A. Arcavi (1994). For the Learning of Mathematics 14(3), 24-35

Symbol sense: informal sense-making in formal mathematics

Il punto di partenza: la nozione di number sense

Number senseA “non-algorithmic” feel for numbers, a sound understanding of their nature and the nature of the operations, a need to examine reasonableness of results, a sense of the relative effects of operating with numbers, a feel for orders of magnitude, and the freedom to reinvent ways of operating with numbers differently form the mechanical repetition of what was taught and memorized

È opinione condivisa che il focus dell’insegnamento dell’aritmetica non deve essere solo sulla corretta esecuzione delle operazioni: è importante anche lavorare sulla conoscenza di quando usare una certa operazione

… Si puo’ fare lo stesso discorso in algebra?

Due fatti:- si stanno affermando software di manipolazione simbolica- molti studenti, pur essendo padroni delle tecniche di

manipolazione, non vedono né usano l’algebra come uno strumento per comprendere, esprimere e comunicare le generalizzazioni, per scoprire e mostrare la struttura, per stabilire connessioni e costruire dimostrazioni

È analogamente riconosciuto che il focus dell’insegnamento dell’algebra non deve essere solo sulla manipolazione simbolica?

Instruction does not always provide opportunities not only to memorize, but also to forget rules and details and to be able to see through them in order to think, abstract, generalize and plan solution strategies.

Idea:

descrivere il symbol sense

Una prima descrizione del symbol sense (da Fey, 1990)

Lista di obiettivi ragionevoli per l’insegnamento dell’algebra:

• Essere in grado di prendere in considerazione un’espressione algebrica e stimare a grandi linee l’aspetto che può avere la sua rappresentazione numerica o algebrica

• Essere in grado di confrontare gli ordini di grandezza di funzioni n, n2, n3, …. nk

• Essere in grado di studiare una tabella di valori di una funzione od un grafico o interpretare delle condizioni espresse verbalmente, individuare l’espressione algebrica che esprime il pattern osservato

• Essere in grado di osservare delle espressioni algebriche e predire la forma dei risultati o, come nelle stime aritmetiche, osservare il risultato ottenuto e valutarne l’attendibilità

• Essere in grado di scegliere, tra diverse espressioni equivalenti, quella piu’ appropriata per risolvere un determinato problema

Lo scopo non è fornire una definizione di symbol sense, ma descrivere e discutere alcuni comportamenti che illustrano quelli che possono essere considerati esempi di symbol sense

Il progetto di Arcavi: estendere la lista di Fey

Considerazione metodologica

‘Since we do not claim, either here or in the rest of the paper, to describe research on students’ cognition and ways of learning, we can afford to be indulgent with the interpretations of the anecdotal data we provide’

‘We bring the examples as mere illustrations of instances of what, in our view, symbol sense is’

Scelta espositiva

• Presentazione del problema

• Dalla soluzione di alcuni studenti: comportamento che si può vedere come evidenza di un aspetto del symbol sense

• Discussione del particolare aspetto del symbol sense in oggetto

Il quadrato magico

Completa in modo da ottenere un quadrato magico di somma 9

3

2 1

Comportamento no 1

Completa in modo da ottenere un quadrato magico di somma 6

2

1 5

Il quadrato magico

Comportamento no 1

Osservazione

Per costruire il secondo quadrato magico è necessario introdurre i numeri negativi

Comportamento no 1

Completa in modo da ottenere un quadrato magico di somma 8

4

2 2

Il quadrato magico

Comportamento no 1

Gli studenti iniziano a fare congetture sulle ragioni che rendono impossibile la costruzione del quadrato.

Inizialmente, gli studenti individuano una causa dell’impossibilità nel fatto che la somma richiesta (8) è esattamente quel che si ottiene sommando i tre numeri dati.

Si producono altre congetture, esempi e controesempi…

La costruzione dell’ultimo quadrato magico è impossibile

Domanda: perché gli altri quadrati magici erano possibili e questo no?

Ad un certo punto, uno studente (o, in alcuni casi, il ricercatore) suggerisce di utilizzare l’algebra

Comportamento no 1

Gli studenti che sanno compiere manipolazioni algebriche, ma non vedono i simboli come un mezzo utile per studiare la struttura di un problema, non hanno sviluppato il symbol sense in modo completo.

È evidenza di symbol sense il ricorso all’algebra in situazioni di risoluzione di problemi, l’avere a disposizione i simboli come sense-making tools.

Comportamento no 1

b

a c

Somma= S

La risoluzione per via algebrica

S-a-b

Alcuni studenti scelgono di esprimere il contenuto della cella con una nuova variabile, d.

S-b-c

b+c-a b+a-c

L’espressione della somma per la riga centrale è 3b, quindi non contiene S.

Gli studenti hanno difficoltà a realizzare che la condizione 3b=S esprime la condizione richiesta (e dunque che scegliendo S=8 il quadrato è impossibile)

Comportamento no 1

Sono evidenze di symbol sense il ricorso ai simboli nei casi appropriati ed anche il riconoscimento del significato di una soluzione simbolica.

Inoltre, fa parte del symbol sense il fatto di apprezzare il potere dei simboli.

Comportamento no 1

L’area del rettangolo

Si consideri un rettangolo qualunque.

