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Vicealmirante Franklin M. Zeltzer MalpicaRECTOR

SISTEMA DE APRENDIZAJE AUTOGESTIONADO ASISTIDO (TRIPLE A)

Dra. Rosa M. Puerta CastroCoordinadora General del Sistema Triple A

PRODUCCIN DE MATERIALES DIDCTICOS DE LA ASIGNATURAFUNDAMENTOS DE MATEMTICA

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Lic. Jos Gmez Barrios (Ncleo Caracas)Lic. Jos Santamara (Ncleo Caracas)

Prof. Alberto Ochoa Parada (Triple A Sede)Especialistas de Contenido

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PRODUCCIN GRFICA E IMPRESIN(NOMBRE DE LAS EMPRESAS)

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de este material didctico sin previa autorizacin escrita

2007 Universidad Nacional Experimental Politcnica de la Fuerza Armada (UNEFA)

Av. La Estancia con Av. Caracas y Calle Holanda frente al Edificio Banaven (Cubo Negro), Chuao.Cdigo Postal 1061Caracas, Venezuela

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NDICE DE CONTENIDOINTRODUCCIN 5

UNIDAD N 1: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 7

LECTURA N 1:Cambio de Paradigma 7

LECTURA N 2:Qu es el Nmero? 8

LECTURA N 3:Los Nmeros Cuadrados 9

LECTURA N 4:Los Polinomios 10

LECTURA N 5:Productos Notables 22

LECTURA N 6:La Factorizacin como Herramienta de Simplificacin 32

LECTURA N 7:Cmo Completar Cuadrados? 33

LECTURA N 8:Mtodos de Factorizacin 34

UNIDAD N 2: VALOR ABSOLUTO E INECUACIONES 42

LECTURA N 9:Numeracin Antigua Egipcia 42

LECTURA N 10:El Valor Absoluto y los Nmeros Reales 43

LECTURA N 11:Los Intervalos y el Calendario 45

LECTURA N 12:Inecuacin contra Ecuacin 46

LECTURA N 13:Conociendo las Inecuaciones 47

LECTURA N 14:Inecuaciones en la Recta 52

UNIDAD N 3: GEOMETRA Y TRIGONOMETRA 56

LECTURA N 15:Algunos Sistemas de Medida 56

LECTURA N 16:El Sistema Mtrico Decimal 57

LECTURA N 17:Figuras Poligonales 62

LECTURA N 18:Los Tringulos, los Cuadrilteros y sus Relaciones

Mtricas

63

LECTURA N 19:La Circunferencia y sus Elementos 67

3

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LECTURA N 20:Cuerpos Geomtricos y sus Elementos 69

LECTURA N 21:El Nmero Pi () y el Clculo de reas 72

LECTURA N 22:Thales y la Pirmide de Keops 79

LECTURA N 23:La Trigonometra 82

LECTURA N 24:La Trigonometra para qu sirve? 86

LECTURA N 25:Teorema de Pitgoras 87

UNIDAD N 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES 89

LECTURA N 26:El Plano Cartesiano 89

LECTURA N 27:Coordenadas y Tecnologa 91

LECTURA N 28:Funciones que tienen Historia 92

LECTURA N 29:La Funcin Lineal 92

LECTURA N 30:Distancia entre dos Puntos en el Plano 94

LECTURA N 31:Clasificacin de Funciones 96

4

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INTRODUCCINLa Universidad Nacional Experimental Politcnica de la Fuerza Armada (UNEFA), te da labienvenida al primer semestre de tu carrera y a la vez te ofrece este valioso recurso quecontiene una seleccin de lecturas para la asignatura Fundamentos de Matemtica.

La Matemtica en todas las sociedades civilizadas, ha sido y es,un instrumento imprescindible para el conocimiento ytransformacin de la realidad que caracteriza la accin humana;por ello, es considerada como ciencia prototpica delrazonamiento, constituye un conjunto amplio de modelos yprocedimientos de anlisis, clculo, medida y estimacin de lasrelaciones necesarias entre los diferentes aspectos de la realidad.

A semejanza de otras disciplinas conforma un campo en continuaexpansin y creciente complejidad, donde los constantes avances

dejan atrs las acotaciones y concepciones tradicionales. Amedida que avanza la tecnologa, la sociedad del conocimiento y la informacin, lamatemtica estudia cada vez objetos ms abstractos, sus relaciones cuantitativas yformas espaciales.

En el desarrollo del aprendizaje matemtico, las operaciones mentales concretas como:contar, ordenar, comparar, clasificar, relacionar, analizar, sintetizar, generalizar, abstraer,entre otras, aunado a la experiencia y la induccin, desempean un papel de primerorden, pues te permiten construir representaciones lgicas y matemticas que ms tarde

tendrn valorpor s mismas de manera abstracta y sern susceptibles de materializar enun sistema plenamente deductivo, partiendo de la experiencia directa. De ah, que laeficacia de la matemtica radica en la precisin de sus formulaciones y sobre todo en laaplicacin consecuente del mtodo hipottico-deductivo, caracterstico de esta ciencia.

De las reflexiones anteriores, se puede inferir que durante el estudio de la Matemtica sepresentan exigencias para el uso y desarrollo del intelecto, mediante la prctica deductivay la representacin mental de relaciones espaciales; ella hace una contribucin esencialal desarrollo de tu pensamiento. Se puede plantear que el pensamiento matemtico hoy

en da, es un componente vital e influyente en cada uno de los aspectos de la culturauniversal.

El desarrollo intelectual que se logra por de la enseanza de la Matemtica, se promuevedebido a que:

Los conceptos, las proposiciones y los procedimientos matemticos, poseen unelevado grado de abstraccin y su asimilacin obliga a los alumnos a realizar unaactividad mental rigurosa.

Los conocimientos matemticos, estn estrechamente vinculados, formando unsistema que encuentra aplicacin prctica de diversas formas, lo cual permite buscary encontrar vas de solucin distintas, por su brevedad, por los medios utilizados o la

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ingeniosidad de su representacin. Ello te ofrece un campo propicio para el desarrollode la creatividad y el pensamiento lgico.

Las formas de trabajo y de pensamiento matemtico requieren una constante actividadintelectual, que te exige analizar, comparar, fundamentar, demostrar y generalizar, entreotras operaciones mentales.

En esta seleccin de lecturas, encontrars un resumen de los contenidos bsicos de lostemas que componen la asignatura, los cuales te apoyarn en el logro de un aprendizajede calidad.

Los temas seleccionados, complementan los ya estudiados durante el desarrollo deCurso de Induccin Universitaria, con miras a integrar todos los contenidos bsicos de laasignatura necesarios para emprender una carrera universitaria.

Durante la primera unidad, se trabajar con las expresiones algebraicas, especficamentelas operaciones con polinomios, los productos notables ms comunes y los mtodosde factorizacin, considerando que aparte de los clculos elementales, como la adicin,la multiplicacin y la potenciacin entre otras, aplicables en todas las ramas de lamatemtica, y a travs de propiedades de composicin bien definidas, se derivanprocedimientos que permiten simplificar con mayor facilidad las operaciones indicadastales como: el producto notable y la factorizacin, que son herramientas muy prcticaspara la agilizacin en la bsqueda de un resultado concreto a los problemasmatemticos.

La segunda unidad est referida a los temas de valor absoluto e inecuaciones endonde se plantean ejercicios y problemas relacionados con la realidad y cuya solucininvolucra las propiedades que rigen las desigualdades entre dos o ms expresionesalgebraicas.

La tercera unidad contempla los temas de Geometra y Trigonometra como vnculo elms real entre la abstraccin que representa la matemtica con el mundo que nos rodea;se establece una relacin entre las figuras planas y los cuerpos geomtricos con losclculos que de ellos se derivan. Involucrando las gran diversidad de unidades demedida con sus respectivas conversiones.

Se culmina con la cuarta unidad; ella contiene los temas relacionados al planocartesiano, relaciones y funciones como manera de utilizar los conocimientos previosen la solucin de problemas algebraicos y su respectiva representacin grfica.

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UNIDAD 1EXPRESIONES ALGEBRAICAS

LECTURA N 1: CAMBIO DE PARADIGMA

Un grupo de cientficos coloc cinco monos en una jaula, en cuyo centro haba unaescalera y, sobre ella, un racimo de cambures. Cuando un mono suba por la escalerapara agarrar los cambures, los cientficos lanzaban un chorro de agua fra sobre los que

quedaban en el suelo. Despus de algn tiempo, cuando un mono iba a subir la escaleralos otros lo agarraban a golpes evitando as el castigo con el agua fra.

Ya transcurrido un tiempo ms, ningn mono suba la escalera, a pesar de la tentacin delos cambures. Entonces, los cientficos decidieron sustituir uno de los monos. La primeracosa que hizo fue subir por la escalera, siendo rpidamente bajado a golpes por losdems monos, quienes le pegaron sin contemplacin alguna. Despus, de algunaspalizas, el nuevo integrante del grupo ya no subi ms la escalera.

Luego, un segundo mono fue sustituido, y ocurri el mismo espectculo que la vez

anterior. EL primer sustituto particip con entusiasmo en la paliza al recin llegado. Untercero, de los ms antiguos, fue cambiado y volvi a repetirse el mismo suceso. Y aspas cuando cambiaron al cuarto de los primeros cinco monos, y finalmente el ltimo delos veteranos que tambin fue reemplazado.

Los cientficos quedaron, entonces, con un grupo de cinco monos que, aun cuando nuncarecibieron un bao con agua fra, continuaban, sin ninguna explicacin, golpeando aaquel que intentase llegar a los cambures.

Si fuese posible preguntar a alguno de los miembros del grupo por qu pegaban a quienintentase subir por la escalera, con certeza la respuesta sera: No s, las cosas aqusiempre se han hecho de esa manera. Te parece familiar la respuesta?

Vamos a reflexionar un poco, nos hemos preguntado alguna vez el por qu estamosgolpeando y por qu estamos haciendo las cosas de una manera, si a lo mejor laspodemos hacer de otra.

En muchas ocasiones, por no decir siempre, vemos como se asume un rechazo total alestudio de las matemticas por parte de los estudiantes, quiz parte de esa actitud es

producto de la concepcin negativa y experiencias ajenas que han pasado de unos aotros, sin detenerse a pensar y a averiguar que tan cierto es y que tan malo puede ser,apartando radicalmente la posibilidad de poseer una herramienta que nos puede guiar al

7

Tomado con fines instruccionales de:Ascanio, R. y Gonzlez, P. (2004). Cambio deParadigma, Homotecia: Paradigmas. Publicacinperidica N 6. Ao 2. Valencia:.

