9. Кинематика на сложни движения на твърдо...

81

9. Кинематика на сложни движения на твърдо тяло.

9.1. Сферично движение на твърдо тяло.

Определение. Сферично движение на твърдо тяло (или движение на

тяло около неподвижна точка) наричаме такова движение, при което

всяка точка от тялото описва траектория лежаща върху сферична

повърхнина с център неподвижна точка O (фиг.43).

Примери за сферично движение на твърдо тяло са механизмите с

конусни зъбни колела, конусните мелници, жироскопите вградени в

навигационни уреди или стабилизатори на движението, както и

движението на пумпала, имащ неподвижна точка O (фиг.43).

• Геометрични характеристики на движението. За определяне положението на тялото

)(S спрямо неподвижния репер

),,,(0 zyxORrrr неизменно свързваме с тяло

)(S подвижен репер ),,,( ξηζrrr

ORS .

Нека ηξOxOyOn ∩= е линията на

пресичане на неподвижната xOy и

подвижната ηξO равнини, наречена

неутрална или линия на възлите.

Отбелязваме ъглите:

.),(,),(,),( ϕξθζψ =∠=∠=∠rrrrrr

nznx

Ъгълът ψ лежи в равнината xOy ,

която е перпендикулярна на ос Oz . Равнината на ъгъла θ , която се

образува от осите Oz и ζO е перпендикулярна на оста On с единичен

вектор nr. Равнината на ъгъла ϕ е перпендикулярна на оста ζO . Ъглите

ϕθψ ,, са положителни, ако отгоре се виждат отложени от съответните

начални оси OnOzOx ,, в посока, обратно на часовата стрелка.

Задаването на ъглите ϕθψ ,, еднозначно определя положението на

подвижния репер ),,,( ξηζrrr

ORS , неизменно свързан с твърдото тяло, а

следователно и положението на тялото( три степени на свобода).

Ъглите ϕθψ ,, се наричат ойлерови ъгли: ψ - ъгъл на прецесия, θ - ъгъл

на нутация, ϕ - ъгъл на собствено въртене.

Уравненията(законът) на сферичното движение на твърдо тяло се

дават от ойлеровите ъгли във функция на времето:

(89) )(),(),( ttt ϕϕθθψψ === .

Ойлеровото представяне на преместването около неподвижна точка е

преход от неподвижния )(0 OxyzR към подвижния )( ξηζORS триедри чрез

Фиг. 43. Сферично движение.

82

композиция от три последователни ротации със сходящи оси:

),,,(),,,(),,,(),,,( ),(22),(

11

),(

0 ζηξζϕζθψ

rrrrrrrrrrrr rrrORynORzynORzyxOR S

rotnrotzrot → → → .

За прехода от неподвижния репер 0R в репера на тялото SR имаме:

- ротация около Oz на ъгъла на прецесия ψ води оста Ox върху линията

на възлите On (фиг.44):

000

1

0

0

)(,

0

cos

sin

)(,

0

sin

cos

)(:),,,(),,,( 001011),(

0

RRR

zrotRzRyRnzynORzyxOR

=

−

=

= →rrrrrrrrr r

ψ

ψ

ψ

ψψ

(90)

1

0

10010

0

1

0

100

0cossin

0sincos

))(),(),((

−

== ψψ

ψψ

RzRyRnArrr .

- ротация около On на ъгъла на нутация θ води оста Oz до ζO (фиг.45):

111

cos

sin

0

)(,

sin

cos

0

)(,

0

0

1

)(:),,,(),,,( 112122),(

11

RRR

nrotRRyRnynORzynOR

−=

=

= →

θ

θζ

θ

θζθrrrrrrrrr r

(91)

2

1

21121

1

2

1

cossin0

sincos0

001

))(),(),((

−==

θθ

θθζ RRyRnArrr .

- ротация около ζO на ъгъла на собствено въртене ϕ води оста On

върху ξO (fig.46).

222

1

0

0

)(,

0

cos

sin

)(,

0

sin

cos

)(:),,,(),,,( 222),(

22

RRR

S

rotRRRORynOR

=

−

=

= → ζϕ

ϕ

ηϕ

ϕ

ξζηξζ ϕζrrrrrrrrr r

(92)

S

SS RRRA

−

==

100

0cossin

0sincos

))(),(),((

2

222

22 ϕϕ

ϕϕ

ζηξrrr .

Матрицата на прехода от триедъра )(0 OxyzR в )( ξηζORS се намира като

произведение на горните три трансформационни матрици:

(93) === SS AAArotnrotzrotA2

2

1

1

00 ),(),(),( ϕζθψr

or

or

=

−

−

−

=

S100

0cossin

0sincos

.

cossin0

sincos0

001

.

100

0cossin

0sincos2

2

1

1

0

ϕϕ

ϕϕ

θθ

θθψψ

ψψ

S

θϕθϕθ

θψ−ϕθψ+ϕψ−ϕθψ+ϕψ

θψϕθψ−ϕψ−ϕθψ−ϕψ

=

coscossinsinsin

sincoscoscoscossinsinsincoscoscossin

sinsincoscossinsincossincossincoscos0

.

Връзката на абсолютният радиус-вектор на произволна точка SM∈ ,

),,()( 0 ′= MMM zyxRrr и локалния ),,()( ′= MMMSRr ζηξ

r е матрицата на прехода SA0 :

(94) )()( 00 SS RrARrrr

= и обратно: )(])([)( 000

0 RrAARrRrS

SS

rrr≡′= .

Траекториите на точките от тялото са сферични криви( cteOMMr ==)(r ).

Фиг.44. Ротация: ),( 0 ψzrotr

.

