a cone compl. lin. alg. for statis output-feedback and related problems

7/31/2019 A Cone Compl. Lin. Alg. for Statis Output-Feedback and Related Problems

1/12

A C o n e C o m p l e m e n t a r i t y L i n e a r i z a t i o n A l g o r i t h m

f o r S t a t i c O u t p u t - F e e d b a c k a n d R e l a t e d P r o b l e m s

L a u r e n t E l G h a o u i

, F r a n c o i s O u s t r y

y

a n d M u s t a p h a A i t R a m i

z

L a b o r a t o i r e d e M a t h e m a t i q u e s A p p l i q u e e s

E c o l e N a t i o n a l e S u p e r i e u r e d e T e c h n i q u e s A v a n c e e s

3 2 , B d . V i c t o r , 7 5 7 3 9 P a r i s , F r a n c e .

O c t o b e r 1 8 , 1 9 9 6

A b s t r a c t

T h i s p a p e r d e s c r i b e s a n L M I - b a s e d a l g o r i t h m f o r t h e s t a t i c a n d r e d u c e d - o r d e r o u t p u t -

f e e d b a c k s y n t h e s i s p r o b l e m s o f n - t h o r d e r L T I s y s t e m s w i t h n

u

( r e s p . n

y

) i n d e p e n d e n t i n p u t s

( r e s p . o u t p u t s ) . T h e a l g o r i t h m i s b a s e d o n a \ c o n e c o m p l e m e n t a r i t y " f o r m u l a t i o n o f t h e p r o b -

l e m , a n d i s g u a r a n t e e d t o p r o d u c e a s t a b i l i z i n g c o n t r o l l e r o f o r d e r m n ? m a x ( n

u

; n

y

) , m a t c h i n g

a g e n e r i c s t a b i l i z a b i l i t y r e s u l t o f D a v i s o n a n d C h a t t e r j e e ( 1 9 7 1 ) . E x t e n s i v e n u m e r i c a l e x p e r i -

m e n t s i n d i c a t e t h a t t h e a l g o r i t h m n d s a c o n t r o l l e r w i t h o r d e r l e s s o r e q u a l t o t h a t p r e d i c t e d

b y K i m u r a ' s g e n e r i c s t a b i l i z a b i l i t y r e s u l t ( m n ? n

u

? n

y

+ 1 ) . A s i m i l a r a l g o r i t h m c a n b e

a p p l i e d t o a v a r i e t y o f c o n t r o l p r o b l e m s , i n c l u d i n g r o b u s t c o n t r o l s y n t h e s i s .

1 I n t r o d u c t i o n

W e c o n s i d e r t h e R e d u c e d - o r d e r O u t p u t - F e e d b a c k ( R O F ) s t a b i l i z a t i o n p r o b l e m . W e a r e g i v e n a n

i n t e g e r m 0 , a n d a n L T I s y s t e m

_x = A x + B u ; y = C x ; ( 1 )

w h e r e x 2 R

n

, u 2 R

n

u

a n d y 2 R

n

y

, ( A ; B ) i s s t a b i l i z a b l e , ( C ; A ) d e t e c t a b l e , B ; C a r e f u l l r a n k ,

a n d m n . W e s e e k t o d e t e r m i n e a d y n a m i c o u t p u t - f e e d b a c k c o n t r o l l a w

"

_x

c

u

#

= K

"

x

c

y

#

; ( 2 )

w h e r e K 2 R

( m + n

u

) ( m + n

y

)

i s a c o n s t a n t m a t r i x , s u c h t h a t t h e r e s u l t i n g c l o s e d - l o o p s y s t e m i s

s t a b l e . W h e n m = 0 , t h e c o r r e s p o n d i n g p r o b l e m i s r e f e r r e d t o a s t h e S t a t i c O u t p u t - F e e d b a c k

( S O F ) s t a b i l i z a t i o n p r o b l e m . N o t e t h a t t h e R O F p r o b l e m i s r e a d i l y t r a n s f o r m e d i n t o a n S O F

p r o b l e m , u s i n g a w e l l - k n o w n s y s t e m a u g m e n t a t i o n t e c h n i q u e ( s e e x 2 . 4 ) .

D e s p i t e i t s a p p a r e n t s i m p l i c i t y , t h e R O F p r o b l e m i s s t i l l o p e n . T h e c o m p l e x i t y a n a l y s i s o f t h e

p r o b l e m i s n o t q u i t e c o m p l e t e y e t . A n d e r s o n , B o s e a n d J u r y h a v e s h o w n i n 1 ] t h a t t h e p r o b l e m

I n t e r n e t : e l g h a o u i @ e n s t a . f r .

y

W o r k s u p p o r t e d b y D R E T s c h o l a r s h i p .

z

W o r k s u p p o r t e d b y D R E T g r a n t # 9 2 0 1 7 B C 1 4 .

1


2/12

i s d e c i d a b l e . A n i c e r e s u l t o f B l o n d e l a n d T s i t s i k l i s 3 ] s h o w s t h a t t h e p r o b l e m o f n d i n g a s t a t i c

o u t p u t - f e e d b a c k c o n t r o l l e r w i t h p r e s p e c i e d b o u n d s o n t h e c o n t r o l l e r m a t r i x K i s N P - h a r d . O f

c o u r s e , t h i s d o e s n o t p r o v e t h a t t h e S O F p r o b l e m i s N P - h a r d , s i n c e n o a p r i o r i b o u n d s o n t h e

c o n t r o l l e r m a t r i x K a r e i m p o s e d .

A n u m b e r o f n u m e r i c a l p r o c e d u r e s h a v e b e e n p r o p o s e d f o r s o l v i n g t h e p r o b l e m . A s u r v e y w a s

d o n e b y S y r m o s , A b d a l l a h a n d D o r a t o 2 2 ] . R e c e n t p r o g r e s s h a s b e e n m a d e f o r t h e r e l a t e d p r o b l e m

o f p o l e p l a c e m e n t , s e e 2 5 , 1 9 ] a n d r e f e r e n c e s t h e r e i n .

A m o n g t h e r e c e n t a p p r o a c h e s t h a t h a v e b e e n p r o p o s e d , t h o s e b a s e d o n L i n e a r M a t r i x I n e q u a l -

i t i e s ( L M I s ) a r e p r o m i s i n g , s i n c e t h e s a m e f r a m e w o r k c a n b e u s e d f o r r e l a t e d p r o b l e m s , s u c h a s

r o b u s t c o n t r o l ( s e e x 3 ) . ( T h e b o o k 2 1 ] d e s c r i b e s a l a r g e n u m b e r o f s u c h p r o b l e m s . ) T h e L M I -

b a s e d m e t h o d s i n c l u d e t h e D - K i t e r a t i o n m e t h o d m e n t i o n e d i n 2 0 ] , t h e a l t e r n a t i n g p r o j e c t i o n s

m e t h o d 1 2 ] , t h e p r o j e c t i o n m e t h o d o f 1 8 ] , t h e m i n - m a x a l g o r i t h m 1 0 ] , t h e p o t e n t i a l r e d u c t i o n

m e t h o d 6 ] , t h e X Y - c e n t e r i n g a l g o r i t h m 1 4 ] . T h i s p a p e r d e s c r i b e s y e t a n o t h e r L M I - b a s e d m e t h o d

f o r t h e p r o b l e m . O n e o f t h e s t r o n g p o i n t s o f t h e p r o p o s e d a l g o r i t h m i s t h a t i t i s g u a r a n t e e d t o n d

a c o n t r o l l e r w i t h o r d e r l e s s o r e q u a l t o n ? m a x ( n

u

; n

y

) , a n d s e e m s t o c o n s i s t e n t l y i m p r o v e t h i s

n u m b e r i n p r a c t i c e .

