lntrodutere

1. SilllOOlUl'i matcmutico

E - nparpne.g; - llU npn.rtine.c: - inc1us l1esirict.C- inc:lns strict.U - reuniune.n - inlc,l'seqie.

G - COl11plementarilalc.=) - implicit logic.<:> - i'cJlivalent logic.V - orieare.3 - cxistil.

\1 - saH.II - ~i.

".E - SUDla (de Ja l1a 11).$'=1

"IT - proc1us (de 1a 1 l:J. 11).i=1

X -> f(x) - x merge in f(x); funepa [(x) .•,1" B - diIercnta mulpmilor .'1 ~i B adieu {x I x E .,1 ~i x ~ E} .

.1 X B - :rrodnsnl cartezian al mulpmi10r A ~i lJ.11

IT Ai - prodnsul carlezian nl mnl!imiJor .11' .112, ... , .1".;=1

-4* =.4"- lOA}.A [Xl - ineJul polinoamelor eu coefieienp In A.

(.' - mlllpmea numerelor eomplexe.c* - lI1ulpmea numerelor eomplcxe diferite de zero.C, - lI1u1timea numcrelor eomplexe de modnI 1.

C [Xl - inelul polinoamclor eu eoeficicnli eomplec~L ,eA - clementnl unitate al ineJullli A.

- partea reala a unui numar complex.- partea imaginara a unui mimiir complex.- modul.

( ,) • - interval descllis.[ ,1 - interval ~nchis.() saU { } - ~iruri, sUb~iruri.i: - Y -1.- - progresie aritmetica.

(),Jill

- progresie geometrica.- mahice.

I I, det ( ) - determinant.

2. Alfabctele grQc §i g()tic

Alfabetul grec (\Techil Allabetul gotiede tipar de tipar

A a: aHa \V 11 a,l

'B f' lieta m b ber 'Y gam,ma a: c te/::,. ,I) delta 'l) b deE Ii: epsilon CS; l: eZ 1;; dzeta lJ f efH r, eta ~ U ghe0 6 theta S) 1) ha~I jota 13' iK x kappa ~ i iotA A lambda Sl' . f :kaM fL miu ~ I elN v niu 9)e lit em... ~ csi m.=. 11 en0 0 omicron D 0 0

IT 'IT pi ~ iJ IJep p 1'0 £J, q chiu~ u, C; sigma ill r erT -r tau 6 f,5 esy u ipsilon % I te(p ep fi U u uX X hi m lj fau

. 'ly <jJ psi ~ ,tl ven (» omega X ~ ics

ID 1) ipsilon.s 5 tet

11

tG - elementul unitate al grupului G.f(x), cp(x) - functii.r-1 - inversa func~iel f·((A) - imaginea multimii A prin furictia f.[-liB) - imaginea reciproca a mu1timii B./~ - func~ia polinominalii asociata polinomului f.o - multi mea vida(G, .) - grup multiplicativ.(G, +) - grup aditiv.(G, *) - grup cu legea de compozitie (x, y) --+ x * y.(A, +, .) - inel un de A poate fi Z, Q, R, C, ...N = {O, 1, 2, ...• n, ... }N* = N ,,{O} = {1, 2, ... , n, ... }.oA - elementul zero al lui A.']1(E) - multi mea partilor multimii E.Q - multimea numerelor rationale.Q* - mu1timea numerelor rationale diferite de zero.Q [V2] - multi mea numerelor de forma x + V2 y cu x, yEQ.Q[X] - inelul polinoamelol' cu coeficienti rationaliR - multimea numerelor reale.R$ - R"-.. {O}.R't, - R+ {O}.R2 - produsul cartezian R X R.R[X] - inelul polinoamelor cu coeficienti reali.sign(K) - semnul lui x.supp (f) - suportul lui f.x * y -- x compus Cll y In legea de compozitie (x, y) --+ ~ *" rj.••.x - - simetricul wi x.x-I - inversul lui x.- x - opusul lui xZ - multimea numerelor Intregi.z* = Z\{O}.=:...(modp)- congruent modulo p.Zp - multimea claselor de resturi modulo p.Z [Xl - inelul polinoamelor cu coeficienti Intregi.Zp [Xl - inelul polinoamelor cu coeficienti In Zp.Ig -- logaritm In baza 10.In - logaritm in baza e.Ib - logaritm binar.loga .- logaritm In baza a.colog - cologaritm.Jim -- Jimita.--+± <Xl - infinit.d - difocentiu,lii.

d d2-- , -" - derivate.dx tU-~

Re1mI I

II. Algebra

J1) t+ a)n = + a".2) (- a)21i = + (12".

3) (- a)2n+1 = _ a21/+1

4) am, an = a?ll+".

6) am . bm = (a . b)"'.

(a)1Il

7) aTll : bm = -t: .1 ( 1 )'"8) -= _ = (C71l•

am a9) (am)n = am" = (a")1II,

10) aO = 1. .

11) On = 0, n - nllllltll' natural 1ll'I1UI.

12) a2 - ~2 = (a - b)(a + b).

13) (a ± 'b)2 = a2 ± 2(1b + b2.

14).(a + b + e)2 = a2 + b2+ e2 + 2(ab + ae + be),1?) (a ± b)3 = a3 ± 3 a2b + 3 ab2 :!;: b3. .

16) "(a + b + e)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2e + b2a + b2e + e2a'+ e2b) ++ 6abe ..

" "

17) a3 ± b3 = (a ± b)(a2:;: ab + b2) .

. 18) an - 'bn

'= a"-l + a"-2b + (I"-3b2 + ...+ abn-li + ""b"-l,a-b

1

1)"'(0. = am,

V- 1I.' t 1 --

2) - = --=- = a ma 'Va"

4) ('"V ~r5) 10.·1b = "rab.6) lIf(a : lIf{i = my ~ .7) "'ra, '(D. = '""1am+".8) 10.: 10. = ""1a,,-m.

9) "'{Oft = (''fa)'' = am.

10) "fO.h ·1bJ: = "'7 all" • /)km.

11) "{all :1ble = mtall": bml<

12) 1If{"'-;; •••1l{-a _ ttr.:7~r r a = r - r r a.1

13) 2·s+V _ a ~ - a2n+t = _2n+Va,14)1Y; + Vb = Va + b + 2Ya•.15) Vii? = la l'

16} YA ± Tn = y At G ± r~;-G, dac~ ~2 - B:=ct.

Conditii Ileeesare ;;i sufieicn Ile pentru en Ilumercle reale date a: ;;i f3sii fie in allumi!e re)atii eu ri'tdaeiI ilexl;;i x2 ale eeua1iei de gradul al doilea :

((x) == ux2 + b.:x + c = 0, a, b, c E R,

respecliY, pcntru ea r(·T) sa pastl, oeze un semn constant "Ix, x E R.

