n s

f o r c o m p u t a t i o n a n d c o m m u n i c a t i o n d e l a y i s a n o t h e r c h a l -

l e n g i n g p r o b l e m a n d w i l l n o t b e a d d r e s s e d s e r i o u s l y i n t h i s

p a p e r s e e 6 f o r s o m e w o r k i n t h i s a r e a . F o r t h e c o m -

p u t a t i o n d e l a y s , w e a s s u m e d t h a t e a c h b a s i c m o d u l e h a s a

t a s k t o b e c o m p u t e d w h i c h t a k e s t

t k

= 0 8 m s e c , t h e t i m e

r e q u i r e d t o s w i t c h b e t w e e n t a s k s i s t

s w

= 0 3 m s e c , a m o t o r

m o d u l e r e q u i r e s n o c o m p u t a t i o n t i m e , a n d t h e c o m p u t a -

t i o n d e l a y i s t h e t i m e r e q u i r e d f o r a l l o t h e r c o m p u t a t i o n

t a s k s o n t h e n o d e t o b e c o m p l e t e d . F o r t h e c o m m u n i -

c a t i o n d e l a y , w e a s s u m e d t h a t t h e m e s s a g e t r a n s m i s s i o n

t i m e i s t

t x

= 0 5 m s e c r e g a r d l e s s o f t h e s i z e o f t h e m e s s a g e ,

a n d t h a t t h e c o m m u n i c a t i o n d e l a y i s t h e t i m e r e q u i r e d f o r

a l l o t h e r n o d e s o n t h e n e t w o r k t o t r a n s m i t t h e i r m e s s a g e s .

L e t N b e t h e n u m b e r o f n o d e s o n t h e n e t w o r k , a n d n

k

b e

t h e n u m b e r o f b a s i c m o d u l e s a s s i g n e d t o n o d e k . U s i n g

t h e s e a s s u m p t i o n s , t h e c o m m u n i c a t i o n d e l a y s a r e e q u a l t o

j

= t

t x

N , 1 , a n d t h e c o m p u t a t i o n d e l a y o f a b a s i c

m o d u l e i o n n o d e k i s = t

t k

n

k

+ n

k

, 1 t

s w

. U s i n g

t h e s e v a l u e s , t h e t i m e d e l a y m a t r i x c a n b e c o m p u t e d f o r

t h e v e d i e r e n t c o n t r o l a r c h i t e c t u r e s s h o w n i n F i g u r e 9 .

E v e n t h o u g h a s i m p l i e d m o d e l w a s u s e d t o e s t i m a t e

w e l l d e n e d c o m m u n i c a t i o n a n d c o m p u t a t i o n d e l a y c h a r a c -

t e r i s t i c s , i f a v a i l a b l e , c a n b e e m p l o y e d t o m o r e a c c u r a t e l y

d e t e r m i n e t h e t i m e d e l a y m a t r i x . I n t h i s c a s e , e a c h d i f -

f e r e n t p r i o r i t y a s s i g n m e n t f o r t h e s a m e a r c h i t e c t u r e w o u l d

r e s u l t i n a d i e r e n t t i m e d e l a y m a t r i x

5 . 5 C o m p u t a t i o n o f a n d a n a l y s i s

A f t e r c o m p u t i n g a n d , c a n b e c o m p u t e d u s i n g e q u a -

t i o n 2 . O n e a d v a n t a g e o f u s i n g t h e p r o p o s e d p e r f o r m a n c e

d e g r a d a t i o n f u n c t i o n f r a m e w o r k i s t h a t d o e s n o t n e e d t o

b e r e c o m p u t e d o r m o d i e d f o r d i e r e n t a r c h i t e c t u r e s . I n

f a c t , o n l y m u s t b e r e c o m p u t e d f o r e a c h d i e r e n t a r c h i t e c -

t u r e w h i c h i s c o n s i d e r e d .