Cosa succede alla sua area, se una delle sue dimensioni è diminuita del 10% e l’altra è aumentata del 10%?

Comportamento no 1

Alcuni studenti rispondono subito che non c’è variazione dell’area, forse per un ragionamento basato sull’idea di “compensazione” tra aumento e diminuzione.Altri studenti rispondono che la variazione dipende da quale delle due dimensioni è aumentata e quale è diminuita.

Una serie di prove numeriche fa intuire che l’area diminuisce, ma solo il ricorso ai simboli fa davvero comprendere le ragioni per cui l’area diminuisce:chiamando a e b sono le dimensioni iniziali, la nuova area sarà 1.1a X 0.9 b oppure 0.9a X1.1b, quindi 0.99 ab

Mediante l’uso dei simboli, si vede che l’area diminuisce sempre e che il risultato non dipende da quale delle due dimensioni è aumentata e quale è diminuita.

Comportamento no 1

Gli esperti a cui è mostrata questa soluzione osservano che 0.99ab rappresenta non solo la soluzione, ma anche la spiegazione del perché la proprietà vale.

Fa parte del symbol sense il fatto di apprezzare l’eleganza, concisione, comunicabilità e potere dei simboli, che permettono di mostrare e provare delle relazioni in modi che l’aritmetica non ha disposizione.

Comportamento no 1

Nuovo esercizio proposto

(tratto dal corso di Schoenfeld sul Problem Solving)

Per quali valori di a la coppia di equazioni

x2-y2=0(x-a)2+y2=1

ha 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 soluzioni?

Comportamento no 1

La forma algebrica dell’enunciato invita ad utilizzare l’algebra per risolvere il problema.

Molti studenti si buttano sulla manipolazione simbolica (symbol pushing) senza riflettere preventivamente sul fatto che la manipolazione può essere laboriosa e può indurre in errore.Occorre un controllo che porti ad evitare la cieca manipolazione in favore di altri approcci.

Oltre al controllo, altri fattori (estetici) possono portare a rifiutare la manipolazione cieca: senso dell’eleganza ed efficienza della soluzione.

Può intervenire anche il belief che l’attività matematica è più che la cieca e pesante realizzazione di manipolazioni (“così è troppo complicato, ci deve essere un altro metodo!”).

Comportamento no 1

Il problema proposto può essere risolto considerando la rappresentazione analitica:

x2-y2=0 le bisettrici del I e III e del II e IV quadrante

(x-a)2+y2=1 fascio di cerchi di raggio 1 e centro sull’asse delle ascisse

Comportamento no 1

Nuovo problema proposto: disequazione

|x-2|>|x-6|

La risoluzione della disequazione per via algebrica è altamente tecnica ed è molto probabile commettere errori.

Anziché eseguire cieche manipolazioni, è meglio ricondursi al significato: |x-2| è la distanza di un generico numero da 2, quindi il problema chiede di trovare quei numeri la cui distanza da 2 è maggiore della distanza da 6.

Il problema si può dunque risolvere ragionando sulla retta dei numeri, oppure verbalmente.

Un altro approccio è utilizzare i grafici cartesiani.

Comportamento no 1

È parte del symbol sense non solo ricorrere ai simboli nei casi opportuni, ma anche abbandonare la via algebrica quando si rischia di “affogare” nelle manipolazioni.

Comportamento no 1

Gli ultimi due esempi (equazioni e disequazione) suggeriscono che il symbol sense comprende anche l’intuire che la manipolazione simbolica comporta un lavoro eccessivo e la tendenza a rappresentarsi in altri modi il problema.

Comportamento no 1

Riassumendo… primo comportamento che illustra il symbol sense:

Fare amicizia coi simboli

Feeling intuitivo di quando usare i simboli nella risoluzione di un problema, ma anche di quando abbandonare la via algebrica e rivolgersi a metodi più efficaci

Si può osservare uno dei punti di forza dei simboli è che consentono di procedere “dimenticando” il referente.

By the aid of symbolism, we can make transitions in reasoning almost mechanically by the eye, wich otherwise would call into paly the other faculties of the brain. It is a profound trusim, repeated by all copy-books and by eminent people when they are making speeches, that we should cultivate the habit of thinking of what we are doing. The precise opposite is the case. Civilization advances by extending the number of important operations which we can perform without thinling about them. Operations of thought are like cavalry charges n a battle - they are strictly limited in number, they require fresh horses, and must only be made at decisive moments.

Whitehead, 1911

Comportamento no 2

D’altra parte, procedere in modo automatico comporta dei rischi di perdita del significato:

I have observed, not only with other people but also with myself … that sources of insight can be clogged by automatism. One finally masters an activity so perfectly that the question of how and why is not asked any more, cannot be asked any more,and is not even understood any more as a meaningful and relevant question.

Freudenthal, 1983

Interrompere un’esecuzione meccanica per riflettere sul significato sottostante può “sbloccare”.

Comportamento no 2

Esempio

Nel risolvere un’equazione, uno studente arriva alla forma:

3x+5=4x

Anziché procedere in modo meccanico, lo studente osserva che per ottenere 4x da 3x, occorre aggiungere x, quindi l’addendo di 3x, 5, deve essere il valore di x.

Dal punto di vista matematico il suo approccio non differisce da quello standard, ma dal punto di vista psicologico c’è una differenza importante.