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xito en cualquier mbito de nuestra cotidianidad, ya sea en las clases, el hogar, eltrabajo, de compras, entre otros.

LECTURA N 2: QU ES EL NMERO?

A lo largo de nuestra vida escolar, nos hemos enfrentado a toda clase de operaciones conlos nmeros; los multiplicamos, los sumamos, los potenciamos, nos ayudan a ordenar,clasificar y muchas otras operaciones que faltan mencionar. Para muchos de nosotros, es

sencillo y elemental contar con ellos; pero cabe preguntar: podemos definirlos?..., alles donde est la dificultad, cuando tenemos que dar una definicin formal de Nmero.Te lo has preguntado alguna vez?

Desde muy nios, nos ensean a contar con los dedos; luego, con objetos;posteriormente, los aprendemos a escribir y ordenar. En nuestra prosecucin acadmica,los utilizamos en las primeras operaciones fundamentales, unidades, decimales,propiedades, en fin, un mundo complejo en funcin a ellos; pero insisto Quin enalgn momento te ense a definirlos? La creacin del nmero es una de las ms

grandes hazaas de la mente humana y desde tiempos inmemoriales a la matemtica sele atribuye el reinado de las ciencias puras y exactas; sin embargo, qu tan difcil seraaprender a definirNmero.

Algunos autores aseguran que nmero es todo aquello que es el nmero de una clasey la definicin de Russell (1988 ) se centra en que nmero es todo aquello que es elnmero de un conjunto sea cual sea la definicin pareciera redundar pero, si nosdetenemos a reflexionar, ellas nos aproximan a una realidad que aparenta estar slo ennuestra mente, aunque cada uno de nosotros podemos vivir a diario y relacionarlo con el

entorno. Veamos otro ejemplo: Si poseemos un conjunto o clase de elementos llamadosbalones, podemos afirmar que la clase es el nombre del objeto y/o sujeto y que el nmeroes la cantidad de balones que existan en esa clase.Ejemplo:

Nmero: 8

Clase: Balones

En conclusin, balones refiere al nmero de elementos que se encuentran en elconjunto o clase de balones. Este ejemplo y futuras comparaciones nos pudiesen resultar

8

Figura 1

Tomado con fines instruccionales de:

Gmez, J. (2006). Qu es el nmero? Artculo nopublicado (pp.1-2). Tinaquillo, Estado Cojedes.

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muy obvias, pero sabes algo? en la matemtica, nada es obvio a partir de estemomento conociste una de las definiciones de la matemtica que mucho se utiliza, peropoco se reflexiona sobre ella. Esta abstraccin, debe surgir de las necesidades primariasque tenemos cada uno de nosotros de ordenar, clasificar, seriar y establecer relacionescon el medio.

Referencia:Russell, B. (1988). Introduccin a la filosofa matemtica.Paids Estudio Bsica. (p.25)Barcelona, Espaa

LECTURA N 3: LOS NMEROS CUADRADOS

Los nmeros cuadrados o cuadrados perfectos (1, 4, 9, 16) fueron llamados as porprimera vez por los pitagricos, una orden comunal fundada por Pitgoras (siglo VI a.C.en la costa suroeste de Italia), donde la matemtica rega los principios de convivenciaentre los miembros.

Estos nmeros indican cantidades o clases de objetos que pueden agruparse formando

un cuadrado (ver figura). Adems de los nmeros cuadrados, los pitagricos definieronotros nmeros figurados, como los triangulares o pentagonales.

Observa el esquema de los nmeros cuadrados perfectos:

Fjate que cada cuadrado perfecto es igual a la suma de cierta cantidad de nmeros

impares consecutivos:

12 = 1 (un nmero impar)22 = 1 + 3 (dos nmeros impares)

32 = 1 + 3 + 5 (tres nmeros impares)42 = 1 + 3 + 5 + 7 (cuatro nmeros impares)

9

Figura 2


Surez, E. y Cepeda, D. (2003).Matemtica para Educacin Bsica.

Editorial Santillana, S.A. (p. 68). Caracas,Venezuela.

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As como en la ciencia matemtica existen entes de caractersticas perfectas, tambinnosotros, mediante el esfuerzo, la dedicacin, la prctica constante y la pasin por lo quehacemos, debemos ir perfeccionando nuestras competencias y habilidades en pro de unamayor satisfaccin tanto intelectual como personal.

LECTURA N 4: LOS POLINOMIOS

En estudios anteriores has trabajado con operaciones de suma, resta, multiplicacin ydivisin de nmeros naturales, enteros, racionales e irracionales. Este estudio seenmarca dentro de la aritmtica, rama de la matemtica que se encarga de situacionesespecficas, donde las operaciones slo se hacen con nmeros.

Si profundizamos un poco ms en nuestra experiencia, ya sea la que obtuvimos en elbachillerato o en cualquier otra actividad escolar, es posible que recordemos algnconocimiento sobre las operaciones con polinomios, donde de manera similar aplicabasla suma, resta, multiplicacin y divisin, pero ya no slo intervenan nmeros sino quetambin se involucraban letras. El estudio de la matemtica se tornaba un poco msabstracto, pues aquellas situaciones especficas que se trabajaban en aritmtica ahoratomaban un carcter de generalizacin, es decir, podan representar situaciones diversasen un mismo campo. Ahora la matemtica se enfoca desde lgebra.

A pesar de tener ms o menos claro las distintas operaciones con polinomios, esnecesario retomar y practicar esos conocimientos hasta dominarlos por completo, puesde ello depende alcanzar las competencias en contenidos pertinentes a la asignatura,como lo son: las inecuaciones y las funciones; adems de otras actividades que guardanrelacin con este tema.

Empecemos definiendo lo que es un polinomio; este trmino es de origen griego poli

que significa muchos y nomio expresin algebraica. Un polinomio, matemticamentehablando es una suma algebraica de varias expresiones algebraicas, que representancantidades desconocidas. Cuando decimos suma algebraica nos referimos a unaoperacin combinada, donde intervienen la suma y la resta, y al hablar de expresionesalgebraicas significa los trminos que componen la suma. Cada trmino que compone unpolinomio es una estructura matemtica que consta de una parte numrica y una parteliteral.

Ejemplo de la Estructura de una Trmino:

53x

10

Exponente de la variable

Parte literal o variableParte numrica o coeficiente de la variable


Santamara, J. (2006). Los polinomios. Artculo nopublicado (pp.1-20). Tinaquillo, Estado Cojedes.

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CARACTERSTICAS DE UN POLINOMIO:

Sea el polinomio:3

15

4

3 32 + xxx

Vamos a ordenarlo por el exponente de la variable y a describir sus elementos:

3

1

4

35 23 ++ xxx

Trminos 35x 24

3x

x

3

1

Variable x x xCoeficientes de la variable 5

4

3 1

Exponentes de la variable 3 2 1* Grado del polinomio 3Trmino Independiente

3

1

*El grado del polinomio lo representa el exponente mayor de la variable

Clasificacin de los Polinomios

Los polinomios, segn el nmero de trminos, se clasifican en:

- Monomio: Es aquella expresin algebraica que consta de un solo trmino.

Ejemplos:

2

7

3

x 5+ 2

2bxa

- Binomio: Es aquella expresin algebraica que tiene dos trminos:

Ejemplos: 13 +x ax4

54 ba +

- Trinomio: Es aquella expresin algebraica que tiene tres trminos:

Ejemplos:

7

1

5

6 3 + xx 5

2

9 2 +

yy

- Polinomio: Es aquella expresin algebraica que tiene ms de tres trminos:

Ejemplo: 15

2

4

3 234 ++ xxx

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Anteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las operacionesde adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin. Vamos a trabajar cada operacin yaprender un poco ms de ellas.

11

Recuerden que los trminos en un polinomio se identifican porque estn separados unosde otros por el signo positivo (+) o el negativo (-).

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Adicin de polinomios: La adicin consiste en reunir dos o ms expresionesalgebraicas, llamadas sumandos, en una sola que se le llama suma.

En la aritmtica la adicin siempre significa aumento, pero en el lgebra es un conceptoms general por lo que puede significar aumento o disminucin.

En una adicin de polinomios se puede dar una agrupacin de trminos semejantes.

Incluso, hasta un polinomio puede tener inmerso trminos semejantes.

Hay semejanza entre trminos cuando:

Tienen la misma variable o variables.

Tienen igual exponente en la variable o variables.

Ejemplo:Son trminos semejantes:

Entonces, se puede hacer una agrupacin con estos trminos y reducirlos a una sola

expresin aplicando una suma.

Ejemplo N 1:

Eliminando los parntesis queda:

=++ 222 35 xxx

Tomemos los coeficientes formando una suma indicada con ellos y esto lo multiplicamos

por la variable con su respectivo exponente, as:

( ) =++ 2135 x

Efectuamos la suma algebraica entre las cantidades que estn dentro del parntesis:

( ) =++ 2135 x ( ) 245 x+

( ) =++ 2135 x ( ) 21 x

( ) =++ 2135 x 21 x

( ) =++ 2135 x 2x

Son trminos no semejantes los siguientes: 36x , 26x , 26y ,

12

La variable x es la mismapara los tres trminos

El exponente 2 de lavariable es igual para lostres trminos

2

5x2

3x+2

x+

Aunque los coeficientesde las variables seandiferentes

Primero sumamos los enteros positivos 3 y 1

Se restan las cantidades por ser de signos diferentes y la

diferencia lleva el signo de la mayor (-5 y -4)

Se elimina el parntesis

Como el 1 es elemento neutro de la multiplicacin, slo se

multiplican los signos (+ . - = -)

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Los trminos 36x y 26x , tienen igual variable pero distintos exponentes, y a pesar quetienen el mismo coeficiente no son trminos semejantes. El trmino 26y no es semejantea ninguno de los otros dos trminos, pues su variable es distinta.

Veamos algunos ejemplos de adicin de polinomios:

Cuando es una suma de monomios

Ejemplo N 2:

Sumar: 25x y x7

Solucin: xxxx 7575 22 +=+

Cuando es una suma de binomios

Ejemplo; Sumar:31

43 2 x y xx 38

7 2 +

Solucin: =

++

xxx 3

8

7

3

1

4

3 22

=++ xxx 38

7

3

1

4

3 22

=+

+ xxx 3

3

1

8

7

4

3 22

=+

+

3

13

8

7

4

3 2 xx

8

13

8

76

8

7

4

3

78

56

8

7.8

64

24

4

3.8

88

7

4

3

8)8,4(..

