7 statistic
TRANSCRIPT
แบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5
เรอง การวเคราะหขอมลเบองตน ชดท 5
การวดการวดการวดการกระจายของขอมลการกระจายของขอมลการกระจายของขอมล
โดย นายปกรณสทธ อนทรพย
คร โรงเรยนบอกรวทยา ส านกงานเขตพนทการศกษาสพรรณบร เขต 3
133
แบบฝกเสรมทกษะชดท 5.1
การวเคราะหขอมลเบองตน เรอง
พสย (Range)
134
เกรดความรเกรดความรเกรดความร
พสย (Range) คอ คาทใชวดการกระจายทไดจากผลตางระหวางขอมลทมคาสงสดและขอมลทมคาต าสด และเปนการวดการกระจายขอมลทคอนขางหยาบ เพราะเปนคาทค านวณจากคาเพยงสองคาเทานน แตการวดการกระจายโดยใชพสยสามารถวดไดสะดวกและรวดเรวกวาวธอน ๆ สามารถหาไดจากสตร พสย = minmax XX
ตวอยางตวอยางตวอยาง
จากการตรวจสอบความสงของนกเรยนหญงกลมหนงเมอวดเปนเซนตเมตรไดขอมลเปนดงน 159, 157 , 152, 157, 150, 151, 149, 154 จงหาคาพสยจากขอมลชดน จากขอมลดงกลาวนกเรยนคนทสงทสดสง 159 เซนตเมตร และนกเรยนหญง
ทต าทสดสง 149 เซนตเมตร หาคาพสยไดจาก minmax XX ดงนน คาพสยของความสงนกเรยนหญงกลมน = 159 – 149 = 10
149 154 157 152 150 151 159 157
หนสงทสด
หนต าทสด
135
แบบแบบฝกเสรมทกษะท ฝกเสรมทกษะท 55..11
จากตารางขอมลขางลางนใหนกเรยนหาคาพสยโดยเตมขอความลงในชองวาง ใหถกตอง
ขอท ขอมล คาสงสด คาต าสด พสย
1 11, 14, 14, 15, 19, 20, 21, 24, 26, 42 2 20, 35, 150, 80, 10, 9, 36, 15 3 3, 5, 9, 12, 15 4 2, 6, 8, 12, 18, 20, 22, 30, 40 5 9, 14, 6, 8, 12 ,5 ,8, 8, 6, 11 6 2.5, 3.5, 4.5, 8.5, 9.5, 10.5, 12.5 7 11.2, 8.2, 7.2, 12.2, 14.2, 13.2,16.2,
17.2, 18.2, 6.2, 5.2, 4.2
8 150, 152, 154, 156, 158, 160 9 26, 25, 48, 57, 60, 68, 73, 85, 90, 92 10 13 8 9 7 7
14 3 4 5 5 6 15 5 8 1 3 2 1 1 4 16 1 3 2
คะแนนเตม 10 คะแนน
136
แบบฝกเสรมทกษะชดท 5.2
การวเคราะหขอมลเบองตน
เรอง
สวนเบยงเบนมาตรฐาน
21
2
XN
XN
i
i
N
XXN
i
i
1
2
X N
X S.D. = s = ????