T h e r e m a i n d e r o f t h i s p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 2 d e s c r i b e s a c o n e c o m p l e m e n t a r i t y

l i n e a r i z a t i o n a l g o r i t h m . S e c t i o n 3 s h o w s h o w s o m e r o b u s t c o n t r o l s y n t h e s i s p r o b l e m s a r e a m e n a b l e

t o t h e s a m e m e t h o d . F i n a l l y , s e c t i o n 4 p r o v i d e s e x t e n s i v e n u m e r i c a l r e s u l t s .

N o t a t i o n . I

m

d e n o t e s t h e m m i d e n t i t y m a t r i x ; t h e s i z e i s o m i t t e d w h e n i t c a n b e d e t e r m i n e d

f r o m c o n t e x t . C

( r e s p . B

) d e n o t e s t h e m a t r i x w i t h m a x i m a l r a n k s u c h t h a t C C

= 0 ( r e s p .

B

B = 0 ) . F o r a r e a l m a t r i x X , k X k d e n o t e s t h e n o r m ( l a r g e s t s i n g u l a r v a l u e ) o f t h e m a t r i x X ,

a n d X > 0 ( r e s p . X 0 ) m e a n s X i s s y m m e t r i c a n d p o s i t i v e - d e n i t e ( r e s p . p o s i t i v e - s e m i d e n i t e ) .

2 A n L M I - b a s e d A l g o r i t h m

2 . 1 L M I - b a s e d f o r m u l a t i o n

A s s e e n i n 8 ] , t h e r e e x i s t a m - t h o r d e r s t a t e - f e e d b a c k s t a b i l i z i n g c o n t r o l l e r i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t

m a t r i c e s X ; S a n d s c a l a r > 0 s u c h t h a t

B

( A X + X A

T

+ 2 X ) B

T

0 ;

C

T

( A

T

S + S A + 2 S ) C

0 ;

; K ( X ; S ) =

"

X I

I S

#

0 ; ( 3 )

a n d R a n k K ( X ; S ) n + m . W e r s t s e e k t o s o l v e t h e a b o v e p r o b l e m f o r m = 0 , a n d f o r x e d

> 0 . T h a t i s , w e s e e k t o o b t a i n a s t a t i c o u t p u t - f e e d b a c k c o n t r o l l e r s u c h t h a t t h e c l o s e d - l o o p

e i g e n v a l u e s h a v e r e a l p a r t t h a t i s l e s s o r e q u a l t o ? .

2 . 2 A c o n e c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m

F o r s o l v i n g t h e p r o b l e m a b o v e , w e n e e d t o \ s a t u r a t e " t h e c o n s t r a i n t K ( X ; S ) 0 i n ( 3 ) . T h e i d e a

i s t o a s s o c i a t e t o t h e S O F p r o b l e m t h e f o l l o w i n g p r o b l e m

m i n T r X S s u b j e c t t o ( 3 ) : ( 4 )

T h e r e e x i s t s a - s t a b i l i z i n g s t a t i c - o u t p u t f e e d b a c k c o n t r o l l e r i f a n d o n l y i f t h e g l o b a l m i n i m u m o f

p r o b l e m ( 4 ) i s n .

2


3/12

P r o b l e m ( 4 ) c a n b e c a l l e d a \ c o n e c o m p l e m e n t a r i t y " p r o b l e m ( C C P ) , a s i t i s a n e x t e n s i o n

l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s ( L C P s , s e e e . g . 2 6 , 1 6 , 2 7 ] ) , t o t h e c o n e o f p o s i t i v e s e m i d e n i t e

m a t r i c e s .

T o s o l v e s u c h a p r o b l e m , a l i n e a r i z a t i o n m e t h o d ( o r i g i n a l l y p r o p o s e d b y F r a n k e a n d W o l f e , a n d

d e s c r i b e d i n 1 6 ] f o r L C P s ) c a n b e u s e d . A t a g i v e n p o i n t ( X

0

; S

0

) , a l i n e a r a p p r o x i m a t i o n o f T r X S

t a k e s t h e f o r m

l i n

( X ; S ) = c o n s t a n t + T r ( S

0

X + X

0

S ) :

T h e l i n e a r i z a t i o n a l g o r i t h m i s c o n c e p t u a l l y d e s c r i b e d a s f o l l o w s .

A l g o r i t h m 1

1 . F i n d a f e a s i b l e p o i n t X

0

; S

0

. I f t h e r e a r e n o n e e x i t . S e t k = 0 .

2 . S e t V

k

= S

k

, W

k

= X

k

, a n d n d X

k + 1

; S

k + 1

t h a t s o l v e t h e L M I p r o b l e m

P

k

: m i n i m i z e T r ( V

k

X + W

k

S ) s u b j e c t t o ( 3 ) :

3 . I f a s t o p p i n g c r i t e r i o n i s s a t i s e d , e x i t . O t h e r w i s e , s e t k = k + 1 a n d g o t o s t e p 2 .

T h e r s t s t e p o f t h e a l g o r i t h m , a n d e v e r y s t e p 2 , a r e s i m p l e L M I p r o b l e m s . T h e r e a r e m a n y

a l g o r i t h m s t h a t a r e a v a i l a b l e f o r t h i s , e s p e c i a l l y i n t e r i o r - p o i n t m e t h o d s e . g . 2 4 , 4 , 1 7 ] . I n t h e

s e q u e l , w e c o u n t e a c h s t e p 2 a s o n e o u t e r i t e r a t i o n , t o m a k e a d i s t i n c t i o n w i t h t h e i n n e r s t e p s

r e q u i r e d t o s o l v e t h e L M I p r o b l e m s P

k

.

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m s h o w s t h a t t h e a l g o r i t h m c o n v e r g e s .

T h e o r e m 2 . 1 T h e s e q u e n c e t

k

= T r ( X

k + 1

S

k

+ S

k + 1

X

k

) , k 0 , i s b o u n d e d b e l o w b y 2 n a n d

d e c r e a s i n g . T h u s , t h e s e q u e n c e ( t

k

) c o n v e r g e s t o s o m e v a l u e t

o p t

2 n . E q u a l i t y h o l d s i f a n d o n l y

i f X S = I a t t h e o p t i m u m .