__ N_r_. R_e_la_li_ile_i_ll_lr_c_rx,r" "" "=i x,l Conditii neces.re ~i suficienlecrt. ~

IX < :r1 1< B < ~'2

1 sau. 10 (Ca)·rC(3) < O.Xl < a: < x! < (3

a: -< Xl <: ~'2 < ~ 1°~=b2-4ac;;;'0.2° arCa) > 0.... . .. 3° ar(f3) > O.4° ex < -.Y-.,

2ab ~

2 5° f3 > -~.2a .----

Xl < ex < f3 < x2 1" area:) < O.2° ar(f3) < 0, eeea ce atrage dupasine Ll> 0san.,1 0' ((a:) ref?»~> O.v

2°' area) + af(f3) < O.---4 Xl < IX < x2 area) < O.

5 a: < Xl « x2 1° Ll ;;;. O.2° a{(a:) > O.

b3° a< --.

2a

6 Xl < x2 < (I. 1° Ll :;;;.O.2° ar(a:) > O.

-b3° - < a:.

2a

7 {(x) > 0, "Ix, x ER 1° Ll «O.2° a> O.---

8 {(x) « 0, "Ix, x ER 1° Ll .;;: O.2° a < O.-

4. Rezolvarea eeuatiei de gradul al treiIea prinformuIele lui Cardan

Impartind prin a ~i introduclnd In locul lui x neeunoscuta y = x ++~. ecuatia (1) ia forma

3a

3ae - bl3p=---3as

2b8 be d2q=----+_.27aB Saa a

f> 0 ecuatia are 0 riidacin!i realii ~i doua complexe conjugate;< 0 ecuatia are toate riidiicinile reale ~i distincte,

D == q2 + p3

I{P = q = 0 ecuatia are toate radacinile nnle,

'= 0 p3 = - q2 * 0 ecuatia are toate radacinile reale,dintre care dona confundate.

far ocl ~i ,C(2 slnt radacinile ecuatiei x2 + x + 1 ~ 0, adica

-1 ± iVSocli2 = 2

In cazul D .;. qa + pI < 0, cele trei radacini reale au forme complexe~i este mai indicat sa se foloseasca alta metoda de rezolvare (cu ajutorulfunctiilor trigonometrice).

Daca. a1 esle primul termen, an ullimlll termen, r ralia, n numarultermcnilor ~i Sn suma termenilor, atunci

, (a1 + an)nan = a1 + (n - 1) r, Sn = 2 •

Rclaliile (1) contin 5 necunoscutc: a1' Il, r, an ~i Sn'Pentru a dctcrmina :H;cslc j l.'!cmcnte mai cstc necesar sa ni se dea

3 dinlre ell'.

1) Dad! a1 estc primul tcrmcn, an ultimul tcrmcn, q ralia, n numarultermcniJor ~i Sn suma termeniJor, atunci

n-1 S a1(qn - 1)an = a1q , n = .

q-1

2) eu aceea~i nolatie, dadi progresia geometricii este descrescatoare<Iq[ < 1) ~i numarul termenilor infinit, atunci

a1S =--.co 1 _ q

Relatiile (2) contin 5 necunoscute: aI' n, q, an ~i Sn'Pentru a deterrnina aceste 5 elemente, mai este nevoie sa ni se dea

3 dintre ele.

1) 'Proprietati: y = log" x, x> 0, a> 0, a#1, ,y E R.

1° log" b = log" c ~ b = c

2° log;' a = 1

3° log" 1 = °

5° loga' aC = c

6· loga b • 10gba = 1 •

~&a . '7° 10gba = --- (formula de scluooarc a bazel logaritrnu;lli)loge b

8° x> 0, y> 0 (=) loga xy = loga X + loga Y

,,x9° X > 0, Y > 0 ~/ loga - = loga X - loga Y

y

11° Xn >, 0, x> 0 ~i Xn .....•.X ~) loga ~;n-+ loga X.n-+- + 00

12° a> 1 !)i x> 1 ;=) loga x> 0

Ljo a> 1 ~i x E (0,1) =) loga x < °I, 14° 0 < a < 1 ~i 0 < x <: 1 =) log" l' > 0

15° 0 < a < 1 ~i x> 1 =) loga x_< (I

16° ~ > 1 ~i 0 < X < Y =) log" x < loga Y

2) Opcratii (logaritmi zecimali). 1°. Suma a doi 1ogaritmi: se adunaseparat caracterisliciJe (se aduna algebric, lntruclt existil. caracteristicipozitive ~i caracteristici negative) ~i separat mantisele (care slnt Intot-deauna pozitive, afarii de cazul In care Intregul logaritm este negativ);cele douii rczultate se adunii, apoi, algebric.

2°. Scaderea a doi logaritmi: se aduna dcscazutul cu cologaritmulscazatorului.

3°. Inmultirea unui logaritm cu un numar intreg: clnd caracteristicaeste pozitivii, inmultirea se face in modul obi~nuit; clnd caracteristicaeste negativa, se Inmulte~te separat mantisa ~i separat caracteristica ~i seaduna algebric rezultatele.

4°. Imparlirea unui logaritm prinlr-un numar lntreg. In cazul ctndcaracteristica este pozitiva, lmpartirea se face obi~nuit. In cazul cindeste negativa, se imparte separat mantisa ~i separat caracteristica; dadnu se 1mparte exact caracteristica prin numarul dat, atunci se adaugacaracteristicii atitea unitiiti negative cite sint necesare pentru a avea unnumiir divizibiJ prin impartitorul respecli\" ~i, pentru a nu se modificarezultatul, se adauga ~i mantisei tot atltea llniti:i\i, dar pozitive.

(d~ n obiecte luate cite m)

A::' = n(n - 1)(n - 2) ... (n - m .., f.)

If..,/

(de n obiecte Iuate clte m)

.A'" ll(n - l)(n - 2) ..• (11 - m + 1)em _ n =-------------n -- Pm ml

nlml(n - m)!

c::' = e:-m = e::'-l + e~'::l

e;:' = c;;'::l + c:;'::i + e;:'.:::l +....+ e::::;:i+ e~;-l + e;~=i

(x,+ a)n = x" + ei.axn-1 + e;;a2xn-2 + e~a3xn-3 + ...++ e~akxn-k' + ..~+ e:-1an-1x + e~an

" Pro p r i e t ii ti:1) Numarul termenilor dezvoltarii este n + 1.2) Coeficientii tcrmenilor egal departati de extremi slnt egali.3) Coeficientul unui termen oareeare este egal cn coeficientul. ter-

I Jnenului precedent, inmultit ell exponentullui x din acel termen ~i Impartitprin rangul acelttia~i termen, adieli.

-HI ek 0 n - kl4i\ = n ---0k+l

1) Daell.

It = a + ib, z = a - ill.• ~ = 01:+ i~, a, b, ,iX, ~ E R, i = Y - 1

slnt nU!Dere complexe, atuf,ci avem

1° z ± S = a ± IX + i(b ± f).2° i<m = 1, i'm+l = i, i,m+2 = - 1, i,m+3 = - i, cu mEN.

3° zt; = QIX - b(3 + i(af) + 1%0).

4° zz = (a + bi) (a - bi) = a2 + b2 = Iz12.