ζζζζ

n=

θ

O

2

1

yz

y

ζζζζ

ηηηη

=

ϕ

O

2y

ξξξξn

=

ψ

O

1

y

z

y

nx

Фиг.45. Ротация: ),( θnrotr

.

Фиг.46. Ротация: ),( ϕζr

rot .

83

• Кинематични характеристики на тялото. Завъртането на подвижния репер 1R , т.е. на равнината 11 nOy≡α спрямо

неподвижния репер 0R се задава с ъгъла ),( nxrr

∠=ψ . Оста на ротация е

перпендикулярна на равнината 1α (фиг.44), т.е. по оста Oz . За ъгловата

скорост на репера 1R спрямо 0R имаме

(95) zzr

&rr

ψωω == 0/10/1 .

Завъртането на подвижния репер 2R , т.е. на равнината ζα Oy22 ≡ спрямо

репера 1R се задава с ъгъла ),( ζθrr

z∠= . Оста на ротация е

перпендикулярна на равнината 2α (фиг.45), т.е. по оста On . За ъгловата

скорост на репера 2R спрямо 1R имаме

(96) nnr&rr θωω == 1/21/2 .

Завъртането на подвижния репер SR , т.е. на равнината ηξα OS ≡ спрямо

репера 2R се задава с ъгъла ),( ξϕrr

n∠= . Оста на ротация е

перпендикулярна на равнината Sα (фиг.46), т.е. по оста ζO . За ъгловата

скорост на репера SR спрямо 2R имаме

(97) ζϕζωωr

&rr

== 2/2/ SS .

И така завъртането на подвижния репер SR спрямо неподвижния се

състои от три ротации, чиито ъглови скорости образуват сходяща в

точка O система вектори: },,{ 2/1/20/1 Sωωωrrr

. Равнодействащият вектор на

тази система определя ъгловата скорост на тялото SRS ≡)( спрямо 0R , т.е.

(98) ζϕθψωωωωr

&r&r&

rrrr++≡++= nzSS 2/1/20/10/ .

Следователно, сферичното движение на тялото представлява

мигновенна ротация на SRS ≡)( около ос минаваща през точка O с

направление 0/Sωr

(моментна ос) и големина на ъгловата скорост 0/Sω

r .

Проекциите на ъгловата скорост 0/Sωr

в неподвижния репер 0R се дават

от матричното произведение

(99) ),,)]((),(),([)()()()( 00000000/ ′=++= ϕθψζζϕθψω &&&rrrr

&r&r&

rRRnRzRRnRzRS .

Проекциите на ъгловата скорост 0/Sωr

в подвижния репер SR се дават от

матричното произведение

(100) ),,)]((),(),([)()()()(0/ ′=++= ϕθψζζϕθψω &&&rrrr

&r&r&

rSSSSSSSS RRnRzRRnRzR .

За вектора ъглово ускорение по дефиниция имаме

43421

r

&

321

r&

r&&

r&&r&&&r

rr

rrrrζωω

ζϕθζϕθψω

ωε

∧∧

++++≡==

0/20/1

)()( 210/

0/0/

dt

Rd

dt

Rndnz

dt

d

n

SS

S, т.е

(101) ζθψϕψθζϕθψεrr&r&&

rr&&

r&&

r&&r&&r

∧++∧+++= )(0/ nznznzS .

Направленията на ъгловите скорост и ускорение изобщо не съвпадат.

84

• Скорости и ускорения на точки от тялото.

- По дефиниция за скоростта на точката )(SM ∈ , )()( MROM S ρr

= имаме:

(102) )()()(

)/( 0/0 Mdt

Md

dt

MrdRSMvv SM ρω

ρ rrrr

rr∧===∈= ,

векторът )(Mρr

се изменя само по направление ( cteMROM S == )()( ρr ).

Скоростта на точките от моментната ос на въртене е нула: ).(||0 0/ Mv SM ρωrrrr

↔=

За големината на скоростта намираме

(103) MS

h

SSSM hMMMRSMvv

MS

0/0/0/0/0 )](,[sin.)(.)()/(

0/

ωρωρωρω

ω

=∠=∧=∈=4444 34444 21

rrr

321

rrrrr ,

където 0/Sω е големината на 0/Sωr

, а Mh - разстоянието от M до оста 0/Sωr

.

- По дефиниция за ускорението на точката )(SM ∈ намираме:

(104) ,)]([)()]([)()/(

0/0/0/

0/

2

20

4444 34444 21

rrr

4434421

rrrrrr

r

rr ωε

ρωωρερω

OMOM a

SS

a

S

S

M MMdt

Md

dt

Mrd

dt

RSMvda ∧∧+∧=

∧==

∈=

където )]([),( 0/0/0/ MaMa SSOMSOM ρωωρεωε rrrrrrr ∧∧=∧= се наричат съответно

въртеливо и осестремително ускорение на M около O с големини

(105) ).(',')]([,)(0/

2

0/0/0/0/0/ MprojMMMMahMa SSSSOMMSSOM ωωε ωρωωερε r

rrrrrrr==∧∧==∧=

Пример 1. Конус с ъгъл при върха γ2 и радиус при основата CAr = се

търкаля по неподвижна хоризонтална равнина без плъзгане. Скоростта

на центъра на основата е ctevC = . Да се намерят ъгловите скорост - 0/kωr

и ускорение - 0/kεr

на конуса, както и скоростите, и ускоренията на най-

долната - A и най-горната - B точки от основата на конуса(фиг.47).

