9. assignment model (1)
DESCRIPTION
tugasTRANSCRIPT
Operation Research (OR)
1
November
roy-unpar
Ilustrasi
2
Outline
Ilustrasi
Istilah dasar & Asumsi model
Model matematis kasus minimasi
Matriks penugasan
Metoda Hungaria
Langkah-langkah metoda Hungaria kasusminimasi
Langkah-langkah metoda Hungaria kasusmaksimasi
Masalah Kolom/Baris boneka dan Big M3
Istilah dasar & Asumsi model
Assignee: sumber daya yang akan menjalankan tugas
Task: tugas yang akan dikerjakan oleh sumber daya
Sebagai model khusus dari masalah LP, model penugasan memiliki beberapa asumsi: Jumlah assignee = Jumlah task denote by n
Satu assignee hanya mengerjakan satu jenis task dankebalikannya
Terdapat paramater (biaya, waktu, produktivitas, pendapatan, dll) terkait dengan i…n assignee dalam mengerjakan j…n task
Tujuan utama adalah bagaimana n task dapat dikerjakan denganoptimal (minimasi atau maksimasi), contoh:
Biaya Minimasi
Pendapatan Maksimasi
Model Matematis kasus minimasi Dikenal sebagai Hungarian Method
Jika bij adalah biaya penugasan assignee i terhadap task j dan didefinisikan
maka secara matematis fungsi tujuannya
5
1 1
n
jijX
1 1
n
jijX
s.t.: , i =1,2,…,m
, j =1,2,…,n
1or 0ijX
otherwise ,0
job toassigned is worker if ,1 jixij
m
i
n
jijij XbMin
1 1
Z
Matriks Penugasannya
6
b11 b12 … b 1n
x 11 x 12 … x 1n
b21 b22 … b 2n
x 21 x 22 … x 2n
… … … …
… … … …
bn1 bn2 … b nn
X 31 x 32 … x nn
Demand 1 1 1
…
…As
sig
ne
e
A1 1
A2 1
An 1
TaskSupply
T1 T2 Tn
Metoda Hungaria
Metode yang efisien untuk menyelesaikanModel Penugasan
Dapat digunakan untuk masalah minimasidan maksimasi
Tabel awal Metode Hungaria pada kasusilustrasi:
8
Metoda HungariaMinimasi
Modified from :elearning.gunadharma.ac.id
Seorang Site Manager memiliki 4 grup tukang batu dan 4 macampekerjaan pasangan. Ke-empat orang ini berdasarkan hasilpengamatannya memiliki tingkat kecepatan yang berbeda dalammengerjakan ke-4 macam pekerjaan pasangan tersebut. Tabel di bawah memberikan hasil pencatatan kecepatan pengerjaan dalammenit.
Jika Site Manager tersebut ingin mendelegasikan pekerjaan ataspasangan terbaik (satu jenis pekerjaan pada grup terbaik). Tentukanpasangan optimal (grup dan jenis pekerjaannya) agar pekerjaandapat selesai dengan cepat.
Assignee
Task
52.4 48.3 55.6 49.5
55.4 58.2 59.1 57.3
62.7 62.5 60.9 63.2
47.7 49.1 53.5 52.1
Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
Tb1 Tb2Assignee
Task
52.4 48.3 55.6 49.5
55.4 58.2 59.1 57.3
62.7 62.5 60.9 63.2
47.7 49.1 53.5 52.1
Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
Tb1 Tb2
9
Metoda HungariaMinimasi
Modified from :elearning.gunadharma.ac.id
Kurangi setiap elemen pada masing-masing baris dengan elementerkecil pada masing-masing baris tersebut.
Assignee
Task
52.4-48.3 48.3-48.3 55.6-48.3 49.5-48.3
0 2.8 3.7 1.9
1.8 1.6 0 2.3
0 1.4 5.8 4.4
Tb1 Tb2 Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
Assignee
Task
52.4-48.3 48.3-48.3 55.6-48.3 49.5-48.3
0 2.8 3.7 1.9
1.8 1.6 0 2.3
0 1.4 5.8 4.4
Tb1 Tb2 Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
Assignee
Task
52.4 48.3 55.6 49.5
55.4 58.2 59.1 57.3
62.7 62.5 60.9 63.2
47.7 49.1 53.5 52.1
Tb1 Tb2 Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
10
Metoda HungariaMinimasi
Modified from :elearning.gunadharma.ac.id
Jika terdapat kolom yang tidak memiliki elemen nol, tentukan nilaiterkecil pada kolom tersebut. Kurangi setiap elemen pada kolomtersebut dengan nilai terkecil tersebut.