Comportamento no 2

È indice di symbol sense il fatto di interrompere una routine automatica per leggere e mettere in evidenza una relazione tra i simboli.

Leggere invece di manipolare

Comportamento no 2

Di fronte all’equazione (2x+3)/(4x+6)=2, è quasi “istintivo” pensare di risolverla in modo meccanico. Solo quando si ha una certa maturità ci si ferma a “leggere” e si nota che il numeratore è sempre metà del denominatore, per cui l’equazione non può avere soluzioni.

Uno studente, dopo aver osservato che non esistono soluzioni, si chiede: “OK, ma se io la risolvessi lo stesso?”.Questo studente sente il bisogno di vedere in che modo l’algebra esprime l’assenza di soluzioni. Mediante manipolazione, lo studente trova x=-3/2.

Inizialmente, lo studente è perplesso di fronte all’apparente contraddizione tra i due metodi. Solo dopo una lunga riflessione, lo studente sostituisce x=-3/2 nell’equazione e realizza che il valore non è ammesso come soluzione perché annulla il denominatore.

Comportamento no 2

(2x+3)/(4x+6)=2

Esempio

Lo studente ha imparato qualcosa sul linguaggio dei simboli e su quanto può essere pericoloso procedere in modo automatico (symbol pushing) senza ragionare.

Leggere e manipolare

Comportamento no 2

Ci sono situazioni in cui leggere i simboli (leggere attraverso i simboli) è essenziale.Si consideri ad esempio il seguente problema:

Che cosa si può dire della differenza tra il cubo di un numero intero ed il numero stesso?

Comportamento no 2

Un’esplorazione numerica fa congetturare che la differenza è sempre divisibile per 6.

Per provare la congettura occorre utilizzare i simboli.

La manipolazione algebrica porta ad una forma del tipo:n3-n= n(n-1)(n+1)

La manipolazione da sola non basta, occorre leggere il significato dei simboli e realizzare che n(n-1)(n+1) rappresenta il prodotto di tre numeri consecutivi, quindi che almeno di tali fattori è pari ed uno è multiplo di 3.

Comportamento no 2

Fa parte del symbol sense il fatto di cercare il significato dei simboli.

Lettura dei simboli come goal della manipolazione

Comportamento no 2

Problema del cubo

Al-Kwarizmi

costruire gli oggetti matematici

soluzione di x2+10x=39 in Al Khwarizmiuso di fonti originali

soluzione di x2+10x=39 in Al Khwarizmi

lato del quadrato verde x

lati dei rettangoli rossi x e 10/4

area della croce verde e rossa x2+4(10/4) x=39

lato del quadrato grande x+2(10/4)area del quadrato grande (x+2(10/4))2=39+4(10/4)2

x=come la nostra soluzione (ma solo soluzione positiva)

algebra del “cut and paste”procedimento dinamico

Problema:Prendiamo un cubo costituito a sua volta da cubetti più piccoli e tutti uguali tra loro. Se dal cubo togliamo una colonna di cubetti, il numero dei cubetti rimanenti è divisibile per 6. Sai dire il perché?

Un’esperienza in classestudenti di 14 anniliceo scientificolavorano in gruppi di 3usano la calcolatrice simbolicaabituati alla discussione in classe

Abduzione (Peirce, 1960; Magnani, 1997): si tratta di un tipo di ragionamento nel quale, osservando un certo fatto x, si procede a una scelta fra le conoscenze possedute per ottenere da una di esse, diciamo a, e dal fatto x una conclusione c. L’esempio presentato in Peirce (1960) è illuminante per capire che cosa è un’abduzione e in che cosa si distingue sia dalla deduzione che dall’induzione. Supponiamo che osservando dei fagioli si veda che sono bianchi (x) e che si sappia che i fagioli di un certo sacco sono bianchi (a). Un’abduzione, basata sulle informazioni a e x, porta ad affermare che i fagioli osservati provengono da quel sacco (c). Un’induzione sarebbe del tipo da x e c ottengo a; una deduzione sarebbe invece del tipo a e c quindi x. In altri termini, in un’abduzione, il risolutore Œvede di quale regola questo è il caso.

Peirce, C. S.: 1903, ‘Abduction and induction’ (from the lectures on Pragmatism, a Harvard, 1903). In J. Buchler (1955), Philosophical writings of Peirce, pp.150-156, Dover, New York.

Un gruppo di studenti trova la formula per risolvere x·(x-1)·(x+1)

ma uno studente scrive

«avrei voluto trovare una dimostrazione solo con i numeri»

che cosa è garante per gli studenti?

comunicazione tra insegnanti e studenti

Il trasformational reasoning viene presentato e analizzato in profondità in un articolo di Simon (Simon, 1996) nel quale si afferma che la caratterizzazione dell’esplorazione matematica mediante ragionamento induttivo e deduttivo sia incompleta. La conoscenza è spesso il risultato di osservazioni mentre l’oggetto di conoscenza sta funzionando e il chiedersi in che modo funziona tale oggetto porta all’attivazione di un terzo tipo di ragionamento che Simon chiama trasformazionale che non è una raccolta di osservazioni, piuttosto è lo sviluppo di un feeling per il sistema che si sta studiando. Transformational reasoning è l’aver luogo fisico o mentale di un’operazione o di un insieme di operazioni su un oggetto che porta a rivedere le trasformazioni cui tali oggetti sono soggetti e l’insieme dei risultati di tali operazioni. Centrale per il transformational reasoning è l’abilità a considerare non uno modo statico, ma un processo dinamico dal quale un nuovo stato o una continuità di stati viene generato. Il trasformational reasoning è ragionamento per analogia, ragionamento anticipatorio. Può non solo produrre un differente modo di pensare agli oggetti matematici, ma può anche portare a un diverso insieme di domande e di problemi (Simon, 1996).