Решение. Движението на търкалящия се конус е сферично, тъй като

върхът на конуса O остава

неподвижен. Това е въртене около

моментната ос съвпадаща с

образуващата на конуса - OA и

допирателна към неподвижната

равнина, т.е. точките й имат

нулеви скорости. Означаваме:

),,,(0 zyxORrrr

- абсолютен репер,

),,,( ζηξrrr

ORk - локален репер, ζO -

геометричната ос на конуса, ur -

единичен вектор на моментната ос

OA, γζζζ cos/),(sin/rrrrrrr

∧=∠∧= zzzn - единичен

вектор на линията на възлите - On ,

),(,2/),(),,( ξϕγπζθψrrrrrr

ncteznx ∠==−=∠=∠=

- ойлерови ъгли. Фиг. 47. Търкаляне на конус по равнина.

85

Изразяваме векторите OBu ,,ζrr и n

r чрез базисната система вектори ),,( zyx

rrr :

yxyyuxxuurrr

321

rrr

321

rrrψψ

ψππψ

cossin),(cos),(cos

2/

−=∠+∠=

−−

, zuzzuurrr

43421

rrr

43421

rrrγγζζζ

γπγ

sincos),(cos),(cos

2/

+=∠+∠=

−

,

,)2sin2(cossin

]),(cos),([cos

22/2

zur

zzOBuuOBOBOBrrr

43421

rr

43421

rγγ

γγπγ

+=∠+∠=

−

.cossincos

xyuzz

nrrrr

rrr

ψψγ

ζ+=∧=

∧=

За ъгловата скорост 0/kωr

, чийто носещ вектор е ur, от (98) пишем

{ .,cos

cos)sin( 0/0/

0/

0

0/

0

0/ γωψγ

ωϕωγϕγϕψωζϕθψω tguuzunz k

k

kkk −==→≡++→≡++= &&rr

&r

43421&&

rr&

r&r&r

От въртеливата скорост на точка C търсим ъгловата скорост на конуса

.cos

cossin 0/

'

0/0/0/0/ cter

vnrzurctgOCuOCv Ck

v

CC

kkkkC

C

==→−=∧=∧=∧=γ

ωγωγγωζωωr

43421

876rrrrrr

По дефиниция за ъгловото ускорение пишем

{ntgyx

dt

udu

dt

ud

dt

dk

n

kkk

kk

k

r&

444 3444 21

rrr

r&

rrr

r

γωψψψωωωωω

ε 2 0/0/0/0

0/

0/0/

0/ )sin(cos −=+=+=== .

За въртеливите скорости в точките A и B съответно намираме

321rr

43421

rrrrrr

43421

rr

rr nBB

kkkB

OA

kAzurzu

ruOBvOAv

k

−

∧=+∧=∧=≡∧=

'

0/0/0/

||

0/ cos2)2sin2(cossin

,0

0/

γωγγγ

ωωω

ω

.

Ускорението в точка A се представя само чрез въртеливото ускорение

.cossin

)()( 2 0/2

0/

0

0/0/0/ zr

ur

ntgOAOAaaa kk

v

kkkOAOAA

A

rrr

43421

rrrrrr

rr γω

γγωωωεωε =∧−=∧∧+∧=+=

≡

Накрая, за ускорението в точка B имаме

),2sin(cos

sin2cos

1

sin2)cos22coscos

()cos2(

)2sin2(cossin

)()(

2

0/

2

0/

2

0/

2

0/

'

2

0/

2

0/0/0/

2

0/0/0/0/

uzr

urzr

znrunrr

nru

zur

ntgOBOBaaa

kkk

k

BB

kkkk

k

v

kkkOBOBB

B

rrrr

rrrr

43421

rr

rrr

43421

rrrrrr

r

γγ

ωγωγ

ω

γωγωγγ

ωγωω

γγγ

γωωωεωε

+−=−−=

=∧−∧+−=−∧+

++∧−=∧∧+∧=+=

а големината му е

γγ

ω 2sin1cos

22

0/ +==r

aa kBBr

.

86

9.2. Най-общо движение на твърдо тяло. Определение. Най-общо движение на твърдо тяло наричаме

движението на свободно твърдо тяло, при което всички точки от

него описват различни траектории и имат във всеки момент различни

скорости и ускорения(фиг.48).

Примери за най-общо движение на твърдо тяло са въздушните и

космически обектифиг.48).

• Геометрични характеристики на движението. Движението на едно свободно твърдо тяло в пространството се

определя от шест независими координати на три точки от тялото.

Общото движение може да се представи като съвкупност от

транслационно и сферично движения. За определяне положението на

тяло )(S спрямо абсолютния

репер ),,,(0 zyxORrrr неизменно

свързваме: с )(S в полюса 1O

подвижен репер ),,,( 1 ξηζrrr

ORS ;

с точката SO ∈1 репер

),,,( 11 zyxORrrr

, който се движи

транслационно спрямо 0R .

Очевидно, движението на

репера ),,,( 11 zyxORrrr

спрямо

абсолютния репер ),,,(0 zyxORrrr

е транслационно и се

определя от положението на

полюса 1O в 0R , т.е. от абсолютните координати на точката 1O :

(106) )(),(),(111111

tzztyytxx OOOOOO === .

ηξ 111 OyxOnO ∩= е линията на пресичане на равнините yxO1 и ηξ 1O ,

която се нарича неутрална или линия на възлите.

Ойлеровите ъгли ϕξθζψ =∠=∠=∠ ),(,),(,),(rrrrrr

nznx позволяват да се направи

преход от репера ),,,( 11 zyxORrrr

в подвижния репер на тялото ),,,( 1 ξηζrrr

ORS ,

което представлява сферично движение на тялото в точка 1O .

Сферичното движение се дава с ойлеровите ъгли, функции на времето:

(107) )(),(),( ttt ϕϕθθψψ === .

И така преходът от абсолютния репер 0R в подвижния SR е следният:

),,,(),,,(),,,( 1),(),(),(

11

)(

01 ζηξϕζθψ

rrrrrrrrr rororORzyxORzyxOR S

rotnrotzrotOOtransl → → .