50 .:... _ ~j- b(3 , z' b(l. - a(3- -r

~ 0:2 + (32 (;.2 + (32

6° Va -+- ib'= ± (V Va2\b

2-I- a + i i~VV;;; -'-2b2 - a)

,0 Z = (l -I- zv = r(cos tp -+- i sin tp) unde r = Va" + b" = I z I, i:lr

d d d' a b «

se e uce III cos 'P = - • sin tp = _ >

r r

I1ZS = r1r2 [cos (91 -I- CJl2) + i sin (91 + ?2)]'

~ r1-=-[cos ('PI - q>2) + i sin (q>1 - ?2)]'Zs r2

2° ;;n = r" (cos 119+ i sin n<p);

(cos 9 + i sin .cp)1I ~ COS 11q> + i sin 11q>, 11 E Q (formula Iui Moivrc)., 3) FO:l7:~la IUl MOlyre ne serve~te Ia aflarea de pildii a sinusului

cosmusulu~ ~l tangentel ale multiphllui unui unghi dadi dezYoltam .ipartea stmga: ' '(

1° cos 119 = cosn <p- e; cos"-1 ro sin2 "" + e" cosn-, ,'4T T 11 cp sm 'P + ...

2° sin e1 n l' 8. ncp = n COS- ex sm IX - en cos"-3 '? sin8 <p+ ...e1 s ~

30 tg nq> = " tg ex: - en tgS ex + e••tg5 IX - •••

1 - e; tg2 IX + e~tg4 IX - •••

4) Dactl .: = r (cos 1> + i sin q:», atunci

.yr(cos q>+ i sin q» = p(ccs 6 + i sin 6)

t

P = rn

1. RelaW in trinnghinri, pa~rulatere §i pOlig08.!l0oarecare

a = ipotenuzab,e = catetele

S = ariaa2 = b2 + c2 (teorema lui Pitagora)

beS =_0

2

he = Inaitimea corespunzatoare laturii cx == proiectia Iui b pe e

a+b+ep = semiperimelrul; p = ----2

S = ariaR = raza cercului circumscrisr = raza cercului inscris

me = mediana dusa din C; CE bisectoarea

a2= b2 + c2 - 2cx (Ia-tura a se opune unuiunghi ascutit, fig. 2)

a2 = b2 + c2 + 2cx (la-tura a se opune unuiunghi obluz, fig. 3)

teorema luiPilagora ge-neralizala

~ aFig. 4

aFig. 5

aFig. 6

S = che =2

= Vp (p - a) (p - b) (p - c) =abc 1

=-- =pr= - ab sin C.4R 2

m2 = 2(02+ b2) -c~ 0

, 4CA. iiE- = -- (tcorl'l11a lJisccloarei)CB EB

a; b = Jaluriley = nnghiul laluriJorD: cl = diagonaleleep = unghiu! diagonalelorh = in,i1timca paralelogramuluiS = aria

S = all = ab sin y = Dd sin cp •2

a,b = lalurileD = diagonalele

ep = unghiul diagonalelorS = aria

£ = ab = D2 sin ep 0

2

a ~- lalura

D = diagonala

R = raza cercului circumscrisS = aria

b

~a

a = Iaturay = unghiuI a doua btur!D,d= d!agonaleleS = aria

S = a2 sin y = !!~.• 2

a = ·baza marcb = baza micah = iniiltimeaI = Iinia mij!o~ie

D,D1 = diagonaleleep = unghiuI diagonalelorS = aria

a + b·

2

S = a + b • h = DD1 sin Cfi •

2 2a-b

PQ =

Un patrulatcr estc inscriptibildad ~i numai dad suma unghinriloropuse este 1800

<x,f3,y,~ = unghiurile·a, b, c, d= laturile

p = semiperimetrulS = aria

D1, D2 = diagonalcle

S = V(p - a) (p - b) (p - c) (p - d)

Ci. + y = f3 + ~= 1800

ac + /Jd= DIDo ITcorema lui pto·-lemell).

Poligonul se descompune in tri-unghiuri ~i trapeze. Aria sa, S, estesuma ariilor partiale S1' S2' S3' S" S6;

S = S1 + S2 + Ss + S~ +S5;

ariile partiale se calculeaza cu for-mulele cunoscute.

R = raza cercului circumscrisLn = latura poIigonului regulat convex cu n Iaturian -t apotema poligonului regulat convex Clln laturiL" '"' latura poIigonului stelat eu n Iaturia~ = apotema poIigonului stelat Cll n laturiPn = perimetrul poligonului regulat convex Cll n laturiSn = aria poIigonului regulat convex ell n laturi.

L2n = V R (2R - ¥4R2 - L~)

a2n = ~V R(2R + V4R2 - L~)

Ls = R ¥SR

as =-2

S3 = 3R2VS.4

L, = R ¥2RVi"

at= -2-

SI = 2,R2.

L~ = !!.. V 1-;; =-2yK'2

a5 = R (Y5" -+- 1) •4

R ---=.L' = -V10 + 2VS

,J 2

R ( ,-a!, = - \5 - 1).4

L6 = R

RY~(16 ,....--,-"2 .._-

:~ T!2 f3 .')

Ra~ = - V2 - 1/'2.• 2

R 1/ 11"=--a10 = - y 10 -+- 2 ,).-1

TI 1 .- )L ; 0 ~ -- \ 1 5 + 1

2

R (- -)L12 = - ¥6 -- y 22

R (- -)a12 = - V6 + V 2 •4

L;2 = R (V6 + f2)2

, R ('- -)a12 = - 16 - Y 2 .••

R = raza cerculuiL = lungimea cerculuil = lungimea arclllui de nO

S = ~ria cercllluiL = 2rrR

TeRn·l=--

180·S = r.R2

rrR2noaria sectorului de n· = -- •

3600

IIJ----

//

/

Ii = diagonala

St = aria totala

V = volumul

St = 6a~ = 2d2

V = a3

I1t--------- -

II

aFig. 12

,IL _

//

/

St = aria totalii

V = volumul

St = 2(ab + be + ea)

V = abe.

p'=

I

S!StSb =

V

SL

StV

perimetrul bazeilniiltimea paralelipipcduluit

aria lateralii

aria totalii

aria unei baze

volumul

PXISL + 2Sb

Sb X I.

Fig. 16

V.\ Tr,ullcllilll de pimmidu

P perimetrul bazeiA apotcma plram.idefI Inii!timea p'riramideiSL = aria lateriiSt = aria totaliiSb aria bazeiV == voluniul

PxASl = ---

2St = SL + Sb

Sb X I

3

P,p= perimetrele bazelorA apotema. trunchiuluiI In.iltilllca trunchiuluiSl = aria lateraliiSt =~ aria LotnliilJ ,IJ= nriilc bazelor

(P + p)ASL=----

2St = SL + B + b

I y-V = - (B + b + Bb).3

Acelea~i notatii ca la paralelipipedraportate la prismii:

SL P X I

St SL + 2Sb

V = Sb X 1== aria sectiunii drepte X muchia.

R = raza bazeiG = generatoareaI = inaltimea

SL = aria lateralaC St = aria total a

V = volumul

SI = 21tRG

St = 21tR (q + R)Fig. 18 V = 1tR2I.