Andrea, però, non è soddisfatto della risoluzione e cerca una dimostrazione di “tipo geometrico”. Dopo averla trovata, in seguito alla richiesta da parte dell’insegnante di mettere per scritto che cosa e perché lo ha spinto a cercare un’altra giustificazione, scrive:

È anche probabile che ciò sia dovuto al fatto che tale soluzione è stata in qualche modo indotta dallintervento dellinsegnante e non sia quindi sentita da Andrea come strettamente personale. In altri termini, Andrea sente il bisogno di appropriarsi profondamente della soluzione.

“Non ero affatto soddisfatto della fattorizzazione della calcolatrice (mi stavo chiedendo: Perché non ho subito pensato alla fattorizzazione?) e stavo “guardando” la figura, un po’ per vedere quel “mostro” e un po’ perché volevo vedere se c’era anche una dimostrazione geometrica. Senza neanche accorgermene ho iniziato a cancellare la colonna in questione, forse per sfogo. Quando ho visto la colonna cancellata mi sono accorto che le due colonne rimanenti avrebbero potuto essere spostate in modo da formare un rettangolo alto meno una colonna (x – 1) , profondo uguale e largo una colonna in più (x + 1). Poiché la formula per trovare il volume di un rettangolo è b.h.p, ho fatto (x – 1) x (x + 1) che era uguale alla fattorizzazione della calcolatrice. Per capire meglio la mia idea, vedere il foglio con disegnati i passaggi dell’operazione”

Andrea si riferisce al fatto che, prima di pensare a scomporre in fattori lespressione n3 n, ha lavorato per diverso tempo sulla figura. Si noti luso delle virgolette che suggerisce un guardare guidato da processi di pensiero volti alla determinazione di una dimostrazione. Si veda figura, rispettivamente una delle pagine di lavoro di Andrea e la figura che ha Simone, in seguito alla richiesta di Andrea, ha riprodotto per spiegare il ragionamento che ha fatto Andrea. Questa ricerca è sintomo di un bisogno intellettuale di capire, di dare significato a ciò che sta facendo: la dimostrazione raggiunta con la scomposizione in fattori non lo soddisfa, anche perché, forse, ottenuta in un campo (quello geometrico) che allo studente potrebbe non sembrare il più appropriato al problema posto. Si veda la colonna del cubo cancellata nel disegno di figura 1. Lo studente usa qui e in seguito rettangolo per indicare parallelepipedo

Si riferisce alla figura.Si tratta, a nostro avviso, di un tipico caso di transformational reasoning indotto da una formula. È proprio la formula che guida, forse anche inconsapevolmente, il ragionamento di Andrea.

Andrea ha messo in atto una sorta di forma di ragionamento “cinestetico” e ha risolto brillantemente il problema. Luca ha lavorato sul piano formale, ma ha messo in relazione la formula con l’immagine della struttura della retta numerica; anche Simone ha ragionato in questa maniera, ma ha chiesto insistentemente all’insegnante se non c’è un modo di evitare il riferimento a come è costituita la successione dei numeri, in modo da ridurre tutto al piano formale. Ciò pone problemi intriganti sul piano didattico: se l’insegnante si rivolge agli studenti della classe con uno stesso linguaggio, quanto sarà il livello di comprensione di studenti che, invece, sono naturalmente (o per esperienze vissute) inclini a comunicare con registri diversi (per esempio Andrea quanto potrà apprendere da una comunicazione esclusivamente formale?). Ciò suggerisce anche il ruolo fondamentale svolto dall’interazione sociale in classe, dal lavoro in piccoli gruppi, che consente agli studenti di comunicare con diversi registri e all’insegnante di potersi rivolgere ai diversi studenti utilizzando il registro più appropriato o utilizzando, gradualmente, elementi di un altro registro per rendere più efficace e flessibile la comunicazione degli studenti.

Si noti che qui si sta parlando di studenti di elevato livello; il problema non è un graduale approccio al formale, ma lesigenze di diversi stili di comunicazione e di apprendimento che, inevitabilmente, possono incidere sul piano motivazionale affettivo e, di conseguenza, su quello cognitivo.

Problema: studenti e professori

Scrivi un’equazione, usando le variabili S e P (S per indicare il numero degli studenti e P per indicare quello dei professori), per rappresentare la seguente frase:

“In questa scuola c’è un professore ogni sei studenti”.

Comportamento no 2

Il 30% degli studenti universitari a cui è proposto il problema fornisce una soluzione errata:

6S=P L’errore può essere dovuto non ad una mancata comprensione della nozione di variabile, ma ad una “traduzione parola per parola” del testo.

Questo non ha ovviamente a che fare col symbol sense: avere symbol sense non mette al riparo da errori di questo tipo.

