8 permutacao arranjo p

7/30/2019 8 Permutacao Arranjo p

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8 ANLISE COMBINATRIA EPROBABILIDADE

ORIENTAO PARA O PROFESSOR

PERMUTAES SIMPLESEXEMPLO

Temos o conjunto A = {7, 8, 9} e, usando cada elemento de A apenas uma vez em cada um dosagrupamentos, devemos formar nmeros com 3 algarismos.Teremos que usar todos os elementos de A e formar agrupamentos que sero distinguidosapenas pela ordem em que aparecem. Estes agrupamentos so chamados permutaes dos 3elementos de A.As permutaes dos 3 elementos de A so as ternas ordenadas (7, 8, 9), (7, 9, 8), (9, 8, 7), (9, 7,8,), (8, 7, 9), (8, 9, 7), ou seja, so os seis nmeros que podemos formar: 789, 798, 987, 978, 879,897.

QUESTO

Resposta: O primeiro carro tem 6 opes para estacionar, o segundo 5, o terceiro 4, o quarto 3, oquinto 2 e o sexto apenas 1. Logo as possibilidades so em nmero de 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720.

A partir das idias desenvolvidas acima podemos descrever o que Permutao:

QUANTOS NMEROS, DE 3 ALGARISMOS DISTINTOS,PODEMOS FORMAR COM OS DGITOS 7, 8 E 9?

Quantas so as maneiras de 6 carrosserem estacionados em 6 garagens?

Seja A um conjunto comnelementos. Permutaes do conjunto A so agrupamentos

em que cada elemento de A comparece uma s vez e onde apenas aordem em que esses elementos aparecem distingue osagrupamentos. Ou seja, duas permutaes so consideradasdistintas se a ordem em que aparecem os elementos do conjunto no

MATEMATICA


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ARRANJOS SIMPLESEXEMPLO

A ordem fundamental, pois nmeros com dgitos trocados no so os mesmos. Os algarismospodem, entretanto, repetir-se para a formao de um nmero. Podemos, neste caso simples, listaros nmeros que so pedidos. So eles: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35,41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54 e 55.

QUESTO 1

Resposta: H 4 possibilidades para o campeo do torneio e 3 possibilidades para o vice-campeo,ou vice-versa. Logo existem 12 modos em que os prmios podem ser distribudos.

O nmero total de tais arranjos ser denotado por A(n,p) (l-se arranjos de n elementos p a p).Usando o princpio multiplicativo, vamos obter A(n,p). Basta raciocinar da seguinte maneira:

Com n objetos, queremos preencher p lugares.

O primeiro lugar pode ser preenchido de nmaneiras distintas, o segundo de n 1 maneiras, oterceiro de n 2maneiras e assim sucessivamente at o p-simo lugar, que pode ser preenchidode n (p + 1) modos diferentes. Pelo Princpio Multiplicativo,

A(n,p) = n . (n 1) . (n 2) . (n 3). ... . (n (p 1)) =p)!-(n

n!

Observe que toda permutao um arranjo (caso em que p = n). Assim, para que a frmula acimafaa sentido tambm nesse caso, definimos 0! = 1.Utilizando agora a definio de arranjo, resolva os seguintes problemas:

Usando-se os dgitos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos nmerosdiferentes com dois algarismos podemos formar?

Quatro times de futebol disputam umtorneio, onde so atribudos prmiosao campeo e ao vice-campeo. De

quantos modos os prmios podem seratribudos?

Lugar 1 Lugar 2 Lugar 3 . . . Lugar p

Note que nos exemplos dados, temos sempre de fazer uma escolha de pobjetos entre nobjetos, onde p< n, e a ordem em que fazemos a escolhadetermina objetos diferentes. De fato, problemas do tipo considerado nosltimos exemplos aparecem to freqentemente que recebem um nomeespecial: arranjo simples de p elementos em n.