=+=+

==

==

=+

=mcm

13

Observa que, como los trminosno son semejantes la suma se deja

indicada

Indicamos la operacin de los dos binomios agrupando cada uno entre

arntesis

Eliminamos los parntesis, como el signo

que los precede es positivo, no se afecta

nin n trmino

Agrupamos los trminos semejantes

Extraemos la variable con su respectivo

exponente como factor dejando los

coeficientes dentro del parntesis.Observe que estos nos indican una suma

de fracciones con diferente denominador

Se calcula el mcm entre los denominadores

Esta cantidad es el denominador delresultadoSe multiplica cada fraccin por el mcm y estas

cantidades forman elnumerador del resultadoSe efecta la operacin indicada y obtenemos la

fraccin resultado

Recordar

Para sumar fracciones de diferente

1-

2-

3-

4-

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Luego el polinomio resultante es:

3

13

8

13 2 + xx

En la adicin de trinomios y polinomios se procede igual que en las sumas anteriores,solo debes estar pendiente de la agrupacin de trminos semejantes. Es importantesealar que la sustraccin de polinomios es un caso particular de la adicin. Esto lopodemos explicar de la siguiente manera:

Ejemplo N 3:

Sea4

76

5

3+= xxA y

6

5

2

1

5

1 23 ++= xxxB

y nos piden determinar: A B =

Es decir, al polinomio 4

7

65

3 2

+ xx le restamos el polinomio 65

2

1

5

1 23

++ xxx estructuremos la operacin:

+++=

6

5

2

1

5

1

4

76

5

3 232 xxxxxBA

Observa que el polinomio B por estar precedido del signo negativo se encierra entre

parntesis.

Si65

21

51 23 ++= xxxB

Entonces

6

5

2

1

5

1 23 += xxxB

- B es el opuesto de B

Luego, la operacin quedara as:

+++=+

6

5

2

1

5

1

4

76

5

3)( 232 xxxxxBA

Si eliminamos el parntesis:

6

5

2

1

5

1

4

76

5

3)( 232 ++=+ xxxxxBA

Agrupamos los trminos semejantes:

+

+

+=+

6

5

4

7

2

16

5

1

5

3)( 322 xxxxxBA

14

Cuando un parntesis est precedido del signo

menos, todos los trminos que estn dentro de l

cambian de signo

Recordar:Para eliminar signos de agrupacin

8/3/2019 73301 Select Lect a 20032007

15/107

Extraemos la variable de cada parntesis con su respectivo exponente, dejndola como

factor

+

+

+=+

6

5

4

7

2

16

5

1

5

3)( 32 xxxBA

Observa que dentro de cada parntesis hay una suma de fracciones con diferente

denominador.

Vamos a realizar cada adicin por separado:

5

4

5

1

5

3:1 =

+Adicin

Adicin2

360

Adicin3

12

)6/5.12(

12

)4/7.12(

6

5

4

7=

1231

1210

1221

65

47 ==

Finalmente, realizadas las adiciones de los trminos semejantes, tenemos:

12

31

2

11

5

4)( 23 ++=+ xxxBA

Practica la Adicin de polinomios con los siguientes ejercicios:- Sean los polinomios

15

Observa que es una suma de fracciones con igual

denominador. La fraccin resultante tendr el mismo

denominador comn y el numerador ser la suma delos numeradores parciales

Recordar:Para sumar fracciones con igual denominador

Tenemos una suma de fracciones con diferente

denominador, calculamos el m.c.m de los

denominadores; es decir, m.c.m (1,2) = 2, estem.c.m= 2 representa el denominador comn a todas

las fracciones; ahora, los numeradores tambin

cambian multiplicando el m.c.m= 2 por las

Recordar:

Para sumar fracciones con diferente denominador

Calculamos el mcm entre los denominadores mcm (4

, 6) = 12, este es el denominador del resultado y esa

misma cantidad se multiplica por cada fraccin paracalcular los nuevos numeradores

Recordar:Para sumar fracciones con diferente denominador

2

11

2

112

2

1

2

12

2

1

1

6=

==

+

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16/107

3

16

2

1 2 += xxA ,2

792

7

6 23 += xxB ,

2

4

1

5

3xxC += , 3

2

3

8

9

2

8

3x

xxD +=

Calcula:1) A + B + C = 3) (D + A) C = 5) D + B =2) D + C + A = 4) B (D + A) = 6) C A =

Multiplicacin de Polinomios:

La multiplicacin de polinomios, es una operacin que consiste en multiplicar dos o mspolinomios llamados factores para obtener otro polinomio llamado producto. Para

multiplicar polinomios es necesario tener claro la regla de los signos, las leyes de lapotenciacin y la agrupacin de trminos semejantes.

Veamos algunos casos de la multiplicacin:

Multiplicacin de Monomios

Multiplicar:

( ) ( ) ( ) = 5.2.3 2 xx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = xx ..5.2.3 2

16

En esta multiplicacin tenemos varios factores consus respectivos signos, hay factores numricos y

factores literales o variables.

Observa que los coeficientes numricos de cadamonomio, son tambin factores y se pueden

manipular independientemente de la variable,siempre y cuando estn como factores dentro de la

misma multiplicacin. En la organizacin es

conveniente que los factores numricos sean losprimeros en expresarse.

+*+ = +

-*- = +

Recordar:Regla de los signos

* *

* *

* *

Recordar:

Leyes de la potenciacin

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17/107

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++ xx ..5.2.3 2 +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )).(.(30..5.2.3 22 xxxx +=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )32

.30..5.2.3 xxx +=

Este es el resultado de multiplicar los monomios

( ) ( ) ( ) 32 305.2.3 xxx =

Multiplicacin de Monomios por polinomios

Multiplicar: =

+

2

52.

5

3 22 xxx

( ) ( )

+

+

=

+

5

32.

5

3.

5

3

2

52.

5

3 22222xxxxxxx .

2

5

17

Si multiplicamos los signos de cada unode los factores: + . - . - . + . + = +

obtenemos el signo del producto. En este

Ahora calculamos el producto de los factoresnumricos: 3 . 2 . 5 = 30

Para multiplicar las variables (la parte literal),que son potencias, tienes que estar claro con la

ley de la potenciacin que dice que en lamultiplicacin de potencias de igual base se

obtiene otra potencia con la misma base, cuyoexponente resulta de sumar los exponentes

parciales de cada potencia x2 . x = x2+1 = x3

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se

aplica una propiedad distributiva del producto con

respecto a la adicin, de esta manera obtenemosuna suma algebraica con los productos parciales.

Observa que cada producto parcial es una multiplicacin de dos monomios. Recuerde el

procedimiento para este caso. En cada multiplicacin parcial, realiza primero la multiplicacin

de los signos, luego, multiplica los coeficientes de cada monomio y por ltimo realiza la

multiplicacin de las variables o potencias literales.

8/3/2019 73301 Select Lect a 20032007

18/107

Vamos a calcular los productos por separado:

1 producto:

( ) ( ) ( ) ( ) 422225

3..1.

5

3.

5

3xxxxx =

=

( )5

3

1

1.

5

31.

5

3=

=

4222.2 xxxx =+=

2 producto:

( ) ( )( )322

5

6.

1

2.

5

32.

5

3xxxxx

+=

=

3 producto:

( ) 22222

3

10

15.

2

5.

5

3

2

5.

5

3xxxx ==

=

Observa que el producto de los coeficientes, result una fraccin que se simplific,debido a que al descomponer tanto el numerador como el denominador, result un factorcomn (el 5), el cual se cancel por ley de la potenciacin, quedando una fraccinirreducible. Luego, reuniendo los productos parciales resultantes conformamos elproducto total de la multiplicacin inicial:

23422

23

56

53

252.

53 xxxxxx +=

+

18

Coeficientes

PotenciasLiterales

Producto

Ya debes tener claro la regla de los signos (+. - = -) ; loscoeficientes o parte numrica son nmeros racionales; es decir,

fracciones. Para multiplicar fracciones se hace de forma lineal,numerador por numerador y denominador por denominador.

La multiplicacin de las potencias literales se realiza aplicando la

ley de potenciacin cuando se multiplican potencias de igualbase, el producto que resulta es otra potencia con la misma base y

el exponente es la suma de los exponentes parciales.

Se procede igual al caso anterior:

( ) 5

6

1

2.5

32.5

3

+== Coeficientes

3122 . xxxx == + Potencias Literales

Se procede igual al caso anterior:

2

3

5.2

5.3

10

15

2

5.

5

3===

El polinomio resultante no tiene trminossemejantes por lo tanto es un polinomio

irreducible.

8/3/2019 73301 Select Lect a 20032007

19/107

Multiplicacin de un polinomio por otro polinomio

Multiplicar:

+

1

4

3

3

4

2

3 2 xxyx

Solucin:

+

1

4

3.

3

4

2

3 2 xxx

( ) ( )1.2

3.

2

3

4

3.

2

3 2 +

+

+

xxxxx ( ) ( )1.

3

4.

3

4

4

3.

3

4 2 +

+

+

+ xx

1 producto:

( ) ( ) 3228

9..

4

3.

2

3

4

3.

2

3xxxxx =

=

2 producto:

( ) ( ) ( ) ( ) 22

3..1.

2

3.

2

3xxxxx =

=

3 producto:

( ) ( ) ( ) xxx2

3.1.

2

31.

2

3+=+

=+

4 producto:

( ) 222212

12

4

3

3

4

4

3

3

4xxxx ==

=

5 producto:

( ) ( ) ( ) xxx3

41

3

4

3

4+=

=

6 producto:

( )3

4

1

1

3

41

3

4=

+

=+

19

Observa que el primer factor es un polinomio de dos trminos, por lo tanto hay que aplicar la

propiedad distributiva dos veces. El primer trmino del binomio multiplica a todos los

trminos del trinomio, luego el segundo trmino del binomio multiplica a todos los trminosdel segundo factor, es decir, del trinomio.

Despus de aplicar la propiedad

distributiva hemos obtenido muchos

productos parciales, para ser ms

exactos, seis productos. Vamos a

resolverlos uno a uno:

Si observas cada par de

lneas notars como se

efectuaron los productos

8/3/2019 73301 Select Lect a 20032007

20/107

Luego:

Tomamos los productos parciales resultantes y estructuramos el polinomio total.