P r o o f : L e t k > 0 . S i n c e X

k ? 1

; S

k ? 1

a r e f e a s i b l e , a n d ( X

k + 1

; S

k + 1

) a r e o p t i m a l f o r p r o b l e m ( P

k

) ,

w e h a v e

t

k

T r ( X

k ? 1

S

k

+ S

k ? 1

X

k

) = t

k ? 1

:

N o w t

k

i s b o u n d e d b e l o w b y 2 n , s i n c e

t

k

= T r ( X

k + 1

S

k

+ S

k + 1

X

k

) i n f

K ( V ; W ) 0

T r ( V X

k

+ W S

k

)

= 2 T r ( X

1 = 2

k

S

k

X

1 = 2

k

)

1 = 2

2 n :

T h e l a s t i n e q u a l i t y i m p l i e s t h a t i f t

o p t

= 2 n , t h e n X S = I . 2

T h e n e x t t h e o r e m s h o w s t h a t , f r o m t h e r s t s t e p o f t h e a l g o r i t h m o n , t h e m e t h o d n d s a

c o n t r o l l e r o f o r d e r t h a t i s l e s s o r e q u a l t o t h e o r d e r p r e d i c t e d b y t h e g e n e r i c s t a b i l i z a b i l i t y r e s u l t s

o f D a v i s o n a n d C h a t t e r j e e 7 ] .

T h e o r e m 2 . 2 A t e v e r y s t e p k , w e h a v e

R a n k

"

X

k

I

I S

k

#

2 n ? m a x ( n

u

; n

y

) :

T h u s , t h e a l g o r i t h m n d s a c o n t r o l l e r o f o r d e r t h a t i s l e s s o r e q u a l t o n ? m a x ( n

u

; n

y

) a t e v e r y s t e p .

3


4/12

P r o o f : L e t k 0 . T h e d u a l t o p r o b l e m P

k

i s ( s e e 2 4 ] )

D

k

: m a x i m i z e 2 T r N s u b j e c t t o Q 0 ; P 0 ;

Z = A

T

( B

T

Q B

) + ( B

T

Q B

) A + 2 ( B

T

Q B

) + V

k

;

R = A ( C

P C

T

) + ( C

P C

T

) A

T

+ 2 ( C

P C

T

) + W

k

;

~

Z =

"

Z N

N

T

R

#

0 :

P r e - ( r e s p . p o s t - ) m u l t i p l i y i n g t h e r s t e q u a l i t y c o n s t r a i n t i n D

k

b y B

T

( r e s p . B ) , w e o b t a i n t h a t

e v e r y f e a s i b l e Z s a t i s e s

B

T

Z B = B

T

S

k

B :

S i n c e B i s f u l l r a n k a n d S

k

> 0 , w e h a v e B

T

S

k

B > 0 , a n d t h u s R a n k Z n

u

. S i m i l a r l y ,

R a n k R n

y

f o r e v e r y f e a s i b l e R .

B o t h P

k

a n d D

k

a r e s t r i c t l y f e a s i b l e ( f o r D

k

, s e t Q = I , P = I f o r s m a l l e n o u g h , a n d

N = 0 ) . T h i s g u a r a n t e e s t h e e x i s t e n c e o f o p t i m a l p r i m a l a n d d u a l p o i n t s . A t t h e o p t i m u m , w e

h a v e ( s e e 2 4 ] )

~

Z

"

X

k + 1

I

I S

k + 1

#

= 0 ( 5 )

w h i c h i m p l i e s

~

Z

=

"

I

? X

k + 1

#

Z

"

I

? X

k + 1

#

T

=

"

? S

k + 1

I

#

R

"

? S

k + 1

I

#

T

:

W e o b t a i n R a n k

~

Z = R a n k R = R a n k Z m a x ( n

u

; n

y

) . F r o m ( 5 ) , w e d e d u c e

R a n k

"

X

k + 1

I

I S

k + 1

#

2 n ? R a n k

~

Z 2 n ? m a x ( n

u

; n

y

) :

2

R e m a r k 2 . 1 A l g o r i t h m 1 i s b a s e d o n t h e f u n c t i o n ( X ; S ) = T r X S . I t t u r n s o u t t h a t a w h o l e

c l a s s o f a l g o r i t h m s c a n b e d e v i s e d w i t h o t h e r c h o i c e s f o r . F o r i n s t a n c e , w e m a y w o r k w i t h t h e

c o n c a v e f u n c t i o n

1 = 2

( X ; Y ) = 2 T r ( Y

1 = 2

X Y

1 = 2

)

1 = 2

, b y r e p l a c i n g V ; W i n a l g o r i t h m 1 b y

V = X

? 1 = 2

( X

1 = 2

Y X

1 = 2

)

1 = 2

X

? 1 = 2

; W = V

? 1

= Y

? 1 = 2

( Y

1 = 2

X Y

1 = 2

)

1 = 2

Y

? 1 = 2

:

I n o u r e x p e r i m e n t s , w e h a v e f o u n d t h a t t h i s m o d i e d a l g o r i t h m b e h a v e s s i m i l a r l y . F o r d e t a i l s ,

s e e 1 1 ] .

2 . 3 S y s t e m a u g m e n t a t i o n

A s s a i d i n t h e i n t r o d u c t i o n , t h e R O F p r o b l e m c a n b e a d d r e s s e d a s a n S O F p r o b l e m f o r a n a u g -

m e n t e d s y s t e m . D e n e

~

A =

"

A 0

0 0

m

#

;

~

B =

"

0 B

I

m

0

#

;

~

C =

"

0 I

m

C 0

#

: ( 6 )

I t c a n b e s h o w n t h a t t h e R O F p r o b l e m h a s a s o l u t i o n o f o r d e r m i f a n d o n l y i f t h e t r i p l e (

~

A ;

~

B ;

~

C )

i s s t a t i c o u t p u t - f e e d b a c k s t a b i l i z a b l e . W e m a y t h u s u s e t h e p r e v i o u s a l g o r i t h m w i t h t h e t r i p l e

(

~

A ;

~

B ;

~

C ) .

I t i s a l s o p o s s i b l e t o a p p l y d i r e c t l y t h e a l g o r i t h m t o t h e t r i p l e ( A ; B ; C ) . W e c o n j e c t u r e t h a t

t h i s d i r e c t a p p r o a c h y i e l d s t h e s a m e a n s w e r ( t h a t i s , t h e s a m e c o n t r o l l e r o r d e r ) . I f t h e c o n j e c t u r e

i s t r u e , t h e d i r e c t a p p r o a c h i s t o b e p r e f e r r e d , s i n c e i t i s l e s s n u m e r i c a l l y d e m a n d i n g ( i t i n v o l v e s

l e s s v a r i a b l e s a n d L M I s o f s m a l l e r s i z e ) .