137
เกรดความรเกรดความรเกรดความร สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation) เปนคาทใชวดการกระจายของขอมลทไดจากการหารากทสองของคาเฉลยยกก าลงสองของผลตางระหวางคาของขอมล แตละคากบคาเฉลยของขอมลชดนน ซงเปนวธการวดการกระจายทนยม และเชอถอไดมากทสด
หาไดจากสตร s =
N
XXN
1i
2
i
หรอ สตร s = 2
N
1i
2i
XN
X
หรอเขยนในรปยอไดดงน
s = N
)XX(2
หรอ s = 22
)X(N
X
สรปไดวา สวนเบยงเบนมาตรฐานเปนการวดการกระจายของขอมล ทค านวณจากขอมลทกตวโดยหาวา โดยเฉลยแลวขอมลแตละคาอยหางจากคาเฉลย (X ) ของขอมลชดนนมากนอยเพยงใด กลาวคอ ถาขอมลทกตวมคาเทากนหมด คา s เทากบ 0 แสดงวาขอมลไมมการกระจายเลย ถาขอมลแตละตวมคาใกลเคยงกน จะมคา s นอยไปดวย แสดงวาขอมลมการกระจายนอย ถาขอมลแตละตวมคาแตกตางกนมาก จะมคา s มากไปดวย แสดงวาขอมลมการกระจายมาก
ตวอยางตวอยางตวอยาง
จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล 5, 6, 6, 6, 7, 8
วธท า 1) หา X กอน จากสตร X = N
X
= 6
876665
= 6
38
= 6.3
138
2) หา XX และ 2XX จากตาราง ดงน
คา X XX 2XX
5 5 - 6.33 = 1.33 233.1 = 1.77 6 6 – 6.33 = - 0.33 233.0 =0.11 6 6 – 6.33 = - 0.33 233.0 =0.11 6 6 – 6.33 = - 0.33 233.0 =0.11 7 7 – 6.33 = 0.67 267.0 = 0.45 8 8 – 6.33 = 1.67 267.1 = 2.79
2XX 5.34
3) หา s จากสตร s = N
)XX(2
แทนคา s = 6
34.5
= 89.0 = 0.94 สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล เทากน 0.94
139
หรอ หาจากสตร s = 22
)X(N
X
โดยหาคา 2X จากตารางตอไปน
คา X 2X 5 5 5 = 25 6 6 6 = 36 6 6 6 = 36 6 6 6 = 36 7 7 7 = 49 8 8 8 = 64
2X 246
หาคา 33.633.6X2
= 40.07 แทนคาสตร s = 22
)X(N
X
s = 07.406
246
s = 07.4041 s = 93.0 s = 0.96 เมอน าคาทงสองสตรมาเทยบแลวจะใกลเคยงเนองจากคา X เปนคาไมลงตว ทจรงแลวจะได 6.33… จะท าใหเกดคาผดพลาดเลกนอย ดงนนเราจงนยมหาจากสตรแรก
แบบฝกเสรมทกษะแบบฝกเสรมทกษะแบบฝกเสรมทกษะททท 555...222
สวนเบยงเบนมาตรฐานกคอการวดการกระจายของผลตางระหวางคาของ
ขอมลหรอเปลา
140
5.2.1 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของอายบตรครอบครวหนงซงมดงน 3, 5, 11, 13, 18 (โดยใชสตรแรกสตรเดยว) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… คะแนนเตม 10 คะแนน 5.2.2 ใหนกเรยนหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน ของขอมลแตละขอตอไปนเตมลงในชองวางใหถกตองสมบรณ
141
ขอท
ขอมล X 2XX สวนเบยงเบนมาตรฐาน (s )
Ex 2, 3, 5, 4 4
14 = 3.5 2.25+0.25+2.25+0.25 = 5
25.14
5 = 1.12
1 4, 5, 6, 9
2 3, 4, 5, 6
3 1, 3, 6, 4, 8, 3, 5, 2
4 2, 4, 7, 5, 9, 4, 6, 3
5 13, 9, 14, 6, 8, 11, 5, 8, 8, 6, 11, 9
6 3, 5, 7, 9
7 6, 8, 4, 2, 7, 3
8 2, 4, 14, 15, 20, 53, 71, 101
9 5.2, 1.8, 7.1, 7.1