3

4

3

4

2

3

2

3

8

91

4

3

3

4

2

3 2232 ++=

+

xxxxxxxx

Revisamos si el polinomio resultante tiene trminos semejantes; si los tiene hacemosagrupaciones con ellos:

3

4

3

4

2

3

2

3

8

91

4

3

3

4

2

3 2232

++

+=

+

xxxxxxxx

Como en los casos anteriores, en agrupaciones de trminos semejantes extraemos lavariable con su respectivo exponente como factor fuera del parntesis.

3

4

3

4

2

312

3

8

914

3

3

4

2

3 232

++

+=

+

xxxxxx

Realizamos la adicin dentro de cada parntesis paso a paso:

1 Adicin:2

5

2

23

2

2

2

3

1

1

2

3=

==

2 Adicin:6

17

6

8

6

9

3

4

2

3=+=

+

Luego, resueltas las adiciones, volvemos al polinomio.

3

4

6

17

2

5

8

91

4

3

3

4

2

3 232 +=

+

xxxxxx

De esta manera, hemos llegado al producto final de la multiplicacin de dos polinomios.

Para que practiques los procedimientos en la multiplicacin de polinomios te proponemoslos siguientes ejercicios:

Dadas las expresiones algebraicas:

xP2

7= 2

5

4xQ =

7

6

7

8 3 += xxR

9

59

4

3

2

2

+= xx

T 3

11=V

Calcula:

1) =QPV .. 2) =RQ. 3) =QT. 4) =TV.

5) =RP.

20

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21/107

Divisin de polinomios

Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, slo que un polinomioes como un grupo de nmeros enteros descompuestos en una adicin de muchossumandos. Vamos a explicarlo por medio de un ejemplo:

Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades dividendo y

divisor, se debe buscar otra cantidad llamada cociente que multiplicada por el divisornos resulte el dividendo.

Resolveremos la siguiente divisin de polinomios paso a paso:

( ) ( )xxxxxx 2164103 2532 +++

Se ordenan los dos polinomios tomando en

cuenta los exponentes de la variable (x) enorden decreciente y completando con

coeficiente cero (0) la potencia faltante.

12631004 22345 ++++ xxxxxxx

Se divide el primer trmino del polinomio

dividendo entre el primer trmino del

divisor

12631004 22345 ++++ xxxxxxx

Para efectuar esto se divide el coeficientedel dividendo entre el del divisor y con la

variable se aplica la regla de potencia de un

cociente de igual base.

( ) 3252

5

2

5

44144 xxxxxx ===

12631004 22345 ++++ xxxxxxx

34x

Este es el primer trmino del cociente

Se multiplica el primer trmino del cocientepor todos los trminos del divisor, a estos

productos se les cambia el signo y se

ordenan debajo del dividendo segn el

exponente de la variable.

12631004 22345 ++++ xxxxxxx

345 484 xxx + 34x

Estos productos se resta del dividendo 12631004 22345 ++++ xxxxxxx

345 484 xxx + 34x 63148 234 ++ xxxx

Se repite todo el procedimiento

considerando que ahora el primer trminodel nuevo dividendo es 8x4

( ) 2242

4

2

4

881

88xx

xx

xx ===

12631004 22345 ++++ xxxxxxx

345 484 xxx + 23 84 xx + 63148 234 ++ xxxx 234 8168 xxx + 652 23 + xxx

Continuamos ahora dividiendo los dems trminos

21

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22/107

12631004 22345 ++++ xxxxxxx345 484 xxx + 1284 23 ++ xxx

63148 234 ++ xxxx 234 8168 xxx + 652 23 + xxx

xxx 24223

+ 632 + xx 122 + xx 75 + x

El cociente de la divisin es : 1284 23 ++ xxx

Y el residuo: 75 + x (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no sepuede continuar dividiendo por lo que la divisin es inexacta)

Ejercicios propuestos:

1- ( ) ( )22723 23 +++ xxxx

2- ( ) ( )183249 22354 + xxxxxx

3- ( ) ( )222010 2268 + yyyy

4-

++ 31

2

1

2

1

3

1

2

1 2243xxxxx

5- Cul debe ser el valor de a, b y c para que se cumpla la siguiente igualdad?

( ) ( )1102555010 235 +=+ xxxxxx cba

LECTURA N 5: PRODUCTOS NOTABLES

Al iniciarnos en nuestra aventura por el conocimiento de las matemticas, lo primero a loque se hace referencia es al nmero, como clase, segn lo plantean algunos, o comoconjunto, segn otros. La cuestin es que el hombre y su inmensa necesidad deorganizarse en sociedades, poco a poco, fue implementando un lenguaje simblico que le

sirvi de instrumento en las actividades cotidianas, tanto para comunicarse como parademarcar y establecer normas de convivencia. Primero, se da cuenta que el medionatural le ofrece una serie de herramientas para tal organizacin; comienza a utilizar las

22

Tomado con fines instruccionales de:Santamara, J. (2006). Productos notables.Artculo no publicado (pp.1-8). Tinaquillo,Estado Cojedes.

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23/107

piedras como mecanismo de conteo; luego, descubre que puede hacer marcas en losrboles, en el suelo, en las paredes de las cavernas y as llega, sin saber, a la intuicinde nmero.

El estudio de los nmeros, o mejor dicho la fase de estructuracin de los nmeros y suaplicacin en otras ramas de la matemtica, como la geometra, la aritmtica y el lgebra,

no ha sido fcil. Desde mucho antes de Cristo, con Pitgoras de Samos, pasando porEuclides, Al-Jwrizm, Fermat, Descartes, Leibniz, entre otros; todos ellos fueron dndoleforma y sentido a todo ese conocimiento vago que desde tiempos remotos, babilonios yegipcios aplicaban en su cotidianidad.

Por ejemplo, en la aritmtica, que es la parte de la matemtica que trata del arte ohabilidad para contar, slo se utilizan nmeros o cantidades conocidas que medianteoperaciones de adicin, multiplicacin y potenciacin, de acuerdo con ciertaspropiedades ya existentes, es posible realizar todos los clculos habidos y por haber. En

el lgebra, rama de la matemtica que permite generalizar las aplicaciones aritmticas,mediante el uso de cantidades desconocidas representadas por letras, tambin se valede las operaciones de adicin, multiplicacin y potenciacin para tales aplicaciones. Y enla geometra (del griego ge que significa 'tierra' y metrein 'medir'), rama de lasmatemticas que se encarga de las relaciones mtricas del espacio y sus propiedades,en su forma ms elemental y no tan elemental; se vale del lgebra y la aritmtica paraformalizar y sistematizar sus aplicaciones.

Dentro de todas estas operaciones elementales, como la adicin, la multiplicacin, la

potenciacin, entre otras, aplicables en todas las ramas de las matemticasanteriormente mencionadas, a travs de propiedades de composicin bien definidas, sederivan procedimientos que permiten simplificar con mayor facilidad las operacionesindicadas. Procedimientos como el producto notable y la factorizacin sonherramientas muy prcticas para la agilizacin en la bsqueda de un resultado concreto.

Cuando se realiza un producto notable se est aplicando una multiplicacin, pero se hacede una forma directa reduciendo la operacin a un mnimo de pasos posibles, porejemplo en aritmtica no es muy frecuente encontrarse con un producto notable pero sepuede ejemplificar un ejercicio para hacer sencillas demostraciones, de la siguientemanera:

930253)35(25)35( 222 ++=++=+

Si se realiza la multiplicacin aplicando la propiedad distributiva, que es el procesonormal, el procedimiento se hace ms largo; observa:

915152533533555)35()35()35( 2 +++=+++=++=+

Ahora bien, si trabajamos dentro del lgebra, el mismo producto notable pudiese

aplicarse de la siguiente manera:

23

8/3/2019 73301 Select Lect a 20032007

24/107

Por Ley de Potenciacin: 2aaa =

( )yxyxyx 53).53()53( 2 ++=+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yyxyyxxx 5.53).5()5.(33).3( +++=

22222 25309)5()53(2)3()53( yxyxyyxxyx ++=++=+

Al llevar este mismo procedimiento al campo de la geometra le daramos el siguienteenfoque:

Suponga un terreno de forma cuadrada, donde cada lado mide , calcula el rea delterreno:

Para hallar el rea de un cuadrado se multiplica lo que mide de anchopor lo que mide de largo; as:

222 )4()4()(2)4()4()4( ++== yyyyy

1682 += yy , es el rea del terreno

El producto notable es aquella multiplicacin que se efecta con expresiones algebraicasde forma directa, aplicando una frmula o procedimiento, de acuerdo a una situacinespecfica.

Veamos algunos casos especficos de productos notables.

EL CUADRADO DE UNA SUMA DE DOS TRMINOS

Ejemplo N 1Supngase que tenemos una regin de forma cuadrada, cuyas dimensiones son lassiguientes: de largo y de ancho mide "" 7+x unidades.

Necesitamos conocer el rea del cuadrado.Sabemos que para calcular el rea de un cuadrado,slo tenemos que multiplicar lo que mide de ancho porlo que mide de largo, Es decir:rea del Cuadrado = Largo Ancho

rea = (Lado) 2Entonces; Apliquemos la Frmula:

rea = 2777 )()()( +=++ xxx

Si aplicamos la propiedad distributiva nos quedara:

(X + 7) . (X + 7) = X2 + X.7 + 7.X + 72 = X2 + 2 (7.X) + 72

Luego: rea = 27)( +x24

Ancho Largo

4y

4y

7+x

7+x

8/3/2019 73301 Select Lect a 20032007

25/107

Desarrollemos esta potencia de la siguiente manera:

222 7727 )()()()( ++=+ xxx

Ejemplo N 2:

Desarrollemos el Producto Notable: 25 )( y+

222 5255 )()()()( yyy ++=+

Simplificando queda:

22 10255 yyy ++=+ )(


5.1- (x + 7)2 5.2- (3X/2 + 4/9) 2 5.3- ( a/5 + 5) 2

5.4- (x2 + 3) 2 5.5- (xy + xz) 2 5.6- (Xa+1 + 1) 2

5.7- (a2 b + ac) 2 5.8- (2xy + y2 ) 2

5.9- En un club se desea crear una cancha para la prctica individual de tenis y sedispone de una pared cuadrada de lado x. Los especialistas en ese deportesolicitan que sea ms grande, por lo que se le aadieron 3m a cada lado.Cul es el rea de la nueva pared?

