REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD FERMIN TORO FACULTAD DE INGENIERIACABUDARE ESTADO LARA

ANLISIS DE CIRCUITOS ELCTRICOS DE CORRIENTE ABIERTA: Teorema de Malla y Principio de Superposicin

MARIYULY CAMARGO COLINA C.I 16.951.818DAVID ELIEZER GUERRERO C.I. 17.330.334ALFONSO CASTILLO

C.I. 19.849.727

ARGENIS PINTO C.I 11.646.863

FEBRERO, 12 DE 2.011

La abreviatura AC significa corriente alterna. Esta se podra referir a cualquier tipo de alternancia, pero el tipo especfico de forma de onda alterna que se presenta con ms frecuencia en el anlisis de circuitos es la senoide. Y una de las tareas ms importantes del anlisis de circuitos es determinar la respuesta de estado estacionario forzada por una excitacin senoidal despus de que la respuesta natural desaparece. Por consiguiente, de acuerdo con la prctica comn, diremos que un circuito de corriente alterna es un circuito lineal estable que opera con excitacin.

Los circuitos de corriente alterna han sido por mucho tiempo el sustento diario de la ingeniera elctrica y electrnica en la distribucin de energa, iluminacin, productos de consumo y sistemas industriales. Adems, la comprensin de los conceptos de los circuitos de corriente alterna es un prerrequisito esencial para miles de temas que van desde dispositivos electrnicos y la maquinaria rotatoria hasta el control automtico, las comunicaciones y el procesamiento de seales.

Por lo tanto, nuestro estudio de los circuitos de corriente alterna tiene tanto aplicaciones inmediatas como subsecuentes. Fundamentalmente, el anlisis de circuitos de corriente alterna incluye las intimidantes tareas de formular ecuaciones diferenciales para los circuitos y luego calcular las soluciones particulares con excitaciones senoidales. Sin embargo, trabajaremos con tcnicas ms convenientes que reducen los problemas de circuitos de corriente alterna a manipulaciones algebraicas relativamente simples.

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ANALISIS DE CORRIENTE DE MALLA Y VOLTAJE DE NODO

El anlisis de circuitos en el dominio de la frecuencia sigue el mismo procedimiento que se utiliza en los circuitos resistivos; sin embargo, se emplean impedancias y fasores en lugar de resistencias y funciones en el tiempo. Como la ley de Ohm puede usarse en el dominio de la frecuencia, se emplea la relacin V = ZI para los elementos pasivos y se procede con las tcnicas del voltaje de nodo y la corriente de malla.

1.- Ejemplo de anlisis de Malla:En la siguiente figura aparece un circuito con =10rad/s, L =0.5H yC=10mF. Determinar el voltaje de nodo v en su forma senoidal estable cuandoel voltaje de la fuente es Vf =10 cos(t)V.

Solucin:

El circuito tiene una fuente dependiente entre dos nodos, por lo que se identifica un supernodo como se muestra en la figura, donde tambin aparece la impedancia de cada elemento en forma fasorial.

Vf

As, la impedancia del inductor es ZL = j = 5De igual forma, la impedancia del capacitor es:

1 = =

10= 10

Primero, se nota que Y1 =

11

= 1100

. Ahora se desea conjuntar las dosadmitancias en paralelo para que R2 y C den una admitancia Y2 como semuestra a continuacin:

Entonces obtenemos

Y2 =

1 + 1 =2

1 + =

110 10

1 (1 + )10

Y3 puede obtenerse de la resistencia y la inductancia en serie como:

Donde Z3 = R3 + ZL = 5 + 5j

Por lo tanto, se tiene

Y3 =3

Y3 =

1 =5+ 5

1 (5 5)50

Aplicando la LCK en el supernodo de la figura del circuito anterior, Y1 (V - Vf) + Y2V + Y3 (V + 10I)= 0

Adems, se denota:

Sustituyendo la ecuacin

I = Y1 (Vf - V)

I = Y1 (Vf - V) en la Y1 (V - Vf) + Y2V + Y3 (V + 10I) = 0

se obtiene

Reordenando,

Y1 (V - Vf) + Y2V + Y3 [V + 10Y1 (V - Vf)]= 0

(Y1 + Y2 +Y3 10Y1Y3)V = (Y1 10Y1Y3) Vf

En consecuencia,

V = 1 10 1 3 1 + 2 + 3 10 1 3

Dado que,

Vf = 20

se obtiene

1 1 5 5 10V = 10 50 = 1(1 ) = 10 1 + 1 (1+ )

1 (2+ )

2+10 10 10

Por tanto, se tiene

= ( + , )

2.- Ejemplo de anlisis de Malla:

Determinar la corriente en estado estable i1, cuando la fuente de voltajees Vf = 10 2 cos ( t + 45) V y la fuente de corriente es if = 3cos A en elcircuito de la figura. En esta figura aparece la impedancia en ohms para cadaelemento a la especificada.