Tuttavia, fa parte del symbol sense rileggere e controllare (per esempio, sostituendo nel testo) la ragionevolezza dell’espressione simbolica costruita.

Leggere per la ragionevolezza

Comportamento no 2

Riassumendo… secondo comportamento che illustra il symbol sense:

Manipolare ed oltre: leggere attraverso i simboli

Lettura al posto della manipolazione Lettura e manipolazioneManipolazione per consentire la letturaLettura per la ragionevolezza

Comportamento no 2

Esempio

Gioco: dato un piano cartesiano su cui sono rappresentati alcuni punti colorati, fornire l’espressione analitica di una funzione che tocchi il maggior numero possibile di punti colorati.

Uno studente inizialmente scrive l’equazione di una parabola: y= 0.13 (x+2)2-7

Dopo aver visto la parabola sul grafico cartesiano (al computer), lo studente decide di modificare la funzione:

y= 0.13 (x+2)2-7+1/(x-3.5)

Lo studente è in grado di modificare l’equazione in modo da ottenere un grafico che tocchi un numero maggiore di punti.

Comportamento no 3

Fa parte del symbol sense:

• rendersi conto del fatto che si può creare un’espressione ad hoc per soddisfare determinate richieste ed essere in grado di costruirla

• realizzare che un’espressione con certe caratteristiche (ad esempio, il termine fratto dell’esercizio precedente) è quella cercata ed essere in grado di costruirla

Terzo comportamento che illustra il symbol sense:

Costruire espressioni simboliche

Comportamento no 3

Esempio

Studiando la formula della media aritmetica di due numeri, uno studente osserva che con una semplice manipolazione si ottiene:

222

baba+=

+

Successivamente, lo studente afferma: “È un numero fatto da metà di uno dei due numeri e metà dell’altro numero”.

Questa riconcettualizzazione emerge dal guardare l’equivalenza tra le due espressioni simboliche non solo come un risultato formale, ma come portatore di un nuovo significato

Comportamento no 4

Prendi un numero dispari, elevalo al quadrato e sottrai 1. Cosa puoi dire del numero risultante?

Comportamento no 4

(2n-1)2 -1 = 4n2-4n

Il risultato è sempre multiplo di 4

= 4n(n-1)

n e n-1 sono consecutivi, quindi uno dei due è pari, quindi il risultato è sempre multiplo di 8

= 8 [n(n-1)/2]

Il risultato è un particolare multiplo di 8: l’altro fattore è un numero triangolare

Comportamento no 4

In entrambi gli esempi, la manipolazione simbolica mostra espressioni tra loro equivalenti che rivelano nuovi significati.

Fanno parte del symbol sense il feeling coi simboli e la fiducia nei simboli, atteggiamenti che portano a ricercare nelle espressioni algebriche (mediante la manipolazione che porta ad espressioni equivalenti) nuovi significati.

Espressioni equivalenti, significati non equivalenti

Riflettere su espressioni equivalenti alla ricerca di nuovi significati è il quarto comportamento che illustra il symbol sense.

Comportamento no 4

Ritornando all’ultimo esempio:

Prendi un numero dispari, elevalo al quadrato e sottrai 1. Cosa puoi dire del numero risultante?

Se si sceglie di rappresentare il numero dispari con n anziché 2n-1, si ottiene:

n2-1La scelta della variabile è legittima, ma il risultato dà meno informazioni. Si può fattorizzare ed ottenere:

(n-1) (n+1)Questa espressione equivalente mostra che il risultato è sempre il prodotto di due pari consecutivi. Uno dei due numeri è sicuramente divisibile per 4, quindi il risultato è sempre divisibile per 8. Tuttavia, non si vede che in particolare si ottiene sempre un numero del tipo 8m, con m numero triangolare.

Comportamento no 5

Le informazioni che si ricavano dalla manipolazione dell’espressione dipendono dalla scelta dei simboli. Una buona scelta dei simboli (per esempio, 2n-1 anziché n) permette di arrivare a svelare meglio la struttura della situazione.

Comportamento no 5

Si può scegliere di rappresentare la somma di due numeri negativi come a+b o come -a-b.Si può scegliere di rappresentare un numero razionale come a o come p/q.

Il symbol sense aiuta a scegliere la rappresentazione più appropriata, tenendo conto dell’obbiettivo del problema.

Comportamento no 5

Problema:

Giovanni va in banca ad incassare un assegno per un importo inferiore ai 100 dollari.Il cassiere confonde i centesimi con i dollari (per esempio, se l’assegno è di 19,45 dollari, il cassiere consegna a Giovanni 45,19 dollari).Giovanni prende i soldi e, dopo aver speso 3,5 dollari, si rende conto di avere due volte la somma corrispondente all’importo scritto sull’assegno.Di quanti dollari era l’assegno?

Comportamento no 5

Se si rappresenta l’importo dell’assegno con x, difficilmente si arriva alla soluzione.

Se si rappresenta ciascuna delle quattro cifre (due per i dollari, due per i centesimi) con una variabile diversa, tutto diventa molto complicato.

La scelta migliore è rappresentare i dollari con una variabile e i centesimi con un’altra variabile (ogni variabile rappresenta quindi un numero a due cifre).

Comportamento no 5

Si noti che una scelta poco opportuna della variabile all’inizio del processo risolutivo non implica necessariamente una mancanza a livello di symbol sense.

