6 area bajo una curva

7/27/2019 6 Area Bajo Una Curva

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Programa de Administración de EmpresasMag. Erwin Maury Mancilla

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICOFACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

3.7 Definición del área de una región planaSabemos que en la suma ∑ , representa la suma de los n rectángulos. Si la norma de la partición, ‖‖ tiende a cero y si f ( x) es positiva, esta suma puede interpretarse como una suma de áreas de

rectángulos. Entonces:

‖‖

∫

Por lo tanto:

Teorema:

Ejemplo 1: Obtener el área limitada por la curva y = x2 +2 x, por el eje X, y por las rectas x = 0 y x = 1. Ver figura 1

Solución:

De acuerdo a la gráfica el intervalo de integraciónes [0, 1]. Por lo tanto,

∫

(

)

∫

Si f es una función integrable y f ( x) ≥ 0 para todo x en [a, b], entonces el área Ade la región bajo la gráfica de f entre a y b es

x =

1

(1,3)

(0,0)

Fig. 1




Ejemplo 2: Determinar el área limitada por la curva x2 y = x

2 – 4, el eje X, y las rectas x = 2 y x = 4 (ver figura 2)

∫

∫ (

)

Ejemplo 3: Encontrar el área que, en el primer cuadrante está delimitada por el eje X y por lacurva y = 6 x + x

2 – x3 (Ver figura 3)

∫

( )

EJERCICIOS

En los ejercicios del 1 al 10, calcule el área de la región acotada por las curvas y dibuje la gráfica.

√ , el primer cuadrante, el eje X y la recta x = 2.

x = 2

x = 4

Fig. 2

(0,0) (3,0)

Fig. 3




2. y = 4 – x2, el eje X 3. y = x2 – 2x +3; el eje X ; x = – 2; x = 1

4. y =6 – x – x2; el eje X 4. √ ; eje X , eje Y ; x = 8

6. √ ; x = 1; x = 16 7. y = 2x +1; x = 0; x = 4

8. y = 3 x2; x = 1; x = 3 9. y = 3 – x2 + 4 x; el eje X .

10. y = 4 x – x2; el eje X .

3.8 Interpretación de áreas negativasEn la definición de área dada anteriormente

∫

se ha supuesto que f ( x) es una función continua positiva entre a y b. Si f ( x) es negativa entre a y b, es decir,la gráfica de f ( x) queda por debajo del eje X, el valor de la integral

∫

entonces es negativa. Las áreas situadas bajo el eje X se llaman áreas negativas; el área total absoluta entrecurva, el eje X y dos ordenadas, está dada por

Ejemplo 1: Determinar el área limitada por la curva y = 2 x + x2 – x3, el eje X y por las rectas x = – 1 y x =1.

(Ver figura 4).Solución: Observamos en la figura que f ( x) < 0 para – 1 < x < 0, y f ( x) > 0 para 0 < x < 1, por lo tanto:

∫

∫

[ ( ) ] [ ( )]

(

)

Área total = ∑á ∑á

(0,0)

(1,2)

(2,0)( – 1,0)

x = –

1

x = 1

Fi . 4




EJERCICIOS

En los ejercicios del 1 al 10, calcule el área de la región acotada por las curvas y dibuje la gráfica.

1. y = x3 – 4 x; y el eje X .

2. y = x2 – 4x; el eje X y las rectas x = 1 y x = 33. y = x

2 – 3 x; el eje X y las rectas x = – 1 y x = 44. y = x

3 – 2 x2 – 5 x + 6; el eje X y las rectas x = – 1 y x = 25. y = x

2 + x – 12; el eje X 6. y = x

2 – x + 5; el eje X

7. y= x2 – 7 x + 6; el eje X y las rectas x = 2 y x = 6

8. y = x3 – 6 x2 + 8 x; el eje X

9. y= x2 – x – 2; el eje X y las rectas x = – 2 y x = 2

10. y= x2 – 2 x; el eje X y las rectas x = – 1 y x = 2

3.9 Área entre dos curvasSupóngase que el área que se va a calcular está entre las curvas y1 = f ( x) y y2 = g ( x), entre las rectas x = a yx = b, y que f ( x) ≤ g ( x) para a ≤ x ≤ b, entonces:

∫

Ejemplo 1:

Determinar el área limitada por las líneas y = x2 y y = x

Solución:

y = x2 (1)

y = x (2)

Primero determinamos los puntos de intersección:

Resolvemos las dos ecuaciones por método de igualación,igualamos (1) y (2):

x2

= x

x2 – x = 0

x( x – 1) = 0

x = 0 ó x = 1




Si x = 0, entonces y = 0, por lo tanto P1 (0, 0)

Si x = 1, entonces y = 1, entonces P2 (1, 1)

De acuerdo a lo anterior,

∫

(

)

EJERCICIOS

Determinar el área limitada por las curvas dadas y realice la gráfica, determinando los puntos críticos.

1. y = x3 y y = 2 x 2. y

2 = 2 x y y = x – 43. y = x – x

2 y y = – x

4. y = – x

2

+ 4 x y y = x

2

5. y = x3 – 6 x + 8 x y = x

2 – 4 x 6. y = x

3; y = 4 – x2; el eje X

7. y = x2; y = 8 – x2 y y = 4 x + 12

8. y = x2; y = x + 2 y y = – 3 x + 18

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