4


5/12

2 . 4 C o n t r o l l e r R e c o n s t r u c t i o n

M o s t L M I s o l v e r s r e q u i r e t h e b o u n d n e s s f o r t h e f e a s i b l e s e t . F o r t h i s , a n a p r i o r i l a r g e b o u n d o n

t h e v a r i a b l e s c a n b e i m p o s e d , e . g . T r ( X + S ) M .

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m c a n b e u s e d a s a ( h e u r i s t i c ) s t o p p i n g c r i t e r i o n , a n d p r o v i d e s d e t a i l s o n

h o w t o c o n s t r u c t t h e c o n t r o l l e r . ( I t s p r o o f i s i n a p p e n d i x A . ) I n t h i s t h e o r e m , t h e p a r a m e t e r

i s i n t e r p r e t e d a s t h e d e s i r e d s t a b i l i t y d e g r e e o f t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m , a n d > i s a p a r a m e t e r

n e e d e d t o g u a r a n t e e t h i s s t a b i l i t y d e g r e e s t r i c t l y ( i f > 0 , o n e m a y s e t = 2 ) .

T h e o r e m 2 . 3 S u p p o s e X ; S s a t i s f y c o n d i t i o n s ( 3 ) a n d T r ( X + S ) M . L e t , 0 < . I f

t h e r e a r e n ? m e i g e n v a l u e s o f X ? S

? 1

t h a t a r e l e s s o r e q u a l t o

r o f

=

( ? )

M k A + I k

; ( 7 )

t h e n t h e r e e x i s t a m - t h o r d e r , d y n a m i c o u t p u t - f e e d b a c k c o n t r o l l e r s u c h t h a t e v e r y e i g e n v a l u e o f t h e

c l o s e d - l o o p s y s t e m h a s a r e a l p a r t t h a t i s l e s s o r e q u a l t o ? . T h e c o n t r o l l e r c a n b e c o n s t r u c t e d a s

f o l l o w s . D e c o m p o s e X ? S

? 1

a s

X ? S

? 1

= R R

T

+ E ; ( 8 )

w h e r e 0 E

r o f

I , a n d R 2 R

n m

i s e i t h e r e m p t y ( w h e n m = 0 ) , o r s a t i s e s R

T

R >

r o f

I . S e t

(

~

A ;

~

B ;

~

C ) a s i n ( 6 ) a n d

~

X =

"

X R

R

T

I

#

:

T h e n ,

~

X > 0 a n d t h e L M I p r o b l e m i n K

(

~

A +

~

B K

~

C )

~

X +

~

X (

~

A +

~

B K

~

C )

T

+ 2

~

X 0 ; ( 9 )

h a s a s o l u t i o n . A l t e r n a t i v e l y , t h e a n a l y t i c f o r m u l a e o f 1 3 ] c a n b e u s e d t o r e c o n s t r u c t K .

3 R o b u s t O u t p u t - F e e d b a c k C o n t r o l

A s i m i l a r a l g o r i t h m c a n b e a p p l i e d f o r s o l v i n g a n u m b e r o f o t h e r c o n t r o l p r o b l e m s . H e r e i s a s i m p l e

i n s t a n c e . C o n s i d e r t h e p a r a m e t e r - d e p e n d e n t s y s t e m

_x = A x + B

p

p + B

u

u ;

y = C

y

x ;

q = C

q

x + D

q u

u ;

p = ( t ) q ; k k 1 ; d i a g o n a l ,

( 1 0 )

w h e r e A ; B

u

; B

p

; C

q

; C

y

a n d D

q u

a r e c o n s t a n t m a t r i c e s o f a p p r o p r i a t e s i z e . T h e N N t i m e - v a r y i n g

m a t r i x , r e f e r r e d t o a s t h e p e r t u r b a t i o n , i s b o u n d e d a n d s t r u c t u r e d ( d i a g o n a l ) .

W e s e e k f o r a f u l l - o r d e r c o n t r o l l e r o f t h e f o r m ( 2 ) , s u c h t h a t t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s s t a b l e f o r

e v e r y a d m i s s i b l e v a r i a t i o n o f . W e u s e t h e a p p r o a c h o f q u a d r a t i c s t a b i l i t y c o m b i n e d w i t h s c a l i n g

( s e e e . g . 5 ] ) .

T h e o r e m 3 . 1 T h e r e e x i s t s a c o n t r o l l e r o f t h e f o r m ( 2 ) , w h e r e K 2 R

( n + n

u

) ( n + n

y

)

i s a c o n s t a n t

m a t r i x , s u c h t h a t t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s s t a b l e f o r e v e r y a d m i s s i b l e v a r i a t i o n o f , i f t h e r e e x i s t

5


6/12

o u t e r i t e r a t i o n s n u m b e r o f e x p e r i m e n t s R a t e

1 1 2 7 5 6 6 3 . 7 8 %

2 4 3 9 2 2 1 . 9 6 %

3 1 6 8 0 8 . 4 0 %

4 6 9 2 3 . 4 6 %

5 2 7 1 1 . 3 5 %

6 1 1 0 0 . 5 5 %

7 - 1 4 9 9 0 . 5 0 %

t o t a l 2 0 0 0 0 1 0 0 %

T a b l e 1 : E x p e r i m e n t s w i t h r a n d o m A ; B ; C , n = 6 , n

u

= 4 , n

y

= 3 . A l g o r i t h m 1 a l w a y s n d s a s t a t i c

c o n t r o l l e r , a s p r e d i c t e d b y K i m u r a ' s r e s u l t .

m a t r i c e s X ; S ; D ; T s u c h t h a t

M

T

"

A X + X A

T

+ B

p

D B

T

p

X C

T

q

C

q

X ? D

#

M


7/12

s u c c e s s f u l . T h e a v e r a g e n u m b e r o f o u t e r i t e r a t i o n s i s ( f o r a b o u t 9 0 % o f c a s e s ) l e s s t h a n t h e o r d e r

o f t h e ( a u g m e n t e d ) p l a n t , a s w i t h t h e \ d i r e c t " a p p r o a c h o f t h e p r e v i o u s e x p e r i m e n t s .

o u t e r i t e r a t i o n s n u m b e r o f e x p e r i m e n t s R a t e

1 3 0 4 3 0 . 4 %

2 2 7 1 2 7 . 1 %

3 1 1 5 1 1 . 5 %

4 8 2 8 . 2 %

5 4 7 4 . 7 %

6 4 1 4 . 1 %

7 1 5 1 . 5 %

8 9 0 . 9 %

9 1 3 1 . 3 %

1 0 5 0 . 5 %

1 0


8/12

T h e c l o s e d - l o o p e i g e n v a l u e s a r e

s =

2

6

6

6

6

6

4

? 0 : 1 0 0 0 1 : 7 8 7 0 i

? 0 : 1 0 0 0 1 : 4 7 5 3 i

? 0 : 1 0 0 0 0 : 9 0 7 2 i

? 0 : 1 0 0 0 0 : 4 6 9 0 i

? 0 : 1 0 0 0

3

7

7

7

7

7

5

:

n u m b e r o f m a s s e s c o n t r o l l e r o r d e r

= : 1 = : 0 0 1

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 5 5

5 6 6

6 7 7

7 9 8

8 1 3 9

9 1 5 1 1

1 0 1 7 1 1

T a b l e 3 : R e d u c e d - o r d e r - s t a b i l i z i n g c o n t r o l l e r s f o r m a s s / s p r i n g s y s t e m s . A s t h e r e q u i r e d c l o s e d - l o o p d e c a y

r a t e g r o w s , t h e a t t a i n a b l e c o n t r o l l e r o r d e r i n c r e a s e s .