Fa invece parte del symbol sense la consapevolezza di due aspetti:

• la scelta dei simboli è libera, anche se certe scelte possono semplificare la manipolazione ed il risultato finale

• la scelta iniziale non è vincolante e si può sempre decidere di passare ad un’altra rappresentazione simbolica

Inoltre, fa parte del symbol sense l’intuizione di quale può essere la scelta più vantaggiosa.

Scelta dei simboli

Comportamento no 5

Si può osservare che un’equazione della forma av=b+cv ha soluzione del tipo v=b/(a-c), se ac, indipendentemente da quanto siano complicate le espressioni a, b e c.

Molti studenti non notano questo fatto e si buttano in manipolazioni standard: la risoluzione diventa allora molto difficile, anche effettuando passaggi corretti.

C’è il rischio di circolarità (dopo qualche passaggio si ritorna ad un’equazione già incontrata).

Inoltre, spesso gli studenti sembrano procedere a caso, senza avere un progetto preciso in mente.

Risolvere in v l’equazione: v√u=1+2v√(1+u)

Comportamento no 6

Comportamento no 6

Durante la manipolazione, è importante fare attenzione al rischio di circolarità, ovvero di realizzare manipolazioni simboliche che portano a identità ovvie o tautologiche, che non danno nessuna informazione e sono improduttive.

L’abilità di anticipare questa circolarità è una manifestazione di symbol sense.

Quando la circolarità non è anticipata, il symbol sense evita che ci si paralizzi ed innesca una reazione di ricerca di altri approcci.

Circolarità

Vedere l’equazione v√u=1+2v√(1+u) come un’equazione della forma av=b+cv è un esempio di gestalt.

La visione gestaltica consiste nel “sentire” i simboli non solo come una concatenazione di lettere, ma come una certa forma.

Avere una visione gestaltica di particolari espressioni simboliche è indice di symbol sense.

Gestalt

Comportamento no 6

Su un foglio a quadretti è disegnato un rettangolo. I quadretti che costituiscono il bordo sono colorati.Nel caso riportato il numero dei quadretti colorati del bordo non è uguale al numero dei quadretti dell’interno. È possibile disegnare un rettangolo in cui il bordo abbia lo stesso numero di quadretti dell’interno?

Comportamento no 6

La risoluzione di un matematico:

a, b dimensioni del rettangolo (in numero di quadretti)

Numero totale dei quadretti del bordo: 2a+2(b-2)Numero totale dei quadretti dell’interno: ab-[2a+2(b-2)]

Uguagliando le due quantità si ottiene:

2a+2(b-2)= ab-[2a+2(b-2)]

Comportamento no 6

2a+2(b-2)= ab-[2a+2(b-2)]Mediante manipolazione si ottiene:

ab-4a-4b-8=0Questa espressione suggerisce di cercare una fattorizzazione, per poi vedere quali sono le soluzioni intere.Primo tentativo:

a(b-4)-4(b-2)=0L’espressione non può essere ulteriormente fattorizzata, ma il matematico nota che se al posto di b-2 ci fosse b-4 si potrebbe fattorizzare. Decide allora di aggiungere 8 ad entrambi i membri dell’equazione:

a(b-4)-4(b-2)+8=8a(b-4)-4(b-2-2)=8a(b-4)-4(b-4)=8

(a-4)(b-4)=8Dall’ultima espressione si ottiene che solo i rettangoli 6x8 e 5x12 soddisfano la richiesta.

Comportamento no 6

Comportamento no 6

La soluzione del matematico illustra il symbol sense in due passaggi:

• il solutore visualizza un target per la manipolazione (un’espressione facile da gestire ed interpretare)

• Il solutore sceglie le manipolazioni che gli consentono di raggiungere il target

Target formale

Quindi…Anche in quei casi in cui, come osservava Whitehead, occorre dimenticare il significato e eseguire le manipolazioni in modo meccanico, ci deve comunque essere una componente del symbol sense “tecnica” (“formale”) che guidi e controlli il lavoro che si sta effettuando.

La corretta manipolazione non è mai arida applicazione di regole, anche nei casi in cui si può fare a meno del riferimento al significato.

Tre comportamenti correlati che illustrano il symbol sense: realizzare la circolarità di una manipolazione simbolica, avere una visione gestaltica, condurre le manipolazioni in vista di un target formale.

Comportamento no 6

Flexible manipulation skills

Comportamento no 7

Una matematica propone una diversa soluzione per il problema del rettangolo: si tratta di una soluzione non simbolica, basata sulla tecnica dell’origami.

Si piega il bordo superiore all’interno. In questo modo, ad ogni quadretto del bordo corrisponde un quadretto dell’interno, tranne due quadretti del bordo che “avanzano”. Si piega il bordo inferiore all’interno, avanzano altri due quadretti del bordo.Si piega il bordo di sinistra, poi quello di sinistra, ottenendo altri 4 quadretti che avanzano.

Comportamento no 7

In totale avanzano 8 quadretti del bordo. Per avere l’uguaglianza occorrono dunque 8 quadretti dell’interno che non siano stati ancora coperti da quadretti del bordo.

Tali quadretti devono formare un rettangolo all’interno, quindi le uniche possibilità sono un rettangolo 1x8 od un rettangolo 2x4.