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QUESTO 2

Resposta: A ordem importante aqui e, portanto, a soluo dada pelos arranjos de 23elementos dois a dois:

50621!23!

p)A(n, == .

QUESTO 3

Resposta:

(a) 12012.3.4..50!5!

A(5,5) === anagramas.

(b) Tais agrupamentos so do tipo:L _ _ _ O . Logo temos A(3,3) = 3 . 2. 1 = 6 anagramas.(c) Se as letras RO ficarem juntas, nessa ordem, temos:

R O _ _ _ . As letras RO so contadas como sendo uma s letra e, junto com as trs letrasrestantes, teremos um total de 4 letras para serem agrupadas 4 a 4. Assim, obtemos:

A(4,4) = 4 . 3. 2 . 1 = 24 anagramas.

QUESTO 4

Resposta: Os nmeros entre 100 e 1000 so constitudos por 3 dgitos. Devemos preencher ascasas das unidades, das dezenas e das centenas. A casa das unidades s pode ser preenchidapelos algarismos 2 ou 4, pois queremos nmeros pares. As casas das dezenas e das centenaspodem ser preenchidas de qualquer modo, mas no devemos utilizar o dgito j empregado nacasa das unidades, pois o nmero tem dgitos distintos. O melhor utilizar o Princpio Aditivodividindo-se o problema em dois casos disjuntos:

Um anagrama uma combinao qualquer de letras.Quantos anagramas de duas letras podemos formar comum alfabeto de 23 letras?

Considere agora a palavra LIVRO.(a) Quantos anagramas so formados com as letras

dessa palavra?(b) Quantos deles comeam por L e terminam por

O?(c) Quantos contm as letras ROjuntas e nessa

Considere os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. Quantosnmeros pares com elementos distintos, maiores que100 (estritamente) e menores que 1000(estritamente), podemos formar?


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4

Caso 1:O dgito das unidades 2. Neste caso, as casas das centenas e das unidadespodem ser preenchidas com os dgitos 1, 3, 4 e 5. Existem

122!4!

A(4,2) == maneiras de se fazer isto.

Caso 2:O dgito das unidades 4. Existem tambm 12 maneiras de se fazer isto, pois spodemos utilizar os dgitos 1, 2, 3 e 5.

Pelo Princpio Aditivo, o nmero total de possibilidades 12 + 12 = 24.

Combinaes Simples

EXEMPLO 1

Como a ordem para a formao de subconjuntos no importante, basta combinarmos 5elementos 3 a 3. Assim, o nmero de subconjuntos :

{(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (2,3,4), (2,3,5), (2,4,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5), (3,4,5)}

EXEMPLO 2

Observe a figura acima. O vrtice assinalado pode ser ligado a qualquer outro no adjacente pormeio de uma diagonal. Cada vrtice pode gerar ento 5 = 8 3 diagonais. Como existem 8

vrtices teremos 8 . 5 = 40 diagonais. Entretanto, agindo desta forma, contamos duas vezes umamesma diagonal, pois o segmento que liga um ponto P a outro Q o mesmo que liga Q a P.Devemos ento dividir o resultado por 2. Assim:

202

58=

o nmero total de diagonais de um polgono regular de 8 lados. Para um polgono de n ladosteremos:

diagonais2

3)-(nn

O nmero total de combinaes de n elementos p a p ser denotado por C(n,p). A partir da

frmula dos arranjos, A(n,p) =p!n!

, obteremos tambm uma frmula para C(n,p), identificando

grupos de elementos que diferem apenas pela ordem. Assim, o nmero de combinaes sersempre menor ou igual ao nmero de arranjos.

Quantas diagonais podemos traar em um polgonoregular de oito lados? Aps resolver este problema, vocpoderia dizer quantas diagonais tem um polgono de nlados?

Quantos subconjuntos de 3 elementos possui oconjunto C = {1, 2, 3, 4, 5}?