c o n t r o l l e r o r d e r N u m b e r o f e x p e r i m e n t s R a t e

0 1 9 8 8 7 9 9 . 4 3 %

1 1 1 3 0 . 5 7 %

t o t a l 2 0 0 0 0 1 0 0 %

T a b l e 4 : E x p e r i m e n t s w i t h r a n d o m A ; B ; C ( n = 6 , n

u

= 3 , n

y

= 3 ) . A l g o r i t h m 1 n d s a c o n t r o l l e r o f o r d e r

0 i n m o r e t h a n 9 9 % o f t h e c a s e s , a n d o f o r d e r 1 a t m o s t .

T a b l e 4 p r e s e n t s a t w e n t y t h o u s a n d e x p e r i m e n t s , w i t h r a n d o m ( A ; B ; C ) s a t i s f y i n g t h e r s t -

o r d e r K i m u r a c o n d i t i o n . O u r n u m e r i c a l r e s u l t s m a t c h t h e f a c t t h a t e v e r y s y s t e m i s g e n e r i c a l l y

s t a b i l i z a b l e w i t h a r s t - o r d e r c o n t r o l l e r .

4 . 3 R o b u s t o u t p u t - f e e d b a c k

C o n s i d e r a m o r e \ r e a l i s t i c " m o d e l t a k e n f r o m 2 ] . T h e p l a n t m a t r i c e s a r e g i v e n b y

A ( p

1

; p

2

) =

2

6

6

6

4

? : 0 3 6 6 : 0 2 7 1 : 0 1 8 8 ? : 4 5 5 5

: 0 4 8 2 ? 1 : 0 1 : 0 0 2 4 ? 4 : 0 2 0 8

: 1 0 0 2 p

1

? : 7 0 7 p

2

0 0 1 0

3

7

7

7

5

; B

u

( p

3

) =

2

6

6

6

4

: 4 4 2 2 : 1 7 6 1

p

3

? 7 : 5 9 2 2

? 5 : 5 2 4 : 4 9

0 0

3

7

7

7

5

;

C =

h

0 1 0 0

i

:

8


9/12

T h e t h r e e u n c e r t a i n p a r a m e t e r s p

1

; p

2

; p

3

a r e w i t h i n t h e b o u n d s j p

1

? 0 : 3 6 8 1 j : 0 5 , j p

2

? 1 : 4 2 0 0 j

: 0 1 a n d j p

3

? 3 : 5 4 4 6 j : 0 4 . W e s e t A ; B

u

t o b e t h e n o m i n a l v a l u e s , a n d w r i t e t h e a b o v e m o d e l

a s ( 1 0 ) , w i t h t h e f o l l o w i n g m a t r i c e s

B

p

=

2

6

6

6

4

0 0 0

0 0 0 : 0 4

0 : 0 5 0 : 0 1 0

0 0 0

3

7

7

7

5

; C

q

=

2

6

4

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

3

7

5

; C

T

y

=

2

6

6

6

4

0

1

0

0

3

7

7

7

5

; D

q u

=

2

6

4

0 0

0 0

1 0

3

7

5

:

W e s e e k a r o b u s t , l o w - o r d e r c o n t r o l l e r f o r t h e s y s t e m a b o v e , w i t h A r e p l a c e d b y A + I . W e a p p l y

o u r a l g o r i t h m t o t h e C C P , w i t h d i a g ( X ; D ) a n d d i a g ( S ; T ) . I n o t h e r w o r d s , w e h a v e s o u g h t t o

m i n i m i z e

T r X D + T r S T

u s i n g t h e l i n e a r i z a t i o n a l g o r i t h m 1 . F o r a r e q u i r e d d e c a y r a t e o f = 0 : 1 , w e h a v e f o u n d a r o b u s t ,

s t a b i l i z i n g o r d e r c o n t r o l l e r o f z e r o - t h o r d e r , a f t e r 2 o u t e r i t e r a t i o n s . T h e r e s u l t i s

S =

2

6

6

6

4

0 : 8 9 0 2 ? 0 : 2 4 9 9 ? 0 : 4 4 7 9 ? 0 : 4 2 1 2

? 0 : 2 4 9 9 1 : 5 7 5 3 0 : 7 3 8 8 0 : 4 7 4 0

? 0 : 4 4 7 9 0 : 7 3 8 8 1 : 3 5 9 5 0 : 7 2 0 8

? 0 : 4 2 1 2 0 : 4 7 4 0 0 : 7 2 0 8 1 : 5 0 5 9

3

7

7

7

5

; D = d i a g

2

6

4

0 : 9 9 8 5

1 : 5 1 4 5

0 : 9 9 9 7

3

7

5

;

X =

2

6

6

6

4

1 : 4 0 3 3 ? 0 : 0 0 8 4 0 : 3 4 4 9 0 : 2 3 0 0

? 0 : 0 0 8 4 0 : 8 5 6 4 ? 0 : 4 3 4 2 ? 0 : 0 6 4 1

0 : 3 4 4 9 ? 0 : 4 3 4 2 1 : 2 8 8 6 ? 0 : 3 8 3 7

0 : 2 3 0 0 ? 0 : 0 6 4 1 ? 0 : 3 8 3 7 0 : 9 3 2

3

7

7

7

5

; T = d i a g

2

6

4

1 : 0 0 1 5

0 : 6 6 0 3

1 : 0 0 0 3

3

7

5

:

W e c a n c h e c k t h a t D T = I , a n d t h a t X S = I . T h e s t a t i c r o b u s t c o n t r o l l e r , w h i c h s t a b i l i z e s t h i s

a b o v e s y s t e m c a n b e c o m p u t e d b y s o l v i n g a s o l u t i o n K t o L M I s t h a t e x p r e s s q u a d r a t i c s t a b i l i t y o f

t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m . W e o b t a i n e d a f e a s i b l e K

K =

"

? 0 : 4 3 5 7

9 : 5 6 5 2

#

:

4 . 4 C o m p a r i s o n w i t h o t h e r a l g o r i t h m s

I n t a b l e 5 , w e c o m p a r e d t h e b e h a v i o r o f o u r a l g o r i t h m w i t h o t h e r e x i s t i n g a l g o r i t h m s : t h e D - K

i t e r a t i o n m e t h o d 2 0 ] , a n d t h e m i n - m a x a l g o r i t h m 1 0 ] ( l a b e l e d i n t a b l e 5 b y G S S ) . A t h o u s a n d