Andando a ritroso (togliendo le pieghe) si trova che il rettangolo di partenza deve essere 6x8 o 5x12.

Comportamento no 7

Le due soluzioni (algebrica e “non simbolica”) sono proposte ad un gruppo si studenti universitari.

Uno degli studenti osserva che la seconda soluzione, pur non utilizzando simboli, è strettamente legata alla soluzione algebrica.

Lo studente osserva che quando si risolve l’equazione che modellizza un problema, ci si stacca dal significato dei simboli, soprattutto nei passaggi intermedi, che sono visto come passaggi meccanici che non hanno significato in relazione alla situazione.

Le due soluzioni del problema del rettangolo, tuttavia, hanno un punto di contatto.Nella soluzione algebrica, aggiungere 8 ad entrambi i membri sembra un artificio.A posteriori, la soluzione “origami” dà significato all’aggiunta di 8.

v. Soluzione di Andrea

Comportamento no 7

Quando si risolve un problema costruendo un modello matematico della situazione problematica, i simboli ed i significati sono spesso messi in connessione all’inizio (momento della messa in formula) ed alla fine (momento dell’interpretazione del risultato in relazione alla situazione modellata), mentre nei passaggi intermedi si procede in modo meccanico, senza badare al significato.

Nel problema del rettangolo, i simboli “parlano” allo studente, che riesce a riconoscere il significato dei simboli nei passaggi intermedi.

Il comportamento dello studente illustra un altro aspetto del symbol sense.

Symbols in retrospect

Comportamento no 8

Si consideri la relazione linearey=mx+b

Con x, y, variabili e m, b parametri.Fissando il valore di x e y si ottiene un puntoFissando il valore di m e b si ottiene una retta

Quindi, y=b può essere interpretata in due modi diversi, a seconda del contesto.Se risulta dall’aver sostituito x=0 nell’equazione y=mx+b, rappresenta l’intersezione tra l’asse delle y e la retta.Se risulta dall’aver sostituito m=0 nell’equazione y=mx+b, allora rappresenta la famiglia delle rette di pendenza nulla.

Comportamento no 8

Fa parte del symbol sense riconoscere nel contesto i diversi ruoli che i simboli possono giocare.

Comportamento no 8

Trova le coordinate del centro del cerchio passante per (a,b), (-a, b), (0,0)

Procedendo per via grafica si può notare che, per ragioni di simmetria, il centro sta sull’asse delle ordinate.

Uno studente procede per via simbolica. Dopo alcune difficoltà iniziale legate all’uso abituale delle lettere per esprimere l’equazione di un cerchio ( (x-a)2+(y-b)2=r2 ), arriva ad impostare tre equazioni in m, n coordinate del centro:

Comportamento no 8

(a-m)2+(b-n)2=r2

(-a-m)2+(b-n)2=r2

m2+n2=r2

Uguagliando la prima e seconda equazione, lo studente trova am=o.Lo studente non sa se concludere che a=0 o che m=0. L’impegno nel realizzare le manipolazioni simboliche sembra avergli fatto dimenticare il significato dei simboli, o lo scopo con cui ha iniziato a risolvere l’equazione.Solo dopo un poco lo studente realizza che se a=0 non si ha più un cerchio (i tre punti di partenza stanno tutti sull’asse delle ordinate) e da lì ricorda che a è un punto generico dato nel problema.Conclude quindi che m=0, ovvero che il centro sta sull’asse delle ordinate.

Comportamento no 8

Nella seguente espressione, trova, se possibile, un numero che, sostituito a d, dia luogo ad una relazione lineare:

y=(x2-4)/(d-2)

Nessuna sostituzione rende l’espressione una funzione lineare.Uno studente, mostrando una visione gestaltica, scompone x2-4 in (x-2)(x+2), notando che x-2 e d-2 possono essere semplificati imponendo d=x (con x2).In questo caso, il symbol sense “tecnico” che fa intuire la semplificazione interferisce con la distinzione tra i diversi ruoli dei simboli. Lo studente non si pone il problema della legittimità della sua manipolazione.

Comportamento no 8

Il symbol sense non implica necessariamente un immediato riconoscimento dei ruoli dei simboli. Tuttavia, fa parte del symbol sense riuscire a riconoscere i propri errori e fare chiarezza sui diversi ruoli (come nell’esempio del cerchio).Fa parte del symbol sense riuscire a districarsi da una situazione confusa, recuperando il significato dei simboli.

Symbols in context

Riflettendo sugli otto comportamenti descritti finora e mettendone in evidenza i tratti comuni, possiamo fornire una caratterizzazione del symbol sense.

Il symbol sense è un complesso e sfaccettato “feeling” coi simboli.

Il symbol sense può essere descritto in termini di apprezzamento, comprensione e istinto relativi ai simboli.