+ Vf-

Solucin:

Primero se transforman las fuentes independientes a la forma fasorial. La fuente de voltaje esVf = 10 245 = 10(1 + )

Y la fuente de corriente es

If = 30Se observa que la corriente conecta a las dos mallas y produce una ecuacin restrictiva

I2 I1 = If

Creando una supermalla alrededor de la periferia de las dos mallas, se escribe una ecuacin de la LVK, obteniendo

I1Z1 + I2 (Z2 + Z3) = Vf

I1Z1 + (If + I1) (Z1 + Z3) = Vf

(Z1 + Z2 + Z3)I1 = Vf (Z2 + Z3) If

I1 =

( 2 + 3 )1 +2 +3

Sustituyendo las impedancias y las Fuentes

I1 =

10+ 10 2 2 32

= 2 + 2 = 8,2576

En consecuencia, el resultado esi1 = , +

3.- Ejemplo de anlisis de Malla:

Determinar la corriente senoidal de estado estable i1 en el circuito de lafigura cuando v 10 2 cos (t 45)V y = 100 rad/s. Adems, L= 30 mH yC = 5 mF.

Solucin:

Primero se transforma el voltaje de la fuente a su forma fasorialVf = 10 245 = 10 + 10Ahora se definen las dos corrientes de mallas como i1 e i2, como se muestran acontinuacin:

Puesto que la frecuencia de la fuente es = 100 /, se determina que lainductancia tiene una impedancia de

1 1 =

= 12

= 2

Entonces se pueden resumir las corrientes fasoriales del circuito y la impedancia de cada elemento dibujando el circuito en trminos de fasores. Ahora pueden escribirse las ecuaciones de la LVK para cada malla, obteniendo:

Malla 1: (3 + j3) I1 j3 I2 = Vf

Malla 2: (3 j3) I1 (j3 j2) I2 = 0

Despejando I1 con la regla de Cramer, se tiene:

I1 =

10 + 10

Donde el determinante es: = 3 + 3 + 3 3 3 = 6 + 12En consecuencia,

I1 =

10 106 + 12

Prosiguiendo, se obtiene: I1 =

10 ( 1) =6 (1 + 1 )

10( 2135 6( 563,4)

= 1,0571,6

Entonces, la respuesta de estado estable en el tiempo es:

i1 = 1,05 cos (100t + 71,6) A

EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN

En los circuitos lineales con ms de una fuente independiente, la propiedad de la linealidad hace posible el anlisis de estos circuitos sumando las respuestas debidas a cada fuente por separado esto quiere decir que la respuesta general de un circuito que contiene varias fuentes es la suma de las repuestas a cada fuente individual, eliminando las otras fuentes.

Esto se conoce como el principio de superposicin, en donde las fuentes de corrientes se eliminan o son fijadas en cero, reemplazndolas con circuitos abiertos y las fuentes de voltaje se sustituyen con circuitos cerrados.

En cuanto a el poder total disipado por un elemento de un circuito lineal en general no es la suma de los poderes por separado debidos a cada fuente. Esto se debe a que la potencia es una funcin no lineal de las variables de circuito corriente y voltaje. El uso de la superposicin est limitado a clculo de corrientes y voltajes en circuitos lineales.

La superposicin es una poderosa herramienta que nos permite resolver corrientes y voltajes en circuitos lineales que contienen varias fuentes al aadir superponer voltajes y corrientes componentes.

En relacin con lo antes expuesto este principio se aplica a los circuitos lineales de CA de la misma manera que se aplican que los circuitos CD.

En los circuitos en estado estable AC que contienen fuentes mltiples con la misma frecuencia, no puede calcularse la potencia superponiendo las potencias debido a las fuentes se encuentran por separado. Esto finalmente se aplica a todas la forma de potencia: instantnea, media reactiva o compleja. La superposicin puede utilizarse para obtener corriente voltajes pero no para fuentes con la misma frecuencia estos componentes deben superponerse antes de calcular la frecuencia.

En otras palabras este teorema rige la potencia promedio cuando las fuentes son de frecuencia distintas. De esta forma para calcular la potencia promedio P en estado estable ac de un circuito excitado por fuentes en dos o ms frecuencias en donde se calcula la frecuencia promedio para cada frecuencia separadamente y luego se agrega . De igual forma de se puede obtener la potencia reactiva Q cuando las fuentes son de frecuencias distintas.