( A ; B ; C ) s a t i s f y i n g t h e 0 - t h o r d e r K i m u r a c o n d i t i o n w e r e c h o s e n r a n d o m l y . O u r a l g o r i t h m a l w a y s

n d s a s t a t i c c o n t r o l l e r i n l e s s t h a n 8 o u t e r i t e r a t i o n s . I n m o r e t h a n 7 0 % o f t h e c a s e s , t h e a l g o r i t h m

i s s u c c e s s f u l a f t e r o n l y o n e o u t e r i t e r a t i o n . T h e D - K i t e r a t i o n a l g o r i t h m f a i l s i n t h e v a s t m a j o r i t y

o f c a s e s . T h e G S S a l g o r i t h m b e h a v e s m u c h b e t t e r t h a n t h e D - K i t e r a t i o n a l g o r i t h m b u t f a i l s

s o m e t i m e s o r i t t a k e s m u c h m o r e i t e r a t i o n s t h a n o u r a l g o r i t h m . N o t e t h a t a l l t h r e e a l g o r i t h m

r e q u i r e a p p r o x i m a t e l y t h e s a m e a m o u n t o f w o r k a t e a c h ( o u t e r ) i t e r a t i o n .

5 C o n c l u d i n g R e m a r k s

T h i s p a p e r d e s c r i b e s a n a l g o r i t h m f o r t h e r e d u c e d - o r d e r o u t p u t - f e e d b a c k p r o b l e m . T h e a l g o r i t h m

i s g u a r a n t e e d t o g e n e r a t e a c o n t r o l l e r o f o r d e r t h a t i s l e s s o r e q u a l t o n ? m a x ( n

u

; n

y

) . A l t h o u g h t h e

a l g o r i t h m m a y n o t b e a b l e t o n d t h e s m a l l e s t - o r d e r c o n t r o l l e r i n a l l c a s e s , n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s

9


10/12

O u t e r I t e r a t i o n s A l g o r i t h m 1 G S S D - K

1 7 1 7 1 2 9 1 6 8

2 1 6 1 1 2 6 4

3 7 4 3 1 2

4 2 8 4 7 0

5 1 1 4 4 0

6 6 4 9 0

7 2 8 1 0

8 1 8 9 0

9 0 9 7 0

1 0 5 0 0 2 6 0 0

F a i l 0 4 7 8 2 6

t o t a l 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

T a b l e 5 : C o m p a r i s o n w i t h o t h e r a l g o r i t h m s w i t h r a n d o m A ; B ; C ( n = 5 , n

u

= 3 , n

y

= 3 ) . T h e t a b l e s h o w s

t h e n u m b e r o f s u c c e s s e s v s . n u m b e r o f i t e r a t i o n s . F o r t h e G S S a l g o r i t h m , F A I L m e a n s t h a t i t g e n e r a t e s

u n b o u n d e d s e q u e n c e ( k X

k

k > 1 0

6

) , a n d p r o v i d e s n o s o l u t i o n . F o r t h e D - K a l g o r i t h m , F A I L m e a n s t h a t t h e

s t a t i o n a r y p o i n t o b t a i n e d f a i l e d t o s t a b i l i z e t h e s y s t e m .

i n d i c a t e a v e r y s a t i s f a c t o r y b e h a v i o r , m a t c h i n g i n p a r t i c u l a r K i m u r a ' s g e n e r i c s t a b i l i z a b i l i t y r e s u l t .

T h e a p p r o a c h c a n b e a p p l i e d t o a l a r g e n u m b e r o f o t h e r r a n k - m i n i m i z a t i o n p r o b l e m s o v e r L M I s

t h a t a r i s e i n c o n t r o l t h e o r y ( s e e 2 1 ] ) f o r m a n y e x a m p l e s ) .

T h e b e h a v i o r o f t h e a l g o r i t h m c a n b e i n t u i t i v e l y u n d e r s t o o d i n p a r a l l e l t o p r i m a l - d u a l i n t e r i o r -

p o i n t m e t h o d s f o r L M I p r o b l e m s , a s f o l l o w s . O u r a l g o r i t h m i s a n a t u r a l e x t e n s i o n o f a c l a s s i c a l a l -

g o r i t h m o r i g i n a l l y d e v i s e d f o r l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s , t o c o n e - c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s

( C C P s ) . C C P s a r i s e i n p a r t i c u l a r i n p r i m a l - d u a l f o r m u l a t i o n s o f L M I p r o b l e m s , a s s e e n i n e . g . 2 4 ] .

I n a C C P c o n s t r u c t e d f r o m a n L M I p r o b l e m , w e h a v e a p a i r o f s y m m e t r i c m a t r i x v a r i a b l e s X ; S ,

e a c h s u b j e c t t o e q u a l i t y a n d L M I c o n s t r a i n t s . B y c o n s t r u c t i o n , t h e c o n s t r a i n t s o n X a n d t h o s e

o n S a r e \ d u a l " , s o t h a t t h e p r i m a l - d u a l g a p T r X S i s a c t u a l l y l i n e a r i n X ; S o n t h e f e a s i b l e s e t .

T h e m o s t e c i e n t a l g o r i t h m s f o r L M I p r o b l e m s t o d a t e u s e t h e a b o v e f a c t a n d w o r k w i t h t h e C C P

f o r m u l a t i o n , u s i n g b o t h p r i m a l a n d d u a l v a r i a b l e s s i m u l t a n e o u s l y . O u r a l g o r i t h m i s a n a d a p t a t i o n

o f t h i s i d e a t o a p r o b l e m w h e r e t h e L M I c o n s t r a i n t s o n X ; S a r e n o t n e c e s s a r i l y \ d u a l " t o e a c h

o t h e r . A s i n L M I p r o b l e m s , w o r k i n g w i t h b o t h p r i m a l a n d d u a l v a r i a b l e s s i m u l t a n e o u s l y s e e m s t o

b e c o m p a r a t i v e l y e c i e n t ; t h i s w a s i l l u s t r a t e d i n t a b l e 5 .

N o t e t h a t t h e L M I c o n s t r a i n t s ( 3 ) o f t h e R O F p r o b l e m c a n a l s o b e v i e w e d a s \ d u a l " o f e a c h

o t h e r , i n t h e s e n s e g i v e n t o d u a l i t y i n c o n t r o l t h e o r y : t h e r s t c o n s t r a i n t i s r e l a t e d t o s t a b i l i z a b i l i t y ,

a n d t h e s e c o n d i s r e l a t e d t o d e t e c t a b i l i t y . T h e c o n n e c t i o n b e t w e e n c o n v e x d u a l i t y a n d c o n t r o l

d u a l i t y m a y p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e a n s w e r t o t h e r e d u c e d - o r d e r o u t p u t - f e e d b a c k p r o b l e m .