Assignee
Task
4.1 0 7.3 1.2
0 2.8 3.7 1.9
1.8 1.6 0 2.3
0 1.4 5.8 4.4
Tb1 Tb2 Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
Assignee
Task
4.1 0 7.3 1.2-1.2
0 2.8 3.7 0.7
1.8 1.6 0 1.1
0 1.4 5.8 3.2
Tb1 Tb2 Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
11
Metoda HungariaMinimasi
Modified from :elearning.gunadharma.ac.id
Carilah jumlah minimum garis lurus yang sejajar baris dan kolomyang melalui semua nilai nol. Jika jumlah garis lurus ini samadengan jumlah baris/kolom maka solusi optimal sudah diperoleh
Assignee
Task
4.1 0 7.3 0
0 2.8 3.7 0.7
1.8 1.6 0 1.1
0 1.4 5.8 3.2
Tb1 Tb2 Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
Assignee
Task
4.1 0 7.3 0
0 2.8 3.7 0.7
1.8 1.6 0 1.1
0 1.4 5.8 3.2
Tb1 Tb2 Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
Minimum
OPTIMAL?
12
Metoda HungariaMinimasi
Modified from :elearning.gunadharma.ac.id
Kurangi nilai setiap elemen matriks yang tidak dilalui garis dengannilai terkecil dari elemen matriks yang tidak dilalui garis dantambahkan nilai terkecil ini pada setiap nilai pada perpotongangaris.
Assignee
Task
4.1 0 7.3 0
0 2.8 3.7 0.7
1.8 1.6 0 1.1
0 1.4 5.8 3.2
Tb1 Tb2 Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
Assignee
Task
4.1+0.7 0 7.3+0.7 0
0 2.8-0.7 3.7 0.7-0.7
1.8 1.6-0.7 0 1.1-0.7
0 1.40.7 5.8 3.2-0.7
Tb1 Tb2 Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
13
Metoda HungariaMinimasi
Modified from :elearning.gunadharma.ac.id
Ulangi kembali mencari jumlah minimum garis lurus yang sejajarbaris dan kolom yang melalui semua nilai nol.
Assignee
Task
4.8 0 8 0
0 2.1 3.7 0
1.8 0.9 0 0.4
0 0.7 5.8 2.5
Tb1 Tb2 Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
Assignee
Task
4.8 0 8 0
0 2.1 3.7 0
1.8 0.9 0 0.4
0 0.7 5.8 2.5
Tb1 Tb2 Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
14
Metoda HungariaMinimasi
Modified from :elearning.gunadharma.ac.id
Ulangi kembali mencari jumlah minimum garis lurus yang sejajarbaris dan kolom yang melalui semua nilai nol.
Assignee
Task
4.8 0 8 0
0 2.1 3.7 0
1.8 0.9 0 0.4
0 0.7 5.8 2.5
Tb1 Tb2 Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
Assignee
Task
4.8 0 8 0
0 2.1 3.7 0
1.8 0.9 0 0.4
0 0.7 5.8 2.5
Tb1 Tb2 Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
Jumlahgaris = Jumlah
baris/kolom
15
Metoda HungariaMinimasi
Modified from :elearning.gunadharma.ac.id
Solusi optimum diperoleh dengan cara mencari baris/kolom yang hanya memiliki satu nilai nol. Penentuan sebaiknya dimulai daribarus yang mengandung satu nilai nol.
Assignee
Task
4.8 0 8 0
0 2.1 3.7 0
1.8 0.9 0 0.4
0 0.7 5.8 2.5
Tb1 Tb2 Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
Assignee
Task
52.4 48.3 55.6 49.5
55.4 58.2 59.1 57.3
62.7 62.5 60.9 63.2
47.7 49.1 53.5 52.1
Tb3 Tb4
Pp1
Pp2
Pp3
Pp4
Tb1 Tb2
214.2
16
Metoda HungariaMaksimasi
Modified from :elearning.gunadharma.ac.id
Tingkat penjualan sebuah merek aditif campuran beton di suatuarea pemasaran ditentukan oleh empat orang penjual T1,T2,T3 danT4. Mereka berjualan di bagian Timur, Barat, Selatan dan Utara area pemasaran. Berdasarkan catatan 15 bulan terakhir tingkatpenjualan ada pada rentang 900-1150 galon. Tabel berikutmenyajikan rata-rata penjualan rata-rata selama 15 bulan tersebut. Jika pada bulan ke 16 akan dialokasikan aditif sejumlah angka rata-rata tersebut, penempatan penjual mana yang paling optimum.