CUADRADO DE UNA DIFERENCIA DE DOS TRMINOS

Se resuelve de la misma forma que el caso del cuadrado de la suma de dos trminos;

slo que para desarrollar este caso hay que tomar en cuenta el signo de los trminos.

Ejemplo N 3:

222 3323 )()()()( ++= xxx

Simplificando:

25

Primer

Trmino

Segundo

Trmino

Primer

Trmino

Segundo

Trmino

Doble

El resultado es un polinomio de tres

trminos: EL primer trmino al

cuadrado, ms el doble del producto

del primer trmino por el segundo, msel segundo trmino al cuadrado

Simplificando el resultado, tenemosque:De esta manera obtenemos el rea dela regin cuadrada:

rea =

Cuadrado del1erTrmino

El Doble delproducto: del 1er

trmino por el 2do

trmino

Cuadrado del2do Trmino

PrimerTrmino

SegundoTrmino

PrimerTrmino

SegundoTrmino

Doble

8/3/2019 73301 Select Lect a 20032007

26/107

7+x

5x

963 22 += xxx )(

Ejercicios propuestos:5.10- (X - 5)2 5.11- (2X/3 - 1/5) 2 5.12- (a/3 - 3) 2

5.13- (X2 - 2) 2 5.14- (Xa-1 - 1) 2 5.15- (2xy - x2 ) 2

5.16- Si a2 + b2 = 13 y a . b = 6 cunto vale (a b) 2?

5.17- Calcula los productos: a) (x a) 2

b) (x + a) 2 Qu relacin existe entre ellos? Por

qu?5.18- Se necesita revestir un piso con cermica, el cual tiene forma cuadrada de

lado x, pero la cantidad de cermica slo cubre una superficie tambincuadrada que tiene de metro menos por cada lado del rea total.Cuntos m2 de cermica se compraron?

5.19- Qu diferencia observas en estos ejercicios? : a) (x a) 2

b) x2 - a2

despus de resolverlos, qu apreciacin tienes al respecto?

EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TRMINO COMN

Ejemplo N 4:

Tenemos una regin de forma rectangular cuyas dimensiones ya conocemos:

Se necesita conocer el rea de la regin.

Sabemos que el rea de un rectngulo se calcula

multiplicando lo que mide de largo por el ancho.

Entonces: rea = )()( 57 + xx

Desarrollarnos este producto de la siguiente manera:

[ ] )()()()( 575757 2 +++=+ xxxx

26

AnchoLargo

TrminoComn

Trminos nocomunes

Trminocomn

Suma detrminos nocomunes

Producto detrminos no

comunes

El cuadrado de una diferencia es igual a:

El cuadrado del primer trmino, menos el doble

producto del primero por el segundo, ms el cuadrado

del segundo

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27/107

De esta manera se obtiene el rea de la regin rectangular:

rea = 3522 + xx

Ejemplo N 5:

Desarrolla el producto: )()( 2393 + xx

2929332393 2 +++=+ )()()()()()( xxxx

Simplificando cada trmino:

22 9333 xxxx == )()()(

xxx 21)7()3()29()3( ==+

182)9( =

Luego:

182192393 2 =+ xxxx )()( El producto de los trminos no comunes

Producto del trmino comn con la suma de los no comunes

El cuadrado del trmino comn


5.19- (x2 + 6) . (x2 2) 5.20- (a3 + 1/5) . (a3 + 2/3)5.21- (y 3/5) . (y + 4) 5.22- (2x - 7) . (2x +2)

5.23- Si se cumple que (x + a) . (x + b) = x2 - 2x + 8 entonces cunto vale a + b?

5.24- Para qu valores de la x se cumple que el producto de:a) (x + 3) porb) (x - 1) es igual a cero?

5.25- Si a un cuadrado cuya rea mide x2 se le suma a un lado 9 cm y en el otro sele resta 2cm, cul ser el rea de la nueva figura?

2.26- Calcule el rea del siguiente rectngulo:

27

El resultado de este producto notable

es un trinomio: El trmino comn al

cuadrado ms el producto del trmino

comn con la suma algebraica de lostrminos no comunes ms el producto

de los trminos no comunes.

Simplificando el resultado, queda:

Trinomio

TrminoComn

Trmino nocomunes

a

8/3/2019 73301 Select Lect a 20032007

28/107

6+x

6x

LA SUMA DE DOS TRMINOS POR SU DIFERENCIA:

Ejemplo N 6:

Se conocen las dimensiones de una regin rectangular:

Largo = 6+x y Ancho = 6x

Tenemos que calcular el rea respectiva:Para hallar el rea de un rectngulo aplicamos laFrmula: rea = Largo x Ancho.o rea = base x Altura

Entonces, rea = )()( 66 + xx

Para desarrollar este producto procedemos de la siguiente forma:

22 )6()()6()6( =+ xxx

Ejercicios propuestos:5.27- (y 3/5) . (y + 3/5) 5.28- (x2 + 6) . (x2 6) 5.29- (a3 + 1/5) . (a3

1/5)

5.30- (x/3 + 2/7) . (x/3 2/7) 5.31- (2x - 7) . (2x +7)

5.32- Si a un cuadrado cuya rea mide x2 se le suma a un lado 5 m y en el otro se

le resta 5 m cul ser el rea de la figura que se origin?

5.33- Calcula el rea de la figura sombreada:

EL CUBO DE UNA SUMA DE DOS TRMINOS:

Ejemplo N 6:

Se debe determinar el volumen de un tanque que tiene forma de cubo, conociendo

sus dimensiones:

Largo = x + 5, Ancho = x + 5 y Alto = x + 5

Para hallar el volumen de un cubo aplicamos la frmula:

Volumen = Largo x Ancho x Alto

28

Suma Diferencia1erTrmino al

cuadrado

2do Trmino alcuadrado

El resultado de este producto notable esun binomio:El cuadrado del primer trmino menos elcuadrado del se undo trmino

Simplificando el resultado:

362 xLuego:El rea de la regin rectangular es:

22 6x

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29/107

5+x

5+x

Como las tres medidas son iguales entonces

Volumen = (Lado)3

Entonces: Volumen = )())( 555 ++(+ xxx

Por Ley de Potenciacin: 35555 )()())( +=++(+ xxxx

Luego:

Volumen = 35)( +x

Para desarrollar esta potencia procedemos as:

35)(+

x = (x + 5)2 . (x + 5) esto por ley de potenciacin y como sabemos calcular el

cuadrado de una suma

35)( +x = (x2 + 10.x + 25) . (x + 5)

35)( +x = x3 + 5.x2 + 10.x2 + 50.x + 25.x + 125 esto por multiplicacin de polinomios

35)( +x = x3 + 15.x2 + 75.x + 125 por agrupacin de trminos semejantes

35)( +x = x3 + 3 . 5. x2 + 3. 52.x + 53

32233 )5()5()(35)(3))5( +++(=+ xxxx

Luego; simplificando cada trmino:

33)( xx = , 22 1553 xx = )()(

1255555 3 ==)( , xxx 7525353 2 == )()(

De esta manera tenemos que:

12575155 233 +++=+ xxxx )(

29

Triple

PrimerTrmino

SegundoTrmino

PrimerTrmino

SegundoTrmino

El resultado de este producto notable es un polinomio: El cubo del primer trmino,ms el triple del producto del primer trmino al cuadrado, por el segundo trmino,ms el triple del producto del primer trmino por el cuadrado del segundo, ms elcubo del segundo trmino.

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30/107

Ejemplo N 7:

Desarrollar el producto notable: 312 )( +x

Si aplicamos el procedimiento anterior; obtenemos:

El cubo del primer trmino (2x) 3

El triple del producto del primer trmino alcuadrado por el segundo trmino

3 . (2x) 2 . 1

El triple del producto del primer trmino porel cuadrado del segundo

3 . 2x . 13

El cubo del segundo trmino 13

Sumando estos trminos

32233 1123123212 )()()()()()()( +++=+ xxxx

Luego, el polinomio se reduce a:

1612812 33 +++=+ xxxx )(


5.34- (x + 3)3 5.35- (3X/2 + 4/5) 3 5.36- ( y/3 + 3) 3

5.37- (x2 + 5) 3 5.38- (xy + xz) 3 5.39- (a2 b + ac) 3

5.40- (2xy + y2 ) 3

5.41- Si el volumen de un cubo es 27 cm3 Cul ser el nuevo volumen si se

aumenta su arista en x unidades?

EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TRMINOS.

Se desarrolla aplicando el mismo procedimiento de el cubo de la suma de dos trminos,slo que en este caso se debe tomar en cuenta el signo de los trminos.

Veamos esto en un ejemplo:

Ejemplo N 8:

30

Simplificando cada trmino del resultado:

* )()()()( xxxx 2222 3 = 38x=* 143123 22 = xx )()( 212x=* 123123 2 = xx )()( x6=* 1111)1( 3 ==

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31/107

Desarrolla el producto notable: 32)( y

En resumen, obtenemos como resultado: El cubo del primer trmino, menos el triple delproducto del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple del producto del primeropor el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo trmino.


5.42- (X 1/2)3 5.43- (2X/3 - 1/5) 3 5.44- (a/3 - 3) 3

5.45- (X2 - 5) 3 5.46- (xy - xz) 3 5.47- (2xy - x2 ) 2

5.48- Compara los siguientes cubos a) (x - p) 3

b) (p - x) 3 Son iguales? Por qu?

5.49- Las cajas para embalaje de mercanca de una empresa tienen forma cbicacon volumen de 125 cm3, con la finalidad de disminuir costos, la empresadecide reducir el tamao del envase restando x unidades (con x < 5) a laarista del cubo original. Qu frmula permite conocer el volumen del nuevoenvase?

5.50- Si a = b + 3 cunto vale (a b) 3 ?

5.51- Simplifica las siguientes operaciones:

a) =++ )()()( 1414123 2 xxx

b) [ ] =+ 294117372 )()()( xxx

c) =+33

6132 )()( xx5.52- Halla la suma de: el doble del cuadrado de la diferencia entre X y 2, con el

triple del producto de la suma de X y 1 por su diferencia.

31

Simplificando cada trmino en el resultado:

* 33)( yy =* 22 623 yy = )()(* )()()( 4323 2 = yy

= y12

* )2()2()2()2( 3 =

8=

Luego; Simplificado cada trmino elpolinomio resultante es:

8126)2( 233 += yyyy

PrimerTrmino

SegundoTrmino

32233 )2()2()(3)2()3)()2( ++(+= yyyy

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32/107

LECTURA N 6: LA FACTORIZACIN COMOHERRAMIENTA DE SIMPLIFICACIN

El procedimiento contrario al producto notable es la factorizacin, el cual es un procesoque consiste en transformar una expresin algebraica en un producto o multiplicacin.Cuando un nmero o cualquier otra expresin no pueden descomponerse en factores, sedice que es un nmero primo.