Riassumendo…

• La familiarità coi simboli– Comprensione e “senso estetico” del potere dei simboli– Senso di come e dove i simboli possono essere usati per

mostrare relazioni, generalizzazioni e prove che altrimenti sarebbero non visibili

• L’abilità nel manipolare e “leggere dentro” le espressioni algebriche (due aspetti complementari della risoluzione dei problemi algebrici)– Da una parte, il distacco dal significato e la visione gestaltica dell’espressione

rendono le manipolazioni veloci ed efficienti– Dall’altra, la lettura delle espressioni simboliche in cerca del significato può

far scoprire nuove connessioni e far controllare la ragionevolezza del risultato ottenuto

Riassumendo… fanno parte del symbol sense:

• La consapevolezza del fatto che si possono creare espressioni simboliche per esprimere informazioni verbali o grafiche ed abilità nel realizzare tale creazione

• L’abilità nel selezionare una possibile rappresentazione simbolica per un problema – il coraggio di riconoscere che la rappresentazione scelta non è

quella più opportuna, il coraggio di cambiare tale rappresentazione nel corso della risoluzione) e la capacità di trovare una rappresentazione migliore

Riassumendo… fanno parte del symbol sense:

• La consapevolezza della necessità di controllare il significato dei simboli durante lo svolgimento della procedura e di confrontare questo significato con quanto intuito o con il risultato atteso

• Consapevolezza del fatto che i simboli possono avere ruoli diversi in contesti diversi

Riassumendo… fanno parte del symbol sense:

Si tratta di considerazioni nate da una serie di comportamenti osservati ed analizzati. L’elenco è un primo passo verso la descrizione del symbol sense.L’elenco può servire per promuovere la consapevolezza di comportamenti connessi al symbol sense.

L’elenco può anche servire come traccia per future osservazioni.

Per arrivare ad una vera definizione occorre unire riflessione filosofica e teoretica e osservazioni empiriche di esperti e novizi.

L’elenco non è esaustivo

Realizzare un elenco non è sufficiente

Definire il symbol sense non significa semplicemente realizzare un elenco, per quanto completo.

Studiare il symbol sense non significa solo andare a controllare quanti elementi di una lista sono presenti.

Occorre tenere conto della complessità del symbol sense.

- Diverse componenti del symbol sense interagiscono tra loro: per esempio, una visione globale dell’espressione suggerisce di semplificare, portando all’errore.

Esempio della semplificazione

- Talvolta, gli studenti mostrano difficoltà coi simboli ( e questo denoterebbe carenze a livello di symbol sense), ma poi sono in grado di superare la difficoltà, mostrando così altri aspetti del symbol sense.

Esempio della circonferenza

- Il symbol sense si sviluppa e cresce in interazione con il number sense, visual thinking, function sense, graphical sense.

Facendo riferimento al significato di sense nella lingua inglese (any of the special bodily faculties by which sensation is aroused) si può descrivere il symbol sense come:

Any of the special mathematical faculties by which meaning is aroused

Promuovere il symbol sense dovrebbe essere uno degli scopi dell’educazione matematica.

Il symbol sense è la componente algebrica di qualcosa di più ampio, il sense-making in matematica.

Il sense-making deve essere l’obbiettivo di tutta l’istruzione in matematica.

Anche ammesso di arrivare ad una descrizione esaustiva del symbol sense, restano aperte molte domande:

- Come si acquisisce il symbol sense?

- Quali conoscenze sono necessarie per esercitarlo?

- Qual è il ruolo delle manipolazioni “tecniche”?

- Gli esercizi meccanici precedono, si contrappongono a, o ostacolano lo sviluppo del symbol sense?

- Il symbol sense caratterizza gli esperti o lo si può trovare anche nei principianti, ed in che misura?

Alcune indicazioni didattiche che derivano dalla descrizione del symbol sense

1. Il symbol sense è il cuore della competenza in algebra, dunque l’insegnamento dell’algebra dovrebbe essere strutturato intorno ad esso.Spesso la conoscenza delle regole di manipolazione formale sembra essere il principale obbiettivo dell’insegnamento dell’algebra. Invece, occorre insegnare la manipolazione in contesti ricchi, che consentano di imparare anche quando e come utilizzare tale manipolazione.

2. La tecnologia può contribuire a sviluppare il symbol sense.

Esempio: trova l’espressione algebrica per la seguente funzione, aiutandoti con una calcolatrice grafica

3. Anche esercizi “classici” (come quello del cerchio) possono promuovere il symbol sense, se l’insegnante incoraggia la discussione e la riflessione, per esempio sul grafico.

4. Il simbolismo algebrico dovrebbe essere introdotto presto, mediante situazioni in cui gli studenti possono apprezzare il potere dei simboli nell’esprimere generalizzazioni e giustificazioni di situazioni aritmetiche. In questo modo, le espressioni algebriche non sono entità formali prive di significato, ma mezzi potenti per comprendere e risolvere problemi e per comunicare su tali soluzioni.

5. Può essere utile che l’insegnante promuova l’analisi a posteriori delle soluzioni prodotte. La discussione sulle soluzioni può far emergere automatismi, ma anche approcci diversi. Si possono realizzare confronti tra approcci simbolici e non.

6. La discussioni di classe possono legittimare e stimolare le domande del tipo “Cosa succede se…?” (se sostituisco questo valore, ecc.).Domande di questo tipo portano gli studenti a guardare i simboli come entità su cui riflettere costantemente, e non semplicemente governate da regole arbitrarie “imposte dall’alto”.

«Pensar es olvidar diferencias, es generalizar, abstraer»[Pensare è dimenticare le differenze, generalizzare, astrarre]

J. L. Borges, Funes el memorioso. La citazione è presa da (Arcavi, 1994)