Task
Assignee
1000 900 1100 900
1100 1000 950 950
1050 950 900 1050
1150 1000 950 1000
T3
T4
D1 D2 D3 D4
T1
T2
Task
Assignee
1000 900 1100 900
1100 1000 950 950
1050 950 900 1050
1150 1000 950 1000
T3
T4
D1 D2 D3 D4
T1
T2
17
Metoda HungariaMaksimasi
Modified from :elearning.gunadharma.ac.id
Dengan menuliskan selisih mutlaknya. Kurangkan semua nilai padasetiap baris terhadap nilai terbesar pada baris tersebut.
Task
Assignee
1000 900 1100 900
1100 1000 950 950
1050 950 900 1050
1150 1000 950 1000
T3
T4
D1 D2 D3 D4
T1
T2
Task
Assignee
1000 900 1100 900
1100 1000 950 950
1050 950 900 1050
1150 1000 950 1000
T3
T4
D1 D2 D3 D4
T1
T2
Task
Assignee
100 200 0 200
0 100 150 150
0 100 150 0
0 150 200 150
T1
T2
T3
T4
D1 D2 D3 D4
18
Metoda HungariaMaksimasi
Modified from :elearning.gunadharma.ac.id
Jika terdapat kolom yang tidak memiliki elemen nol, tentukan nilaiterkecil pada kolom tersebut. Kurangi setiap elemen pada kolomtersebut dengan nilai terkecil tersebut.
Task
Assignee
100 200 0 200
0 100 150 150
0 100 150 0
0 150 200 150
D3 D4
T1
T2
T3
T4
D1 D2
Task
Assignee
100 100 0 200
0 0 150 150
0 0 150 0
0 50 200 150
T3
T4
D1 D2 D3 D4
T1
T2
19
Metoda HungariaMaksimasi
Modified from :elearning.gunadharma.ac.id
Carilah jumlah minimum garis lurus yang sejajar baris dan kolomyang melalui semua nilai nol. Jika jumlah garis lurus ini samadengan jumlah baris/kolom maka solusi optimal sudah diperoleh.
Task
Assignee
100 100 0 200
0 0 150 150
0 0 150 0
0 50 200 150
T1
T2
T3
T4
D1 D2 D3 D4
Task
Assignee
100 100 0 200
0 0 150 150
0 0 150 0
0 50 200 150
D3 D4
T1
T2
T3
T4
D1 D2
Jumlahgaris = Jumlah
baris/kolom
20
Metoda HungariaMaksimasi
Modified from :elearning.gunadharma.ac.id
Solusi optimum diperoleh dengan cara mencari baris/kolom yang hanya memiliki satu nilai nol. Penentuan sebaiknya dimulai daribarus yang mengandung satu nilai nol.
Task
Assignee
1000 900 1100 900
1100 1000 950 950
1050 950 900 1050
1150 1000 950 1000
T1
T2
T3
T4
D1 D2 D3 D4
4300
21Modified from :elearning.gunadharma.ac.id
Metoda Hungaria hanya berlaku jika jumlah baris = jumlah kolom(assignee = task), jika tidak sama maka ditambahkan dummy (boneka) kolom atau baris
Seringkali ditemui keadaan assignee tidak bisa ditugaskan (dilarang) pada task tertentu, untuk itu digunakan metoda Big M
Masalah maksimasi pasangan assignee pada task bersangkuatan diberi –M. M adalah bilangan positif yang sangat besar. Diharapkan dengan memberikan –M, assignee tidak akan terpilih pada task yang dilarang tersebut, karena keuntunganyang di dapat adalah negatif.
Masalah minimasi pasangan assignee pada task bersangkuatan diberi M. M adalahbilangan positif yang sangat besar. Diharapkan dengan memberikan M, assignee tidak akan terpilih pada task yang dilarang tersebut, karena keuntungan yang di dapat adalah positif.
Masalah Kolom/Baris Boneka & Big M
22
Contoh BIG M
Sumber: Diktat RO, Ir. Zulkifli S, MSIE
Suatu kantor akuntan memiliki 4 auditor yang akan ditugaskan untuk menangani 4 orang klien. Keuntungan yang akan diperoleh perusahaan untuk seorang klien bergantung kepada auditor mana yang akan ditugaskan. Terkait dengan batasan-batasan yang ada, tidak semua auditor dapat melayani klien yang ada. Auditor P tidak dapat menangani klien C dan auditor S tidak dapat menangani klien D. Data keuntungan (dalam juta Rp) yang dicapai oleh perusahaan untuk setiap auditor dan klien diberikan pada Tabel berikut.