Considere um conjunto A com nelementos. Agrupamentos com p (p n)elementos, onde cada elemento de A comparece uma s vez e onde a

ordem no importante, so subconjuntos de A chamados combinaes dosnelementos de A, pa p.


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Sabemos que o nmero de grupos formados com pelementos, considerando diferentes gruposcom ordens distintas, igual ao nmero de permutaes com pelementos, que sabemos que igual a p! .Para se obter C(n,p), basta dividir o nmero de arranjos A(n,p) pelo nmero de permutaes de pelementos, isto , por p!. Assim:

C(n,p) = A(n,p) p! C(n,p) =

p)!-(np!

n!

Utilizando agora a definio de combinao, resolva os seguintes problemas:

QUESTO 1

Resposta: Como no existem trs pontos sobre a mesma linha, basta escolhermos 3 pontos

quaisquer e traar um tringulo com esses vrtices. O nmero total de tringulos que podemostraar :

364.11!3!

14!(14,3)C ==

QUESTO 2

Resposta: O primeiro grupo pode ser formado de C(8,4) modos diferentes. Escolhido o primeirogrupo, s existe uma maneira de se escolher o segundo grupo. Entretanto, procedendo destamaneira contamos as divises {a, b, c, d} {e, f, g, h} como sendo diferente da diviso {e, f, g, h} {a,b, c, d}. Assim, a resposta correta :

35.2C(8,4) =

QUESTO 3

Resposta: Esteproblema pode ser resolvido enumerando-se todas as possibilidades. So elas: {1,3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 4}, {2, 5} e {3, 5}. Existem ento seis maneiras de seobter os subconjuntos.Este modo de resolver, entretanto, no pode ser facilmente generalizado para conjuntos maiores.

Vamos marcar com os elementos que faro parte do subconjunto e com os elementos queno faro parte. Por exemplo,

{1, 3} ficar representado por e{2, 5} ficar representado por .O subconjunto {1, 2} no serve pois apresenta dois inteiros consecutivos. Suarepresentao no entanto .

Quantos tringulos diferentes podem ser traadosutilizando-se 14 pontos de um plano, supondo que no htrs destes pontos alinhados?

De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em 2grupos de 4 pessoas cada?

Considere o conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5}. De quantos modospodemos formar subconjuntos de C com dois elementos

nos quais no haja nmeros consecutivos?


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Para formar um subconjunto com dois elementos no consecutivos, devemos colocar trs sinaise dois sinais, sem que apaream dois sinais lado a lado. Para isto, colocamos trs sinais,

deixando espaos entre eles para serem preenchidos ou no por dois smbolos.

Devemos escolher duas das quatro posies vazias da tabela acima. Dessa forma, teremosC(4,2) = 6 possibilidades de se obter subconjuntos sem elementos consecutivos, confirmandonossa primeira soluo.Este exemplo pode agora ser generalizado. O conjunto {1, 2, ..., n} tem C(n, n p + 1)subconjuntos com p elementos onde no aparecem nmeros consecutivos. A demonstrao idntica a anterior.

CONTAR COM REPETIO

Como conseqncia do Princpio Multiplicativo, obtivemos maneiras efetivas de se contar onmero de permutaes, de arranjos e de combinaes simples. Nesta seo estaremosinteressados em aprofundar o nosso estudo, incorporando aplicaes onde a repetio deelementos permitida.Uma aplicao em que as repeties aparecem na contagem e que serve para a formulao demuitos modelos matemticos de situaes do mundo real, refere-se ao problema de contar onmero total de solues inteiras positivas de uma equao do tipo:

x1 + x2 + ... + xn = mExemplo 1: Qual o nmero total de solues inteiras e positivas de x1 + x2 = 5 ?Este problema to simples que podemos enumerar todas as possibilidades. So elas:

x1 x21 42 33 24 1

No consideramos aqui a possibilidade de um dos termos ser zero. Obtemos assim 4 solues.Se algum dos termos pudesse ser zero, obteramos mais duas solues x1 = 0, x2 = 5 e x1 = 5, x2= 0.Dificilmente a enumerao de todas as solues pode, entretanto, ser generalizada.