Cuando los fasores pueden superponerse (w1 = w2), no puede aplicar lo mismo con P y Q y cuando los fasores no puedan superponerse (w1w2), esto quiere decir que el teorema funciona para P y q

La superposicin, en el caso de fuentes que operan a 2 o ms frecuencias se aplica solo a respuestas en el tiempo. No se pueden superponer las respuestas fasoriales. Esto quiere decir que la respuesta total se debe obtenerse sumando las repuestas individuales en el dominio del tiempo.

1.- Ejemplo utilizando el teorema del principio de Superposicin

Usando el principio determinar la corriente de estado estable i en el circuito de la figura.

R1= 5 vf = 10 cos 10 t v

C=10 mf if =3A R2= 10 L= 1,5 H

5 1,5 H

I1+

-

10 cos 10 t V

10 mf

10

3 A

SE RESOLVERA EL EJERCICIO PASO A PASO

Paso 1: Se cambian las fuentes independientes a FUENTES fasoriales (polar), siempre y cuando trabajen en diferentes frecuencias para que pueda cumplir el teorema de superposicin.

Para la fuente de voltaje trabaja = 10 rad/s. Representado de la forma fasorial o (polar ) = 10 0

En el caso de la fuente de corriente directa por lo tanto el valor de = orad/s. representado en la forma fasorial o polar if= 3 0

Paso 2: Ahora se le realiza el cambio de los elementos del circuito identificando el dominio de la frecuencia usando impedancia y fasores. Para ello se utilizaron las siguientes formulas:

Frmula para las resistencias

Sustituyendo las formulas Z1= 5

Z1= 5

Y lo mismo ocurre la resistencia de R= 10 = z= 10

Frmula para el inductor o la bobina

Sustituyendo las formulas Z= j *10 rad/s * 1,5 H = j 15

Z2== j 15

Frmula para el capacitorSustituyendo las formulas Z= = -j 10

Z3= - j 10

Despus de haber convirtiendo las fuentes de corriente, fuentes de voltaje en su representacin fasorial y los elementos del circuitos a impedancia y fasores, se muestra el dibujo con los cambios realizados en el paso 1 y paso 2 .

5

j 15

10 0 +-

j10

10

3 0

Paso 3: Eliminacin de fuente de corriente

Se elimina la fuente de corriente ya que trabaja de forma individual y se sustituye por un circuito abierto a travs del resistencia de 10 . Es por ello que se utiliza la fuente de voltaje para obtener la intensidad de corriente I1.

En el circuito se observa que la impedancia del capacitador y la impedancia de la resistencia se encuentran en paralelo se obtiene laimpedancia equivalente

Zeq34=

10 Z 4 10 + Z 4

= 5 (1-j)

Ahora se calcula la intensidad de corriente I1. Utilizando la siguiente formula.1 = = = ++

++()

La corriente en el dominio del tiempo tiene como resultado utilizando lafuente de voltaje es:

0.71cos10 45

Paso 4: Eliminacin de la fuente de voltaje

Al desactivar la fuente de de voltaje ocurre un corto circuito, esto con lleva a colocar en cero la fuente de voltaje y por eso ocurre el corto. En cuanto a la impedancia del capacitador se convierte en un circuito abiertoporque 1 = . Sin embargo la impedancia del inductor o bobina seconvierte en corto circuito. A continuacin se muestra la figura

Se procede a calcular la intensidad de corriente 2

2 =

1010 + 5

3 = 2

Por tanto, usando el principio de superposicin, la corriente total de estado estableIt 0.71cos10t 452A

2.- Ejemplo del principio de Superposicin

figura:

Determinar la potencia promedio adsorbida por la resistencia en la

Paso 1: Se convierten las fuentes y los elementos del circuito de forma fasorial = 4 / = 2 /

320 V+

-

j 8

1 220 A rms

-j1 2

Paso 2: Elimnanos la fuente de corriente

Paso 3: Elimnanos la fuente de voltaje

j 4

I11 220 A

-j 1

Ahora debemos calcular sus respuestas individuales de circuitos

fasoriales distintos.

I1= 220 15 2 1+ 15 2

= 1.4027.6

Calculo de la potencia en = 4

1 = 1 2 = 1 2 = 1 1.40 2 = 1.96 Para = 2 :

2 =

3 201 + 3

= 1.34 71.6

Para el clculo de la potencia:2 = 2 2 = 1 1.34 2 =1.80 WLa potencia promedio absorbida por la resistencia es:

1.96 +1.80 = 3.76 W