10 157, 156, 160, 156, 175, 160, 156
คะแนนเตม 10 คะแนน
142
แบบฝกเสรมทกษะชดท 5.3
การวเคราะหขอมลเบองตน
เรอง
ความแปรปรวนความแปรปรวนความแปรปรวน
2
N
XX2s
3, 4, 6, 7,..., 5
143
เกรดความรเกรดความรเกรดความร
ความแปรปรวน (Variance) เปนคาสวนเบยงเบนมาตรฐานยกก าลงสอง ซงความแปรปรวนสามรถใชวดการกระจายของขอมลได ใชสญลกษณ 2s หรอ 2.D.S หมายความวา คาเฉลยของก าลงสองของความแตกตางของขอมลแตละตวทแตกตางไปจากคาเฉลยของขอมลชดน น ซงสวนเบยงเบนมาตรฐานเปนรากทสองของความแปรปรวน
ตวอยางตวอยาง
ก าหนดขอมลเปน 3 5 7 9 11 จงหาความแปรปรวนของขอมลชดน
วธท า วธท 1 ใชสตร 22
N
XXs
X N
X
5
119753
2s 5
7117977757322222
5
1640416
8 วธท 2 ใชสตร 2
22 X
N
xs
222222 119753X
285 แทนคา 22 7
5
285s
4957 8
144
แบบฝกเสรมทกษะท แบบฝกเสรมทกษะท แบบฝกเสรมทกษะท 555...333
ใหนกเรยนหาคาความแปรปรวนของขอมลแตละขอตอไปน แลวเตมลงในชองวางใหสมบรณ
ขอ ขอมล N X 2
XX
ความแปรปรวน
2s Ex. 5, 7, 8, 4 4 6 222
686765 + 264 = 1+1+4+4 = 10
4
10 = 2.5
1 12, 13, 17, 18
2 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
3 2, 4, 8, 16, 32, 64, 7
4 8, 6, 32, 64, 128, 254
5 10, 20, 30, 40, 50
คะแนนเตม 10 คะแนน
145
แบบฝกเสรมทกษะชดท 5.4
การวเคราะหขอมลเบองตน
เรอง
“““ TTThhheee 999555%%% RRRuuullleee ”””
146
เกรดความรเกรดความรเกรดความร ขอมลโดยทวไปจะมการแจกแจงปกตหรอแจกแจงขอมลตามธรรมชาต ซงมคณสมบตทส าคญประการหนงซงจ านวนขอมลอยในชวง s2X มประมาณ รอยละ 96 ของจ านวนขอมลทงหมด “The 95% Rule” กลาววาโดยทวไปไมวาขอมลจะมการกระจายในลกษณะใดจะมขอมลอยประมาณ 95% ของขอมลทงหมดอยในชวง
s2X ดงตวอยางตอไปน
ตวอยางตวอยางตวอยาง
ตวอยางท 1 จากแผนภาพตน – ใบ ตอไปน จงตรวจสอบวามขอมลอยในชวง s2X และ s2X ประมาณ 95% จรงหรอไม
0 6 7 0 1 0 2 4
2 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 3 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 5 6 8
วธท า คาเฉลยเลขคณต X เทากบ 27.78
คาสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 9.17 เมอพจารณาจ านวนทอยในชวง s2X,s2X
44.917.9278.27s2X 12.4617.9278.27s2X จะพบวามขอมลทมคาต ากวา 9.44 s2X อยสามขอมลไดแก 6, 7, และ 8 และมขอมลทมคาสงกวา 46.12 s2X อยหนงจ านวน คอ 48
ขอมลทมคาอยระหวาง s2X และ s2X มทงหมด 40 – 4 หรอ 36 ขอมลซงคดเปน 90% ของขอมลทงหมด
147
สรปไดวา ประมาณ 90% ของขอมลทงหมด ตกอยในชวง s2X ถง s2X ซงไมเปนตาม “The 95% Rule” เพราะวาขอมลมจ านวนนอยเกนไป
ตวอยางท 2 จากขอมลคะแนนสอบของนกเรยน 200 คน ทมคะแนนเตม 100 คะแนน เปนดงน จงแสดงวามขอมลประมาณ 96% อยในชวง s2X