Уравнения (106,107) определят закона на най-общо движение на тяло.

Връзката между абсолютния и локалния радиус-вектор на точка SM ∈ е

Фиг. 48. Най-общо движение на твърдо тяло.

87

(108) )()()( 1010 SRMOROOROM += , )()()( 00 1 SO RRrRr ρrrr

+= .

Възползваме се от формула (94) за изразяване на вектора )( SRρr

в 0R :

(109) )()()( 000 1 SSO RARrRr ρrrr

+= .

Тук SA

0 е матрицата на прехода от (93) изразена чрез ойлеровите ъгли.

• Кинематични характеристики на тялото. Завъртането на подвижния репер SR спрямо репера 1R се състои от три

ротации, чиито ъглови скорости образуват сходяща в точка 1O система

вектори. Равнодействащият вектор на тази система определя ъгловата

скорост на тялото SRS ≡)( спрямо 1R , т.е. 0R ( 1R е в транслация спрямо 0R )

(110) ζϕθψωωr

&r&r&

rr++=≡ nzSS 1/0/ .

Сферичното движение на тялото представлява мигновенна ротация на

SRS ≡)( около ос минаваща през полюса 1O с направление 0/Sωr

(моментна

ос) и големина на ъгловата скорост 0/Sωr

.

Проекциите на на ъгловата скорост 0/Sωr

в неподвижния репер 0R се

дават от матричното произведение

(111) ),,)]((),(),([)()()()( 00000000/ ′=++= ϕθψζζϕθψω &&&rrrr

&r&r&

rRRnRzRRnRzRS .

Проекциите на на ъгловата скорост 0/Sωr

в подвижния репер SR се дават

от матричното произведение

(112) ),,)]((),(),([)()()()(0/ ′=++= ϕθψζζϕθψω &&&rrrr

&r&r&

rSSSSSSSS RRnRzRRnRzR .

За вектора ъглово ускорение по дефиниция имаме

43421

r

&

43421

r&

r&&

r&&r&&&r

rr

rrrrζωω

ζϕθζϕθψω

ωε

∧∧

++++≡==

1/21/'1

)()( 2'10/

0/

0/dt

Rd

dt

Rndnz

dt

d

n

S

S

S, т.е.

(113) ζθψϕψθζϕθψεrr&r&&

rr&&

r&&

r&&r&&r

∧++∧+++= )(0/ nznznzS .

Тук '1R е реперът получен от завъртането на 1R около zO1 на ъгъл ψ , а

2R - от завъртането на '1R около nO1 на ъгъл θ .

Направленията на ъгловите скорост и ускорение изобщо не съвпадат.

• Скорости и ускорения на точки от тялото. - По дефиниция за скоростта на точката )(SM ∈ от (108) имаме:

(114) 44 344 21

rrrr

rr

rMOv

SS

SOM

M RMORSOvdt

RMOd

dt

Rrd

dt

RrdRSMvv

1

1 )()/()()()(

)/( 10/01100

0 ∧+∈=+==∈= ω ,

векторът )( SM Rρr

се изменя само по направление ( cteRRMO SMS == )()(1 ρr ).

Скоростта на точките от моментната ос на въртене е: ).(||0/1 SMSOM Rvv ρω

rrrr↔≡

За големината на въртеливата скорост )(10/1 SSMO RMOv ∧= ωrr намираме

88

(115) ,)(',')],[sin..)(0/1 0/0/10/10/0/

MprojMhMMMOMORvSMSSSSSMSMO ω

ωωωωρω rrrrrr

=≡=∠=∧=

където 0/Sω е големината на 0/Sωr

, а Mh - разстоянието от M до оста 0/Sωr

.

Тъй като точките 1O и M от тялото )(S са произволни, то изразът (114)

се нарича разпределение на скоростите между две точки от тялото.

Да умножим скаларно векторното уравнение (114) с вектора MO1 :

)()()(1

111

0

110/11 OMO

MMO

SOM vprojvprojMOMOMOvMOvrr

444 3444 21

rrr≡→•∧+•=• ω ,

т.е. в сила е теоремата за проектираните скорости: проекциите на

скоростите на точки от тялото върху правата, която ги свързва, са

равни.

- По дефиниция за ускорението на точката )(SM ∈ пишем:

,)()/()()/()/(

11

10/0/10/0110/010

444 3444 21

rr

43421

rrrrr

r

rr ωε

ωωεω

MOMO a

SS

a

S

S

M MOMORSOadt

MOd

dt

RSOvd

dt

RSMvda ∧∧+∧+∈=

∧+

∈=

∈=

където ')(, 2 0/10/0/10/ 11 MMMOaMOa SSSMOSMO ωωωεωε ≡∧∧=∧=

rrrrr се наричат съответно

въртеливо и осестремително ускорения на M около 1O с големини

(116) ).(',')(,0/

2

0/10/0/0/10/ MprojMMMMOahMOa SSSSOMMSSOM ωωε ωωωεε r

rrrrr==∧∧==∧=

Разпределението на ускоренията между две точки от тялото е:

(117) .)(1111 10/0/10/

ωεωωε MOMOOSSSOM aaaMOMOaarrrrrrrr

++≡∧∧+∧+=

• Понятие за винтово движение на твърдо тяло. Теорема. Във всеки момент от движението съществува права от

тялото, чиито точки имат скорости, успоредни на ъгловата скорост.

Тази права }||/{ 0/SPvSPp ωrr

∈= се нарича моментна винтова ос.

Доказателство. Нека точка SP∈ има скорост Pvr

, успоредна на 0/Sωr

, т.е.