Fig. 19

3) Tnznchiulde con

{J;jlrI

II I (]

---b

Fig. 21

5) Zona s(ericiJ.

rrR(G + R)

rrR2I

3

R,r = razele bazelol'G generatoareaI = Inil.ltimea51 aria laterala5t aria totalaV volumul51 reG (ry + r)5t 51 + rr (R2 + r"-J

reIV - (R! + r2 + rR)

3

R razaD diaPl1etrul .•5 ariaV =,'volumul

4reR2 = reD2 =4,836 yV24;;II3 [)3-- = re-"=O(l9~031'("~3 6' .)

Iniil~imea zonei (0'0', fig. 21)raza sfereiaria zonei2reRI.

1 = lnii1limea calotei (O'A, fig. 21 saufig. 22)

II raza sferei'5 aria caloteiS 2reRI.

CaJota este un caz particular al zonei, anumc accla in care unul din'planele' secante esie tangent la sfer;!.

8Fig. 22

raza sferei.Iniil~imea zonei sfedcc qare miirginc~te

sectorul (in particular a calotei, ca Infig. 21, unde csle egalii cu O'A)

2rcR1 + reRrvolumul2reR2 I---0

razelc bazclor segmentului sferleInii!timea,scgmentului (=0'0"; fig.21)volumul4rr (I )3 1 0 •- - +-(rtRjl+rrr-I).3 2 2

Formula se aplieii ~i in cazul cind unul din planele sceante este tan-,gent la sfera (adicii una din baze se reduce la 'un punet).

:9) Elipsoidula, b., c = semiaxele

V volumuJ

~abc.3

Daea elipsoidul estede lungime 2a

V 4rr ab2.3

Dacii axa de rolatie

4rr a2b.3

Y) Paraboloidul de rolatie

raza bazei

inaltimea paraboloidulul

:3) Rampa;lal!crawmente

h ini3.ltimea rambleului principala latimea ~oselei rampei

11m = taluzul rambeului principal ~i al rampeilln = inclinarea rampeiV = volumul

V = ~h2(n - m) X [3a + 211m ( 1- : )]volumulI!!-r!I.2

1) ElItoiul (colitul butoiului)

Se socote~te butoiul ca un cilindru care are inaltimea egala eu initI.·timea (lungimea) butoiu!ui ~i diametrul egal cu diametrul sectiunii prillw,mil, mai putin otreime din diferenta dintre acest diametru ~i diamctrulLmijlociu al fundurilor. Dad D este diametrul sectiunii prin vrana; d (lia-metrul mijlociu al fundurilor. ~i L' lungimea butoiului, avem - pcntrUi.volum - formula aproximativij

A-ceasta tabela contine unele date privitoare Ia poligoanele regulate.Modul de folosire al tabelei se deuuce imediat.

. ( 2D + d)2., Y=1t G .L.

T a be 1a III.2. Lungimea arcului l, sageata h, raportul 11k<coardac, aria sectorului s ~i a segmentului d, corespunzatodre

Ilnghiului la centru (/..en cercul cu raza unitrttea

In aceasta. ·tabela sint date valorile elementelor indicate, pentru r = 1~i pentrutoate unghiurile de Ia 0° pina Ia 180°, din ~rad in grad. Modulde folosire este evident.2) Cubajul Irunchiuri/or de arbori

a) TrunchiuI de arb ore cilindric

7t

b) Trunchiul de arbore care are forma unui trunchi de cenC lungimea cercului masuratli- pe arbore 1m

jumiitatea luiI Inaltimea arboreluiV volumul

Tab e,l.a III.3. Puteri, radicali, logaritmi naturali, palonreciproce, lungimi $i arii de cercnriIungimea cercului de bazii

iniiltimea trunchiuluivolumul Tabela se folose~te prin simpla ciUre a valorilor ciiutate; prima coloana

,contine numerele de la 1 pina la 1 500, iar celelalte celoane, diferite puteri,radieali, logaritmii naturali etc., ai acestor numere.

(~rIV =---

In tabele n-au fost trecuti primii noua. multipli, deoarece ei se pot,deduce u~or d,in multiplii 10, 20, 30 etc. prin simpla mutare a virgulei",pre stlnga eu 0 cifra. Tabelele se folosesc citindu-se direct In ele valorile.ciiutate, eu ,rezerva de mai Inainte.

IV. Trigonometrie

Tab e 1a IV.1. Transformarea gradelor $exagesimalein radiani

Modul de foloslre al tabelei se deduce imediaL .E.lemplul 1. Sii se afle citi radiani are arcul de 49°20'S". Avem 49° =

= 400 + go,CiiuUnd pe 40°, respectiv 9°, in coloana gradelor, gasim valorile

0698132 respectiv 0,1570S0 in coloana radianilor. Cautind ~i 20' respec-.tlv 8" in coloana minutelor ~i secundelor, citim radianii in ,-eoloana alil-turatii, adieii 0,005S18, respectiv 0,000039. Adunind gilsim rezultatulc~'i.utat

0,698132 + 0,157080 +0,005818 + 0,000039 = 0,S51069.·Exemplul 2. Sii se afle cite grade are arcul d~ 4,54? radiani. S~cautil

in tabela valoarea imediat mai mica (4,363323) ~l se clte~te numarul degrade corespunziltor, adicii 250°. Se face diferenta 4,576 ~ ~,3~3323 == 0,212677 ~i se cauta numarul de grade corespunzator aeestel dlferente,Intocmai ca mai Inainte. Rezultil 12° ~i diferenta 0,212677 - 0,209440 == 0,003237. Proeedindu-se ca mai, sus rezultii 10' ~i dif~re~ta. 0,003237-- 0 002909 = 0 000428 apoi l' ~i diferenta 0,000137, carem tl corespundapr~ximativ 30 ". De~i rezultatul este 250° + 12° + 10' + l' + 30' == 262°11'30 •

Tab e 1a IV.2. Transformarea gradelor centesimale in gradesexages'imale §i inrers

~i

Tab e I a IV.3. Transformarea minutel~r $i ~e~undelorcentesimale in minute §i secunde sexages~male $~ ~nf)ers

In prima tabela slnt indicate ~i cadran.ele pri~ cifrele I, II, I~I, IV.Cu ajutorul celor doua tabele se poate expnma Orlce arc. al cerculUl ~om-plet, dat In unitilti centesimale, In unitilti sexagesimale ~i myers. Asterlseul

In prima tabeIa arata cil se fau gradele sexagesimale din rtndul urmator.Pentru 0 secunda centesimala (CC)neindicata in tabela (intrucit nu sintdate toate seeundele), se ia valoarea cea mai apropiatii, 1n caz indoielnicdin dndul urmator prevazut eu asterise (*), iar daca se succed dona asteriscurise ia media celor doua ·valori eu asterisc. Exemple de treeere de la minuteIa seeunde eentesimale Ja minute ~i seeunde sexagesimale ~i invers:

1"16CC= 0'3S"7"67ce= 4'09"6~24ec= 3'22"6c25cC= 3'22,5".