Soluo Esperta: Escrevemos o nmero 5 na forma unria, representando cadaunidade por uma barra:| | | | | . Com essa notao as solues positivas so:

| + | | | || | + | | || | | + | |

| | | | + |Isso corresponde a colocar o sinal de + entre duas barras | |. Tal tarefa pode ser feita atravs deC(4,1) = 4 maneiras diferentes.Ser que esta tcnica tambm funciona em outros exemplos?

Exemplo 2: Quantas solues positivas tem a equao x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 9 ?

| | | | | | | | |

Existem 9 1 = 8 lugares para se colocar o sinal +. Para repartir 9 em cinco partes devemosescolher 5 1 = 4 desses 8 lugares para colocarmos sinais de +. J que os sinais de + so todosiguais, podemos fazer isto sem nos preocuparmos com a ordem deles. Assim, o nmero total desolues da equao C(8,4) = 70.


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RESULTADO GERAL:

O nmero de solues positivas da equao x1 + x2+ ... + xn= m

C(m-1, n-1)

Exemplo 3:

Qual o nmero de solues inteiras positivas ou nulasda equao x1+ x2 + ... + xn = m?

Faamos um pequeno truque, introduzindo a mudana yi = xi + 1. Com isto, recamos no casoanterior que j resolvemos. Como

x1 + x2 + ... + xn = m,

somando 1 a cada xi obteremos (x1 + 1) + (x2 + 1) + ... + ( xn +1) = m + n, ou seja, y1 + y2 + ... + yn= m + n. O nmero de solues positivas desta ltima equao igual ao nmero de soluespositivas ou nulas de x1 + x2 + ... + xn = m. Pelo resultado geral obtido acima este nmero C(m+n-1, n-1).

PERMUTAES COM REPETIO

EXEMPLO

Problema do Hotel

Estvamos viajando em 3 pessoas e resolvemos parar e pernoitar emum hotel. No hotel havia somente 2 quartos vagos, o quarto A comcapacidade para 2 pessoas e o quarto B que alojava somente umapessoa. Quantas so as distribuies que podemos fazer para nosacomodarmos nestes dois quartos?

fcil enumerar todas as possibilidades. So elas

As pessoas P1 e P2 ficam no quarto A e P3 no quarto B, ou as pessoas P1 e P3 ficam no quarto A e P2 no quarto B, ou as pessoas P2 e P3 ficam no quarto A e P1 no quarto B.

Existem portanto 3 possibilidades.

Poderamos ter raciocinado da seguinte maneira: devemos colocar 2 pessoas no quarto A e istocorresponde a escolher 2 entre 3. Portanto, existem C(3,2) = 3 possibilidades de escolha. Umavez que as duas pessoas estejam acomodadas no quarto A, s existe uma possibilidade deacomodar a terceira pessoa no quarto B. Ao todo, teremos 3 possibilidades. Este procedimentopode ser generalizado:


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Problema do Hotel com variaes

Um hotel possui trs quartos vagos A, B e C. Quantas possibilidades de acomodao existempara 7 pessoas nos trs quartos, sendo que no quarto A cabem 3 pessoas e nos quartos B e Ccabem 2 pessoas?Existem C(7,3) maneiras de trs pessoas ocuparem o quarto A. Uma vez feito isto, existem C(4,2)maneiras de se ocupar o quarto B, restando somente uma maneira de se ocupar o terceiro quarto.

Logo a quantidade total de possibilidades :

.210!0!2

!2.!2!2

!4.!4!3

!7)2,2().2,4().3,7( ==CCC

Questo 1:

Resposta: Existem C(7,2) maneiras de duas pessoas cuidarem do jardim, restando somente umaopo para as outras cinco pessoas, que a de pintar a casa. Logo, a quantidade total depossibilidades :

C(7,2) . C(5, 5) = 21 . 1 = 21.