,)(

)()(0

0/10/1

2

0/0/

0/10/0/0/10/0/

1

11

SSSSO

SSSOSSOSP

POPOv

POvPOvv

ωωωω

ωωωωωωrrrrr

rrrrrrrrrr

•−+∧=

=∧∧+∧=∧∧+=∧=

откъдето намираме

).,(,2

0/

10/

0/2

0/

0/

0/2

0/

10/

2

0/

0/

1

11 +∞−∞∈•

=+∧

≡•

+∧

=S

S

S

S

OS

S

S

S

S

OS POvPOvPO

ω

ωλωλ

ω

ωω

ω

ω

ω

ω rrrr

rr

r

r

rr

Да означим проекцията на полюса 1O върху правата p с *P , ).( 1

* OprojP p=

За *PP = намираме )(0, 0/*

12

0/

*

10/*

2

0/

0/*

1

1

S

S

S

S

OSPO

POvPO ω

ω

ωλ

ω

ω rrrr

⊥=•

=∧

= .

Окончателно, за уравнението на моментната винтова ос получаваме

(118) ).,(,0/*

11 +∞−∞∈+= λωλ SPOPOr

Ако вземем за полюс точка от правата, то най-общото движение на

тяло можем да представим като ротация около моментната винтова ос

)( 0/Sωr

и транслация по тази ос )( 0/SpP kv ωrr

=∈ - мигновенно винтово движение.

89

9.3. Кинематика на съставното движение.

• Абсолютно, относително и преносно движение на точка. Определение. Когато една точка(тяло) участвува в две и повече

движения се казва, че точката(тялото) извършва съставно или

сложно движение.

Примери за сложно движение: лодка, която преплува река; пътник

преместващ се в движещо се транспортно средство; планетите от

слънчевата система, които освен около слънцето се въртят и около

собствените си оси, от своя страна слънчевата система участвува в

движение по отношение на собствената галактика – Млечния път,

която пък се движи спрямо съвкупността от галактики във Вселената.

Нека разгледаме движещо

се тяло )( 1S (фиг.49) и точка

M , която не принадлежи

на това тяло, а извършва

по отношение на него

някакво движение. С тяло

)( 1S неизменно свързваме

подвижен репер ),,,( 11 ζηξrrr

OR ,

където 11 SO ∈ е произволна

точка от тялото, а },,{ ζηξrrr

-

базисна ортонормирана

система от вектори. Неподвижен репер се нарича реперът ),,,(0 zyxORrrr

свързан твърдо с някакво условно неподвижно тяло )( 0S (най-често

Земята), където 0SO ∈ е точка от тялото, а },,{ zyxrrr

- базисна

ортонормирана система от вектори. OMMrr == )(rr е радиус-вектор

следящ движението на точката M спрямо 0R , 11 )(1 OOOrrO ==rr

- радиус-

вектор следящ движението на полюса 1O спрямо 0R , MOM 1)( == ρρrr

-

радиус-вектор следящ движението на точката M спрямо 1R .

Абсолютно движение се нарича движението на M в неподвижния

репер 0R , задава се чрез закона на движение на M в репера 0R , )(trrrr

= .

Скоростта и ускорението на точката M в абсолютното движение се

наричат абсолютна скорост - aMvr

и абсолютно ускорение - aMar

.

Относително(релативно) движение се нарича движението на M в

подвижния репер 1R , задава се чрез закона на M в репера 1R , )(tρρrr

= .

Скоростта и ускорението на точката M в относителното движение се

наричат относителна скорост - rMvr

и относително ускорение - rMar

.

Фиг. 49. Съставно движение.

90

Преносно движение за точка M се явява движението на подвижния

репер 1R и неизменно свързаното с него тяло )( 1S спрямо неподвижния

репер 0R , задава се чрез закона на движение на точката от тялото )( 1S

съвпадаща с M , т.е. 11 RSM ≡∈ (“замразяване” на движението на M

спрямо репера 1R ) по отношение на репера 0R , )/( 011 RSMrr SM ∈=∈rr

(случай

на най-общо движение на тяло )( 1S спрямо неподвижния репер 0R ).

Скоростта и ускорението на точката от тялото )( 1S , съвпадаща в даден

момент с движещата се точка - 11 RSM ≡∈ , в преносното движение се

наричат преносна скорост - eMvr

и преносно ускорение - eMar

.

Основна задача при изучаване на сложното движение се явява

установяване на зависимостите между скоростите и ускоренията на

относителното, преносното и абсолютното движения на точката.

По време на движението радиус-векторите 1

, Orrrr

и ρr

са свързани

(119) )()()( 1 MOrMr ρrrr

+= , cteOMM ≠=)(ρr

.

• Теорема за абсолютната производна на вектор. Нека са зададени(фиг.49): абсолютния репер ),,,(0 zyxOR

rrr свързан с

някакво условно неподвижно тяло )( 0S ; тяло )( 1S (и неизменно

свързания с него подвижен репер ),,,( 11 ζηξrrr

OR ) намиращо се в

движение по отношение на тяло 00 RS ≡ с ъглова скорост 0/1ωr

; векторът

)(tρr

, който е изразен в подвижния репер 1R : ζζηηξξρrrrr

)()()();( 1 tttRt ++= .

Ако векторът ρr

е изразен в абсолютния репер 0R , което може да стане

ако се използва матрицата на прехода от 1R в 0R - 10 A от (94), т.е.

);()()()();( 110

0 RtAztzytyxtxRt ρρrrrrr

≡++= , то производната по времето на

вектора );( 0Rtρr

в 0R означава да диференцираме само компонентите му,

тъй като базовите вектори са постоянни, т.е. независими от времето.

И така абсолютна производна по времето на вектора ρr

, изразен в 0R е

(120) ztzytyxtxdt

d

dt

Rtd r&

r&

r&

rr

)()()();(

0

0 ++=

=

ρρ .