A c k n o w l e d g m e n t s

T h e a u t h o r s w i s h t o t h a n k t h e a n o n y m o u s r e v i e w e r s f o r t h e i r v e r y h e l p f u l c o m m e n t s .

R e f e r e n c e s

1 ] B . D . A n d e r s o n , N . K . B o s e , a n d E . I . J u r y . O u t p u t f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n a n d r e l a t e d p r o b l e m s |

1 0


11/12

S o l u t i o n v i a d e c i s i o n m e t h o d s . I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l , A C - 2 0 : 5 3 { 6 6 , 1 9 7 5 .

2 ] S . P . B h a t t a c h a r y y a . R o b u s t S t a b i l i z a t i o n A g a i n s t S t r u c t u r e d P e r t u r b a t i o n s , v o l u m e 9 9 o f L e c t u r e N o t e s

i n C o n t r o l a n d I n f o r m a t i o n S c i e n c e s . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 7 .

3 ] V . B l o n d e l a n d J . N . T s i t s i k l i s . N P - h a r d n e s s o f s o m e l i n e a r c o n t r o l d e s i g n p r o b l e m s . E u r o p e a n J o u r .

C o n t r o l , 1 , 1 9 9 5 .

4 ] S . B o y d a n d L . E l G h a o u i . M e t h o d o f c e n t e r s f o r m i n i m i z i n g g e n e r a l i z e d e i g e n v a l u e s . L i n e a r A l g e b r a

a n d A p p l i c a t i o n s , s p e c i a l i s s u e o n N u m e r i c a l L i n e a r A l g e b r a M e t h o d s i n C o n t r o l , S i g n a l s a n d S y s t e m s ,

1 8 8 , J u l y 1 9 9 3 .

5 ] S . B o y d , L . E l G h a o u i , E . F e r o n , a n d V . B a l a k r i s h n a n . L i n e a r M a t r i x I n e q u a l i t i e s i n S y s t e m a n d C o n t r o l

T h e o r y , v o l u m e 1 5 o f S t u d i e s i n A p p l i e d M a t h e m a t i c s . S I A M , P h i l a d e l p h i a , P A , J u n e 1 9 9 4 .

6 ] J . D a v i d . A l g o r i t h m s f o r a n a l y s i s a n d d e s i g n o f r o b u s t c o n t r o l l e r s . P h D t h e s i s , E E D e p t . , K . U . L e u v e n ,

E S A T , E E D e p t . , L e u v e n , B e l g i u m , M a r c h 1 9 9 4 .

7 ] H . J . D a v i s o n a n d R . C h a t t e r j e e . A n o t e o n p o l e a s s i g n e m e n t i n l i n e a r s y s t e m s w i t h i n c o m p l e t e s t a t e -

f e e d b a c k . I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l , A C - 1 6 : 9 8 { 9 9 , F e b r u a r y 1 9 7 1 .

8 ] J . D o y l e , A . P a c k a r d , a n d K . Z h o u . R e v i e w o f L F T ' s , L M I ' s a n d . I n P r o c . I E E E C o n f . o n D e c i s i o n

a n d C o n t r o l , v o l u m e 2 , p a g e s 1 2 2 7 { 1 2 3 2 , B r i g h t o n , D e c e m b e r 1 9 9 1 .

9 ] L . E l G h a o u i , R . N i k o u k h a h , a n d F . D e l e b e c q u e . L M I T O O L : A f r o n t - e n d f o r L M I o p t i m i z a t i o n , u s e r ' s

g u i d e , F e b r u a r y 1 9 9 5 . A v a i l a b l e v i a a n o n y m o u s f t p t o f t p . e n s t a . f r , u n d e r / p u b / e l g h a o u i / l m i t o o l .

1 0 ] J . C . G e r o m e l , C . C . d e S o u z a , a n d R . E . S k e l t o n . L M I n u m e r i c a l s o l u t i o n f o r o u t p u t f e e d b a c k s t a b i -

l i z a t i o n . I n P r o c . I E E E C o n f . o n D e c i s i o n a n d C o n t r o l , p a g e s 4 0 { 4 4 , D e c e m b e r 1 9 9 5 .

1 1 ] L . E l G h a o u i , F . O u s t r y , a n d M . A i t R a m i . A n L M I - b a s e d l i n e a r i z a t i o n a l g o r i t h m f o r s t a t i c o u t p u t -

f e e d b a c k a n d r e l a t e d p r o b l e m s . T e c h n i c a l r e p o r t , L a b . A p p l . M a t h . , E c o l e N a t . S u p . T e c h n i q u e s

A v a n c e e s , 3 2 , B d . V i c t o r , 7 5 7 3 9 P a r i s , F r a n c e , N o v e m b e r 1 9 9 5 .

1 2 ] K . M . G r i g o r i a d i s a n d R . E . S k e l t o n . L o w o r d e r c o n t r o l d e s i g n f o r l m i p r o b l e m s u s i n g a l t e r n a t i n g

p r o j e c t i o n m e t h o d s . A u t o m a t i c a , J u n e 1 9 9 5 .

1 3 ] T . I w a s a k i a n d R . E . S k e l t o n . A l l c o n t r o l l e r s f o r t h e g e n e r a l H

1

c o n t r o l p r o b l e m : L M I e x i s t e n c e

c o n d i t i o n s a n d s t a t e s p a c e f o r m u l a s . A u t o m a t i c a , 3 0 ( 8 ) : p p 1 3 0 7 { 1 3 1 7 , a u g u s t 1 9 9 4 .

1 4 ] T . I w a s a k i a n d R . E . S k e l t o n . T h e X Y - c e n t e r i n g a l g o r i t h m f o r t h e d u a l L M I p r o b l e m : a n e w a p p r o a c h

t o x e d o r d e r c o n t r o l d e s g i n . I n t . J . C o n t r o l , 6 2 ( 6 ) : 1 2 5 7 { 1 2 7 2 , 1 9 9 5 .

1 5 ] H . K i m u r a . P o l e p l a c e m e n t b y g a i n o u t p u t f e e d b a c k . I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l , 2 0 : 5 0 9 { 5 1 6 , 1 9 7 5 .

1 6 ] O . L . M a n g a s a r i a n a n d J . S . P a n g . T h e e x t e n d e d l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m . S I A M J . o n M a t r i x

A n a l y s i s a n d A p p l i c a t i o n s , 2 : 3 5 9 { 3 6 8 , j a n 1 9 9 5 .

1 7 ] Y u . N e s t e r o v a n d A . N e m i r o v s k y . I n t e r i o r p o i n t p o l y n o m i a l m e t h o d s i n c o n v e x p r o g r a m m i n g : T h e o r y

a n d a p p l i c a t i o n s . S I A M , 1 9 9 4 .

1 8 ] P . L . D . P e r e s , J . C . G e r o m e l , a n d S . R . S o u z a . H

1

r o b u s t c o n t r o l b y s t a t i c o u t p u t f e e d b a c k . I n P r o c .