En las operaciones aritmticas y algebraicas se utiliza mucho el procedimiento de la

factorizacin como herramienta, para simplificar y resolver los ejercicios con menordificultad y mayor rapidez.

Por ejemplo:

Aritmticamente:

5

35

4

1

53

33

3

53

43

3

15

9

3

15

12

3+=

+

=+

5

35

4

1

53

33

3

53

43

3

15

9

3

15

12

3+=

+

=+

En el lgebra:

)5)(5(

)5(

)2)(2(

2

25

5

44

2

2

2

2 +

+

++

+=

+

++

+

xx

xx

xx

x

x

xx

xx

x

)5()2(

1

++

+=

x

x

x

Cada fraccin algebraica est compuesta por expresiones llamadas polinomios, que parafactorizarlos se debe tener en cuenta algunas reglas, un ejemplo de ello es la expresin

"44" 2 ++ xx , que representa un trinomio de cuadrado perfecto. Para factorizar este tipo

32

Observa que hay una suma de fracciones;

tanto en el numerador como en el

denominador de cada fraccin se hizo una

descomposicin en factores con aquellos

nmeros que no son primos, ejemplo: 12 =

3 4, 15 = 3 5 y 9 = 3 3

Luego se cancelaron aquellos factores

iguales en el numerador y denominador de

cada fraccin, simplificndose cada

trmino.

Aqu tenemos otra suma de

fracciones, pero no es aritmticacomo la anterior.

Se hizo una descomposicin en

factores en el numerador y

denominador de cada fraccin. La

expresin no se pudo

descomponer por ser un polinomio primo. Luego, se simplific cada

fraccin cancelando factores iguales

en el numerador denominador.

"2" +x


Santamara, J. (2006). La factorizacin como

herramienta de simplificacin. Artculo nopublicado (pp.1-2). Tinaquillo, Estado Cojedes.

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33/107

de expresin primero se debe estar familiarizado con ella, pues existen muchos casos defactorizacin para ciertos tipos de polinomios.

LECTURA N 7: CMO COMPLETAR CUADRADOS?

Fueron primero los griegos, y luego los rabes, los que utilizaron mtodos geomtricospara dar con la solucin de muchos de los problemas que hoy en da se resuelvenmediante la simbologa algebraica. Por ejemplo, Mohammed al-Khowarizmi propuso,

hacia el ao 825, un mtodo geomtrico para obtener una solucin positiva de unaecuacin cuadrtica.

De acuerdo con lo que l propona, para resolver la ecuacin 3382 =+ xx , sesiguen los siguientes pasos:

Suponemos que xx 82 + es una suma de reas, la cual nos da 33 unidadescuadradas, observemos el grfico:

Luego,

Entonces, al construir cuatro rectngulos, se forma un rea entre todos ello que estrepresentada por:

El rea total de los rectngulos, ms el rea del cuadrado resulta

33

El cuadrado tiene lados de medidas x unidades, para hallar su rea

multiplicamos lo que mide de ancho por lo que mide de largo. As:Largo . ancho = x . x = x2

x

x

xx

xx

2

2

2

2

Observa que se ha construido rectngulos a cada lado del cuadrado,

cuyos lados miden x y 2 unidades, respectivamente (esta medida

2 se obtiene de dividir 8, que es el coeficiente del trmino lineal

8x, entre el nmero de rectngulos).

Al calcular el rea de uno de estos rectngulos resulta:

Largo . Ancho = 2 . x

xxxxx 82222 =+++

3382 =+ xx

Ahora, se construyen cuadrados pequeos en cada esquina de lafigura para completar el cuadrado mayor.

Como podrs darte cuenta cada cuadrito tiene lado igual a 2

unidades, siendo el rea 2 2 = 4 unidades cuadradas.

2

2

2

2


Surez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemticade Educacin Bsica. Editorial Santillana,S.A. (p. 149). Caracas, Venezuela:

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34/107

Entonces, entre los cuatro cuadritos se tiene un rea igual a 4 4 = 16 unidadescuadradas, lo que indica que el cuadrado mayor tiene un rea de: 33 + 16 = 49Luego,

Tenemos un cuadrado cuyos lados miden (2 + x + 2) = x + 4por lo que el rea sera:

Largo . ancho = (x + 4).(x + 4) = (x + 4)2

Pero ya se conoce el rea total que es 49 unidades cuadradasEntonces:

(x + 4)2 = 49 donde despejando el cuadrado nos queda:

494 =+x x + 4 = 7x = 7 4

x = 3

Entonces, volviendo al problema original, el rea del cuadrado delado x es igual a: 3 . 3 = 9 unidades cuadradas

LECTURA N 8: MTODOS DE FACTORIZACIN

La operacin de descomponer en factores los productos notables, tambin se llamaFactorizacin. Es el proceso inverso al desarrollo de los productos notables.

Para factorizar polinomios hay varios mtodos:

FACTOR COMN

Consiste en transformar la expresin dada en un producto, donde uno de los factores escomn entre los trminos y el otro se obtiene al dividir cada trmino de la expresinoriginal entre el factor comn.

Ejemplo N 1: 12x + 3

3.43 + x Descomponemos el nmero 12 en dos factoresy observamos que el 3 es comn en los dos

trminos.

( ) =+ 3.4.33

3x

Multiplicamos y dividimos toda la expresin

por el factor comn

=

+

33

3.4.3.3 x Efectuamos el cociente de cada trmino entreen factor comn

( ) =+14.3 x Esta es la expresin ya factorizada

34

x

x

2

2

2

2

x

x


Ochoa, A. (2007). Mtodos de Factorizacin. Unefa.Artculo no publicado (pp.1-6). Caracas. Venezuela.

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Cuando nos piden sacar factor comn o simplemente factorizar y hay coeficientes confactores comunes, se saca el mximo comn divisor de dichos coeficientes.

Ejemplo N 2: factorizar el polinomio xxx 18123632+

xxx 183612 23 ++Ordenamos y calculamos el mximo comn divisor entre

los coeficientes de cada trmino,

mcd(36,12,18) = 6

xxx 183612 23 ++Como la variable x es comn en los tres trminos,multiplicamos el mcd por la x elevada a la menor

potencia que aparezca. En este caso es elevada a la 1 (6x)

( )xxxxx

183612.6

6 23 ++Multiplicamos y dividimos toda la expresin por este

factor comn

++

xx

xx

xx

x6

18

6

36

6

12.6

23 Efectuamos el cociente de cada trmino entre el factor

comn

( )362.6 2 ++ xxxResolviendo cada cociente:- Se dividen los coeficientes, y- Se aplica la ley de cociente de potencias de igual base

(se copia la base y se restan los exponentes) y as se

obtiene la expresin factorizada por factor comn

Ahora extraeremos factores comunes diferentes por agrupacin de trminos.

Ejemplo N 3: factorizar yxxyx 8463 2 +

( )( )yxxyx 8463 2

+Formamos dos grupos considerando que los dos

primeros trminos son divisibles entre 3x y losdos ltimos entre 4

( ) ( )yxxyxxx

844

463

3

3 2 +Multiplicamos y dividimos las dos expresionespor estos factores comunes

+

4

8

4

44

3

6

3

33

2 yxxxy

xx

xSimplificando

( ) ( )yxyxx 242.3 + Observa que surgi un nuevo factor comn entrelos dos trminos.

( )( ) ( ) ( )[ ]yxyxxyx yx242.3

22 +

Se procede a multiplicar y dividir por el nuevofactor comn

( )( )

( )( )

( )

+

yxyx

yxyxx

yx2

24

2

2.32

Simplificando

( )( )432 + xyx Obtenemos la expresin ya factorizada

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Este caso se basa en la frmula:

a2 b2 = (a + b) . (a b)

35

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36/107

Ejemplo N 4: factorizar x2 9

222 39 = xx Expresamos todos los trminos en cuadrados

( ) ( )3.392 += xxx Tomando en cuenta que la factorizacin es elprocedimiento inverso a producto notable y como

( ) ( ) 22. bababa =+

Ejemplo N 5: factorizar x4 16

( ) 2224 416 = xx Expresamos todos los trminos en cuadrados

( ) ( )4.416 224 += xxx Tomando en cuenta que la factorizacin es elprocedimiento inverso a producto notable y como:

( ) ( ) 22. bababa =+( ) ( ) ( )2.2.416 24 ++= xxxx Como el segundo factor tambin es una diferencia

de cuadrados, se procede a factorizarlo:222 24

=xx

TRINOMIO

Se pueden conseguir tres casos:

Trinomio de la forma x2 + ax + b:

La frmula general viene dada por:

x2 + ax + b y al factorizarlo queda expresada como

(x + n).(x + m) donde n.m = b y n + m = aEjemplo N 6:

1272 + xx- 3 - 4 = - 7(-3).(-4) = 12

Buscamos dos cantidades, tales que su

producto sea 12, ests deben tener el

mismo signo para que el producto sea

positivo, y para que su suma sea -7, deben

ser los dos negativos.

( ) ( )4).(34312722

++=+ xxxx Se sustituyen los coeficientes, una por unaadicin y la otra por una multiplicacin( ) ( )4.324102 =++ xxxx Aplicando la frmula general

Ejemplo N 7:

1272 + xx6 + 4 = 106 . 4 = 24

Buscamos dos cantidades, tales que su suma

sea 10 y su producto sea 24

( ) ( )4.6462410 22 +++=++ xxxx Se sustituyen los coeficientes, una por unaadicin y la otra por una multiplicacin.

( ) ( )4.624102 ++=++ xxxx Aplicando la frmula general.

36

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Ejemplo N 8:

100152 + xx20 + (-5) = 1520 . (-5) = -100

Buscamos dos cantidades tales que su suma sea 15 y su

producto sea -100. Para que el producto sea negativo

deben ser de signos diferentes.

( )( ) ( )( )5.205202410 22 +++=++ xxxx Se sustituyen los coeficientes, una poruna adicin y la otra por una

multiplicacin.