4 '33" = SC43cC

2'25" = 4c48cC3 '23" = 6c27cO

In general:(euambele tabele):

Centesimal Sexagesimal

133g47c23ce = 120°07'33", deoarece133g40C = 120°03'36". (Tabela IV.2)

(Tabela IV.3)

295°59'08" = 32SgS7C28CC, deoarece295°55'12" = 328gS0c (Tabela IV.2)

(Tabela IV.3)

Tab e I e Ie IV.4-IV.16 se folosesc prin simpla citire.

Tab e 1a IV.17. Valorile naturale ale funcliitor tri.gonometriceale arcelor mdsurate in grade sexagesimale

Tab e I a IV.iS. Valorile naturale ale funqi1.lor trigonometriceale arcelor mdsurate in grade centesimale

Aceste tabele eontin valorile funetiilor sinus,· cosinus~ tahgentli §icotangenta ale areelor de la 0° la 90° din 10'tn 10', cu dnci zecimale,pentm diviziunea sexagesimala ~i eu patm zeeimale pentru diviziuneacentesimalli. .

Pcntru arcele mai mici dll 45' respectiv 49g, gr~dele ~tnt da~e la sttn~afieclirei tabele de sus In jos, iar pentru arcele raal man de 45 respectlv50g la drellpta' fiecarei tabele, de jos In sus. ° . <7 •

Valorile sinusului pentru arcele de la 0° la 44 , (re~pe.ctlv ?u la 490se cite5c de sus tn jos In tabela eare are scris sus "smus ~l <.IeJOs In s~s

t I d la 45° la 89° (respectiv 50g la 99g) In tabela care are scrlSpen ru arce e e ," 1 1 <.Ioileacaz'05 sinHS". Minuhle se citesc sus In pnmul caz ~l JOs n a ,.'L~f~l se procedeaza ~i cu celelalte fnnctH. Cautarea tn tabele este Slmpla,mai ales dae:! areul se gase~te In tabele.

E I I 1 Sa' se a'I" sinusul arcului de 25° 40'. Citim In sUnga 25°. xemp u. • - . t" Ii .e.i~i sus 40' (in tabela .IV. ,13,c~re are scris sus "sinus U); la mtersee~la mlui 25° ell eolo2.Il'll1m 40 gaslm 0,43313.

E-emplul 2. Sa se afle sinusul arcu,l.ui de 63°20'. Citim t,n dreap~63' i jos 20' (tn tabel:l. IV. 13 care are seds jos "sinus"); la mtersectmlinie{ lui 63° Cll coloana lui 20', gasim 0,89363. , . ~

Exemplul J. Sa se ~fle tangenta areului de 38g80c. CltIm tn ,stlnga .:>~g~i Su3 SOC (In tRbela IV. 14 eare a~e seris sus "tangenta"); la mtersect13,liniei iui ,;8[; Cll CO:OZ:1U Iui 80c, gaslm 0,6981.

E I l t Sa re are tangenta arcului de 69g70c. Citim In dreapta.xcmp u·. ~ , , • t ,,). la' tersectia

69g si jo. 7()C (tn tabeb IV. 14 car: ~re sens lOS "tangena ,m ~.Hnlel lui 6\)g Cll e.oloana lu! 70c, gaslID 1,9400. . • . 7'

"Qadi areul Ull 5e gl\sc!jte tn tabele; sc face mt~rpo,are~ p:-m parti)"0 ~r'ionale l'~ntru dn x ~i cos x, dnd x este dat flC in u;,n:.~tl sexag:-

~im.~16!ie :n uniLati eentesirnzJe. Pentru tg x 9i cotg x avem de lacut urm3.-toarele obscrvatli: , '

)• ·t da' '·n ~';V1'zl'''noa centesimo.la; tg x se interpoleaza prill.a x cs c., ~. u ~ • 2g I t'pa"p p;O•...~'·VOl1ale nilInal p~ntru x <: 85,5g• De aiel pina la 93, 5e oD~mu~ai' tr~t'2~cimale pina Ill. 96,9g numai dona Gi pin a Ill. 98,5g numal ()

n : nl' "(V~ct" Ac'£la<' lucru este vabbil pentru cotangentele arcoior:zecun", a ~A.4.l 11. .••..•..• .

mici.

o detel'!Pjnsre mal predsa 0 dil formula

g 63,661977 _ 0,005236 x,tEl (100 - :t)g - cotg x =

1 . 11° < x < sg -in patru zeClma e3

0,10 < x < 18~ in trei zecimale exacte.

b) este dat In diviziunea sexagesimal:1; tg x 5e interpol~aza pri~ar i r~ ortionale pentru x < 46°40'. De aici plna la 70°, se oI:tm n.umal

P tt p tPx la 80°40' numai trei ~i pin a la 85°40' l'lUmal doua zeCimalepa ru, p n.. , 1exaete. 0 determlnare mai precis a 0 dil formula tg x = tg 900-=-; eonexata

, 1eu tabela III. 3 a valorilor _10'.

n

Tab e 1a IV.19. Logaritmii cu cinci zecimale ai func{iilortrigonometrice ale arcelor de la 0° pind la 90° din minut in

minut'lCt:dsta tabela conIine logaritmii functiilor trigonomcLricc sinus,

eosin us, tangent a ~i cotangentii ale arcelor de la 0° la 900 din minut inminut, precum ~i logaritmii rapoartelor dintre sinusul sau tangcnta unuiarc 9i arcul respcctiv, pentru arcele de la 0° l~ 2°59'.

Gradelc se cautii in partea de sus a paginii ~i minutele In prima coloanadin dreapta dadi. arcul esLe mni mie de 45°; daca arcul esLc lllai mal'et.!e 45°, gradele se giisesc In partea de jos a paginii 9i minulele in ultimacoloana din dl'eapLa. Logaritmii fllnqiilor lrigonomctrice se cilt'sc russau in josul paginii, <.Iupacum arcul (ste mai mic sau mai marc <.Ie45°.CaracterisUca comunii mai multor logarilmi sllecesivi esle scrisa 0 singuriidata in fiecare grup de zecc.

Coloanele nolale eu + d 1" ~i - d 1', aflale la drcapla fieciireicoloane de logariLmi, conlin diferenla dinlrc logariLmii funcliilor a Jouaal'ce care difcra Intre ('Ie prin 1'. Acesle <.Iifercnie s-au oblinut lmpiir\indla 60 diferenia dinlre doi logarilmi consccutivi. Dad numiil'ul secundelorcu care cre~le arclli este mai mare decil 1, partea propor\ionalii a llIantiseise ol.>\ine Inmul\ind d1' cu numiirul respectiv de secunde. Semnele +sau -, care preced d1', aratii ca parlca pl'oporljonalii sc aduna la man-Lisa sau se scade din ea. Penlru arcele de la 2° la 870 se poate eyiLa inmuJ-\irea folosind tabelele auxiliare P.P. (tabelele piirtilor propoqionale) carese giisesc dedesublul tabclelor principale penlru arccle de la GO la 830 ~ipe pagina aliHul'ata pentl'u arcele de III 2' la 6° ~i de la 83° la 137°.