49 50 52 54 55 56 56 56 57 57 57 57 58 58 58 58 58 58 58 59 60 60 60 61 61 61 61 61 61 62 62 62 62 62 62 62 63 63 63 63 63 63 63 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 65 65 65 65 65 65 65 65 66 66 66 70 70 70 70 70 70 70 71 71 71 71 72 72 72 72 72 73 73 73 73 73 73 73 73 74 74 74 74 74 75 75 75 75 75 76 76 76 76 76 76 76 76 76 76 77 77 77 77 77 78 78 78 78 79 79 79 79 79 79 79 79 79 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 82 82 83 83 83 83 83 83 83 83 84 84 84 85 85 85 85 86 87 87 87 87 88 89 90 90 90 90 90 91 91 92 93 94 94 95 96 98
วธท า คาเฉลยเลขคณต X เทากบ 72.3 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน s เทากบ 10.3 คะแนน เมอพจารณาจ านวนขอมลทอยในชวง s2X,s2X
7.513.1023.72s2X 9.923.1023.72s2X จะพบวามขอมลทมคาต ากวา 51.7 s2X อยสองขอมลไดแก 49 และ 50และมขอมลทมคาสงกวา 92.9 s2X อยหกขอมลไดแก 93, 94, 95, 95 และ 98ดงนนขอมลทมคาอยระหวาง X - 2s และ X + 2s มทงหมด 200 – 8 หรอ 192 ขอมล ซงคดเปน 96% ของขอมลทงหมด สรปไดวา ประมาณ 96% ของขอมลทงหมดทเปนคะแนนของนกเรยน 200 คนตกอยในชวง X - 2s ถง X + 2s
148
แบบฝกเสรมทกษะท แบบฝกเสรมทกษะท แบบฝกเสรมทกษะท 555...444 ขอมลตอไปน แสดงคะแนนสอบของนกเรยนจ านวน 50 คน
80 52 67 59 60 79 62 65 52 90 64 87 65 64 50 71 72 64 71 67 40 56 74 69 97 67 81 77 77 57 35 86 71 99 88 43 54 48 68 77 93 70 84 68 68 63 47 56 66 57 78 จงใชขอมลนตอบค าถามขอ 1 - 6
1. คาเฉลยเลขคณต X ของขอมลชดนเทากบ…………………………………
2. คาสวนเบยงเบนมาตรฐาน s ของขอมลชดนเทากบ………………………. 3. ขอมลทมคาต ากวา s2X มคาเทากบ................ ม………..ขอมล
คอ………………………….. 4. ขอมลทมคาสงกวา s2X มคาเทากบ...............ม………..ขอมล
คอ…………………………. 5. ขอมลทมคาอยระหวาง s2X และ s2X ม……………………ขอมล 6. คะแนนสอบของนกเรยนตกอยในชวง s2X ถง s2X มทงหมด
..................................ขอมล คดเปนรอยละ…………..ของขอมลทงหมด 7. สรปไดวาเปนตาม “The 95% Rule”หรอไม………………...
เพราะวา……………………………………………..
คะแนนเตม 12 คะแนน
เธอคดวาความเสยงตอการลงทนของครอบครวเราตกอยในชวง s2X
ถง s2X หรอเปลาเอย
149
2. จงเตมขอมลในตารางใหสมบรณ
ขอท คา X ของขอมลชดหนง
คาสวนเบยงเบนมาตรฐาน
(s)
หาคาของ
s2X
หาคาของ
s2X
ตว อยาง
60.7 2.15 = 15.227.60 = 65
= 15.227.60 = 56.4
1 77.6 12.2 2 33.78 10.11 3 78 9.13 4 87.5 6.1
5 54.77 7.21
6 88.77 5.76 7 159.5 12.6 8 436.2 15.17 9 49.15 11.7 10 37.7 1.92
ใหคะแนนเตม 10 คะแนน
150
แบบฝกเสรมทกษะชดท 5.5
การวเคราะหขอมลเบองตน
เรอง
ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ คากลางและการกระจายขอมล
การกระจายขอมล
คากลาง
151
B A ฤ
เกรดความรเกรดความร โดยทว ๆ ไปเสนโคงปกตของการแจกแจงความถ แบงออกได 3 ลกษณะ คอ