A B C D[juta Rp] [juta Rp] [juta Rp] [juta Rp]
P 6 5 7
Q 2 7 6 5
R 7 8 3 9
S 2 4 6
AuditorKeuntungan terhadap klien
A B C D[juta Rp] [juta Rp] [juta Rp] [juta Rp]
P 6 5 7
Q 2 7 6 5
R 7 8 3 9
S 2 4 6
AuditorKeuntungan terhadap klien
23
Contoh BIG M
Sumber: Diktat RO, Ir. Zulkifli S, MSIE
Contoh kasus adalah masalah maksimasi.
Tabel penugasan dengan Big M adalah sebagai berikut:
Task
Assignee
6 5 -M 7
2 7 6 5
7 8 3 9
2 4 6 -M
P
Q
R
S
A B C D
24
Contoh BIG M
Sumber: Diktat RO, Ir. Zulkifli S, MSIE
Task
Assignee
1 2 M 0
5 0 1 2
2 1 6 0
4 2 0 M
C D
P
Q
R
S
A B
Task
Assignee
0 2 M 0
4 0 1 2
1 1 6 0
3 2 0 M
R
S
A B C D
P
Q
25
Contoh BIG M
Sumber: Diktat RO, Ir. Zulkifli S, MSIE
Task
Assignee
0 2 M 0
4 0 1 2
1 1 6 0
3 2 0 M
P
Q
R
S
A B C D
Task
Assignee
0 2 M 0
4 0 1 2
1 1 6 0
3 2 0 M
C D
P
Q
R
S
A B
Jumlahgaris = Jumlah
baris/kolom
26
Contoh BIG M
Sumber: Diktat RO, Ir. Zulkifli S, MSIE
28
Task
Assignee
0 2 M 0
4 0 1 2
1 1 6 0
3 2 0 M
R
S
A B C D
P
Q
Task
Assignee
6 5 -M 7
2 7 6 5
7 8 3 9
2 4 6 -M
P
Q
R
S
A B C D
27
Kasus Kolom/Barisboneka
Sumber: Diktat RO, Ir. Zulkifli S, MSIE
A B C
[hari] [hari] [hari]
P 10 5 8
Q 6 7 11
R 4 9 12
S 5 13 9
KaryawanWaktu Penyelesaian Pekerjaan
Suatu perusahaan memiliki 4 orang karyawan dan 3 macampekerjaan. Perusahaan ingin memilih 3 dari 4 karyawan tersebutuntuk ketiga jenis pekerjaan tersebut berdasarkan kemampuanmenyelesaikan pekerjaan. Waktu penyelesaian pekerjaan (hari) olehmasing-masing karyawan untuk masing-masing pekerjaan diberikanpada Tabel. Karena masing-masing pekerjaan memiliki prioritasyang sama, bagaimana memutuskan karyawan mana yang tidakakan mendapat tugas sementara waktu sementara tetapmendapatkan waktu penyelesaian yang tercepat
28
Kasus Kolom/Barisboneka
Sumber: Diktat RO, Ir. Zulkifli S, MSIE & Hiller, 2005
Task
Assignee
10 5 8 0
6 7 11 0
4 9 12 0
5 13 9 0
P
Q
R
S
A B CD
(dummy)
Task
Assignee
10 5 8 0
6 7 11 0
4 9 12 0
5 13 9 0
CD
(dummy)P
Q
R
S
A B
Dikarenakan tiap baris telah memiliki nilai nol, pengurangan elemen bukan lagi berdasarkan nilai terkecil pada baris, tetapi berdasarkan elemen terkecil pada masing-masing kolom (Hiller, 2005)
29
Kasus Kolom/Barisboneka
Sumber: Diktat RO, Ir. Zulkifli S, MSIE & Hiller, 2005
Task
Assignee
6 0 0 0
2 2 3 0
0 4 4 0
1 8 1 0
R
S
A B CD
(dummy)P
Q
Task
Assignee
10 5 8 0
6 7 11 0
4 9 12 0
5 13 9 0
CD
(dummy)P
Q
R
S
A B
30
Kasus Kolom/Barisboneka
Sumber: Diktat RO, Ir. Zulkifli S, MSIE & Hiller, 2005
Task
Assignee
7 0 0 1
2 1 2 0
0 3 3 0
1 7 0 0
P
Q
R
S
A B CD
(dummy)
Task
Assignee
7 0 0 1
2 1 2 0
0 3 3 0
1 7 0 0
CD
(dummy)P
Q
R
S
A B
Jumlahgaris = Jumlah
baris/kolom
31
Kasus Kolom/Barisboneka
Sumber: Diktat RO, Ir. Zulkifli S, MSIE & Hiller, 2005
Task
Assignee
10 5 8 0
6 7 11 0
4 9 12 0
5 13 9 0
P
Q
R
S
A B CD
(dummy)
KaryawanKaryawan D tidak
mendapatkantugas dan
waktupenyelesaiantercepat 18
jam