( ) ( )5.2024102 +=++ xxxx Aplicando la frmula general

3.2 Trinomio cuadrado perfecto

Se basa en las siguientes frmulas

( ) 222 2 bababa ++=+ y ( )222 2 bababa +=

Analizamos el procedimiento mediante el ejemplo N 9:

xx 10252 ++25102 ++ xx

X2 ya est en forma de cuadrado

25 = 52

Verificamos si dos de los trminos se pueden

expresar en forma de cuadrado.

( )5.210 xx = Tambin verificamos si el trmino restante se

puede expresar como el doble producto de lasbases de los cuadrados.

( ) 22 52510 +=++ xxx Al cumplir las condiciones, se pasa a factorizarlosegn la frmula.

Ejemplo N 10:

=+ 9124 2 xx

=+ 9124 2 xx

( ) 22 24 xx =( ) 239 =

Verificamos si dos de los trminos se

pueden expresar en forma de cuadrado.

( ) ( )3.2.212 = xx Tambin verificamos si el trmino restantese puede expresar como el doble producto

de las bases de los cuadrados.

( ) ( )( ) 222 33.2.229124 ++=+ xxxx Expresamos el trinomio en cuadrados yproductos.

( )22 329124 =+ xxx Factorizamos aplicando la frmula.

Trinomio de segundo grado ( cbxax ++2

)

Cuando no se cumplen las condiciones de los dos casos anteriores.

37

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38/107

Para la factorizacin de este caso se procede de la siguiente manera:

02 =++ cbxax Se iguala toda la expresin a cero (0).

aacbb

x2

42 =Se calculan los dos valores de x, utilizando la

ecuacin cuadrtica.

( ) ( )212 . xxxxacbxax =++ Se aplica la frmula general.

Ejemplo N 11:

Factorizar el polinomio 3522

+ xx

0352 2 =+ xx

a = 2 b = 5 c = -3

Igualamos a cero y determinamos los valores de a,

b y c.

( )

2.2

3.2.455 2 =x

Sustituimos los valores de a, b y c en la ecuacin

cuadrtica

2.2

24255 +=x

2.2495 =x

Resolviendo lo que est dentro de la raz:

52 = 25

-4 . 2 . (-3) = -8 . (-3) = + 24

4

75 =x

Extraemos la cantidad subradical por ser un

cuadrado perfecto.

2

1

4

2

4

751 ==

+=x

34

12

4

752 =

=

=x

Obtenemos dos valores de la x uno sumando 7 y el

otro restndolo.

As obtenemos:

2

11 =x 32 =x

( )3.2

12352 2 +

=+ xxxx

Reemplazamos los valores en la frmula general.

Recuerda que x-(-3) = x + 3

Regla de Ruffini

38

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39/107

Se aplica para cualquier polinomio que tiene races enteras; es decir, encontrar valoresde x (nmeros enteros) que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.

Por ejemplo, si un polinomio de cuarto grado edxcxbxax ++++234

, tiene cuatro racesenteras, 1

x

, 2x

, 3x

y 4x

se factoriza as:( )( )( )( )

4321

234xxxxxxxxaedxcxbxax =++++

Pero cmo se aplica la regla de Ruffini para obtener las races?

Ejemplo N 12: Factorizar 12164234

+ xxxx

Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del trmino independiente, en estecaso de 12, o sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y 12

Probemos con uno (1)

12164234 + xxxx

1 -4 -1 16 -12 Se copian los coeficientes del polinomio.

1Escribimos el nmero seleccionado a la

derecha (a este lo llamaremos raz).

1 Se copia el primer coeficiente debajo de lmismo.

1 -4 -1 16 -121 1

1 -3

Se multiplica la raz por el primer

coeficiente que se baj y el producto se

copia en la segunda fila debajo del segundo

coeficiente. Luego se efecta la suma

algebraica de las dos cantidades ubicadas

en la columnas donde se coloc elproducto.

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3

1 -3 -4

Se multiplica la raz por el resultado de lasuma algebraica realizada y este producto

se copia en la segunda fila debajo del tercer

coeficiente. Luego se efecta la suma

algebraica de las dos cantidades ubicadas

en las columnas donde se coloc el

producto.

1 -4 -1 16 -121 1 -3 -4

1 -3 -4 12

Se vuelve a multiplicar y sumar el producto

con el siguiente coeficiente.

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 -4 12

1 -3 -4 12 0

Se efecta el ltimo producto y la ltima

suma. Como el resultado final es cero (o),

esto nos indica que el 1 s es una raz del

polinomio y nos sirve para factorizar.

(x 1) . ( 1243 23 + xxx ) Hasta ahora tenemos un producto como seobserva al utilizar los nuevos coeficientesobtenidos.

Si hubiera dado distinto de cero habra que seguir probando los dems divisores de 12.

39

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40/107

De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer gradodebemos intentar seguir factorizndolo.

Probando ahora por 2 y aplicando otra vez la regla queda:

1 -4 -1 16 -121 1 -3 -4 12

1 -3 -4 12 0

2 2 -2 -12

1 -1 -6 0

As hemos conseguido la segunda raz, por lo que el polinomio va quedando factorizadode la siguiente manera:

( ) ( ) 6.2.1 2 xxxx

Ahora seguimos aplicando la regla para encontrar las otras races.

1 -4 -1 16 -12

1 1 -3 -4 12

1 -3 -4 12 0

2 2 -2 -12

1 -1 -6 0

-2 -2 6

1 -3 0

La nueva raz en -2 y el ltimo cociente se toma con la raz -3

La factorizacin final es:

12164234

+ xxxx =( )( )( )( )3221 + xxxx

Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningn resto cero, quiere decir que elpolinomio no se puede factorizar dentro de los nmeros reales.

RESUMIENDO:

Segn como sea el polinomio hay mtodos que se pueden aplicar y otros que no. Seaconseja que se intenten aplicar los cinco mtodos sucesivamente, es decir, en primerlugar se puede extraer el factor comn, y luego se pueden seguir aplicando otros de los

mtodos.


40

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41/107

Factoriza:

6.1- 322 ++ xx 6.2- xaxax 222 +

6.3- xx 4835 6.4- 9124 612 ++ xx

6.5- 304112 23 + xxx 6.6- 133 22 + mxxm

6.7- 18153 2 ++ xx 6.8- 3333 23 +++ xxx

6.9-934

22 yxyx++ 6.10-

9100

42 ba

Calcula el valor de k en:

6.11- ( ) ( ) 352562 34 =+= PsikxxxxP

6.12- ( ) 12521

124

1

824

=

++= PsikxxxxP

6.13-Si el volumen de un paralelogramo viene dado por la frmula: xxxV 65 23 ++= .

Cules podran ser las medidas de las aristas (largo, ancho y altura)?

6.14-Para qu valor de n se cumple que ( )12 = xxxxn ?

6.15-De cuntas maneras podemos factorizar el nmero 64?

41

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UNIDAD 2VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES

LECTURA N 9: NUMERACIN ANTIGUA EGIPCIA

La numeracin egipcia es una de las ms antiguas, data aproximadamente de hace7000 aos, ms de tres mil antes de nuestra era. En el transcurso de los tres primerosmilenios estos smbolos sufrieron cambios insignificantes, fijemos nuestra atencin en la

forma que los egipcios representaban los signos numricos y cmo los escriban.En la numeracin egipcia, existan signos especiales (jeroglficos) para los nmeros: uno,diez, cien, mil, diez mil, cien mil, un milln, cada uno de ellos est representado en lasfiguras que observamos a continuacin:

Estos signos especiales (jeroglficos) eran utilizados por los antiguos egipcios para lanotacin de los nmeros.

Para representar, por ejemplo, el nmero entero 23145, era suficiente escribir en seriedos jeroglficos de diez mil luego tres jeroglficos de mil, uno de cien, cuatro de diez ycinco jeroglficos para las unidades.

Estos smbolos en la escritura, no podan aparecer ms de nueve veces en cada nmero.Este ejemplo es suficiente para aprender a escribir los nmeros tal y como losrepresentaban los antiguos egipcios. El sistema egipcio de numeracin es muy simple yprimitivo, no hay signo alguno para el cero, es un sistema decimal puro puesto que enla representacin de los nmeros enteros, se emplea el principio decimal conforme alorden clase. Se puede notar que cada signo numrico representa solamente un nmero.As, por ejemplo, el signo para las decenas denota solamente diez unidades y no diez

decenas o diez centenas, lo que evidencia por qu el sistema de numeracin egipcio noera posicional.

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Perelman. (2002). Aritmtica recreativa.Traducida por Barros P. Editorial URSS.Antofagasta URSS.

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?

LECTURA N 10 EL VALOR ABSOLUTO Y LOSNMEROS REALES

El valor absoluto de un nmero real, se puede definir como la distancia que existe entredos posiciones simtricamente iguales, partiendo de un mismo punto de referencia; estose puede ilustrar como sigue, tomemos una recta y la enumeramos tanto con valoresenteros negativos como positivos, y luego tomando el cero como punto de referencia,establecemos una distancia tanto a la izquierda como a la derecha:

Vamos a suponer, que un individuo se encuentra en una parada de autobs y decidehacer una llamada telefnica de urgencia desde un telfono pblico. El telfono mscercano se encuentra a cierta distancia a la derecha de donde l est, pero hacia laizquierda est otro telfono exactamente a la misma distancia. La pregunta es: a cul

telfono se dirigir? cul le queda ms cerca?

Segn el grafico anterior, podemos deducir que el individuo se puede dirigir a cualquierade los dos telfonos, pues ambos estn a igual distancia de donde l se encuentra. Esdecir, el valor absoluto de los +4 y -4, nos da el mismo resultado 4. Esto se puederepresentar de la siguiente forma:

44 =+ y ( ) 444 == entonces 44 =+

El valor absoluto de una expresin numrica se suele representar entre barras. De esta

situacin podemos deducir que el valor absoluto de un nmero real cualquiera (positivo onegativo) es el nmero siempre positivo. Ahora bien, definamos esto en trminosmatemticos:

=

x

x

x 0

si

si

si

,

,

,

0

0

0

x

x

x

siendo x cualquier nmero real.

El valor absoluto no slo se aplica a cantidades conocidas, sino tambin a expresionesdesconocidas o algebraicas, para ello es necesario conocer las propiedades que loconforman como estructura matemtica. Entre esas propiedades se encuentra lassiguientes:

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-1-2-3-4 1

Telfono PblicoTelfono Pblico


Santamara, J. (2007). El Valor Absoluto y

los Nmeros Reales. Artculo no publicado(pp.1-2). Tinaquillo, Estado Cojedes.