1) เสนโคงปกตหรอรประฆงคว า (Normal distribution) ขอมลทมเสนโคงความถเปนเสนโคงปกต จะมคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และ ฐานนยมเทากน
2) เสนโคงเบทางขวา หรอทางบวก (Right-skewed distribution) คอ เสนโคงทสวนของเสนโคงมความชนนอยอยทางดานขวา คาเฉลยเลขคณตมคามากทสด รองลงมา คอ มธยฐาน และฐานนยม ตามล าดบ
3) เสนโคงเบทางซาย หรอทางลบ (Left-skewed distribution) คอ เสนโคงทสวนของเสนโคงทมความชนนอยอยทางดายซาย คาเฉลยเลขคณตมคานอยทสด ถดขนไป คอ มธยฐาน และฐานนยม ตามล าดบ
ตวอยางตวอยางตวอยาง
จงอธบายความสมพนธของคากลางจากรปทงสามน
1 2
3 4
จากรปท 1 คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม อยทจดเดยวกน คอ จดทมความถสงสด นนคอ X Mdn Mod ดงนนจงเปนเสนโคงปกต
152
จากรปท 2 เสนโคงทสวนของเสนโคงมความชนนอยอยทางดานขวา แสดงวา คาเฉลยเลขคณตมคามากทสด รองลงมา คอ มธยฐาน และฐานนยม ตามล าดบนนเอง นนคอ X > Mdn > Mod ดงนนจงเปนเสนโคงเบขวา จากรปท 3 เสนโคงทสวนของเสนโคงทมความชนนอยอยทางดายซาย แสดงวา คาเฉลยเลขคณตมคานอยทสด ถดขนไป คอ มธยฐาน และฐานนยม ตามล าดบ นนคอ X < Mdn < Mod ดงนนจงเปนเสนโคงเบซาย สวนรปท 4 เปนเสนโคงปกต 2 เสน แตมการกระจายตางกน นนคอ ขอมลชด B มการกระจายมากเนองจากเสนโคงปกตจะมความโดงนอย หรอคอนขางแบน สวนขอมลชด A มการกระจายนอยเนองจากเสนโคงปกตจะมความโดงมาก ขอสงเกต
1. เสนโคงของความถเบทางใด คาเฉลยเลขคณตจะอยทางนน และมธยฐานจะอยระหวางคาเฉลยเลขคณต กบ ฐานนยม
2. ใชสญลกษณ X แทน คาเฉลย Mdn แทน มธยฐาน Mod แทน ฐานนยม
แบบฝกเสรมทกษะแบบฝกเสรมทกษะแบบฝกเสรมทกษะท ท ท 555...555
ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบทถกตอง ลงในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ
A B C D E
รปท 1 ใชตอบค าถามขอ 1 - 4
153
1. คาเฉลยเลขคณต อยตรงกบต าแหนง…………………………… 2. คามธยฐาน อยตรงกบต าแหนง………………………………… 3. คาฐานนยม อยตรงต าแหนง…………………………………… 4. เปนเสนโคงความถประเภท……………………………………
5. คาเฉลยเลขคณต อยตรงกบต าแหนง……………………………… 6. คามธยฐาน อยตรงกบต าแหนง…………………………………… 7. คาฐานนยม อยตรงต าแหนง……………………………………… 8. เปนเสนโคงความถประเภท………………………………………
9. คาเฉลยเลขคณต อยตรงกบต าแหนง……………………………… 10. คามธยฐาน อยตรงกบต าแหนง……………………………………
A B C D E
A B C D E
รปท 2 ใชตอบค าถามขอ 5 - 8
รปท 3 ใชตอบค าถามขอ 9 - 12
154
11. คาฐานนยม อยตรงต าแหนง……………………………………… 12. เปนเสนโคงความถประเภท……………………………………….
13. จากรปจงเรยงอกษรทมการกระจายของขอมลจากนอยไปหามาก …………………………………………………………………………
D
E
F
รปท 4 ใชตอบค าถามขอ 13
คะแนนเตม 13 คะแนน
เธอตองชวยอธบายใหเราเขาใจนะ
จะไดท าคะแนนไดมากๆ เพอทจะไดแสดงความกตญญตอพอและแมทสงใหเรามาเรยน