Тази производна показва бързината на изменение на вектора ρr

в 0R .

Сега да намерим производната по времето в абсолютния репер 0R на

вектор, който е изразен в подвижния репер, т.е. ζζηηξξρrrrr

)()()();( 1 tttRt ++= .

За целта диференцираме вектора );( 1Rtρr

по времето в 0R :

(121) 0000

1

)0(

)()()()()()();(

+

+

+++=

≡

dt

dt

dt

dt

dt

dtttt

dt

dRt

dt

d ζζ

ηη

ξξζζηηξξ

ρρ

rrrr&r&

r&

rr .

91

Изразът ζζηηξξr

&r&r

& )()()( ttt ++ от (121) по конструкция е подобен на този от

(120) и за един наблюдател в подвижния репер 1R показва бързината

на изменение на вектора ρr

в 1R , т.е. представлява производната по

времето на вектора );( 1Rtρr

в подвижния репер 1R :

(122) ζζηηξξρ r&r&

r&

r

)()()(1

tttdt

d++=

.

Ето защо тази производна се нарича относителна или релативна.

Изразът 000

)()()(

+

+

dt

dt

dt

dt

dt

dt

ζζ

ηη

ξξ

rrr

от (121) съдържа производните по

времето на единичните вектори от подвижния репер 1R и

характеризират промяната на направлението на векторите, която се

определя от ъгловата скорост на въртене на 1R около 0R , т.е.

(123) ξωξ rrr

∧=

0/1

0dt

d , ηωη rrr

∧=

0/1

0dt

d , ζωζ rrr

∧=

0/1

0dt

d ,

откъдето намираме

(124) );()()()()()()( 10/10/10/10/1000

Rttttdt

dt

dt

dt

dt

dt ρωζωζηωηξωξ

ζζ

ηη

ξξ

rrrrrrrrrrr

∧=∧+∧+∧=

+

+

.

Окончателно, за абсолютната производна от (121), (122) и (124) имаме

(125) ).;();();(

10/1

1

1

0

1 Rtdt

Rtd

dt

Rtdρω

ρρ rrrr

∧+

=

Теорема. Абсолютната производна по времето на един вектор е равна

на сумата от релативната производна на вектора и векторното

произведение на ъгловата скорост на подвижния репер спрямо

неподвижния със самия вектор.

Частни случаи.

1) Ако 1R се движи транслационно спрямо 0R , то

,);();(

,01

1

0

1

0/1

=

=

dt

Rtd

dt

Rtd ρρω

rrrr

т.е. абсолютната и релативната производни са равни. Аналогично се

получава за случая );(|| 10/1 Rtρωrr

.

2) Ако векторът )( 1Rρr

е неподвижен в 1R , то

).()(

,0 10/10

1

1

Rdt

Rd

dt

dρω

ρρ rrr

rr

∧=

=

Такъв е случаят с радиус-вектора на произволна точка M от тялото 1S .

3) Ако векторът )( 0Rρr

е неподвижен в 0R , то

).()(

,0)(

00/1

1

0

0

0R

dt

Rd

dt

Rdρω

ρρ rrr

rr

∧−=

=

92

• Теорема за събиране на скоростите. Нека да диференцираме по времето в репера 0R равенство (119)

(126) )()()()()()(

0/1

)1(

1

)0()0(

1

)0()0(

Mdt

Md

dt

Ord

dt

Md

dt

Ord

dt

Mrdρω

ρρ rrrrrrr

∧++=+= .

Производната dt

Mrd )()0(r

е равна на скоростта на точката M в 0R . Тази

скорост е абсолютната и се означава aMvr

.


Ord )( 1)0( r

е скоростта на полюса 11 SO ∈ в 0R , означава се 1Ovr

.


Md )()0( ρr

е абсолютната производна на вектора )(Mρr

в 0R .

dt

Md )()1( ρr

е релативната производна на вектора )(Mρr

в 1R и характеризира

бързината на изменение на радиус-вектора MOM 1)( =ρr

в 1R , ето защо

тази производна е релативната скорост на точка M и се означава rMvr

.

Равенството (126) взема вида

(127) rMOa

M vMvvrrrrr

+∧+= )(0/11 ρω .

Ако точката M “замръзне” спрямо 1R , т.е. релативното движение спре,

то изразът )( 10/11 SMvO ∈∧+ ρωrrr

представлява абсолютната скорост на

1SM ∈ (закон за разпределение на скоростите между две точки от тяло).

Тази скорост се нарича преносна, тъй като 1SM ∈ е точка от преносния

репер и се отбелязва eMvr

, т.е.

(128) )( 10/11 SMvv Oe

M ∈∧+= ρωrrrr

.

Окончателно, за абсолютната скорост намираме

(129) rMe

M

a

M vvvrrr

+= .

Теорема. Абсолютната скорост на точка M извършваща сложно

движение е векторна сума от преносната и релативната скорости.

Указания за определяне на абсолютната скорост при сложно движение:

- определя се преносната скорост eMvr

като се използуват знанията от

кинематика на идеално твърдо тяло при спряно релативно движение;

- определя се релативната скорост rMvr

като замразяваме преносното

движение на подвижния репер, т.е. ставаме наблюдатели в него;

- определя се абсолютната скорост aMvr

като векторна сума на eMvr

и rMvr

.

Пример 1. Велосипедист се движи върху хоризонтален път със скорост

v (фиг.50). Върху него се излива вертикален дъжд със скорост ϑ . В

какво направление той получава този дъжд?

Решение. Една дъждовна капка p извършва сложно движение(фиг.50).

Преносното й движение е това на велосипедистта, xvRRpv err

.)/( 01 =∈ .