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1.- El valor absoluto de una adicin de dos nmeros reales cualesquiera, es menor oigual a la suma de los valores absolutos de cada nmero real. En lenguajematemtico esto es:

yxyx ++

siendo x e y dos nmeros reales cualesquiera ),( Ryx

Ejemplo N 1: 5959 ++

594 +

144 se comprueba la desigualdad.

2.- El valor absoluto de una multiplicacin de dos o ms nmeros reales, es igual a lamultiplicacin de los valores absolutos de cada nmero real. En lenguaje matemticosera:

yxyx = , Ryx ,

Ejemplo N 2: 595)9( =

5945 =

4545 =

Probemos ahora con dos nmeros enteros negativos:

Ejemplo N 3: 71)7()1( = 7.17 =

77 =

3.- El valor absoluto de una divisin de dos nmeros reales, es igual a la divisin de losvalores absolutos de cada nmero real. En lenguaje matemtico es:

y

x

y

x= , siendo Ryx , con 0y

Ejemplo N 4:3

21

3

21

=

3

217 =

77 =

Ejercicios propuestos:10.1) A qu es igual 9 ? 10.2) Calcula 31 +

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10.3) A qu es igual ( )92 x ? 10.4) Cunto vale x si xx =+ 12 ?

10.5) Si 052 =+ x entonces x =10.6) Si

( )3

5

223 =

+

xentonces x =

LECTURA N 11: LOS INTERVALOS Y EL CALENDARIO

Los intervalos se han utilizado prcticamente desde los comienzos de nuestra civilizacin,

el hombre mediante la observacin de los fenmenos naturales, comenz a registrar eltiempo a travs de marcas en los rboles o en sus cuevas. Con el tiempo, se estableciel ao de 360 das, dividido en 12 meses y 4 estaciones; pero las civilizaciones queusaban el calendario sealado se percataron de que este clculo no era exacto y tenanque agregar das para predecir el perodo de siembra y cosecha. Fue en el ao 45 AC.cuando el emperador romano Julio Csar fij la duracin del ao en 365 das y orden seacumularan 6 horas por ao, y que cada cuatrienio (4 aos) se aplicar un da ms, locual deba llevarse a cabo en el mes de febrero; as surgi el ao bisiesto.

Aunque el clculo de Julio Csar fue muy aproximado, cometi un error, pues al ao solarno le sobraban 6 horas, sino 5 horas, 48 minutos y 46 segundos. Esta pequeadiferencia no fue grave al principio, pero hacia el siglo XVI (casi 600 aos despus) ya sehaba producido una diferencia tan grande y un desplazamiento de las estaciones, que acausa de ello, el Papa astrnomo Gregorio XIII, en el ao de 1582 determin adelantar alcalendario 19 das para actualizarlo; ste fue ms preciso, apenas tiene un error de 1 da,4 horas y 48 minutos en 4000 mil aos.

El calendario se origina, por la necesidad de registrar el tiempo en funcin de los

intereses de aquella poca. Cabe destacar que el trmino intervalo, utilizado confrecuencia en matemtica, es aplicable para fijar parmetros en los registros del tiempo,cuando se hace referencia a ciertos perodos o momentos que ocurrieron, ocurren oestn por ocurrir, por ejemplo: milenios, siglos, dcadas, aos, meses, das, horas,minutos, segundos, entre otros.

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Surez, E. y Cepeda, D. (2003).Matemticas de Educacin Bsica.Editorial Santillana, S.A. (p.110). Caracas,

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LECTURAN 12: INECUACIN CONTRA ECUACIN

Inecuacin Ecuacin

Es una desigualdad entre dos expresionesalgebraicas, en la cual aparecenconstantes y una o varias variablesdesconocidas llamadas incgnitas.

Es una igualdad entre dos expresionesalgebraicas, en la cual aparecenconstantes y una o varias variablesdesconocidas llamadas incgnitas.

Ejemplos: 52 x ; 122 + yx ;

yx < ; ( ) 02log >+ axEjemplos: 52 =x ; 12

12

=x ;

2

1)( =xsen ; 6= yx .

Si a ambos miembros de una inecuacin seles suma o se les resta un mismo nmero,la inecuacin no se altera.

Si a ambos miembros de una ecuacin seles suma o se les resta un mismonmero, la ecuacin no se altera.

Si se multiplican o dividen ambos miembros

de una inecuacin por un mismo nmerono nulo, resulta que la inecuacin:

No se altera, si el nmero es positivo.

Cambia el signo de desigualdad, siel nmero es negativo.

Si se multiplican o dividen ambos

miembros de una ecuacin por un mismonmero positivo o negativo no nulo, laecuacin no se altera.

Un punto (de la recta, plano,...) es unasolucin de una inecuacin, si al sustituir

las variables por los correspondientesvalores de las coordenadas del punto, ladesigualdad numrica resultante esverdadera.

Un punto (de la recta, plano,...) es unasolucin de una ecuacin, si al sustituir

las variables por los correspondientesvalores de las coordenadas del punto, laigualdad numrica resultante esverdadera.

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Santamara, J. (2007). Inecuacin contra ecuacin.Artculo no publicado (pp.1-2). Tinaquillo, Estado Cojedes.

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LECTURA N 13: CONOCIENDO LAS INECUACIONES

Las inecuaciones forman desigualdades entre dos o ms expresiones algebraicas, dondecada una de estas expresiones pertenecen a miembros de la desigualdad, unainecuacin encuentra solucin en el conjunto de todos los valores de las incgnitas queverifican la desigualdad, dicho conjunto recibe el nombre de Conjunto Solucin y serepresenta generalmente con la letra S. Para realizar cualquier operacin relacionadacon inecuaciones, es necesario conocer las propiedades que rigen las desigualdades.

Veamos cada caso:

1) Si sumamos o restamos un mismo nmero a ambos miembros de una desigualdad,se obtiene otra desigualdad del mismo sentido de la primera.

Ejemplo N 1: 16 > 8 ahora le sumamos 2 a cada trmino

16 + 2 > 8 + 2 se mantiene la desigualdad con el resultado

18 > 10Ejemplo N 2:

- 5 < 8 ahora le sumamos -3 a cada trmino

- 5 + (-3) < 8 + (-3) se mantiene la desigualdad con el resultado

- 8 < 5

2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismonmero positivo, la desigualdad no cambia de sentido.

Los intervalos denotan el conjunto solucin de una inecuacin. Es recomendable y casinecesario graficar dichos intervalos para visualizar el conjunto solucin.

A continuacin podemos observar una tabla que muestra los diferentes intervalosunidimensionales:

47

Si cbcaba +>+> Si cbcaba y c > 0 cbca .. > si ba < y c > 0 cbca .. <

si ba < y c > 0 c

bc

a1.

1. + xx

13.3) 22

3

x13.4)

3

24

2

13 +x , 0)1)(3(

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3= x , esto es; 3+=x o 3=x

Ahora bien, si analizas el grficopodrs observar que hemos tomadocomo solucin el intervalo de larecta que est entre los parmetros

-3 y +3, pues la inecuacin mantuvo constantemente el signo de la desigualdadmenor o igual que ( ), lo cual indica que los valores que satisfacen la inecuacin seencuentran por debajo de la recta internos a la parbola.

Luego; la solucin se expresa de la siguiente manera:

[ ]3,3 +=Sol

-Cuando se trate de una factorizacin:

Se tiene la inecuacin 0562 >++ xx

Entonces; 0562 =++ xx

Es una ecuacin de segundo grado,

Se tiene el polinomio

562 ++ xx

Luego,

( ) ( ) 015 =++ xx

54

La solucin es un intervalo cerrado en ambos extremos, porqueas lo indica el signo de la desigualdad

Lo primero es hacer de la inecuacin una ecuacin;

es decir, cambiamos el signo de la desigualdad por

una igualdad, para encontrar las races oparmetros de los intervalos.

Para resolver una ecuacin de segundo grado es posible

factorizar el trinomio, para ello tenemos que recordar los

procedimientos aplicados en la unidad N 1, de la seleccin

de lecturas en el contenido de factorizacin de trinomios.

Observemos resumidamente cmo se hace:x

x

1

5

xxx 65 =+Las expresiones internas a los rectngulos redondeados se

toman formando una adicin con sus respectivos signos. Luego,

estos binomios se multiplican para establecer nuevamente la

igualdad, de la siguiente manera:

( )5+x

( )1+x

Tenemos una multiplicacin de dos factores desconocidosigualados a cero (0). Para que esta igualdad resulte cero (0)

puede pasar que uno de los factores sea cero (0) o ambos lo

sean. Es decir; en 0=ba , 0=a o 0=b , de acuerdo aesto se tiene que:

-3 +3- +

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( ) 05 =+x ( ) 01 =+x

Luego, despejando la variable en cada igualdad, se obtiene:

5=x 1=x

Te proponemos resolver algunos ejercicios, para que pongas en prctica los

conocimientos adquiridos hasta ahora sobre las inecuaciones cuadrticas:

14.1- 0202 xx 14.2- tt 872 +14.3- 0169 2 + xx 14.4- dd 10212 >+14.5- 012 ) que se hamantenido en la inecuacin hasta el final.

Lo que indica que la multiplicacin de

los dos factores: ( )5+x y ( )1+x essiempre positiva.

- -5 -1 +

Luego, la solucin se expresa de la

siguiente manera:

( ) ( )+= ,15,Sol

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UNIDAD 3GEOMETRA Y TRIGONOMETRA

LECTURA N 15: ALGUNOS SISTEMAS DE MEDIDA

A lo largo de la historia, se han establecido diversas referencias de medida que hanpermitido estandarizar representaciones de longitud, volumen, tiempo, velocidad, en finmltiples formas de medir. En la historia se dice que los romanos utilizaban sus pies paramedir distancias; en las mediciones ms pequeas utilizaban el ancho del dedo pulgar el

cual ellos llamaban unca.

Las longitudes muy largas las medan con pasos. Un paso comprenda dos etapas, una

con el pie derecho y la otra con el pie izquierdo. En las distancias de mayor prolongacinutilizaban las millas, una milla era equivalente a 1000 pasos, de all la palabra millaque proviene del latn mille que significa mil. Las millas, yardas, pies y pulgadas sonmedidas del sistema imperial de medicin; es curioso mencionar que el rey Enrique I(1068-1135) cre una medida que sirviera a todos, era la distancia desde su nariz hastasu pulgar y lo llam yarda.

En nuestros das, una gran cantidad de pases utilizan una medida estndar llamadametro, que es mucho ms extenso que una yarda. L

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