A m e r i c a n C o n t r o l C o n f . , v o l u m e 1 , p a g e s 6 2 0 { 6 2 1 , S a n F r a n c i s c o , C a l i f o r n i a , J u n e 1 9 9 3 .

1 9 ] J . R o s e n t h a l a n d X . A . W a n g . O u t p u t f e e d b a c k p o l e p l a c e m e n t w i t h d y n a m i c c o m p e n s a t o r s . I E E E

T r a n s . A u t . C o n t r o l , 4 1 ( 6 ) : 8 3 0 { 8 4 3 , 1 9 9 6 .

2 0 ] M . A . R o t e a a n d T . I w a s a k i . A n a l t e r n a t i v e t o t h e D - K i t e r a t i o n ? I n P r o c e e d i n g s o f t h e A m e r i c a n

C o n t r o l C o n f e r e n c e , p a g e s 5 3 { 5 7 , j u n e 1 9 9 4 .

2 1 ] R . E . S k e l t o n , T . I w a s a k i , a n d K . M . G r i g o r i a d i s . A u n i e d a p p r o a c h t o l i n e a r c o n t r o l d e s i g n , 1 9 9 3 .

M a n u s c r i p t .

2 2 ] V . L . S y r m o s , C . A b d a l l a h , a n d P . D o r a t o . S t a t i c o u t p u t f e e d b a c k : a s u r v e y . I n P r o c . I E E E C o n f . o n

D e c i s i o n a n d C o n t r o l , p a g e s 8 3 7 { 8 4 2 , D e c e m b e r 1 9 9 4 .

1 1


12/12

2 3 ] L . V a n d e n b e r g h e a n d S . B o y d . S P , S o f t w a r e f o r s e m i d e n i t e p r o g r a m m i n g , u s e r ' s g u i d e , D e c e m b e r

1 9 9 4 . A v a i l a b l e v i a a n o n y m o u s f t p t o i s l . s t a n f o r d . e d u u n d e r / p u b / b o y d / s e m i d e f _ p r o g .

2 4 ] L . V a n d e n b e r g h e a n d S . B o y d . S e m i d e n i t e p r o g r a m m i n g . S I A M R e v i e w , 3 8 ( 1 ) : 4 9 { 9 5 , M a r c h 1 9 9 6 .

2 5 ] X . A . W a n g . G r a s s m a n i a n , c e n t r a l p r o j e c t i o n , a n d o u t p u t f e e d b a c k p o l e a s s i g n e m e n t o f l i n e a r s y s t e m s .

I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l , 4 1 ( 6 ) : 7 8 6 { 7 9 4 , J u n e 1 9 9 6 .

2 6 ] Y . Y e . A f u l l y p o l y n o m i a l - t i m e a l g o r i t h m f o r c o m p u t i n g a s t a t i o n a r y p o i n t f o r t h e g e n e r a l l i n e a r

c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m . M a t h . O p e r . R e s . , 1 8 : 3 3 4 { 3 4 5 , 1 9 9 3 .

2 7 ] Y . Z h a n g . O n t h e c o n v e r g e n c e o f a c l a s s o f i n f e a s i b l e i n t e r i o r - p o i n t m e t h o d s f o r t h e h o r i z o n t a l l i n e a r

c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m . S I A M J . o n O p t i m i z a t i o n , 4 ( 1 ) : 2 0 8 { 2 2 7 , F e b r u a r y 1 9 9 4 .

A P r o o f o r T h e o r e m 2 . 3

W e r s t p r o v e t h e t h e o r e m f o r m = 0 , i n w h i c h c a s e t h e t r i p l e (

~

A ;

~

B ;

~

C ) d e n e d i n ( 6 ) c o i n c i d e s

w i t h ( A ; B ; C ) .

F o r > 0 , i n t r o d u c e a l i n e a r o p e r a t o r ? d e n e d o n t h e s e t o f n n s y m m e t r i c m a t r i c e s b y

?

( H ) = B

( A H + H A

T

+ 2 H ) B

T

: ( 1 1 )

B

b e i n g o r t h o g o n a l , a b o u n d o n t h e n o r m o f ?

i s

m a x

k H k = 1

k ?

( H ) k 2 k A + I k : ( 1 2 )

A s s u m e t h a t X ; S a r e f e a s i b l e f o r t h e L M I c o n s t r a i n t s ( 3 ) . L e t H = S

? 1

? X , a n d 0 < .

W i t h ? d e n e d b y ( 1 1 ) , w e h a v e

?

( S

? 1

) = ?

( X ) + ?

( H ) ? 2 ( ? ) B

X B

T

+ ?

( H ) :

F r o m ( 1 2 ) , w e h a v e k ?

( H ) k 2 k A + I k k H k . T h u s , t h e c r i t e r i o n

k H k

2 ( ? )

m i n

( B

X B

T

)

k A + I k

g u a r a n t e e s t h a t

B

( A S

? 1

+ S

? 1

A

T

+ 2 S

? 1

) B

T

0 ; C

T

( A

T

S + S A + 2 S ) C

0 :

F r o m t h e e l i m i n a t i o n l e m m a ( s e e , e . g . 5 ] ) , w e o b t a i n t h a t p r o b l e m ( 9 ) i s f e a s i b l e . T h e p r o o f o f

t h e t h e o r e m f o r m = 0 t h e n f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t K ( X ; S ) 0 t o g e t h e r w i t h T r ( X + S ) M

i m p l i e s

m i n

( B

X B

T

) M

? 1

.

N o w c o n s i d e r t h e g e n e r a l c a s e m 0 . L e t

~

X b e d e n e d a s i n ( 8 ) , a n d d e n e

~

S =

"

X ? E R

R

T

I

#

? 1

=

"

I 0

? R

T

I

# "

S 0

0 I

# "

I ? R

0 I

#

:

I t i s e a s i l y s e e n t h a t b o t h

~

X ;

~

S a r e p o s i t i v e - d e n i t e . M o r e o v e r , f o r e v e r y , 0 ,

~

B

(

~

A

~

X +

~

X

~

A

T

+ 2

~

X )

~

B

T

= B

( A X + X A

T

+ 2 X ) B

T

0 ;

~

C

T

(

~

A

T

~

S +

~

S

~

A + 2

~

S )

~

C

= C

T

( A

T

S + S A + 2 S ) C

0 :

F i n a l l y ,

~

X ?

~

S

? 1

=

"

E 0

0 0

#

0 ;

w h i c h i m p l i e s k

~

X ?

~

S

? 1

k = k E k

r o f

. W e o b t a i n t h a t

~

X ;

~

S s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s o f t h e t h e o r e m

w i t h m = 0 , f o r t h e a u g m e n t e d s y s t e m (

~

A ;

~

B ;

~

C ) . T h i s a c h i e v e s t h e p r o o f .

1 2

a cone compl. lin. alg. for statis output-feedback and related problems

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