T h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n f o r e a c h a r c h i t e c t u r e

i s c o m p u t e d a n d s h o w n i n F i g u r e 1 0 , a l o n g w i t h t h e i n d i v i d -

u a l c o m p o n e n t s

j

. N o t e t h a t s o l i d l i n e i n F i g u r e 1 0 i s

o f a s i m i l a r m a g n i t u d e f o r e a c h a r c h i t e c t u r e t e s t e d . T h i s i s

d u e t o t h e f a c t t h a t t h e t w o - a x i s s y s t e m i s s y m m e t r i c , a n d

t h e c o m m u n i c a t i o n d e l a y s a r e a l l e q u a l , c a u s i n g t h e t e r m s

j

t o l a r g e l y c a n c e l w i t h e a c h o t h e r . T h i s p h e n o m e n o n

w a s n o t e d i n S e c t i o n 4 . 1 . I f t h e d e l a y s a r e n o t e q u a l , t h i s

c a n c e l l a t i o n w i l l n o t o c c u r . T h u s , w h e n c h o o s i n g a n a r c h i -

t e c t u r e , b o t h t h e o v e r a l l p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n

a s w e l l a s i t s c o m p o n e n t s

j

s h o u l d b e a s s m a l l a s p o s s i -

b l e . T h u s , f o r t h e g i v e n a s s u m p t i o n s o n t h e m a g n i t u d e s o f

t h e t i m e d e l a y s , t h e l u m p e d s e r v o m o t o r a r c h i t e c t u r e b

w o u l d b e t h e b e s t i m p l e m e n t a t i o n o f t h e s y s t e m .

I f t h e r e f e r e n c e t r a j e c t o r y i s w e l l - c h a r a c t e r i z e d s u c h a s a

s t e p , r a m p , o r t h e c i r c u l a r c o n t o u r c o n s i d e r e d h e r e , t h e n

t h e F o u r i e r t r a n s f o r m s o f t h e p e r f o r m a n c e d i e r e n t i a l f u n c -


6/6

5 10 15

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

x 10 -3

time: (sec)5 10 15

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

x 10 -3

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-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

x 10 -3

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a . C o m p l e t e l y b . L u m p e d c . L u m p e d

d i s t r i b u t e d s e r v o m o t o r a x i s c o n t r o l

5 10 15

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

x 10 -3

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-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

x 10-3

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d . I n d e p e n d e n t a x e s e . C e n t r a l i z e d

F i g u r e 1 0 : T h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n f o r

e a c h a r c h i t e c t u r e s h o w n i n F i g u r e 9 i s p l o t -

t e d . T h e d o t t e d l i n e i n d i c a t e s

j

a n d t h e

t h i c k s o l i d l i n e i n d i c a t e s .

t i o n s c a n b e c o m p u t e d t o e x t r a c t m o r e i n f o r m a t i o n a b o u t

t h e b e s t ' s t o m i n i m i z e t h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c -

t i o n . I n t h i s c a s e , n o t o n l y t h e i m p a c t o f t h e m a g n i t u d e o f

e a c h d e l a y t o t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s y s t e m b u t a l s o t h e

i n t e r r e l a t i o n b e t w e e n t h e d e l a y s c a n b e s e e n a l g e b r a i c a l l y .

T h i s i n f o r m a t i o n c a n b e u s e d t o c h o o s e a c o m m u n i c a t i o n

p r o t o c o l w h i c h c a n g u a r a n t e e t h e d e s i r e d r e l a t i o n s h i p s b e -

t w e e n d i e r e n t t i m e d e l a y s .