Questo 2: Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARARAQUARA?Resposta: Devemos arrumar 5 letras A, 3 letras R, 1 letra Q e 1 letra U em 10 lugares diferentes.Ao todo teremos:

C(10,5) . C(5,3) . C(2,1) . C(1,1) = 5040 possibilidades.

ARRANJOS COM REPETIOEXEMPLO

O nmero total 233 anagramas, comeando com AAA e terminando com ZZZ.

Questo 1:

As letras em cdigo Morse so formadas por seqncias de traos() e pontos ( . ), sendo permitidas repeties.Por exemplo: ( , . , , , . , .).

Quantas letras podem ser representadas:(a) Usando exatamente 3 smbolos?(b)Usando no mximo 8 smbolos?

Uma famlia de 7 pessoas decide executar duas tarefas:duas delas vo cuidar do jardim, enquanto as outras vopintar a casa. De quantos modos as tarefas podem serdistribudas?

Qual o nmero total de anagramas que podemos fazerjuntando trs letras quaisquer de um alfabeto de 23letras?


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Resposta:(a) Para cada um dos trs smbolos temos duas possibilidades, ou seja,

2 . 2 . 2 = 23= 8 possibilidades.

(b) Variando a quantidade de smbolos, temos as seguintes possibilidades:com 1 smbolo 2 possibilidades,

com 2 smbolos 22= 4 possibilidades,





com 7 smbolos 27= 128 possibilidades,com 8 smbolos28= 256 possibilidades.

Portanto, com 8 smbolos obteremos, no mximo,2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 510 possibilidades.

Questo 2:

Resposta: Cada nmero telefnico consiste em uma seqncia de 7 dgitos do tipo:

(a1, a2, a3,..., a6, a7) em que a1A1 = {0, 1, 2, ..., 9}

a2A2= {0, 1, 2, ..., 9}.

.

.

a7A7= {0, 1, 2, ..., 9}

Logo, o nmero de seqncias 107= 10 000 000.

Questo 3

Em um baralho de 52 cartas, cinco cartas so escolhidassucessivamente. Quantas so as seqncias de resultadospossveis:

(a) Se a escolha for feita com reposio?(b) Se a escolha for feita sem reposio?

Resposta:(a) O nmero de seqncias :

52 . 52 . 52 . 52 . 52 = 525.

(b) O nmero de seqncias :52 . 51 . 50 . 49 . 48 = 311 875 200.

Quantos nmeros telefnicos, com 7 dgitos, podem serformados se usarmos os dgitos de 0 a 9?


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COMBINAES COM REPETIO

Problema do parque de diverses:

Um menino est em um parque de diverses, onde h 4 tipos debrinquedos:

C chapu mexicanoF trem fantasmaM montanha russaR roda gigante

O menino resolve comprar 2 bilhetes. Qual o nmero total depossibilidades de compra dos bilhetes, sabendo-se que ele podecomprar 2 bilhetes iguais para ir num mesmo brinquedo?

Resoluo: possvel resolver este problema enumerando todas as possibilidades. So elas:

CC CF CM CRFF FM FR

MM MRRR

Observe que a esto listadas todas as possibilidades e que CF igual a FC, no importando aordem do primeiro com o segundo bilhete, mas incluindo repeties. Se no fossem permitidasrepeties o resultado seria C(4,2) = 6 (neste clculo no se inclui a hiptese do menino comprardois bilhetes repetidos). O nmero correto de possibilidades 10 = 6 + 4 (quatro repeties foramadicionadas).

Resoluo esperta: Sejam

x1 o nmero de bilhetes de C (chapu mexicano),x2 o nmero de bilhetes de F (trem fantasma),x3 o nmero de bilhetes de M (montanha russa) ex4 o nmero de bilhetes de R (roda gigante).