In tabelele P.P. purple proporlionale slnt calculale din secunda Insecunda de la 6" la 10"; piir\ile propor\ionale penlru 10',20', 30'. ~O'~i 50" dau, prin impiinirca cu 10, piir\ilc pl'opor\ionale penlru l' 2', 3',4" si 5 It.

t ,~ .Logarilmul sinusului sau tangentci unui arc rolc de la 0° la 3° nu

·se poate afla interpolin<.I prin p'ar\j proportionale, deoarece aceasla ar ducela inexactitaii. Pentru a aHa Jogaritmul sinusului sau tangentei unui~semenea arc se aduna Ja logarilmul numiirului de secunde al arculuinumarul S sau T care reprezinla logaritmul I'aportului dinlre sinus ~iarc, respectiv tangenta ~i arc. Pentru aceasla se folosesc tabeleJc miciJate sub tabelele de logarilmi ai funqiilor areelor de !a 0° la 30 Ele continlOulJ1urulde secunde' ale arcului ~i numerele S ~i T.

Ca ~i in cazul ealculelor logarilmice obi~nuite, 9i in calculul cu loga-ritmii luncliilor trigonometrice sint de rezolvat doua probleme: afJareaJogllritmului funetici trigonolllctrice a unui arc dat ~,iiaflarea arcuJui cores-llllllz:1tor unui logarilm dat al uaci fL:nc\ii trigonometricc.

Cazul 1. Arcul se aHa In tabcle (contine numai grade ~i minute).L':x:emplu, Sa se afle 19 sin 20°26'. Sc cauUl. pe pagina care are scris

sus 20°, iar in coloana din stlnga 26'; Ig sin se cile~te sus, iar la inter-::ciia coloanei acestuia cu linia lui 26' se gase~te logaritmul cautat:1,5-1297.

Cazul 2. Arcul nn se afla in tabele (contine grade, minute ~i seclln'lIl!).

Exemplu. Sa se afle 19 cos 54°1g'20'. Se cauta pe pagina care are.scris joso,54°, iar in coloana din dreapta 18'; 19 cos se cite~te jos, iar laintersectia coloanei acestuia cu Hnia lui 18' gasim logaritmul1,76607.Cautam in mod asemanator 19 cos 54° 19' ~i gasim 1,76590. Logaritmulcautat se ana cuprills intre ace~ti logaritmi. In coloana - dl' citim 0,28,in tabelcle P.P., la intersectia coloanei 0,28 cu Hnia 20' citim 5,7, deciaproximativ 6. Intrucit dl' arc semnul minus, insemneaza, ea din mantis alogaritmului lui 54°18' se scad 6 uniUiti de ordinul al cincilea. A~darlogaritmul ciiutat estc 1,76601.

Cazul 1. Logaritmul dat se gase~te in tabele.

Exemplu. Sa se afle x ~tiind ca 19 tg x = 1,90371. Logaritmul fiind,mai mie dedt 0, insemnellzii cii arcul este mai mic de 45°. Deci se cal.ltiiIn coloana notatii sus "lg tg"; se giise~te 38°42'.

Cazul 2. Logaritmul ciiutat nu se afla In tabele.

Exemplu. Sa se afle x ~tiind ca 19 cotg x = 1,73185. Deoareee loga-ritmul este negativ, arcul este mai'mare declt 45°.

Cautind In tabele se deduce ell acest logaritm este cuprins intre 1,73175~i1,73205, carora Ie corespund arcek 61°40° ~i 61°39'. In eoloana - d1"gasi11l0,50. Inbe 1,73185 ~i1,73175 diferenta este 10. In tabcla P.P., Incoloana 0,50, se cauta 10, caruia ii corespunde III prima coloanii din sting:z;20'. Deci arcul cautat cste de 61"39'20·.

. - a- ~-

TABELA.IV.!. Trallslormarea graclelor seugeelmaie In ra.illlni

See •••• Ra4i&lli Grad,•• aiuw ~;"d G,a:!o :E<:<iisr.i

-1" oo5סס0,0 1" 0,Q170153 lHo 0,5410522 OO10סס,0 2 0,034907 82 0,5530053 OO15סס,0 3 0,052360 33 0,5759954 OO19סס,0 4 0,069813 34 0,5934121) OO24סס,0 5 O,08i2£5 ' 35 0,610865

6 0,000029 6 0,104720 36 0,628319,7 0,000034 7 0,122173 37 0,6457'128 0,000039 8 0,139626 38 0,6632259 0,000044 !) 0,157080 39 0,680678

10 0,000048 10 0,174533 40 0,698132

26 OO97סס,0 11 0,191986 45 0,785393gO 0,000145 12 0,209440 00 0,872665

6O 0,000194 13 0,226893 55 O,9!i99~1J

00 0,000242 14 0,244346 60 1,017198

15 0,261799 % 1,134464

l' 0,000291 16 0,279253 '/0 1,221730

2 0,000582 17 0,296706 75 1,3089!)?

'3 0,000873 18 0,314159 80 1,396263

19 0,331613 85 1,183530

4 0,001164 20 0,349066 90 1,070796{) 0,001464 0' 0,366519 ]00 1,745329'--6 0,001745 22 0,383972 120 .2,094395

'7 O,OO~036 23 0,401426 150 2,617994

8 0,002327 24 0;418879 180 3,141593

9 0,002618 25 0,436332 200 3,490669

10 0,002909 26 0,463786 250 4,363323

~O 0,005818 27 0,471239 270 4,712389

30 0,008727 28 0,488692 300 5,236988

40 0,011636 29 0,006145 360 6,283185

liO 0,014544- 30 0,523599 400 6,981311

0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 • e • e 8 0 8

o<ooee 0'00' 1<02<·e 33 2CO\c< 05 3<02cc 38* 4cOIre 2'10' 5cOOOC 42 C02CC 15 7COIcc 47 8,,02ec 4' 20"' geOlce [,203 01 05 34, 04 06 06 39 04 11 03 43 05 16 04 48 UO 21 04 53U6 02 08 35

I07 01 09 40' 07 12 06 H O~ 17 07 ·19 O~ 22 07 M

09 03 11 36 10 08 12 4\ 10 13' pO 45 11 18 10 3' 50' 12 2il 10 M'12 04 14 ~7 13 09 15 42 14 14 12 46 14 19 J:j 51 15 24 14 5615 05 17 3R 16 1'10' 18 43 17 15 ).') ·17 17 3' 20' 16 52 18 25 17 5719 06' 10 11 1~ 48' 19 531c20cc &9 3c21CC 44 4c20ce 16 9c20cC 58oe22Ee 07 23 0' 40" 2C22cC 12 24 45 2~ 17 ~c22cC 49 6e20er 21 8e21cc 26 23 4' 50'25 08 27 41' 25 IJ 27 46 26 18 25 2' 50' 23 ·22' iC22cc 54 2·1 27 26 S' 00'28 09 30 42 28 14 30 47 29 19 ~8 51 27 23' 25 55 27 28 29 0131 0' 10' 33 43 31 u.· 33 48 32 2' ~O· 31 52 31) 2·1 28 56 llO 29 32 0234 11 36 H 35 16 36 40 35 21 3·\ S3 33 :~:; 31 67· 33 4' ao' 35 0337' 12 30 45 38 17 88 22 37 54 36 26 35 58 36 31 aa 04