6 C o n c l u s i o n s a n d F u t u r e W o r k

A l t h o u g h m o r e a n d m o r e c o n t r o l s y s t e m s a r e b e i n g i m p l e -

m e n t e d i n a d i s t r i b u t e d f a s h i o n w i t h n e t w o r k e d c o m m u n i -

c a t i o n , t h e u n a v o i d a b l e t i m e d e l a y s i n s u c h s y s t e m s i m p a c t

t h e a c h i e v a b l e p e r f o r m a n c e . I n t h i s p a p e r , w e h a v e p r e -

s e n t e d a m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k f o r a n a l y z i n g t h e e e c t o f

t i m e d e l a y s o n t h e m e c h a n i c a l p e r f o r m a n c e o f d i s t r i b u t e d

c o n t r o l s y s t e m s . O n c e a c o n t r o l a l g o r i t h m h a s b e e n d e -

s i g n e d , t h e e e c t o f d i e r e n t i m p l e m e n t a t i o n s o f t h i s a l g o -

r i t h m c a n b e d e t e r m i n e d u s i n g t h i s f r a m e w o r k . B y d e n i n g

t h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o n f u n c t i o n a s t h e d i e r e n c e b e -

t w e e n t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s y s t e m w i t h a n d w i t h o u t t i m e

d e l a y , w e a r e a b l e t o i s o l a t e t h e e e c t o f t h e i n d i v i d u a l t i m e

d e l a y s f r o m t h e e e c t o f t h e c o n t r o l l e r . O n c e t h e i n d i v i d u a l

p e r f o r m a n c e d i e r e n t i a l f u n c t i o n s h a v e b e e n c o m p u t e d , e i -

t h e r a n a l y t i c a l l y f o r l i n e a r s y s t e m s o r t h r o u g h s i m u l a t i o n

f o r n o n l i n e a r s y s t e m s , t h e o v e r a l l e e c t o f t h e t i m e d e l a y s

o n a d i s t r i b u t e d s y s t e m c a n b e c o m p u t e d i n a s t r a i g h t f o r -

w a r d m a n n e r . M a n y d i e r e n t i m p l e m e n t a t i o n a r c h i t e c t u r e s

c a n b e e v a l u a t e d q u i c k l y u s i n g t h e s e t e c h n i q u e s , a l l o w i n g

t h e s y s t e m i n t e g r a t o r t o c h o o s e t h e b e s t o n e . I n a d d i t i o n ,

i n f o r m a t i o n g a i n e d i n t h i s a n a l y s i s p r o c e d u r e c a n a l s o b e

u s e d t o c h o o s e a c o n t r o l n e t w o r k p r o t o c o l w h i c h c a n g u a r -

a n t e e t h e d e s i r e d r e l a t i o n s h i p b e t w e e n d i e r e n t t i m e d e l a y s

i n t h e s y s t e m . I n t h e f u t u r e , w e p l a n t o e x a m i n e n e w w a y s

t o d e s i g n c o n t r o l a l g o r i t h m s f o r d i s t r i b u t e d s y s t e m s w h i c h

c a n t a k e f u l l y u t i l i z e t h e i r a d v a n t a g e s b u t m i n i m i z e t h e i m -

p a c t o f t h e u n a v o i d a b l e t i m e d e l a y s .

R e f e r e n c e s

1 H . C h a n a n d

U

O z g u n e r . C l o s e d - l o o p c o n t r o l o f s y s -

t e m s o v e r a c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k w i t h q u e u e s . I n t e r n a -

t i o n a l J o u r n a l o f C o n t r o l , 6 2 : 4 9 3 5 1 0 , 1 9 9 5 .

2 G . F . F r a n k l i n , J . D . P o w e l l , a n d A . E m a n i - N a e i n i .

F e e d b a c k C o n t r o l o f D y n a m i c S y s t e m s . A d d i s o n - W e s l e y ,

R e a d i n g , M a s s a c h u s e t t s , t h i r d e d i t i o n , 1 9 9 4 .

3 F . G o k t a s , J . M . S m i t h , a n d R . B a j c s y . - s y n t h e s i s

f o r d i s t r i b u t e d c o n t r o l s y s t e m s w i t h n e t w o r k - i n d u c e d d e -

l a y s . I n P r o c e e d i n g s o f I E E E C o n f e r e n c e o n D e c i s i o n a n d

C o n t r o l , p a g e s 8 1 3 8 1 4 , 1 9 9 6 .