Como o nmero total de bilhetes que o menino quer comprar 2, temos

x1 + x2 + x3 + x4 = 2

O nmero de solues inteiras e no negativas desta ltima equao C(4+2-1,4-1) = C (5,3) = 10.

Basta comparar agora as duas solues apresentadas.

Este segundo mtodo de resoluo pode ser facilmente generalizado.

x1 x2 x3 x4CC 2 0 0 0CF 1 1 0 0CM 1 0 1 0CR 1 0 0 1FF 0 2 0 0FM 0 1 1 0FR 0 1 0 1MM 0 0 2 0

MR 0 0 1 1RR 0 0 0 2

Esta linha diz que foramcomprados dois bilhetes:um para o trem fantasma(F) e um para montanharussa M .


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Questo: Com 2 cores diferentes, de quantas maneiras distintas podemos pintar 3 vasosidnticos, pintando cada vaso de uma nica cor? Resolva o mesmo problema com 4 cores e 5vasos.Resposta:Os trs vasos podem ser pintados de uma mesma cor. Estamos novamente com umproblema de combinaes com repetio.

Se x1 o nmero de vasos pintados de branco e x2 o nmero devasos pintados de preto, ento x1 + x2 = 3. O nmero de soluespositivas ou nulas desta equao

C(3+2-1, 2-1) = C(4,1) = 4.

No caso de 4 cores e 5 vasos, o nmero de combinaes possveis igual ao nmero desolues positivas ou nulas de x1 + x2 + x3 + x4 = 5, que dado por C (4 + 5 - 1, 4 - 1) =C (8, 3) = 56.

QUADRO RESUMO

RESPEITANDO A ORDEM

SIMPLES FRMULA COM REPETIO FRMULA

Permutaes

Ex.: De quantasmaneirasdiferentespodemos

estacionar 6carros em 6garagens?

Resp.: 720

O nmero depermutaes de n

elementos n! = n.(n-1).(n-2)...

...3.2.1

Ex.: De quantasmaneiras 3 pessoas

podem ficaralojadas em 2

quartos, com duaspessoas no primeiro

quarto e umapessoa nosegundo?

Resp.: 3

O nmero depermutaes de nobjetos dos quaisp1so iguais a a1 ,p2 so iguais a a2,... , pkso iguais a

ak

!!...!

!

21 kppp

n

Arranjos

Ex.: De quantasmaneirasdiferentespodemos

estacionar 6carros em 3garagens?

Resp.: 120

O nmero dearranjos simplesde nelementostomados pa p

dado por

)!(

!),(

pn

npnA

Ex.: Qual onmero de placas

de carro com 3letras e 4 dgitos,supondo que o

alfabeto tenha 26letras?

Resp.: 104. 263

O nmero dearranjos comrepetio de n

elementostomados pa p

pn

O Princpio Multiplicativo: Se uma deciso d1 puder ser tomada de mmaneiras e se, uma veztomada a deciso d1, outra deciso d2 puder ser tomada de n maneiras diferentes, ento onmero total de se tomarem as decises o produto de mpor n.Ex.: Colorir uma bandeira de 4 listras com trs cores diferentes de modo que duas listrasadjacentes no tenham a mesma cor. Pode-se repetir cores, mas no em faixas adjacentes.


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A ORDEM NO IMPORTANTE

SIMPLES FRMULA COM REPETIO FRMULA

Combinaes

Ex.: Quantassaladas de frutas(com frutasdiferentes)

podemos fazerutilizando-se 3

frutas sedispomos de 5

tipos diferentes defrutas?

Resp.: 10

O nmero decombinaes de nelementos,

tomados pa p, dado por:

)!(!

!),(

pnp

npnC

Ex.: De quantosmodos diferentespodemos comprar 4refrigerantes em um

bar que vende 2tipos de

refrigerantes?

Resp.: 5

O nmero decombinaes comrepetio de n

elementostomados pa p

)1,1( npnC

)!1(!

)!1(

np

pn

8 permutacao arranjo p

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