3<400e 1'50" 39 27 33 :r 59" !oe40ee 13 1<42ee 46 2e41·· 18 43 61 5qUee 55 8<40ec' 32' geHec 0543 H 45 47 44 10 ·46 52 4e4\ee 23 43 56 6<42cc 28 7eHec roo' 43 33 44 Ofl46 15 48 48 47 I 20' 49 53 44 N 46 h7 45 29 ,14 01 40 34 48 OJ·49 16 !>1 49 50 21 52 54 48 25' ~9 5~ 48 3' 3U" 47 02 49 35, 51 oa5a 17' M 0' 50' 53 22 55 55 51 26 52 2'59"· 51 ;)1 50 03 52 36 54 0966 18 67 51 66 23 68 l.6 54 27 54 32 53 0·\ ~5 37 57 ~' 10'59 19 59 24 ~7 28 56 3'00' 67 33 56 06 58 38

59 01 59 06 9c60ee It3e61ec S7 63 12

OC62ee 0' 20' le60ce 52· 2<620e 25 61 58 ,JcGO« 29 5062cC 02 6'60er 34' 1C62t" 07 8c61ce 39 66 1365 21 64 03 65 26 67 I' 59' 63 2' 30' 65 03 64 :15 55 08 64 4' 40" 69 1468 22 67 54 69 27$ 61; 31 68 04 67 36 69 09' 67 41 72 1571 23 ,0 55 12 28 70 2' 00' 69 32 71 05 70 37 72 4' 10' 70 42 75 1574 24 73 56 75 29 73 01' 72 33' ';4 06 ,3 38 75 11 73 43' 78 1777 ~5 76 57 78 I' 30" 77 02' 76 34 77 07 76 39 78 12 77 4!'

79 58 78 35 79 3' 40· ge81 co 18'85 19

oe80ee 26 2e81ec 31 3caOCC 03 5e-aOer oa 1eal ec I:l 8e80ee 45 liS 5'2()"83 27 1ca2ec 0' 59' 84 32 83 04 4c81cr 36' 83 09 6e82ee 41 84 H 83 46 91 2188 2a 85 I' 00' 81 33 86 05 85 37 86 3' 10' 85 42 87 15 86 ,n 94 2290 29' 8a ()1 90 34 89 06 88 38 90 li' 88 43 90

I16 8~f 48

93 O· 30' 91 02 93 36 92 07 91 39 93 12 9\ 44 93 17 92 49 ge97ee 2396 31 94 ()3 98 36 95 08 94 2' 4()' S6 13 I 94 45 66 18 95 .' 5118& 32 &6 04 99 87 &8 09 &7 41 99 14 98 4C' n 19 98 51 lQCOO~e :.

:= •.... Cadra·..• ... .....nul

!:i '" '" '"•... ... •... •... •... ...

'".•. '" ... m at .", '" ,,,. <:>..., -, '" .•.. w •... •...0; ~ ": ~ ~ ~ ~ ••• ~ ~ ~ <>;. l~ "i. u; ';; v,: <>;. c:

"I U H • • n I I I n H n"

I U I 1/ I ": ......."I~ wl;;- ••..I~ "';I :l .I;\' "'I~ "I~ "'1~ "'I~ "'I:t ~I~ "'I;f "'1:1 •• 1:1 t>1 :1 ~I:I :;, :1 [

••.1,· .•., •... "I ~•. ..,..- "'I •..•~ ~ .., ... ~

I I ~ t-:Ji~ "'I .... ~ ... ,,;1 •..• r-:.l- ~ ~I I 0 "'I 0 0,"1

"'1:1 .•. "'I "'I •..• 1<1'" ~0

m... .,1:1 "'I •.• ~ ~ + •...+ .~ --.:: ,~ "'I I ij'I "'I wi '" '" wi ( "'I J...::.. -..:: ~ --.:: """."'I ~ "'I"'I ~ "'/

11 ••.1'" "'1>-. ••• />-.1

"'1'"••. 1 •.• ...1 •..• ~ ~I I I I -...:: ~ ~1 I ~ I ~"'/

"" "'I•..•"'I•.•

~

"'IC> "'1:1 ",1:1 ~I"'I•..•"'I .... ""<."

"'I "'I'" ""'I •.• ... ",I 01 ~ ~ •... <>"'I'" + ~'"'" "" I "'I wi"'I "" I "" ... ~... "'I ~ i

"'I "'I~1 I ~~

I I ~ '" '" w, ....

~

.~H· --.:: wl:l ·11

I I ;il II, + + --.:: ;8 \'>1 ,. 0 wl:l -..::

8 ~ '" wi ... --.:: --.:: 0 ••... wi wiwi """ "'J0-1 0-1

"'I

I I~

~

~ I I ~ '" . '"•..1:1 '"<. '" J "'I'"... I I "'I •.• ~ + <>0 •... "'I H- + --.:: I 0 "" ..• --.:: •... wi + 0

8 col ... --.:: ~ --.::8 ;:'" col "'I •.• col ••• 1 "'j-.::: --.:: 0"1-..:: "'I"'I "'!

TABELA IY.4 (COllMsuare}

-t!- Iidii: Unghiul Bil.: coe tg 004:<.;>

300°- ~Y3 -VI _Y,!

3 ----2 ~

315° ~lit '{'2 YT - 1 --1

lY '4 ~ ~

330°_ 111< 1 f:f Y-3' - y-s"e;- -"2 ~ - 3

&l0° - 2r:: 0 0 ±oo

TABELA IV.5. Fane!l!!e trigoDometrlcll nprim&te en njntorol oDeia'cHntre ele

D:t.o~-~~~

ti'ct cotK a: lee (E cosee Cl

sin 1% ±VI-lia:lcx ± 1 1sio oX ~i"a: J: Y 1-- sm'a ± y --l-oln:lo< sin ex ¥l-.,ntQ lin a

•± Yi '-::-COB%a ± OOlla: 1 I±}' 1-0062-",

.L ___

000 ct ecae> VI- ••••••• -- ~yl-coe~001 a: ."" a:

,-tJra: 1 I

± y I + ~"'I+ Y1 + tg '",'---t. '" '" VI -t='t~ -'r 1 + tglla tl: a: I ~ tilla

1 0011:a: 1 V 11 ootu3ci'±¥I±Cl,tg4oot. Cl ±y - ±-:-= -- .otg('l

± ootga:1+.01/:"-« y l+ootgZ, ootgeE

Y~ 1 ± Y.eo:la- t ± 1 I .. 0 ~.eo cc ±--,- --- BeG CI :!:y••• :Ict-i••• Cl l!fe Gl Ys-.eta:-I

-=-1 ~ y .""""Sex-I I __ ea I±---- ±Y oOO&e!a:.II±Y-- ±-'--- Y .or.ec~·1 (lOue '".osee'" e~eeCl ooeeel".!