93

Релативното движение е свободното вертикално

движение на частицата p , yRpv rrr

ϑ−=)/( 1 . Тогава,

yxvRpvRRpvpvrea rrrrr ϑ−=+∈= )/()/()( 101 ,

22)( ϑ+= vpv ar

.

Търсеното направление е обратно на )( pv ar

, т.е.

./)()(/)( 22 ϑϑ ++−=−= vyxvpvpve aarrrrr

Пример 2. Две малки сфери A и A′ са фиксирани в краищата на два

еднакви пръта OA и AO ′ с дължина l . Тези пръти са ставно свързани в

неподвижна точка O от вертикална ос )(∆ , която е ъглополовяща на

променливия ъгъл α2 . Равнината AAO ′ се завърта около оста )(∆ с

ъглова скорост ω (фиг.51). Търси се абсолютната скорост на сферите.

Решение. ),,,(0 zyxORrrr

, ),,,( 1111 zyxORrrr

, ),,,( 2222 zyxORrrr

(фиг.51) са респективно

следните репери: абсолютен; подвижен свързан с

равнината 'AOA в преносното ротационно

движение с ъглова скорост xrr

ωω −=0/1 ; подвижен

свързан с пръта OA в относителното ротационно

движение около ос Oz , 11/2 zr

&r

αω = . Имаме:

,sin

)/()/()(

22212

1/20/1101

ylzlxlzxlx

OAOARAvRRAvAvrea

r&

rrr&

rr

rrrrr

ααωαω

ωω

+−=∧+∧−=

=∧+∧=+∈=

2222 )sin()( lAv a ααω &r

+= .

Пример 3. Тръба се върти с ъглова скорост )(tω около неподвижна

точка O в равнината Oxy (фиг.52). Топче M се движи в тръбата по

закона )(tss = . Да се намери абсолютната скорост на топчето.

Решение. Реперите ),,,(0 zyxORrrr

и ),,,(1 ζηξrrr

OR (фиг.52) са респективно

абсолютния и подвижния свързан с

тръбичката в преносното движение,

ротация с ъглова скорост ztrr

)(0/1 ωω = .

Относителното движение на M е

праволинейно по оста ξO , ξr

)()( 1 tsROM = .

Абсолютната скорост е

.)(

,.....

)/()/()(

222

0/1

101

ssMv

sssszsOM

RMvRRMvMv

a

rea

&r

r&

rr&

rrr&

r

rrr

+=

+=+∧=+∧=

=+∈=

ω

ξηωξξωξω

C

p

va

vr

ve

(R1)

(R0)

y1

x1

O

y

x =

o

Фиг. 50. Велосипедист под дъжд.

(R2) y

1

ll

AA ' ωωωω1 /0

α

(R1)

(R0)

y2

x2

O y

x = x1

o

Фиг.51. Две сфери в ротация.

Фиг.52. Топче във въртяща се тръбичка.

94

• Теорема за събиране на ускоренията. Нека да диференцираме по времето в репера 0R равенство (127)

(130) .)()(

)()()( )0()0(

0/1

0/1

)0(

1

)0()0(

dt

Mvd

dt

MdM

dt

d

dt

Ovd

dt

Mvd rarr

rrrrr

+∧+∧+=ρ

ωρω


Mvda )()0(

r

е равна на ускорението на точката M в 0R . Това

ускорение е абсолютното и се означава aMar

.


Ovd )( 1)0( r

е ускорението на полюса 11 SO ∈ в 0R , 1Oar

.


d 0/1)0( ωr

е ъгловото ускорение на въртене на 1R около 0R , 0/1εr

.


Md )()0( ρr

е абсолютната производна на вектора )(Mρr

в 0R и

се представя с израза

(131) )()()()()( 0/10/1)1()0(

MMvMdt

Md

dt

Md r ρωρωρρ rrrrrrr

∧+=∧+= .


Mvd r )()0(r

е абсолютната производна на вектора )(Mv rr

в

0R и се представя с израза

(132) )()()()()( 0/10/1)1()0(

MvMaMvdt

Mvd

dt

Mvd rrrrr

rrrrrrr

∧+=∧+= ωω .

Тук dt

Mvdr )()1(

r е релативната производна на вектора )(Mv r

r в 1R и

представлява релативното ускорение на точка M в 1R и се бележи r

Mar

.

Равенството (130) взема вида

(133) rMr

MO

a

M vaMMaarrrrrrrrrr

∧++∧∧+∧+= 0/10/10/10/1 2))(()(1 ωρωωρε .

Ако точката M “замръзне” спрямо 1R , т.е. релативното движение спре,

то изразът ))(()( 0/10/10/11 MMaO ρωωρεrrrrrr

∧∧+∧+ от (133) представлява абсолютното

ускорение на 1SM ∈ (закон за разпределение на ускоренията между две

точки от тяло). Това ускорение се нарича преносно, тъй като 1SM ∈ е

точка от преносния репер и се отбелязва eMar

, т.е.

(134) ))(()( 0/10/10/11 MMaa Oe

M ρωωρεrrrrrrr

∧∧+∧+= .

За последния член от (133) полагаме

(135) rMc

M varrr

∧= 0/12ω .

Ускорението cMar

се нарича допълнително или кориолисово.

Окончателно, за абсолютното ускорение намираме

(136) cMr

M

e

M

a

M aaaarrrr

++= .

Теорема. Абсолютното ускорение на точка M извършваща сложно

движение е векторна сума от преносното, релативното и

кориолисовото ускорения.

95

За големината на кориолисовото ускорение имаме

(137) ),(sin.22 0/10/10/1r

M

r

M

r

M

c

M vvvarrrrrrr

ωωω ∠=∧= .