4 P . K . K h o s l a . C h o o s i n g s a m p l i n g r a t e s f o r r o b o t c o n -

t r o l . I n P r o c e e d i n g s o f t h e I E E E I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e

o n R o b o t i c s a n d A u t o m a t i o n I C R A , 1 9 8 7 .

5 H . K o p e t z . A c o m m u n i c a t i o n i n f r a s t r u c t u r e f o r a

f a u l t - t o l e r a n t d i s t r i b u t e d r e a l - t i m e s y s t e m . C o n t r o l E n g i -

n e e r i n g P r a c t i c e , 3 8 : 1 1 3 9 1 1 4 6 , A u g u s t 1 9 9 5 .

6 F . - L . L i a n , J . M . M o y n e , a n d D . M . T i l b u r y . P e r -

f o r m a n c e e v a l u a t i o n o f c o n t r o l n e t w o r k s f o r m a n u f a c t u r i n g

s y s t e m s . I n P r o c e e d i n g s o f t h e A S M E I n t e r n a t i o n a l M e -

c h a n i c a l E n g i n e e r i n g C o n g r e s s a n d E x p o s i t i o n D y n a m i c

S y s t e m s a n d C o n t r o l D i v i s i o n , 1 9 9 9 .

7

U

O z g u n e r . D e c e n t r a l i z e d a n d d i s t r i b u t e d c o n t r o l

a p p r o a c h e s a n d a l g o r i t h m s . I n P r o c e e d i n g s o f I E E E C o n f e r -

e n c e o n D e c i s i o n a n d C o n t r o l , p a g e s 1 2 8 9 1 2 9 4 , D e c e m b e r

1 9 8 9 .

8 F . P a g a n i n i . A r e c u r s i v e i n f o r m a t i o n o w s y s t e m f o r

d i s t r i b u t e d c o n t r o l a r r a y s . I n P r o c e e d i n g s o f t h e A m e r i c a n

C o n t r o l C o n f e r e n c e , v o l u m e 6 , p a g e s 3 8 2 1 3 8 2 5 , J u n e 1 9 9 9 .

9 A . R a y . O u t p u t f e e d b a c k c o n t r o l u n d e r r a n d o m l y

v a r y i n g d i s t r i b u t e d d e l a y s . A I A A J o u r n a l o f G u i d a n c e ,

C o n t r o l , a n d D y n a m i c s , 1 7 4 : 7 0 2 7 1 1 , 1 9 9 4 .

1 0 D . S i m o n , E . C a s t a n e d a , a n d P . F r e e d m a n . D e s i g n

a n d a n a l y s i s o f s y n c h r o n i z a t i o n f o r r e a l - t i m e c l o s e d - l o o p

c o n t r o l i n r o b o t i c s . I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o n t r o l S y s t e m s

T e c h n o l o g y , 6 : 4 4 5 4 6 1 , J u l y 1 9 9 8 .

1 1 K . S r i n i v a s a n a n d P . K . K u l k a r n i . C r o s s - c o u p l e d c o n -

t r o l o f b i a x i a l f e e d d r i v e m e c h a n i s m s . A S M E J o u r n a l o f D y -

n a m i c S y s t e m s , M e a s u r e m e n t , a n d C o n t r o l , 1 1 2 : 2 2 5 2 3 2 ,

1 9 9 0 .

1 2 J . Y o o k , D . T i l b u r y , K . C h e r v e l a , a n d N . S o p a r k a r .

D e c e n t r a l i z e d , m o d u l a r r e a l - t i m e c o n t r o l f o r m a c h i n i n g a p -

p l i c a t i o n s . I n P r o c e e d i n g s o f t h e A m e r i c a n C o n t r o l C o n f e r -

e n c e , p a g e s 8 4 4 8 4 9 , 1 9 9 8 .

a design methodology for distributed control systems to optimize

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