tg (ex.± 13) = tg ex.± tg 131 =+= tg ex. tg 13

cotg (oc ± (3) = cotg ex.cotg f) =F 1cotg ex.± cotg 13

y sin (a, +'b + c) = sin a cas b cas c + sin b cas c cos a -+- sin c co~ a cas b -- sin a sin b sin c

y cas (a + b + c) = cos a cos b cas c - sin a sin b ('os c - sin h sin c cas a -- sin a sin c cos b

( f- b )tg a + tg b + tg c - tg a • tg_b_·_tg:::....c

tga- +c=1 - (tg a tg b + tg b tg c + tg c tg a)

cotg (a + b + c) = 'cotg a . cotg 1>• cotg c - cotg a - cotg b - cotg c

cotg a . cotg b + cotg b cotg c + cotg c cotll a-I

TABELA IV,7. Formule pentru transformnrea un or produse de funcliitrigonometrice in sume de Iunclii trigoDometrice

sin (ex.+ (3) + sin (ex.- (3)sin ex.cos 13 = _2

c09 (ex.+ 13) + cas (ex.- (3)cos ex.cos 13 = -----------

2

cos (ex.- (3) - cos (ex.+ (3)sin ex.sin [3 = ---------~-

2

"TABELA IV.,8. Funelme trlgonometrlee alt Jum'tilll, dubluluJ ~.trlplu.lul unul are

, IXsm 2"

et.cosT

«tC>-" 2

sin 2excos 2ex

sin 3c.t

eos 3rL

Fl1nctiile trigonometrice ale jumatapi arcului

VI - cos a: 1 (V . V .)± ---- = - 1 + Slnet - 1 -sma:2 :2

+ cos et.2

1 -- r ')- (VI + sinet + 11 -sinex:2

-1:::: iiI + tg20( _ -=~ _1 - rosa: = _ l!.1.--cosettgo: - 1 + cosO( - sinet. - VI + cOSet.

1

cotg a: ± If cotg~ + 1

1 + cosa:

sin 0: VI + COSet1 -- COSet

Fanctiile trigonometrice ale dublului arcului

2 sin a: cos a: -- ± 251110: If 1 - sin2 ex = ± 2 cosa: Y 1 - cos2«cos2a: - sin20( = 2 cos2;x - 1 = 1 - :2 sin2a.

2 tg a:

1 - tg2ex

cotg2a: - 1

2 cotg ex

±2 r<1>sec2a: - 1

Functiile trigonometrice ale tri?lului arcului'

3 sin ex cosia. - sina a. = 3 sin a. - 4 sinsO(

cossa: - 3 cos a: sio1a: = 4 C0830( - 3 cos a.

3 tg a. - tg3cr.

1 - 3 tgZet

cotg3rL - 3'cotg «3 cotgl« - 1

sin n; i h sin (x +:h)zin x +Sill (x + h)' + ...+ sin'(x+ hn)= ----------

. hsm-2

sin _n_+__ 1 h cos (x + _h_n )2 ' 2

cos x + cos (x + h)+ ...+ cos (x .+nh)= ------h---- ,

sin-2

sin2 nx---,sin x

sin (2nx) , sin x --J- 0COS X + cos3x + ...+ cos (2n - 1) x = -r-2 sin x

n sinrth . cos [2x +(n - 1) h]---.: -- ----------- ,

2 2 sin x

= ~ + sin nh cos [2x + (n -:-_1) h], sin x,':/= 02 ' 2sinx

_G_ = _b_ = _c_ = 2 R (teorem:l. sinusurilor)sin A sin B sin C

=~ ~[X+~hlsin~4 . h

sln-2

. [ 3h ] 3nl!Sin 3x+-(n-l) sin--1 2 2

4 . 3hsm-

2

A+Btg--_a+_b = 2_ (teorema. tangentelQr)a-b A-B

t"'--t> 22k 7tI! # ---, k E Z

3ab Sill C ! • A . B . CS = ---- = 2R sm sm sIn = rp =

2. -------,-----: ahc

= Vp(?-a)(p-b)(p---c)= 4R

3 cos [x + ~ h] sin ~

4 . hSlll-

2

a sin Bc - a cos B[

3h ].3nheEls3x+-(n-l) SIn--1 ~2 2

-4" ~3hStn--

2. ~ - 'V(P - b) (p - c)

Sin 2 - , bc----------_. __._-------,-_ .•.'"'-_.~---.,..-

2k 7th=--, kEZ

3A. 1(7) (p - a)

cos - = ~-----2 ~ be

x x x x sin xcos _ cos - cos - ... cos __ = _2 22 23 2n

2 cos 2n x + 12 cos x + 1

= a "'0>~ :z;gB tgB=!.. t G - Vila + caI A-90· tf:O= b0 c S - .!. beb

G _ b S80 C __ b_ 2a cootgC- ~c S ootgB- Ii b oos C

II A-DO' 8 sin B = ~ cas 0 - ~ e - y.•a-ba S-.!.bY(Hb)(a b)-C a a 2

a e - Y(••H)(a- b)~ - .!. ••II sin 0eC - 90'-8 - G cas B 2b S B - 90'-C

1II A-DO' C b - ••sin B e - •• sin CD

11C - 90'-B S = .!. ••2,in2B,0

lI-aeosO e - a oos Ba S

C 11e-}>tgCIV A-90' a---

a1~90'-B

lin BS - .!. b200tlr BB

20 b e-beotgBb S a=--oos C

b _ asin B a sin 0S- ••'Iin B lin 0

I A A - 180'- (B + O) e--.--2sinA -B linA s\n A.

ball lin CC - --2-0

• sI; a ,

b b a lin B G lin CS-

••'.in B sin CC - 180·- (A+ B) e---B -1iiiT linA 21inA

/0

• S

II a Atr ~ _ 0-1> cote£.B .Iin C

8-~• II 0+11 II c- ---0 lill A II

• S.••.+ B- !800-C

I'~ Date § Formule de rezolvare" Zu

III a sin Cc= --- =sin A

C = 180' - =boosA±A B

sin B = b sin A± Va'~- b'sin'AI

S = eb sin A. _C -(A + B)a c a 2b S

I = b si~ (b CDS A ±h sin Cc ____ 2

j sin B± Ve'-b' sin' A), I.-

lV S = V;,,(P - a) (P - b) (P - cJ

a A tg'::" - V(P - b) (p - eJ:11 B 2 P(P- a)c C A (--

sin ~ = V (P-b) (I> - c)cos- = ~ P(p - a):a+b+ S 2 be 2 be

I+c= 2pCa verificare: A + B + C = 180'

In c3zuI lIT putcm avea drcpt solutic: doua triunghiuri, un triunghi sau nici untriunghi eu dat('lc A, a, b.

tn adevp.r, aparpa radicaJului Vat - b'l sin2 A in e:'tpresia lui c impune 0 disclltare asemnlllui cailtit;jtii de snb radical. Aceasta discntie, rezumata, este:

ja> b =) nn smgtlr trmng!ll

y) a > b sin A : a = b =) un sing-ur tllungiJi i50~cel

g < b =) doua trlllnghlUTi