Кориолисовото ускорение е нула в следните случаи:

- когато преносния репер 1R е в транслация спрямо 0R , т.е. 00/1rr

=ω ;

- моментите, в които релативната скорост е нула, т.е. 0rr

=rMv .

- когато формиращите го вектори са успоредни, т.е. rMvrr

||0/1ω .

Кориолисовото ускорение е перпендикулярно на равнината образувана

от двата вектора rMvrr

,0/1ω и има посока определена по правилото на

десния винт: като се гледа откъм кориолисовото ускорение да се вижда

завъртането на първия вектор до втория обратно на часовата стрелка.

Указания за намиране на абсолютно ускорение при сложно движение:

- определя се преносното ускорение eMar

като се използуват знанията от

кинематика на идеално твърдо тяло при спряно релативно движение;

- определя се релативното ускорение rMar

като замразяваме преносното

движение на подвижния репер, т.е. ставаме наблюдатели в него;

- определя се кориолисовото ускорение cMar

;

- абсолютното ускорение aMar

се явява векторна сума на eMar

, rMar

и cMar

.

Пример 4. Тръба се върти по закона 2t=ϕ около неподвижна точка O в

равнината Oxy (фиг.53). Топче M се движи в тръбата по закона 3/3ts = .

Да се намери абсолютното ускорение на топчето за момента st 1= .


и ),,,(1 ζηξrrr

OR (фиг.53) са респективно

абсолютния и подвижния свързан

с тръбичката. Преносно движение

извършва тръбичката - ротация с

ъглова скорост tzt 2,)(0/1 === ϕωωω &rr

и ъглово ускорение 2,0/1 === ωεεε &rrz .

Преносното ускорение се намира

от връзката на ускоренията между

точките O и M от тръбичката

.)3/4()3/2()( 532 0/1

2

0/10/1

ξηξωξε

ωεωεrrrrr

rrrrr

ttssz

MOOMaaaa OMOMOe

M

−=−+∧=

=+∧=++=

Тук 0rr

≡Oa , ξξrr

)3/()()( 31 ttsROM == .

Относителното движение на M е праволинейна транслация по оста ξO

с релативни: скорост ξξrr

&r 2

)1(

tsdt

OMdv

r

M ≡== и ускорение ξrrr

tdt

vda

r

Mr

M 2)1(

== .

Кориолисовото ускорение се дава от: ηξωrrrrrr 32

0/1 42.22 ttztvar

M

c

M =∧=∧= .

Фиг.53. Топче във въртяща се тръбичка.

96

Окончателно, за абсолютното ускорение намираме

ηξηξξηrrrrrrrrrr 34353

3

14)

3

21(242

3

4

3

2tttttttaaaa

c

M

r

M

e

M

a

M +−=++−=++= .

За st 1= имаме

23

10)

3

14()

3

2()1(,

3

14

3

2]

3

14)

3

21(2[)1( 221

34 =+=+=+−= =a

Mt

a

M atttarrrrrr

ηξηξ .

Пример 5. Правоъгълен триъгълник ABC се върти с постоянна ъглова

скорост srad /,ω около AB (фиг.54). По хипотенузата от B към C се

движи плъзгач M с постоянна скорост smv /, . Ако β=∠ABC , да се

определят скоростта и ускорението на плъзгача.


и ),,,(1 ζηξrrr

OR (фиг.54) са съответно

абсолютния и подвижния свързан с

ABC∆ . Преносно движение извършва

ABC∆ - ротация с ъглова скорост

ctez == ωωω ,0/1rr

, т.е. 00/1rr

&r

== zωε .

Радиус-векторът на плъзгача M в 1R е:

BCtszABBMABAM 1)(rr

+=+= ,

където cteAB = , ctevvtts == ,)( ,

.cossin

),(cos),(cos1

2/

ζβξβ

ζζξξβπβπ

rr

r

43421

rr

43421

rr

−=

=∠+∠=

−−

BCBCBC

Преносната скорост намираме от

връзката на скоростите между точките B

и M от триъгълника:

.sin)cos(sin1)(0/1 ηβωζβξβωωωrrrrrrrrrr

vtzvttszBMvvv BCBMBe

M =−∧=∧=∧=+=

Тук сме отчели: 0rr

=Bv ( B -точка от ротационната ос); BCtsBM 1)(r

= ; ηξrrr

=∧z .

Преносното ускорение се намира от връзката на ускоренията между

точките B и M от триъгълника, т.е.

.sinsin)(')( 222 0/10/10/10/1 ξβωξβωωωωεωε

rrrrrrrrrvttsMMBMBMaaaa

BMBMB

e

M−=−=≡∧∧+∧=++=

Тук 0rr

≡Ba , 00/1rr

≡ε , ββξ sin)(sin'),(''),(' tsBMMMMMMMMprojM AB ==−==r

.

Относителното движение на M е праволинейна транслация по оста BC

с релативни: скорост BCBC

r

M vsdt

BMdv 11

)1( rr&

r≡== и ускорение 01

)1( rr&

rr

≡== BC

r

Mr

M vdt

vda .

Кориолисовото ускорение се дава от: ηβωωωrrrrrr

sin21.22 0/1 vvzva BCr

M

c

M =∧=∧= .

Окончателно, за абсолютните скорост и ускорение съответно намираме

1sin,cossinsin1sin222 +=−+=+=+= βωζβηβωξβηβω tvvvtvvvvtvvv aMBC

r

M

e

M

a

M

rrrrrrrrr ,

ηβωξβωrrrrrr

sin2sin2 vvtaaaa cMr

M

e

M

a

M +−=++= , 4sin22 += tva aM ωβω

r.

Фиг.54. Въртящ се триъгълник.

9. Кинематика на сложни движения на твърдо...

Documents